2020年山西省高考考前适应性测试(二)文科数学A卷

2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合{}1,0,1,2,3A =-，(){}|20B x x x =-≤，则A B =（ ）A ．{}0,1,2,3B ．{}0,1,2C ．{}1,2D ．{}1,2,32．设p ：30α=︒或150α=︒，q ：1sin 2α=，则p 是q 成立的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．下列函数中，定义域、值域相同的函数是（ ） A ．2x y =B ．ln y x =C ．1y x -=D ．2yx4．在空间中，,,a b c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若a c ⊥，b c ⊥，则a b ⊥B ．若//a α，//b α，则//a bC ．若//a α，b α⊂，则//a bD ．若//αβ，a α⊥，b β⊥，则//a b5．等差数列{}n a 中，37158a a a ++=，83a =，则9a =（ ） A ．2 B ．5 C ．11D ．136．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是（ ）A ．B ．2-C ．0D ．27．从直线l ：3410x y +=上的动点P 作圆221x y +=的两条切线，切点为C ，D ，则四边形OCPD （O 为坐标原点）面积的最小值是（ ）A B C ．1D ．28．某病毒引起的肺炎的潜伏期平均为7天左右，短的约2~3天，长的约10~14天，甚至有20余天.某医疗机构对400名确诊患者的潜伏期进行统计，整理得到以下频率分布直方图.根据该直方图估计：要使90%的患者显现出明显病状，需隔离观察的天数至少是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．159．双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线C ：221169x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，从2F 发出的光线射向C 上的点()08,P y 后，被C 反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是（ ） A ．1314B ．1114-C ．1114D ．1314-10．《九章算术》中给出了解方程的“遍乘直除”的算法解方程组.比如对于方程组323923342326x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤：第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似.其本质就是在消元.那么其中的a ，b 的值分别是（ ） 32139321393213923134051051 (12326)123260839a ab →→→ A ．24，4 B ．17，4 C ．24，0 D ．17，011．在底面是正方形的四棱锥P ABCD -中，四条侧棱全相等，APC ∠为锐角，2AB =，若其外接球的表面积为9π，则四棱锥P ABCD -的体积为（ ）A ．2B ．4C ．43 D ．83 12．已知函数()21f x x ax =-+与()2ln 1x b g x x x +=--零点完全相同，则ab ∈（ ）A ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．529,210⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2910,103⎛⎫⎪⎝⎭ D ．1017,34⎛⎫ ⎪⎝⎭13．已知向量()2,3a =-，()1,b m =，且//a b ，则m =______. 14．已知复数512z i=-，则z =______. 15．已知函数()sin f x x x ωω=.若1ω=，则6f π⎛⎫=⎪⎝⎭______.若该函数()f x 图象的对称轴与函数()()3cos 21h x x ϕ=+-图象的对称轴完全相同，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______.16．设函数2()log f x =，数列{}n a 满足2020n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则124039a a a ++⋅⋅⋅+=______.17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos cos 2sin 0a C c A b B +-=.（1）求B ；（2）若B 为锐角，sin 2A =，BC 边上的中线长AD =ABC 的面积.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA C C ⊥平面ABC ，1AA AC BC ==，90ACB ∠=︒.（1）求证：平面1AC B ⊥平面1A BC ；（2）若160ACA ∠=︒，求直线1BA 与平面11BB C C 所成角的正切值. 19．已知抛物线C ：()22y px p N =∈的焦点为F ，C 的准线与x 轴交于Q ，(),4M m 为C 上一点，由M 作C 的准线的垂线，垂足为N ，若四边形MNQF 的面积为14. （1）求抛物线C 的方程；（2）过点()2,0E 的直线l 与C 交于A ，B 两点，求λ的值，使FA FB EA EB λ⋅+⋅为定值，并求出这个定值.20．某研究所在研究某种零件的使用寿命和维护成本的关系时，得到以下数据：（1）若x 与y 之间存在线性相关关系y a bx =+①，试估计a ，b 的值a ，b ；（2）若x 与y 之间存在非线性相关关系2y c dx =+②，可按与（1）类似的方法得到8c =，2d =，且模型②残差平方和为6.计算模型①的残差平方和，并指出哪个模型的拟合效果更好；（3）利用（2）中拟合效果较好的模型，计算当零件使用多少个月时报废，可使得零件的性价比（即零件寿命与维护成本的比值）最高.参考公式：若()(),1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅是线性相关变量x ，y 的n 组数据，其回归直线y a bx =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ˆˆˆni i i nii x x y y b x x ay bx ==⎧--⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑. 21．已知函数()xf x ae ex =-，()()ln 1xg x x b x e =--，其中,a b ∈R .（1）讨论()f x 在区间()0,∞+上的单调性； （2）当1a =时，()()0f x g x ≤，求b 的值.22．过点()2,0P 的直线l 与抛物线C ：22y x =相交于A ，B 两点. （1）求AB 中点轨迹的直角坐标方程；（2）若P满足PA PB -=l 的方程. 23．已知函数()2f x x x =-.（1）求不等式()22f x xx ≤-++的解集；（2）若10a m<<（2m ≥，且m N ∈），2b a a <-，求证11b m <+.。

