统计信号处理第六章

+
−
由于因果系统的极点只能出现在的左半平面
g (t ) = s (t + α )
p.
us
. tc
αs 1 ⎡ S sx ( s ) e ⎤ H (s) = + ⎢ ⎥ S x ( s ) ⎣ S x− ( s ) ⎦
+
u ed
n .c
2.预白化法
基本思想：先将输入信号进行预白化处理，然后让得到的白化信号通 过其对应的维纳滤波器。
u ed
e (t )
− + +
g (t ) = f ( s (t + α ))
n .c
6.2 连续信号的维纳滤波
基本思想：寻找线性滤波器的最佳冲激响应或传输函数，使滤波 器的输出波形作为输入信号波形的最佳估计，即使波形估计的均 方误差达到最小。 本节内容： 6.2.1. 广义平稳随机信号的维纳滤波原理 6.2.2. 物理不可实现维纳滤波器的解 6.2.3. 物理可实现维纳滤波器的解 6.2.4. 最小均方误差 6.2.5. 非平稳随机信号的维纳滤波
−∞
⎡ S s (ω) S n (ω) ⎤ ∫−∞ ⎢ Ss (ω) + Sn (ω) ⎥ dω ⎣ ⎦
p.
us
. tc
u ed
n .c
6.2.3 物理不可实现维纳滤波器的解
因果广义平稳维纳-霍甫积分方程：
Rgx (η ) = ∫ h ( λ ) Rx (η − λ ) d λ
0
∞
Rgx (η ) = ∫ h ( λ ) R滤波器的解
s (t ) 和 n (t )
互不相关
滤波器的幅频响应为 H ( jω) =
ht
:/ tp
H ( jω) =
Rgx (η ) = ∫ h ( λ ) Rx (η − λ ) d λ , − ∞ < η < ∞
−∞
∞
S gx (ω) = H ( jω ) S x (ω)
t0 t0 + α
t
t0
t
波形估计目的：选取线性滤波器的冲激响应函数或传输函数，使 估计的均方误差达到最小。
g ( t )用统一代表三类波形，其估计 y ( t ) = g ˆ (t )。
x (t ) = s (t ) + n (t )
g (t ) = f ( s (t ))
x (t ) = s (t ) + n (t )
S gx (ω) S x (ω)
S s (ω) e jωα H ( jω) = S s (ω) + Sn (ω)
ss /i
FFT
p.
S gx (ω) = S s (ω) e jωα
S s (ω) S n (ω) + 1
us
g (t ) = s (t + α )
S s (ω) S n (ω)
. tc
-------（6.1）
−∞ 0 αs ⎤ =⎡ S s e ( ) ⎣ sz ⎦
维纳滤波器就由白化滤波器和白信号对应的维纳滤波器组成，即： 1 αs + ⎡ H ( s ) = HW ( s ) H ′ ( s ) = + S sz ( s ) e ⎤ ⎣ ⎦ Sx ( s )
最小均方误差为： E e ( t )
2
维纳滤波器的最小均方误差（物理不可实现，可实现)可以统一为：
4.若在 jω 轴上存在零点，此零点必为 偶重根
ht :/ tp ss /i p. us . tc
零极点分布示意图
jω
u ed n .c
S gx ( s ) + B ( s ) = H ( s ) S x ( s )
B (s) + H (s) S (s) = − S x ( s ) S x− ( s )
平滑：估计信号 s ( t0 + α ) α < 0
ht
:/ tp
ss /i
x (t ) = s (t ) + n (t )
p. us
s ( t0 )
t0
t
. tc
s ( t0 + α ) , α > 0
t0
t
s ( t0 + α ) , α < 0
滤波、预测、平滑的关系
u ed n .c
t0 + α
ht
E {e ( t )}
2
:/ tp
{
min
ss /i
}
min
+
= Rs ( 0 ) − ∫ h (τ ) Rsx (α + τ ) dτ
−∞
p.
