微积分选讲讲稿(完整版)(安徽财经大学内部资料)

微积分讲义1微积分讲义基础内容：函数⼀．集合1.集合的相关概念1.满⾜共同属性的对象的全体叫做集合，集合的研究对象叫元素.例：军训前学校通知:8⽉15⽇8点,⾼⼀年级学⽣到操场集合进⾏军训.试问这个通知的对象是全体的⾼⼀学⽣还是个别学⽣？每个学⽣与全体⾼⼀学⽣之间的关系？问题：世界上最⾼的⼭能不能构成⼀个集合？世界上的⾼⼭能不能构成⼀个集合？我们把研究的对象统称为“元素”,那么把⼀些元素组成的总体叫“集合”.2.元素与集合的关系有两种：属于∈，不属于?元素的特性（判断是否为集合的依据）：（1）确定性：给定的集合,它的元素必须是明确的,即任何⼀个元素要么在这个集合中,要么不在这个集合中,这就是集合的确定性.（2）⽆序性：即集合中的元素是没有顺序的.（3）互异性：⼀个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的,这就是集合的互异性.结论：1、⼀般地，指定的某些对象的全体称为集合，标记：A，B，C，D，…集合中的每个对象叫做这个集合的元素，标记：a，b，c，d，…2、元素与集合的关系a是集合A的元素，就说a属于集合A ，记作a∈A ，a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a?A3.有限集、⽆限集、空集、单元素集N，整数集记作Z, 4.常⽤数集及其记法:⾃然数集记作N,正整数集记作*N或+有理数集记作Q,实数集记作R.注意：（1）)}{ba都是单元素集a},,{(（2）}0{φ的区别},{},{例1 判断以下元素的全体是否组成集合：（1）⼤于3⼩于11的偶数；（）（2）我国的⼩河流； ( )（3）⾮负奇数；（）（4）本校2009级新⽣；（）（5）⾎压很⾼的⼈；（）（6）著名的数学家；（）例题2 下列各组对象不能组成集合的是( )A.⼤于6的所有整数B.⾼中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=图象上所有的点练习1.下列条件能形成集合的是( )A.充分⼩的负数全体B.爱好⾜球的⼈C.中国的富翁D.某公司的全体员⼯2．下列结论中，不正确的是( )A.若a ∈N ，则-a NB.若a ∈Z ，则a 2∈ZC.若a ∈Q ，则｜a ｜∈QD.若a ∈R ，则4、（1） -3 N ；（2） 3.14 Q ；（3） Q ；（4）0 Φ；（5） Q ；（6） R ；（7）1 N +；（8） R 。

微积分课件完整版微积分课件完整版微积分课件完整版微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。

它是数学的一个基础学科。

内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。

微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。

它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。

积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

词目释义从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代。

整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿。

（1）运动中速度与距离的互求问题求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为以时间为变量的函数公式，求速度和距离。

这类问题是研究运动时直接出现的，困难在于，所研究的速度和加速度是每时每刻都在变化的。

比如，计算物体在某时刻的瞬时速度，就不能像计算平均速度那样，用移动的距离去除运动的时间，因为在给定的瞬间，物体移动的距离和所用的时间是是无意义的。

但是，根据物理，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，这也是无疑的。

已知速度公式求移动距离的问题，也遇到同样的困难。

因为速度每时每刻都在变化，所以不能用运动的时间乘任意时刻的速度，来得到物体移动的距离。

（2）求曲线的切线问题这个问题本身是纯几何的，而且对于科学应用有巨大的重要性。

由于研究天文的需要，光学是十七世纪的一门较重要的科学研究，透镜的设计者要研究光线通过透镜的通道，必须知道光线入射透镜的角度以便应用反射定律，这里重要的是光线与曲线的法线间的夹角，而法线是垂直于切线的，所以总是就在于求出法线或切线；另一个涉及到曲线的切线的科学问题出现于运动的研究中，求运动物体在它的轨迹上任一点上的运动方向，即轨迹的切线方向。

第一讲 函数、极限、连续一、极限（一）极限基本概念 1、极限的定义（1）数列极限：设}{n a 为一个数列，A 为常数，若对任意0>ε，总存在0)(>εN ，当)(εN n >时，有ε<-||A a n 成立，则称A 为数列}{n a 的极限，记A a n n =∞→lim 或)(∞→→n A a n 。

