【配套K12】八年级数学下册 1.4 角平分线的性质学案2(无答案)(新版)湘教版

湘教版数学八年级下册1.4《角平分线的性质》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级下册1.4《角平分线的性质》是初中数学的重要内容，主要介绍了角平分线的性质。

本节课的内容是学生学习几何知识的基础，也是学生进一步学习圆的知识的前提。

通过本节课的学习，学生可以掌握角平分线的性质，并能够运用角平分线的性质解决一些实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了角的概念、线的概念等基础知识，对几何图形有一定的认识。

但是，学生对角平分线的性质还没有接触过，对于如何运用角平分线的性质解决实际问题还需要引导。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解角平分线的性质，并能够运用角平分线的性质解决一些实际问题。

2.过程与方法：通过学生自主探究、合作交流的方式，培养学生的几何思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。

四. 教学重难点1.角平分线的性质的推导过程。

2.如何运用角平分线的性质解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、学生自主探究法、合作交流法等教学方法。

通过引导学生提出问题、自主探究、合作交流的方式，激发学生的学习兴趣，培养学生的几何思维能力。

六. 教学准备教师准备PPT、黑板、粉笔等教学工具。

学生准备课本、笔记本等学习工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引导学生思考：“如何找到一个角的平分线？”学生可以自由发言，教师引导学生提出问题，引出本节课的主题——角平分线的性质。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示角平分线的性质，让学生初步了解角平分线的性质。

然后，教师引导学生自主探究，让学生通过观察、思考、推理等过程，推导出角平分线的性质。

3.操练（10分钟）教师通过PPT展示一些练习题，让学生运用角平分线的性质解决问题。

学生在纸上完成练习题，教师选取部分学生的作业进行讲解和评价。

4.巩固（10分钟）教师通过PPT展示一些巩固题，让学生再次运用角平分线的性质解决问题。

让学生在掌握角平分线的性质的基础上能应用角平分线的两性质解决一些简单的实际过程。

培养学生的联想、探索、概括归纳的能力灵活应用两个性质解二、合作交流CM,AM MN=ME(三、应用迁移、巩固提高
∆ABC 中找到一点P,使其到三边的距离相等吗？
三角形的三条角平分线的交点。

．求证：点P 到三边AB 、的距离相等．的垂线段的长就、根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．BC,PF AC, E C N D M C
PD=PE=PF
的距离相等．
角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性解决问题越来越简便了。

八年级数学下册1.4角平分线导学案(新版)北师大版1、角平分线的性质定理的证明、2、角平分线的判定定理的证明、检测题目：1、OM平分∠BOA，P是OM上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，下列结论中错误的是（）A：PD=PE B：OD=OE C：∠DPO=∠EPO D：PD=OD2、如图所示，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，则下列结论不正确的是（）A:△AEG≌△AFGB:△AED≌△AFDC:△DEG≌△DFG D:△BDE≌△CDF3、如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F、下面给出四个结论，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等、其中正确的结论有()A、1个B、2个C、3个D、4个4、△ABC中, ∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，连结AO，若∠OBC=25，∠OCB=30，则∠OAC=_____________5、与相交的两直线距离相等的点在（）A：一条直线上B：一条射线上C：两条互相垂直的直线上 D：以上都不对6、∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为2CM，则M到OB的距离为_________、7、在RT△ABC中，∠C=90，AD是∠BAC 的平分线，若BC=16，BD=10，则D到AB的距离是________、8、如图在两条交叉的公路L1与L2之间有两家工厂A、B，现在要修一个货物中转站，使它到两条公路的距离相等，以及到两个工厂距离相等，你能帮助确定中转站的地址吗？请试试、9、如图，梯形ABCD，ABCD，AD=DC=CB，AD、BC的延长线相交于G，CE⊥AG于E，CF⊥AB于F，（1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）（2）选择（1）中你所写的一组相等的线段，说说它们相等的理由、10、如图，在△ABC中，∠C＝90，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF、求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF ＋2EB、11、如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点、DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F、求证：CE＝CF、。

