2019-2020学年重庆市西南大学附中高一(下)期末数学试卷及答案

2019-2020学年高一数学下学期期末考试试卷(含解析)一、选择题（每个小题5分，共12个题）1.已知集合，则的子集个数为（）A. 2B. 4C. 7D. 8【答案】D【解析】【分析】根据集合交集的定义和集合中子集的个数的计算公式，即可求解答案．【详解】由题意集合，∴，∴的子集个数为．故选D．【点睛】本题主要考查了集合的交集运算及子集个数的判定，其中熟记集合交集的运算和集合中子集个数的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．2.函数的定义域是( )A. (－1，＋∞)B. [－1，＋∞)C. (－1,1)∪(1，＋∞)D. [－1,1)∪(1，＋∞)【答案】C【解析】由题意得，∴，故选C.3.一个直角三角形绕其最长边旋转一周所形成的空间几何体是（）A. 一个棱锥B. 一个圆锥C. 两个圆锥的组合体D. 无法确定【答案】C【解析】一个直角三角形绕其最长边AC旋转一周所形成的空间几何体是以斜边的高BD为半径的底面圆，以斜边被垂足D分得的两段长AD，CD为高的两个倒扣的圆锥的组合体故选C4.已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据几何体的三视图，得到该几何体为一个圆柱去掉一个内接圆锥，利用圆柱和圆锥的体积公式，即可求解．【详解】由题意，根据给定的三视图可知，该几何体为一个圆柱去掉一个内接圆锥，所以体积为，故选B.【点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．5.为了得到函数的图像，可以将函数的图像（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】先化简函数，再根据三角函数的图象变换，即可求解．【详解】由题意，函数，所以为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度，故选B．【点睛】本题考查三角函数的图象的平移与伸缩变换，注意先伸缩后平移时的系数是解题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6.若直线过点（1，2），（4，2+）则此直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设直线的倾斜角为，根据直线的斜率和倾斜角的关系，即可求解．【详解】设直线的倾斜角为，则，又∵，所以，故选A.【点睛】本题主要考查直线的斜率与倾斜角，属于简单题. 求直线的倾斜角往往先求出直线的斜率，求直线斜率的常见方法有一以下三种，（1）已知直线上两点的坐标求斜率：利用；（2）已知直线方程求斜率：化成点斜式即可；（2）利用导数的几何意义求曲线切点处的切线斜率.7.圆的圆心坐标和半径分别是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把圆的一般方程化简为圆的标准方程，即可求解圆的圆心坐标和半径，得到答案．【详解】依题意可得：∴圆的圆心坐标和半径分别是，，故选：D【点睛】本题主要考查了圆的方程的应用，其中熟记圆的标准方程和圆的一般的形式和互化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8.直线截圆所得的弦长为A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意，求得圆的圆心坐标和半径，利用圆的弦长公式，即可求解．【详解】由题意圆的方程，可知圆心，半径，则圆心到直线的距离为，所以弦长为，故选D．【点睛】本题主要考查了圆的弦长公式应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系和直线与圆的弦长公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9.中，角的对边分别为，已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在三角形中，利用正弦定理，即可求解．【详解】在△ABC中，，∴则，∴由正弦定理可得：故选C【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．在中，通常涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.10.在中，角的对边分别为，若，则( )A. 60°B. 120°C. 45°D. 30°【答案】B【解析】【分析】根据题意，由余弦定理求得，即可求解答案．【详解】因为，由余弦定理得，又∵，所以，故选B．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．在中，通常涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.11.已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（）A. B. 1 C. - D. -1【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的通项公式，列出方程组，求得的值，得到答案．【详解】等差数列中，，由等差数列的通项公式，可得解得，即等差数列的公差d=﹣1．故选D．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质与前项和的关系，利用整体代换思想解答.12.数列的前项和为，若，则等于（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：由题意得，数列的通项公式，所以，故选B.考点：数列的求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到数列通项公式的列项、数列的列项相消求和，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及退了与运算能力，试题比较基础，属于基础题，本题解答中吧数列的通项公式化简为是解答的关键，平时注意总结和积累.二、填空题（共20分）13.已知，且是第二象限角，则___________．【答案】【解析】【分析】根据角为第二象限角，得，再由三角函数的基本关系式，即可求解．【详解】因为是第二象限角，∴，又，由三角函数的基本关系式可得．【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系的化简求值问题，其中根据角的象限，判定三角函数的符号是解答的一个易错点，同时熟记三角函数的基本关系式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．14.已知点与点，则的中点坐标为__________．【答案】【解析】【分析】根据题意与点，根据中点的坐标公式，即可求解．【详解】由题意点与点，根据中点坐标公式可得的中点坐标为，即的中点坐标为.【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标表示及中点中点坐标公式的应用，其中解答中熟记空间向量的坐标表示和中点的坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15.函数，则的值为__________.【答案】1【解析】【分析】根据分段函数的解析式，代入即可求解．【详解】当时，，，当时，，.【点睛】本题主要考查了分段函数的求函数值问题，其中把握分段函数的分段条件，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．16.直线与直线互相垂直，则实数等于________．【答案】2【解析】【分析】利用两条直线互相垂直，列出方程，即求解．【详解】直线与直线互相垂直，则，∴，故答案为2【点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，其中熟记两条直线的位置关系，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．三、解答题（共70分，17题10分其各题每题12分，要求写出必要的解题步骤）17.在等差数列{a n}中，a12=23，a42=143，a n=239，求n及公差d．【答案】n=66，d=4【解析】试题分析：由题意结合等差数列的定义可先求公差，再列关于n的方程，解方程可得试题解析：由题意可得，d==4，∴a1=﹣21∵a n=a1+（n﹣1）d=﹣21+4（n﹣1）=239，解得n=66综上，n=66，d=4.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质（）与前项和的关系，利用整体代换思想解答.18.已知等比数列{a n}满足记其前n项和为(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若，求n.【答案】(1)；(2)5.【解析】【分析】（1）设出等比数列的公比，由条件得到关于的方程组，求得便可得到数列的通项公式；（2）根据前n项和得到关于n的方程，解方程可得解．【详解】(1)设等比数列{a n}的公比为，由条件得,解得，∴ an=a1q n−1=.即数列{a n}的通项公式为．(2)由题意得，解得：.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及等比数列的前项和公式的应用，其中熟记等比数列的通项公式和前项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19.如图，在中，，是边上一点，且.（1）求的长；（2）若，求的长及的面积.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）在中由正弦定理可求得AD的长；（2）在中，由余弦定理可得，利用可得所求面积．【详解】（1）在中，由正弦定理得，即，∴（2）∵，∴在中，由余弦定理得∴∴.综上，的面积为．【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.20.在中，内角的对边分别为，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）利用正弦定理可对进行化简，即可得到的值；（Ⅱ）利用正弦定理对进行化简，可得到，再利用的余弦定理，可求出的值.【详解】（Ⅰ）由及正弦定理，得.在中，..（Ⅱ）由及正弦定理，得，①由余弦定理得，，即，②由①②，解得.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．在中，通常涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.21.已知直线经过点，且斜率为．（1）求直线的方程．（2）求与直线平行，且过点的直线方程．（3）求与直线垂直，且过点的直线方程．【答案】(1) (2) (3)【解析】【分析】（1）写出直线的点斜式方程，整理成一般方程即可．（2）可设直线的一般方程为，代入点求出的值，即可答案．（3）可设所求直线的方程为，代入点，求得的值，即可求解直线的方程；所求直线的斜率为，写出直线的点斜式方程，整理成一般方程即可．【详解】（1）由题设，根据直线的点斜式方程可得，整理得．（2）由题意，所以求直线与平行，设所求直线方程为，代入点，解得，所以直线方程为．（3）由题意，所以求直线与垂直，设所求直线的方程为，代入点，解得，所以直线方程为．【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，其中熟记直线的点斜式方程、直线的一般式方程等形式，合理应用和准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．22.如图，在五面体中，已知平面，，，，．（1）求证：；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）详见解析，（2）【解析】【分析】（1）由题意，利用线面平行的性质定理与判定定理进行转化，可作出证明；（2）由平面，所以有面平面，则作就可得平面，确定是三棱锥的高，利用三棱锥的体积公式，可求解．【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以．（2）在平面内作于点，因为平面，平面，所以，又，平面，，所以平面，所以是三棱锥的高．在直角三角形中，，，所以，因为平面，平面，所以，又由（1）知，，且，所以，所以，所以三棱锥的体积．【点睛】本题主要考查了线面平行判定定理与性质定理，线面垂直判定定理与性质定理及三棱锥体积，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．欢迎您的下载，资料仅供参考！资料仅供参考!!!。