（2）函数当自变量趋于无穷时的极限：设)(x f 为一个函数，A 为一个常数，若对任意0>ε，存在0>X ，当X x >||时，有ε<-|)(|A x f 成立，称)(x f 当∞→x 时以A 为极限，记为A x f x =∞→)(lim 或)()(∞→→x A x f 。

（3）函数当自变量趋于有限值的极限：设)(x f 为一个函数，A 为一个常数，若对任意0>ε，存在0>δ，当δ<-<||0a x 时，有ε<-|)(|A x f 成立，称)(x f 当a x →时以A 为极限，记为A x f ax =→)(lim 或)()(a x A x f →→。

（4）左右极限：)(lim )0(0x f a f a x def +→=+，)(lim )0(0x f a f a x def-→=-，分别称)0(),0(-+a f a f 为函数)(x f 在a x =处的左右极限，)(lim x f ax →存在⇔)0(),0(-+a f a f 都存在且相等。

问题：（1）若对任意的0>ε，总存在0>N ，当N n >时，有ε2||≤-A a n ，数列}{n a 是否以常数A 为极限？（2）若数列}{n a 有一个子列以常数A 为极限，数列}{n a 是否以常数A 为极限？ （3）若数列}{n a 的奇子列与偶子列都存在极限，数列}{n a 是否有极限？若其奇子列和偶子列极限存在且相等，数列}{n a 的极限是否存在？2、无穷小（1）无穷小的定义：以零为极限的函数称为无穷小。

3. Continu ous functions3.19. Defi ni tionER, E and f: E R.1. f is continuous ata E,if given >0, >0 s.t 0< x a , x E f(x) f(a) .2. f is continuous onEif f is continuous ata , a E.3.20. TheoremLet I be an open interval such that contains a poina and f : I R .Then f iscontinuous at a I iff lim f (x) f (a).x a3.21 TheoremSuppose thatE is a non empty subset oR, a E and f : E R. Then follow ing stateme nts are equivale nt:(1) f is continu ous ata.(2) If x n con verges toa and x n E , the n f(x n) f(a) as n3.22 TheoremSuppose thatE is a non empty subset oR, a E and f, g : E R . If f and g are con ti nu ous at a, the n(1) f+g and f-g are continuous ata.(2) f gg is continuous ata.(3) f is continuous at a for each real number(4) f is continuous at a provided f is well-defined.g g3.23. Defi nitionf : A R B R.g : B R C R.Define g o f : A R by (g。

《微积分》讲义第一章极限一、函数极限的概念：f＝A要点：⑴x 为变量；⑵A 为一常量。

二、函数极限存在的充分必要条件：f＝A f＝A，f＝A例：判定是否存在？三、极限的四则运算法则⑴＝f±g⑵＝f·g⑶＝……g≠0⑷k·f＝k·f四、例：五、两个重要极限⑴＝1 ＝1⑵＝e ＝e ………型理论依据：⑴两边夹法则：若f≤g≤h，且limf＝limh＝A，则：limg＝A⑵单调有界数列必有极限。

