平行线等分线段定理及证明

平行线等分线段定理八年级数学教案教学建议1．平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他需直线上截得的线段也相等．注意事项：定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的特殊的平行线组；它是由三条或三条以上的平行线组成．定理的作用：可以用来证明同一直线上的线段相等；可以等分线段．2．平行线等分线段定理的推论推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。

记忆方法：“中点”＋“平行”得“中点”．推论的用途：（1）平分已知线段；（2）证明线段的倍分．重难点分析本节的重点是平行线等分线段定理.因为它不仅是推证三角形、梯形中位线定理的基础，而且是第五章中“平行线分线段成比例定理”的基础.本节的难点也是平行线等分线段定理.由于学生初次接触到平行线等分线段定理，在认识和理解上有一定的难度，在加上平行线等分线段定理的两个推论以及各种变式，学生难免会有应接不暇的感觉，往往会有感觉新鲜有趣但掌握不深的情况发生，教师在教学中要加以注意.教法建议平行线等分线段定理的引入生活中有许多平行线等分线段定理的例子，并不陌生，平行线等分线段定理的引入可从下面几个角度考虑：①从生活实例引入，如刻度尺、作业本、栅栏、等等；②可用问题式引入，开始时设计一系列与平行线等分线段定理概念相关的问题由学生进行思考、研究，然后给出平行线等分线段定理和推论.教学设计示例一、教学目标1. 使学生掌握平行线等分线段定理及推论.2. 能够利用平行线等分线段定理任意等分一条已知线段，进一步培养学生的作图能力．3. 通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．4. 通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美●二、教法设计学生观察发现、讨论研究，教师引导分析●三、重点、难点1．教学重点：平行线等分线段定理2．教学难点：平行线等分线段定理●四、课时安排l课时●五、教具学具计算机、投影仪、胶片、常用画图工具●六、师生互动活动设计教师复习引入，学生画图探索；师生共同归纳结论；教师示范作图，学生板演练习七、教学步骤【复习提问】1．什么叫平行线？平行线有什么性质．2．什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？【引入新课】由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系？（横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的），然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系？（相等，为什么？）这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等？（引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，由此得到平行线等分线段定理）平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上挂得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．注意：定理中的“一组平行线”指的是一组具有特殊条件的平行线，即每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组，这一点必须使学生明确．下面我们以三条平行线为例来证明这个定理（由学生口述已知，求证）．已知：如图，直线，．求证：．分析1：如图把已知相等的线段平移，与要求证的两条线段组成三角形（也可应用平行线间的平行线段相等得），通过全等三角形性质，即可得到要证的结论．（引导学生找出另一种证法）分析2：要证的两条线段分别是梯形的腰，我们借助于前面常用的辅助线，把梯形转化为平行四边形和三角形，然后再利用这些熟悉的知识即可证得．证明：过点作分别交、于点、，得和，如图．∴∵，∴又∵，，∴∴为使学生对定理加深理解和掌握，把知识学活，可让学生认识几种定理的变式图形，如图（用计算机动态演示）．引导学生观察下图，在梯形中，，，则可得到，由此得出推论1．推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．再引导学生观察下图，在中，，，则可得到，由此得出推论2．推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．注意：推论1和推论2也都是很重要的定理，在今后的论证和计算中经常用到，因此，要求学生必须掌握好．接下来讲如何利用平行线等分线段定理来任意等分一条线段．例已知：如图，线段．求作：线段的五等分点．作法：①作射线．②在射线上以任意长顺次截取．③连结．④过点．、分别作的平行线、、、，分别交于点、、、．、、就是所求的五等分点．（说明略，由学生口述即可）【总结、扩展】小结：（l）平行线等分线段定理及推论．（2）定理的证明只取三条平行线，是在较简单的情况下证明的，对于多于三条的平行线的情况，也可用同样方法证明．（3）定理中的“平行线组”，是指每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组．（4）应用定理任意等分一条线段．●八、布置作业教材P188中A组2、9●九、板书设计●十、随堂练习教材P182中1、2。

