二年级奥数第十讲：一半问题

二年级奥数-画图法(总11页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第10课时用画图法解题一、教学目标1.培养学生根据题意画图的能力，使其初步掌握这种方法。

2.教会学生画图的方法，阿凡提和巴依老爷是邻居.阿凡提家有6只羊，巴依家有12只羊.一天，巴依把自己家的羊卖了6只，又偷来阿凡提家的6只羊，和自家剩下的6只羊混在一起，关在自家羊圈里，每边关3只(如图).但聪明的阿凡提把羊重新排了一下，牵回了被巴依偷的6只羊，而且每边仍是3只.你知道阿凡提是怎样排的羊吗本节课主要内容：我们在解决很多应用题的时候都需要通过画图来解决，学生根据题意画图的能力，也决定了他的解题能力，这种能力需要从小培养.那么在本节课中我们将通过一些典型例题来引导孩子学习画图的方法,让学生会用画直观图的方法来解决鸡兔同笼和排队问题.会用画线段图的方法来解决简单的倍数问题.【教学思路】首先老师要引导学生读故事，然后画出如左下图的简易图，开始的时候是12只羊，每边3只，中间是房子所以不放.阿凡提把自己家的6只羊都牵走了，这样就只剩下6只羊来重新排列，而且还必须每边3只.具体排法如右下图：在数学的海洋中，有时解决一些问题你是否发现只要我们多动手，动手摆一摆、动手画出直观图，就可以很轻松的解决问题呢！画图的方法有很多，如画线段图、画直观图等，究竟这些方法应该怎样应用呢？下面就让我们通过一些数学问题来体会画图法的妙用吧！很多数学问题，都可以用画图法小朋友们，我们所学习的排队问题一般可以通过画图来解决，我们不妨来试一试.二年级同学外出参观，二(1)班34人排成一行，从左向右数，小雪是第8个，从右向左数，小芹是第9个，那么从小雪数到小芹一共有多少个同学【教学思路】排队问题对于低年级孩子理解起来比较抽象，我们可以通过画图来引导学生理解.方法一：从图中看出，从左数小雪排第8个，也就是小雪的左边有7个人，从右数小芹排第9个，也就是小芹的右边有8个人，这样从小雪开始数到小芹只需要从总人数中把小雪左边的7个人和小芹右边的8个人减掉就可以了，列式：34-（8-1）-（9-1）=19（人）方法二：从图中看出，从左数小雪排在第8个，也就是从左边到小雪有8个人，从右数小芹排第9个，也就是从右到小芹有9个人，其余的人就排在小雪和小芹中间.中间有34-8-9=17（人），这样加上小雪和小芹一共有19人.列式：34-8-9=17（人）；17+2=19（人）答：从小雪数到小芹一共有19个同学.巩固练习在一次数学竞赛的颁奖大会上，同学们排成一队上台领奖，从排头数起李阳是第22个；从排尾数起，何平是第24个.已知李阳的前一个是何平.问一共有多少同学上台领奖【教学思路】右图可见，从排头数起的22人，把何平和李阳数了一次，由排尾数起的24人，又把李阳和何平数了一次，这样，把两人都多数了一次，所以，在计算总人数时，应该减去多数的2人.列式：22+24-2=44（人），这队共有同学44人.对于排队问题，我们在春季将进一步的来学习，到时候同学们就可以用画图的方法大显身手了.现在我们再来研究另一种有趣的问题——鸡兔同笼问题，这个问题一定要通过画图才能更好的理解.王大妈去市场上买回来了一些鸡和兔，她把鸡、兔关在同一个笼子里，数了数,共有10个头，26条腿，你知道王大妈买回来了几只鸡几只兔【教学思路】因为这道题只跟动物的头和腿有关，那么可以画出直观图进行分析.我们可以用“〇”表示头，画十个“〇”；用“|”表示一条腿，先把它们全部看作是腿较少.的动物，也就是全部画成鸡少画了26-20=6条腿，由于一只兔子比一只鸡多两条腿，6÷2=3（只），所以我们应该在三只鸡的图上再分别加上两条腿，使它们成为兔子，则鸡有10-.3=7（只）巩固练习一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿.有蛐蛐和蜘蛛共10只，共68条腿，蛐蛐和蜘蛛各有多少只?我们仍然可以用图来帮忙，“〇”表示头，但由于蛐蛐和蜘蛛的腿比较多，画“|”不方便，我们就用数字表示腿的条数.写在头的下面，先把它们看成是腿较少的动物——蛐蛐，然后再看差了几条腿，需要在几只蜘蛛上各添上2只，就达到68条腿，问题【教学思路】从图中可以看出：十只蛐蛐一共有六十条腿，比已知条件少了68-60=8（条）腿，而一只蜘蛛比一只蛐蛐多两条腿，8÷2=4（只）.只要在四只蛐蛐的图上再各添两条腿，使它们成为蜘蛛的表示图就行了.所以共有4只蜘蛛，10-4=6（只）蛐蛐.一辆自行车有2个轮子，一辆三轮车有3个轮子.车棚里放着自行车和三轮车共8辆，共20个轮子.自行车、三轮车各有多少辆【教学思路】通过画图进行分析，如果都堪称自行车，那么一共是2×8=16（个）轮子，还差20-16=4（个）轮子，自行车比三轮车少一个轮子，所以就有4辆三轮车.还剩下8-4=4（辆）就是自行车.一共有4辆三轮车和4辆自行车.还有一些应用题，我们不容易直接分出他们的数量关系，这时我们可以通过画线段图的方法来解决问题，画线段图可是我们解决应用题的法宝哦!奥数网图书采购员去西单图书大厦买《奥数课本》一书，他的钱若买4本还剩2元；若买5本，就差7元．问采购员带了有多少钱?【教学思路】这道题用画图法显示更容易分析.依题意画出线段图，由图可见一本的价钱是：2+7=9（元）所以采购员有的钱是9×4+2=38(元) 或9×5-7＝38(元).一筐鲜鱼，连筐共重56千克．先卖出鲜鱼的一半，再卖出剩下的一半，这时连筐还重17千克．原来这筐鲜鱼重多少千克【教学思路】由图可以看出总重减去最后剩下的(包括筐重和鱼)等于第一次和第二次卖出的鲜鱼总数．又知第一次卖出的是第二次卖出的2倍，即两次卖出的鲜鱼总数是第二次卖出的3倍，即得第二次卖出鱼的总量为(56－17)÷3＝13千克．原来鲜鱼总数为13×4＝52千克．小军、小方和小雄共有12本小人书，小军比小方多2本，小方比小雄多2本，问他们三人各几本?【教学思路】通过“小军比小方多2本，小方比小雄多2本”可知：小雄的小人书最少，然后是小方的，最后小军的小人书最多，这样我们可以画出线段图.这道题的解答方法很多.方法一：把小军多的2本，补在小雄少的位置，这样三人的小人书就跟小方一样多.我们可以先求出小方的本数：12÷3=4（本）；小军：4+2=6（本）；小雄：4-2=2（本）.方法二：采用添加差线段的方法可得：(12+2×3)÷3＝6(本)(小军)；6－2＝4(本)(小方)；4－2＝2(本)(小雄)；方法三：同样也可采用去掉差线段的方法得： (12－2×3)÷3＝2(本)(小雄)； 2+2＝4(本)(小方)； 4+2＝6(本)(小军)．【教学思路】绳子的总厂不变，根据题意我们可画出线段图：小秋第二次把绳子对折量，井外留1米长的双股绳相当实际绳长2米，比第一次单股绳测时，井外少了15－2＝13(米)，因为这段绳放到井里去了，所以得出井深为13米．附加题（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用.）拓展与提高小秋用一根绳子测量一口枯井的深．他把绳子放入井里，当绳子到达井底后，井外还留有15米；小秋又把这根绳子对折后再放入井里，井外还留有1米．请问，这口枯井有多少米深?小初、小美、小英三个人分糖块．小美比小英多3块，小初比小美多2块．已知糖块总数是50块，那么每人各分到多少块【教学思路】依题意画图，可以先画小英，见上图中①，再画小美，它比小英多3块，见上图中②，接着再画小初，它又比小美多2块，见上图中③，至此，图已画完，下面借助此图进行分析推理．由图可见，小初比小英多3+2＝5块，由图还可以看出，50－(3+5)＝42(块)就是小英糖数的3倍，所以小英的一份是：42÷3＝14(块)；由此可求出小美的一份是14+3＝17(块)；小初的一份是17+2＝19(块)．小玲家养了46只鸭子，24只鸡，养的鸡和鹅的总只数比养的鸭多5只.小玲家养了多少只鹅?【教学思路】将已知条件表示为上图：表示为算式是：24+?=46+5.由此可求得养鹅(46+5)-24=27(只).父亲今年40岁，小丽10岁．问几年以后父亲年龄是小丽年龄的2倍【教学思路】这道题我们用画格子的方法，学生更直观一些.先画阴影部分，小丽(10岁)占1格，父亲(40岁)占4格，年龄差(40－10=30(岁))是3格，再画图表示二人年龄的增长，注意应从上往下画．不难得出当二人年龄各增加2格时，即20年后(父亲是6格，小丽是3格)父亲年龄是小丽年龄的2倍．个小朋友排队，从前往后数红红站在第8个，从后往前数明明站在第8个，红红和明明之间有几个小朋友？【答案】20-8-8=4个，红红和明明之间有4个小朋友.2.鸡兔同笼共有14个头，38条腿，有几只鸡几只兔【答案】有5只兔子和9只鸡.3.蛐蛐和蜘蛛共8只，腿54条，蛐蛐和蜘蛛各几只？【答案】有3只蜘蛛和5只蛐蛐.4.王强和李明都想买一本《趣味数学》，但王强的钱少2元5角，李明的钱少3元1角．如果两个人的钱合在一起就刚够买这本书．问一本《趣味数学》多少钱王强和李明各有多少钱【答案】一本书的书价是： 2元5角+3元1角＝5元6角．王强有3元1角，李明有2元5角．5. 玻璃瓶里装着一些水，把水加到原来的2倍时，和瓶一起称重5千克；把水加到原来的4倍时，再称一称重为9千克，问原来水有多少千克【答案】由图可见，线段③－线段②＝2倍小线段，即一条小线段表示(9－5)÷2＝2(千克)，即原来瓶中水重是2千克．狗熊卖瓜一天，狗熊艾伦推着一辆车，沿街叫卖着：“卖瓜啰，又甜又脆的西瓜，甜滋滋的葡萄……”听到叫卖声，狐狸麦思跑了过来：“这鬼天气可真热啊，熊大哥，你这西瓜怎么卖啊？”“便宜着呢，5元一个.”艾伦说.“那就给我拿2个吧.”麦思接过递过来的西瓜，突然他一拍脑袋说：“瞧我这记性，我儿子是让我来买葡萄的，怎么买也西瓜呀.熊大哥，你这葡萄怎么卖啊？”“2元一串，包甜.”“这样吧，我拿这2个西瓜换5串葡萄行不？反正都是10元钱.”麦思说.艾伦想了想爽快地说：“没问题.”说着接过2个西瓜，换了5串葡萄给麦思.麦思拿着5串葡萄刚要转身离去，被艾伦叫住了：“哎，狐狸老弟，你记性可真够差的，还没付钱呢.”麦思一愣，疑惑地说：“熊大哥，我看你搞错了吧！我是用2个西瓜换的这5串葡萄啊，你怎么能再向我要钱呢？”听麦思这么一说，艾伦急了：“可这西瓜的钱你并没有付啊？”麦思的脸一沉说：“咦奇怪了，有你这么做生意的吗我把西瓜不是还给你了吗怎么还问我要西瓜的钱啊！”这下艾伦给弄糊涂了：“你的确没有吃我的西瓜，当然就不用付西瓜的钱，可你手上拎的那5串葡萄是我的，你得付葡萄的钱呀？”“我不是跟你说了吗这葡萄是我用西瓜换的呀这葡萄的钱你就更不应该收了呀.”“对！对！对！是我搞错了，对不起啊，欢迎下次再来买.”艾伦赔着笑脸说.看到这儿，聪明的小朋友，你们说说这钱究竟该不该付呢？。

