专题09 平面向量的线性表示-冲刺2019高考数学二轮复习核心考点

平面向量的线性运算知识点总结平面向量是数学中的重要概念之一，它们具有方向和大小，并且可以进行线性运算。

本文将对平面向量的线性运算相关知识进行总结，包括加法、数乘和线性组合三个方面。

一、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量合成为一个新向量的运算。

具体而言，设有两个向量A和B，它们的加法运算符号为"＋"，则其加法公式为：A +B = (Aₓ + Bₓ, Aᵧ + Bᵧ)其中，Aₓ和Aᵧ分别表示向量A在坐标系中的x轴和y轴上的分量，Bₓ和Bᵧ分别表示向量B在坐标系中的x轴和y轴上的分量。

需要注意的是，向量的加法满足交换律和结合律。

即：A +B = B + A(A + B) + C = A + (B + C)二、平面向量的数乘数乘是指将向量与一个实数相乘得到一个新向量的运算。

具体而言，设有一个向量A和一个实数k，它们的数乘运算符号为"·"，则其数乘公式为：k·A = (k·Aₓ, k·Aᵧ)其中，Aₓ和Aᵧ分别表示向量A在坐标系中的x轴和y轴上的分量。

数乘的运算法则如下：1. 若k>0，则k·A的方向与A的方向相同。

2. 若k<0，则k·A的方向与A的方向相反。

3. 若k=0，则k·A的方向为零向量。

4. |k·A| = |k|·|A|三、平面向量的线性组合线性组合是指将多个向量按一定比例相加得到一个新向量的运算。

具体而言，设有n个向量A₁、A₂、...、Aₙ和n个实数k₁、k₂、...、kₙ，它们的线性组合公式为：k₁A₁ + k₂A₂ + ... + kₙAₙ线性组合的运算法则如下：1. 线性组合的次序不影响结果，即k₁A₁ + k₂A₂ + ... + kₙAₙ =kₙAₙ + ... + k₂A₂ + k₁A₁。

2. 向量的线性组合满足数乘与加法的结合律，即k₁(A₁ + A₂) =k₁A₁ + k₁A₂。

高中数学《平面向量》知识点总结平面向量是高中数学中的重要内容之一、它是描述平面上的有向线段的数学工具，广泛应用于几何、物理和工程等领域。

以下是对平面向量知识点的总结。

1.平面向量的定义和表示法：平面向量是具有大小和方向的有向线段。

可以用有序数对(x,y)表示向量，也可以用字母加上箭头表示向量，如向量a用小写字母a加上箭头表示。

2.平面向量的运算：(1)向量的加法：向量的加法满足“三角形法则”，即两个向量相加等于以它们为相邻边的平行四边形的对角线；(2)向量的数乘：向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘，结果仍然是一个向量，其大小等于原向量大小乘以实数，方向与原向量相同（如果实数为正）或相反（如果实数为负）；(3)数乘的性质：数乘满足交换律、结合律和分配律；(4)向量的减法：向量减法即向量加上其负向量；(5)零向量：大小为0的向量，任何向量与零向量相加等于原向量本身，与零向量的数乘等于零向量本身；(6)向量的线性组合：若有一组向量，每个向量乘以相应的实数再相加得到的向量称为向量的线性组合；(7)内积：内积是一种向量间的一种运算，定义为两个向量的大小之积乘以夹角的余弦值，用点乘符号表示，即向量a与向量b的内积为a·b；(8)内积的性质：内积满足交换律、结合律、分配律和数乘结合律，同时与向量的长度、夹角以及方向都有关系；(9)垂直：若两个非零向量的内积为0，则它们互相垂直。

3.平面向量的坐标表示：平面上的向量可以用坐标表示。

设平面上一个点的坐标为A(x1,y1)，则以原点O为起点的向量可以表示为向量a(x1,y1)，其中x1和y1分别是向量在x轴和y轴上的投影长度。

4.平面向量的模和方向角：(1) 模：向量的模是指向量的长度，用，a，表示，计算公式为：，a，=sqrt(x^2 + y^2)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度；(2) 方向角：向量的方向角是指向量与x轴正半轴之间的夹角，一般用θ表示，计算公式为：θ=tan^(-1)(y/x)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度。

高中数学平面向量知识点总结一、平面向量的基本概念1. 定义：平面向量是有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。

2. 表示法：通常用小写字母加箭头表示，如 $\vec{a}$。

3. 相等：两个向量大小相等且方向相同时，这两个向量相等。

4. 零向量：大小为零的向量，没有特定方向。

二、平面向量的运算1. 加法：- 规则：平行四边形法则或三角形法则。

- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。

- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。

2. 减法：- 规则：与加法类似，但方向相反。

- 逆向量：$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$。

3. 数乘：- 定义：向量与实数相乘。

- 规则：$k\vec{a} = \vec{a}$ 的长度变为 $|k|$ 倍，方向与$k$ 的符号一致。

- 分配律：$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$。

- 结合律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。

三、平面向量的坐标表示1. 坐标表示：$\vec{a} = (x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是向量在坐标轴上的分量。

2. 几何意义：$x$ 分量表示向量在 $x$ 轴上的长度，$y$ 分量表示向量在 $y$ 轴上的长度。

3. 坐标运算：- 加法：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。

- 减法：$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。

- 数乘：$k(x, y) = (kx, ky)$。

四、平面向量的模与单位向量1. 模（长度）：- 定义：向量从原点到其终点的距离。

平面向量知识点归纳在代数学和几何学中，平面向量是一种常用的数学工具，用来描述平面上的长度和方向。

平面向量具有许多重要的性质和运算规律，对于解决各种几何问题和物理问题非常有帮助。

本文将对平面向量的相关知识点进行归纳和总结。

一、平面向量的定义平面向量是由两个有序实数或复数构成的有序对(a, b)，通常用字母小写的粗体字母表示，如：→a。

其中，a表示向量在x轴上的投影，b表示向量在y轴上的投影。

二、平面向量的表示平面向量可以使用坐标表示法或分量表示法。

坐标表示法将向量表示为一个有向线段，起点为原点，终点为向量的坐标。

分量表示法将向量表示为两个实数或复数，分别表示向量在x轴方向和y轴方向上的分量。

三、平面向量的运算1. 加法：向量之间的加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。

例如，向量→a=(a1, a2)，向量→b=(b1, b2)，它们的和向量→c=(a1+b1, a2+b2)。

2. 数乘：向量与一个实数或复数相乘，可以理解为将向量的每个分量都乘以这个数。

例如，向量→a=(a1, a2)，实数k，则k×→a=(ka1, ka2)。

3. 减法：向量减法可以通过向量加法和数乘运算来定义。

向量→a减去向量→b等于向量→a加上向量→b的负向量。

即→a-→b=→a+(-→b)。

4. 数量积/点积：向量→a和→b的数量积/点积（也称为内积）表示为→a·→b，等于它们对应分量的乘积之和，即→a·→b=a1b1+a2b2。

5. 向量积/叉积：向量→a和→b的向量积/叉积（也称为外积）表示为→a×→b，等于一个新的向量，该向量垂直于→a和→b所确定的平面，并且其大小等于以→a和→b为两条边所构成的平行四边形的面积。