∞
= Rs ( 0 ) − ∫ h (τ ) Rsx (α + τ ) dτ
0
us
. tc
∞
u ed
n .c
例6.2：考虑输入信号 x ( t ) 为高斯—马尔可夫信号s ( t ) 和噪声 n ( t ) 的叠加，假定信号和噪声统计独立，其功率谱分别为S s (ω) = 3 2 1 +ω 和 Sn (ω) = 1 。 求： α 分别取0，+1和-1时物理可实现维纳滤波器的冲激响应及最 小均方误差 。
ht
:/ tp
y ( t ) = ∫ h ( t −τ ) x (τ ) dτ
−∞
ˆ (t ) = g (t ) − y (t ) e (t ) = g (t ) − g
E {e 2 ( t )} = E ⎡ ⎣ g ( t ) − y ( t )⎤ ⎦
ss /i
∞
p.
{
us
. tc
u ed
2
n .c
ss /i
p. us . tc u ed n .c
6.1波形估计的分类
x ( t ) = s ( t ) + n ( t ) 为系统的输入，s ( t ) 是我们所要估计的信号波 形，其估计波形记为 s ˆ ( t ) ，假设当前时刻为 t0
滤波：估计信号 s ( t0 )
预测：估计信号 s ( t0 + α ) α > 0
求： α 分别取0，+1和-1时物理不可实现维纳滤波器的冲激响应 及最小均方误差。
ht
E {e ( t )} min = Rs ( 0 ) − ∫ h ( λ ) Rsx (α + λ ) d λ
2 ∞
1 E {e ( t )} min = 2π
2
:/ tp
ss /i
∞
−∞ ∞
= Rs ( 0 ) − ∫ h ( λ ) Rs (α + λ ) d λ
并将其与（6.5）式相加，得：
Rgx (η ) + b (η ) = ∫ h ( λ ) Rx (η − λ ) d λ − ∞ < η < ∞
两边分别作双边拉氏变换，得：
S gx ( s ) + B ( s ) = H ( s ) S x ( s )
当 λ < 0 时有 h ( λ ) ≡ 0 ，因此 H ( s ) 的极点只存在于 s 的左半平面内
比较例6.1和例6.2，可以看到不论 α 如何取值，后者（物理可实 现滤波器）的均方误差总是大于前者（物理不可实现滤波器）的， 这是由于对后者所加的约束条件多于前者。
ht :/ tp ss /i p. us . tc u ed n .c
+ x
1 ⎡ S gx ( s ) ⎤ H (s) = + ⎢ ⎥ S x ( s ) ⎣ S x− ( s ) ⎦
ht
:/ tp
S gx ( s )
S x ( s ) = S x+ ( s ) S x− ( s )
ss /i
+
S gx ( s )
⎡ S gx ( s ) ⎤ ⎡ S gx ( s ) ⎤ =⎢ − ⎥ +⎢ − ⎥ − Sx ( s ) ⎣ Sx ( s ) ⎦ ⎣ Sx ( s ) ⎦
′ ) = ∫ h ( t −τ ′ ) dτ Rgx ( t −τ ) Rx (τ−τ
∞
Rgx (η ) = ∫ h ( λ ) Rx (η − λ ) d λ , − ∞ < η < ∞ 非因果广义平稳随机过程 −∞ 的维纳－霍甫积分方程
p.
′ ) = E { g ( t ) x (τ ′ )} Rgx ( t −τ ′ ) = E { x (τ ′ )} Rx (τ−τ ) x (τ
ht
:/ tp
ss /i
p.
us
. tc u ed n .c
6.2.1 广义平稳随机信号的维纳滤波原理
信号和噪声均为零均值的广义平稳随机过程且互不相关，则观测 信号 x ( t ) = s ( t ) + n ( t ) 也是零均值广义平稳随机过程，且和 g ( t )联 合广义平稳
线性滤波器的冲激响应为 h ( t ) ，那么滤波器输出信号 y ( t )
x (t )
HW ( s )
由第3章所述白化滤波器的知识可知，其白化滤波器HW ( s )为： 1 HW ( s ) = + Sx ( s ) 考虑白输入的维纳滤波器，假设输入白信号为z ( t ) ，其对应维纳滤波 器传输函数为 H ′ ( s ) 。 输入白信号的自相关函数为 Rz (τ ) = δ (τ ) ， 这里假定其谱高为1， 代入因果广义平稳随机过程维纳－霍甫积分方程可得：
−∞
维纳—霍甫方程的求解方法有两种： 1. 频谱因式分解法 2. 预白化法
ht
∞
:/ tp
0 ≤η < ∞
ss /i
λ < 0 时 h(λ ) ≡ 0