执“惑”索“识”兼谈高三数学复习的有效教学

B 执“惑”索“识”
———兼谈高三数学复习的有效教学 新课改的理念逐步渗透到教学各环节中的今天，我们应重新审视高三复习的有效性.君不见：高三复习课仍有不少教师“学案满天飞，课堂通篇讲；时间不够用，只好对答案”.（有点夸张？）导致学生仍在“题海”遨游，有效学习，有效训练无法体现，从而难以生成有效课堂，教师学生都疲惫，遇到检测更狼狈.所以学生烦恼多多，教师更是困惑重重，略谈惑之一.
惑：学案已下发且学生已经做了、检测也批改了，课如何上？ 题：（2008江苏高考17）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ，B 及CD 的中点P 处．AB ＝20km ，BC ＝10km ．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A ，B 等距的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为y km ．
（1）按下列要求建立函数关系式：
（Ⅰ）设BAO θ∠=（rad ），将y 表示成θ的函数；
（Ⅱ）设OP x =（km ），将y 表示成x 的函数；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短.
学案提前下发，学生解答基本正确.那么就此结束，还是需要做点其他？ 识之一：学生画龙、教师点睛，体现教师主导
教师点出关键、思想、规律.更重要是点出：
1、审题：表述条件的复合句太长，从 “语法上” 把长句子读通.学会让 “复合句”变“简单句”.从 “数学意义上” 对语意理解.学会把实际问题数学化.
2、归纳：解决这类习题（建立函数模型，求解应用题）的步骤①弄清影响函数变动的原因，选择自变量，引入变量必须注意变量的取值范围（有时变量会给出）；②用自变量来表示将要用到的有关量；③列出函数解析式，明确函数的定义域；④求解数学问题，得出数学结论（求最值并指出自变量）；⑤还原将得到的结论，根据实际意义适当增删，还原为实际问题. 教师点的过程充分函数的本质及对应的思想，形成有益定势总结出规律性真正提高学
生能力水平和数学素养.
识之二：启发诱导、变式探究，改变学生学习方式
1、给学生一定时间，让他们去探究
“不愤不启，不悱不发”学生探究离不开教师的启发，诱导他们开阔思路，探究解法的多样性.
（1）（Ⅰ）函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=+04πθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝
⎭
（Ⅱ）函数关系式为)010y x x =+≤≤
（2）选择函数模型（Ⅰ）
【解法一】：求导，令'y =0 得sin 12θ=，因为04πθ<<，所以θ=6π，当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，'0y < ，y 是θ的减函数；当,64ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，'0y > ，y 是θ的增函数，所以当θ=6π
时，min 10y =+那么还有他方法吗？总结学生解法有
【解法二】：设⎪⎭
⎫ ⎝⎛≤≤-=40cos sin 2πθθθu ，化简得2cos sin =+θθu 得 ()()为辅助角ϕϕθ112
sin 2≤+=+u ，由于3≥u u 为正数，解之.因此，当
取得最小值时y 6π
θ=.（以下略）
【解法三】：由（Ⅰ），⎪⎭
⎫ ⎝⎛≤≤--=40c o s 2s i n 1010πθθθy ，令⎪⎭
⎫ ⎝⎛≤≤-=40c o s 2s i n πθθθk 设()θθsin ,cos M 是单位圆O 的弧上的动点.()得斜率为直线，，
AM k A 20.当且仅当AM 与圆O 外切时，k 最大为3-，y 取最小值.此时6πθ=
（以下略） （2）选择函数模型（Ⅱ）
【解法一】：求导2002020
212/+--+=x x x y ，令0/=y 得33
1010-=∴x
舍去）（331010+=x ，判断当3
31010-=∴x 时y 取极大值即最大值，即当污水处理厂建在距离P 点331010-
=∴x km 时，三条排污管道总长度最短. 【解法二】：由（1），()200202,10020020222+-=-≤≤+-+=x x x y x x x x y 平方，化简得：)(0800)802(322*=-+-+y x y x ，0)800(12)802(22≥---=∆y y 解得31010+≥y 将31010+=y 代入（*）式，解出3
31010-=∴x ，（以下略） 2、给学生一些疑问，让他们去解决
凡是带有二次根式求最值一般可换元，能换元吗？如何换？你所熟悉的相类似的有哪些？能举例子吗？根据前面复习内容给出一个简短的情景.