教学建议1.平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他需直线上截得的线段也相等.注意事项：定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的特殊的平行线组;它是由三条或三条以上的平行线组成.定理的作用：可以用来证明同一直线上的线段相等;可以等分线段.2.平行线等分线段定理的推论推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。

记忆方法：中点+平行得中点.推论的用途：(1)平分已知线段;(2)证明线段的倍分.重难点分析本节的重点是平行线等分线段定理.因为它不仅是推证三角形、梯形中位线定理的基础，而且是第五章中平行线分线段成比例定理的基础.本节的难点也是平行线等分线段定理.由于学生初次接触到平行线等分线段定理，在认识和理解上有一定的难度，在加上平行线等分线段定理的两个推论以及各种变式，学生难免会有应接不暇的感觉，往往会有感觉新鲜有趣但掌握不深的情况发生，教师在教学中要加以注意.教法建议平行线等分线段定理的引入生活中有许多平行线等分线段定理的例子，并不陌生，平行线等分线段定理的引入可从下面几个角度考虑：①从生活实例引入，如刻度尺、作业本、栅栏、等等;②可用问题式引入，开始时设计一系列与平行线等分线段定理概念相关的问题由学生进行思考、研究，然后给出平行线等分线段定理和推论.教学设计示例一、教学目标1. 使学生掌握平行线等分线段定理及推论.2. 能够利用平行线等分线段定理任意等分一条已知线段，进一步培养学生的作图能力.3. 通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力.4. 通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美二、教法设计学生观察发现、讨论研究，教师引导分析三、重点、难点1.教学重点：平行线等分线段定理2.教学难点：平行线等分线段定理四、课时安排l课时五、教具学具计算机、投影仪、胶片、常用画图工具六、师生互动活动设计教师复习引入，学生画图探索;师生共同归纳结论;教师示范作图，学生板演练习七、教学步骤【复习提问】1.什么叫平行线?平行线有什么性质.2.什么叫平行四边形?平行四边形有什么性质?【引入新课】由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系?(横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的)，然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系?(相等，为什么?)这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等?(引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，由此得到平行线等分线段定理)平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上挂得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.注意：定理中的一组平行线指的是一组具有特殊条件的平行线，即每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组，这一点必须使学生明确.下面我们以三条平行线为例来证明这个定理(由学生口述已知，求证).已知：如图，直线， .求证： .分析1：如图把已知相等的线段平移，与要求证的两条线段组成三角形(也可应用平行线间的平行线段相等得 )，通过全等三角形性质，即可得到要证的结论.(引导学生找出另一种证法)分析2：要证的两条线段分别是梯形的腰，我们借助于前面常用的辅助线，把梯形转化为平行四边形和三角形，然后再利用这些熟悉的知识即可证得 .证明：过点作分别交、于点、，得和，如图.∵，又∵，，为使学生对定理加深理解和掌握，把知识学活，可让学生认识几种定理的变式图形，如图(用计算机动态演示).引导学生观察下图，在梯形中，，，则可得到，由此得出推论 1.推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.再引导学生观察下图，在中，，，则可得到，由此得出推论2.推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.注意：推论1和推论2也都是很重要的定理，在今后的论证和计算中经常用到，因此，要求学生必须掌握好.接下来讲如何利用平行线等分线段定理来任意等分一条线段.例已知：如图，线段 .求作：线段的五等分点.作法：①作射线 .②在射线上以任意长顺次截取 .③连结 .④过点 . 、、分别作的平行线、、、，分别交于点、、、 .、、、就是所求的五等分点.(说明略，由学生口述即可)【总结、扩展】小结：(l)平行线等分线段定理及推论.(2)定理的证明只取三条平行线，是在较简单的情况下证明的，对于多于三条的平行线的情况，也可用同样方法证明.(3)定理中的平行线组，是指每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组.(4)应用定理任意等分一条线段.八、布置作业教材P188中A组2、9九、板书设计。

