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第三章 误差

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第3章 测量误差分析及处理

第3章 测量误差分析及处理

( 1 2 n ) i
3、几何综合法
绝对误差 相对误差 21 22 2n
2 i 2
i
2 2 2
1 2 n
第三节 随机误差
或然率曲线或概率密度曲线
令真值为A，算数平均值为L，观测值为l，误差△=l-A，偏差 i =l-L，则有
i li A
i li L
l
得： 将L代入 i
i
li nA nL 代入 nii
li nL
i
li nA
i
L
A
li L 得
i i
热能与动力工程 测试技术
第三章 测量误差分析及处理
第一节 误差的来源与分类
一、误差的来源与误差的概念
被观测量客观上存在一个真实值，简称真值。对该量进行观测得到 观测值。观测值与真值之差为真误差，即
真误差=观测值-真值
lA — 真误差 l — 观测值 A — 真值
在测量工作中，对某量的观测值与该量的真值间存在着必然的差异，这 个差异称为误差。但有时由于人为的疏忽或措施不周也会造成观测值与 真值之间的较大差异，这不属于误差而是粗差。误差与粗差的根本区别 在于前者是不可避免的，而后者是有可能避免的。
由于系统误差一般有规律可循，其产生的原因一般也 是可预见的，所以系统误差一般可通过改进测量技术、 对测量结果加修正值等手段来减小。通常处理系统误差 的方法有以下几种： （1）消除系统误差产生的根源。 （2）在测量结果中加修正值。确定出较为准确的修正公 式、修正曲线或修正表格，以便修正测量结果。 （3）在测量过程中采取补偿措施。 例如：在用热电偶测温时，采用冷端温度补偿器或冷端 温度补偿元件来消除由于热电偶冷端温度变化所造成的 系统误差。 （4）采用可以消除系统误差的典型的测量技术。 如采用零值法、替代消除法,预检法等。

教材第三章 误差和分析数据的处理

教材第三章 误差和分析数据的处理

教材第三章 误差和分析数据的处理习题一、指出在下列情况下，各会引起哪种误差？如果是系统误差，应该采用什么方法减免？（1）砝码被腐蚀；（2）天平的两臂不等长；（3）容量瓶和移液管不配套；（4）试剂中的含有微量的被测组分； （5）天平的零点有微小变动；（6）读取滴定体积时最后一位数字估计不准； （7）滴定时不慎从锥形瓶中溅出一滴溶液；（8）标定HCL 溶液用的NaOH 标准溶液中吸收了CO2。

习题二、如果分析天平的称量误差为±0.2mg ,拟分别称取试样0.1g 和1g 左右，称量的相对误差各为多少？这些结果说明了什么问题？答：Ea=±0.2mg m 1=0.1g m 2=1.0g则 Er 1=%2.0%1001.0102.03=⨯⨯-g gEr 2=%02.0%1000.1102.03=⨯⨯-g g说明在绝对误差相同时，称量质量越多，相对误差越小。

习题三、滴定管的读数误差为±0.02mL 。

如果滴定中用去标准溶液的体积分别为2mL 和20mL 左右，读数的相对误差各是多少？从相对误差的大小说明了什么问题？解：Ea=±0.02mL V 1=2mL V 2=20mL则 Er 1=mL mL202.0×100%=1%Er 2=mL mL2002.0×100%=0.1%说明在Ea 相同时，用去体积越大，相对误差越小。

习题四、下列数据包括了几位有效数字？(1)0.0330 (2)10.030 (3) 0.01020 (4) 8.7×10 ¯5 (5) pKa ＝4.74 (6)pH ＝10.00答：习题五、将0.089 g Mg2P2O7沉淀换算为MgO 的质量,问计算时在下列换算因数(2MMgO/MMg2P2O7)中取哪个数值较为合适： 0.3623, 0.362, 0.36 ? 计算结果应以几位有效数字报出?答：取0.36较为合适，结果应有2位有效数字。

分 析 化 学第三章 误差和分析数据处理

分 析 化 学第三章 误差和分析数据处理

（二）已知样本标准偏差（s） 对于有限次测定，须根据t分布进行统计处理 1. 使用单次测定值
μ = x t p,f s
2. 使用样本平均值
μ = x t p,f s x = x t p,f
t值可通过p90表4-3查得
s n
t分布的意义 真值虽然不知，但可以通过由有限次
测定值计算出一个范围，它将以一定的置
x-μ u= σ
y = Φ(u) = 1 e 2π
u2 2

标准正态分布曲线
【特点】曲线的形状与µ 和σ的大小无关。
三、随机误差的区间概率
正态分布曲线与横坐标之间所包围的总面积，
表示来自同一总体的全部测定值或随机误差在上
述区间出现的概率总和为100%。

