2011年湖南省高中数学竞赛试卷A卷

（专家预测卷考前必做）2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案一 试一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1. 已知2a ≥-，且{}2A x x a =-≤≤，{}23,B y y x x A ==+∈，{}2,C t t x x A ==∈，若C B ⊆，则a 的取值范围是 。

2. 在ABC ∆中，若2AB = ，3AC = ，4BC =，O 为ABC ∆的内心，且A O AB BC λμ=+ ，则λμ+= .3. 已知函数()()()()21,0,1,0,x x f x f x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩若关于x 的方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 。

4. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n 时按下这个按键，会等可能的将其替换为0~n -1中的任意一个数。

如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是 。

5. 已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，过椭圆的右焦点作一条直线l 交椭圆于点P 、Q ，则△F 1PQ 内切圆面积的最大值是 ．6. 设{}n a 为一个整数数列，并且满足：()()()11121n n n a n a n +-=+--，n N +∈．若20072008a ，则满足2008n a 且2n ≥的最小正整数n 是 ．7. 如图，有一个半径为20的实心球，以某条直径为中心轴挖去一个半径为12的圆形的洞，再将余下部分融铸成一个新的实心球，那么新球的半径是 。

8. 在平面直角坐标系内，将适合,3,3,x y x y <<<且使关于t 的方程33421()(3)0x y t x y t x y-+++=-没有实数根的点(,)x y 所成的集合记为N ，则由点集N 所成区域的面积为 。

二、解答题（本题满分56分）9. （本小题满分16分）对正整数2n ≥，记11112n n k k n a n k --==⋅-∑，求数列{}n a 中的最大值．10.（本小题满分20分）已知椭圆 12222=+by a x 过定点A （1，0），且焦点在x 轴上，椭圆与曲线y x =的交点为B 、C 。

2014年湖南高中数学竞赛试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1.设22{|,,}M a a x y x y Z ==-∈，则 ( )A ．9,10M M ∈∈B ．9,10M M ∉∈C ．9,10M M ∈∉D ． 9,10M M ∉∉2. 设条件p ：实数,m n 满足24,03;m n mn <+<⎧⎨<<⎩条件q ：实数,m n 满足01,2 3.m n <<⎧⎨<<⎩则 ( ) A ．p 是q 的充分不必要条件 B ．p 是q 的必要不充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 既不是q 的充分条件又不是q 的必要条件3. 若{}n a 是等差数列，若120132014201320140,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是 ( )A ．4025B ．4026C ．4027D ．40284. 给定平面向量(1,1)a =，平面向量131(22b -=是向量a 经过 ( ) A ．顺时针旋转60所得 B ．顺时针旋转120所得C ．逆时针旋转60所得D ．逆时针旋转120所得5. 在如图所示的三棱柱中，点A 、1BB 的中点M 及11B C 的中点N 所决定的平面把三棱柱割成体积不同的两部分，则较小部分与原三棱柱的体积之比为 ( )A ．2336B ．1336C ．1323D ．12236. 已知圆222:C x y r +=，两点*P P 、在以O 为起点的射线上，并且满足*2||||OP OP r ⋅=，则称*P P 、关于圆对称，那么双曲线221x y -=上的点(,)P x y 关于圆22:1C x y +=的对称点*P 所满足的方程是 ( )A ．2244x y x y -=+B ．22222()x y x y -=+C ．22442()x y x y -=+D ．222222()x y x y -=+二、填空题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）7.已知22()53196|53196|f x x x x x =-++-+，则(20)(14)f f +=________________.8.已知0,sin cos ,24x x x ππ<<-=若1tan tan x x +可以表示成ca b π-的形式(,,a b c 为正整数)，则a b c ++=_______________.9.不等式32||24||30x x x --+<的解集是__________________.10.已知一无穷等差数列中有3项（顺序排列单不一定相连）：13,25,41.则可以判断得出2013_________(填“是”、“不是”或“不能确定”)数列中的一项.11.随机摸选一个三位数I ，则I 含有因子5的概率为_______________.12.已知实数,x y 满足05030x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩.若不等式222()()a x y x y +≤+恒成立，则实数a 的最大值是_____________.三、解答题（本大题共4小题，共72分）*13.（本小题满分16分）已知O 为ABC ∆的内部一点，BAO CAO CBO ACO ∠=∠=∠=∠，试研究ABC ∆的三边满足的关系，并证明你的结论.14.（本小题满分16分）某旅游区每年各月份接待的人数近似的满足周期性规律，即第n 个月从事旅游服务工作的人数()f n 可近似地用函数()100[cos()]f n A n k ωα=++来刻画，其中正整数n 表示月份且*n N ∈.例如1n =表示1月份，A 和k 是正整数，0,(0,)2πωα>∈.统计发现，该地区每年各月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人；③2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多.（1）试根据已知信息，确定一个符合条件的()f n 的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由.15.（本小题满分20分）若实数0x 满足00()f x x =，则称0x x =为函数()f x 的一个不动点.已知32()3f x x ax bx =+++（其中,a b 为常数）有互异的两个极值点1x 和2x .试判断是否存在实数组(,)a b ，使得1x 和2x 皆为不动点，并证明你的结论.16.（本小题满分20分）已知数列{}n x 满足21122,2,6n n n x x x x x ++=+==，数列{}n y 满足21122,3,9n n n y y y y y ++=+==，求证：存在正整数0n ，使得对任意0n n >都有n n x y >.。

2009年湖南省高中数学竞赛A 卷试题一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1、设z 是复数，()a z 表示满足1nz =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i =（ C ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【解析】()a i =1=ni ，则最小正整数n 为4，选C.2、函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( C) (A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) (3)f x +是奇函数 (D) (3)f x +是偶函数()()()()()()()()()()()()()()()()()()()111211122244,33113f x f x f x f t f t f x f x f x f t f t f t f t f x f x T f x x f x f x f x +⇒-+=-+⇒-=--⇒--=--⇒-=--⇒-=--⇒=-⇒=∴+⇔-+=--=--=-+为奇函数为奇函数为奇函数f3、在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos 2x π的值介于0到21之间的概率为( A ). A.31 B.π2 C.21 D.32【解析】:在区间[1,1]-上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,要使cos 2xπ的值介于0到21之间,需使223x πππ-≤≤-或322x πππ≤≤∴213x -≤≤-或213x ≤≤，区间长度为32，由几何概型知cos 2x π的值介于0到21之间的概率为31232=.故选A.4、()()()()22223291550A 72B 73C 144D 146f x R R f x x f x x x x f →++-+=-设为，且对任意实数有，则的值为（）()(()(()()()()()22222250325432505450254915154250915222150146x x x x x x x x x x f f f f f +==⇒-+=--+==⇒+=-∴+-=-⎝⎭-+=-⎝⎭⨯-⇒=分析： 5、{})()1120091,2,4036080403607840360824036099n n n a n A B C D += 已知数列满足a =0，a =a ,则a =22009111,4036080n a n =⇒=-⇒分析：两边加a =6、()AB AC AB AC 1AB AC BC 0ABC 2AB AC AB AC A B C D ⎛⎫ ⎪∙∙∆ ⎪⎝⎭已知非零向量与满足＋＝且＝，则为三边均不相等的三角形，　直角三角形， 等腰非等边三角形， 等边三角形。