2020届山西省高三适应性调研数学（文）试题及答案一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}{}22|log 1,|0A x x B x x x =<=->，则A B =（）A ．{|12}x x <<B ．{|2}x x <C ．{|12}x x <D ．{|14}x x <【答案】A【解析】解对数不等式和一元二次不等式化简集合,A B ，再进行交运算，即可得答案. 【详解】由题意得{}2|log 1{|02},{|(1)0}{|0A x x x x B x x x x x =<=<<=->=<或1}x >， ∴{|12}AB x x =<<.故选：A. 【点睛】本题考查数不等式和一元二次不等式的求解、集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题. 2．已知复数z 满足21iz i-=+，则z =（ ）A ．132i+ B ．132i - C ．32i +D ．32i-【答案】B【解析】利用复数的除法运算，即可得答案. 【详解】∵2(2)(1)131(1)(1)2i i i iz i i i ----===++-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.3．由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合上图，下列说法错误的是（）A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产前期增长较快，后期放缓C ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势D ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 【答案】D【解析】对A 选项，可直观感知每年的产出是逐渐增高；对B 选项，2020到2023年设备制造商的经济产前期增长较快，后几年放缓；对C 选项，2028到2030年第二个小矩形的高与第一个小矩形的高度差明显逐年加大；对D 选项，2029和2030年已被信息服务超出． 【详解】对A 选项，每一年小矩形高是逐渐增高的，可直观发现每年产值是逐渐增高，故A 正确；对B 选项，2020到2023年设备制造商的经济产前期增长较快，后几年放缓，故B 正确；对C 选项，2028到2030年第二个小矩形的高与第一个小矩形的高度差明显逐年加大，故C 正确；对D 选项，2029和2030年已被信息服务超出，故D 错误．故选D ． 【点睛】本题主要考查数学阅读理解能力及从图中提取信息的能力，属基础题．4．已知角θ的终边过点()3,4-，则()cos πθ-=（ ） A ．45- B ．45C ．35D ．35【答案】D【解析】根据三角函数的定义及诱导公式即可求解. 【详解】因为角θ的终边过点()3,4-， 所以3cos 5θ=-，3cos()cos 5πθθ-=-=.故选：D. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，属于容易题.5．若椭圆221(0)2x y p p p +=>的一个焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8【答案】C【解析】由椭圆方程，抛物线方程写出焦点，根据焦点重合即可求解. 【详解】椭圆的焦点坐标为()),，抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2p=，解得4p =， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，抛物线的简单几何性质，属于容易题.6．已知函数()x f x ae x b =++，若函数()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为23y x =+，则ab 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】对函数求导得(0)2f '=，求得a 的值，再根据切点既在切线上又在曲线上，可求得b 的值，即可得答案. 【详解】 ∵()1x f x ae '=+，∴(0)12f a '=+=，解得1,(0)13a f a b b ==+=+=，∴2b =， ∴2ab =. 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意切点既在切线上又在曲线上的应用. 7．函数2sin ()1x xf x x +=+在[,]-ππ的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数为奇函数及()0f π>，再结合排除法，即可得答案. 【详解】∵函数的定义域为R ，关于原点对称，且2sin()()()()()1x x f x f x x -+--==--+，∴()f x 是奇函数，故排除A ；22sin ()011f ππππππ+==>++，排除B ，C.故选：D. 【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查数形结合思想，求解时注意充分利用函数的性质及特殊点的函数值进行求解.8．如图，在四棱锥P ABCD -中，//,2,3AD BC AD BC ==，E 是PD 的中点，F 在PC 上且13PF PC =，G 在PB 上且23PG PB =，则（ ）A ．3AG EF =，且AG 与EF 平行B ．3AG EF =，且AG 与EF 相交C ．2AG EF =，且AG 与EF 异面D ．2AG EF =，且AG 与EF 平行 【答案】D【解析】取CF 的中点H ，连接,DH GH ，证明//AG DH ，且AG DH =，即可得答案.【详解】取CF 的中点H ，连接,DH GH ，则在三角形PBC 中23PG PHPB PC==，所以//GH BC，且223GH BC==，又因为//AD BC且2AD=，所以//GH AD，且GH AD=，所以四边形ADHG为平行四边形，所以//AG DH，且AG DH=.在PDH△中，,E F分别为PD和PH的中点，所以//EF DH，且12EF DH=，所以//EF AG，且12EF AG=，即2AG EF=，故选：D.【点睛】本题考查空间中直线、平面的平行关系，考查转化与化归思想，考查空间想象能力，求解时注意利用线段的比例关系，证明平行.9．已知等差数列{}n a的前n项和为n S，22a=，728S=，则数列11n na a+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（）A．20202021B．20182020C．20182019D．20212020【答案】A【解析】根据22a=，728S=，求得n a，再利用裂项相消法求nT，令2020n=代入n T，即可得答案.【详解】因为数列{}n a 是等差数列，所以()1774772a a S a +==. 设公差为d ，因为272,28a S ==，所以()112,7328,a d a d +=⎧⎨+=⎩解方程组得11,1,a d =⎧⎨=⎩所以数列{}n a 的通项公式为1(1)1n a n n =+-⨯=，所以111(1)n n a a n n +=⨯+.设n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和， 则11111122334(1)(1)n T n n n n =+++⋯++⨯⨯⨯-⨯⨯+ 111111122331n n =-+-++⋯+-+ ∴2020111111111122334202012020202020201T =-+-+-++-+--+ 12020120212021=-= 故选：A. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意利用裂项相消法进行求和. 10．“角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．如图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n 的值为10，则输出i 的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】根据流程逐步分析，直到1n =时，计算出i 的值即可. 【详解】（1）10,0n i ==；（2）5,1n i ==；（3）16,2n i ==；（4）8,3n i ==；（5）4,4n i ==；（6）2,5n i ==；（7）1,6n i ==． 故选B ． 【点睛】本题考查根据程序框图计算输出值，难度较易.程序框图问题，多数可以采用列举法的方式解答问题.11．现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知,64DAB BAC ππ∠=∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为（ ）A 3B ．36C ．324D ．348【答案】B【解析】设三棱锥A BCD -的外接球的半径为r ，由球的体积得球的半径，当平面ABC ⊥平面ABD 时，三棱锥的体积达到最大，利用体积公式计算，即可得答案. 【详解】设三棱锥A BCD -的外接球的半径为r ，因为244rππ=⇒1r =，因为90ADB ACB ︒∠=∠=，所以AB 为外接球的直径， 所以2AB =，且3,1,2AD BD AC BC ====当点C 到平面ABD 距离最大时，三枝锥A BCD -的体积最大， 此时平面ABC ⊥平面ABD ，且点C 到平面ABD 的距离1d =， 所以1113311332A BCD C ABD ABD V V S d --==⋅=⨯⨯=△.故选：B. 【点睛】本题考查三棱锥与球的内接问题、三棱锥体积的最大值、球的体积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意球心位置的确定.12．设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0,,43ππωϕ⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦，已知()f x 在[0,2]π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中满足条件的是（ ） A ．136ω=B ．116ω=C ．74ω=D ．34ω=【答案】A【解析】设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+，从而将问题转化为sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点，从而得到425ππωϕπ+<，再利用不等式恒成立问题求得ω的范围，即可得答案. 【详解】 设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+，所以sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点，因为,43ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以425ππωϕπ+<， 所以52222ϕϕωππ-<-，所以5342222ππωππ-<-，即15783ω<，满足的只有A.故选：A. 【点睛】本题考查根据三角函数的零点个数求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的应用.二、填空题13．若3a=，2=b ，237a b +=，则a 与b 的夹角为_____________.【答案】3π【解析】由237a b +=平方，利用数量积的运算及性质即可求解. 【详解】设a 与b 的夹角为θ， 则222|2|449432cos 4437a b aa b b θ+=+⋅+=+⨯⨯⨯+⨯=，解得：1cos 2θ=， 0θπ<< 3πθ∴=.故答案为：3π【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算及性质，属于中档题. 14．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列{}12n S a -也为等比数列，则43S S =________.【答案】1514【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列{}12n S a -的等比中项性质可得公比q ，再代入等比数列的前n 项和公式中，即可得答案. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， ∵数列{}12n S a -为等比数列，∴()()2211231a a a a a a -=-+-，解得：12q =， ∴4211231241332315(1)1587(1)144S a q q q S a q a a a a a a q a +++====+++++++.故答案为：1514.【点睛】本题考查等比数列中的基本量法运算、等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.15．某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重100g ，次品重110g ，现有5袋产品（每袋装有10个产品），已知其中有且只有一袋次品（10个产品均为次品）如果将5袋产品以1～5编号，第i 袋取出i 个产品（1,2,3,4,5i =），并将取出的产品一起用秤（可以称出物体重量的工具）称出其重量y ，若次品所在的袋子的编号是2，此时的重量y =_________g ；若次品所在的袋子的编号是n ，此时的重量y =_______g . 【答案】1520150010,{1,2,3,4,5}n n +∈【解析】第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个.若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个，若次品是第({1,2,3,4,5})n n ∈袋，则15个产品中次品n 个，正品15n -个，分别进行计算，即可得答案. 【详解】第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个.若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个， 此时的重量1001311021520y =⨯+⨯=，若次品是第({1,2,3,4,5})n n ∈袋，则15个产品中次品n 个，正品15n -个，此时的重量100(15)110150010,{1,2,3,4,5}y n n n n =⨯-+⨯=+∈. 故答案为：1520；150010,{1,2,3,4,5}n n +∈ 【点睛】本题考查数学推理应用题，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对题意的理解.16．已知点P 是双曲线2213y x -=右支上一动点，12,F F 是双曲线的左、右焦点，动点Q 满足下列条件：①12212||0||PF PF QF PF PF ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⋅，②12120||||PF PF QP PF PF λ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则点Q 的轨迹方程为________________. 【答案】221(0)x y y +=≠【解析】设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ，根据向量的加法法则及数量积为0，可得2QF PQ ⊥，利用双曲线的定义可得11||12OQ AF ==，即可得答案. 【详解】设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ， 由条件②知点Q 在12F PF ∠的角平分线上， 结合条件①知2QF PQ ⊥，所以在2PF A △中，2PQ F A ⊥.又PQ 平分2APF ∠，所以2PF A △为等腰三角形，即2||PA PF =，2||AQ QF =. 因为点P 为双曲线上的点，所以122PF PF -=，即12||2PA AF PF +-=，所以12AF =.又在12F AF 中，Q 为2AF 的中点，O 为12F F 的中点，所以11||12OQ AF ==，所以点Q 的轨迹是以O 为圆心，半径为1的圆， 所以点Q 的轨迹方程为221(0)x y y +=≠.故答案为：221(0)x y y +=≠. 【点睛】本题考查单位向量、向量的数量积、向量的加法法则的几何意义、双曲线的定义、轨迹方程的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意平面几何知识的应用.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且sin 2sin()0c B b A B -+=（1）求角B 的大小；（2）设4a =，6c =，求sin C 的值．【答案】（1）3B π=（2）14【解析】（1）由已知结合正弦定理化简可求cos B ，进而可求B ；（2）由余弦定理可得，2221cos 22a c b B ac +-==，代入可求b ，由正弦定理可得，sin sin c BC b=可求． 【详解】解：（1）由正弦定理得sin sin 2sin sin()0C B B A B -+=， 化简得2sin sin cos sin sin 0C B B B C -=. 因为在三角形中，sin 0B ≠，sin 0C ≠， 可得1cos 2B =. 又因为(0,)B π∈，所以3B π=（2）由余弦定理可得，2221cos 22a c b B ac +-==，2163612462b +-=⨯⨯， 所以b =由正弦定理可得，sin sin 14c B C b ==. 【点睛】本题主要考查了两角和及二倍角的公式，正弦定理，余弦定理的综合应用，属于中等试题．18．“不忘初心、牢记使命”主题教育活动正在全国开展，某区政府为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n 名，获得了他们一周参加主题教育活动的时间（单位：时）的频率分布直方图，如图所示，已知参加主题教育活动的时间在(]12,16内的人数为92.（1）估计这些党员干部一周参与主题教育活动的时间的平均值；（2）用频率估计概率，如果计划对全区一周参与主题教育活动的时间在(]16,24内的党员干部给予奖励，且参与时间在(]20,24内的分别获二等奖和一等奖，通过分层16,20，(]抽样方法从这些获奖人中随机抽取5人，再从这5人中任意选取3人，求3人均获二等奖的概率.【答案】（1）13.64（2）25【解析】（1）根据频率分布直方图以每个小矩形的中值为估值计算即可求出；（2）用分层抽样抽取的人数：在(]16,20内为4人，设为20,24内为1人，设为A，列出基本事件，根据,；在(],,a b c d古典概型计算概率即可.【详解】（1）由已知可得，()a=÷-+++=，140.02500.04750.05000.01250.1150所以这些党员干部一周参加主题教育活动的时间的平均值为()60.0250100.0475140.1150180.0500220.0125413.64⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.（2）因为0.1150492n ⨯⨯=，所以922000.11504n ==⨯. 故参与主题教育活动的时间在(]16,20的人数为0.0500420040⨯⨯=，参与主题教育活动的时间在(]20,24的人数为0.0125420010⨯⨯=.则利用分层抽样抽取的人数：在(]16,20内为4人，设为a b c d ,,,；在(]20,24内为1人，设为A.从这5人中选取3人的事件空间为：{}(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)a b c a b d a b A a c d a c A a d A b c d b c A b d A c d A ，共10种情况，其中全是二等奖的有4种情况. 故42105P ==. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，均值，分层抽样你，古典概型，属于中档题.19．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，点P 是圆弧CD 上的一动点（不与,C D 重合），点Q 是圆弧AB 的中点，且点,P Q 在平面ABCD 的两侧.（1）证明：平面PAD⊥平面PBC；（2）设点P在平面ABQ上的射影为点O，点,E F分别是∆和POAPQB-体积最大时，回答∆的重心，当三棱锥P ABC下列问题.（i）证明：//EF平面PAQ；（ii）求三棱锥A OEF-的体积.【答案】（1）证明见解析（2）（i）证明见解析（ii）427【解析】（1）由PC PD⊥可得PC⊥平面PAD，即可⊥，AD PC证明；（2）（i）连接PE并延长交BQ于点M，连接PF并延长交OA 于点N，连接MN，利用平行线分线段成比例可得//EF MN，即可得//EF AQ得证；（ii）根据A EOF E AOF=即可求解.V V--【详解】（1）证明：因为ABCD是轴截面，所以AD⊥平面PCD，所以AD PC⊥，又点P是圆弧CD上的一动点（不与,C D重合），且CD为直径，所以PC PD⊥，又AD PD D =，PD ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以PC ⊥平面PAD ，PC ⊂平面PBC ， 故平面PAD ⊥平面PBC .（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，点P 为圆弧CD 的中点.所以点O 为圆弧AB 的中点，所以四边形AQBO 为正方形，且PO ⊥平面ABO .（i ）证明：连接PE 并延长交BQ 于点M ，连接PF 并延长交OA 于点N ，连接MN ，则//MN AQ ，因为,E F 分别为三角形的重心，所以23PEPF PM PN ==， 所以//EF MN ， 所以//EF AQ ，又AQ ⊂平面PAQ ，EF ⊄平面PAQ ， 所以//EF 平面PAQ . （ii ）因为PO ⊥平面ABO ， 所以PO BO ⊥， 又AO BO ⊥，AOPO O =，所以BO ⊥平面PAO ， 因为////EF AQ BO ，所以EF ⊥平面PAO ，即EF ⊥平面FAO ，即EF 是三棱锥E AOF -的高.又233EF BO ==，1112332AOF APO S S ∆∆==⨯⨯=，所以114||333327A EOF E AOF AOF V V S EF --∆==⋅=⨯=. 【点睛】本题主要考查了线面垂直、面面垂直的判定，线面平行，等体积法求棱锥体积，属于中档题.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，长轴长为4，且过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，过A 作x 轴的垂线交椭圆C 与另一点Q （Q 不与,A B 重合）.设ABQ ∆的外心为G ，求证2ABGF 为定值.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】（1）根据长轴及椭圆过点即可求出；（2）由题意设直线AB 为1x my =+，联立椭圆方程可求||AB ，求出ABQ ∆外接圆圆心21,034G m ⎛⎫⎪+⎝⎭，计算2GF ，化简即可证明2ABGF 为定值.【详解】（1）由题意知2a =，将P点坐标代入椭圆方程22221x y a b +=得291414b +=，解得b = 所以椭圆方程为22143x y +=.（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+， 代入椭圆方程得()2234690my my ++-=.设()()1122,,,A x y B x y ，则12122269,3434m y y y y m m --+==++， 所以AB 的中点坐标为2243,3434m m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以()212212134m AB y m +=-=+.因为G 是ABQ ∆的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段AQ 的垂直平分线的交点，AB 的垂直平分线方程为22343434m y m x m m ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭， 令0y =，得2134x m =+，即21,034G m ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以222213313434m GF m m +=-=++， 所以()22222121||1234433334m AB m m GF m ++===++，所以2||AB GF 为定值，定值为4.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，定值问题，属于难题. 21．已知函数()2(12)ln a f x x a x x=+-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）如果方程()f x m =有两个不相等的解12,x x ，且12xx <，证明：1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】（1）对函数()f x 进行求导得2()(21)()(0)x a x f x x x -+'=>，再对a 进行分类讨论，解不等式，即可得答案；（2）当0a 时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()0f a '=.不妨设120x a x <<<，只要证122x x a +>212x a x >-⇔，再利用函数的单调性，即可证得结论. 【详解】 （1）2222122(12)()(21)()2(0)a a x a x a x a x f x x x x x x -+---+'=+-==>.①当0a 时，(0,),()0,()x f x f x '∈+∞>单调递增； ②当0a >时，(0,),()0,()x a f x f x '∈<单调递减；(,),()0,()x a f x f x '∈+∞>单调递增.综上：当0a 时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增. （2）由（1）知，当0a 时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()0f a '=.不妨设120x a x <<<，要证1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭，即证122x xa +>，即证122x x a +>，即证212x a x >-.因为()f x 在(,)a +∞单调递增，即证()()212f x f a x >-， 因为()()21f x f x =，所以即证()()112f x f a x >-，即证()()f a x f a x +<-.令()()()g x f a x f a x =+--2()(12)ln()2()(12)ln()a a a x a a x a x a a x a x a x ⎡⎤⎡⎤=++-++--+--+⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦4(12)ln()(12)ln()a ax a a x a a x a x a x=+-+---+-+-，221212()4()()a a a ag x a x a x a x a x --'=++--+-+-()()22222222222242(12)4()()()()a a x x x a a a a a x a x a x a x a x +---=+-=-+-+-.当(0,)x a ∈时，()0,()g x g x '<单调递减，又(0)(0)(0)0g f a f a =+--=，所以(0,)x a ∈时，()(0)0g x g <=，即()()f a x f a x +<-，即()(2)f x f a x >-.又1(0,)x a ∈，所以()()112f x f a x >-，所以1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将所证不等式转化为利用函数的单调性进行证明.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为21,2x s y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（s 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 90ρθρθ++=. （1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.【答案】（1）24y x =，290x y ++=（2【解析】（1）直接利用消参法可得曲线C 的直角坐标方程；将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程得l 的直角坐标方程；（2）设212P s ⎛⎫⎪⎝⎭，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的性质求最值，即可得答案. 【详解】（1）C 的直角坐标方程为：24y x =，将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程得l 的直角坐标方程为：290x y ++=.（2）设212P s ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则点P 到直线l的距离21|9s d ++==，当s =-d ==【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程的互化、点到直线的距离公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意点的参数设法. 23．已知函数()|1||24|f x x x =++-. （1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若函数()y f x =的图象最低点为(),m n ，正数,a b 满足6ma mb +=，求23ab+的取值范围. 【答案】（1）[]13,x ∈-（2）2325,6a b ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）分类讨论去掉绝对值得分段函数求解即可； （2）由分段函数求出最低点，得236a b +=，构造1，利用均值不等式求解即可. 【详解】 （1）33,2()5,1233,1x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≤-⎩，所以由()6f x ≤可得2336x x ≥⎧⎨-≤⎩，或1256x x -<<⎧⎨-+≤⎩，或1336x x ≤-⎧⎨-+≤⎩， 解得：[]2,3x ∈或()1,2x ∈-或1x =-. 综上，[]13,x ∈-. （2）因为33,2()5,1233,1x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≤-⎩，所以当2x =时，()min 3f x =，最低点为()2,3，即236a b +=，所以132a b+=.23232313252323266a b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当65a b ==时等号成立，所以2325,6a b ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，分段函数的最值，均值不等式，属于中档题.。

太原市2020年高三年级模拟试题（二）数学试题（文）参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 1 14.15. 16. ③ 三、解答题（共70分） （一）必考题17. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）当1n =时，1113132S a a ==+-，得14a =， ..................................1分 当2n ≥时，113(1)32n n S a n --=+--， 则1133122n n n n n a S S a a --=-=-+， 即132n n a a -=-， ..................................4分1n a ∴-=13(1)n a --, ..................................5分 ∴数列{}1n a -是以113a -=为首项，公比为3的等比数列. ...................................6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得13nn a -=， .................................7分31323(1)log (1)log (1)...log (1)123 (2)n n n n b a a a n +∴=-+-++-=++++=，.....9分 12112()(1)1n n c b n n n n ∴===-++， ...................................10分 111111122(1...)2233411n nT n n n ∴=-+-+-++-=++. ...................................12分 18.（本小题满分12分）解（Ⅰ）由已知得1297100,74,292m n n ++++=⎧⎪+⎨=⎪⎩ ...................................2分解得12,51m n ==， ...................................3分 所以特级品的频率为517100+=0.58， 所以这批水果中特级品的比例为58%. ...................................5分 （Ⅱ）选用方案A ，种植户的收益为20000×6.5=130000 （元）， ...................................7分 选用方案B ，种植户的收益为 13124295588200002020100100100100⨯⨯⨯⎡⎤=⨯⨯⨯+++⎢⎥⎣⎦132000=， ...................................11分132000130000>，所以选用方案B. ...................................12分19.（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）过E 作EH ⊥DC 于H ，连结FH ，可得DH=12，....................2分 ∵底面ABCD 是正方形，AB=4AF ，即，∴AFHD 是矩形， ∴FH ⊥DC ， ...................................3分 又EH ⊥DC ，EH∩FH=H ，∴DC ⊥面EFH ， ...................................5分又∵EF ⊂面EFH ，∴DC ⊥EF ． ...................................6分 （II ）由（I ）知，FH ∥平面ADE ，∴点F 到平面ADE 的距离等于点H 到平面ADE 的距离， ...................................7分 ∵底面ABCD 是正方形，侧面PCD ⊥底面ABCD ， ∴AD ⊥侧面PDC ， ∴AD ⊥DE ，在三棱锥H ﹣ADE 中，设点H 到平面ADE 的距离为d ， 由于V H ﹣ADE =V A ﹣DEH ， ∴=， ...................................9分在侧面PCD 中，PD=DC=2，∠PDC=120°，E 是PC 中点，∴DE=1，EH =∴12212d =⨯⨯， ...................................11分∴d =F 到平面ADE． ...................................12分HMA MB ⊥0MA MB ∴⋅=，即代入整理得22224414m k k k --++即2520m -，解得m =-所以直线l 3 21.（本小题满分12分） 解（Ⅰ）()f x 的定义域是，2222()a x a f x x x x -'=-=， ................................1分 ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在定义域上单调递增，不可能有两个零点；...........2分 x fx分()f e =3，取202a x e =则0()4ln f x = 综上，a 分（Ⅱ）当1a =时，由12()()21f x f x m ==+，得112212ln 121,12ln 121,x m x x m x ⎧++=+⎪⎪⎨⎪++=+⎪⎩两式相减得1221122(ln ln )0x x x x x x --+=，则1212112ln x x x x x -=，2122112lnx xx x x -=,【选修4-4：坐标系与参数方程】22.（本小题满分10分）解（Ⅰ）由,121,1t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩消去参数t 得曲线1C 普通方程为10x y -+=， ........................2分由22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α得曲线2C 的直角坐标为2240x y x +-=，得曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=. ..................................5分 （Ⅱ）由4cos ρθ=得点P 坐标为(4cos ,)P ββ(0)2πβ<<，又直线10x y -+=的极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=， 得点1(,)cos sin 2Q πβββ++， .......................................7分114cos 12cos sin OPQ S βββ∆=⋅⋅=+， ..................................8分cos sin ββ=，4πβ=，OP =4cos β=..................................10分【选修4-5：不等式选讲】 23.（本小题满分10分） 证明（Ⅰ）111111(1)(1)(1)a b c b c a c a ba b c a b c a b c---+++---=⋅⋅=⋅⋅8≥= . ..................................5分 （Ⅱ）(1)(1)(1)a b c a b c a b c a b cb c a c a b b c a c a b++++++++=-+-+-++++++1111[()()()]()32b c a c a b b c a c a b=+++++++-+++2132≥-2133322=⨯-=. ..................................10分 注：以上各题其他正确解法相应得分。