把一个自然数（0除外）拆成几个自然数相加的形式，叫自然数的拆分.在这节课中，我们就将来研究关于自然数的拆分问题.希望通过学习，使学生从中学到一些有序和全面思考问题的方法.知识点：掌握自然数拆分的一般方法——枚举.【教学思路】小松鼠把9个松果分成不一样多的三份，6=1+2+3，所以可以分成.小白兔说它把9个蘑菇分成个数不同的4份.这是不对的.因为1+2+3+4=10.9个蘑菇是分不出个数不同的4份的.① 小松鼠和小白兔上学迟到了.熊猫老师问：“你俩今天为什么迟到了?” 小松鼠说：“我在上学的路上遇到三个小弟弟，他们饿(e)得很，我就采了6个松果.分成数量不同的3份，送给他们每人一份.”② 小白兔说：“我在上学的路上遇到四个小妹妹．她们饿得很，我就采了9个蘑菇.分成数量不同的4份，送给她们每人一份.” 熊猫老师说：“松鼠说的是实话.小白兔说的是谎话.”③ 小白兔听后，惭愧地低下头，说：“老师，我错了，今后我一定做个诚实的孩子.” 小朋友.熊猫老师怎么知道小白兔说的是谎话?把一个自然数（0除外）分拆成几个自然数相加的形式，这种方法叫做自然数的分拆.下面让我们一起来学习怎样分拆自然数，从中学到一些有序和全面思考问题的方法.强强和明明两人到游乐园玩射击游戏，如下图他们每人打了两发子弹，均击中了靶子(即无脱靶现象).强强两发共打了12环，明明两发共打了8环.又已知没有哪两发子弹打在同一环中，请你推算一下他俩打中的是哪几环?【教学思路】要求强强和明明各打中的环数，即是把12，8按环数进行拆分的问题.也就是要把12和8拆分成两个数相加.因为靶子中的环数只有2、4、6、8、10环.所以这两个数只能从这些数中选择.因为12=8+4=10+2，8=6+2.根据“没有哪两发子弹打在同一环中’’的条件，可以知道甲打中的是8环和4环，乙打中的是6环和2环.把5拆成几个自然数相加的形式，共有多少种不同的拆分方法?(0除外)【教学思路】要做到拆分得不重、不漏，要注意有序思考，一般我们采用枚举法.例如先拆成两部分，再拆成三部分、四部分，最后拆成五部分.拆分过程是：5=1+4=2+35=1+1+3=1+2+25=1+1+1+25=1+1+1+1+1答：共有6种不同的拆分方法.按下面的要求，把自然数6进行拆分.（1）把6拆成几个自然数相加的形式（0除外），共有多少种不同的拆分方法？（2）把6拆成几个不完全相同的自然数相加的形式（0除外），共有多少种不同的拆分方法？（3）把6拆成几个完全不相同的自然数相加的形式（0除外），共有多少种不同的拆分方法？【教学思路】（1）6=1+5=2+4=3+3 ；6=1+1+4=1+2+3=2+2+2 ；6=1+1+1+3=1+1+2+2 ；6=1+1+1+1+2 ；6=1+1+1+1+1+1 共10种方法.（2）从（1）中，把完全相同的3种方法剔除6=3+3=2+2+2=1+1+1+1+1+1，则还剩7种.（3）“几个完全不相同的自然数”也就是“不同的自然数”，即拆分的数不能相同.那么就只有6=1+5=2+4=1+2+3 ，3种拆分方法.猪妈妈让小猪三兄弟去摘野果，它要求三兄弟一共要摘10个，每只小猪至少摘2个，按照妈妈的要求，现在小猪们要分配任务了，它们有多少种不同的分配方法?【教学思路】要求有几种不同的分配方法，就是求把10拆成3个不完全相同的自然数，因为每个小猪至少要摘2个，所以0，1除外，共有多少种拆分方法呢.拆分过程是：lO=2+2+610=2+3+510=2+4+410=3+3+4答：共有4种不同的分组方法.巩固拓展体育课上，10个小朋友分成三组做游戏，一共有多少种不同的分组方法？【教学思路】10个小朋友分成三组做游戏，那么每组最少要有1个人，这道题和上一题比不同就是，就是多了拆成1的部分.具体拆分过程如下：10=1+1+8=1+2+7=1+3+6=1+4+510=2+2+6=2+3+5=2+4+410=3+3+4答：一共有8种不同的分组方法.兔妈妈拔了12个萝卜，它要把这些萝卜分给三个兔宝宝吃，每个小兔至少要有1个，并且它们分到的萝卜数量都不同.可以怎样分呢？【教学思路】这道题也就是要我们把12拆分成3个不同的自然数，可以做如下考虑：若将12分拆成三个不同的自然数之和，三个数中最小的数应为1，其次是2，那么第三个数就应是9得：12＝1+2+9．下面进行变化，如从9中取1加到2上，又得：12＝1+3+8．继续按类似方法变化，可得下列各式：12＝1+4+7＝2+3+7，12＝1+5+6＝2+4+6，12＝3+4+5．共有7种不同的分拆方式．巩固拓展4个小朋友去学校图书室一共借了12本书.图书室规定，每个人最多只能借9本书，现在这四个小朋友手里的书数量都不一样多.想一想，他们手中各有几本书？【教学思路】把12拆分成4个不同的自然数只有唯一一种方法：12=5+4+2+1，所以这几个小朋友手中的书分别是5本、4本、2本、1本。

一半问题月日姓名【知识要点】一些物体分成同样多的两份,其中一份就是总数的一半,已知一半数求总数,只要用一半数再加一半数就是总数,当出现连续几次一半,要仔细分辨,正确计算总数.【解题策略】例1 妈妈买回一些草莓，小明吃了一半后，还剩下6颗，妈妈买回多少颗草莓？例2 妈妈买来一些桃子，哥哥吃了3个，弟弟吃了4个正好吃了一半，妈妈买回的桃子共多少个？例3 想想有20本图书，各种书的本数如下图那样分配，想想有几本数学书？例4 鱼鱼有12本书，拿走故事书的一半后，还有11本书，鱼鱼有几本故事书呢？例5 秋秋有邮票4张，秋秋的邮票张数是苏苏的一半，苏苏的邮票张数是想想的一半，想想有邮票多少张？【趣题】一个年轻人来到苏苏的店里买礼物，成本是18元，标价是21元，结果这个年轻人掏出100元，来买这件礼物，苏苏当时没有零钱，用那100元跟像街坊换了100元的零钱，找给年轻人79元，但是街坊后来发现那100元是假钞苏犯罪分子无奈还给街坊100元。

现在问题是：苏苏在这次交易中到底损失了多少元？课后作业月日姓名家长签名1．晶晶购买了一些连环画，借给小青一半后，还剩4本，晶晶买的连环画共多少本？2．妈妈买回一些荔枝，爸爸吃了10颗，兵兵吃了5颗，正好吃了全部的一半，妈妈一共买回多少颗荔枝？3．小欣从南京旅游回来，给她的好朋友带了60颗雨花石，她是这样分配的，你知道小文分得多少颗吗？4．小敏有12本故事书，拿走《故事大王》书的一半后，还剩8本书，小敏有几本《故事大王》书？5．小兔重1千克，正好是小狗体重的一半，小狗的体重又正好是小猪体重的一半，你知道小猪有多重吗？随堂小测月日姓名家长签名1．小宝买了一些苹果，给了妹妹一半后，还剩5个，小宝买了几个苹果？2．小豆豆分桃子，哥哥吃了5个，小豆豆吃了4个，剩下一半留给妈妈和爸爸，问小豆豆家共有几个桃子？3．妈妈给了小甜甜一个星期的零花钱，小甜甜第一天买了一本书，花了5元，第二天吃了一个冰淇淋花了3元，第三天一看只剩下一半了，你知道妈妈给了小甜甜多少钱吗？4．熊妈妈有两个宝宝，这天熊妈妈抓到20条鱼，她要和几个宝宝一起吃，现在她把鱼分好了，你知道每个熊宝宝吃几条鱼吗？5．15个小朋友去春游，有一半的男生去划船了，岸上还剩10个小朋友，你知道岸上有几个女生吗？6．林子里有许多小鸟，白头翁有3只，白头翁的只数正好是喜鹊的一半，喜鹊的只数又正好是麻雀的一半，你知道这三种鸟共有多少只吗？。

第十讲趣味数学（二）例1 25个人过一条河，只有一条船，每次只能坐5个人，至少要渡几次，才能使大家全部过河？【思路导航】虽然小船每次能坐5个人，但在船返回时，必须有一个人驾船返回。

因此，每次只能有5－1=4（人）上岸。

最后一次不必返回，因此最后一次有5人上岸。

前面20人必须渡20÷4=5（次），加上最后一次，一共要渡6次。

列式如下：（25－5）÷（5－1）＋1=20÷4＋1=5＋1=6（次）答：至少要渡6次才能使大家全部过河。

练习11．19名战士要过河，只有一条船，每只船上只能坐4名战士，至少要渡几次，才能使全体战士过河？2．51个人要过一条河，只有一条船，每次只能载6人，至少要渡几次，才能使大家全部过河？3．33个小朋友要坐船过河，河边只有一条小船，船上每次只能坐5人，至少几次才能使大家全部过河？例2、25人要去参观展览，有两种车，一种是面包车，每辆可乘8人，另一种是小轿车，每辆可乘3人，可怎样派车？哪种方案最好？【思路导航】如果只派面包车：25÷8=3（辆）……1（人），要派4辆；如果只派小轿车：25÷3=8（辆）……1人（人），要派9辆；如果又派面包车又派小轿车，正好一次把25人送完，就是最好的方案。