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。

2009年湖南省高中数学竞赛A 卷试题一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1、设z 是复数，()a z 表示满足1nz =的最小正整数n ，则对虚数单位i ，()a i =（ C ）A. 8B. 6C. 4D. 2 【解析】()a i =1=ni ，则最小正整数n 为4，选C.2、函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( C) (A) ()f x 是偶函数是偶函数 (B) ()f x 是奇函数是奇函数 (C) (3)f x +是奇函数是奇函数 (D) (3)f x +是偶函数是偶函数()()()()()()()()()()()()()()()()()()()111211122244,33113f x f x f x f t f t f x f x f x f t f t f t f t f x f x T f x x f x f x f x +Þ-+=-+Þ-=--Þ--=--Þ-=--Þ-=--Þ=-Þ=\+Û-+=--=--=-+为奇函数为奇函数为奇函数f3、在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos2xp 的值介于0到21之间的概率为( A ). A.31 B.p2 C.21 D.32 【解析】:在区间[1,1]-上随机取一个数x ,即[1,1]x Î-时,要使cos 2x p 的值介于0到21之间,需使223x p p p -££-或322x p p p ££∴213x -££-或213x ££，区间长度为32，由几何概型知cos 22x p 的值介于0到221之间的概率为31232=.故选A.4、()()()()22223291550A 72B 73C 144D 146f x R R f x x f x x x x f ®++-+=-设为，且对任意实数有，则的值为（）()()()()()()()()()222222120150325422012320132505422012120112015025422019151223201320154220125091522222150146x x x x x x x x x x f f f f f -++==Þ-+=---+==Þ+=-æö-+-+\+-=-´ç÷èøæö---+=-´ç÷ç÷èø´-Þ=分析： 5、{}()()11200911,2,4036080403607840360824036099n n n n a a n A B C D ++=已知数列满足满足a a =0=0，，a =a +1+2,则a =21200911111,4036080n n n a a a n ++=++Þ=-Þ分析：两边加得a =6、()AB AC AB AC 1AB AC BC 0ABC 2AB AC AB AC A B C D æöç÷··D ç÷èø已知非零向量与满足＋＝且＝，则为三边均不相等的三角形， 直角三角形， 等腰非等边三角形， 等边三角形。

2011年湖南高考数学试题分析给2012年高考数学备考的几点建议长沙侯家塘校区贺小飞2011年是湖南省采取新课标的第二年，试卷在整体上紧扣考纲，紧密结合教材，体现了新课程的思想和理念。