78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=(a+b)÷2 S= L×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d85 (3)等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似(ASA)92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS)94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似(SSS)95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值初中几何公式：圆101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三个点确定一条直线110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等115推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等118推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形120定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角121①直线L和⊙O相交d﹤r②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离d﹥r122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127圆的外切四边形的两组对边的和相等128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等130相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等131推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上135①两圆外离d﹥R+r ②两圆外切d=R+r③两圆相交R-r﹤d﹤R+r(R﹥r)④两圆内切d=R-r(R﹥r) ⑤两圆内含d﹤R-r(R﹥r)136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137定理把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆139正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n140定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形141正n边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n边形的周长142正三角形面积√3a/4 a表示边长143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4144弧长计算公式：L=n∏R/180145扇形面积公式：S扇形=n∏R/360=LR/2146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)1过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行初中几何公式：角9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补初中几何公式：三角形15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合初中几何公式：等腰三角形30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形初中几何公式：四边形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于(n-2)×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形初中几何公式：矩形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形初中几何公式：菱形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=(a×b)÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形初中几何公式：正方形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称初中几何公式：等腰梯形74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形。

初高中衔接教材第三部分——平面几何（一）知识要点1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰.2.平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例.3.相似三角形的判定与性质：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）.判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两角对应相等，两三角形相似.判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

