重基础 求创新 多整合——对一道中考数学题的反思

技法点拨
-对一道中考数学题的反思
冯丽娟
摘要:紧张忙碌的中考早已结束，静下心来重 新审视试卷，分析试题，寻找出处，提出合理化教学 建议。

以2017年杭州市数学中考第21题为例，从试题
赏析、试题出处、解法展示、拓展延伸、教学建议几方 面作简单分析，希望对今后的数学教学有所帮助。

关键词:解题能力;综合运用;重视课本;拓展延
伸;融会贯通
紧张忙碌的中考早已结束，静下心来重新审视
试卷，分析试题，寻找出处，提出合理化教学建议。

一
般大家都会比较关注最后一题，也就是压轴题。

压轴
题固然重要，但不是每一个学生都能做好，对于大部
分学生来说，做好基础部分，做对、会做的部分才是
至关重要的。

即使是尖子生，不也要保证基础部分不
丢分，不绕弯路吗？第21题的位置是在解答题的第5 题，此题至关重要，一般来说，此题不会太简单，不会 像前几个解答题那么一目了然就能解决，但也不像
后两题那么难，需要花费大量的时间。

对于中下同学 来说，此题做对了，那分数就会提高一个档次。

对于 中上同学来说，在此题中不卡题，顺利通关，才能留 有足够时间完成后两题，同时也会更有底气继续答 题。

所以，无论对于哪一类学生，中考第21题必须拿 下。

下面就2017年杭州市数学中考第21题作简单分析：―、试题赏析
2017年杭州市数学中考第 21题：如图1，在正方形！"#»中，点G 在对角线"$上(不与点
"，$重合)G & " $C 于点 &，
"C 于点'，联*!G 。

(1) 写出线段！G ，G &，G '
长度之间的数量关系，并说明理由；
(2) 若正方形4"C $的边长为1，#!G '=105。

，求 线段"G 的长。

题目条件简单明了，主要考查了特殊平行四边
形、三角形全等、勾股定理、特殊直角三角形的边长
之间的关系。

但是每一小题的解答都需要添加辅助
线，这就给此题增加了难度。

有关特殊平行四边形的
内容是在浙江版八上第五章，继第四章平行四边形
之后学的。

至此，初中阶段由线段所组成的平面图形
基本上已经介绍完毕。

正方形是一种最特殊的平行
四边形，它也是特殊的矩形、特殊的菱形。

因此，它具
有平行四边形、矩形、菱形所有的性质，它还可以分
割出三角形、特殊三角形等，所以把正方形放人题
中，需要综合运用多方面的知识，可以说是集合了大
部分平面几何图形的内容和性质，考查得比较细致，
比较全面。

在2016年的杭州市数学中考中，第21题也
是由正方形构造的图形，同样需要运用正方形的性
质、三角形的全等和三角函数等知识解决。

说明近两
年中考，在对几何图形的考查上有一定的吻合性。

由
此可见，在几何图形的考查中，放人一个关于正方形
的题型，并分割出一些三角形，既能考查四边形的内 容，又涉及三角形的知识，可以比较全面地考查学生
对平面几何图形的掌握情况，以及综合运用相关性 质的解题能力。

二、 试题出处寻找试题出处，在浙教版
数学八下第五章特殊平行四边 形，课本第126页例2:已知：如图2，在正方形 !"C $中，G 是对角线"$上的一 ，点，G & 丄 C $，G '丄"C ，&，'分另 l j 为垂足，联，&'，求证AG =&'。

这个例题与中考第21题的第(1)小题相似，图形 大致一样，只是多了一条联结&'，解答过程都需要 添加辅助线:联结GC ，不同的是课本原题是要求证 !%=&'，是一个明确的结果，而要证明两条线段相
等，学生马上可以想到证三角形全等，相对来说方法 容易形成。

而中考题是要写出线段！％，％&，％'长度 之间的数量关系，并说明理由；这是一个开放的问 题，不清楚它们之间有怎样的关系，一时间可能不易 得到方法，这就在课本例题的基础上提升了一个档 次，需要学生有足够的平面图形的相关知识，才能联 系这三条线段之间的数量关系，从而猜想结果并进
行证明。