突出对创新意识和作为数学核心的思维能力的考查；注重对数学应用意识的考查；充分区别文、理科考生不同的学习要求”的基本风格和特色。

试卷做到了总体保持稳定，题型清新，难度比2010年略高。

从试卷的考察内容来看，仍然突出考查支撑高中数学知识体系的主干知识和核心内容，如函数与导数，三角函数与解三角形，概率统计，立体几何，解析几何，数列等。

突出了对高中数学重点知识的考查，这些知识点需要考生达到必要的深度。

这些高中数学主干知识，其重要地位在新课程改革中一直没有改变，只是融入了一些新的背景，注重应用意识和创新意识的结合，强调了试题背景，注重了数学思维的考查。

另外，2011年湖南高考数学值得注意的是，选修部分的知识点考查较去年有所增加，但是难度较低，考生只要掌握了相关的基本知识就能轻松解答。

下面就来具体分析一下2011年湖南高考数学试题。

一、从题型上来看，充分体现新课标理念，发挥试题导向作用。

试卷采取“8+8+6”的三种题型结构。

与2010年相比，所不同的是在填空题方面，由7道增加到8道但是分值不变，采取“3选2”加必做5道的形式。

这样给考生就有更多的拿分机会，降低了试题难度。

二、从难易程度来看，难度适中，区分度较明显。

坚持“多考一点想，少考一点算”的新课标考查理念。

一些简单题“一捅就破”，如文、理科的第一题。

试题基本按照从易到难排列，考生一路解答障碍较少会比较顺畅。

难题出现在选择题的第8题，填空题的第14、16题，解答题的第21、22题。

三、从考查内容来看，全面考查双基知识，突出主干知识和数学思想的考查。

1.选择题部分。

理科试题考查了复数的概念、集合的关系、逻辑关系、三视图、独立性检验、双曲线的渐近线、定积分、线性规划、函数与导数、单调性与最值问题。

2017年湖南省高中数学联合竞赛试卷一、选择题（本大题共6个，每小题5分，满分30分）1. 设集合{}1,2,3,....,2017X =,集合{(,,),,,S x y z x y z X =∈且三条件,,x y z y z x z x y <<<<<<恰好有一个成}立,若(,,),(,,)x y z S z w x S ∈∈,则下列选项正确的是( )A. (,,)(,,)y z w S x y w S ∈∉且B. (,,)(,,)y z w S x y w S ∈∈且C. (,,)(,,)y z w S x y w S ∉∈且D. (,,)(,,)y z w S x y w S ∉∉且2.已知点P 为正三棱柱111ABC A B C -上底面111A B C ∆的中心，作平面BCD AP ⊥,与棱1AA 交于点D,若122AA AB ==,则三棱锥D ABC -的体积为（ ）A.48 B. 24 C. 16 D. 123.已知椭圆C: 22184x y +=，对于任意实数k,椭圆C 被下列直线所截得弦长，与被直线:1l y kx =+所得弦长不可能相等的是（ ）A. 0kx y k ++=B. 10kx k --=C. 0kx y k +-=D. 20kx y +-=4.对任意正整数n 与k ()k n ≤，用(,)f n k 表示不超过n k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦且与n 互质的正整数个数,则(100,3)f =（ ）A. 11B. 13C. 14D. 195.如果111A B C ∆三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（ ） A. 111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆也是锐角三角形 B. 111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆也是钝角三角形 C. 111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆也是钝角三角形 D. 111A B C ∆是钝角三角形, 222A B C ∆也是锐角三角形6.将石子摆在如果所示的梯形形状，称具有“梯形” 结构的石子数依次构成的数列{}n a ： 5,9,14,20，,,,,,,,,,,为“梯形数列”，根据梯形的构成，可知624a =（ ）• • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • •• • • • •A.166427B.196248C.196249D.196250二、填空题（本大题共6个，每小题8分，满分48分）7.已知函数()f x 满足()()(),(1)3f m n f m f n f +==，则22(1)(2)(2)(4)(1)(3)f f f f f f ++++22(3)(6)(4)(8)(5)(7)f f f f f f ++++=_________8.已知,,A B C 为圆O 的三点，且1()2AO AB AC =+,则AB AC ⋅=__________9.已知复数z ，若方程248430(x zx i i -++=为虚数单位）有实数根，则复数z 的Z 的最小值=_________10.对于正整数n,定义!(1)(2).......21n n n n =--⋅，记12!.....12!3!(1)!n nS n n ⎡⎤=+++-⎢⎥+⎣⎦， 2017S =________11.当0x π≤≤，且3sin2xtan x =____________ 12.设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为()f x '，有22()()f x xf x x '+>， 则不等式2(2017)(2017)(1)0x f x f ++-->的解集_______________13.（16分） 在锐角ABC ∆中，sin A ,a,b,c 为A,B,C 的对边， （1）求2sin 2()sin 2B CB C +++的值 （2）若4a =，求当AB AC ⋅取最大值时ABC ∆的面积14.（16分）已知数列{}n a 满足211(1)2,()n n n s a a n N s ++-==-∈,其中n S {}n a 的前n 项和， (1)求证：11n s ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列(2)若对于任意的n,均有：12(1)(1).....(1)n s s s kn +++≥，试求k 的最大值.15.（20分） 已知,a b R +∈,a b ≠（1ln 2a b a ba lnb -+<- （2）如果,a b 是函数()ln 2017f x x x =-的零点，证明：2ab e > (此题目有错误,省竞委已经做了声明)16.（20分） 已知AB 是椭圆22:1(,0,)C mx ny m n m n +=>≠上的斜率为1的弦，AB 的垂直平分线与椭圆交于CD 两点，设CD 的中点F,CD 交于AB 于E (1)求证：2224CD AB EF -= (2)求证：四点ABCD 共圆四、加试（每大题20分）(发哥给学生考时个人加的)（1） 在锐角ABC ∆，证明：(2)设12,,...,0n a a a >，证明：....(3)给定正整数k,a,b,若对于任意正整数n,都有：n k n k a n b n ++，证明:a=b(4)对于给定正整数3n ≥，任取12...,n x x x <<<，求211211n n i j i j n ni ji j x x f x x ====⎛⎫- ⎪⎝⎭=-∑∑∑∑的最大值.。

选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库湖南省2002年高中数学奥林匹克竞赛试题(9月7日上午9：00-11：00)注意事项：本试卷共18题，满分150分一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分）1.定义在实数集R 上的函数y ＝f(－x)的反函数是y ＝f －1(－x)，则(A)y ＝f(x)是奇函数 (B)y ＝f(x)是偶函数(C)y ＝f(x)既是奇函数，也是偶函数 (D)y ＝f(x)既不是奇函数，也不是偶函数2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如右图所示。

记N ＝|a ＋b ＋c|＋|2a －b|，M ＝|a －b ＋c|＋|2a ＋b|，则(A)M ＞N (B)M ＝N (C)M ＜N(D)M 、N 的大小关系不能确定3.在正方体的一个面所在的平面内，任意画一条直线，则与它异面的正方体的棱的条数是(A) 4或5或6或7 (B) 4或6或7或8(C) 6或7或8 (D) 4或5或64.ΔABC 中，若(sinA ＋sinB)(cosA ＋cosB)＝2sinC ，则(A)ΔABC 是等腰三角形但不一定是直角三角形 (B)ΔABC 是直角三角形但不一定是等腰三角形 (C)ΔABC 既不是等腰三角形也不是直角三角形 (D)ΔABC 既是等腰三角形也是直角三角形5.ΔABC 中，∠C ＝90°。

若sinA 、sinB 是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根，则下列关系中正确的是(A)p ＝q 21+±且q ＞21- (B)p ＝q 21+且q ＞21-(C)p ＝－q 21+且q ＞21- (D)p ＝－q 21+且0＜q ≤216.已知A （－7，0）、B （7，0）、C （2，－12）三点，若椭圆的一个焦点为C ，且过A 、B 两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为(A)双曲线 (B)椭圆(C)椭圆的一部分 (D)双曲线的一部分二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分）7. 满足条件{1，2，3}⊆ X ⊆{1，2，3，4，5，6}的集合X 的个数为＿＿＿＿。

2011年湖南省高中数学竞赛试卷A 卷注意事项：1、首先填写所在县（市）学校、年级和姓名 2、用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔书写一、填空题（本大题共10小题，每小题7分，满分70分） 1、已知函数f(x)=x 3+ax 2+x+1(a ∈R)在区间21(,)33--∞1内为减函数,在区间(-,+)3内为增函数,则a=2、设A 、B 是两个集合，称（A ，B ）为一个“对子”，当A ≠B 时，将（A ，B ）和（B ，A ）视为不同的“对子”，满足集合AUB={1，2，3，4}的不同对子（A ，B ）的个数为 3、2()(),()0,()f x x x m m R f t y f x +=++∈<=设函数若则你对函数在(t,t+1)中零点 存在情况的判断是4、已知椭圆C ：2212x y +=的两个焦点分别为F 1、F 2，点P （x 0,y 0）满足0220012x y <+≤， 则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是5、已知复数z 1满足1(2)(1)1(),2,z i i i -+=-2为虚数单位复数z 的虚部为122z z z = 则为实数的条件是6、已知数列1{}221(),2nn n n n a a a n N λ++⎧⎫=+-∈⎨⎬⎩⎭n a +满足递推关系式且为等差数列，则λ的取值是7、过函数()cos f x x x x =+的图象上的一点的切线的斜率为k ，则k 的取值范围是8、已知平面内三点A 、B 、C 满足||3,||4,||A B B C C A ===则AB BC BC CA CA AB ++ 的值为9、边长为4的正方形ABCD 沿BD 折成60o 的二面角，则BC 中点与点A 的距离为 10、规定一双筷子由同色的两支组成，现黑、白、黄筷子各8 支，不用眼睛看，任意地取出筷子来，使得至少有两双筷子不同色，则至少要取出 只筷子才能做得到。

二、解答题（本大题共4个小题，满分80分）11、 （本小题满分20分）如果将抛物线的焦点所在的区域称为抛物线的内部，试问：在允许将抛物线平移或旋转的条件下，平面内2011条抛物线的内部能否盖住整个平面？请作出判断，并证明你的结论。

年湖南省高中数学竞赛试卷A及答案考生注意：1、本试卷共三大题（16个小题），全卷满分150分。

2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。

3、解题书写不要超出装订线。

4、不能使用计算器。

一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．记[x]为不大于x的最大整数，设有集合，，则 ( ) A．(－2，2) B．[－2，2] C． D．2．若，则 = ( )A．－1 B． 1 C． D．3．四边形的各顶点位于一个边长为1的正方形各边上，若四条边长的平方和为t，则t的取值区间是 ( )A．[1，2] B．[2，4] C．[1，3] D．[3，6]4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱AB上一点，过点P在空间作直线l，使l与平面ABCD和平面ABC1D1均成角，则这样的直线条数是 ( )A． 1 B． 2C． 3 D． 45．等腰直角三角形 ABC中，斜边BC= ，一个椭圆以C为其焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过A，B两点，则该椭圆的标准方程是（焦点在x轴上） ( )A． B．C． D．（注：原卷中答案A、D是一样的，这里做了改动）6．将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为 ( )A．1372 B． 2024 C． 3136 D．4495二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，满分36分，请将正确答案填在横线上。

