2010学年第一学期黄浦区调研测试九年级数学试卷答案

上海市黄浦区初三一模数学试卷一. 选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1. 下列抛物线中，与抛物线224y x x =-+具有相同对称轴的是（ ）A. 2421y x x =++B. 2241y x x =-+C. 224y x x =-+D. 242y x x =-+2. 如图，点D 、E 位于△ABC 的两边上，下列条件能判定DE ∥BC 的是（ ）A. AD DB AE EC ⋅=⋅B. AD AE BD EC ⋅=⋅C. AD CE AE BD ⋅=⋅D. AD BC AB DE ⋅=⋅3. 已知一个坡的坡比为i ，坡角为α，则下列等式成立的是（ ）A. sin i α=B. cos i α=C. tan i α=D. cot i α=4. 已知向量a 和b 都是单位向量，则下列等式成立的是（ ）A. a b =B. 2a b +=C. 0a b -=D. ||||0a b -=5. 已知二次函数2y x =，将它的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得图 像的表达式为（ ）A. 2(2)3y x =++B. 2(2)3y x =+-C. 2(2)3y x =-+D. 2(2)3y x =--6. Word 文本中的图形，在图形格式中大小菜单下显示有图形的绝对高度和绝对宽度，同一 个图形随其放置方向的变化，所显示的绝对高度和绝对宽度也随之变化，如图①、②、③是 同一个三角形以三条不同的边水平放置时，它们所显示的绝对高度和绝对宽度如下表，现有 △ABC ，已知AB AC =，当它以底边BC 水平放置时（如图④），它所显示的绝对高度和 绝对宽度如下表，那么当△ABC 以腰AB 水平放置时（如图⑤），它所显示的绝对高度和 绝对宽度分别是（ ）A. 3.60和二. 填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7. 已知线段a 是线段b 、c 的比例中项，如果3a =，2b =，那么c =8. 计算：2(2)3()a b a b --+=10. 已知二次函数()y f x =的图像开口向上，对称轴为直线4x =，则(1)f (5)f （填“>”或“<”）11. 计算：sin 60tan 30︒︒⋅=12. 已知G 是等腰直角△ABC 的重心，若2AC BC ==，则线段CG 的长为13. 若两个相似三角形的相似比为2:3，则它们的面积比为14. 等边三角形的周长为C ，面积为S ，则面积S 关于周长C 的函数解析式为15. 如图，正方形ABCD 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，已知6BC =，△ABC 的面积为9，则正方形DEFG 的面积为16. 如图，小明家所在小区的前后两栋楼AB 、CD ，小明在自己所住楼AB 的底部A 处， 利用对面楼CD 墙上玻璃（与地面垂直）的反光，测得楼AB 顶部B 处的仰角是α，若 tan 0.45α=，两楼的间距为30米，则小明家所住楼AB 的高度是 米17. 如图，在△ABC 中，90C ︒∠=，8AC =，6BC =，D 是边AB 的中点，现有一点 P 位于边AC 上，使得△ADP 与△ABC 相似，则线段AP 的长为18. 如图，菱形ABCD 内两点M 、N ，满足MB BC ⊥，MD DC ⊥，NB BA ⊥，ND DA ⊥，若四边形BMDN 的面积是菱形ABCD 面积的15，则cos A =三. 解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）19. 用配方法把二次函数21452y x x =-+化为2()y a x m k =++的形式，再指出该函数 图像的开口方向、对称轴和顶点坐标；20. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，3AD =，2BC =，点E 、F 分别在两腰上， 且EF ∥AD ，:2:1AE EB =；（1）求线段EF 的长；（2）设AB a =，AD b =，试用a 、b 表示向量EC ；21. 如图，在△ABC 中，90ACB ︒∠=，5AB =，1tan 2A =，将△ABC 沿直线l 翻折， 恰好使点A 与点B 重合，直线l 分别交边AB 、AC 于点D 、E ； （1）求△ABC 的面积；（2）求sin CBE ∠的值；22. 如图，在坡AP 的坡脚A 处竖有一根电线杆AB ，为固定电线杆在地面C 处和坡面D 处 各装一根等长的引拉线BC 和BD ，过点D 作地面MN 的垂线DH ，H 为垂足，已知点C 、 A 、H 在一直线上，若测得7AC =米，12AD =米，坡角为30︒，试求电线杆AB 的高度； （精确到0.1米）23. 如图，点D 位于△ABC 边AC 上，已知AB 是AD 与AC 的比例中项；（1）求证：ACB ABD ∠=∠；（2）现有点E 、F 分别在边AB 、BC 上，满足EDF A C ∠=∠+∠，当4AB =， 5BC =，6CA =时，求证：DE DF =；24. 平面直角坐标系xOy 中，对称轴平行于y 轴的抛物线过点(1,0)A 、(3,0)B 和(4,6)C ；（1）求抛物线的表达式；（2）现将此抛物线先沿x 轴方向向右平移6个单位，再沿y 轴方向平移k 个单位，若所得 抛物线与x 轴交于点D 、E （点D 在点E 的左边），且使△ACD ∽△AEC （顶点A 、C 、D 依次对应顶点A 、E 、C ），试求k 的值，并注明方向；25. 如图，△ABC 边AB 上点D 、E （不与点A 、B 重合），满足DCE ABC ∠=∠， 90ACB ︒∠=，3AC =，4BC =；（1）当CD AB ⊥时，求线段BE 的长；（2）当△CDE 是等腰三角形时，求线段AD 的长；（3）设AD x =，BE y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；参考答案一. 选择题1. B2. C3. C4. D5. A6. D二. 填空题7. 92 8. 7a b -- 9. 4 10. > 11. 1212.13. 4:9 14. 2S = 15. 4 16. 27 17. 4或254 18. 23三. 解答题 19. 21(4)32y x =--，开口向上，对称轴4x =，顶点(4,3)-； 20.（1）73EF =；（2）1233EC a b =+； 21.（1）5；（2）35； 22. 7.9米； 23.（1）略；（2）略； 24.（1）2286y x x =-+；（2）6k =，向下平移6个单位；25.（1）75BE =；（2）1AD =；（3）3280525x y x -=-5(0)2x <<；。

九年级数学一、选择题（本大题共6题）1.在直角坐标平面内，如果点()41P ，，点P 与原点O 的连线与x 轴正半轴的夹角是α，那么cot α的值是（）A.4B.14C.17D.172.关于抛物线()212y x =--以下说法正确的是（）A.抛物线在直线=1x -右侧的部分是上升的B.抛物线在直线=1x -右侧的部分是下降的C.抛物线在直线1x =右侧的部分是上升的D.抛物线在直线1x =右侧的部分是下降的3.二次函数2285y x x =++的图像的顶点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 、F 分别在腰AB 、CD 上，且EF BC ∥，下列比例成立的是（）A.AE ADAB EF = B.AE EFAB BC= C.AE DF AB FC= D.AE DFAB DC =5.矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，如果BC a = ，DC b =，那么（）A.()12DO a b =- B.()12DO b a =-C .DO a b =-D.()12DO b a =+ 6.下列条件中，不能判定ABC 与DEF 相似的是（）A.70A D ∠=∠=︒，50B E ∠=∠=︒B .70A D ∠=∠=︒，50B ∠=︒，60E ∠=︒C.A E ∠=∠，12AB =，15AC =，4DE =，5EF =D.A E ∠=∠，12AB =，15BC =，4DE =，5DF =二、填空题：（本大题共12题）7.计算：()()3232a b a b --+=______．8.如果一个二次函数的图像的对称轴是y 轴，且这个图像经过平移后能与232y x x =+重合，那么这个二次函数的解析式可以是______．（只要写出一个）9.已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，那么第二个矩形较长的一边长是______．10.已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且4AP BP AB >=，，那么AP =___________．11.已知ABC 的三边长分别为2、3、4，DEF 与ABC 相似，且DEF 周长为54，那么DEF 的最短边的长是______．12.如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为10cm ，为求出它的厚度x ，现用一个交叉卡钳（AC 和BD 的长相等）去测量零件的内孔直径AB ．如果13==OC OD OA OB ，且量得CD 的长是3cm ，那么零件的厚度x 是______cm ．13.在Rt ABC △中，90C = ∠，已知A ∠的正弦值是23，那么B ∠的正弦值是______．14.如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB 的坡度为______．15.在一块底边长为20厘米的等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮，如果矩形的一边与等腰三角形的底边重合且长度为x 厘米，矩形另两个顶点分别在等腰直角三角形的两腰上，设矩形面积为y 平方厘米，那么y 关于x 的函数解析式是______．（不必写定义域）16.已知G 是ABC 的重心，过点G 作GD AC ∥交边AB 于点D ，作GE AB 交边AC 于点E ，如果四边形ADGE 的面积为2，那么ABC 的面积是______．17.如图，在矩形ABCD 中，过点D 作对角线AC 的垂线，垂足为E ，过点E 作BE 的垂线，交边AD 于点F ，如果3AB =，5BC =，那么DF 的长是______．18.将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边形纸片ABCD 如图所示，其中90A C ∠=∠= ，7AB =厘米，9BC =厘米，2CD =厘米，那么原来的直角三角形纸片的面积是______平方厘米．三、解答题（本大题共7题）19.计算：tan45cot45sin45cos30︒︒︒︒++．20.已知：如图，平行四边形ABCD 中，点M 、N 分别在边DC 、BC 上，对角线BD 分别交AM 、AN 于点E 、F ，且::1:2:1DE EF BF =．（1）求证：MN BD ∥；（2）设AM a = ，AN b = ，请直接写出BD关于a、b的分解式．21.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x mx m =++．（1）如果拋物线经过点()19，，求该拋物线的对称轴；（2）如果抛物线的顶点在直线y x =-上，求m 的值．22.圭表（如图1）是我国古代度量日影长度的天文仪器，它包括一根直立的杆（称为“表”）和一把南北方向水平放置且与杆垂直的标尺（称为“圭”）．当正午的阳光照射在“表”上时，“表”的影子便会投射在“圭”上．我国古代很多地区通过观察“表”在“圭”上的影子长度来测算二十四节气，并以此作为指导农事活动的重要依据．例如，我国古代历法将一年中白昼最短的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长）定为冬至；白昼最长的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短）定为夏至．某地发现一个圭表遗迹（如图2），但由于“表”已损坏，仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离（即AB 的长）为11.3米．现已知该地冬至正午太阳高度角（即CBD ∠）为3534︒'，夏至正午太阳高度角（即CAD ∠）为8226︒'，请通过计算推测损坏的“表”原来的高度（即CD 的长）约为多少米？（参考数据见表1，结果精确到个位）表1αsin αcos αtan α3534︒'0.580.810.728226︒'0.990.137.5（注：表1中三角比的值是近似值）23.已知：如图，点D 、F 分别在等边三角形ABC 的边CB 的延长线与反向延长线上，且满足2BD CF BC ⋅=．求证：（1）ADB FAC ∽△△；（2）AF AD BC DF ⋅=⋅．24.在平面直角坐标系xOy 中，点()11A y -，，()20B y ，，()31C y ，，()42D y ，在抛物线2y x bx c =-++上．（1）当10y =，23y y =时，①求该抛物线的表达式；②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移m 个单位后，所得的新抛物线经过点()10-，，求m 的值；（2）若20y =，且1y 、3y 、4y 中有且仅有一个值大于0，请结合抛物线的位置和图像特征，先写出一个满足条件的b 的值，再求b 的取值范围．25.已知，如图1，在四边形ABCD 中，90BAC ADC ∠=∠=︒，4CD =，4cos 5ACD ∠=．（1）当BC AD ∥时（如图2），求AB 的长；（2）连接BD ，交边AC 于点E ，①设CE x =，AB y =，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；②当BDC 是等腰三角形时，求AB 的长．九年级数学一、选择题（本大题共6题）1.在直角坐标平面内，如果点()41P ，，点P 与原点O 的连线与x 轴正半轴的夹角是α，那么cot α的值是（）A.4B.14C.17D.17【答案】A【分析】由锐角的余切定义，即可求解．【详解】解：如图，∵点()41P ，，∴4cot 41α==．故选∶A【点睛】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，关键是掌握锐角的三角函数定义．2.关于抛物线()212y x =--以下说法正确的是（）A.抛物线在直线=1x -右侧的部分是上升的B.抛物线在直线=1x -右侧的部分是下降的C.抛物线在直线1x =右侧的部分是上升的D.抛物线在直线1x =右侧的部分是下降的【答案】C【分析】根据题目中的抛物线解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵抛物线()212y x =--，∴抛物线在直线1x =右侧的部分是上升，故选项A 、B 错误，不符合题意；抛物线在直线1x =右侧的部分是上升的，故选项C 正确，符合题意，选项D 错误，不符合题意；故选∶C ．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3.二次函数2285y x x =++的图像的顶点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【分析】利用配方法把二次函数解析式配成顶点式，然后利用二次函数的性质求解．【详解】解：2285y x x =++()224445x x =++-+()224485x x =++-+，()2223x =+-，∴顶点坐标为()23--，，∴二次函数2285y x x =++的图像的顶点位于第三象限，故选C ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是将题目中的函数解析式化为顶点式．4.如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 、F 分别在腰AB 、CD 上，且EF BC ∥，下列比例成立的是（）A.AE ADAB EF= B.AE EFAB BC= C.AE DFAB FC= D.AE DFAB DC=【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，即可得到结论．【详解】解：∵AD BC ∥，EF BC ∥，∴AD BC EF ∥∥，∴AE DFAB DC=，故选D ．【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线所分线段对应成比例是解题的关键．5.矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，如果BC a =，DC b =，那么（）A.()12DO a b =-B.()12DO b a =- C.DO a b=- D.()12DO b a=+ 【答案】B【分析】求出BD a b =-，再根据12DO DB =uuu r uu u r 即可得到结果．【详解】解：如图所示：∵BD BC CD=+BC DC =- a b=- ∴()1212DO DB b a -==，故选：B ．【点睛】本题主要考查了平面向量，矩形的性质，本题侧重考查知识点的理解能力．6.下列条件中，不能判定ABC 与DEF 相似的是（）A.70A D ∠=∠=︒，50B E ∠=∠=︒B.70A D ∠=∠=︒，50B ∠=︒，60E ∠=︒C.A E ∠=∠，12AB =，15AC =，4DE =，5EF =D.A E ∠=∠，12AB =，15BC =，4DE =，5DF =【答案】D【分析】由相似三角形的判定依次判断，可求解．【详解】解∶A ．∵70A D ∠=∠=︒，50B E ∠=∠=︒，∴ABC 与DEF 相似，故选项A 不合题意；B ．∵70A D ∠=∠=︒，50B ∠=︒，∴180705060C ∠=︒-︒-︒=︒，∴60C E ∠=∠=︒，∴ABC 与DEF 相似，故选项B 不合题意；C ．31AB AC DE EF==，A E ∠=∠，∴ABC 与DEF 相似，故选项C 不合题意；D ．31AB BCDE DF==，但B ∠与D ∠不一定相等，ABC 与DEF 不一定相似，故选项D 符合题意；故选∶D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．二、填空题：（本大题共12题）7.计算：()()3232a b a b --+=______．【答案】35a b -##53b a-+【分析】根据向量的运算法则可直接进行解答．【详解】解：()()3232a b a b--+6332a b a b =---35a b=- ，故答案为：35a b - ．【点睛】本题考查的是平面向量的知识，熟悉向量的相关性质是解题的关键．8.如果一个二次函数的图像的对称轴是y 轴，且这个图像经过平移后能与232y x x =+重合，那么这个二次函数的解析式可以是______．（只要写出一个）【答案】()2323y x =++【分析】先设原抛物线的解析式为()2y a x h k =++，根据二次函数的图像平移性质知3a =，据此写出符合要求的解析式即可．【详解】解∶先设原抛物线的解析式为()2y a x h k =++，经过平移后能与抛物线232y x x =+重合，∴3a =，∴这个二次函数的解析式可以是()2323y x =++（答案不唯一）．【点睛】本题考查二次函数的图像与几何变换，熟知二次函数图像平移中不变的性质是解答的关键．9.已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，那么第二个矩形较长的一边长是______．【答案】163##153【分析】设第二个矩形较长的一边长是a ，根据相似多边形的性质得出344a=，再求出a 即可．【详解】解：设第二个矩形较长的一边长是a ，∵两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，∴344a=，解得∶163a =，即第二个矩形较长的一边长是163，故答案为∶163．