安徽省合肥市第一六八中学2016届高三上学期第一次周练数学(文)试题 Word版含答案

合肥一六八中学2025届高三10月段考试卷数学考生注意：1．试卷分值：150分，考试时间：120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．3．所有答案均要答在答题卡上，否则无效．考试结束后只交答题卡．一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合{A x x =<，1ln 3B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B = （ ）A ．{x x <B ．{x x <C ．{0x x <<D ．{0x x <<2．设a ，b 均为单位向量，则“55a b a b -=+”是“a b ⊥ ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知数列{}n a 满足()111n n a a +-=，若11a =-，则10a =（ ）A ．2B ．－2C ．－1D ．124．已知实数a ，b ，c 满足0a b c <<<，则下列不等式中成立的是（ ）A ．11a b b a+>+B ．22a b aa b b+<+C ．a b b c a c<--D ．ac bc>5．已知a ∈R ，2sin cos αα+=，则tan 2α=（ ）A ．43B ．34C ．43-D ．34-6．10名环卫工人在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距15米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从（1）到（10）依次编号，为使每名环卫工人从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ）A ．（1）和（10）B ．（4）和（5）C ．（5）和（6）D ．（4）和（6）7．设0.1e1a =-，111b =，ln1.1c =，则（ ）A ．b c a<<B ．c b a<<C ．a b c<<D ．a c b<<8．定义在R 上的奇函数()f x ，且对任意实数x 都有()302f x f x ⎛⎫--+=⎪⎝⎭，()12024e f =．若()()0f x f x '+->，则不等式()11ex f x +>的解集是（ ）A ．()3,+∞B ．(),3-∞C ．()1,+∞D ．(),1-∞二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．已知O 为坐标原点，点()1cos1,sin1P ，()2cos 2,sin 2P -，()3cos3,sin 3P ，()1,0Q ，则（）A ．12OP OP = B ．12QP QP =C ．312OQ OP OP OP ⋅=⋅ D ．123OQ OP OP OP ⋅=⋅ 10．三次函数()32f x x ax =++叙述正确的是（ ）A ．当1a =时，函数()f x 无极值点B ．函数()f x 的图象关于点()0,2中心对称C ．过点()0,2的切线有两条D ．当a <－3时，函数()f x 有3个零点11．已知()2sin 2f x x =+，对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()123f x f x α=+成立，则下列选项中，α可能的值是（ ）A ．3π4B ．4π7C ．6π7D ．8π7三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知复数1+与3i 在复平面内用向量OA 和OB 表示（其中i 是虚数单位，O 为坐标原点），则OA与OB夹角为______．13．函数2x y m m =-+在(],2-∞上的最大值为4，则m 的取值范围是______．14．设a 、b 、[]0,1c ∈，则M ______．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin 0a C C b c --=．（1）求角A ；（2）已知8b =，从下列三个条件中选择一个作为已知，使得ABC △存在，并求出ABC △的面积．条件①：2cos 3B =-；条件②：7a =；条件③：AC ．（注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．）16．（15分）某地区上年度天然气价格为2.8元/3m ，年用气量为3m a ．本年度计划将天然气单价下调到2.55元/3m 至2.75元/3m 之间．经调查测算，用户期望天然气单价为2.4元/3m ，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比（比例系数为k ）．已知天然气的成本价为2.3元/3m ．（1）写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益y （单位：元）关于实际单价x （单位：元/3m ）的函数解析式；（收益=实际用气量×（实际单价－成本价））（2）设0.2k a =，当天然气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少增加20%?17．（15分）已知函数()824x x xa f x a +⋅=⋅（a 为常数，且0a ≠，a ∈R ），且()f x 是奇函数．（1）求a 的值；（2）若[]1,2x ∀∈，都有()()20f x mf x -≥成立，求实数m 的取值范围．18．（17分）已知函数()()2ln f x x x =-（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求函数()f x 在()()22e ,ef 处切线方程；（3）若()f x m =有两解1x ，2x ，且12x x <，求证：2122e e x x <+<．19．（17分）（1）若干个正整数之和等于20，求这些正整数乘积的最大值．（2）①已知12,,,n a a a ⋅⋅⋅，都是正数，求证：12n a a a n++⋅⋅⋅+≥；②若干个正实数之和等于20，求这些正实数乘积的最大值．合肥一六八中学2025届高三10月段考试卷·数学参考答案、提示及评分细则题号1234567891011答案DCCBBCACACABDAC一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．【答案】D【解析】131ln 0e 3x x <⇒<<，∵23e 2<，∴661132e 2⎛⎫⎛⎫<⇒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．2．【答案】C【解析】∵“55a b a b -=+ ”，∴平方得222225102510a b a b a b a b +-⋅=++⋅，即200a b ⋅= ，则0a b ⋅= ，即a b ⊥，反之也成立．故选C ．3．【答案】C 【解析】因为111n na a +=-，11a =-，所以212a =，32a =，41a =-，所以数列{}n a 的周期为3，所以101a =-．故选C ．4．【答案】B【解析】对于A ，因为0a b <<，所以11a b >，所以11a b b a+<+，故A 错误；对于B ，因为0a b <<，所以()()()()222220222a b b a a b a b a b a a b b a b b a b b+-++--==<+++，故B 正确；对于C ，当2a =-，1b =-，1c =时，13b a c =-，1a b c =-，b aa cb c<--，故C 错误；对于D ，因为a b <，0c >，所以ac bc <，故D 错误．故选B ．5．【答案】B【解析】2sin cos αα+=，则()252sin cos 2αα+=，即2254sin 4sin cos cos 2αααα++=，可得224tan 4tan 15tan 12ααα++=+，解得tan 3α=-或13．那么22tan 3tan 21tan 4ααα==-．故选B ．6．【答案】C【解析】设树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为x ，则各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和为：1152151015S x x x =-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-⨯．若S 取最小值，则函数()()()()22222221210101101210y x x x x x =-+-+⋅⋅⋅+-=-+++⋅⋅⋅+也取最小值，由二次函数的性质，可得函数()2222101101210y x x =-+++⋅⋅⋅+的对称轴为 5.5x =，又∵x 为正整数，故5x =或6．故选C 7．【答案】A【解析】构造函数()1ln f x x x =+，0x >，则()211f x x x'=-，0x >，当()0f x '=时，1x =，01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增．∴()f x 在1x =处取最小值()11f =，∴1ln 1x x>-，（0x >且1x ≠），∴101ln1.111111>-=，∴c b >；构造函数()1e 1ln x g x x -=--，1x >，()11ex g x x-'=-，∵1x >，1e1x ->，11x<，∴()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增，∴()()10g x g >=，∴ 1.11e 1ln1.1-->，即0.1e 1ln1.1->，∴a c >．故选A ．8．【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数，所以()f x '是偶函数，因为()()0f x f x '+->，所以()()0f x f x '+>，令()()e x g x f x =，()()()e 0xg x f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，()g x 在R 上单调递增．又因为()302f x f x ⎛⎫--+=⎪⎝⎭且()f x 是奇函数，所以()f x 的周期为3，()12024e f =，则()12ef =，所以()212e e e g =⨯=，则不等式()()()()111e 1e 12ex x f x f x g x g ++>⇒+>⇒+>，因为()g x 在R 上单调递增，所以12x +>，即1x >．故选C ．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9．【答案】AC【解析】∵()1cos1,sin1P ，()2cos 2,sin 2P -，()()()3cos 12,sin 12P ++，()1,0Q ，∴()1cos1,sin1OP = ，()2cos 2,sin 2OP =- ，()()()3cos 12,sin 12OP =++ ，()1,0OQ = ，()1cos11,sin1QP =- ，()2cos 21,sin 2QP =-- ，易知121OP OP == ，故A 正确；∵1QP = ，2QP = ，∴12QP QP ≠ ，故B 错误；()3cos 12cos1cos 2sin1sin 2OQ OP ⋅=+=- ，12cos1cos 2sin1sin 2OP OP ⋅=- ，∴312OQ OP OP OP ⋅=⋅ ，故C 正确；1cos1OQ OP ⋅= ，23cos 2cos3sin 2sin 3cos5cos1OP OP ⋅=-=≠ ，故D 错误．故选AC ．10．【答案】ABD【解析】对于A ：1a =，()32f x x x =++，()2310f x x '=+>，()f x 单调递增，无极值点，故A 正确；对于B ：因为()()4f x f x +-=，所以函数()f x 的图象关于点()0,2中心对称，故B 正确；对于C ：设切点()()1,x f x ，则切线方程为()()()111y f x f x x x '-=-，因为过点()0,2，所以()()()112f x f x x '-=-，331111223x ax x ax ---=--，解得10x =，即只有一个切点，即只有一条切线，故C 错误；对于D ：()23f x x a '=+，当3a <-时，()0f x '=，x =，当,x ⎛∈-∞ ⎝时，()0f x '>，()f x 单调递增，当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '<，()f x 单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 有极大值为20f ⎛=> ⎝，所以若函数()f x 有3个零点，()f x 有极小值为20f =+<，得到3a <-，故D 正确．故选ABD ．11．【答案】AC【解析】∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]1sin 0,1x ∈，∴()[]12,4f x ∈，∵对任意的1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()123f x f x a =+成立，∴()2min 23f x α+≤，()2max 43f x α+≥，∴()2sin 2f x x =+，∴()2min 2sin 3x α+≤-，()2max 1sin 3x α+≥-，sin y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．在3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．当3π4α=时，23π5π,44x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2max 3π1sin sin 043x α+=>>-，()2min5πsin sin 4x α+==23<-，故A 正确，当4π7α=时，24π15π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2max 15π7π12sin sin sin 14623x α+=>=->-，故B 错误，当6π7α=时，26π19π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2max 6π1sin sin 073x α+=>>-，()2min 19πsin sin 14x α+=<4π2sin33=<-，故C 正确，当8π7α=时，28π23π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2max 8π9π1sin sin sin 783x α+=<=<-．故错误．故选AC ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．【答案】π6【解析】由题知(OA = ，()0,3OB = ，cos ,OA OB OA OB OA OB⋅==⋅π6AOB ∠=．故本题答案为π6．13．【答案】(],2-∞【解析】当0m ≤时，函数2x y m m =-+的图象是由2xy =向上平移m 个单位后，再向下平移m 个单位，函数图象还是2xy =的图象，满足题意，当02m <≤时，函数2x y m m =-+图象是由2xy =向下平移m 个单位后，再把x 轴下方的图象对称到上方，再向上平移m 个单位，根据图象可知02m <≤满足题意，2m >时不合题意．故本题答案为(],2-∞．14．3【解析】不妨设01a b c ≤≤≤≤，则M =，≤=∴33M =+≤+≤，当且仅当b a c b -=-，0a =，1c =，即0a =，12b =，1c =时，等号成立．3+．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．【解析】（1）因为cos sin 0a C C b c +--=，由正弦定理得sin cos sin sin sin 0A C A C B C +--=．即：()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C +-+-=，()sin cos sin sin 0sin 0A C A C C C --=>cos 1A A -=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0πA <<，所以ππ66A -=，得π3A =；（2）选条件②：7a =．在ABC △中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即222π7816cos3c c =+-⋅．整理得28150c c -+=，解得3c =或5c =．当3c =时，ABC △的面积为：1sin 2ABC S bc A ==△，当c=5时，ABC △的面积为：1sin 2ABC S bc A ==△，选条件③：AC，设AC 边中点为M ，连接BM，则BM =，4AM =，在ABM △中，由余弦定理得2222cos BM AB AM AB AM A =+-⋅⋅，即2π21168cos3AB AB =+-⋅．整理得2450AB AB --=，解得5AB =或1AB =-（舍）．所以ABC △的面积为1sin 2ABC S AB AC A =⋅⋅=△．16．【解析】（1）()2.32.4k y a x x ⎛⎫=+-⎪-⎝⎭，[]2.55,2.75x ∈；（2）由题意可知要同时满足以下条件：()()[]0.2 2.3 1.2 2.8 2.32.42.55,2.75a a x a x x ⎧⎛⎫+-≥-⎪⎪-⎝⎭⎨⎪∈⎩，∴2.6 2.75x ≤≤，即单价最低定为2.6元/3m ．17．【解析】（1）()1122x x f x a =⨯+，因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，所以11112222x x x x a a⎛⎫⨯+=-⨯+ ⎪⎝⎭，所以111202x xa ⎛⎫⎛⎫++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以110a +=，1a =-；（2）因为()122x x f x =-，[]1,2x ∈，所以22112222x x xx m ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，所以122x x m ≥+，[]1,2x ∈，令2xt =，[]1,2x ∈，[]2,4t ∈，由于1y t t=+在[]2,4单调递增，所以117444m ≥+=．18．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()1ln f x x '=-，当()0f x '=时，e x =，当()0,e x ∈时，()0f x '>，当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，故()f x 在区间()0,e 内为增函数，在区间()e,+∞为减函数；（2）()2e 0f =，()22e 1ln e 1f '=-=-，所以()()22e ,ef 处切线方程为：()()201e y x -=--，即2e 0x y +-=；（3）先证122e x x +>，由（1）可知：2120e e x x <<<<，要证12212e 2e x x x x +>⇔>-，也就是要证：()()()()21112e 2e f x f x f x f x <-⇔<-，令()()()2e g x f x f x =--，()0,e x ∈，则()()()2ln 2e 2ln e 2e e 0g x x x '=--≥--=，所以()g x 在区间()0,e 内单调递增，()()e 0g x g <=，即122e x x +>，再证212e x x +<，由（2）可知曲线()f x 在点()2e ,0处的切线方程为()2e x x ϕ=-，令()()()()()222ln e 3ln e m x f x x x x x x x x ϕ=-=---+=--，()2ln m x x '=-，∴()m x 在e x =处取得极大值为0，故当()0,e x ∈时，()()f x x ϕ<，()()12m f x f x ==，则()()2222e m f x x x ϕ=<=-，即22e m x +<，又10e x <<，()()111111112ln 1ln m f x x x x x x x x ==-=+->，∴2122e x x m x +<+<．19．【解析】（1）将20分成正整数1,,n x x ⋅⋅⋅之和，即120n x x =+⋅⋅⋅+，假定乘积1n p x x =⋅⋅⋅已经最大．若11x =，则将1x 与2x 合并为一个数1221x x x +=+，其和不变，乘积由122x x x =增加到21x +，说明原来的p 不是最大，不满足假设，故2i x ≥，同理()21,2,,i x i n ≥=⋅⋅⋅．将每个大于2的22i i x x =+-拆成2，2i x -之和，和不变，乘积()224i i i x x x -≤⇒≤．故所有的i x 只能取2，3，4之一，而42222=⨯=+，所以将i x 取2和3即可．如果2的个数≥3，将3个2换成两个3，这时和不变，乘积则由8变成9，故在p 中2的个数不超过2个．那只能是202333333=++++++，最大乘积为6321458⨯=；（2）①证明：先证：1ex x -≥．令()1e x f x x -=-，则()1e 1x f x -'=-，()10f '=，且()()10f x f ≥=，1-≥1,2,,i n =⋅⋅⋅，1111--≥=，1n ≥0n ≥，∴12n a a a n++⋅⋅⋅+≥②让n 固定，设n 个正实数1,,n x x ⋅⋅⋅之和为20，120n x x n n +⋅⋅⋅+≤=，1220nn p x x x n ⎛⎫=⋅⋅⋅≤ ⎪⎝⎭，要是20nn ⎛⎫ ⎪⎝⎭最大，20ln nn ⎛⎫⎪⎝⎭最大即可，令()()20ln ln 20ln tg t t t t ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，其中*t ∈N ，()20ln ln e g t t '=-，∴7t ≤时，()g t 单调递增，8t ≥时，()g t 单调递减，而()()()()87787ln 207ln 78ln 208ln 8ln 8ln 7200g g -=---=-⨯>，所以这些正实数乘积的最大值为7207⎛⎫⎪⎝⎭．。

【关键字】试卷2009—2010学年度合肥168中学高复年级第一次月考数学试题一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.高.1．全集U ={1,2,3,4,5,6}，A = {1,2,3}，B = {1,3,5}，则（）A．{1,2,4,5,6} B．{1,2,3,5} C．{4,6} D．{6}2.考设p、q是两个命题，（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.已知集合，，则（）A. B. C. D.4. 给出下列4个命题：①若“或”是假命题，则“且”是真命题；② ；③若实系数关于的二次不等式：的解集为,则必有且；④ . 其中真命题的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个5．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，称这些函数为“孪生函数”，则函数的解析式为，值域为的“孪生函数”共有（）A．8个B．9个C．10 个D．无数个6. 若函数的定义域是，则函数的定义域是( )A．B．C．D．7.（文科做）已知函数：，则的值为（）A. －2B. －. 1 D. 2(理科做) 定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ,则f（2009）的值为( )A. －1B. . 1 D. 28.（文科做）函数的值域是（）A．B．C．D．（理科做）设，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．9. （文科做）定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则（）A． B.C. D.(理科做) 定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则当时,有(（）A. B.C. D.10. (文科做)已知是上的减函数，那么的取值范围是( )A. B. C. D.（理科做）已知函数若则实数的取值范围是( )A. B. C. D.二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中的横线上.11．对于命题p ：，使得x 2+ x +1 < 0．则：________________________.w.12.（文科做）条件：，条件：，那么是的 条件.(理科做)条件，条件，则是的 条件.13. 函数的最大值为 .14. 已知函数，若，则实数的取值范围是 15. 具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①；②；③中满足“倒负”变换的函数是 （请把正确命题的序号都填上）.三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）函数是定义域为的奇函数，当时，，求函数的解析式.17．（本小题满分12分）设函数R x x f y ∈=),(．（1）若函数)(x f y =为偶函数并且图像关于直线a a x (=)0≠对称，求证：函数)(x f y =为周期函数；（2）若函数)(x f y =为奇函数并且图像关于直线a a x (=)0≠对称，求证：函数)(x f y = 是以a 4为周期的函数．18. （本小题满分12分）设命题:p 函数3()()2x f x a =-是R 上的减函数，命题:q 函数2()43f x x x =-+ 在[]0,a 的值域为[]1,3-．若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求a 的取值范围．19. （本小题满分12分） 根据统计资料，某工艺品厂每日产品废品率p 与日产量x (件)之间近似地满足关系式2(,18)10p x N x x =∈≤≤-且(日产品废品率=()()日废品件数日产量件数).已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元.该车间的日利润T 按照日正品赢利额减去日废品亏损额计算.(1)将该车间日利润T (千元)表示为日产量x (件)的函数；(2)当该车间的日产量为多少件时，日利润额最大？最大日利润额是几千元？.20. （本小题满分13分）设)(x f 是定义在R 上的函数，对m 、R n ∈恒有)()()(n f m f n m f ⋅=+，且当0>x 时，1)(0<<x f .（1）求证：1)0(=f ； （2）证明：R x ∈时恒有0)(>x f ；（3）求证：)(x f 在R 上是减函数； （4）若1)2()(2>-⋅x x f x f ，求x 的范围.21．（本小题满分14分）【文科做（1）(2)两问，理科3问全做】已知函数12||)(2-+-=a x ax x f （a 为实常数）． （1）若1=a ，作函数)(x f 的图像；（2）设)(x f 在区间]2,1[上的最小值为)(a g ，求)(a g 的表达式；（3）设x x f x h )()(=，若函数)(x h 在区间]2,1[上是增函数，求实数a 的取值范围．合肥一六八中学复习班第一次月考数学考试答案 (09.9)一选择题：1C 2A 3B 4B 5B 6B 7文C 理C 8文A 理D 9文A 理C 10文C 理C二.填空题11.略12（文科）：充分不必要条件（理科）充分非必要条件 13.12 14.8(,8)9-15. ①③三．解答题16.：13132 1 (0)() 0 (0)2 1 (0)x x x x f x x x x -⎧-+>⎪⎪==⎨⎪⎪+-<⎩17.答案：（1）由图像关于a x =对称得)()2(x f x a f =-，即)()2(x f x a f -=+，2分因为)(x f 为偶函数，所以)()(x f x f =-，从而)()2(x f x a f =+，所以)(x f 是以a 2为周期的函数． 2分（2）若)(x f 为奇函数，则图像关于原点对称，)()(x f x f -=-， 2分由条件得)()()2(),()2(x f x f x a f x f x a f -=-=+∴=-，所以)()4(x f x a f =+，)(x f 是以a 4为周期的函数． 2分18.解：由3012a <-<得3522a << 2()(2)1f x x =--，在[0,]a 上的值域为[1,3]-得24a ≤≤p 且q 为假，p 或q 为真, ∴p 、q 一真一假．若p 真q 假得， 322a << , 若p 假q 真得，542a ≤≤．综上所得，a 的取值范围是322a <<或542a ≤≤．19.答案：解：(1)21422(1)1(,18)10x x T x p x p x N x x -=--=∈≤≤-；(2)令10,x t -=则29,,t t N ≤≤∈302[13()]T t t =-+，因为30t t +≥，当且仅当39,t t =即t =时取等号.而t N ∈， 所以当56t t ==或时，30t t +有最小值11， 从而T 有最大值4，此时，45x =或即车间的生产量定为4件(或5件)时，该车间可获得最大利润4千元 20(4)30x x ><或21.解：（1）当1=a 时，1||)(2+-=x x x f ⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<++=0,10,122x x x x x x ．作图（如右所示）（2）当]2,1[∈x 时，12)(2-+-=a x ax x f ． 若0=a ，则1)(--=x x f 在区间]2,1[上是减函数，若0≠a ，则141221)(2--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a a x a x f ，)(x f 图像的对称轴是直线a x 21=． 当0<a 时，)(x f 在区间]2,1[上是减函数，36)2()(-==a f a g ． 当1210<<a ，即21>a 时，)(x f 在区间]2,1[上是增函数， 23)1()(-==a f a g ． 当2211≤≤a ，即2141≤≤a 时，141221)(--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a f a g当221>a ，即410<<a 时，)(x f 在区间]2,1[上是减函数， 36)2()(-==a f a g ．……（9分） 综上可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<-=2123214114124136)(a ，a a ，a a a ，a a g 当当当 .（3）当]2,1[∈x 时，112)(--+=x a ax x h ，在区间]2,1[上任取1x ，2x ，且21x x <， 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=-211211221212)(112112)()(x x a a x x x a ax x a ax x h x h 212112)12()(x x a x ax x x --⋅-=．因为)(x h 在区间]2,1[上是增函数，所以0)()(12>-x h x h ，因为012>-x x ，021>x x ，所以0)12(21>--a x ax ，即1221->a x ax ， 当0=a 时，上面的不等式变为10->，即0=a 时结论成立．当0>a 时，a a x x 1221->，由4121<<x x 得，112≤-a a ，解得10≤<a ，当0<a 时，a a x x 1221-<，由4121<<x x 得，412≥-a a ，解得021<≤-a ， 所以，实数a 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

文科数学 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，“复数为纯虚数”是“”的（） （A）充分不必要条件（B）必要不充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 2、若，，，则( ) （A）（B）（C）（D） 3、已知与之间的几组数据如下表： 3 4 5 6 2.5 3 4 4.5 假设根据上表数据所得线性回归方程为，根据中间两组数据（4，3）和（5，4）求得的直线方程为，则，的大小为（）A、，B、，C、，D、， 4、在中，若，则的形状是A.锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D不能确定左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的轨迹方程是（）A、＝8B、＝－8C、＝4D、＝－4 6、设数列是由正数组成的等比数列，为其前项和，已知，则( ) （A）（B） （C）（D） 7、已知实数满足，如果目标函数的最小值为-2，则实数的值为( ) （A）8 （B） 4 （C）2 （D）0 8、阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正数后，输出的，那么的值为( ) （A）6 （B）5 （C）4 （D）3 9、偶函数f(x)的定义域为R，若f(x＋2)为奇函数，且f(1)＝1则f(9)＋f(10)＝( ) （A）－2 （B）－1 （C）0 （D）1，都有，则称f（x）为“Z函数”，给出下列函数， ①②③④ 其中是“Z函数”的个数为A、1B、2C、3D、4 二、填空题（每题5分，满分2分，将答案填在答题纸上） ，都有”的否定是。