四、平面向量的性质和定理1. 零向量：零向量是长度为零的向量，表示为→0=(0, 0)。

它与任何向量的数量积都为零。

2. 平行向量：两个向量的方向相同或相异，它们就是平行的。

平面向量知识点总结归纳在数学中，平面向量是一个有大小和方向的量，常用于解决几何和代数的问题。

平面向量具有许多重要的性质和应用，本文将对平面向量的相关知识点进行总结归纳。

一、基本概念1. 平面向量的表示：平面向量通常用字母加上一个箭头来表示，例如向量a可以写作a→，其中箭头表示向量的方向。

2. 平行向量：两个向量具有相同或相反的方向时，称它们为平行向量。

平行向量的模长相等。

3. 零向量：所有分量都为零的向量称为零向量，用0→表示。

零向量的模长为0。

4. 向量共线：如果两个向量的方向相同或相反，它们被称为共线向量。

二、向量运算1. 向量加法：向量加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新向量。

向量加法满足交换律和结合律。

2. 向量减法：向量减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新向量。

向量减法可以转化为向量加法，即a→ - b→ = a→ + (-b→)。

3. 数乘运算：向量与一个实数相乘，可以改变向量的大小和方向，称为数乘运算。

4. 内积运算：向量的内积又称为点乘运算，表示两个向量之间的夹角关系。

内积的结果是一个实数，可以用向量的模长和夹角的余弦表示。

5. 外积运算：向量的外积又称为叉乘运算，用于求得两个向量所确定的平行四边形的面积和方向。

外积的结果是一个向量。

三、向量的性质1. 平行四边形法则：如果将两个向量的起点放在一起，则另外两个端点形成的四边形为平行四边形。

2. 模长计算：向量的模长是指向量的长度，可以用勾股定理计算。

3. 单位向量：模长为1的向量称为单位向量，可以通过将向量除以它的模长得到。

4. 点积性质：点积具有分配律、交换律和数量积与夹角的余弦值相关等性质。

5. 叉积性质：叉积具有反交换律、分配律和数量积与夹角的正弦值相关等性质。

四、向量的应用1. 几何问题：平面向量可以用于解决几何问题，如线段的平移、直线的垂直和平行判定等。

2. 物理学中的力：力可以用向量表示，通过向量运算可以求得多个力的合力和分力。

历年高三数学高考考点之<平面向量的线性问题>必会题型及答案体验高考1.设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)， 即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.2.已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m 等于( ) A.－8 B.－6 C.6 D.8 答案 D解析 由题知a ＋b ＝(4，m －2)，因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0， 即4×3＋(－2)×(m －2)＝0，解之得m ＝8，故选D.3.已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A.4B.－4C.94D.－94答案 B解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋|n |2＝0， ∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0， 又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B.4.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________. 答案 12 －16解析 MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16.高考必会题型题型一 平面向量的线性运算及应用例1 (1)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 (2)已知在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →， CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝_____.答案 (1)D (2)23解析 (1)设CO →＝yBC →，∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →. ∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， ∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，∴x ＝－y ，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. (2)因为AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，所以CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.点评 平面向量的线性运算应注意三点 (1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(3)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.变式训练1 (1)如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若AD →＝λAB →＋kAC →，则λ＋k 等于( )A.1＋ 2B.2－ 2C.2D.2＋2(2)在△ABC 中，GA →＋GB →＋GC →＝0，CA →＝a ，CB →＝b .若CP →＝m a ，CQ →＝n b ，CG ∩PQ ＝H ，CG →＝2CH →，则1m ＋1n＝________.答案 (1)A (2)6解析 (1)根据向量的基本定理可得， AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋(ED →－EC →) ＝AC →＋(2AC →－22BC →)＝AC →＋2AC →－22(AC →－AB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22·AC →＋22AB →， 所以λ＝22，k ＝1＋22， 所以λ＋k ＝1＋ 2.故选A.(2)由GA →＋GB →＋GC →＝0，知点G 为△ABC 的重心，取AB 的中点D (图略)，则CH →＝12CG →＝13CD →＝16(CA→＋CB →)＝16m CP →＋16n CQ →，由P ，H ，Q 三点共线，得16m ＋16n ＝1，则1m ＋1n ＝6.题型二 平面向量的坐标运算例2 (1)已知点A (－3，0)，B (0，3)，点O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________.答案 1解析 由题意知OA →＝(－3，0)，OB →＝(0，3)， 则OC →＝(－3λ，3)，由∠AOC ＝30°，知∠xOC ＝150°，∴tan 150°＝3－3λ，即－33＝－33λ，∴λ＝1.(2)平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)，请解答下列问题： ①求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； ②若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；③若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . 解 ①由题意得(3，2)＝m (－1，2)＋n (4，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝59，n ＝89.②a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)， ∵(a ＋k c )∥(2b －a )，∴2×(3＋4k )－(－5)(2＋k )＝0，∴k ＝－1613.③设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2，4)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4x －4－2y －1＝0，x －42＋y －12＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.∴d ＝(3，－1)或d ＝(5，3).点评 (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；②若a ∥b (a ≠0)，则b ＝λa .(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.(3)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则. 变式训练2 (1)如图所示，在△ABC 中，D 为AB 的中点，F 在线段CD 上，设AB →＝a ，AC →＝b ，AF →＝x a ＋y b ，则1x ＋2y的最小值为( )A.8＋2 2B.8C.6D.6＋2 2(2)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________. 答案 (1)B (2)m ≠12解析 (1)因为点D 为AB 的中点，所以AB →＝2AD →，因为AF →＝x a ＋y b ，所以AF →＝2xAD →＋yAC →.因为点F 在线段CD 上，所以2x ＋y ＝1，又x ，y ＞0，所以1x ＋2y＝(2x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝4＋y x ＋4x y≥4＋2y x ·4xy＝8， 当且仅当y ＝2x ＝12时取等号，所以1x ＋2y的最小值为8.(2)因为OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，所以AB →＝(3，1)，BC →＝(－m －1，－m ).由于点A 、B 、C 能构成三角形，所以AB →与BC →不共线，而当AB →与BC →共线时，有3－m －1＝1－m ，解得m ＝12，故当点A 、B 、C 能构成三角形时，实数m 满足的条件是m ≠12.高考题型精练1.设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A.a 与λa 的方向相反 B.a 与λ2a 的方向相同 C.|－λa |≥|a | D.