而第(2)小题，是在原图的基础上又增加了 一个条件，这样的改编是源于课本，又高于课本的体 现。

其实借助正方形的一条对角线平分一组对角后，
可以单独拎出$!"%，这个三角形中，已知两角分别 为45。

和60。

，并且一条边长为1，这种图形实际上在 九下第一章解直角三角形中是很常见的，准确地说 应该是解斜三角形，在解直角三角形的应用中有很 多这样的实际情境。

在这里，只是把这类解斜三角形 放在了正方形中，与正方形的性质结合起来，增加了 难度，也体现了数学知识之间的整合。

三、 解法展示(1) 联结GC ，运用正方形 边长相等和一条对角线平分一 组对角的性质，证明 $ C "G ( SAS )，或证明 A !$G %AC $G (SAS )，得到！％=%#，•根据有三个角是直角的四边形 是矩形，证明四边形G 'C &是矩形，得到GF =&C ，最后利用勾股定理得到GF +GF = !%2。

此题中，三条线段之间的数量关系，与以往的 题目有不同之处，以往判断两条或三条线段之间的 数量关系，结果通常是两条线段相等，或是两条较短 线段的和等于较长那条线段，像这样的最终利用勾股 定理得到三条线段的数量关系，比较少见、新颖。

(2) 利用正方形的一条对角线平分一组对角，从 而得到一个特殊角45。

，于是想到添加辅助线：作 !*&"$，构造出一个等腰直角三角形，已知斜边长为1，则很容易得两直角边长为，
再根据条件
#究_
试题技法点拨
!!G#=105。

，得到！！G%=60。

，又是一个特殊的直角三角形，较长直角边已求得为，从而可以得
%
到较短直角边为<1，继而求=%"的长。

此题的关键是借助45。

角和60。

角，添加辅助线，利用特殊直角 三角形的边长之间的关系求得，辅助线的添加至关 重要。

正确添加辅助线后，解答是不成问题的，也可 设未知数，利用勾股定理或利用三角函数来求得各 边长。

四、拓展延伸
为进一步提高，以及想把一个题目的功效发挥 的尽可能大，于是想到对此题进行拓展延伸。

此题 的第⑴问，条件不变，结论可以改为“探索与
之间的关系”，这也是一个开放性的问题，而这里的 关系应分为数量关系和位置关系，数量关系的证明 跟之前的方法一致。

位置关系的证明相对来说有一 定的难度。

需要延长（G，与&F相交于点），延长'G，与*+相交于点,，证明(-*-)得 !,*G= !，再利用对顶角！*G,=!'GM，于是得到第三个角相等，即！GM'=!*,G=90。

这样的 改动要求学生有较完整的平面几何图形的性质，及 较强的综合解题能力。

升教学能力水平考试”中，更是将此题条件中的“正 方形”改为“长方形”，并使(其他条件不变），要求写出线段*"，"&，"'长度之间的数量关 系，并说明理由；看似小小的改动，但是却难倒了很 多参加考试的老师们。

因为这样一来，虽然点"由一 个动点变为固定点，但是正方形特有而长方形不具 有的性质不能用了，缺少了很多条件，全等就不能 证了，而是要利用三角形相似等内容来解决了，确 实有点复杂，但作为教师自己可以研究探索。

只有 教师本人具备探索创新的精神，才能在平时的教学 中，慢慢地渗透给学生，潜移默化地影响学生，逐步 提高学生的数学综合能力。

五、教学建议
2017年杭州市数学中考第21题注重基础考查，题型回归课本，又有一定的创新提高，贴近初中数 学的教学实际。

鉴于此，提出如下教学建议@
1.回归课本，重视对课本例题的教学
课标指出，数学教材为学生的数学学习活动提 供了学习主题、基本线索和知识结构，是实现数学 课程目标，实施数学教学的重要资源。