）7．等差数列的前m项和为90，前2 m项和为360，则前4m项和为_____.8．已知，，且，则的值为______ ___.9．100只椅子排成一圈，有n个人坐在椅子上，使得再有一个人坐入时，总与原来的n个人中的一个坐在相邻的椅子上，则n的最小值为__________.10．在 ABC中，AB= ，AC= ，BC= ，有一个点D使得AD平分BC并且是直角，比值能写成的形式，这里m、n是互质的正整数，则m－n=______ __.11．设ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体，则上底面ABCD的内切圆上的点P与过顶点A，B，C1，D1的圆上的点Q之间的最小距离是___________.12．一项“过关游戏”的规则规定：在第n关要抛一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关。

1、浙江省高中数学竞赛试题2、河北省高中数学竞赛试题3、全国高中数学联赛广东省预赛4、全国高中数学联赛江苏赛区初赛题5、浙江省高中数学竞赛试题6、湖北省高中数学竞赛试题7、全国高中数学联合竞赛一试试题8、二Ｏ一一年全国高中数学联赛甘肃省预赛试题9、全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷10、全国高中数学联赛山东省预赛试题11、全国高中数学联赛江西省预赛试题12、全国高中数学联赛山西省预赛13、全国高中数学联赛甘肃省预赛试题14、全国高中数学联合竞赛（四川初赛）15、全国高中数学联赛安徽省预赛试题16、新知杯上海市高中数学竞赛试题17、湖南省高中数学竞赛试卷A卷浙江省高中数学竞赛试题一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1. 已知53[,]42ππθ∈） A ．2sin θ B. 2sin θ- C. 2cos θ- D. 2cos θ2．如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为（ ）A. 2B. C. 2±D. ±3. 设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈⋂， 命题q ：x A ∈或x B ∈，则p 是q 的（ ）A. 充分且必要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分且非必要条件4. 过椭圆2212x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45弦AB ，则AB 为（ ） A.B.C. 3D.21243400,3x x x x AB -=⇒==⇒==。

正确答案为C 。

5. 函数150()51xxx f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则该函数为（ ）A. 单调增加函数、奇函数B. 单调递减函数、偶函数C. 单调增加函数、偶函数D. 单调递减函数、奇函数 6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ ）正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形）2212231A. 4+52π B. 4+32π C. 4+2π D. 4+π 7．某程序框图如右图所示，现将输出（,)x y 值依 次记为：1122(,),(,),,(,),;n n x y x y x y 若程序运行中输出的一个数组是 (,10),x -则数组中的x =（ ） A ．64 B ．32 C ．16 D ．88. 在平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为（ ）A. 4B.8C. 16D. 32 9. 已知函数()sin(2)6f x x m π=--在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则m 的取值范围为（ ） A. 1, 12⎛⎫⎪⎝⎭ B 1, 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1, 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1, 12⎛⎤⎥⎝⎦10. 已知[1,1]a ∈-，则2(4)420x a x a +-+->的解为（ ）A. 3x >或2x <B. 2x >或1x <C. 3x >或1x <D. 13x <<二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）11. 函数()2sin2xf x x =的最小正周期为______ ____。

