2018届广东省东莞市高三上学期第一次调研考试数学(文)试题

2018-2019学年广东省东莞市高三（上）期末数学试卷（文科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合S={x|x＞-}，T={x|3x-1＜0}，则S∩T=（）A. B. C. D.2.已知复数z=（i为虚数单位），则|z|=（）A. 2B.C.D.3.已知向量=（l，1），=（2，x）， ⊥（-），则实数x的值为（）A. B. 0 C. 1 D. 24.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.5.若a＞0，b＞0，a+2b=5，则ab的最大值为（）A. 25B.C.D.6.函数的图象大致为（）A. B.C. D.7.已知a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若⊥，⊥，则⊥D. 若⊥、⊥，则8.为了得到函数y=cos2x的图象，只需把函数y=cos（2x-）的图象（）A. 向左平移个单位得到B. 向右平移个单位得到C. 向左平移个单位得到D. 向右平移个单位得到9.在各项均为正数的等比数列{b n}中，若b4•b6=4，则log2b1+log2b2+…+log2b9=（）A. 6B. 7C. 8D. 910.在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点P是线段AD上一动点，则•的取值范围是（）A. B. C. D.11.已知圆C：x2+y2=4与y轴负半轴交于点M，圆C与直线l：x-y+1=0交于A，B两点，那么在圆C内随机取一点，则该点落在△ABM内的概率为（）A. B. C. D.12.设函数f（x）=，则满足f（x）+f（x-）＞1的x的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=x2+e x在点（0，1）处的切线方程为______．14.实数x，y满足，且z=3x-y，则z的最小值为______．15.三棱锥A-BCD的外接球为球O，球O的直径是AD，且△ABC，△BCD都是边长为2的等边三角形，则球O的表面积为______．16.如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边△ABC．则四边形OACB的面积最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}的首项a1=4，且a1，10，a2构成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log4a n，T n=+++…+，求T2019．18.某电商在双十一搞促销活动，顾客购满5件获得积分30分（不足5件不积分），每多买2件再积20分（不足2件不积分），比如某顾客购买了12件，则可积90分，为了解顾客积分情况．该电商在某天随机抽取了1000名顾客，统计了当天他们的购物数额，并将样本数据分为[3.5），[5，7），（7，9），[9，11），[11，13），[13，15），[15，17），[17，19），[19，21）九组，整理得到如图频率分布直方图．（1）求直方图中a的值；（2）从当天购物数额在[13，15），[15，17）的顾客中按分层抽样的方式抽取6人那么，从这6人中随机抽取2人，则这2人积分之和不少于240分的概率．19.如图，四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PAB，△ABP为等腰直角三角形，且AB=AP=2，AD=CD=1，（1）求证：CD⊥AP；（2）若CD⊥PD，求四棱锥P-ABCD的体积．20.已知椭圆C的中心在坐标原点，左右焦点分别为F1（-1，0）和F2（1，0），且椭圆C经过点M（1，）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过椭圆的右顶点D作两条相互垂直的直线l1，l2，分别与椭圆交于点A，B（均异于点D），求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标．21.已知函数f（x）=（x+a）ln x，g（x）=x2+x（a≤0且a为常数）．（1）当a=0时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x≥1都有f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的普通方程为（x-1）2+y2=1，曲线C2的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=（p∈R）．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的普通方程；（2）直线l与曲线C1在第一象限内的交点为P，过点P的直线交曲线C2于A，B 两点，且AB的中点为P，求直线P的斜率．23.设函数f（x）=|x+a|-|x-2|-2．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）∃x∈R，使得f（x）≥0，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合S={x|x＞-}，T={x|3x-1＜0}={x|x＜}，∴S∩T={x|-}．故选：D．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：z===1-i，故|z|=，故选：B．化简z，求出|z|即可．本题考查了复数的运算，考查转化思想，是一道基础题．3.【答案】B【解析】解：；∵；∴；∴x=0．故选：B．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算．4.【答案】D【解析】解：由双曲线的离心率为，则e==，即c=a，b===a，由双曲线的渐近线方程为y=x，即有y=x．故选：D．运用离心率公式，再由双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的关系，再由渐近线方程即可得到．本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率公式和渐近线方程的求法，属于基础题．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：a＞0，b＞0，a+2b=5，则ab=a•2b≤（）2=，当且仅当a=，b=时取等号，故选D．6.【答案】D【解析】解：函数f（x）=，可得：f（-x）==-=-f（x），则函数f（x）是奇函数，排除A；∵f（1）=＜0，故排除B，C故选：D．判断函数的奇偶性，利用函数值的符号判断本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的值的符号，考查计算能力．7.【答案】D【解析】解：由a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在A中，若a∥α，a∥b，则b∥a或b⊂α，故A错误；在B中，若a∥α，a∥β，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若a⊥α、b⊥α，则由线面垂直的性质定理得a∥b，故D正确．故选：D．在A中，b∥a或b⊂α；在B中，α与β相交或平行；在C中，α与β相交或平行；在D中，由线面垂直的性质定理得a∥b．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：函数=cos[2（x-）]，所以只需把函数的图象，向左平移个长度单位，即可得到函数y=cos[2（x+-）]=cos2x的图象．故选：A．由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin2x到函数y=cos2x的路线，即可得到选项．本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意x的系数的应用．9.【答案】D【解析】解：各项均为正数的等比数列{b n}中，若b4•b6=4，，所以：b5=2则：b1•b9=b2•b8=b3•b7=b4•b6=4所以：log2b1+log2b2+…+log2b9，=log2（b1•b2…b8•b9），=log2（4•4•4•4•2），=9，故选：D．直接利用对数列运算和等比数列的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：对数列运算的应用，等比数列的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.【答案】B【解析】解：设=，λ∈[0，1]，∵==，则•=•[]，==]=3（λ2-λ），∵0≤λ≤1，∴当λ=时，有最小值-，当λ=0或λ=1时，有最大值0，故选：B．设=，λ∈[0，1]，然后根据向量基本定理及向量的数量积定义可表示•，然后结合二次函数的性质即可求解．本题主要考查了向量的基本运算及向量数量积的性质，二次函数性质等知识的简单应用，属于基础试题．11.【答案】A【解析】解：由图可知：|OC|=，则|AB|=2=，因为|MD|=3|OD|，所以|MD|=，==，所以S三角形MAB由几何概型中的面积型有：该点落在△ABM内的概率为==，故选：A．由圆中弦长公式及三角形面积公式得：|AB|=2=，因为|MD|=3|OD|，所以|MD|=，所以S==，三角形MAB由几何概型中的面积型有：该点落在△ABM内的概率为==，得解．本题考查了圆中弦长公式及三角形面积公式，几何概型中的面积型题型，属中档题．12.【答案】C【解析】解：①若x≤0，则x-≤-，∴f（x）=2-x≥1，f（x-）＞1∴f（x）+f（x-）＞1成立，②当x＞时，x-＞0，∵f（x）+f（x-）＞1，∴-x+1-（x-）+1＞1，解得x＜，∴＜x＜，③当0＜x≤时，∴x-≤0，∴f（x-）≥1，f（x）=-x+1∈（，1），∴f（x）+f（x-）＞1成立，综上所述x＜故选：C．根据分段函数的表达式，分别讨论x的取值范围，进行求解即可．本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键．13.【答案】x-y+1=0【解析】解：求导函数可得y′=e x+2x，当x=0时，y′=e x+2×0=1，∴曲线y=e x+x2在点（0，1）处的切线方程为y-1=x，即：x-y+1=0．故答案为：x-y+1=0．求导函数，确定曲线y=e x+x2在点（0，1）处的切线斜率，从而可求切线方程．本题考查导数的几何意义，考查切线方程，属于基础题．14.【答案】-11【解析】解：如图作出阴影部分即为满足实数x，y满足的可行域，当直线z=3x-y平移到点A时，z=3x-y取最小值，∴当x=-4，y=-1时，z=3x-y取最小值为：-11．故答案为：-11．先画出实数x，y满足可行域，再将可行域中各个角点的值依次代入目标函数z=3x-y，不难求出目标函数z=3x-y的最大值．用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．15.【答案】8π【解析】解：如下图所示，由于AD是球O的直径，B为球O上一点，则∠ABD=90°，又因为△ABC，△BCD都是边长为2的等边三角形，则AB=BD=2，所以，球O的直径为，则，因此，球O的表面积为4πR2=8π．故答案为：8π．先由AD为球O的直径得出∠ABD为直角，由此可计算出AD的长度，可得出球O的半径R，再利用球体的表面积公式可得出答案．本题考查球体的表面积的计算，解决本题的关键在于球体基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题．16.【答案】2【解析】解：四边形OACB的面积=△OAB的面积+△ABC的面积，设∠AOB=θ，∴AB2=OA2+OB2-2OA•OB•sinθ=3+1-2×1×sinθ=4-2sinθ则△ABC的面积=•AB•AC•sin60°=•AB2=-cosθ△OAB的面积=•OA•OB•sinθ=×1×=sinθ，四边形OACB的面积=-cosθ+sinθ=+（sinθ-cosθ）=+sin（θ-60°），故当θ-60°=90°，即θ=150°时，四边形OACB的面积最大值为+=2，故答案为：2．设∠AOB=θ，并根据余弦定理，表示出△ABC的面积及△OAB的面积，进而表示出四边形OACB的面积，并化简函数的解析式为正弦型函数的形式，再结合正弦型函数最值的求法进行求解．函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A确定，即要求三角函数的周期与最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数，再根据最大值为|A|、最小值为-|A|求解，属于中档题．17.【答案】解：（1）等比数列{a n}的首项a1=4，且a1，10，a2构成等差数列．所以：a1+a2=20，设等比数列的首项为q，则：4+4q=20，解得：q=4．所以：．（2）由于：，所以：设b n=log4a n=n，进一步整理得：，则：T n=+++…+，=，=，=．所以．【解析】首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（Ⅰ）各组的频率分别为0.04，0.06，2a，2a，6a，0.2，2a，0.08，0.02，∴0.04+0.06+2a+2a+6a+0.2+2a+0.08+0.02=1，解得a=0.05．（Ⅱ）按分层抽样的方法，在[13，15）内应抽取4人，记为A，B，C，D，每人的积分是110分，在[15，17）内应抽取2人，记为a，b，每人的积分是130分，从6人中随机抽取2人，有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，Ca，CB，Da，Db，ab，共15种方法，∴从6人中随机抽取2人，这两人的积分之和不少于240分的有：Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，ab，共9种方法，从6人中随机抽取2人，这2人的积分之和不少于240分的概率为：p==．【解析】（Ⅰ）利用频率分布直方图能求出a．（Ⅱ）按分层抽样的方法，在[13，15）内应抽取4人，记为A，B，C，D，每人的积分是110分，在[15，17）内应抽取2人，记为a，b，每人的积分是130分，从6人中随机抽取2人，利用列举法能求出这2人的积分之和不少于240分的概率．本题考查频率、概率的求法，考查列举法、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】证明：（1）∵AD⊥平面PAB，AP⊂平面PAB，∴AD⊥AP，∵AP⊥AB，AB∩AD=A，∴AP⊥平面ABCD，∵CD⊂平面ABCD，∴CD⊥AP．解：（2）∵CD⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP=P，∴CD⊥平面PAD，①∵AD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴AB⊥AD，∵AP⊥AB，AP∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，②由①②，得CD∥AB，∵AB⊥AD，∴四边形ABCD是直角梯形，∵AB=2，AD=CD=1，∴S梯形ABCD==，∵AP⊥平面PAB，∴四棱锥P-ABCD的体积==1．梯形【解析】（1）推导出AD⊥AP，AP⊥AB，从而AP⊥平面ABCD，由此能证明CD⊥AP．（2）推导出CD⊥平面PAD，AB⊥平面PAD，从而CD∥AB，进而四边形ABCD 是直角梯形，由此能求出四棱锥P-ABCD的体积．本题考查线线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）设椭圆C的方程为=1，（a＞0，b＞0），∵椭圆左右焦点分别为F1（-1，0）和F2（1，0），且椭圆C经过点M（1，）．∴|MF1|==，|MF2|==，∴2a=|MF1|+|MF2|==4．∴a=2，∴b2=a2-c2=4-1=3，∴椭圆C的标准方程为=1．证明：（2）①直线AB斜率存在，设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，消去y，得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，△=64m2k2-16（3+4k2）（m2-3）＞0.3+4k2-m2＞0，∴ ，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+mk（x1+x2）+m2=，由AD⊥BD，得k AD k BD=-1，∴=-1，∴y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，∴++4=0，∴7m2+16mk+4k2=0，解得，，且均满足3+4k2-m2＞0，当m2=-2k时，直线AB的方程为y=k（x-2），直线过定点（2，0），与已知矛盾，当m2=-时，直线AB的方程为y=k（x-），直线过定点（，0）．②由椭圆的对称性所得，当直线l1，l2的倾斜角分别为45°，135°时，直线l1的方程为y=x-2，直线l2的方程为-x+2，直线l1，l2分别与椭圆交于A（，），B（，-），此时直线AB的斜率不存在，也过定点（，0）．综上，直线AB恒过定点（，0）．【解析】（1）设椭圆C的方程为=1，（a＞0，b＞0），由椭圆左右焦点分别为F1（-1，0）和F2（1，0），且椭圆C经过点M（1，），利用椭圆定义求出a=2，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）直线AB斜率存在，设直线AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，利用根的判别式、韦达定理、直线垂直，结合已知条件求出直线过定点（，0）；由椭圆的对称性所得，当直线l1，l2的倾斜角分别为45°，135°时，直线l1，l2分别与椭圆义于A（，），B（，-），此时直线AB的斜率不存在，也过定点（，0）．由此能证明直线AB恒过定点（，0）．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线过定点的证明，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线垂直等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．21.【答案】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），当a=0时，f′（x）=1+ln x，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，故f（x）极小值=f（）=-；（2）令F（x）=f（x）-g（x）=（x+a）ln x-x2-x（x≥1），则，对于任意x≥1都有f（x）≥g（x），只需F（x）≥0即可，F′（x）=ln x+-ax且F′（1）=0，记G（x）=F′（x）=ln x+-ax（x≥1），G′（x）=--a，由已知a≤0，故对于任意x≥1，都有G′（x）＞0恒成立，又G（1）=F′（1）=0，故F（x）在[1，+∞）递增，故F（x）min=F（1）=--1，由--1≥0，解得：a≤-2，故a≤-2时，对任意x≥1都有f（x）≥g（x）成立．【解析】（1）代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值；（2）令F（x）=f（x）-g（x），对于任意x≥1都有f（x）≥g（x），只需F（x）≥0即可，求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最小值，确定a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．22.【答案】解：（1）∵曲线C1的普通方程为（x-1）2+y2=1，∴曲线C1的圆心极坐标为（1，0），半径为1，∴曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ，∵曲线C2的参数方程为（θ为参数），∴曲线C2的普通方程为=1．（2）当时，ρ=2cosθ=，，（α为倾斜角，t为参数），代入C2的普通方程，整理，得：（3cos2α+1）t2+（2sinα+8cosα）t-11=0，∵曲线C1截直线l′所得的线段的中点（1，1）在C1内，设A，B对应的参数为t1，t2，则t1+t2=0，由韦达定理得t1+t2=-=0，2sinα+8cosα=0，tanα=-4，∴直线l′的斜率为-4．【解析】（1）由曲线C1的普通方程能求出曲线C1的极坐标方程；由曲线C2的参数方程，能求出曲线C2的普通方程．（2）当时，ρ=2cosθ=，，（α为倾斜角，t为参数）代入C2的普通方程，得：（3cos2α+1）t2+（2sinα+8cosα）t-11=0，由此能求出直线l′的斜率．本题考查曲线的极坐标方程和普通方程的求法，考查直线的斜率的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．23.【答案】解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|-|x-2|-2，令f（x）≥0，①当x≤-1时，-（x+1）+（x-2）-2=-5≥0，矛盾；②当-1＜x＜2时，（x+1）+（x-2）-2≥0，所以≤x＜2，③当x≥2时，（x+1）-（x-2）-2≥0，解得x≥2，综上所述，不等式的解集为{x|≤x}．……（6分）（2）因为f（x）=|x-a|-|x-2|-2≥0，|x+a|-|x-2|≥2，……（7分）因为，|x+a|-|x-2|≤|x+a-x+2|=|2+a|所以只需|a+2|≥2，……（8分）解得0≤a或a≤-4，所以a的取值范围为（-∞，-4]∪[0，+∞）．……（10分）【解析】（1）当a=1时，f（x）=|x-1|+|x+2|，①当x≤-1时，②当-1＜x＜2时，③当x≥2时，化简不等式去掉绝对值符号，求解不等式的解集即可．（2）利用绝对值的几何意义，推出|a+2|≥2，求解即可．本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．。

