2021年高三三轮模拟练习(一)数学理试题 含答案

2021年高三三轮模拟练习（一）数学理试题含答案
说明：
一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．
二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．
三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案．
四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合
题目要求的
（1）已知集合 ,则集合中元素的个数是
(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 9
（2）若复数满足,则在复平面内,的共轭复数对应的点的坐标是（A）（B） (C) (D)
（3）下列说法错误的是
（A）命题“若，则”的逆否命题是“若，则”
（B）若，则“”是“”的充要条件
（C）已知命题和，若为假命题，则命题与中必一真一假
（D）若命题，，则，
（4）公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，，则= （A）18 （B）24 （C）60 （D）
90
（5）执行如右图所示的程序框图，则输出的值为
（A）55
（B）30
（C）91
（D）100
（6）已知向量，，，，如果，那么
（A）且与同向（B）且与反向
（C）且与同向（D）且与反向
（7）若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为
（A）（B）（C）（D）
（8）某几何体的三视图如图1所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是
（A） 2
（B）
（C）
（D） 3
（9）若当时，函数取得最小值，则函数是
(Ａ)奇函数且图像关于点对称(Ｂ)偶函数且图像关于直线对称
(Ｃ)奇函数且图像关于直线对称 (Ｄ)偶函数且图像关于点对称
（10）函数为偶函数，且在单调递增，则的解集为
（A）（B）
（C）（D）
（11）已知双曲线的中心在原点O，双曲线两条渐近线与抛物线交于A，B 两点，且，则双曲线的离心率为
（A）（B）2 （C）（D）
（12）函数的定义域为实数集，，对于任意的都有，若在区间上函数恰有四个不同的零点，则实数的取值范围是
（A）（B）（C）（D）
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填写在题中横线上。

(13)的展开式中的常数项为____ _ ．
(14)若x、y满足条件，则的最大值为______ ．
(15)在正三棱锥A﹣BCD中，E，F分别是AB，BC的中点，EF⊥DE且，
若此正三
棱锥的四个顶点都在球O的面上，则球O的体积为 ____ ．
(16)数列的通项，其前项和为，则为_____________.
三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），
（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(17)（本题小题满分12分）
如图,在等腰直角三角形中,,,点在线段上．
（Ⅰ）若,求的长；
（Ⅱ）若点在线段上,且,问:当取何值时,的面积最小?并求出面积的最小值．
（18）（本小题满分12分）
已知正三棱柱中，，，点为的中点，点在线段上．
（Ⅰ）当时，求证；
（Ⅱ）是否存在点，使二面角等于，若存在求的长；若不存在，请说明理由．
（19）（本小题满分12分）
为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：.
（Ⅰ）求图中的值并根据频率分布
直方图估计这500名志愿者中年龄在岁
的人数；
（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按
年龄采用分层抽样的方法抽取20名参
加中心广场的宣传活动,再从这20名中
采用简单随机抽样方法选取3名志愿者
担任主要负责人，记这3名志愿者中“年
龄低于35岁”的人数为，求的分布列及数学期望．
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足 (为坐标原点)，当时，求实数的取值范围．
（21）（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）如果当且时，恒成立，求实数的范围．.
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答。

注意：只能做选定的题目。

如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡
上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。

（22）（本小题满分10 分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交
圆于两点，弦，相交于点为
上一点，且
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）若：求的长.
（23）（本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参
数方程
在极坐标系下，已知圆和直线
（Ⅰ）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系援求圆和直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）当时，求直线与圆公共点的一个极坐标。

（24）（本小题满分10 分）选修4-5：不等式选讲
设函数
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围。

请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答。

注意：只能做选定的题目。

如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。

（22）（本小题满分10 分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交
圆于两点，弦，相交于点为
上一点，且
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）若：求的长.
（23）（本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参
数方程
在极坐标系下，已知圆和直线
（Ⅰ）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系援求圆和直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）当时，求直线与圆公共点的一个极坐标。