2019-2020学年重庆市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．直线ax﹣y+1＝0与3x+y+2＝0垂直，则实数a＝（）A．﹣3B．﹣C．D．32．已知向量，则＝（）A．4B．5C．6D．73．某学校采购了10000只口罩，其中蓝色、粉色、白色的比例为5：3：2，若采用分层抽样的方法，取出500只分发给高一年级学生使用，则抽到白色口罩的只数为（）A．300B．250C．200D．1004．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，则甲组数据的众数与乙组数据的中位数分别是（）A．52，65B．52，66C．73，65D．73，665．设等差数列{a n}前n项和为S n，若a2+a11＝4，则S12＝（）A．12B．24C．36D．406．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a cos C＝c sin A，则C＝（）A．B．C．D．7．从单词“book”的四个字母中任取2个，则取到的2个字母不相同的概率为（）A．B．C．D．8．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2＝2，a5＝2a4+3a3，则a6＝（）A．2B．54C．162D．2439．已知变量x，y满足不等式组，则z＝x﹣2y的最大值为（）A．﹣3B．C．1D．210．中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，已知四个直角三角形的两条直角边的长度之比为，若向大正方形中随机投入一点，则该点落入小正方形的概率为（）A．B．C．D．11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+b2≥2c2，则角C的最大值为（）A．B．C．D．12．已知P为△ABC所在平面内的一点，＝2，||＝4，若点Q在线段AP上运动，则的最小值为（）A．﹣9B．﹣12C．﹣3D．﹣4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则b ＝．14．已知单位向量满足，则与的夹角的余弦值为．15．已知x＞0，y＞0，且，则2x+y的最小值为．16．已知数列{a n}的通项公式为，将数列{a n}中的奇数项按原顺序依次排列得到新数列{b n}，则数列{b n}的前n项和为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知△ABC中，点A（1，3），B（2，1），C（﹣1，0）．（1）求直线AB的方程；（2）求△ABC的面积．18．已知函数f（x）＝x2﹣（2a+1）x+a+1，a∈R．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≤0的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥0的解集为R，求a的取值范围．19．已知向量．（1）若，其中λ＜0，求的坐标；（2）若与的夹角为，求的值．20．自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产．某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图．已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等．（1）估计口罩生产车间工人生产速度的中位数；（2）为了解该车间工人的生产速度是否与他们的工作经验有关，现从车间所有工人中随机抽样调查了5名工人的生产速度以及他们的工龄（参加工作的年限），数据如表：工龄x（单位：年）68121014生产速度y（单位：4055606065件/小时）根据上述数据求每名工人的生产速度关于他的工龄x 的回归方程，并据此估计该车间某位有18年工龄的工人的生产速度．回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝﹣．21．在△ABC中，AC ＝，CD平分∠ACB交AB于点D，已知CD ＝，∠BDC ＝．（1）求AD；（2）求．22．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a8﹣2a3＝3，S3＝a7．（1）求a n及S n；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，是否存在正整数m，n（m＜n），使得成等比数列？若存在，求出所有满足条件的m，n；否则，请说明理由．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线ax﹣y+1＝0与3x+y+2＝0垂直，则实数a＝（）A．﹣3B．﹣C．D．3【分析】由已知结合直线垂直的条件即可求解．解：因为直线ax﹣y+1＝0与3x+y+2＝0垂直，所以3a﹣1＝0即a＝．故选：C．2．已知向量，则＝（）A．4B．5C．6D．7【分析】求出向量的和，然后求解向量的模即可．解：向量，可得＝（3，4），则＝＝5．故选：B．3．某学校采购了10000只口罩，其中蓝色、粉色、白色的比例为5：3：2，若采用分层抽样的方法，取出500只分发给高一年级学生使用，则抽到白色口罩的只数为（）A．300B．250C．200D．100【分析】用样本容量乘以白色口罩占的比例，即为所求．解：白色口罩占的比例为＝，故应抽取500×＝100只，故选：D．4．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，则甲组数据的众数与乙组数据的中位数分别是（）A．52，65B．52，66C．73，65D．73，66【分析】根据众数与中位数的定义结合茎叶图中数据即可得出答案．解：甲组数据为：52，52，68，73，73，73，73，84；故甲里面的众数是73，乙组数据从小到大排列为：51，56，64，66，72，82；正中间两个为64，66；故乙组数据的中位数为65．故选：C．5．设等差数列{a n}前n项和为S n，若a2+a11＝4，则S12＝（）A．12B．24C．36D．40【分析】根据题意，由等差数列的性质可得a1+a12＝4，进而有等差数列的前n项和公式计算可得答案．解：根据题意，等差数列{a n}中a2+a11＝4，则a1+a12＝4，则有S12＝＝＝24；故选：B．6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a cos C＝c sin A，则C＝（）A．B．C．D．【分析】由已知利用正弦定理可得：sin A cos C＝sin C sin A，结合sin A＞0，利用同角三角函数基本关系式可求tan C＝1，结合范围C∈（0，π），可求C的值．解：∵a cos C＝c sin A，∴由正弦定理可得：sin A cos C＝sin C sin A，∵A为三角形内角，sin A＞0，∴可得：cos C＝sin C，即tan C＝1，∵C∈（0，π），∴C＝．故选：A．7．从单词“book”的四个字母中任取2个，则取到的2个字母不相同的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝，取到的2个字母不相同包含的基本事件个数m＝＝5．由此能求出取到的2个字母不相同的概率．解：从单词“book”的四个字母中任取2个，基本事件总数n＝，取到的2个字母不相同包含的基本事件个数m＝＝5．∴取到的2个字母不相同的概率p＝．故选：D．8．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2＝2，a5＝2a4+3a3，则a6＝（）A．2B．54C．162D．243【分析】根据题意，由等比数列的性质可得a2q3＝2a2q2+3a2q，变形可得q2＝2q+3，解可得q的值，结合等比数列的通项公式分析可得答案．解：根据题意，各项均为正数的等比数列{a n}中，a2＝2，a5＝2a4+3a3，则a2q3＝2a2q2+3a2q，变形可得q2＝2q+3，进而可得q＝3或﹣1，又由{a n}各项均为正数，则q＝3，则a6＝a2q4＝162；故选：C．9．已知变量x，y满足不等式组，则z＝x﹣2y的最大值为（）A．﹣3B．C．1D．2【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝x﹣2y，得y＝x﹣z，平移直线y＝x﹣z，由图象可知当直线y＝x﹣z经过点B时，直线y＝x﹣z 的截距最小，此时z最大，由，解得B（，），此时z max＝﹣2×＝﹣．故选：B．10．中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，已知四个直角三角形的两条直角边的长度之比为，若向大正方形中随机投入一点，则该点落入小正方形的概率为（）A．B．C．D．【分析】求出两个正方形的边长之间的关系即可求解结论．解：设小正方形的边长为1；则直角三角形另一直角边为2；故大正方形的边长为：＝；故向大正方形中随机投入一点，则该点落入小正方形的概率为：＝；故选：C．11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+b2≥2c2，则角C的最大值为（）A．B．C．D．【分析】利用余弦定理表示出cos C，利用基本不等式变形，将已知等式代入求出cos C 的最小值，即可确定出C的最大值．解：∵a2+b2≥2c2，a2+b2≥2ab，∴cos C＝≥＝≥＝，∵C为三角形内角，C∈（0，π），且cos C在（0，π）上单调递减，故C，∴角C的最大值为，故选：B．12．已知P为△ABC所在平面内的一点，＝2，||＝4，若点Q在线段AP上运动，则的最小值为（）A．﹣9B．﹣12C．﹣3D．﹣4【分析】本题根据题意画出图形，结合图形表示出向量，，再根据已知条件可推导出得+2＝3，再代入进行转化计算，并将向量运算的最值问题转化二次函数的最值问题，进行计算即可得到正确选项．解：由题意，画图如下，根据题意及图，可知＝﹣，＝﹣，∵＝2，∴﹣＝2（﹣），整理，得+2＝3，则＝•3＝﹣3||•||＝﹣3||•（4﹣||）＝3（||2﹣4||），设||＝m，很明显m∈[0，4]，故＝3（||2﹣4||）＝3（m2﹣4m）＝3（m﹣2）2﹣12，根据二次函数的性质，可知：当m＝2时，取得最小值为﹣12．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则b ＝．【分析】由已知利用特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式可求sin B，sin A的值，进而由正弦定理可求得b的值．解：∵，∴sin B＝，sin A＝＝，∴由正弦定理，可得：b＝＝＝．故答案为：．14．已知单位向量满足，则与的夹角的余弦值为．【分析】运用向量的模的平方的运算法则，结合向量，的数量积，求解向量的夹角公式即可．解：单位向量满足，可得|﹣2|2＝4，即，1﹣4×+4＝4，所以＝．故答案为：．15．已知x＞0，y＞0，且，则2x+y的最小值为9．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：因为x＞0，y＞0，且，则2x+y＝（2x+y）（）＝（10+）＝9，当且仅当且即x＝，y＝6时取等号，此时2x+y取得最大值9．故答案为：916．已知数列{a n}的通项公式为，将数列{a n}中的奇数项按原顺序依次排列得到新数列{b n}，则数列{b n}的前n项和为•4n﹣3n2．【分析】本题先根据题意计算出数列{b n}的通项公式，然后根据通项公式的特点运用分组求和法可计算出数列{b n}的前n项和．解：由题意，可知b n＝a2n﹣1＝22n﹣1﹣3（2n﹣1）+1＝•4n﹣6n+4，故b1+b2+…+b n＝（•41﹣6×1+4）+（•42﹣6×2+4）+…+（•4n﹣6n+4）＝（41+42+…+4n）﹣6×（1+2+…+n）+4n＝•﹣6•+4n＝•4n﹣3n2+n﹣．故答案为：•4n﹣3n2+n﹣．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知△ABC中，点A（1，3），B（2，1），C（﹣1，0）．（1）求直线AB的方程；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）先求AB的斜率，进而可求直线方程；（2）先求出点C到AB的距离，进而可求三角形的面积解：（1）由题意可知，直线AB的斜率k＝＝﹣2，故直线AB的方程为y﹣1＝﹣2（x﹣2）即y＝﹣2x+5，（2）点C到直线AB的方程d＝＝，|AB|＝＝，故△ABC的面积S＝＝．18．已知函数f（x）＝x2﹣（2a+1）x+a+1，a∈R．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≤0的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥0的解集为R，求a的取值范围．【分析】（1）由二次不等式的解法：因式分解法，可得所求解集；（2）由二次不等式恒成立，可得判别式小于等于0，解不等式可得所求范围．解：（1）当a＝1时，不等式f（x）≤0即x2﹣3x+2≤0，即（x﹣1）（x﹣2）≤0，可得1≤x≤2，可得解集为[1，2]；（2）关于x的不等式f（x）≥0的解集为R，可得△＝（2a+1）2﹣4（a+1）＝4a2﹣3≤0，解得﹣≤a≤，则a的取值范围是[﹣，]．19．已知向量．（1）若，其中λ＜0，求的坐标；（2）若与的夹角为，求的值．【分析】本题第（1）题先根据已知条件代入可得向量关于λ的坐标，然后根据模的定义进行计算，即可得到λ的值，从而可得的坐标；第（2）题先计算出的模，然后根据向量的运算及向量的数量积对进行化简计算并代入数值即可计算出结果．解：（1）由题意，可知＝（λ，﹣2λ），则＝＝•|λ|＝2，故|λ|＝2，∵λ＜0，∴λ＝﹣2，∴＝（﹣2，4）．（2）由题意，可知||＝＝，则＝22﹣•﹣2＝2•||2﹣||•||•cos ＜，＞﹣||2＝2•（）2﹣•2•cos﹣（2）2＝10﹣10•（﹣）﹣20＝﹣5．