简述为：三边对应成比例，两三角形相似.引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似.定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.相似三角形的性质：（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方.4.射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项.5.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半.6.圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.7.圆内接四边形的性质与判定定理定理1：圆的内接四边形的对角互补.定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆. 推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.8.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.9.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.10.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.11.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.12.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.（二） 典型例题例1:如图1，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则求EF 的长.例2:如图2，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，求BE 的长.例3:如图3，A 、E 是半圆周上的两个三等分点，直线BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，则求AF 的长．图 1图2 图3例4:如图4，过圆外一点P 作⊙O 的割线PBA 与切线PE ，E 为切点，连接AE 、BE ，∠APE 的平分线分别与AE 、BE 相交于点C 、D ，若∠AEB ＝30°，则求∠PCE .（三） 拓展练习例5:设圆1O 与圆2O 的半径分别为3和2，124O O ，,A B 为两圆的交点，试求两圆的公共弦AB 的长度.例6:如图：已知AD 为⊙O 的直径，直线BA 与⊙O 相切于点A ，直线OB 与弦AC 垂直并相交于点G ，连接DC . 求证：BA ·DC =GC ·AD .图5图4图6（四） 巩固练习1．如图7，321////l l l ，3AM =,5BM =, 4.5CM =,16EF =,则DM =_____，EK =____，FK =____.2．如图8，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距墙80cm ，梯上点D 距墙70cm ，BD 长55cm ，则梯子的长为 cm ．3.如图9，在平行四边形ABCD 中， DB 是对角线，E 是AB 上一点，连结CE 且延长和DA 的延长线交于F ，则图中相似三角形的对数是 ．4. 如图10，在R t A B C ∆中，90C ∠=︒，D 是BC 中点，DE AB ⊥，垂足为E ，30B ∠=︒，7AE =,则DE 的长为 ．5．如图11，BD 、CE 是ABC V 的中线，P 、Q 分别是 BD 、CE 的中点，则:PQ BC = .6.如图12，AB 是O 的直径，P 是AB 延长线上一点，PC 切O 于点C ，3PC =，1PB =，则O 的半径为 ．7.如图13，圆O 上的一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD =4，BD =8，则圆O 的直径为 ．ABPC·图12OBA MCE KF BD l 1 l 2l 3 图7 ADB ┐┐图8 AFE BCGD图9 D A┐CBE 图10图118．如图14，AB 为O 的直径，且8AB = ，P 为OA 的中点，过P 作O 的弦CD ，且:3:4CP PD =，则弦CD 的长度为 .9．如图15,PA 切O 于点A ，4PA =，PBC 过圆心O ，且与圆相交于B 、C 两点，:1:2AB AC =，则O 的半径为 ．10.如图，PC 切O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD AB ⊥ 于点E ，已知O 的半径为3，2PA =，则PC =_________，OE =_________.11．如图17，在ABC ∆中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ． 求证：AC AF AB AE ⋅=⋅．图16B图1412．如图18，已知AP 是⊙O 的切线，P 为切点，AC 是 ⊙O 的割线，与⊙O 交于B C ，两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点．（1）证明: AP O M ，，，四点共圆； （2）求OAM APM ∠+∠的大小．