湘教版数学八年级下册1.4《角平分线的性质》教学设计2一. 教材分析《角平分线的性质》是湘教版数学八年级下册1.4节的内容。

本节课主要介绍了角平分线的性质，包括角平分线上的点到角的两边的距离相等，角平分线垂直平分对应边等。

通过本节课的学习，使学生能理解并掌握角平分线的性质，能运用角平分线的性质解决一些几何问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了角的概念、垂线的性质等知识，具备了一定的几何基础。

但是，对于角平分线的性质及其应用，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主探索角平分线的性质，提高学生分析问题、解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握角平分线的性质，能够运用角平分线的性质解决一些几何问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的观察能力、动手能力、思维能力。

3.情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识、探究精神。

四. 教学重难点1.重点：角平分线的性质。

2.难点：运用角平分线的性质解决几何问题。

五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、操作、思考、交流，发现角平分线的性质。

2.实例讲解法：教师通过具体的例子，讲解角平分线的性质及其应用。

3.合作学习法：学生分组合作，共同完成任务，培养学生的合作意识。

六. 教学准备1.教具：直尺、圆规、三角板、多媒体设备。

2.学具：学生用书、练习本、铅笔、橡皮。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾之前学习过的知识，如角的概念、垂线的性质等。

然后，提问：你们认为角平分线有什么性质呢？2.呈现（10分钟）教师利用多媒体展示角平分线的性质，引导学生观察、思考。

首先，展示一个角平分线，然后展示这个角平分线上的点到角的两边的距离相等。

让学生观察并得出结论。

3.操练（10分钟）教师提出一些有关角平分线性质的问题，让学生分组讨论、操作。

角平分线【学习目标】1．会证明三角形的三条角平分线的性质；2．会灵活运用角平分线的性质定理和判定定理证明几何问题 【学习过程】一、温故知新：1、已知：如图，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别为C 、D ． 求证：(1)OC=OD ；(2)OP 是CD 的垂直平分线．二、新知探究：2、请你阅读课本P30至P31，然后完成以下问题：①三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

已知：如图，在△ABC 中，角平分线BF 与CN 相交于点P ，过P 点作PD ⊥AB ，PM ⊥AC ，PE ⊥BC ，其中D 、E 、M 是垂足。

求证：∠A 的平分线经过点P ，且PD=PE=PM.②知识运用：如图：直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？三、知识应用：3、如图，在△ABC 中．AC =BC ，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ．(1)已知CD=4 cm ，求AC 的长； (2)求证：AB=A C+CD ．P DAE COBD FEM NC BA Pl 3l 21l CBA ADBEC四、课堂小结：——五、课后作业一、基础题1、如图(1)，点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD PE PF.2、如图（2），P是∠AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与OB的关系是 .3、如图（3），CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，则CF FG，∠1+∠3= 度，∠2+∠4= 度，∠3 ∠4，CE CF.（1）（2）（3）二、发展题4、已知，如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证：点F在∠DAE的平分线上.三、提高题5、。

角平分线的性质应用 一、学习目标：知识与技能：让学生在掌握角平分线的性质的基础上能应用角平分线的两个性质解决一些简单的实际问题。

过程与方法：通过让学生经历动手实践,合作交流，演绎推理的过程，使学生学会理性思考，从而提高解决简单问题的能力。

情感态度与价值观：经历对角的平分线的性质的探索与形成的过程。

发展应用数学知识的意识与能力，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣.二、学习重难点：1、角平分线的性质及其应用2、灵活应用两个性质解决问题三、预习感知:1、在∠AOB 的两边OA 和OB 上分别取OM=ON,MC ⊥OA ，NC ⊥OB ．MC 与NC 交于C 点．求证：∠MOC=∠NOC ．证明:∵OB NC OA MC ⊥⊥,∴都是直角。

和______________∠∠在__________和____________中，______=_______，______=_______，∴___________________（ )∴_____________________那么OC 是_______的角平分线。

2、点到直线的距离是什么？四、合作探究活动1 用尺规作一个角的平分线1、已知:∠AOB，求作:∠AOB的平分线OC作法：（1）以为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。