|－λa |≥|λ|a答案 B解析 对于A ，当λ＞0时，a 与λa 的方向相同，当λ＜0时，a 与λa 的方向相反，B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小.2.设点M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB →＋32MA →＋32MC →＝0，点D 是AC 的中点，则|MD →||BM →|的值为( )A.13B.12 C.1 D.2 答案 A解析 ∵D 是AC 的中点，延长MD 至E ，使得DE ＝MD ， ∴四边形MAEC 为平行四边形，∴MD →＝12ME →＝12(MA →＋MC →).∵MB →＋32MA →＋32MC →＝0，∴MB →＝－32(MA →＋MC →)＝－3MD →，∴|MD →||BM →|＝|MD →||－3MD →|＝13，故选A. 3.已知点A (－3，0)，B (0，2)，点O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4，设OC →＝ λOA →＋OB →(λ∈R )，则λ的值为( ) A.1 B.13 C.12 D.23答案 D解析 过点C 作CE ⊥x 轴于点E (图略). 由∠AOC ＝π4，知|OE |＝|CE |＝2，所以OC →＝OE →＋OB →＝λOA →＋OB →， 即OE →＝λOA →，所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝23.4.在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( ) A.矩形 B.平行四边形 C.梯形 D.以上都不对 答案 C解析 由已知，得AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →，故AD →∥BC →.又因为AB →与CD →不平行，所以四边形ABCD 是梯形.5.设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2，1)，则“a ＝(4，2)”是“a ∥b ”成立的( ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C解析 若a ＝(4，2)，则|a |＝25，且a ∥b 都成立； ∵a ∥b ，设a ＝λb ＝(2λ，λ)，由|a |＝25，知4λ2＋λ2＝20，∴λ2＝4，∴λ＝±2， ∴a ＝(4，2)或a ＝(－4，－2).因此“a ＝(4，2)”是“a ∥b ”成立的充分不必要条件.6.在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3DC ，点E 为BC 的中点，则AE →等于( )A.23AB →＋12AD →B.12AB →＋23AD →C.56AB →＋13AD →D.13AB →＋56AD → 答案 A解析 BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－23AB →＋AD →，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－23AB →＝23AB →＋12AD →.7.给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ⑤若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是( ) A.②③ B.①② C.③④ D.④⑤ 答案 A解析 ①方向不一定相同；④方向可能相反；⑤若b ＝0，则不对.8.在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →＝________.(用e 1，e 2表示)答案 12(5e 1＋3e 2)解析 在矩形ABCD 中，因为点O 是对角线的交点，所以OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)＝12(DC →＋BC →)＝12(5e 1＋3e 2).9.在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________.答案 45解析 依题意得，AM →＝AB →＋BC →＋CM →＝AB →＋BC →－14AB →＝34AB →＋BC →，AN →＝AB →＋BN →＝AB →＋12BC →.又AB →＝λAM →＋μAN →，于是有AB →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫34AB →＋BC →＋μ⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34λ＋μAB →＋⎝⎛⎭⎪⎫λ＋μ2BC →.又AB →与BC →不共线，因此有⎩⎪⎨⎪⎧34λ＋μ＝1，λ＋μ2＝0，由此解得λ＝－45，μ＝－2λ，所以λ＋μ＝－λ＝45.10.已知点G 是△ABC 的外心，GA →，GB →，GC →是三个单位向量，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，如图所示，△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，点O 是坐标原点，则|OA →|的最大值为________.答案 2解析 因为点G 是△ABC 的外心，且2GA →＋AB →＋AC →＝0，所以点G 是BC 的中点，△ABC 是直角三角形，且∠BAC 是直角.又GA →，GB →，GC →是三个单位向量，所以BC ＝2，又△ABC 的顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的非负半轴上移动，所以点G 的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧.又|GA →|＝1，所以当OA 经过BC 的中点G 时，|OA →|取得最大值，且最大值为2|GA →|＝2.11.设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2. (1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值.(1)证明 由已知得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB →＝2e 1－8e 2，∴AB →＝2BD →. 又∵AB →与BD →有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.(2)解 由(1)可知BD →＝e 1－4e 2， ∵BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴BF →＝λBD →(λ∈R )， 即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12.12.已知点O 为坐标原点，A (0，2)，B (4，6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线； (3)若t 1＝a 2，求当OM →⊥AB →且△ABM 的面积为12时，a 的值. (1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0，2)＋t 2(4，4)＝(4t 2，2t 1＋4t 2). 当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0. (2)证明 当t 1＝1时， 由(1)知OM →＝(4t 2，4t 2＋2). ∵AB →＝OB →－OA →＝(4，4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2，4t 2)＝t 2(4，4)＝t 2AB →， 又∵AM →与AB →有公共点A ，∴不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线.(3)解 当t 1＝a 2时， OM →＝(4t 2，4t 2＋2a 2).又AB →＝(4，4)，OM →⊥AB →， ∴4t 2×4＋(4t 2＋2a 2)×4＝0， ∴t 2＝－14a 2，故OM →＝(－a 2，a 2). |AB →|＝42，点M 到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－a 2－a 2＋2|2＝2|a 2－1|.∵S △ABM ＝12，∴12|AB |·d ＝12×42×2|a 2－1|＝12， 解得a ＝±2， 故所求a 的值为±2.。

高考数学二轮复习平面向量的线性运算知识要点
者缺一不可.
②向量a，b相等记作a=b.
③零向量都相等.
④任何两个相等的非零向量，都可用同一有向线段表示，但特别要注意向量相等与有向线段的起点无关.
2.对于向量概念需注意
(1)向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但向量的模可以比较大小.
(2)向量共线与表示它们的有向线段共线不同.向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上;而有向线段共线则是指线段必须在同一条直线上.
(3)由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上.
小编为大家提供的平面向量的线性运算知识要点，大家仔细阅读了吗?最后祝同学们学习进步。

平面向量知识点总结平面向量是二维空间中的向量，它在数学中有着广泛的应用。

在平面向量的研究中，我们需要了解平面向量的定义、运算法则、坐标表示、线性相关与线性无关、向量的模和方向、向量的投影、平行四边形法则、平面向量的夹角、向量的数量积等内容。

本文将对这些内容进行详细的总结，以帮助读者更好地理解平面向量的相关知识。

1. 定义：平面向量是一个具有大小和方向的量。

它可以用一个有向线段来表示，也可以用它的坐标来表示。

平面向量的定义包括初始点和终点，表示为AB。

2. 运算法则：平面向量有加法和数乘两种运算方式。

向量的加法规则是将两个向量的横纵坐标分别相加，得到一个新的向量。

向量的数乘规则是将向量的横纵坐标分别与给定的实数相乘，得到一个新的向量。

3. 坐标表示：平面向量可以用坐标表示，即用其横纵坐标表示向量的位置。

设向量AB的坐标为(a, b)，则向量AB的终点的坐标为(A.x + a, A.y + b)，其中A.x和A.y分别为点A 的横纵坐标。

4. 线性相关与线性无关：若存在一组实数k1, k2, ... , kn，使得k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0，则向量组V1, V2, ... , Vn是线性相关的。