12、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为已知实数,满足，则的最大值为 . ，对任意且不等式恒成立，则实数的取值范围是 15、下列说法中 ①若，则点O是ABC的重心 ②若点O满足：，则点O是ABC的垂心。

③若动点P满足，点P的轨迹一定过ABC的内心。

④若动点P满足，点P的轨迹一定过ABC的重心。

⑤若动点P满足，点P的轨迹一定过ABC的外心。

其中正确的是 三、解答题（本大题共6小题，共7分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16本小题满分12分如图，在ABC中， D为AB边上一点，DA=DC，已知，BC=1．（）若ABC 是锐角三角形，，求角A的大小；（）若BCD的面积为，求边AB的长．本小题满分12分0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.879 10.828 （2） 18、（本小题满分12分为常数，在处的切线方程为． (Ⅰ)求的解析式并写出定义域； (Ⅱ)若?，使得对?上恒有成立，求实数的取值范围； 20、（本小题满分13分） 数列的首项，前n项和与之间满足. （1）求的值； （2）求数列的通项公式； （3）设，若存在正数，使对一切都成立，求的最大值. 21、（本小题满分13分） 在平面直角坐标系中，已知点,，椭圆的离心率为，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设是椭圆上关于轴对称的不同两点，直线与相交于点.求证：点在椭圆上.数学（文科）参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C DB B ACD C 二.填空题 11、对，都有 12、32 13、 2 14、； 15、①②③④⑤ 三.解答题 16、解：（Ⅰ）在△BCD中，B=，BC=1，DC=， 由正弦定理得到：， 解得sin∠BDC==， 则∠BDC=或．△ABC是锐角三角形，可得∠BDC=又由DA=DC，则∠A=． （Ⅱ）由于B=，BC=1，△BCD面积为， 则?BC?BD?sin=，解得BD=． 再由余弦定理得到CD2=BC2+BD2﹣2BC?BD?cos=1+﹣2××=， 故CD=， 又由AB=AD+BD=CD+BD=+， 故边AB的长为：． 17、（1），故有85%的把握 （2）基本事件45，满足要求21个，故 18. 解：（Ⅰ）证明：因为三棱柱的侧面是正方形， 所以,. 所以底面． 因为底面，所以． 由已知可得，底面为正三角形． 因为是中点，所以． 因为，所以平面． ……… 5分 （Ⅱ）证明：如图，连接交于点，连接．显然点为的中点． 因为是中点，所以． 又因为平面，平面， 直线∥平面 ……… 10分 （Ⅲ）在内的平面区域（包括边界）存在一点，使． 此时点是在线段上. 证明如下： 过C作交线段于， 由（Ⅰ）可知平面，而平面， 所以． 又，，所以平面． 又平面，所以． ……… 14分 19、（Ⅰ）由可得，由条件可得，把代入可得，，，，， ， ……………………5分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知在上单调递减，在上的最小值为，故只需，即对任意的上恒成立，令，易求得在单调递减，上单调递增，而，， ，即的取值范围为 ……………………13分 20、解：（1）∵，，∴ 解得 ………………2分 （2）证明：∵，∴， ∴，∴， ………………6分 ∴，数列为首项，以2为公差的等差数列. ∴，∴. ………………8分 （3）由（2）知，又， ∴在上递增，要使恒成立，只需 ∵，∴，∴.………………14分 13 E M B1 A1 D C B A C1 O C1 B1 A1 D C B A C1 B1 A1 D C B A。

2022-2023学年安徽省合肥市高三第一次教学质量检测数学试题（一模）1. 已知复数z满足，则复数z的虚部为.( )A. B. C. D.2. 设集合，，则( )A. B.C. D.3. 核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据.经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响.已知国外某地新冠病毒感染率为，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为，若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为( )A. B. C. D.4. 将函数图象上各点横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位得到曲线若曲线C的图象关于y轴对称，则的值为( )A. B. C. D.5. 已知，，则p是q的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知线段PQ的中点为等边三角形ABC的顶点A，且，当PQ绕点A转动时，的取值范围是( )A. B. C. D.7. 抛物线的焦点为F，曲线交抛物线E于A，B两点，则的面积为( )A. 4B. 6C.D. 88. 已知正方体的棱长为4，M，N分别是侧面和侧面的中心，过点M的平面与直线ND垂直，平面截正方体所得的截面记为s，则s的面积为( )A. B. C. D.9. 已知，函数的图象可能是.( )A. B.C. D.10. 已知数列满足若，都有成立，则整数的值可能是( )A. B. C. 0 D. 111. 已知圆锥是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点的母线长为，高为若P，Q 为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是( )A. 三角形SPQ面积的最大值为B. 三棱锥体积的最大值C. 四面体SOPQ外接球表面积的最小值为D. 直线SP与平面SOQ所成角的余弦值的最小值为12. 已知函数是偶函数，且当时，，则下列说法正确的是( )A. 是奇函数B. 在区间上有且只有一个零点C. 在上单调递增D. 区间上有且只有一个极值点13. 函数在点处的切线与直线平行，则实数__________.14. 二项式展开式中，的系数是__________.15. 已知AB为圆的一条弦，M为线段AB的中点.若为坐标原点，则实数m的取值范围是__________.16.已知双曲线的左右焦点分别为，A为其右顶点，P为双曲线右支上一点，直线与y轴交于Q点.若，则双曲线E的离心率的取值范围为__________.17.已知数列为公差不为零的等差数列，其前n项和为，，求数列的通项公式求证：18. 如图，正方体的棱长为4，点M为棱的中点，P，Q分别为棱BB，上的点，且，PQ交于点求证：平面求多面体BDMPQ的体积.19. 已知的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且若，求A的大小;当取得最大值时，试判断的形状.20. 已知曲线，对曲线C上的任意点做压缩变换，得到点求点所在的曲线E的方程;设过点的直线l交曲线E于A，B两点，试判断以AB为直径的圆与直线的位置关系，并写出分析过程.21. 研究表明，温度的突然变化会引起机体产生呼吸道上皮组织的生理不良反应，从而导致呼吸系统疾病发生或恶化.某中学数学建模社团成员欲研究昼夜温差大小与该校高三学生患感冒人数多少之间的关系，他们记录了某周连续六天的温差，并到校医务室查阅了这六天中每天高三学生新增患感冒而就诊的人数，得到资料如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天昼夜温差47891412新增就诊人数位参考数据：，已知第一天新增患感冒而就诊的学生中有7位女生，从第一天新增的患感冒而就诊的学生中随机抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率为，求的值;已知两个变量x与y之间的样本相关系数，请用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程，据此估计昼夜温差为时，该校新增患感冒的学生数结果保留整数参考公式：，22. 已知函数讨论函数的单调性;若关于x的方程有两个实数解，求a的最大整数值.答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查复数的除法运算，复数的概念，属于较易题．由题意，利用复数运算法则得到z，根据复数的概念，即可得结果．【解答】解：由题意知，的虚部为故选2.【答案】B【解析】【分析】本题考查补集运算，属于较易题.，由补集运算即可求解.【解答】解：，则故选3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查条件概率的概念与计算，属于较易题.结合条件概率计算公式求解即可.【解答】解：设国外某地新冠病毒感染为事件A，则，标本检出阳性为事件B，则，因为，所以该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为故选4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查正弦型函数的图象变换，以及正弦型函数的奇偶性，属于较易题.根据题意求出平移后曲线C的解析式，再利用曲线C关于y轴对称解答即可.【解答】解：由题意得，曲线C的解析式为，曲线C的图象关于y轴对称，，，解得，，又，故选5.【答案】C【解析】【分析】本题考查充分、必要、充要条件的判断，以及利用对数函数的单调性解不等式，属于较易题.设，判断函数的奇偶性和单调性，然后根据定义法判断p与q的关系可得.【解答】解：设，定义域为，则，函数是奇函数，由复合函数的单调性知在上单调递增，由奇函数的性质知函数在R上是增函数，①若，有，从而，即，，故p是q的充分条件；②若，即，，即，故p是q的必要条件;综上所述，p是q的充要条件.故选6.【答案】D【解析】【分析】本题考查向量的数量积的概念及其运算，以及向量的加减与数乘混合运算，属于中档题.利用向量的线性运算用向量表示，，再通过向量数量积的运算即可确定的取值范围.【解答】解：由题意得，，，，，故选7.【答案】D【解析】【分析】本题考查直线与抛物线位置关系及应用，抛物线中的面积问题，属于中档题．根据题意可知，曲线l当时，；当时，，二者分别与抛物线联立，可求出点A、点B的坐标，则及直线AB的方程可求，继而可求点F到直线AB的距离，则可求的面积.【解答】解：由题意可知，抛物线E：的焦点F的坐标为，曲线，当时，，当时，，当时，与抛物线方程联立并消y，化简得，解得或舍去，则A点横坐标为，点纵坐标为，点坐标为，同理可得，当时，与抛物线方程联立并消y，可求得B点横坐标为，则B点纵坐标为，点坐标为，则，可得直线AB的方程为，即，点到直线AB的距离为，，的面积故选8.【答案】C【解析】【分析】本题考查空间几何体的截面问题，以及线面垂直的性质，属于较难题.取AC的中点O，则O是正方形ABCD的中心，连接MO，取的中点G，连接NG，DG，过M作，交DC于H，利用面面垂直的性质，线面垂直的判定和性质得平面MOH就是平面，在平面内，以D为坐标原点，DC，所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，利用向量的数量积与向量的垂直关系得，再利用面面平行的性质得和，最后利用平面几何知识，计算得结论.【解答】解：如图取AC的中点O，则O是正方形ABCD的中心，连接MO，因为M是侧面的中心，易得，又因为N是侧面的中心，所以N是的中点，而在正方体中，，所以，所以，取的中点G，连接NG，DG，在平面内，过M作，交DC于H，交于E，交的延长线于S，因为N是的中点，G是的中点，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以，因为，DG、平面DNG，所以平面DNG，因为平面DNG，所以，因为，MO、平面MOH，所以平面MOH，即平面MOH就是平面，延长HO，分别交AB，DA的延长线于Q，T，连接ST，分别交，于P，F，因此五边形QHEFP是平面截正方体所得的截面，因为正方体的棱长为4，所以正方形的边长为4，在平面内，以D为坐标原点，DC，所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系如下图：则，，，设，则，，因为，所以，解得，即，而，因此，所以，即，解得，在图1中，因为四边形ABCD也是边长为4的正方形，O为AC的中点，所以，因此，因为平面平面，平面分别交平面ABCD，平面于FE，TH，所以，且，同理可得，且，在中，因为，，所以，因此，所以五边形QHEFP面积故选9.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查函数图象的识别，属于较易题.分、和三种情况由排除法可得结论.【解答】解：当时，，此时函数为一条射线，且函数在上为增函数，B选项符合；当时，函数在上为增函数，在上为减函数，所以函数在上为增函数，此时函数在上只有一个零点，A选项符合；当时，时，函数的增长速度远小于函数的增长速度，所以时，函数一定为减函数，选项C符合，D不符合.故选10.【答案】BC【解析】【分析】本题考查利用函数的单调性解不等式，数列的单调性，属于中档题．根据题意求出，问题转化为，恒成立，对n分奇数、偶数讨论即得结论．【解答】解：，，两式相减得，，都有成立，，恒成立，即，恒成立，当时，恒成立，即恒成立，，，当时，恒成立，即，，，综上所述，，整数的值可能是0或故选11.【答案】BD【解析】【分析】本题考查棱锥的体积，球的切、接问题，以及直线与平面所成的角，属于中档题.由圆锥SO的结构特征，求出底面圆半径r，再对照选项，逐一判断即可.【解答】解：由题意，底面圆O半径，对于选项A，如图，当P，Q位于直径端点时，，从而，即，故存在PQ使得，此时三角形PSQ面积最大，，故A错误;对于选项B，因为，当时，三棱锥体积的最大，，故B正确;对于选项C，当P，Q趋于重合时，的外接圆半径趋近于1，故四面体SOPQ外接球的半径R趋近于，此时四面体SOPQ外接球表面积S趋近于，故C错误;对于选项D，设直线SP与平面SOQ所成角的为，设d为P到平面SOQ的距离，故，其中当时，d取最大值2，此时取最大值，此时取最小值，故D正确.故选12.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的零点，利用导数判断已知函数的单调性，利用导数求已知函数的极值或极值点，以及判断或证明函数的奇偶性，是较难题.由已知根据对称性判断奇偶性可判断利用导数结合复合函数的性质判断函数在上单调性、极值、零点即可判断CD，再结合函数的对称性、周期性即可判断【解答】解：函数为偶函数，函数的图象关于对称，则，又，，函数是奇函数，故A正确;，，函数是周期为4的周期函数，当时，，，令，则，，，当时，，则在上单调递增，当时，，则在上单调递减，又在上单调递减，故根据复合函数单调性可得在上单调递增，在上单调递减，又，，，故在上存在唯一的使得，故当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，故在上有且只有一个极值点，故D正确;又，故，即，故在上单调递增，故C正确;，，，故存在唯一的，使得，即在上有唯一零点，由关于对称，故在上有且只有2个零点，又周期为4，故在上有且只有2个零点，故B错误.故选13.【答案】5【解析】【分析】本题考查已知斜率求参数，导数的几何意义，两条直线平行与斜率的关系，属于较易题.求出导函数，运用切线与直线平行，即可求a的值．【解答】解：，，曲线在处的切线与直线平行，故其斜率相等且为，，解得故答案为：14.【答案】15【解析】【分析】本题考查二项式指定项的系数与二项式系数，属于较易题.利用乘法分配律和二项式展开式的通项公式，求得的系数即可.【解答】解：展开式的通项为，当时，解得，当时，解得，不符合题意，当时，解得，在的展开式中，含项的系数是由的含x 项的系数加上含项的系数，展开式中含项的系数是故答案为：15.【答案】【解析】【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系的判断及求参，属于较难题.由题意可得，进而可得存在AB为圆C的一条弦，使得，可得，求解即可.【解答】解：圆的圆心坐标为，半径为，为线段AB的中点，，又，，，存在AB为圆C的一条弦，使得，，则，此时，当OA、OB与圆相切时，有最大值，则，解得，则实数m的取值范围是故答案为：16.【答案】【解析】【分析】本题考查求双曲线的离心率，属于较难题.设，，根据，可得，根据P、Q、三点共线可得，由斜率公式列式可求，再根据题意可得，解不等式即可求解.【解答】解：如图，设，，则，，，，，即，①又、Q、三点共线，，即，②由①②可得，为双曲线右支上一点，，，，，解得，即双曲线E的离心率的取值范围为故答案为17.【答案】解：设等差数列的公差为d，，，，，，解得或舍去，，；证明：，，故【解析】本题考查裂项相消法求和，以及等差数列的通项公式，属于中档题.求出首项和公差，由等差数列的通项公式即可求解;利用放缩法和裂项相消法求和即可求证.18.【答案】解：证明：，正方体的棱长为4，，又，，，≌，，即点N为线段的中点，取BC的中点为E，连接AE、NE，，且，为棱的中点，，，且，四边形AMNE为平行四边形，，平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD；连接DP，设多面体BDMPQ的体积为V，【解析】本题考查线面平行的判定，简单组合体的表面积与体积，属于中档题.取BC的中点为E，连接AE、NE，通过求证，由线面平行的判定定理即可求证;利用即可求解.19.【答案】解：，即，，，即，当时，，又，解得；由知，，，，当且仅当，即当，时，等号成立，的最大值为，又，的最大值为，此时，，为直角三角形.【解析】本题考查利用余弦定理解三角形，两角和与差的正切公式，以及由基本不等式求最值，属于中档题.利用正、余弦定理化简已知式子，得出，即可求出结果；由，利用基本不等式求出的最大值以及取得最大值时，角C的值，即可求出结果.20.【答案】解：由，得，代入，得，曲线E的方程为；当直线l的斜率存在时，设，由消去y，整理得，设，，则，以AB为直径的圆的圆心横坐标为，又，以AB为直径的圆的半径为，则圆心到直线的距离为，，即，以AB为直径的圆与直线相离，当直线l的斜率不存在时，易知以AB为直径的圆的半径为，圆的方程是，该圆与直线相离，综上所述，以AB为直径的圆与直线相离.【解析】本题考查直线与圆的位置关系的判断及求参，椭圆的弦长，以及椭圆的标准方程，属于较难题.由得，代入即可求解;当直线l的斜率存在时，设，联立椭圆方程，利用根与系数的关系和弦长公式求出，求出以AB为直径的圆的半径R和圆心到直线的距离d，比较后即可作出判断;当直线l的斜率不存在时，求出圆的方程，可判断出直线与圆的位置关系.21.【答案】解：由题意得，，，解得；，，，，，，又，解得，，，当时，，可以估计，昼夜温差为时，该校新增患感冒的学生数为33人.【解析】本题考查古典概型及其计算，回归直线方程，以及用回归直线方程对总体进行估计，属于较难题.利用，即求解即可;由题意求出和，可得回归直线方程，再令即可求预测值.22.【答案】解：，，，，①当，即时，恒成立，此时，在上单调递减；②当，即时，由，解得，由，解得，由，解得，或，此时，在和上单调递减，在上单调递增；③当，即时，由，解得或舍，由，解得，由，解得，此时，在上单调递增，在上单调递减，综上，当时，在上单调递减；当时，在和上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；令，则，，由知，当时，在上单调递减，在上至多有一个零点，不符合题意舍去，是整数，，当时，由知在上单调递增，在上单调递减，且当时，，当时，，若在上有两个零点，则有，，令，则，，则，在上单调递增，又，，存在唯一的，使得，当时，，此时，若，则，，令，则在上单调递增，又，，当时，，此时，，，当时，成立，的最大整数值为【解析】本题考查利用导数求函数的单调区间，以及利用导数研究函数的零点，属于较难题．求出原函数的导函数，，根据分类讨论，由导函数的符号可得原函数的单调性即可；令，通过导数研究函数单调性及零点，即可求得结果.。