13:如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F . （1）求FCBF的值； （2）若△BEF 的面积为1S ，四边形CDEF 的面积为2S ，求21:S S 的值．ABC∠的角平分线，过点C作14:如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是BAF⊥交AF的延长线于D点,CM AB⊥，垂足为点M.CD AF（1）求证：DC是⊙O的切线；⋅=⋅.（2）求证：AM MB DF DA参考答案例1.解析：连接BD 、DE ，由题意可知DE ⊥AB ，DE ＝32a ，BC ＝DE ＝32a ， ∴BD ＝⎝⎛⎭⎫a 22＋⎝⎛⎭⎫32a 2＝a ，∴EF ＝12BD ＝a 2.例2解析：由∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，知△ABE ∽△ADC ，∴AE AC ＝AB AD ，∴AE ＝AB AD ·AC ＝6×412＝2， ∴BE ＝AB 2－AE 2＝32＝4 2.例3解析：如图所示，∵A 、E 是半圆周上两个三等分点，∴△ABO 和△AOE 均为正三角形． ∴AE ＝BO ＝12BC ＝2.∵AD ⊥BC ，∴AD ＝22－12＝3，BD ＝1. 又∠BOA ＝∠OAE ＝60°，∴AE ∥BD . ∴△BDF ∽△EAF ，∴DF AF ＝BD AE ＝12.∴AF ＝2FD ，∴3AF ＝2(FD ＋AF )＝2AD ＝23， ∴AF ＝233.例4解析：由切割线性质得：PE 2＝PB ·P A ，即PE P A ＝PBPE，∴△PBE ∽△PEA ，∴∠PEB ＝∠P AE ， 又△PEA 的内角和为2(∠CP A ＋∠P AE )＋30°＝180°， 所以∠CP A ＋∠P AE ＝75°，即∠PCE ＝75°. 例5.解析：连AB 交12O O 于C ，则12OO AB ⊥，且C 为AB 的中点，设AC x =，则12O C O C ==124O O =，解得x =.故弦AB 的长为2x =例6.证明：∵ AC OB ^ ，∴ 90AGB ? ，又 AD 是⊙Ｏ的直径， ∴ 90DCA ? ，又 ∵ BAGADC ??（弦切角等于同弧对圆周角）∴ Rt △AGB ∽Rt △DCA ∴BA AGAD DC= ， 又∵ OG AC ^ ∴ GC AG = ∴BA GCAD DC= 即 BA •DC=G C •AD巩固练习:1.7.5,6,10;2. 440;3. 5;4.5; 5. 1:4 6. 4; 7. 10; 8. 7; 9. 3; 10. 4, 12511解析： 证明： ∵AD ⊥BC ，∴ADB ∆为直角三角形，又∵DE ⊥AB ，由射影定理知，AB AE AD ⋅=2． 同理可得AC AF AD ⋅=2， ∴AC AF AB AE ⋅=⋅． 12解析：证明:（1）连结OP OM ，，因为AP 与⊙O 相切于点P ，所以OP AP ⊥． 因为M 是⊙O 的弦BC 的中点，所以OM BC ⊥． 于是180OPA OMA ∠+∠=°． 由圆心O 在PAC ∠的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以AP O M ，，，四点共圆．（2）连接OA ，如图．由（1）得AP O M ，，，四点共圆， 所以OAM OPM ∠=∠．11F A B C 由（1）得OP AP ⊥．由圆心O 在PAC ∠的内部， 可知90OPM APM ∠+∠=°．所以90OAM APM ∠+∠=°．13.解析：（1）过D 点作//DG BC ，并交AF 于G 点，∵E 是BD 的中点，∴BE DE =，又∵EBF EDG ∠=∠，BEF DEG ∠=，∴BEF DEG ∆≅∆，则BF DG =，∴::BF FC DG FC =，又∵D 是AC 的中点，则:1:2DG FC =， 则:1:2BF FC =；（2）若BEF ∆以BF 为底，BDC ∆以BC 为底， 则由（1）知:1:3BF BC =，又由:1:2BE BD =可知1h :2h =1:2，其中1h 、2h分别为△BEF 和△BDC 的高，则612131=⨯=∆∆BDC BEF S S ， 则12:1:5S S =．14.解析：（I ）连结OC ，有∠OAC =∠OCA ，∵CA 是∠BAF 的角平分线，∴∠OAC =∠F AC ， ∴∠F AC =∠ACO ，∴OC ∥AD .∵CD ⊥AF ，∴CD ⊥OC ，即DC 是⊙O 的切线.（Ⅱ）连结BC ，在Rt △ACB 中，CM ⊥AB ， ∴CM 2=AM ·MB .又∵DC 是⊙O 的切线，∴DC 2=DF ·DA .易知△AMC ≌△ADC ，∴DC =CM ，∴AM ·MB =DF ·DA .。