（2）分别以M、N为圆心，的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C。

(3)画出射线OC，射线OC即为所求。

活动2 角平分线的性质（借助上图）（1）请你在OC上任意找一点P，作PD⊥OA、PE⊥OB,垂足分别为D，E．度量比较PD 与PE的长短，得PD PE(〉,〈,=）（2)在OC上另取一点Q，同样作QF⊥OA、QG⊥OB，垂足分别为F,G．再比较QF、QG 的长短，得QF QG（〉，<，=）(3）你可以在角平分线OC上再取其它一些点试试，从中你发现了什么？用你自己的语言叙述．活动3 用三角形全等证明性质。

课题：角平分线教学目标：1．理解证明角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论，掌握角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用．2. 进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力，提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力．3．在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”.教学重点与难点：重点：三角形三个内角的平分线的性质，综合运用角平分线的判定和性质定理，解决实际生活中几何中的问题．难点：角平分线的性质定理和判定定理的综合应用．课前准备：多媒体课件．教法及学法指导：教法：运用启发诱导式、讨论探究式、激励竞学法等多种方法进行点拨，采用一题多解、变式训练、投影展示等手段进行落实.结合本课的实际情况，类比线段的垂直平分线的学习，设计了以下五个环节：一、顺手牵“羊”——复习回顾；二、三“羊”开泰——情境引入；三、虎口擒“羊”——探究学习；四、“羊羊”洒洒——典例分析；五、“羊羊”得“亿”——课堂小结；六、亡“羊”补牢——达标测试七、“羊”眉吐气——布置作业.学法：利用独立思考与小组合作讨论相结合等多种方式学习本课新知；通过比赛的方式完成达标练习.课前准备：教师：利用几何画板、PPT等工具制作图形、课件，从网络上下载相关图片，精选例题；学生：准备好《课本》、《助学》，练习本及没人3X三角形纸片等.教学过程：一、顺手牵“羊”——复习回顾活动内容：回答下列问题问题1.角平分线性质定理是什么？问题2. .角平分线判定定理是什么？处理方式：两个问题均由学生口答完成．对于问题1，学生的答案可能比较准确．对于问题2学生很可能丢掉“在角的内部”，必要时给予提示，强调“在角的内部”条件不可少..设计意图：通过复习回顾2个问题，为这节课的学习打下基础．二、三“羊”开泰——情境引入活动内容：折纸验证后回答问题.我们用三X三角形的纸片，分别折出三个角的角平分线.我们发现，这三条线是交于一点的，但是，是不是所有的三角形都具有这样的性质呢？每个同学分别拿出不同形状的三角形纸片折叠后作其角平分线，观察结果.问题1：观察这几个三角形，它们的角平分线交于一点么？问题2：猜想是否任意三角形角平分线都交于一点？如果是，如何证明它呢？处理方式：问2先让学生折出一般锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的三条角平分线，然后让学生总结任意三角形的三条角平分线交于一点，完成后教师引导学生分析证明的依据，从而引入出新课．M N E F DP B CA设计意图：用学生熟悉的折纸游戏，贴近学生的生活，培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣，同时也让学生进一步体会了三角形角平分线用折纸可以得到，这也为新课的学习做好铺垫.三、虎口擒“羊”——探究学习活动内容1：（多媒体出示）请同学们观察下图，思考如何证明：任意三角形的三条角平分线交于一点，你能写出已知、求证、证明吗？并与同伴交流．已知：如图，设△ABC 的角平分线BM 、相交于点P ，求证：P 点在∠BAC 的角平分线上．证明：过P 点作PD ⊥AB ，PF ⊥AC ，PE ⊥BC ，其中D 、E 、F 是垂足． ∵BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM上，∴PD =PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．同理：PE =PF ．∴PD =PF ． ∴点P 在∠BAC 的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．∴△ABC 的三条角平分线相交于点P ．问题：在证明过程中，我们除证明了任意三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的结论呢?预设回答：PD =PE =PF ，即这个交点P 到三角形三边的距离相等于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理:三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．处理方式：学生讨论交流，在图片上完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时点评，强调：“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”与“在一个角的内部（特别强调），且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上”互逆关系：设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，对角平分线的性质证明从感性认识上升到理性认识．先从观察图片中三角形角平分线入手，体验三角形三条角平分线所具有的关系，然后写出证明过程，锻炼了学生的逻辑思维能力.活动内容2：(多媒体出示)如图：直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的? 学生交流讨论：预设1: 有一处．在三条公路的交点A、B、C组成的△ABC三条角平分线的交点处．