普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟试题(二)数学(文)试题word含答案普通高等学校招生全国统一考试模拟试题——文科数学（二）本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题纸上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 $A=\{x|x-\frac{1}{2}<0\}$，$B=\{x|x-\frac{(2a+8)}{a(a+8)}<0\}$，若 $A\cap B=A$，则实数 $a$ 的取值范围是A。

$(-4,-3)$B。

$[-4,-3]$C。

$(-\infty,-3)\cup(4,+\infty)$D。

$(-3,4)$2.已知复数 $z=\frac{3+i}{2-3i}$，则 $z$ 的实部与虚部的和为A。

$-\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$B。

$-\frac{2}{5}-\frac{1}{5}i$C。

$\frac{2}{5}+\frac{1}{5}i$D。

$\frac{3}{5}+\frac{2}{5}i$3.某景区管理部门为征求游客对景区管理方面的意见及建议，从景区出口处随机选取 $5$ 人，其中 $3$ 人为跟团游客，$2$ 人为自驾游散客，并从中随机抽取 $2$ 人填写调查问卷，则这 $2$ 人中既有自驾游散客也有跟团游客的概率是A。

$\frac{2}{3}$B。

$\frac{1}{5}$C。

$\frac{2}{5}$D。

$\frac{3}{5}$4.已知双曲线 $E:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为$\frac{\sqrt{10}}{3}$，斜率为 $-\frac{3}{2}$ 的直线 $l$ 经过双曲线的右顶点 $A$，与双曲线的渐近线分别交于 $M$，$N$ 两点，点 $M$ 在线段$AN$ 上，则 $\frac{AN}{AM}$ 等于A。

