江苏省四市2025届高三下学期联合考试数学试题含解析

江苏省四市2025届高三下学期联合考试数学试题
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知π3π,22α⎛⎫∈
⎪⎝⎭，()3tan π4α-=-，则sin cos αα+等于（ ）． A ．15± B ．15- C ．15 D ．75- 2．为得到
的图象，只需要将的图象（ ） A ．向左平移个单位 B ．向左平移个单位
C ．向右平移个单位
D ．向右平移个单位
3．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
A ．83
B ．163
C ．43
D ．8
4．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且
11a ，31a ，41a 构成新的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若存在n 使得0n S =，则n =（ ）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
5．已知函数2ln(2),1,()1,1,
x x f x x x -⎧=⎨-+>⎩若()0f x ax a -+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[0,1] C ．[1,)+∞
D ．[0,2] 6．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，()2x f x x m =++（m 为实数），则关于x 的不等式
()212f x -<-<的解集是（ ）
A ．()0,2
B ．()2,2-
C ．()1,1-
D ．()1,3
7．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为
A ．甲、乙、丙
B ．乙、甲、丙
C ．丙、乙、甲
D ．甲、丙、乙
8．在直角坐标平面上，点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，点(),Q a b 的坐标满足方程
2268240a b a b ++-+=则y b x a --的取值范围是（ ） A ．[]22-, B ．4747,33⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦
C ．13,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
D ．6767,33⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ 9．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.
A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上
B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
10．已知函数()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 的奇函数，且()()1g x f x =-，则()2019f 的值为（ ） A ．2 B ．0 C ．2- D ．2±
11．已知ABC 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=（ ）
A ．1
B ．2-
C ．12
D ．12- 12．如图，已知直线:l ()()10y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A ，B 两点，且A 、B 两点在抛物线准线上的
投影分别是M ，N ，若2AM BN =，则k 的值是（ ）
A ．13
B ．23
C ．223
D ．22
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在ABC 中，角A 的平分线交BC 于D ，3BD =，2CD =，则ABC 面积的最大值为__________．
14．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左顶点为A ，右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线交双曲线于点P ，Q .若APQ ∆为直角三角形，则该双曲线的离心率是______.
15．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,3AD DD AB ===，E ，F ，G 分别为11,,AB BC C D 的中点,点P 在平面ABCD 内，若直线1//D P 平面EFG ，则线段1D P 长度的最小值是________________.
16．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）某保险公司给年龄在2070-岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名作为样本进行分析，按年龄段[)[)[)[)[]20,30,30,40,40,50,50,60,60,70分成了五组，其频率分布直方图如下图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示. 据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元.
年龄
（单位：岁）
[)20,30 [)30,40 [)40,50 [)50,60 []60,70 保费
（单位：元） x 2x 3x 4x
5x （1）用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求x 精确到整数时的最小值0x ；
（2）经调查，年龄在[]60,70之间的老人每50人中有1人患该项疾病(以此频率作为概率).该病的治疗费为12000元，如果参保，保险公司补贴治疗费10000元.某老人年龄66岁，若购买该项保险(x 取()1中的0x ).针对此疾病所支付的费用为X 元；若没有购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为Y 元.试比较X 和Y 的期望值大小，并判断该老人购买此项保险是否划算？
18．（12分）已知椭圆22:12
x C y +=，点()00,P x y 为半圆()2230x y y =≥+上一动点，若过P 作椭圆C 的两切线分别交x 轴于M 、N 两点.
（1）求证：PM PN ⊥；
（2）当011,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
时，求MN 的取值范围. 19．（12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ∥CD ，AD AB CD DAB 1,602
==∠=︒，点,E F 分别为CD AP ,
的中点.
（1）证明：PC ∥面BEF ；
（2）若PA PD ⊥，且PA PD =，面PAD ⊥面ABCD ，求二面角F BE A --的余弦值.
20．（12分）2018年9月，台风“山竹”在我国多个省市登陆，造成直接经济损失达52亿元.某青年志愿者组织调查了某地区的50个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的数据分成五组：[0,2000]，(2000,4000]，(4000,6000]，(6000,8000]，(8000,10000]（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图.
（1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这50户并且损失超过4000元的农户中随机抽取2户进行重点帮扶，设抽出损失超过8000元的农户数为X ，求X 的分布列和数学期望.
