2021年高考数学一轮复习题型归纳与高效训练试题：4.5 正弦定理和余弦定理(原卷版)文

第六节正弦定理、余弦定理

[最新考纲]掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．

1．正弦、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

内容

a

sin A＝

b

sin B＝

c

sin C＝2R.

a2＝b2＋c2－2bc cos A；

b2＝c2＋a2－2ca cos B；

c2＝a2＋b2－2ab cos C

变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，

c＝2R sin C；

(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin

C；

(3)

a＋b＋c

sin A＋sin B＋sin C

＝

a

sin A＝

2R.

cos A＝

b2＋c2－a2

2bc；

cos B＝

c2＋a2－b2

2ac；

cos C＝

a2＋b2－c2

2ab

(1)S＝1

2a·h a(h a表示边a上的高)；

(2)S＝1

2ab sin C＝

1

2ac sin B＝

1

2bc sin A；

(3)S＝1

2r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．

[常用结论]

1．在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.

2．三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；

c＝b cos A＋a cos B.

3．内角和公式的变形

(1)sin(A＋B)＝sin C；

(2)cos(A＋B)＝－cos C.

4．角平分线定理：

在△ABC中，若AD是角A的平分线，如图，则AB

AC ＝BD DC.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．()

《正弦定理和余弦定理》复习课教学设计

设计意图：

学生通过必修5的学习，对正弦定理、余弦定理的内容已经了解，但对于如何灵活运用定理解决实际问题，怎样合理选择定理进行边角关系转化从而解决三角形综合问题，学生还需通过复习提点有待进一步理解和掌握。作为复习课一方面要将本章知识作一个梳理，另一方面要通过整理归纳帮助学生学会分析问题，合理选用并熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形综合问题和实际应用问题。

数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数

学知识的理解和掌握。虽然是复习课，但我们不能一味的讲题，在教学中应体现

以下教学思想：

⑴重视教学各环节的合理安排：

设疑探究拓展实践循环此流程

在生活实践中提出问题，再引导学生带着问题对新知进行探究，然后引导学生回顾旧知识与方法，引出课题。激发学生继续学习新知的欲望，使学生的知识结构呈一个螺旋上升的状态，符合学生的认知规律。

⑵重视多种教学方法有效整合，以讲练结合法、分析引导法、变式训练法等多种方法贯穿整个教学过程。

⑶重视提出问题、解决问题策略的指导。

⑷重视加强前后知识的密切联系。对于新知识的探究,必须增加足够的预备知识,做好衔接。要对学生已有的知识进行分析、整理和筛选，把对学生后继学习中有需要的知识选择出来，在新知识介绍之前进行复习。

⑸注意避免过于繁琐的形式化训练。从数学教学的传统上看解三角形内容有不少高度技巧化、形式化的问题，我们在教学过程中应该注意尽量避免这一类问题的出现。

二、实施教学过程

评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.

专题 正弦定理和余弦定理的应用

一、题型全归纳

题型一 利用正弦、余弦定理解三角形

【题型要点】(1)正、余弦定理的选用

①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；

①利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的． (2)三角形解的个数的判断

已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．

【例1】 (2020·广西五市联考)在①ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么A ①B ①C 为( ) A ．1①1①3 B ．1①2①3 C ．1①3①2

D ．1①4①1

【解析】：法一：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32.

因为B 为锐角，所以B ＝60°，则C ＝90°，故A ①B ①C ＝1①2①3，选B.

法二：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－3c ＋2＝0，解得c ＝1或c ＝2.当c ＝1时，①ABC 为等腰三角形，B ＝120°，与已知矛盾，当c ＝2时，a

【例2】(2019·高考全国卷Ⅰ)①ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则b

§4.7 正弦定理、余弦定理

考试要求 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．

知识梳理

1．正弦定理与余弦定理

定理

正弦定理

余弦定理

内容

a sin A ＝

b sin B ＝c

sin C

＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；

b 2＝

c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C

变形

(1)a ＝2R sin A ， b ＝2R sin B ， c ＝2R sin C ；

(2)a sin B ＝b sin A ， b sin C ＝c sin B ， a sin C ＝c sin A

cos A ＝b 2＋c 2－a 2

2bc ；

cos B ＝c 2＋a 2－b 2

2ac ；

cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab

2.三角形中常用的面积公式 (1)S ＝1

2ah a (h a 表示边a 上的高)；

(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝1

2bc sin A ；

(3)S ＝1

2r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．

常用结论

在△ABC 中，常有以下结论： (1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.

(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (3)a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ，cos A <cos B .

