2014届高三苏教版数学(理)一轮复习基础达标演练 第十四章 第1讲 算法的含义及流程图 Word版含解析]

学案31数列的综合应用导学目标：1。

通过构造等差、等比数列模型，运用数列的公式、性质解决简单的实际问题.2.对数列与其他知识综合性的考查也高于考试说明的要求，另外还要注重数列在生产、生活中的应用．自主梳理1．数列的综合应用数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题,二是数列与其他数学内容相联系的综合问题．解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会．（1）数列是一种特殊的函数，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法．（2）转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法,复杂的数列问题经常转化为等差、等比数列或常见的特殊数列问题．（3）由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想．已知数列的前若干项求通项，由有限的特殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的．(4）分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对公比进行讨论；由S n求a n时，要对__________进行分类讨论．2．数列的实际应用数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答应用问题的核心是建立数学模型．(1）建立数学模型时，应明确是等差数列模型、等比数列模型，还是递推数列模型，是求a n还是求S n。

（2)分期付款中的有关规定①在分期付款中，每月的利息均按复利计算；②在分期付款中规定每期所付款额相同；③在分期付款时，商品售价和每期所付款额在贷款全部付清前会随时间的推移而不断增值；④各期付款连同在最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买时到最后一次付款的利息之和．自我检测1．（原创题)若S n是等差数列｛a n｝的前n项和，且S8－S3＝10，则S11的值为________．2．在等比数列｛a n｝中，a n>a n＋1，且a7·a11＝6，a4＋a14＝5,则错误!＝________.3．“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号"系列火箭,在点火第一秒钟通过的路程为2 km,以后每秒钟通过的路程都增加2 km，在达到离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是________秒．4．已知数列｛a n｝的通项为a n＝错误!，则数列{a n｝的最大项为第________项．5．（2010·南京模拟)设数列{a n｝，｛b n｝都是正项等比数列,S n，T n分别为数列｛lg a n｝与{lg b n}的前n项和，且错误!＝错误!，则log b5a5＝________.探究点一等差、等比数列的综合问题例1 设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2,a3＋4构成等差数列．（1）求数列｛a n｝的通项；(2)令b n＝ln a3n＋1，n＝1，2，…，求数列｛b n}的前n项和T n。

