4.若在 jω 轴上存在零点,此零点必为 偶重根 ht :/ tp ss /i p. us . tc 零极点分布示意图 jω u ed n .c S gx ( s ) + B ( s ) = H ( s ) S x ( s ) B (s) + H (s) S (s) = − S x ( s ) S x− ( s ) 频域上估计均方误差公式: E {e 2 ( t )} min = 1 2π ht :/ tp 1 = 2π ss /i ∫ ∞ −∞ ∞ ⎡ ⎣ S g (ω) − H ( jω) S xg (ω) ⎤ ⎦ dω ⎡ ⎤ S gx (ω) ∫−∞ ⎢ S g (ω) − S x (ω) S xg (ω)⎥ dω ⎣ ⎦ −∞ 维纳—霍甫方程的求解方法有两种: 1. 频谱因式分解法 2. 预白化法 ht ∞ :/ tp 0 ≤η < ∞ ss /i λ < 0 时 h(λ ) ≡ 0 p. 0 ≤η < ∞ --------------(6.2) us . tc u ed n .c 1. 频谱因式分解法 η ≥0 η <0 ⎧0 引入一个新函数:b (η ) = ⎨ ⎩形式不作具体规定 t0 t0 + α t t0 t 波形估计目的:选取线性滤波器的冲激响应函数或传输函数,使 估计的均方误差达到最小。 g ( t )用统一代表三类波形,其估计 y ( t ) = g ˆ (t )。 x (t ) = s (t ) + n (t ) g (t ) = f ( s (t )) x (t ) = s (t ) + n (t ) u ed e (t ) − + + g (t ) = f ( s (t + α )) n .c 6.2 连续信号的维纳滤波 基本思想:寻找线性滤波器的最佳冲激响应或传输函数,使滤波 器的输出波形作为输入信号波形的最佳估计,即使波形估计的均 方误差达到最小。 本节内容: 6.2.1. 广义平稳随机信号的维纳滤波原理 6.2.2. 物理不可实现维纳滤波器的解 6.2.3. 物理可实现维纳滤波器的解 6.2.4. 最小均方误差 6.2.5. 非平稳随机信号的维纳滤波 } 最小均方误差估计的正交条件 E {e ( t ) x (τ ′ )} = 0 , − ∞ < τ ′ < ∞ ht :/ tp ∞ −∞ ss /i ∞ ⎤ x (τ ′ ) = 0, − ∞ <τ ′<∞ E ⎡ g ( t ) − ∫ h ( t −τ x (τ dτ ) ) ⎢ ⎥ −∞ ⎣ ⎦ { } S gx (ω) S x (ω) S s (ω) e jωα H ( jω) = S s (ω) + Sn (ω) ss /i FFT p. S gx (ω) = S s (ω) e jωα S s (ω) S n (ω) + 1 us g (t ) = s (t + α ) S s (ω) S n (ω) . tc -------(6.1) 统计信号处理 第6章 最佳线性滤波基本理论 ——波形估计 ht :/ tp ss /i p. us . tc u ed n .c 本章内容 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 ht :/ tp 波形估计的分类 连续信号的维纳滤波 离散维纳滤波 稳健维纳滤波 α − β 滤波 卡尔曼滤波 稳健卡尔曼滤波 扩展卡尔曼滤波 比较例6.1和例6.2,可以看到不论 α 如何取值,后者(物理可实 现滤波器)的均方误差总是大于前者(物理不可实现滤波器)的, 这是由于对后者所加的约束条件多于前者。 