绝密★启用前2020届山西省高三（4月）适应性考试数学（文）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．若复数z 满足1zi i =+，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．1i + B ．1i -C ．1i --D ．1i -+答案：B由1zi i =+,得1i z i+=,再根据复数的除法运算法则计算即可. 解：由1zi i =+,得()1()1=1()i i i z i i i i +⋅-+==-⋅-, 故选:B. 点评：本题考查复数的基本运算,属于基础题.2．已知0a >，0b >，m ∈R ，则“a b ≤”的一个必要不充分条件是（ ） A ．m m a b ≤ B ．22a bm m≤ C ．22am bm ≤ D ．22a m b m ≤++答案：C根据不等式的基本性质,结合必要不充分条件的定义分析选项即可. 解：由题知0a >,0b >,a b ≤⇔m m a b ≤,故A 是“a b ≤”的既不充分也不必要条件;因为20m ≥,所以210(0)m m>≠,所以a b ≤⇔22a b m m≤,故B 是“a b ≤”的充要条件; 因为20m ≥,所以a b ≤⇒22am bm ≤, 若20m =,则22am bm ≤⇒a b ≤, 故C 是“a b ≤”的必要不充分条件;a b ≤⇔22a m b m ≤++,故D 是“a b ≤”的充要条件.故选:C. 点评：本题考查不等式的基本性质,考查必要不充分条件的判别,难度不大.3．国际上通常用年龄中位数指标作为划分国家或地区人口年龄构成的标准：年龄中位数在20岁以下为“年轻型”人口；年龄中位数在20～30岁为“成年型”人口；年龄中位数在30岁以上为“老龄型”人口．如图反映了我国全面放开二孩政策对我国人口年龄中位数的影响．据此，对我国人口年龄构成的类型做出如下判断：①建国以来直至2000年为“成年型”人口；②从2010年至2020年为“老龄型”人口；③放开二孩政策之后我国仍为“老龄型”人口．其中正确的是（ ） A ．②③ B ．①③C ．②D ．①②答案：A根据折线统计图即可判断． 解：①建国以来有一段时间年龄中位数低于20，为年轻型人口，所以①错误； ②从2010年至2020年年龄中位数在30岁以上，为“老龄型”人口，正确， ③放开二孩政策之后我国年龄中位数在30岁以上，仍为“老龄型”人口，正确， 故选：A ． 点评：本题考查了折线统计图，考查了合情推理的问题，属于基础题．4．函数()311x e x f x lnx x ⎧-=⎨≥⎩，＜，，则关于函数()f x 的说法不正确的是（ ）A ．定义域为RB ．值域为(3,)-+∞C ．在R 上为增函数D ．只有一个零点答案：B根据()f x 的解析式即可判断()f x 的定义域为R ，且在R 上为增函数，只有一个零点1x =,从而判断出说法不正确的选项．解：()311x e x f x lnx x ⎧-=⎨≥⎩＜，()f x ∴的定义域为R ，值域为(3,3)[0,)e --⋃+∞，且对于1x <时30x e -<，明显地，()f x 在R 上为增函数，且(1)0f =，()f x ∴只有一个零点． 故选：B ． 点评：本题考查了函数定义域和值域的定义及求法，分段函数、指数函数和对数函数的单调性的判断，函数零点的定义及求法，考查了计算和推理能力，属于基础题．5．在四边形ABCD 中，()3,1AC =-u u u r ，()2,BD m =u u u r ，AC BD ⊥uuu r uu u r，则该四边形的面积是（ ） A ．10 B．25C ．10D ．20答案：C由AC BD ⊥uuu r uu u r 可知0AC BD ⋅=u u u r u u u r,利用坐标运算求出m ,再求四边形的面积即可.解：因为()3,1AC =-u u u r ,()2,BD m =u u u r ,AC BD ⊥uuu r uu u r , 所以()3210AC BD m ⋅=⨯+-=u u u r u u u r,即6m =,所以四边形的面积为()22223126102AC BD⋅+-⋅+==u u u r u u u r ,故选:C. 点评：本题主要考查向量垂直的应用,考查数量积的坐标运算,属于基础题.6．天上有些恒星的亮度是会变化的，其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化.第一颗被描述的经典造父变星是在1784年.上图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图，其中视星等的数值越小，亮度越高，则此变星亮度变化的周期、最亮时视星等，分别约是（ ） A ．5.5，3.7B ．5.4，4.4C ．6.5，3.7D ．5.5，4.4答案：A结合图象可知,两个相邻最高点或最低点的位置横向差即为周期，再结合视星等的数值越小，亮度越高，取视星等的最小数值即可得出最亮时的视星等. 解：根据图象可知，两个相邻最高点或最低点的位置横向相差约为5.5，故可以估计周期约为5.5；又视星等的数值越小，亮度越高，故最亮时视星等约为3.7； 故选：A. 点评：本题考查图象的基本应用,考查学生的分析理解能力，难度不大.7．双曲线1C ：22221x y a b-=与2C ：22221x y b a -=（0a b >>）的离心率之积为4，则1C 的渐近线方程是（ ）A ．y x =±B ．(2y x =±C ．2y x=±D ．(2y x =±答案：B根据题意可知4c c a b ⨯=,即24c ab =,即224a b ab +=,据此可解出2ba=从而可得出双曲线1C 的渐近线方程. 解：因为双曲线1C :22221x y a b-=与2C :22221x y b a -=(0a b >>)的离心率之积为4,所以4c ca b⨯=,即24c ab =, ∴224a b ab +=,即4b aa b+=,因此2410b b a a ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭,∵0a b >>,故2ba=∴双曲线1C 的渐近线方程为(2y x =±, 故选:B. 点评：本题考查双曲线离心率的应用,考查双曲线渐近线的求法,难度不大.8．某几何体的三视图如图所示，已知网格纸中小正方形的边长为1，则此几何体的体积是（ ）A ．279π+B ．2712π+C ．33πD ．189π+答案：B由三视图可知,该几何体上半部分是一个底面半径为3,高为3的圆柱,下半部分是一个底面边长为32高为2的正四棱锥,利用体积计算公式分别求出圆柱和棱锥的体积,即可得出几何体的体积. 解：由三视图可知,该几何体是由一个底面半径为3,高为3的圆柱,和一个底面边长为32高为2的正四棱锥组合而成,圆柱的体积为23327ππ⋅⋅=,正四棱锥的体积为(21322123⋅⋅=,所以几何体的体积为2712π+, 故选:B. 点评：本题考查利用三视图还原几何体,考查几何体体积的求法,难度不大. 9．在OAB V 中，若OA OB ⊥，OA a =，OB b =，则222211AB a b a b =+=+类比上述结论，可推测：在三棱锥O ABC -中，若OA ，OB ，OC 两两垂直，OA a =，OB b =，OC c =，1BOC S S =△，2COA S S =△，3AOB S S =△，则ABC S =V （ ）A ．222111a b c ++ B ．12222123111S S S S S S ++C 222a b c ++D 222123S S S ++答案：D取特值1a b c ===,从而可求出ABC S V ,再一一检验选项即可得出结论.解：当1a b c ===时,易知12312S S S ===,此时ABC V 的正三角形,而A,B,C,D 故选：D. 点评：本题考查类比推理,考查从特殊到一般的数学思想的应用,属于中档题.10．过点()1,1P -作抛物线2y ax =（0a >）的两条切线PA ，PB ，且PA PB ⊥，则a =（ ） A ．14B ．12C ．2D ．4答案：A设()11,A x y ,()22,B x y ,由题得2y ax '=,则直线PA 的方程为:()21112y ax ax x x -=-,将()1,1P -代入PA 方程整理得211210ax ax --=,同理222210ax ax --=,故121x x a=-,再由PA PB ⊥得12214x x a =-,因此1a -214a=-,即可得a .解：抛物线方程为2y ax =,则2y ax '=,设()11,A x y ,()22,B x y ,∴PA 的斜率为12PA k ax =,PA :()21112y ax ax x x -=-,把P 的坐标代入上述方程得()2111121ax ax x --=-,∴211210ax ax --=,同理222210ax ax --=,∴121x x a=-①, 由PA PB ⊥,故12221ax ax ⋅=-,∴12214x x a =-②, 由①②得1a -214a =-,解得14a =,故选:A. 点评：本题考查抛物线切线的应用,结合了导数､直线方程等相关知识,需要学生综合应用所学知识,属于中档题.11．函数()2sin 2x x f x =+若()()124f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值是（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 答案：C化简得()f x 2sin 23x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,由()()124f x f x ⋅=-可知()f x 在1x ,2x 处取到最大值和最小值,不妨设在1x 处有最大值,则1115)(12Z x k k ππ+∈=,2x 处取到最小值,则222(12)x k k Z ππ=∈-,所以()12123x x k k ππ+=++,1k ,2k Z ∈,即可求出12x x +的最小值.解：()2sin 2x x f x =+1cos 2sin 22xx -=+-sin 22x x =+2sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又()()124f x f x ⋅=-，所以()f x 在1x ,2x 处取到最大值和最小值， 不妨设在1x 处有最大值,则11122()32x k k Z πππ-=+∈,即1115)(12Z x k k ππ+∈=， 2x 处取到最小值,则22222()32x k k Z πππ-=-∈,即222(12)x k k Z ππ=∈-，所以()12123x x k k ππ+=++,1k ,2k Z ∈，所以当120k k +=时，12x x +的最小值为3π. 故选：C. 点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数性质的应用，属于中档题.12．已知长方体1111ABCD A B C D -，2AB AD ==，14AA =，M 是1BB 的中点，点P 在长方体内部或表面上，且//MP 平面11AB D ，则动点P 的轨迹所形成的区域面积是（ ） A ．6 B ．42C ．46D ．9答案：D设E ,F ,G ,H ,N 分别为11B C ,11C D ,1DD ,DA ,AB 的中点,则11////EF B D NH ,1////MN B A FG ,所以平面//MEFGHN 平面11AB D ,所以动点P 的轨迹是六边形MEFGHN 及其内部,因此,结合题中所给数据即可求出六边形MEFGHN 的面积2EFGH S S =梯形.解：如图所示,设E ,F ,G ,H ,N 分别为11B C ,11C D ,1DD ,DA ,AB 的中点, 则11////EF B D NH ,1////MN B A FG , 所以//NH 平面11AB D ,//MN 平面11AB D , 又NH MN N =I ,所以平面//MEFGHN 平面11AB D ,所以动点P 的轨迹是六边形MEFGHN 及其内部,因为2AB AD ==,14AA =,所以EF HN ==EM MN FG GH ====GM =E 到GM 2=,所以六边形MEFGHN 的面积22922EFGH S S ==⨯=梯形, 故选:D. 点评：本题主要考查空间中平行的应用,考查学生的空间思维及计算能力,属于中档题. 二、填空题13．已知集合()(){}120A x x x =+-<，集合B Z =，则A B =I ______. 答案：{}0,1先化简集合A ,再根据交集运算法则求出A B I . 解：因为()(){}120A x x x =+-<{}12x x =-<<,B Z =, 所以{}0,1A B =I , 故答案为:{}0,1. 点评：本题主要考查集合的交集运算,属于基础题. 14．已知()1cos 103θ+=o，则()sin 270θ-=o______. 答案：79先利用二倍角公式求出()cos 2+10θ⎡⎤⎣⎦o,再利用诱导公式求出()sin 270θ-o 即可. 解：因为()1cos 103θ+=o, 所以()()27cos 2202cos 1019θθ+=+-=-oo, 所以()()()7sin 270sin 22090cos 2209θθθ-=+-=-+=oo o o , 故答案为:79. 点评：本题主要考查二倍角公式和诱导公式的应用,难度不大. 15．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()cos tan tan a B A B +=，D 为BC 的中点，AD =，则sin sin B C =______. 答案：2由()cos tan tan a B A B +=,结合正弦定理可推出3A π=,又由()()22222117444AD AB ACb c bc c =+=++=u u u r u u u r u u u r,可得2b c =,最后由正弦定理可得sin 2sin BC=. 解：因为()cos tan tan a B A B +=,所以sin sin cos cos cos A B a B A B ⎛⎫+=⎪⎝⎭,∴sin cos cos sin cos A B A B a A +⎛⎫= ⎪⎝⎭,∴()sin cos A B aA+=,由正弦定理得sin sin cos CA C A⋅=,又因为sin 0C ≠,∴tan A =∴3A π=,∵D 为BC 的中点,∴()12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r, ∴()()()222222211172cos 4444AD AB ACAB AC AB AC A b c bc c =+=++⋅⋅=++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,∴2260b bc c +-=,解得2b c =, 故由正弦定理得sin 2sin BC=, 故答案为:2. 点评：本题主要考查了正弦定理的应用,结合了三角函数､向量等相关知识,需要学生灵活应用所学知识,属于中档题.三、双空题16．已知函数()3f x x ax =-，且()10f '=，则a =______.若()f x 在1x x =，2x x =（12x x <）处取得极值，记()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，()(),P m f m ，且12x m x <<.线段AP 与曲线()y f x =有异于A ，P 的公共点，则m 的取值范围是______. 答案：3112m << 由题知()23f x x a '=-,故由()10f '=可得3a =,令()0f x '=,得1x =±,因此()1,2A -,()1,2B -,()3,3(11)P m m m m --<<,当AP 与()f x 相切时,设此时的切点为P ',结合图象可知,P 在,A P '中间时,线段AP 与曲线()f x 只有A ,P 两个公共点,P 在,P B '中间时,线段AP 与曲线()f x 有异于A ,P 的公共点,因此利用导数与直线斜率求出P '点的横坐标,即可得出结论. 解：()3f x x ax =-,则()23f x x a '=-,∴()130f a '=-=,∴3a =,此时()33f x x x =-,∴()233f x x ¢=-,令()0f x '=,得1x =±,∴()1,2A -,()1,2B -,故()3,3(11)P m m m m --<<,当AP 与()f x 相切时,设此时的切点为P ',则切线'AP 的斜率k =3232331m m m m ---=+,化简得()()()()2123111m m m m m +-+-=+,解得12m =,结合上图可知,P 在,A P '中间时,线段AP 与曲线()f x 只有A ,P 两个公共点,P 在,P B '中间时,线段AP 与曲线()f x 有异于A ,P 的公共点,因此112m <<, 故答案为：3；112m <<.点评：本题考查了导数及极值的应用问题,考查了数形结合法解决曲线交点问题,需要学生具备一定的计算分析能力,有一定难度. 四、解答题17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，18T =，114n n S S T +=+对所有正整数n 均成立.（1）求n a ；（2）当992n T ≤成立时，求n 的最大值.答案：（1）212n n a +=；（2）9(1)由148n n S S +=+,得148n n S S -=+(2n ≥),两式相减可得14n n a a +=(2n ≥),又1n =时,由148n n S S +=+,解得232a =,即214a a =,得数列{}n a 是等比数列,从而求出n a ;(2)由(1)求出()22n n n T +=,则根据992n T ≤,化简整理可得()()1190n n +-≤,即19n ≤≤,故可得正整数n 的最大值为9.解：(1)由题意知,18T =,则18a =,且148n n S S +=+①, 令1n =,则有12148a a a +=+,解得232a =, 又由①得:148n n S S -=+(2n ≥)②, 故①-②得,14n n a a +=(2n ≥), 又当1n =时,213248a a ==也满足上式, 所以数列{}n a 是以4为公比,8为首项的等比数列,因此121842n n n a -+=⨯=;(2)由(1)知,()()3212352121222222n nn n n n nT a a a ++⨯++=⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅⋅⨯==,由992n T ≤得()29922n n +≤,所以22990n n +-≤,即()()1190n n +-≤, 解得19n ≤≤, 故正整数n 的最大值为9. 点评：本题考查等比数列通项公式的求法,考查数列前n 项和与前n 项积的基本应用,需要学生综合运用所学知识,属于中档题.18．如图1，已知等边ABC V 的边长为3，点M ，N 分别是边AB ，AC 上的点，且2BM MA =，2AN NC =.如图2，将AMN V 沿MN 折起到A MN '△的位置.（1）求证：平面A BM '⊥平面BCNM ；（2）给出三个条件：①A M BC '⊥；②二面角A MN C '--大小为60o ；③A '到平面BCMN 的距离为22.在中任选一个，补充在下面问题的条件中，并作答： 在线段A C '上是否存在一点P ，使三棱锥A PMB '-的体积为34，若存在，求出A PA C ''的值；若不存在，请说明理由.注：如果多个条件分别解答，按第一个解答给分。