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，能熟记相似多边形的性质（相似多边形的对应边的比相等）是解此题的关键．10.已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且4AP BP AB >=，，那么AP =___________．【答案】2-##2-+【分析】根据黄金分割点的定义，知AP 是较长线段；则512AP AB =，代入数据即可得出AP 的长．【详解】解：∵P 为线段AB 的黄金分割点，且AP 是较长线段；∴5122AP AB -==-．故答案为：2-．【点睛】本题考查了黄金分割的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的32-，较长的线段=原线段的12．11.已知ABC 的三边长分别为2、3、4，DEF 与ABC 相似，且DEF 周长为54，那么DEF 的最短边的长是______．【答案】12【分析】先计算出ABC 的周长，进而得出相似比为16∶，进而得出答案．【详解】解：∵ABC 的三边长分别为2、3、4，∴ABC 的周长为：9∵DEF 与ABC 相似，且DEF 周长为54，∴ABC 与DEF 的周长比为95416=∶∶，∴ABC 与DEF 的相似比为16∶，设DEF 的最短边的长是x ，则：216x =∶∶，解得∶12x =．故答案为∶12．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．12.如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为10cm ，为求出它的厚度x ，现用一个交叉卡钳（AC 和BD 的长相等）去测量零件的内孔直径AB ．如果13==OC OD OA OB ，且量得CD 的长是3cm ，那么零件的厚度x 是______cm ．【答案】12##0.5【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得AB 的长，再根据某零件的外径为10cm ，即可求得x 的值．【详解】解∶∵13==OC OD OA OB ，COD AOB ∠=∠，∴COD AOB ∽ ，∴13CD AB =，∵CD 的长是3cm ，∴9cm AB =，∵零件的外径为10cm ，∴零件的厚度为∶()1091cm 22x -==，故答案为：12．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB 的值．13.在Rt ABC △中，90C = ∠，已知A ∠的正弦值是23，那么B ∠的正弦值是______．【答案】53##【分析】根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可．【详解】解：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，∠A 的正弦值是23即23BC AB =，∴设2BC k =，则3AB k =，由勾股定理得AC ==，∴5sin 3AC B AB ==，故答案为∶53．【点睛】本题考查锐角三角函数、勾股定理，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提．14.如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB 的坡度为______．【答案】1：1.5【分析】根据坡度的概念计算，得到答案．【详解】解：∵202tan 303B ∠==，∴斜面AB 的坡度为2：3=1：1.5，故答案为：1：1.5．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比是解题的关键．15.在一块底边长为20厘米的等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮，如果矩形的一边与等腰三角形的底边重合且长度为x 厘米，矩形另两个顶点分别在等腰直角三角形的两腰上，设矩形面积为y 平方厘米，那么y 关于x 的函数解析式是______．（不必写定义域）【答案】21102x x y -+=【分析】根据几何关系先把矩形的另一边用x 表示出来，再利用矩形面积公式得到y 与x 的表达式．【详解】解：如图所示，由题意，45B C ∠=∠=︒,90DFB EGC ∠=∠=︒，FG x=∴BDF 和CEG 都是等腰直角三角形，∴,BF DF CG EG ==，由矩形可知，DF EG =，∴BF CG DF EG ===，∴2011022x DF BF x -===-，∴矩形面积为211·101022y DF FG x x x x ⎛⎫==-=-+ ⎪⎝⎭，故答案为∶21102x x y -+=．【点睛】本题考查等腰直角三角形、矩形的性质和函数表达式，解题关键是熟知等腰直角三角形和矩形的性质．16.已知G 是ABC 的重心，过点G 作GD AC ∥交边AB 于点D ，作GE AB 交边AC 于点E ，如果四边形ADGE 的面积为2，那么ABC 的面积是______．【答案】9【分析】延长BG 交AC 于F 点，连接AG ，先证四边形ADGE 为平行四边形得112122ADG ADGE S S ==⨯=四边形 ，由G 是ABC 的重心，得2BG GF =，BF 为AC 边上的中线，再根据平行线分线段成比例可证2BD BG AD GF ==，从而即可求解．【详解】解：延长BG 交AC 于F 点，连接AG ，如图，∵GD AC ∥，GE AB ，∴四边形ADGE 为平行四边形，∴112122ADG ADGE S S ==⨯=四边形 ∵G 是ABC 的重心，∴2BG GF =，BF 为AC 边上的中线，∵GD AC ∥，∴2BD BG AD GF==，∴22BDG ADG S S == ，∴213ABG S =+= ，∵2BG GF =，∴1322AGF ABG S S == ，∴92ABF ABG AGF S S S =+=，∵BF 为AC 边上的中线，∴92292ABC ABF S S ==⨯= ．故答案为∶9．【点睛】本题考查了三角形的重心∶三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为21∶，也考查了平行四边形的判定与性质和平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．17.如图，在矩形ABCD 中，过点D 作对角线AC 的垂线，垂足为E ，过点E 作BE 的垂线，交边AD 于点F ，如果3AB =，5BC =，那么DF 的长是______．【答案】95【分析】利用矩形的性质求出AC ，利用三角形的面积、勾股定理求出DE 、CE 的长，再利用等角的余角相等说明BAE ADE ∠=∠、AEB DEF ∠=∠，得DEF AEB ∽ ，最后利用相似三角形的性质得结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC ADC ∠=∠=︒，3AB CD ==，5BC AD ==，AB CD ∥，∴AC ===∵1122ADC S AD CD AC DE ∆=⋅=⋅，∴153434DE =，∵DE AC ⊥，∴CE ==34=，∴34AE AC CE =-=，∵AB CD ∥，∴BAE DCA ∠=∠，90DCA CDE CDE ADE ∠+∠=∠+∠=︒ ，∴BAE ADE ∠=∠，∵BE EF ⊥，DE AC ⊥，∴90BEA AEF AEF FED ∠+∠=∠+∠=︒，∴BEA FED ∠=∠，∴DEF AEB ∽ ，∴DF DE AB AE=∴95DE AB DF AE ⋅==，【点睛】本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的性质与判定、三角形的内角和定理及勾股定理是解决本题的关键．18.将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边形纸片ABCD 如图所示，其中90A C ∠=∠= ，7AB =厘米，9BC =厘米，2CD =厘米，那么原来的直角三角形纸片的面积是______平方厘米．【答案】983或54【分析】先由勾股定理求得6AD =厘米，再分情况讨论，利用三角形相似求解即可．【详解】解：连接BD ，∵90A C ∠=∠= ，7AB =厘米，9BC =厘米，2CD =厘米，∴22222BD BC CD AD AB =+=+即2222927AD +=+，∴6AD =厘米，①如下图，延长AD ，BC 相交于点N ，设NC x =厘米，∵90NCD A ∠=∠=︒，N N ∠=∠，9BN x =+厘米，∴NCD NAB ∽ ，∴ND NC CD NB NA AB ==即2967ND x x ND ==++，∴83x =厘米，103ND =厘米，111098672233ANB S AN AB ⎛⎫=⨯=⨯+⨯= ⎪⎝⎭ 平方厘米；②如下图，延长CD，BA 相交于点M ，设MD y =厘米，∵90MAD C ∠=∠=︒，M M ∠=∠，2CM y =+厘米，∴MAD MCB ∽ ，∴MA MD AD MC MB CB ==即6279MA y y AM ==++，∴10y =厘米，()1110295422CMB S CM BC =⨯=⨯+⨯= 平方厘米，故答案为983或54．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．三、解答题（本大题共7题）19.计算：tan45cot45sin45cos30︒︒︒︒++．【答案】-【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【详解】解：tan45cot45sin45cos30︒︒︒︒++2322===【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．20.已知：如图，平行四边形ABCD 中，点M 、N 分别在边DC 、BC 上，对角线BD 分别交AM 、AN 于点E 、F ，且::1:2:1DE EF BF =．（1）求证：MN BD ∥；（2）设AM a = ，AN b = ，请直接写出BD 关于a 、b 的分解式．【答案】（1）证明见解析；（2）3322BD a b =- ．【分析】（1）由平行四边形的性质可得，DM AB BN AD ∥，∥，AB CD =，AD BC =，进而得DEM BEA ∽ ，BFN DFA ∽ ，得13DM DC BN BC ==∶∶∶，再证MCN DCB ∽ 得CMN CDB ∠=∠，从而即可得证；(2)由向量的差可知，NM AM AN a b =-=- ，再证32BD MN =，从而3322BD a b =- ．【小问1详解】证明：∵::1:2:1DE EF BF =∴13DE BE =∶∶，13BF DF =∶∶∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DM AB ∥，BN AD ∥，AB CD =，AD BC ='，∴DEM BEA ∽ ，BFN DFA ∽ ，∴13DM DC DM AB DE BE ===∶∶∶∶，13BN BC BN AD BF BD ===∶∶∶∶，∴13DM DC BN BC ==∶∶∶，∴23CM DC CN BC ==∶∶∶，∵MCN DCB ∠=∠，∴MCN DCB ∽ ，∴CMN CDB ∠=∠，∴MN BD ∥；【小问2详解】解：∵AM a = ，AN b = ，∴NM AM AN a b =-=-，由（1）知，MN BD ∥，MCN DCB ∽ ，23CM DC =∶∶，，∴23MN BD CM DC ==∶∶∶，∴32BD MN =，∴3322BD a b =- ．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，平面向量的计算等相关知识，熟练掌握相关知识是解题关键．21.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x mx m =++．（1）如果拋物线经过点()19，，求该拋物线的对称轴；（2）如果抛物线的顶点在直线y x =-上，求m 的值．【答案】（1）2x =-；（2）0或2．【分析】（1）把已知点的坐标代入函数解析式，列出关于系数的方程，解方程求得m 的值；然后将所求的抛物线解析式转化为顶点式，直接得到拋物线的对称轴；（2）根据题意可以求得抛物线的顶点坐标，然后将顶点坐标代入y x =-，从而可以求得m 的值．【小问1详解】解：把点()19，代入2y x mx m =++，得291m m =++．解得4m =，则该抛物线解析式为：()22442y x x x =++=+．∴该拋物线的对称轴是2x =-；【小问2详解】解：∵22224m m m y x mx m x ⎛⎫+-=+=+ ⎪⎝+⎭，∴抛物线2y x mx m =++的顶点坐标是242m m m ⎪-+⎛⎫- ⎝⎭，，∵抛物线2y x mx m =++的顶点在直线y x =-上，∴224m m m -=+，解得∶0m =或2m =．【点睛】本题考查了二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，顶点式2()y a x h k =-+，顶点坐标是()h k ，，对称轴是直线x h =，此题考查了学生的应用能力，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．22.圭表（如图1）是我国古代度量日影长度的天文仪器，它包括一根直立的杆（称为“表”）和一把南北方向水平放置且与杆垂直的标尺（称为“圭”）．当正午的阳光照射在“表”上时，“表”的影子便会投射在“圭”上．我国古代很多地区通过观察“表”在“圭”上的影子长度来测算二十四节气，并以此作为指导农事活动的重要依据．例如，我国古代历法将一年中白昼最短的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长）定为冬至；白昼最长的那一天（当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短）定为夏至．某地发现一个圭表遗迹（如图2），但由于“表”已损坏，仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离（即AB 的长）为11.3米．现已知该地冬至正午太阳高度角（即CBD ∠）为3534︒'，夏至正午太阳高度角（即CAD ∠）为8226︒'，请通过计算推测损坏的“表”原来的高度（即CD 的长）约为多少米？（参考数据见表1，结果精确到个位）表1αsin αcos αtan α3534︒'0.580.810.728226︒'0.990.137.5（注：表1中三角比的值是近似值）【答案】表CD 的高度是9米．【分析】利用CBD ∠和CAD ∠的正切，用CD 表示出BD 和AB ，得到一个只含有CD 的关系式，再解答即可．【详解】解：∵在Rt ADC 中，tan82267.5CD AD ︒'==，在Rt BDC 中，tan35340.72CD BD︒'==，∴215AD CD =，2518BD CD =，∵2521131815CD CD -=.，∴9CD =（米）答∶表CD 的高度是9米．【点睛】本题主要考查了三角函数，熟练掌握建模思想是解决本题的关键．23.已知：如图，点D 、F 分别在等边三角形ABC 的边CB 的延长线与反向延长线上，且满足2BD CF BC ⋅=．求证：（1）ADB FAC ∽△△；（2）AF AD BC DF ⋅=⋅．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由三角形的性质证AB BC AC ==，DBA ACF ∠=∠，再由2BD CF BC ⋅=得BD BA AC CF =，即可得证；（2）证明FAC FDA ∽ 即可得证．【小问1详解】证明：∵ABC 是等边三角形，∴AB BC AC ==，60ABC ACB CAB ∠=∠=∠=︒，∴180120180DBA ABC ACB ACF ∠=︒-∠=︒=︒-∠=∠，∵2BD CF BC ⋅=，∴BD BC BC CF =即BD BA AC CF=，∴ADB FAC ∽△△；【小问2详解】证明：由（1）得ADB FAC ∽△△，∴FAC D ∠=∠，∵F F ∠=∠，∴FAC FDA ∽ ，∴AF AC DF AD=，∵AC BC =，∴AF AD BC DF ⋅=⋅，【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．24.在平面直角坐标系xOy 中，点()11A y -，，()20B y ，，()31C y ，，()42D y ，在抛物线2y x bx c =-++上．（1）当10y =，23y y =时，①求该抛物线的表达式；②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移m 个单位后，所得的新抛物线经过点()10-，，求m 的值；（2）若20y =，且1y 、3y 、4y 中有且仅有一个值大于0，请结合抛物线的位置和图像特征，先写出一个满足条件的b 的值，再求b 的取值范围．【答案】（1）①22y x x =-++；②1m =或2m =；（2）可取2b =-，1b <-或12b <≤．【分析】（1）①先求得对称轴为12x =，再根据待定系数法即可求得抛物线的表达式；②根据平移得()()222y x m x m =-++++-，又由抛物线过点()10-，，即可得解；（2）由20y =得抛物线2y x bx =-+，又由点()11A y -，，()31C y ，，()42D y ，在抛物线2y x bx =-+上，且使得1y 、3y 、4y 中有且仅有一个值大于0，从而可取2b =-，此时10y >，30y <，40y <，分抛物线的对称轴在y 轴的左侧时和抛物线的对称轴在y 轴的右侧两种情况讨论求解b 的取值范围．【小问1详解】解：①∵抛物线2y x bx c =-++过点()20B y ，，()31C y ，，23y y =，∴点B 、C 为对称点，其对称轴为01122x +==，∴122b x ==，∴1b =，∴2y x x c =-++，∵2y x x c =-++过点()11A y -，，10y =，∴()011c =-+-+，解得2c =，∴抛物线的表达式为22y x x =-++，②抛物线22y x x =-++向下平移2个单位，再向左平移m 个单位后得()()222y x m x m =-++++-，∵()()222y x m x m =-++++-过点()10-，，∴()()201122m m =--++-++-，解得1m =或2m =；【小问2详解】解：∵20y =，∴抛物线过点()00B ，，∴抛物线2y x bx=-+∵点()11A y -，，()31C y ，，()42D y ，在抛物线2y x bx =-+上，且使得1y 、3y 、4y 中有且仅有一个值大于0，∴可取2b =-，此时10y >，30y <，40y <，当抛物线的对称轴在y 轴的左侧时，∵抛物线2y x bx =-+开口向下，∴10y >，30y <，40y <，∴()210b --->，210b -+<，2220b -+<，∴1b <-，当抛物线的对称轴在y 轴的右侧时，∵抛物线2y x bx =-+开口向下，∴10y <，30y <，40y >，∴()210b ---<，210b -+>，2220b -+≤，∴1b >-，1b >，2b ≤，∴12b <≤，综上得，1b <-或12b <≤．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，待定系数法求解二次函数的解析式以及二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的图像及性质式解题的关键．25.已知，如图1，在四边形ABCD 中，90BAC ADC ∠=∠=︒，4CD =，4cos 5ACD ∠=．（1）当BC AD ∥时（如图2），求AB 的长；（2）连接BD ，交边AC 于点E ，①设CE x =，AB y =，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；②当BDC 是等腰三角形时，求AB 的长．【答案】（1）203；（2）AB 的长为103或125-．