从派面包车的情况看出，少派1辆面包车，就多9人，这9人正好用3辆轿车送。

2×8＋3×5=25（人）派2辆面包车，3辆小轿车正好一次送完，每辆车上都没有空位，这是最好的方案。

练习21．一个旅游团共有62人，现在有两种车，面包车每辆最多坐10人，小轿车每辆最多坐3人，问派几辆面包车几辆小轿车能一次把他们送到火车站？2．一个人用一只小船过河，他带了三样东西，一只狗、一只鸡、一蓝青菜。

他每次只能带一样东西过河，而且没人的时候狗会吃鸡，鸡会吃菜。

这个人应该怎样过河才能保证三样东西都完整。

3．一个和尚带着两个小和尚去河对岸的寺院，河上没有桥，他们又都不会游泳。

第十讲一半问题哪吒智闯水晶宫--二郎神帮忙哪吒正在继续寻宝的路上，突然听到从桃树林里传出一阵急促的“汪、汪……”狗叫声，哪吒心想：难道又有埋伏？急忙倒退几步，一只体型彪悍的猎狗从眼前一跃而过，转眼就不见了踪影。

哪吒：“这不是二郎神的哮天犬吗，怎么跑到这里来了？”这时二郎神从桃树林里钻了出来说道：“哪吒你好啊，好久不见又长高了！”哪吒：“二郎神，你到这里来干什么？”二郎神：“前几天东海龙王请我过来赴宴”哪吒急于想拿自己的宝贝，说道：“那祝你玩的开心，我就不打扰了”说完就想走。

二郎神：“慢！我知道你此次闯水晶宫的目的，我跟你父亲也算是朋友，你帮我回答一个东海龙王为难我的问题。

如果你答出来了，我就帮你把乾坤圈找回来”这时哮天犬嘴里叼着一根骨头跑了过来，二郎神笑着说道：“东海龙王给我的孝天犬很多根美味的骨头，第一天他吃掉了总数的一半少2根，第二天吃掉了剩下的一半多1根，最后还剩2根，东海龙王问我他一共给我家孝天犬多少根骨头？”哪吒说道：“很简单，8根“，二郎神喜出望外，为了感激小哪吒，他带着小哪吒到了东海龙王藏乾坤圈的地方，和哪吒一起大战虾兵蟹将，最终帮着哪吒夺回了他的宝贝乾坤圈。

例题精讲：例1 爸爸买了一些草莓，小明吃了一半后，还剩下6个，爸爸买了多少个草莓？分析：根据题意，爸爸买了一些草莓，吃了一半，剩下6个与吃了的同样多，说明吃了的一半也是6个。

因而原来一共有6+6=12（个）。

所以，爸爸买了12个草莓。

例2 妈妈分给小静8块巧克力，剩下的分给小英。

小静分得的块数正好是小英的一半，分给小英几块巧克力？分析：根据题意，我们知道小静分得的块数正好是小英的一半，也就是小英的一半和小静一样多，小英的一半是8块巧克力，那么小英就有两个一半，即8+8=16（块）。

例3 一篮苹果，小明拿走一半后，妈妈和爸爸平均分剩下的一半，妈妈得了3个。

篮里原来有几个苹果？分析：根据题意，妈妈和爸爸平均分剩下的一半，说明妈妈和爸爸分的一样多，妈妈得了3个，爸爸也就得3个，妈妈和爸爸一共6个。

一升二年级思维数学讲义第七讲 一半的问题 思维目标：形成“一半”的概念，培养合理的推理能力。

数学知识：解决问题。

思维：能说出多少的一半是几。

数学：理清解题思路，解决问题。

【例1】 一根电线长8米，把它对折，每折长几米？点金术：把8米长的电线对折，每折的长度就是原来的一半（如图所示）8的一半是4，所以每折长度是4米。

试金石：1、 说出下面各数的一半分别是多少？10 16 6 12 202、妈妈有12颗奶糖，分给小亚和小巧各一半，她们各得了多少颗糖？3.小胖做口算题，第1次做了8道题，第2次做的正好是第一次的一半，小胖一共做了几道口算题？【例2】 奶奶买回来一些桃子，弟弟吃了一半后，还剩3个，奶奶买回多少个桃子？ 点金术：奶奶买回一些桃子，吃掉了一半，剩下的3个桃子与吃掉的一样多，说明吃掉的也是一半是3个，所以奶奶买回来6个桃子。

算式：3+3=6（个）1、 妈妈买回来一些草莓，小丁丁吃了一半后，还剩4个，妈妈买回多少个草莓？2、 小巧买了一些故事书，借给小亚一半后，还剩6本，小巧买了几本故事书？3、 小胖和小丁丁买了一些铅笔对半分，小丁丁拿了8支，小胖拿了几支铅笔？他们一共买了几支铅笔？【例3】 小巧有铅笔和圆珠笔共12支，拿走圆珠笔的一半后，还有9支笔，小巧有几支圆珠笔？点金术：从12支笔中拿走圆珠笔的一半后还剩9支，说明拿走了12—9=3（支），拿走了3支圆珠笔，剩下的圆珠笔也是3支，所以圆珠笔一共有3+3=6（支）试金石：1、 兄弟俩人共有10元钱，弟弟拿走自己钱的一半后，兄弟俩还剩8元，弟弟原来有多少钱？2、 今年小胖的年龄正好是哥哥年龄的一半，哥哥去年7岁，小胖今年几岁？3、 小巧有杂志和连环画共20本，小丁丁借走了连环画的一半后，小巧还剩16本书，小巧有杂志多少本？【例4】 小朋友们要做12朵纸花，小胖做了其中的一半，小亚又做了剩下的一半，最后剩下的由小丁丁来完成，小丁丁做了几朵？点金术：共有12多纸花，小胖做了其中的一半，12的一半是6，所以剩下的还有6朵，小亚做了剩下的一半，6的一半是3，所以最后剩下的3朵全部由小丁丁来完成，小学习目标 知识梳理精讲精练 8米 圆珠笔 12支笔剩下9支 拿走圆珠笔的一半丁丁做了3朵纸花。

第十讲一半问题哪吒智闯水晶宫--二郎神帮忙哪吒正在继续寻宝的路上，突然听到从桃树林里传出一阵急促的“汪、汪……”狗叫声，哪吒心想：难道又有埋伏急忙倒退几步，一只体型彪悍的猎狗从眼前一跃而过，转眼就不见了踪影。

哪吒：“这不是二郎神的哮天犬吗，怎么跑到这里来了”这时二郎神从桃树林里钻了出来说道：“哪吒你好啊，好久不见又长高了！”哪吒：“二郎神，你到这里来干什么”二郎神：“前几天东海龙王请我过来赴宴”哪吒急于想拿自己的宝贝，说道：“那祝你玩的开心，我就不打扰了”说完就想走。

二郎神：“慢！我知道你此次闯水晶宫的目的，我跟你父亲也算是朋友，你帮我回答一个东海龙王为难我的问题。

如果你答出来了，我就帮你把乾坤圈找回来”这时哮天犬嘴里叼着一根骨头跑了过来，二郎神笑着说道：“东海龙王给我的孝天犬很多根美味的骨头，第一天他吃掉了总数的一半少2根，第二天吃掉了剩下的一半多1根，最后还剩2根，东海龙王问我他一共给我家孝天犬多少根骨头”哪吒说道：“很简单，8根“，二郎神喜出望外，为了感激小哪吒，他带着小哪吒到了东海龙王藏乾坤圈的地方，和哪吒一起大战虾兵蟹将，最终帮着哪吒夺回了他的宝贝乾坤圈。

例题精讲：例1 爸爸买了一些草莓，小明吃了一半后，还剩下6个，爸爸买了多少个草莓分析：根据题意，爸爸买了一些草莓，吃了一半，剩下6个与吃了的同样多，说明吃了的一半也是6个。

因而原来一共有6+6=12（个）。

所以，爸爸买了12个草莓。

例2 妈妈分给小静8块巧克力，剩下的分给小英。

小静分得的块数正好是小英的一半，分给小英几块巧克力分析：根据题意，我们知道小静分得的块数正好是小英的一半，也就是小英的一半和小静一样多，小英的一半是8块巧克力，那么小英就有两个一半，即8+8=16（块）。