政治试题答案题号121314151617181920212223答案A B D C C B C A D A B A 意义：有利于优化农村产业结构，深化农村供给侧改革，解决农村发展不平衡不充分问题，提高农业发展质量和效益；②有利于落实发展新理念和乡村振兴战略，增强农业可持续发展；③有利于推动农民创业、增加农民就业，提高农民生活水平；④有利于更好满足人民群众的消费需求，促进消费升级；⑤有利于全面打赢脱贫攻坚战、全面建成小康社会，体现社会主义优越性。

（每点2分，总分不得超过8分）建议：①积极稳妥的推进市场化改革，充分发挥市场对资源配置的决定作用；②坚持开放发展新理念，实行科学的宏观调控，用政策引导市场用，规划明确投资方向，用法治规范行为；③坚持科技兴国战略和人才强国战略，培养一批本地区农村产业发展的带头人，通过“双创”活动带动农村发展。

（每点2分，总分不得超过6分）39.①中国共产党的领导是中国特色社会主义最本质的特征，是中国特色社会主义制度的最大优势；提升国家治理体现和治理能力现代化，必须坚持党的领导；②坚持全面依法治国，建设社会主义发展国家，切实保障社会公平正义和人民权利是我国国家制度和国家治理体系显著优势之一；在党的领导下，坚持了依法治国、依法执政、依法行政共同推进。

③坚持党的领导、人民当家作主、依法治国有机统一是社会主义政治发展的必然要求。

依法治国是党领导人民治理国家的基本方式，坚持党的领导是全面推进依法治国总目标的最根本保证。

④党领导立法，坚持科学立法，加强社会主义法制体系建设，完善国家治理体系，实现党的领导与社会主义法治的统一，提高了治国理政水平；⑤党在推进全面依法治国进程中，加快法规制度体系建设，完善中国特色社会主义法治体系，推进了国家治理体系和治理能力现代化。