+
-
1 + Φ(u)du = e du = 1 2π -
正态分布曲线
（二）正态分布曲线的讨论
1.测定值的正态分布（x分布）
（1）x = μ时，其概率密度最大，曲线以x=μ
这一点的垂线为对称轴分布。 （2）精密度不同的两组测定值的正态分布曲 线，σ 值较小的相应的曲线陡峭，σ 值较大的曲 线较平坦。(☆)
（3）µ 和σ是正态分布的基本参数，一旦µ和
σ确定后，正态分布曲线的位置和形状就确了，这
二、正态分布
（一）正态分布曲线的数学表达式 测定次数无限增加，其测定值服从正态分布 的规律，其数学表达式为：
1 y = f(x) = e σ 2π (x-μ)2 2σ 2
σ-总体标准偏差，µ -总体平均值，在无系统 误差存在时，µ 就是真值T。y为测定次数无限时，
测定值xi出现的概率密度。 以x横坐标，y纵坐标 作图，得测定值的正态分布曲线。

第三章 误差的合成与分解

第三章 误差的合成与分解

西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工
人用一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦长 s = 500mm。已知， 弓高的系统误差 h = -0.1mm , 玄长的系统误差 h = -1mm 。 试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的测量结果。 已知： h 0.005mm ， l 0.01mm 【解】
车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差
h 50 50.1 0.1mm
l 500 499 1mm
l2 5002 f 2 1 1 24 2 h 4h 4 50 f l 500 5 l 2h 2 50
sin f x1 , x2 ,..., xn cos f x1 , x2 ,..., xn
西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大
工件直径。如图所示，车间工人用 一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦 长 s = 500mm。已知，弓高的系统 误差 h = -0.1mm , 玄长的系统误 差 h = -1mm 。试问车间工人测量 该工件直径的系统误差，并求修正 后的测量结果。 【解】
cos f x1, x2 ,, xn
f 2 f 2 f 2 x1 x2 x x x xn 1 2 n
2 2 2
函数随机误差公式为： 1 sin
2 2 2
或 令 则
f ai xi
f f f 2 y x12 x 22 xn x1 x2 xn

第三章 误差分离方法

第三章 误差分离方法
第
三
章
常见误差的分离方法
3.1 测量仪器常见误差源


测量原理误差
瞄准定位误差


标准量误差
运动误差 变形误差
3.1.1
测量原理误差
3.1.2
瞄准定位误差
接 触 变 形 误 差


接触形式 点接触、线接触、面接触 接触变形（球测头测量平面工件）
p2 2 0.33 R (1 2 )

支承点位置:
两点支承:(a为支承点到端面的距离）
纵向缩短最小（a=0.2303L） 直线度误差最小（a=0.2232L） 两端面平行误差最小（a=0.2113L）
热 变 形误差

线性温度误差模型
Lt L0 (1 t )

非线性温度误差模型
Lt L0 (1 t t t )
4(1 2 ) E
E
1 3
材料的 弹性模数

材料的珀松系数
3.1.3
标 准 量 误 差
3.1.4
运动误差

3.1.5

变 形 误 差
力变形误差： 测量力、重力、内应力等 热变形误差： 温度、材料膨胀系数、几何形状和 尺寸、热变形数学模型等

重力变形误差

零部件自身重力作用：
仪器的悬臂、横梁、床身、导轨等因自身 重力发生变形
主轴回转径向误差分离
3.2.3
多 测 头 法
三测头法分离圆度误差
e( ) 主轴回转径向误差
r ( ) 被测件的圆度误差
3.2.4
多 位 法
多 步 法 分 离 圆 度 误 差
2 3

第3章 分析化学中的误差及数据处理

第3章 分析化学中的误差及数据处理

b：如何确定滴定体积消耗？(滴定的相对误差
小于0.1% )
0～10ml； 20～30ml； 40～50ml
万分之一的分析天平可称准至±0.1mg
常量滴定管可估计到±0.01mL
一般常量分析中，分析结果的精密度以平均相 对偏差来衡量，要求小于0.3%；准确度以相对误差 来表示，要求小于0.3%。
误差传递，每一个测定步骤应控制相对误差更小 如，称量相对误差小于0.1%
使用计算器作连续运算时，过程中可不必对每一步 的计算结果进行修约，但要注意根据准确度要求，正确 保留最后结果的有效数字位数。
四、有效数字在分析化学中的应用
1. 正确地记录数据 2. 正确地选取用量和适当的仪器 3. 正确表示分析结果
问题: 分析煤中含硫量时，称样量为3.5g，甲、乙 两人各测2次，甲报结果为0.042％和0.041％，乙报结 果为0.04201％和0.04199％，谁报的结果合理？
5. 大多数情况下，表示误差或偏差时，结果取一位 有效数字，最多取两位有效数字。
6. 对于组分含量＞10%的，一般要求分析结果保留4 位有效数字；对于组分含量1%～10%的，一般要求分析 结果保留3位有效数字；对于组分含量＜1%的，一般要 求分析结果保留2位有效数字。
7. 为提高计算的准确性，在计算过程中每个数据可 暂时多保留一位有效数字，计算完后再修约。
3）pH，lgK等对数值 有效数字的位数仅取决于小数部分数字（尾数）的位数。
4）不是测量得到的倍数、比率、原子量、化合价、 π、e等可看作无限多位有效数字。
5）不能因为变换单位而改变有效数字的位数。
二、有效数字的修约规则
应保留的有效数字位数确定之后，舍弃多余数字的 过程称为数字修约
修约规则：“四舍六入五成双”

