第2课时线面平行与面面平行※考纲链接1.了解空间线面、面面平行的有关概念2.理解直线与平面、平面与平面的平行关系的性质与判定，并能进行简单运用.【课前自主探究】※教材回归◎基础重现：1．直线与平面平行的判定①定义法：证明直线与平面无公共点（反证法）.②判定定理：如果____________和平面内的一条直线平行，则直线和平面平行.③面面平行的性质：如果两个平面平行，那么一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面.2．直线与平面平行的性质：①定义：如果一条直线和一个平面平行，,则直线与平面无公共点②性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和_______平行．3．平面与平面平行的判定①定义法：证明两个平面没有公共点（反证法）.②判定定理：如果一个平面内的____________分别和另一个平面平行，那么这两个平面相互平行.③推论：如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面内的两条直线（相交）平行，那么这两个平面相互平行.④垂直于同一直线的两个平面相互平行.4．平面与平面平行的性质：①.定义：如果两个平面平行, 则两个平面没有公共点②.性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么____________．5．两个平行平面间的距离两个平行平面的_________的长度叫做两个平行平面间的距离．基础重现答案：1. 平面外的一条直线；2. 交线；3. 两条相交直线4. 所得的两条交线平行5. 公垂线段◎思维升华：1.线线、线面、面面平行的转换_________性质定理性质定理2．解答或证明线面、面面平行的有关问题，常常要作_____或辅助平面.思维升华答案：1. 面面平行性质定理 2.辅助线※基础自测1.下列命题中，正确命题的个数是 .①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点.答案：1解析：正确的命题仅是④ 2．下列说法正确的有____________①一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面互相平行； ②两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面互相平行； ③两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面互相平行； ④两个平面同时平行于某一个平面，则这两个平面互相平行； 答案：②④3．如果一个平面内的两条直线都平行于另一个平面，则这两个平面 位置关系为 ______ 答案：平行或相交4. (2010·宿迁模拟题)设,,x y z 是空间的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x z ⊥，且y z ⊥，则//x y ”为真命题的是 .（填所正确条件的代号） ①,,x y z 为直线； ②,,x y z 为平面；③,x y 为直线，z 为平面； ④x 为直线，,y z 为平面. 答案：③5.（2010·山东高考题改编）在空间，下列命题正确的有______个 ①.平行直线的平行投影重合②.平行于同一直线的两个平面平行 ③.垂直于同一平面的两个平面平行 ④.垂直于同一平面的两条直线平行答案：1.解析：由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出命题④是正确的.【课堂师生共探】※ 经典例题题型一 直线与平面平行的判定与性质例题1 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E=C 1F.求证：EF ∥平面ABCD.分析：要证EF ∥平面ABCD ，思路有两种：一是利用线面平行的判定定理，即在平面ABCD 内确定EF 的平行线；二是利用面面平行的性质定理，即过EF 作与平面ABCD 平行的平面.证明 方法一 分别过E ，F 作EM ⊥AB 于M ，FN ⊥BC 于N ，连接MN. ∵BB 1⊥平面ABCD ， ∴BB 1⊥AB ，BB 1⊥BC ， ∴EM ∥BB 1，FN ∥BB 1， ∴EM ∥FN.又∵B 1E=C 1F ，∴EM=FN ，故四边形MNFE 是平行四边形，∴EF ∥MN. 又MN ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ， 所以EF ∥平面ABCD.ABC DEP 方法二 过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ， 连接GF ，则BB GB A B E B 1111=， ∵B 1E=C 1F ，B 1A=C 1B ， ∴BB GB BC E C 1111=，∴FG ∥B 1C 1∥BC ， 又EG∩FG=G ，AB∩BC=B ，∴平面EFG ∥平面ABCD ，而EF ⊂平面EFG ， ∴EF ∥平面ABCD.