(4)sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C

正弦定理和余弦定理（解三角形）高三一轮复习专题

正弦定理和余弦定理专题讲义（约3-4 课时）

一、高考要求

1、掌握正、余弦定理的基本形式和变形式；

2、能够完成三角形中边、角和面积的计算。

3、掌握边、角的范围探究问题和正、余弦定理的实际应用。

二、知识回顾（学生课前自学）

设△ABC 的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C．

1．角与角关系：A+B+C = π，

2．边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，

a－b b．

3．边与角关系：

1）正弦定理（R 为外接圆半径）

变式1：a = 2R sinA，b= 2R sinB，c= 2R sinC 变式2：变式3：，，

2）余弦定理c2 = a2+b2－2bccosC，b2 = a2+c2－2accosB，a2 =

b2+c2－2bccosA．

变式1：；.；. .

4. 三角形面积公式：

（其中r 为内切圆半径，R 为外接圆半径，s 为半周长）

5、关于三角形内角的常用三角恒等式：三角形内角定理的变形

①由A＋B＋C＝π，知A＝π－（B＋C）可得出：

sinA＝sin（B＋C），cosA＝－cos（B＋C）．

②而．有：，．三互动探究探究一正弦定理的应用

高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理（一）

一、基础知识

1．正弦定理

a sin A ＝

b sin B ＝

c sin C

＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．

正弦定理的常见变形：

(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R

； (3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；

(4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A . 2．余弦定理

a 2＝

b 2＋

c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .

3．三角形的面积公式

(1)S △ABC ＝12

ah a (h a 为边a 上的高)； (2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12

ac sin B ； (3)S ＝12

r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)． 二、常用结论汇总

1．三角形内角和定理

在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C 2

. 2．三角形中的三角函数关系

(1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C ；

(3)sin A ＋B 2＝cos C 2； (4)cos A ＋B 2＝sin C 2

. 3．三角形中的射影定理

在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .

第1课时 正弦定理和余弦定理

[基础题组练]

1．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝

32

且b

A ．3

B ．2 2

C ．2

D ． 3

解析：选C.由余弦定理b 2

＋c 2

－2bc cos A ＝a 2

，得b 2

－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4，因为b

2．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．一个 B ．两个 C ．0个

D ．无法确定

解析：选B.由正弦定理得sin B ＝

b sin A a ＝6sin 45°2＝3

2

，因为b >a ，所以B ＝60°或120°，故满足条件的三角形有两个．

3．(2020·湖南省湘东六校联考)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中b 2

＝ac ，且sin C ＝2sin B ，则其最小内角的余弦值为( )

A ．－

2

4

B.24

C.

52

8 D ．34

解析：选C.由sin C ＝2sin B 及正弦定理，得c ＝2b .又b 2

＝ac ，所以b ＝2a ，所

以c ＝2a ，所以A 为△ABC 的最小内角．由余弦定理，知cos A ＝b 2＋c 2－a 2

2bc

＝

（2a ）2

＋（2a ）2

－a

2

2·2a ·2a

＝

52

8

，故选C. 4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，以下四个结论中，正确的是( ) A ．若a ＞b ＞c ，则sin A ＞sin B ＞sin C B ．若A ＞B ＞C ，则sin A

4.6正弦定理和余弦定理

考情分析

本节是高考必考内容，重点为正弦、余弦定理及三角形面积公式.客观题以考查正、余弦定理解三角形为主；难度不大；解答题主要考查与函数结合，实现角边互化，或利用以解决实际问题，难度中档. 基础知识

1.正弦定理与余弦定理

3.三角形的面积公式 (1)1

().2

a a S a h h a =

⋅表示边上的高

(2) 111

sin sin sin .222S bc A ac B bc B =

== (3) 1

()()2

S a b c r r =++⋅为三角形内切圆的半径

4.应用举例

利用正弦定理和余弦定理解三角形常用题型有:测量距离问题,测量高度问题,测量角度问题,计算面积问题等. 注意事项

1.在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .

2.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．

3.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：

(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 题型一 利用正弦定理解三角形

【例1】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C .

正余弦定理在解决三角形问题中的应用

典型例题分析：

一、判定三角形的外形

例1 依据下列条件推断三角形ABC 的外形： (1)若a2tanB=b2tanA ； 解：由已知及正弦定理得

(2RsinA)2 B cos B sin = (2RsinB)2 ⇒

A cos A

sin

2sinAcosA=2sinBcosB ⇒sin2A=sin2B ⇒ 2cos(A + B)sin(A – B)=0

∴ A + B=90o 或 A – B=0

所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形. (2)b2sin2C + c2sin2B=2bccosBcosC; 解: 由正弦定理得

sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC

∵ sinBsinC ≠0, ∴ sinBsinC=cosBcosC, 即 cos(B + C)=0, ∴ B + C=90o, A=90o, 故△ABC 是直角三角形.