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）给定正整数r ．求最大的实数C ，使得存在一个公比为r 的实数等比数列1{}n n a ，满足n a C 对所有正整数n 成立．（x 表示实数x 到与它最近整数的距离．）解：情形1：r 为奇数．对任意实数x ，显然有12x ，故满足要求的C 不超过12． 又取{}n a 的首项112a ，注意到对任意正整数n ，均有1n r 为奇数，因此1122n n r a ．这意味着12C 满足要求．从而满足要求的C 的最大值为12． …………10分 情形2：r 为偶数．设*2()r m m N ．对任意实数 ，我们证明1a 与2a 中必有一数不超过21m m ，从而21m C m ． 事实上，设1a k ，其中k 是与1a 最近的整数（之一），且102． 注意到，对任意实数x 及任意整数k ，均有x k x ，以及x x ．若021m m ，则121m a k m ． 若1212m m ，则22221m m m m ，即21m m r m m ，此时 2121m a a r kr r r m ． …………30分 另一方面，取121m a m ，则对任意正整数n ，有1(2)21n n m a m m ，由二项式展开可知11(211)(1)2121n n n m m a m K m m ，其中K 为整数，故21n m a m ．这意味着21m C m 满足要求． 从而满足要求的C 的最大值为212(1)m r m r ．综上，当r 为奇数时，所求C 的最大值为12；当r 为偶数时，所求C 的最大值为2(1)r r ． …………40分二．（本题满分40分）如图，在凸四边形ABCD 中，AC 平分BAD ，点,E F 分别在边,BC CD 上，满足||EF BD ．分别延长,FA EA 至点,P Q ，使得过点,,A B P 的圆1 及过点,,A D Q 的圆2 均与直线AC 相切．证明：,,,B P Q D 四点共圆．（答题时请将图画在答卷纸上）证明：由圆1 与AC 相切知180BPA BAC CAD CAF PAC ，故,BP CA 的延长线相交，记交点为L ．由||EF BD 知CE CF CB CD．在线段AC 上取点K ，使得CK CE CF CA CB CD ，则||,||KE AB KF AD ． …………10分由ABL PAL KAF ，180180BAL BAC CAD AKF ，可知ABL KAF ∽，所以KF AB AL KA． …………20分 同理，记,DQ CA 的延长线交于点L ，则KE AD AL KA． 又由||,||KE AB KF AD 知KE CK KF AB CA AD，即KE AD KF AB ． 所以AL AL ，即L 与L 重合．由切割线定理知2LP LB LA LQ LD ，所以,,,B P Q D 四点共圆．…………40分三．（本题满分50分）给定正整数n .在一个3n ×的方格表上，由一些方格构成的集合S 称为“连通的”，如果对S 中任意两个不同的小方格,A B ，存在整数2l ≥及S 中l 个方格12,,,lA C C CB ==，满足iC 与1i C +有公共边(1,2,,1i l −).求具有下述性质的最大整数K ：若将该方格表的每个小方格任意染为黑色或白色，总存在一个连通的集合S ，使得S 中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K .解：所求最大的K n =.对一个由小方格构成的集合S ，记b S 是S 中的黑格个数，w S 是S 中的白格个数. 用[,]i j 表示第i 行第j 列处的方格，这里13i ≤≤,1j n ≤≤.对于两个方格[,]A i j =，[,]B i j ′′=, 定义它们之间的距离为(,)||||d A B i i j j ′′=−+−.首先，如果将方格表按国际象棋棋盘一样黑白间隔染色，我们证明对任意连通的集合S ，均有||b w S S n −≤，这表明K n ≤.设[1,1]是黑格，并记{0,1}ε∈，满足(mod 2)n ε≡.先证b w S S n −≤.可不妨设S 包含所有黑格，这是因为若S 不包含所有黑格， 取不属于S 的黑格A 满足(,)d A S 最小，这里(,)min (,)B Sd A S d A B ∈=.易知(,)1d A S =或2.若(,)1d A S =，取{}S S A ′=，则S 仍是连通的，且b w S S ′′−更大. 若(,)2d A S =，则存在与A 相邻的白格C ，而C 与S 中某个方格B 相邻，取{,}S S A B ′= ，则S 仍是连通的，且bw S S ′′−不变. 因而可逐步扩充S ，使得S 包含所有黑格，保持S 的连通性，且b w S S −不减.考虑白格集合{[,]|}k W i j i j k =+=，3,5,,1k n ε++，每个k W 中至少有一个方格属于S ，否则不存在从黑格[1,1]A S =∈到黑格[3,1]B n ε=−+的S 中路径.故1()2w S n ε≥+，而1(3)2b S n ε=+，故b w S S n −≤. …………10分 类似可证w b S S n −≤.同上，可不妨设S 包含所有白格, 从而1(3)2w S n ε=−. 再考虑黑格集合{[,]|}k B i j i j k =+=, 4,6,,2k n ε+−，每个k B 中至少有一个黑格属于S ，否则不存在从白格[1,2]A =到白格[3,]B n ε=−的S 中路径. 从而1()2b S n ε≥−，故w b S S n −≤. …………20分 下面证明K n =具有题述性质，即对任意的染色方案，总存在连通的集合S ， 使得b w S S n −≥.设表格中共有X 个黑格和Y 个白格，在第二行中有x 个黑格和y 个白格. 于是3X Y n +=, x y n +=.故()()()()2X y Y x X Y x y n −+−=+−+=.由平均值原理可知max{,}X y Y x n −−≥.不妨设X y n −≥.取S 为第二行中的y 个白格以及所有X 个黑格.由于S 包含第二行中所有方格，因而S 是连通的. 而b S X =，w S y =，b w S S X y n −=−≥.综上所述，max K n =. …………50分四．（本题满分50分）设,A B 为正整数，S 是一些正整数构成的一个集合，具有下述性质：(1) 对任意非负整数k ，有k A S ；(2) 若正整数n S ，则n 的每个正约数均属于S ；(3) 若,m n S ，且,m n 互素，则mn S ；(4) 若n S ，则An B S ．证明：与B 互素的所有正整数均属于S ．证明：先证明下述引理．引理：若n S ，则n B S ．引理的证明：对n S ，设1n 是n 的与A 互素的最大约数，并设12n n n ，则2n 的素因子均整除A ，从而12(,)1n n ．由条件(1)及(2)知，对任意素数|p A 及任意正整数k ，有k p S ．因此，将11k A n 作标准分解，并利用(3)知11k A n S ．又2|n n ，而n S ，故由(2)知2n S ．因112(,)1k A n n ，故由(3)知112k A n n S ，即1k A n S ．再由(4)知k A n B S （对任意正整数k ）． ① …………10分 设n B C D ，这里正整数C 的所有素因子均整除A ，正整数D 与A 互素，从而(,)1C D ．由(1)及(2)知C S （见上面1k A n S 的证明）． 另一方面，因(,)1D A ，故由欧拉定理知()1D D A ．因此()()(1)()0(mod )D D A n B A n n B D ，但由①知()D A n B S ，故由(2)知D S ．结合C S 及(,)1C D 知CD S ，即n B S ．引理证毕． …………40分回到原问题．由(1)，取0k 知1S ，故反复用引理知对任意正整数y ，有1By S ．对任意*,(,)1n n B N ，存在正整数,x y 使得1nx By ，因此nx S ，因|n nx ，故n S ．证毕． …………50分。

60° ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为．3.将1, 2, 3，4，5，6 随机排成一行，记为,,,,,,f e d c b a 则def abc +是偶数的概率为 .4.平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C 的左、右焦点分别是 F 1、F 2，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于 x 轴与 y 轴，且相交于点 P ．已知线段 PT PV PS PU ,,, 的长分别为1，2，3，6 ，则△PF 1F 2 的面积为 ．5.设)(x f 是定义在R 上的以2 为周期的偶函数，满足2)2(,1)(==ππf f ,且在区间[0，1]上严格递减，则不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤2)(121x f x 的解集为 ．6.设复数 z 满足1||=z ，使得关于 x 的方程0222=++x z zx 有实根，则所有 z 的和为 ．7.设O 为△ABC 的外心，若 AC AB AO 2+=，则ABC ∠sin 的值为 ．8. 设整数数列10321,...,,,a a a a 满足5821102,3a a a a a =+=，且{},9,...,2,1,2,11=++∈+i a a a i i i 则这样的数列的个数为 ．二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9.（本小题满分 16 分）已知定义在R +上的函数 f (x ) 为⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=9,490|,1log |)(3＞＜x x x x x f .设a , b , c 是三个互不相同的实数，满足f (a ) = f (b ) = f (c ) ，求abc 的取值范围． 10.（本小题满分 20 分）已知实数列,...,,321a a a 满足：对任意正整数n ，有1)2(=-n n n a S a ，其中S n 表示数列的前n 项和．证明：对任意正整数n ，有①n a n 2＜；②11＜+n n a a ． 11.（本小题满分 20 分）平面直角坐标系 xOy 中，AB 是抛物线24x y =的过 F (1, 0) 的弦，△AOB 的外接圆交抛物线于点 P （不同于点O , A , B ）．若 PF 平分∠APB ，求|PF|的所有可能值．一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分．1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为平稳数.平稳数的个数是 .5.正三棱锥P-ABC 中，AB=1，AP=2，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________. 7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC △的面积为3，则ANAM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9.（本小题满分16分）设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b . 10.（本小题满分20分）设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最值. 11. （本小题满分20分）设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z . （1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1．设实数a 满足||1193a a a a <-<，则a 的取值范围是 .2．设复数w z ,满足3||=z ，i w z w z 47))((+=-+，则)2)(2(w z w z -+的模为 .3．正实数w v u ,,均不等于1，若5log log =+w vw v u ，3log log =+v u w v ，则u w log 的值为 .4．袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为 . 5．设P 为一圆锥的顶点，A ，B ，C 是其底面圆周上的三点，满足ABC∠=90°，M 为AP 的中点．若AB =1，AC =2，2=AP ，则二面角M-BC-A 的大小为 . 6．设函数10cos 10sin )(44kxkx x f +=，其中k 是一个正整数．若对任意实数a ，均有}|)({}1|)({R x x f a x a x f ∈=+<<，则k 的最小值为 .7．双曲线C 的方程为1322=-y x ，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作直线与双曲线C 的右半支交于点P ，Q ，使得PQ F 1∠=90°，则PQ F 1∆的内切圆半径是 .8．4321,,,a a a a 是1，2，…，100中满足2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++=++++的4个互不相同的数，则这样的有序数组),,,(4321a a a a 的个数为 .二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9.（本小题满分16分）在ABC △中，已知CB CA BC BA AC AB ⋅=⋅+⋅32．求C sin 的最大值．10.（本小题满分20分）已知)(x f 是R 上的奇函数，1)1(=f ，且对任意0<x ，均有)()1(x xf x xf =-． 12.（本小题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，F 是x轴正半轴上的一个动点．以F 为焦点，O 为顶点作抛物线C ．设P 是第一象限内C 上的一点，Q 是x 轴负半轴上一点，使得PQ 为C 的切线，且｜PQ ｜=2.圆21,C C 均与直线OP 相切于点P ，且均与轴相切．求点F 的坐标，使圆1C 与2C 的面积之和取到最小值．2015年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.1.设,a b 为不相等的实数，若二次函数2()f x x ax b =++满足()()f a f b =，则(2)f ＝ . 2.若实数α满足cos tan αα=，则41cos sin αα+的值为 . 3.已知复数数列{}n z 满足111,1(1,2,3,)n n z z z ni n +==++=，其中i 为虚数单位，n z 表示nz 的共轭复数，则2015z 的值为 .4.在矩形ABCD 中，2,1AB AD ==,边DC （包含点,D C ）上的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足DP BQ =,则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ ⋅的最小值为 .5.在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{}(,)(36)(36)0K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为 .7.设ω为正实数，若存在,(2)a b a b ππ≤<≤，使得sin sin 2a b ωω+=，则ω的取值范围是 .8.对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤，若,,a b b c c d ><>，则称abcd 为P 类数，若,,a b b c c d <><，则称abcd 为Q 类数，用(),()N P N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数，则()()N P N Q -的值为 .二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9.（本小题满分16分）若实数,,a b c 满足242,424abcabc+=+=，求c 的最小值. 10.（本小题满分20分）设1234,,,a a a a 是4个有理数，使得{}311424,2,,,1,328ija ai j ⎧⎫≤<≤=----⎨⎬⎩⎭，求1234a a a a +++的值.11.（本小题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是椭圆2212x y +=的左、右焦点，设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点,A B ，焦点2F 到直线l 的距离为d ，如果直线11,,AF l BF的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围.2014年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.1.若正数b a ,满足)log(log 3log 232b a b a +=+=+,则ba 11+的值为_________.2.设集合}21|3{≤≤≤+b a b a中的最大值与最小值分别为m M ,，则m M -=________.3.若函数|1|)(2-+=x a x x f 在),0[+∞上单调递增，则a 的取值范围为_______.4.数列}{n a 满足)(1)2(2,211⋅+∈++==N n a n n a a n n ，则2013212014...a a a a +++=_________. 5.已知正四棱锥ABCD P -中，侧面是边长为1的正三角形，N M ,分别是边BC AB ,的中点，则异面直线MN 与PC 之间的距离是_____________.6.设椭圆Γ的两个焦点是21,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点Q P ,，若||||212F F PF =，且||4||311QF PF =，则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为__________.7.设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I 。

