区与kr ≈l 的过渡区，库仑电场和感应电场不仅大小有差别，而且二者相位不尽相同，使此区域的电场呈现比较复杂的情况，这是需要进行认真分析的，也是本文的重点。
由（1）式可直接推导出振动性偶极子在在kr<<1的近区的电场为[4]：
3
003
02cos cos 4sin cos 40
r P E t r P E t r
E θϕθωπεθωπε=
=
= （2-2）
直接从式（2）出发进行分析很难看清楚，用图示的方法则可以非常清晰明了。而要作图，首先要导出辐射的电场线所应满足的方程。
2．2 振动性偶极子电场的电场线方程
由式(1)导出振动性偶极子电场的电场线方程[2]，根据此方程即画出电场线图。引入
01/22
01
[1]sin cos[arctan()]4()
P k C e t kr kr r kr ϕθωπε=+-+ [2] （2-3） 由式（1）可以验证E C =∇⨯
[2]，即有：
1(s i n )
s i n 1()0
r E C r E rC r r E θϕθθθ∂
=
∂∂
=-∂= （2-4） 在θϕϕ=（定值）的平面内，E 线满足的微分方程：
θ
θE E r r
r =d d （2-5） 将式（4）代入式（5），整理得
11()(sin )sin rC dr C d r r θθθθ∂∂
-
=∂∂ 即 (s i n )(s i n )0C r d r C r d r θθθθ
∂∂+=∂∂ [2] （2-6） 上式表明sin Cr θ的全微分为零，即sin Cr θ=恒量。将C 的表达式代入上式中，并将0
4P k
θπε并入
恒量，设为-K 。有
1
2221[1]sin cos[arctan()]0()
t kr kr K kr θω+-++=[2] 又由2T
π
ω=
得 1
22
2
1[1]s i n c o s [2a r c t a n ()]
0()
t kr kr K kr T
θπ+-+
+=
（2-7）
这就是振动性偶极子辐射的电场线所应满足的方程，当K 取不同的值时得到不同的辐射电场线。
3． 用MATLAB 制作振动性偶极子电场线的图像、动画并进行研究
3.1 对方程的处理
首先将（7）式写成直角坐标式[3。kr 写成
2
12
2
])()[(22λ
λπλ
π
z
x
r kr +==
而
2
2
sin z
x x r
x +=
=θ
将以上两式代入式（7）得到
λ
λz
x
,所满足的方程[3]：
1
11
22222222
22
2221[1]cos 22[()()]arctan(2[()()])0(2)[()()]
x t x z x z K x z x z T πππλλλλπλλ
⎧⎫+-++++=⎨⎬+⎩⎭+再作代换：
,
,
x
z
t
x y n T
λ
λ
⇒⇒⇒，得 1112
222222222222
1[cos 22()arctan[2()]0(2)()x n x y x y K x y x z ππππ⎧⎫+-++++=⎨⎬++⎩⎭
[3]（2-8） 现在就可以根据上式编写Matlab 程序进行作图以进行研究了。
3.2 K 值在振动性偶极子电场线方程中的含义
上文中提到，当K 取不同的值时得到不同的辐射电场线，为明了K 值的具体含义，作者简单利用ezplot 命令对（8）式作了图1。在图1中取 n=0，针对不同的K 值作电场线图像，并在图中将取相同K 值的电场线用同一种线条表示。
其中，K=0时作出的图为闭合圆环，但这些圆并非电场线[2]，本文的图中画出这些圆是为了将其作
3-1 n=0时不同K 值所代表的电场线