（24）（本小题满分10 分）选修4-5：不等式选讲
设函数
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围。

河北正定中学三轮模拟练习理科数学试卷（一）答案
一、选择题：CDCBA ABCDC BD
二、填空题：13___3__.14___11___. 15________. 16___1840____.
三、解答题：
17.(1)在中,,,,
由余弦定理得,2222cos 45OM OP MP OP MP =+-⨯⨯⨯︒,
得,
解得或． ……………5分
(2)设,,
在中,由正弦定理,得,
所以,
同理…………7分
故 ………9分
=
=
=
因为,,所以当时,的最大值为,此时的面积取到最小值．即2时,的面积的最小值为．……12分
18.【解】(1)证明：连结DC1，因为ABC—A1B1C1为正三棱柱，所以△ABC为正三角形，
又因为D为AC的中点，所以BD⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1，
所以BD⊥DE.
，AD＝1，
因为AE∶EA1＝1∶2，AB＝2，AA1＝3，所以AE＝3
3
所以在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，在Rt△DCC1中，∠C1DC＝60°，
所以∠EDC1＝90°，即ED⊥DC1，
所以ED⊥平面BDC1，BC1⊂面BDC1，所以ED⊥BC1……5分
(2)假设存在点E满足条件，设AE＝h.
取A1C1的中点D1，连结DD1，则DD1⊥平面ABC，所以DD1⊥AD，DD1⊥BD，
分别以DA 、DB 、DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D —xyz ，则A (1,0,0)，B (0，3，0)，E (1,0，h )，……..7分
所以DB →＝(0，3，0)，DE →＝(1,0，h )，AB →＝(－1，3，0)，AE →＝(0,0，h )， 设平面DBE 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，
则⎩⎨⎧ n 1·DB →＝0，n 1·DE →
＝0， ⎩⎪⎨⎪⎧
3y 1＝0，x 1＋hz 1＝0， 令z 1＝1，得n 1＝(－h,0,1)，
同理，平面ABE 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，
则⎩⎨⎧ n 2·AB →＝0，n 2·AE →
＝0， ⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋3y 2＝0，hz 2＝0. ∴n 2＝(3，1,0)．………9分
∴cos 〈n 1，n 2〉＝|－3h |h 2＋1·2
＝cos 60°＝12. 解得h ＝22＜3， 故存在点E ，当AE ＝
22时，二面角D —BE —A 等于60°………12分
19.答案：
:(I)∵小矩形的面积等于频率,∴除外的频率和为0.70,
500名志愿者中,年龄在岁的人数为(人). ………3分
(II)用分层抽样的方法,从中选取20名,则其中年龄“低于35岁”的人有12名,
“年龄不低于35岁”的人有8名.故的可能取值为0,1,2,3, ,,,
, 0 1 2 3
……………10分 所
以
142844111719
0123285959557955
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯==. …………12分
20.[解析] (1)由题意知：e ＝c
a ＝
22
， ∴e 2
＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12
，∴a 2＝2b 2
.
又∵圆x 2＋y 2＝b 2
与直线x －y ＋2＝0相切， ∴b ＝1，∴a 2
＝2，
故所求椭圆C 的方程为x 2
2
＋y 2
＝1……….5分
(2)由题意知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的斜率为k ，则其方程为：y ＝k (x －2)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k x －2，x 2
2
＋y 2
＝1，消去y 得，(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2
－2＝0，
Δ＝64k 4－4(2k 2＋1)(8k 2－2)>0，∴k 2<1
2
…………7分
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )， ∴x 1＋x 2＝8k 2
1＋2k 2，x 1x 2＝8k 2
－2
1＋2k
2.
∵OA →＋OB →＝tOP →
，∴(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，x ＝x 1＋x 2t ＝8k
2
t 1＋2k 2
，
y ＝
y 1＋y 2t ＝1t [k (x 1＋x 2)－4k ]＝－4k
t 1＋2k 2
. ∵点P 在椭圆上，∴
8k
2
2
t 2
1＋2k
2
2
＋2
－4k
2t 2
1＋2k
2
2
＝2，
∴16k 2
＝t 2
(1＋2t 2
)．
∵|PA →－PB →
|<253，∴1＋k 2
|x 1－x 2|<253，
∴(1＋k 2
)[(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2]<209
， 即(1＋k 2
)[64k
4
1＋2k
2
2－4·8k 2
－21＋2k 2]<
20
9
， ∴(4k 2－1)(14k 2＋13)>0，解得：k 2>1
4
，………10分
∴1
4
<k2<
1
2
.
又16k2＝t2(1＋2k2)，∴t2＝16k2
1＋2k2＝8－
8
1＋2k2
，
∴8
3
<t2<4，∴－2<t<－
26
3
或
26
3
<t<2.
故实数t的取值范围是(－2，－26
3
)∪(
26
3
，2)．…………12分
21．
（1）定义域为
设
①当时，对称轴，，所以在上是增函数-----------------------------2分
②当时，，所以在上是增函数----------------------------------------4分
③当时，令得
令解得；令解得
所以的单调递增区间和；的单调递减区间
------------------------------------6分
（2）可化为（※）
设，由（1）知：
①当时，在上是增函数
若时，；所以
若时，。