（每点3分，总分不得超过12分）40.（1）①伟大的创造精神、伟大的奋斗精神、伟大的团结精神、伟大的梦想精神是中华民族精神的基本内涵，爱国主义是民族精神的核心。

2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2,3A =-，(){}|20B x x x =-≤，则AB =（ ） A ．{}0,1,2,3B ．{}0,1,2C ．{}1,2D ．{}1,2,3 2．设p ：30α=︒或150α=︒，q ：1sin 2α=，则p 是q 成立的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 3．下列函数中，定义域、值域相同的函数是（ ）A ．2x y =B ．ln y x =C ．1y x -=D ．2y x 4．在空间中，,,a b c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若a c ⊥，b c ⊥，则a b ⊥B ．若//a α，//b α，则//a bC ．若//a α，b α⊂，则//a bD ．若//αβ，a α⊥，b β⊥，则//a b 5．等差数列{}n a 中，37158a a a ++=，83a =，则9a =（ ）A ．2B ．5C ．11D ．136．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是（ ）A ．B ．2-C ．0D ．27．从直线l ：3410x y +=上的动点P 作圆221x y +=的两条切线，切点为C ，D ，则四边形OCPD （O 为坐标原点）面积的最小值是（ ）A B C ．1 D ．28．某病毒引起的肺炎的潜伏期平均为7天左右，短的约2~3天，长的约10~14天，甚至有20余天.某医疗机构对400名确诊患者的潜伏期进行统计，整理得到以下频率分布直方图.根据该直方图估计：要使90%的患者显现出明显病状，需隔离观察的天数至少是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．159．双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线C ：221169x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，从2F 发出的光线射向C 上的点()08,P y 后，被C 反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是（ ）A ．1314B ．1114-C ．1114D ．1314- 10．《九章算术》中给出了解方程的“遍乘直除”的算法解方程组.比如对于方程组323923342326x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤：第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似.其本质就是在消元.那么其中的a ，b 的值分别是（ ） 32139321393213923134051051 (12326123260839)a ab →→→A ．24，4B ．17，4C ．24，0D ．17，011．在底面是正方形的四棱锥P ABCD -中，四条侧棱全相等，APC ∠为锐角，2AB =，若其外接球的表面积为9π，则四棱锥P ABCD -的体积为（ ）A ．2B ．4C ．43 D ．8312．已知函数()21f x x ax =-+与()2ln 1x b g x x x +=--零点完全相同，则ab ∈（ ） A ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．529,210⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2910,103⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1017,34⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．已知向量()2,3a =-，()1,b m =，且//a b ，则m =______.14．已知复数512z i=-，则z =______. 15．设函数2()log f x =，数列{}n a 满足2020n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则124039a a a ++⋅⋅⋅+=______.三、双空题16．已知函数()sin f x x x ωω=.若1ω=，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______.若该函数()f x 图象的对称轴与函数()()3cos 21h x x ϕ=+-图象的对称轴完全相同，则6f π⎛⎫=⎪⎝⎭______.四、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos cos 2sin 0a C c A b B +-=.（1）求B ；（2）若B 为锐角，sin2A =，BC 边上的中线长AD =ABC 的面积.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA C C ⊥平面ABC ，1AA AC BC ==，90ACB ∠=︒.（1）求证：平面1AC B ⊥平面1A BC ；（2）若160ACA ∠=︒，求直线1BA 与平面11BB C C 所成角的正切值. 19．已知抛物线C ：()22y px p N =∈的焦点为F ，C 的准线与x 轴交于Q ，(),4M m 为C 上一点，由M 作C 的准线的垂线，垂足为N ，若四边形MNQF 的面积为14. （1）求抛物线C 的方程；（2）过点()2,0E 的直线l 与C 交于A ，B 两点，求λ的值，使FA FB EA EB λ⋅+⋅为定值，并求出这个定值.20．某研究所在研究某种零件的使用寿命和维护成本的关系时，得到以下数据：（1）若x 与y 之间存在线性相关关系y a bx =+①，试估计a ，b 的值a ，b ；（2）若x 与y 之间存在非线性相关关系2y c dx =+②，可按与（1）类似的方法得到8c =，2d =，且模型②残差平方和为6.计算模型①的残差平方和，并指出哪个模型的拟合效果更好；（3）利用（2）中拟合效果较好的模型，计算当零件使用多少个月时报废，可使得零件的性价比（即零件寿命与维护成本的比值）最高.参考公式：若()(),1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅是线性相关变量x ，y 的n 组数据，其回归直线y a bx =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ˆˆˆn i i i n i i x x y y b x x ay bx ==⎧--⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑. 21．已知函数()x f x ae ex =-，()()ln 1xg x x b x e =--，其中,a b ∈R . （1）讨论()f x 在区间()0,∞+上的单调性；（2）当1a =时，()()0f x g x ≤，求b 的值.22．过点()2,0P 的直线l 与抛物线C ：22y x =相交于A ，B 两点.（1）求AB 中点轨迹的直角坐标方程；（2）若P满足PA PB -=l 的方程.23．已知函数()2f x x x =-. （1）求不等式()22fx x x ≤-++的解集； （2）若10a m<<（2m ≥，且m N ∈），2b a a <-，求证11b m <+.参考答案1．B【分析】解不等式确定集合B ，再由交集定义求解．【详解】(){|20}{|02}B x x x x x =-≤=≤≤，又{}1,0,1,2,3A =-，∴{0,1,2}A B ⋂=．故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，掌握交集概念是解题的关键．属于容易题.2．B【分析】 利用求1sin 2α=的充要条件判断选项即可. 【详解】当30α=︒或150α=︒，1sin 2α=， 则p 是q 的充分条件， 当1sin 2α=， 30360k α=︒+︒或150360k α=︒+︒，则p 不是q 的必要条件.故选：B.【点睛】本题主要考查了充分必要条件的定义.属于较易题.3．C【分析】根据指数函数、对数函数和幂函数的性质，即可容易判断选择.【详解】A ：2x y =的定义域为R ，值域为()0,+∞，故错误；B ：y lnx =的定义域为()0,+∞，值域为R ，故错误；C ：1y x -=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，值域()(),00,-∞⋃+∞，故正确；D ：2y x -=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，值域为()0,+∞，故错误；故选：C .【点睛】本题考查指对幂函数的定义域和值域，属综合简单题.4．D【分析】根据空间中直线与平面的位置关系依次判断即可得答案.【详解】解：对于A 选项，垂直于同一直线的两条直线，位置关系可能是平行，相交或者异面，故错误；对于B 选项，平行于同一个平面的两条直线，位置关系可能平行，相交，异面等，故错误； 对于C 选项，直线平行于一个平面，则直线与平面内的直线的位置关系可能使平行，异面，故错误；对于D 选项，由//αβ，a α⊥得a β⊥，再根据b β⊥即可得//a b ，故正确. 故选：D.【点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系，是基础题.5．A【分析】利用等差数列的通项公式求1,a d ，即可求出9a .【详解】因为37158a a a ++=，得13228a d +=①，又83a =，得173a d +=②，由①②得：1101a d =⎧⎨=-⎩， 故9181082a a d =+=-=.故选：A.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式.属于较易题.6．C【分析】根据流程图可知，正弦函数是周期为4的周期函数，模拟执行程序，可得当()*4k n n N =∈时，0S =，即可得解；【详解】 解：因为正弦函数sin 24k y ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为4，当1k =时，12S =⨯当2k =时，1222S =⨯-⨯当3k =时，123222S =⨯-⨯-⨯当4k =时，123402222S =⨯-⨯-⨯+⨯= 同理可得当()*4k n n N=∈时，0S =，所以2020k =时，0S =故选：C【点睛】本题考查程序框图求输出值，属于中档题.7．A【分析】由题意可得当点P 与圆心的距离最小时，切线长PC 、PD 最小，此时四边形OCPD 的面积最小，由距离公式和面积公式求解可得．【详解】∵圆221x y +=的圆心为(0,0)O ，半径1r =，当点P 与圆心的距离最小时，切线长PC 、PD 最小，此时四边形OCPD 的面积最小，∴圆心到直线3410x y +=的距离2d ==，∴PC PD ===，∴四边形OCPD 的面积122S PC r =⨯=故选：A ．【点睛】本题考查圆的切线方程，明确四边形OCPD 的面积何时最小是解决问题的关键，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.8．C【分析】先根据题意求出每组的频率，再根据题意即可求得答案.【详解】解：由题可知，第一，二，三，四，五组的频率分别为0.16，0.4，0.32，0.08，0.04. 因为前三组的频率和为0.88，故要使90%的患者显现出明显病状， 则需隔离观察的天数至少是：0.90.8813140.02-+=， 故选：C.【点睛】本题考查频率分布直方图解决实际问题，是基础题.9．C【分析】求出点P ，进而求出2112，，PF PF F F ，利用余弦定理即可得出结果. 【详解】设0(8,)P y 在第一象限，200641169-=⇒=y y 26=PF1=6+8=14PF ，12=10F F ，222121461011cos 214614+-∠==⨯⨯F PF故选：C 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质和余弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于一般题目. 10．A 【分析】根据题中所给的新定义，按照其要求计算即可求出结果. 【详解】由题意可知，将2,3,1,34每个数字乘以3，分别得到6,9,3,102，再将6,9,3,102分别于3,2,1,39对应相减可得3,7,2,63，再将3,7,2,63分别于3,2,1,39对应相减可得0,5,1,24，所以24a =； 再将1,2,3,26每个数字乘以3，分别得到3,6,9,78，再将3,6,9,78分别于3,2,1,39对应相减可得0,4,8,39，所以4b =. 故选：A. 【点睛】本题考查了新定义，理解新定义并运用新定义是解题关键，属于基础题. 11．D 【分析】设正四棱锥P ABCD -的高为h ，外接球半径为R ，则球心在此棱锥的高线上，可得()222h R R -+=，求出2h =或1h =；又APC ∠为锐角，即可确定2h =，代入四棱锥的体积公式即可得出结果. 【详解】设正四棱锥P ABCD -的高为h ，外接球半径为R ，则球心在此棱锥的高线上，由已知得249R ππ=，所以32R =， 又由()222h R R -+=，得2h =或1h =； 当1h =时，APC ∠为钝角，所以舍去，故2h =； 所以四棱锥P ABCD -的体积为1822233⨯⨯⨯=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了棱锥的体积公式.属于较易题. 12．C 【分析】分类讨论()f x 的零点情况，特别地当()f x 有两个零点时，利用韦达定理结合零点定义，求得参数b ，再根据()g x 单调性以及零点存在定理，确定零点的分布区间，据此再求a 的范围，则问题得解. 【详解】对()f x ，当2a =±时，()f x 只有一个零点.当2a =时，令()0f x =，可得1x =，而此零点不满足()g x 定义域，故舍去； 当2a =-时，令()0f x =，可得1x =-，同理此零点不满足()g x 定义域，故舍去； 对()f x ，当2a >或2a <-时，()f x 有两个零点，不妨设为12x x < 显然1212,1x x a x x +==， 又()g x 定义域为()()0,11,⋃+∞，故要满足题意，则()f x 两零点为正数且不为1，故2a >. 又12,x x 是()g x 的零点，故可得：1212122,211x b x blnx lnx x x ++==--， 对上述两式相加，即可得：()1212122ln 011x b x bx x x x ++=+=--， 整理可得：()()210a b --=， 故可得1b =.此时：()12221111x g x lnx lnx x x +=-=---， 因为22,1y lnx y x ==--在区间()()0,1,1,+∞都是单调递增函数，故()g x 也是单调增函数.且当0x +→时，()g x →-∞；当1x -→时，()g x →+∞； 故()g x 的一个零点在区间()0,1上； 又()5572ln 0,32320223g g ln ⎛⎫=-<=->⎪⎝⎭， 故()g x 的另一个零点在区间5,32⎛⎫⎪⎝⎭上； 则()f x 的零点分布亦要满足上述两个区间. 即可得：()()010,120,f f a =>=-<()525510,39310242f a f a ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭， 解得2910,103a ⎛⎫∈⎪⎝⎭，故2910,103ab a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭故选：C . 【点睛】本题考查零点存在定理的应用，涉及函数单调性的判断，以及函数零点所在区间的求解，属综合困难题. 13．32-【分析】根据两个向量共线的坐标表示列方程，解方程求得m 的值. 【详解】由于//a b ，所以230m --=，解得32m =-. 故答案为：32-. 【点睛】本小题主要考查两个向量平行的坐标表示.属于容易题. 14【分析】将复数z 化为一般形式，可得出复数z ，利用复数的模长公式可求得z . 【详解】()()()512121212i z i i i+==+-+，12z i ∴=-，因此，z ==【点睛】本题考查复数模长的计算，考查了复数除法法则以及共轭复数概念的应用，属于基础题. 15．40392-【分析】由题得40391403924038403912()()()S a a a a a a =++++++，设k *∈N ,考虑一般情况，40401k k a a -+=-，即得解.【详解】由题得4039124039S a a a =++⋅⋅⋅+,4039403921S a a a =+⋅⋅⋅++， 两式相加得40391403924038403912()()()S a a aa a a =++++++，考虑一般情况，设k *∈N ,则4040224040404020202020log log 404020202020424220202020k kk kk k a a f f k k ---⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-⨯-⨯()2240401=log log 1240402k k ⎡⎤-==-⎢-⎢⎣ 所以40394039403924039,.2S S =-∴=- 故答案为：40392- 【点睛】本题主要考查对数的运算和倒序相加求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16．2【分析】⑴当1ω=时，利用辅助角公式求出()f x ，6π代入即可得出结果； ⑵因为两个函数图像的对称轴完全相同，故周期相同，所以2ω=，利用辅助角公式求出()f x ，6π代入即可得出结果.【详解】 ⑴当1ω=时，()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以2sin 2sin 26632f ππππ⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ⑵因为两个函数图像的对称轴完全相同，故周期相同， 所以2ω=，此时()sin sin 222sin 23f x x x x x x πωω⎛⎫=+==+⎪⎝⎭，所以22sin 22sin 6633f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图像和性质以及辅助角公式.属于较易题.17．（1）6B π=或56π；（2【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式计算可得； （2）由（1）可知6B π=，再根据二倍角公式求出A ，从而得到C ，在ABC 中，设2AC BC x ==，在ADC 中，利用余弦定理即可求出x ，最后根据面积公式计算可得；【详解】解：（1）在ABC 中，因为cos cos 2sin 0a C c A b B +-=， 由正弦定理得sin cos sin cos 2sin sin 0A C C A B B +-=， 所以()sin 2sin sin 0A C B B +-=，即()sin 12sin 0B B -=， 又因为sin 0B ≠，所以1sin 2B =因为B 是三角形的内角，所以6B π=或56π（2）由（1）知6B π=，因为22cos 12sin 122A A =-=-=⎝⎭， 50,π,66A A π⎛⎫∈∴= ⎪⎝⎭所以ABC 为等腰三角形，且23C π=，在ABC 中，设2AC BC x ==， 在ADC 中，由余弦定理得222222cos 773AD AC DC AC DC x π=+-==，解得1x =所以2AC BC ==，所以1sin 2ABC S AC BC C =⋅⋅=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题；18．（1）证明见解析；（2【分析】（1）由面面垂直的性质可得BC ⊥平面11AAC C ，即可得到1BC AC ⊥，再由11A C AC ⊥，即可得证；（2）设M 是1C C 的中点，可得11A M CC ⊥，即可得到1A M ⊥平面11BB C C ，所以1A BM∠为直线1BA 与平面11BB C C 所成的角，再根据锐角三角函数计算可得； 【详解】解：（1）因为平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AAC C平面ABC AC =，BC AC ⊥，BC ⊂平面ABC所以BC ⊥平面11AAC C ，又1AC ⊂平面11AAC C ，所以1BC AC ⊥， 又1AA AC =，所以四边形11AAC C 是菱形， 所以11A C AC ⊥ 又1AC BC C =，1AC ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ， 所以1AC ⊥平面1A BC ， 又因为1AC ⊂平面1AC B ， 所以平面1AC B ⊥平面1A BC ， （2）因为160ACA ∠=︒，所以1ACA 为等边三角形，设M 是1C C 的中点，则11A M CC ⊥，又BC ⊥平面11ACC A ，所以1BC A M ⊥，又1CC BC C ⋂=，BC ⊂平面11BB C C ，1C C ⊂平面11BB C C ，所以1A M ⊥平面11BB C C ，所以1A BM ∠为直线1BA 与平面11BB C C 所成的角，设12AA =，可得1A B =在1Rt A BM △中，1A M =BM ==所以1tan 5A BM ∠=，所以直线1BA 与平面11BB C C【点睛】本题考查面面垂直的证明，直线与平面所成的角的计算，属于中档题.19．（1）24y x =；（2）12λ=-，3-. 【分析】（1）利用抛物线的定义可得,2pMN m FQ p =+=，又(),4M m 为C 上一点，即可得出结论；（2）设l ：2x my =+，设()()1122,,,A x y B x y ，直线与抛物线联立消x ，利用韦达定理得到12124,8y y m y y +==-，利用坐标求FA FB EA EB λ⋅+⋅，结合12124,8y y m y y +==-，化简整理即可得到FA FB EA EBλ⋅+⋅()()2814811m λλ=-++-++⎡⎤⎣⎦，当()4810λ-+=，即可得出结论.【详解】（1）由抛物线的定义知：,2pMN m FQ p =+=， ∴四边形MNQF 的面积为()11432222p S FQ MN NQ p m p m ⎛⎫=+=++⨯=+ ⎪⎝⎭， 故选3214p m +=，又216pm =， 联立以上两式解得2p =或83p =（舍）， 故抛物线C 的方程为24y x =.（2）设l ：2x my =+，代入24y x =得：2480y my --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,8y y m y y +==-，()1,0F ,()()()()112211221,1,2,1,FA FB EA EB x y x y x y x y λλ⋅+⋅=-⋅-+-⋅-()()()()121212121122x x y y x x y y λλ=--++--+ ()()()()121212111y y my my my my λλ=+++++⋅()()22121211m m y y m y y λλ=++++++，把12124,8y y m y y +==-代入上式，得：()2228141FA FB EA EB m m m λλλ⋅+⋅=-+++++()()2814811m λλ=-++-++⎡⎤⎣⎦，当()4810λ-+=， 即12λ=-时， 3FA FB EA EB λ⋅+⋅=-.【点睛】本题主要考查了利用抛物线的定义求解抛物线的方程，以及考查了利用直线与抛物线的位置关系求定值问题.属于中档题.20．（1）20b =，26a =-；（2）模型②拟合效果更好；（3）使用2个月时报废，可使其性价比最高； 【分析】（1）根据最小二乘法计算可得；（2）计算两个模型的残差平方和即可比较；（3）依题意利用模型②可得性价比z 可估计为282x xz y x ==+再利用基本不等式计算可得； 【详解】 解：（1）1357955x ++++==，102560105170745y ++++==所以()()()()()()22224642490231496800204042024b -⨯-+-⨯-++⨯+⨯===-+-+++7420526a y bx =-=-⨯=-（2）由（1）可知模型①的方程为2026y x =-，可得到如下数据：显然模拟②对应残差平方和更小，故模型②拟合效果更好；（3）根据x 的实际意义，显然0x >，由题意结合（2）可知，利用模型②可得性价比z 可估计为21188282x x z y x x x ===≤=++当且仅当82x x=，即2x =时，z 取得最大值，故当零件使用2个月时报废，可使其性价比最高； 【点睛】本题考查最小二乘法求回归直线方程以及回归分析，属于中档题. 21．（1）见解析；（2）1b e=. 【分析】（1）先求导，然后分0a ≤，a e ≥和0a e <<三种情况讨论函数()f x 在区间()0,∞+上的单调性即可；（2）由（1）知当1a =时，先确定()f x 的单调性，求出当0x >时，()f x 的最小值，把问题转化为()0g x ≤在()0,x ∈+∞时恒成立，求导，然后分0b ≤，0b >两种情况讨论函数()g x 的单调性，求最值，即可得出结论. 【详解】（1）()xf x ae e '=-，当0a ≤时，()0f x e '≤-<，故()f x 在()0,∞+内单调递减；当a e ≥时，()()10x f x e e '≥->， 故()f x 在()0,∞+内单调递增；当0a e <<时，令()0f x '=，得10x lna =->，当()0,1ln x a ∈-时，()0f x '<，故()f x 在()0,1ln a -内单调递减；当()1ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>，故()f x 在()1ln ,a -+∞内单调递增；综上：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+内单调递减；当a e ≥时，()f x 在()0,∞+内单调递增；当0a e <<时， ()f x 在()0,1ln a -内单调递减；()f x 在()1ln ,a -+∞内单调递增；（2）由（1）知当1a =时，()f x 在()0,1内单调递减，在()1,+∞内单调递增，∴当0x >时，()()10f x f ≥=，故问题转化为()0g x ≤在()0,x ∈+∞时成立.()211xx bx e g x bxe x x-'=-=， 当0b ≤时，()10g x x'≥>，故()g x 在()0,∞+内单调递增. 若1x >，则()()10g x g >=，不符合题意.当0b >时，令()21xh x bx e =-，可知()h x 在()0,∞+内单调递减.又()010,10h h =>=-<，故存在唯一0x ⎛∈ ⎝，使得()00h x =， 若()00,x x ∈，则()()0,0h x g x '>>；若()0,x x ∈+∞，则()()0,0h x g x '<<；故()g x 在()00,x 内单调递增，在()0,x +∞内单调递减.若01x ≠，则()()010g x g >=，不符合题意；若01x =，则()()10g x g ≤=，符合题意，此时1b e =. 综上，1b e=. 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，利用导数求最值问题.考查了分类讨论思想，转化构造函数的思想.属于较难题.22．（1）22y x =-；（2）20x y --=或20x y +-=.【分析】（1）先讨论直线l 的斜率不存在时得AB 中点为()2,0，再讨论直线l 的斜率存在时，设斜率为,0k k ≠，得直线l 的方程为：()2y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，与抛物线联立得1212224,4x x x x k +=+=，122y y k +=，设AB 中点为(),x y ，则2121x k y k ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，进而得22y x =-，最后验证()2,0满足方程；（2）结合（1）得PA y =，PB y =，由于120y y <，所以)12PA PB y y -=+，结合122y y k +=得42210k k --=，故1k =±，再写直线的方程即可.【详解】解：（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为：2x =，此时AB 中点为()2,0， 当直线l 的斜率存在时，设斜率为,0k k ≠，则直线l 的方程为：()2y k x =-， 与抛物线联立方程组()222y k x y x ⎧=-⎨=⎩得：()22224240k x k x k -++=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则1212224,4x x x x k +=+=， 所以()()()1212122224y y k x k x k x x k +=-+-=+-=， 设AB 中点为(),x y ，则1221212212x x x k y y y k +⎧==+⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩， 消去参数k 得：22y x =-，显然()2,0满足方程，故AB 中点轨迹的直角坐标方程为：22y x =-.（2）显然直线l的斜率不存在时，不满足PA PB -=，故当直线l 的斜率存在时，斜率为,0k k ≠，结合（1）得PA y ===PB y ===，所以)212PA PB y y y y -==-， 因为()()()221212*********y y k x x k x x x x =--=--+222424440k k ⎡⎤⎛⎫=-⨯++=-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以)212PA PB y y y y -==-)12y y =+，由于122y y k +=， 所以化简得：42210k k --=，解得1k =±.所以直线l 的方程为：20x y --=或20x y +-=.【点睛】本题考查曲线的轨迹方程的求解，满足条件的直线的方程求解，考查数学运算能力，是中档题.23．（1）{|1}x x ≥-；（2）详见解析.【分析】（1）由()22fx x x ≤-++，得2≤+x x ，然后利用绝对值的几何意义分0,0x x ≥<求解.（2）根据221124⎛⎫<-=--+ ⎪⎝⎭b a a a ，令()21124⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭f a a ，根据()f a 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增和1102<<≤a m ，得到()1⎛⎫< ⎪⎝⎭f a f m ，则22111112424⎛⎫⎛⎫<--+<--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b a m ，再结合放缩法证明.【详解】（1）由()22f x x x ≤-++，得2≤+x x ，等价于02x x x ≥⎧⎨≤+⎩或02x x x <⎧⎨-≤+⎩， 解得0x ≥或10x -≤<，所以不等式的解集是{|1}x x ≥-；（2）221124⎛⎫<-=--+ ⎪⎝⎭b a a a ， 令()21124⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭f a a ， 所以()f a 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增， 又因为1102<<≤a m ， 所以()1⎛⎫< ⎪⎝⎭f a f m ， 所以22111112424⎛⎫⎛⎫<--+<--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b a m ， 2221111111--=-+=<=-+m m m m m m m . 【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法以及不等式的证明，二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。