【分析】（1）在Rt ACD △中，解直角三角形得5AC =，3AD =，再证BAC CDA ∽ 即可得解；（2）①先求得5AE x =-，165EN x =-，根据0AE >，0EN >可得定义域，证明BAC CDA ∽ 可得y 关于x 的函数解析式；②分两类讨论求解，当BD BC =时，作BQ CD ⊥于点Q ，作AP BQ ⊥于点P ，证BPA CDA ∽ 得解，当4BD CD ==时，作BN 垂直直线AD 于点N ，证NBA DAC ∽ 得解．【小问1详解】解：∵在Rt ACD △中，4cos 5ACD A CD C ∠==，4CD =，∴5AC =，3AD ==，∵BC AD ∥，∴ACB DAC ∠=∠，∵90BAC ADC ∠=∠=︒，∴BAC CDA ∽ ，∴BA AC CD AD =即543BA =，∴203AB =；【小问2详解】解：①如图2，作DN AC ⊥于点N ，∵1122ADC S AC DN AD CD =⨯=⨯ ，4CD =，5AC =，3AD =，∴125DN =，∴165CN ==，95AN AC CN =-=，∵CE x =，∴5AE x =-，165EN x =-，∵0AE >，0EN >，∴165x 5<<，∵90BAE DNE ∠=∠=︒，AEB NED ∠=∠，∴AEB NED ∽ ，∴AE AB NE DN =，即5161255x y x -=-，∴6012516x y x -=-1655x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，②∵90BAC ADC ∠=∠=︒，∴BC AC CD >>，∴BC CD ≠，当BD BC =时，作BQ CD ⊥于点Q ，作AP BQ ⊥于点P ，如下图，易知四边形APQD是矩形，∴2AP DQ CQ ===，90PAD PAC CAD ∠=∠+∠=︒，∵90BAC BAP PAC ∠=∠+∠=︒，∴BAP CAD ∠=∠，∵90BPA CDA ∠=∠=︒，∴BPA CDA ∽ ，∴AB AP AC AD =即253AB =，∴103AB =；当4BD CD ==时，作BN 垂直直线AD 于点N，如下图，∴90N ADC ∠=∠=︒，∴90NAB NBA ∠+∠=︒，∵90BAC ∠=︒，∴90NAB CAD ∠+∠=︒，∴NBA CAD ∠=∠，∴NBA DAC ∽ ，∴AN AB CD AC =即45AN AB =，∴45AN AB =，∵BN ⊥AD ，∴222241635BN BD DN AB ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，2222245BN AB AN AB AB ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴2224416355AB AB AB ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得319125AB -=或319125AB =（舍去），综上AB 的长为103或319125-．【点睛】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、求函数解析式、矩形的判定及性质以及相似三角形的判定及性质，熟练掌握勾股定理以及相似三角形的判定及性质是解题的关键．。

2015-2016学年第一学期期末教学质量监测九年级数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共5页，满分150分． 考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名；填写考场号、座位号，再用2B 铅笔把对应这两个号码的标号涂黑．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图．答 案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分 选择题(共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（﹡）．A ．B .C .D .2.下列事件为必然事件的是（﹡）．A .经过有交通信号灯的路口，遇到红灯B . 打开电视机，正在播电视剧C . 当x 是实数时，20x ≥ D . 买一张电影票，座位号正好是偶数 3. 在圆内接四边形ABCD 中，已知060B ∠=，则D ∠=（﹡）．A .030 B .040 C .060 D .0120 4.一元二次方程230+=x x 的根是（﹡）．A .0=xB .3=-xC .120,3x x ==-D .120,3x x == 5. 在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到不合格产品的概率是（﹡）．A .0.1B .0.2C .0.4D .0.86. 已知反比例函数ky x=的图像经过点(1,2)P -,则这个函数的图像位于（﹡）． A .第二,四象限 B .第一,三象限 C .第三,四象限 D .第二,三象限 7. 已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（﹡）．8.已知反比例函数=-y x，当13<<x 时，y 的取值范围是（﹡）． A .13<<y B .62-<<-y C .12-<<-y D .6>-y 9.如图1，经过原点的抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是直线2x =-，下列结论中：①0ab <，②0a b c ++>，③24b ac >，④当40x -<<时，0y <，正确的个数是（﹡）． A .1 B .2 C .3 D .4 10.如图2，在矩形ABCD 中，6,8AB AD ==，,,,AD AB BCDN 分别与O e 相切于点,,,E F G N ，DN 交BC 于点M ，则DM 的长为（﹡）．A . 345B . 10CD .GMDEFB图2BOD C A图3第二部分 非选择题(共120分)二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分.)11.如图3，AB 是O e 的直径，点C 是O e 上的一点，若8AC =，⊥OD BC 于点D ， 则OD 的长为 ﹡ .12.已知函数22(1)1,y x =++当x > ﹡ 时，y 随x 的增大而增大. 13.把抛物线2(1)y x =-+向 ﹡ 平移1个单位长度，就得到抛物线2y x =-. 14. 方程220x x --=的二根之和是 ﹡ .15. 若抛物线22y x x m =+-与x 轴没有交点，则m 的取值范围是 ﹡ .三、解答题(本大题共9小题，满分102 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.（本小题满分9分）已知1是关于x 的方程2210x mx m +-+=的一个根， 求m 的值和方程的另一个根.18.（本小题满分9分）如图4，点C 是线段BD 上的点，ABC ∆和ECD ∆都是等边三角形. ⑴求证：EBC DAC ∆≅∆；⑵EBC ∆经过怎样的旋转可以得到DAC ∆？AEDCB图419.（本小题满分10分）如图5，已知ABC ∆三个顶点的坐标分别是(3,1),(1,1),(2,2)A B C ----. ⑴作出与ABC ∆关于原点对称的111A BC ∆，并写出点111,,A B C 的坐标； ⑵作出ABC ∆绕点B 逆时针旋转090所得到的222A B C ∆.20.（本小题满分10分）据媒体报道，我国2013年公民出境旅游总人数约5000万人次，2015年公民出境旅游总人数约7200万人次.若2014年、2015年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：⑴求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；⑵如果2016年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2016年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？在一个不透明的布袋中装有2个红球，1个白球，它们除颜色外无其他差别. ⑴求随机从布袋中摸出1个球是红球的概率；⑵随机从布袋中摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再随机从布袋中摸出1个球.求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）.22.（本小题满分12分）如图6，二次函数22y ax x m =++的图象经过点(0,3),(1,0)A B -，请解答下列问题： ⑴求二次函数图象的顶点D 的坐标、对称轴及二次函数图象与x 轴另一个交点C 的坐标； ⑵在图6所给坐标系中，描点画出二次函数22y ax x m =++的图象.23.（本小题满分12分）如图7，在Rt ABC △中，90C ∠=°，BD 是ABC ∠的平分线．⑴利用尺规作O ,使圆心O 在斜边AB 上，并且经过B ,D 两点（不写作法，保留清晰的作图痕迹）；⑵设O 交AB 于点E ，连接OD ，判断直线AC 与O 的位置关系，并说明理由.ADCB图7如图8,直线(0)y kx k =≠与反比例函数12y x=-的图象交于(,4),A a B -两点. ⑴求,a k 的值；⑵求点B 的坐标，并根据图象写出反比例函数值大于正比例函数值时x 的取值范围； ⑶将直线(0)y kx k =≠向上平移(0)m m >个单位，若平移后得到的直线与半径为6的O 相交，试求m 的取值范围.25．（本小题满分14分）如图9,在平行四边形ABCD 中,5AB =，8BC =，AD 与BC 的距离为3，点P 是边BC 上的动点，且以CP 为半径的C 与边AD 交于点,E F (点F 在点E 的右侧)，射线CE与射线BA 交于点G .⑴当C 经过点A 时，求CP 的长；⑵连接AP ，当AP CG 时，求弦EF 的长； ⑶当AG AE =时，求C 的半径长.GEFDCPB A图9D C BA备用图2015-2016学年第一学期期末教学质量监测 九年级数学试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、 选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题3分，满分30分．二、 填空题：本大题考查基础知识和基本运算．共6小题，每小题3分，满分18分．三、解答题(本大题共9小题，满分102 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.（本小题满分9分）已知1是关于x 的方程2210x mx m +-+=的一个根， 求m 的值和方程的另一个根. 解：把x =1代入方程2210x mx m +-+=得：1210m m +-+= …………………………………2分 2m ∴= …………………………………………4分原方程为：2230x x +-= ………………………6分 解法1：（直接解方程求另一个根）(1)(3)0x x -+=，121,3x x ∴==-， ∴另一个根是3x =- ………9分解法2：（韦达定理求解）设另一个根为2x ， 则有212x +=- …………………………………8分23x ∴=-,∴另一个根是3x =- ………………9分18.（本小题满分9分）如图4，点C 是线段BD 上的点，ABC ∆和ECD ∆都是等边三角形. ⑴求证：EBC DAC ∆≅∆；⑵EBC ∆经过怎样的旋转可以得到DAC ∆？证明：⑴∵060ACD ECD ACE ACE ∠=∠+∠=+∠ …1分060BCE ACB ACE ACE ∠=∠+∠=+∠ ………………2分 BCE ACD ∴∠=∠ …………………………………………3分 在EBC ∆和DAC ∆中，BC AC BCE ACD EC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩…………………………………………5分 EBC DAC ∴∆≅∆……………………………………………6分⑵以点C 为旋转中心…………………………………………7分 将EBC ∆按顺时针方向 ……………………………………8分 旋转60°就可得到DAC ∆.…………………………………9分 19.（本小题满分10分）如图5，已知ABC ∆三个顶点的坐标分别是(3,1),(1,1),(2,2)A B C ----. ⑴作出与ABC ∆关于原点对称的111A BC ∆，并写出点111,,A B C 的坐标； ⑵作出ABC ∆绕点B 逆时针旋转090所得到的222A B C ∆. 解：（1）如图5，111A BC ∆就是所求作的图形 …3分 点1A 的坐标为1(3,1)-A …………………………4分 点1B 的坐标为1(1,1)B ……………………………5分 点1C 的坐标为1(2,2)C - …………………………6分 （2）如图5，22∆A BC 就是所求作的图形，……10分 (画对线段22,BC BA 各给2分)图4B C20.（本小题满分10分）据媒体报道，我国2013年公民出境旅游总人数约5000万人次，2015年公民出境旅游总人数约7200万人次.若2014年、2015年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：⑴求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；⑵如果2016年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2016年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？解：⑴设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x . ……1分 依题意，得25000(1)7200x +=.………………………………………3分 化简，得2(1) 1.44x += ………………………………………………4分解得120.2 2.2x x ==-，（不合题意，舍去）． ………………………6分答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%. ………7分⑵若2016年仍保持相同的年平均增长率，则预测2016年我国公民出境旅游总人数约7200(120%)8640⨯+=（万人次）. ………………………………9分答：预测2016年我国公民出境旅游总人数约8 640万人次. ………10分21.（本小题满分12分）在一个不透明的布袋中装有2个红球，1个白球，它们除颜色外无其他差别. ⑴求随机从布袋中摸出1个球是红球的概率；⑵随机从布袋中摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再随机从布袋中摸出1个球.求两次摸出的球恰好颜色不同的概率（要求画树状图或列表）. 解：⑴P （红球）=12213=+……………………2分 ⑵……………………11分（9种情况每列出1种情况给1分）∴P （两次摸出的球恰好颜色不同）49=………12分白白 红1 红2 红1白红1 红2 红2白红1 红2第一次第二次22.（本小题满分12分）如图6，二次函数22y ax x m =++的图象经过点(0,3),(1,0)A B -，请解答下列问题： ⑴求二次函数图象的顶点D 的坐标、对称轴及二次函数图象与x 轴另一个交点C 的坐标； ⑵在图6所给坐标系中，描点画出二次函数22y ax x m =++的图象.解：(1) ∵二次函数22y axx m =++的图象经过点(0,3),(-1,0)A B ，∴3023m a =⎧⎨=-+⎩…………………………………2分解得13a m =-⎧⎨=⎩………………………………………3分∴二次函数的解析式为223y x x =-++ ………3分 ∵2223(1)4y x x x =-++=--+ ……………5分 ∴顶点D 的坐标为(1,4)， ………………………6分 对称轴为直线 1x = ……………………………7分 由2230x x -++=解得121,3x x =-= ………9分 ∴另一个交点C 的坐标为(3,0). ………………9分（或由点(1,0)B -与点C 关于直线 1x =对称性得(3,0)C .） ⑵二次函数22y ax x c =++的图象如图所示 …………12分（画出对称轴给1分，描出顶点D 给1分，描出点A 的对称点E 给1分） 23.（本小题满分12分）如图7，在Rt ABC △中，90C ∠=°，BD 是ABC ∠的平分线．⑴利用尺规作O ,使圆心O 在斜边AB 上，并且经过B ,D 两点（不写作法，保留清晰的作图痕迹）；⑵设O 交AB 于点E ，连接OD ，判断直线AC 与O 的位置关系，并说明理由. 解：⑴如图所示（阅卷老师注意观察作图痕迹，特别是圆弧的痕迹）①分别以B 、D 圆心，并以相同的大于BD 的长度为半径画弧，得到二个交点， （清晰地画出每段弧，各给0.5分，四舍五入，第一问最后给整数分） ……2分 ②连接二交点得到线段BD 的垂直平分线， ……………………………………3分 ③BD 的垂直平分线与AB 的交点即为圆心O ，…………………………………4分 ④以O 为圆心，以OB 或OD 为半径画出O .…………………………………5分（没有用圆规画弧的方法，但用带刻度的直尺或三角板近似作出线段BD 的垂直平分线， 只要画出的圆准确经过B ,D 两点也给5分，否则，本小题最多给3分.）⑵直线AC 与O ⊙相切. ……………6分 证法1：∵=OB OD ， ∴∠=∠OBD ODB . ………………7分 ∵BD 是ABC ∠的平分线，∴∠=∠OBD CBD ，…………………8分∴∠=∠ODB CBD ，…………………9分 ∴//OD BC . …………………………10分 ∵90C ∠=°，//OD BC ，∴090∠=∠=ODA C ，………………11分 ∴OD AC ⊥，…………………………12分 ∴直线AC 与O ⊙相切. ………………12分 证法2：∵BD 是ABC ∠的平分线， ∴12∠=∠=∠OBD CBD ABC ，…………………7分 ∵1122OBD EBD EOD AOD ∠=∠=∠=∠， …8分 （同弧所对的圆周角是圆心角的一半）∴∠=∠ABC AOD . ………………………………9分 ∵90C ∠=°，∴090∠+∠=A ABC ， …………………………10分 ∴090∠+∠=A AOD ，…………………………10分 ∴00180()90ODA A AOD ∠=-∠+∠=，……11分 ∴OD AC ⊥，……………………………………12分 ∴直线AC 与O ⊙相切. …………………………12分24.（本小题满分14分）如图8,直线(0)y kx k =≠与反比例函数12y x=-的图象交于(,4),A a B -两点. ⑴求,a k 的值；⑵求点B 的坐标，并根据图象写出反比例函数值大于正比例函数值时x 的取值范围；⑶将直线(0)y kx k =≠向上平移(0)m m >个单位，若平移后得到的直线与半径为6的O 相交，试求m 的取值范围.解：⑴把(,4)A a -代入12y x=-得：124-=-a ……1分 ∴3=a ， ∴(3,4)-A …………………………2分把(3,4)-A 代入(0)y kx k =≠得：34k =-，…………3分 ∴43=-k ………………………………………………4分 ⑵求点B 的坐标有两种方法：解法1：∵直线43=-y x 与反比例函数12y x=-的图象都是关于原点对称的图形， 点A 与点B 也是关于原点对称的点，且点(3,4)-A ,∴点(3,4)B - ………………5分解法2：由已知条件得：4312⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩y x y x ，解得121233,,44==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩x x y y ∴点(3,4)B -……5分 由图可得：当30-<<x 或3>x 时 ，反比例函数值大于正比例函数值； ………7分⑶由（1）和题意，可设平移后得到的直线l 所对应的函数关系式为：4(0)3y x m m =-+> ………………………………8分 如图8所示，设直线l 与x 轴、y 轴分别交于C 、D 两点，当0=x 时，=y m ；当0=y 时，34=x m ； ∴点3(,0)4m C ，(0,)D m .即34=m OC …………9分 =OD m ， …………………………………………10分在Rt DOC ∆中，54===mDC……11分过点O作⊥OE CD，垂足为E,∵1122CODS CO DO CD OE∆=⋅⋅=⋅⋅…………12分∴3544⨯=⨯m mm OE……………………………12分∵0,>m解得：35=OE m……………………13分∵直线与圆O相交，且圆O半径6r=∴365OE m=<，解得：010m<<………14分∴m的取值范围是010m<<…………………14分25．（本小题满分14分）如图9,在平行四边形ABCD中,5AB=，8BC=，AD与BC的距离为3，点P是边BC上的动点，且以CP为半径的C与边AD交于点,E F(点F在点E的右侧)，射线CE 与射线BA交于点G.⑴当C经过点A时，求CP的长；⑵连接AP，当AP CG时，求弦EF的长；⑶当AG AE=时，求C的半径长.解：⑴在备用图中，过点A作,AH BC⊥垂足为H，∵AD与BC的距离为3，∴AH=3. ……………1分在Rt ABH∆中，AB=5，AH=3，∴4BH==.………2分∵8BC=, ∴4BH CH==，………………2分∴AH是BC的垂直平分线，…………………3分∴AB=AC= 5.…………………4分∴当圆C经过点A时，CP=CA=5. ……………4分⑵如图9，当AP∥CG时，∵//AE BC，∴四边形APCE是平行四边形. …5分又∵CP=CE，∴四边形APCE是菱形.…………6分∴AE=CE. ………………………………………6分过点C 作,CQ AD ⊥垂足为Q ，则CQ=3. …7分 ∵CD=AB=5，∴DQ=4，AQ=4 ……………7分设EQ=x ,则EF=2EQ=2x . ……………………8分 在Rt CEQ ∆中，EQ =x ，CQ=3，CE = AE =AQ-EQ=4-x 由勾股定理得：2223(4)x x +=- ， …………8分 解得，78x =，即78EQ =， …………………9分724EF EQ ∴==. ……………………………9分⑶如图9，当AG AE =时，AGE AEG ∠=∠， ∵//AE BC ，∴BCG AEG ∠=∠， ………10分 ∴AGE BCG ∠=∠，…………………………11分 ∴8BG BC ==， …………………………11分 ∴853AE AG BG BA ==-=-=，………12分 ∴431EQ AQ AE =-=-=. ………………13分 在Rt CEQ ∆中，1,3EQ CQ ==，∴CE ===…14分 ∴圆C………………………14分。