湖南省高中数学竞赛试题及答案高中数学竞赛试题含答案2022年湖南省高中数学竞赛试题及答案一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1.已知函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若f(x) g(x) x2 9x 12，则f(x) g(x) ( )A．x 9x 12 2.有四个函数：① y=sinx+cosx ② y= sinx-cosx ③ y=sinx cosx ④ y 其中在(0,A．①3.方程x2 x 1 x x22B．x 9x 122C．x 9x 12 D．x 9x 1222sinxcosx2)上为单调增函数的是( )B．②1C．①和③ D．②和④(x2 1) x的解集为A(其中π为无理数，π=3.141 ，x为实数)，则A中所有元素的平方和等于( ) A．0B．12C．22D．44.已知点P(x,y)满足(x 4cos ) (y 4sin ) 4( R)，则点P(x,y)所在区域的面积为A．36πB．32πC．20πD．16π ( )5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子(每次要把10个球装完)，要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为( ) A．9B．12D．186.已知数列{an}为等差数列，且S5=28，S10=36，则S15等于( ) A．807.已知曲线C：y A．( 1,2)B．40C．24D．-48x2 2x与直线l:x y m 0有两个交点，则m的取值范围是( ) B．( 2,2 1)C．[0,2 1)D．(0,2 1)8.过正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则值为( ) A．Smax的Smin2B．6 2C．2 3263高中数学竞赛试题含答案9.设x 0.820.5,y sin1,z log3A．xyzB．yzx7，则x、y、z的大小关系为( )C．zxyD．zyx10.如果一元二次方程x2 2(a 3)x b2 9 0中，a、b分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P= ( ) A．1 18B．1 9C．1 6D．13 18二、填空题（本大题共4个小题，每小题8分，共32分）x2y21上异于长轴端点的任意一点，F1、F2分别是其左、右焦点，O为中心，则11.设P是椭圆169|PF1| |PF2| |OP|2 ___________.12.已知△ABC中，, ，试用、的向量运算式子表示△ABC的面积，即S△ABC= ____________________.13.从3名男生和n名女生中，任选3人参加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为n=__________.14.有10名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果显示，没有和局，且任意5人中既有1人胜其余4人，又有1人负其余4人，则恰好胜了两场的人数为____________个.三、解答题（本大题共5个小题，15-17题每小题12分，18题、19题每小题16分，共68分）15.对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”，若f(f(x)) x，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A {x|f(x) x}34，则35B {x|f[f(x)] x}.(1). 求证：A B2(2).若f(x) ax 1(a R,x R)，且A B ，求实数a的取值范围.16.某制衣车间有A、B、C、D共4个组，各组每天生产上衣或裤子的能力如下表，现在上衣及裤子要配套生产(一件上衣及一条裤子为一套)，问在7天内，这4个组最多能生产多少套？高中数学竞赛试题含答案17.设数列{an}满足条件：a1 1,a2 2，且an 2 an 1 an(n 1,2,3, ) 求证：对于任何正整数n，都有an 1 11an18.在周长为定值的△ABC中，已知|AB|=6，且当顶点C位于定点P时，cosC有最小值为(1).建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程.(2).过点A作直线与(1)中的曲线交于M、N两点，求|BM| |BN|的最小值的集合.7. 2519.已知三棱锥O-ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，P是底面△ABC内的任一点，OP与三侧面所成的角分别为α、β、 .求证：23arcsin3参考答案一、选择题：ADCBC CCCBA 二、填空题：三、解答题：15.证明(1).若A=φ，则A B 显然成立；若A≠φ，设t∈A，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t∈B,从而A B. 解(2)：A中元素是方程f(x)=x 即ax 1 x的实根.2由A≠φ，知a=0 或a 0 1即a4 1 4a 0342222B中元素是方程a(ax 1) 1 x 即ax 2ax x a 1 0的实根由A B，知上方程左边含有一个因式ax x 1，即方程可化为2高中数学竞赛试题含答案(ax2 x 1)(a2x2 ax a 1) 0因此，要A=B，即要方程ax ax a 1 0 ① 要么没有实根，要么实根是方程ax x 1 0 ② 的根. 若①没有实根，则2 a2 4a2(1 a) 0，由此解得a222223 4若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有ax ax a，代入①有2ax+1=0.11131 0,由此解得a . ,再代入②得2a4a2a413故a的取值范围是[ ,]44897616.解：A、B、C、D四个组每天生产上衣与裤子的数量比分别是：,,,，且__-__6897 ① __-__由此解得x只能让每天生产上衣效率最高的组做上衣，生产裤子效率最高的组做裤子，才能使做的套数最多. 由①知D组做上衣效率最高，C组做裤子效率最高，于是，设A组做x天上衣，其余(7-x)天做裤子；B组做y天上衣，其余(7-y)天做裤子;D组做7天上衣，C组做7天裤子.则四个组7天共生产上衣6×7+8x+9y (件)；生产裤子11×7+10(7-x)+12(7-y) (条) 依题意，有42+8x+9y=77+10(7-x)+12(7-y)，即y 9 令μ= 42+8x+9y=42+8x+9(96x. 76x2)=123+x 77max因为0≤x≤7,所以，当x=7时，此时y=3, μ取得最大值，即μ=125.因此，安排A、D组都做7天上衣，C组做7天裤子，B组做3天上衣，4天裤子，这样做的套数最多，为125套.17.证明：令a0 1,则有ak 1 ak ak 1，且1naka于是n k 1k 1ak 1k 1ak 1nakak 1(k 1,2, ) ak 1ak 1由算术-几何平均值不等式，可得1 aa1a2aaan+0 1 n 1 a2a3an 1a2a3an 1注意到a0 a1 1，可知高中数学竞赛试题含答案11n 11nan 1，即n 1 11an18.解：(1) 以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设|CA|+|CB|=2a(a3)为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距2c=|AB|=6.|CA|2 |CB|2 62(|CA| |CB|)2 2|CA||CB| 362a2 18因为cosC 12|CA||CB|2|CA||CB||CA||CB|又|CA| |CB| (2a__-__) a2，所以cosC 1 2，由题意得1 2 ,a 25. 225aa此时，|PA|=|PB|，P点坐标为P(0，±4).x2y21(y 0) 所以C点的轨迹方程为2516(2) 不妨设A点坐标为A(-3，0)，M(x1,y1),N(x2,y2).当直线MN的倾斜角不为90时，设其方程为1k__k2)x kx ( 1) 0 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得(__-__150k2225k2 400,x1x2 显然有△≥0，所以x1 x2 2216 25k16 25k而由椭圆第二定义可得339|BM| |BN| (5 x1)(5 x2) 25 3(x1 x2) x1x25525144450k81k __k __ 25 25 25__ 25k216 25k216 25k2k225222k2__-____-__取最小值，显然. 只要考虑的最小值，即考虑1 1616k2 k22525k2当k=0时，|| ||取最小值16.当直线MN的倾斜角为90时，x1=x2=-3,得|BM| || (342) 16 5x2y21(y 0)，故k 0，这样的M、N不存在，即|| ||的最小值的集合为空但2516集.高中数学竞赛试题含答案19.证明：由题意可得sin2 sin2 sin2 1，且α、β、(0, 所以sin 1 sin sin2222)1(cos2 cos2 ) cos( )cos( ) 2222因为cos( ) cos( )，所以sin cos( ) sin[当当2( )]2时，时，2.22( )，同样有2故2另一方面，不妨设，则sin3,sin33令sin 1 则sin23,sin 1 1 ()2 sin2 ，331 sin2 sin2 1 1sin2 cos( )cos( ) cos( 1 1)cos( 1 1)因为1 1 ，所以cos( 1 1) cos( ) 所以cos( ) cos( 1 1) 所以1 1如果运用调整法，只要α、β、不全相等，总可通过调整，使1 1 1增大. 所以，当α=β= =arcsin。