解析几何一、填空题1 ．（江苏省扬州中学2014届高三开学检测数学试题）已知实数0p >，直线3420x y p -+=与抛物线22x py =和圆222()24p p x y +-=从左到右的交点依次为,A B C D 、、、则ABCD的值为 ▲ ． 【答案】1162 ．（江苏省淮安市车桥中学2014届高三9月期初测试数学试题）如果圆x 2+y 2-2ax-2ay+2a 2-4=0与圆x 2+y 2=4总相交,则a 的取值范围是___.【答案】220022a a -<<<<或3 ．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）若实数x 、y 满足()222x y x y +=+,则x y +的最大值是_________.【答案】44 ．（江苏省无锡市市北高中2014届高三上学期期初考试数学试题）椭圆中有如下结论:椭圆22221x y a b +=上斜率为1的弦的中点在直线0by a x 22=+上,类比上述结论得到正确的结论为:双曲线22221x y a b-=上斜率为1的弦的中点在直线_______________上.【答案】22x y0a b -=5 ．（江苏省泰州中学2014届第一学学期高三数学摸底考试）设中心在原点的双曲线与椭圆+y 2=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲线的方程是__________.【答案】2x 2﹣2y 2=16 ．（江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校2014届高三10月月考数学试题）我们把形如()0,0by a b x a=>>-的函数称为“莫言函数”,并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”,以“莫言点”为圆心,凡是与“莫言函数”图象有公共点的圆,皆称之为“莫言圆”.当1=a ,1=b 时,在所有的“莫言圆”中,面积的最小值______. ) 【答案】π3.7 ．（江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题）直线1y kx =+与圆22(3)(2)9x y -+-=相交于A B 、两点,若4AB >,则k 的取值范围是____________________.【答案】1(,2)2-8 ．（江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校2014届高三10月月考数学试题）设F 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)右焦点,A 是其右准线与x 轴的交点.若在椭圆上存在一点P ,使线段PA 的垂直平分线恰好经过点F ,则椭圆离心率的取值范围是 ___________.]【答案】[12,1)9 ．（江苏省南京市第五十五中学2014届高三上学期第一次月考数学试题）抛物线212yx=-的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于(A)2【答案】A10．（江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试（9月）数学试卷）已知双曲线221(0)y x m m-=>的离心率为2,则m 的值为 ______.【答案】311．（江苏省诚贤中学2014届高三上学期摸底考试数学试题）若双曲线221y x k-=的焦点到渐近线的距离为则实数k 的值是________.【答案】812．（江苏省宿迁市2014届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）已知双曲线22221(00)x y a b a b -=＞＞，的左、右焦点分别为12F F ，,以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P .若1230PF F ∠=,则该双曲线的离心率为______.113．（江苏省宿迁市2014届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）已知过点(25)，的直线l 被圆22240C x y x y +--=：截得的弦长为4,则直线l 的方程为______. 【答案】20x -=或4370x y -+=14．（江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题）若中心在原点,以坐标轴为对称轴的圆锥曲线C ,离心率为2,且过点(2,3),则曲线C 的方程为________.【答案】225xy -=15．（江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试（9月）数学试卷）已知P 是直线l :40(0)kx y k ++=>上一动点,PA ,PB 是圆C :2220x y y +-=的两条切线,切点分别为A ,B .若四边形PACB 的最小面积为2,则k =______.【答案】216．（江苏省南京市2014届高三9月学情调研数学试题）如图,已知过椭圆的左顶点A(-a,0)作直线1交y 轴于点P,交椭圆于点Q.,若△AOP 是等腰三角形,且,则椭圆的离心率为____2517．（江苏省扬州市扬州中学2014届高三10月月考数学试题）当且仅当m r n ≤≤时,两圆2249x y +=与22268250(0)x y x y r r +--+-=>有公共点,则n m -的值为______________.【答案】10二、解答题18．（江苏省南京市2014届高三9月学情调研数学试题）已知椭圆C 的中心在坐标原点,右准线为32x =6.若直线y=t(t>o)与椭 圆C 交于不同的两点A,B,以线段AB 为直径作圆M. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)若圆M 与x 轴相切,求圆M 被直线310x +=截得的线段长.【答案】19．（江苏省泰州中学2014届第一学学期高三数学摸底考试）给定圆P :222xy x +=及抛物线S :24y x =,过圆心P 作直线l ,此直线与上述两曲线的四个交点,自上而下顺次记为A B C D 、、、,如果线段AB BC CD 、、的长按此顺序构成一个等差数列,求直线l 的方程.【答案】解:圆P 的方程为()2211x y -+=,则其直径长2B C =,圆心为()1,0P ,设l 的方程为1ky x =-,即1x ky =+,xyoABCDP代入抛物线方程得:244y ky =+,设()()1122,, ,A x y D x y ,有121244y y ky y +=⎧⎨=-⎩,则222121212()()416(1)y y y y y y k -=+-=+.故222222212121212||()()()()4y y AD y y x x y y -=-+-=-+22221212()[1()]16(1)4y y y y k +=-+=+,因此2||4(1)AD k =+ 据等差,2BC AB CD AD BC =+=-,所以36AD BC ==,即()2416k +=,k =即:l0y --=0y +-=20．（江苏省扬州市扬州中学2014届高三10月月考数学试题）已知椭圆:2222:1(0)x y C a b a b +=>>,一条准线:2l x =.