如何尽快求出下列函数的值域
（1）y x =+（2）y x =（3）21x x y ++=
分析：（1）代数换元法：设0t =，则2
1x t =-，∴原函数可化为 2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤，∴原函数值域为(,5]-∞
（2）∵21011x x -≥⇒-≤≤，∴设cos ,[0,]x ααπ=∈，
则cos sin )4y π
ααα=+=+∵[0,]απ∈，∴5[,]444πππα+∈，
∴sin()[42
π
α+∈-)[4πα+∈-，∴原函数的值域为[1- （3）⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∈=∈2,2,tan ,ππθθx R x 可设，则θθθθcos 1sin csc 1tan +=+=y ，到此可用 函数模型（Ⅰ）三种方法解之.由此给出如下解法
【解法三】：()100102
20020222+-+=+-+=x x x x x y 2101120⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=x x 令⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈∴≤≤-=4,0100,101tan πθθx x 则,tan 1010θ-=x 所以θθcsc 1tan 1010+-=y 即⎪⎭⎫ ⎝
⎛≤≤+-=4010cos sin 1020πθθθy 回到函数模型（Ⅰ）.
3、给学生一点空间，让他们去交流
教师诱导学生交流解法，分析各种解法的特点.
①.导数法：形式也最灵活多样.对于生活中的优化问题，如果其目标函数是高次多项式函数，简单的分式函数，简单的无理函数，简单的指数、对数函数，或它们的复合函数，均可运用导数求最值.
②. 三角函数的有界性：三角函数的有界性是三角函数的重要性质之一.解题时如果从有界性入手,往往能帮助我们明确解题方向,找到解题的突破口,从而使问题顺利解决;而当解题时出现问题,想到有界性往往有助于我们发现问题所在,提高解题的准确性和严谨性.
③.判别式法：利用判别式是一种重要方法，在探求某些实变数之间的关系，研究方程的根和函数的性质，证明不等式，以及研究圆锥曲线与直线的关系等方面，都有着广泛的应用.
④.几何法：空间形式和数量关系是互相联系的，可以转化的．有一些代数问题常常可以借助于几何图形具体地、形象地呈现出来，便于发现量与量之间的关系，易于求解．
⑤.三角代换：对于某些代数问题，如果能充分利用题设所给的已知信息，通过联想类比，将代数形式转化为三角形式，再利用三角函数的性质，往往能使问题获得顺利和简捷的解答，关键是，根据代数式的构造特征和解题的需要，选择一些合适的三角函数（或三角函数式）去代换代数式中的变数.
识之三：深入思考、反思提高，师生演绎教学互动
荷兰教育家弗赖登塔尔指出：“反思是数学思维活动的核心和动力.”反思可深化对概念、性质、法则和公式的理解，揭示问题的本质属性.但在学习过程中，学生反思意识，主动反思等需在教师的引导中逐步培养.此处的深入思考反思提高主要体现在：
1、剖析解法
剖析解法必须尊重不同解法的思维特点，找出有价值的成分.剖析各种解法是否完整，分别有哪些步骤组成？（分几个层次）．带着学生一起理出头绪来．条件怎么用的？条件如何使用！这是关键．
在导数法中①求导法则的熟练应用确保结果正确；②令0/
y ，准确求出θ值或x 值；③列表讨论或文字说明，确定极值即最值情况，得出正确结论.
在几何法中①必须明确k 的几何意义是某两点连线的斜率；②画出示意图；③确定斜率k 取最大值的条件，并求出k 的最大值和相应的θ值.
在判别式法中①使用判别式的时候必须有“=”出现；②之后要明确y的最小值以及取得最小值时的θ的值；③最后说明θ取什么值y取得最小值并给出最后的答案.
2、评价解法
不要“自古华山一条路”，要尊重各种思路，给出客观的评价，尤其要注意它的合理性．对解题思路方法的评价是一种较高级的思维活动.它是依据一定的评价标准，对各种解题思路权衡比较、全面剖析而作出某种判断的复杂思维过程.注重培养学生对解题思路的评价能力和习惯，就可使学生不仅知其然，而且知其所以然；不仅仅是多学到一种解法，更重要的是站在评价水平的高度上思辨问题. 体现在①正确与否.一般说来，凡解题思路合理，即为正确.这是思路评价中的最基本标准.②简捷与否.在正确的思路中选择出比较简捷的思路，剔除那些过繁太难的罕见解法或司空见惯的一般解法.③独创与否.看看哪些思路与众不同，别出心裁.比如导数法具有一般性，是解决生活中的优化问题的通性通法，必须熟练掌握.比如几何法直观，易于寻找解题途径，能避免复杂的计算和推理、简化解题过程，但要尽量精确作图，注意等价转换，尽量固定曲线，运动直线.比如三角代换是一种非常重要的转化手段，但在本题中应用技巧太强，勉为其难，不可多加宣扬.