XXX2018年高三下学期期初考试(3月)数学(文)试题2018年全国高三文科数学统一联合考试一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1.已知集合$A=\{x|x\leq1\}$，且$A\cap B=\{0,1\}$，则集合$B$可能是(。

)A.$\{x|x\geq\}$B.$\{x|x>-1\}$C.$\{-1,0,1\}$D.$\{0,1,2\}$2.已知向量$a=(1,2)$，$b=(-1,0)$，则$2a-b=$(。

)A.$17$B.$17\vec{a}$C.$5$D.$25$3.若复数$z$在复平面内对应的点的坐标是$(1,-2)$，则$z=$ (。

)A.$1-2i$B.$1+2i$C.$2-i$D.$-2-i$4.《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的两边同时相向打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.”如果这两只老鼠恰好用了7天把墙打穿，则墙厚为(。

)A.$8255$尺B.$129$尺C.$2079$尺D.$65$尺5.若双曲线$C:-\frac{x^2}{x^2+y^2}=1$的离心率为3，则实数$m=$ (。

)frac{m}{m+1}$A.$1$B.$2$C.$1$或$-2$D.$1$或$2$6.已知命题$p:\exists m\in R$，使得$f(x)=x^2+mx$是偶函数；命题$q:x^2=1\Rightarrow x=1$，现给出下列命题：①$p$；②$q$的逆否命题；③$p\land q$；④$p\lor(\negq)$。

其中真命题的个数为(。

)A.$0$B.$1$C.$2$D.$3$7.如图，网格纸上小正方形的边长为$1$，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为(。

2018届东莞市高三第一次调研考试文科综合试题考查范围：地理：高考考试范围政治：人教版必修一、二历史：中国古代史、世界古代、近代史注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共35小题，每小题4分，共140分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

受土地开发和防洪等因素的影响，城市河流往往被两条水泥堤防牢牢控制。

目前利用废旧轮胎、石笼网与内装碎石土的生态带（生态带由抗腐蚀材料制成，只透水不透土，具有满足植物生长的孔径）联合制成的新型生态河堤受到许多城市的青睐。

读图完成1-3题。

1．铺设废旧轮胎的主要目的是A. 减少河水渗漏，保护水源B. 缩窄河流航道，提高水位C. 固定植物根系，促进生长D. 减缓水流冲刷，保护河岸2．香根草主要用于改善水质，推断其具有的特性是A. 喜阴凉B. 耐旱涝C. 根系横向生长D. 茎干中空而脆3．与传统硬质河岸相比，石笼网与生态带结合可以A. 增加河流水量B. 减少河道淤积C. 缩短使用期限D. 减轻旱涝灾害共享单车在中国迅猛发展，主要覆盖年轻群体。

共享单车在地域分布上，一线城市占比55.1%；二线城市占26.8%；三线城市占比12.3%。

共享单车市场发展过程中，先后出现了“有桩式”公共单车和“无桩式”公共单车（下图）。

据此回答下列各题。

4．影响共享单车地域分布的主导因素是A. 技术B. 市场C. 原料D. 动力5．共享单车的长期发展，对城市产生的主要影响是A. 优化城市空间结构B. 改变城市服务功能C. 缓解城市环境压力D. 扩大城市地域范围加拿大新斯科舍省塞布尔岛表面为细沙覆盖，小岛四周布满流沙浅滩，水深约2至4米，因每年平均移动100米而为人称奇。