(1)求椭圆C 的方程;(2)设O 为坐标原点,M 是l 上的点,F 为椭圆C 的右焦点,过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于P Q 、两点.①若6PQ =,求圆D 的方程;②若M 是l 上的动点,求证:P 在定圆上,并求该定圆的方程. 【答案】解:(1)由题设:22c a a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1a c ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩2221b a c ∴=-=, • 椭圆C 的方程为:2212x y +=•(2)①由(1)知:(1,0)F ,设(2,)M t ,则圆D 的方程:222(1)()124t t x y -+-=+, 直线PQ 的方程:220x ty +-=,PQ ∴=∴=,24t ∴=,2t ∴=±∴圆D 的方程:22(1)(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y -++=②解法(一):设00(,)P x y ,由①知:2220000(1)()124220t t x y x ty ⎧-+-=+⎪⎨⎪+-=⎩,即:2200000020220x y x ty x ty ⎧+--=⎪⎨+-=⎪⎩, 消去t 得:2200x y +=2,∴点P 在定圆22x y +=2上. 解法(二):设00(,)P x y ,则直线FP 的斜率为001FP y k x =-, ∵FP ⊥OM ,∴直线OM 的斜率为001OM x k y -=-, ∴直线OM 的方程为:001x y x y -=-, 点M 的坐标为002(1)(2,)x M y --. ∵MP ⊥OP ,∴0OP MP ⋅=, ∴000002(1)(2)[]0x x x y y y ∂--++= ,∴2200x y +=2,∴点P 在定圆22x y +=2上. 21．（江苏省梁丰高级中学2014届第一学期阶段性检测一）如图:一个城市在城市改造中沿市内主干道国泰路修建的圆形广场圆心为O,半径为100m ,其与国泰路一边所在直线l 相切于点M,A 为上半圆弧上一点,过点A 作l 的垂线,垂足为B.市园林局计划在ABM ∆内进行绿化,设ABM ∆的面积为S(单位:2m ) (1)以θ=∠AON 为参数,将S 表示成θ的函数;(2)为绿化面积最大,试确定此时点A 的位置及面积的最大值.【答案】O国 泰 路B M l AN22．（江苏省南京市第五十五中学2014届高三上学期第一次月考数学试题）已知A 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一个动点,弦AB 、AC 分别过焦点F 1、F 2,当AC 垂直于x 轴时,恰好有13||||21：：=AF AF . (Ⅰ)求椭圆离心率;(Ⅱ)设C F AF B F AF 222111,λλ==,试判断21λλ+是否为定值?若是定值,求出该定值并证明;若不是定值,请说明理由.【答案】解:(Ⅰ)当AC 垂直于x 轴时,a b AF 22||=,13||||21：：=AF AF ,∴a b AF 213||=∴a a b 242=,∴222b a =,∴22c b =,故22=e . (Ⅱ)由(Ⅰ)得椭圆的方程为22222b y x =+,焦点坐标为)0,(),0,(21b F b F -.①当弦AC 、AB 的斜率都存在时,设),(),,(),,(221100y x C y x B y x A ,则AC 所在的直线方程为)(00b x bx y y --=, 代入椭圆方程得0)(2)23(20200202=--+-y b y b x by y bx b .∴02222023bx b y b y y --=,C F AF 222λ=,b x b y y 020223-=-=λ.同理bx b 0123+=λ,∴621=+λλ ②当AC 垂直于x 轴时,则bbb 23,112+==λλ,这时621=+λλ; 当AB 垂直于x 轴时,则5,121==λλ,这时621=+λλ. 综上可知21λλ+是定值 【D 】6．23．（江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试（9月）数学试卷）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴两端点分别为A ,B ,000(,)(0)P x y y >是椭圆上的动点,以AB 为一边在x 轴下方作矩形ABCD ,使(0)AD kb k =>,PD 交AB 于点E ,PC 交AB 于点F .(Ⅰ)如图(1),若k =1,且P 为椭圆上顶点时,PCD ∆的面积为12,点O 到直线PD 的距离为65,求椭圆的方程; (Ⅱ)如图(2),若k =2,试证明:AE ,EF ,FB 成等比数列.FEyxOPD CBA图(1) 图(2)【答案】解:(Ⅰ)如图,当k =1时,CD 过点(0,-b ),CD =2a ,∵FEy xO P DCB APCD ∆的面积为12,∴122122a b ⨯⨯=,即6ab =.①此时D (-a ,-b ),∴直线PD 方程为20bx ay ab-+=.∴点O 到PD 的距离d =65. ② 由①②解得3,2a b ==∴所求椭圆方程为22194x y +=(Ⅱ)如图,当k =2时,(,2),(,2)C a b D a b ---,设12(,0),(,0)E x F x ,FEyxO P D CBA由D ,E ,P 三点共线,及1(,2)DE x a b =+,00(,2)DP x a y b =++ (说明:也可通过求直线方程做) 得100()(2)2()x a y b b x a ++=⋅+, ∴0102()2b x a x a y b ⋅++=+,即002()2b x a AE y b⋅+=+由C ,F ,P 三点共线,及2(,2)CF x a b =-,00(,2)CP x a y b =-+得200()(2)2()x a y b b x a -+=⋅-,∴0202()2b a x a x y b ⋅--=+,即002()2b a x FB y b⋅-=+又2200221x y a b+=,∴222220022004()4(2)(2)b a x a y AE FB y b y b ⋅-⋅==++ 而00000002()2()242222222b x a b a x ay abEF a AE FB a a y b y b y b y b⋅+⋅-=--=--=-=++++ ∴2EF AE FB =⋅,即有AE ,EF ,FB 成等比数列24．（江苏省扬州中学2014届高三开学检测数学试题）如图，已知椭圆14:22=+y x C 的上、下顶点分别为B A 、，点P 在椭圆上，且异于点B A 、，直线BP AP 、与直线2:-=y l 分别交于点N M 、，（Ⅰ）设直线BP AP 、的斜率分别为1k 、2k ，求证：21k k ⋅为定值； （Ⅱ）求线段MN 的长的最小值；（Ⅲ）当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．【答案】解（Ⅰ）)1,0(A ，)1,0(-B ，令),(00y x P ，则由题设可知00≠x ，∴ 直线AP 的斜率0011x y k -=，PB 的斜率0021x y k +=，又点P 在椭圆上，所以 142020=+y x ，（00≠x ），从而有411112020000021-=-=+⋅-=x y x y x y k k 。