因为三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三边的距离相等．而现在要建的货物中转站要求它到三条公路的距离相等．这一点刚好符合．预设2：共有四处．(同学们很吃惊！)除了刚才同学找到的三角形ABC内部的一点外，我认为在三角形外部还有三点．作∠ACB、∠ABC外角的平分线交于点P1(如下图所示)，我们利用角平分线的性质定理和判定定理，可知点P1在∠CAB的角平分线上，且到l1、l2、l3的距离相等．同理还有∠BAC、∠BCA的外角的角平分线的交点P2；∠BAC、∠ABC的外角的角平分线的交点P3,因此满足条件共4个，分别是P、P1、P2、P3处理方式：在老师的引导下，让学生通过自己的归纳找到满足在△ABC内部到三条公路的距离相等的点，并能利用角平分线的性质定理和判定定理，找到在△ABC外部到三条公路的距离相等的点.设计意图：通过练习题让学生自己的归纳能找到到三角形三边距离相等的点的特征，加深对三角形角平分线的性质定理和判定定理的理解应用．四、“羊羊”洒洒——典例分析活动内容1：我们学习了三角形角平分线的性质定理和判定定理，你能顺利的利用三角形角平分线的性质定理和判定定理解决实际问题吗？（多媒体出示例1）例1．如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．(1)已知CD=4 cm，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD．学生讨论：E 师引导提示：第(1)问中，求AC的长，需求出BC的长，而BC=CD+DB，CD=4 cIn，而BD在等腰直角三角形DBE中，根据角平分线的性质，DE=CD=4cm，再根据勾股定理便可求出DB的长．第(2)问中，求证AB=AC+CD ．这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB=AE+BE ，所以需证AC=AE ，CD=BE ．预设1：(1)解：∵AD 是△ABC 的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB．∴DE =CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)．∵AC=BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角)．∵∠C=90°，∴∠B=12×90°=45°． ∴∠BDE=90°—45°＝45°．∴BE=DE(等角对等边)．在等腰直角三角形BDE 中2222442BD DE ==⨯= cm(勾股定理)，∴AC=BC=CD+BD=(4+42)cm ．预设2：(2)证明：由(1)的求解过程可知，Rt△ACD≌Rt△AED(HL 定理)∴AC=AE．∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD．处理方式：让两名学生主动到黑板板演，其他学生在练习本上完成．教师巡视，适时点拨．学生完成后及时点评，借助多媒体展示学生出现的问题进行矫正．设计意图：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题．五、“羊羊”得“亿”——课堂小结活动内容：同学们，学习也是如此.通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．处理方式：学生畅谈自己的收获！下面我们通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理：设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．六、亡“羊”补牢——达标测试一、判断题1.在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个（）2.在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个（）3.三角形三条角平分线交于一点（）4.等腰三角形底边中点到两腰的距离相等（）5.三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形（）二、填空题1.如图（1），点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD__________PE__________PF.2.如图（2），P是∠AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与OB的关系是__________.（1） （2）三、解答题已知：如图，P 是么AOB 平分线上的一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别为C 、D ． 求证：(1)OC=OD ；(2)OP 是CD 的垂直平分线．参考答案：一、1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5. ×三、证明：(1)P 是∠AOB 角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等)．在Rt△OPC 和Rt△OPD 中， OP =OP ，PC =PD ，∴Rt△OPC ≌Rt△OPD (HL 定理)．∴OC =OD (全等三角形对应边相等)．(2)又OP 是∠AOB 的角平分线，∴OP 是CD 的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”定理)．处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对,及时纠错.设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.七、“羊”眉吐气——布置作业必做题：课本32页，习题1.10 第1题第2题P D A E CO B选做题：课本32页，问题解决第4题．设计意图：作业设计采取分层设计，使学生根据自身的实际学习情况选择不同的作业，既满足了不同层次学生的需求，又提高了作业的实效性，促进学生学习兴趣与质量的提高．七、板书设计。