2018-2019学年广东省东莞市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请用28铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．）1．（5分）设集合S＝，T＝{x|23x﹣1＜1}，则S∩T＝（）A．∅B．C．D．2．（5分）已知复数z满足：z•（1+i）＝2（i为虚数单位），则|z|＝（）A．2B．C．﹣1﹣i D．1﹣i3．（5分）假设东莞市市民使用移动支付的概率都为p，且每位市民使用支付方式都相互独立的，已知X是其中10位市民使用移动支付的人数，且EX＝6，则p的值为（）A．0.4B．0.5C．0.6D．0.84．（5分）已知向量＝（l，1），＝（2，x），⊥（﹣），则实数x的值为（）A．﹣2B．0C．1D．25．（5分）函数的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）已知某几何体的三视图如图所示（侧视图中曲线为四分之一圆弧），则该几何体的体积为（）A．1﹣B．3+C．2+D．47．（5分）二项式的展开式的常数项为（）A．±15B．15C．±20D．﹣208．（5分）在各项均为正数的等比数列{b n}中，若b4•b6＝4，则log2b1+log2b2+…+log2b9＝（）A．6B．7C．8D．99．（5分）过点（0，1）且倾斜角为的直线l交圆x2+y2﹣6y＝0于A，B两点，则弦AB 的长为（）A．B．2C．2D．410．（5分）已知直线y＝kx+l与曲线y＝lnx相切，则k＝（）A．B．C．e D．e211．（5分）已知奇函数f（x）的导函数为f'（x），且f（﹣1）＝0，当x＞0时f（x）+xf'（x）＞0恒成立，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围为（）A．（0，l）∪（﹣1，0）B．（﹣1，+∞）∪（0，1）C．（1，+∞）∪（﹣1，0）D．（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）12．（5分）圆锥SO（其中S为顶点，O为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2：1．则圆锥SO与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（）A．9：32B．8：27C．9：22D．9：28二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．）13．（5分）设随机变量X～N（1，δ2），且P（X＞2）＝，则P（0＜X＜1）＝．14．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，己知a＝3，C＝，△ABC 的面积为3，则边c＝15．（5分）实数x，y满足，且z＝3x﹣y，则z的最小值为．16．（5分）已知函数f（x）＝sin x•cos2x（x∈R），则f（x）的最小值为三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．）17．（12分）己知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝8，S5＝60．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求的值．18．（12分）如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a cos B+b＝2c．（1）求角A的大小：（2）若AC边上的中线BD的长为，且AB⊥BD，求BC的长．19．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，P A⊥底面ABCD，点M是PC上的一个动点，P A＝AB，∠DAB＝．（1）当PC⊥DM时，求证：PC⊥BM；（2）当P A∥平面MBD时，求二面角P﹣BD﹣M的余弦值．20．（12分）如表提供了工厂技术改造后某种型号设备的使用年限x和所支出的维修费Y（万元）的几组对照数据：（1）若知道y对x呈线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x 的线性回归方程＝x+；（2）已知该工厂技术改造前该型号设备使用10年的维修费用为9万元，试根据（1）求出的线性回归方程，预测该型号设备技术改造后，使用10年的维修费用能否比技术改造前降低？参考公式：＝，＝﹣．21．（12分）己知函数，函数g（x）＝xf（x）+2x2．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b，求g（x l）一g（x2）的最小值．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求直线l与曲线C1公共点的极坐标；（2）设过点的直线l'交曲线C1于A，B两点，且AB的中点为P，求直线l'的斜率．[选修4-5：不等式选讲」（本小题满分0分）23．设函数f（x）＝|x+a|﹣|x﹣2|﹣2．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）∃x∈R，使得f（x）≥0，求a的取值范围．2018-2019学年广东省东莞市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请用28铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．）1．【解答】解：；∴．故选：D．2．【解答】解：由z•（1+i）＝2，得z＝，∴|z|＝．故选：B．3．【解答】解：假设东莞市市民使用移动支付的概率都为p，且每位市民使用支付方式都相互独立的，已知X是其中10位市民使用移动支付的人数，且EX＝6，则X～B（10，p），∴EX＝10p＝6，解得p＝0.6．∴p的值为0.6．故选：C．4．【解答】解：；∵；∴；∴x＝0．故选：B．5．【解答】解：函数f（x）＝，可得：f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，排除A；∵f（1）＝＜0，故排除B，C故选：D．6．【解答】解：根据几何体的三视图，转换为几何体：相当于把棱长为1的正方体切去一个以1为半径的个圆柱．故：V＝．故选：A．7．【解答】解：项式的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•x6﹣3r，令6﹣3r ＝0，求得r＝2，可得展开式的常数项为＝15，故选：B．8．【解答】解：各项均为正数的等比数列{b n}中，若b4•b6＝4，，所以：b5＝2则：b1•b9＝b2•b8＝b3•b7＝b4•b6＝4所以：log2b1+log2b2+…+log2b9，＝log2（b1•b2…b8•b9），＝log2（4•4•4•4•2），＝9，故选：D．9．【解答】解：根据题意，直线l的倾斜角为且过点（0，1），则直线l的方程为y＝x+1，即x﹣y+1＝0，圆x2+y2﹣6y＝0，即x2+（y﹣3）2＝9，圆心为（0，3），半径r＝3，则圆心（0，3）到直线l的距离d＝＝1，则弦AB的长为2×＝4；故选：D．10．【解答】解：∵y＝lnx，∴y′＝f′（x）＝，设切点为（m，lnm），得切线的斜率为k＝f′（m）＝，即曲线在点（m，lnm）处的切线方程为：y﹣lnm＝（x﹣m）．即y＝x+lnm﹣1，∵直线y＝kx+1与曲线y＝lnx相切，∴＝k，且lnm﹣1＝1，即lnm＝2，则m＝e2，则k＝．故选：A．11．【解答】解：由题意可设g（x）＝xf（x），则g′（x）＝xf′（x）+f（x），∵当x＞0时，有xf′（x）+f（x）＞0，∴则当x＞0时，g′（x）＞0，∴函数g（x）＝xf（x）在（0，+∞）上为增函数，∵函数f（x）是奇函数，∴g（﹣x）＝（﹣x）f（﹣x）＝（﹣x）[﹣f（x）]＝xf（x）＝g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数，由f（﹣1）＝0得，g（﹣1）＝0，函数g（x）的图象大致如图：∵不等式f（x）＞0⇔＞0，∴或，由函数的图象得，﹣1＜x＜0或x＞1，∴使得f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞），故选：C．12．【解答】解：设圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，圆锥的外接球的半径为R，由于圆锥SO的侧面积与底面积之比为2：1，则πrl＝2πr2，所以，l＝2r，则圆锥SO的高为，所以，圆锥SO的外接球的直径为，∴，圆锥SO的体积为，它的外接球的体积为，因此，圆锥SO与它外接球的体积比为．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应的位置上．）13．【解答】解：由随机变量X～N（1，δ2），可得μ＝1，又P（X＞2）＝，∴P（0＜X＜1）＝．故答案为：．14．【解答】解：∵a＝3，C＝，△ABC的面积为3＝ab sin C＝＝，∴b＝4，∴c＝＝＝．故答案为：．15．【解答】解：如图作出阴影部分即为满足实数x，y满足的可行域，当直线z＝3x﹣y平移到点A时，z＝3x﹣y取最小值，∴当x＝﹣4，y＝﹣1时，z＝3x﹣y取最小值为：﹣11．故答案为：﹣11．16．【解答】解：f（x）＝sin x cos2x＝sin x（1﹣2sin2x）＝sin x﹣2sin3x，设t＝sin x，则t∈[﹣1，1]，∴f（t）＝﹣2t3+t，t∈[﹣1，1]，∴f′（t）＝﹣6t2+1，令f′（t）＝0，解得t＝±，当x∈[﹣1，﹣），（，1]时，f′（t）＜0，则函数f（t）单调递减，当x∈（﹣，）时，f′（t）＞0，则函数f（t）单调递增，∵f（1）＝﹣2+1＝﹣1，f（﹣）＝1﹣，∴f（x）的最小值为f（1）＝﹣1，故答案为：﹣1三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．）17．【解答】解：（1）设首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝8，S5＝60．故：，解得：a1＝4，d＝4，故：a n＝4+4（n﹣1）＝4n．（2）由于：a n＝4n，所以：，所以：，故：＝＝．18．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵2a cos B+b＝2c，∴由正弦定理可得：2sin A cos B+sin B＝2sin C，∴可得：2sin A cos B+sin B＝2sin C＝2sin（A+B）＝2sin A cos B+2cos A sin B，∴sin B＝2cos A sin B，…2分∵sin B≠0，∴cos A＝，…4分∵A∈（0，π），∴A＝…6分（2）在Rt△ABD中，AD＝＝＝2，AB＝＝1，…8分∵D为AC的中点，∴AC＝2AD＝4，…9分在△ABC中，BC2＝42+12﹣2×＝13，…11分∴BC＝…12分19．【解答】证明：（1）∵P A⊥底面ABCD，DB⊂底面ABCD，∴P A⊥BD．又底面ABCD为菱形，连接AC交BD于O，∴AC⊥BD，∵AC∩P A＝A，AC⊂面P AC，P A⊂面P AC，∴BD⊥面P AC．BD⊥PC．又PC⊥DM，DM∩BD＝D，∴PC⊥面MBD，∴PC⊥BM．解：（2）由（1）得BD⊥面P AC，∴PO⊥BD，OM⊥BD，PO⊂面PBD，MO⊂面BDM．∴∠POM就是二面角P﹣BD﹣M的平面角，cos＝sin∠POA＝．∴二面角P﹣BD﹣M的余弦值为．20．【解答】解：（1）根据表中所给数据可得：，，，．∴，．∴y关于x的线性回归方程为；（2）由（1）得：当x＝10时，，即技术改造后，使用10年的维修费用为8.1万元．相比技术改造前，该型号的设备维修费降低了0.9万元．21．【解答】解：（1）由，得f′（x）＝，由f′（x）＜0，解得：x＞e，由f′（x）＞0，解得：0＜x＜e．∴f（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）；（2）∵g（x）＝xf（x）+2x2＝lnx+2x2+bx，∴g′（x）＝．令g′（x）＝0，得4x2+bx+1＝0，由于△＝．设方程两根分别为x1，x2，则．＝＝＝．设，则，∵0＜x1＜x2，∴t＝∈（0，1），又b，∴，∴．整理得：12t2﹣145t+12≥0，解得t或t≥12．∴t∈（0，]．h′（t）＝＜0．∴h（t）在（0，]上单调递减．则．故g（x l）﹣g（x2）的最小值是．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）∵曲线C1的参数方程为（θ为参数），∴曲线C1的普通方程为（x﹣1）2+y2＝1，∵直线l的极坐标方程为，∴直线l的普通方程为y＝x，联立，解得或，∴直线l与曲线C1的公共点的极坐标为（0，0），（，）．（2）依题意，设直线l′的参数方程为（α为倾斜角，t为参数），代入（x﹣1）2+y2＝1，整理，得：t2+（cosα+sinα）t﹣＝0，∵AB的中点为P，∴t1+t2＝0，∴cosα+sinα＝0，即tanα＝﹣1，∴直线l'的斜率为﹣1．[选修4-5：不等式选讲」（本小题满分0分）23．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|﹣2，令f（x）≥0，①当x≤﹣1时，﹣（x+1）+（x﹣2）﹣2＝﹣5≥0，矛盾；②当﹣1＜x＜2时，（x+1）+（x﹣2）﹣2≥0，所以≤x＜2，③当x≥2时，（x+1）﹣（x﹣2）﹣2≥0，解得x≥2，综上所述，不等式的解集为{x|≤x}．……（6分）（2）因为f（x）＝|x﹣a|﹣|x﹣2|﹣2≥0，|x+a|﹣|x﹣2|≥2，……（7分）因为，|x+a|﹣|x﹣2|≤|x+a﹣x+2|＝|2+a|所以只需|a+2|≥2，……（8分）解得0≤a或a≤﹣4，所以a的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）．……（10分）。

2=a :p 相切的与圆直线）（1=+=+22a -y x 0y x :q2018届东莞市高三第三次调研考试试题文科数学注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}016≤+-=)x )(x (x A ，集合{}2≤=x x B ，R 为实数集，则=)B (A CRA ．[]21,-B ．[)21,-C ．(]62,D ．[]32,2.已知()R b ,a i b iia ∈+=+2其中i 为虚数单位，则=+b a A ． -1 B ． 1 C ． 2 D ． 33.已知向量与满足)(,||,a |⊥-==22，则向量与的夹角为 A ．125π B ．3π C ．4π D ．6π 4.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A ．54 B ．53 C ．52 D ．51 5.命题 是命题 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6．已知输入实数12x =，执行如左下图所示的流程图，则输出的x 是 A ． 25 B ． 102 C ． 103 D ． 517.某几何体的三视图如右下图所示（格纸上小正方形的边长为1），则此几何体的体积为 A ． 6 B ． 9 C ． 12 D ．188.设函数()2sin(),f x x x ωϕ=+∈R ，其中0,||πωϕ><．若5π11π()2,()0,88f f ==且()f x 的最小正周期大于2π，则A.2π,312ωϕ== B.211π,312ωϕ==- C.111π,324ωϕ==- D.17π,324ωϕ== 9．已知x ,y 满足条件04010x y x y x -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则x y的最大值是A ． 1B ． 2C ． 3D ． 410.中国古代数学著作《算法统宗》有这样一个问题： “三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。