所以
所以，当时，※式成立--------------------------------------10分②当时，在是减函数，所以※式不成立
综上，实数的取值范围是．----------------------------12分解法二：可化为
设
令
,
所以
在
由洛必达法则
所以
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
解：（I）证明：∵DE2=EF•EC，∠DEF
公用，
∴△DEF∽△CED，
∴∠EDF=∠C．
又∵弦CD∥AP，∴∠P=∠C，
∴∠EDF=∠P，∠DEF=∠PEA
∴△EDF∽△EPA．
∴，∴EA•ED=EF•EP．
又∵EA•ED=CE•EB，
∴CE•EB=EF•EP .-------------------------------------------------（5分）
（II）∵DE2=EF•EC，DE=3，EF=2．
∴32=2EC，∴．
∵CE：BE=3：2，∴BE=3．
由（I）可知：CE•EB=EF•EP，∴，解得EP=，
∴BP=EP﹣EB=．
∵PA是⊙O的切线，∴PA2=PB•PC，
∴，解得．----------------------------------（10分）23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解答：解：（Ⅰ）圆O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ2=ρcosθ+ρsinθ，
所以圆O的直角坐标方程为：x2+y2=x+y，即x2+y2﹣x﹣y=0．
直线，即ρsinθ﹣ρcosθ=，
也就是ρsinθ﹣ρcosθ=1．
则直线l的直角坐标方程为：y﹣x=1，即x﹣y+1=0．-----------------------（5分）
（Ⅱ）由，得．
故直线l与圆O公共点为（0，1），该点的一个极坐标为．---------------（10分）
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（Ⅰ）∵f（x）=|2x+1|﹣|x﹣3|=，
∵f（x）＞0，
∴①当x＜﹣时，﹣x﹣4＞0，
∴x＜﹣4；
②当﹣≤x≤3时，3x﹣2＞0，
∴＜x≤3；
③当x＞3时，x+4＞0，
∴x＞3．
综上所述，不等式f（x）＞0的解集为：（﹣∞，﹣4）∪（，+∞）-----------（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=，
∴当x≤﹣时，﹣x﹣4≥﹣；当﹣＜x＜3时，﹣＜3x﹣2＜7；
当x≥3时，x+4≥7，综上所述，f（x）≥﹣．
∵关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，∴a＜f（x）﹣3恒成立，
令g（x）=f（x）﹣3，则g（x）≥﹣．
∴g（x）min=﹣．∴a＜g（x）min=﹣----------------------------------------（10 分）
20249 4F19 伙21588 5454 呔33644 836C 荬27839 6CBF 沿40703 9EFF 黿38471 9647 陇24352 5F20 张38917 9805 項\
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