(3)(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1. 解：(sinA + sinB + sinC) – (cosA + cosB + cosC)=1

⇒ [2sin 2B A +cos 2B A -+ sin(A + B)] – [2cos 2B A +cos 2B A -+ 2cos22C

- 1]=0

⇒ [2sin 2B A +cos 2B A -+ sin(A + B)] – 2cos 2B A +cos 2B A - - 2sin22B

A +=0 ⇒(sin 2

B A +- cos 2B A +)(cos 2B A -- sin 2B A +)=0 ⇒sin(2B A + - 4π)sin 4B

第6讲 正弦定理和余弦定理

一、选择题

1．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，BC ＝2，那么A 等于( )．

A ．135°

B ．105°

C ．45°

D ．75°

解析 由正弦定理知BC sin A ＝AB sin C ，即2sin A ＝3sin 60°，所以sin A ＝22

，又由题知，BC ＜AB ，∴A ＝45°.

答案 C

2．已知a ，b ，c 是△ABC 三边之长，若满足等式(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C 的大小为( )．

A ．60°

B ．90°

C ．120°

D ．150°

解析 由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得(a ＋b )2－c 2＝ab ，

∴c 2＝a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2ab cos C ，

∴cos C ＝－12

，∴C ＝120°. 答案 C

3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝

( )． A. 2 B. 3 C.32 D ．2

解析 ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°.

又a ＝1，b ＝3，∴a sin A ＝b sin B

， ∴sin A ＝a sin B b ＝32×13＝12

， ∴A ＝30°，∴C ＝90°.∴S △ABC ＝12×1×3＝32

. 答案 C

4．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于 ( )．

A.32

B.332

高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理习题及详解(word版可编辑修改) 编辑整理：

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高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理习题及详解

一、选择题

1．（2010·聊城市、银川模拟）在△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，且sin2A－sin2C＝(sin A－sin B)sin B，则角C等于( ）

A.错误!B。错误!

C.错误!D。错误!

[答案］B

［解析］由正弦定理得a2－c2＝(a－b)·b，

由余弦定理得cos C＝错误!＝错误!，

∵0<C<π，∴C＝错误!。

2．（文)（2010·泰安模拟)在△ABC中,若A＝60°，BC＝4错误!，AC＝4错误!，则角B的大小为( ）

A．30° B．45°

C．135° D．45°或135°

[答案］B

［解析] ∵AC·sin60°＝4错误!×错误!＝2错误!〈4错误!〈4错误!，故△ABC只有一解，由正弦定理得，错误!＝错误!，

高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理(二)

考点一 有关三角形面积的计算

例、(1)(△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝7，c ＝4，cos B ＝3

4，则△ABC 的面

积等于( )

A ．37 B.372 C ．9 D.9

2

(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为34

(a 2＋c 2

－b 2)，则B ＝________. 变式练习

1.(变条件)本例(1)的条件变为：若c ＝4，sin C ＝2sin A ，sin B ＝

15

4

，则S △ABC ＝________. 2.(变结论)本例(2)的条件不变，则C 为钝角时，c

a 的取值范围是________．

3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(2b －a )cos C ＝c cos A .

(1)求角C 的大小；

(2)若c ＝3，△ABC 的面积S ＝43

3，求△ABC 的周长．

[解题技法]

1．求三角形面积的方法

(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．

(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形面积求边、角的方法

(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．

第21讲-正弦定理和余弦定理

一、 考情分析

1.掌握正弦定理、余弦定理.

2.能解决一些简单的三角形度量问题.

二、 知识梳理

1.正、余弦定理

在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则

定理

正弦定理

余弦定理

公式

a sin A ＝

b sin B ＝c

sin C ＝2R

a 2＝

b 2＋

c 2－2bc cos__A ；

b 2＝

c 2＋a 2－2ca cos__B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C 常见变形

(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin__B ，c ＝2R sin__C ；

(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ； (3)a ∶b ∶c ＝sin__A ∶sin__B ∶sin__C ； (4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A

cos A ＝b 2＋c 2－a 2

2bc ；

cos B ＝c 2＋a 2－b 2

2ac ；

cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab

2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1

2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .

3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：

A 为锐角

A 为钝角或直角

图形

关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b a ≤b 解的个数