2020年山西省太原市高考数学二模试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|(x−2)(x+1)<0}，B={x|−1≤x≤1}，则A∩B=()A. {x|−1<x≤1}B. {x|−1≤x≤1}C. {x|−1<x≤2}D. {x|−1≤x≤2}2.已知复数z满足(1−i)z=i，且|z|=()A. 12B. √22C. √2D. 13.等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2=2，S3=−6，则S5=()A. 18B. 10C. −14D. −224.已知a=log52，b=50.2，c=0.50.2，则()A. a<b<cB. a<c<bC. b<a<cD. c<a<b5.如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.n≡N(modm)表示正整数n除以正整数m的余数为N，例如10≡4(mod6).执行该程序框图，则输出的n等于()A. 11B. 13C. 14D. 176.已知sin(π4−x)=14，则sin2x的值为()A. 58B. 68C. 78D. 387.函数y=1x−ln(x+1)的图象大致为()A. B. C. D.8.圆周率π是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对π进行了估算．现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算．假设某校共有学生N人，让每人随机写出一对小于1的正实数a，b，再统计出a，b，1能构造锐角三角形的人数M，利用所学的有关知识，则可估计出π的值是()A. 4MN B. 4(N−M)NC. 2M+NND. 4M+2NN9.已知a⃗,b⃗ 是两个非零向量，其夹角为θ，若(a⃗+b⃗ )⊥(a⃗−b⃗ )，且|a⃗+b⃗ |=2|a⃗−b⃗ |，则cosθ=()A. 12B. 35C. −12D. −√3210.过抛物线y2=4x的焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，设点M(3,0).若△MAB的面积为4√2，则|AB|=()A. 2B. 4C. 2√3D. 811.对于函数f(x)=12(sinx+cosx)−12|sinx−cosx|.有下列说法：①f(x)的值城为[−1,1]；②当且仅当x=2kπ+π4(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值；③函数f(x)的最小正周期是π；④当且仅当x∈(2kπ,2kπ+π2)(k∈Z)时f(x)>0．其中正确结论的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 412.三棱锥P−ABC中．AB⊥BC，△PAC为等边三角形，二面角P−AC−B的余弦值为−√63，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为8π.则三棱锥体积的最大值为()A. 1B. 2C. 12D. 13二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若曲线f(x)=mxe x+n在(1,f(1))处的切线方程为y=ex，则m+n=______．14.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线上一点，若△PF1F2为等腰三角形，∠PF1F2=120°，则双曲线的离心率为______．15.已知△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的对边，a+c=6，sinB1+cosB =sinA3−cosA，则△ABC面积的最大值是______．16.中国古代教育要求学生掌握“六艺”，即“礼、乐、射、御、书、数”.某校为弘扬中国传统文化，举行有关“六艺”的知识竞赛．甲、乙、丙三位同学进行了决赛．决赛规则：决赛共分6场，每场比赛的第一名、第二名、第三名的得分分别为a，b，c(a>b>c,a，b，c∈N∗)，选手最后得分为各场得分之和，决赛结果是甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，现有下列说法：①每场比赛第一名得分a=4分；②甲可能有一场比赛获得第二名；③乙有四场比赛获得第三名；④丙可能有一场比赛获得第一名．则以上说法中正确的序号是______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）a n+n−3．17.已知数列{a n}的前n项和为S n满足：S n=32(Ⅰ)求证：数列{a n−1}是等比数列；(Ⅱ)令c n=log3(a1−1)+log3(a2−1)+⋯+log3(a n−1)，令d n=1，求数列{d n}的前n项和T n．c n18.按照水果市场的需要等因素，水果种植户把某种成熟后的水果按其直径d的大小分为不同等级．某商家计划从该种植户那里购进一批这种水果销售．为了了解这种水果的质量等级情况，现随机抽取了100个这种水果，统计得到如下直径分布表(单位：mm)：用分层抽样的方法从其中的一级品和特级品共抽取6个，其中一级品2个．(1)估计这批水果中特级品的比例；(2)已知样本中这批水果不按等级混装的话20个约1斤，该种植户有20000斤这种水果待售，商家提出两种收购方案：方案A：以6.5元/斤收购；方案B：以级别分装收购，每袋20个，特级品8元/袋，一级品5元/袋，二级品4元/袋，三级品3元/袋．用样本的频率分布估计总体分布，问哪个方案种植户的收益更高？并说明理由．19.如图，已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PCD⊥底面ABCD，PD=DC=2，∠PDC=120°，E是PC的中点，点F在AB上，且AB=4AF．(1)求证：EF⊥CD；(2)求点F到平面ADE的距离．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，一个顶点为M(0,1)，直线l交椭圆于A，B两点，且MA⊥MB．(1)求椭圆C的方程；(2)证明：直线l过定点．21.已知f(x)=2lnx+ax+1．(1)若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围；(2)证明：当a=1时，对任意满足f(x1)=f(x2)=2m+1的正实数x1，x2(x1<x2)，都有x1+x2>1．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =tt+1,y =2t+1t+1(t 为参数)，曲线C 2的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)，以坐标原点为极点．x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程；(Ⅱ)射线θ1=β(0<β<π2)与曲线C 2交于O ，P 两点，射线θ2=π2+β与曲线C 1交于点Q ，若△OPQ 的面积为1，求|OP|的值．23. 已知a ，b ，c 为正实数．(Ⅰ)若a +b +c =1，证明：(1a −1)(1b −1)(1c −1)≥8； (Ⅱ)证明：ab+c +ba+c +ca+b ≥32．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A ={x|−1<x <2}，B ={x|−1≤x ≤1}， ∴A ∩B ={x|−1<x ≤1}． 故选：A ．可以求出集合A ，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：(1−i)z =i ， ∴(1+i)(1−i)z =i(1+i)，∴z =−12+12i.则|z|=√(−12)2+(12)2=√22．故选：B ．由(1−i)z =i ，可得(1+i)(1−i)z =i(1+i)，可得z ，再利用模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：根据题意得，q ≠1 ∴a1+a 2=2 ①a 3=−8 ②又a 1(1+q)=2，a 1q 2=−8∴q 2=−4−4q解得q =−2，a 1=−2∴S 5=−22故选：D ．运用等比数列的通项公式和前n 项和公式列方程解方程可解决此问题． 本题考查等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用及二元一次方程的解法．4.【答案】B【解析】解：因为a =log 52∈(0,12)，b =50.2>1，c =0.50.2>12， 则b >c >a ． 故选：B ．利用对数函数和指数函数的性质即可比较大小．本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．5.【答案】D【解析】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足以下条件的最小两位数： ①被3除余2， ②被4除余1， 故输出的n 为17， 故选：D ．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：∵sin(π4−x)=√22cosx −√22sinx =14，∴cosx −sinx =√24，平方可得1−2sinxcosx =1−sin2x =18，则sin2x =78， 故选：C ．由题意利用两角差的正弦公式，求得cosx −sinx =√24，再平方利用二倍角的正弦公式，求得sin2x 的值．本题主要考查两角差的正弦公式，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．7.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法是解决本题的关键． 根据f(1)的符号及函数的定义，利用排除法进行判断即可． 【解答】解：设f(x)=1x−ln(x+1)， f(1)=11−ln2>0，排除C ，D ，选项B中一个x值对应两个y值，不是函数，排除B，故选：A．8.【答案】B【解析】解：学校共有学生N人，每人随机写出一对小于1的正实数a，b，得到N个实数对(a,b)，因为0<a<1，0<b<1，所以N个实数对(a,b)都在边长为1的正方形AOBC内，如图所示：若a，b，1能构造锐角三角形，因为1是最长边，所以1所对的角为锐角，所以a2+b2−12ab>0，即a2+b2>1，所以N对实数对落在单位圆x2+y2=1外的有M对，由几何概率的概率公式可得：MN =1×1−14π×121×1=1−14π，所以π=4(N−M)N，故选：B．N个实数对(a,b)都在边长为1的正方形AOBC内，若a，b，1能构造锐角三角形，则a2+b2>1，所以N对实数对落在单位圆x2+y2=1外的有M对，再利用几何概率的概率公式即可求出π的近似值．本题主要考查了几何概率的概率公式，是中档题．9.【答案】B【解析】解：∵a⃗,b⃗ 是两个非零向量，其夹角为θ，若(a⃗+b⃗ )⊥(a⃗−b⃗ )，则(a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=a⃗2−b⃗ 2=0，∴|a⃗|=|b⃗ |.∵|a⃗+b⃗ |=2|a⃗−b⃗ |，∴a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=4(a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2)， ∴6a ⃗ 2=10a ⃗ ⋅b ⃗ ．则cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=35⋅a ⃗ 2a⃗ 2=35， 故选：B ．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式，求得cosθ的值． 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的夹角公式，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：抛物线y 2=4x 的焦点F 为(1,0)，可设直线l 的方程为x =ty +1， 代入抛物线方程，可得y 2−4ty −4=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，可得y 1+y 2=4t ，y 1y 2=−4，则|AB|=√1+t 2⋅|y 1−y 2|=√1+t 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+t 2⋅√16t 2+16， △MAB 的面积为12|MF|⋅|y 1−y 2|=12×2|y 1−y 2|=4√2， 即√16t 2+16=4√2，解得t =±1， 则|AB|=√1+1⋅√16+16=8， 故选：D ．求得抛物线的焦点F 的坐标，可设直线l 的方程为x =ty +1，联立抛物线的方程，消去x ，可得y 的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，以及三角形的面积公式，解得t ，进而得到所求值．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：因为f(x)={cosx,sinx ≥cosxsinx,sinx <cosx，作出函数f(x)的图象，如图所示：所以，f(x)的值城为[−1,√22]，①错误；函数f(x)的最小正周期是2π，③错误；当且仅当x =2kπ+π4(k ∈Z)时，函数f(x)取得最大值，②正确；当且仅当x ∈(2kπ,2kπ+π2)(k ∈Z)时，f(x)>0，④正确． 故选：B ．根据绝对值的定义将函数f(x)写成分段函数，再作出函数的图象即可判断各命题的真假． 本题主要考查分段函数的图象，以及三角函数的图象与性质的应用，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：如图所示，过点P 作PE ⊥面ABC ，垂足为E ，过点E 作ED ⊥AC 交AC 于点D ，连接PD ， 则∠PDE 为二面角P −AC −B 的平面角的补角，即有cos∠PDE =√63，易知AC ⊥面PDE ，则AC ⊥PD ，而△PAC 为等边三角形， ∴D 为AC 中点，设AB =a ，BC =b ，AC =√a 2+b 2=c ， 则PE =PDsin∠PDE =√32×c ×√33=c2，故三棱锥P −ABC 的体积为：V =13×12ab ×c 2=112abc ≤112c ×a 2+b 22=c 324，当且仅当a =b =√22c 时，体积最大，此时B 、D 、E 共线．设三棱锥P −ABC 的外接球的球心为O ，半径为R ， 由已知，4πR 2=8π，得R =√2．过点O 作OF ⊥PE 于F ，则四边形ODEF 为矩形，则OD =EF =√2−(c2)2，ED =OF =PDcos∠PDE =√32c ×√63=√22c ，PE =c2，在Rt △PFO 中，(√2)2=(√22c)2+(c 2−√2−(c2)2)2，解得c =2．∴三棱锥P −ABC 的体积的最大值为：c 324=2324=13． 故选：D ．由已知作出图象，找出二面角P −AC −B 的平面角，设出AB ，BC ，AC 的长，即可求出三棱锥P −ABC 的高，然后利用基本不等式即可确定三棱锥体积的最大值(用含有AC 长度的字母表示)，再设出球心O ，由球的表面积求得半径，根据球的几何性质，利用球心距，半径，底面半径之间的关系求得AC 的长度，则三棱锥体积的最大值可求． 本题考查三棱锥体积最值的求法与三棱锥外接球的表面积的求法，涉及二面角的运用，基本不等式的应用，以及球的几何性质的应用，属于难题．13.【答案】e+12【解析】解：将x=1代入y=ex得切点为(1,e)，所以e=me+n……①，又f′(x)=me x(x+1)，∴f′(1)=2em=e，∴m=12……②，联立①②解得m=12,n=e2，故m+n=e+12．故答案为：e+12．先将x=1代入切线方程求出切线坐标，然后代入曲线方程得m，n的一个方程①，然后求出曲线在x=1处的导数，令其等于e，得另一个关于m，n的方程②，联立①②求解即可．本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，注意利用切点满足的两个条件列方程组求解．同时考查学生的逻辑推理和数学运算等数学核心素养．属于基础题．14.【答案】√3+12【解析】解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线上一点，若△PF1F2为等腰三角形，∠PF1F2=120°，可得PF1=2c，PF2=2√3c，由双曲线的定义可知：2√3c−2c=2a，所以e=ca =√3−1=√3+12．故答案为：√3+12．利用已知条件求出PF2的距离，利用双曲线的定义转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，是基础题．15.【答案】2√2【解析】解：因为sinB1+cosB =sinA3−cosA，所以3sinB−sinBcosA=sinA+sinAcosB，即sinA+sin(A+B)=3sinB，所以sinA+sinC=3sinB，由正弦定理可得a+c=3b=6，所以b=2，又a+c=6≥2√ac，当且仅当a=c时取等号，所以ac≤9，此时a=c=3，b=2，cosB=9+9−42×3×3=79，所以sinB=4√29，则△ABC面积S=12acsinB≤12×9sinB=2√2．故答案为：2√2先利用和差角公式对已知进行化简，然后结合正弦定理可求b，再有基本不等式可求ac范围，代入三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了和差角公式，正弦定理，余弦定理及三角的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．16.【答案】②③【解析】解：由题可知(a+b+c)×N=26+11+11=48，且a、b、c及N都是正整数，所以a+b+c也是正整数，48能被N整除，N的可能结果是1、2、3、4、6、8、12、16、24、48经检验当N=6时a+b+c=8且a>b>c推断出a=5，b=2，c=1最后得出结论：a=4，故①错误；甲4个项目得第一，1个项目得第二，故②正确；乙4个项目得第三，1个项目得第一，故③正确；丙4个项目得第二，1个项目得第三，故④错误；故答案为：②③．由题可知(a+b+c)×N=26+11+11=48，且a、b、c及N都是正整数，推出N的可能结果，即可判断．本题考查了合情推理的问题，考查了推理论证能力，考查了化归与转化思想，审清题意是正确解题的关键，属于中档题．17.【答案】证明：(Ⅰ)当n=1时，S1=32a1+1−3，解得a1=4，当n≥2时，由S n=32a n+n−3得S n−1=32a n−1+n−4，两式相减，得a n=32an−32a n−1+1，即a n=3a n−1−2，(n≥2)，则a n−1=3(a n−1−1)，故数列{a n−1}是以3为首项，3为公比的等比数列，解：(Ⅱ)由(1)a n−1=3n，∴log3(a n−1)=n，∴c n=log3(a1−1)+log3(a2−1)+⋯+log3(a n−1)=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2∴1c n =2n(n+1)=2(1n−1n+1)，则T n=2(1−12+12−13+⋯+1n−1n+1)=2(1−1n+1)=2nn+1．【解析】(Ⅰ)根据数列递推公式得到a n=3a n−1−2，即可得到{a n−1}是以3为首项，3为公比的等比数列，问题得以解决；(Ⅱ)根据对数的运算性质和等差数列的求和公式，得到c n=n(n+1)2，再根据裂项求和，问题得以解决．本题考查数列的求和，考查等比数列的定义及通项公式，突出考查裂项法求和，考查推理与运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由已知得{1+m+29+n+7=100 n+729=42，解得m=12，n=51，所以特级品的概率为51+7100=0.58，所以这批水果中特级品的比例为58%．(2)选用方案A，种植户的收益为20000×6.5=130000(元)，选用方案B，种植户的收益为20000×20×120×(3100+12×4100+29×5100+58×8100)=132000．∵132000>130000，所以选用方案B．【解析】(1)由已知得{1+m+29+n+7=100n+729=42，求出m，n，然后求解这批水果中特级品的比例．(2)选用方案A，种植户的收益为，选用方案B，求出种植户的收益，然后判断即可．本题考查实际问题的解决方法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19.【答案】解：(1)在CD上取点M，使CD=4DM，连接EM、FM，∵AB=4AF，∴FM⊥CD．∵PD=DC=2，∠PDC=120°，∴∠PCD=30°，CE=√3，CM=32，在△CEM中，由余弦定理知，EM2=CE2+CM2−2CE⋅CM⋅cos∠PCD=3+94−2×√3×32×√32=34，∴EM=√32，∴CE2=CM2+EM2，即CD⊥EM，又EM∩FM=M，EM、FM⊂平面EFM，∴CD⊥平面EFM，∵EF⊂平面EFM，∴CD⊥EF．(2)设点F 到平面ADE 的距离为d ，∵AD ⊥CD ，面PCD ⊥面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，面PCD ∩面ABCD =CD ，∴AD ⊥平面PCD ， ∵DE ⊂面PCD ，∴AD ⊥DE ，S △ADE =12AD ⋅DE =12×2×1=1． 由(1)知，EM ⊥CD ，∵面PCD ⊥面ABCD ，且EM ⊂面PCD ，面PCD ∩面ABCD =CD ， ∴EM ⊥平面ABCD ，即E 到面ABCD 的距离为EM =√32，∵V F−ADE =V E−ADF ，∴d ⋅S △ADE =EM ⋅S △ADF ，即d ⋅1=√32⋅12⋅2⋅14，解得d =√38．故点F 到平面ADE 的距离√38．【解析】(1)在CD 上取点M ，使CD =4DM ，连接EM 、FM ，在△CEM 中利用余弦定理可证得CD ⊥EM ，而FM ⊥CD ，然后结合线面垂直的判定定理和性质定理即可得证；(2)设点F 到平面ADE 的距离为d ，利用面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理可得AD ⊥DE ，从而得S △ADE ；根据线面垂直的判定定理可证EM ⊥平面ABCD ，即E 到面ABCD 的距离为EM ，最后利用等体积法，V F−ADE =V E−ADF 即可得解．本题考查空间中线面的位置关系、点到面的距离问题，熟练运用线面垂直的判定定理与性质定理、等体积法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意可得e =c a =√32，b =1，而a 2=b 2+c 2，解得：a 2=4，b 2=1，所以椭圆的方程：x 24+y 2=1；(2)证明：易知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y =kx +t ，且t ≠1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线与椭圆的方程：{y =kx +tx 24+y 2=1，整理可得：(1+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−4=0，△=64k 2t 2−4(1+4k 2)(4t 2−4)>0，即t 2<1+4k 2， x 1+x 2=−8kt1+4k 2，x 1x 2=4t 2−41+4k 2， 因为MA ⊥MB ，所以MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即(x 1,y 1−1)⋅(x 2,y 2−1)=0，x 1x 2+y 1y 2−(y 1+y 2)+1=0， 所以x 1x 2+(kx 1+t)(kx 2+t)−k(x 1+x 2)−2t +1=0，即(1+k 2)⋅4t 2−41+4k 2+k(t −1)⋅−8kt1+4k 2+t 2−2t +1=0，整理可得5t 2−2t −3=0，解得：t =−35或t =1(舍)， 综上所述：可以得证直线恒过(0,−35).【解析】(1)由椭圆的离心率及上顶点的坐标及a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程； (2)易知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，由MA ⊥MB ，所以MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得恒过(0,−35).本题考查求椭圆的方程与直线与椭圆的综合，及两条直线垂直的性质，属于中档题．21.【答案】解：(1)f(x)的定义域{x|x >0}，f′(x)=2x −ax 2=2x−a x 2，当a ≤0时，f′(x)>0，f(x)在定义域上单调递增，不可能有两个零点， 当a >0时，由f′(x)=2x−a x 2=0，得x =a2>0，当x ∈(0,a2)时，f′(x)<0，f(x)在定义域上单调递减， 当x ∈(a2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)在定义域上单调递增， 所以x =a2时，f(x)取得极小值．因为f(x)有两个零点，所以f(a2)<0，解得0<a <2e −32， 因为f(e)=3+ae >0，所以f(x)在(a2,+∞)由唯一实数根， 取x 0=a 2e 2<a2，则f(x 0)=4lna −3+e 2a>4⋅a 2−12a−3+e 2a=2a 2+e 2−3a−2a>0，所以f(x)在x ∈(0,a2)有唯一实数根． 故实数a 的取值范围为0<a <2e −32；(2)证明：当a =1时，由f(x 1)=f(x 2)=2m +1，得{2lnx 1+1x 1+1=2m +12lnx 2+1x 2+1=2m +1， 两式相减得2(lnx 2−lnx 1)+x 1−x 2x 1x 2=0，则x 1=1−x 1x 22ln x 2x 1，x 2=x 2x 1−12ln x 2x 1，令x 2x 1=t(t >1)，则x 1+x 2=t−1t2lnt，设ℎ(t)=t −1t −2lnt ，ℎ′(t)=1+1t 2−2t =(1−1t )2>0， 所以ℎ(t)在(1,+∞)上为增函数，ℎ(t)>ℎ(1)=0， 又2lnt >0(t >1)，所以t−1t2lnt>1，所以x 1+x 2>1．【解析】(1)求导数得f′(x)=2x−a x 2，分两种情况当a ≤0时，当a >0时，讨论函数f(x)的单调性，极值，分析是否f(x)能有两个零点，进而得a 的取值范围．(2)根据题意可得{2lnx 1+1x 1+1=2m +12lnx 2+1x 2+1=2m +1，两式相减得x 1=1−x 1x 22ln x 2x 1，x 2=x 2x 1−12ln x 2x 1，令x 2x 1=t(t >1)，则x 1+x 2=t−1t 2lnt ，设ℎ(t)=t −1t −2lnt ，求导分析函数ℎ(t)单调性，得ℎ(t)>ℎ(1)=0，进而得出结论． 本题考查函数单调性，导数的综合应用，属于中档题，难点是放缩法的应用，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)曲线C 1的参数方程为{x =tt+1,y =2t+1t+1(t 为参数)，转换为直角坐标方程为：x −y +1=0．曲线C 2的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 2+y 2−4x =0， 根据{x =ρcosθy =ρsinθ，转换为极坐标方程为ρ=4cosθ．(Ⅱ)由于ρ=4cosθ，设点P(4cosβ,β)，由于直线C 1的极坐标方程为ρcosθ−ρsinθ+1=0． 得到Q(1cosβ+sinβ,π2+β)，所以S △POQ =12×4cosθ×1cosβ+sinβ=1，解得cosβ=sinβ，所以β=π4， 所以|OP|=4cosβ=2√2．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用及三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】证明：(Ⅰ)(1a −1)(1b −1)(1c −1)=1−a a ⋅1−b b ⋅1−c c =b+c a ⋅a+c b ⋅a+b c ≥2√bc a ⋅2√ac b ⋅2√ab c=8，当且仅当“a =b =c ”时取等号； (Ⅱ)ab+c +ba+c +ca+b =(a+b+c b+c−1)+(a+b+c a+c−1)+(a+b+c a+b−1)=12[(b +c)+(a +c)+(a +b)](1b +c +1a +c +1a +b)−3 ≥12(√b +c √b+c+√a +c a+c+√a +b ⋅√a+b )2−3=12×32−3=32，当且仅当“a =b =c ”时取等号．【解析】(Ⅰ)直接利用基本不等式即可得证； (Ⅱ)通过变形，再利用柯西不等式直接证明即可．本题考查基本不等式及柯西不等式的运用，考查推理论证能力，属于基础题．。