2018届广州市高三年级调研测试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}230B x x x =->，则AB =A. {}1-B. {}1,0-C. {}1,3-D. {}1,0,3-【答案】A 【解析】由B 中不等式变形得()30x x ->，解得0x <或3x >，即{|0B x x =<或}3x >，{}1,0,1,2,3A =-，{}1A B ∴=-，故选A.2.若复数z 满足()1i 12i z -=+，则z =A.52B.32D.2【答案】C 【解析】由()1i 12z i -=+，得()()()()121i 1213i 131i 1i 1i 222i i z i +++-+====-+--+∴z ==故选：C3.已知α为锐角，cos α=，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A.13 B. 3C. 13-D. 3-【答案】A 【解析】∵α为锐角，cos α=∴sin α=tan?2α= tan?11tan 41tan?3πααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭,故选：A4.设命题p ：1x ∀< ，21x <，命题q ：00x ∃> ，012xx >，则下列命题中是真命题的是 A. p q ∧ B. ()p q ⌝∧ C. ()p q ∧⌝D. ()()p q ⌝∧⌝【答案】B 【解析】当2x =-时，241x =>，显然命题p 为假命题；当01x =时，01221x x =>=，显然命题q 为真命题； ∴p ⌝为真命题，q ⌝为假命题 ∴()p q ⌝∧为真命题 故选:B5.已知变量x ，y 满足202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，，，则2z x y =+的最大值为A. 5B. 4C. 6D. 0【答案】B 【解析】作出约束条件表示的可行域如图：由z=2x+y 得y=﹣2x+z ．由图形可知当直线y=﹣2x+z 经过C 点时，直线的截距最大，即z 最大．解方程组20230x y x y -=⎧⎨-+=⎩，得C （1，2）．∴z 的最大值为z=2×1+2=4． 故选：B ．点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6.如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πθ=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是( )C.14D.12【答案】A 【解析】观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，1-,面积为4-；=故答案为：A7.△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b =4c =，3cos 4B =，则△ABC 的面积等于A. B.2C. 9D.92【答案】B【解析】由余弦定理得：2222ca?cos b c a B =+-，即27166a a =+-，解得：a 3=∴ABC11casinB 432242S==⨯⨯⨯=故选：B8.在如图的程序框图中，()i f x '为()i f x 的导函数，若0()sin f x x =，则输出的结果是A. sin xB. cos xC. sin x -D. cos x -【答案】C 【解析】 ∵()0sin f x x =，f 1(x )=cos x ， f 2(x )=−sin x ， f 3(x )=−cos x ， f 4(x )=sin x ， f 5(x )=cos x .∴题目中的函数为周期函数，且周期T =4， ∴f 2018(x )=f 2(x )= −sin x . 故选：C.点睛：法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为1CC 的中点，点N 为线段1DD 上靠近1D 的三等分点，平面BMN 交1AA 于点Q ，则AQ 的长为 A.23B.12C.16D.13【答案】D 【解析】如图，将MB 平移至',M A N 为靠近1DD 的三个等分点处，123D N ∴=，M 为1CC 的中点，'M ∴也为1D D 中点，11'1,'3D M NM ∴=∴=，根据四点共面，//'QN AM ，1'3AQ NM ∴==，故选D.10.将函数2sin cos 33y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则ϕ的最小值为 A.12πB.6πC.4π D.3π 【答案】B 【解析】将函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移()0ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数： ()2sin 23y x πϕ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，又其为奇函数， ∴2sin 203πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()22k πZ 3k πϕ+=∈，，k π23πϕ=-，()Z k ∈，又0ϕ> 当k 1=时，ϕ的最小值为6π 故选：B11.在直角坐标系xOy 中，设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，P 为双曲线C 的右支上一点，且△OPF 为正三角形，则双曲线C 的离心率为A. 1+ D. 2+【答案】A 【解析】由题意易知：2c P ⎛ ⎝⎭，代入双曲线方程得：22223144c c a b -=∴42840e e -+=，∴24e =±e 1=±，又e 1>∴e 1=+ 故选：A点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12.如图，格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为A.112π B. 6π C. 11π D. 12π【答案】C 【解析】如图所示，该几何体为三棱锥E FGH -.△EFG 的外接圆直径2r=EGsin EFG∠=∴外接球半径为2= ∴该三棱锥的外接球的表面积为11π 故选：C点睛：求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量(),2x x =+a ，()3,4=b ，若//a b ，则向量a 的模为____． 【答案】10 【解析】∵//a b ，且(),2a x x =+，()3,4b =， ∴()4x 32x -+=0 ∴x 6=，即()6,8a =∴10a == 故答案为：1014.已知函数2()21x x f x a =+-为奇函数，则实数a =________．【答案】12-【解析】∵()221xx f x a =+-为奇函数∴()()110f f +-= 即2+a-1+a=0 ∴12a =-故答案为：12-15.已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为_________． 【答案】1ln2+ 【解析】【详解】设切点为()mlnm m ，1ln y x '=+, 1ln x m y m ==+'∴()()y mlnm 1m m ln x -=+- 即()y 1m m ln x =+-，又2y kx =-∴12lnm km +=⎧⎨=⎩，即1ln2k =+故答案为：1ln2+点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)P x y 及斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000'()()y y f x x x -=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．16.在直角坐标系xOy 中，已知直线0x +-=与椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>相切，且椭圆C的右焦点(),0F c 关于直线cy x b=的对称点E 在椭圆C 上，则△OEF 的面积为________． 【答案】1 【解析】在RT△ODF 中，tan DOF OF c c b ∠==，，∴2OD ,bc c FD a a ==,∴2122EF E c bcF a a，==， 又1EF ?E 2a F +=，即2222a b c c bca a +==，设b c m a ===，，则2222x y m +=，22220x y m x ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，得到：2224y 40y m -+-= 由0=，解得：m =OD 1EF 2==，，∴S=1故答案为：1三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分．17.已知数列{}n a 满足()21*1234444n n na a a a n N -++++=∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设421n nn a b n =+，求数列{}1n n b b +的前n 项和n T .【答案】(1)*1=()4n na n ∈N ；(2)69nn T n =+. 【解析】 试题分析：(1) 因为221*123-144+44,4n n n n n a a a a a n N --++++=∈，所以22123-1-1444,24n n n a a a a n -++++=≥．易得：1=4n n a ；(2)利用裂项相消法求数列{}1n n b b +的前n 项和n T ． 试题解析：（1）当1n =时，114a =． 因为221*123-144+44,4n n n n na a a a a n N --++++=∈， ①所以22123-1-1444,24n n n a a a a n -++++=≥． ②①－②得1144n n a -=． 所以()*1=2,4n n a n n N ≥∈． 由于114a =也满足上式，故()*1=4n n a n N ∈．（2）由（1）得421n nn a b n =+=121n +．所以()()11111=212322123n n b b n n n n +⎛⎫=- ⎪++++⎝⎭．故1111111235572123n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪++⎝⎭ 111232369nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． 18.如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ABCD 底面⊥，ED PA ∥，且22PA ED ==．（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（2）若60ABC ∠=？,求三棱锥P ACE -的体积．【答案】（1）见解析（2【解析】试题分析：(1)要证平面PAC ⊥平面PCE ，即证EF ⊥平面PAC ，又BD EF ，即证BD ⊥平面PAC ，进而转证线线垂直； (2)利用等积法求几何体的体积. 试题解析： （1）证明：连接，交于点O ，设PC 中点为，连接OF ，EF ．因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点，所以OFPA ，且12OF PA =， 因为DE PA ，且12DE PA =，所以OF DE ，且OF DE =．所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF ，即BD EF ． 因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥． 因为ABCD是菱形，所以BD AC ⊥．因为PA AC A ⋂=，所以BD ⊥平面PAC ． 因为BD EF ，所以EF ⊥平面PAC ．因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ．（2）解法：因为60ABC ∠=，所以△ABC 是等边三角形，所以2AC =． 又因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥． 所以122PAC S PA AC ∆=⨯=． 因为EF ⊥面PAC ，所以EF 是三棱锥E PAC -的高． 因为EF DO BO ===所以13P ACE E PACPAC V VS EF --∆==⨯ 1233=⨯=． 点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．19.某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0．01）．（若||0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．附：相关系数公式()()niix x y y r --=∑0.55≈0.95≈．【答案】(1) 0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系． (2) 4600元． 【解析】试题分析：(1)由折线图，可得,x y ，依次算得()521ii x x =-∑，()521ij y y =-∑，()()51iii x x y y =--∑，可求得r 0.950.75=≈>, 所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.(2)分别计算安装1台，2台时所获周利润值（期望值），数值大的为所选择。