算法初步一、对本章内容考纲要求：了解算法的含义，流程图、算法语言这三节内容。

二、因此在复习过程中我们要求：1、体会算法的思想，了解算法的含义和特点，从而会写一些简单问题的算法。

算法通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤，这些步骤是明确且有效的，能在有限步骤内完成。

2、了解流程图是一种用规定的图形，指向线及文字说明来准确直观地表示算法的图形，是算法的一种表示方式，其中往往含有三种基本结构，即顺序结构，选择结构和循环结构，了解这三种结构的结构形式。

3、了解用伪代码表示的几种基本算法语句：赋值语句、输入语句、输出语句、条件语句和循环语句。

在这三部分内容中，我们应该清楚自然语言、流程图、伪代码是解法的三种表示方式，程序语言即伪代码是一种能上机操作且简便易懂的语言形式，我们要会把这三种形式进行转化。

因此我们应该会写出一些简单问题的自然语言的算法，相应的流程图及伪代码。

三、几个注意点：1、注意算法的五个特征：概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性、普通性。

2、顺序结构是任何算法离不开的基本结构，循环结构中含有选择结构，注意当型循环与直到型循环的区别，循环结构执行的次数以及算法的功能。

3、注意伪代码中当型循环与直到型循环的区别以及它们与For循环语句之间的转化。

四、因为本章内容是新增内容，在2008高考中出现一次，是一道填空题，为第七题，此题同时也是与统计知识的综合。

某地区为了解70～80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h）随机选择了50位老人进行调查，下表这50位老人日睡眠时间的频率分布表，在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值是____________________.此题算法功能是求5组数据组中值与对应的频率之积的和，即得；⨯+⨯⨯+⨯=S⨯+5.4=+5.5.05.808.6422.05.7122.05.64.0.0。