20．自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产．某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图．已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等．（1）估计口罩生产车间工人生产速度的中位数；（2）为了解该车间工人的生产速度是否与他们的工作经验有关，现从车间所有工人中随机抽样调查了5名工人的生产速度以及他们的工龄（参加工作的年限），数据如表：工龄x（单位：年）68121014生产速度y（单位：4055606065件/小时）根据上述数据求每名工人的生产速度关于他的工龄x 的回归方程，并据此估计该车间某位有18年工龄的工人的生产速度．回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝﹣．【分析】（1）设前4组的频数分别为a1，a2，a3，a4，公差为d，由已知列式求得首项与公差，再由中位数公式列式求解工人生产速度的中位数；（2）求出与的值，可得线性回归方程，取x＝18求得y值即可．解：（1）设前4组的频数分别为a1，a2，a3，a4，公差为d，由题意a2＝a1+d＝0.016×10＝0.16．①故a1+a2+a3+a4＝4a1+6d＝1﹣0.016×10＝0.84．②联立①②，解得a1＝0.06，d＝0.1．又a1+a2+a3＝0.48，∴中位数为50+＝；（2），＝．＝＝＝，．∴回归直线方程为．当x＝18时，．故估计该车间某位有18年工龄的工人的生产速度为78件/小时．21．在△ABC中，AC＝，CD平分∠ACB交AB于点D，已知CD＝，∠BDC＝．（1）求AD；（2）求．【分析】（1）设AD＝m，在△ADC中，由余弦定理可得AD的值；（2）在△BDC，△ADC中，由正弦定理即可求解．解：（1）设AD＝m，∠ADC＝π﹣∠BDC＝π﹣＝，所以，在△ADC中，由余弦定理可得：m2+CD2﹣2m•CD•cos＝AC2，即m2+2﹣2m•（﹣）＝10，解得m＝2，即AD＝2．（2）在△BDC，△ADC中，由正弦定理可得：＝＝＝＝＝．22．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a8﹣2a3＝3，S3＝a7．（1）求a n及S n；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，是否存在正整数m，n（m＜n），使得成等比数列？若存在，求出所有满足条件的m，n；否则，请说明理由．【分析】本题第（1）题先设等差数列{a n}的公差为d，然后根据已知条件列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出a n及S n；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后根据通项公式的特点运用裂项相消法计算出前n项和T n的表达式，分别写出故T1，T m，T n的表达式，然后根据等比中项的性质列出关于m、n的关系式，再进一步转化成用m表示出n的表达式，根据m＜n且m∈N*，列出关于m的不等式并解出m的取值范围，再根据m的取值范围及m∈N*确定m的可能取值，并计算出对应的n的取值，最后根据n∈N*，即可确定满足条件的m，n的对应取值．解：（1）由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则，化简整理，得，解得，∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1，n∈N*，S n＝3n+×2＝n2+2n．（2）由（1）知，＝＝（﹣），则T n＝b1+b2+…+b n＝（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝，故T1＝×＝，T m＝，T n＝，∵成等比数列，∴T m2＝T1•T n，即＝•，化简，得3（2n+3）m2＝n（2m+3）2，整理，得n＝，∵m＜n且m∈N*，∴m＜，m∈N*，解得3＜m＜3（1+），∵6＜3（1+）＜7，且m∈N*，∴3＜m＜7，∴m可能取的值为4，5，6，当m＝4时，n＝＝，当m＝5时，n＝＝，当m＝6时，n＝＝36，∵n∈N*，∴满足条件的m，n只有一组，即为：．。

2019-2020学年高一（下）期末数学试卷 (33)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.不等式x2−x−2>0的解集是()A. (−12,1) B. (1,+∞)C. (−∞,−1)∪(2,+∞)D. (−∞,−12)∪(1,+∞)2.点(0,5)到直线2x−y=0的距离是()A. √52B. √5 C. 32D. √543.某种树的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年树的分枝数为()A. 5B. 6C. 7D. 84.在△ABC中，若(a+c)(a−c)=b(b−c)，则∠A=()A. 300B. 600C. 1200D. 15005.已知圆C：x2+y2−2x−4y−4=0，则其圆心坐标与半径分别为()A. (1,2)，r=2B. (−1,−2)，r=2C. (1,2)，r=3D. (−1,−2)，r=36.已知：△ABC中，a=2，∠B=60°，∠C=75°，则b=()A. √6B. 2C. √3D. √27.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a2015=S2015=2015，则首项a1=()A. 2015B. −2015C. 2013D. −20138.若直线过P(2,1)点且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线有几条()A. 1条B. 2 条C. 3条D. 以上都有可能9.某几何体的三视图如下所示，则该几何体的体积为()A. 2π+8B. π+8C. 2π+83D. π+8310.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A. 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB. 若α//β，m⊂α，n⊂β，则n//mC. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD. 若m⊥α，n//m，n//β，则α⊥β11.点P(1,−2)关于点M(3,0)的对称点Q的坐标是()A. (1,2)B. (2,−1)C. (3,−1)D. (5,2)12.已知等差数列{a n}，a1=1，a3=3，则数列{1a n a n+1}的前10项和为()A. 1011B. 911C. 910D. 1110二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设变量x，y满足约束条件： {x+y⩾3x−y⩾−12x−y⩽3，则目标函数z=3x−2y的最小值为______．14.直线l过点A(−1,3)，B(1,1)，则直线l的倾斜角为______ ．15.平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为2，∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60°，那么二面角A1−AD−B的余弦值为______ ．16.已知等比数列{a n}的公比为正数，且a1⋅a7=2a32，a2=2，则a1的值是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求倾斜角为直线y=−√3x+1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(−4,1)；(2)在x轴上的截距为−10．18.已知：△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B−cos(A+C)=0．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若sinA=3sinC，△ABC的面积为3√3，求b边的长．419.已知等差数列{a n}满足：a5=9，a2+a6=14．(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=1，求数列{b n}的前n项和S n．a n a n+120.如图，圆x2+y2=8内有一点P(−1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦，(1)当α=135°时，求|AB|(2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．(3)求过点P的弦的中点的轨迹方程．21.在等差数列{a n}中，a1=10，d=−2，求数列的前n项和S n的最大值．22.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，点D在棱BC上，AD⊥C1D，点E，F分别是BB1，A1B1的中点。

2020-2021学年重庆市西南大学附中高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设复数z 满足z(1+i)=−3+i ，则下列说法正确的是( )A. z 的虚部为2iB. |z|=√5C. z 为纯虚数D. 在复平面内，z −对应的点位于第二象限2. 在△ABC 中，已知AB =√3，BC =√2，且A =π4，则C =( )A. π6B. π3C. π6或5π6D. π3等2π33. 已知向量|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=√3，a ⃗ +b ⃗ =(−1,1)，则|2a ⃗ +b ⃗ |=( )A. 3B. √3C. 11D. √114. 已知a 、b 为两条不同直线α、β为两个不同的平面，给出以下四个命题：①若a//b ，b ⊂α，则a//α； ②若a//α，b ⊂α，则a//b ； ③若α⊥β，a ⊂α，则a ⊥β； ④若α//β，a ⊂α，b ⊂β，则a//b ． 其中真命题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 35. 一组数据由10个数组成，将其中一个数由5改为1，另一个数由6改为10，其余数不变，得到新的10个数，则新的一组数的方差减去原先一组数的方差等于( )A. 4B. 40C. 2D. −46. 直角梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ⊥BC ，BC =2AD =6，AB =4，点E 是CD 的中点，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=( )A. −5.5B. −3.5C. 0D. 3.57. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，直线A 1B 与平面BC 1D 1所成角的正切值为( )A. √22B. √33C. 1D. √38.已知正方形ABCD中，AB=2，E是CD边的中点，现以AE为折痕将△ADE折起，当三棱锥D−ABE的体积最大时，该三棱锥外接球的表面积为()A. 525π48B. 5π4C. 25π4D. 25π二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.在一次测验中共有500名同学参赛，经过评判，这500名考生的得分都在[40,90]之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论正确的是()A. 可求得a=0.005B. 这500名参赛者得分的平均数为65C. 得分在[60,80)之间的频率为0.5D. 得分在[40,60)之间的共有200人10.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E为PB的中点，F为线段BC上的动点(不包含端点)，以下说法正确的是()A. 存在F使得，EF//平面PADB. F在从B移动到C的过程中，PA与EF所成角不变C. 对任意F，三棱锥F−ADE体积与三棱锥P−ADE体积相等D. 对任意F，满足平面AEF⊥平面PBC11.在△ABC中，下列说法正确的是()A. 若A>B，则sinA>sinBB. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形C. 若B=30°，c=6，b=8，则这样的△ABC有且仅有一个D. 若tanA+tanB+tanC>0，则△ABC可以是钝角三角形12. 奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC ，△AOC ，△AOB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，则S A ⋅OA⃗⃗⃗⃗⃗ +S B ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +S C ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ .“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的l o go 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若O 、P 是锐角△ABC 内的点，A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且满足PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. S △PAB ：S △PBC ：S △PCA =4：3：2 B. ∠A +∠BOC =πC. |OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |：|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |：|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=cosA ：cosB ：cosCD. tanA ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +tanB ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +tanC ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 基尼系数是国际上用来综合衡量居民内部收入分配差异状况的一个重要指标，它的一种简便易行的计算方法是根据中位数对平均数的占比来估计基尼系数(换算表如表所示).假设某地从事自媒体的人员仅有4人，年收入分别为5万元，10万元，30万元，55万元，则这4人的年收入的基尼系数为______． 中位数占比一基尼系数换算表 中位数占比 0%20% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 95% 100%基尼系数1.000 0.795 0.662 0.595 0.525 0.450 0.363 0.255 0.179 0.00014. 若圆锥的轴截面是顶角为120°的等腰三角形，且圆锥的侧面积为2√3π，则该圆锥的体积为______．15. △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b =c =1，a 2=2(1−sinA)，则△ABC 的面积等于______．16. 设x 1，x 2是实系数一元二次方程ax 2+bx +c =0的两个根，若x 1是虚数，x 12x2是实数，则x 2x 1+(x2x 1)2=______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E 为棱DD 1的中点．(Ⅰ)求证：BD 1//平面ACE ；(Ⅱ)求异面直线AE 与BD 1所成角的余弦值．18. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，从以下条件中任选一个回答下列问题(若多选则以选择的第一个为准)． ①√3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2S △ABC ； ②向量m ⃗⃗⃗ =(−√3cosA,a)与向量n ⃗ =(c,sinC)垂直； ③(c −b)sinC =asinA −bsinB ． (1)求角A ；(2)若b =c ，点D 满足2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求cos∠ADC 的值．19. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−6)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,0)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)．(1)若点A ，B ，C 不能构成三角形，求x ，y 满足的关系； (2)若x =1且∠ACB 为钝角，求|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，∠APB=90°，∠ABC=60°，PA=PB，AB=PC=4，点M是AB的中点，点N在线段BC上．(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；(2)若二面角N−PM−C的大小为60°，求N到平面PCD的距离．21.为助力脱贫攻坚，某贫困县一种植基地精准发展经济作物，种植嘉宝果，但嘉宝果的品质和产量对气候依赖较大，记气候指数为(0<λ<1)，气候指数越高果实品质和产量越高，产生的经济效益越高．该基地统计了最近10年当地的气候指数，得到如下频率分布直方图．(1)求a的值；(2)求最近10年气候指数λ的中位数；(3)据长期统计，该基地的利润y(单位：千元)与每亩地的投入x∈[3,5](单位：千元)和气候指数有如下关系：y=45λ−45x+1λ−2x−20，x∈[3,5]，试估计对于任意的x∈[3,5]，该基地都不亏损的概率．22.为了求一个棱长为√2的正四面体的体积，某同学设计如下解法．解：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体ACB1D1为棱长是√2的正四面体，且有V四面体ACB1D1=V正方体−V B−ACB1−V A1−AB1D1−V C1−B1CD1−V D−ACD1=1 3V正方体=13．(1)类似此解法，如图2，一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为√5，√13，√10，求此四面体的体积：(2)对棱分别相等的四面体ABCD中，AB=CD，AC=BD，AD=BC.求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；(3)有4条长为2的线段和2条长为m的线段，用这6条线段作为棱且长度为m的线段不相邻，构成一个三棱锥，问m为何值时，构成三棱锥体积最大，最大值为多少？[参考公式：三元均值不等式√abc 3≤a+b+c 3(a,b,c >0)及变形abc ≤(a+b+c 3)3(a,b,c >0)，当且仅当a =b =c 时取得等号]答案和解析1.【答案】B【解析】解：z=−3+i1+i =(−3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=−1+2i，∴z的实部为−1，虚部为2，故A、C错误；|z|=√(−1)2+22=√5，故B正确；z−=−1−2i，∴在复平面内，z−对应的点为(−1,−2)，位于第三象限，故D错误；故选：B．根据z(1+i)=−3+i，得到z=−1+2i，然后根据选项分别判断即可．本题考查了复数的运算性质与几何意义，复数的模和复数的概念，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：因为AB=√3，BC=√2，且A=π4，由正弦定理可得，ABsinC =BCsinA，则sinC=AB⋅sinABC =√3×√22√2=√32，因为AB>BC，则C>A，故C=π3或2π3．故选：D．由正弦定理，求出sin C的值，结合大边对大角，即可得到答案．本题考查了解三角形的应用，主要考查了正弦定理的应用，解题的关键是利用大边对大角确定解的个数，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：∵a⃗+b⃗ =(−1,1)，∴|a⃗+b⃗ |=√2，∴(a⃗+b⃗ )2=|a⃗+b⃗ |2=2，即|a⃗|2+2a⃗⋅b⃗ +|b⃗ |2=2，∴1+2a⃗⋅b⃗ +3=2，∴a⃗⋅b⃗ =−1，∴|2a⃗+b⃗ |=√(2a⃗+b⃗ )2=√4|a⃗|2+4a⃗⋅b⃗ +|b⃗ |2=√4×1+4×(−1)+3=√3．故选：B．易知|a⃗+b⃗ |=√2，两边平方后，可求得a⃗⋅b⃗ =−1，再由|2a⃗+b⃗ |=√(2a⃗+b⃗ )2，展开运算，即可得解．本题考查平面向量的混合运算，模长的求法，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：①若a//b，b⊂α，则a//α；也可能a⊂α，所以①不正确；②若a//α，b⊂α，则a//b；也可能a与b是异面直线，所以②不正确；③若α⊥β，a⊂α，则a⊥β；也可能a//β，有可能是相交但不垂直，所以③不正确；④若α//β，a⊂α，b⊂β，则a//b.也可能是异面直线，所以④不正确；所以正确命题是0个．故选：A．利用直线与直线，直线与平面的平行与垂直的位置关系判断选项的正误即可．本题考查命题的真假的判断，涉及空间直线与直线，直线与平面的平行以及垂直等基本知识的考查．5.【答案】A【解析】解：由题意可知，数据个数没变且数据之和没变，故平均数没变，设平均数为x−，设现方差和原方差分别为D1(x)，D2(x)，∵变化前后其它8个数据值没变，[(1−x−)2+(10−x−)2−(5−x−)2−(6−x−)2]=4．∴D1(x)−D2(x)=110故选：A．根据已知条件，可得变化前后平均数没有变化，再结合方差公式，即可求解．本题主要考查方差公式的应用，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：以B 为原点，BC ，BA 所在直线分别为x ，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0,0)，C(6,0)，D(3,4)，∵点E 是CD 的中点， ∴E(92,2)，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,4)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,−2)， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3×32−4×2=−72=−3.5． 故选：B ．以B 为原点，BC ，BA 所在直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算，即可得解．本题考查平面向量在几何中的应用，遇到规则图形，一般可以采取建立坐标系，转化为平面向量的坐标运算可简化试题，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：如图建立空间直角坐标系，设棱长为1， CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面BC 1D 1的法向量，CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，1) BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)直线A 1B 与平面BC 1D 1所成的角为αsinα=CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12 所以α=π6，tanα=√33故选：B ．建立空间直角坐标系，求出平面BC 1D 1的法向量，利用公式求出直线A 1B 与平面BC 1D 1所成的角的正弦值，然后求出正切值即可．本题考查用空间向量求直线与平面的夹角，考查逻辑思维能力，计算能力，是基础题．8.【答案】C【解析】解：由题意，当平面ADE⊥平面ABE时，三棱锥D−ABE的高有最大值，此时体积最大．∵△ADE是直角三角形，取斜边AE的中点G，则G为直角三角形ADE的外心，设等腰三角形AEB的外心为O，连接OG，则OG⊥平面ADE，则OA=OB=OE=OD，即O为三棱锥D−ABE的外接球的球心，在△AEB中，AB=2，AE=BE=√5，则cos∠AEB=5+5−42×√5×√5=35，得sin∠AEB=45，外接球半径R=22×45=54，∴三棱锥外接球的表面积为4π×2516=25π4．故选：C．由E是CD边的中点，可得△S ABE为定值，当△ADE⊥平面ABE时，高最大值，此时体积最大，求得三角形ABE外接圆的半径，即可求得球的表面积．本题考查球的表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】ACD【解析】解：由频率分布直方图概率之和为1可得，10×a=1−(0.035+0.03+0.02+ 0.01)×10，解得a=0.005，故A选项正确，这500名参赛者得分的平均数为45×0.05+55×0.35+65×0.3+75×0.2+85×0.1=64.5，故B选项错误，得分在[60,80)之间的频率为(0.03+0.02)×10=0.5，故C选项正确，得分在[40,60)之间的频率为(0.005+0.035)×10=0.4，故得分在[40,60)之间的共有500×0.4=200，故D选项正确．故选：ACD．根据频率分布直方图概率之和为1可推得，a=0.005，再结合平均数公式，以及频率与频数的关系，即可求解．本题主要考查频率分布直方图的性质，以及平均数的求解，属于基础题．10.【答案】CD【解析】解：BC//平面PAD，于是BC平行于平面PAD与平面PBC的交线l，∵EF与BC相交，则EF与直线l相交，则EF与平面PAD相交，故A错误；取AB的中点M，则PA//EM，PA与EF所成角为∠MEF，随F的变化而变化，故B错误；V P−ADE=V A−PED=V A−BDE=V B−ADE=V F−ADE，故C正确；∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，则BC⊥AE，又PA=AB，E为PB的中点，∴AE⊥PB，又PB∩BC=B，∴AE⊥平面PBC，可得平面AEF⊥平面PBC，故D正确．