例3 一篮苹果，小明拿走一半后，妈妈和爸爸平均分剩下的一半，妈妈得了3个。

篮里原来有几个苹果分析：根据题意，妈妈和爸爸平均分剩下的一半，说明妈妈和爸爸分的一样多，妈妈得了3个，爸爸也就得3个，妈妈和爸爸一共6个。

第十讲枚举法例1 如下图所示，已知长方形的周长为20厘米，长和宽都是整厘米数，这个长方形有多少种可能形状？哪种形状的长方形面积最大？（边长为1厘米的正方形的面积叫做1平方厘米）.解：由于长方形的周长是20厘米，可知它的长与宽之和为10厘米.下面列举出符合这个条件的各种长方形.（注意，正方形可以说成是长与宽相等的长方形）.下面把5种长方形按实际尺寸大小一一画出来，见下面图（1）～（5）.例2 如右图所示，ABCD是一个正方形，边长为2厘米，沿着图中线段从A到C的最短长度为4厘米.问这样的最短路线共有多少条？请一一画出来.解：将各种路线一一列出，可知共6条，见下图.注意，如果题中不要求将路径一一画出，可采用如右图所示方法较为便捷.图中交点处的数字表示到达该点的路线条数，如O点处的数字2，表示由A到O有2条不同的路径，见上图中的（1）和（2）；又H点处的数字3的意义也如此，见上图中的（1）、（2）、（3）可知有3条路径可由A到H.仔细观察，可发现各交点处的数字之间的关系，如O点的2等于F点和E点的数字相加之和，即1+1=2，又如，C点的6等于G点和H点的数字相加之和，即3+3=6.例3 在10和31之间有多少个数是3的倍数？解：由尝试法可求出答案：3×4=12 3×5=15 3×6=18 3×7=213×8=24 3×9=27 3×10=30可知满足条件的数是 12、15、18、21、24、27和30共7个.注意，倘若问10和1000之间有多少个数是3的倍数，则用上述一一列举的方法就显得太繁琐了，此时可采用下述方法：10÷3=3余1，可知10以内有3个数是3的倍数；1000÷3=333余1，可知1000以内有333个数是3的倍数；333-3=330，则知10～1000之内有330个数是3的倍数.由上述这些例题可体会枚举法的优点和缺点及其适用范围.例4 两个整数之积为144，差为10，求这两个数？解：列出两个数积为144的各种情况，再寻找满足题目条件的一对出来：1 2 3 4 6 8 9 12144 72 48 36 24 18 16 12可见其中差是10的两个数是8和18，这一对数即为所求.例5 12枚硬币的总值是1元，其中只有5分和1角的两种，问每种硬币各多少个？解：列举出两种硬币的可能搭配：可见满足题目要求的搭配是：四个5分币，八个1角币.错了.4个好朋友收到的都是给别人的信.问小虎装错的情况共有多少种可能？解：把4封信编号：1，2，3，4.把小朋友编号，友1，友2，友3，友4.并假定1号信是给友1写的，2号信是给友2写的，3号信是给友3的，4号信是给友4写的：再把各种可能的错装情况列成下表：说明：如第一种错收情况是友1得2号信，友2得了1号信，友3得了4号信，友4得了3号信.习题十1.一个长方形的周长是22米，如果它的长和宽都是整米数，问：①这个长方形的面积有多少可能值？②面积最大的长方形的长和宽是多少？2.有四种不同面值的硬币各一枚，它们的形状也不相同，用它们共能组成多少种不同钱数？3.三个自然数的乘积是24，问由这样的三个数所组成的数组有多少个？如（1，2，12）就是其中的一个，而且要注意数组中数字相同但顺序不同的算作同一数组，如（1，2，12）和（2，12，1）是同一数组.结果3个小朋友收到的都不是给自己的信，请问小虎错装的情况共有多少种可能？5.一个学生假期往A、B、C三个城市游览.他今天在这个城市，明天就到另一个城市.假如他第一天在A市，第五天又回到A市.问他的游览路线共有几种不同的方案？6.下图中有6个点，9条线段，一只甲虫从A点出发，要沿着某几条线段爬到F点.行进中甲虫只能向右、向下或向右下方运动.问这只甲虫有多少种不同的走法？7.小明有一套黄色数字卡片、、，有一套蓝色数字卡片、、.一天他偶然用卡片做了下面的游戏：把不同色的卡片交叉配对，一次配成3对，然后把每对卡片上的黄蓝数字相乘之后再相加求和，你知道他共找到了多少种配对相乘求和的方式吗？比如说下面是其中一种：8.五个学生友1，友2，友3，友4，友5一同去游玩，他们将各自的书包放在了一处.分手时友1带头开了个玩笑，他把友2小朋友的书包拿走了，后来其他的小朋友也都拿了别人的书包.试问在这次玩笑中故意错拿书包的情形有多少种不同方式？习题十解答1.解：这个长方形的长和宽之和是22÷2=11（米），由长方形的面积=长×宽，可知：由上表可见面积最大的长方形的长是6米、宽是5米，面积是30平方米.猜想：由本讲的例1和习题1这两题来看，周长一定的所有长方形中，长和宽相等或相近那个长方形面积最大.这是有名的“等周问题”的特例.2.解：把各种不同的组合及其对应的钱数列表枚举如下：数一数可知，能组成15种不同的钱数.注意它们是从1到15的15个自然数：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15.3.解：不计数组中数的顺序，所有乘积为24的三个数所组成的数组共有6组，枚举如下：（1，1，24），（1，2，12），（1，3，8），（1，4，6），（2，2，6），（2，3，4）.4.解：把三封信编号为1号、2号、3号；把三个小朋友编号为友1、友2、友3；1号、2号、3号信应该分别发给友1、友2、友3。

二年级趣味数学之一半的问题HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】一升二年级思维数学讲义第七讲 一半的问题 思维目标：形成“一半”的概念，培养合理的推理能力。

数学知识：解决问题。

思维：能说出多少的一半是几。

数学：理清解题思路，解决问题。

【例1】 一根电线长8米，把它对折，每折长几米？ 点金术：把8米长的电线对折，每折的长度就是原来的一半（如图所示）8的一半是4，所以每折长度是4米。

试金石：1、说出下面各数的一半分别是多少？10 16 6 12 202、妈妈有12颗奶糖，分给小亚和小巧各一半，她们各得了多少颗糖？3.小胖做口算题，第1次做了8道题，第2次做的正好是第一次的一半，小胖一共做了几道口算题？【例2】 奶奶买回来一些桃子，弟弟吃了一半后，还剩3个，奶奶买回多少个桃子？ 点金术：奶奶买回一些桃子，吃掉了一半，剩下的3个桃子与吃掉的一样多，说明吃掉的也是一半是3个，所以奶奶买回来6个桃子。

算式：3+3=6（个）1、妈妈买回来一些草莓，小丁丁吃了一半后，还剩4个，妈妈买回多少个草莓？2、小巧买了一些故事书，借给小亚一半后，还剩6本，小巧买了几本故事书？学习目标知识梳理 精讲精练 8米3、小胖和小丁丁买了一些铅笔对半分，小丁丁拿了8支，小胖拿了几支铅笔他们一共买了几支铅笔【例3】 小巧有铅笔和圆珠笔共12支，拿走圆珠笔的一半后，还有9支笔，小巧有几支圆珠笔？点金术：从12支笔中拿走圆珠笔的一半后还剩9支，说明拿走了12—9=3（支），拿走了3支圆珠笔，剩下的圆珠笔也是3支，所以圆珠笔一共有3+3=6（支）试金石：1、兄弟俩人共有10元钱，弟弟拿走自己钱的一半后，兄弟俩还剩8元，弟弟原来有多少钱？2、今年小胖的年龄正好是哥哥年龄的一半，哥哥去年7岁，小胖今年几岁？3、小巧有杂志和连环画共20本，小丁丁借走了连环画的一半后，小巧还剩16本书，小巧有杂志多少本？【例4】 小朋友们要做12朵纸花，小胖做了其中的一半，小亚又做了剩下的一半，最后剩下的由小丁丁来完成，小丁丁做了几朵？点金术：共有12多纸花，小胖做了其中的一半，12的一半是6，所以剩下的还有6朵，小亚做了剩下的一半，6的一半是3，所以最后剩下的3朵全部由小丁丁来完成，小丁丁做了3朵纸花。

1、做一道加法题时，小青把个位上的9看成了0，把百位上的8看成了3，结果和是1042，正确的答案应是多少？2、小马虎做一道减法题时，把被减数十位上的5当做9，把减数个位上的4当做了6，结果得97，正确答案是多少？3、小敏做一道加法题时，把十位上的3看成了8，把百位上的6看成了9，结果算出的和是806.问：正确的是答案应是多少？4、小蕊做一道减法题时，不细心把被减数十位上的8看成了3，把减数个位上的7看成了1，结果是13,。

正确的得数应是多少？5、小明做一道加法题时，把个位上的2看成了5，把十位上的9看成了6，算出的结果是144，正确的结果应是多少？6、做一道减法题时，小马虎把被减数个位上的0看成了8，把十位上的2看成3，结果得数是92，正确的答案应是多少?7、小明做一道减法题时，由于粗心把被减数个位上的6看成0，，把减数十位上的5看成3，结果得数是500，。

正确答案应是多少？8、小胡做一道减法题时，把被减数千位上的1看成7，个位上的7看成1，把减数百位上5看成3，得到的结果是7480.问正确的答案是多少？9、小天做一道减法题时，由于粗心，把被减数个位上的3看成8，把减数十位上的1看成5，结果是81，正确的答案应是多少？10、一道除数是9的除法式题，小明把被除数的个位数和十位数写反了，除得的商是5，，这道题正确的商应该是多少？11、小号在做一道除数是9的题时，把被除数的个位数与十位数颠倒了，结果商是2.正确的商应是多少？12、小马虎在做一道减法题时，把被减数千位上的3看成了8，减数十位上的7看成了1，结果算出的得数是9103，那么正确的差应该是多少？13、一道除法算式题，它的除数是7，小马虎在计算时，由于粗心，把被除数的十位数与个位数字写反了，结果除得的商是7还余4，那么正确的商应是多少？14、小桃在做一道减法题时，把被减数十位上的5看成了3，减数个位上的0看成了6，算出的结果是91，正确的结果应是多少？15、一道除法式题，小明在计算时把除数6错看成了9，结果得到的商是5，余数是3，那么正确的商应是多少？16、一道除法式题，小丽在计算时，把除数8错看了3，结果得到的商是10，那么正确的商应是多少？？余数呢？17、小丽在计算一道加法题时，把个位上的7看成了1，而把十位上的0看成了6，结果算出的和是315.那么正确的结果应是多少?18、做一道减法题时，小敏把减数十位上的9看成了6，个位上的8看成了0，算出的结果是101，正确的答案应该是多少？19、奶奶拿了16颗糖，先给小丽一半后，把剩下的又给了小红的一半，最后把剩下的平分给了小黑和小白，他们每人得了几颗？20、学校有40个排球，六年级学生借走一半后，剩下的五年级学生又借走了12个，四年级学生如果去借，最多能借到几个排球？21、一根铁丝，第一次截去一半后，第二次又截去2米，这时还剩下2米，这根铁丝原长多少米？22、一大杯牛奶,小丽喝去半杯后，剩下让妈妈去喝，妈妈喝了一些后发现自己喝掉的和杯子中剩下的一样多，刚好是150毫升，原来这杯奶有多少毫升？23、同学们折纸鹤，没人折6只，7个同学同时折刚好够折一半，他们共要折多少只纸鹤？24、一筐黄瓜，连筐共重64千克，卖掉一半后，连筐还重34千克，这筐黄瓜重多少千克？筐重多少千克？25、一桶水，连桶重52千克，水用去一半后，连桶还重27千克，这只水桶重多少千克？桶中装了多少千克的水？26、同学们参加数学竞赛，初赛后筛掉一半学生，剩下的学生参加复赛，复赛后又筛掉一半学生，最后参加决赛的只有20人，原来参加竞赛的有多少名学生？二年级奥数题（二年级下学期）1．王刚要写42个生字，已经写了4行，每行6个，一共写（）行。