第三章 误差的合成与分配 (全)

第三章 误差的合成与分配 (全)
f xi xi
5
对于 cot f ( x1, x2 ,..., xn ) ，角度系统误差为：
sin 2
n
P56-57：例3-1；3-2
i 1
二. 函数随机误差计算
随机误差 取值的分散程度 标准差
函数的随机误差
..., xn 的标准差之间的关系。
取值的分散程度 标准差 函数随机误差计算：就是研究函数y 的标准差与各测量值 x1 , x2 , 以各测量值的随机误差δx1, δx2, …….. Δxn
2
2
f f 2 2 2 2 2 2 ( x x ... x ) ... ( xn1 xn 2 ... xnN ) 21 22 2N x2 xn
2
n
1i j
(
m1
N
f f xim x jm ) xi x j
第一节 函数误差
间接测量：通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其
它量，按照已知的函数关系式计算出被测量。
间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。
研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。
对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。
2
一. 函数系统误差的计算 在间接测量中，函数主要为多元初等函数，其表达式为：
10
那么，三角函数的标准差公式？ 假设三角函数的标准差为 ，各测量值的标准差为 x1 , x2 ,... xn ,
可得相应的角度标准差公式。 （1）对于 sin f ( x1, x2 ,..., xn ), 有：
f 2 f 2 f 2 1 xn x1 x2 ... cos x1 x2 xn

工程测量第三章 测量误差基本知识

工程测量第三章 测量误差基本知识

29
0.134
21
0.097
20
0.092
15
0.069
18
0.083
14
0.065
16
0.073
12
0.055
10
0.046
8
0.037
8
0.037
5
0.023
6
0.028
2
0.009
2
0.009
1
0.005
0
0
0
0
0
0
108
0.498
109
0.502
合 个 数k
59 41 33 30 22 16 11 4 1 0 217
i =1
误差分布曲线： 正态分布 N (0,σ 2 )
概率密度函数：
f (Δ) =
1
e−
Δ2 2σ 2
σ 2π
f (Δ)
方差：
σ
2
=
lim
Δ
2 1
+
Δ
2 2
+
n→∞
n
+
Δ
2 n
=
lim [Δ 2 ]
n→∞ n
标准差： σ = lim [ΔΔ]
n→∞ n
Δ
−σ
0
+σ
观测条件
误差分布
精度：一组观测值误差分布的密集或离散程度。
计 频 率 k/n
0.272 0.189 0.152 0.138 0.101 0.074 0.051 0.018 0.005
0 1.000
频率直方图
k/n dΔ
Δ
-27 -21 -15 -9 -3 0 +3 +9 +15 +21 +27

第三章 误差分析

第三章 误差分析

/jc/index.html
3.测量值使用
• （2）算术平均值 • 在单次测量不能满足精度要求时，必须用 多次测量值来计算真实值。普遍用到的是 算术平均值
1 n 1 x xi ( x1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 xn ) n i 1 n
/jc/index.html
/jc/index.html
3.2.1.2按误差的性质分类
• 3.粗大误差 定义：在一定测量条件下，测量示值明显偏离被测 实际值所形成的误差。粗大误差又叫疏失误差。 产生原因：有测量条件突然变化的客观原因，如测 量过程中供电电源的瞬时跳变；也有测量人员疏 忽的原因，如测错、读错、记错等。（就其性质 而言，粗大误差可能是过分大的系差，也可能是 过分大的随差。）
X X0 x 100% 100% X0 X0
（1-4）
• 用相对误差通常比其绝对误差能更好地说明不同测量的精 确程度，一般来说相对误差值小，其测量精度就高；相对 误差本身没有量纲。
/jc/index.html
3.引用误差
• 在评价检测系统的精度或不同的测量质量 时，利用相对误差作为衡量标准有时也不 很准确，这时就用到引用误差。 • 检测系统指示值的绝对误差Δx与系统量程L 之比值，称为检测系统测量值的引用误差γ。 引用误差通常仍以百分数表示。
• 最大引用误差是检测系统基本误差的主要形式， 故也常称为检测系统的基本误差。它是检测系统 的最主要质量指标，可很好地表征检测系统的测 量精确度。
/jc/index.html
5.精度等级
• 用最大引用误差去掉±号和百分号(％)后的 数字来表示精度等级，精度等级用符号G表 示。
/jc/index.html
3.2.1.2按误差的性质分类

第三章 误差分析理论

第三章 误差分析理论

第三章误差分析理论测量的目的是确定被测量的量值，然而由于下列因素的存在：1．测量设备的不完善；2．测量方法的不完善；3．测量环境的影响；4．测量人员的能力有限；使得测量值与被测量的真值之间，不可避免地存在差异，这种差异的数值表现即为误差。