ht :/ tp ss /i p. us . tc u ed n .c 并将其与(6.5)式相加,得: Rgx (η ) + b (η ) = ∫ h ( λ ) Rx (η − λ ) d λ − ∞ < η < ∞ 两边分别作双边拉氏变换,得: S gx ( s ) + B ( s ) = H ( s ) S x ( s ) 当 λ < 0 时有 h ( λ ) ≡ 0 ,因此 H ( s ) 的极点只存在于 s 的左半平面内 −∞ 0 αs ⎤ =⎡ S s e ( ) ⎣ sz ⎦ 维纳滤波器就由白化滤波器和白信号对应的维纳滤波器组成,即: 1 αs + ⎡ H ( s ) = HW ( s ) H ′ ( s ) = + S sz ( s ) e ⎤ ⎣ ⎦ Sx ( s ) 最小均方误差为: E e ( t ) 2 维纳滤波器的最小均方误差(物理不可实现,可实现)可以统一为: ht :/ tp y ( t ) = ∫ h ( t −τ ) x (τ ) dτ −∞ ˆ (t ) = g (t ) − y (t ) e (t ) = g (t ) − g E {e 2 ( t )} = E ⎡ ⎣ g ( t ) − y ( t )⎤ ⎦ ss /i ∞ p. { us . tc u ed 2 n .c ss /i p. us . tc u ed n .c 6.1波形估计的分类 x ( t ) = s ( t ) + n ( t ) 为系统的输入,s ( t ) 是我们所要估计的信号波 形,其估计波形记为 s ˆ ( t ) ,假设当前时刻为 t0 滤波:估计信号 s ( t0 ) 预测:估计信号 s ( t0 + α ) α > 0 + − 由于因果系统的极点只能出现在的左半平面 g (t ) = s (t + α ) p. us . tc αs 1 ⎡ S sx ( s ) e ⎤ H (s) = + ⎢ ⎥ S x ( s ) ⎣ S x− ( s ) ⎦ + u ed n .c 2.预白化法 基本思想:先将输入信号进行预白化处理,然后让得到的白化信号通 过其对应的维纳滤波器。 us . tc t −τ= λ ′ =η t −τ u ed n .c Rgx (η ) = ∫ h ( λ ) Rx (η − λ ) d λ 0 ht :/ tp ss /i p. h ( t ) = 0, t < 0 ∞ 0 ≤η < ∞ 因果广义平稳随机过程 的维纳-霍甫积分方程 us . tc u ed n .c p. us 0 SNR (ω ) . tc u ed n .c g ( t ) = s ( t + α ) 滤波、平滑、预测,最小均方误差表示为: 例6.1:考虑输入信号 x ( t ) 为高斯—马尔可夫信号s ( t ) 和噪声 n ( t ) 的叠加,假定信号和噪声统计独立,其功率谱分别为S s (ω) = 3 2 1 +ω 和 Sn (ω) = 1 。 ′ ) = ∫ h ( t −τ ′ ) dτ Rgx ( t −τ ) Rx (τ−τ ∞ Rgx (η ) = ∫ h ( λ ) Rx (η − λ ) d λ , − ∞ < η < ∞ 非因果广义平稳随机过程 −∞ 的维纳-霍甫积分方程 p. ′ ) = E { g ( t ) x (τ ′ )} Rgx ( t −τ ′ ) = E { x (τ ′ )} Rx (τ−τ ) x (τ 求: α 分别取0,+1和-1时物理不可实现维纳滤波器的冲激响应 及最小均方误差。 ht E {e ( t )} min = Rs ( 0 ) − ∫ h ( λ ) Rsx (α + λ ) d λ 2 ∞ 1 E {e ( t )} min = 2π 2 :/ tp ss /i ∞ −∞ ∞ = Rs ( 0 ) − ∫ h ( λ ) Rs (α + λ ) d λ x (t ) HW ( s ) 由第3章所述白化滤波器的知识可知,其白化滤波器HW ( s )为: 1 HW ( s ) = + Sx ( s ) 考虑白输入的维纳滤波器,假设输入白信号为z ( t ) ,其对应维纳滤波 器传输函数为 H ′ ( s ) 。 