第十讲几排几座生活中我们经常遇到这样的问题，去看电影你要根据电影票来找你的位置，上课的时候你要根据老师的要求找对自己的座位等.这些问题里面也蕴涵着一些数学问题，如根据自己座位的位置怎样计算全班的总人数类似的一些问题.解答这些问题需要一定的数学方法，在这节课中我们将一起来学习，在解决这类问题的时候老师要引导学生结合画图来进行分析.课前复习1.同学们排成一行做操，从前面数小红是第6人，从后面数小红是第11人，这行一共有多少人?2.同学们排成一排，李红从左向右排在第5个，王亮在她右边和她间隔3个人，王亮从右向左数排在第6个，这一排一共有多少个同学?3.在体育课上32名同学排成一排，从左起往右数，王明是第8个；从右起往左数，李霞是第9个，王明和李霞之间有多少个同学？【分析】秋季我们已经学过简单的排队问题，今天这节课我们将在排队的基础上，进一步研究方阵等一些问题，因此上课前我们对之前所学知识做一个复习.（1）6+11-1=16（人），这行一共有16人.（2）5+3+6=14（人），这一排一共有14个小朋友.（3）32-8-9=15（人），王明和李霞之间有15个同学.同学们进教室上课，每个人都有一个座号，如果要让人知道你坐的位置，就要说清楚你的座位是几排、几座，你能说说你的座位在哪里吗？进电影院看电影，看着电影票上的几排、几座，你能找到自己的位置吗？同学们在操场上排队，如果排成方阵，知道了自己站的位置，你能算出全班的总人数吗？今天这节课我们就一起来研究这些问题.找位置【例1】按要求画图形.(1) 第4排第4格内画○.(2) 第1排第2格内画◇.（3）第3列第2格内画△.【分析】每个图形的位置由两个方面的要求确定.第(1)题，我们可以先找到第4排，横着数是排.再找第4格，竖着第4列.在右下角的格子内画上○.同样的方法做第(2)题，先找到第1排，再找到第二格，画上◇.第(3)题，先找到第3列，再找到第2格，画上△.拓展练习按要求画图.1．第2列第3格内画◇.2．第3排第4格内画○.3．第4排第1格内画☆.【例2】下图是一个棋盘形居住小区的示意图.每一小圆圈表示一栋楼房，由北向南数各排依次称为第1排，第2排，……第8排；从西往东数依次称为第1栋，第2栋，……第8栋.每栋之间的通道相距100米.小明家住2排7栋，小亮家住7排3栋，图书馆在3排2栋，你能分别找出小明、小亮的家和图书馆的位置吗？算一算，小明和小亮谁去图书馆更近？【分析】先标出小明与小亮家的位置如图所示，在这里一定要弄清楚排和栋的意思，先找在第几排，横着来看；再找在第几栋，竖着来看.最后来计算小明和小亮家到图书馆的距离，小明家到图书馆最少要600米，小亮家到图书馆最少要走500米，所以小亮到图书馆的距离更近一些.【例3】小聪去看电影，他的座位号比10少8，排数是座位号的3倍，你知道他的座位是第几排第几座吗?【分析】先求比10少8的数：10-8=2.即座位数为2.再求2的3倍，2×3=6，即排数为第6 排.小聪坐在第6排第2座.【例4】星期天，小狗买了两张电影票，立刻打电话给小猫：“今天下午2时，请你到儿童电影院看电影，我在座位上等你.”“好，我在几排几座?”小猫高兴地说.小狗马上说：“你的排数，十位数字减去个位数字等于十位数字除以个位数字；你的座号，十位数字加个位数字等于十位数字乘以个位数字.”小朋友，你知道小猫的座位是几排几座吗?【分析】先看座位的排数是两位数，“十位数字减个位数字等于十位数字除以个位数字”，只有4-2=4÷2，可知排数的十位数字是4，个位数字是2，排数是：42.再看座号，“十位数字加个位数字等于十位数字乘以个位数字，”只有2+2=2×2，说明座号的十位数字和个位数字都是2，座号是22.因此，小猫的座号是第42排22座.【例5】爸爸乘飞机去北京开会，领到登机牌时发现自己的座位在第二十几排，排数的个位数字等于十位数字的2倍.座位号都是用a、b、c、d、e、f代替1、2、3、4、5、6.爸爸座位的字母号对应的数字正好等于排数两个数字之和.请问爸爸的座位是第几排什么字母座?【分析】座位在二十几排，可见排数的十位数字是2，个位数字是十位数字的2倍，那么个位数字应该是4，爸爸的座位在第42排.再来看座位号，爸爸座位的字母号对应的数字正好等于排数两个数字之和，那么座位号对应的数字应该是4+2=6，6对应的字母是f，因此爸爸的座位是第42排第f座.拓展练习妞妞到图书室借《蓝猫警长》，管理员要她自己去取，书柜数是一个两位数，它的十位数字是个位数字的2倍，柜数是层数的7倍，每个书柜层数不超过5层.妞妞应到第几柜第几层去找《蓝猫警长》这本书?【分析】书柜数是一个两位数，它的十位数字是个位数字的2倍，那么这个书柜的编号可能是：21，42，63，84，再来看书会放在哪一层，柜数是层数的7倍，每个书柜层数不超过5层.只有21÷7=3，符合条件.因此《蓝猫警长》这本书应该放在第21柜第3层.【例6】一只猫捉了12只老鼠，其中有一只小白鼠.这只猫自言自语地说：“我要分三次吃掉它们，我先让它们站好队编号，我从第一只开始吃，然后隔一只吃掉一只；吃完后我让它们不许动，第二次还是从剩下的第一只吃起，隔一只吃一只；第三次也是照这个办法吃，把最后一只放了.”猫的话被聪明的小白鼠听见了，于是它很快选好了一个位置，最后没有被吃掉.小朋友，你知道小白鼠选的是第几号位置吗?【分析】因为每隔一只吃一只，我们可以分析出猫每次会吃哪些老鼠：第一次吃的老鼠是：1，3，5，7，9 ，11；还剩下：2，4，6，8，10，12；第二次吃的老鼠是：2，6，10；还剩下：4，8，12；第三次吃的老鼠是：4，12；还剩下：8最后剩下的排在第8的老鼠会被放掉，所以小白鼠就站在了这排的第8个.方阵与队列【例7】影院门前人如海，进院对号坐下来，正数我坐13排，倒数还是13排，出个题目你猜猜，影院座位有几排?【分析】一个人在电影院里坐的座位从前排往后排数是13排，从后排往前数，也在13排，根据这两个条件可求出这个电影院里一共有多少排座位.我们可以想，正数我坐13排，就是说他的前面有12排，倒数也是13排，就是说他的后面也有12排，再加上他坐的这一排，就可以求出共有多少排了.还可以这样想，正数13排，他坐的这一排算进去了，倒数13排，他坐的这一排也算进去了，这样他坐的这一排就重复算了一次，减1就可以算出电影院里共有多少排座位了.解法一：(13-1)+(13-1)+1=25(排)解法二：13+13-1=25(排)答：电影院里座位有25排.【例8】四队同学做早操，每队人数都一样，小燕前面八个人，倒着数来她第八，共有几人做早操，小燕站在第几行?【分析】上面的歌谣，要我们求做操的总人数和小燕站在第几行.这个队伍有四列，每列人数都一样多关键要求出每列有多少人.从“小燕前面八个人”，可知小燕站在第九个位置，即第九行.从“倒着数来她第八”．可知她后面有七个人.从而可求出每列有多少人了.每列人数：8+8=16(人)或9+7=16(人)做操人数：16×4=64(人)小燕站的行数为：8+1=9(行)答：共有64人做早操，小燕站在第9行.拓展练习同学排队做早操，小红站在正中央，从前往后她第5，从后往前也第5，从左往右她第5，从右往左还第5，细心的同学算一算，共有几人做早操？【分析】从前往后她第5，从后往前也第5，可求出一共有5+5-1=9（行）；从左往右她第5，从右往左还第5，可求出一共有5+5-1=9（列）；一共有同学9×9=81（个）.【例9】小朋友排成十字做早操，小明前面4个人，后面5个人，左边6个人，后面4个人.一共几人做早操？【分析】例8和例9要注意区分，例8是排成方阵，例9是排成“十”字，那么就只有一排和一列，如图所示.小明前面4个人，后面5个人，可以计算出这列有：4+5+1=10（人）同学，左边6个人，后面4个人，可算出这排有6+4+1=11（人）同学，而横着数和竖着数时，小明多数了一次，在计算总人数的时候应该减掉.一共有10+11-1=20（人），或者10+4+6=20（人），或者4+5+1+6+4=20（人）.【例10一天，小花猫去找小狗妮妮玩.看见好多小狗排了一个方阵图形的队伍在做形体训练.小花猫一眼就看到了妮妮，它站的位置是它的前边有3只小狗，它的后边也有3只小狗，它的左边有4只小狗，它的右边也有4只小狗.小朋友，你知道方阵中共有多少只小狗吗?小花猫要找的那只小狗妮妮是第几行第几列呢?【分析】妮妮的前边有3只小狗，它的后边也有3只小狗，一共有几行呢？3+3+1=7（行）；妮妮的左边有4只小狗，它的右边也有4只小狗，一共有几列呢？4+4+1=9（列）；一共有多少只小狗呢？7×9=63（只）.小狗妮妮站在第4行第5列.总结方法：要求方阵的总人数，一般用行数×列数=总人数.【例11】学校准备在正方形的操场上进行队列训练，要求四个角上各站1名同学，每边共站6个同学，那么这次一共有多少个同学参加训练？【分析】每边各站6个同学，一共并不是需要24个同学，因为四个角上站的同学既属于所在的列又属于所在的行，被重复计算了2次，所以应从24里面减掉.所以一共有4×6-4=20（个）同学.【例12】学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉11人，问这个方阵共有多少人？【分析】学生排成一正方形队列表演，去掉一行一列，去掉了11人，那我们就要思考每行去掉了几个同学，因为是正方形队列，所以每行每列人数一样多，但在数的时候，站在角落的同学被数了两个，那么现在求每行的人数时就要在11里面多加一个.现在每行的人数是：（11+1）÷2=6（人），共6×6=36（人）.拓展练习某校三年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为36人，问方阵外层每边有多少人?这个方阵共有三年级学生多少人?【分析】方阵外层每边有（36+4）÷4=10人，共10×10=100人.附加题（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用.）军训的学生进行队列表演，排成了一个10行10列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人?【分析】一行一列各10人，顶点处重复.10×2-1=19人，因为角上的一个同学被重复数了两次，所以要把多算的一次减掉.游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了每边两层的方阵，最外面一层每边13人，彩车周围的少先队员有多少人?【分析】外层13×4-4=48人，内外相差8人（教师可举例说明），内层48-8=40人，共88人.同学们做操，小林站在左起第5列，右起第3列；从前数前面有4个同学，从后数后面有6个同学.每行每列的人数同样多，做操的同学一共有多少人?【分析】一共有几行？列式：4+6+1=11（行）一共有几列？列式：5+3-1=7（列）一共有多少人？列式：11×7=77（人）练习十1. 森林里正准备召开运动会，熊大伯是裁判长.运动会开始了，熊大伯宣布：“运动会现在开始，请各代表报告人数.”一只小猴登上前台：“报告裁判长!小猴代表队的运动员排成了一排，我和小弟、小妹是这一排的最后三个人，报完数后，我们三人报的数加起来的和是24.”小朋友们，你知道共有几只小猴参加运动会吗?【答案】7+8+9=24，所以一共有9只小猴参加了运动会.2. 一群小猴排成整齐的队伍做操，队伍是一个方阵.长颈鹿站在队伍旁边，一下子看到了他的好朋友金丝猴.长颈鹿数了数，金丝猴的左边有4只猴，右边也有4只猴，前面有5只猴，后面也有5只猴.小朋友，你能算出有多少只猴在做操吗?【答案】一共有多少行？列式：5+5+1=11（行）；一共有多少列？列式：4+4+1=9（列）一共有多少只猴子？11×9=99（只）3. “六一”前夕，学校举行画展，把展出的画挂成一排，卉卉的画从左往右数挂在第16位，彤彤的画从右向左数挂在第10位，彤彤的画挂在卉卉的左边，中间隔着2幅画，这次画展一共展出多少幅画?【答案】方法一：从右往左数卉卉在第几位？列式：10-3=7（位）；这次画展一共展出多少幅画?列式：16+7-1=22（位）.方法二：从左往右数彤彤在第几位？列式：16-3=13（位）这次画展一共展出多少幅画?列式：13+10-1=22（位）.方法三：16+10-2-1-1=22（位）4. 学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉13人，问这个方阵共有多少人？【答案】每行：（13+1）÷2=7（人），总人数：7×7=49（人）.5.三年级学生排成一个方阵进行体操表演，最外一层的人数为32人，问方阵外层每边有多少人?这个方阵共有三年级学生多少人?【答案】每行：（32+4）÷4=9（人），总人数：9×9=81（人）.别看它是一条黑母牛，牛奶一样是白的.珍妮是个总爱低着头的小女孩，她一直觉得自己长得不够漂亮.有一天，她到饰物店去买了只绿色蝴蝶结，店主不断赞美她戴上蝴蝶结挺漂亮，珍妮虽不信，但是挺高兴，不由昂起了头，急于让大家看看，出门与人撞了一下都没在意.珍妮走进教室，迎面碰上了她的老师，"珍妮，你昂起头来真美！"老师爱抚地拍拍她的肩那一天，她得到了许多人的赞美.她想一定是蝴蝶结的功劳，可往镜前一照，头上根本就没有蝴蝶结，一定是出饰物店时与人一碰弄丢了.自信原本就是一种美丽，而很多人却因为太在意外表而失去很多快乐.温馨提示：无论是贫穷还是富有，无论是貌若天仙，还是相貌平平，只要你昂起头来，快乐会使你变得可爱--人人都喜欢的那种可爱.。