2014-2015学年某某省某某外国语学校高三（上）周练数学试卷（文科）（十）一.选择题1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．下列说法正确的是（）A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题D．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”3．设S n是等差数列a n的前n项和，若，则=（）A．B．C．D．4．若△ABC为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是（）A．log cosC＞0 B．log cosC＞0C．log sinC＞0 D．log sinC＞05．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．6．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．7．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算规则如图的程序框图所示，则（3⊗2）⊗4的值是（）A．0 B．C．D．98．设实数x，y满足约束条件，则u=的取值X围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]9．若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，则的取值X围为（）A．（4，+∞）B．（2+2，+∞）C．[4，+∞）D．[2+2，+∞）10．（5分）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在y轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=|x+a|（a∈R）在[﹣1，1]上的最大值为M（a），则函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它到渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若=2，则该双曲线离心率为（）A．B．C．D．313．已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足||=||，则的最小值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣114．设函数y=f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．如果函数f（x）=为闭函数，则k的取值X围是（）A．（﹣1，﹣] B．[，1﹚C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）二.填空题15．（5分）（2014某某二模）已知||=2，||=2，||=2，且++=，则++=．16．设，若当且仅当x=3，y=1时，z取得最大值，则k的取值X围为．17．（5分）（2014某某一模）已知点P是椭圆=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且=0，则|的取值X围是．18．对于定义在区间D上的函数f（X），若存在闭区间[a，b]⊊D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平顶型”函数．给出下列说法：①“平顶型”函数在定义域内有最大值；②函数f（x）=x﹣|x﹣2|为R上的“平顶型”函数；③函数f（x）=sinx﹣|sinx|为R上的“平顶型”函数；④当t≤时，函数，是区间[0，+∞）上的“平顶型”函数．其中正确的是．（填上你认为正确结论的序号）三.解答题19．（12分）（2014正定县校级三模）已知△ABC是半径为R的圆内接三角形，且2R（sin2A ﹣sin2C）=（a﹣b）sinB．（1）求角C；（2）试求△ABC面积的最大值．20．（12分）（2014某某二模）某公司研制出一种新型药品，为测试该药品的有效性，公司选定2000个药品样本分成三组，测试结果如表：分组A组B组C组药品有效670 a b药品无效80 50 c已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组药品有效的概率是0.35．（1）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取样本多少个？（2）已知b≥425，c≥68，求该药品通过测试的概率（说明：若药品有效的概率不小于90%，则认为测试通过）．21．（12分）（2015某某模拟）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V的大小；（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQ⊥BQ并说明理由．22．（12分）（2014春雁峰区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知中心在坐标原点且关于坐标轴对称的椭圆C1的焦点在抛物线C2：y2=﹣4x的准线上，且椭圆C1的离心率为．（1）求椭圆C1的方程，（2）若直线l与椭圆C1相切于第一象限内，且直线l与两坐标轴分别相交与A，B两点，试探究当三角形AOB的面积最小值时，抛物线C2上是否存在点到直线l的距离为．23．（12分）（2014某某校级模拟）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a为常数）．（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）当0＜a≤2时，试判断f（x）的单调性；（3）若对任意的a∈（1，2），x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，某某数m的取值X围．2014-2015学年某某省某某外国语学校高三（上）周练数学试卷（文科）（十）参考答案与试题解析一.选择题1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数==﹣i﹣1对应的点（﹣1，﹣1）位于第三象限，故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．下列说法正确的是（）A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题D．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”【分析】利用充要条件的定义，可判断A，B，判断原命题的真假，进而根据命题的否定与原命题真假性相反，可判断C，根据存在性（特称）命题的否定方法，可判断D．【解答】解：若“＜1”成立，则“a＞1”或“a＜0”，故“＜1”是“a＞1”的不充分条件，若“a＞1”成立，则“＜1”成立，故“＜1”是“a＞1”的必要条件，综上所述，“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件，故A正确；若“p∧q为真命题”，则“p，q均为真命题”，则“p∨q为真命题”成立，若“p∨q为真命题”则“p，q存在至少一个真命题”，则“p∧q为真命题”不一定成立，综上所述，“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B错误；命题p：“∀x∈R，sinx+cosx=sin（x+）≤”为真命题，则￢p是假命题，故C 错误；命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，故D错误；故选：A．【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了充要条件，命题的否定等知识点，是简单逻辑的简单综合应用，难度中档．3．设S n是等差数列a n的前n项和，若，则=（）A．B．C．D．【分析】由题意可得 S3、S6﹣S3、S9﹣S6、S12﹣S9也成等差数列，由此可得 S6=S9+S3①，S12=3S9﹣3S6+S3②，再由可得 S12=S6③，利用①、②、③化简可得的值．【解答】解：∵S n是等差数列a n的前n项和，∴S3、S6﹣S3、S9﹣S6、S12﹣S9也成等差数列，∴S6﹣2S3=S9﹣2S6+S3，∴S6=S9+S3①．同理可得，S12﹣2S9+S6=S9﹣2S6+S3，即 S12=3S9﹣3S6+S3②．而由可得 S12=S6③．由①、②、③化简可得S3=S9，∴=，故选：C．【点评】本题主要考查等差数列的性质的应用，属于中档题．4．若△ABC为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是（）A．log cosC＞0 B．log cosC＞0C．log sinC＞0 D．log sinC＞0【分析】由锐角三角形ABC，可得1＞cosC＞0，0＜A＜，0＜B＜，，利用正弦函数的单调性可得sinB＞sin（﹣A）=cosA＞0，再利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：由锐角三角形ABC，可得1＞cosC＞0，0＜A＜，0＜B＜，，∴0＜＜B＜，∴sinB＞sin（﹣A）=cosA＞0，∴1＞＞0，∴＞0．故选：B．【点评】本题考查了锐角三角形的性质、锐角三角函数函数的单调性、对数函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．5．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【分析】先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令ωx+φ=即可得到答案．【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．故选A．【点评】本小题综合考查三角函数的图象变换和性质．图象变换是考生很容易搞错的问题，值得重视．一般地，y=Asin（ωx+φ）的图象有无数条对称轴，它在这些对称轴上一定取得最大值或最小值．6．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．【分析】从三视图可以推知，几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，易求侧面积．【解答】解：几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面．且底面直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，四棱锥的高为1．四个侧面都是直角三角形，其中△PBC的高PB===故其侧面积是S=S△PAB+S△PBC+S△PCD+S△PAD==故选A【点评】本题考查三视图求面积、体积，考查空间想象能力，是中档题．7．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算规则如图的程序框图所示，则（3⊗2）⊗4的值是（）A．0 B．C．D．9【分析】由框图知，a⊗b的运算规则是若a≤b成立，则输出，否则输出，由此运算规则即可求出（3⊗2）⊗4的值【解答】解：由图a⊗b的运算规则是若a≤b成立，则输出，否则输出，故3⊗2==2，（3⊗2）⊗4=2⊗4==故选C．【点评】本题考查选择结构，解题的关键是由框图得出运算规则，由此运算规则求值，此类题型是框图这一部分的主要题型，也是这几年对框图这一部分考查的主要方式．8．设实数x，y满足约束条件，则u=的取值X围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合将目标函数进行转化，利用直线的斜率结合分式函数的单调性即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则对应的x＞0，y＞0，则u==，设k=，则u==，由图象可知当直线y=kx，经过点A（1，2）时，斜率k最大为k=2，经过点B（3，1）时，斜率k最小为k=，即．∴，，∴，即，即≤z≤，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．9．若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，则的取值X围为（）A．（4，+∞）B．（2+2，+∞）C．[4，+∞）D．[2+2，+∞）【分析】利用导数求解，由函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，可得f′（x）＞0恒成立，找出a，b，c的关系，再利用基本不等式求最值．【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c＞0）在R上是单调函数，∴f′（x）≥0在R上恒成立，即3ax2+2bx+c≥0恒成立，即△=4b2﹣12ac≤0 即b2≤3ac，∴==++2≥2+2≥4．故选C．【点评】考查利用导数即基本不等式的解决问题的能力，把问题转化为恒成立问题解决是本题的关键，应好好体会这种问题的转化思路．10．（5分）在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在y轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据椭圆的性质结合椭圆离心率，求出a，b满足的条件，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：∵在区间[1，5]和[2，4]分别取一个数，记为a，b，∴，若方程表示焦点在y轴上且离心率小于，则，由e=＜得c＜a，平方得c2＜a2，即a2﹣b2＜a2，即b2＞a2，则b＞a或b a（舍），即，作出不等式组对应的平面区域如图：则F（2，2），E（4，4），则梯形ADEF的面积S==4，矩形的面积S=4×2=8，则方程表示焦点在y轴上且离心率小于的椭圆的概率P=，故选：C．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据椭圆的性质求出a，b的条件，求出对应的面积，利用数形结合是解决本题的关键．11．已知函数f（x）=|x+a|（a∈R）在[﹣1，1]上的最大值为M（a），则函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】求出M（a）的解析式，根据函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点，即函数M（x）=与函数y=|x2﹣1|交点的横坐标，利用图象法解答．【解答】解：∵函数f（x）=|x+a|（a∈R）在[﹣1，1]上的最大值为M（a），∴M（a）=，函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|的零点，即函数M（x）=与函数y=|x2﹣1|交点的横坐标，由图可得：函数M（x）=与函数y=|x2﹣1|有三个交点，故函数g（x）=M（x）﹣|x2﹣1|有3个零点，故选：C【点评】本题考查函数图象的作法，熟练作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．12．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它到渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若=2，则该双曲线离心率为（）A．B．C．D．3【分析】先利用FM与渐近线垂直，写出直线FM的方程，从而求得点E的坐标，利用已知向量式，求得点M的坐标，最后由点M在渐近线上，代入得a、b、c间的等式，进而变换求出离心率【解答】解：设F（c，0），则c2=a2+b2∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x∴垂线FM的斜率为﹣∴直线FM的方程为y=﹣（x﹣c）令x=0，得点E的坐标（0，）设M（x，y），∵=2，∴（x﹣c，y）=2（﹣x，﹣y）∴x﹣c=﹣2x且y=﹣2y即x=，y=代入y=x得=，即2a2=b2，∴2a2=c2﹣a2，∴=3，∴该双曲线离心率为故选C【点评】本题考查了双曲线的几何性质，求双曲线离心率的方法，向量在解析几何中的应用13．已知P、M、N是单位圆上互不相同的三个点，且满足||=||，则的最小值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣1【分析】由题意可得，点P在MN的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点P （0，1），点M（x1，y1），则点N（﹣x1，y1），由得=，求出最小值．【解答】解：由题意可得，点P在MN的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点P（0，1），点M（x1，y1），则点N（﹣x1，y1），﹣1≤y1＜1∴=（x1，y1﹣1），=（﹣x1，y1﹣1），．∴===2﹣，∴当y1=时的最小值是故选：B．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，二次函数的性质，属于中档题．14．设函数y=f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．如果函数f（x）=为闭函数，则k的取值X围是（）A．（﹣1，﹣] B．[，1﹚C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）【分析】若函数f（x）=为闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，故a，b是方程x2﹣（2k+2）x+k2﹣1=0（x，x≥k）的两个不相等的实数根，由此能求出k的取值X围．【解答】解：若函数f（x）=为闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，∴a，b是方程x=的两个实数根，即a，b是方程x2﹣（2k+2）x+k2﹣1=0（x，x≥k）的两个不相等的实数根，当k时，，解得﹣1＜k≤﹣．当k＞﹣时，，无解．故k的取值X围是（﹣1，﹣]．故选A．【点评】本题考查函数的单调性及新定义型函数的理解，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．二.填空题15．（5分）（2014某某二模）已知||=2，||=2，||=2，且++=，则++= ﹣12 ．【分析】把++=两边平方，变形可得++=（），代入数据计算可得．【解答】解：∵++=，∴平方可得（++）2=2，∴+2（++）=0，∴++=（）=（4+8+12）=﹣12故答案为：﹣12【点评】本题考查平面向量数量积的运算，由++=两边平方是解决问题的关键，属中档题．16．设，若当且仅当x=3，y=1时，z取得最大值，则k的取值X围为（﹣，1）．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值X围．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图：由z=kx﹣y得y=kx﹣z，要使目标函数z=kx﹣y仅在x=3，y=1时取得最大值，即此时直线y=kx﹣z的截距最小，则阴影部分区域在直线y=kx﹣z的上方，目标函数处在直线x+2y﹣5=0和x﹣y﹣2=0之间，而直线x+2y﹣5=0和x﹣y﹣2=0的斜率分别为﹣，和1，即目标函数的斜率k，满足﹣＜k＜1，故答案为：（﹣，1）．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数z=kx﹣y仅在点A（3，1）处取得最大值，确定直线的位置是解决本题的关键．17．（5分）（2014某某一模）已知点P是椭圆=1（x≠0，y≠0）上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O是坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上一点，且=0，则|的取值X围是．【分析】延长PF2、F1M，交与N点，连接OM，利用等腰三角形的性质、三角形中位线定理和椭圆的定义，证出|OM|=||PF1|﹣|PF2||．再利用圆锥曲线的统一定义，化简得||PF1|﹣|PF2||=|x0|，利用椭圆上点横坐标的X围结合已知数据即可算出|的取值X围．【解答】解：如图，延长PF2、F1M，交与N点，连接OM，∵PM是∠F1PF2平分线，且=0可得F1M⊥MP，∴|PN|=|PF1|，M为F1F2中点，∵O为F1F2中点，M为F1N中点∴|OM|=|F2N|=||PN|﹣|PF2||=||PF1|﹣|PF2||设P点坐标为（x0，y0）∵在椭圆=1中，离心率e==由圆锥曲线的统一定义，得|PF1|=a+ex0，|PF2|=a﹣ex0，∴||PF1|﹣|PF2||=|a+ex0﹣a+ex0|=|2ex0|=|x0|∵P点在椭圆=1上，∴|x0|∈[0，4]，又∵x≠0，y≠0，可得|x0|∈（0，4），∴|OM|∈故答案为：【点评】本题求两点间的距离的取值X围，着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的性质、三角形中位线定理和椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．18．对于定义在区间D上的函数f（X），若存在闭区间[a，b]⊊D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平顶型”函数．给出下列说法：①“平顶型”函数在定义域内有最大值；②函数f（x）=x﹣|x﹣2|为R上的“平顶型”函数；③函数f（x）=sinx﹣|sinx|为R上的“平顶型”函数；④当t≤时，函数，是区间[0，+∞）上的“平顶型”函数．其中正确的是①④．（填上你认为正确结论的序号）【分析】根据题意，“平顶型”函数在定义域内某个子集区间内函数值为常数c，且这个常数是函数的最大值，但是定义并没有指出函数最小值的情况．由此定义再结合绝对值的性质和正弦函数的图象与性质，对于四个选项逐个加以判断，即得正确答案．【解答】解：对于①，根据题意，“平顶型”函数在定义域内某个子集区间内函数值为常数c，且这个常数是函数的最大值，故①正确．对于②，函数f（x）=x﹣|x﹣2|=的最大值为2，但不存在闭区间[a，b]⊊D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=2，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＜2恒成立，故②不符合“平顶型”函数的定义．对于③，函数f（x）=sinx﹣|sinx|=，但是不存在区间[a，b]，对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=2，所以f（x）不是“平顶型”函数，故③不正确．对于④当t≤时，函数，，当且仅当x∈[0，1]时，函数取得最大值为2，当x∉[0，1]且x∈[0，+∞）时，f（x）=＜2，符合“平顶型”函数的定义，故④正确．故答案为：①④．【点评】本题以命题真假的判断为载体，着重考查了函数的最值及其几何意义、带绝对值的函数和正弦函数的定义域值域等知识点，属于中档题．三.解答题19．（12分）（2014正定县校级三模）已知△ABC是半径为R的圆内接三角形，且2R（sin2A ﹣sin2C）=（a﹣b）sinB．（1）求角C；（2）试求△ABC面积的最大值．【分析】（1）根据正弦定理，已知等式中的角转换成边，可得a、b、c的平方关系，再利用余弦定理求得cosC的值，可得角C的大小；（2）根据正弦定理算出c=R，再由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC的式子，结合基本不等式找到边ab的X围，利用正弦定理的面积公式加以计算，即可求出△ABC面积的最大值．【解答】解：（1）∵2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，∴根据正弦定理，得a2﹣c2=（a﹣b）b=ab﹣b2，可得a2+b2﹣c2=ab∴cosC===，∵角C为三角形的内角，∴角C的大小为（2）由（1）得c=2Rsin=R由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，可得2R2=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=（2﹣）ab，当且仅当a=b时等号成立∴ab≤=（）R2∴S△ABC=absinC≤（）R2=R2即△ABC面积的最大值为R2【点评】本题给出三角形的外接圆半径为R，在已知角的关系式情况下，求三角形面积最大值．着重考查了三角形的外接圆、正余弦定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．20．（12分）（2014某某二模）某公司研制出一种新型药品，为测试该药品的有效性，公司选定2000个药品样本分成三组，测试结果如表：分组A组B组C组药品有效670 a b药品无效80 50 c已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B组药品有效的概率是0.35．（1）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C组抽取样本多少个？（2）已知b≥425，c≥68，求该药品通过测试的概率（说明：若药品有效的概率不小于90%，则认为测试通过）．【分析】（1）利用抽样的性质先求出a，再根据样本总个数得出b+c=500，从而根据分层抽样的特点确定应在C组抽取样本多少个；（2）列举（b，c）的所有可能性，找出满足b≥425，c≥68，情况，利用古典概型概率公式计算即可．【解答】解：（1）∵，∴a=700∵b+c=2000﹣670﹣80﹣700﹣50=500∴应在C组抽取样本个数是个．（2）∵b+c=500，b≥425，c≥68，∴（b，c）的可能性是（425，75），（426，74），（427，73），（428，72），（429，71），（430，70），（431，69），（432，68）若测试通过，则670+700+b≥2000×90%=1800∴b≥430∴（b，c）的可能有（430，70），（431，69），（432，68）∴通过测试的概率为．【点评】本题考查分层抽样的性质，古典概型概率公式的应用，属于中档题．21．（12分）（2015某某模拟）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求此几何体的体积V的大小；（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQ⊥BQ并说明理由．【分析】（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，则体积可以求得．（2）求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．（3）假设存在这样的点Q，使得AQ⊥BQ．解法一：通过假设的推断、计算可知以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．解法二：在含有直线与平面垂直垂直的条件的棱柱、棱锥、棱台中，也可以建立空间直角坐标系，设定参量求解．这种解法的好处就是：1、解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．2、即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设满足题设的点Q存在，其坐标为（0，m，n），点Q在ED上，∴存在λ∈R（λ＞0），使得=λ，解得λ=4，∴满足题设的点Q存在，其坐标为（0，，）．【解答】解：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=1，∴S梯形BCED=×（4+1）×4=10∴V=S梯形BCED AC=×10×4=．即该几何体的体积V为．（3分）（2）解法1：过点B作BF∥ED交EC于F，连接AF，则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．（5分）在△BAF中，∵AB=4，BF=AF==5．∴cos∠ABF==．即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．（7分）解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）∴=（0，﹣4，3），=（﹣4，4，0），∴cos＜，＞=﹣∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．（3）解法1：在DE上存在点Q，使得AQ⊥BQ．（8分）取BC中点O，过点O作OQ⊥DE于点Q，则点Q满足题设．（10分）连接EO、OD，在Rt△ECO和Rt△OBD中∵∴Rt△ECO∽Rt△OBD∴∠EOC=∠OBD∵∠EOC+∠CEO=90°∴∠EOC+∠DOB=90°∴∠EOB=90°．（11分）∵OE==2，OD==∴OQ===2∴以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．切点为Q∴BQ⊥CQ∵AC⊥面BCED，BQ⊂面CEDB∴BQ⊥AC∴BQ⊥面ACQ（13分）∵AQ⊂面ACQ∴BQ⊥AQ．（14分）解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设满足题设的点Q存在，其坐标为（0，m，n），则=（﹣4，m，n），=（0，m﹣4，n）=（0，m，n﹣4），=（0，4﹣m，1﹣n）∵AQ⊥BQ∴m（m﹣4）+n2=0①∵点Q在ED上，∴存在λ∈R（λ＞0）使得=λ∴（0，m，n﹣4）=λ（0，4，m，1﹣n）⇒m=，n=②②代入①得（﹣4）（）2=0⇒λ2﹣8λ+16=0，解得λ=4∴满足题设的点Q存在，其坐标为（0，，）．【点评】本小题主要考查空间线面关系、面面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．22．（12分）（2014春雁峰区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知中心在坐标原点且关于坐标轴对称的椭圆C1的焦点在抛物线C2：y2=﹣4x的准线上，且椭圆C1的离心率为．（1）求椭圆C1的方程，（2）若直线l与椭圆C1相切于第一象限内，且直线l与两坐标轴分别相交与A，B两点，试探究当三角形AOB的面积最小值时，抛物线C2上是否存在点到直线l的距离为．【分析】（1）由题意设椭圆C1的方程，（a＞b＞0），且，由此能求出椭圆C1的方程．（2）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0）由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式能推导出抛物线C2上不存在点到直线l的距离为．【解答】解：（1）∵椭圆C1的焦点在抛物线C2：y2=﹣4x的准线上，且椭圆C1的离心率为．∴椭圆焦点在x轴上，设椭圆C1的方程：，（a＞b＞0），且，解得a=2，b=，∴椭圆C1的方程为．（2）∵直线l与椭圆C1相切于第一象限内，∴直线l的斜率存在且小于零，设直线l的方程为y=kx+m（k＜0，m＞0）由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由题可知，△=0，∴m2=4k2+3，当即时上式等号成立，此时，直线l为设点D为抛物线C2上任意一点，则点D到直线l的距离为，利用二次函数的性质知，∴抛物线C2上不存在点到直线l的距离为．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查当三角形面积最小时满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式的合理运用．23．（12分）（2014某某校级模拟）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a为常数）．（1）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）当0＜a≤2时，试判断f（x）的单调性；（3）若对任意的a∈（1，2），x0∈[1，2]，使不等式f（x0）＞mlna恒成立，某某数m的取值X围．【分析】（1）求导数，利用极值的定义，即可求a的值；（2）当0＜a≤2时，判断导数的符号，即可判断f（x）的单调性；（3）问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式1﹣a＞mlna恒成立．即恒成立．【解答】解：．（1）由已知得：f'（1）=0，∴1+2﹣a=0，∴a=3．…（3分）（2）当0＜a≤2时，f′（x）=因为0＜a≤2，所以，而x＞0，即，故f（x）在（0，+∞）上是增函数．…（8分）（3）当a∈（1，2）时，由（2）知，f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1﹣a，故问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式1﹣a＞mlna恒成立．即恒成立记，（1＜a＜2），则，…（10分）令M（a）=﹣alna﹣1+a，则M'（a）=﹣lna＜0所以M（a），所以M（a）＜M（1）=0…（12分）故g'（a）＜0，所以在a∈（1，2）上单调递减，所以即实数m的取值X围为（﹣∞，﹣log2e]．…（14分）【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确分离参数是关键．。