故选：CD．由直线与平面平行的性质及线面关系判定A；找出异面直线所成角，分析F点的变化判定B；由等体积法判定C；直接证明面面垂直判定D．本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查线面角及多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】AC【解析】解：对于A：在△ABC中，若A>B，所以a>b，利用正弦定理：则sinA>sinB，故A正确；对于B：在△ABC中，若sin2A=sin2B，整理得2A=2B或2A=π−2B，故A=B，A+ B=π，2则△ABC是等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C ：因为B =30°，c =6，b =8，由正弦定理可得sinC =c⋅sinB b=6×128=38>0，因为c <b ，可得C 为锐角，只有一解，故正确；对于D ：因为tanA +tanB +tanC =tanAtanBtanC >0， 又△ABC 中不可能有两个钝角， 故tanA >0，tanB >0，tanC >0， 所以A ，B ，C 都为锐角，故错误． 故选：AC ．对于A ：利用正弦定理即可求解；对于B ：由题意可得2A =2B 或2A =π−2B ，可求A =B ，A +B =π2，即可判断可得△ABC 是等腰三角形或直角三角形；对于C ：由正弦定理可得sinC =38>0，利用大边对大角可得C 为锐角，即可得解；对于D ：由已知结合两角和的正切公式检验D ；本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．12.【答案】ABCD【解析】解：因为PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 即23PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −43PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由奔驰定理S △PBC PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +S △PCA PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +S △PAB PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 得PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−S△PBC S △PCAPA ⃗⃗⃗⃗⃗ −S △PAB S△PCAPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，所以−S △PBC S △PCA =−23，S △PAB S △PCA =−43， 所以S △PAB ：S △PBC ：S △PCA =4：2：3，故A 正确； 延长AO ，BO ，CO ，分别与对边交于点D ，E ，F ，如图：由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以OB ⊥AC ，同理可得OC ⊥AB ，OA ⊥BC ， 所以O 是△ABC 的垂心，所以四边形AEOF 中，∠BAC +∠EOF =π，∠EOF =∠BOC ， 所以∠A +∠BOC =π，故B 正确；由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠AOB =|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠BOC =|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠AOC ，所以|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |：|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |：|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=cos∠BOC ：cos∠AOC ：cos∠AOB ， 由B 选项得cos∠BOC =−cosA ，cos∠AOC =−cosB ，cos∠AOB =−cosC ，所以|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |：|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |：|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=cosA ：cos B ：cos C ，故C 正确； 由上述讨论知，S △OBC =12|OB||OC|sin∠BOC =12|OB||OC|sinA ，S △OAC =12|OA||OC|sin∠AOC =12|OA||OC|sinB ， S △OAB =12|OA||OB|sin∠AOB =12|OA||OB|sin∠C ， 由选项C ：|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |：|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |：|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=cosA ：cos B ：cos C ， 得S △OBC ：S △OAC ：S △OAB =sinAcosA ：sinBcosB ：sinCcosC =tanA ：tan B ：tan C ． 由奔驰定理：S A ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +S B ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +S C ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 得tanA ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +tanB ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +tanC ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，故D 正确． 故选：ABCD ．PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，变形后表示为PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−23PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −43PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由奔驰定理得出向量PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的关系，利用平面向量基本定理，判断A 是否正确；利用数量积的运算，变形后证明O 是△ABC 的重心，由平面几何知识判断B ，利用数量积的定义表示已知数量积的等式，结合选项B的结论即可判断C是否正确；求出△AOB，△BOC，△COA的面积，利用选项B的结论，再利用选项C的结论，可得面积比，然后结合奔驰定理可判断D是否正确．本题考查平面向量的基本定理的应用，考查学生的创新能力，属于中档题．13.【答案】0.363【解析】解：由题意可得，4人年收入的平均数为5+10+30+554=25，中位数为10+302=20，则中位数对平均数的占比为2025=0.8，由表中的数据可知，对应的基尼系数为0.363．故答案为：0.363．先求出4人年收入的平均数和中位数，然后计算中位数对平均数的占比，对照表格中的数据即可得到答案．本题考查了新定义问题，涉及了平均数计算公式的应用，中位数定义的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．14.【答案】π【解析】解：如图所示，圆锥的轴截面是顶角∠APB=120°，即∠APO=60°，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，所以r=√32l，所以2πr=αl，解得α=2πrl=√3π；所以圆锥的侧面积为12⋅α⋅l2=√3π2⋅l2=2√3π，解得l=2，r=√3；所以OP=√l2−r2=√4−3=1，所以圆锥的体积为13πr2ℎ=13π×3×1=π．故答案为：π．根据题意求出圆锥的底面半径和高，再计算圆锥的体积．本题考查圆锥的结构特征和圆锥侧面积、体积的计算问题，是基础题．15.【答案】√24【解析】解：∵b=c=1，∴a2=b2+c2−2bccosA=2b2−2b2cosA=2b2(1−cosA)=2(1−cosA)，∵a2=2(1−sinA)，∴1−cosA=1−sinA，则sinA=cosA，即tanA=1，即A=π4，∴△ABC的面积S=12bcsinA=12×1×1×√22=√24．故答案为：√24．利用余弦定理，建立方程关系得到1−cosA=1−sinA，即sinA=cosA，即可得解A 的值，利用三角形的面积公式即可得解．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形的应用，根据余弦定理建立方程关系是解决本题的关键，属于基础题．16.【答案】−1【解析】解：根据x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，设x1=s+ti(s,t∈R,t≠0)，则x2=s−ti，则x1+x2=2s，x1x2=s2+t2，∵x12x2=(s+ti)2s−ti=s3−3st2s2+t2+3s2t−t3s2+t2i是实数，∴3s2t−t3=0，∴3s2=t2，∴x1+x2=2s，x1x2=s2+t2=4s2，∴(x1+x2)2=x12+x22+2x1x2=x1x2，∴(x2x1)2+x2x1+1=0，∴x2x1+(x2x1)2=−1．故答案为：−1．根据x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，设x1=s+ti(s,t∈R,t≠0)，得到x2=s−ti，然后结合x12x2是实数，求出x2x1+(x2x1)2的值．本题考查复数虚部的概念，以及复数的运算性质，属于中档题．17.【答案】(Ⅰ)证明：连接BD，交AC于点O，连接OE，∵O，E分别为BD，DD1的中点，∴OE//BD1，又OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，∴BD1//平面ACE．(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，OE//BD1，∴∠AEO或其补角为异面直线AE与BD1所成角，设正方体的棱长为2，则AE=CE=√5，OA=12AC=√2，∵O为AC的中点，∴OE⊥AC，∴OE=√AE2−OA2=√5−2=√3，∴cos∠AEO=OEAE =√3√5=√155，故异面直线AE与BD1所成角的余弦值为√155．【解析】(Ⅰ)连接BD，交AC于点O，连接OE，易知OE//BD1，再由线面平行的判定定理，得证；(Ⅱ)由OE//BD1，知∠AEO或其补角即为所求，再利用勾股定理求得OE和AE的长，然后由cos∠AEO=OEAE，得解．本题考查空间中线与面的平行关系，异面直线夹角，熟练掌握线面平行的判定定理，以及利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)选择条件①：∵√3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2S △ABC ， ∴√3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosA =2⋅12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinA ， ∴tanA =sinAcosA =√3， ∵A ∈(0,π)，∴A =π3． 选择条件②：∵向量m ⃗⃗⃗ =(−√3cosA,a)与向量n ⃗ =(c,sinC)垂直， ∴−√3ccosA +asinC =0， 由正弦定理知，asinA =c sinC ，∴−√3sinC ⋅cosA +sinA ⋅sinC =0，∵sinC ≠0，∴−√3cosA +sinA =0，即tanA =sinAcosA =√3， ∵A ∈(0,π)，∴A =π3． 