安边中学 八 年级 下 学期 数学 学科导学稿 执笔人： 杜小琴 总第 21 课时
备课组长签字： 包级领导签字： 班： 组： 学生： 上课时间：
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个人空间
一、课题： 1.4 角平分线（2） 二、学习目标
1、证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论．
2、角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用．
三、教学过程 【自主预习】
问题l 习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?能证明自己发现的结论一定正确吗？
【合作探究】
例 1 已知：如图，设△ABC 的角平分线BF 、CN 相交于点P ，
证明：P 点在∠B AC 的角平分线上．
问题1 在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢?
问题2 如图：直线l 1、l 2、l 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的?
D F
E
M N
C B
A P
l 3
l 2
1l C
B
A
例2 已知：如图，P 是么AOB 平分线上的一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别为C 、D ． 求证：(1)OC=OD ；
(2)OP 是CD 的垂直平分线．
P D
A
E C
O
B
思考：图中还有哪些相等的线段和角呢?
【检测训练】 随堂练习P31
反思栏。

角平分线课题角平分线（二）授课教师学习目标1、记住三角形三个内角的平分线的性质。

2、会用三角形三个内角的平分线的性质解决相关问题。

学习重难点学习重点：三角形三个内角的平分线的性质。

学习难点：本节知识解决相关问题。

学法指导讲练结合法多媒体演示法探究法尝试指导法学习过程独立尝试学案导案一、知识回顾、引入新课已知：如图，设△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，求证：P点在∠BAC的角平分线上。

证明：过P点作PD⊥A B，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足。

∵BM是△A BC的角平分线，点P在BM上，∴PD＝PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)同理：PE＝PF ∴PD＝PF∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)∴△ABC的三条角平分线相交于点P。

认真阅读课本第30-31页：①看懂例2的证明过程。

②看懂例3的证明过程。

③尝试独立完成随堂练习。

合作探究如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E。

①已知CD＝4cm，求AC的长。

②求证：AB＝AC＋CD例3所运用到的知识有：①勾股定理。

②角平分线的性质。

③直角三角形的证明。

自我挑战已知：如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D。

求证：①OC＝OD；②OP是CD的垂直平分线堂清试题三角形三边垂直平分线和三个内角角角平分线的区别联系比较对象三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点钝角三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等自我总结1、例2、例3的证明、计算过程要切实领会、融会贯通。

2、记住内心的概念及性质，今后的习题中将会应用到。

预留作业课本第32页知识技能第2、3题。

板书设计角平分线（二）一、定理：三角形的三条角平分线三、自学检测交于一点，并且这一点到三边的距离相等。

教育资源角的平分线的性质【学习目标】1.通过操作、验证等方式，掌握角的平分线的性质定理。

2.能运用角的平分线性质定理 解决简单的几何问题。

【重点难点】教学重点： 掌握角的平分线的性质定理教学难点：角的平分线的性质定理的应用【导读指导】1.情境导入：复习角的平分线的定义和点到直线的距离2.明确目标:3预习检测：(尺规作图）已知:∠AOB.求作:∠AOB 的平分线.【导学指导】4. 探究展示：探究角平分线的性质(1)实验：将∠AOB 对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.证明几何命题的一般步骤：1、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；2、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