2023-2024学年上海市黄浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．（4分）下列命题中，真命题是（）A．如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个三角形相似B．如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个三角形相似C．如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的锐角，那么这两个梯形相似D．如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角，那么这两个梯形相似2．（4分）已知：△A1B1C1～△A2B2C2～△A3B3C3，如果△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为2，△A2B2C2与△A3B3C3相似比为4，那么△A1B1C1与△A3B3C3的相似比为（）A．2B．4C．6D．83．（4分）如图，△ABC三边上点D、E、F，满足DE∥BC，EF∥AB，那么下列等式中，成立的是（）A．B．C．D．4．（4分）已知G是△ABC的重心，记，，那么下列等式中，成立的是（）A．B．C．D．5．（4分）将二次函数y＝x2+2x+3和y＝﹣x2+2x﹣3的图象画在同一平面直角坐标系中，那么这两个图象都是上升的部分，所对应自变量x的取值范围是（）A．x≥1B．x≤﹣1C．﹣1≤x≤1D．x≥1或x≤﹣16．（4分）如图，过矩形ABCD的顶点分别作对角线的垂线，垂足分别为E、F、G、H，依次联结四个垂足，可得到矩形EFGH．设对角线AC与BD的夹角为α（0＜α＜90°），那么矩形EFGH与矩形ABCD面积的比值为（）A．sin2αB．cos2αC．tan2αD．cot2α二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知，那么＝．8．（4分）已知向量与是互不平行的非零向量，如果＝2+3，，那么向量与是否平行？答：．9．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点位于第三象限内，且其开口向上，请写出一个满足上述特征的抛物线的表达式．10．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，且经过点（3，4）和（﹣2，4），如果点（1，y1）与（2，y2）在此抛物线上，那么y1y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）11．（4分）已知点A（1，4）、B（﹣2，0），那么直线AB与x轴夹角的正弦值是．12．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，CO是边AB上的中线，G 为△ABC的重心，过点G作GN∥BC交AB于点N，那么△OGN的面积是．13．（4分）已知等腰三角形的腰与底边之比为3：2，那么这个等腰三角形底角的余弦值为．14．（4分）如图，N是线段AB上一点，AC⊥AB，BD⊥AB，NM⊥AB，联结CM并延长交AB于点P，联结DM并延长交AB于点Q．已知AB＝4，AC＝3，BD＝2，MN＝1，PN ＝1.2，那么QN＝．15．（4分）在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮．如图，已有的铁皮是等腰直角三角形ABC，它的底边AB长20厘米．要截得的矩形DEMN的边MN在AB上，顶点D、E分别在边AC、BC上，设DE的长为x厘米，矩形DEMN的面积为y平方厘米，那么y 关于x的函数解析式是．（不必写定义域）16．（4分）如图，点D、E分别位于△ABC边BC、AB上，AD与CE交于点F．已知AF：FD＝1：1，EF：FC＝1：4，则BD：CD＝．17．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点B旋转到△DBE的位置，其中点D与点A对应，点E与点C对应．如果图中阴影部分的面积为4.5，那么∠CBE的正切值是．18．（4分）为了研究抛物线L1：y＝ax2+bx+c与在同一平面直角坐标系中的位置特征，我们可以先取字母常数a、b、c的一些特殊值，试着画出相应的抛物线，通过观察来发现L1与L2的位置特征，你的发现是：；我们知道由观察得到的特征，其可靠性是需要加以论证才能成为一个结论的，那么请你就你所发现的特征，简述一下理由吧．理由是：．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）已知抛物线y＝x2+2x+3的顶点为A，它与y轴的交点为B．（1）求线段AB的长；（2）平移该抛物线，使其顶点在y轴上，且与x轴两交点间的距离为4，求平移后所得抛物线的表达式．21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝1，BC＝3，对角线AC、BD交于点E．（1）设，，试用、的线性组合表示向量．（2）如果∠ABC＝90°，AC⊥BD，求四边形ABCD的面积．22．（10分）在世纪公园的小山坡上有一棵松树，初三（3）班的雏鹰小队带着工具对这棵松树进行测量，并试图利用所学的数学知识与方法推算出这棵松树的高度．他们选好位置架设测角仪先测出了这棵松树的根部与顶端的仰角，并绘制了如下示意图：测角仪为MN，树根部为B、树顶端为A，其中MN＝1.5m，视线MB的仰角为α（已知tanα＝），视线MA的仰角为β（已知tanβ＝）．（1）测得这两个数据后，小明说：“我可以算出这棵松树的高度了．”小聪接着说：“不对吧，只知道这两个角度，这个示意图显然是可以进行放大或缩小的，高度一定是确定不了的．如果还能测出测角仪到松树的垂直距离，即图示中NH的长度，就可以了．”设NH＝a，请你用含有a的代数式表示松树（AB）的高度．（2）小明又反问道：“虽然我们带了尺，是一把刻度精确到1分米，长为2米的直尺，但也没有办法量出NH的长度，我们总不能把坡给挖平了吧？”请你想一个测量办法，利用现有的工具，测量出有关数据（数据可以用字母常数表示），并用含有这些字母常数的表达式表示出松树（AB）的高度．23．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AD，过点A作AE⊥BD，垂足为E，再过点C作CF⊥CD交直线AE于点F．（1）求证：CA•CD＝CB•CF；（2）联结CE，求证：∠ACE＝∠F．24．（12分）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A、B．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B，其与x轴的另一交点为C．（1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线平移，使其顶点在线段AB上点P处，得到新抛物线L，其与直线y＝﹣x+3的另一个交点为Q．①如果抛物线L经过点A，且与x轴的另一交点为D，求线段CD的长；②试问：△CPQ的面积是否随点P在线段AB上的位置变化而变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出△CPQ面积．25．（14分）如图，O是Rt△ABC斜边AB的中点，BH⊥CO交AC于D，垂足为H，连接OD．（1）求证：BC2＝AC•CD；（2）如果△ODH与△ABC相似，求其相似比；（3）如果BH：DH＝4：1，求∠ADO的大小．2023-2024学年上海市黄浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．（4分）下列命题中，真命题是（）A．如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，那么这两个三角形相似B．如果一个等腰三角形的一个内角等于另一个等腰三角形的内角，那么这两个三角形相似C．如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的锐角，那么这两个梯形相似D．如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角，那么这两个梯形相似【分析】根据相似三角形和相似多边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、如果一个直角三角形的一个锐角等于另一个直角三角形的锐角，由于两个直角三角形的两个直角相等，那么这两个三角形相似，正确，是真命题，符合题意；B、如果一个等腰三角形的一个底角等于另一个等腰三角形的顶角，那么这两个三角形不一定相似，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、如果一个直角梯形的一个锐角等于另一个直角梯形的直角梯形的四个角分别相等，但四条边不一定成比例，则这两个那么这两个梯形不一定相似，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D、如果一个等腰梯形的一个内角等于另一个等腰梯形的内角，但其它三个角不一定对应相等，则这两个那么这两个梯形不一定相似，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选：A．【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握相似三角形和相似多边形的判定方法．2．（4分）已知：△A1B1C1～△A2B2C2～△A3B3C3，如果△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为2，△A2B2C2与△A3B3C3相似比为4，那么△A1B1C1与△A3B3C3的相似比为（）A．2B．4C．6D．8【分析】根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出A1B1与A3B3的比值，也就是两三角形的相似比．【解答】解：∵△A1B1C1～△A2B2C2～△A3B3C3，如果△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为2，△A2B2C2与△A3B3C3相似比为4∴A1B1：A2B2＝2：1，A2B2：A3B3＝4：1，设A3B3＝x，则A2B2＝4xA1B1＝8x，∴A1B1：A3B3＝8：1，∴△A1B1C1与△A3B3C3的相似比为8．故选：D．【点评】根据相似三角形的相似比写出对应边的比，计算出A1B1与A3B3的比值，也就是两三角形的相似比．3．（4分）如图，△ABC三边上点D、E、F，满足DE∥BC，EF∥AB，那么下列等式中，成立的是（）A．B．C．D．【分析】由题意可证四边形BDEF是平行四边形，可得BD＝EF，DE＝BF，由相似三角形的性质和平行线分线段成比例依次判断可求解．【解答】解：∵DE∥BC、EF∥AB，∴∠ADE＝∠B＝∠EFC，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△EFC，∴，故A错误；，∵DE∥BC、EF∥AB，∴四边形BDEF是平行四边形，∴BD＝EF，DE＝BF，∴，故B正确；∴，故C错误；，故C错误，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．4．（4分）已知G是△ABC的重心，记，，那么下列等式中，成立的是（）A．B．C．D．【分析】连接AG并延长交BC于点D，利用平面向量的公式和三角形的重心的性质解答即可．【解答】解：连接AG并延长交BC于点D，如图，∵G是△ABC的重心，∴AG＝2GD，∴＝3，∵，，∴，∵，，∴，∴＝3．故选：C．【点评】本题主要考查了平面向量，三角形的重心，熟练掌握平面向量的公式是解题的关键．5．（4分）将二次函数y＝x2+2x+3和y＝﹣x2+2x﹣3的图象画在同一平面直角坐标系中，那么这两个图象都是上升的部分，所对应自变量x的取值范围是（）A．x≥1B．x≤﹣1C．﹣1≤x≤1D．x≥1或x≤﹣1【分析】根据题意画出函数的图象，然后根据函数的图象即可得到结论．【解答】解：列表：…﹣2﹣10123……3236718……﹣11﹣6﹣3﹣2﹣36…描点、连线，可得到这两个函数的图象，如图：由图象知，这两个图象都是上升的部分，所对应自变量x的取值范围是﹣1≤x≤1，故选：C．【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并理解函数的图象的意义是关键．6．（4分）如图，过矩形ABCD的顶点分别作对角线的垂线，垂足分别为E、F、G、H，依次联结四个垂足，可得到矩形EFGH．设对角线AC与BD的夹角为α（0＜α＜90°），那么矩形EFGH与矩形ABCD面积的比值为（）A．sin2αB．cos2αC．tan2αD．cot2α【分析】利用矩形的性质得到矩形EFGH与矩形ABCD面积的比值＝，再利用相似三角形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论．【解答】解：设矩形ABCD的对角线交于点O，如图，∵四边形ABCD和四边形EFGH为矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，OE＝OF＝OG＝OH，＝4S△OAB，S矩形EFGH＝4S△OEF，∴S矩形ABCD∴矩形EFGH与矩形ABCD面积的比值＝，∵EF∥AB，∴△OEF∽△OAB，∴．∵BF⊥OA，OE＝OF，∴cosα＝，∴矩形EFGH与矩形ABCD面积的比值＝cos2α．故选：B．【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质和矩形的性质是解题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）已知，那么＝．【分析】根据题意将a，b用含有一个未知数的式子表示出来，化简即可．【解答】解：设a＝2x，则b＝5x，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查分式的化简，掌握分式的化简方法是关键．8．（4分）已知向量与是互不平行的非零向量，如果＝2+3，，那么向量与是否平行？答：不平行．【分析】根据向量平行的条件判断即可．【解答】解：假设向量与平行，则（λ≠0），∴＝＝，∴，无解，∴向量与不平行．故答案为：不平行．【点评】本题考查平面向量，熟练掌握向量平行的条件是解答本题的关键．9．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点位于第三象限内，且其开口向上，请写出一个满足上述特征的抛物线的表达式y＝2（x+1）2﹣2（答案不唯一）．【分析】由开口向下可知二次项系数大于0，由顶点位于第三象限内可设其为顶点式，可求得答案．【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，且其图象顶点位于第三象限内，∴满足上述条件的二次函数解析式为y＝2（x+1）2﹣2等．故答案为：y＝2（x+1）2﹣2（答案不唯一）．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y ＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．10．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，且经过点（3，4）和（﹣2，4），如果点（1，y1）与（2，y2）在此抛物线上，那么y1＜y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）【分析】利用抛物线的对称性求得对称轴，然后利用二次函数的性质即可判断．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c图象经过点（3，4）和（﹣2，4），∴抛物线的对称轴为直线x＝＝，∵抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，点（1，y1）与（2，y2）在此抛物线上，∴y1＜y2．故答案为：＜．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．11．（4分）已知点A（1，4）、B（﹣2，0），那么直线AB与x轴夹角的正弦值是．【分析】在直角坐标系中，过A作AC⊥x轴，构造直角三角形，可得直线AB与x轴夹角的正弦值．【解答】解：，过A作AC⊥x轴，交x轴于点C，则C（1，0），在Rt△ABC中，AB＝＝5，直线AB与x轴夹角的正弦值＝sin∠ABC＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了正弦，关键是掌握正弦的定义．12．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，CO是边AB上的中线，G 为△ABC的重心，过点G作GN∥BC交AB于点N，那么△OGN的面积是0.5．【分析】先证△ABC∽△OBE，由CO是边AB上的中线，可得OE的长，再证△ONG∽△OBC，根据G为△ABC的重心，可得△ONG与△OBC的面积比，可得△OGN的面积．