3、收获与启示
①、变介绍方法为选择方法，突出解法的发现和运用.学生头脑中已储存了许多解题方法和规律，如何熟练提取运用是高三数学复习的关键.“给出方法解题目”不可取，应该“给出题目选方法”，学好数学关键在于“悟”，多给学生一点思考时间，让学生自己去领会、体验，只有这样才能将所学知识转化为解决问题的能力，不至于“听听会的，做做错的”.
②、一题多解探究解题的最佳途径（方法）.一题多解，引导学生的定势思维为多向思维，善于从不同的角度和方向去思考，举一反三；可拓宽解题思路，开阔视野，优化解题策略，寻求最佳途径.
③、多题归一探究解一类习题的通法.对一种类型的题进行归类整理，能使学生真正从题海中解脱出来，起到事半功倍的作用.教师应根据教学的要求和学生的实际，深入挖掘一些习题的潜在功能，引导学生深入探索和发现试题的规律,不但能诱发学生的解题欲望,提高学生学习兴趣，又能培养学生的发散思维与创造性思维能力，起到触类旁通的效果.
④、一题多变探究知识的综合应用.对一道习题适当的演变，引伸、拓广、不仅能提高学生的应变能力，探索能力，还能激发学生的思维的广阔性，发散性.使学生从不同的角度去观察问题，思考问题,从而提高学生思维过程的整体性，严密性，培养学生的综合素质.
识之四：积极参与、自我评价，评试卷学生展风采
学生个体的自我评价，是最高形式的鉴赏活动. 高三复习测试较多，试卷讲评尤为重要；但只是教师评有时枯燥乏味且效果不好.根据实际情况让学生积极参与进行自我评价.
一、筹备
1、分组.将学生根据做错的题型、题目难易程度及学生的基础分成几个小组，安排组长一名.
2、分配任务.将试卷发给学生后，各组承担相应的题目.
3、查证答案.各小组根据自己承担的任务，组员群策群力，通过讨论，查阅资料等，得出正确的答案，总结知识点，分析错误.如果不能，就“拜访”老师.
二、实施
1、评述知识点.即对题目涉及或应用到哪些知识点去解决，该知识点的主要内容是什么均应说清楚.如题知识点主要有：函数的概念、解三角形、导数应用.
2、评述解题方法.解题思路，解题能力；如题：数学建模能力、抽象概括能力、解决实际问题的能力.说错误的解法；在说卷过程中学生可能说出某些错误的解法思路，老师可以一起与学生分析错误的原因，及时更正，使学生印象加深，减少重复错误.
3、评述失分原因.可能是①知识点掌握不牢；②粗心大意看错题目或错误理解题目，如
题：误把BAO ∠看成了A O B ∠得 2
sin 2cos
102010θ
θ-+=y ，误认为x OA =得
) 210 x (101001022≤≤--+=x x y ；③忘记、记错某些要点；④计算出错或盲目变形得θ
π
θcos )4cos(21020++=y ；⑤时间不够等各种原因造成.可通过分析这些原因，一方面说者能自己提醒自己，吸取经验教训，克服改正；另一方面老师可了解学生失分信息，可在以后的教学中注意及时调整教学某些环节，有意帮助学生克服学习过程中的毛病，争取最少失分情况的发生.
4、评述考试心态.静下心来，一题题用笔尖指着做，你的正确率就会很高.
5、评述考试收获.经验与教训，提醒在今后的复习中该注意：①良好的学习规范，②关注数学"四基"的训练，③学会数学语言的转换，④把握解题要领.
三、意义
1、让学生评讲试卷，能够促进学生主动地去探究问题.学生自己解决了问题，其意义远远超过上课时能够听懂.
2、让学生评讲试卷，能够培养学生的口头表达能力.
3、让学生评讲试卷，能够发挥学生在课堂教学中的主体作用.可以实现学生由“观众”向“演员”、由“配角”向“主角”的角色转变，可以实现进一步调动学生的学习积极性，可以实现学生有当主人的感觉.
4、让学生评讲试卷，消除了学生对考试的恐惧感，锻炼了学生良好的心理素质，也丰富了他们的元认知知识、元认知体验、元认知情感.
“凡事预则立，不预则废”.面对新高考，高三复习困惑也许很多，困惑的根本原因也许在于数学有效教学的探求，探求的过程我们是否应该思考：①使学生有机会真正经历数学化，②在过程中积淀解决问题的思路和方法，③能延续学生对数学的喜欢，④持续拉动他们学习数学的愿望，⑤有助于数学课程目标的实现.认识也许是肤浅的，旨在于抛砖引玉.
参考文献
1.华志远《辩证认识数学抽象探求有效教学策略》数学通报：2004.11
2.陶宏伟《中学数学教师课堂有效教学行为的含义及评价》中学数学教学参考：2007.11。