选择条件③：由正弦定理知，asinA =bsinB =csinC ， ∵(c −b)sinC =asinA −bsinB ，∴(c −b)c =a 2−b 2，即b 2+c 2−a 2=bc ， 由余弦定理知，cosA =b 2+c 2−a 22bc=bc 2bc =12，∵A ∈(0,π)，∴A =π3． (2)由(1)知，A =π3，∵b =c ，∴△ABC 为等边三角形， 设△ABC 的边长为x ， ∵2BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴CD =23x ， ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=x 2+2⋅x ⋅23x ⋅cos 2π3+(23x)2=79x 2，∴|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√73x ， 在△ACD 中，由余弦定理知，cos∠ADC =AD 2+CD 2−AC 22AD⋅CD=79x 2+49x 2−x 22⋅√73x⋅23x =√714．【解析】(1)选择条件①：结合平面向量的数量积和三角形面积公式，可推出tanA =√3，从而得解；选择条件②：根据向量垂直的条件，结合平面向量的数量积和正弦定理，推出tanA =√3，得解；选择条件③：利用正弦定理将已知等式中的角化边，再由余弦定理，推出cosA =12，得解．(2)设△ABC 的边长为x ，由AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合平面向量的数量积运算，可得|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√73x ，再在△ACD 中，由余弦定理，得解． 本题考查平面向量与解三角形的综合应用，熟练掌握平面向量的运算法则，正余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)根据题意，向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−6)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,0)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)． 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(8,6)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y +6)， 若若点A ，B ，C 不能构成三角形，即A 、B 、C 三点共线， 则有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故有6x =8(y +6)，变形可得3x −4y −24=0； (2)若x =1，则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,y)，则CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−6−y)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(7,−y) 若∠ACB 为钝角，则CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ <0且CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线， 则有7+y(6−y)<0且y ≠−7(6+y)， 解可得：−1<y <7且y ≠−214，又由|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+y 2，则有1≤|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤5√2且|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |≠√4574， 故|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围为[1,√4574)∪(√4574,5√2].【解析】(1)根据题意，求出AB⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，分析可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由向量平行的坐标表示方法可得关于x 、y 的方程，变形可得答案；(2)根据题意，求出CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，分析可得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ <0且CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线，即可得关于y 的不等式，求出y 的取值范围，由向量模的计算公式，分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算以及向量模的计算，属于基础题．20.【答案】解：(1)证明：在△PAB中，因为，∠APB=90°，PA=PB，AB=4，点M 是AB的中点所以MB=MP=MA=2，PM⊥AB，因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=4，所以CM=2√3，所以CM2+PM2=PC2，∴PM⊥MC而AB∩CM=M，AB、CM⊂平面ABCD，所以PM⊥平面ABCD，因为PM⊂平面PAB，所以平面ABCD⊥平面PAB；(2)由(1)可得PM⊥面ABCD，连结MN，二面角N−PM−C的的平面角为∠NMC，∵二面角N−PM−C的大小为60°，∴∠NMC=60°，在Rt△BCM中，∠MCB=30°，∴∠MNC=90°，即MN⊥BC，∴CN=CMsin60°=3，在△AMD中，MD=√AM2+AD2−2AM⋅ADcos∠MAD=2√7，∴PD=√PM2+MD2=4√2，又PC=√PM2+MC2=4，∴PD2=PC2+CD2，则△PCD为直角三角形．设N到平面PCD的距离为d，又V P−NCD=V N−PCD．即13S△NCD⋅PM=13S△PCD⋅d，13⋅12×3×4sin120o×2=13×12×4×4×d，解得d=3√34，所以N到平面PCD的距离为3√34．【解析】(1)由三角形的勾股定理和线面垂直的判定，推得PM⊥平面ABCD，再由面面垂直的判定定理，即可得证；(2)由线面垂直的判定和性质，以及等积法，结合棱锥的体积公式，计算可得所求值．本题考查线面垂直和面面垂直的判定和性质，以及点到平面的距离的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)由频率分布直方图的性质，可得0.1×(1+1+a +5)=1，解得a =3． (2)∵[0.9,1]的频率为5×0.1=0.5，∴最近10年气候指数λ的中位数为0.9．(3)对于任意的x ∈[3,5]，该基地都不亏损，即有y ≥0，故y =45λ−45x+1λ−2x −20>0，即45λ≥2x 2+22x+20x =22+2(x +10x )对任意的x ∈[3,5]恒成立，令g(x)=x +10x ，当x ∈[3,√10)时，函数g(x)单调递减，当x ∈[√10,5) 时，函数g(x)单调递增，当x =3时，22+2(x +10x )=22+383=1043，当x =5时，22+2(x +10x )=22+2×(5+2)=36，∴22+2(x +10x ) 的最大值为36，即45λ≥36，解得λ≥0.8，当λ∈[0.8,1]时，该合作社才能亏损，由频率分布直方图可知，该合作社不亏损的概率为0.1×(3+5)=0.8．【解析】(1)根据已知条件，结合频率分布直方图的概率之和为1，即可求解．(2)根据已知条件，结合中位数的求解方法，即可求解．(3)将问题转化为45λ≥2x 2+22x+20x =22+2(x +10x )对任意的x ∈[3,5]恒成立，结合函数的单调性，可得实数λ的取值范围，再根据直方图求出概率，即可求解．本题主要考查频率分布直方图与函数恒成立的综合应用，需要学生较强的综合能力，属于难题．22.【答案】解：(1)解：设四面体ABCD 所在长方体的棱长分别为a ，b ，c ， 则{a 2+b 2=5a 2+c 2=13b 2+c 2=10，解得{a 2=4b 2=1c 2=9∴四面体的体积V =abc −13⋅12abc ×4=13abc =2．(2)证明：在四面体ABCD 中，∵AB =CD ，AC =BD ，AD =BC ，∴四面体ABCD 的四个面为全等三角形，即只需证明一个面为锐角三角形即可．设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则AB2=a2+b2，BC2=b2+c2，AC2=a2+c2，∴AB2+BC2>AC2，AB2+AC2>BC2，AC2+BC2>AC2，∴△ABC为锐角三角形，则这个四面体的四个面都是锐角三角形；(3)解：当2条长为m的线段不在同一个三角形中，如图，不妨设AD=BC=m，BD=CD=AC=2，取BC的中点E，连接AE，DE，则AE⊥BC，DE⊥BC，而AE∩DE=E，∴BC⊥平面AED，则三棱锥的体积V=13S△ADE⋅BC，在△AED中，AE=DE=√4−m24，AD=m，S△AED=12m⋅√4−m24−m24=12√m2(4−m22)，∴V=16√m2⋅m2(4−m22)=16⋅4√m24⋅m24⋅(4−m22)∵m24⋅m24⋅(4−m22)≤(m24+m24+4−m223)3=6427，∴V≤16√327．当且仅当m24=4−m22，即m=4√3时等号成立；故m=4√33时，构成的三棱锥体积最大，最大值为16√327．【解析】(1)设四面体所在长方体棱长分别为a，b，c，则长方体的对角线长分别为√5，√13，√10，利用勾股定理列方程求出a，b，c，使用做差法求出四面体体积．(2)在四面体ABCD中，由已知可得四面体ABCD的四个面为全等三角形，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，证明△ABC为锐角三角形，即可证明这个四面体的四个面都是锐角三角形；(3)当2条长为a的线段不在同一个三角形中，写出三棱锥体积，利用基本不等式求最值；当边长为a的两条棱在同一个三角形中时，可知当AB⊥平面BCD时，体积取最大值，比较大小得结论．本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力与转化思想，考查运算求解能力，属于难题．。

西南师大附中下期期末考试高一数学试题（总分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． sin 600︒的值等于（ ）A ．12B C ．12-D ． 2． 在命题“若a > b ，则22ac bc >”及它的逆命题、否命题、逆否命题之中，其中真命题有（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3． 设a < b < 0，则下列不等式不成立的是（ ）A ．22a b >B ．||||a b >C ．11a b> D ．11a b a>- 4． 在□ABCD 中，AC 为一条对角线，若(24)(13)AB AC BD ===，，，，则（ ）A ．（– 2，– 4）B ．（– 3，– 5）C ．（3，5）D ．（2，4）5． 如果函数2sin cos y x a x =+的值域为[33]-，，则a 等于（ ）A B ．1± C ．D ．6． 已知函数sin()y A x m ωϕ=++的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线3x π=是其图象的一条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式为（ ）A ．4sin(4)3y x π=+B ．2sin(2)23y x π=++C ．2sin(4)3y x π=+D ．2sin(4)26y x π=++7． 若不等式|1|x a -<成立的充分条件是04x <<，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3a ≥B ．3a ≤C ．1a ≥D ．1a ≤8． 已知P 、Q 为直线l 上的两点，且43()55PQ =-，，点O （0，0）和A （1，– 2）在l上的射影分别为''O A 和，则''O A PQ λ=，其中λ为（ ） A ．115 B ．115- C ．2 D ．– 2 9．已知O为△ABC所在平面内一点，满足222222||||||||||||OA BC OB CA OC AB +=+=+，则O 为△ABC 的（ ） A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心10． 已知x 、y 、z 满足方程222(2)(2)2x y z +-++=，（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11． 已知向量(42)(3)//a b x a b ==，，向量，，且，则x 的值为________________。