21．（12分）为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分的为“合格”.
（Ⅰ）由以上数据绘制成2×
2联表，是否有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关？
男 女 总计 合格
不合格
总计
（Ⅱ）从上述样本中，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生问卷中任意选2个，记来自男生的个数为X ，求X 的分布列及数学期望.
附：
2
2()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++ n a b c d =+++ 22．（10分）已知{}{}{},,n n n a b c 都是各项不为零的数列，且满足1122,*,n n n n a b a b a b c S n N ⋯+=++∈其中n S 是数列{}n a 的前n 项和，{}n c 是公差为()0d d ≠的等差数列．
（1）若数列{}n a 是常数列，2d =，23c =，求数列{}n b 的通项公式；
（2）若n a n λ=λ（是不为零的常数）
，求证：数列{}n b 是等差数列； （3）若11a c d k ===（k 为常数，*k N ∈），()2,*n n k b c n n N +≥∈=．求证：对任意112,*,
n n n n b b n n N a a ++≥∈>的恒成立．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B
【解析】
由已知条件利用诱导公式得3tan 4α=-
，再利用三角函数的平方关系和象限角的符号，即可得到答案. 【详解】
由题意得()tan πα-= 3tan 4α=-
， 又π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π,πcos 0,sin 02ααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，，结合22sin cos 1αα+=解得34sin ,cos 55αα==-，
所以sin cos αα+ 341555
=
-=-， 故选B.
【点睛】 本题考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的平方关系以及三角函数的符号与位置关系，属于基础题.
2、D
【解析】
试题分析：因为
，所以为得到的图象，只需要将的图象向右平
移个单位；故选D ．
考点：三角函数的图像变换．
3、A
【解析】 由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积．
【详解】
由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，
直观图如图所示，1822233
V =
⨯⨯⨯=． 故选：A ．
【点睛】
本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键．
4、D
【解析】
利用等差数列的通项公式可得16a d =-，再利用等差数列的前n 项和公式即可求解.
【详解】
由11a ，31a ，4
1a 构成等差数列可得
3143
1111a a a a -=- 即133414133414
22a a a a d d a a a a a a a a ----=⇒=⇒= 又()4111323a a d a a d =+⇒=+
解得：16a d =- 又[]12(1)(12(1))(13)222
n n n n S a n d d n d d n =+-=-+-=- 所以0n S =时，13n =.
故选：D
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.
5、D
【解析】 由()0f x ax a -+恒成立，等价于|()|y f x =的图像在(1)y a x =-的图像的上方，然后作出两个函数的图像，利用数形结合的方法求解答案.
【详解】 因为2ln(2),1,()1,1,
x x f x x x -⎧=⎨->⎩由()(1)f x a x -恒成立，分别作出|()|y f x =及(1)y a x =-的图象，由图知，当0a <时，不符合题意，只须考虑0a 的情形，当(1)y a x =-与()(1)y f x x =图象相切于(1,0)时，由导数几何意义，此
时21(1)|2x a x '==-=，故02a .
故选：D
【点睛】
此题考查的是函数中恒成立问题，利用了数形结合的思想，属于难题.
6、A
【解析】
先根据奇函数求出m 的值，然后结合单调性求解不等式.
【详解】
据题意，得()010f m =+=，得1m =-，所以当0x ≥时，()21x
f x x =+-.分析知，函数()f x 在R 上为增函数.又()12f =，所以()12f -=-.又()212f x -<-<，所以111x -<-<，所以02x <<，故选A.
【点睛】
本题主要考查函数的性质应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.
7、A
【解析】
利用逐一验证的方法进行求解.
【详解】
若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ．
【点睛】
本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查． 8、B
【解析】
由点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，可得P 在圆()2
211x y -+=上，由(),Q a b 坐标满足方程
2268240a b a b ++-+=，可得Q 在圆()()22341x y ++-=上，则PQ y b k x a
-=-求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可得结果.