第十讲我是推理小能手【精品】推理是一年级知识体系中较难的一个知识点，本节课把我们学过的几种推理问题（等量代换、图形推理、语言推理）进行系统的复习.让学生感知到这几种不同类型问题的相通，进而能更好的掌握推理的一般方法.特别是等量代换，老师要引导学生找到解决问题的突破口，从突破口推断出等式的未知数，从而得到正确答案.数学乐园森林里有三间一模一样的房子，主人分别是小鹿、小猴、小兔.为了让大家能找到它们，所以就把写有自己名字的牌子挂在自己家门上.有一只狡猾的狐狸，把它们房子的牌子都换了，这时牌子和里面的主人都对不上号.这可怎么办啊？小狗还想去找小猴玩儿呢，动动脑，有办法了，聪明的小狗对狐狸说：“我只需要敲响一间房子的门，知道里面是谁，就能把门牌恢复原样了.”狐狸不相信小狗的话，结果当小狗敲开第一家门，看见这个房子的主人后，很快就把门牌换回来了.小朋友，你知道小狗是怎么做的吗？【教学思路】门牌调换后，现在的门牌和屋子的主人对不上号.屋子的主人是不变的，只有门牌被调换了.如图：假如小狗敲第一家，里面住的是小鹿，那么我们就可以把标有小鹿的门牌找回来.这时还剩下小兔和小猴的牌子要重新挂.看第三幅图，挂有小猴门牌的房子里面住的肯定不是小猴，那就是小兔.最后剩下的房子肯定就是小猴的了.在进行推理的时候，老师要结合图片来进行直观的分析.小朋友们，你们一定非常敬佩那些神勇无比的大侦探吧！不管什么时候他们都能抓住问题的关键，顺藤摸瓜很快找到问题的结果.遇到问题的时候，其实只要我们也能抓住问题的关键，一步步去推理分析，我们也能跟大侦探一样，很快的解决问题.今天这节课我们就从这些小小的数学问题开始吧！等式推理求出下列各图形表示的数各是多少？【教学思路】（1）◇+◇+◇=6，◇=2；口-◇=16，那么口-2=16，口=( 18 )．（2）☆-4=12，☆=16；○+☆=20，那么○+16=20，○=4；●+○=19，那么●+4=19，●=( 15 )．（3）因为■=4个◇，■=1个◆+2个◇.所以1个◆=4个◇-2个◇=2个◇.（4）把☆+⊙+⊙+⊙=21和☆+⊙+⊙+⊙+⊙=27进行比较，第二个式子比第一个式子左边多了一个⊙，右边多了6.所以⊙=6.因为☆+⊙+⊙+⊙=21，所以☆+6+6+6=21，☆=3.已知：求：相信自己，你是最棒的！已知：◇+◇+◇=6，口-◇=16，求：口=( )．已知：☆-4=12，○+☆=20，●+○=19，求：●=( )．已知：■=◇+◇+◇+◇，■=◆+◇+◇，求：◆=( )个◇．已知：☆+⊙+⊙+⊙=21，☆+⊙+⊙+⊙+⊙=27，求：☆=( )，⊙=( )．【教学思路】由，可以判断＞.又因为，我们可以来试一试.当=1时，=8.1+8=9不等于11.当=2时，=9.2+9=11.符合.所以=2，=9.拓展练习已知：求：【答案】把两个式子的左边和右边进行比较，左边第二个式子比第一个式子多了一个菠萝，右边多了2千克.所以一个菠萝等于2千克.在下面的“？”处再放几瓶酸奶才能使天平保持左右平衡？【教学思路】因为1瓶小可乐=2杯酸奶，那么2瓶小可乐=4杯酸奶.又因为1瓶大可乐=2瓶小可乐+1杯酸奶，那么1瓶大可乐=4杯酸奶+1杯酸奶=5杯酸奶，所以5杯酸奶-3杯酸奶=2杯酸奶，再放2杯酸奶才能使天平保持左右平衡.拓展练习1、根据下面的已知条件，你知道1个苹果的重量等于多少个草莓的重量吗？【答案】1个橘子的重量=2个草莓的重量，那么2个橘子的重量=4个草莓的重量.因为1个苹果的重量=2个橘子的重量，所以1个苹果的重量=4个草莓的重量.2、在下图中“？”处放几个球才能使天平保持左右平衡？【答案】“？”处应该放2个球才能使天平保持左右平衡.图形推理下面的空格里应画上什么样的图案？【教学思路】前两行中每行3个脸型都分别是、、，所以第三行的第三个脸型应该画.再来看眼睛和嘴巴，第一行的眼睛和嘴巴都是一样的，第二行的眼睛和嘴巴也都是一样的.所以第三行的眼睛和嘴巴也应该一样，那么最后空格里面的图案应该是.想一想第三幅图应怎么画？【教学思路】我们发现这四幅图中，每个区域的图形个数是一样的，即：.不同的是每个区域里面的图形不一样.在这四幅图中，每幅图中都有、、、这四个图形.从第二幅图起，这四种图形按顺时针方向旋转.根据这一规律，第三幅图应画：.拓展练习1、在下图的“？”处画上适当的图形.【答案】我们发现前两行的图形，第二个方块中的图形减去第一个方块中的图形就是第三个方块中的图形.根据这个规律，“？”处应该画：.2、根据上面图形的变化规律，下面A～D答案中，哪个应该是第四个图形？【答案】应该选择B.语言推理“小百灵”四人合唱组由乐乐、笑笑、闹闹、哈哈组成.已知乐乐不是年龄最小的；哈哈不是最大的，但比乐乐大；闹闹不比其他三人大.请你把他们四人的年龄从大到小排一排.【教学思路】由“闹闹不比其他三人大”知道闹闹比其他三人都要小，所以闹闹是最小的.由“哈哈不是最大的，但比乐乐大”我们可以推出哈哈不是最大的，而是第二大的，乐乐是第三大的.那么很显然笑笑是最大的，则把他们按从大到小的顺序排一排应是：笑笑＞哈哈＞乐乐＞闹闹.在首届动物全能体操比赛中，参赛的6个小动物的成绩是这样的：（1）小鹿比小狗的分数少；（2）小兔比小猴的分数多，但比小鹿的分数少；（3）小松鼠没有小鹿、小兔的分数多，但比小猴的多；（4）小狗的分数比小青蛙的又要少一些.请你当一回裁判，给这些小动物排队列，你认为谁是冠军？谁是亚军？谁是季军？谁是最后一名？【教学思路】由“小鹿比小狗的分数少”我们知道小狗的分数排在小鹿的前面.由“小兔比小猴的分数多，但比小鹿的分数少”“小松鼠没有小鹿、小兔的分数多，但比小猴的多“我们可以推出排在小鹿后面的依次是小兔、小松鼠、小猴.最后由“小狗的分数比小青蛙的又要少一些”，可知小青蛙应该排在第一.这样这六个小动物排列的顺序应该是“小青蛙、小狗、小鹿、小兔、小松鼠、小猴”.冠军是小青蛙，亚军是小狗，季军是小鹿，最后一名是小猴.附加题（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用.）从左往右观察下图，你认为第四幅图应是A～D中的哪一个？【教学思路】第一幅图从上往下看有5个图案，去掉倒数第二个图就是第二幅图；第二幅图去掉倒数第二个图就是第三幅图；第三幅图去掉倒数第二个图就应该是第四幅图，所以第四幅图应该选择D.在下图中的“?”处放上几个小，才能使天平保持左右平衡?【教学思路】因为1个=3个，那么2个=6个.又因为2个=2个+2个，所以2个=6个－2个=4个．1个=2个．即：在“?”处放上2个才能使天平保持左右平衡.在李叔叔、王叔叔、张叔叔三个人中，有一位是教师，有一位是医生，有一位是职员.现在知道：（1）张叔叔比职员的年龄大：（2）李叔叔和医生不同岁；（3）医生比王叔叔的年龄小.请你想一想：谁是教师，谁是医生，谁是职员？【教学思路】由（2）和（3）可以得出：李叔叔不是医生，王叔叔也不是医生，所以张叔叔才是医生.由（3）可知：医生年龄＜王叔叔年龄，也就是：王叔叔年龄＞医生的年龄.则王叔叔年龄＞张叔叔年龄.又由（1）可得：王叔叔年龄＞张叔叔年龄＞职员年龄，所以职员一定是李叔叔，最后王叔叔一定是教师.练习十1. 求出下面算式中每个图形所表示的数．已知：△+△+△=10-1，求：△=( 3 )；已知：●=○+○+○+○，○=5，求：●=( 20 )；已知：12+■+■=20，求：■=( 4 )；已知：☆+●-●=25+10，求：☆=( 35 )．2.在下面的“？”处再放几个，才能使天平保持左右平衡？【答案】“？”处再放4个，才能使天平保持左右平衡.3. 根据前几幅图的规律，接着在“?”处方格里画图形．【答案】因为前三组图每组中都有“△”和“口”两个图形，“△”的个数后一组总比前一组少2个，“口”的个数后一组总比前一组多1个，所以接下去应画4个“口”，“△”不再画．即：4. 找规律.在第四幅图中的空白处画上合适的图形．【答案】前三幅中每个图都有““和“△”，从第一幅图开始，每个小图形按照顺时针方向移动一个位置．所以，第四幅图中应画：5. 同学们刚刚做完体检，李老师问四位同学的身高：丁丁说：“我比牛牛高．”依依说：“牛牛比我高．”齐齐说：“我比依依矮4厘米.”请你把这四位同学的身高按从高到矮的顺序排一排．【答案】这四位同学的身高按从高到矮的顺序是丁丁、牛牛、依依、齐齐．因为：由条件①可知：丁丁>牛牛；由条件②可知：牛牛>依依；由条件③可知：依依>齐齐；所以连在一起是：丁丁>牛牛>依依>齐齐．6.小白、小花和小灰，三只小兔子的年龄不相同.小灰说：“我不是最大的．”小花说：“我不是最大的但也不是最小的．”它们三只小兔子谁最大?谁最小?【答案】由小花说的，可以推出小花应在中间，是第二大的．由小灰说的，可以推出灰兔不是最大的，第二大的又是小花，所以灰兔是最小的，最后确定三个小动物中小白是最大的．老师，辛苦了！谁也别出声小敏、小慧今天又做了一个有趣的游戏在这个游戏中每人都要画圆圈，用圆圈组成一个三角形（图1）.这个游戏规定“谁也别出声.”它的意思就是：在游戏中谁也不能发出声音，谁说话了，他就停罚一次掷骰子.游戏的方法是这样的：1.两人轮流掷骰子，根据骰子数画圆.例如，小慧掷得3，画出第三排的3个圆.小敏掷得5，画出第五排的5个圆（图2）.2.如果骰子点数与前面重复了，可以把这个数分解，再按照分解的数画圆.例如，小慧又掷得3，3可以分成1加2，她就可以画第一排和第二排.如果第一排和第二排也已经画好了，她只得放弃这一次机会.3.谁先无声地用圆圈画成三角形，他就是胜利者.小朋友，你也找一个小伙伴，一起试着玩玩这个游戏，一定会觉得挺有趣味的.。