2018年广东省东莞市高考数学三调试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A={x|(x−6)(x+1)≤0}，集合B={x|x≥2}，R为实数集，则A∩(∁R B)=()A.[−1, 2]B.[−1, 2)C.(2, 6]D.[2, 3]2. 已知a+2ii=b+i(a, b∈R)，其中i为虚数单位，则a+b＝（）A.−1B.1C.2D.33. 若平面向量a→、b→满足|a→|=√2，|b→|=2，(a→−b→)⊥a→，则a→与b→的夹角是（）A.5 12πB.π3C.π6D.π44. 有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为________.5. 命题p:a=√2是命题q：直线x+y=0与圆x2+(y−a)2=1相切的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 已知输入实数x=12，执行如图所示的流程图，则输出的x是（）A.25B.102C.103D.517. 某几何体的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则此几何体的体积为（）A.6B.9C.12D.180，且f(x)的最小正周期大于2π，则( ) A.ω=23，φ=π12 B.ω=23，φ=−11π12 C.ω=13，φ=−11π24D.ω=13，φ=7π249. 已知x ，y 满足条件{x −y ≤0x +y −4≤0x −1≥0，则yx 的最大值是（ ）A.1B.2C.3D.410. 中国古代数学著作《算法统宗》有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6 天后达到目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ） A.4 里 B.5 里 C.6 里 D.8 里11. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0, b >0)，过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A.(1, 32) B.(1, 2) C.(32, +∞)D.(2, +∞)12. 已知函数y ＝f(x)的定义域为{x|x ∈R, 且x ≠0}，满足f(x)+f(−x)＝0，当x >0时，f(x)＝1nx −x +1，则函数y ＝f(x)的大致图象为（ ）B ．A. C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．已知a∈R，设函数f(x)=ax−lnx的图象在点（1, f(1)）处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=5,B=π3,cosA=1114，则△ABC的面积S=________．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e2，则lna1+lna2+...+lna20=________在三棱锥V−ABC中，面VAC⊥面ABC，VA=AC=2，∠VAC=120∘，BA⊥BC则三棱锥V−ABC的外接球的表面积是________．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c⋅cosB−b=2a．(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)设角A的平分线交BC于D，且AD=√3，若b=√2，求△ABC的面积．某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y（百斤）与使用某种液体肥料x（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0.01）．（若|r|>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如下关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．附：相关系数公式r=ni=1i i√∑(ni=1x i−x)2√∑(ni=1y i−y)2，参考数据√0.3≈0.55，√0.9≈0.95．如图1，在高为2的梯形ABCD 中，AB // CD ，AB =2，CD =5，过A 、B 分别作AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ．已知DE =1，将梯形ABCD 沿AE 、BF 同侧折起，使得AF ⊥BD ，DE // CF ，得空间几何体ADE −BCF ，如图2．(1)证明：BE // 面ACD ；(2)求三棱锥B −ACD 的体积．已知椭圆C 1以直线mx +y −√5=0所过的定点为一个焦点，且短轴长为4． (1)求椭圆C 1的标准方程；(2)已知椭圆C 2的中心在原点，焦点在y 轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C 1的长轴和短轴的长的λ倍(λ>1)，过点C(−1, 0)的直线l 与椭圆C 2交于A ，B 两个不同的点，若AC →=2CB →，求△OAB 的面积取得最大值时直线l 的方程．已知函数g(x)=lnx +2x +ax (a ∈R)．(1)讨论g(x)的单调性；(2)若f(x)=1x+1[g(x)−2x −ax ]+1x ．证明：当x >0，且x ≠1时，f(x)>lnxx−1． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．答题时请写清题号并将相应信息点涂黑．[选修4-4]参数方程与极坐标系在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =tcosαy =2+tsinα (t 为参数，0≤α<π)，曲轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）设C与l交于M，N两点（异于原点），求|OM|+|ON|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝x|x−a|，a∈R．（1）若f(1)+f(−1)>1，求a的取值范围；|+|y−a|恒成立，求a （2）若a>0，对∀x，y∈(−∞, a]，都有不等式f(x)≤|y+54的取值范围．参考答案与试题解析2018年广东省东莞市高考数学三调试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】 B【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】可先求出A =[−1, 6]，然后进行补集、交集的运算． 【解答】A =[−1, 6]，∁RB =(−∞, 2)； ∴ A ∩(∁R B)=[−1, 2)． 2.【答案】 B【考点】 复数的运算 【解析】先化简复数，再利用复数相等，解出a 、b ，可得结果． 【解答】 由a+2i i=b +i 得a +2i ＝bi −1，所以由复数相等的意义知a ＝−1，b ＝2，所以a +b＝1 另由a+2i i=b +i 得−ai +2＝b +i(a, b ∈R)，则−a ＝1，b ＝2，a +b ＝（1）故选：B ． 3.【答案】 D【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】求出a →∗b →，代入夹角公式计算． 【解答】∵ (a →−b →)⊥a →，∴ (a →−b →)⋅a →=0，即a →2−a →∗b →=0，∴ a →∗b →=a →2=2，∴ cos <a →,b →>=a →∗b→|a →|∗|b →|=√22，∴ a →,b →的夹角是π4．4.【答案】 2【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】本题考查古典概型．【解答】解：从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红,黄)，(红,蓝)，(红,绿)，(红,紫)，(黄,蓝)，(黄,绿)，(黄,紫)，(蓝,绿)，(蓝,紫)，(绿,紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红,黄)，(红,蓝)，(红,绿)，(红,紫)，共4种，故所求概率P=410=25．故答案为：25.5.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断直线与圆的位置关系【解析】根据直线和圆相切得到关于a的方程，解出即可．【解答】若直线和圆相切，则圆心(0, a)到直线x+y=0的距离d=√2=1，解得：a=±√2，故a=√2是a=±√2的充分不必要条件，6.【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】模拟程序的运行，可得x=12，n=1满足条件n≤3，执行循环体，x=25，n=2满足条件n≤3，执行循环体，x=51，n=3满足条件n≤3，执行循环体，x=103，n=4不满足条件n≤3，退出循环，输出x的值为1(03)7.B【考点】由三视图求体积【解析】几何体是三棱锥，画出其直观图，判断数据所对应的几何量，代入体积公式计算．【解答】由三视图知：几何体是三棱锥，且三棱锥的一个侧棱SB与底面ABC垂直，其直观图如图：由三视图的数据可得OA＝OB＝OC＝BS＝3，∴几何体的体积V=13×12×6×3×3=9．8.【答案】A【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】由题意求得T4，再由周期公式求得ω，最后由若f(5π8)=2求得φ值．【解答】解：由f(x)的最小正周期大于2π，得T4>π2，又f(5π8)=2，f(11π8)=0，得T4=11π8−5π8=3π4，∴T=3π，则2πω=3π，即ω=23．∴f(x)=2sin(ωx+φ)=2sin(23x+φ)，由f(5π8)=2sin(23×5π8+φ)=2，得sin(φ+5π12)=1．∴φ+5π12=π2+2kπ，k∈Z．取k=0，得φ=π12<π．∴ω=23，φ=π12．故选A.9.【答案】C【考点】简单线性规划由约束条件作出可行域，再由yx 的几何意义，即可行域内的动点与原点连线的斜率求解． 【解答】由约束条件{x −y ≤0x +y −4≤0x −1≥0 作出可行域如图，联立{x =1x +y −4=0，解得A(1, 3)， ∵ z =y x =y−0x−0，如图所示，经过原点(0, 0)与A 的直线斜率最大为3， ∴ yx 的最大值是3． 10.【答案】 C【考点】等差数列的通项公式 等差数列的前n 项和 【解析】每天走的路形成等比数列{a n }，q =12，S 6=378．利用求和公式即可得出． 【解答】每天走的路形成等比数列{a n }，q =12，S 6=378． ∴ S 6=378=a 1[1−(12)6brack1−12，解得a 1=192．∴ 该人最后一天走的路程=a 1q 5=192×(12)5=6．11.【答案】 B【考点】双曲线的离心率 【解析】由右顶点M 在以AB 为直径的圆的外，得|MF|>|AF|，将其转化为关于a 、b 、c 的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e 2−e −2<0，解之即可得到此双曲线的离心率e 的取值范围． 【解答】因此，设A(−c, y0)，B(−c, −y0)，∴c2a2−y02b2=1，解之得y0=b2a，得|AF|=b2a，∵双曲线的右顶点M(a, 0)在以AB为直径的圆外，∴|MF|>|AF|，即a+c>b2a，将b2＝c2−a2，并化简整理，得2a2+ac−c2>0两边都除以a2，整理得e2−e−2<0，∵e>1，∴解之得1<e<(2)12.