【详解】
点(),P x y 的坐标满足方程22
20x x y -+=， P ∴在圆()2
211x y -+=上， (),Q a b 在坐标满足方程2268240a b a b ++-+=， Q ∴在圆()()22
341x y ++-=上， 则PQ y b k x a
-=-作出两圆的图象如图， 设两圆内公切线为AB 与CD ，
由图可知AB PQ CD k k k ≤≤，
设两圆内公切线方程为y kx m =+， 则2211343411k m k k m k m k m k ⎧+=⎪+⎪⇒+=-+-⎨-+-⎪=⎪+⎩
， 圆心在内公切线两侧，()34k m k m ∴+=--+-， 可得2m k =+，2222111k m
k k k ++==++，
化为23830k k ++=，473
k -±=， 即4747AB CD k k ---+==
PQ y b k x a -≤=≤
-，
y b
x a --的取值范围443
3⎡--+⎢⎣⎦，故选B.
【点睛】
本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解. 9、D 【解析】
根据两个图形的数据进行观察比较，即可判断各选项的真假． 【详解】
在A 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，所以是正确的； 在B 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分布条形图得到：
56%39.6%22.176%20%⨯=>，互联网行业从业技术岗位的人数超过总人数的20%，所以是正确的；
在C 中，由整个互联网行业从业者年龄分别饼状图，90后从事互联网行业岗位分别条形图得到：
13.7%39.6%9.52%3%⨯=>，互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多，所以是正确的；
在D 中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后所占比例为56%39.6%22.176%41%⨯=<，所以不能判断互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多． 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了命题的真假判定，以及统计图表中饼状图和条形图的性质等基础知识的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 10、B 【解析】
根据函数的奇偶性及题设中关于()g x 与()1f x -关系，转换成关于()f x 的关系式，通过变形求解出()f x 的周期，进而算出()2019f . 【详解】
()g x 为R 上的奇函数，()()()()010,g f g x g x ∴=-=-=-
()()()10,11f f x f x ∴-=--=--，()()2f x f x ∴-=--
而函数()f x 是R 上的偶函数，()()f x f x ∴=-，()()2f x f x ∴=--
()()24f x f x ∴-=--，()()4f x f x ∴=-
故()f x 为周期函数，且周期为4
()()201910f f ∴=-=
故选：B 【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性，函数的周期性的应用，属于基础题. 11、C 【解析】
以,BA BC 为基底，将,AD BE 用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解. 【详解】 22
2,,33
BD DC BD BC AD BD BA BC BA ==
=-=-, 11
,22AE EC BE BC BA =∴=
+, 211
()()322AD BE BC BA BC BA ⋅=-⋅+
22
111362BC BC BA BA =-⋅- 111123622=-⨯⨯⨯=.
故选:C. 【点睛】
本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题. 12、C 【解析】
直线()()10y k x k =+>恒过定点()10P -，，由此推导出1
2
OB AF =
，由此能求出点B 的坐标，从而能求出k 的值． 【详解】
设抛物线2
:4C y x =的准线为:1l x =-，
直线()()10y k x k =+>恒过定点()10
P -，，
如图过A 、B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ， 由2AM BN =，则2FA FB =， 点B 为AP 的中点、连接OB ，则1
2
OB AF =， ∴OB BF =，点B 的横坐标为
12
， ∴点B 的坐标为1,22B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，把1,22B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
代入直线()()10y k x k =+>， 解得223
k =
， 故选：C ．
【点睛】
本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、15 【解析】 由角平分线定理得AB BD
AC CD
=,利用余弦定理和三角形面积公式，借助三角恒等变化求出ABC 面积的最大值. 【详解】 画出图形：
因为3BD =，2CD =，由角平分线定理得
3
2
AB BD AC CD ==, 设2,2,0,
2AC x BAC παα⎛⎫
=∠=∈ ⎪⎝
⎭
，则3AB x = 由余弦定理得：22249232cos 25x x x x α=+-⋅⋅⋅ 即2
1325
12cos 2x α
=
-
2175sin 232sin 23sin 221312cos 2ABC S x x x αααα
∆=⋅⋅⋅=⋅=-
()222222tan 75752sin cos 1tan 1tan 1312cos sin 13121tan α
ααααααα
⋅
⨯+==
--⨯--⋅
+ 2
150tan 15
1
125tan 1
25tan 2
25tan tan tan 150150α
α
ααα
α
⋅=
==++⋅
当且仅当
125tan tan αα
=，即1
tan 5α=时取等号
所以ABC 面积的最大值为15 故答案为：15 【点睛】
此题考查解三角形面积的最值问题，通过三角恒等变形后利用均值不等式处理，属于一般性题目. 14、2 【解析】
根据APQ ∆是等腰直角三角形，且F 为PQ 中点可得AF PF =，再由双曲线的性质可得2
b a
c a
+=，解出e 即得.