第5讲 数学归纳法分层训练B 级 创新能力提升1．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取________．解析 右边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8. 答案 82．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋12n ，则当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上________．解析 ∵当n ＝k 时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k 当n ＝k ＋1时，左侧＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2.答案12k ＋1－12k ＋23．在数列{a n }中，a 1＝13且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是________．解析 当n ＝2时，a 1＋a 2＝6a 2，即a 2＝15a 1＝115； 当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝15a 3， 即a 3＝114(a 1＋a 2)＝135；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝28a 4， 即a 4＝127(a 1＋a 2＋a 3)＝163.∴a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝17×9，故猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).答案 a n ＝1(2n －1)(2n ＋1)4．已知S n ＝12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2，当n 分别取1,2,3,4时的值依次为________，所以猜想原式＝________.解析 当n ＝1时，S 1＝12＝1＝(－1)1－1·1×(1＋1)2 当n ＝2时，S 2＝12－22＝－3＝(－1)2－1·2×(2＋1)2 当n ＝3时，S 3＝12－22＋32＝6＝(－1)3－1·3×(3＋1)2当n ＝4时，S 4＝12－22＋32－42＝－10＝(－1)4－1·4×(4＋1)2 ∴猜想S n ＝(－1)n －1·n (n ＋1)2.答案 1，－3,6，－10 (－1)n －1·n (n ＋1)2 5．(2010·全国卷)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝c －1a n.(1)设c ＝52，b n ＝1a n －2，求数列{b n }的通项公式；(2)求使不等式a n ＜a n ＋1＜3成立的c 的取值范围． 解 (1)a n ＋1－2＝52－1a n－2＝a n －22a n，1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2，即b n ＋1＝4b n ＋2.b n ＋1＋23＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＋23，又a 1＝1，故b 1＝1a 1－2＝－1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋23是首项为－13，公比为4的等比数列，b n ＋23＝－13×4n －1，b n ＝－4n －13－23.(2)a 1＝1，a 2＝c －1，由a 2＞a 1，得c ＞2. 用数学归纳法证明：当c ＞2时，a n ＜a n ＋1.①当n ＝1时，a 2＝c －1a 1＞a 1，命题成立；②设当n ＝k 时，a k ＜a k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＝c －1a k ＋1＞c －1a k＝a k ＋1.故由①②知当c ＞2时，a n ＜a n ＋1. 当c ＞2时，因为c ＝a n ＋1＋1a n＞a n ＋1a n，所以a 2n －ca n ＋1＜0有解，所以c －c 2－42＜a n ＜c ＋c 2－42，令α＝c ＋c 2－42，当2＜c ≤103时，a n ＜α≤3.当c ＞103时，α＞3，且1≤a n ＜α，于是α－a n ＋1＝1a nα(α－a n )＜13(α－a n )＜132(α－a n －1)＜…＜13n (α－1)． 所以α－a n ＋1＜13n (α－1)，当n ＞log 3α－1α－3时，α－a n ＋1＜α－3，a n ＋1＞3，与已知矛盾．因此c ＞103不符合要求． 所以c 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤2，103.6．(2013·扬州中学最后冲刺)已知在正项数列{a n }中，对于一切的n ∈N *均有a 2n≤a n －a n ＋1成立．(1)证明：数列{a n }中的任意一项都小于1； (2)探究a n 与1n 的大小，并证明你的结论．(1)证明 由a 2n ≤a n －a n ＋1，得a n ＋1≤a n －a 2n .因为在数列{a n }中，a n ＞0，所以a n ＋1＞0.所以a n －a 2n ＞0.所以0＜a n ＜1.故数列{a n }中的任意一项都小于1. (2)解 由(1)知0＜a n ＜1＝11，那么a 2≤a 1－a 21＝－⎝⎛⎭⎪⎫a 1－122＋14≤14＜12，由此猜想：a n ＜1n (n ≥2)，下面用数学归纳法证明： ①当n ＝2时，显然成立；②当n ＝k 时(k ≥2，k ∈N )时，假设猜想正确，即a k ＜1k ≤12，那么a k ＋1≤a k －a 2k ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a k －122＋14＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －122＋14＝1k －1k 2＝k －1k 2＜k －1k 2－1＝1k ＋1， 故当n ＝k ＋1时，猜想也正确． 综上所述，对于一切n ∈N *，都有a n ＜1n .。