点评：判断或证明线面平行的常见途径：①利用线面平行的定义（无公共点）；②线面平行的判定定理；③面面平行的性质定理变式训练：（2010·福建泉州一中模拟卷改编）右图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，EC //PD .求证：BE //平面PDA ； 证明：PDA EC PAD PD ,PD //EC 平面，平面⊄⊂Θ，PDA //EC 平面∴，同理可得BC//平面PDA ，C BC EC EBC BC EBC EC =⋂⊂⊂且平面，平面Θ PDA //EBC 平面平面∴又EBC BE 平面⊂Θ，PDA //EB 平面∴○题型二 平面与平面平行的判定与性质例题2 已知P 为△ABC 所在平面外一点，G 1、G 2、G 3分别是△PAB 、△PCB 、△PAC 的重心. （1）求证：平面G 1G 2G 3∥平面ABC ； （2）求S △321G G G ∶S △ABC .分析：要证明平面G 1G 2G 3∥平面ABC ，可以通过面面平行的判定定理，两条相交直线3221,G G G G ，都平行平面ABC.证明（1）如图所示，连接PG 1、PG 2、PG 3并延长分别与边AB 、BC 、AC 交于点D 、E 、F ，连接DE 、EF 、FD ，则有PG 1∶PD=2∶3， PG 2∶PE=2∶3，∴G 1G 2∥DE. 又G 1G 2不在平面ABC 内，∴G 1G 2∥平面ABC.同理G 2G 3∥平面ABC. 又因为G 1G 2∩G 2G 3=G 2， ∴平面G 1G 2G 3∥平面ABC. （2）解由（1）知PE PG PD PG 21==32，∴G 1G 2=32DE. 又DE=21AC ，∴G 1G 2=31AC. 同理G 2G 3=31AB ，G 1G 3=31BC. ∴△G 1G 2G 3∽△CAB ，其相似比为1∶3，∴S △321G G G ∶S △ABC =1∶9.点评：证明面面平行，一般可利用面面平行的判定定理，将面面平行转化为线面平行，进一步转化线线平行.值得 注意的是，不能直接通过FE G G FD G G //,//2121得出平面G 1G 2G 3与平面ABC .平行，而通过两条相交直线3221,G G G G 都和平面ABC 平行.变式训练：如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点,问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO ？解析： 当Q 为CC 1的中点时， 平面D 1BQ ∥平面PAO .∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，∴QB ∥PA . ∵P 、O 为DD 1、DB 的中点，∴D 1B ∥PO . 又PO ∩PA =P ，D 1B ∩QB =B ，D 1B ∥平面PAO ，QB ∥平面PAO ， ∴平面D 1BQ ∥平面PAO . 题型三 平行关系的综合应用例题3 如图所示，平面α∥平面β，点A ∈α，C ∈α，点B ∈β，D ∈β,点E ，F 分别在线段AB ，CD 上，且AE ∶EB=CF ∶FD. （1）求证：EF ∥β；（2）若E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC=4，BD=6，且AC ，BD 所成的角为60°，求EF 的长. 分析：（1）首先判断A 、B 、C 、D 未必共面，可以对其是否共面进行讨论.若这四点共面,可通过EF//BD 来证得EF ∥β，若这四点不共面，可过A 、C 、D 作辅助平面交β于DH,在AH 取一个合适点G ，进而通过平面EFG ∥平面β来证得EF ∥β.（2）求线段的长可以将其放到三角形中去解三角形. （1）证明 ①当AB ，CD 在同一平面内时， 由α∥β，平面α∩平面ABDC=AC ，平面β∩平面ABDC=BD ，∴AC ∥BD ， ∵AE ∶EB=CF ∶FD ，∴EF ∥BD ， 又EF ⊄β,BD ⊂β,∴EF ∥β.②当AB 与CD 异面时，设平面ACD ∩β=DH ，且DH=AC. ∵α∥β，α∩平面ACDH=AC ，∴AC ∥DH ，∴四边形ACDH 是平行四边形，在AH 上取一点G ，使AG ∶GH=CF ∶FD ， 又∵AE ∶EB=CF ∶FD ，∴GF ∥HD ，EG ∥BH ， 又EG ∩GF=G ，∴平面EFG ∥平面β.∵EF ⊂平面EFG ，∴EF ∥β.综上，EF ∥β.（2）解 如图所示，连接AD ，取AD 的中点M ，连接ME ，MF. ∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点， ∴ME ∥BD ，MF ∥AC ， 且ME=21BD=3，MF=21AC=2，∴∠EMF 为AC 与BD 所成的角（或其补角）， ∴∠EMF=60°或120°，∴在△EFM 中由余弦定理得， EF=EMF MF ME MF ME ∠••-+cos 222=212322322⨯⨯⨯±+=613±， 即EF=7或EF=19.