输入白信号的自相关函数为 Rz (τ ) = δ (τ ) , 这里假定其谱高为1, 代入因果广义平稳随机过程维纳-霍甫积分方程可得: ht :/ tp ss /i p. us . tc u ed n .c 6.2.1 广义平稳随机信号的维纳滤波原理 信号和噪声均为零均值的广义平稳随机过程且互不相关,则观测 信号 x ( t ) = s ( t ) + n ( t ) 也是零均值广义平稳随机过程,且和 g ( t )联 合广义平稳 线性滤波器的冲激响应为 h ( t ) ,那么滤波器输出信号 y ( t ) ht :/ tp s (t ) s (t ) ss /i ( −α ) 线性滤波器 ˆ (t ) = s ˆ (t + α ) y (t ) = g 最小均方误差准则 e (t ) − + + p. s (t + α ) us 延迟 ( −α ) g (t ) = s (t + α ) . tc f ( ⋅) ˆ ( s (t + α )) ˆ (t ) = f y (t ) = g ht :/ tp z (t ) H ′(s) y (t ) wenku.baidu.com ⎧ ⎪ Rsz (α + τ ) h′ (τ ) = ⎨ ⎪ ⎩0 ss /i p. us . tc τ ≥0 τ <0 u ed n .c 对上式作拉氏变换,其传输函数为: ∞ ∞ − sτ H ′ ( s ) = ∫ h′ ( τ ) e d τ = ∫ Rsz ( α + τ ) e − sτ d τ 平滑:估计信号 s ( t0 + α ) α < 0 ht :/ tp ss /i x (t ) = s (t ) + n (t ) p. us s ( t0 ) t0 t . tc s ( t0 + α ) , α > 0 t0 t s ( t0 + α ) , α < 0 滤波、预测、平滑的关系 u ed n .c t0 + α −∞ ⎡ S s (ω) S n (ω) ⎤ ∫−∞ ⎢ Ss (ω) + Sn (ω) ⎥ dω ⎣ ⎦ p. us . tc u ed n .c 6.2.3 物理不可实现维纳滤波器的解 因果广义平稳维纳-霍甫积分方程: Rgx (η ) = ∫ h ( λ ) Rx (η − λ ) d λ 0 ∞ Rgx (η ) = ∫ h ( λ ) Rx (η − λ ) d λ u ed n .c H ( jω) 滤波器幅频响应随信噪比变化的示意图: 1 SNR (ω ) = S s ( w) / Sn ( w) 滤波器幅频响应随信噪比变化的示意图: 当滤波器传输函数取为(6.4)式时, 估计的均方误差达到最小值: ∞ −∞ E {e2 ( t )} min = Rg ( 0 ) − ∫ h ( λ ) Rgx ( λ ) d λ + x 1 ⎡ S gx ( s ) ⎤ H (s) = + ⎢ ⎥ S x ( s ) ⎣ S x− ( s ) ⎦ ht :/ tp S gx ( s ) S x ( s ) = S x+ ( s ) S x− ( s ) ss /i + S gx ( s ) ⎡ S gx ( s ) ⎤ ⎡ S gx ( s ) ⎤ =⎢ − ⎥ +⎢ − ⎥ − Sx ( s ) ⎣ Sx ( s ) ⎦ ⎣ Sx ( s ) ⎦ ht E {e ( t )} 2 :/ tp { min ss /i } min + = Rs ( 0 ) − ∫ h (τ ) Rsx (α + τ ) dτ −∞ p. ∞ = Rs ( 0 ) − ∫ h (τ ) Rsx (α + τ ) dτ 0 us . tc ∞ u ed n .c 例6.2:考虑输入信号 x ( t ) 为高斯—马尔可夫信号s ( t ) 和噪声 n ( t ) 的叠加,假定信号和噪声统计独立,其功率谱分别为S s (ω) = 3 2 1 +ω 和 Sn (ω) = 1 。 求: α 分别取0,+1和-1时物理可实现维纳滤波器的冲激响应及最 小均方误差 。 ht :/ tp ∞ −∞ ss /i p. us . tc u ed n .c 假定 S x ( s ) = N ( s ) D ( s ) ,可知实平稳随机过程的功率谱 S x ( s )是实函 数和偶函数,可以推断S x ( s )的零极点分布具有以下性质: 1.复数零极点呈共轭对出现 2.复数零极点关于原点对称出现 3. 在 jω 轴上不存在极点 6.2.2 物理不可实现维纳滤波器的解 s (t ) 和 n (t ) 互不相关 滤波器的幅频响应为 H ( jω) = ht :/ tp H ( jω) = Rgx (η ) = ∫ h ( λ ) Rx (η − λ ) d λ , − ∞ < η < ∞ −∞ ∞ S gx (ω) = H ( jω ) S x (ω)