平行线等分线段定理一、知识点1. 掌握平行线等分线段定理及其推论.2. 会利用等分点作平行线，转化成与比例相关的问题.二、例题分析第一阶梯[例1]已知：在△ABC中，D是AC的中点，DE∥BC交AB于点E，EF∥AC交BC于点F.求证：BF=CF.提示：（1）由已知条件可得几个中点？有几条平行线？（2）平行线等分线段定理及推论是如何叙述的？（3）此题有几种方法证明？请比较一下其方法之间的联系？参考答案：证明：在△ABC中，∵D是AC的中点，DE∥BC.∴E是AB的中点.（经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边）.又∵EF∥AC，交BC于F.∴F是BC的中点，即BF=FC.说明：（1）在三角形中，给了一边的中点和平行线，根据平行线等分线段定理的推论2，可得出平行线与另一边的交点即是中点.（2）此题也可以利用平行四边形和全等形来证明，但麻烦.[例2]求证在直角梯形中，两个直角顶点到对腰中点的距离相等.已知：如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，E是AB边的中点，连结ED、EC.求证：ED=EC.提示：（1）对一个命题进行证明，首先要分清什么？再根据题意如何？（2）在梯形中，若已知一腰的中点，一般过这点作什么样的辅助线即可得到另一腰的中点.（3）请总结一下利用平行线等分线段定理及推论时所必备的条件和所得的结论分别是什么？参考答案：证明：过E点作EF∥BC交DC于F.∵在梯形ABCD中，AD∥BC.∴AD∥EF∥BC.∵E是AB的中点.∴F是DC的中点（经过梯形一腰中点与底平行的直线必平分另一腰）.∵∠ADC=90°∴∠DFE=90° ∴EF⊥DC于F 又F是DC中点∴EF是DC的垂直平分线∴ED=EC（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）.说明：（1）命题证明要正确的理解题意，按题意画出图形.再根据图形，写出已知和求证.（2）此题作EF与DC垂直，证EF∥BC也可以.第二阶梯[例1]在□ABCD中，E和F分别是BC和AD边的中点，BF和DE分别交AC于P、Q两点.求证：AP=PQ=QC.提示：（1）图形中可以得到几条平行线？与结论有关的平行线分别在哪几个三角形中？被平行线所截线段的位置有何特殊关系？（2）利用平行线和中点，可以得到三角形哪条边的中点？（3）平行四边形在此题中的作用是什么？如果把平行四边形改成梯形，结论成立吗？若改成其它的特殊四边形呢？参考答案：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、AD边上的中点.∴四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形定平行四边形）∴在△ADQ中，F是AD的中点，FP∥DQ.∴P是AQ的中点∴AP=PQ.在△CPB中，E是BC的中点，EQ∥BP.∴Q是CP的中点. ∴CQ=PQ.∴AP=PQ=QC.说明：（1）此题两次利用了E、F是中点的条件.（2）在利用平行线等分线段定理或推论时要把平行和中点两个条件摆齐.[例2]已知：△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，EF∥BC交AB于F.求证：AF=BF.提示：（1） E点是DC边的中点吗？图形中E是什么点？直观上，你觉得图形完善吗？（2）如何添加辅助线，使EF与某三角形的一边平行且E是其中一边的中点？（3）在三角形中，一般的有角平分线的条件，就可以构选什么图形？参考答案：证明：延长AE交BC于M. ∵CD是∠ACB的平分线，AE⊥CE于E∴在△AEC与△MEC中∴△AEC≌△MEC∴AE=EM∴E是AM的中点，又在△ABM中FE∥BF.∴点F是AB边的中点∴AF=BF.说明：（1）一般情况下，几何图形应具有对称的内在美，当感觉上图形有些缺点时，就要添加适当的辅助线，使其完善此题中，AE⊥CE于E，恰在三角形内部，而Rt△AEC 又不好用.所以延长AE与BC相交就势在必行了.（2）在三角形中，若有角平分线可构造全等三角形，有一边上的中点，过这点可作平行线.（3）△AEC与△MEC只能证全等后才能得到AE=EM，在此没有定理可用.第三阶梯[例1]已知：如图以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作□ACED，DC的延长线交BE于F.求证：EF=BF.提示：（1）梯形的上下两底具有什么性质？平行四边形的对角线有什么性质？（2）如何添加辅助线，再结合条件平行四边形，得到某条线段的中点呢（3）此题有几种构造三角形中点的方法？构造梯形可以吗？请试一试.参考答案：证明：连结AE交DC于O ∵四边形ACED是平行四边形∴O是AE的中点（平行四边形对角线互相平分）.∵梯形ABCD∴DC∥AB在△EAB中，OF∥AB 又O是AE的中点.∴F是EB的中点∴EF=BF.说明：（1）证题时，当一个条件有几个结论时要选择与其有关联的结论.（2）此题可延长EC，在梯形ABCD内构造平行四边形或以AB、BE、AD的延长线为边构造梯形也可以得证.[例2]梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B=60°，AB=BC，E为AB的中点.求证：△ECD为等边三角形.提示：（1）由条件可知，CE是哪个特殊三角形的什么线段？为什么？∠2的度数是多少？（2）在梯形ABCD中，有AB边的中点E，如何添加辅线后，得到ED=EC？为什么？（3）此题不用平行线等分线段定理，还有别的方法吗？试一试.参考答案：证明：连结AC，过点E作EF∥AD交DE于F.∵梯形ABCD ∴AD∥BC ∴AD∥EF∥BC.又∵E是AB的中点，∴F是DC的中点（经过梯形一腰的中点与底平行的直线平分另一腰）∵DC⊥BC ∴EF⊥DC∴ED=EC （线段垂直平分线上的点和线段两端点的距离相等）∴△EDC为等腰三角形.∵AB=BC ∠B=60° ∴△ABC是等边三角形∴∠ACB=60° 又E是AB边中点∴CE平分∠ACB∴∠1=∠2=30° ∴∠DEF=30°∴∠DEC=60° 又ED=EC∴△DEC为等边三角形.说明：（1）一般在梯形中给出了一腰的中点，常添加的辅助线有①过这一点作底边的平行线，由平行线等分线段定理推论得另一腰的中点；②可延长DE（或CE）与底边相交，构造全等三角形.（2）此题不要AB=BC的条件，保留其它条件构造全等三角形也可得证不访试一试.。