2022-2023学年安徽省合肥市第一六八中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}210,Z A x x x =-≤∈，{}2,1,0,1,2B =--，则A B ⋂子集的个数为（ ）．A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D【分析】先求出B ，再利用集合的子集个数为2n 个，n 为集合中元素的个数，可得结论．【详解】解：集合{}2,1,0,1,2B =--，{}{}210,Z 1,0,1A x x x =-≤∈=-，则集合A B ⋂中含有3个元素， 故集合A B ⋂的子集个数为328=． 故选：D ．2．已知命题“x ∃∈R ，使2(2)(2)10m x m x -+-+≤”是假命题，则实数m 的取值范围为（ ） A ．6m > B ．26m << C ．26m ≤< D ．2m ≤【答案】C【分析】由特称命题的否定转化为恒成立问题后列式求解， 【详解】由题意可知2,(2)(2)10x m x m x ∀∈-+-+>R 恒成立． ①当20m -=时，10>恒成立；②当20m -≠时，()()2202420m m m ->⎧⎪⎨---<⎪⎩，解得26m <<． 综上：26m ≤<． 故选：C3．设0.52a =，20.5b =，0.523c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b<c<aB ．a b c <<C ．c<a<bD ．c b a <<【答案】A【分析】由指数的性质比较a ，b ，c 的大小.【详解】由0.50.521320.5412321a b c ⎛⎫>>===>= ⎪⎝⎭===， 所以b<c<a .故选：A4．设M 、P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为{M P x x M -=∈且}x P ∉，则()M M P --等于（ ） A ．P B ．MC ．MP D ．M P ⋃【答案】C【解析】根据题意，分M P ⋂=∅和M P ⋂≠∅两种情况，结合集合的基本运算，借助venn 图，即可得出结果.【详解】当M P ⋂=∅，由于对任意x M ∈都有x P ∉，所以M P M -=， 因此()M M P M M M P --=-=∅=⋂； 当M P ⋂≠∅时，作出Venn 图如图所示，则M P -表示由在M 中但不在P 中的元素构成的集合，因而()M M P --表示由在M 中但不在M P -中的元素构成的集合，由于M P -中的元素都不在P 中，所以()M M P --中的元素都在P 中，所以()M M P --中的元素都在M P ⋂中，反过来M P ⋂中的元素也符合()M M P --的定义，因此()M M P M P --=⋂.故选：C.【点睛】本题主要考查集合的应用，熟记集合的基本运算即可，属于常考题型. 5．函数()f x 的图象与函数12xg x 的图象关于直线y x =对称，则()22f x x -的单调减区间为（ ）． A ．(),1-∞ B ．[)1,+∞C ．()0,1D ．[]1,2【答案】C【分析】由题意知函数()f x 是函数12xg x的反函数，根据反函数的定义求出()12log f x x =，再由复合函数的单调性即可求出()22f x x -的单调减区间．【详解】由题意函数()f x 的图象与函数12xg x的图象关于直线y x =对称知，函数()f x 是函数12xg x的反函数，所以()12log f x x =，即()()12222log 2f x x x x -=-， 令220x x ->，解得02x <<，又()12log f x x =是减函数，22t x x =-在()0,1上增，在()1,2上减， 由复合函数的单调性知，()22f x x -单调减区间为()0,1．故选：C ．6．为了抗击新型冠状病毒肺炎，保障师生安全，学校决定每天对教室进行消毒工作，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量y (3mg /m )与时间t (h )成正比(104t <<)；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为14t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭(a 为常数，14t)，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.5(3mg /m )以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前（ ）分钟进行消毒工作A ．25B ．30C ．45D ．60【答案】C【分析】计算函数解析式，取1411()42t f t -⎛⎫==⎪⎝⎭计算得到答案. 【详解】∵函数图像过点1,14⎛⎫⎪⎝⎭，∴1414,04()11,44t x t y f t t -⎧<<⎪⎪==⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩， 当14t 时，取1411()42t f t -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得3t 4=小时45=分钟， 所以学校应安排工作人员至少提前45分钟进行消毒工作. 故选：C.7．下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①当54x <时，14245x x -+-的最小值是5； ②(),0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩与()g t t =表示同一函数；③函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数(1)()1f xg x x +=-的定义域是[]1,1-；④已知0x >，1y >-，且1x y +=，则2231x y x y +++最小值为2+ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】利用基本不等式判断①④，根据相等函数的定义判断②，根据复合函数的定义计算法则判断③；【详解】解：对于①当54x <时，450x -<，所以540x ->，所以154254x x -+≥=-，当且仅当15454x x -=-，即1x =时取等号，所以124154x x-+≥--，所以142145x x -+≤-，故①错误；对于②(),0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩与(),0,0t t g t t t t ≥⎧==⎨-<⎩表示同一函数，故②正确；对于③函数()y f x =的定义域是[]0,2，(1)()1f x g x x +=-，所以01210x x ≤+≤⎧⎨-≠⎩，解得1<1x ≤-，故函数(1)()1f xg x x +=-的定义域是[)1,1-，故③错误； 对于④已知0x >，1y >-，且1x y +=，所以10y +>，则()()221113311y y x y x x y x y -++++=++++ ()3131111x y x y x y =++-+=+++()131121x y x y ⎛⎫=+++⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭()31113142212y x x y ⎡+⎡⎤=+++≥+=⎢⎢⎥+⎢⎣⎦⎣()311y x x y +=+，即2y =，3x =④正确；故选：B8．已知函数33,1()3lg(1),1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩，若方程22()()03f x af x -+=有4个解时，实数a 的取值范围为（ ）A ．2657,,333⎛⎤⎛⎫⋃+∞ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦ B ．265,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．5,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．265,(2,)33⎛⎤⋃+∞ ⎥ ⎝⎦【答案】A【分析】设()t f x =，做出()f x 函数图像，分析()t f x =的实根情况，方程220(0)3t at t -+=≠有两个不等实数根12,t t ，且满足(]12,0,1t t ∈，或12,2t t >，或1201,2t t <<>；再结合二次函数图象分类讨论即可得出结论．【详解】根据函数33,1()3lg(1),1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩，做出其大致图像如下：设()t f x =，根据函数图像有：当2t >时，方程()t f x =有2个实数根； 当12t <≤时，方程()t f x =有3个实数根； 当01t <≤时，方程()t f x =有2个实数根； 当0=t 时，方程()t f x =有1个实数根； 当0t <时，方程()t f x =没有实数根；当若()22()03f x af x -+=的零点个数为4个时， 方程220(0)3t at t -+=≠有两个不等实数根12,t t ， 且满足(]12,0,1t t ∈，或12,2t t >，或1201,2t t <<>；令()223g t t at =-+，()3002g =>，①当1201t t <<≤时，则()100120g a ⎧≥⎪⎪<<⎨⎪∆>⎪⎩，即22103012803a a a ⎧-+≥⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪->⎪⎩2653a <≤；②当122t t <<时，则()20220g a ⎧>⎪⎪>⎨⎪∆>⎪⎩，即22420322803a a a ⎧-+≥⎪⎪⎪>⎨⎪⎪->⎪⎩，无解；③当101t <≤，22t >时，则()()10200g g ⎧≤⎪<⎨⎪∆>⎩，即2210324203803a a a ⎧-+≤⎪⎪⎪-+<⎨⎪⎪->⎪⎩，解得73a >，综上：2657,33a ⎤⎛⎫∈⋃+∞⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦， 故选：A.二、多选题9．设全集U =R ，集合302x A xx ⎧⎫-=>⎨⎬+⎩⎭，1134B x x ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭，则（ ） A ．[)2,1A B =- B ．()3,3A B ⋃=- C ．()()R 1,3A B ⋂=D ．()(]()R ,32,A B ∞∞⋃=--⋃-+ 【答案】BD【分析】先解分式不等式求出集合A ，B ，再根据集合的基本运算即可求解．【详解】∵{}30232x A xx x x ⎧⎫-=>=-<<⎨⎬+⎩⎭， ∵(){}1110313443x B x x x x x x ⎧⎫⎧⎫-⎪⎪=>=>=-<<⎨⎬⎨⎬++⎩⎭⎪⎪⎩⎭， ∴{}31R B x x x =≤-≥或，A ，∵{}()212,1AB x x ⋂=-<<=-，∴A 错误， B ，∵{}()333,3A B x x ⋃=-<<=-，∴B 正确，C ，∵(){}[)131,3R A B x x ⋂=≤<=，∴C 错误，D ，∵(){}(]()32,32,R A B x x x ∞∞⋃=≤->-=--⋃-+或，∴D 正确， 故选：BD ．10．（多选题）下列表达式的最小值为2的有（ ） A ．当1ab =时，a b + B ．当1ab =时，b aa b+C ．223a a -+D【答案】BC【分析】根据基本不等式及二次函数性质判断．【详解】解：①对选项A ，当,a b 均为负值时，0a b +<，故最小值不为2; ②对选项B ，因为1ab =，所以,a b 同号，所以0,0b aa b>>， 所以22b a b aa b a b+≥⨯=，当且仅b a a b =，即1a b ==±时取等号，故最小值为2;③对选项C ，2223(1)2a a a -+=-+，当1a =时，取最小值2;④对选项D ，222211222222a a a a ++≥+⨯=++，当且仅当22122a a +=+，即221a +=时，取等号，但等号显然不成立，故最小值不为2. 故选：BC ．【点睛】本题考查用基本不等式求最值，基本不等式求最值的三个条件：一正二定三相等需同时满足才能确定最值．11．已知函数()2xf x x =+，()2log g x x x =+，()3h x x x =+的零点分别为a ，b ，c ，以下说法正确的是（ ） A ．10a -<< B ．12b << C ．b<c<a D ．0a b c ++=【答案】AD【分析】将问题转化为y x =-与2x y =、2log y x =、3y x =的交点横坐标范围及数量关系，应用数形结合思想，及指对幂函数的性质判断a 、b 、c 的范围. 【详解】由题设，2a a =-，2log b b =-，3c c =-，所以，问题可转化为y x =-与2x y =、2log y x =、3y x =的交点问题，函数图象如下：由图及2x y =、2log y x =对称性知：0,0a b c +==，且101a c b -<<=<<， 所以A 、D 正确，B 、C 错误.故选：AD12．已知定义在R 上的函数f （x ），g （x ）满足： ①()02f =；②对任意实数1x ，2x ，都有()()()()()1212122f x x f x f x g x g x -=+；③存在大于零的常数a ，使得()2g a =，且当()0,x a ∈时，()()00f x g x >>，． 下列说法正确的是（ ） A ．()()00f a g ==B ．当()0x a ∈，时，()()2f x g x +≤C ．函数f （x ）g （x ）在R 上的最大值为2D ．对任意的R x ∈，都有()()g a x f x -=【答案】ACD【分析】A.利用赋值法，令120x x ==和12x x a ==求解判断；B.令12x x x ==，得到()()224f x g x ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦，再由()0x a ∈，时，()()00f x g x >>，，得到0()2,0()2f x g x <<<<求解判断； C.由[][]22()()|()()|22f xg x f x g x +≤=求解判断；D.令12x a x a x ==-，求解判断.【详解】令120x x ==，可得()00g =，令12x x a ==，由()2g a =，得()0f a =，A 正确； 令12x x x ==，得()()224f x g x ⎡⎤⎡⎤+=⎣⎦⎣⎦，当()0x a ∈，时，()()00f x g x >>，， 所以0()2,0()2f x g x <<<<，所以[][]22()2(),()2()f x f x g x g x << 故[][]224()()2()2()f x g x f x g x =+<+，所以()()2f x g x +>，B 错误；由[][]22()()|()()|22f xg x f x g x +≤=，得2()()2f x g x -≤≤，故C 正确；令12x a x a x ==-，，得()()()()()()22f x f a f a x g a g a x g a x =-+-=-，则()()g a x f x -=，故D 正确． 故选：ACD三、填空题13．命题“2x ∀≥，22x ≥”的否定是_________． 【答案】2x ∃≥，22x <【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.【详解】解：因为命题“2x ∀≥，22x ≥”为全称量词命题， 所以该命题的否定为“2x ∃≥，22x <”． 故答案为：2x ∃≥，22x <14．已知函数3222022236()3x x x f x x +++=+，且()14f a =，则()f a -的值为____________．【答案】10-【分析】由奇函数的性质求解，【详解】3220223()23x xf x x +=++，令3220223()3x xg x x +=+， ∵()()g x g x -=-，∴()g x 为奇函数，∴()()0g a g a +-=， 则()()()2()24f a f a g a g a -+=-+++=，得()10f a -=-. 故答案为：10-15．设函数()22220()log 210x x x f x x x ⎧-+≥⎪=⎨++<⎪⎩，，，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是__________． 【答案】()1,2【分析】先作出函数()f x 的图象，利用二次函数的对称性得到232x x +=，由对数的运算以及函数图象可得110x -<<，求解即可．【详解】函数()22220()log 210x x x f x x x ⎧-+≥⎪=⎨++<⎪⎩，， 作出函数()f x 图象如图所示，因为互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==， 不妨设123x x x <<，当0x ≥时，()()222211f x x x x =-+=-+，图象的对称轴为1x =，所以232x x +=，当1x =时，()1f x =，令()2log 211x ++=，解得=1x -， 由图象可知110x -<<，所以123x x x ++的取值范围是()1,2． 故答案为：()1,2．16．设()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，满足：()()1122120x f x x f x x x ->-，若()24f =，则不等式8()0f x x->的解集为___________. 【答案】(2,0)(2,)-+∞【分析】令()()F x xf x =，可得函数利()F x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数且在(0,)+∞上单调递增，原不等式等价于()80F x x->，分析可得答案. 【详解】令()()F x xf x =，由()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数， 可得()F x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数， 由对任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，满足：()()2211210x f x x f x x x ->-，可得()()F x xf x =在(0,)+∞上单调递增， 由(2)4f =，可得(2)8F =，所以()F x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)8F -=， 不等式8()0f x x ->，即为()80xf x x ->，即()80F x x->， 可得0()8x F x >⎧⎨>⎩或0()8x F x <⎧⎨<⎩，即02x x >⎧⎨>⎩或020x x <⎧⎨-<<⎩ 解得2x >或20x -<<. 故答案为：(2,0)(2,)-+∞.四、解答题17．计算下列各式的值： (1)()()2213540.0625e 32+--+；(2))2log 31114lg 0.01ln e+++．【答案】(1)112(2)5【分析】(1)利用有理数指数幂的运算性质求解． (2)利用对数的运算性质求解． 【详解】（1）原式32212354541110.521221422⨯⨯⨯=+-+=+-+=. （2）原式)4log 9211log lg10ln e 19215--=++=-+--=. 18．设全集为R ，集合{}{}2780,123A x x x B x a x a =-->=+<<-.(1)若6a =，求R A B ⋂；(2)在①A B A ⋃=；②A B B =；③()A B =∅R ，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a 的取值范围.【答案】(1)R {1A B xx ⋂=<-∣或9}x ≥ (2)(,4][7,)∞∞-⋃+【分析】（1）解出{1A xx =<-∣或8}x >，集合{}79B x x =<<，利用交集和补集的含义即可. （2）首先得到B A ⊆，然后分B =∅和B ≠∅两种讨论即可.【详解】（1）解：因为全集为R ，且{}2780A x x x =-->={1xx <-∣或8}x >， 当6a =时，{}{}12379B x a x a x x =+<<-=<<，所以R {9B x x =≥∣或7}x ≤ ∴R {1A B xx ⋂=<-∣或9}x ≥. （2）解：选择①②③，均可得B A ⊆. 当B =∅时，123a a +≥-，解得4a ≤；当B ≠∅时，123231a a a +<-⎧⎨-≤-⎩或12318a a a +<-⎧⎨+≥⎩，解得41a a >⎧⎨≤⎩或47a a >⎧⎨≥⎩，即7a ≥.综上所述，实数a 的取值范围是(,4][7,)∞∞-⋃+. 19．（1）已知关于x 的不等式20ax x b ++>的解集为1,2，求不等式20bx x a ++>的解集；（2）已知条件4:11p x ≤--，条件22:q x x a a +<-，且p 是q 的一个必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或；（2）[]1,2-．【分析】（1）根据二次不等式的解集，等价转化为二次方程的解，利用韦达定理，解得参数，利用二次不等式的解法，可得答案；（2）根据分式不等式以及二次不等式求解，根据必要不充分条件的集合表示，可得答案. 【详解】（1）因为不等式20ax x b ++>的解集为1,2，所以1-和2是方程20ax x b ++=的解，且0a <， 由根与系数的关系知11212ab a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得2b =，1a =-，所以不等式20bx x a ++>可化为2210x x +->， 解得1x <-或12x >， 所以该不等式的解集为112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或． 解：由411x ≤--，4101x +≤-，4101x x +-≤-，301x x +≤-，则()()31010x x x ⎧+-≤⎨-≠⎩，解得:31p x -≤<， 由22x x a a +<-，得()()10x a x a +--<⎡⎤⎣⎦， 当12a =时，可得q ：∅； 当12a <时，可得q ：()1,a a --； 当12a >时，可得q ：(),1a a --． 由题意得，p 是q 的一个必要不充分条件， 当12a =时，满足条件； 当12a <时，则()1,a a -- [)3,1-，所以13112a a a ⎧⎪-≥-⎪-≤⎨⎪⎪<⎩，解得112a -≤<，所以11,2a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭；当12a >时，(),1a a -- [)3,1-所以31112a a a ⎧⎪-≥-⎪-≤⎨⎪⎪>⎩，解得122a <≤，所以1,22a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，综上，实数a 的取值范围为[]1,2a ∈-．20．某厂生产某产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x （万元），若年产量不足80千件，()C x 的图象是如图的抛物线，此时()0C x <的解集为(30,0)-，且()C x 的最小值是75-，若年产量不小于80千件，10000()511450C x x x=+-，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【答案】(1) 2140250,0803()100001200(),80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩；(2) 当年产量100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为1000万元.【分析】（1）由题可知，利润=售价-成本，分别对年产量不足80件，以及年产量不小于80件计算，代入不同区间的解析式，化简求得2140250(080)3()100001200(80)x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）分别计算年产量不足80件，以及年产量不小于80件的利润，当年产量不足80件时，由配方法解得利润的最大值为950万元，当年产量不小于80件时，由均值不等式解得利润最大值为1000万元，故年产量为100件时，利润最大为1000万元.【详解】（1）当080x <<时，21()50()25050102503L x x C x x x x =--=---21402503x x =-+-；当80x ≥时，10000()50()25050511450250L x x C x x x x =--=--+-100001200x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 所以2140250(080)3()100001200(80)x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（）.（2）当080x <<时，211()40250(60)95033L x x x x =-+-=--+此时，当60x =时，()L x 取得最大值(60)950L =万元．当80x ≥时，10000()1200120012002001000L x x x ⎛⎫=-+≤--= ⎪⎝⎭ 此时，当10000x x=时，即100x =时，()L x 取得最大值(100)1000L =万元，1000950>, 所以年产量为100件时，利润最大为1000万元． 【解析】•配方法求最值 均值不等式 21．已知函数()41x p x m -=+（0m >且1m ≠）经过定点A ，函数()log a f x x =（0a >且1a ≠）的图象经过点A ．(1)求函数()22xy f a =-的定义域与值域；(2)若函数()()()224g x f x f x λ=⋅-在1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个零点，求λ的取值范围．【答案】(1)定义域是(,2)-∞，值域是(,2)-∞； (2)1λ>；【分析】（1）由指数函数性质求得定点A 的坐标，然后由求出a ，再由对数函数、指数函数性质得定义域、值域；（2）求出()g x 的表达式，换元法转化为二次函数，由二次方程根的分布知识可得参数范围． 【详解】（1）在函数4()1x p x m -=+中，令40x -=，得4x =，(4)2p =，所以定点为(4,2)A ， 由log 42a =得2a =，2()log f x x =，()22x y f a =-2log (42)x =-，由420x ->得2x <，即定义域是(,2)-∞， 420x ->，又424x -<，所以函数值域是(,2)-∞；（2）222()log (2)log 4g x x x λ=-，1(,4)4x ∈，22222()(1log )2log 42(log )2log 4g x x x x x λλ=+⋅-=+-，2log t x =，它是增函数，1(,4)4x ∈，则(2,2)t ∈-，2()()224g x h t t t λ==+-，2()224h t t t λ=+-在(2,2)-上有两个零点，Δ4320,(2)880(2)802224h h λλλλ=+>⎧⎪-=->⎪⎪=>⎨⎪⎪-<-<⎪⎩，解得1λ>． 22．已知函数()2416ax f x x =+，()12x ag x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中a ∈R ．(1)若()y g x =在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，求实数a 的值；(2)设函数(),2()(),2f x x p x g x x ≥⎧=⎨<⎩，若对任意[)12,x ∈+∞，总存在唯一的()2,2x ∈-∞，使得()()12p x p x =成立，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)2a =或12 (2)04a <<．【分析】(1) ()1,2121,2x ax aa x x a g x x a ---⎧⎛⎫≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩，在(),a -∞上单调递增，在(),a +∞上单调递减，结合()y g x =在31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，分类讨论，可得满足条件的实数a 的值；(2)分0a ≤和0a >两种情况，分别求出满足对对任意[)12,x ∈+∞，总存在唯一的()2,2x ∈-∞，使得()()12p x p x =成立的实数a 的取值，综合讨论结果，可得答案.【详解】（1）()1,2121,2x ax aa x x a g x x a ---⎧⎛⎫≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫==⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩， 在(),a -∞上单调递增，在(),a +∞上单调递减；①当1a ≤时，当1x =时，()1max 12ag x -⎛⎫= ⎪⎝⎭12a =；②当312a <<时，当x a =时，()max 122a ag x -⎛⎫==⎪⎝⎭，无解； ③当32a ≥时，当32x =时，()32max 122a g x -⎛⎫==⎪⎝⎭2a =；综上所述，2a =或12．（2）①若0a ≤，由12x ≥，()()111210416ax p x f x x ==≤+，22x <，()()222102x ap x g x -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，故()()12p x p x =不可能成立． ②若0a >，当2x >时，()()2164164ax ap x f x x x x===++，故()p x 在[)2,+∞上单调递减， 故()()()10,20,16a p x f ⎛⎤∈= ⎥⎝⎦；1︒ 若a ≥2，由2x <时，()()111()()()2222x a x a a x p x g x --+====⋅， ∴()p x 在(),2-∞上单调递增，从而()2210,2a p x -⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 要使()()12p x p x =成立，只需21162a a -⎛⎫< ⎪⎝⎭成立即可，由于函数()21162a a q a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[)2,+∞上单调递增，且()40q =，∴24a ≤<．2︒ 若02a <<，由2x <时，()()1,2121,2x ax aa x x a p x g x x a ---⎧⎛⎫≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫===⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩， ∴()p x 在(),a -∞上单调递增，在(],2a 上单调递减； 从而()()((]20,0,1p x g a ∈=⎤⎦，要使()()12p x p x =成立，只需116a <，且21162aa -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立即可，即21162aa -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立即可，由02a <<得：1168a <，21124a-⎛⎫>⎪⎝⎭，故当02a <<时，21162aa -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立．综上所述：04a <<．【点睛】存在与任意的问题总结：1.1122,x D x D ∃∈∃∈，使得12()()f x g x =⇔函数()f x 在1D 上的值域A 与函数()g x 在2D 上的值域B 的交集不空，即A B ⋂≠∅.2. 1122,x D x D ∀∈∃∈，使得12()()f x g x =⇔函数()f x 在1D 上的值域A 是函数()g x 在2D 上的值域B 的子集，即A B ⊆.。