点评：线线、线面、面面平行之间常常需要直接或间接转化，不少问题还需要我们多次转化，才能实现；立体几何中问题的解决还需要平面几何知识的运用，事实上复杂的立体几何问题最终是在一个或几个平面中得以解决的.变式训练：如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是BC 、CC 1、C 1D 1、A 1A 的中点.求证：（1）BF ∥HD 1； （2）EG ∥平面BB 1D 1D ； （3）平面BDF ∥平面B 1D 1H.解析： （1）如图所示，取BB 1的中点M ，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形，∴HD 1∥MC 1. 又∵MC 1∥BF ，∴BF ∥HD 1.（2）取BD 的中点O ，连接EO ，D 1O ， 则OE 21DC ，又D 1G21DC ，∴OE D 1G ，∴四边形OEGD 1是平行四边形，∴GE ∥D 1O. 又D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，∴EG ∥平面BB 1D 1D.（3）由（1）知D 1H ∥BF ，又BD ∥B 1D 1，B 1D 1、HD 1⊂平面HB 1D 1，BF 、BD ⊂平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1=D 1，DB ∩BF=B ，∴平面BDF ∥平面B 1D 1H.※高考新题零距离（2010·陕西文高考题） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形PA ⊥平面ABCD ，AP =AB ，BP =BC =2，E ，F 分别是PB ,PC 的中点. (1)证明：EF ∥平面P AD ； (2)求三棱锥E —ABC 的体积V. 证明：(1)在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC . 又BC ∥AD ,∴EF ∥AD , 又∵AD ⊄平面P AD ,E F ⊄平面P AD , ∴EF ∥平面P AD . (2)连接AE ,AC,EC ,过E 作EG ∥P A 交AB 于点G ,则BG ⊥平面ABCD ,且EG =12P A . 在△P AB 中，AD =AB ,∠P AB °,BP =2,∴AP =AB =2,EG =22.∴S △ABC =12AB ·BC =12×2×2=2, ∴V E-AB C =13S △ABC ·EG =13×2×22=13.※典型错误警示1.线面平行关系判定时,对两直线平行比较关注,但对两条直线分别在平面外、平面内的要求比较容易忽视,如：例1证明 EF ∥平面ABCD .容易遗漏⊄EF 平面ABCD 和⊆MN 平面ABCD；2.在证明面面平行，容易直接运用一个平面两条相交直线平行于另一个平面内两条相交直线而得到结论，而不是通过线线平行过渡到线面平行再到面面平行.如例2中直接运用QB ∥PA， D1B∥PO⇒平面PAO//平面QBD1.◎典型错题反思反思是自觉地对数学认知活动进行分析、总结、评价和调控的过程，是一种自我挑战、自我完善和自我超越，是优化解法、深化思维的有效手段，是高效的学习方法、最佳的纠错手段，是走出“题海”的最有效途径.请整理出本课时的典型错误，找出错因，并从审题、知识、方法和策略的层面进行反思！我的错题：错因：反思：※学以致用第2课时线面平行与面面平行[基础级]1．以下命题正确的有_________________①．两个平面可以只有一个交点②．一条直线与一个平面最多有一个公共点③．两个平面有一个公共点，它们可能相交④．两个平面有三个公共点，它们一定重合答案：③.解析：两个平面有一个交点，则有经过该点的一条直线，所以①错误；直线在平面内，则直线与平面有无数个公共点，所以②错误；若两个平面有三个共线的点，则两个平面未必重合.所以④错误.2．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么α与β位置关系为_______答案：α∥β或α与β相交.解析：若这无数条直线平行，则α∥β或α与β相交；若这无数条直线有两条相交，则α∥β.3．平面α∥平面β，AB、CD是夹在α和β间的两条线段，E、F分别为AB、CD的中点，则EF与α的位置关系是________答案：平行解析：连BC，作BC的中点M，可证明面MEF//α.从而EF//α..4.下列命题，其中真命题的个数为 .①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b,直线b⊂α,则a∥α；④若直线a∥b,b⊂α,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.答案1解析①、②、③错，④对.5.写出平面α∥平面β的一个充分条件（写出一个你认为正确的即可）.