2.1.4 两条直线的交点一、基础过关1．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0} {(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________. 2．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线的方程是____________．3．直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为________．4．两条直线l1：2x＋3y－m＝0与l2：x－my＋12＝0的交点在y轴上，那么m的值为_____．5．已知直线l过直线l1：3x－5y－10＝0和l2：x＋y＋1＝0的交点，且平行于l3：x＋2y－5＝0，则直线l的方程是______________．6．已知直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，l1∥l2，则m的值是_______．7．已知直线l1：(a－2)x＋3y＋a＝0，l2：ax＋(a－2)y－1＝0.当l1⊥l2时，求a的值及垂足的坐标．8．求经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在y轴上的截距为x轴上截距的2倍的直线l的方程．二、能力提升9．当a取不同实数时，直线(2＋a)x＋(a－1)y＋3a＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．10．若直线l：y＝kx－3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是__________．11．两直线ax＋y－4＝0与x－y－2＝0相交于第一象限，则a的取值范围是____________．12．已知直线l1：3x＋my－1＝0，l2：3x－2y－5＝0，l3：6x＋y－5＝0，(1)若这三条直线交于一点，求m的值；(2)若三条直线能构成三角形，求m的值．三、探究与拓展13．一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线与直线l的交点坐标．答案1．22．2x ＋y －8＝03．－14．±65．8x ＋16y ＋21＝06．0或－17．解 当a ＝2时，l 1：y ＝－23，l 2：x ＝12.此时，l 1⊥l 2且垂足坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－23， 当a ≠2时，k 1＝－a －23，k 2＝－aa －2.由l 1⊥l 2知：k 1·k 2＝a 3＝－1，∴a ＝－3. ∴l 1：－5x ＋3y －3＝0，l 2：－3x －5y －1＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＋3＝03x ＋5y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－917y ＝217.∴l 1与l 2的垂足坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－917，217. 综上所述：a 的值为2，垂足坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－23；或a 的值为－3，垂足坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－917，217. 8．解 (1)2x ＋y －8＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是4和8，符合题意．(2)当l 的方程不是2x ＋y －8＝0时，设l ：(x －2y ＋1)＋λ(2x ＋y －8)＝0，即(1＋2λ)x ＋(λ－2)y ＋(1－8λ)＝0.据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0.令x ＝0，得y ＝－1－8λλ－2； 令y ＝0，得x ＝－1－8λ1＋2λ. ∴－1－8λλ－2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－8λ1＋2λ 解之得λ＝18，此时y ＝23x . ∴所求直线方程为2x ＋y －8＝0或2x －3y ＝0.9．(－1，－2)10.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 11．－1<a <212．解 (1)⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2y －5＝06x ＋y －5＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝－1，代入l 1得，m ＝2；(2)当三直线交于一点或其中两条互相平行时，它们不能构成三角形．①由(1)得，当m ＝2时，三线共点，不能构成三角形，②当l 1∥l 2时，m ＝－2，当l 1∥l 3时，m ＝12，此时它们不能构成三角形， 综上所述：当m ≠±2且m ≠12时，三条直线能构成三角形． 13．解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝38x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝78y ＝3，∴反射光线与直线l 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫78，3.。