合肥一六八中学2024级高一年级第一次数学试题卷2024.10.08一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题卡的指定位置填涂答案选项．）1．已知集合{}220A x x x =-=，则下列选项中说法不正确的是（）A ．A ∅⊆B ．2A-∈C ．{}0,2A⊆D ．{}3A y y ⊆<2．如图，U 是全集，M ，N ，P 是U 的子集，则阴影部分表示的集合是（）A ．()M N P ⋂⋂B ．()M N P ⋃⋂C ．()()U M N P ⋂⋂ðD ．()()U M N P ⋃⋂ð3．已知Z a ∈，{(,)|3}A x y ax y =-≤且，(2,1)A ∈，(1,4)A -∉，则a 取值不可能为（）A ．1-B ．0C ．1D ．24．设集合{}1,2,3A =，{}0,1,2,4B =，定义集合{}(,)|,,S a b a A b B a b ab =∈∈+>，则集合S 中元素的个数是（）A ．5B ．6C ．8D ．95．若22ππαβ-≤<≤，则2αβ+，2αβ-的取值范围分别是（）A ．[,)22ππ-，(,0)2π-B ．[,]22ππ-，[,0]2π-C ．(,)22ππ-，(,0)2π-D ．(,22ππ-，[,0)2π-6．命题p ：“2R,240x ax ax ∃∈+-≥”为假命题的一个充分不必要条件是（）A ．40a -<£B ．40a -≤<C ．30a -≤≤D ．40a -≤≤7．若a 、b 、c 是互不相等的正数，且222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（）A ．a b c>>B ．c a b>>C ．b a c>>D ．a c b>>8．已知0a >，0b >，2>c ，且2a b +=，则22ac c c b ab c +-+-的最小值为（）A BC ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知,a b 为正实数，且216ab a b ++=，则（）A ．ab 的最大值为8B ．2a b +的最小值为8C ．1112+++a b 的最小值为2D ．19b a +-10．已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为M ，则下列说法正确的是（）A ．若M =∅，则0a <且240b ac -≤B ．若a b ca b c ''='=，则关于x 的不等式20a x b x c ''+'+>的解集也为M C ．若{|12}M x x =-<<，则关于x 的不等式21()12()a x b x c ax ++-+<的解集为{|0,N x x =<或3}x >D ．若00,{|M x x x x =≠为常数}，且a b <，则34a b cb a++-的最小值为5+11．我们已经学过了集合的并、交、补等几种基本运算，而集合还有很多其他的基本运算．设A ，B 为两个集合，称由所有属于集合A 但不属于集合B 的元素组成的集合为集合A 与集合B 的差集，记为A B -，即{}|A B x A x B -=∈∉．下列表达式一定正确的是（）A ．()()AB B A -⋂-=∅B ．()()A B B A A B --=C ．()()A AB B B A --=--D ．()()A B B A B A -=- 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知14a b ≤+≤，12a b -≤-≤，则42a b -的取值范围为.13．关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x <<，那么a 的取值范围是．14．设a ∈R ，若0x >时，均有()()22110a x x ax ⎡⎤----≥⎣⎦成立，则实数a 的取值集合．．为四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算15．已知集合{|215}A x x =-≤-≤、集合{|121}B x m x m =+≤≤-（m ∈R ）.(1)若A B =∅ ，求实数m 的取值范围；(2)设命题p ：x A ∈；命题q ：x B ∈，若命题p 是命题q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.16．设2()6f x mx mx m =--+.(1)若对于[2,2]m ∈-，()0f x <恒成立，求实数x 的取值范围；(2)若对于[1,3]x ∀∈，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围.(3)解关于x 的不等式2(1)21()mx m x m m m +-+-<-∈R .17．LED 灯具有节能环保的作用，且使用寿命长．经过市场调查，可知生产某种LED 灯需投入的年固定成本为4万元每生产x 万件该产品，需另投入变动成本()W x 万元，在年产量不足6万件时，()212W x x x =+，在年产量不小于6万件时，()100739W x x x=+-．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．(1)写出年利润()L x (万元)关于年产量x (万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本)(2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？18．已知实数[],1,1x y ∈-，{},max ,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，求{}22max 1,2x y x y -+-的最小值以及取最小值时,x y 的值．19．已知{}()1,2,,3n S n n =≥ ，{}()12,,,2k A a a a k =≥L 是n S 的子集，定义集合{}*,i j i j i j A a a a a A a a =-∈>且，若{}*n A n S = ，则称集合A 是n S 的恰当子集．用X 表示有限集合X 的元素个数．(1)若5n =，{}1,2,3,5A =，求*A 并判断集合A 是否为5S 的恰当子集；(2)已知{}()1,,,7A a b a b =<是7S 的恰当子集，求a ，b 的值并说明理由；(3)若存在A 是n S 的恰当子集，并且5A =，求n 的最大值．【分析】根据元素与集合的关系判断选项B ，根据集合与集合的关系判断选项A 、C 、D.【详解】由题意得，集合{}0,2A =．所以2A -∉，B 错误；由于空集是任何集合的子集，所以A 正确；因为{}0,2A =，所以C 、D 中说法正确．故选：B ．2．C【分析】根据文氏图的意义，阴影部分为集合M 的外部与集合N 集合P 交集内部的公共部分，求解即可.【详解】根据题意，阴影部分为集合M 的外部与集合N 集合P 交集内部的公共部分，即()()U M N P ⋂⋂ð.故选：C.3．A【分析】根据a 的取值，结合已知逐一验证即可.【详解】选项A ：当1a =-时，1213-⨯-≤，()1143-⨯--≤，故(2,1),(1,4)A A ∈-∈，A 错误；选项B ：当0a =时，0213⨯-≤，()0143⨯-->，故(2,1),(1,4)A A ∈-∉，B 正确；选项C ：当1a =时，1213⨯-≤，()1143⨯-->，故(2,1),(1,4)A A ∈-∉，C 正确；选项D ：当2a =时，2213⨯-≤，21(4)3⨯-->，故(2,1),(1,4)A A ∈-∉，D 正确．故选：A ．4．C【分析】先根据条件a A ∈，b B ∈，对a ，b 进行取值，再验证a b ab +>是否成立，满足条件的数对(),a b 即为集合S 的元素，从而即可求解.【详解】∵集合{}1,2,3A =，{}0,1,2,4B =，a A ∈，b B ∈，∴a 可取1，2，3，b 可取0，1，2，4.（1）当1a =时，0b =，由1a b +=，0ab =，a b ab +>成立，数对()1,0为S 的一个元素；1b =，由2a b +=，1ab =，a b ab +>成立，数对()1,1为S 的一个元素；2b =，由3a b +=，2ab =，a b ab +>成立，数对()1,2为S 的一个元素；4b =，由5a b +=，4ab =，a b ab +>成立，数对()1,4为S 的一个元素；（2）当2a =时，0b =，由2a b +=，0ab =，a b ab +>成立，数对()2,0为S 的一个元素；1b =，由3a b +=，2ab =，a b ab +>成立，数对()2,1为S 的一个元素；2b =，由4a b +=，4ab =，a b ab +>不成立，数对()2,2不是S 的元素；4b =，由6a b +=，8ab =，a b ab +>不成立，数对()2,4不是S 的元素；（3）当3a =时，0b =，由3a b +=，0ab =，a b ab +>成立，数对()3,0为S 的一个元素；1b =，由4a b +=，3ab =，a b ab +>成立，数对()3,1为S 的一个元素；2b =，由5a b +=，6ab =，a b ab +>不成立，数对()3,2不是S 的元素；4b =，由7a b +=，12ab =，a b ab +>不成立，数对()3,4不是S 的元素.综上，S 的元素有八个，分别为：()1,0，()1,1，()1,2，()1,4，()2,0，()2,1，()3,0，()3,1.故选：C.【点睛】关键点点睛：解题的关键是理解元素与集合的关系，并且分类讨论时要做到不重复，不遗漏.5．D【分析】由已知条件结合不等式的基本性质求出结果【详解】22ππαβ-≤<≤，424παπ∴-≤<，424πβπ-<≤两式相加可得222παβπ+-<<424πβπ-<≤，则424πβπ-≤-<则222παβπ--≤<又αβ<则2αβ-<故022παβ--≤<故选D【点睛】本题考查了两角和与差的范围问题，结合已知条件和不等式性质即可求出答案，注意取等时的条件．6．C【分析】先化简命题p 是假命题对应的范围，再利用充分条件和必要条件的定义判断即得结果.【详解】命题2:R,240p x ax ax ∃∈+-≥为假命题，即命题2:R,240p x ax ax ⌝∀∈+-<为真命题，首先，0a =时，40-<恒成立，符合题意；其次0a ≠时，0a <且()22160a a ∆=+<，即40a -<<，综上可知，40a -<£.故选项A 中，40a -<£是40a -<£的充分必要条件；选项B 中40a -≤<推不出40a -<£，且40a -<£推不出40a -≤<，即40a -≤<是40a -<£的既不充分也不必要条件；选项C 中30a -≤≤可推出40a -<£，且40a -<£推不出30a -≤≤，即30a -≤≤是40a -<£的一个充分不必要条件；选项D 中40a -≤≤推不出40a -<£，且40a -<£可推出40a -≤≤，即40a -≤≤是40a -<£的一个必要不充分条件.故选：C.7．C【分析】利用基本不等式及已知条件得到22bc ac >，从而得到b a >，即可判断.【详解】∵a 、c 均为正数，且a c ≠，∴222a c ac +>．又∵222a c bc +=，∴22bc ac >．∵0c >，∴b a >，故排除A 、B 、D ．故选：C ．8．A【分析】根据条件，利用基本不等式，得到112a b ab +-≥2ac c c b ab +-++，即可求解.【详解】因为0a >，0b >，2>c ，且2a b +=，所以22211()121524242442a a ab a a ab b a b b ab b ab b ab b a ++++-=+-+-=+≥，当且仅当b =时取等号，又2>c ，得到11()22ac c c a c b ab b ab +-+-++，2)c -+当且仅当2c =2ac c c b ab +-故选：A.9．ABD【分析】对条件进行变形，利用不等式的基本性质对选项一一分析即可【详解】解：因为162ab a b ab =++≥+，当且仅当2a b =时取等号，0>，解不等式得0<8ab ≤，故ab 的最大值为8，A 正确；由162ab a b =++得16218211a b a a -==-++，所以()18182222144811a b a a a a +=+-=++-≥-=++，当且仅当()18211a a +=+即2a =时取等号，此时取得最小值8，B 正确；1112a b +≥++当且仅当12+=+a b 时取等号，此时1112+++a b 取得最小值3，C 错误；11129991818192111010b a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪⎪---⎝=⎭+⎝+-⎭-++()()()1891111101109101010a a a a -+-=+-≥-=+-，当且仅当()()()1811019109a a a a -=+-+即a =此时19b a +-D 正确；故选：ABD10．ACD【分析】A 项，利用二次函数的图象可知A 正确；B 项，令(0)b ca t tbc '='==≠，当0t <时，不等式20a x b x c ''+'+>的解集不为M ，B 不正确；C 项，根据M 求出=-b a ，2c a =-，代入所求不等式求出解集，可知C 正确；D 项，根据M 得到0a >且240b ac ∆=-=，将24b c a=代入34a b c b a++-，然后换元利用基本不等式可求出最小值可得.【详解】A 选项，若M =∅，即一元二次不等式20ax bx c ++>无解，则一元二次不等式20ax bx c ++≤恒成立，∴0a <且240b ac -≤，故A 正确；B 选项，令a b ct a b c '=='='（0t ≠），则a a t'=、b b t '=、c c t '=，∴20a x b x c ''+'+>可化为21()0ax bx c t++>，当0t <时，21()0ax bx c t++>可化为20ax bx c ++<，其解集不等于M ，故B 错误；C 选项，若{|12}M x x =-<<，则0a <，且1-和2是一元二次方程20ax bx c ++=的两根，12ba ∴-+=-，且12c a-⨯=，b a ∴=-，2c a =-，∴关于x 的不等式21()12()a x b x c ax ++-+<可化为2(1)(1)22a x a x a ax +---<，可化为2(3)0a x x -<，0a < ，230x x ∴->，解得0x <或3x >，即不等式21()12()a x b x c ax ++-+<的解集为{|0,N x x =<或3}x >，故C 正确；D 选项，00|,{M x x x x =≠ 为常数}，0a ∴>且240b ac -=，2334b a b a b c a b a b a++++∴=--，0b a >> ，0b a ∴->，令0b a t -=>，则b a t =+，22()33()5555b a t a b a a t a t a a b a t t a ++++++∴==++≥=-，当且仅当t =，则(3(1,2a b a c +==，且a 为正数时，等号成立，所以34a b cb a++-的最小值为5+，故D 正确.故选：ACD.11．ACD【分析】根据差集的定义逐个分析可得答案.【详解】对于A ，()(){|}{|}A B B A x A x B x B x A --=∈∉∈∉=∅ ，故A 正确；对于B ，()(){|}{|}A B B A x A x B x B x A --=∈∉∈∉ ()()A B A B =- ，故B 不正确；对于C ，因为()A A B A B --= ，()B B A B A --= ，所以()()A A B B B A --=--，故C 正确；对于D ，因为()A B B A B -= ，()A B A A B -= ，所以()()A B B A B A -=- ，故D 正确.故选：A CD 12．[]2,10-【分析】利用待定系数法可得()()423a b a b a b -=++-，利用不等式的基本性质可求得42a b -的取值范围.【详解】解：设()()()()42a b x a b y a b x y a x y b -=++-=++-，所以42x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，因为14a b ≤+≤，12a b -≤-≤，则()336a b -≤-≤，因此，24210a b -≤-≤.故答案为：[]2,10-.13．2,011⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由一元二次方程根的分布可得()Δ010f >⎧⎨<⎩，解不等式组可求得结果.【详解】由题意可知0a ≠，由()2290ax a x a +++=，可得22190x x a ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，设()2219f x x x a ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则()22Δ136021110a f a ⎧⎛⎫=+->⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=+<⎪⎩，解得：2011a -<<，所以a 的取值范围为2,011⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：2,011⎛⎫- ⎪⎝⎭.14．⎪⎪⎩⎭【分析】可得2a ≤时，不等式不恒成立，当2a >，12x a =-必定是方程210x ax --=的一个正根，由此可求出a .【详解】当2a ≤时，0x >，则()210a x --<，由于21y x ax =--的图象开口向上，则()()22110a x x ax ⎡⎤----≥⎣⎦不恒成立，当2a >时，由()210a x --=可解得102x a =>-，而方程210x ax --=有两个不相等的实数根且异号，所以，12x a =-必定是方程210x ax --=的一个正根，则2111022a a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，2a >，则可解得a =故实数a 的取值集合为32⎧+⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭.故答案为：32⎧+⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是先判断2a ≤，再得出当2a >，12x a =-必定是方程210x ax --=的一个正根.15．(1)()(),25,∞∞-⋃+(2)7,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【分析】（1）分B =∅、B ≠∅讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解；（2）根据充分不必要条件分B =∅、B ≠∅讨论，即可求解.【详解】（1）由题意可知{|215}{|16}A x x x x =-≤-≤=-≤≤，又A B =∅ ，当B =∅时，121m m +>-，解得2m <，当B ≠∅时，121m m +≤-，16m +>或211m -<-，解得5m >，综上所述，实数m 的取值范围为()(),25,∞∞-⋃+；（2）∵命题p 是命题q 的必要不充分条件，∴集合B 是集合A 的真子集，当B =∅时，121m m +>-，解得2m <，当B ≠∅时，12111216m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩（等号不能同时成立），解得722m ≤≤，综上所述，实数m 的取值范围为7,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦.16．(1)()1,2-(2)6,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭(3)答案见解析【分析】（1）将()f x 转化为关于m 的一次函数()g m ，判断()g m 的单调性，得到()20g <，解不等式即可.（2）由题意将不等式整理，得()216m x x -+<，结合[]1,3x ∈时，210x x -+>，将原不等式转化为261m x x <-+，求出261x x -+在[]1,3上的最小值即可.（3）由题意将不等式整理得()()110mx x +-<，然后分类讨论m 的情况：>0、0m =、10m -<<、1m =-、1m <-，从而可求解.【详解】（1）设()()()22616f xg m mx mx m m x x ==--+=-+-则()g m 是关于m 的一次函数，且一次项系数为22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以()g m 在[]22-,上单调递增．所以()0g m <等价于()()222160g x x =-+-<，解得12x -<<，故实数x 的取值范围为()1,2-.（2）要使()()22616f x mx mx m m x x =--+=-+-在[]1,3上恒成立，即()216m x x -+<，[]1,3x ∈，因为当[]1,3x ∈时，[]211,7x x -+∈，则有261m x x <-+在[]1,3上恒成立，当[]1,3x ∈，令()22666171324g x x x x ==≥-+⎛⎫-+⎪⎝⎭，即()min 67g x =，所以261m x x <-+在[]1,3上恒成立，则()min m g x <，即67m <，故实数m 的取值范围为6,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.（3）由()2121mx m x m m +-+-<-，化简得()2110mx m x +--<，即()()110mx x +-<，当0m =时，10x -<，解得<1.当>0时，对于不等式()()110mx x +-<，解得11x m-<<，当10m -<<时，对于不等式()()110mx x +-<，解得<1或1x m>-，当1m =-时，对于不等式()()110mx x +-<，解得<1或>1，当1m <-时，对于不等式()()110mx x +-<，解得>1或1x m<-，综上所述：当1m <-时，关于x 的不等式解为()1,1,m ⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；当1m =-时，关于x 的不等式解为()(),11,-∞⋃+∞；当10m -<<时，关于x 的不等式解为()1,1,m ⎛⎫-∞⋃-+∞ ⎪⎝⎭；当0m =时，关于x 的不等式解为(),1-∞；当>0时，关于x 的不等式解为1,1m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：（1）分离参数法：结合题意，分离参数将问题转化为函数在给定区间上的最值问题，再利用函数的性质求得最值，从而得到参数的取值范围；（2）更换主次元法：结合问题，将问题的变量和参数进行转换，得到关于参数的式子，本题就是得到关于m 的一次函数()g m ，利用函数()g m 的单调性将问题转化为函数的最大值小于0，即可得到关于x 的不等式解得范围．（3）利用分类讨论，并结合二次函数的性质及一元二次不等式求解，从而可求解.17．(1)()2154,06,210035, 6.x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元．【分析】(1)根据“年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本”，分06x <<和6x ≥即可求出L (x )的解析式；(2)根据二次函数和基本不等式分别求出L (x )在06x <<和6x ≥时的最大值，比较即可得到答案．【详解】（1）∵每件产品售价为6元，∴x 万件产品的销售收入为6x 万元，依题意得，当06x <<时，()2211645422L x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭，当6x ≥时，()1001006739435L x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴()2154,06,210035, 6.x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当06x <<时，()()2117522L x x =--+，当5x =时，()L x 取得最大值172．当6x ≥时，()1003535352015L x x x ⎛⎫=-+≤-=-= ⎪⎝⎭，当且仅当100x x =，即10x =时，()L x 取得最大值15．∵17152<，∴当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元．18．{}22max 1,2x y x y -+-的最小值为32-，此时33,63x y -==.【分析】利用不等式和完全平方式的性质，再求解一元二次不等式，即可作答.【详解】令{}22max 1,2=,(0)x y x y k k -+->，则22222144k x y k x y xy ⎧≥-+⎨≥+-⎩，利用不等式的性质和完全平方式的性质，设()()()2222222441144k k x y xy x y x xy y λλλλλ+≥+-+-+=+-+-+，若()()22144x xy y λλ+-+-为完全平方式，则3λ=，可得()22223434233k k x y xy x y +≥++-=-+≥，解得32k ≥，当且仅当3,26yx ==即33y -=，等号成立.综上，{}22max 1,2x y x y -+-的最小值为32，此时33,63x y ==.【点睛】关键点点睛：本题考查了求函数的最小值问题，利用不等式和方程的性质，构造完全平方式是解题的关键.19．(1){}*1,2,3,4A =，集合A 是5S 的恰当子集；(2)2a =，5b =或3a =，6b =.(3)10【分析】（1）由定义求*A 并判断集合A 是否为5S 的恰当子集；（2）已知{}()1,,,7A a b a b =<是7S 的恰当子集，则有{}*1,2,3,4,5,6A =，列方程求a ，b 的值并检验；（3）证明10n =时，存在A 是10S 的恰当子集；当11n =时，不存在A 是11S 的恰当子集，【详解】（1）若5n =，有{}51,2,3,4,5S =，由{}1,2,3,5A =，则{}*1,2,3,4A =，满足{}5*5A S = ，集合A 是5S 的恰当子集；（2）{}()1,,,7A a b a b =<是7S 的恰当子集，则{}*1,2,3,4,5,6A =，*716A -=∈，由*5A ∈则75a -=或15b -=，75a -=时，2a =，此时5b =，{}1,2,5,7A =，满足题意；15b -=时，6b =，此时3a =，{}1,3,6,7A =，满足题意；2a =，5b =或3a =，6b =.（3）若存在A 是n S 的恰当子集，并且5A =，当10n =时，{}1,2,3,7,10A =，有{}*1,2,3,4,5,6,7,8,9A =，满足{}0*110A S = ，所以{}1,2,3,7,10A =是10S 的恰当子集，当11n =时，若存在A 是11S 的恰当子集，并且5A =，则需满足{}*1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =，由*10A ∈，则有1A ∈且11A ∈；由*9A ∈，则有2A ∈或10A ∈，2A ∈时，设{}()1,2,,,11310A a b a b =≤<≤，经检验没有这样的,a b 满足{}*1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =；当10A ∈时，设{}()1,,,10,1129A a b a b =≤<≤，经检验没有这样的,a b 满足{}*1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =；，因此不存在A 是11S 的恰当子集，并且5A =，所以存在A 是n S 的恰当子集，并且5A =，n 的最大值为10.。

2016高中毕业班最后一卷数 学 （文科）注意事项：1.本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页；2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；3.请将全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效；4.考试结束或，将本试卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}R x x x A ∈<=,42,{|14}B x x =-≤≤，则A B =U （ ）A ．{|12}x x -≤< B.{|24}x x -<≤ C.{|14}x x -≤< D.{|44}x x -<≤2．若复数z 满足2015201612zi i i=++ （i 为虚数单位），则复数z 的虚部为( ) A ．1B ．2C ．iD ．2i3．下列说法中，正确的是( )A.,αβ∀∈R ，sin()sin sin αβαβ+≠+B.命题p ：x ∃∈R ，20x x ->，则p ⌝：R x ∀∈，20x x -<C.在△ABC 中，“0AB AC ⋅>u u u r u u u r”是“△ABC 为锐角三角形”的必要不充分条件 D.已知x ∈R ，则“1x >”是“2x >”成立的充分不必要条件4．已知正项数列{a n }中，a 1=l ，a 2=2，222112n n n a a a +-=+（n ≥2）则a 6= ( )A ．16B ．．455. 《孙子算经》中有这样一道题目：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”意思是：有100头鹿，每户人家分1头还有剩余；每3户人家再分1头，正好分完，问共有多少户人家？设计流程图如下,则输出值是 ( ).A ．74 B.75 C.76 D.776．已知f (x )=a x定义在R 上的单调减函数，且5(1)(1)2f f +-=，则关于x 的方程abx 2＋2x ＋52＝0(b ∈(0，1))有两个不同实根的概率为（ ） A. 12 B. 25 C.512 D.137.已知单位向量a ，且b a ,满足2||,4||=+=-b a b a ，则b 在a 方向上的投影等于( ) A ．-2 B.-3 C.-4 D.-58.若函数x y ln =的图像上存在点),(y x ，满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+m y y x y x 02201，则实数m 的最大值为（ ）A ．0 B.21 C ．23D ．29.已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ） A. (0，1)∪(1，4) B.(-1，1)∪(1，2)C. (-1，1)∪(1，4)D.(0，1)∪(1，2)10.已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的内切球的体积为( )。