【详解】
由题，设点0(),P c y ，由22221(0,0)
x c x y
a b a
b =⎧⎪⎨-=>>⎪⎩，解得20b y a =±，即线段2
b PF a =，APQ ∆为直角三角形，2PAQ π
∴∠=，且AP AQ =，又F 为双曲线右焦点，PQ 过点F ，且PQ x ⊥轴，AF PF ∴=，可得2
b a
c a
+=，
22
c a a c a
-∴+=，整理得：2220a ac c +-=，即220e e --=，又1e >，2e ∴=. 故答案为：2 【点睛】
本题考查双曲线的简单性质，是常考题型. 15、
72
【解析】
如图，连接11,,AC D A D C ，证明平面1//ACD 平面EFG .因为直线1//D P 平面EFG ，所以点P 在直线AC 上. 当
1D P AC ⊥时.线段1D P 的长度最小，再求此时的1D P 得解.
【详解】
如图，连接11,,AC D A D C ，
因为E ，F ，G 分别为AB ，BC ，11C D 的中点， 所以//AC EF ，EF ⊄平面1ACD ， 则//EF 平面1ACD .因为1//EG AD ， 所以同理得//EG 平面1ACD ，又EF
EG E =.
所以平面1//ACD 平面EFG .
因为直线1//D P 平面EFG ，所以点P 在直线AC 上. 在1ACD △
中，11112,2,2AD C
AD AC CD S
=
====， 故当1D P AC ⊥时.线段1D P
的长度最小，最小值为21222
=
⨯.
故答案为：2
【点睛】
本题主要考查空间位置关系的证明，考查立体几何中的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16、丙 【解析】
若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙． 考点：反证法在推理中的应用.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）30；（2）()()E Y E X >，比较划算. 【解析】
（1）由频率和为1求出0.032a =，根据a 的值求出保费的平均值3.35x ，然后解一元一次不等式3.35100x ≥ 即可求出结果，最后取近似值即可；
（2）分别计算参保与不参保时的期望()E X ，()E Y ，比较大小即可. 【详解】
解:（1）由()0. 0070.0160.0250.020101a ⨯++++=， 解得0.032a =.
保险公司每年收取的保费为:
()100000.070.1620.32 3.0.2540.20510000 3.35x x x x x x +⨯+⨯+⨯+⨯=⨯
∴要使公司不亏本，则10000 3.351000000x ⨯≥，即3.35100x ≥ 解得100
29.85,3.35
x ≥
≈
∴030x =.
（2）①若该老人购买了此项保险，则X 的取值为150, 2150.
()()491,215050 10
550P P X X ==
== ∴491
()1502150147431905050
E X =⨯
+⨯=+=(元). ②若该老人没有购买此项保险，则Y 的取值为0. 12000.
()()4910,120005050
P Y P Y ==
== ∴491
()0120002405050
E Y =⨯
+⨯=(元). ()()E Y E X >
∴年龄为66的该老人购买此项保险比较划算. 【点睛】
本题考查学生利用相关统计图表知识处理实际问题的能力，掌握频率分布直方图的基本性质，知道数学期望是平均数的另一种数学语言，为容易题.
18、（1）见解析；（2
）⎡⎣.
【解析】
（1）分两种情况讨论：①两切线PM 、PN 中有一条切线斜率不存在时，求出两切线的方程，验证结论成立；②两切线PM 、PN 的斜率都存在，可设切线的方程为()00y y k x x -=-，将该直线的方程与椭圆的方程联立，由0∆=可得出关于k 的二次方程，利用韦达定理得出两切线的斜率之积为1-，进而可得出结论； （2）求出点M 、N 的坐标，利用两点间的距离公式结合韦达定理得出
MN =
[]20
21,2t x =-
∈，可得出MN =，利用二次函数的基本性质可求得MN 的取值范围. 【详解】
（1）由于点P 在半圆()22
30x y y =≥+上，则22
003x y +=
.