山西省临汾市2020届高考考前适应性训练考试试题（二）数学（文）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内,复数1ii+对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合A={12,3},{|0},B x x mx n =-+=,若A∩B=A,则n=( ) A.4B. -4C.3D. -33.“3cos 2α=”是“1cos 22α=”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知某地区初中水平及以上的学生人数如图所示.为了解该地区学生对新型冠状病毒的了解程度，拟采用分层抽样的方法来进行调查。

若高中生需抽取的20名学生，则抽取的学生总人数为（ ）A.40B.60C.120D.3605.在△ABC 中,AB c AC b ==,若点D 满足1,2BD DC =则AD =() 12.33A b c +21.33B b c +41.33C b c -11.22D b c + 6.圆2266x y x y +=+上到直线x +y-2 =0的距离为1的点的个数为( ) A.1B.2C.3D.47.已知方程sinx +cosx =a 在区间[0 ,2π]上恰有三个解,则a=( )2.2A B.1.2C.22D 8.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,在区间(0, +∞)上单调递增,且f( -1) =0,则(21)()0x f x -⋅>的解集为( )A.(-∞，-1) ∪(1, +∞)B.( -1,0)∪(0,1)C.( -∞,-1)∪(0,1)D.( -1,0)∪(1, +∞)9.某兴趣小组有3名男生和2名女生,现从中选2人参加公益活动,则至少选中一名女生的概率为( )1.10A3.10B7.10C9.10D 10.某几何体的三视图如图所示(单位:cm)，则该几何体的体积(单位:cm³ )是( )1.6A31.B1.2C5.6D 11.在平面直角坐标系xOy 中,F 是抛物线2:4C y x =的焦点,M 在C 上,直线MN 与x 轴平行且交y 轴于点N.若∠ONM 的角平分线恰好过MF 的中点,则|MF|=( )A.1.2BC.2D.412.已知三次函数322()3(0)3x f x ax a x a =+->的导函数为()f x ',若方程[()]0f f x '=有四个实数根,则实数a 的范围为( )135.(3A ⋅19.(,)95B 135.(0,))3C ⋃+∞19.(0,)(,)95D ⋃+∞二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。