合肥2022级高三同步诊断（一）数学学科（答案在最后）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2Z 4A x x =∈<，{}0,2,3B =-，则A B = （）A.{}1,1- B.{}2,3- C.{}0 D.{}2,1,0,1,3--【答案】C 【解析】【分析】先化简集合A ，再根据集合交集的定义求解即可.【详解】由24x <解得22x -<<，所以{1,0,1}A =-，所以{0}A B = ，故选：C2.“0x <”是“()ln 10x +<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先根据对数函数的单调性解不等式然后进行判断.【详解】()ln 10x +<的解集是(){10},ln 100xx x x -<<+<⇒<∣，反之不成立.所以“0x <”是“()ln 10x +<”的必要不充分条件．故选：B3.已知函数()()22log 3f x x ax a =-+在区间[)2,+∞上递增，则实数a 的取值范围是（）A.()4,4- B.(]4,4- C.[)4,2- D.(),4-∞【答案】B 【解析】【分析】令23u x ax a =-+，2log y u =，根据复合函数的单调性及条件即可求出结果.【详解】令23u x ax a =-+，则2log y u =，因为2log y u =在定义域上单调递增，又函数()()22log 3f x x ax a =-+在区间[)2,+∞上递增，所以224230a a a ⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩，得到44a -<≤，故选：B.4.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22ee sin e e sin xx x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.5.已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足(32)f x -为偶函数，(21)f x -为奇函数，则下列说法正确的是（）①函数()f x 的图象关于直线1x =对称②函数()f x 的图象关于点(1,0)-中心对称③函数()f x 的周期为4④(2023)0f =A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④【答案】C 【解析】【分析】根据题中抽象函数满足的条件，分别求出周期性、对称轴、对称中心等性质，进行运算和逐一判断，从而得出结论.【详解】因为(32)f x -为偶函数，所以(32)(32)f x f x -=--，所以(2)(2)f x f x -=--，()(4)f x f x =--，所以函数()f x 关于直线2x =-对称，不能确定()f x 是否关于直线1x =对称，①错误；因为(21)f x -为奇函数，所以(21)(21)f x f x -=---，所以(1)(1)f x f x -=---，所以()(2)f x f x =---，所以函数()f x 关于点(1,0)-中心对称，故②正确，由①可知，()(4)f x f x =--，由②可知，()(2)f x f x =---，故有(4)(2)f x f x --=---，令x x =-，则有(4)(2)f x f x -=--，所以()422T=---，解得4T =，所以函数()f x 的周期为4，故③正确；(2023)(50641)(1)0f f f =⨯-=-=，故④正确．故选：C ．6.已知定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()13f x x '>，13e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则关于x 的不等式()23e 102x f x ->的解集为（）A.1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()2,+∞【答案】A 【解析】【分析】根据题意，构造函数()()()1ln 33g x f x x =-，由函数()g x 的单调性即可得到结果.【详解】根据题意，令()()()1ln 33g x f x x =-，()0,x ∈+∞，()()103g x f x x''∴=->，则函数()g x 在()0,∞+上单调递增，又13e f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以不等式()23e102xf x ->，即()2102e 33xx f ->，即为()()()211eln 323ln 3133xf x -+>--，即变形为()()221113e ln 3e ln 3e 3exxf f ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，即得()21e e xg g ⎛⎫> ⎪⎝⎭，21eex-∴>，解得12x >-.所以不等式的解集为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.故选：A.7.设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为（）A.18B.14C.12D.1【答案】C 【解析】【分析】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞-+，分类讨论a -与,1b b --的大小关系，结合符号分析判断，即可得1b a =+，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln()x b +的符号，进而可得x a +的符号，即可得1b a =+，代入可得最值.【详解】解法一：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞-+，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；若-≤-a b ，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1b a b -<-<-，当(),1x a b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +>+<，此时()0f x <，不合题意；若1a b -=-，当(),1x b b ∈--时，可知()0,ln 0x a x b +<+<，此时()0f x >；当[)1,x b ∞∈-+时，可知()0,ln 0x a x b +≥+≥，此时()0f x ≥；可知若1a b -=-，符合题意；若1a b ->-，当()1,x b a ∈--时，可知()0,ln 0x a x b ++，此时()0f x <，不合题意；综上所述：1a b -=-，即1b a =+，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12；解法二：由题意可知：()f x 的定义域为(),b ∞-+，令0x a +=解得x a =-；令ln()0x b +=解得1x b =-；则当(),1x b b ∈--时，()ln 0x b +<，故0x a +≤，所以10b a -+≤；()1,x b ∞∈-+时，()ln 0x b +>，故0x a +≥，所以10b a -+≥；故10b a -+=，则()2222211112222a b a a a ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当11,22a b =-=时，等号成立，所以22a b +的最小值为12.故选：C.【点睛】关键点点睛：分别求0x a +=、ln()0x b +=的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.8.设tan 0.21a =，ln1.21b =，21121c =，则下列大小关系正确的是（）A.b c a <<B.b a c<< C.c a b<< D.c b a<<【答案】D 【解析】【分析】首先通过构造函数得到当π02x <<时，tan x x >，再通过构造函数()()πln 1,02f x x x x =-+<<进一步得到()ln 1x x >+，π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x ，由此即可比较,a b ，通过构造函数=ln 1+−1+,>0即可比较,c b ，由此即可得解.【详解】设()πtan ,02h x x x x =-<<，则ℎ′=1=1cos 2−1>0,0<<π2，所以()tan h x x x =-在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以ℎ=tan −>0=0，即πtan ,02x x x ><<，令()()πln 1,02f x x x x =-+<<，则()11011xf x x x =-=>++'，所以()()ln 1f x x x =-+在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，从而=−ln 1+>0=0，即()ln 1x x >+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan >>ln 1+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而当0.21x =时，tan 0.21ln1.21a b =>=，令=ln 1+−1+,>0，则′=11+−1+−1+=1+2>0，所以()()ln 11xg x x x=+-+在0,+∞上单调递增，所以0.21=ln1.21−21121>0=0，即21ln1.21121b c =>=，综上所述：21tan 0.21ln1.21121a b c =>=>=.故选：D.【点睛】关键点点睛：在比较,a b 的大小关系时，可以通过先放缩再构造函数求导，而在比较,c b 大小关系时，关键是通过构造适当的函数，通过导数研究函数单调性，从而来比较大小.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.下列说法正确的是（）A.函数()2f x 的定义域为()0,1，则函数()1f x -的定义域为()1,1-B.y =与y x =表示同一个函数C.关于x 的不等式()()10ax a x -+>的解集为{},1A B xx =≥∣，若A B ⊆，则0a =D.若13,24a b a b -<+<<-<，则23a b +的取值范围为913,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】根据复合函数定义域的求法判断A 的真假；根据两个函数额值域判断B 的真假；分情况讨论，根据集合间的关系求参数的取值范围，判断C 的真假；根据不等式的性质证明不等式，判断D 的真假.【详解】对A ：因为函数()2f x 的定义域为0,1，所以022x <<，由012x <-<⇒11x -<<，所以函数()1f x -的定义域为−1,1，故A 正确；对B ：因为函数y =[)0,∞+，函数y x =的值域为(),∞∞-+，所以两个函数不是同一个函数，故B 错误；对C ：当0a >时，()()10ax a x -+>⇒()()110a x x -+>⇒1x <-或1x >，所以{|1A x x =<-或}1x >；当0a =时，()()10ax a x -+>无解，所以A =∅；当0a <时()()10ax a x -+>⇒()()110a x x -+>⇒()()110x x -+<⇒11x -<<，，所以{}|11A x x =-<<.又A B ⊆，所以，只有A =∅时满足题意，此时0a =，故C 正确；对D ：因为13,24a b a b -<+<<-<，所以()5515222a b -<+<，()1212a b -<--<-，所以()()55115212222a b a b --<+--<-，即9132322a b -<+<，故D 正确.故选：ACD10.已知0x >，0y >，21x y +=，则下列说法正确的是（）A.xy 的最大值是18B.21x y+的最小值是8C.224x y +的最小值是12D.22x y +的最小值是15【答案】ACD【解析】【分析】用均值不等式判断选项A 、C 、，对选项B 进行“1的代换”，利用二次函数的性质判断选项D.【详解】A ：由0021x y x y >>+=，，，得1≥，所以18xy ≤(当且仅当1142x y ==，时取等号)，故A 正确；B ：212122()(2)59x y x y x y x y y x+=++=++≥，当且仅当2155x y ==，时取等号，故B 错误；C ：222114(2)41482x y x y xy +=+-≥-⨯=，即22142x y +≥当且仅当1142x y ==，时取等号，故C 正确；D ：由2112x y y x +=⇒=-，则2222221(12)5()55x y x x x +=+-=-+当25x =时22x y +取得最小值，最小值为15，故D 正确.故选：ACD.11.已知1x ，2x 分别是函数()1e xf x x =-和()1ln g x x x=-的零点，则（）A.1102x << B.12ln ln 0x x += C.12e ln 1xx =D.1213562x x <+<【答案】BCD 【解析】【分析】利用函数与方程思想，得到两根满足的方程关系，然后根据结构构造函数()e x h x x =，求导，研究单调性，得到112x >及12ln x x =，结合指对互化即可判断选项A 、B 、C ，最后再通过对勾函数单调性求解范围即可判断选项D.【详解】令()0f x =，得111e xx =，即11e 1xx =，1>0x ，令()0g x =，得221ln x x =，即22ln 1x x =，即2ln 2ln e 1xx =，21x >，记函数()e x h x x =，0x >，则()(1)0x h x x e '=+>，所以函数()e x h x x =在(0,)+∞上单调递增，因为111()e 1xh x x ==，1()12h =<，所以112x >，故A 错误；又12ln 1122()e 1,(ln )ln e 1x xh x x h x x ====，所以12ln x x =，12e x x =，所以112121ln ln ln()ln(e )ln10xx x x x x +====，故B 正确；所以1222e ln ln 1xx x x ==，故C 正确；又23122(e 1()33h h x =>=，所以123x <，结合112x >，得11223x <<，因为121x x =，所以12111x x x x +=+，且11223x <<，因为1y x x =+在区间12(,23上单调递减，所以1123112322x x +<+<+，即1213562x x <+<，故D 正确；故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题方法是把函数的零点转化为方程的根，通过结构构造函数，利用函数单调性及指对互化找到根的关系得出结论.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数()32e 1xc f x x =-++的图象关于点0,1成中心对称图形，()()2232f t f t -++>，则实数t 的取值范围是______.【答案】()(),13,-∞-⋃+∞【解析】【分析】由函数()f x 的图象关于点0,1成中心对称，所以()()2f x f x +-=，求出函数()f x 的解析式，构造函数()()1g x f x =-，所以()g x 的图象关于点()0,0对称，所以()g x 是定义域R 上的奇函数，且在R 上单调递减，然后利用奇偶性与单调性解不等式即可.【详解】因为函数()32e 1x cf x x =-++的图象关于点0,1成中心对称，所以()()2f x f x +-=，即33222e 1e 1xx c c x x --+++=++，所以2c =，所以()322e 1x f x x =-++，在定义域R 上单调递减，令()32()121e 1xg x f x x =-=-+-+，因为函数()f x 的图象关于点0,1成中心对称，所以()g x 的图象关于点()0,0对称，所以()g x 是定义域R 上的奇函数，且在R 上单调递减，因为()()2232f tf t -++>，所以−2−1>−2+3−1，即−2>−2+3，所以−2>−2−3，所以223t t -<--，解得1t <-或3t >，故实数t 的取值范围是()(),13,∞∞--⋃+.故答案为：()(),13,∞∞--⋃+.13.已知函数()()0e 23xf x f x =-++'，点P 为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线l 上的一点，点Q在曲线ex xy =上，则PQ 的最小值为____________．【解析】【分析】对()f x 求导后，代入0x =可求得()0f '，根据导数几何意义可求得切线l ，则可将问题转化为与20x y -+=平行且与曲线e xx y =相切的切点到直线20x y -+=的距离的求解，设切点,et tQ t ⎛⎫⎪⎝⎭，由切线斜率为1可构造方程求得切点坐标，利用点到直线距离公式可求得结果.【详解】()()0e 2xf x f ''=-+ ，()()002f f ''∴=-+，解得：()01f '=，()e 23x f x x ∴=-++，则()02f =，∴切线l 的方程为：2y x =+，即20x y -+=；若PQ 最小，则Q 为与20x y -+=平行且与曲线ex xy =相切的切点，所求最小距离为Q 到直线20x y -+=的距离，设所求切点,e t t Q t ⎛⎫⎪⎝⎭，由e x x y =，可得1e xx y -'=，所以11et t -=，即e 10tt +-=，又e 1t y t =+-单调递增，而0t =时e 10t y t =+-=，所以0t =，即()0,0Q ，min PQ ∴==..14.已知函数()2,0lg ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，关于x 的方程()()()221220f x m f x m m ⎡⎤++-+=⎣⎦有4个不同的实数解，则实数m 的取值范围为______.【答案】[)(]1,01,3- 【解析】【分析】令()f x t =，解方程()221220t m t m m ++-+=，根据m 的范围，结合图象讨论方程()1f x t =和()2f x t =的解的个数可得.【详解】令()f x t =，则()()()()222212201220f x m f x m m t m t m m ⎡⎤++-+=⇔++-+=⎣⎦，解()221220t m t m m ++-+=，得122,1t m t m =-=-，当1m <-时，122,0t t ><，由图可知，()1f x t =有两个实数解，()2f x t =有一个实数解，此时方程()()()221220f x m f x m m ⎡⎤++-+=⎣⎦有3个不同的实数解，不满足题意；当10m -≤<时，1202,20t t <≤-≤<，由图可知，()1f x t =有3个实数解，()2f x t =有一个实数解，满足题意；当0m =时，120,1==-t t ，()1f x t =有两个实数解，()2f x t =有一个实数解，不满足题意；当01m <≤时，1220,10t t -≤<-<≤，由图可知，()1f x t =有1个实数解，()2f x t =有1个或2个实数解，不满足题意；当13m <≤时，1262,02t t -≤<-<≤，由图可知，()1f x t =有1个实数解，()2f x t =有3个实数解，满足题意；当3m >时，126,2t t -，由图可知，()1f x t =有1个实数解，()2f x t =有2个实数解，不满足题意.综上，实数m 的取值范围为[)(]1,01,3- .故答案为：[)(]1,01,3-【点睛】本题属于函数零点的综合性问题，根据函数零点个数求参数的问题，常用数形结合法.本题先要从整体结构分析，通过换元法解方程，再将方程的根的个数问题转化为图象交点个数问题，利用数形结合分类讨论可得.四、解答题：本题共4小题，共47分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数()()320f x ax bx cx a =++>的极小值为2-，其导函数()f x '的图象经过()1,0A -，()10B ,两点.（1）求()f x 的解析式；（2）若曲线()y f x =恰有三条过点()1,P m 的切线，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()33f x x x=-（2）()3,2--【解析】【分析】（1）根据函数()f x '的图象经过()1,0A -，()10B ,列方程，并判断极小值点，结合极小值为2-列方程，联立求解可得；（2）设切点坐标，求切线方程，根据题意可得方程322330x x m -++=有三个不同实数解，然后构造函数()32233g x x x m =-++，利用导数讨论其单调性和极值，即可列出关于m 的不等式组，求解可得.【小问1详解】()232f x ax bx c '=++，因为0a >，且()f x '的图象经过()1,0A -，()10B ,两点.所以当(),1x ∈-∞-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当()1,1x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.所以()f x 在1x =处取得极小值，所以()12f a b c =++=-，又因为()10f '-=，()10f '=，所以320a b c -+=，320a b c ++=，解方程组3203202a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩得1a =，0b =，3c =-，所以()33f x x x =-.【小问2详解】设切点为()00,x y ，则30003y x x =-，因为()233f x x ¢=-，所以()20033f x x '=-，所以切线方程为()()()320000333y x x x x x --=--，将()1,P m 代入上式，得32002330x x m -++=.因为曲线()y f x =恰有三条过点()1,P m 的切线，所以方程322330x x m -++=有三个不同实数解.记()32233g x x x m =-++，则导函数()()26661g x x x x x '=-=-，令()0g x '=，得0x =或1.列表：x (),0-∞0()0,11()1,+∞()g x '+0-0+()g x ↗极大↘极小↗所以()g x 的极大值为()03g m =+，()g x 的极小值为()12g m =+，所以()()0010g g ⎧>⎪⎨<⎪⎩，解得32m -<<-.故m 的取值范围是()3,2--.16.随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产x 台，需另投入成本()G x 万元，且()2280,04036002012100,40100x x x G x x x x ⎧+<≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．（1）写出年利润()W x 万元关于年产量x 台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）()22120300,04036001800,40100x x x W x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨⎛⎫-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.【解析】【分析】（1）每台售价200万，销售收入是200x ，减去对应的成本，以及固定成本300万，即为利润；（2）观察利润的函数解析式，发现040x <≤对应的函数解析式为开口向下的二次函数，可利用二次函数的特点求最大利润值，40100x <≤对应的函数解析式中含有基本不等式的部分，可考虑利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润.【小问1详解】当040x <≤时，()22()2002803002120300W x x x x x x =-+-=-+-；当40100x <≤时，36003600()20020121003001800W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22120300,04036001800,40100x x x W x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨⎛⎫-++<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】若040x <≤，2()2(30)1500W x x =--+，当30x =时，max ()1500W x =万元；若40100x <≤，3600()1800180012018001680W x x x ⎛⎫=-++≤-=-+= ⎪⎝⎭，当且仅当3600x x=时，即60x =时，max ()1680W x =万元．则该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元.17.已知函数()e x f x x -=.（1）求函数()f x 的单调区间与极值；（2）已知函数()f x 与函数()g x 的图象关于直线1x =对称.证明：当1x >时，不等式()()f x g x >恒成立.【答案】（1）单调递增区间为(),1-∞，单调递减区间为()1,+∞，函数()f x 的极大值为1e，无极小值（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对函数求导，根据导函数的符号确定函数的递增递减区间，继而得到极大值；（2）令()()(),1h x f x g x x =->，求导利用单调性即得结论.【小问1详解】由()e x f x x -=可得：()(1)e x f x x -'=-,故当(),1x ∈-∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞，函数()f x 的单调递减区间为()1,+∞，且当1x =时，函数()f x 的极大值为()11ef =，无极小值.【小问2详解】因为函数()f x 与函数()g x 的图象关于直线1x =对称，所以2()(2)=(2)e ,x g x f x x -=--则2e ((2)())e x x f x x g x x --+--=.令()()(),1h x f x g x x =->，则222()(1)(1)(1)(1),1x x x x h x x e x e x e e x ----'=-+-=-->则当1x >时，()0h x '>，故函数()h x 单调递增，于是，当1x >时，()(1)0h x h >=，故当1x >时，不等式()()f x g x >恒成立.18.已知函数()()1e 02x f x ax a =-≠．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）已知函数()()ln x g x f x x =-有两个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）求得()()1e x f x a x +'=，分0a >、0a <两种情况讨论，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数()f x 的减区间和增区间；（2）由()0g x =可得()2ln 2e 2ln 0x x a x x +-+=，令2ln t x x =+∈R ，可得2e tt a =，令()e t t p t =，分析可知，直线2y a =与函数()p t 的图象有两个交点，利用导数分析函数()p t 的单调性与极值，数形结合可得出实数a 的取值范围.【小问1详解】解：函数()()1e 02x f x ax a =-≠的定义域为R ，()()1e x f x a x +'=.当0a >时，由()0f x '<可得1x <-，由()0f x '>可得1x >-，此时函数()f x 的减区间为(),1∞--，增区间为()1,-+∞；当0a <时，由()0f x '<可得1x >-，由()0f x '>可得1x <-，此时，函数()f x 的增区间为(),1∞--，减区间为()1,-+∞.综上所述，当0a >时，函数()f x 的减区间为(),1∞--，增区间为()1,-+∞；当0a <时，函数()f x 的增区间为(),1∞--，减区间为()1,-+∞.【小问2详解】解：函数()()ln x g x f x x =-的定义域为()0,∞+，因为函数()()ln x g x f x x =-在()0,∞+上有两个零点，即1ln e 2x x ax x -=有两个不同的正实数根，即()22e 2ln 0xax x x -+=有两个不同的正实数解，即()2ln 2e 2ln 0x x a x x +-+=有两个不同的正实数解，令2ln t x x =+，则2e 0t a t -=，可得2e t t a =，令()2ln h x x x =+，其中()0,x ∈+∞，则()210h x x'=+>，所以，函数()h x 在()0,∞+上单调递增，作出函数()h x 的图象如下图所示：由图可知，函数()h x 的值域为R ，所以，()2ln t x x =+∈R ，令()e t t p t =，其中t ∈R ，则()1e tt p t -'=，当1t <时，()0p t '>，此时函数()p t 单调递增，当1t >时，()0p t '<，此时函数()p t 单调递减，且当0t <时，()0e t t p t =<；当0t >时，()0e tt p t =>，因为函数()g x 有两个不同的零点，则直线2y a =与函数()e tt p t =的图象有两个交点，如下图所示：由图可知，当102a e<<时，即当102e a <<时，直线2y a =与函数()e t t p t =的图象有两个交点，因此，实数a 的取值范围是10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.。

安徽省合肥市2021-2022学年高三上学期第一次教学质量检测文科数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）第I 卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。

1.集合M={-1,0,1,2},N={x|x 2+2x-3<0},则M ∩N=A.{-1,0,1}B.{-1,0}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}2.若1a i i +-＝－2-i(i 为虚数单位），则实数a 的值为 A.-3 B.-1 C.1 D.33.若向量a ,b 为单位向量，|a -2b |=7,则向量a 与向量b 的夹角为A.30°B.60°C.120°D.150°4.函数y=2sin|2x||1x +在[－π,π]的图象大致为5.在高一入学时，某班班委统计了本班所有同学中考体育成绩的平均分和方差．后来又转学来 一位同学。

若该同学中考体育的绩恰好等于这个班级原来的平均分，则下列说法正确的是A.班级平均分不变，方差变小B.班级平均分不变，方差变大C.班级平均分改变，方差变小D.班级平均分改变，方差变大6.将函数f （x)=2sim(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移3π个单位后，所得函数图象关于原点对 称，则12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A.-3B.-1C.1D.27.扇面是中国书画作品的一种重要表现形式．一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上下两条弧分别是半径为27和12的两个同心圆上的弧，侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心且圆心角为23π。

若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形 状、大小一致，则该几何体的高为A.15B.D.128.若M(1，-2)为角a 终边上的一点，则sin2a -4π)值等于A.-10B.-10 C.10 D.10f(x)-f(x)>0, 9.若f(x)是定义在R 上的偶函数，对∀x 1,x 2=(-∞,0],当x 1≠x 2时，都有1212()()f x f x x x -->0 则a=f(sin3),b=f(13),c=f(21.5)的大小关系是 A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a 10.命题p: ∀x ∈R,e x >2x(e 为自然对数的底数）；命题q: ∃x>1,1nx+1ln x ≤2,则下列命题中，真命题是A. ⌝ (p ∨q)B.p ∧qC.p ∧ (⌝q)D.( ⌝p) ∧^q11.椭圆C 的左焦点F 关于直线1:y= -3x 的对称点是M,连接FM 并延长交椭圆C 于点P. 若FM=,则椭圆C 的离心率是A.12 B.C ..12.在四棱锥A-BCDE 中，CD//BE, ∠BCD=90°是AC 的中点若平面ABE ⊥平面BCDE,则下列三个结论：①EA ⊥BC;②BE ⊥AD;③EM ⊥AD 中，正确的是A.①②B.①③C.②③D.①②③第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题一第21题为必考题，每个试题考生都必须作答． 第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．第16题第一空2分，第二空3分． 把答案填在答题卡上的相应位置。