①当两切线PM 、PN 中有一条切线斜率不存在时，可求得两切线方程为
x =，1y =或x =1y =，此时
PM PN ⊥；
②当两切线PM 、PN 的斜率都存在时，设切线的方程为()00y y k x x -=-（PM 、PN 的斜率分别为1k 、2k ），
()
()()20022
000022
12422022y kx kx y k x k y kx x y kx x y =-+⎧⇒++-+--=⎨+=⎩
()()()22
22000016412220k y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦
，
(
)
(
)
22
20
000
2210x k x y k y ∴--+-=，22
00
12220012122
y x k k x x --∴⋅===---，PM PN ∴⊥.
综上所述，PM PN ⊥； （2）根据题意得001,0y M x k ⎛⎫-
⎪⎝⎭、002,0y N x k ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭，
001201212
y y k
MN y y k k k k k -=
-=⋅=
=
令[]20
21,2t x =-∈
，则
MN =
=
所以，当
11t =时，max MN =1
1
2
t =
时，min MN
=因此，MN
的取值范围是⎡⎣.
【点睛】
本题考查椭圆两切线垂直的证明，同时也考查了弦长的取值范围的计算，考查计算能力，属于中等题. 19、
（1）证明见解析（2 【解析】
（1）根据题意，连接AC 交BE 于H ，连接FH ，利用三角形全等得//FH PC ，进而可得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用向量求得平面的法向量，进而可得二面角F BE A --的余弦值. 【详解】
（1）证明：连接AC 交BE 于H ，连接FH ，
,,AB CE HAB HCE =∠=∠BHA CHA ∠=∠，
ABH ∴∆≌CEH ∆，
AH CH ∴=且//FH PC ，
FH ⊂面,FBE PC ⊄面FBE ，
//PC ∴面FBE ，
（2）取AD 中点O ，连PO ，OB .由PA PD =，PO AD ∴⊥
面PAD ⊥面ABCD
PO ∴⊥面ABCD ，又由60DAB ∠=，AD AB = OB AD ∴⊥
以,,OA OB OP 分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，
设2AD =，则(1,0,0)A ，3,0)B ，(1,0,0)D -，11(0,0,1),(,0,)22
P F ，
(2,0,0)EB DA ==，11
(,3,)22
BF =-，
1(0,0,1)n =为面BEA 的一个法向量，
设面FBE 的法向量为2000(,,)n x y z =，
依题意，2
200EB n BF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即00002011
302
2x x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩， 令03y =06z =，00x =
所以，平面FBE 的法向量2(0,3,6)n =，
121212
,6239cos ,1339
n n n n n n =
=
=⋅，
又因二面角为锐角，
故二面角F BE A --239
【点睛】
本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意中位线和向量法的合理运用，属于基础题.
20、（1）3360元；（2）见解析 【解析】
（1）根据频率分布直方图计算每个农户的平均损失；
（2）根据频率分布直方图计算随机变量X 的可能取值，再求X 的分布列和数学期望值． 【详解】
（1）记每个农户的平均损失为元，则
10000.330000.4x =⨯+⨯+ 50000.1870000.0690000.063360⨯+⨯+⨯=；
（2）由频率分布直方图，可得损失超过1000元的农户共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50＝15（户），损失超过8000元的农户共有0.00003×2000×50＝3（户）， 随机抽取2户，则X 的可能取值为0，1，2； 计算P （X ＝0）＝
＝
，
P （X ＝1）＝＝，
P （X ＝2）＝＝，
所以X 的分布列为； X 0 1 2 P
数学期望为E （X ）＝0×+1×
+2×
＝．
【点睛】
本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，属于中档题． 21、（Ⅰ）填表见解析，有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关； （Ⅱ）分布列见解析，4
3
【解析】
（Ⅰ）根据茎叶图填写列联表，计算2
360
3.956 3.84191K =
≈>得到答案. （Ⅱ）0,1,2X =，计算1(0)15P X ==，8(1)15P X ==，2
(2)5
P X ==，得到分布列，再计算数学期望得到答案.
【详解】
（Ⅰ）根据茎叶图可得：
男
女
总计
22
40(1041016)360 3.956 3.8412614202091K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， 故有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果””有关.
（Ⅱ）从茎叶图可知，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生人数分别是4人和2人，从中任意选2人，基本事
件总数为2615C =，0,1,2X =
221(0)1515C P X ===，11428(1)1515C C P X ===，2462(2)1515
5C P X ====， ()153
E X ==. 【点睛】
本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的综合应用能力.