否则，向量组V1, V2, ... , Vn是线性无关的。

线性无关的向量组在平面向量的研究中具有重要的作用。

5. 向量的模和方向：向量的模表示向量的大小，即向量的长度。

向量的方向表示向量的朝向，即向量的角度。

向量的模可以用勾股定理计算，即v的模等于√(x^2 + y^2)，其中x 和y分别为向量v的横纵坐标。

6. 向量的投影：向量的投影指的是一个向量在另一个向量上的投影长度。

设向量A在向量B上的投影为P，且向量A 和向量B的夹角为θ，则投影P的长度等于A在B上的模乘以cosθ。

7. 平行四边形法则：平行四边形法则是用来计算两个向量的和的规则。

根据平行四边形法则，两个向量的和等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线。

平面向量的线性表示和线性方程组在数学中，平面向量是描述平面上有方向和大小的量。

平面向量可以用线性表示和线性方程组来进行操作和求解。

本文将介绍平面向量的线性表示和线性方程组的相关概念和方法。

一、平面向量的线性表示平面向量的线性表示是指将一个平面向量表示成其他向量的线性组合的形式。

设有平面向量a、b和c，可以通过线性组合的方式表示向量c：c = λ1a + λ2b其中，λ1和λ2为实数，称为向量c相对于向量a和向量b的系数。

通过调整系数的值，可以得到不同的向量c。

当λ1和λ2的值等于0时，向量c为零向量。

二、线性方程组线性方程组是由一组线性方程构成的方程组。

对于平面向量的线性表示，我们可以通过线性方程组求解系数的值。

假设有n个平面向量a1、a2、...、an和n个实数b1、b2、...、bn，可得到线性方程组：b1 = x1a1 + x2a2 + ... + xnanb2 = y1a1 + y2a2 + ... + ynan...bn = z1a1 + z2a2 + ... + zn*an其中，x1、x2、...、xn、y1、y2、...、yn、...、z1、z2、...、zn为实数。

通过求解线性方程组，可以确定向量b相对于向量a1、a2、...、an 的系数。

三、矩阵表示为了简化平面向量的线性表示和线性方程组的求解过程，可以使用矩阵表示。

设有n个平面向量a1、a2、...、an和n个实数b1、b2、...、bn，可将向量a1、a2、...、an构成一个矩阵A，向量b构成一个列向量B，系数x1、x2、...、xn构成一个列向量X，系数y1、y2、...、yn构成一个列向量Y，...，系数z1、z2、...、zn构成一个列向量Z，则线性方程组可以用矩阵乘法的形式表示：AX = B其中，A为n阶矩阵，X为n维列向量，B为n维列向量。

通过对矩阵A求逆或解线性方程组，可以求解出向量X、Y、Z的系数。

四、示例分析为了更好地理解平面向量的线性表示和线性方程组的应用，我们通过以下示例进行分析：已知平面向量a = (1, 2)和b = (3, 4)，求向量c = (x, y)使得c = 2a +3b。

平面向量知识点归纳高考一、向量的定义和性质在数学中，向量是由大小和方向组成的量。

平面向量可以表示为有序的数对，其中第一个数表示向量在水平方向上的分量，第二个数表示向量在垂直方向上的分量。

即向量a可以表示为a=(a₁, a₂)。

向量的性质有：1. 向量相等：如果两个向量的对应分量相等，那么这两个向量是相等的。

2. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。

即a+b=(a₁+b₁, a₂+b₂)。

3. 向量的数乘：向量的数乘是指将向量的每个分量都乘以一个常数得到一个新的向量。

即k×a=(k×a₁, k×a₂)。

4. 向量的减法：向量的减法是指将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。

即a-b=(a₁-b₁, a₂-b₂)。

5. 零向量：所有分量都为零的向量称为零向量，用0表示。

二、向量的模和方向角1. 向量的模：向量的模是指向量的长度，也就是向量的大小。

向量a的模可以表示为|a|=√(a₁²+a₂²)。

2. 向量的方向角：向量的方向角是指向量与某个固定直线之间的夹角。

一般将向量与x轴正方向之间的夹角称为向量的方向角。

三、向量的数量积和向量积1. 向量的数量积：向量的数量积又称为点积或内积。

数量积的结果是一个标量，表示两个向量的相似程度。

向量a和向量b的数量积可以表示为a·b=a₁b₁+a₂b₂。

2. 向量的向量积：向量的向量积又称为叉积或外积。

向量积的结果是一个向量，垂直于这两个向量所在的平面。

向量a和向量b的向量积可以表示为a×b=(a₁b₂-a₂b₁)。

四、平面向量的运算定律1. 交换律：向量的加法满足交换律，即a+b=b+a；向量的数量积满足交换律，即a·b=b·a。

2. 结合律：向量的加法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)；向量的数量积满足结合律，即(a·b)·c=a·(b·c)。