2019-2020学年重庆市西南大学附属中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知向量(1,2),(,4),a b x =-=且//,a b ，则a b -=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【详解】分析：首先由向量平行确定向量b 的坐标，再求向量a b -的模长.详解：因为//,a b ，所以24x -=，即2x =-； 所以()36，-=-a b ； 所以35-=a b .点睛：1、本题考查向量共线、向量的坐标运算等知识，意在考查学生的分析、计算能力.解决本题的关键在于熟练掌握向量平行的坐标表示；熟记向量坐标的加减运算与向量模长的坐标运算.2．在等差数列{}n a 中，59a =，且3226a a =+，则1a 等于（ ）A ．－3B ．－2C ．0D ．1【答案】A【解析】根据题意,设等差数列{}n a 的公差为d ,首项为a 1，若59a =,则有1a +4d =9， 又由3226a a =+,则2(1a +2d )=(1a +d )+6， 解可得d =3,1a =−3； 故选A.3．已知ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222a b c bc =+-，4bc =，则ABC 的面积（ ）A ．12B ．1CD ．2【答案】C【解析】由余弦定理得1cos 2A =，进而可得3sin 2A =，再由三角形的面积公式求得答案.【详解】222a b c bc =+-，2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， 由(0,)A π∈，可得3A π=，3sin 2A =， 1sin 32ABC bc S A ==故选：C【点睛】本题考查了余弦定理，三角形的面积公式，属于基础题.4．已知()236(0)1x x x x f x ++=>+，则()f x 的最小值是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．8 【答案】B【解析】利用换元法，令1,(0)t x x =+>，可将原函数转化为()41,1y t t t++>=，再根据对勾函数的单调性，即可求出结果.【详解】令1,(0)t x x =+>，所以()1,1x t t =->; 所以()236(0)1x x x x f x ++=>+转化为()()()231116t t y t t -+-+>=； 即()()()21316411y t t t t tt =++-+-+=>, 又函数y 在()1,2上单调递减，在区间()2,+∞上单调递增，所以当2t =时，y 取到最小值，最小值为5；即当1x =时，()f x 取到最小值，最小值为5.故选：B.【点睛】本题主要考查了换元法和函数单调性在求函数最值中的应用，属于基础题.5．已知实数x，y满足222y xx yx≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，3z x y=-，则z的最小值是（）A．2-B．4-C．6-D．8-【答案】D【解析】根据约束条件画出可行域，将问题转化为133zy x=-在y轴截距最大值的求解问题，利用数形结合的方式可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：由3z x y=-得：133zy x=-，∴当z取最小值时，133zy x=-在y轴截距最大；由图象可知，当133zy x=-过点A时，在y轴截距最大，由222xx y=-⎧⎨+=⎩得：()2,2A-，min2328z∴=--⨯=-.故选：D.【点睛】本题考查线性规划中的最值问题的求解，关键是能够将所求最值转化为直线在y轴截距的最值的求解问题，属于常考题型.6．已知直线10ax by++=与直线4350x y++=平行，且10ax by++=在y轴上的截距为13，则+a b的值为（）A．7-B．1-C．1D．7【答案】A【解析】【详解】分析：根据两条直线平行，得到,a b 的等量关系，根据直线在y 轴上的截距，可得b 所满足的等量关系式，联立方程组求得结果.详解：因为直线10ax by ++=与直线4350x y ++=平行，所以43b a =，又直线10ax by ++=在y 轴上的截距为13， 所以1103b +=，解得3b =-，所以4a =-，所以7a b +=-，故选A.点睛：该题考查的是有关直线的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有两条直线平行时系数所满足的条件，以及直线在y 轴上的截距的求法，根据题中的条件，列出相应的等量关系式，求得结果.7．等比数列{}n a 中，已知对任意自然数n ，12321n n a a a a +++⋅⋅⋅+=-，则2222123++++n a a a a 等于（ ） A ．()221n -B ．()1413n -C ．41n -D ．()1213n - 【答案】B 【解析】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，根据题意，并结合11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，可求n a ，进而求出{}2n a 的通项公式，由此可判断{}2n a 是以1为首项， 4为公比的等比数列，再利用等比数列前n 项和公式，即可求出结果.【详解】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则12321n n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+=-； 当1n =时，111a S ==；当2n ≥时，()11121212n n n n n n a S S ---=-=---=；当1n =时，上式亦满足；所以12n n a ，所以214n n a -=， 所以数列{}2n a 是以1为首项，4为公比的等比数列所以()222212311441143n n n a a a a ⋅--++++==-. 故选：B ．本题主要考查了利用数列的递推公式11,1,2nn nS naS S n-=⎧=⎨-≥⎩求通项公式，和等比数列前n项和公式的应用，属于基础题.8．已知ABC的三个顶点()1,2A，()2,1B，()3,3C，若ABC夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线的距离的最小值是（）A．35B．2C．322D．5【答案】B【解析】分别过A、B、C三个点，作斜率为1的三条直线，在坐标系中作出草图，利用数形结合，可知ABC夹在两条斜率为1的平行直线1l和2l之间，且此时两平行线之间的距离最小；再利用两条平行直线间的距离公式，即可求出结果．【详解】分别过A、B、C三个点，作斜率为1的三条直线,1:21l y x-=-，即10x y-+=;2:12l y x-=-，即10x y--=;3:33l y x-=-，即0x y-=．作出草图，如下图所示：显然，ABC夹在两条斜率为1的平行直线1l和2l之间，此时这两条平行直线的距离最小；又直线1l和2l之间的距离为()11211d--==+2.故选：B．本题主要考查了点斜式求直线方程，两条平行直线间的距离公式，以及数形结合能力，属于中档题．9．若过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．8【答案】B【解析】先计算出两条动直线经过的定点，即A 和B ，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA PB ⊥；再利用基本不等式放缩即可得出||||PA PB 的最大值．【详解】解：由题意可知，动直线0x my +=经过定点(0,0)A ，动直线30mx y m --+=即(1)30m x y --+=，经过点定点()1,3B ，注意到动直线0x my +=和动直线30mx y m --+=始终垂直，P 又是两条直线的交点， 则有PA PB ⊥，222||||||10PA PB AB ∴+==．故22||||||||52PA PB PA PB +=（当且仅当||||PA PB ==时取“=” ) 故选：B ．【点睛】 本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有22||||PA PB +是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题． 10．已知ABC ，若对任意m R ∈，BC mBA CA -≥恒成立，则ABC 为（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定 【答案】C【解析】在直线AB 上取一点D ，根据向量减法运算可得到DC CA ≥，由垂线段最短可确定结论.【详解】在直线AB 上取一点D ，使得mBA BD =，则BC mBA BC BD DC -=-=，DC CA ∴≥.对于任意m R ∈，都有不等式成立，由垂线段最短可知：AC AD ⊥，即AC AB ⊥， ABC ∴为直角三角形.故选：C .【点睛】本题考查与平面向量结合的三角形形状的判断，关键是能够利用平面向量数乘运算和减法运算的几何意义准确化简不等式.11．已知数列{}n a 的通项公式为)*n a n N =∈，其前n 项和为n S ，则在数列1S ，2S …，2019S 中，有理数项的项数为（ ）A ．42B ．43C ．44D ．45 【答案】B【解析】本题先要对数列{}n a 的通项公式n a 运用分母有理化进行化简，然后求出前n 项和为n S 的表达式，再根据n S 的表达式的特点判断出那些项是有理数项，找出有理数项的下标的规律，再求出2019内属于有理数项的个数．【详解】解：由题意，可知：n a ==== 12n n S a a a ∴=++⋯+1=-1= 3S ∴，8S ，15S ⋯为有理项，又下标3，8，15，⋯的通项公式为21(2)n b n n =-，212019n ∴-，且2n ，解得：244n ，∴有理项的项数为44143-=．故选：B ．【点睛】本题主要考查分母有理化的运用，根据算式判断有理数项及其下标的规律，属于中档题． 12．已知数列{}n a 满足()1341n n a a n ++=≥，且19a =，其前n 项之和为n S ，则满足不等式16125n S n --<的最小整数n 是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C【解析】首先分析题目已知3a n+1+a n =4（n ∈N ）且a 1=9，其前n 项和为S n ，求满足不等式|S n ﹣n ﹣6|＜1125的最小整数n ．故可以考虑把等式3a n+1+a n =4变形得到111-13n n a a +-=-，然后根据数列b n =a n ﹣1为等比数列，求出S n 代入绝对值不等式求解即可得到答案．【详解】对3a n+1+a n =4 变形得：3（a n+1﹣1）=﹣（a n ﹣1） 即：111-13n n a a +-=- 故可以分析得到数列b n =a n ﹣1为首项为8公比为13-的等比数列． 所以b n =a n ﹣1=8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭a n =8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭+1 所以181********n n n S n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=-⨯-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭|S n ﹣n ﹣6|=n11-6-3125⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭解得最小的正整数n=7故选C ．【点睛】此题主要考查不等式的求解问题，其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题，属于不等式与数列的综合性问题，判断出数列a n ﹣1为等比数列是题目的关键，有一定的技巧性属于中档题目．二、填空题13．已知向量()2,1a y =-，(),3b x =，且a b ⊥，若x ，y 均为正数，则32x y +的最小值是______．【答案】8【解析】由题意利用两个向量垂直的性质，基本不等式，求得xy 的最大值，可得要求式子的最小值．【详解】 解：向量(2,1)a y =-，(,3)b x =，且a b ⊥，∴23(1)0a b x y =+-=．若x ，y 均为正数，则23326x y xy +=，38xy∴，当且仅当3232x y ==时，取等号． 则32233838y x x y xy ++==，故答案为：8．【点睛】本题主要考查两个向量垂直的性质，基本不等式的应用，属于中档题．14．已知两点()3,4A -，()3,2B ，直线l 经过点()2,1P -且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是______．【答案】3k ≥或1k ≤-【解析】根据题意作图如下，结合图形可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与直线PA 的倾斜角之间，根据随着倾斜角的变化直线斜率的变换规律，分直线l 的倾斜角小于90和大于90两种情况分别求出直线l 的斜率k 的取值范围即可.【详解】如图所示：因为直线l 经过点()2,1P -且与线段AB 相交，所以直线l 的倾斜角介于直线PB 与直线PA 的倾斜角之间，当直线l 的倾斜角小于90时，有PB k k ≥；当直线l 的倾斜角大于90时，有PA k k ≤，由直线的斜率公式可得，()()41211,33232PA PB k k ----==-==---，所以直线l 的斜率k 的取值范围为3k ≥或1k ≤-.