答案存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α.解析：面面平行的判定.6.对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α，β都平行于γ；③存在直线l⊂α,直线m⊂β,使得l∥m；④存在异面直线l 、m ，使得l ∥α,l ∥β,m ∥α,m ∥β.其中，可以判定α与β平行的条件有 （写出符合题意的序号）.答案 ②④解析 由线面位置关系不难知道②④正确.7.已知平面α⊥平面β,α∩β=l ,点A ∈α,A ∉l ,直线AB ∥l ,直线AC ⊥l ,直线m ∥α,m ∥β,则下列四种位置关系中,一定成立的是 .①AB ∥m ②AC ⊥m ③AB ∥β ④AC ⊥β 答案 ①②③解析 ∵m ∥α，m ∥β，α∩β=l ，∴m ∥l .∵AB ∥l ，∴AB ∥m .故①一定正确.∵AC ⊥l ，m ∥l ，∴AC ⊥m .从而②一定正确. ∵A ∈α，AB ∥l ，l ⊂α，∴B ∈α.∴AB ⊄β，l ⊂β.∴AB ∥β.故③也正确.∵AC ⊥l ，当点C 在平面α内时，AC ⊥β成立，当点C 不在平面α内时，AC ⊥β不成立.故④不一定成立.8.设有直线m 、n 和平面α、β.下列命题不正确的是 （填序号）.①若m ∥α,n ∥α,则m ∥n②若m ⊂α，n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥β ③若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β ④若α⊥β,m ⊥β,m ⊄α,则m ∥α答案 ①②③解析 若α∥β，m ⊂β，n ⊂β，可知m ∥α,n ∥α,但m 与n 可以相交，所以①不对；若m ∥n ，即使有m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β, α与β也可以相交，所以②不对；若α⊥β，α中仍有不与β垂直的直线，例如α与β的交线，故③不对；若α⊥β，则在α中可作与β垂直的直线n ,又m ⊥β，则m ∥n ，又m ⊄α，所以m ∥α，故④正确. [升华级]9．求证： 两个相交平面分别过两条平行直线, 则它们的交线和这两条平行直线平行. 解析：如图, a ⊄β，∵ a//b , b ⊂β，∴ a//β又∵a ⊂α, α∩β= l , ∴ a// l ,又 a//b ，∴ a//b// l .10．（2010·姜堰中学月考）如图四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ， Q 为PA 的中点. 求证：PC ∥平面QBD ； 解析：设 ⋂AC BD=0,连OQ . ⑴ ∵ABCD 为菱形， ∴ O 为AC 中点，又Q 为PA 中点. ∴OQ ∥PC . 又⊄PC 平面QBD , ⊂OQ 平面QBD ∴PC ∥平面QBD11．（2010·江苏省届百校联考改编）在在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，E 为OA 的中点，F 为BC 的中点，求证：EF//平面OCD 证明：取OD 中点M ，连接EM,CM ,则1,2ME AD ME AD =‖， ∵ABCD 是菱形，∴//,AD BC AD BC =，BACD P Q O∵F 为BC 的中点，∴1,2CF AD CF AD =‖， ∴,ME CF ME CF =‖．∴四边形EFCM 是平行四边形，∴//EF CM ，,//EF OCD CM OCD EF OCD⊄⊂∴Q 平面平面平面我的错题：错因：反思：第三课时 线面垂直与面面垂直※考纲链接1.了解线面垂直的概念，能正确判断空间线面、面面垂直的位置关系；2.能运用线面、面面垂直的判定和性质来证明线面、面面垂直，能求简单的线面角和二面角和点面距离.【课前自主探究】※ 教材回归 ◎基础重现1.直线与平面垂直判定（1）定义：若一条直线和一个平面内的_______垂直，则这条直线和这个平面垂直. （2）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.（3）判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.2.直线与平面垂直的性质：（1）一条直线和一个平面垂直,那么该直线与平面内所有直线垂直. （2）性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线______. 3.平面与平面垂直的判定（1）定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直. （2）如果一个平面经过另一个平面的_________，那么这两个平面互相垂直. （3）一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个. 4.