平面向量知识点归纳平面向量是高中数学中的重要内容，也是大学数学中的基础知识，它是向量的一种。

向量是数学中的一个概念，它有方向和大小，用有向线段表示。

平面向量是指在平面中的向量，以下是平面向量的知识点归纳。

一、平面向量的定义平面向量是表示平面上有大小和方向的箭头的数学概念。

平面向量AB用符号→AB表示，它的长度表示向量大小，而方向则由方向角表示。

二、平面向量的加减法1. 平面向量的加法平面向量加法是指将一条平面向量按照另一条向量的方向和大小来平移，并合成为一条新的向量。

记作→AB+→BC=→AC。

向量加法满足交换律、结合律、分配律。

2. 平面向量的减法平面向量减法是将另一向量的方向翻转，依次相加，得到一个新向量。

记作→AB-→AC=→CB。

三、平面向量的数量积平面向量的数量积是指两个向量之间相乘得到的标量。

记作→a⋅→b=a·b·cosθ，其中a、b是两个向量，θ是它们之间的夹角。

四、平面向量的叉积平面向量的叉积是在二维平面内的两个向量所形成的向量垂直于平面，大小等于两个向量所组成的平行四边形的面积。

记作→a×→b，其中a、b是两个向量。

五、平面向量的共线、垂直及夹角1. 平面向量的共线两个向量共线的充要条件是它们的数量积等于它们的模的乘积，即→a//→b，当且仅当a·b=|a||b|。

2. 平面向量的垂直两个向量垂直的充要条件是它们的数量积等于0，即→a⊥→b当且仅当a·b=0。

3. 平面向量的夹角两个向量的夹角是指它们之间的夹角，记作θ，其中θ的范围是0≤θ≤π。

六、平面向量的投影与单位向量1. 平面向量的投影平面向量投影是指一个向量在另一个向量上的投影，也是向量的一个重要应用。

投影的值等于向量的模与夹角的余弦的乘积。

记作pr→a。

2. 平面向量的单位向量单位向量是模等于1的向量，它表示的方向与原向量相同。

单位向量是向量的一种特殊情况，用符号→e表示。

平面向量的线性运算考点解读向量的线性运算是向量的基础部分，考查主要在选择题、填空题形式出现，侧重于对向量的基本概念、向量运算的关系的考查；在解答题中侧重于向量与其他章节的综合考查，预计高考中向量的内容所占的比重还会较大.下面对平面向量的线性运算的考点作简单的探究： 考点一、平面向量基本概念的考查： 例1、给出下列命题：⑴两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等；⑵若=，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四各顶点；⑶若,a b b c ==r r r r，则a c =r r ；⑷若//,//a b b c r r r r，则//a c r r其中所有正确命题的序号为 . 解析：两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点与终点的位置无关，故⑴不正确；当=时，A 、B 、C 、D 四点可能在同一条直线上，故⑵不正确；由=，则a b =r r，且a 与b 的方向相同；由b c =r r ，则b c =r r，且b 与c 的方向相同，则a 与c 的长度相等且方向相同，故=，⑶是正确的；对于⑷，当=时，与不一定平行，故⑷是不正确的. 所以正确命题的序号为⑶. 考点二、向量加法、加法的考查： 例2、下列命题：①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么b a +的方向必与b a ,之一方向相同； ②在ABC ∆中，必有0=++CA BC AB ；③若0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点；④若,均为非零向量，则a b +r r 与a b +r r一定相等.其中真命题的个数为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3解析：①假命题，当0a b +=r r r时，命题不成立.②真命题. ③假命题，当A 、B 、C 三点共线时，也可以有0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r . ④假命题，只有当与同向时相等，其他情况均为a b a b +>+r r r r.点评：对于①②③，关于向量的加法运算除掌握法则外，还应注意一些特殊情况，如零向量，共线向量等，对于④，要注意到向量的加法和求模运算的次序不能交换，即两个向量和的模等于这两个向量的模的和，因为向量的加法实施的对象是向量，而模是数量.例3、已知一点O 到平行四边形ABCD 的3个顶点A 、B 、C 的向量分别为,,a b c r r r，则向量等于（ ）A 、a b c ++r r rB 、a b c -+r r rC 、a b c +-r r rD 、a b c --r r r解析：如图所示，点O 到平行四边形的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为,,， 结合图形有：OD OA AD OA BCOA OC OBa c b=+=+=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u rr r r 故答案：B 点评：掌握向量加法、减法的三角形法则的灵活应用，相等向量是指长度相等方向相同的向量，与它的位置没有关系.考点三、平面向量的共线定理的考查：例4、如图所示，在OAB ∆的边OB OA ,上分别有一点M 、N ，已知2:1:=MA OM 2:3:=NB ON ，连结AN ，在AN 上取一点R ，满足1:5:=RN AR . ⑴用向量,表示向量； ⑵证明：R 在线段BM 上.解析：⑴∵2:1:=MA OM ， ∴13OM OA =u u u u r u u u r∵2:3:=NB ON ， ∴35ON OB =u u u r u u u r∵1:5:=RN AR ， ∴56AR AN =u u u r u u u r又35AN ON OA OB OA =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r∴1526AR OB OA =-u u u r u u u r u u u r，∴()151266BR AR AB OB OA OB OA OA OB ⎛⎫=-=---=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r .⑵证明：∵1162BR OA OB =-u u u r u u u r u u u r∴2=， ∴R 在线段BM 上.点评：利用向量共线定理时容易证明几何中的三点共线和两直线平行的问题，但是向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括重合情况.DN MO BAR。

高考数学平面向量知识点汇总在高考数学中，平面向量是一个重要的概念。

平面向量既可以表示位移，也可以表示力或速度等物理量。

掌握平面向量的基本概念和相关性质，对于解决与平面向量相关的问题起到至关重要的作用。

下面将对高考数学中与平面向量相关的知识点进行汇总和归纳，供同学们复习和回顾。

一、平面向量的定义与运算平面向量是具有大小和方向的量。

顺便一提，相同大小和方向的向量被认为是相等的。

平面向量通常用字母加粗表示，例如a、b、c 等。

平面向量的加法：设有两个向量a和b，其和记为a+b，既可以利用三角形法则直观地完成向量加法，也可以用坐标法进行计算，即a=(a₁,a₂),b=(b₁,b₂),则a+b=(a₁+b₁,a₂+b₂)。

平面向量的减法：设有两个向量a和b，其差记为a-b，可以通过a+(-b)来计算。

平面向量的数量积：设有两个向量a和b，其数量积记为a·b，数值上等于|a|·|b|·cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模，θ表示夹角。

二、平面向量的性质和定理1. 平移性：任意向量加上一个固定的向量，其结果仍然是平行于原向量的。

2. 平行四边形定理：平面上一点A沿两条有向线段的位移到B 和C两点，那么向量AB和向量AC平行且共线。

3. 平行四边形法则：用任一边为向量的起点，从起点引一条平行于另一边的线段，则这两条边所决定的平行四边形的对角线相等。

4. 平面向量共线定理：两个非零向量共线的充分必要条件是它们的坐标成比例。

5. 平面向量垂直定理：两个非零向量垂直的充分必要条件是它们的数量积等于零。

三、平面向量的应用平面向量在几何推理中有着广泛的应用。

以下是一些典型的应用：1. 向量共线判定：可以通过判断向量坐标的比例关系，来确定给定向量是否共线。

2. 向量垂直判定：可以通过计算向量的数量积是否等于零，来判断给定向量是否垂直。

3. 向量位移计算：可以利用向量的平移性质，计算一个物体在平面上的位移。

平面向量的概念与线性运算知识点平面向量是二维空间中的量，可以看作是带有方向和长度的箭头。

它通常用有序数对表示，即(x,y)。

其中，x称为向量的横坐标，y称为向量的纵坐标。

平面向量可以进行很多运算，其中包括线性运算，即向量的加法和数乘。

1.向量的加法：向量的加法定义为：对于两个向量A=(a₁,a₂)和B=(b₁,b₂)，它们的和定义为C=(a₁+b₁,a₂+b₂)。

加法满足以下性质：-交换律：A+B=B+A-结合律：(A+B)+C=A+(B+C)-零向量：对于任意向量A，存在一个零向量0，使得A+0=0+A=A2.向量的数乘：向量的数乘定义为：对于一个向量A=(a₁,a₂)和一个实数k，它们的数乘定义为B=(ka₁, ka₂)。