小学一年级奥数题解析（五）：一半问题《奥赛天天练》第2４讲，一半问题一半问题其实确实是用倒推法解一些很简单的应用题，这种解题方式是通过量次的，分步的乘加或乘减混合运算，从题目的现有数据动身，通过一步步的推理得出初始数据。

这种解题方式有利于培育小孩的逻辑思维能力。

针对一年级小孩需要注意的是，涉及到乘以2和除以2的计算要转化成加法计算或数的组成来讲解，因为一年级尚未学习乘除法计算。

巩固训练，习题1【题目】：小白兔和小灰兔拔的萝卜一路放进筐里，小白兔说：“我拔的萝卜是筐里萝卜总数的一半多一个。

”小灰兔说：“筐里的萝卜只有4个是我拔的。

”问筐里一共有多少个萝卜？【解析】：因为筐里的萝卜除小白兔拔的确实是小灰兔拔的，综合两只兔子的话能够得出：小灰兔拔的4个萝卜是筐里萝卜总数的一半少一个,或说小白兔若是给小灰兔一个，小灰兔的萝卜确实是筐里萝卜总数的一半了，让小孩明白这一点是解题的关键。

接下来，应该先求出总数的一半确实是:4+1=5（个），再求出总数：5+5=10（个）。

《奥赛天天练》第2４讲，一半问题一半问题其实确实是用倒推法解一些很简单的应用题，这种解题方式是通过量次的，分步的乘加或乘减混合运算，从题目的现有数据动身，通过一步步的推理得出初始数据。

这种解题方式有利于培育小孩的逻辑思维能力。

针对一年级小孩需要注意的是，涉及到乘以2和除以2的计算要转化成加法计算或数的组成来讲解，因为一年级尚未学习乘除法计算。

巩固训练，习题1【题目】：小白兔和小灰兔拔的萝卜一路放进筐里，小白兔说：“我拔的萝卜是筐里萝卜总数的一半多一个。

”小灰兔说：“筐里的萝卜只有4个是我拔的。

”问筐里一共有多少个萝卜？【解析】：因为筐里的萝卜除小白兔拔的确实是小灰兔拔的，综合两只兔子的话能够得出：小灰兔拔的4个萝卜是筐里萝卜总数的一半少一个,或说小白兔若是给小灰兔一个，小灰兔的萝卜确实是筐里萝卜总数的一半了，让小孩明白这一点是解题的关键。

接下来，应该先求出总数的一半确实是:4+1=5（个），再求出总数：5+5=10（个）。

第10讲学习一笔画奥数是给那些对奥数有兴趣的孩子搭建的一个舞台，正象我们给那些对英语、对绘画、对音乐、对体育等有兴趣的孩子搭建的舞台一样，让他们自由、快乐地享受童年、享受人生。

其一，奥数包涵了发散思维、收敛思维、换元思维、反向思维、逆向思维、逻辑思维、空间思维、立体思维等等二十几种思维方式，众所周知，思维能力是一个孩子的智力的核心，如果一个孩子在小学期间，思维能力得到了充分的锻炼，有什么比这更重要的呢？奥数能够快速有效、全面提高孩子智商的工具。

奥数学习对开拓思路有着重要作用。

奥数学习好的学生整个理科都会比较优秀，因为数学是理科的基础，物理化学都需要数学这个基础。

正因为这个原因，重点中学喜欢招奥数比较好的学生。

其二，奥数题基本上是比书上知识有所提高的内容，当孩子在做题当中遇到困难，想办法战胜它时，那种来自内心深处的喜悦比吃了十斤蜜枣还甜。

在学习、比赛中，有失败、有成功，让孩子从小就明白：不经历风雨怎能见彩虹的道理，一句话：奥数让孩子学会了面对挫折、战胜困难，学会了永不言败的精神，建立起良好的自信。

可以说既提高孩子的智商又能发展孩子的情商。

【专题简析】一笔画，就是从图形某点出发，笔不离开纸，而且每条线段都只画一次不重复。

它是一种有趣的数学游戏。

那么，哪些图形不能一笔画成，哪些图形可以一笔画成呢？一个图形能否一笔画成，关键在于单数点的多少，有2个或0个单数点的图形就能够一笔画成，单数点在一笔画中只能作为起点和终点。

【例题1】一些平面图形是由点和线构成的，这里的“线”可以是线段，也可以是一段曲线，请自己画一些图研究每个点和线的连接情况。

思路导航：请小朋友仔细观察下列各图中的点，他们分别与几条线相连。

①②③④（1）与一条线段相连的点有：（2）与两条线段相连的点有：（3）与三条线段相连的点有：（4） 与四条线段相连的点有： 归纳：把和一条、三条、五条等单数条线连得点叫做单数点；把和两条、四条、六条、八条等双数条线连的点叫双数点，每个图中的点要么是单数点，要么是双数点。

一升二年级思维数学讲义第七讲一半的问题学习思维目标：形成“一半”的概念，培养合理的推理能力。

数学知识：解决问题。

知识思维：能说出多少的一半是几。

数学：理清解题思路，解决问题。

精讲【例1】一根电线长8米，把它对折，每折长几米？8点金术：把8米长的电线对折，每折的长度就是原来的一半（如图所示）8的一半是4，所以每折长度是4米。

试金石：1、说出下面各数的一半分别是多少？10 16 6 12 202、妈妈有12颗奶糖，分给小亚和小巧各一半，她们各得了多少颗糖？3.小胖做口算题，第1次做了8道题，第2次做的正好是第一次的一半，小胖一共做了几道口算题？【例2】奶奶买回来一些桃子，弟弟吃了一半后，还剩3个，奶奶买回多少个桃子？点金术：奶奶买回一些桃子，吃掉了一半，剩下的3个桃子与吃掉的一样多，说明吃掉的也是一半是3个，所以奶奶买回来6个桃子。

算式：3+3=6（个）1、妈妈买回来一些草莓，小丁丁吃了一半后，还剩4个，妈妈买回多少个草莓？2、小巧买了一些故事书，借给小亚一半后，还剩6本，小巧买了几本故事书？3、小胖和小丁丁买了一些铅笔对半分，小丁丁拿了8支，小胖拿了几支铅笔？他们一共买了几支铅笔？【例3】小巧有铅笔和圆珠笔共12支，拿走圆珠笔的一半后，还有9支笔，小巧有几支圆珠笔？12圆珠剩下9拿走圆珠笔的点金术：从12支笔中拿走圆珠笔的一半后还剩9支，说明拿走了12—9=3（支），拿走了3支圆珠笔，剩下的圆珠笔也是3支，所以圆珠笔一共有3+3=6（支）试金石：1、兄弟俩人共有10元钱，弟弟拿走自己钱的一半后，兄弟俩还剩8元，弟弟原来有多少钱？2、今年小胖的年龄正好是哥哥年龄的一半，哥哥去年7岁，小胖今年几岁？3、小巧有杂志和连环画共20本，小丁丁借走了连环画的一半后，小巧还剩16本书，小巧有杂志多少本？【例4】小朋友们要做12朵纸花，小胖做了其中的一半，小亚又做了剩下的一半，最后剩下的由小丁丁来完成，小丁丁做了几朵？点金术：共有12多纸花，小胖做了其中的一半，12的一半是6，所以剩下的还有6朵，小亚做了剩下的一半，6的一半是3，所以最后剩下的3朵全部由小丁丁来完成，小丁丁做了3朵纸花。