平面与平面垂直的性质：（1）两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.（2）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，________.DABCFE OM（3）如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面. 5.二面角及二面角的平面角(1)半平面： 一条直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面. (2)二面角 ： __________________________叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成. 6.空间的几种距离点到平面的距离：面外一点引一个平面的垂线，这个点和___________间的距离叫做这个点到这个平面的距离.直线和平面的距离：定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.平行平面的距离：个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.基础重现答案：1. 任何一条直线2. 平行3. 一条垂线4. 在第一个平面内5. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形6.垂足 ◎思维升华：1．三种垂直关系的相互转化2．求点面距离、线面距离、平行平面距离常用的方法： （1)直接利用定义求;（2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离;（3)等体积法.其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②__________________________；③由V=sh 31求出h 即为所求. 线面距、平行平面距离：转化为点线(面)距离，通过解三角形或体积法求解之.思维升华答案：1.线面垂直2.求出此三棱锥的体积V 和所取三点构成三角形的面积S ； ※ 基础自测1.给出下列四个命题：①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线； ④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线. 其中正确的命题共有 个.答案 2.解析 与线面垂直的定义及判定定理相对照，②、③为真，①中两线可能不相交，④中两线不相交，故不正确.判定判定 性质性质2.(2010·无锡模拟)已知直线m、n和平面α、β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则n与平面α的关系为 .答案n ∥α,或n⊂α.解析∵n与β的位置关系各种可能性都有.当n⊄α时，作n′∥n,且n′∩m=O,则n′与m确定平面γ,设α∩γ= l,则有m⊥l,又m⊥n′,所以l∥n′,∴l∥n,∴n∥α；当n⊂α时，显然成立.3.(2010年南京市高三情况调查卷)下列命题中，真．命题．．是________①.如果一条直线与一个平面垂直,则这条直线与这个平面内的任意一条直线垂直②.如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行③.如果一条直线垂直于平面的两直线，则垂直于这个平面④.如果两平面垂直，则一平面的直线垂直于另一个平面答案：①②4.如图，BC是Rｔ△ABC的斜边，AP⊥平面ABC，连结PB、PC，则图中共有直角三角形个.答案：45.如图，AB是圆O的直径，C是异于A、B的圆周上的任意一点，P A垂直于圆O所在的平面，则BC和PC所成角为答案：2π【课堂师生共探】※经典例题题型一直线与平面垂直的判定与性质例1．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC 的中点. （1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=45°.求证：MN⊥平面PCD. 分析：要证明MN⊥平面PCD，只要证明MN与平面PCD内两条相交直线垂直.证明（1）连接AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N为PC中点，∴AN=21PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，∴BN=21PC.∴AN=BN，∴△ABN为等腰三角形，又M为底边的中点，∴MN⊥AB，又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.PABCPABCO（2）连接PM 、CM ,∵∠PDA =45°，PA ⊥AD ，∴AP =AD .∵四边形ABCD 为矩形. ∴AD =BC ，∴PA =BC .又∵M 为AB 的中点，∴AM =BM . 