故答案为：3k ≥或1k ≤-【点睛】本题考查直线斜率的取值范围；考查数形结合的思想和运算求解能力；属于常考题型、难度较大型试题.15．著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，…，的特点是从三个数起，每一个数等于它前面两个数的和，则222212320482048a a a a a ++++是数列中的第______项．【答案】2049【解析】由题意可得21n n n a a a ++=+，进而可得21211n n n n n a a a a a ++++⋅=+⋅，然后再利用累加法，即可求出结果．【详解】由题意可知21n n n a a a ++=+，所以()1211n n n n n a a a a a ++++⋅=⋅+，即21211n n n n n a a a a a ++++⋅=+⋅ 所以220482049204820482047a a a a a ⋅=+⋅，220472048204720472046a a a a a ⋅=+⋅，……223221·a a a a a ⋅=+，所以2222048204920482047221·a a a a a a a ⋅=++⋯++， 又21a a =所以2222204820492048204721a a a a a a ⋅=++⋯++∴ 2222123204820492048a a a a a a ++++=． 所以222212320482048a a a a a ++++是数列中的第2049项.故答案为：2049 ．【点睛】本题考查了数列的递推公式和累加法的应用，考查学生的计算能力，属于中档题． 16．已知x y ，为正实数，则22x x y x yx+++的最小值为_________. 【答案】32+ 【解析】化简题目所求表达式，然后利用基本不的等式求得最小值.【详解】 原式1221y y x x =+++，令0y t x =>，则上式变为1212t t +++()113121222tt =++++3322≥=+()1112,122t t t =+=+32+. 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题17．已知函数()2sin cos f x x x x =． (Ⅰ)求()f x 的最小正周期及对称轴；(Ⅱ)求函数()f x 在区间[0,23π]上的值域． 【答案】（I ）πT =，对称轴,32k x k Z ππ=+∈；（II ）3[0,]2.【解析】（I ）由题将()2sin cos f x x x x =进行化简易得，1()sin(2)62f x x π=-+ 可得周期和对称轴； (Ⅱ) 因为203x π≤≤，所以72666x πππ-≤-≤，易得130sin 2-622x π≤+≤（）求得值域.【详解】（Ⅰ）()21-cos2sin cos 2sin cos 22x f x x x x x x =+=+1112cos 2sin(2)22262x x x π=-+=-+ 所以 ,T π= 对称轴2,62x k k Z πππ-=+∈即 ,32k x k Z ππ=+∈ （Ⅱ）由（Ⅰ）得1()sin(2)62f x x π=-+ 因为203x π≤≤，所以72666x πππ-≤-≤， 所以1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，因此130sin 2-622x π≤+≤（） 所以f(x)的值域30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查了三角恒等变化以及性质，属于基础题.18．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令21()1n n b n N a +=∈-，求数列{}n b 的前n 项和为n T .【答案】（1）=21n a n +；（2）()41n n + 【解析】（1）由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可求出答案； （2）由（1）可得21111=4441n b n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，再用裂项相消法即可求出答案． 【详解】解：（1）①当1n =时，11==3a S ，②当2n ≥时，()()221=212121n n n a S S n n n n n --=+----=+，1=3a 也符合上式， ∴数列{}n a 的通项公式为=21n a n +；（2）2211111=14441n n b a n n n n ⎛⎫==- ⎪-++⎝⎭， ∴1111111...42231n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1114141n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． 【点睛】本题主要考查已知n S 求n a 的问题，考查裂项相消法求数列的和，考查计算能力，属于中档题．19．如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，72,,cos 42CAD AC ADB π∠==∠=-.（1）求sin C ∠的值；（2）若5BD =，求ABD ∆的面积.【答案】（1）45；（2）7. 【解析】【详解】试题分析：（1）先由2cos 10ADB ∠=-得出72sin ADB ∠=利用两角差的正弦公式将sin sin 4C ADB π⎛⎫∠=∠- ⎪⎝⎭展开，代入求值即可；（2）由正弦定理sin sin AD AC C ADC=∠∠得到AD 的值，再利用三角形面积公式即可. 试题解析：（1）因为cos 10ADB ∠=-，所以sin 10ADB ∠=. 又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-.所以4sin sin sin cos cos sin 4441021025C ADB ADB ADB πππ⎛⎫∠=∠-=∠⋅-∠⋅=+= ⎪⎝⎭.（2）在ACD ∆中，由sin sin AD AC C ADC=∠∠，得74sin sin 10AC C AD ADC ⨯⋅∠===∠所以11sin 572210ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⨯⨯=. 【考点】1、两角差的正弦余弦公式；2、正弦定理及三角形面积公式.20．已知函数22(),(1,)x x a f x x x++=∈+∞. （1）当4a =时，求函数()f x 的最小值及对应的实数x 的值；（2）若对任意(1,),()x f x a ∈+∞>恒成立，试求实数a 的取值范围.【答案】（1）函数最小值为6，对应的实数x 的值为2；（2）(,4-∞+ 【解析】（1）当4a =时，2244()2x x f x x x x++==++，利用基本不等式求解.（2）将对任意(1,),()x f x a ∈+∞>恒成立，转化为()2(1,),20x x a x a ∈+∞+-+>恒成立，利用二次函数的性质，分212a -≤， 212a ->，两种情况讨论求解. 【详解】（1）已知函数22(),(1,)x x a f x x x++=∈+∞.当4a =时，2244()22=6x x f x x x x ++==++≥， 当且仅当4=x x，即2x =时，取等号. 所以函数()f x 的最小值为6，对应的实数x 的值为2；（2）因为对任意(1,),()x f x a ∈+∞>恒成立， 所以22(1,),x x a x a x++∈+∞>恒成立， 即()2(1,),20x x a x a ∈+∞+-+>恒成立， 当21,42a a -≤≤时，()2120a a +-+≥，解得4a ≤当21,42a a ->>时，()2222022a a a a --⎛⎫+-⨯+> ⎪⎝⎭，解得44a <<+综上： 4a <+实数a 的取值范围是(,4-∞+【点睛】本题主要考查双勾函数求最值及不等式恒成立问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.21．已知三条直线1l ：()200x y a a -+=>，直线2l ：4210x y -+-=和3l ：30x y ++=，且1l 与2l ． （1）求a 的值；（2）求经过直线1l 与3l 的交点，且与点()1,3的距离为3的直线l 的方程．【答案】（1）3a =；（2）2x =-或724100x y --=．【解析】（1）由1l 与2l ，代入两条平行直线间的距离公式，可得一个关于a 的方程，解方程即可求a 的值；（2）求出交点坐标，设出直线方程，利用点到直线的距离公式求解即可．【详解】解：（1）2l 即1202x y -+=，1l ∴与2l的距离1||a d -==．|21|5a ∴-=．0a >，3a ∴=．（2）直线1l 与3l 的交点，由：23030x y x y -+=⎧⎨++=⎩，解得21x y =-⎧⎨=-⎩所以交点坐标(2,1)--． 当直线的斜率存在时，设所求的直线方程为：1(2)y k x +=+，即：210kx y k -+-=． 点(1,3)到直线的距离为3，3=， 解得724k =， 所求直线方程724100x y --=．当直线的斜率不存在时，2x =-，满足题意．所求直线方程为：2x =-或724100x y --=．【点睛】本题考查直线方程的求法，直线的交点坐标，平行线之间的距离的求法，考查计算能力，属于中档题．22．已知数列{}n a 满足112a =，11n n n a a a λλ+=+，n *∈N . （1）若1λ=.①求数列{}n a 的通项公式；②证明：对n N *∀∈， 123234a a a a a a ++12(5)12(2)(3)n n n n n a a a n n ++++=++. （2）若2λ=，且对n N *∀∈，有01n a <<，证明：118n n a a +-<. 【答案】（1）①11n a n =+；②证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）①当1λ=时，11n n n a a a +=+，两边取倒数，再根据数列递推关系，可得出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列，即可求出数列{}n a 的通项公式；②由①知11n a n =+，利用裂项公式整理得出121111[](1)(2)(3)2(1)(2)(2)(3)k k k a a a k k k k k k k ++==-+++++++，则对n N *∀∈，根据裂项相消法即可求出12323412n n n a a a a a a a a a +++++； （2）当2λ=时，1221n n n a a a +=+，则12221(1)11n n n n n n n n na a a a a a a a a ++-=-=-++，由于01n a <<，则10n a ->，根据基本不等式得出()2112n n n n a a a a +-⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，化简整理有11124(1)2(1)n n n n a a a a +-=⋅++-+，最后再利用基本不等式，即可证明出118n n a a +-<. 【详解】 解：（1）①当1λ=时，11n n na a a +=+， ∵1102a =>，∴12101a a a =>+，依此类推，0n a > ∴11111n n n n a a a a ++==+，∴1111n n a a ，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列， ∴11n n a =+，即11n a n =+， ②证明：由①知11n a n =+，故对1,2,3k =121111[](1)(2)(3)2(1)(2)(2)(3)k k k a a a k k k k k k k ++==-+++++++， ∴12323412n n n a a a a a a a a a +++++ ＝1111111[()()()]223343445(1)(2)(2)(3)n n n n -+-++-⨯⨯⨯⨯++++＝111(5)[]223(2)(3)12(2)(3)n n n n n n +-=⨯++++， （2）证明：当2λ=时，1221nn na a a +=+， 则12221(1)11n n n n n n n n na a a a a a a a a ++-=-=-++， ∵01n a <<，则10n a ->，得()2112n n n n a a a a +-⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭， ∴2122111(1)()121n n n n n n n n n na a a a a a a a a a +++-+-=-≤⋅++ ＝2114(1)2(1)2n n n a a a +⋅+-++＝11112448(1)2(1)n n a a ⋅≤=++-+， ∵1n n a a =-与211n na a +=+不能同时成立，所以上式“＝”不成立， 即对n N *∀∈，118n n a a +-<. 【点睛】本题考查通过数列的递推关系证出等差数列和求数列的通项公式，以及运用裂项相消法求和，还涉及运用基本不等式求最值，考查推理证明和化简运算能力.。