一、误差概述测量是将被测的物理量与所规定的参考标准进行比较的过程。

例如，测量某一起重机械的外形尺寸大小，就是用米尺与其比较。

至于测量的标定就是为了提供进行比较的参考标准。

实验测定某一机械量，目的在于测出该机械量的真值。

但是在实测中，只能得到在一定程度上接近于真值的测量值，因此测量结果必然产生失真，这种失真则称为误差，即误差＝测量值－真值用符号表示为第一节误差的分类μ-=∆i x x真值：与给定的特定量的定义一致的值。

理论真值：已知的，如三角形内角和为180°约定真值：不确定的，根据多次测量给出，如平均值误差必然存在：误差产生的必然性已被大量实践所证实，也就是说，一切实验结果都会产生误差。

随着科技的发展，测量误差控制得越来越小，但不论小到什么程度误差总是存在的。

在实际测量中，对给定的测量任务只需达到规定的精度要求就行了，决不是精度愈高愈好，否则将导致浪费。

因此，在实际测量中，必须根据测量目的，全面考虑测量的可靠性、精度、经济性和使用简便性。

（一）按误差本身因次分类1.绝对误差某被测量的绝对误差定义为该量的测量值与真值之差，即：绝对误差＝测量值－真值绝对误差可为正或负。

例1：某一标准长度，其约定真值为X ＝100.02mm ，现有A 、B 两台仪器对其进行测量，测量结果如下：X A ＝100.05mm ，X B ＝100.00mm ，试比较两台仪器绝对误差的大小。

解：A仪器的测量误差为：V A ＝X A －X ＝100.05－100.02＝0.03mmB仪器的测量误差为：V B ＝X B －X ＝100.00－100.02＝-0.02mm由于|V A |>|V B |,所以B仪器的绝对误差小。

第三章 误差的合成与分配

第三章 误差的合成与分配

δ lim xi 第i个直接测得量 xi 的极限误差
其置信概率与xi相同
证明
（3-16）函数 极限误差公式
3-17
函数的极限误差计算公式
2 2 2 2 2 δ lim y = ± a12δ lim x1 + a 2 δ lim x2 + ⋯ + a n δ lim xn = ± 2 ai2 ⋅ δ lim xi ∑ i =1 n
y为间接测量值
3-7
已定） 一、函数(已定）系统误差计算 函数 已定
的全微分，其表达式为： 求上述函数 y 的全微分，其表达式为：
dy = ∂f ∂f ∂f ⋅ dx1 + ⋅ dx 2 + ⋯ + ⋅ dx n ∂xi ∂x 2 ∂x n
函数系统误差
∆y 的计算公式
∂f ∂f ∂f ∆y = ∆x1 + ∆x2 + ... + ∆xn ∂x1 ∂x2 ∂xn
3-5
第一节 函数误差
一、函数(已定）系统误差计算 函数(已定） 二、函数随机误差计算 三、误差间的相关关系及相关系数 (correlation coefficient)
3-6
一、函数(已定）系统误差计算 函数(已定）
间接测量的数学模型
y = f ( x1 , x2 ,..., xn )
x1 , x2 ,… , xn 为各个直接测量值
（3-13）函数 13） 随机误差公式
3-15
相互独立的函数标准差计算
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项为0
∂f 2 2 σ = ∑ ( ) ⋅ σ xi i =1 ∂xi
n 2 y
（3-14） ）
或
令

误差原理第三章误差的传递与合成

误差原理第三章误差的传递与合成

误差原理第三章误差的传递与合成误差的传递是指在实验过程中，由于不同的测量步骤和计算过程引入误差，这些误差会通过物理关系或者数学计算传递到最终结果中。

在实验中，每一个测量仪器都有其特定的精确度和不确定度。

当我们进行复杂的测量或计算时，这些误差会相互作用并积累，从而影响到最终结果的精确度。

为了定量描述误差的传递，我们需要引入误差传递公式。

对于其中一个物理量x，假设它是由一系列测量结果a、b、c等通过其中一种物理关系或者数学计算得到的，则误差传递公式可以写为：Δx=√((∂x/∂a)²Δa²+(∂x/∂b)²Δb²+(∂x/∂c)²Δc²+...)其中Δx表示x的不确定度，∂x/∂a、∂x/∂b等表示物理关系或者计算公式对于变量a、b的导数，Δa、Δb等表示变量a、b的不确定度。