【解答】解：过O作OE⊥BC，交BC于E，∴∠ACB＝∠OEB＝90°，∵∠ABC＝∠OBE，∴△ABC∽△OBE，∴＝＝，∵CO是边AB上的中线，∴＝，∵AC＝3，BC＝6，∴OE＝1.5，BE＝3，＝4.5，∵GN∥BC，∴∠ONG＝∠OBC，∠OGN＝∠OCB，∴△ONG∽△OBC，∴（）2＝，∵G为△ABC的重心，∴＝，∴＝，＝0.5，∴S△ONG故答案为：0.5．【点评】本题考查了三角形的中线、重心，关键是掌握三角形中线、重心的性质．13．（4分）已知等腰三角形的腰与底边之比为3：2，那么这个等腰三角形底角的余弦值为．【分析】从顶点向底边作高，构造直角三角形，可得底角的余弦值．【解答】解：设等腰三角形的腰为3a，底边为2a，如图，即AB＝AC＝3a，BC＝2a，过A作AD⊥BC，交BC于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AD＝AD，AB＝AC，∴△ABD≌△ACD（HL），∴BD＝CD＝a，∠B＝∠C，在Rt△ABD中，cos∠B＝cos∠C＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了等腰三角形、余弦，关键是掌握余弦的定义．14．（4分）如图，N是线段AB上一点，AC⊥AB，BD⊥AB，NM⊥AB，联结CM并延长交AB于点P，联结DM并延长交AB于点Q．已知AB＝4，AC＝3，BD＝2，MN＝1，PN ＝1.2，那么QN＝ 1.6．【分析】先证△MNP∽△CAP，求得PN、NB，再证△MNQ∽△DBQ，可得QN．【解答】解：∵AC⊥AB，NM⊥AB，∴∠CAP＝∠MNP＝90°，∵∠MPN＝∠CPA，∴△MNP∽△CAP，∴＝，∵AC＝3，MN＝1，PN＝1.2，∴PA＝3.6，PB＝AB﹣PA＝0.4，NB＝NP+PB＝1.6，设QN＝x，则QB＝x+1.6，∵BD⊥AB，NM⊥AB，∴∠MNQ＝∠DBQ＝90°，∵∠DQB＝∠MQN，∴△MNQ∽△DBQ，∴＝，∵BD＝2，MN＝1，∴，解得：x＝1.6，即QN＝1.6，故答案为：1.6．【点评】本题考查了相似三角形，关键是掌握相似三角形的性质．15．（4分）在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮．如图，已有的铁皮是等腰直角三角形ABC，它的底边AB长20厘米．要截得的矩形DEMN的边MN在AB上，顶点D、E分别在边AC、BC上，设DE的长为x厘米，矩形DEMN的面积为y平方厘米，那么y 关于x的函数解析式是y＝﹣x2+10x．（不必写定义域）【分析】根据图中的几何关系先把EM表示出来，再利用矩形面积公式得到y与x的表达式．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形是DEMN矩形，∴△BME、△AND是等腰直角三角形，∴MN＝DE＝x厘米，BM＝EM＝DN＝AN＝（20﹣x），∴y＝x•（20﹣x）＝﹣x2+10x．故答案为：y＝﹣x2+10x．【点评】本题考查等腰直角三角形、矩形的性质和函数表达式，解题关键是熟知等腰直角三角形和矩形的性质．16．（4分）如图，点D、E分别位于△ABC边BC、AB上，AD与CE交于点F．已知AF：FD＝1：1，EF：FC＝1：4，则BD：CD＝．【分析】过点D作DH∥EF，交AB于点H，利用相似三角形的判定与性质，设EF＝k，则DH＝2k，由已知条件求得FC＝4k，EC＝5k，再利用相似三角形的判定与性质和比例的性质解答即可得出结论．【解答】解：过点D作DH∥EF，交AB于点H，如图，∴AF：FD＝1：1，∴AF：AD＝1：2．∵DH∥EF，∴△AEF∽△AHD，∴，设EF＝k，则DH＝2k．∵EF：FC＝1：4，∴FC＝4k．∴EC＝EF+FC＝5k．∵DH∥EF，∴△BDH∽△BCE，∴，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，比例的性质，过点D作DH∥EF构造相似三角形是解题的关键．17．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点B旋转到△DBE的位置，其中点D与点A对应，点E与点C对应．如果图中阴影部分的面积为4.5，那么∠CBE的正切值是．【分析】设AB 与CD 的交点为M ，作MN ⊥BD 于N ，根据旋转的性质BD ＝AB ，∠CBE ＝∠MBN ，利用勾股定理求得AB ，由图中阴影部分的面积为4.5求得MN ，然后通过证得△BED ∽△MND ，求得DN ，进一步求得BN ，从而求得tan ∠MBN ＝，得到tan ∠CBE ＝．【解答】解：设AB 与CD 的交点为M ，作MN ⊥BD 于N ，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴AB ＝＝5，S △ABC ＝＝6，∵图中阴影部分的面积为4.5，∴S △BMD ＝4.5，∵BD ＝AB ＝5，∴S △BMD ＝＝4.5，即，∴MN ＝，∵∠BED ＝∠MND ＝90°，∠BDE ＝∠MDN ，∴△BED ∽△MND ，∴，即，∴DN ＝，∴BN ＝5﹣＝，∴tan ∠MBN ＝＝＝，∵∠ABC ＝∠DBE ，∴∠ABC ﹣∠ABE ＝∠DBE ﹣∠ABE ，即∠CBE ＝∠MBN ，∴tan ∠CBE ＝．故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定和旋转，解直角三角形等，熟知旋转的性质是解题的关键．18．（4分）为了研究抛物线L1：y＝ax2+bx+c与在同一平面直角坐标系中的位置特征，我们可以先取字母常数a、b、c的一些特殊值，试着画出相应的抛物线，通过观察来发现L1与L2的位置特征，你的发现是：关于原点对称；我们知道由观察得到的特征，其可靠性是需要加以论证才能成为一个结论的，那么请你就你所发现的特征，简述一下理由吧．理由是：设任意一点坐标为（x，y），其关于原点的对称点（﹣x，﹣y）在抛物线L1：y＝ax2+bx+c上，∴﹣y＝ax2﹣bx+c．∴y＝﹣ax2+bx﹣c．∴点（x，y）在抛物线L2：y＝﹣ax2+bx﹣c上．∵点（x，y）的任意性，∴L1与L2的位置特征是关于原点对称．【分析】依据题意，令a＝1，b＝2，c＝1，从而L1：y＝x2+2x+1，L2：y＝﹣x2+2x﹣1画出图象即可判断得解；设任意一点坐标为（x，y），其关于原点的对称点（﹣x，﹣y）在抛物线L1：y＝ax2+bx+c上，代入可得y＝﹣ax2+bx﹣c，结合点（x，y）的任意性进行计算可以得解．【解答】解：由题意，令a＝1，b＝2，c＝1，∴L1：y＝x2+2x+1，L2：y＝﹣x2+2x﹣1．作图如下．通过观察可以发现L1与L2的位置特征是关于原点对称．设任意一点坐标为（x，y），其关于原点的对称点（﹣x，﹣y）在抛物线L1：y＝ax2+bx+c 上，∴﹣y＝ax2﹣bx+c．∴y＝﹣ax2+bx﹣c．∴点（x，y）在抛物线L2：y＝﹣ax2+bx﹣c上．∵点（x，y）的任意性，∴L1与L2的位置特征是关于原点对称．故答案为：关于原点对称；答案见解析．【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式＝2×+﹣（）2＝﹣﹣1﹣＝﹣．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（10分）已知抛物线y＝x2+2x+3的顶点为A，它与y轴的交点为B．（1）求线段AB的长；（2）平移该抛物线，使其顶点在y轴上，且与x轴两交点间的距离为4，求平移后所得抛物线的表达式．【分析】（1）根据抛物线的解析式求得A点的坐标为（1，2），B点的坐标为（0，3），根据勾股定理即可得到结论；（2）设平移后的抛物线为y＝x2+k，待定系数法即可得到结论．【解答】解：（1）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，当x＝0时，y＝x2+2x+3＝3，∴A点的坐标为（1，2），B点的坐标为（0，3），∴AB＝＝；（2）设平移后的抛物线为y＝x2+k．∵抛物线的对称轴是直线x＝0，平移后与x轴的两个交点之间的距离是4，∴平移后的抛物线与x轴的交点交点为（﹣2，0），（2，0），∴22+k＝0，即k＝﹣4，∴平移后抛物线的解析式为：y＝x2﹣4．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，勾股定理，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．21．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝1，BC＝3，对角线AC、BD交于点E．（1）设，，试用、的线性组合表示向量．（2）如果∠ABC＝90°，AC⊥BD，求四边形ABCD的面积．【分析】（1）根据已知条件得到AD＝BC，推出与同向，求得＝，于是得到＝﹣＝﹣；（2）根据相似三角形的性质得到＝，设DE＝x，BE＝3x，求得BD＝4x，根据相似三角形的性质得到BD＝2，根据勾股定理得到AB＝＝，根据梯形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）∵AD＝1，BC＝3，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴与同向，∵，∴＝，∴＝﹣＝﹣；（2）∵AD∥BC，∴△ADE∽△CBE，∴＝，∴设DE＝x，BE＝3x，∴BD＝4x，∵∠ABC＝90°，∴∠DAB＝90°，∵AC⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠ADE+∠DAE＝∠ADE+∠ABD＝90°，∴∠DAE＝∠ABD，∴△ADE∽△BDA，∴，∴，∴x＝（负值舍去），∴DE＝，BD＝2，∴AB＝＝，∴四边形ABCD的面积＝（AD+BC）•AB＝（1+3）×＝2．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平面向量，梯形的面积，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．22．（10分）在世纪公园的小山坡上有一棵松树，初三（3）班的雏鹰小队带着工具对这棵松树进行测量，并试图利用所学的数学知识与方法推算出这棵松树的高度．他们选好位置架设测角仪先测出了这棵松树的根部与顶端的仰角，并绘制了如下示意图：测角仪为MN，树根部为B、树顶端为A，其中MN＝1.5m，视线MB的仰角为α（已知tanα＝），视线MA的仰角为β（已知tanβ＝）．（1）测得这两个数据后，小明说：“我可以算出这棵松树的高度了．”小聪接着说：“不对吧，只知道这两个角度，这个示意图显然是可以进行放大或缩小的，高度一定是确定不了的．如果还能测出测角仪到松树的垂直距离，即图示中NH的长度，就可以了．”设NH＝a，请你用含有a的代数式表示松树（AB）的高度．（2）小明又反问道：“虽然我们带了尺，是一把刻度精确到1分米，长为2米的直尺，但也没有办法量出NH的长度，我们总不能把坡给挖平了吧？”请你想一个测量办法，利用现有的工具，测量出有关数据（数据可以用字母常数表示），并用含有这些字母常数的表达式表示出松树（AB）的高度．【分析】（1）过点M作MC⊥AH，垂足为C，根据题意可得：∠AMC＝β，∠BMC＝α，MN＝CH＝1.5米，NH＝MC＝a米，然后分别在Rt△AMC和Rt△BMC中，利用锐角三角函数的定义求出AC和BC的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；（2）利用现有的工具制定测量方案，然后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．【解答】解：（1）过点M作MC⊥AH，垂足为C，由题意得：∠AMC＝β，∠BMC＝α，MN＝CH＝1.5米，NH＝MC＝a米，在Rt△AMC中，MC＝a，∠AMC＝β，∵tanβ＝＝，∴AC＝tanβ•MC＝a（米），在Rt△BMC中，MC＝a，∠BMC＝α，∵tanα＝＝，∴BC＝tanα•MC＝a（米），∴AB＝AC﹣BC＝a﹣a＝a（米），答：松树AB的高度为a米；（2）我想的测量办法是：在水平地面上的点C处测得小树顶端A的仰角为α，再从C点向前走a米到达点D处，在点D处测得小树顶端A的仰角为γ，测得小树底端B的仰角为β，即可通过计算求得松树（AB）的高度．如图：连接EF并延长交AH于点G，由题意得：EC＝DF＝GH＝1.5米，EF＝CD＝a米，FG＝DH，∠AEG＝α，∠AFG＝γ，∠BFG＝β，设FG＝DH＝x米，∴EG＝EF+FG＝（x+a）米，在Rt△AEG中，∠AEG＝α，∴AG＝EG•tanα＝tanα（x+a）米，在Rt△AFG中，∠AFG＝γ，∴AG＝FG•tanγ＝tanγx（米），∴tanα（x+a）＝tanγx，解得：x＝，∴FG＝米，∴AG＝tanγx＝（米），在Rt△BFG中，∠BFG＝β，∴BG＝FG•tanβ＝（米），∴AB＝AG﹣BG＝﹣＝（米），∴松树AB的高度为米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．23．（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AD，过点A作AE⊥BD，垂足为E，再过点C作CF⊥CD交直线AE于点F．（1）求证：CA•CD＝CB•CF；（2）联结CE，求证：∠ACE＝∠F．【分析】（1）利用平行四边形的性质，垂直的定义，直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；（2）利用（1）的结论，相似三角形的判定与性质得到AG2＝EG•DG，利用平行四边形的对角线互相平分得到AG＝GC，则CG2＝EG•DG，利用相似三角形的判定与性质得到∠ACE＝∠CDB，利用等量代换即可得出结论．【解答】证明：（1）设AC与BD交于点G，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴∠CBD＝∠ADB．∵AC⊥AD，∴∠CAE+∠DAE＝90°，∵AE⊥BD，∴∠DAE+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠CAE，∴∠CAE＝∠CBD．∵BC∥AD，AC⊥AD，∴AC⊥BC，∵CF⊥CD，∴∠ACB＝∠DCF＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCF+∠ACD，∴∠BCD＝∠ACF，∴△BCD∽△ACF，∴，∴CA•CD＝CB•CF；（2）由（1）知：∠CAE＝∠ADE，∵∠AGE＝∠DGA，∴△AGE∽△DGA，∴，∴AG2＝EG•DG．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AG＝GC，∴CG2＝EG•DG．∴，∵∠EGC＝∠CGD，∴△EGC∽△CGD，∴∠ACE＝∠CDB．由（1）知：△BCD∽△ACF，∴∠CDB＝∠F，∴∠ACE＝∠F．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，垂直的定义，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．24．（12分）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A、B．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B，其与x轴的另一交点为C．（1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线平移，使其顶点在线段AB上点P处，得到新抛物线L，其与直线y＝﹣x+3的另一个交点为Q．①如果抛物线L经过点A，且与x轴的另一交点为D，求线段CD的长；②试问：△CPQ的面积是否随点P在线段AB上的位置变化而变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出△CPQ面积．【分析】（1）先由直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别相交于点A，点B，求出A（3，0），B（0，3），再根据抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，求出与x轴的另一交点A 的坐标为（﹣1，0），然后将A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c，运用待定系数法即可求出该抛物线的函数表达式；（2）①先利用配方法将二次函数写成顶点式y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，设新抛物线L的函数表达式为y＝﹣（x﹣1﹣m）2+4﹣n，则P（m+1，4﹣n），由顶点在线段AB 上点P处可得﹣（m+1）+3＝4﹣n，n＝m+2，根据抛物线L经过点A，可得m＝1，可得新抛物线L的函数表达式为y＝﹣（x﹣2）2+1，则D（1，0），即可求解；②设抛物线y＝﹣x2+2x+3顶点为P′，P′（1，4），过P′作直线y＝﹣x+3的平行线交抛物线于点Q′，由平移得当点P′平移到P点时Q′平移到Q点，则PQ＝P′Q′，PQ为定值，所以△CPQ的面积不随点P在线段AB上的位置变化而变化，根据①的结果得点P（2，1）、Q（3，0），即可求出△CPQ的面积．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别相交于点A、B，∴A（3，0），B（0，3），又∵对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B，其与x轴的另一交点为C．∴点C的坐标为（﹣1，0）．将A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c，得，解得，∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，设新抛物线L的函数表达式为y＝﹣（x﹣1﹣m）2+4﹣n，∴P（m+1，4﹣n），∵新抛物线L的顶点在线段AB：y＝﹣x+3上点P处，∴﹣（m+1）+3＝4﹣n，∴n＝m+2，∵抛物线L经过点A（3，0），∴﹣（3﹣1﹣m）2+4﹣（m+2）＝0，解得m＝1或m＝2（此时，点P与点A重合，抛物线L与x轴只有一个交点，舍去），∴n＝m+2＝3，∴新抛物线L的函数表达式为y＝﹣（x﹣2）2+1，对称轴为直线x＝2，∵A（3，0），∴D（1，0），∵点C的坐标为（﹣1，0）．∴CD＝2；②△CPQ的面积不随点P在线段AB上的位置变化而变化，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，设抛物线y＝﹣x2+2x+3顶点为P′，∴P′（1，4），过P′作直线y＝﹣x+3的平行线交抛物线于点Q′，由平移得当点P′平移到P点时Q′平移到Q点，则PQ＝P′Q′，PQ为定值，∴△CPQ的面积不随点P在线段AB上的位置变化而变化，根据①得点P（2，1）、Q（3，0），＝×（3+1）×1＝2．∴S△CPQ。