2018年全国高中数学联赛湖南省预赛A 卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）一、填空题1.已知12a 3}，当A≠B 时，(A,B)与(B,A)视为不同的对，则这样的(A,B)对的个数有_____个.2.若不等式√x >ax +32(4,b)的解集是（4，b ），则实数a=_____，b=_____. 3.从-3、-2、-1、0、1、2、3、4八个数字中，任取三个不同的数字作为二次函数f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0)的系数.若二次函数的图象过原点，且其顶点在第一象限或第三象限，这样的二次函数有_____个. 4.已知n 为正整数，若n 2+3n−10n 2+6n−16是一个既约分数，那么这个分数的值等于_____.5.函数f(x)=sinx +2|sinx|，x ∈[0,2π]的图象与直线y=k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是_____. 6.设实数a 、b 满足不等式||a|−(a +b)|<|a −|a +b||，则a 、b 的正、负符号分别为_____. 7.正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为CC 1的中点.异面直线EF 与AC 1所成角的余弦值是_____.8.四次多项式x 4−18x 3+kx 2+200x −1984的四个根中有两个根的积为-32，则实数k=_____.9.(|x|+1|x|−2)3的展开式中常数项为_____.10.在半径为R 的球内作内接圆柱，则内接圆柱全面积的最大值是_____.二、解答题11.已知抛物线C 1的顶点(√2−1,1)，焦点(√2−34,1)，另一抛物线C 2的方程为y 2−ay +x +2b =0，C 1与C 2在一个交点处它们的切线互相垂直.试证C 2必过定点，并求该点的坐标.12.如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且MC=MD.分别过点C、D作边BC、AD的垂线，设两条垂线的交点为P.过点P作PQ⊥AB与Q.求证：∠PQC=∠PQD.13.已知二次函数f(x)=x2−16x+p+3.（1）若函数在区间[−1,1]上存在零点，求实数p的取值范围；（2）问是否存在常数q(q≥0)，使得当x∈[q,10]时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12−q.（注：区间[a,b](a<b)的长度为b−a）.14.已知数列{a n}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.数列{a n}前n项和为S n，且满足S5=2a4+a5，a9=a3+a4.（1）求数列{a n}的通项公式：（2）若a m+a m+1=a m+2，求正整数m的值；（3）是否存在正整数m，使得S2mS2m−1恰好为数列{a n}中的一项？若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在，说明理由.参考答案1.27【解析】1.由集合A 、B 都是A ∪B 的子集，A ≠B 且A ∪B =(a 1,a 2,a 3).当A=∅时，B 有1种取法；当A 为一元集时，B 有2种取法； 当A 为二元集时，B 有4种取法； 当A 为三元集时，B 有8种取法.故不同的（A ，B ）对有1+3×2+3×4+8=27（个）.故答案为：27 2.18 36【解析】2.解法一： 设√x =t ，则x=t 2，且t ∈(2,√b)，则不等式at 2−t +32<0的解集为(2,√b)，所以2、√b 是方程at 2−t +32=0的两根，即{ 2+√b =1a ,2·√b =32a. 解得a=18，b=36.解法二： 设y 1=√x ，y 2=ax +32，由不等式√x >ax +32的解集是（4，b ），可得两函数y 1=√x ，y 2=ax +32在同一坐标系中的图象. 设两函数图象的交点为A 、B ，则A(4,2)、B(b,√b)，所以2=4a +32，√b =ab +32. 解得a=18，b=36.故答案为：(1). 18 (2). 36 3.24【解析】3.可将二次函数分为两大类：一类顶点在第一象限；另一类顶点在第三象限，然后由顶点坐标的符号分别考查.因为图象过坐标原点，所以c=0.故二次函数可写成f(x)=a 2+bx 的形式. 又f(x)=a(x +b 2a)2−b 24a，所以其顶点坐标是(−b2a ,b 24a).若顶点在第一象限，则有b2a>0，−b 24a>0.故a <0，b >0.因此，这样的二次函数有A 31⋅A 41=12个.若顶点在第三象限，则有−b 2a<0，−b 24a<0.故a >0，b >0.这样的二次函数有A 42=12个.由加法原理知，满足条件的二次函数共有A 31⋅A 41+A 42=24个.故答案为：24 4.811【解析】4.因为n 2+3n−10n 2−6n−16=(n+5)(n−2)(n+8)(n−2)，当n −2=±1时，若(n +8,n +5)=(n +5,3)=1，则n 2+3n−10n 2−6n−16是一个既约分数，故当n =3时，该分数是既约分数.所以这个分数为811. 故答案为：8115.1<k <3【解析】5.f(x)={3sinx,x ∈[0,π].−sinx,x ∈[π,2π].作出其图像，可只有两个交点时k 的范围为1<k <3.故答案为：1<k <36.a 负,b 正【解析】6. 由已知得[|a|−(a +b)]2<(a −|a +b|)2⇒a 2−2|a|⋅(a +b)+(a +b)2<a 2−2a|a +b|+(a +b)2⇒a 2⋅|a +b|<|a|⋅(a +b).由于|x|≥x ，因此得a <0⇒−(−a)⋅|a +b|<[|a|⋅(a +b)，约去−a 的−|a +b|<a +b .所以a+b >0⇒b >−a >0，a 为负数且b 为正数.故答案为：a 负,b 正 7.2√23【解析】7.设正方体棱长为1，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系，则E(1,12,0),F(0,1,12),A(1,0,1),C 1(0,1,1).故有EF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,12,12),AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−1,1,1). 所以cosθ=EF ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |EF |·|AC 1|=2√23.故答案为：2√23 8.86【解析】8.设多项式x 4−18x 3+kx 2+200x −1984的四个根为x 1、x 2、x 3、x 4，则由韦达定理，得{x 1+x 2+x 3+x 4=18,x1x 2+x 1x 3+x 1x 4+x 2x 3+x 2x 4+x 3x 4=k,x 1x 2x 3+x 1x 2x 4+x 1x 3x 4+x 2x 3x 4=−200,x 1x 2x 3x 4=−1984. 设x 1x 2=−32，则x 3x 4=62，故62(x 1+x 2)−32(x 3+x 4)=−200.又x 1+x 2+x 3+x 4=18，所以{x 1+x 2=4,x 3+x 4=14,故k=x 1x 2+x 3x 4+(x 1+x 2)(x 3+x 4)=86.故答案为：86 9.-20【解析】9.因为(|x|+1|x|−2)3=(√|x|−√|x|)6.所以T 4=(−1)3C 63(√|x|)3(√|x|)3=−20.故答案为：-2010.πR2(1+√5)【解析】10.设内接圆柱底面半径为Rsinα，则高位2Rcosα，那么全面积为2π(Rsinα)2+2πRsinα×2Rcosα=2πR2(sin2α+sin2α)=πR2(1−cos2α+2sin2α) =πR2[1+√5sin(2α−φ)]≤πR2(1+√5).其中tanφ=12，等号成立的条件是2α=φ+π2.故最大值为πR2(1+√5).故答案为：πR2(1+√5)11.C2过定点，该定点的坐标为(√2−12,1).【解析】11.C1中的p=12，方程(y−1)2=x(√2−1)，即y2−2y−x+√2=0.设交点为(x0,y0)，则C1的切线方程为y0−(y+y0)−12(x+x0)+√2=0，即2(y0−1)y−x−2y0−x0+2√2=0.同理可得，C2的切线方程为y 0y−12a(y+y)+12(x+x0)−2b=0，即(2y0−a)y+x−ay0+x0+4b=0.由题意知二者垂直，从而可得1×(−1)+2(y0−1)(2y0−a)=0，整理得4y02−2(a+2)y0+2a−1=0.①由y02−2y0−x0+√2=0和y02−ay0+x0+2b=0，相加得2y02−(a+2)y0+2b+√2=0，②①-②×2得2a-1-4b-2√2=0，可得4b=2a−1−2√2. ③代入C2得方程整理即可得2y2−2ay+2x+2a−1−2√2=0，即2y2+2x−2√2−1−2a(y−1)=0，由方程组{2y2+2x−2√2−1=0,y−1=0.解得(√2−12,1).即对任何满足③的a、b，点(√2−12,1)在曲线C2上，即C2过定点，该定点的坐标为(√2−12,1).12.见解析【解析】12.如图，连结PA、PB，分别取PA、PB的中点E、F，连结EM、ED、FM、FC，则四边形PEMF为平行四边形，从而∠PEM=∠PFM.由ME=12BP=CF，MF=12AP=DE，MD=MC，所以△DEM≌△MFC，即∠DEM=∠MFC，所以∠PED=∠DEM-∠PEM=∠ MFC-∠PFM=∠PFM.又∠PED=2∠PAD, ∠PFC=2∠PBC,得∠PAD=∠PBC.由于∠PQA=∠PDA=90°，∠POB=∠PCB=90°，则P、Q、A、D和P、Q、B、C分别四点共圆.故∠PQD=∠PAD, ∠PQC=∠PBC,所以∠PQC=∠PQD.13.（1）–20≤p≤12；（2）存在常数q= 8或q= 9，当x∈[q，10]时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12–q．【解析】13.（1）利用零点存在性定理列出关于q的不等式，然后再利用不等式知识求解即可；（2）先利用单调性求出函数的值域，再利用区间长度列出关于q的方程，求解即可。