这个公式表明了误差是通过导数的平方和来传递的。

最大值法是指将每个测量结果的不确定度取最大值，作为最终结果的不确定度。

这种方法适用于误差独立且不相关的情况。

例如，在实验中测量一些物理量时，我们使用了不同型号的仪器进行多次测量，那么每个测量结果的不确定度可以认为是不相关的，这时可以采用最大值法。

平方和法是指将每个测量结果的不确定度的平方相加并开方，作为最终结果的不确定度。

这种方法适用于误差相互关联的情况。

例如，在实验中测量一些物理量时，多个测量结果的不确定度具有一定的相关性，这时可以采用平方和法。

实际应用中，误差的传递和合成在实验设计和数据处理中起着关键的作用。

在实验设计中，我们可以通过分析物理关系和计算过程，确定哪些因素会对实验结果产生较大的影响，从而优化实验方案以降低不确定度。

在数据处理中，我们可以根据误差的传递公式和合成方法，对实验结果进行误差分析，得到对最终结果的不确定度的估计，以提高实验结果的可靠性和可信度。

总之，误差的传递和合成是误差原理的核心内容，它描述了实验结果的不确定性和误差如何从测量仪器传递到最终的物理量中。

第三章,测量误差与检测分析.

第三章,测量误差与检测分析.

➢ 方法误差
测量方法不正确而引起的误差称为方法误差。 测量仪器安装和使用方法不正确，测量时所依据 的原理不正确而产生的误差。
➢ 人员误差
测量者生理特性和操作熟练程度的优劣而引 起的误差称为人员误差。测量者的习惯和精神状 态的变化也都会带来误差。
四. 误差的分类
1. 随机误差 在实际测量条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对
即
100%
A
3. 诱导相对误差 测量中最大绝对误差与仪器量程范
围之比。也称引用误差。
即
0
max
xm
max
Amax Amin
100 %
通常用引用误差表示仪器的精度等级。
国家标准GB776-76《电测量指示仪器通用技术条件》规
定，电测仪器精度分为0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5， 5.0等7级。它们的基本误差以最大引用误差计，分别不超过：
六. 不确定度
不确定度是指由于测量误差的存在而对被测量不能确 定的程度。不确定度按估计其数值所用的方法不同归并 成两类： A类分量：对一系列多次重复测量后，用统计方法计算出 的标准偏差。 B类分量：用其它方法估算出的近似的标准偏差。
然后用通常合成标准偏差的方法来合成A类分量和B类 分量，合成后仍以标准偏差的形式表征，称为合成不确 定度。该不确定度仍具有概率的概念。
3. 粗大误差(疏失误差)
测量过程中出现的明显与事实不符的误差。主要是由 于测量人员的疏失或环境条件的突变影响所致。
粗大误差由于误差数值特别大，容易从测量结果中发 现，一经发现有粗大误差，可以认为该次测量无效，测 量数据作废，即可消除它对测量结果的影响。
五.精度
➢ 正确度 表示测量结果偏离真值的程度。它标志着系统误差的大小。

第三章 误差分析与处理

第三章 误差分析与处理

第三章 错误!未定义书签。

错误!未定义书签。

错误!未定义书签。

误差分析与处理任何试验总是不可避免地存在误差，为提高测量精度，必须尽可能消除或减小误差，因此有必要对多种误差的性质、出现规律、产生原因，发现与消除或减小它们的主要方法以及测量结果的评定等方面作研究。

误差的定义:绝对误差＝实测值－真值相对误差＝绝对误差/真值≈绝对误差/实测值 误差的来源：测量装置误差（如标准量具、仪器、附件等）环境误差（如温度、湿度、气压、振动、照明、重力场、电磁场等） 方法误差 人员误差 误差分类: 系统误差 随机误差 粗大误差§3—1。

随机误差同一测量值在等精度情况下的多次重复，有可能会得一系列不同的测量值,每个值均有一定的误差，且无规律(但有一定的统计规律),这样的误差称为随机误差. 产生原因：测量装置（精度、器件性能不稳定等)环境方面（湿度、温度、电压、光照、磁场等） 人为因素：(素质、技能)随机误差一般不能消除,但通过统计平均可以减小，大多情况认为随机误差符合正态分布情况，即:221()exp()(2)2f――标准差（均方根误差）,越小，精度就越高的大小只说明在一定条件下，等精 度测量值的随机误差的概率分布情况。

经n 次等精度测量后的均方差为：222212()/()/n i n nσδδδδ=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=∑ （3－1）i δ是第i 次测量的误差。

0i i l L δ=- i l 是第i 次测量值，0L 是真值.当真值为未知时，应该说上式不能求得标准差。

在有限次测量情况下，可用残余误差iv 代替真值误差。

i i v l x =-， x 是测量平均值，()/i x l n=∑。

i v 是i l 的残余误差。

我们将0iil L 作一些变形替换,并令，展开： 100i n n l x x L l x x Lδδ=-+-⋅⋅=-+-⎧⎪⎨⎪⎩令0x x L δ=-为算术平均值的误差=0i i v l nx =-∑∑（当il x n =∑代入时)上式又为 11xn n xv v δδδδ=+⎧⎪⋅⎨⎪=+⎩ (3－2)所有项相加：i i xv n δδ=+∑∑11x ii v n n δδ⇒=-∑∑其中：=0iv ∑ /0iiiiv l nx l n ln =-=-=∑∑∑∑，（）∴1x i n δδ=∑ 即算术平均值的误差将（3－2）式平方后相加（2222i i ixxv v ）222222ii x x i i x v n v v n δδδδ=++=+∑∑∑∑ (3－3）将式1x i n δδ=∑ 的 两边平方2222111()(2)x i i i j i jn n δδδδδ≤≤==+∑∑∑当n 足够大时,ijδδ∑认为趋于零,将2221x i n δδ=∑，代入（3－3）式2221i i i v n δδ=+∑∑∑由（3－1）式可知 22in δσ=∑∴222i n v σσ=+∑ 2()(1)i v n σ⇒=-∑ (3－4）式(3－4）称为Bessel 公式，由残余误差求得单次测量的标准差的估计值。