例题：六、无穷小量及其比较1、无穷小量定义：在某个变化过程中趋向于零的变量。

2、无穷大量定义：在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。

3、高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。

4、定理：f＝A f＝A＋a （a＝0）七、函数的连续性1、定义：函数y＝f在点处连续……在点处给自变量x一改变量x：⑴x0时，y0。

即：y＝0⑵f＝f⑶左连续：f＝f右连续：f＝f2、函数y＝f在区间上连续。

3、连续函数的性质：⑴若函数f和g都有在点处连续，则：f±g、f·g、（g()≠0）在点处连续。

⑵若函数u＝j在点处连续，而函数y＝f在点＝j()处连续，则复合函数f(j(x)) 在点处连续。

例：＝4、函数的间断点：⑴可去间断点：f＝A，但f不存在。

⑵跳跃间断点：f＝A ，f＝B，但A≠B。

⑶无穷间断点：函数在此区间上没有定义。

5、闭区间上连续函数的性质：若函数f在闭区间上连续，则：⑴f在闭区间上必有最大值和最小值。

⑵若f与f异号，则方程f＝0 在内至少有一根。

例：证明方程式－4＋1＝0在区间内至少有一个根。

第二章一元函数微分学一、导数1、函数y＝f在点处导数的定义：x y＝f－f＝A f'＝A ……y'，，。

2、函数y＝f在区间上可导的定义：f'，y'，，。

3、基本初等函数的导数公式：⑴＝0⑵＝n·⑷＝·lnɑ，＝⑸＝cosx，＝－sinx＝x，＝－＝secx·tanx，＝－cscx·cotx4、导数的运算：⑴、四则运算法则：＝·g(x)＋f(x)·例：求下列函数的导数y＝2－5＋3x－7f(x)＝＋4cosx－siny＝⑵、复合函数的求导法则：y u，u v，v w，w x y x例：y＝lntanxy＝lny＝arcsin⑶、隐函数的求导法则：把y看成是x的复合函数，即遇到含有y 的式子，先对y求导，然后y再对x求导。

第一章 微分方程的基本概念300多年前，由牛顿和莱布尼兹所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解 其运动规律将一目了然.所以数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的关系。

但在大量的实际问题中遇到稍微复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系（即函数）往往不能直接写出来，却比较容易地建立这些变量和它们导数（或微分）的关系式。

这种联系着自变量，未知函数及它的导数（或微分）的关系式，数学上称之为微分方程，当然其中未知函数的导数或微分是不可缺少的。

§1.1微分方程：某些物理过程的数学模型例1.1.1 物体冷却过程的数学模型将某物体放置于空气中，在时刻t=0时，测量得它的温度为c u 1500=，10分钟后测量得温度为c u 1001=，我们要求决定此问题u 和时间t 的关系，并计算20分钟后物体的温度。

这里我们假定空气的温度保持为c u a 24=。

解：为了解决上述问题，需要了解一些热力学的基本规律： 1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；2. 在一定的温度范围内，一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和所在介质温度的差值成比例（牛顿冷却定律）设物体在时刻t 的温度为)(t u u =，则温度的变化速度以dtdu来表示。

注意到热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的，因而a u u >0，所以温差a u u -恒正；又因物体将随时间而逐渐冷却，故温度变化速度dtdu恒负。

第一讲函数、极限和连续部分一、教学内容与教学要求二、学习重难点解析三、典型例题一、教学内容与教学要求（一）教学内容1．函数常量与变量，函数概念，基本初等函数，复合函数，初等函数，分段函数。

2．极限极限的定义，极限的四则运算。

3．连续函数连续函数的定义和四则运算，间断点。

（二）教学要求1．了解常量和变量的概念；理解函数的概念；了解初等函数和分段函数的概念熟练掌握求函数的定义域、函数值的方法；掌握将复合函数分解成较简单函数的方法。

2．了解极限概念，会求简单极限。

3．了解函数连续的概念，会判断函数的连续性，并会求函数的间断点。

二、学习重难点解析（一）关于函数的概念1．组成函数的要素:（1）定义域:自变量的取值范围D；（2）对应关系：因变量与自变量之间的对应关系f。

函数的定义域确定了函数的存在范围，对应关系确定了自变量如何对应到应变量。

因此，这两个要素一旦确定，函数也就随之确定。

所以说，两个函数相等（即f(x)=g(x)）的充分必要条件是两个函数的定义域和对应关系都相等。

若两者之一不同，就是两个不同的函数。

2．函数定义域的确定对于初等函数，一般要求它的自然定义域，具体说来通过下面的途径确定：（1）函数式里如果有分式，则分母的表达式不为零；（2）函数式里如果有偶次根式，则根式里的表达式非负；（3）函数式里如果有对数式，则对数式中真数的表达式大于零；（4）如果函数表达式是由若干表达式的代数和的形式，则其定义域为各部分定义域的公共部分；（5）对于分段函数，其定义域为函数自变量在各段取值的之并集；（6）对于实际的应用问题，应根据问题的实际意义来确定函数的定义域。

3．函数的对应关系函数的对应关系f或f（）表示对自变量x的一个运算，通过f或f（）把x变成了y，例如y=f(x)=2x3-5x+1，则f 代表算式f( )=2( )3-5( )+1括号内是自变量的位置，运算的结果得到因变量的值。