【答案】D【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据条件判断函数的奇偶性，利用特殊值的符号进行排除即可．【解答】由f(x)+f(−x)＝0得f(−x)＝−f(x)，即函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，当x>0时，f(x)＝1nx−x+1，则f(1)＝ln1−1+1＝0，f(e)＝lne−e+1＝1−e+1＝−e<0，排除B，故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【答案】1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程直线的点斜式方程【解析】本题主要考查导数的几何意义及直线的截距．【解答】解：因为f′(x)=a−1x，所以f′(1)=a−1，又f(1)=a，所以切线l的方程为y−a=(a−1)(x−1)，令x=0，得y=1．故答案为：1．【答案】10√3【考点】解三角形正弦定理【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA，由正弦定理可得b的值，由余弦定理可得：0=c2−5c−24，解得c的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．解:△ABC 中，∵ cosA =1114，可得：sinA =√1−cos 2A =5√314， ∴ 由正弦定理可得：b =a⋅sinB sinA =5×√325√314=7，∴ 由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB ，可得：49=25+c 2−5c ，解得：c =8或−3（舍去）， ∴ S △ABC =12acsinB =12×5×8×√32=10√3．故答案为：10√3.【答案】 20【考点】等比数列的性质 【解析】由等比数列{a n }的性质可得：a 1a 20=a 2a 19=……，由a 10a 11+a 9a 12=2e 2，可得a 1a 20=e 2．再利用对数运算性质即可得出． 【解答】由等比数列{a n }的性质可得：a 1a 20=a 2a 19=……， ∵ a 10a 11+a 9a 12=2e 2， ∴ a 1a 20=e 2．则lna 1+lna 2+...+lna 20=ln(a 1a 2……a 20)=ln(a 1a 20)10=10lne 2=20． 【答案】 16π【考点】球的体积和表面积 【解析】设AC 中点为M ，VA 中点为N ，过M 作面ABC 的垂线，球心O 必在该垂线上，连接ON ，则ON ⊥AV ．可得OA =2，即三棱锥V −ABC 的外接球的半径为2，即可求出三棱锥的外接球表面积． 【解答】如图，设AC 中点为M ，VA 中点为N ，∵ 面VAC ⊥面ABC ，BA ⊥BC ，∴ 过M 作面ABC 的垂线， 球心O 必在该垂线上，连接ON ，则ON ⊥AV ． 在Rt △OMA 中，AM =1，∠OAM =60∘，∴ OA =2，即三棱锥V −ABC 的外接球的半径为2， ∴ 三棱锥V −ABC 的外接球的表面积S =4πR 2=16π．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．【答案】(Ⅰ)根据题意，若2c ⋅cosB −b =2a ， 则有2c ×a 2+c 2−b 22ac =2a +b ，整理得a 2+b 2−c 2=−ab ， cosC =a 2+b 2−c 22ab=−ab 2ab=−12，又在△ABC中，0<C<π，∴C=2π3，即角C的大小为2π3；(Ⅱ)由(Ⅰ)C=2π3，在△ADC中，AC=b=√2，AD=√3，由正弦定理得in∠CDA=AC∗sinCAD =√2√3×√32=√22，∵在△ADC中，0<∠CDA<π，C为钝角，∴∠CDA=π4，故∠CAD=π−2π3−π4=π12．∵在△ABC中，AD是角A的平分线，∴∠CAB=π6，∴△ABC是等腰三角形，BC=AC=√2，故△ABC的面积S=12BC∗ACsin2π3=12×√2×√2×√32=√32．【考点】余弦定理【解析】(Ⅰ)结合题意，由余弦定理可得2c×a2+c2−b22ac =2a+b，变形可得cosC=a2+b2−c22ab=−ab 2ab =−12，有C的范围，分析可得答案；(Ⅱ)根据题意，由正弦定理分析可得sin∠CDA的值，即可得∠CDA的值，由三角形内角和定理可得∠ACD的值，进而分析可得△ABC是等腰三角形，且BC=AC=√2，由三角形面积公式计算可得答案．【解答】(Ⅰ)根据题意，若2c⋅cosB−b=2a，则有2c×a2+c2−b22ac=2a+b，整理得a2+b2−c2=−ab，cosC=a2+b2−c22ab =−ab2ab=−12，又在△ABC中，0<C<π，∴C=2π3，即角C的大小为2π3；(Ⅱ)由(Ⅰ)C=2π3，在△ADC中，AC=b=√2，AD=√3，由正弦定理得in∠CDA=AC∗sinCAD =√2√3×√32=√22，∵在△ADC中，0<∠CDA<π，C为钝角，∴∠CDA=π4，故∠CAD=π−2π3−π4=π12．∵在△ABC中，AD是角A的平分线，∴∠CAB=π6，∴△ABC是等腰三角形，BC=AC=√2，故△ABC的面积S=12BC∗ACsin2π3=12×√2×√2×√32=√32．由已知数据可得x =2+4+5+6+85=5，y =3+4+4+4+55=4．因为∑5i=1(x i −x)(y i −y)=(−3)×(−1)+0+0+0+3×1=6，∑5i=1(x i −x)2=20√∑(y i −y)25i=1=√(−1)2+02+02+02+12=√2． 所以相关系数r =n i=1i i √∑(x i −x)2n i=1√∑(y i −y)2n i=1=2√5∗√2=√910≈0.95． 因为r >0.75，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．记商家周总利润为y 元，由条件可得在过去50周里：当X >70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行， 周总利润Y =1×3000−2×1000=1000元．当50≤X ≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行， 周总利润Y =2×3000−1×1000=5000元．当X <50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行， 周总利润Y =3×3000=9000元．所以过去50周周总利润的平均值Y =1000×10+5000×35+9000×550=4600元，所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元． 【考点】求解线性回归方程 【解析】（1）由题中所给的数据求得线性回归方程，然后进行预测即可； （2）由题意分类讨论X 的范围，求解即可． 【解答】由已知数据可得x =2+4+5+6+85=5，y =3+4+4+4+55=4．因为∑5i=1(x i −x)(y i −y)=(−3)×(−1)+0+0+0+3×1=6，∑5i=1(x i −x)2=20√∑(y i −y)25i=1=√(−1)2+02+02+02+12=√2． 所以相关系数r =n i=1i i √∑(x i −x)2n i=1√∑(y i −y)2n i=1=25∗2=√910≈0.95． 因为r >0.75，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．记商家周总利润为y 元，由条件可得在过去50周里：当X >70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行， 周总利润Y =1×3000−2×1000=1000元．当50≤X ≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行， 周总利润Y =2×3000−1×1000=5000元．当X <50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行， 周总利润Y =3×3000=9000元．所以过去50周周总利润的平均值Y =1000×10+5000×35+9000×550=4600元，所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元．(1)证明：连接BE交AF于O，取AC的中点H，连接OH，如图：则OH是△AFC的中位线，∴OH // CF，OH=12CF．由已知得DE // CF，DE=12CF，∴DE // OH，DE＝OH，连接DH，则四边形DHOE是平行四边形，∴EO // DH，又∵EO面ADC，DH⊂面ADC，∴EO // 面ACD，即BE // 面ACD.(2)解：取CF中点为G，连接DG，BG，不难得：GB // 面ADC，∴V B−ACD=V E−ACD，由已知得，四边形ABFE为正方形，且边长为2，则在图2中，AF⊥BE，由已知AF⊥BD，且BE∩BD=B，可得AF⊥平面BDE，又DE⊂平面BDE，∴AF⊥DE，又AE⊥DE，AF∩AE=A，∴DE⊥平面ABFE，且AE⊥EF，∴AE⊥面CDE，∴AE是三棱锥A−DEC的高，∵四边形DEFC是直角梯形．且AE=2，DE=1，EF=2，∴V B−ACD=V E−ACD=V A−ECD=V A−EFD=13×AE×12×DE×EF=23．【考点】直线与平面平行的判定柱体、锥体、台体的体积计算(Ⅰ)法一、连接BE交AF于O，取AC的中点H，连接OH，由三角形中位线定理可得OH // CF，OH=12CF．由已知得DE // CF，DE=12CF，则四边形DHOE是平行四边形，得到EO // DH，再由线面平行的判定可得BE // 面ACD；法二、延长FE，CD交于点K，连接AK，则面CKA∩面ABFE＝KA，由已知得DE // CF，DE=12CF，由三角形中位线定理可得KE＝EF．得到KE // AB，KE＝AB，则四边形ABEK是平行四边形，得AK // BE．再由线面平行的判定可得BE // 面ACD；证法三、取CF的中点G，连接BG，EG，可证明面GBE // 面ADC，进一步得到BE // 面ACD；(Ⅱ)由GB // 面ADC，可得V B−ACD＝V E−ACD，由已知结合等积法即可求得三棱锥B−ACD的体积．【解答】(1)证明：连接BE交AF于O，取AC的中点H，连接OH，如图：则OH是△AFC的中位线，∴OH // CF，OH=12CF．由已知得DE // CF，DE=12CF，∴DE // OH，DE＝OH，连接DH，则四边形DHOE是平行四边形，∴EO // DH，又∵EO面ADC，DH⊂面ADC，∴EO // 面ACD，即BE // 面ACD.(2)解：取CF中点为G，连接DG，BG，不难得：GB // 面ADC，∴V B−ACD=V E−ACD，由已知得，四边形ABFE为正方形，且边长为2，则在图2中，AF⊥BE，由已知AF⊥BD，且BE∩BD=B，可得AF⊥平面BDE，又DE⊂平面BDE，∴ AF ⊥DE ，又AE ⊥DE ，AF ∩AE =A ， ∴ DE ⊥平面ABFE ，且AE ⊥EF ，∴ AE ⊥面CDE ， ∴ AE 是三棱锥A −DEC 的高， ∵ 四边形DEFC 是直角梯形． 且AE =2，DE =1，EF =2，∴ V B−ACD =V E−ACD =V A−ECD =V A−EFD =13×AE ×12×DE ×EF =23．