黄浦区2017学年度第一学期九年级期终调研测试数学试卷 (考试时间：100分钟 总分：150分)考生注意:1. 本试卷含三个大题,共25题；2. 答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1、已知二次函数2y ax bx c =++的图像大致如图所示，则下列关系式中成立的是（ ）（A ）0a >； （B ）0b <； （C ）0c <； （D ）20b a +>.222y x =，则原来抛物线的222y x =-； （C ）()222y x =+； （D ）()222y x =-.3 ）sin BC A AB =； （C ）sin AC A BC =； （D ）sin BC A AC=. 4O ，下列条件中能判定AC BD ∥的是（ ）（A ）1OC =，2OD =，3OA =，4OB =； （B ）1OA =，2AC =，3AB =，4BD =；（C ）1OC =，2OA =，3CD =，4OB =； （D ）1OC =，2OA =，3AB =，4CD =.5、如图，向量OA u u u r 与OC u u u r 均为单位向量，且OA OB ⊥，令n OA OB =+r u u u r u u u r ，则||n r =（ ）（A ）1； （B （C （D ）2.6、如图，在ABC △中，80B ∠=︒，40C ∠=︒，直线l 平行于BC ，现将直线l 绕点A 逆时针旋转，所得直线分别交边AB 和AC 于点M 、N ，若AMN △和ABC △相似，则旋转角为（ ）（A ）20︒； （B ）40︒； （C ）60︒； （D ）80︒.二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7、已知a 、b 、c 满足346ab c ==，则a b c b+-= . 8、如图，点D 、E 、F 分别位于ABC △的三边上，满足DE BC ∥，EF AB ∥，如果:3:2AD DB =，那么:BF FC = .（第1题）9、已知向量e r 为单位向量，如果向量n r 与向量e r 方向相反，且长度为3，那么向量nr = .（用单位向量e r 表示）10、已知ABC DEF △∽△，其中顶点A 、B 、C 分别对应顶点D 、E 、F ，如果40A ∠=︒，60E ∠=︒，那么C ∠= 度.11、已知锐角α，满足tan 2α=，则sin α= .12、已知点B 位于点A 北偏东30︒方向，点C 位于点A 北偏西30︒方向，且8AB AC ==千米，那么BC = 千米.13、已知二次函数的图像开口向下，且其图像顶点位于第一象限，请写出一个满足上述条件的二次函数解析式为 （表示为()2y a x m k =++的形式）14、已知抛物线2y ax bx c =++开口向上，一条平行于x 轴的直线截此抛物线于M 、N 两点，那么线段MN 的长度随直线向上平移而变 .（填“大”或“小”）15、如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC △的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上.已知6AC =，8AB =，10BC =，设EF x =，矩形DEFG 的面积为y ，则y 关于x 的函数关系式为 （不必写出定义域）.16、如图，在ABC △中，90C ∠=︒，6BC =，9AC =，将ABC △平移使其顶点C 位于ABC △的重心G 处，则平移后所得三角形与原ABC △的重叠部分面积是 .17、如图，点E 为矩形ABCD 边BC 上一点，点F 在边CD 的延长线上，EF 与AC 交于点O ，若:1:2CE EB =，:3:4BC AB =，AE AF ⊥，则:CO OA = .18、如图，平面上七个点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G ，图中所有的连线长均相等，则cos BAF ∠= .三、解答题（本大题共7题，满分78分）19、（本题满分10分） 计算：2cot 452cos 30sin60tan301︒︒+-︒︒+. 20、（本题满分10分） 用配方法把二次函数2264y x x =-++化为()2y a x m k =++的形式，再指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标.21、（本题满分10分）如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，D 是边AC 的中点，CE BD ⊥交AB 于点E .（1）求tan ACE ∠；（2）求:AE EB .22、（本题满分10分） 如图，坡AB 的坡比为1:2.4，坡长130AB =米，坡AB 的高为BT .在坡AB 的正面有一栋建筑物CH ，点H 、A 、T 在同一条地平线MN 上. （1）试问坡AB 的高BT 为多少米？E D C BA（2）若某人在坡AB 的坡脚A 处和中点D 处，观测到建筑物顶部C 处的仰角分别为60︒和30︒，试求建筑物的高度CH .（精确到1.73≈， 1.41≈）23、（本题满分12分）如图，BD 是ABC △的角平分线，点E 位于边BC 上，已知BD 是BA 与BE 的比例中项.（1）求证：12CDE ABC ∠=∠（2）求证：AD CD AB CE ⋅=⋅24、（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，对称轴为直线1x =的抛物线28y ax bx =++过点()2,0-. （1）求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；（2）现将此抛物线沿y 方向平移若干个单位，所得抛物线的顶点为D ，与y 轴的交点为B ,与x 轴负半轴交于点A ，过点B 作x 轴的平行线交所得抛物线于点C ，若AC BD ∥，试求平移后所得抛物线的表达式.25、（本题满分14分）如图，线段5AB =，4AD =，90A ∠=︒，DP AB ∥，点C 为射线DP 上一点，BE 平分ABC ∠交线段AD 于点E （不与端点A 、D 重合）.（1）当ABC ∠为锐角，且tan 2ABC ∠=时，求四边形ABCD 的面积；（2）当ABE △与BCE △相似时，求线段CD 的长；（3）设DC x =，DE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域.参考答案1-6、DCBCBB 7、738、3:2 9、3e -r 10、80 11、5 12、8 13、()211y x =--+ 14、大 15、21224255y x x =-+ 16、3 17、1130 18、5619、320、2317222y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，对称轴32x =，开口向下，顶点317,22⎛⎫ ⎪⎝⎭21、（1）23（2）8:9 22、（1）50米；（2）89米23、（1）证明略；（2）证明略24、（1）228y x x =-++，顶点()1,9；（2）223y x x =-++25、（1）16；（2）2或45；（3）41010y x ⎫=<<⎪⎝⎭。

黄浦区2017学年度第一学期九年级期终调研测试数学试卷 (考试时间：100分钟 总分：150分)考生注意:1. 本试卷含三个大题,共25题；2. 答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1、已知二次函数2y ax bx c =++的图像大致如图所示，则下列关系式中成立的是（ ）（A ）0a >； （B ）0b <； （C ）0c <； （D ）20b a +>.222y x =，则原来抛物线的222y x =-； （C ）()222y x =+； （D ）()222y x =-.3 ）sin BC A AB =； （C ）sin AC A BC =； （D ）sin BC A AC=. 4O ，下列条件中能判定AC BD ∥的是（ ）（A ）1OC =，2OD =，3OA =，4OB =； （B ）1OA =，2AC =，3AB =，4BD =；（C ）1OC =，2OA =，3CD =，4OB =； （D ）1OC =，2OA =，3AB =，4CD =.5、如图，向量OA u u u r 与OC u u u r 均为单位向量，且OA OB ⊥，令n OA OB =+r u u u r u u u r ，则||n r=（ ）（A ）1； （B （C （D ）2.6、如图，在ABC △中，80B ∠=︒，40C ∠=︒，直线l 平行于BC ，现将直线l 绕点A 逆时针旋转，所得直线分别交边AB 和AC 于点M 、N ，若AMN △和ABC △相似，则旋转角为（ ）（A ）20︒； （B ）40︒； （C ）60︒； （D ）80︒.二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7、已知a 、b 、c 满足346ab c ==，则a b c b +-= . （第1题）8、如图，点D 、E 、F 分别位于ABC △的三边上，满足DE BC ∥，EF AB ∥，如果:3:2AD DB =，那么:BF FC = .9、已知向量e r 为单位向量，如果向量n r 与向量e r 方向相反，且长度为3，那么向量n r = .（用单位向量e r 表示）10、已知ABC DEF △∽△，其中顶点A 、B 、C 分别对应顶点D 、E 、F ，如果40A ∠=︒，60E ∠=︒，那么C ∠= 度.11、已知锐角α，满足tan 2α=，则sin α= .12、已知点B 位于点A 北偏东30︒方向，点C 位于点A 北偏西30︒方向，且8AB AC ==千米，那么BC = 千米.13、已知二次函数的图像开口向下，且其图像顶点位于第一象限，请写出一个满足上述条件的二次函数解析式为 （表示为()2y a x m k =++的形式）14、已知抛物线2y ax bx c =++开口向上，一条平行于x 轴的直线截此抛物线于M 、N 两点，那么线段MN 的长度随直线向上平移而变 .（填“大”或“小”）15、如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC △的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上.已知6AC =，8AB =，10BC =，设EF x =，矩形DEFG 的面积为y ，则y 关于x 的函数关系式为 （不必写出定义域）.16、如图，在ABC △中，90C ∠=︒，6BC =，9AC =，将ABC △平移使其顶点C 位于ABC △的重心G 处，则平移后所得三角形与原ABC △的重叠部分面积是 .17、如图，点E 为矩形ABCD 边BC 上一点，点F 在边CD 的延长线上，EF 与AC 交于点O ，若:1:2CE EB =，:3:4BC AB =，AE AF ⊥，则:CO OA = .18、如图，平面上七个点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G ，图中所有的连线长均相等，则cos BAF ∠= .三、解答题（本大题共7题，满分78分）19、（本题满分10分） 计算：2cot 452cos 30sin60tan301︒︒+-︒︒+. 20、（本题满分10分） 用配方法把二次函数2264y x x =-++化为()2y a x m k =++的形式，再指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标.21、（本题满分10分）如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，D 是边AC 的中点，CE BD ⊥交AB 于点E .（1）求tan ACE ∠；（2）求:AE EB .22、（本题满分10分） 如图，坡AB 的坡比为1:2.4，坡长130AB =米，坡AB 的高为BT .在坡AB 的正面有一栋建筑物CH ，点H 、A 、T 在同一条地平线MN 上. ED C BA（1）试问坡AB 的高BT 为多少米？（2）若某人在坡AB 的坡脚A 处和中点D 处，观测到建筑物顶部C 处的仰角分别为60︒和30︒，试求建筑物的高度CH .（精确到1.73≈， 1.41≈）23、（本题满分12分）如图，BD 是ABC △的角平分线，点E 位于边BC 上，已知BD 是BA 与BE 的比例中项.（1）求证：12CDE ABC ∠=∠（2）求证：AD CD AB CE ⋅=⋅24、（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，对称轴为直线1x =的抛物线28y ax bx =++过点()2,0-. （1）求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；（2）现将此抛物线沿y 方向平移若干个单位，所得抛物线的顶点为D ，与y 轴的交点为B ,与x 轴负半轴交于点A ，过点B 作x 轴的平行线交所得抛物线于点C ，若AC BD ∥，试求平移后所得抛物线的表达式.25、（本题满分14分）如图，线段5AB =，4AD =，90A ∠=︒，DP AB ∥，点C 为射线DP 上一点，BE 平分ABC ∠交线段AD 于点E （不与端点A 、D 重合）.（1）当ABC ∠为锐角，且tan 2ABC ∠=时，求四边形ABCD 的面积；（2）当ABE △与BCE △相似时，求线段CD 的长；（3）设DC x =，DE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域.参考答案1-6、DCBCBB 7、738、3:2 9、3e -r 10、80 1112、8 13、()211y x =--+ 14、大 15、21224255y x x =-+ 16、3 17、1130 18、5619、320、2317222y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，对称轴32x =，开口向下，顶点317,22⎛⎫ ⎪⎝⎭21、（1）23（2）8:9 22、（1）50米；（2）89米23、（1）证明略；（2）证明略24、（1）228y x x =-++，顶点()1,9；（2）223y x x =-++25、（1）16；（2）2或45；（3）41010y x ⎫=<<⎪⎝⎭。

黄浦区2020学年度第一学期九年级期终调研测试数学答题卷（满分：150分，考试时间：100分钟）三、解答题19.解：222sin603tan301cot301cos45︒︒-+-︒-︒20.解：21.解：（1）是点_______；（2）AD=____________.22.解：PDCBAEFMNαβTS3.261.1阳光正确填涂错误填涂例样填涂注意事项：1. 答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写清楚并准确粘贴条形码。

2. 选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写。

3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4. 保持卡面清洁，不折叠、不破损。

学校班级姓名准考证号条形码粘贴处一、选择题1 2 34 5 6二、填空题7._____________, 8._____________, 9._____________,10. _____________, 11. _____________, 12. _____________, 13. _____________, 14._____________, 15. _____________, 16._____________, 17. _____________ , 18. _____________．ABCMNPQD24.解：xO CBA y25.解：P NM DCBAQ23.（1）已知：求证： 证明：（2）说明：ABCDF ODCB A E。

黄浦区2017学年度第一学期九年级期终调研测试数学试卷 (考试时间：100分钟 总分：150分)考生注意:1. 本试卷含三个大题,共25题；2. 答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1、已知二次函数2y ax bx c =++的图像大致如图所示，则下列关系式中成立的是（ ）（A ）0a >； （B ）0b <； （C ）0c <； （D ）20b a +>.222y x =，则原来抛物线的222y x =-； （C ）()222y x =+； （D ）()222y x =-.3 ）sin BC A AB =； （C ）sin AC A BC =； （D ）sin BC A AC=. 4O ，下列条件中能判定AC BD ∥的是（ ）（A ）1OC =，2OD =，3OA =，4OB =； （B ）1OA =，2AC =，3AB =，4BD =；（C ）1OC =，2OA =，3CD =，4OB =； （D ）1OC =，2OA =，3AB =，4CD =.5、如图，向量OA u u u r 与OC u u u r 均为单位向量，且OA OB ⊥，令n OA OB =+r u u u r u u u r ，则||n r =（ ）（A ）1； （B （C （D ）2.6、如图，在ABC △中，80B ∠=︒，40C ∠=︒，直线l 平行于BC ，现将直线l 绕点A 逆时针旋转，所得直线分别交边AB 和AC 于点M 、N ，若AMN △和ABC △相似，则旋转角为（ ）（A ）20︒； （B ）40︒； （C ）60︒； （D ）80︒.二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7、已知a 、b 、c 满足346ab c ==，则a b c b+-= . 8、如图，点D 、E 、F 分别位于ABC △的三边上，满足DE BC ∥，EF AB ∥，如果:3:2AD DB =，那么:BF FC = .（第1题）9、已知向量e r 为单位向量，如果向量n r 与向量e r 方向相反，且长度为3，那么向量nr = .（用单位向量e r 表示）10、已知ABC DEF △∽△，其中顶点A 、B 、C 分别对应顶点D 、E 、F ，如果40A ∠=︒，60E ∠=︒，那么C ∠= 度.11、已知锐角α，满足tan 2α=，则sin α= .12、已知点B 位于点A 北偏东30︒方向，点C 位于点A 北偏西30︒方向，且8AB AC ==千米，那么BC = 千米.13、已知二次函数的图像开口向下，且其图像顶点位于第一象限，请写出一个满足上述条件的二次函数解析式为 （表示为()2y a x m k =++的形式）14、已知抛物线2y ax bx c =++开口向上，一条平行于x 轴的直线截此抛物线于M 、N 两点，那么线段MN 的长度随直线向上平移而变 .（填“大”或“小”）15、如图，矩形DEFG 的边EF 在ABC △的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上.已知6AC =，8AB =，10BC =，设EF x =，矩形DEFG 的面积为y ，则y 关于x 的函数关系式为 （不必写出定义域）.16、如图，在ABC △中，90C ∠=︒，6BC =，9AC =，将ABC △平移使其顶点C 位于ABC △的重心G 处，则平移后所得三角形与原ABC △的重叠部分面积是 .17、如图，点E 为矩形ABCD 边BC 上一点，点F 在边CD 的延长线上，EF 与AC 交于点O ，若:1:2CE EB =，:3:4BC AB =，AE AF ⊥，则:CO OA = .18、如图，平面上七个点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G ，图中所有的连线长均相等，则cos BAF ∠= .三、解答题（本大题共7题，满分78分）19、（本题满分10分） 计算：2cot 452cos 30sin60tan301︒︒+-︒︒+. 20、（本题满分10分） 用配方法把二次函数2264y x x =-++化为()2y a x m k =++的形式，再指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标.21、（本题满分10分）如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，D 是边AC 的中点，CE BD ⊥交AB 于点E .（1）求tan ACE ∠；（2）求:AE EB .22、（本题满分10分） 如图，坡AB 的坡比为1:2.4，坡长130AB =米，坡AB 的高为BT .在坡AB 的正面有一栋建筑物CH ，点H 、A 、T 在同一条地平线MN 上. （1）试问坡AB 的高BT 为多少米？E D C BA（2）若某人在坡AB 的坡脚A 处和中点D 处，观测到建筑物顶部C 处的仰角分别为60︒和30︒，试求建筑物的高度CH .（精确到1.73≈， 1.41≈）23、（本题满分12分）如图，BD 是ABC △的角平分线，点E 位于边BC 上，已知BD 是BA 与BE 的比例中项.（1）求证：12CDE ABC ∠=∠（2）求证：AD CD AB CE ⋅=⋅24、（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，对称轴为直线1x =的抛物线28y ax bx =++过点()2,0-.（1）求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；（2）现将此抛物线沿y 方向平移若干个单位，所得抛物线的顶点为D ，与y 轴的交点为B ,与x 轴负半轴交于点A ，过点B 作x 轴的平行线交所得抛物线于点C ，若AC BD ∥，试求平移后所得抛物线的表达式.25、（本题满分14分）如图，线段5AB =，4AD =，90A ∠=︒，DP AB ∥，点C 为射线DP 上一点，BE 平分ABC ∠交线段AD 于点E （不与端点A 、D 重合）.（1）当ABC ∠为锐角，且tan 2ABC ∠=时，求四边形ABCD 的面积；（2）当ABE △与BCE △相似时，求线段CD 的长；（3）设DC x =，DE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域.参考答案1-6、DCBCBB7、738、3:2 9、3e -r 10、80 1112、8 13、()211y x =--+ 14、大 15、21224255y x x =-+ 16、3 17、1130 18、5619、320、2317222y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，对称轴32x =，开口向下，顶点317,22⎛⎫ ⎪⎝⎭21、（1）23（2）8:9 22、（1）50米；（2）89米23、（1）证明略；（2）证明略24、（1）228y x x =-++，顶点()1,9；（2）223y x x =-++25、（1）16；（2）2或45；（3）41010y x ⎫=<<⎪⎝⎭。