第三章误差的合成与分配

第三章误差的合成与分配

系统误差的合成 一、已定系统误差合成 • 定义： – 误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差 • 表示符号：Δ • 合成方法：按照代数和法进行合成
Δi 为第i个系误差，ai 为其传递系数
在实际测量中，大部分已定系统误差在测量过程中均已 消除，少数未予消除的也只是少数几项，它们按代数和 法合成后，还可以从测量结果中修正，故最后的测量结 果中不再含有已定系统误差。
函数的误差 误差的合成
各个误差互不相关，相关系数 ij 0
合成标准差

(a )
i 1 i i
q
2
当误差传播系数 ai 1 、且各相关系数均可视为0 合成标准差


i 1
q
2 i
随机误差的合成
一、极限误差合成
合成极限误差：
若 ij 0
第三节未定系统误差 和 随机误差的合成
2
2
2
xi 第i个直接测得量 xi 的标准差
ij第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数
f 第i个直接测得量 xi的误差传播系数 xi
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项
f f f 2 2 2 y xn x1 x2 x1 x2 xn
例3：测量某电路的电流I=22.5mA，电压U=12.6V,测量的 标准差分别为 I 0.5mA, u 0.1 V ，求所耗功率P=UI及 其标准差 p 。 解：所耗功率 P=UI=12.6V×22.5×10-3A=0.2835W 因为
P I 22.5 103 A U P U 12.6V I 且U、I完全线性相关，故相关系数 1 ，所以
f ( i 1,2, ,n) 其中： xi

误差理论第三章误差合成与分配

误差理论第三章误差合成与分配

f xn xn
f 其中， i 1, 2, , n 为各个直接测量值的误差传递系数。 xi 1) 当函数形式为线性公式：y a1 x1 a2 x2 an xn
2）当函数为三角函数时： sin f x1 , x2 , 的系统误差为： sin 而角度系统误差为：
5
则函数y的随机误差为： y1
f f x11 x21 x1 x2 f f x12 x22 x1 x2

f xn1 xn f xn 2 xn
y2
f f yN x1N x2 N x1 x2
同理其它三角函数的角度系统误差为： 对 cos f x1 , x2 , 1 , xn , sin
f xn xn
f xn xn
f x1 x1
4
对 tan f x1 , x2 , 对 cot f x1 , x2 ,
Байду номын сангаас
2
§3-1 函数误差
间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其它 量，按照已知的函数关系式计算出被测的量，因此间接测量的量 是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各 个直接测量值的函数，即函数误差。
一、函数系统误差计算
间接测量时，函数形式为：y =f x1 , x2 , , xn ,
间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其它量按照已知的函数关系式计算出被测的量因此间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数而间接测量误差则是各个直接测量值的函数即函数误差
每日一句
二十一世纪是个学习的世纪，在学习 上没有找到快乐就等于下地狱。