而∠PAM =∠CBM =90°,∴PM =CM . 又N 为PC 的中点，∴MN ⊥PC . 由（1）知，MN ⊥CD ，PC ∩CD =C , ∴MN ⊥平面PCD .点评：在线线垂直和线面垂直的相互转化中, 平面在其中起着至关重要的作用, 应考虑线与线、线与面所在的平面特征, 以顺利实现证明需要的转化.变式训练：如图, AB 为⊙O 的直径, C 为⊙O 上的一点, AD ⊥面ABC , AE ⊥BD 于E , AF ⊥CD 于F.求证： BD ⊥面AEF.解析： ∵ AB 为⊙O 直径, C 为⊙O 上一点，∴ BC ⊥AC.BC ACAF DC DA ABC BC DAC DA BC BC AF BC ABC AF DAC AC DA A BC DC C ⊥⊥⎫⎫⊥⊥⎫⎫⎪⎪⇒⊥⇒⇒⊥⎬⎬⎬⎬⊂⊂⎭⎭⎪⎪==⎭⎭I I 平面平面面面BD AEAF DCB AF BDBD AEF DB DCB AE AF A ⊥⎫⊥⎫⎪⇒⇒⊥⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪=⎭I 平面平面平面. 题型二 平面与平面垂直的判定与性质例2 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是∠DAB=60°且边长为a 的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD ，若G 为AD 边的中点， （1）求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD ⊥PB ；（3）若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使平面DEF ⊥平面ABCD ，并证明你的结论.分析：要证明BG ⊥平面PAD ，可通过平面PAD ⊥平面ABCD 来证明；要探求在PC 上是否存在点F ，使得平面DEF ⊥平面ABCD ，只需平面探求PC 上是否存在点F ，使得平面DEF ∥平面PGB.（1）证明 在菱形ABCD 中，∠DAB=60°，G 为AD 的中点，所以BG ⊥AD ， 又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ， 所以BG ⊥平面PAD.（2）证明 连接PG ，因为△PAD 为正三角形， G 为AD 的中点，得PG ⊥AD ，由（1）知BG ⊥AD ， PG ⊂平面PGB ，BG ⊂平面PGB ，PG ∩BG=G ，所以AD ⊥平面PGB ，因为PB ⊂平面PGB ， 所以AD ⊥PB.（3）解 当F 为PC 的中点时，满足平面DEF ⊥平面ABCD.证明如下：取PC 的中点F ，连接DE 、EF 、DF ，在△PBC 中，FE ∥PB ，在菱形ABCD 中，GB ∥DE ，而FE ⊂平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， EF ∩DE=E ，所以平面DEF ∥平面PGB ，因为BG ⊥平面PAD ，所以BG ⊥PG 又因为PG ⊥AD ，AD ∩BG=G ，∴PG ⊥平面ABCD ，而PG ⊂平面PGB ， 所以平面PGB ⊥平面ABCD ，所以平面DEF ⊥平面ABCD.点评：（1）线面垂直可以通过转化为线线垂直来证明；（2）探求符合要求的点，可通过先构造垂直的特殊位置上的点或线，然后验证其是否符合条件，如果符合要求，则反过来直行证明.变式训练：（2010·江宁区模拟）如图所示，在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中， DB=BC ，DB ⊥AC ，点M 是棱BB 1上一点.（1）求证：B 1D 1//平面A 1BD ； （2）求证：MD ⊥AC（3） 试确定点M 的位置，使得平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D 解析：（1）∴B 1D 1//BD而BD ⊂平面A 1BD ，BD ⊄平面A 1BD ， ∴B 1D 1//平面A 1BD.（2）AC ⊥平面B 1BD 而MD ⊂平面B 1BD ， ∴MD ⊥AC.（3）当点M 为棱BB 1的中点时， 可使得平面DMC 1//平面CC 1D 1D取DC 的中点N ，D 1C 1的中点N 1，连结NN 1交DC 1于O ，连结OM. ∵N 是DC 的中点，BD=BC ∴BN ⊥DC又∵平面ABCD ∩平面DCC 1D 1=DC,平面ABCD ⊥平面DCC 1D 1， ∴BN ⊥平面DCC 1D 1. 又可知O 是NN 1的中点，∴BM//ON 且BM=ON ，即BMON 是平行四边形， ∴BN//OM∴OM ⊥平面CC 1D 1D 又∵OM ⊂平面DMC 1，∴平面DNC 1⊥平面CC 1D 1D. 