数乘满足以下性质：- 结合律：k*(l*A) = (kl)*A-1的作用：1*A=A-0的作用：0*A=0除了加法和数乘外，还可以进行向量的减法和向量的数量积。

3.向量的减法：向量的减法定义为：对于两个向量A=(a₁,a₂)和B=(b₁,b₂)，它们的差定义为C=(a₁-b₁,a₂-b₂)。

减法满足以下性质：-A-A=04.向量的数量积：向量的数量积（也称为内积、点积）定义为：对于两个向量A=(a₁,a₂)和B=(b₁,b₂)，它们的数量积定义为a₁b₁+a₂b₂。

用符号表示为A·B。

数量积的性质：-交换律：A·B=B·A-结合律：(kA)·B=A·(kB)=k(A·B)-分配律：A·(B+C)=A·B+A·C向量的数量积还可以通过向量的坐标和向量的夹角来求得：A·B = ，A，，B，cosθ其中，A，和，B，分别表示向量A和向量B的长度，θ表示向量A和向量B之间的夹角。

除了上述基本概念和运算外，还有一些与平面向量相关的重要知识点，如向量的模、单位向量、向量的垂直和平行关系、共线与共点等等。

高考平面向量知识点总结一、向量定义和表示方法在平面上，向量由大小和方向两部分组成。

通常使用箭头AB表示向量，其中A为向量的起点，B为终点。

向量的大小可以用模长表示，通常用符号 ||AB|| 表示，也可以用绝对值表示，即 |AB|。

二、向量的基本运算1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，即：AB + BC = AC。

2. 向量的减法：向量的减法可以通过向量的加法来表示，即：AB – BC = AB + (-BC)。

3. 向量的数量积：向量的数量积也称为点积，表示为 AB · BC，结果是一个实数。

计算方式为：AB · BC = |AB| × |BC| × cosθ，其中θ为 AB 和 BC 的夹角。

4. 向量的夹角：两个非零向量的夹角的余弦值可以通过向量的数量积来计算。

5. 向量的共线性判定：如果两个向量的夹角为 0°或者 180°，则称这两个向量共线。

6. 向量的平行判定：如果两个非零向量的夹角为 0°或者 180°，则称这两个向量平行。

三、平面向量的性质和定理1. 平行四边形定理：平行四边形的对角线互相平分。

2. 矩形的对角线性质：矩形的对角线相等且互相垂直。

3. 平面向量组线性相关的判定：如果存在不全为零的实数 k1、k2、…、kn，使得 a1 + a2 + … + an = 0，则称向量组 A = {a1, a2, …, an} 线性相关。

4. 平面向量组线性无关的判定：如果向量组 A = {a1, a2, …, an}线性相关的充分必要条件是不存在不全为零的实数k1、k2、…、kn，使得 k1a1 + k2a2 + … + knan = 0。

四、平面向量的坐标表示和计算平面向量可以用坐标表示，通常用大写字母表示向量，如 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)。

平面向量的坐标表示可以进行加法、减法和数量积等运算。

专题09 平面向量的线性表示【自主热身，归纳总结】 1、设a ,b 不共线,=2a+pb ,=a+b ,=a-2b ,若A ,B ,D 三点共线,则实数p= .【答案】-1 【解析】因为=2a+pb,=a+b,=a-2b,所以=+=2a-b.因为A,B,D 三点共线,所以=λ,即2a+pb=λ(2a-b)=2λa-λb,所以解得所以实数p 的值是-1.2、设1e 与2e 是两个不共线向量，，12e e =+u u u rCB k ，，若A ，B ，D 三点共线，则=k ．【答案】：49-=k 【解析】，设AB BD λ=u u u r u u u r．则)3(3k -=λ且，解得49-=k ．3、在ABC ∆中，若点D ，E ，F 依次是边AB 上的四等分点，设1e =u u u r CB ，2e =u u u r CA ，用1e ，2e 表示u u u rCF ，则=u u u rCF ．【解析】 在ABC ∆中，，34AF AB =u u u v u u u v，所以．4．设点A ，B ，C 是直线l 上不同的三点，点O 是直线l 外一点，若，则λμ+的值为 ． 【答案】：1【解析】 因为点A ，B ，C 三点共线，所以=u u u r u u u vAC x AB ，又因为，所以λμ+=1．5、如图，在ABC ∆中，D ，E 分别为边BC ，AC 的中点. F 为边AB 上的点，且3AB AF =u u u r u u u r，若，,x y R ∈，则x y +的值为 .【答案】：52 【解析】：因为D 为BC 的中点，所以，故3,12x y ==，52x y +=。