12010学年第一学期奉贤区调研测试九年级数学试卷答案一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1． D ； 2．C ； 3． A ； 4．A ； 5． C ； 6． B ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．41； 8．63； 9．7； 10．8；11．形如)0(12>-+=a bx ax y 即可； 12．右侧； 13．0； 14． +-； 15． 1：2； 16．32-； 17．6； 18. 41或47. 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解： ∵二次函数c bx x y ++-=2的图像经过点A （-1，-6）、B (2，-3), ∴⎩⎨⎧++-=-+--=-c b c b 24316……………………………………………………………2分 ∴⎩⎨⎧-==.3,2c b ………………………………………………………………………2分所以这个二次函数的解析式为：322-+-=x x y .…………………………1分3)112(2--+--=x x y ………………………………………………2分2)1(2---=x y . …………………………………………………………1分∴这个二次函数的顶点坐标为)2,1(-. ………………………………………1分20．解： ∵△ABC 中， EG ∥BC . ∴ABAE BC EG = . ………………2分 ∵BC =10，AE =3，AB =5，∴5310=EG . …………………………………1分 ∴EG = 6. ………………………………………………………………………1分∵△BAD 中， EF ∥AD . ∴ABBE AD EF = . ………………………2分 ∵AD =6，AE =3，AB =5，∴5356-=EF . …………………………………1分 ∴EF = 512. ………………………………………………………………1分 ∴FG = EG - EF =518. ……………………………………………………1分 21．（1）解：设)0(1≠=k kx y ，)0(22≠=a ax y ………………………………………1分由题意得：P （1，2）在)0(1≠=k kx y 的图像上， Q （2，2）在)0(22≠=a ax y 的图像上∴ 12⋅=k ， 222⋅=a ………………………………………………2分2 2=k 21=a ………………………………………………1分 ∴ 利润x y 21= ， 2221x y =………………………………………………1分 （2）解：设这位专业户以m 万元资金投入种植树木，那么种植花卉投入资金就为（8-m ）万元． ……………………………………1分 那么他获得的利润为：2)8(212m m W -+= ………………………………………1分 化简得： 14)6(213262122+-=+-=m m m W …………………1分 ∴ 他获得的利润至少是14万元； ………………………………………1分当m =0时，他他能获取的最大利润是32万元．…………………………1分22．解：过点C 作CE //AD ，交AM 于E ，过点C 作CF ⊥AM 于F ……………………1分∵CE //AD ，CD//AE ∴ 四边形AECD 是平行四边形 ………………2分 ∴AE=CD =50， EB=AB -AE =50， ∠CEB =∠DAB =30°， ………………2分 又∠CBF =60°，故∠ECB =30°，∴CB=EB =50……………………………………2分 ∴在Rt △CFB 中，CF =CB 32560sin 50sin =⋅=∠⋅ CBF ……………………2分 答：河流的宽度CF 的值为325 米． ……………………………………………1分23．解：（1）∵ ∠ACB =∠DCA =90°， ∠CAD =∠B∴ △ACB ∽△DCA ……………………………………………………2分∴ AC CB DC CA= ……………………………………………………………1分 ∵AC =2，CB =4 ∴ DC =1 …………………………………………1分在Rt △ACD 中, 222DC AC AD +=,∴AD =……………………2分（2） ∵ E ，F 分别是AD ，AB 中点， ∴12EF DB =，即12EF DB = …………………1分 在Rt △ACD 中，E 是AD 中点 ∴12CE AD =,即12CE AD =…………………1分 同理12CF AB = ……………………………………………………………1分 ∴EF CE CF DB AD AB== ∴△CEF ∽△ADB ………………………………3分 24．解：（1）设该抛物线的解析式为c bx ax y ++=2，由抛物线与y 轴交于点C （0，8）,可知c =8.即抛物线的解析式为82++=bx ax y ． ………………………1分 把(20)A -，，(40)B ，，代入, 得⎩⎨⎧=++=+-084160824b a b a 解得2,1=-=b a . ∴ 抛物线的解析式为822++-=x x y ……………………………………………3分3 ∴ 顶点D 的坐标为(1,9). ……………………………………………………2分（2）设OB 的垂直平分线交x 轴于点H ，直线CD 交线段OB 的垂直平分线于点F ，直线CD 的解析式为)0(≠+=k b kx y∴ 8=b ,1=k ,即直线CD 的解析式为8+=x y∴ 点E 坐标为 （-8，0）, 点F 坐标为 （2，10）,EH=FH =10，EF =102 …2分 假设线段OB 的垂直平分线上存在点P ，那么令点P 坐标为 （2，m ），过点P 作PQ ⊥CD 交CD 于点Q ，则有OP=PQ=24m +，PF =m -10 ……2分 由题意知，Rt △FPQ ∽Rt △FEH ．∴EF FP EH PQ =．∴ 210101042m m -=+ 解得 1038-±=m ……………………………………………1分∴ 点P 坐标为 （2，1038-±）， ……………………………………………1分25． 解：（1）由Rt △AQM ∽Rt △CAD ． ……………………………………………2分∴CDAD AM QM =． 即40.52QM =，∴1QM =． …………………………………1分 （2）1t =或53或4． ……………………………………………4分 （3）当0＜t ＜2时，点P 在线段CD 上，设直线l 交CD 于点E 由（1）可得CD AD AM QM =． 即QM =2t ．∴QE =4-2t ．………………………2分 ∴S △PQC =21PC ·QE =t t 22+- ………………………………………………1分 即t t y 22+-=当t ＞2时，过点C 作CF ⊥AB 交AB 于点F ，交PQ 于点H .4(2)6PA DA DP t t =-=--=-．由题意得，4BF AB AF =-=．∴ CF BF =． ∴45CBF ∠=︒．∴ 6QM MB t ==-． ∴QM PA =．∴ 四边形AMQP 为矩形．∴ PQ ∥AB ．CH ⊥PQ ，HF=AP =6- t∴ CH=AD=HF = t-2 …………………………………………………………2分∴S △PQC =21PQ ·CH =t t -221 ………………………………………1分 即y =t t -221 综上所述 )20(22≤<+-=t t t y 或y =t t -221 ( 2<t <6) …………………1分 Q C D P CD QP H。

黄浦区初三数学第一学期期末质量抽查试卷黄浦区初三数学第一学期期末质量抽查试卷篇一：黄浦区2015学年度第一学期九年级期终调研测试数学试卷黄浦区2015学年度第一学期九年级期终调研测试数学试卷2016.1一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. 如果两个相似三角形的周长比为1:4，那么这两个三角形的相似比为（）（A）1：2；（B）1：4；（C）1：8；（D）1：16.2. 已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a=9cm，b=4cm，则线段c长（）（A）18cm；（B）5cm；（C）6cm；（D）?6cm.3. 如果向量a与向量b方向相反，且?，那么向量a用向量b表示为（）（A）?3；（B）??3；（C）?11；（D）??. 334. 在直角坐标平面内有一点P（3，4），OP与x轴正半轴的夹角为?，下列结论正确的是（）（A）tan??4345；（B）cot??；（C）sin??；（D）cos??.55345. 下列函数中不是二次函数的有（）（A）y?x(x?1)；（B）y?2x2?1；（C）y??x2；（D）y?(x?4)2?x2.6. 如图1，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且∠DCE=∠B，那么下列说法中，错误的是（）（A）△ADE∽△ABC；（B）△ADE∽△ACD；（C）△ADE∽△DCB；（D）△DEC∽△CDB.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 如果sin??图1，那么锐角??2ac2a?c??，那么?. bd3b?d8. 已知线段a、b、c、d，如果9. 计算：31(a?2b)?a?4b?22110. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，cotA=，则BC= .311. 如图2，已知AD、BC相交于点O，AB∥CD∥EF，如果CE=2，EB=4，FD=1.5，那么AD=.12. 如图3，在△ABC中，点D是BC边上的点，且CD=2BD，如果?，?，那1 1么BC?（用含a、b的式子表示）.图2 图3图413. 在△ABC中，点O是重心，DE经过点O且平行于BC交边AB、AC于点D、E，则S△ADE ：S△ABC =. 14. 如图4，在△ABC 中，D、E分别是边AC、AB上的点，且AD=2，DC=4，AE=3，EB=1，则DE：BC =. 15. 某水库水坝的坝高为10米，迎水坡的坡度为1:2.4，则该水库迎水坡的长度为米.16. 如图5，AD、BE分别是△ABC中BC、AC边上的高，AD=4，AC=6，则sin∠EBC=17. 已知抛物线y1?a(x?m)2?k与y2?a(x?m)2?k(m?0)关于y轴对称，我们称y1与y2互为“和谐抛物线”，请写出抛物线y??4x?6x?7的. 18. 如图6，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，点E是AB的中点，DE=DC，∠EDC=90°，若AB=2，则AD的长是.三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19. （本题满分10分）2图5tan30?cot230 计算：cos45??2sin60?2图620. （本题满分10分）如图7，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，点F是DE延长线上的点，ADDE，联结FC，BDEF22若AE2AD，求的值. AC3FC图721. （本题满分10分）已知抛物线y?ax2?bx?c如图8所示，请结合图像中所给信息完成以下问题：（1）求抛物线的表达式；（2）若该抛物线经过一次平移后过原点O，请写出一种平移方法，并写出平移后得到的新抛物线的表达式.22. （本题满分10分）如图9，已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点F，点E是BD上一点，且∠BCA=∠ADE，∠CBD=∠BAE. （1）求证：△ABC ∽△AED；（2）求证：BE ·AC = CD ·AB.23. （本题满分12分）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动，已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在A、B两个位置时达到最高点，且最高点高度相同（不计空气阻力），在C点位置时达到最低点，达到左侧最高点时与最低点时细绳相应所成的角度为37°，细绳在右侧达(原文来自： 教师联盟网:黄浦区初三数学第一学期期末质量抽查试卷)到最高点时与一个水平放置的挡板DE所成的角度为30°.（sin37??0.6，cos37??0.8，tan37??0.75）（1）求小球达到最高点位置与最低点位置时的高度差；（2）求OD这段细绳的长度.24. （本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题3分，第（3）小题6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线、B两点（A点y?ax2?3ax?c与x轴交于A（-1，0）图8图9图1033在B点左侧），与y轴交于点C（0，2）. （1）求抛物线的对称轴及B点的坐标；（2）求证：∠CAO=∠BCO；（3）点D是射线BC上一点（不与B、C重合），联结OD，过点B作BE⊥OD，垂足为△BOD外一点E，若△BDE与△ABC相似，求点D的坐标. 图1125. （本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）已知直线l1、l2，l1∥l2，点A是l1上的点，B、C是l2上的点，AC⊥BC，∠ABC=60°，AB= 4，O是AB 的中点，D是CB延长线上的点，将△DOC沿直线CO翻折，点D 与D&#39;重合.（1）如图12，当点D&#39; 落在直线l1上时，求DB的长；（2）延长DO交l1于点E，直线OD&#39; 分别交l1、l2于点M、N，①如图13，当点E在线段AM上时，设AE=x，DN=y，求y关于x的函数解析式及定义域；②若△DON的面积为33时，求AE的长. 2图12图134 42016年黄浦区中考数学一模卷一、选择题1.B2.C3.D4.A5.D6.C 二、填空题297.6 8. 9.a?b 10.6 11. 12.3b?3a323?37?13.4:9 14.1:2 15.2617.y??4?x44??三.解答题219.(1)【解】原式=??2……………………………………………(8分)2111??3=3.……………………………………………………………………(2分)623ADAE，……………………………………………………(2分) ?BDEC20.【解】∵DE∥BC，∴又∵ADDEAEDE，∴，…………………………………………………………(2分) ?? ECEFBDEF∴AB∥FC，………………………………………………………………………………(2分) ∴∵∴ADAE ，………………………………………………………………………………(2分) ?FCECAE2AE2 ?，?，………………………………………………………………………(1分) AC3EC1AD?2.…………………………………………………………………………………(1分) FC21.【解】(1)∵抛物线y?ax2?bx?c经过点?1,0?，??3,0?，?0,3?， abc0,∴?9a?3b?c?0,……………………………………………………………………(3分) ?c?3.??a??1,?解得?b??2, ………………………………………………………………………(2分)c3.∴抛物线的表达式为y??x2?2x?3.………………………………………………(1分) (本题若利用其他方法，请参照评分标准酌情给分)(2)方法一：将抛物线向下平移3个单位，得到新的抛物线y??x2?2x. ……(4分) 方法二：将抛物线向左平移1个单位，得到新的抛物线yx?2??4.…(4分)5 52黄浦区初三数学第一学期期末质量抽查试卷篇二：11.2014上海市黄浦区初三第一学期期末数学试卷及答案黄浦区初三数学第一学期期末质量抽查试卷篇三：2013-2014学年上海市黄浦区九年级上学期期末数学试卷(2014中考一模)(含答案)黄浦区2013学年度第一学期九年级期终调研测试数学试卷2014年1月（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1. 本试卷含三个大题，共25题；2. 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1. 抛物线y?x2?3x?4的对称轴是A.直线x?3；B.直线x??3；C.直线x?2. 抛物线y?ax2(a?0)的图像一定经过A.第一、二象限；B. 第三、四象限；C. 第一、三象限；D. 第二、四象限． 3. 如图1，在平行四边形ABCD中，若E为CD中点，且AE与BD交于点F，则△EDF 与△ABF的周长比为A. 1:2；B. 1:4；C. 1:3；D. 1:9．4.如图2，传送带和地面所成斜坡的坡度为1:3，若它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为33；D.直线x??．22A. 6米； BC.D.. 5. 在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，下列条件中不能判定△AED∽△ABC是．．A. ∠ADE=∠C； B.∠AED=∠B； C. ADAEACAB； D.ADACDEBC．6.如图3，在△ABC中，∠ACB=90?，CD为边AB上的高，若AB=1，则线段BD的长是A.sin2A；B.cos2A；C. tan2A；D. cot2A．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7.如果线段b是线段a、c的比例中项，且a?9，c?4，那么b? 8.计算：3a?b?2a?b9.如图4，AB∥CD∥EF，如果AC:CE?2:3，BF?10，那么线段DF 的长为10.若将抛物线y?x2向下平移2个单位，则所得抛物线的表达式是11.如果抛物线y?(a?2)x?ax?3的开口向上，那么a的取值范围是12.若抛物线y?(x?m)?m?1的对称轴是直线x?1，则它的顶点坐标是13.若AD、BE是△ABC的中线，AD、BE相交于点F，FD =2，则线段AD的长为14.在△ABC中，∠A = 90°，若BC=4，AC=3，则cosB15.如图5，在△ABC中，若AB=AC=3，D是边AC 上一点，且BD=BC=2，则线段AD的长为16.如图6，在△ABC中，AD是BC上的高，且BC= 5，AD =3，矩形EFGH的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB和AC上，如果设边EF的长为x (0?x?3)，矩形EFGH的面积为y，那么y关于x的函数解析式是▲.17.