题型三 线面角的求法例3 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，ABCD A 1B 1C 1D 1M NN 1O∠BAD =90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA =AD =AB =2BC ，M 、N 分别为PC 、PB 的中点. （1）求证：PB ⊥DM ；（2）求BD 与平面ADMN 所成的角.分析：线面角关键是找出直线BD 在平面ADMN 内的射影，即只要找出过直线BD 上某一点且和平面ADMN 垂直的垂线问题便迎刃而解！ 解析：（1）∵N 是PB 的中点，PA =PB ， ∴AN ⊥PB .∵∠BAD =90°，∴AD ⊥AB . ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD .∵PA ∩AB =A ，∴AD ⊥平面PAB ，∴AD ⊥PB . 又∵AD ∩AN =A ，∴PB ⊥平面ADMN . ∵DM ⊂平面ADMN ，∴PB ⊥DM .（2）连接DN ，∵PB ⊥平面ADMN ，BD 在平面ADMN 上的射影为ND ， ∴∠BDN 是BD 与平面ADMN 所成的角，在Rt △BDN 中，sin ∠BDN =BD BN =ABAB2221•=21， ∴∠BDN =30°,即BD 与平面ADMN 所成的角为30°.点评：作出直线和平面所成角的关键是作垂线，找射影．变式训练：△ABC 和△DBC 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ，∠ABC ＝∠DBC ＝120°．求AD 与平面DBC 所成的角； 解析：作AE ⊥BC 交BC 的延长线于E ，由面ABC ⊥面BCD 知AE ⊥平面BCD ，∠ADE 即为所求，在△ABE 中，∵∠ABC=120°∴∠ABE=60°，AE=AB 23，同理在△BDE 中， DE=DB 23,则AE=DE ，则∠ADE ＝45°,即AD 与平面DBC 所成的角为45°. 题型四 点到平面的距离例5 （2010·江苏高考题）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900. (1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离.分析：一方面可以通过AB ∥DC 且AB=2DC ，将点A 到平面PBC 的距离转化为D 到平面PBC 的距离的2倍.过D 作PC 的垂线便可以解决；另一方面也可以运用等体积法A PBC P ABC V V --=，将距离转化为平面PBC 上的高.（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC. 由∠BCD=900，得CD ⊥BC ， 又PD I DC=D ，PD 、DC ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD.因为PC ⊂平面PCD ，故PC ⊥BC.A BD C E（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ， 连DE 、DF ，则：易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ， 点D 、E 到平面PBC 的距离相等.又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍. 由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ， 因为PD=DC ，PF=FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F. 易知DF=22，故点A 到平面PBC 2. （方法二）体积法：连结AC.设点A 到平面PBC 的距离为h. 因为AB ∥DC ，∠BCD=900，所以∠ABC=900. 从而AB=2，BC=1，得ABC ∆的面积1ABC S ∆=.由PD ⊥平面ABCD 及PD=1，得三棱锥P-ABC 的体积1133ABC V S PD ∆=⋅=. 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥DC. 又PD=DC=1，所以222PC PD DC =+=由PC ⊥BC ，BC=1，得PBC ∆的面积22PBC S ∆=. 由A PBC P ABC V V --=，1133PBC S h V ⋅==V ，得2h = 故点A 到平面PBC 2点评：求点到平面的距离的方法：⑴ 确定点在平面射影的位置，要注意利用面面垂直求作线面垂直及某些特殊性质．⑵ 转化法．即化归为相关点到平面的距离或转化为线面距或转化为面面距来求.(3) 等体积法：利用三棱锥的体积公式，建立体积相等关系求出某底上的高，即点面距.※高考新题零距离（2010·山东高考题）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，⊥MA 平面ABCD ，PD ∥MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且AD ＝PD ＝2MA. （1）求证：平面EFG ⊥平面PDC ；（2）求三棱锥P —MAB 与四棱锥P —ABCD 的体积之比. 