6、已知O 为ABC △的外心，若，则C ∠= ．【答案】：3π4误点警示：若C ∠为锐角，则AOB ∠与C ∠分别是同弧所对的圆心角与圆周角，此时AOB ∠=2C ∠；若C ∠为钝角，由AOB ∠与C ∠的关系是，因此，必须对C ∠进行分类讨论.本题从条件判断知，C ∠必为钝角.7、已知点C ，D ，E 是线段AB 的四等分点，O 为直线AB 外的任意一点，若，则实数 m 的值为 ． 【答案】：23=m 【解析】 因为m ()+u u u r u u u r OA OB ，所以3=u u u r OD m 2⇒u u u r OD 23=m ．8．如图，平面内有三个向量u u u r OA ，u u u r OB ，u u u r OC ，其中u u u r OA 与u u u r OB 的夹角为120︒，u u u r OA 与u u u r OC 的夹角为30︒，且，若，则λ=_______，μ=___________．【答案】：=2λ，4=3μ．ABCO 【解析】 设与OA u u u r ，OB u u ur同方向的单位向量分别为a ，b ，依题意有=42a b +u u u r OC ，又=2a u u u rOA ，3=2b u u u r OB ，则，所以=2λ，4=3μ．9、如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边,AB AD 分别 交于,E F 两点，且交其对角线于K ，其中，25=u u u r u u u r AE AB ，12=u u u r u u u r AF AD ，λ=u u ur u u u r AK AC ，则λ的值为 ．【答案】：29λ=． 【解析】 因为点F ，K ，E 共线，故可设又，所以，解得29λ=． 【问题探究，变式训练】例1、在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值为________.课本探源 本题的难点是EO OC ＝13关系的建立，借助于正弦定理，可以证明AE AC ＝EOOC.实际上，必修5P54例5已经证明了此结论，若能够想到这一点，理顺本题的解题思路就容易多了：在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，用正弦定理证明：AB AC ＝BD DC.【变式1】、如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点，若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________.【答案】34【解析】： 因为O，E分别是AC ，AO 的中点，所以BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋14AC →＝BA →＋14(BC →－BA →)＝34BA →＋14BC →.又BE →＝λBA →＋μBD →＝λBA →＋μ(BC →＋CD →)＝(λ＋μ)BA →＋μBC →，故λ＋μ＝34..【变式2】、在ABC ∆中，2BD DC =u u u r u u u r，若，则12λλ的值为 ．【答案】：29因为，而,所以，所以，则12λλ的值为29.【关联1】、如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，2BG GO =u u u r u u u r，设CD u u u r ∥AG u u u r ，若()∈R λ，则λ的值为 ．αACBO【答案】65【解析】思路一：，，因为CD u u u r ∥AG u u u r ，所以λ－1＝15，λ＝65．思路二：不妨设=CD mAG u u u r u u u r，则有【关联2】、如图,在同一个平面内，向量u u u r OA 、OB u u u r ，u u u r OC 的模分别为1,1，2，OA u u u r 与OC u u u r的夹角为α，且tan 7α=，OB u u u r 与OC u u u r的夹角为45︒，若, 则m n +的值为____________．【答案】：+3m n =．【解析】 由tan 7α=可得72sin 10α=，2cos 10α=，根据向量分解易得： ，即，解得5474m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以+3m n =．例2、在△ABC 中，∠C ＝45°，O 是△ABC 的外心，若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n 的取值范围是________． 【答案】 [－2，1)思路分析 本题中三点在圆O 上是一个关键条件，可以建立坐标系求出m ，n 的关系式，再利用三角换元求解，也可以对向量等式两边平方后得到m ，n 的关系式，再利用线性规划求解．因为C ＝π4，O 是△ABC 外心，所以∠AOB ＝90°，OC →＝mOA →＋nOB →，所以C 在优弧AB 上．建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设半径为1，则A (0,1)，B (1,0)．设C (cos θ，sin θ)⎝⎛⎭⎪⎫θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π，代入OC →＝mOA →＋nOB →，可得n ＝cos θ，m ＝sin θ，即m ＋n ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. 又θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，9π4，所以m ＋n ∈[－2，1)．解后反思 本题易错在没有注意点C 在优弧AB 上，错误的认为点C 在整个圆上．本题是典型的二元函数的值域问题，解题方法比较多，可以用基本不等式、线性规划、三角换元，但由于点C 在圆弧上，最好的方法建立坐标系，利用三角函数求解，定义域的寻找也较为简单．【变式1】、 如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n的最小值为________．【答案】：. 7＋434解法1 建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，D (0,4)，C (1,4)．又k BC ＝－43，故BC ：y ＝－43(x －4)．又AP →＝mAB →＋nAD →，AB →＝(4,0)，AD →＝(0,4)，所以AP →＝(4m,4n )，故P (4m,4n )，又点P 在直线BC 上，即3n ＋4m ＝4，即4（1m ＋1n ）＝(3n ＋4m )·（1m ＋1n ）＝7＋3n m ＋4m n ≥7＋212＝7＋43，所以（1m ＋1n ）min ＝7＋434，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3n 2＝4m 2，3n ＋4m ＝4，即m ＝12－633，n ＝83－123时取等号．AP Q CBOG解法2 因为AP →＝mAB →＋nAD →，所以AP →＝mAB →＋n (AC →＋CD →)＝mAB →＋nAC →－n 4AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 4AB →＋nAC →.又C ，P ，B 三点共线，故m －n 4＋n ＝1，即m ＋3n4＝1，以下同解法1.解后反思 向量的基本运算分为线性运算和坐标运算，本题建立坐标系转化为坐标的运算也可以转化为基底运算，其中三点共线可以转化为点在直线上也可以用共线向量基本定理来转化．基底法运算量小于坐标法、坐标法的思维难度低于基底法．【变式2】、 如图，经过∆ABO 的重心G 的直线与OA ，OB 交于点P ，Q ，设=u u u r u u u r OP mOA ，=u u u r u u u r OQ nOB ，R ,∈n m ，则nm 11+的值为 ．【答案】：3【解析】 连接OG 并延长，交AB 于点C ，因为G 是∆ABC 的重心，即OC 是∆ABC 的中线，所以23=u u u r u u u rOG OC ，①因为=u u u r u u u r OP mOA ，所以1=u u u r u u u r OA OP m ②，同理可得1=u u u r u u u rOB OQ n③，将②③代入①可得，即，设，则有，根据平面向量基本定理，有， 故11m n+的值为3．【关联1】、如图，在等腰三角形ABC 中，已知AB ＝AC ＝1，A ＝120°，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且AE →＝mAB →，AF →＝nAC →，其中m ，n ∈()0，1.若EF ，BC 的中点分别为M ，N ，且m ＋4n ＝1，则||MN →的最小值为________．【答案】77思路分析：本题易求AB →·AC →＝－12，所以可以利用点M ，N 是EF ，BC 的中点将MN →转化用AB →和AC →表示，再求|MN →|的最小值；另外也可以通过建立平面直角坐标系将点M ，N 的坐标表示出来再求解．【解析】1 由于M ，N 是EF ，BC 的中点，AE →＝mAB →，AF →＝nAC →，m ＋4n ＝1，所以AN →＝12AB →＋12AC →，AM →＝12AE →＋12AF →＝m 2AB →＋n 2AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2n AB →＋n 2AC →，所以MN →＝AN →－AM →＝2nAB →＋1－n 2AC →.而AB →·AC →＝1×1×cos120°＝－12，所以|MN →|＝2＝1221n 2－6n ＋1，显然当n ＝321时，|MN →|min ＝77. 【解析】2 如图，以点N 为坐标原点，直线BC 为x 轴，直线NA 为y 轴建立平面直角坐标系，由AB ＝AC ＝1，A ＝120°得N (0,0)，A 0，12，B －32，0，C 32，0，所以AF →＝nAC →＝32n ，－12n ，AE →＝mAB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32m ，－12m ＝23n －32，2n －12(由于m ＋4n ＝1)，从而点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －32，2n ，点F 32n ，－12n ＋12，线段EF 的中点M 534n －34，34n ＋14，所以|MN →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫534n －342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34n ＋142＝1221n 2－6n ＋1，显然当n ＝321时，|MN →|min ＝77.【关联2】、 已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ →＝23AP →＋13AC →，则|BQ →|的最小值是________.【答案】： 7－23思路分析 求|BQ →|的最小值，就是求线段BQ 长的最小值，因为点B 为定点，而点Q 是随着点P 的运动而运动的，那么就要关注点Q 是如何运动的，即要先求出点Q 的轨迹方程，通过建系运用相关点法即可求得点Q 的轨迹方程，通过点Q 的轨迹方程发现其轨迹是一个圆，接下来问题就转化为定点与圆上的动点的距离的最小值问题，那就简单了．一般与动点有关的最值问题，往往运用轨迹思想，首先探求动点的轨迹，在了解其轨迹的基础上一般可将问题转化为点与圆的关系或直线与圆的关系或两圆之间的关系．解法1 以A 为原点，AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则AB →＝(3,0)，AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332，设Q (x ，y )，P (x ′，y ′)，由AQ →＝23AP →＋13AC →，得AQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ′＋12，23y ′＋32，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23x ′＋12，y ＝23y ′＋32，所以⎩⎪⎨⎪⎧23x ′＝x －12，23y ′＝y －32，两式平方相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝49(x ′2＋y ′2)，因为点P (x ′，y ′)在以A 为圆心的单位圆上，所以x ′2＋y ′2＝1，从而有⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝49，所以点Q是以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32为圆心，R ＝23的圆上的动点，因此BQ min ＝BM －R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－322－23＝7－23. 解法2 BQ →＝AQ →－AB →＝23AP →＋13AC →－AB →＝23⎝⎛⎭⎪⎫AP →＋12AC →－32AB →.令AN →＝32AB →－12AC →，则BQ →＝23(AP →－AN →)，那么|BQ →|＝23|AP →－AN →|，求|BQ →|的最小值，就转化为求|AP →－AN →|的最小值，根据不等式的知识有：|AP →－AN →|≥|||AN →|－|AP →|＝|||AN →|－1，而|AN →|2＝AN →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32AB →－12AC →2＝94AB →2－32AB →·AC →＋14AC →2＝94×32－32×3×3×12＋14×32＝634，即|AN →|＝372，所以|AP →－AN →|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪372－1＝372－1，从而|BQ →|＝23|AP →－AN →|≥7－23，当且仅当AN →与AP →同向时，取等号．【关联3】、在∆ABC 中，E 为边AC 上一点，且3=u u u r u u u rAC AE ，P 为BE 上一点，且满足，求++m n mnmn的最小值．【解析】 因为3=u u u r u u u rAC AE ，所以，又因为P 为BE 上一点，不妨设，所以,，因为,u u u r u u u rAB AE 不共线，所以13λλ=-⎧⎨=⎩m n ，则．所以，当且仅当3=n mm n，即3=m n 时等号成立．ABCEP。