因此，在平时 数学教学中应重视回归课本，认真钻研教材，讲好、用好、学好课本，充分发挥教材的优势，注重学生对 基础知识的掌握和理解，才能使学生各方面的能力 得到提高。

同时，我们要重视对课本例题的教学，教 材中所选的例题都是很典型的，是经过精选，具有 一定代表性的，例题教学具有相当重要的地位，它 是学生接受新知识的起点，搞好课本例题的剖析教学，不仅能加强对概念、公式、定理的理解，而且对培
养学生发现问题、解决问题的能力以及抽象思维能
力等方面，能发挥其独特的功效。

例题教学不是简单
地让学生看一遍例题，或是教师说一遍例题，而是教
师要设计一些有效的问题，一步步引导学生，让学生
通过自主探索，自主发现结论，并能通过某个例题，
有一定的数学解题方法掌握。

近两年的数学中考题，
都有课本例题或练习改编的，说明中考的考查也越
来越趋向回归课本，重视对学生基础知识、基本技能
的考查。

学生只有顺利完成了基础部分的题目，才有
能力和精力去钻研较难的题。

2. 立足课本，适时进行改编及延伸
每次的考试，题目有可能跟课本中的某个题目
相似，但不可能一模一样，有的学生学得比较死，只
要题目稍稍改动，就不知如何动手，这就需要教师在
平时的教学活动中慢慢渗透，逐步培养这方面的能
力。

比如在某个题目教学时，教师能适当地改变某个
条件或结论，或者增加条件，进行题目的改编及再
生，让学生进一步思考，从而总结由一个题目出发，
由一个知识点出发，能拓展到几个题目，能拓宽到几
个知识点，培养学生思维的发散性和整合性，有利于
学生综合数学能力的提高。

在平时的教学活动中，切
忌单纯的就题讲题，要能举一反三，这就需要教师有
足够的基本功，课前做过大量的准备，尝试改编及拓
展，要把一个题目的功效发挥得尽可能大。

3. 单元结束，及时进行归纳整理
在平时教学工作中，当每一章结束时，应及时引
导学生对本章内容进行归纳整理，才能使学生更好
地掌握所学内容。

如上述题目中，有些学生不知道矩
形、正方形有哪些性质，或是漏了某条性质，那么此
题就不易解决。

而在学习特殊平行四边形时，确实有
很多的性质和判定，学生记忆比较困难，且容易搞
混。

因此在复习时，应系统地归纳整理，把零碎的知
识点串起来，可以用列表格的形式进行比较，可以借
助图形进行记忆，而不是单纯地背文字，这是数学与
其他功课的不同之处。

让学生的头脑里有这样的一
些图表，这样学生印象比较深刻。

将前后知识点融会
贯通，培养学生综合解决问题的能力。

同时，还可以
让学生进行纠错整理，把平时练习、考试时做错的题
目整理、归类，再进行重点复习。

4. 融会贯通，加强知识之间的联系和整合
数学教学虽然按单元进行分类，但是每一个单
元之间又有着千丝万缕的联系，最终的题型大多数
都是你中有我，我中有你。

在中考题中，经常可以看
到代数与几何的碰撞，函数与图形的结合等。

如上述
的题目中，有特殊平行四边形的内容，也有之前学的
三角形全等的证明，还有之后学的三角函数的应用。

往往一个题目不会是单纯的一块知识点，必定是很
多知识的整合，这就需要学生在平时的学习过程中，
能把前后知识融会贯通，串联起来，而不是学了这
个，丢了那个，解题过程中，如果某个知识点的遗忘
或断层，就无法顺利进行下一步操作。

而培养学生的
综合运用能力，还得靠我们教师的引导和渗透。

参考文献：
1.郝旭岚.2014年河北省中考数学试题赏析及反 思[J].中国数学教育，2014(21) @52-55.
2. 叶聪.高中数学教学应重视回归课本[J].文理 导航，2012(23):32.
"作者单位#浙江省杭州市余杭区良渚第一中学
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