解析：(1)由已知⊥MA 平面ABCD ，PD ∥MA ，所以⊥PD 平面ABCD ，又⊂BC 平面ABCD ，所以BC PD ⊥因为四边形ABCD 为正方形,所以DC BC ⊥ 又D DC PD =I ,因此，⊥BC 平面PDC 在PBC ∆中，因为G 、F 分别为PB 、PC 的中点， 所以GF ∥BC ， 因此⊥GF 平面PDC 又⊂GF 平面EFG 所以平面EFG ⊥平面PDC（2）因为⊥PD 平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，不妨设MA ＝1,则PD ＝AD ＝2 所以3831=⨯=-PD S V ABCD ABCD P 正方形 由于⊥DA 面MAB ，且PD ∥MA ， 所以DA 即为点P 到平面MAB 的距离， 三棱锥322212131＝⨯⨯⨯⨯=-MAB P V ， 所以MAB P V -：ABCD P V -＝1：4.※典型错误警示1．证明线面垂直时，容易忽视直线垂直与平面内两条直线相交的条件.如遗漏条件PC ∩CD =C ,2．找线面角时不知道找线在平面内的射影，关键是不知道找出平面的垂线.在求线面角时,需要作、证、算三个步骤，同学们在解题过程中容易忽视“证”这个过程.如例3的第2问的解答中，遗漏“PB ⊥平面ADMN ，BD 在平面ADMN 上的射影为ND ”这个环节.◎典型错题反思反思是自觉地对数学认知活动进行分析、总结、评价和调控的过程，是一种自我挑战、自我完善和自我超越，是优化解法、深化思维的有效手段，是高效的学习方法、最佳的纠错手段，是走出“题海”的最有效途径. 请整理出本课时的典型错误，找出错因，并从审题、知识、方法和策略的层面进行反思！ 我的错题：错因：反思：※学以致用第三课时 线面垂直与面面垂直[基础级]1．已知a ⊥平面α, b ⊂α, 则a 与b 的位置关系是答案：a ⊥b.解析：直线垂直于平面,则该直线垂直于平面内所有直线. 2.直线a 与平面α斜交，则在平面α内与直线a 垂直的直线有 条.答案：无数条解析：直线a 与平面α斜交，设斜足为Ａ，则过Ａ必可作一条直线l 与直线a 垂直，从而α内与l 平行的直线都与a 垂直.3.(2010·江苏扬州模拟卷) 给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的___________条件答案：必要非充分.解析：直线l 与平面α内平行线垂直时，直线l 与平面α未必垂直. 4..已知a 、b 是两条不重合的直线, α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若a ⊥α,a ⊥β,则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③α∥β,a ⊂α,b ⊂β,则a ∥b ；④若α∥β，α∩γ=a , β∩γ=b ，则a ∥b .其中正确命题的序号是 .答案 ①④解析 根据线面、面面平行与垂直的判定与性质可知①④正确.5.(2010年广州市高三模拟)已知p ：直线a 与平面α内无数条直线垂直，q ：直线a 与平面α垂直．则p 是q 的___________条件 答案： 必要不充分解析： 当直线a 与平面α内无数条平行直线垂直, 则直线a 与平面α未必垂直,但直线a 与平面α垂直,则直线a 与平面α内所有直线垂直．6.(2010·南通模拟卷) 已知直线l ，m ，n ，平面α，m α⊂，n α⊂，则“l α⊥”是“,l m l n ⊥⊥且”的 条件.（填“充分不必要”、 “必要不充分”、 “充要”、 “既不充分也不必要”之一）答案：充分不必要.解析： 通过,l m l n ⊥⊥且来证明l α⊥,必须要具备m ，n 是平面α的两条相交直线.7．（2010·江苏宿迁模拟）设βα,为两个不重合的平面，n m ,是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊂m ，α⊂n ，ββ⊥⊥n m ,，则βα⊥； ②若,,βα⊂⊂m n βα与相交且不垂直，则m n 与不垂直； ③若n m m ⊥=⊥,,βαβαI ，则n ⊥β；④若βαα//,,//⊥n n m ，则β⊥m ．其中所有真命题的序号是 ． 答案：④解析：αα⊥⇒⊥m n n m ,//，又βα//，则β⊥m .8．P 是△ABC 所在平面外一点，O 是P 点在平面α上的射影,若PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则O 是△ABC 的 心.答案：垂心. 解析：因为PA 、PB 、PC 两两互相垂直，所以PA ⊥平面PBC ，所以PA ⊥BC ，又因为OA 是PA 在面ABC 内的射影，且BC 在面ABC 内，所以OA ⊥BC ，同理可得，OB ⊥AC ，OC ⊥AB ，所以O 是△ABC 的垂心. [升华级]。