证一证已知：∠AOC= ∠BOC ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于D,PE ⊥OB 于E 求证: PD=PE 证明：4.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等用几何语言来表述角的平分线的性质定理：∵OC 是∠AOB 的平分线，点P 是OC 上的任意一点，且PD ⊥OA,PE ⊥OB【导练指导】1.如图，OP 平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C ，D ，下列结论中错误的是( )A ．PC ＝PDB ．OC ＝OD C ．∠CPO＝∠DPO D ．OC ＝PC2.如图,OC 是∠AOB 的平分线,点P 在OC 上,PD ⊥OA,PE ⊥OB,垂足分别是D 、E,PD=4cm,则PE=__________cm.3.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，若BC ＝8,BD ＝5，则点D 到AB的距离为？4．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE =3 cm ，BD =5 cm ，则BC =_____cm .第1题 第2题 第3题 第4题拓广探索5.如图：在△ABC 中，∠C=90° AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ；求证：CF=EBA CD E BF教育资源 E D A 【导思指导】：小结收获这节课你有什么收获呢？【课后作业】1．∠AOB 的平分线上一点C ，C 到 OA 的距离为1.5 cm ，则C 到OB 的距离为_________.2、如图,在△ABC 中，AC ⊥BC ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，AB ＝7㎝，AC ＝3㎝，求BE 的长.3.4.如图，OC 平分∠AOB ，PM ⊥OB 于点M ，PN ⊥OA 于点N ， △POM 的面积为6，OM=6，求PN 的长。

角平分线一、问题引入：三角形角平分线性质定理和判定定理的内容是什么？作用呢？二、基础训练：1. 如图：设△ABC的角平分线交于P，求证：P点在∠BAC的平分线上定理：三角形的三条角平分线交于点，并且这一点到三条边的距离 .引申：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a.b.c，则三角形的面积S= .2. 已知：△ABC中，BP.CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于P,若P到边AB的距离为3cm，△ABC的周长为18cm，则△ABC的面积为 .3. 到三角形三边距离相等的点是（）A.三条中线的交点；B.三条高的交点；C.三条角平分线的交点；D.不能确定三、例题展示：例：△ABC中，AC=BC, ∠C=900,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E.（1）已知：CD=4cm,求AC长（2）求证：AB=AC+CD四、课堂检测：1. 到一个角的两边距离相等的点在 .2. △ABC中，∠C=900,∠A的平分线交BC于D，BC=21cm，BD:DC=4:3，则D到AB的距离为 .3. Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，AB=8cm，则DE+DC= cm.4. △ABC中，∠ABC和∠BCA的平分线交于O，则∠BAO和∠CAO的大小关系为 .5. Rt△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC，CD=n，AB=m，则△ABD的面积是 .6. 已知：OP是∠MON内的一条射线，AC⊥OM，AD⊥ON，BE⊥OM，BF⊥ON，垂足分别为C.D.E.F，且AC=AD求证：BE=BF中考真题：三条公路围成了一个三角形区域，今要在这个三角形区域内建一果品批发市场到这三条公路的距离相等，试找出批发市场的位置.。

课题：1.4《角平分线》班级: 姓名: 小组: 评价: 【学习目标】1、能够证明角平分线的性质定理、判定定理2、能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题3、记住三角形三个内角的平分线的性质。

4、会用三角形三个内角的平分线的性质解决相关问题。

【重点难点】角平分线的性质定理、判定定理利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题 会用三角形三个内角的平分线的性质解决相关问题。

【导学流程】 一、基础感知 知识回顾引入新课：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 符号语言：例：如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，∠A BC =90°，EF ⊥AC ，交BC 于点D ，垂足为F ，DE=DC ， 求证：BE=CF.问题记录FA21EDCPOB A二、深入学习探究点1：角平分线的判定定理已知：在△AOB内部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，求证：点P在么AOB的角平分线上。

几何语言：练习：如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且OB = OC。

求证：∠1 =∠2。

21EDCPOBA21EDCPOBA21OEDAB C探究点2：三角形角平分线的性质已知：如图，设△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，求证：P点在∠BAC的角平分线上。