第三章 误差传播定律的应用

第三章 误差传播定律的应用

σ
2 h
= S ⋅σ
2 km
取C公里观测高差的方差为单位权方差， 即 公里观测高差的方差为单位权方差，
σ
P
=
2 0
= C
σ
Cσ
2
2 km
按权的定义式，可得： 按权的定义式，可得：
hi
σ σ
2 0 2 hi
=
Siσ
km 2 km
=
C Si
第三章
误差传播定律的应用
3.4
水准测量高差的精度
例2 水准测量中若要求每公里观测高差中误差不超过 10mm，水准路线全长高差中误差不超过60mm, 10mm，水准路线全长高差中误差不超过60mm, 则该水准路线 长度不应超过多少公里？ 长度不应超过多少公里？ 解：由公式： 由公式：
Y
的中误差为： 的中误差为：
mY =
f12 m12 + f12 m12 + ... + f12 m12
第三章
误差传播定律的应用
3.2 由三角形闭合差计算测角中误差(菲列罗公式) 由三角形闭合差计算测角中误差(菲列罗公式)
国家二等三角网
(图1)
第三章
误差传播定律的应用
3.2 由三角形闭合差计算测角中误差(菲列罗公式) 由三角形闭合差计算测角中误差(菲列罗公式)
1 2
倍
第三章
误差传播定律的应用
第三章
误差传播定律的应用
3.5 三角高程测量高差的精度
Dtanα α v B hAB HB A HA D 大地水准面 (图4) 图
α
i
三角高程测量的基本公式为： 三角高程测量的基本公式为：
h A B = D tg α + i − v
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3.97mL(3) ★容量瓶:100.0mL(4),250.0mL (4) ★移液管:25.00mL(4); ☆量筒(量至1mL或0.1mL):26mL(2), 4.0mL(2)
6
3.0 有效数字及计算规则
数字修约规则
1. 四舍六入五成双 4.136 4.134 4.135 4.125 4.105 4.1251 4.14 4.13 4.14 4.12 4.10 4.13 2. 一次修约至所需位数，不能分次修约 4.1349 4.135 4.13
测定过程产生的误差可分为两类： 1、系统误差 2、 偶然误差
26
3.2 产生误差的原因
1、系统误差 • 系统误差又称可测误差，是由可察觉的 因素导致的误差。 •例如：分析方法不完善，试剂与蒸馏水含 被测组分或干扰物质，量器刻度不准确,砝 码腐蚀与缺损，个人观察习惯不当等，都 可能引起系统误差。
27
24
3.1 准确度与精密度 误差与偏差
例：一组重复测定值为15.67, 15.69, 16.03, 15.89。 例：一组重复测定值为15.67, 15.89。 求这组测量值的平均偏差、标准偏差及相对标准偏差。 解： X =(15.67+15.69+16.03+15.89)/4=15.82
d=
∑X
28
3.2 产生误差的原因 系统误差产生的原因 1. 方法误差：由于分析方法本身不够完善； 2. 仪器误差：例如天平不等臂、玻璃仪器 （主要是滴定分析的量具）未校正；或受酸碱盐等 的侵蚀而引入杂质； 3. 试剂误差：所用试剂或蒸馏水中含有微量杂质 等。 4. 操作误差：测试人员所掌握的操作与正确分析 操作有差别引起。 5. 主观误差：测试人员对操作条件如：对终点颜 色的辨别、体积的用量等， 在多次的测定中人 为的受前面测定的影响，而产生的误差。
xi − T
Ea = x −T
Ea Er = × 100% T
17
测定结果的绝对误差为：
测定结果的相对误差为：
3.1 准确度与精密度 误差与偏差 例 体重 真值 称得量 绝对误差 相对误差
62.5kg 62.4kg 0.1kg 0.9kg 0.1kg 0.1kg 0.1kg
买白糖 1kg 抓中药 0.2kg
π ,e
4
3.0 有效数字及计算规则 4. 数据的第一位数大于等于8 的, 可按多一位有 效数字对待，如 9.45×104, 95.2%, 8.6 5. 对数与指数的有效数字位数按尾数计，如10-2.34 (2位); pH=11.20, 则[H+]=6.3×10-12 6. 误差只需保留1～2位； 7. 化学平衡计算中, 结果一般为两位有效数字(由 于K值一般为两位有效数字)； 8.常量分析法一般为4位有效数字，微量分析为 2-3位.
第三章
误差与数据处理
3.0 有效数字及计算规则 3.1 有关误差的一些基本概念 3.2 产生误差的原因 3.3 偶然误差的正态分布 3.4 提高分析结果准确度的方法 3.5 定量分析中测定数据的评价
1
3.0 有效数字及计算规则
有效数字
在实际分析测定工作中能测量到的、有实际 数值意义的数字，称之为有效数字。 1.0008 0.1000 0.0382 0.0054 0.5 43081 10.98% 1.08×10-10 0.40 0.02% 五位 四位 三位 二位 一位
准确度表征测量值与真实值的符合程度。准确 度用误差表示。
精密度 precision 精密度表征平行测量值的相互符合程度。 精密度用偏差表示。
13
3.1 准确度与精密度 误差与偏差
例：A、B、C、D A、B、C、D
四个分析工作者对同一铁标样（WFe=37.40%) Fe 中的铁含量进行测量，得结果如图示，比较其准确度与 精密度。 表观准确度高，精密度低 （不可靠） 准确度高，精密度高 准确度低，精密度高 准确度低，精密度低
36.50 37.00 平均值 37.50 真值
14
D C B A
36.00
38.00
测量点
3.1 准确度与精密度 误差与偏差 军训打靶
甲