【答案】解：(1)所给直线方程变形为y =−mx +√5， 可知直线所过定点为(0,√5)． ∴ 椭圆焦点在y 轴，且c =√5， 依题意可知b =2， ∴ a 2=c 2+b 2=9， 则椭圆C 1的标准方程为y 29+x 24=1.(2)依题意，设椭圆C 2的方程为y 29λ2+x 24λ2=1，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，∵ λ>1，∴ 点C(−1, 0)在椭圆C 2内部，直线l 与椭圆C 2必有两个不同的交点． 当直线l 垂直于x 轴时，AC →=CB →（不是零向量），不合条件； 故设直线l 为y =k(x +1)(A ，B ，O 三点不共线，故k ≠0)， 由{y =k(x +1),4y 2+9x 2=36λ2, 得(9k 2+4)y 2−18k y +9−36λ2=0． 由韦达定理得y 1+y 2=18k9+4k 2． ∵ AC →=2CB →，而点C(−1, 0)，∴ (−1−x 1, −y 1)=2(x 2+1, y 2)，则y 1=−2y 2， 即y 1+y 2=−y 2，故y 2=−18k9+4k 2． ∴ △OAB 的面积为S △OAB =S △AOC +S △BOC =12×1×|y 1|+12×1×|y 2|=12|y 1−y 2|=32|y 2| =32×18|k|9+4|k|2=279|k|+4|k|≤2√36=94． 上式取等号的条件是|k|2=94，即k =±32时，△OAB 的面积取得最大值94． ∴ 直线l 的方程为y =32(x +1)或y =−32(x +1)． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的定义基本不等式在最值问题中的应用 基本不等式【解析】(Ⅰ)由已知直线方程可知直线所过定点为(0,√5)，从而可得椭圆焦点在y 轴，且c =√5，再由已知得到b =2，结合隐含条件求得a ，椭圆C 1的方程可求； (Ⅱ)依题意，设椭圆C 2的方程为y 29λ2+x 24λ2=1，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由已知可得点C(−1, 0)在椭圆内部，直线l 与椭圆必有两个不同的交点．当直线l 垂直于x 轴时，AC →=CB →（不是零向量），不合条件；故设直线l 为y =k(x +1)(A ，B ，O 三点不共线，故k ≠0)，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系结合AC →=2CB →求得y 2=−18k 9+4k 2．则△OAB 的面积为S △OAB =S △AOC +S △BOC ，化为含有k 的代数式，利用基本不等式求最值，并求得△OAB 的面积取得最大值时直线l 的方程． 【解答】解：(1)所给直线方程变形为y =−mx +√5， 可知直线所过定点为(0,√5)． ∴ 椭圆焦点在y 轴，且c =√5， 依题意可知b =2， ∴ a 2=c 2+b 2=9， 则椭圆C 1的标准方程为y 29+x 24=1.(2)依题意，设椭圆C 2的方程为y 29λ2+x 24λ2=1，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，∵ λ>1，∴ 点C(−1, 0)在椭圆C 2内部，直线l 与椭圆C 2必有两个不同的交点． 当直线l 垂直于x 轴时，AC →=CB →（不是零向量），不合条件； 故设直线l 为y =k(x +1)(A ，B ，O 三点不共线，故k ≠0)， 由{y =k(x +1),4y 2+9x 2=36λ2, 得(9k 2+4)y 2−18k y +9−36λ2=0． 由韦达定理得y 1+y 2=18k 9+4k 2． ∵ AC →=2CB →，而点C(−1, 0)，∴ (−1−x 1, −y 1)=2(x 2+1, y 2)，则y 1=−2y 2， 即y 1+y 2=−y 2，故y 2=−18k9+4k 2． ∴ △OAB 的面积为S △OAB =S △AOC +S △BOC =12×1×|y 1|+12×1×|y 2|=12|y 1−y 2|=32|y 2| =32×18|k|9+4|k|2=279|k|+4|k|≤2√36=94． 上式取等号的条件是|k|2=94，即k =±32时，△OAB 的面积取得最大值94． ∴ 直线l 的方程为y =32(x +1)或y =−32(x +1)． 【答案】(1)解：由已知得g(x)的定义域为(0, +∞)， g ′(x)=1x +2−ax 2=2x 2+x−ax 2，方程2x2+x−a=0的判别式Δ=1+8a．①当a≤−18时，Δ≤0，g′(x)≥0，此时，g(x)在(0, +∞)上为增函数；②当a>−18时，Δ>0,设方程2x2+x−a=0的两根为x1=−1−√1+8a4,x2=−1+√1+8a4，若−18<a≤0，则x1<x2≤0，此时，g′(x)>0，g(x)在(0, +∞)上为增函数；若a>0，则x1<0<x2，此时，g(x)在(0, x2)上为减函数，在(x2, +∞)上为增函数，综上所述：当a≤0时，g(x)的增区间为(0, +∞)，无减区间；当a>0时，g(x)的减区间为(0,−1+√1+8a4]，增区间为(−1+√1+8a4,+∞)．(2)证明：由题意知f(x)=lnxx+1+1x，∴f(x)−lnxx−1=11−x2(2lnx−x2−1x)，令ℎ(x)=2lnx−x2−1x(x>0)，则ℎ′(x)=2x −2x2−(x2−1)x2=−(x−1)2x2,所以x≠1时，ℎ′(x)<0，而ℎ(1)=0,故x∈(0, 1)时，ℎ(x)>0,11−x2>0，可得f(x)>lnxx−1，x∈(1, +∞)时，ℎ(x)<0,11−x2<0，可得f(x)>lnxx−1，从而当x>0，且x≠1时，f(x)>lnxx−1．【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)考虑函数ℎ(x)=2lnx−x2−1x(x>0)，求出函数的导数，得到ℎ(x)的单调区间，从而证明结论．【解答】(1)解：由已知得g(x)的定义域为(0, +∞)，g′(x)=1x +2−ax2=2x2+x−ax2，方程2x2+x−a=0的判别式Δ=1+8a．①当a≤−18时，Δ≤0，g′(x)≥0，此时，g(x)在(0, +∞)上为增函数；②当a>−18时，Δ>0,设方程2x2+x−a=0的两根为x1=−1−√1+8a4,x2=−1+√1+8a4，若−18<a≤0，则x1<x2≤0，此时，g′(x)>0，g(x)在(0, +∞)上为增函数；若a>0，则x1<0<x2，此时，g(x)在(0, x2)上为减函数，在(x2, +∞)上为增函数，综上所述：当a≤0时，g(x)的增区间为(0, +∞)，无减区间；当a>0时，g(x)的减区间为(0,−1+√1+8a4]，增区间为(−1+√1+8a4,+∞)．(2)证明：由题意知f(x)=lnxx+1+1x，∴f(x)−lnxx−1=11−x2(2lnx−x2−1x)，令ℎ(x)=2lnx−x2−1x(x>0)，则ℎ′(x)=2x −2x2−(x2−1)x=−(x−1)2x,所以x≠1时，ℎ′(x)<0，而ℎ(1)=0,故x∈(0, 1)时，ℎ(x)>0,11−x >0，可得f(x)>lnxx−1，x∈(1, +∞)时，ℎ(x)<0,11−x2<0，可得f(x)>lnxx−1，从而当x>0，且x≠1时，f(x)>lnxx−1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．答题时请写清题号并将相应信息点涂黑．[选修4-4]参数方程与极坐标系【答案】∵曲线C的参数方程为{x=2cosβy=2+2sinβ（β为参数），∴消去参数β，得曲线C的普通方程为x2+(y−2)2=4，化简得x2+y2=4y，则ρ2=4ρsinθ，所以曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．∵直线l的参数方程为{x=tcosαy=2+tsinα(t为参数，0≤α<π)，∴由直线l的参数方程可知，直线l必过点(0, 2)，也就是圆C的圆心，则∠MON=π2，不妨设M(ρ1,θ),N(ρ2,θ+π2)，其中θ∈(0,π2)，则|OM|+|ON|=ρ1+ρ2=4sinθ+4sin(θ+π2)=4(sinθ+cosθ)=4√2sin(θ+π4)， 所以当θ=π4，|OM|+|ON|取得最大值为4√2．【考点】圆的极坐标方程 【解析】（1）曲线C 的参数方程消去参数β，得曲线C 的普通方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程．（2）由直线l 的参数方程可知，直线l 必过圆C 的圆心(0, 2)，则∠MON =π2，设M(ρ1,θ),N(ρ2,θ+π2)，则|OM|+|ON|=4√2sin(θ+π4)，当θ=π4，|OM|+|ON|取得最大值为4√2． 【解答】∵ 曲线C 的参数方程为{x =2cosβy =2+2sinβ （β为参数），∴ 消去参数β，得曲线C 的普通方程为x 2+(y −2)2=4， 化简得x 2+y 2=4y ，则ρ2=4ρsinθ， 所以曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ．∵ 直线l 的参数方程为{x =tcosαy =2+tsinα (t 为参数，0≤α<π)，∴ 由直线l 的参数方程可知，直线l 必过点(0, 2)，也就是圆C 的圆心，则∠MON =π2， 不妨设M(ρ1,θ),N(ρ2,θ+π2)，其中θ∈(0,π2)，则|OM|+|ON|=ρ1+ρ2=4sinθ+4sin(θ+π2)=4(sinθ+cosθ)=4√2sin(θ+π4)， 所以当θ=π4，|OM|+|ON|取得最大值为4√2． [选修4-5：不等式选讲]【答案】f(1)+f(−1)＝|1−a|−|1+a|>1，若a ≤−1，则1−a +1+a >1，得2>1，即a ≤−1时恒成立， 若−1<a <1，则1−a −(1+a)>1，得a <−12，即−1<a <−12， 若a ≥1，则−(1−a)−(1+a)>1，得−2>1，即不等式无解， 综上所述，a 的取值范围是(−∞,−12)．由题意知，要使得不等式恒成立，只需[f(x)]max ≤[|y +54|+|y −a|]min ， 当x ∈(−∞, a]时，f(x)=−x 2+ax,[f(x)]max =f(a2)=a 24，因为|y +54|+|y −a|≥|a +54|，所以当y ∈[−54,a]时，[|y +54|+|y −a|]min =|a +54|=a +54，试卷第21页，总21页 即a 24≤a +54，解得−1≤a ≤5，结合a >0，所以a 的取值范围是(0, 5]． 【考点】绝对值不等式的解法与证明不等式恒成立的问题【解析】（1）利用f(1)+f(−1)＝|1−a|−|1+a|>1，通过a ≤−1，−1<a <1，a ≥1，分别求解即可．（2）要使得不等式恒成立，只需[f(x)]max ≤[|y +54|+|y −a|]min ，通过二次函数的最值，绝对值的几何意义，转化求解即可．【解答】f(1)+f(−1)＝|1−a|−|1+a|>1，若a ≤−1，则1−a +1+a >1，得2>1，即a ≤−1时恒成立，若−1<a <1，则1−a −(1+a)>1，得a <−12，即−1<a <−12，若a ≥1，则−(1−a)−(1+a)>1，得−2>1，即不等式无解，综上所述，a 的取值范围是(−∞,−12)．由题意知，要使得不等式恒成立，只需[f(x)]max ≤[|y +54|+|y −a|]min ， 当x ∈(−∞, a]时，f(x)=−x 2+ax,[f(x)]max =f(a 2)=a 24， 因为|y +54|+|y −a|≥|a +54|，所以当y ∈[−54,a]时，[|y +54|+|y −a|]min =|a +54|=a +54， 即a 24≤a +54，解得−1≤a ≤5，结合a >0，所以a 的取值范围是(0, 5]．。