平面向量的线性表示平面向量是指具有大小和方向的几何量，常用箭头表示。

在数学和物理学中，平面向量的线性表示是一种表达平面向量的有效方式。

本文将详细介绍平面向量的线性表示方法。

一、定义和概念在数学中，平面向量可以由坐标表示或使用其它表示方法。

平面上的一个向量可以用一个箭头表示，箭头的起点为原点，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

二、坐标表示法平面向量的线性表示最常用的方法是坐标表示法。

在笛卡尔坐标系中，我们可以用两个有序实数对(x, y)表示一个平面向量，其中x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。

例如，对于平面上的向量v，其坐标表示为v = (x, y)。

其中x和y 是实数。

这种表示方法使得我们可以通过对坐标进行运算，来进行向量的加法、减法和数量乘法等操作。

三、线性组合线性组合是指对一组向量进行线性加权和相加的操作。

对于给定的两个向量v1 = (x1, y1)和v2 = (x2, y2)，其线性组合可以写为：c1v1 + c2v2 = (c1x1 + c2x2, c1y1 + c2y2)其中c1和c2是实数，称为线性组合系数。

通过线性组合，我们可以有效地表示平面上的任意向量。

四、线性独立和生成空间在线性代数中，若不存在非零的系数使得线性组合等于零向量，则称向量组具有线性独立性。

反之，如果存在非零的系数使得线性组合等于零向量，则称向量组具有线性相关性。

一组线性无关的向量可以生成一个向量空间，也称为生成空间。

生成空间包含所有这组线性无关向量的线性组合。

五、基底和坐标表示在平面向量的线性表示中，基底是一组线性无关的向量，它们可以生成整个向量空间。

在二维平面上，我们通常选择两个基底向量来表示任意向量。

常用的基底向量为i = (1, 0)和j = (0, 1)。

对于任意向量v = (x, y)，我们可以将其表示为：v = xi + yj其中xi和yj是基底向量的线性组合。

这种表示方法称为坐标表示。

平面向量高考必考知识点平面向量是高考数学中的一个重要知识点，涉及到向量的定义、运算、线性相关与线性无关、向量的模、单位向量、标准单位基向量以及向量的投影等。

掌握平面向量的知识，不仅有助于解决几何问题，还能在解决实际问题中发挥重要作用。

首先，我们来了解一下向量的定义和运算。

向量是具有大小和方向的量，在平面上通常用箭头来表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

两个向量之间的运算包括加法和数乘。

向量的加法满足三角形法则，即将两个向量首尾相连，从第一个向量的尾部指向第二个向量的头部，连接起来所得到的向量就是它们的和向量。

数乘是指一个向量乘以一个实数，结果是向量的大小乘以这个实数，并且方向不变。

其次，平面向量的线性相关与线性无关性质是非常重要的。

如果存在一系列不全为零的实数使得它们的线性组合等于零向量，那么这些向量就是线性相关的；反之，如果只有全为零的线性组合等于零向量，那么这些向量就是线性无关的。

同时，在平面向量的运算中，线性相关与线性无关的向量也有关系，当且仅当一组向量线性无关时，它们的和向量才能表示平面上的任意向量。

这个性质对于解题非常有用，可以通过判断向量的线性相关性来简化解题过程。

此外，平面向量还有模的概念，模表示向量的大小。

在平面向量中，模的计算可以通过勾股定理得到，即将向量的坐标数值平方相加，再取平方根。

向量的大小有时也表示为向量的长度。

模为1的向量称为单位向量，单位向量有很多应用，比如在物理学中表示力的方向、单位法向量用于计算面积等。

除了单位向量外，还有标准单位基向量，通常用i和j表示，在平面直角坐标系中与x轴和y轴的方向相同，长度都为1。

通过标准单位基向量，可以表达任意向量，即向量可以表示为一个实数与i的乘积加上另一个实数与j的乘积，这个表示方法叫做向量的分解。

最后，向量的投影也是平面向量的重要概念。

向量在某个方向上的投影表示向量在该方向上的长度，可以通过计算向量与该方向的单位向量的数量积得到。

高二年级数学平面向量及线性运算知识点梳理
2019学年高二年级数学平面向量及线性运算知
识点梳理
数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的逻辑推理及对完美境界的追求。

以下是查字典数学网为大家整理的高二年级数学平面向量及线性运算知识点，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，查字典数学网一直陪伴您。

一、向量的有关概念
1.向量：既有大小又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模.
2.零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的.
3.单位向量：长度等于1个单位的向量.
4.平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线.
5.相等向量：长度相等且方向相同的向量.
6.相反向量：长度相等且方向相反的向量.
二、向量的数乘运算及其几何意义
1.定义：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：
①|a|=|||a|;
②当0时，a的方向与a的方向相同;当0时，a的方向与a 的方向相反;当=0时，a=0.。