结果： 精密度 好，准确 度也好。 评价： 枪好，技 术好，首 先技术要 好。
乙
精密度好 准确度不好
丙
精密度不好，准确 度也不好。
技术好，枪不好。 枪可能不好，但首 若将枪调整好了， 要解决技术问题。 可以打好。
×
4.14
3. 运算时，可先多保留一位，运算后，再修约 4. 修约标准偏差。结果应使准确度变得更差些 S =0.213，修约0.22（二位）， 0.3（一位） 0.21(X) 0.2 (X)
7
3.0 有效数字及计算规则
有效数字的运算规则
• 在一个样品的分析测试过程中，一般都要经过多个 测量的环节，而每个测量的环节都有具体的测量数 据，如差减法称量；滴定至终点溶液体积数等。
15
3.1 准确度与精密度 误差与偏差
准确度与精密度的关系
1、精密度是保证准确度的前提。 2、精密度高，不一定准确度就高。
实验中要取得理想数据，实验技术一定要过关。
16
3.1 准确度与精密度 误差与偏差
2. 误差与偏差
误差（Error) : 表示准确度高低的量。
对一B物质客观存在量为T 的分析对象进行分析，得到n个 个别测定值 x1、x2、x3、••• xn，对n 个测定值进行平均， 得到测定结果的平均值，那么： 个别测定的误差为：
⎡ H + ⎤ = 6.3 × 10−11 mol/L, pH = 10.20 ⎣ ⎦
5.非测量数字，计算时不考虑其位数
6.含量的计算，小数点后最多保留两位 51.76% 误差的计算，一般一位，最多两位
11
3.1 准确度与精密度 误差与偏差
12
3.1 准确度与精密度 误差与偏差
1. 准确度与精密度 准确度 Accuracy
31
3.2 产生误差的原因
2、偶然误差
难以察觉的或不可控制的随机因素导致的误差。 随机误差、不可测误差,不可避免，服从统计规律。 减少随机误差：增加测定次数取其平均值
3
3.0 有效数字及计算规则
几项规定 1. 数字前的0不计,数字后的计入: 0.02450(4位)
2. 数字后的0含义不清楚时, 最好用指数形式表示: 1000 (1.0×103 ，1.00×103, 1.000 ×103 ) 3. 自然数可看成具有无限多位数(如倍数关系、分 数关系)；常数亦可看成具有无限多位数，如
相对标准偏差RSD
（变异系数CV）
S RSD = x
S = n
22
3.1 准确度与精密度 误差与偏差
• 总体：研究对象的全体称为总体（或母 体）； • 样本：（或子样）：自总体中随机抽出的 一 部分样品称为样本（或子样）； • 个体：组成总体的每一个单元称之为个体； • 样本容量：样本中所含个体的数目称为样本 大小（或样本容量）
0.1 ×100% = 0.16% 62.5 0.1 ×100% = 10% 1 0.1 ×100% = 50% 0.2
用相对误差比绝对误差表示结果要好些
18
3.1 准确度与精密度 误差与偏差 真值T (True value)
某一物理量本身具有的客观存在的真实值。真值是未知的、 客观存在的量。在特定情况下认为是已知的： 1、理论真值（如化合物的理论组成） 2、计量学约定真值（如国际计量大会确定的长度、质 量、物质的量单位等等） 3、相对真值（如高一级精度的测量值相对于低一级精 度的测量值） 例如，标准样品的标准值
d1 + d2 +... + dn d= n
d = × 100% x
21
相对平均偏差
平均偏差占平均值的百分率
3.1 准确度与精密度 误差与偏差
样本标准偏差S
S= ( xi − x) 2 ∑
i =1 n
总体标准偏差 σ
( xi − µ ) 2 ∑
i =1 n
n −1
σ=
n
测定次数有限
测定次数无限 µ 总体平均值 平均值的标准偏差Sx Sx
19
3.1 准确度与精密度 误差与偏差
前面的讨论己知：真值我们是不知 道的，实际的测定中用平均值来表 示真值T。 出现偏差
20
3.1 准确度与精密度 误差与偏差 偏差(deviation)
个别测定值(xi )与平均值(x )的差值，表示精密度高低的 量。偏差小，精密度高。 绝对偏差 di=xi-x 平均偏差
一般计算方法: 先计算，后修约.
9
3.0 有效数字及计算规则 2. 乘除法 结果的相对误差应与各因数中相对误差最大的数相 适应. (即与有效数字位数最少的一致)
0.0121×25.66×1.0578＝0.328432 ＝0.328
3. 乘方或开方 结果有效数字位数不变.
7.56 = 2.75
10
3.0 有效数字及计算规则 4. 对数运算时，对数尾数的位数应与 真数有效数字位数相同
23
3.1 准确度与精密度 误差与偏差
• 对某一批软锰矿中二氧化锰含量的测定。分析人员按 分析标准规定，对物料进行处理（取样、粉碎、过筛 和缩分等前处理的过程），最后得到约500g供分析用 的试样，这就是总体。从500g的试样（总体）中取12 份软锰矿样品来进行分析，得到12个测定值，这一组 测定值（12个数据）称为本软锰矿试样总体的随机样 本，样本容量为12。 由于不可能对总体中的每一个个体都进行研究，应用统 计学的方法对样本（有限的个体）的研究来研究总体。 如上例中，通过12次的测定的数值，来确定该批软锰矿 中二氧化锰的含量。
2
3.0 有效数字及计算规则
有效数字意义
例如：用分析天平称得一个试样的质量为0.1080g。 表示： （1）采用的分析天平称量时，可读至万分位； （2）0.1080g的数值中，0.108是准确的，小数后第四位 数“0”是可疑的，其数值有±1之差； （3）这试样称量的相对误差为：

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