合肥六中2022届高三上学期数学（理） 第十二次周考测试题一、选择题1、设集合{1,1}M =-，{}2|6N x x x =-<，则下列结论正确的是（ ） A. N M ⊆B. NM =∅ C. M N ⊆D. M N R =2、已知a R ∈，i 是虚数单位，若2a i i -+与532ii i--互为共轭复数，则a =（ ） A.13B. 13-C. -3D. 33. 正项等比数列{}n a 中，1473692,18a a a a a a ++=++=，则{}n a 的前9项和9S =（ ） A. 14B. 26C. 30D. 294、下列说法正确的是（ ）A. 对于命题p :0x R ∃∈，20010x x ++>，则p ⌝:0x R ∀∈，210x x ++<B. 在ABC ∆中，“A B <”是“sin sin A B <”的既不充分也不必要条件C. 若命题p q ∧为假命题，则p ，q 都是假命题D. 命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠” 5、已知(0,)2a π∈，且2cos 2cos()4παα=-，则sin 2α的值为（ ） A.18B. 18-C. 78D. 78-6、设函数311log (2),(1)()3,(1)x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩，则3(7)(log 12)f f -+=（ ） A. 7B. 9C. 11D. 137、设直线2y x a =+与圆C ：22220x y ay +--=相交于A ，B 两点，若||23AB =，则圆C 的面积为（ ） A. πB. 2πC. 3πD. 4π8、曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点1(,)22M π处的切线的倾斜角为（ ）A. 6πB. 4πC. 3πD. 56π9、已知单位向量a ，b 满足a b ⊥，向量21m a t b =--，n ta b =+，（t 为正实数），则m n ⋅的最小值为（ ） A.158B.52C.154D. 010、若直线(1)x m m =>与函数()log a f x x =，()log b g x x =的图象及x 轴分别交于A ，B ，C 三点，若||2||AB BC =，则（ ）A. 2b a =或2a b =B. 1a b -=或3a b =C. 1a b -=或3b a =D. 3b a = 11、函数21,1()3,1xx x f x x +<⎧=⎨≥⎩，则满足()(())3f m f f m =的实数m 的取值范围是（ ） A. 1(,0){}2-∞- B. [0,1]C. 1[0,)2⎧⎫+∞-⎨⎬⎩⎭D. [1,)+∞ 12、已知各项均为正数的递增数列{}n a 的前n 项和为n S 满足21n n S a =+，*()nn n a b t N a t=∈+，若12,,m b b b 成等差数列，则t m +=（ ）A. 8B. 9C. 7或8D. 8或9二、填空题13、若直线20ax y +-=与直线2(1)40x a y +-+=，则a = . 14、函数sin()y A x ωϕ=+(0,0,||)2A πωϕ>><的部分图像如图所示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的图像解析式y = . 15、已知0(21)nn a x dx =+⎰，*()n N ∈，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，数列{}n b 的通项公式为8n b n =-，则n n b S 的最小值为 .16、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，点E ，F 为PA PD ，的中点，则面BCFE 将四棱锥P ABCD -所分成的上下两部分的体积的比值为 . 三、解答题17、已知圆C 经过(2,4)、(1,3)，圆心C 在直线10x y -+=上，过点(0,1)A 的直线l 交圆相交于M 、N 两点.（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）请问AM AN ⋅是否为定值，若是，恳求出该定值，若不是，请说明理由.18、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11S =，24S =，且当3n ≥时，132n S -+是n S 与2n S -的等差中项，数列{}n b 为等比数列，且2211b a =+，3312b a =+. （Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .19、如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =.（Ⅰ）求证：//MN 平面BDE ； （Ⅱ）求二面角C EM N --的正弦值；（Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721，求线段AH 的长.20、已知函数2()ln (,,1)xf x a x x a b a b R a =+--∈>，e 是自然对数的底数. （Ⅰ）当a e =，4b =时，求函数()f x 的零点个数； （Ⅱ）若1b =，求()f x 在[1,1]-上的最大值.周考卷答案1、【答案】C【解析】{|23}N x x =-<<，所以M N ⊆，N M M =，M N N =，故选C.2、【答案】D【解析】()(2)(21)(2)21225555a i a i i a a i a a i i -----+-+===-+，55(2)51033312(2)(2)5i i i i i i i i i i i +-+-=-=-=+--+，∵2a i i -+与532ii i --互为共轭复数， ∴2115a -=，215a +-=-，解得3a =，故选D.3、【答案】B【解析】由题意得9147258369()()()261826S a a a a a a a a a =++++++++=++=，选B. 4、【答案】D【解析】由于“p :0x R ∃∈，20010x x ++>”的否定为“0x R ∀∈，210x x ++≤”，故选项A 错误；由于在ABC ∆中，“A B <”是“sin sin A B <”的充要条件，故选项B 错误；若命题p q ∧为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题，故选项C 错误；故选D.5、【答案】C【解析】由题意可得：222(cos sin )coscos sinsin 44ππαααα-=+，即：2(cos sin )(cos sin )(cos sin )2αααααα+-=+，由α的范围可得cos sin 0cos sin 4αααα+≠⇒-=，两边平方可得：11sin 28α-=，∴7sin 28α=.本题选择C. 6、【答案】A【解析】3(7)1log 93f -=+=，由于333log 12log (34)1log 4=⨯=+，所以3log 43(log 12)34f ==，所以，3(7)(log 12)347f f -+=+=.7、【答案】D【解析】由于圆心坐标与半径分别为(0,)C a，rd ==则2232a +=+，解之得22a =，所以圆的面积 2224S r πππ==⨯=，应填答案D.8、【答案】B 【解析】由已知得2cos (sin cos )sin (cos sin )1(sin cos )1sin 2x x x x x x y x x x+--'==++在点 1(,)22M π处的斜率1k =，则倾斜角为4π，故选B.9、【答案】A【解析】由题意可得：2m n t ⋅=0)m m =≥，则：21t m =+，换元可得：2()22(0)g m m m m =-+≥，结合二次函数的性质可得：函数的最小值为115()48g =.10、【答案】C【解析】由题意可知(,log )(,log )(,0)a b A m m B m m C m ，，，∵||2||AB BC =， ∴log 3log a b m m =或log log a b m m =-，∴log 3log m m b a =或log log m m a b =-， ∴3b a =或1a b -=. 故选C. 11、【答案】C【解析】由()(())3f m f f m =，可得()()12()13f m f m f m <⎧⎨+=⎩得()0f m =得12m =-，或()1f m ≥时，明显成立，即1211m m <⎧⎨+≥⎩得01m ≤<，或131n m ≥⎧⎨≥⎩得1m ≥，综上可得实数m 的取值范围是1[0,)2⎧⎫+∞-⎨⎬⎩⎭，故选C.12、【答案】D【解析】当1n =时，11a =+，解得11a =；当2n ≥时，由1n a =+，得21()2n n a S +=，则221111()()22n n n n n a a a S S --++=-=-，整理，得 2211220n n n n a a a a -----=，配方，得221(1)(1)n n a a --=+. 由题意知，数列{}n a 为单调递增数列，且0n a >，则111n n a a --=+，即12n n a a --=，所以数列{}n a 为等差数列，则21n a n =-，所以2121n n b n t -=-+，则由12,,m b b b 成等差数列，得312123121m t t m t -⨯=+++-+，所以431m t =+-. 由于*,m t N ∈，故t 只能取2，3，5. 当2t =时，7m =；当3t =时，5m =；当5t =时，4m =，所以8m t +=或9，故选D.13、【解析】由20ax y +-=与直线2(1)40x a y +-+=平行，得(1)2a a -=，∴1a =-，2a =，检验1a =-时，两直线重合（舍去），所以2a =时，20ax y +-=与直线2(1)40x a y +-+=平行. 故2a =. 14、【解析】6211212ππωϕπωϕπ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩得26ωπϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以()sin(2)6f x x π=+，右移6π个单位后，得sin(2)6y x π=-. 15、【答案】-4【解析】由220(21)nnn a x dx x xn n =+=+=+⎰，∴1111(1)1n a n n n n ==-++，∴数列1{}na 得前项和为111111(1)()()1223111n nS n n n n =-+-++-=-=+++，又8n b n =-，∴2(1)10(1)999(8)(1)102(1)1041111n n n n n b S n n n n n n n +-++=-⋅==++-≥+⋅-=-++++，当且仅当911n n +=+，即2n =时等号成立. 16、【答案】35【解析】设棱锥得底面ABCD 的面积为S ，高为h ，13P ABCD V Sh -=，先求三棱锥F BDC -的体积，1113232212F BDC DBC h S h V S Sh -∆=⋅⋅=⋅⋅=，同理11326P ADB S V h Sh -=⋅⋅=，由于三棱锥B ADFE -和B PAD -等高，而34ADFE PAD S S =，则311468B ADFE V Sh SH -=⋅=，所以下半部分的体积为524Sh ，上半部分的体积为15332424Sh Sh Sh -=，所以上下两部分体积之比为35. 17、【解析】（Ⅰ）设圆M 的方程为222()()x a y b r -+-=，则依题意，得222222(2)(4)(1)(3)10a b r a b r a b ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪-+=⎩解得2,3,1,a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴圆M 的方程为22(2)(3)1x y -+-=. （Ⅱ）AM AN ⋅为定值，过点(0,1)A 的直线AT 与圆C 相切，切点为T ，则27AT =，∴2||||cos 07AM AN AM AN AT ⋅=⋅︒==，∴AM AN ⋅为定值，且定值为7.18、【解析】（Ⅰ）由于当3n ≥时，132n S -+是n S 与2n S -的等差中项，所以1232()2n n n S S S --+=+，即2123n n n S S S --+=+，也就是112()()3n n n n S S S S ------=，即13(3)n n a a n --=≥. 而111a S ==，2213a S S =-=，明显2123a a -=≠，所以数列{}n a 从第2项起构成等差数列，公差3d =. 故当2n ≥时，2(2)3(2)333n a a n d n n =+-=+-⨯=-.故1,133,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩.等比数列{}n b 中，221114b a ==+，331128b a ==+. 故其公比3212b q b ==. 所以其通项222111()422n n n n b b q --=⋅=⨯=. （Ⅱ）令n n n c a b =⋅，由（Ⅰ）知，1,1233,22n n n n n c a b n n ⎧=⎪⎪=⋅=⎨-⎪≥⎪⎩，当1n =时，1112T c ==.当2n ≥时，1231n n n T c c c c c -=+++++23113233333(1)33322222n nn n -⨯-⨯----=+++++ ① 2311113233(2)33(1)333222222n n nn n n n T -+⨯------=+++++② ①-②，得232311131[1()]11233333113322()1222222222212n n n n n n n n T --++---=+++++-=++--21131337331(1)42242n n n n n -++-+=+--=-，所以73322n n n T +=-. 明显，当1n =时，也成立.故73322n n n T +=-.19、【解析】如图，以A 为原点，分别以AB ，AC ，AP 方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系. 依题意可得(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,4,0)C ，(0,0,4)P ，(0,0,2)D ，(0,2,2)E ，(0,0,1)M ，(1,2,0)N .（Ⅰ）证明：(0,2,0)DE =，(2,0,2)DB =-.设(,,)n x y z =，为平面BDE 的法向量，则0n DE n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220y x z =⎧⎨-=⎩，不妨设1z =，可得(1,0,1)n =，又(1,2,1)MN =-，可得0MN n ⋅=.由于MN ⊄平面BDE ，所以//MN 平面BDE .（Ⅱ）易知1(1,0,0)n =为平面CEM 的一个法向量，设2(,,)n x y z =为平面EMN 的法向量，则220n EM n MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，由于(0,2,1)EM =--，(1,2,1)MN =-，所以2020y z x y z --=⎧⎨+-=⎩. 不妨设1y =，可得2(4,1,2)n =--，因此有121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>==-于是12sin ,n n <>=，所以，二面角C EM N --（Ⅲ）依题意，设(04)AH h h =≤≤，则(0,0,)H h ，进而可得(1,2,)NH h =--，(2,2,2)BE =--. 由已知，得|||cos ,|21||||NH BE NH BE NH BE h ⋅<>===2102180h h -+=， 解得85h =或12h =. 所以，线段AH 的长为85或12. 20、【解析】（Ⅰ）2()4xf x e x x =+--，∴'()21xf x e x =+-，∴'(0)0f =，当0x >时，1x e >，∴'()0f x >，故()f x 是(0,)+∞上的增函数，当0x <时，1x e <，∴'()0f x <，故()f x 是(,0)-∞上是减函数，(1)40f e =-<，2(2)20f e =->，∴存在1(1,2)x ∈是()f x 在(0,)+∞上的唯一零点；21(2)20f e -=+>，1(1)20f e-=-<，∴存在2(2,1)x ∈--是()f x 在(,0)-∞上的唯一零点，所以()f x 的零点个数为2.（Ⅱ）'()ln 2ln 2(1)ln x xf x a a x a x a a =+-=+-，当0x >时，由1a >，可知10xa ->，ln 0a >，∴'()0f x >，当0x <时，由1a >，可知10xa -<，ln 0a <，∴'()0f x <，当0x =时，'()0f x =，∴()f x 是[1,0]-上的减函数，[0,1]上的增函数，∴当[1,1]x ∈-时，min ()(0)f x f =，max ()f x 为(1)f -和(1)f 中的较大者，而1(1)(1)2ln f f a a a--=--， 设1()2ln (1)g x x x x x=-->， ∵22121'()1(1)0g x x x x=+-=-≥（当且仅当1x =时等号成立），∴()g x 在(0,)+∞上单调递增，而(1)0g =，∴当1x >时，()0g x >，即1a >时，12ln 0a a a--≥，∴(1)(1)f f >-.∴()f x 在[1,1]-上的最大值为(1)ln f a a =-.。

2014-2015学年某某省某某高中高三（上）周测数学试卷（文科）（1.28）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题P：∀x＞0，x3＞0，那么¬P是（）A．∃x≤0，x3≤0 B．∀x＞0，x3≤0 C．∃x＞0，x3≤0 D．∀x＜0，x3≤0 2．已知集合M={x|x﹣2＜0}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值X围是（）A．[2，+∞）B．D．（﹣∞，0]3．设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则m的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．34．已知点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，焦点为F，|PF|=25，则|ab|=（）A．100 B．200 C．360 D．4005．（5分）为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从编号依次为1到50的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验，用每部分选取的间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5瓶饮料的编号可能是（）A．5，10，15，20，25 B．2，4，6，8，10C．1，2，3，4，5 D．7，17，27，37，476．（5分）（2015某某一模）一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）A．B．C．D．7．如图所示的程序框图中，若f（x）=x2﹣x+1，g（x）=x+4，且h（x）≥m恒成立，则m 的最大值是（）A．0 B．1 C．3 D．48．已知点P（x，y）的坐标满足条件，则x2+y2的最大值为（）A．17 B．18 C．20 D．219．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣3）=f（5）=1，f'（x）为f（x）的导函数，且导函数y=f′（x）的图象如图所示．则不等式f（x）＜1的解集是（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，5）C．（0，5）D．（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）10．已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（）A．﹣1 B．C．D．211．（5分）（2015某某二模）设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f（2015）=（）A．0 B．2014 C．4028 D．403112．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值X围为（）A．[3，6] B．[4，6] C．D．[2，4]二、填空题：每小题5分，共20分．13．（5分）已知数列{a n}是等比数列，若a4=，a6=6，则a10=．14．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是．15．（5分）（2015某某二模）已知体积为的正三棱锥V﹣ABC的外接球的球心为O，满足，则该三棱锥外接球的体积为．16．（5分）（2015某某模拟）给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确命题是．三、解答题：本大题共6道题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2015某某一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足，2bsinA=a，BC边上中线AM的长为．（Ⅰ）求角A和角B的大小；（Ⅱ）求△ABC的面积．18．（12分）（2014秋禅城区校级期中）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：健康指数 2 1 0 ﹣160岁至79岁的人数120 133 32 1580岁及以上的人数9 18 14 9其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，﹣1代表“生活不能自理”．（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老龄人生活能够自理的概率是多少？（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率．19．（12分）（2016凉山州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC=90°，AD=2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面BMQ；（Ⅱ）已知PD=DC=AD=2，求点P到平面BMQ的距离．20．（12分）（2015某某一模）已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2=1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．21．（12分）（2014秋涪城区校级月考）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（e为自然对数的底数），a＞0．（Ⅰ）若函数f（x）恰有一个零点，证明：a a=e a﹣1；（Ⅱ）若f（x）≥0对任意x∈R恒成立，某某数a的取值集合．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题记分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）（2016某某一模）如图所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，AB=5，求弦DE的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015某某一模）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t 为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．（2015某某一模）已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣2|x+1|．（Ⅰ）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，某某数m的取值X围．2014-2015学年某某省某某高中高三（上）周测数学试卷（文科）（1.28）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题P：∀x＞0，x3＞0，那么¬P是（）A．∃x≤0，x3≤0 B．∀x＞0，x3≤0 C．∃x＞0，x3≤0 D．∀x＜0，x3≤0 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P：∀x＞0，x3＞0，那么¬P是∃x＞0，x3≤0．故选：C．【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．2．已知集合M={x|x﹣2＜0}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值X围是（）A．[2，+∞）B．D．（﹣∞，0]【分析】解出集合M，根据子集的概念即可求得实数a的取值X围．【解答】解：M={x|x＜2}；∵M⊆N；∴a≥2；∴a的取值X围是[2，+∞）．故选A．【点评】考查子集的概念，描述法表示集合，可借助数轴求解．3．设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则m的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0求得m的值．【解答】解：∵为纯虚数，∴m+3=0，即m=﹣3．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．已知点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，焦点为F，|PF|=25，则|ab|=（）A．100 B．200 C．360 D．400【分析】根据抛物线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离，从而求出b，进而求ab 的值．【解答】解：根据抛物线是定义，准线方程为：y=﹣5，|PF|=b+5=25，∴b=20，又点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，∴a2=20×20，∴a=±20，∴|ab|=400，故选D．【点评】本题主要考查抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．5．（5分）为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从编号依次为1到50的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验，用每部分选取的间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5瓶饮料的编号可能是（）A．5，10，15，20，25 B．2，4，6，8，10C．1，2，3，4，5 D．7，17，27，37，47【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔进行判断即可．【解答】解：要从编号依次为1到50的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验，则样本间隔为50÷5=10，则只有7，17，27，37，47满足条件．，故选：D．【点评】本题主要考查系统抽样的应用，根据条件求出样本间隔是解决本题的关键．比较基础．6．（5分）（2015某某一模）一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（）A．B．C．D．【分析】由三视图的作法规则，长对正，宽相等，对四个选项进行比对，找出错误选项．【解答】解：本题中给出了正视图与左视图，故可以根据正视图与俯视图长对正，左视图与俯视图宽相等来找出正确选项A中的视图满足三视图的作法规则；B中的视图满足三视图的作法规则；C中的视图不满足三视图的作法规则中的宽相等，故其为错误选项；D中的视图满足三视图的作法规则；故选C【点评】本题考查三视图的作法，解题的关键是掌握住三视图的作法规则即长对正，宽相等，高平齐，利用这些规则即可选出正确选项．7．如图所示的程序框图中，若f（x）=x2﹣x+1，g（x）=x+4，且h（x）≥m恒成立，则m 的最大值是（）A．0 B．1 C．3 D．4【分析】由已知中的程序框图可得该程序的功能是计算并输出分段函数：h（x）=的值，数形结合求出h（x）的最小值，可得答案．【解答】解：由已知中的程序框图可得该程序的功能是：计算并输出分段函数：h（x）=的值，在同一坐标系，画出f（x）=x2﹣x+1，g（x）=x+4的图象如下图所示：由图可知：当x=﹣1时，h（x）取最小值3，又∵h（x）≥m恒成立，∴m的最大值是3，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，分段函数的应用，函数恒成立，难度中档．8．已知点P（x，y）的坐标满足条件，则x2+y2的最大值为（）A．17 B．18 C．20 D．21【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：设z=x2+y2，则z的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，则OC的距离最大，由，解得，即C（3，3），则z=x2+y2=9+9=18，故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合数形结合是解决本题的关键．9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣3）=f（5）=1，f'（x）为f（x）的导函数，且导函数y=f′（x）的图象如图所示．则不等式f（x）＜1的解集是（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，5）C．（0，5）D．（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）【分析】由图象可以判断出f（x）的单调性情况，由f（﹣3）与f（5）的取值，即可得出答案．【解答】解：由f′（x）的图象可得，f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，又由题意可得，f（﹣3）=f（5）=1，∴f（x）＜1的解集是（﹣3，5），故选：B．【点评】本题考查导函数图象与函数单调性的关系，考查学生灵活转化题目条件的能力，属于中档题．10．已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（）A．﹣1 B．C．D．2【分析】根据三角函数的图象和性质，求出函数的周期，利用向量的基本运算和向量的数量积定义即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（2πx+φ）的周期T==2，则BC==1，则C点是一个对称中心，则根据向量的平行四边形法则可知： =2， =∴=2=2||2=2×12=2．故选：D．【点评】本题主要考查向量的数量积运算，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键．11．（5分）（2015某某二模）设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f（2015）=（）A．0 B．2014 C．4028 D．4031【分析】函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，1），即x1+x2=0时，总有f （x1）+f（x2）=2，再利用倒序相加，即可得到结论【解答】解：∵f（x）=x3+sinx+1，∴f′（x）=3x2﹣cosx，f''（x）=6x+sinx又∵f''（0）=0而f（x）+f（﹣x）=x3+sinx+1+﹣x3﹣sinx+1=2，函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，1），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=2，∴f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f（2015）=2×2015+f（0）=4030+1=4031．故选：D．【点评】本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=0时，总有f （x1）+f（x2）=2，是解题的关键．12．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值X围为（）A．[3，6] B．[4，6] C．D．[2，4]【分析】通过建立直角坐标系求出AB所在直线的方程，设出M，N的坐标，将=2（b ﹣1）2+4，0≤b≤2，求出X围即可．【解答】解：以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，则A（3，0），B（0，3），∴AB所在直线的方程为： =1，则y=3﹣x，设N（a，3﹣a），M（b，3﹣b），且0≤a≤3，0≤b≤3不妨设a＞b，∵MN=，∴（a﹣b）2+（b﹣a）2=2，∴a﹣b=1，∴a=b+1，∴0≤b≤2，∴=（a，3﹣a）（b，3﹣b）=2ab﹣3（a+b）+9，=2（b2﹣2b+3）=2（b﹣1）2+4，0≤b≤2，∴当b=0或b=2时有最大值6；当b=1时有最小值4．∴的取值X围为[4，6]故选B．【点评】熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积的坐标运算是解题的关键．二、填空题：每小题5分，共20分．13．（5分）已知数列{a n}是等比数列，若a4=，a6=6，则a10= 96 ．【分析】由已知求出等比数列的公比的平方，再代入等比数列的通项公式求得a10．【解答】解：在等比数列{a n}中，∵a4=，a6=6，∴，∴．故答案为：96．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．14．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100），若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是50 ．【分析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50．故答案为：50【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，结合已知中的频率分布直方图，结合频率=矩形的高×组距，求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键．15．（5分）（2015某某二模）已知体积为的正三棱锥V﹣ABC的外接球的球心为O，满足，则该三棱锥外接球的体积为．【分析】由题意球的三角形ABC的位置，以及形状，利用球的体积，求出球的半径，求出棱锥的底面边长，利用棱锥的体积求出该三棱锥外接球的体积即可．【解答】解：正三棱锥D﹣ABC的外接球的球心O满足，说明三角形ABC在球O的大圆上，并且为正三角形，设球的半径为：R，棱锥的底面正三角形ABC的高为：底面三角形ABC的边长为： R正三棱锥的体积为：××（R）2×R=解得R3=4，则该三棱锥外接球的体积为=．故答案为：．【点评】本题考查球的内接体问题，球的体积，棱锥的体积，考查空间想象能力，转化思想，计算能力，是中档题．16．（5分）（2015某某模拟）给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确命题是②③④．【分析】根据正弦函数的符号和指数函数的性质，可得该方程存在小于0的实数解，故①不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性，可得方程有无数个正数解，故②正确；根据y=（）x﹣1的单调性与正弦函数的有界性，分析可得当x≤﹣1时方程没有实数解，当﹣1＜x＜0时方程有唯一实数解，由此可得③④都正确．【解答】解：对于①，若α是方程（）x+sinx﹣1=0的一个解，则满足（）α=1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）α＞1，此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；对于②，原方程等价于（）x﹣1=﹣sinx，当x≥0时，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函数y=﹣sinx的最小值为﹣1且用无穷多个x满足﹣sinx=﹣1，因此函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在[0，+∞）上有无穷多个交点因此方程（）x+sinx﹣1=0有无数个实数解，故②正确；对于③，当x＜0时，由于x≤﹣1时（）x﹣1≥1，函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象不可能有交点当﹣1＜x＜0时，存在唯一的x满足（）x=1﹣sinx，因此该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解，得③正确；对于④，由上面的分析知，当x≤﹣1时（）x﹣1≥1，而﹣sinx≤1且x=﹣1不是方程的解∴函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在（﹣∞，﹣1]上不可能有交点因此只要x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．故答案为：②③④【点评】本题给出含有指数式和三角函数式的方程，讨论方程解的情况．着重考查了指数函数的单调性、三角函数的周期性和有界性、函数的值域求法等知识，属于中档题．三、解答题：本大题共6道题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2015某某一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足，2bsinA=a，BC边上中线AM的长为．（Ⅰ）求角A和角B的大小；（Ⅱ）求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，确定出角A的度数，将2bsinA=a利用正弦定理化简求出sinB的值，即可确定出角B的大小；（Ⅱ）由A=B，利用等角对等边得到AC=BC，设AC=BC=x，利用余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AC与BC的长，再由sinC的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．【解答】解：（Ⅰ）由a2﹣b2﹣c2+bc=0得：a2﹣b2﹣c2=﹣bc，即b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理得：cosA==，∵A为三角形内角，∴A=，由2bsinA=a，利用正弦定理化简得：2sinBsinA=sinA，即sinB=，则B=；（Ⅱ）由A=B，得到AC=BC=x，可得C=，由余弦定理得AM2=x2+﹣2x（﹣）=14，解得：x=2，则S△ABC=ACBCsinC=×2×2×=2．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）（2014秋禅城区校级期中）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：健康指数 2 1 0 ﹣160岁至79岁的人数120 133 32 1580岁及以上的人数9 18 14 9其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，﹣1代表“生活不能自理”．（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老龄人生活能够自理的概率是多少？（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率．【分析】（Ⅰ）求出该小区80岁以下的老龄人数，即可求解老龄人生活能够自理的概率．（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．写出5人中抽取3人的基本事件总数，被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的个数，即可求解健康指数不大于0的概率．【解答】解：（Ⅰ）解：该社区80岁以下的老龄人共有120+133+32+15=300人，…（1分）其中生活能够自理的人有120+133+32=285人，…（2分）记“随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理”为事件A，则P（A）==．…（4分）（Ⅱ）根据表中数据可知，社区健康指数大于0的老龄人共有280人，不大于0的老龄人共有70人，…（5分）所以，按照分层抽样，被抽取的5位老龄人中，有位为健康指数大于0的，依次记为：a，b，c，d，有一位健康指数不大于0的，记为e．…（7分）从这5人中抽取3人的基本事件有：（a，b，c）（a，b，d）（a，b，e）（a，c，d）（a，c，e）（a，d，e）（b，c，d）（b，c，e）（b，d，e）（c，d，e）共10种，…（9分）其中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的事件有：（a，b，e）（a，c，e）（a，d，e）（b，c，e）（b，d，e）（c，d，e）共6种，…（10分）记“被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0”为事件B，则P（B）=…（12分）【点评】本题考查分层抽样，古典概型概率公式的应用，基本知识的考查．19．（12分）（2016凉山州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，∠ADC=90°，AD=2BC，Q为AD的中点，M为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面BMQ；（Ⅱ）已知PD=DC=AD=2，求点P到平面BMQ的距离．【分析】（1）连结AC交BQ于N，连结MN，只要证明MN∥PA，利用线面平行的判定定理可证；（2）由（1）可知，PA∥平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离．【解答】解：（1）连结AC交BQ于N，连结MN，因为∠ADC=90°，Q为AD的中点，所以N 为AC的中点．…（2分）当M为PC的中点，即PM=MC时，MN为△PAC的中位线，故MN∥PA，又MN⊂平面BMQ，所以PA∥平面BMQ．…（5分）（2）由（1）可知，PA∥平面BMQ，所以点P到平面BMQ的距离等于点A到平面BMQ的距离，所以V P﹣BMQ=V A﹣BMQ=V M﹣ABQ，取CD的中点K，连结MK，所以MK∥PD，，…（7分）又PD⊥底面ABCD，所以MK⊥底面ABCD．又，PD=CD=2，所以AQ=1，BQ=2，，…（10分）所以V P﹣BMQ=V A﹣BMQ=V M﹣ABQ=.，…（11分）则点P到平面BMQ的距离d=…（12分）【点评】本题考查了线面平行的判定定理的运用以及利用三棱锥的体积求点到直线的距离．20．（12分）（2015某某一模）已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2=1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．【分析】（1）设点P（x，y），由题意可得，，化简即可得出；（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得m2+1=n2，直线与椭圆方程联立可得．利用根与系数的关系可得，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）设点P（x，y），由题意可得，，整理可得：．∴曲线E的方程是．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得：，即m2+1=n2，联立消去y得．，，所以，，==．当且仅当，即时等号成立，此时．经检验可知，直线和直线符合题意．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）（2014秋涪城区校级月考）已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（e为自然对数的底数），a＞0．（Ⅰ）若函数f（x）恰有一个零点，证明：a a=e a﹣1；（Ⅱ）若f（x）≥0对任意x∈R恒成立，某某数a的取值集合．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过导数为0，判断函数的单调性，利用函数的最小值证明a a=e a﹣1；（Ⅱ）利用（Ⅰ）函数的最小值，结合f（x）≥0对任意x∈R恒成立，构造函数，求出新函数的最小值利用恒成立，某某数a的取值集合．【解答】（Ⅰ）证明：由f（x）=e x﹣ax﹣1，得f'（x）=e x﹣a．…（1分）由f'（x）＞0，即e x﹣a＞0，解得x＞lna，同理由f'（x）＜0解得x＜lna，∴f（x）在（﹣∞，lna）上是减函数，在（lna，+∞）上是增函数，于是f（x）在x=lna取得最小值．又∵函数f（x）恰有一个零点，则f（x）min=f（lna）=0，…（4分）即e lna﹣alna﹣1=0．…（5分）化简得：a﹣alna﹣1=0，即alna=a﹣1，于是lna a=a﹣1，∴a a=e a﹣1．…（6分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，f（x）在x=lna取得最小值f（lna），由题意得f（lna）≥0，即a﹣alna﹣1≥0，…（8分）令h（a）=a﹣alna﹣1，则h'（a）=﹣lna，由h'（a）＞0可得0＜a＜1，由h'（a）＜0可得a＞1．∴h（a）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，即h（a）max=h（1）=0，∴当0＜a＜1或a＞1时，h（a）＜0，∴要使得f（x）≥0对任意x∈R恒成立，a=1．∴a的取值集合为{1}…（13分）【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查逻辑推理能力，构造新函数是解题本题的关键．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题记分．答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）（2016某某一模）如图所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，AB=5，求弦DE的长．【分析】（Ⅰ）由已知PG=PD，得到∠PDG=∠PGD，由切割弦定理得到∠PDA=∠DBA，进一步得到∠EGA=∠DBA，从而∠PFA=∠BDA．最后可得∠BDA=90°，说明AB为圆的直径；（Ⅱ）连接BC，DC．由AB是直径得到∠BDA=∠ACB=90°，然后由Rt△BDA≌Rt△ACB，得到∠DAB=∠CBA．再由∠DCB=∠DAB可推得DC∥AB．进一步得到ED为直径，则ED长可求．【解答】（Ⅰ）证明：∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，由于PD为切线，故∠PDA=∠DBA，又∵∠EGA=∠PGD，∴∠EGA=∠DBA，∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，从而∠PFA=∠BDA．又AF⊥EP，∴∠PFA=90°，则∠BDA=90°，故AB为圆的直径．（Ⅱ）解：连接BC，DC．由于AB是直径，故∠BDA=∠ACB=90°．在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，从而得Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB=∠CBA．又∵∠DCB=∠DAB，∴∠DCB=∠CBA，故DC∥AB．∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∠DCE为直角，∴ED为直径，又由（1）知AB为圆的直径，∴DE=AB=5．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，考查了圆的切割线定理的应用，是中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015某某一模）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t 为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入即可得出．（II）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程：，∴圆心到直线l的距离，∴|AB|=2==，点P直线AB距离的最大值为，．【点评】本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．（2015某某一模）已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣2|x+1|．（Ⅰ）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，某某数m的取值X围．【分析】（Ⅰ）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2在x=﹣1取得最小值2，f（x）在x=﹣1处取得最大值m﹣2，故有m﹣2≥2，由此求得m的X围．【解答】解：（Ⅰ）当m=5时，，由f（x）＞2可得①，或②，或③．解①求得﹣＜x＜﹣1，解②求得﹣1≤x＜0，解③求得x∈∅，易得不等式即4﹣3x＞2 解集为．（2）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该函数在x=﹣1取得最小值2，因为在x=﹣1处取得最大值m﹣2，所以要使二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，只需m﹣2≥2，求得m≥4．．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解；还考查了函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．。