2020届山西省高三适应性调研数学（文）试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}{}22|log 1,|0A x x B x x x =<=->，则A B =I （ ）A ．{|12}x x <<B ．{|2}x x <C ．{|12}x x <„D ．{|14}x x <„【答案】A【解析】解对数不等式和一元二次不等式化简集合,A B ，再进行交运算，即可得答案. 【详解】由题意得{}2|log 1{|02},{|(1)0}{|0A x x x x B x x x x x =<=<<=->=<或1}x >，∴{|12}A B x x =<<I . 故选：A. 【点睛】本题考查数不等式和一元二次不等式的求解、集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题.2．已知复数z 满足21iz i -=+，则z =（ ） A ．132i+ B ．132i - C ．32i +D ．32i- 【答案】B【解析】利用复数的除法运算，即可得答案. 【详解】 ∵2(2)(1)131(1)(1)2i i i iz i i i ----===++-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.3．由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合上图，下列说法错误的是（）A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B ．设备制造商的经济产前期增长较快，后期放缓C ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势D ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 【答案】D【解析】对A 选项，可直观感知每年的产出是逐渐增高；对B 选项，2020到2023年设备制造商的经济产前期增长较快，后几年放缓；对C 选项，2028到2030年第二个小矩形的高与第一个小矩形的高度差明显逐年加大；对D 选项，2029和2030年已被信息服务超出． 【详解】对A 选项，每一年小矩形高是逐渐增高的，可直观发现每年产值是逐渐增高，故A 正确；对B 选项，2020到2023年设备制造商的经济产前期增长较快，后几年放缓，故B 正确； 对C 选项，2028到2030年第二个小矩形的高与第一个小矩形的高度差明显逐年加大，故C 正确；对D 选项，2029和2030年已被信息服务超出，故D 错误．故选D ． 【点睛】本题主要考查数学阅读理解能力及从图中提取信息的能力，属基础题． 4．已知角θ的终边过点()3,4-，则()cos πθ-=（ ） A ．45-B ．45C ．35-D ．35【答案】D【解析】根据三角函数的定义及诱导公式即可求解. 【详解】因为角θ的终边过点()3,4-，所以3cos 5θ=-，3cos()cos 5πθθ-=-=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，属于容易题.5．若椭圆221(0)2x y p p p+=>的一个焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，则p =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】C【解析】由椭圆方程，抛物线方程写出焦点，根据焦点重合即可求解. 【详解】椭圆的焦点坐标为()),，抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，2p=，解得4p =， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，抛物线的简单几何性质，属于容易题.6．已知函数()xf x ae x b =++，若函数()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为23y x =+，则ab 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】对函数求导得(0)2f '=，求得a 的值，再根据切点既在切线上又在曲线上，可求得b 的值，即可得答案. 【详解】∵()1x f x ae '=+，∴(0)12f a '=+=，解得1,(0)13a f a b b ==+=+=，∴2b =， ∴2ab =. 故选：B.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意切点既在切线上又在曲线上的应用. 7．函数2sin ()1x xf x x +=+在[,]-ππ的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数为奇函数及()0f π>，再结合排除法，即可得答案. 【详解】∵函数的定义域为R ，关于原点对称，且2sin()()()()()1x x f x f x x -+--==--+，∴()f x 是奇函数，故排除A ；22sin ()011f ππππππ+==>++，排除B ，C.故选：D. 【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查数形结合思想，求解时注意充分利用函数的性质及特殊点的函数值进行求解.8．如图，在四棱锥P ABCD -中，//,2,3AD BC AD BC ==，E 是PD 的中点，F 在PC 上且13PF PC =，G 在PB 上且23PG PB =，则（ ）A ．3AG EF =，且AG 与EF 平行B ．3AG EF =，且AG 与EF 相交C ．2AG EF =，且AG 与EF 异面D ．2AG EF =，且AG 与EF 平行【答案】D【解析】取CF 的中点H ，连接,DH GH ，证明//AG DH ，且AG DH =，即可得答案. 【详解】取CF 的中点H ，连接,DH GH ，则在三角形PBC 中23PG PH PB PC ==， 所以//GH BC ，且223GH BC ==， 又因为//AD BC 且2AD =，所以//GH AD ，且GH AD =， 所以四边形ADHG 为平行四边形， 所以//AG DH ，且AG DH =.在PDH △中，,E F 分别为PD 和PH 的中点，所以//EF DH ，且12EF DH =， 所以//EF AG ，且12EF AG =，即2AG EF =，故选：D.【点睛】本题考查空间中直线、平面的平行关系，考查转化与化归思想，考查空间想象能力，求解时注意利用线段的比例关系，证明平行.9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，22a =，728S =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为（ ） A ．20202021B ．20182020C ．20182019D ．20212020【答案】A【解析】根据22a =，728S =，求得n a ，再利用裂项相消法求n T ，令2020n =代入n T ，即可得答案. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，所以()1774772a a S a +==. 设公差为d ，因为272,28a S ==，所以()112,7328,a d a d +=⎧⎨+=⎩解方程组得11,1,a d =⎧⎨=⎩ 所以数列{}n a 的通项公式为1(1)1n a n n =+-⨯=，所以111(1)n n a a n n +=⨯+.设n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和， 则11111122334(1)(1)n T n n n n =+++⋯++⨯⨯⨯-⨯⨯+ 111111122331n n =-+-++⋯+-+ ∴2020111111111122334202012020202020201T =-+-+-++-+--+L 12020120212021=-=故选：A. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意利用裂项相消法进行求和.10．“角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．如图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n 的值为10，则输出i 的值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】根据流程逐步分析，直到1n =时，计算出i 的值即可. 【详解】（1）10,0n i ==；（2）5,1n i ==；（3）16,2n i ==；（4）8,3n i ==；（5）4,4n i ==；（6）2,5n i ==；（7）1,6n i ==． 故选B ． 【点睛】本题考查根据程序框图计算输出值，难度较易.程序框图问题，多数可以采用列举法的方式解答问题.11．现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知,64DAB BAC ππ∠=∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为（ ）A ．3B 3 C 3D 3【答案】B【解析】设三棱锥A BCD -的外接球的半径为r ，由球的体积得球的半径，当平面ABC ⊥平面ABD 时，三棱锥的体积达到最大，利用体积公式计算，即可得答案.【详解】设三棱锥A BCD -的外接球的半径为r ，因为244r ππ=⇒1r =， 因为90ADB ACB ︒∠=∠=，所以AB 为外接球的直径，所以2AB =，且1,AD BD AC BC ====当点C 到平面ABD 距离最大时，三枝锥A BCD -的体积最大， 此时平面ABC ⊥平面ABD ，且点C 到平面ABD 的距离1d =，所以11111332A BCD C ABD ABD V V S d --==⋅=⨯⨯=△. 故选：B. 【点睛】本题考查三棱锥与球的内接问题、三棱锥体积的最大值、球的体积公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意球心位置的确定.12．设函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0,,43ππωϕ⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦，已知()f x 在[0,2]π上有且仅有4个零点，则下列ω的值中满足条件的是（ ） A ．136ω=B ．116ω=C ．74ω=D ．34ω=【答案】A【解析】设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+剟，从而将问题转化为sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点，从而得到425ππωϕπ+<„，再利用不等式恒成立问题求得ω的范围，即可得答案. 【详解】设t x ωϕ=+，则2t ϕπωϕ+剟， 所以sin y t =在[,2]ϕπωϕ+上有4个零点， 因为,43ππϕ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以425ππωϕπ+<„， 所以52222ϕϕωππ-<-„，所以5342222ππωππ-<-„，即15783ω<„，满足的只有A. 故选：A. 【点睛】本题考查根据三角函数的零点个数求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的应用.二、填空题13．若3a =r ，2=r b，2a b +=r r a r 与b r的夹角为_____________.【答案】3π 【解析】由2a b +=vv 平方，利用数量积的运算及性质即可求解.【详解】设a r 与b r的夹角为θ，则222|2|449432cos 4437a b a a b b θ+=+⋅+=+⨯⨯⨯+⨯=r r r r r r ， 解得：1cos 2θ=， 0θπ<<Q 3πθ∴=.故答案为：3π 【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算及性质，属于中档题.14．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列{}12n S a -也为等比数列，则43S S =________. 【答案】1514【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列{}12n S a -的等比中项性质可得公比q ，再代入等比数列的前n 项和公式中，即可得答案. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， ∵数列{}12n S a -为等比数列，∴()()2211231a a a a a a -=-+-，解得：12q =， ∴4211231241332315(1)1587(1)144Sa q q q S a q a a a a a a q a +++====+++++++. 故答案为：1514.【点睛】本题考查等比数列中的基本量法运算、等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.15．某工厂生产的产品中分正品与次品，正品重100g ，次品重110g ，现有5袋产品（每袋装有10个产品），已知其中有且只有一袋次品（10个产品均为次品）如果将5袋产品以1～5编号，第i 袋取出i 个产品（1,2,3,4,5i =），并将取出的产品一起用秤（可以称出物体重量的工具）称出其重量y ，若次品所在的袋子的编号是2，此时的重量y =_________g ；若次品所在的袋子的编号是n ，此时的重量y =_______g . 【答案】1520 150010,{1,2,3,4,5}n n +∈【解析】第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个.若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个，若次品是第({1,2,3,4,5})n n ∈袋，则15个产品中次品n 个，正品15n -个，分别进行计算，即可得答案. 【详解】第1袋取1个，第2袋取2个，第3袋取3个，第4袋取4个，第5袋取5个，共取15个.若次品是第2袋，则15个产品中正品13个，次品2个， 此时的重量1001311021520y =⨯+⨯=，若次品是第({1,2,3,4,5})n n ∈袋，则15个产品中次品n 个，正品15n -个， 此时的重量100(15)110150010,{1,2,3,4,5}y n n n n =⨯-+⨯=+∈. 故答案为：1520；150010,{1,2,3,4,5}n n +∈ 【点睛】本题考查数学推理应用题，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对题意的理解.16．已知点P 是双曲线2213y x -=右支上一动点，12,F F 是双曲线的左、右焦点，动点Q 满足下列条件：①12212||0||PF PF QF PF PF ⎛⎫+=⎪⎝⎭⋅u u u u u u u r u u r u u u u r u u r r u ，②12120||||PF PF QP PF PF λ⎛⎫++= ⎪⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，则点Q 的轨迹方程为________________. 【答案】221(0)x y y +=≠【解析】设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ，根据向量的加法法则及数量积为0，可得2QF PQ ⊥，利用双曲线的定义可得11||12OQ AF ==，即可得答案. 【详解】设动点Q 的坐标为(,)x y ，延长2F Q 交1PF 于点A ， 由条件②知点Q 在12F PF ∠的角平分线上， 结合条件①知2QF PQ ⊥，所以在2PF A △中，2PQ F A ⊥.又PQ 平分2APF ∠， 所以2PF A △为等腰三角形，即2||PA PF =，2||AQ QF =.因为点P 为双曲线上的点，所以122PF PF -=，即12||2PA AF PF +-=， 所以12AF =.又在12F AF V 中，Q 为2AF 的中点，O 为12F F 的中点， 所以11||12OQ AF ==， 所以点Q 的轨迹是以O 为圆心，半径为1的圆， 所以点Q 的轨迹方程为221(0)x y y +=≠.故答案为：221(0)x y y +=≠. 【点睛】本题考查单位向量、向量的数量积、向量的加法法则的几何意义、双曲线的定义、轨迹方程的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意平面几何知识的应用.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且sin 2sin()0c B b A B -+= （1）求角B 的大小；（2）设4a =，6c =，求sin C 的值． 【答案】（1）3B π=（2321【解析】（1）由已知结合正弦定理化简可求cos B ，进而可求B ；（2）由余弦定理可得，2221cos 22a cb B ac +-==，代入可求b ，由正弦定理可得，sin sin c BC b=可求． 【详解】解：（1）由正弦定理得sin sin 2sin sin()0C B B A B -+=， 化简得2sin sin cos sin sin 0C B B B C -=. 因为在三角形中，sin 0B ≠，sin 0C ≠， 可得1cos 2B =. 又因为(0,)B π∈，所以3B π=（2）由余弦定理可得，2221cos 22a cb B ac +-==，2163612462b +-=⨯⨯，所以27b =，由正弦定理可得，sin 321sin 14c B C b ==. 【点睛】本题主要考查了两角和及二倍角的公式，正弦定理，余弦定理的综合应用，属于中等试题．18．“不忘初心、牢记使命”主题教育活动正在全国开展，某区政府为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n 名，获得了他们一周参加主题教育活动的时间（单位：时）的频率分布直方图，如图所示，已知参加主题教育活动的时间在(]12,16内的人数为92.（1）估计这些党员干部一周参与主题教育活动的时间的平均值；（2）用频率估计概率，如果计划对全区一周参与主题教育活动的时间在(]16,24内的党员干部给予奖励，且参与时间在(]16,20，(]20,24内的分别获二等奖和一等奖，通过分层抽样方法从这些获奖人中随机抽取5人，再从这5人中任意选取3人，求3人均获二等奖的概率. 【答案】（1）13.64（2）25【解析】（1）根据频率分布直方图以每个小矩形的中值为估值计算即可求出；（2）用分层抽样抽取的人数：在(]16,20内为4人，设为a b c d ,,,；在(]20,24内为1人，设为A ，列出基本事件，根据古典概型计算概率即可. 【详解】（1）由已知可得，()140.02500.04750.05000.01250.1150a =÷-+++=， 所以这些党员干部一周参加主题教育活动的时间的平均值为()60.0250100.0475140.1150180.0500220.0125413.64⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.（2）因为0.1150492n ⨯⨯=，所以922000.11504n ==⨯.故参与主题教育活动的时间在(]16,20的人数为0.0500420040⨯⨯=， 参与主题教育活动的时间在(]20,24的人数为0.0125420010⨯⨯=.则利用分层抽样抽取的人数：在(]16,20内为4人，设为a b c d ,,,；在(]20,24内为1人，设为A.从这5人中选取3人的事件空间为：{}(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)a b c a b d a b A a c d a c A a d A b c d b c A b d A c d A ，共10种情况，其中全是二等奖的有4种情况. 故42105P ==. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，均值，分层抽样你，古典概型，属于中档题. 19．如图，圆柱的轴截面ABCD 是边长为2的正方形，点P 是圆弧CD 上的一动点（不与,C D 重合），点Q 是圆弧AB 的中点，且点,P Q 在平面ABCD 的两侧.（1）证明：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）设点P 在平面ABQ 上的射影为点O ，点,E F 分别是PQB ∆和POA ∆的重心，当三棱锥P ABC -体积最大时，回答下列问题. （i ）证明：//EF 平面PAQ ； （ii ）求三棱锥A OEF -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）（i ）证明见解析（ii ）427【解析】（1）由PC PD ⊥，AD PC ⊥可得PC ⊥平面PAD ，即可证明；（2）（i ）连接PE 并延长交BQ 于点M ，连接PF 并延长交OA 于点N ，连接MN ，利用平行线分线段成比例可得//EF MN ，即可得//EF AQ 得证； （ii ）根据A EOF E AOF V V --=即可求解. 【详解】（1）证明：因为ABCD 是轴截面， 所以AD ⊥平面PCD ，所以AD PC ⊥，又点P 是圆弧CD 上的一动点（不与,C D 重合），且CD 为直径， 所以PC PD ⊥，又AD PD D =I ，PD ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以PC ⊥平面PAD ，PC ⊂平面PBC ， 故平面PAD ⊥平面PBC .（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，点P 为圆弧CD 的中点.所以点O 为圆弧AB 的中点，所以四边形AQBO 为正方形，且PO ⊥平面ABO .（i ）证明：连接PE 并延长交BQ 于点M ，连接PF 并延长交OA 于点N ，连接MN ，则//MN AQ ，因为,E F 分别为三角形的重心，所以23PE PF PM PN ==， 所以//EF MN ， 所以//EF AQ ，又AQ ⊂平面PAQ ，EF ⊄平面PAQ ，所以//EF 平面PAQ . （ii ）因为PO ⊥平面ABO ， 所以PO BO ⊥，又AO BO ⊥，AO PO O =I ， 所以BO ⊥平面PAO ， 因为////EF AQ BO ，所以EF ⊥平面PAO ，即EF ⊥平面FAO ，即EF 是三棱锥E AOF -的高.又233EF BO ==，11123323AOF APO S S ∆∆==⨯⨯=，所以114||3327A EOF E AOF AOF V V S EF --∆==⋅==. 【点睛】本题主要考查了线面垂直、面面垂直的判定，线面平行，等体积法求棱锥体积，属于中档题.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，长轴长为4，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，过A 作x 轴的垂线交椭圆C 与另一点Q （Q不与,A B 重合）.设ABQ ∆的外心为G ，求证2ABGF 为定值.【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】（1）根据长轴及椭圆过点即可求出；（2）由题意设直线AB 为1x my =+，联立椭圆方程可求||AB ，求出ABQ ∆外接圆圆心21,034G m ⎛⎫⎪+⎝⎭，计算2GF ，化简即可证明2AB GF 为定值. 【详解】（1）由题意知2a =，将P 点坐标代入椭圆方程22221x y a b+=得291414b +=，解得b =所以椭圆方程为22143x y +=.（2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =+， 代入椭圆方程得()2234690m y my ++-=. 设()()1122,,,A x y B x y ，则12122269,3434m y y y y m m --+==++， 所以AB 的中点坐标为2243,3434m m m -⎛⎫⎪++⎝⎭，所以()212221213434m AB y y m m +=-=-++.因为G 是ABQ ∆的外心，所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段AQ 的垂直平分线的交点，AB 的垂直平分线方程为22343434m y m x m m ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭， 令0y =，得2134x m =+，即21,034G m ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以222213313434m GF m m +=-=++， 所以()22222121||1234433334m AB m m GF m ++===++，所以2||AB GF 为定值，定值为4. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，定值问题，属于难题. 21．已知函数()2(12)ln af x x a x x=+-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）如果方程()f x m =有两个不相等的解12,x x ，且12x x <，证明：1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）对函数()f x 进行求导得2()(21)()(0)x a x f x x x-+'=>，再对a 进行分类讨论，解不等式，即可得答案；（2）当0a „时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()0f a '=.不妨设120x a x <<<，只要证122x x a +>212x a x >-⇔，再利用函数的单调性，即可证得结论. 【详解】（1）2222122(12)()(21)()2(0)a a x a x a x a x f x x x x x x-+---+'=+-==>. ①当0a „时，(0,),()0,()x f x f x '∈+∞>单调递增； ②当0a >时，(0,),()0,()x a f x f x '∈<单调递减；(,),()0,()x a f x f x '∈+∞>单调递增.综上：当0a „时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增. （2）由（1）知，当0a „时，()f x 在(0,)+∞单调递增，()f x m =至多一个根，不符合题意；当0a >时，()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，则()0f a '=.不妨设120x a x <<<，要证1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭，即证122x xa +>，即证122x x a +>，即证212x a x >-.因为()f x 在(,)a +∞单调递增，即证()()212f x f a x >-，因为()()21f x f x =，所以即证()()112f x f a x >-，即证()()f a x f a x +<-. 令()()()g x f a x f a x =+--2()(12)ln()2()(12)ln()a a a x a a x a x a a x a x a x ⎡⎤⎡⎤=++-++--+--+⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦4(12)ln()(12)ln()a ax a a x a a x a x a x=+-+---+-+-， 221212()4()()a a a ag x a x a x a x a x --'=++--+-+- ()()22222222222242(12)4()()()()a a x x x a a a a a x a x a x a x a x +---=+-=-+-+-.当(0,)x a ∈时，()0,()g x g x '<单调递减，又(0)(0)(0)0g f a f a =+--=， 所以(0,)x a ∈时，()(0)0g x g <=，即()()f a x f a x +<-， 即()(2)f x f a x >-.又1(0,)x a ∈，所以()()112f x f a x >-，所以1202x x f +⎛⎫'> ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将所证不等式转化为利用函数的单调性进行证明.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为21,2x s y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（s为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 90ρθρθ++=.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值. 【答案】（1）24y x =，290x y ++=（2【解析】（1）直接利用消参法可得曲线C 的直角坐标方程；将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程得l 的直角坐标方程； （2）设212P s ⎛⎫⎪⎝⎭，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的性质求最值，即可得答案. 【详解】（1）C 的直角坐标方程为：24y x =，将cos ,sin x y ρθρθ==代入l 的极坐标方程得l 的直角坐标方程为：290x y ++=. （2）设212P s ⎛⎫⎪⎝⎭， 则点P 到直线l的距离21|9s d ++==，当s =-d ==. 【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程的互化、点到直线的距离公式，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意点的参数设法. 23．已知函数()|1||24|f x x x =++-. （1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若函数()y f x =的图象最低点为(),m n ，正数,a b 满足6ma mb +=，求23a b+的取值范围.【答案】（1）[]13,x ∈-（2）2325,6a b ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）分类讨论去掉绝对值得分段函数求解即可；（2）由分段函数求出最低点，得236a b +=，构造1，利用均值不等式求解即可. 【详解】（1）33,2()5,1233,1x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≤-⎩，所以由()6f x ≤可得2336x x ≥⎧⎨-≤⎩，或1256x x -<<⎧⎨-+≤⎩，或1336x x ≤-⎧⎨-+≤⎩，解得：[]2,3x ∈或()1,2x ∈-或1x =-. 综上，[]13,x ∈-.（2）因为33,2()5,1233,1x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≤-⎩，所以当2x =时，()min 3f x =，最低点为()2,3，即236a b +=，所以132a b +=. 23232313252323266a b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当65a b ==时等号成立， 所以2325,6a b ⎡⎫+∈+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，分段函数的最值，均值不等式，属于中档题.第 21 页共 21 页。