证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足。

定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等符号语言：即时练习：1、到三角形三边距离相等的点是（）A.三条中线的交点；B.三条高的交点；C.三条角平分线的交点；D.不能确定2、如图，△ABC的三边AB、BC、AC的长分别为4，6，8，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB：S△OBC：S△OAC=3、如图所示，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则中转站P可选择的点有（）A. 一处B. 二处C. 三处D. 四处4、△ABC中，AC=BC, ∠C=900,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E.（1）已知：CD=4cm,求AC长（2）求证：AB=AC+CD三、迁移运用1.△ABC中，∠C=900,∠A的平分线交BC于D，BC=21cm，BD:DC=4:3，则D到AB的距离为 .2. Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，AB=8cm，则DE+DC= cm.3.△ABC中，∠ABC和∠B CA的平分线交于O，则∠BAO和∠CAO的大小关系为 .4.Rt△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC，CD=n，AB=m，则△ABD的面积是.（2题）（3题）。

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课题：1.4。

1角平分线班级 姓名【学习目标】1。

会证明角平分线的性质定理，探索并证明角平分线判定定理，发展推理能力. 2.能运用角平分线的性质定理和判定定理解决简单的实际问题。

学习重点：角平分线的性质定理和判定定理的证明．学习难点：运用角平分线的性质定理和判定定理解决简单的实际问题． 【复习引入】1． 如图1，OC 平分∠AOB ,CD ⊥OA 于D，CE ⊥OB 于E ，若CD =6，则CE =_________．2。

已知：如图1，OC 是∠AOB 的平分线,CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ．求证：CD =CE ．由此可得定理： ．【自主学习】1.你能写出上题定理的逆命题吗？它是真命题吗？2。

已知:如图2,点C 是∠AOB 内一点,CD ⊥OA 于D ,CE ⊥OB 于E ，且CD =CE ． 求证：OC 平分∠AOB ．图1由此可得定理： ． 【探究学习】1。

认真阅读课本P29例1，理解其证明思路，完成下题：已知：如图3，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD=CD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E,F.求证：EB=FC.【巩固练习】1. 如图4，OM 平分∠POQ,MP ⊥OP 于P ，MQ ⊥OQ 于Q ，若OP=12，OM=13,则MQ=_________．2．如图5，AD 、AE 分别是中∠A 内角平分线和外角平分线，那么，∠DAE= 度. 3。

角平分线的性质
学习目标：
1、理解角平分线的性质
2、能利用角平分线的性质解决有关问题
学习过程：
新知探究
阅读教材解答问题：P24-25 你能在三角形中找一点，使这点到三角形的三边的距离相等吗？
请用尺规作图找到这一点。

二、新知应用
1、如图：AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，AC 平分∠DAB ，
BC 平分∠ABE ，求证：AB=AD+BE
如图，E 是∠AOB 上一点，，EC ⊥OA 于C ，ED ⊥OB 于D,
求证：（1）∠ECD=∠EDC
（2）OC=OD
三、归纳整理
三角形的性质与判定有哪些？
A B C A A B D
C E O C E
D A B
四、练习、检测
1、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD＝5，AC＝4，则求点到AB的距离。

2、如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，且CD，BE相交于O点．
求证：(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；
(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.
3、如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，
求MN的长
五、复习巩固
P28 3、4、5题。

1.4角平分线的性质教学目标1、角的平分线的性质2．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．3．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．教学重点角平分线的性质及其应用．教学难点灵活应用两个性质解决问题．教学过程Ⅰ．创设情境，引入新课拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对．Ⅱ．导入新课角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．折出如图所示的折痕PD、PE．画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？投影出下面两个图形，让学生评一评，以达明确概念的目的．结论：同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗？[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：已知事项：OC平分∠AOB，P D⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．由已知事项推出的事项：PD=PE．于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？（出示投影）问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠PDE=∠POD．由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．由此我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．这两个性质有什么联系吗？分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换．思考：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？2．比例尺为1：20000是什么意思？结论：1．应该是用第二个性质．•这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，•这就涉及一个单位换算问题了．1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中1cm•表示实际距离200m的意思．作图如下：第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，•使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题．III例题与练习例如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边A B、BC、CA的距离相等．分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．所以PD=PE．同理PE=PF．所以PD=PE=PF．即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．练习：强调：条件充足的时候应该直接利用角平分线的性质，无须再证三角形全等．IV．课时小结今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．Ⅴ．课后作业。