（二）关于函数的基本属性函数的基本属性是指函数的单调性、奇偶性、周期性和有界性。

微积分专题讲座（下）一、向量代数和空间解析几何 向量代数1、 设为，，为单位向量，且++=，则∙+∙+∙=______。

（—23） 2、 设（a ⨯b ）∙c =2，则[(a +b )⨯ (b +c )]∙(c +a )=_______。

（4）3、=4，且a ⨯（b ⨯a ）=b —3a ，则a 与b 的夹角θ=________。

（arccos 43） 4、3=1，且a 与b 的夹角θ=6π，求： （1）a +b 与a —b 的夹角；【arccos72】； （2）以+2与—3为邻边的平行四边形的面积。

【235】； 5、 设（a +3b ）⊥（7a —5b ），（a —4b ）⊥（7a —2b ），求a 与b 的夹角θ。

【θ=3π】 空间解析几何6、 设有直线1L ：11-x =02y -=13z --，2L ：22x +=11y -=1z，求过1L 且平行于2L 的平面方程。

7、 求经过点P （2，-3,1）并且与直线L ：31x -=4y =52z +垂直相交的直线方程。

8、 求直线L ：11x -=1y =11z --在平面π：x-y+2z-1=0上的投影直线0L 的方程，并求0L 绕y 轴旋转一周所成的曲面方程。

二、多元微分学 概念及其关系1、 讨论f （x ，y ）=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++00,0,222222y x y x y x xy，在点（0,0）处的连续性、可导性。

2、 讨论f （x ，y ）=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++000,222222y x y x y x xy ，，在点（0,0）处的连续性、可导性和可微性。

3、 讨论f （x ，y ）=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++00,01sin 22222222y x y x y x y x ，，）（在点（0,0）处连续性、可导性和可微性。

4、 设函数f （x,y ）在点（y x 00，）的两个偏导数都存在，则（ ）【C 】（A ）f （x ，y ）在点（y x 0，）连续； （B ）f （x ，y ）在点（y x 0，）可微；（C ）0lim x x →f （x ，y）与0lim y y →f （x，y ）都存在； （D ）0lim x y x y →→f （x ，y ）存在。

经济数学微积分学习讲义合川电大兰冬生知识点一：5个基本函数1，常数函数，c y = （c 是常数）例如：3=y ，1-=y ，这些函数可以看成是x 隐含，例如3=y 可看成30+=x y 。

2，幂函数，αx y =（α是一个数） 形如2x y =，3x y =，5x y =是幂函数，注意：仅仅是这种形式是幂函数，其他的任何一点形式变化都不是，2x y =是幂函数，22x y =就不是幂函数，只能是下面x ，上面（指数）是一个数！以下基本函数均如此3，指数函数，x a y =，（a 是一个数） 例如：x y 2=，x y 23⋅=不是指数函数。

4，对数函数x y a log =，这里要求x 必须大于零，我们的考试常常拿来考“求定义域”这里我们只认识两个特殊的对数函数，一个是x y ln =，他是x y e log =的简写，e 是一个数，718.2=e ，和我们知道的14.3=π一样，另一个是x y lg =，他是x y 10log =的简写。

5，三角函数x y sin =，x y cos =，特别注意的是x y sin 2=，x y 2sin =，都不是三角函数。

● 这5个基本函数是我们要学习的函数的主要构成细胞。

● 例如：12sin 232+++=x x e y x ，二次函数，由幂函数，常数函数构成632-+=x x y 。

知识点二：极限1，什么是数列？数列就是按照“一定规律排列的一组数”，我们常见的是无限数列。

数学符号记为：}{n a例如：数列：1,2,4,8,16,32，……，发展规律依n 2 变化，,4,3,2,1,0=n …… 1，21，41，81，……，发展规律依n 21变化，,4,3,2,1,0=n …… 2，极限学习极限，一个非常重要的认识就是“分母越大，分数越小” 数列的极限，就是指数列的一个趋近值，（即是指一串数的趋近值）例如：1，21，31，41，……，分母由1,2,3,4，……变化，当分母无限大时，1000001，1000000001，……，最后，这个无限数列趋近于0，这里，我们简单描述这个变化，∞→n01→n分母越大，分数越小 →是趋近，∞是无穷大的意思，无穷大是指非常非常大，无法计量。