合肥一六八中学2025届高三一诊考试数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}{}3,*,2,*n M x x n N N x x n n N ==∈==∈，将集合M N ⋃的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列{}n c ，则12335...c c c c ++++=（ ）A ．1194B ．1695C ．311D ．1095 2．已知三棱锥D ABC -的外接球半径为2，且球心为线段BC 的中点，则三棱锥D ABC -的体积的最大值为（ ）A ．23B ．43C ．83D ．163 3．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ） A ．-1 B ．1 C ．0 D ．24．已知数列{}n a 中，112,()1,n n n a n a a a n N *+=-=+∈ ，若对于任意的[]*2,2,a n N ∈-∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(][),21,-∞-⋃+∞B ．(][),22,-∞-⋃+∞C ．(][),12,-∞-⋃+∞D ．[]2,2- 5．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ． B ． C ． D ． 6．设集合{}2320M x x x =++>，集合1{|()4}2x N x =≤ ，则 M N ⋃=（ ） A ．{}2x x ≥- B ．{}1x x >- C ．{}2x x ≤- D ．R7．已知等比数列{}n a 满足21a =，616a =，等差数列{}n b 中54b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则9S =（ ）A ．36B ．72C ．36-D ．36±8．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）A ．56B ．60C ．140D ．1209．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（ ）A ．41n n S a =-B ．21n n S a =+C ．21n n S a =-D ．43n n S a =-10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．24πB ．28πC ．32πD ．36π11．已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（） A ．82B ．8 C ．2 D ．412．若x 、y 满足约束条件220100xy x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为（ ）A ．5B ．9C ．6D ．12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

合肥市2023年高三第一次教学质量检测数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.1.A2.B3.A4.B5.C6.D7.D8.C 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.9.ABC 10.BC 11.BD 12.ACD 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13.5 14.15 15.2 2⎡⎤-⎣⎦， 16.()21++∞，四、解答题：本大题共6小题，满分70分. 17.(本小题满分10分)(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由522a a =，232S a =得12a d =，且()2113232a d a d ⨯+=+， 解得1d =或0d =(舍去)，∴12a =. ∴1n a n =+. ……………………………………4分(2) ∵()()2211111111n n n n n a n =<=-+++， ∴2222123111111111111122311n n n n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ……………………10分 18.(本小题满分12分)方法一：(1)∵13BP C Q ==，1BP C Q ∥，∴1BPN C QN ∆∆≌. ∴1BN C N =，即点N 为线段1BC 的中点.过点N 作NE BC ⊥于点E ，则1NE CC ∥,且1122NE CC ==， ∴NE AM ∥,且2NE AM ==，∴四边形AMNE 为平行四边形，∴MN AE ∥.又∵MN ⊄平面ABCD ，AE ⊆平面ABCD ,∴MN ∥平面ABCD . ………………6分 (2)设多面体BDMPQ 的体积为V ，连接DP ，则 1212234416332B MPD B QPD D BMP BPMV V V V SDA ---=+==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=. ………………12分方法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0，0，0)，M (4，0，2)，P (4，4，3)，Q (0，4，1).A (4，0，0),B (4，4，0),C (0，4，0),∴ ()0 4 0AB =，，，()-4 0 0BC =，，. ∵13BP C Q ==，1BB ∥1CC ，∴点N 为1BC 的中点，则N (2，4，2)， ∴ ()12 4 02MN AB BC =-=+，，, ∴MN 与AB ，BC 共面，且MN ABCD ⊄平面，∴MN ∥平面ABCD . ………………………………6分(2)∵D (0，0，0)，M (4，0，2)，P (4，4，3)，Q (0，4，1)， 则=402DM QP =（，，），∴DM QP ∥，且DM QP =, ∴四边形PQDM 为平行四边形,N且25,17DM DQ ==.……………………………7分 ∵()4 0 2DM =，，，()0 41DQ =，，， ∴cos 2DM DQ MDQ DM DQ⋅∠===⋅，∴sinMDQ ∠=∴sin DMPQSDM DQ MDQ =⋅⋅∠==设() n x y z =，，为平面DMPQ 的法向量，则42040. x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1y =，则2x =，4z =-，即()2 14n =-，，， ∴点B 到平面DMPQ 的距离为1221n DBn⋅==， ∴四棱锥B DMPQ -的体积为1163⨯=. ……………………………………12分 19.(本小题满分12分)(1)∵222220b c a +-=，即22222()b b c a =+-，∴222sin cos 244sin b c a b BA bc c C+-===， ∴4sin cos sin sin cos cos sin C A B A C A C ==+，即tan 3tan A C =.当1tan 3C =时，tan 3tan 1A C ==，又∵()0A π∈，，∴4A π=. …………………………6分(2)由(1)知，tan 3tan A C =，∴02C A π<<<，()2tan tan 2tan 2tan 11tan tan 13tan 3tan tan A C CA C A C CC C--====+⋅++，当且仅当13tan tan C C=，即当tan C =，6C π=时，等号成立，∴()tan A C - 又∵02A C π<-<，∴A C -的最大值为6π，此时3A π=,2B π∴=.∴ABC ∆为直角三角形. ……………………………………12分 20.(本小题满分12分)(1)由x xy '=⎧⎪⎨'=⎪⎩得x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，代入222x y +=得2212x y ''+=， ∴曲线E 的方程为2212x y +=.……………………………………4分(2)当直线l 的斜率存在时，设l ：()1y k x =+.由()22121x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 整理得，()2222124220k x k x k +++-=. 设()11A x y ，，()22B x y ，，则2122212241222.12k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ∴以AB 为直径的圆的圆心横坐标为22212k k -+.又∵12AB x=-==)22112kk+=+，∴以AB为直径的圆的半径为)22112kRk+=+，圆心到直线2x=-的距离为222222221212k kdk k+=-=++，)(()22222221122121212kkkd Rk k k+++-=-=>+++，即d R>，∴以AB为直径的圆与直线2x=-相离. ……………………………………10分当直线l的斜率不存在时，易知以AB圆的方程是()22112x y++=，该圆与直线2x=-相离.综上可知，以AB为直径的圆与直线2x=-相离. ……………………………………12分21.(本小题满分12分)(1)∵137317124yCC-=，∴()()11176571224y y y⨯⨯=--，∴()()111127201098y y y--==⨯⨯，∴110y=. ……………………………………5分(2)∵6154iix==∑，∴9x=，∴()62164iix x=-=∑.∵()()6i ix x y yr--=∑()()611581616i iix x y y=--==⨯∑，∴()()61815i iix x y y=--=⨯∑，∴()()()12181515648ni iiniix x y ybx x==--⨯===-∑∑.又∵()6666222221111266256i i i ii i i iy y y y y y y y====-=-⋅+=-=∑∑∑∑，解得22y=.∴154122988a y bx=-=-⨯=，……………………………10分∴411588y x=+，当15x=时，4115153388y=+⨯≈，∴可以估计，昼夜温差为15O C时，该校新增患感冒的学生数为33人. ……………………………12分22.(本小题满分12分)(1)()222112222a x x af xx x x-+-'=--=，0x>. ……………………………1分①当440a∆=-≤，即1a≥时，()0f x'≤恒成立，此时，()f x在()+∞，上单调递减.……………………………2分②当440aa∆=->⎧⎨>⎩，即01a<<时，由()0f x'=解得，1x=由()0f x'>解得，11x<()0f x'<解得，01x<<1x>此时，()f x在(0 1，和()1+∞上单调递减，在(1上单调递增.………4分 ③当4400a a ∆=->⎧⎨≤⎩，即0a ≤时，由()0f x '=，解得1x =1x =舍)，由()0f x '>，解得01x <<()0f x '<，解得1x > 此时，()f x在(0 1，上单调递增，在()1+∞上单调递减.………………………6分(2)令()()2ln 2a x g x f x a x a x-=-=+-，则()()g x f x '='.由(1)知，当1a ≥时，()g x 在()0+∞，上单调递减， ∴()g x 在()0+∞，上至多有一个零点，不符合题意舍去. ……………………………7分∵a 是整数，∴()0 1a ∉，.当0a ≤时，由(1)知()g x在(0 1，上单调递增，在()1+∞上单调递减， 且当0x →时，()ln 22a x g x x a x =+--→-∞；当x →+∞时，()ln 22a x g x x a x =+--→-∞. 若()g x 在()0+∞，上有两个零点，则(10g >.∵(((211ln 1ln 11a g a a -==-，令1t ，则22a t t =-+(2t ≥).∴()2ln 31g t t t t =+-+，则()()()22111231230t t t t g t t t t t---+'=+-==>， ∴()g t 在()2+∞，上单调递增.又∵()2ln 210g =-<，()3ln310g =+>， ∴存在唯一的()02 3t ∈，，使得()00g t =，当0t t >时，()0g t >，此时()2023 0a t t <-+∈-，.若1a =-，则1t =(((((21ln 11311ln 1g =+-+=.令()1ln F x x x=-，则()F x 在()0+∞，上单调递增， 又∵()121212142ln 2ln 2ln ln ln 022F e ee =-=-==>，∴(1(2)0F F>>，当1t ≥()0g t >.此时，111a ≤-.∴当1a ≤-时，(10g >成立，∴a 的最大整数值为1-.……………………………12分。

第4题图合肥一六八中学2015-2016学年第一学期入学考试高一数学试题(考试时间:150分钟 满分:150分）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（初中内容）和第Ⅱ卷（初高中衔接教材内容）两部分。

2、选择题答案请用2B 铅笔准确地填涂在答题卡上相应位置，非选择题答案必须填写在答题卷相应位置，否则不得分。

3、考试结束后，将答题卡和答卷一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题（每题4分，共28分） 1．()23xy-的计算结果是（ ）A ．26x yB ．26x y -C ．29x yD ．29x y -2.不等式组21390x x >-⎧⎨-+≥⎩的所有整数解的和是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．63.一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元）A 类 50 25B 类 200 20C 类 400 15例如，购买A 类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，则最省钱的方式为（ ） A ． 购买A 类会员年卡 B ． 购买B 类会员年卡 C ． 购买C 类会员年卡 D ． 不购买会员年卡4.如图，已知直线//,AB CD BEG ∠的平分线EF 交CD 于点F ，若142∠=o，则2∠=（ ）A ．159oB ．148oC ．142oD ．138o 5.如图，在矩形ABCD 中，4,5,,,AB AD AD AB BC ==分别与⊙O 相切于,,E F G 三点，过点D 作⊙O 的切线BC 于点M ，切点为N ，则DM =（ ）第5题图N BO F第7题图A ．133B．92C．4133D．256.在平面直角坐标系中有三个点()()()1,1,1,1,0,1A B C---，点()0,2P关于A的对称点为1P，1P关于B的对称点2P，2P关于C的对称点为3P，按此规律继续以,,A B C为对称中心重复前面的操作，依次得到456,,,,P P P L则点2015P的坐标是（）A．()02， B．()00， C．()2，-4 D．()4,2-7.如图，在ABC∆中，AD平分BAC∠，按如下步骤作图：第一步，分别以点,A D为圆心，以大于12AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点,M N；第二步，连接MN分别交,AB AC于点,E F；第三步，连接,DE DF．若6,4,3BD AF CD===，则BE的长是（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题（每题5分，共15分）8．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，35CAD∠=o，则B E∠+∠=．9.如图，等边三角形AOB的顶点A的坐标为()4,0-，顶点B在反比例函数()0ky xx=<的图象上，则k= .第8题图OB EC D10.如图，将矩形ABCD 沿CE 向上折叠，使点B 落在AD 边上的点F 处．若23AE BE =，则长AD 与宽AB 的比值是 . 三、解答题：（共62分）11.（6分）计算：22221a a b a ab a b⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭．12.（6分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 的顶点均在格点上，请按要求完成下列步骤：（1）先将ABC ∆向右平移3个单位后得到111A B C ∆，再将111A B C ∆绕点1B 按逆时针方向旋转90°后得到212A B C ∆；试在正方形网格中画出上述二次变换所得到的图形； （2）在（1）的变换过程中，C 所经过的路径长．13.（8分）如图，在Rt ABC ∆中，=90C ∠o，1,2BC AC ==，把边长为,,,321x x x …,n x 的n 个正方形依次放入ABC ∆中.请回答下列问题：（1）按要求填表n 1 2 3 4 n x3294（2）第n 个正方形的边长n x = .（3）若,,,m n p q 是正整数，且q p n m x x x x ⋅=⋅，试判断,,,m n p q 的关系.第12题图∙∙∙x 4x 3x 2x 1A14.（ 8分）如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AC 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AB 于点E ，过点D 作DF AB ⊥，垂足为F ，连接DE ． （1）求证：直线DF 与⊙O 相切；（2）若7,6AE BC ==，求AC 的长．15.（10分）为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了,A B 两种型号家用净水器共160台，A 型号家用净水器进价是150元/台，B 型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元． （1）求,A B 两种型号家用净水器各购进了多少台；（2）为使每台B 型号家用净水器的毛利润是A 型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，求每台A 型号家用净水器的售价至少是多少元．（注：毛利润=售价﹣进价）第14题图AC16.（12分）在Rt ABC ∆中，=90C ∠o，3,4AC BC ==，点E 在AC 上，点F 在斜边AB 上. （1）若EF 平分Rt ABC ∆的周长，设,AE x AEF =∆的面积为y ,求出y 与x 之间的函数关系式（要有解答过程），并直接写出x 的取值范围.（2）试问：是否存在直线EF ，将Rt ABC ∆的周长与面积同时平分？若存在，求出AE 的长，若不存在，请说明理由.（3）在（1）中，当x 变化时，AEF ∆的面积y 是否存在最值？如果有，请计算；如果没有，请简要说明理由.17.（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点,,A B C 在x 轴上，点,D E 在y 轴上，2,OA OD ==4,OC OE B ==为线段OA 的中点，直线AD 与经过,,B E C 三点的抛物线交于,F G 两点，与其对称轴交于M ，点P 为线段FG 上一个动点（点P 与,F G 不重合），作//PQ y 轴与抛物线交于点Q ．（1）求经过,,B E C 三点的抛物线的解析式；（2）是否存在点P ，使得以,,P Q M 为顶点的三角形与AOD ∆相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线的顶点为N ，连接QN ，探究四边形PMNQ 的形状是否成为菱形？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由；FCBA第16题图第Ⅱ卷四、选择题（每题5分,共10分）18.一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b +的值是（ ）。

2016高中毕业班最后一卷数 学 （理科）注意事项：1.本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页；2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；3.请将全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效；4.考试结束或，将本试卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）1.复数z 满足93iz z i +=- ，z 是 z 的共轭复数，复平面内z 所对应的点所在的象限是（ ）.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.命题p:实数,,a b c ，若2b a c =+ ，则,,a b c 成等差数列.命题q ：实数,,a b c 若2b ac = ，则,,a b c 成等比数列.下列选项正确的是（ ）.A. q ⌝为假命题B. p q ∧为真命题C.p q ⌝∨为真命题D. p q ∨为真命题3.已知,A B 均为钝角，2sincos()23A A π++=，且sin B =，则A B +=（ ） . A.34π B. 54π C. 74π D. 76π4. 《孙子算经》中有这样一道题目：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？”意思是：有100头鹿，每户人家分1头还有剩余；每3户人家再分1头，正好分完，问共有多少户人家？设计流程图如下,则共输出值是( ).A ．74 B.75 C.76 D.775.已知向量a 的模长为1，且,||4,||2,a b a b a b b a -=+=满足则在方向上的投影等于（ ）.A ．-2 B.-3 C.-4 D.-5 6.已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）.A.3πB.8C. 2D. 67. 周末一家四人:爸爸,妈妈和两个孩子一起去看电影,并排坐在连号的四个座位上,要求孩子边必须有大人陪着,则不同的坐法种数( ). A. 8 B. 12 C.16. D.202016201222016122201621),1) (2)...( ).222a ex dx axb b x b x b b b b π=--=++++-+++⎰8.已知若(的值为A. 0B. -1C. 1D.e9.设双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一动点P ，过点P 向此双曲线的渐近线做垂线，垂足分别为点A 与B ,若A , B 始终在第一、四象限内，点O 为坐标原点，则此双曲线C 离心率e 的取值范围（ ）.A.1e <≤13e <≤ C. 1e <≤12e <≤10.一个不透明的袋子装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字为0，1，2，2，现甲从中摸出一个球后便放回，乙再从中摸出一个球，若摸出的球上数字大即获胜（若数字相同则为平局），则在甲获胜的条件下，乙摸1号球的概率为（ ）.A.516 B.916 C.15 D.25221|lo g |41||,4(),a ()()0810,4.x x f x f x bf x c x ⎧-≠⎪⎪=++=⎨⎪=⎪⎩11.函数若方程有个不同的实根,则此8个实根之和是（ ） A.52 B.4 C.114D.212.数列{}n a 满足143a = ，11(1)()n n n a a a n N *+-=-∈ 且12111n nS a a a =+++ ，则n S 的整数部分的所有可能值构成的集合是（ ）.A.{}0,1,2B.{}0,1,2,3C.{}1,2 D.{}0,2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分,第13题至第21题为必考题,每个考生都必须作答,第22题至第24题为选考题,考生根据要求作答..14.现将一条直线l 经过点A(-1,1),且与⊙C:40x x y++=相交所得弦长EF 为则此直线l 方程是_________.15.某学校举行数学趣味比赛，共设置6道判断题，正确的打“√”，错误的打“×”，答对得2分，不答得1分，答错得0分，甲、乙、丙、丁的答案如下表，则同学丁得分是____.()()[]()()1212.3(3)ln ,4,5,1,3(ln3)3ln3||__________.f x mx m x m x x xa m f x f x a --∈∈16已知函数=+若对任意的，，恒有－－＞－成立，则实数的取值范围是三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分12分)已知a ,b ,c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边，且0sin 3cos =--+c a C b C b . (Ⅰ)求B ；(Ⅱ)当2=b 且ABC ∆的面积最大时，求c a -2的值. 18. (本小题满分12分)2015年国内生产总值为676708亿元.下面是2015年中国大陆31个省、市、自治区（不包含港澳台）的GDP相对于2014年的GDP的实际增长率广东：8.0% 江苏：8.5% 山东：8.0% 浙江：8.0% 河南：8.3%四川：7.9% 河北：6.8% 湖北：8.9% 湖南：8.6% 辽宁：3.0%福建：9.0% 上海：6.9% 北京：6. 9% 安徽：8.7% 西藏：11.0%陕西：8.0% 内蒙古：7.7% 广西：8.1% 江西：9.1% 天津：9.3%重庆：11.0% 黑龙江：5.7% 吉林：6.50% 云南：8.7% 山西：3.1%贵州：10.7% 新疆：8.8% 甘肃：8.1% 海南：7.8% 宁夏：8.0% 青海：8.2%(Ⅰ)根据上述数据，完成下列表格和频率分布直方图，并通过频率分布直方图近似估计增长率的中位数a和平均数b(注:同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(精确度到0.001）;(Ⅱ)现在安徽省某高校毕业生A,B因为某些原因想到外省份创业，毕业生A、B选择外省创业是等可能的.且A、B可以在选择同一省份.设两人中选择增长率达到9.0%及9.0%以上的城市的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.19. (本小题满分12分)在四棱锥P ABCD -中，设底面ABCD 是边长为1的正方形，PA ⊥面ABCD . (Ⅰ)求证：PC BD ⊥；(Ⅱ)过BD 且与直线PC 垂直的平面与PC 交于点E .当三棱锥E BCD -的体积最大时，求二面角C BD E --的大小.20. (本小题满分12分)如图，等边ABC ∆的边长为83，且其三个顶点均在抛物线:2(0)E x py p =>上． (Ⅰ)求抛物线E 的方程；(Ⅱ)设点(4,4)S -，过点(4,5)N 的直线l 交轨迹E 于,A B 两点，设直线,SA SB 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值.，并求此定值.21.（本小题满分12分）已知函数322()ln(1)()3x f x ax x ax a R =++--∈．2()ln x x cx bx ϕ=-- (Ⅰ)若()y f x =在[)2,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)当2a ≥时，设322()ln (1)3()(0)3x g x x ax ax f x x ⎡⎤=++-->⎣⎦的两个极值点为1212,()x x x x <，且12()()x x ϕϕ=，求1212()()2x x y x x ϕ+'=-的最小值．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目。