若抛物线y??a?1?x??a?1?x?1与x轴有且仅有一个公共点，则a的值为22218.如图7，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，cotA?3，点D、E分别是边BC、AC上的点，且4∠EDC=∠A，将△ABC沿DE对折，若点C恰好落在边AB上，则DE的长为▲.EBB B 图5 图4三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）计算：图6图72sin30??tan60?.2cos30??cot45?20.（本题满分10分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分3分）已知：抛物线y?ax2?bx?c经过A（-1，8）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的表达式；（2）写出该抛物线的顶点坐标． 21. （本题满分10分，第（1）、（2）小题满分各5分）如图8，点D为△ABC内部一点，点E、F、G分别为线段AB、AC、AD上一点，且EG∥BD，GF∥DC. （1）求证: EF∥BC；（2）当AEBE23时，求S?EFG的值. S?BCDB图8（S?EFG表示△EFG的面积, S?BCD表示△BCD的面积）22.（本题满分10分）如图9,在一笔直的海岸线上有A、B两个观测站，B在A的正东方向，AB=10千米，在某一时刻，从观测站A测得一艘集装箱货船位于北偏西62.6°的C处，同时观测站B测得该集装箱船位于北偏西69.2°方向.问此时该集装箱船与海岸之间距离CH约为多少千米？（最后结果保留整数）（参考数据：sin62.6°≈0.89，cos62.6°≈0.46，tan62.6°≈1.93，sin69.2°≈0.93，cos69.2°≈0.36，tan69.2°≈2.63.）23. （本题满分12分，第（1）、（2）、（3）小题满分各4分）如图10，已知点M是△ABC边BC上一点，设AB?a，AC?b. 东图9（1）当BMMCBMMC2时，AM；（用a与b表示）B图10（2）当m (m0)时，AM=▲；（用a、b与m表示）BM3ab时，MC774（3）当AM?24.（本题满分12分，第（1）、（2）、（3）小题满分各4分）如图11，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y?x2?3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B（1）求点M、A、B坐标；（2）联结AB、AM、BM ，求?ABM的正切值；（3）点P是顶点为M，当ABM时，求P点坐标．图1125.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）如图12，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，sinB?4，D为边AC 中点，P为边AB上一点(点P5不与点A、B重合) ，直线PD交BC延长线于点E，设线段BP 长为x，线段CE长为y. （1）求y关于x的函数解析式并写出定义域；（2）过点D作BC平行线交AB于点F，在DF延长线上取一点Q，使得QF=DF，联结PQ、QE，QE交边AC于点G，①当△EDQ与△EGD相似时，求x的值；②求证：PDPQDEQE.B图12黄浦区2013学年度第一学期九年级期终调研测试数学参考答案与评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. D；2. B；3. A ；4. C ；5. D ；6. A.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 6 ；8. a?5b；9. 6；10. y?x2?2；11. a??2；12.(1,?2) ；13. 6；14525；15. ；16. y??x?5x；3317. 3；18.12548.三、解答题：（本大题共7题，满分78分）12?19.解：原式……………………………………………………（8分）…………………………………………（1分）=2………………………………………………………（1分）20.解：（1）由抛物线y?ax2?bx?c经过C（0，3）可知c?3.…………（2分）由抛物线y?ax2?bx?3经过A（-1，8）、B（3，0）得a(1)2b(1)38, ………………………………………………………（2分）?2 a3b330.?a?1,解得? …………………………………………………………（2分） b??4.?∴该抛物线的表达式为y?x2?4x?3. ………………………………………（1分）（2）由y?x2?4x?3配方得y?(x?2)2?1. …………………………………（2分）∴顶点坐标为（2，-1）. …………………………………………………（1分）。

AB C黄浦区2010学年度第一学期期终基础学业测评九年级数学试卷考试时间：100分钟 满分150分 2011年1月12日考试注意：1. 每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行， 在试卷上的解答一律无效；2. 答卷前，考生务必将姓名、准考证号等信息在答题卷上填写清楚. 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90︒，CD 是斜边AB 上的高，则图中相似三角形有（ ▼ ） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对2. 在△ABC 中，∠ACB =90︒，则ACAB表示的是（ ▼ ） A.sinA B. cosAC. tanAD. cotA3. 二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，则下列关系式中错误的是（ ▼ ） A.0a > B. 0b >C. 0c >D. 240b ac ->4. 如果1x ，2x 是方程22350x x --=的两个实数根， 那么12x x +的值为（ ▼ ）A.32 B. 32- C. 52 D. 52- 5.如果i 与j 均是单位向量，以下关系式：（1）i j =，（2）i j =-，（3）i j =中，正确的有（ ▼ ）A.0个B.1个C.2个D.3个 6. 如图，甲、乙两船同时从港口O 出发，其中甲船沿北偏 西30︒方向航行，乙船沿南偏西70︒方向航行，已知两船的 航行速度相同，如果1小时后甲、乙两船分别到达点A 、B 处， 那么点B 位于点A 的（ ▼ ）A. 南偏西40︒B. 南偏西30︒C. 南偏西20︒D. 南偏西10︒A B C D E A B C D F E GS 3 S 2 S 1AB DC DCBABM N 水平线A水平线二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 已知a ∶b ∶c =2∶3∶5，则222b c a+的值为 ▼ . 8. 已知D 是△ABC 边AB 上的点，且△ABC 的面积为2010，AD ∶DB =3∶2，那么△ACD 的面积是 ▼ .9.如图，D 、E 、F 是△ABC 三边上的点，且DE ‖BC ，EF ‖AB ，DE ∶BC =1∶3，那么EF ∶AB = ▼ .(第9题) (第10题) (第11题)10. 如图，D 、E 、F 、G 是△ABC 边上的点，且DE ‖FG ‖BC ，DE ，FG 将△ABC 分成三个部分，它们的面积比为S 1∶S 2∶S 3=1∶2∶3,那么DE ∶FG ∶BC = ▼ .11.如图，在△ABC 中，AC =5，BC =6，D 是△ABC 边BC 上的点，且CAD B ∠=∠，那么CD 的长是 ▼ .12. 已知在△ABC 中，∠C =90︒，cosA =13，AB =6，那么AC = ▼ . 13. 计算：cos30sin 45︒︒= ▼ .14. 如图，某人在一个建筑物（AM ）的顶部A 观察另一个建筑物（BN ）的顶部B 的仰角为α， 如果建筑物AM 的高度为50米（即AM =50），两建筑物间的间距为60米（即MN =60），3tan 4α=，那么建筑物BN 的高度为___▼ 米.(第14题) (第15题)15. 如图，D 是△ABC 内一点，且∠ADC =∠BDA =∠BDC ,如果AD =2，BD =3，∠ABC =60︒，那么CD = ▼ .DE F C BA EABCD CBA16. 如果将函数223y x =+的图像向上平移2个单位，那么所得图像的函数解析式是 ▼ . 17.已知函数()2230y ax ax a =-+>图像上点（2，n ）与（3，m ），则 n ▼ m . （填“>,<，或无法确定”）18. “五一”长假小明和父母一起去云南旅游，他们到“野象谷”游玩是乘坐缆车进谷的，小明听导游说，这里的缆车单程长为35.2千米，在钢缆上来回均匀地安装着188个吊窗，并且这些吊窗按顺序编号：1，2，3，4，……，187，188.小明入谷时乘坐的是45号吊窗，途中他观察迎面而来的吊窗的编号，他先看到142号，过一会他又看到145号，那么当他和145号吊窗并排时，他离缆车终点还有约 ▼ 米.三、解答题（本大题共7题，第19、20、21、22题，每题10分，第23、24题，每题12分，第25题14分，满分78分）19. 如图，在△ABC 中，BC =9，AB =∠ABC =45︒. (1)求△ABC 的面积； (2)求cos ∠C 的值.20. 已知二次函数22y x bx c =++的图像经过点()1,1与()1,9-.（1）求此函数的解析式；（2）用配方法求此函数图像的顶点坐标.21. 如图，在梯形ABCD 中，AB ‖CD ，且AB ∶CD =4∶3，E 是CD 的中点，AC 与BE 交于点F .（1）求AFFC 的值；（2）若,AB m AD n ==，请用,m n 来表示AF .22. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90︒，D 是AB 延长线上一点，且BD =BC ，CE ⊥CD 交AB 于E .（1）求证：△ACE ∽△ADC ；（2）若BE ∶EA =3∶2，求sin ∠A 的值.CB CD E A23. 教材中第25章锐角的三角比，在这章的小结中有如下一段话：锐角三角比定量地描述了在直角三角形中边角之间的联系.在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）.如图，在△ABC 中，AB =AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时 sad A =BCAB=底边腰.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的. 根据上述对角的正对定义，解下列问题： （1）sad 60︒的值为（ ▼ ） A.12B. 1C.2D. 2 （2）对于0180A ︒<<︒，∠A 的正对值sad A 的取值范围是 ▼ .（3）已知3sin 5α=，其中α为锐角，试求sad α的值. 24. 已知二次函数()2230y ax ax a a =-->.（1）求此二次函数图像与x 轴交点A 、B （A 在B 的左边）的坐标；（2）若此二次函数图像与y 轴交于点C 、且△AOC ∽△COB （字母依次对应）. ①求a 的值；②求此时函数图像上关于原点中心对称的两个点的坐标.25. 如图，在梯形ABCD 中，AB ‖CD ，∠A =90︒，AB=3，CD =6，BE ⊥BC 交直线AD 于点E .（1）当点E 与D 恰好重合时，求AD 的长； （2）当点E 在边AD 上时（E 不与A 、D 重合），设AD =x ，ED =y ，试求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）问：是否可能使△ABE 、△CDE 与△BCE 都相似？若能，请求出此时AD 的长；若不能，请说明理由.黄浦区2010学年度第一学期期终基础学业测评九年级数学参考答案与评分标准 一、选择题1、C ；2、B ；3、B ；4、A ；5、B ；6、C . 二、填空题7、172； 8、1206； 9、2∶3； 10、1；11、256； 12、2； 13 14、95；15、92； 16、225y x =+； 17、<； 18、1100. 三、解答题 19、解：（1）作AH ⊥BC ，H 为垂足，-------------------------------（1分）则在△ABH 中，∠AHB =90︒，∠B =45︒, AB =∴AH =AB sin 45⋅︒=6，---------------------------------（2分）∴11962722ABC S BC AH ∆=⋅=⨯⨯=.--------------------（2分） （2）由（1）可知BH =AB cos45⋅︒=6，------------------------（1分） 在△ACH 中，∠AHC =90︒，CH =BC -BH =3，AH =6，则AC ==---------------------------（2分）∴cos ∠C CH AC ==（2分） 20、解：（1）由条件得1292b cb c=++⎧⎨=-+⎩，-------------------------------（2分）解得43b c =-⎧⎨=⎩，-------------------------------------------（2分）∴解析式为2243y x x =-+.------------------------------（1分）（2）2243y x x =-+()222132x x =-++--------------------------------（2分） ()2211x =-+--------------------------------------（2分）∴顶点坐标为（1,1）. --------------------------------（1分）BCDH21、解：（1）∵AB ∶CD =4∶3，E 是CD 的中点，∴AB ∶CE =8∶3，--------------------------------------（2分） 又∵AB ‖CD ，∴83AF AB FC CE ==.---------------------------------（2+1分） (2) ∵AB ‖CD ，AB ∶CD =4∶3，AB m =，∴34DC m =，-------------------------------------（2分） ∴34AC AD DC n m =+=+，----------------------（1分）又83AF FC =，则811AF AC =，----------------------（1分） ∴886111111AF AC n m ==+.----------------------（1分）22、解：（1）∵BD =BC ，∴∠DCB =∠D . -----------------------------------（1分） 又∵CE ⊥CD ，∠ACB =90︒，∴∠DCB +∠BCE =90︒, ∠ACE +∠BCE =90︒，∴∠D =∠DCB =∠ACE ，-----------------------------（2分） 又∵∠A =∠A ，-----------------------------------（1分） ∴△ACE ∽△ADC . --------------------------------（1分）（2）∵∠DCB +∠BCE =90︒, ∠D +∠DEC =90︒，又∠DCB =∠D ，∴∠BCE =∠BEC ，-----------------------------------（1分） ∴BE =BC . ----------------------------------------（1分） 又BE ∶EA =3∶2，令BE =3k ，EA =2 k , ----------------（1分） 在△ABC 中，∠ACB =90︒，BC =3k ，AB =5k ，-----------（1分）∴sin ∠A =35BC AB =.---------------------------------（1分） 23、解：（1）B ；----------------------------------------------（4分）（2）02sadA <<；------------------------------------（4分）(3) 如图，在△ABC 中，∠ACB =90︒，sin ∠A 35=. 在AB 上取点D ，使AD =AC ，作DH ⊥AC ，H 为垂足，令BC =3k ，AB =5k ， 则AD = AC=4k ，-------（1分）又在△ADH 中，∠AHD =90︒，sin ∠A 35=.∴12sin 5DH AD A k =⋅∠=，165AH k ==.则在△CDH 中，45CH AC AH k =-=，CD ==. ------------------------------------------------------（2分）于是在△ACD 中，AD = AC =4k ，5CD k =.由正对定义可得：sadA =CD AD =sad α=.------（1分） 24、解：（1）令2230ax ax a --=----------------------------------（1分） 解得11x =-，23x =----------------------------------（2分） 所以A （1-，0），B （3,0）. ----------------------------（1分）（2）①易知()0,3C a -，由△AOC ∽△COB ，------------------（1分） 则OA OC OC OB =，即1333aa =，------------------------------（2分）解得a =. ----------------------------------（1分）②此时函数解析式为2y x x =-设函数图像上两点2(,33t -，2(,())33t t t ----， ----------------------------------------------------------（1分）由两点关于原点中心对称，得：233-2())33t t ---------------（1分）解得t =，------------------------------------------（1分）∴这两个点的坐标为)2-与()2.------------------（1分）25、解：（1）当点E 与D 重合时，由∠ABD =∠BDC ，∠DBC =∠A ， 得△ABD ∽△BDC ，则AB BDBD DC=，---------------------（2分）∴BD=-----------------------------------------（1分） 则3AD ==.------------------------------（1分）（2）作BH ⊥DC ，H 为垂足，则∠ABE +∠EBH =90︒, ∠EBH +∠HBC =90︒，∴∠HBC =∠ABE ，又∠BHC =∠A =90︒，∴△ABE ∽△HBC ，------------------------------------（2分） 又AB ‖CD ，得HB =AD =x ，HC =633CD DH -=-=，∴AE HC AB HB =，即33x y x-=，--------------------------（2分）解得9y x x=-，定义域为()3x >.----------------------（1分）（3）假设能使△ABE 、△CDE 与△BCE 都相似， 当点E 在边AD 上时，（如图1）易知∠EBC =∠A =∠D =90︒，考虑∠1的对应角，容易得到∠1ABE ≠∠,∠1DCE ≠∠, 所以必有∠1=∠2=∠3=60︒，于是在△ABE 、△CDE中，易得AE =DE =∴AD =,------------------------------------------（2分）此时，BE =CE = BC =6, --------------------（1分） 即能使△ABE 、△CDE 与△BCE 都相似；当点E 在边AD 的延长线上时，（如图2）类似分析可得∠1=∠2=∠3=30︒，可求得AD =（2分）同样能使△ABE 、△CDE 与△BCE 都相似.(图1) (图2)。