第十讲等式的加法和减法这节课我们要给学生介绍一种新的解题方法-----等式加减消元法。

在这类题中有两个或多个未知数需要我们求解。

对于二年级的孩子来说，这是比较难解的，那么我们就要找到低年级孩子能够理解和接受的方法，把复杂的问题简单化。

这节课的重点就是让学生理解和应用这种方法，通过等式的加、减先消掉一个未知数，求出另一个未知数，再根据数量关系求出被消掉的这个未知数。

因为方法比较抽象，所以我们的教学内容先用学生比较熟悉的图形算式来介绍总结这种方法，然后再自然过渡到我们的生活实际中去，这样可以让学生真正理解和应用所学知识。

白鼠先生和蓝皮鼠在跳蚤市场上交易，白鼠先生说：“你可以拿2条鱼和6块糖换我3个面包，或者拿2条鱼和9块糖换我的4个面包.”蓝皮鼠想了想，觉得不划算，于是他打算只拿糖去换白鼠先生的面包.请你算一算，蓝皮鼠的33块糖能够换到白鼠先生的多少个面包？【说明】开课的时候，通过讲故事来激发孩子学习的热情，营造一个思考的空间.这道题可放在学习完了今天的内容以后，再让学生独立思考.同学们，我们已学过两个数的加减法，你听说过两个等式也可以相加减吗？两个等式相加或相减，可以得到一个新的算式.这种做法能够解答许多比较复杂的问题.今天这节课我们就跟蓝皮鼠一起来学习这种方法吧！＊图形等式新解＊【例1】已知：○+△=16○-△=2求：○=（）△=（）【分析】观察这两个等式，我们发现它们的不同在于，上一个算式是“+△”，下一个算式是“-△”.这样我们可以把这两个等式左边与右边分别相加，加上一个△和减去一个△正好抵消，得到一个新的等式：○×2=18，○和△就容易求出来．解答如下：算式（1）和算式（2）相加．因为○×2=18，所以○=18÷2=9．又因为○+△=16，所以△=16-9=7．（或根据等式○-△=2，得△=9-2=7．）【例2】已知：□+△=10□+△+△=13求：△代表几?□代表？【分析】观察这两个等式，我们发现第二个算式比第一个算式多一个“△”，这样把这两个等式左边与右边分别相减，左边加上一个“□”和减去一个“□”正好抵消，再加上一个“△”和减去一个“△”也正好抵消，右边13-10=3，最后还剩一个△=3，这样进一步就能求出“□”了.解答如下：用算式(2)一算式(1)，得到：因此△=3；又因为口+△=10，所以口=10-3=7.所以，△代表3，□代表7.拓展训练1、下面的等式中，△和○各代表一个数，各是多少?△+○=15△-○=3【答案】△=（9 ）○=（ 6 ）2、下面的等式中，◇和口各代表一个数，各是多少?◇+◇+□=15◇+□=9【答案】◇=（6 ）□=（ 3 ）【例3】已知：□+□+△=16 (1)□+□+△+△+△=24 (2)求：□=? △=?【分析】第(2)个等式比第(1)个等式多8，是因为多了两个“△”．所以可以用(2)式一(1)式得到一个新的等式：△+△=8．口与△也就容易求出来了．解答如下：用(2)式一(1)式：因为2个△=8，所以△=8÷2=4．又因为□+□+△=16，□+□+4=16，□+□=16-4=12，所以□=12÷2=6．拓展训练已知：☆+☆+☆+△+△=22△+△+☆+☆+☆+☆+☆=30【答案】☆=( 4 ) △=( 5 )【例4】已知：○+○+△=10 (1)○+△+△=11 (2)求：○=（）△=（）【分析】观察这两个算式，我们知道未知数只有○和△，那么可以把等式左右相加就得到新的算式：3个○+3个△=21，也就是说○+△=7，把这个算式的得数代入到算式（1）和算式（2）里面就可以分别求出○和△的得数了.解答如下：用算式(1)+算式(2)，得：因为3个○+3个△=21，所以○+△=21÷3=7.把(1)中的○+△换成7，得：○+7=lO，所以○=10-7=3；把(2)中的○+△换成7，得：7+△=11，所以△=11-7=4；所以，○代表3，△代表4.【例5】已知：□+△=5(1)△+○=6(2)□+○=7 (3)求：三种图形各代表几?【分析】在这三个不同的图形里，我们知道每两个图形相加的和，如果也求出这三个图形相加的和，就能分别求出这三个图形所代表的数了.解答如下：把已知的三个等式相加，得：所以□+△+○=9 （4）（算到这里，求这三种图形各代表几的方法就很多了.我们只需要把算式（1）（2）（3）的结果，带到算式（4）里面就可以分别求出了.）根据(1)式，可以把(4)式中的口+△换成5，得：5+○=9 ○= 9-5=4把○=4代入(2)中，得：△+4=6 △=6-4=2把○=4代入(3)中，得：□+4=7 □=3所以，○代表4，△代表2，□代表3.拓展训练已知：○+☆=7○+□=8☆+□=11【答案】○= ( 2 ) ☆=( 5 ) 口=( 6 )＊生活中的数学＊【例6】小玲买了一枝圆珠笔和2本练习本共用去3元钱，又知道一枝圆珠笔比2本练习本多1元．问小玲买一枝圆珠笔多少钱?【分析】根据题目的意思，可得到两个等式：l枝圆珠笔+ 2本练习本=3元l枝圆珠笔一2本练习本=1元把这两个等式相加就可以得到一个新的算式，这样就能很快求出一枝圆珠笔的价钱了．在前面已经有了图形等式计算的经验，现在变换成文字就容易了许多.解答如下：把两个等式相加：因为2枝圆珠笔4元，所以l枝圆珠笔为4÷2=2(元)答：小玲买1枝圆珠笔是2元．拓展训练小玲买了一枝圆珠笔和2本练习本共用去7元钱，又知道一枝圆珠笔比2本练习本少1元．问小玲买一枝圆珠笔和一个练习本各多少钱?【答案】根据题目的意思，可得到两个等式：2本练习本+ l枝圆珠笔=7元2本练习本一l枝圆珠笔=1元把这两个等式相加就可以得到一个新的算式，这样就能很快求出一本练习本的价钱了．把两个等式相加：因为4本练习本是8元，所以l本练习本为8÷4=2(元)又因为2本练习本+l枝圆珠笔=7元所以一枝圆珠笔=7-2×2=3（元）答：小玲买1枝圆珠笔是3元，l本练习本是2元.【例7】益民小饭店第一次买了2千克肉和3千克鱼用去27元，第二次买了来4千克肉和3千克鱼用去39元．请你算一算肉、鱼每千克各多少元?【分析】根据题意，可列出两个等式：第一次：2千克肉+3千克鱼=27元(1)第二次：4千克肉+3千克鱼=39元(2)从式中可看出，第二次比第一次多用去了39-27=12(元)，是因为第二次比第一次多买了2千克肉．可以用(2)式一(1)式得到一个新的等式，问题就很容易解决了．解答如下：用(2)式一(1)式：因为2千克肉的价钱是12元，所以l千克肉的价钱是12÷2=6(元)；又因为2千克肉+3千克鱼=27元，所以3千克鱼=27-12=15元，1千克鱼价钱是15÷3=5(元)．答：肉每千克6元，鱼每千克5元．拓展训练已知5个苹果与3个梨的重量和是350克；2个苹果与3个梨的重量和是230克.求1个苹果和1个梨各重多少克?(假设每个苹果、每个梨的重量分别相等)【答案】由题意有：由(1)式一(2)式得所以，1个苹果重40克，1个梨重50克.【例8】草地上有许多兔子，数一数黑兔与白兔一共6只，黑兔与灰兔一共7只，白兔与灰兔一共5只．问草地上三种兔子各多少只?【分析】根据题目的意思，可以得到三个等式：黑兔+白兔=6只黑兔+灰兔=7只白兔+灰兔=5只这也是一道复杂的数学问题，需要等式的多次加与减，才能解决问题．我们在计算的过程中，可以让学生回顾例5的计算方法.解答如下：先把三个等式的左边与右边分别相加起来.所以黑兔+白兔+灰兔=18÷2=9(只) (4)再用（4）式－（1）式：同理用(4)式－(2)式，可得白兔=2(只) I用(4)式一(3)式，可得黑兔=4(只) l答：草地上黑兔有4只，白兔有2只，灰兔有3只．白鼠先生和蓝皮鼠在跳蚤市场上交易，白鼠先生说：“你可以拿2条鱼和6块糖换我3个面包，或者拿2条鱼和9块糖换我的4个面包.”蓝皮鼠想了想，觉得不划算，于是他打算只拿糖去换白鼠先生的面包.请你算一算，蓝皮鼠的33块糖能够换到白鼠先生的多少个面包？【解答】根据题意，可列出两个数量关系式：2条鱼+6块糖→3个面包2条鱼+9块糖→4个面包用下面的式子减去上面的式子，可得3块糖可以换1个面包，那么，33块糖可以换成33÷3=11（个）面包.【附1】已知：☆+☆+☆+△+△=13☆+☆+△+△+△=12☆=( 3 ) △=( 2 )【分析】用上一个等式加下面一个等式，就得到一个新的等式：5个☆+5个△=25，那么☆+△=5.把它代入到第一个式子就能求出：☆=13-5×2=3，代入第二个式子就能求出：△=12-5×2=2.【附2】下列式中梨、苹果与橘子各代表一个数，请你算出来．梨+梨+苹果+橘子=13梨+苹果+苹果+橘子=12梨+苹果+橘子+橘子=11【分析】先把三个等式相加：所以，梨+苹果+橘子=9，把这个算式代入到第一个算式中，梨=13-9=4（个），代入到第二个算式中，苹果=12-9=3（个），代入到第三个算式中，橘子=11-9=2（个）.【附3】买5本漫画书与8本故事书要花57元，买8本漫画书与8本故事书要花72元.那么要单买6本漫画书要花多少钱？【分析】根据题意，可列出两个等式：5本漫画书+8本故事书=57（元）8本漫画书+8本故事书=72（元）用下面的式子减去上面的式子得到：3本漫画书=72-57=15（元）那么，6本漫画书=15×2=30（元）【附4】小林家养了一只大白兔和一只小花猫，有一天，小林抱着大白兔站在体重计上称一称，正好是12千克，后来小林放下大白兔，又抱起小花猫站在体重计上称一称，正好是10千克；最后小林把大白兔和小花猫一起放在体重计上称一称是4千克．请问小林、大白兔和小花猫各是多少千克?【分析】根据题意，得到下面三个等式，相加：小林+大白兔=12千克（1）小林+小花猫=10千克（2）+）大白兔+小花猫=4千克（3）（小林+大白兔+小花猫）×2=26个所以，小林+大白兔+小花猫=13（千克）（4）再用（4）式－（1）式：小花猫重是13－12=1（千克）（4）式－（2）式：大白兔重是13－10=3（千克）根据（1）式，得小林重是12-3=9（千克）练习十1. 已知：□一△=6，□+△=24.求：□=( 15 )，△=( 9 ).2. 已知：△+○=16，△+△+△+○=36.求：△=( 10 )，○=( 6 ).3. 已知：○+○+□=16，□+□+○=17.求：○=( 5 )，□=( 6 ).4. 一件上衣与两条裤子的总价是500元，这件上衣比这两条裤子的价钱贵100元.求：一件上衣多少钱?一条裤子多少钱?（两条裤子是一样的）【答案】根据题目的意思，可得到两个等式：1件上衣+ 2条裤子=500元1件上衣一2条裤子=100元把这两个等式相加就可以得到一个新的算式，2件上衣=600（元），1件上衣=600÷2=300（元）.1条裤子=（500-300）÷2=100（元）答：一件上衣300元钱，一条裤子100元钱.5. 7个篮球与4个排球共值145元钱，5个篮球与4个排球共值115元钱.求：1个篮球多少钱?1个排球多少钱?【答案】根据题意，得到下面两个等式，并相减：7个篮球+4个排球=145元-）5个篮球+4个排球=115元2个篮球= 30元所以1个篮球=40÷2=15（元）又因为7个篮球+4个排球=145元所以1个排球=（145-15×7）÷4=10（元）答：1个篮球15元，1个排球10元.6. 有红、黑、白三种颜色的球.红的黑的合起来是10个，红的白的合起来是7个，黑的白的合起来是5个，三种球各有多少个?【答案】根据题意，得到下面三个等式，并相加：红的+黑的=10个（1）红的+白的=79个（2）+）黑的+白的= 5个（3）（红的+黑的+白的）×2=22个所以，红的+黑的+白的=22÷2=11（个）（4）用（4）式-（1）式得：白色的球是11-10=1（个）（4）式-（2）式得：黑色的球是11-7=4（个）根据（1）式得：红色的球是10-4=6（个）答：红色的球6个，白色的球1个，黑色的球4个.底片与照片小慧可喜欢照相了.现在，她又和小伙伴一起坐在大榕树下，老师给他们拍集体照.每次她拿到照片时，不但要欣赏那美丽的画面，还爱琢磨：底片中的白色部分，冲洗后将变成黑色；而黑色部分冲洗后又变成了白色.那么，左面这张底片冲洗以后，得到的是哪一张照片呢？请小朋友告诉她，是照片1还是照片2？。