22、（1）43n b n -＝；（2）详见解析；（3）详见解析.
【解析】
(1)根据2d =,23c =可求得n c ,再根据{}n a 是常数列代入1122,*,n n n n a b a b a b c S n N ⋯+=++∈根据通项与前n 项和的关系求解{}n b 即可.
(2)取1n =,并结合通项与前n 项和的关系可求得11
,n n n n n n S c S c a b ﹣﹣﹣＝再根据1n n n a S S -=-化简可得1n n n S d nc nb λλ+﹣＝,代入()
112n n n S λ--=化简即可知()1332n n b n b d --=≥,再证明2132
b b d -=也成立即可. (3)由(2) 当2n ≥时,11()n n n n n n n S
c c a c a b +﹣﹣﹣＝,代入所给的条件化简可得1,n n S ka ﹣＝()11n n n n S S a k a ++﹣＝＝,进而证
明可得11n n k a a k -+=,即数列{}n a 是等比数列.继而求得21n n k a k -+⎛⎫= ⎪⎝⎭
,再根据作商法证明11
n n n n b b a a ++>即可. 【详解】
()1解：22,3,d c ＝＝
21n c n ∴＝﹣．
{}n a 是各项不为零的常数列,
12,n a a a ∴⋯＝＝＝
则1n S na ＝,
则由1122n n n n c S a b a b a b ++⋯+＝,
及21,n c n
＝﹣得()1221n n n b b b ++⋯+﹣＝, 当2n ≥时,()()121123n n n b b b ++⋯+﹣﹣﹣＝,
两式作差,可得43n b n
＝﹣． 当1n ＝时,11b ＝满足上式,
则43n b n
＝﹣； ()2证明：1122n n n n a b a b a b c S ++⋯+＝,
当2n ≥时,11221111n n n n a b a b a b c S ++⋯+﹣﹣﹣﹣＝,
两式相减得：11
,n n n n n n S c S c a b ﹣﹣﹣＝ 即()()11111,n n n n n n n n n n n n n n S a c S c a b S c c a c a b ++﹣﹣﹣﹣﹣﹣＝﹣＝．
即1n n n S d nc nb λλ+﹣＝．
又()
112n n n S λ--=,
()12n n n n d nc nb λλλ-∴
+=, 即12
n n n d c b -+=． ∴当3n ≥时,1122
n n n d c b ---+=, 两式相减得：()1332
n n b n b d --=≥． ∴数列{}n b 从第二项起是公差为32
d 的等差数列．
又当1n ＝时,由1111,S c a b ＝得11c b ＝,
当2n ＝时,由22112113222b d c d c d b d -=
+=++=+,得2132
b b d -=． 故数列{}n b 是公差为32d 的等差数列； ()3证明：由()2,当2n ≥时,
()11n n n n n n n S c c a c a b +﹣﹣﹣＝,即()1n n n
n S d a b c ﹣＝﹣, n n k b c +＝,
n n b c kd ∴+＝,即n n b c kd ﹣＝,
1•,n n S d a kd ∴﹣＝即1
n n S ka ﹣＝． ()11n n n n S S a k a ∴++﹣＝＝,
当3n ≥时,()11
1,n n n S k a ka +﹣﹣＝＝即11n n k a a k
-+=． 故从第二项起数列{}n a 是等比数列, ∴当2n ≥时,221n n k a a k -+⎛⎫= ⎪⎝⎭．
()()()22111n n k n b c c kd c n k k k n k k k n k +++-+=+-+=+＝＝＝．
另外,由已知条件可得()1221122a a c a b a b ++＝,
又()2122,,2c k b k b k k +＝＝＝,
21a ∴＝, 因而21n n k a k -+⎛⎫= ⎪⎝⎭
． 令n n n
b d a =, 则()()()()()
11111111101n n n n n n n k k n k d b a n d a k k b n +++-=++-=-=-+++<+． 故对任意的2,*,
n n N ≥∈11
n n n n b b a a ++>恒成立． 【点睛】
本题主要考查了等差等比数列的综合运用,需要熟练运用通项与前n项和的关系分析数列的递推公式继而求解通项公式或证明等差数列等.同时也考查了数列中的不等式证明等,需要根据题意分析数列为等比数列并求出通项,再利用作商法证明.属于难题.。