§1.4算法案例一、基础过关1．若Int(x)表示不超过x的最大整数，对于下列等式：①Int(10.01)＝10；②Int(－1)＝－1；③Int(－5.2)＝－5.其中正确的有________个．2．对下列不等式：①Mod(2,3)＝3；②Mod(3,2)＝2；③Mod(2,3)＝1；④Mod(3,2)＝1.成立的有______(写出成立的等式的序号)．3．若Int(x)表示不超过x的最大整数，则Int(0.35)＝________，Int(－0.01)＝__________，Int(0)＝________.4．1 037和425的最大公约数是________．5．如果a，b是整数，且a>b>0，r＝Mod(a，b)，则a与b的最大公约数与下面的________相等．(填写正确答案的序号)①r；②b；③b－r；④b与r的最大公约数．6．已知a＝333，b＝24，则使得a＝bq＋r(q，r均为自然数，且0≤r<b)成立的q和r的值分别为________．7．求319,377,116的最大公约数．8．设计求被6除余4，被10除余8，被9除余4的最小正整数的算法流程图，并写出伪代码．二、能力提升9．下面的说法：①若f(a)f(b)<0(a≠b)，则方程f(x)＝0在区间(a，b)上一定有根；②若f(a)f(b)>0(a≠b)，则方程f(x)＝0在区间(a，b)上一定没有根．③连续不间断的函数y＝f(x)，若f(a)f(b)<0(a≠b)，则方程f(x)＝0在区间(a，b)上只有一个根．其中不正确的说法有________个．10．用二分法求方程x2－2＝0的近似根(误差不超过0.001)的一个算法补充完整：S1令f(x)＝x2－2，因为f(1)<0，f(2)>0，所以设x1＝1，x2＝2；S2令m＝____________，判断f(m)是否为0，若f(m)＝0，则m即为所求；若否，则判断________的符号；S3若____________，则x1←m；否则x2←m；S4判断____________<0.001是否成立，若是，则x1，x2之间的任意值均为满足条件的近似根，若否，________.11．1 624与899的最大公约数是________．12．在平面直角坐标系中作出函数f (x )＝1x 和g (x )＝lg x 的图象，根据图象判断方程lg x ＝1x的解的范围，再将用二分法求这个方程的近似解(误差不超过0.001)的算法用伪代码表示．三、探究与拓展13．有3个连续的自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，求满足要求的一组三个连续自然数的算法，画出流程图并写出伪代码．答案1．2 2.④ 3.0 －1 0 4．17 5．④ 6．13,217． 解 用辗转相除法377＝319×1＋58319＝58×5＋2958＝29×2∴377与319的最大公约数为29，116＝29×4∴116与29的最大公约数为29，∴377,319,116的最大公约数为29.8． 解 流程图：伪代码：n ←1While Mod(n,6)≠4 orMod(n,10)≠8 orMod(n,9)≠4n ←n ＋1End WhilePrint n9．3 10.x 1＋x 22f (x 1)f (m ) f (x 1)f (m )>0 |x 1－x 2| 转S2 11．29 12．解 图象为设h (x )＝1x－lg x . ∵h (2)＝12－lg 2>0，h (3)＝13－lg 3<0， ∴h (x )＝0在(2,3)内有解．伪代码为：13．解 算法：S1 取m ＝1；S2 当m 不能被15整除，或m ＋1不能被17整除，或m ＋2不能被19整除，则m ←m ＋1，转S2；否则输出m ，m ＋1，m ＋2，算法结束．算法流程图如下：伪代码如下：m←1While Mod(m,15)≠2 orMod(m＋1,17)≠0 orMod(m＋2,19)≠0 m←m＋1End WhilePrint m，m＋1，m＋2。

学案30数列的通项与求和导学目标：1。

能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和。

2.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．自主梳理1．求数列的通项(1）数列前n项和S n与通项a n的关系：a n＝错误!（2）当已知数列{a n}中，满足a n＋1－a n＝f(n），且f（1)＋f(2)＋…＋f（n)可求，则可用________求数列的通项a n，常利用恒等式a n＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋(a n－a n－1）．（3）当已知数列{a n}中，满足错误!＝f(n)，且f（1)·f(2）·…·f （n)可求，则可用________求数列的通项a n，常利用恒等式a n＝a1·错误!·错误!·…·错误!.（4)作新数列法:对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项．（5)归纳、猜想、证明法．2．求数列的前n项的和（1)公式法①等差数列前n项和S n＝____________＝________________，推导方法:____________；②等比数列前n项和S n＝错误!推导方法：乘公比，错位相减法．③常见数列的前n项和：a．1＋2＋3＋…＋n＝________；b．2＋4＋6＋…＋2n＝________；c．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝________;d．12＋22＋32＋…＋n2＝________；e．13＋23＋33＋…＋n3＝____________。

（2）分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(3）拆项相消:有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．常见的拆项公式有：①错误!＝错误!－错误!；②错误!＝错误!错误!；③错误!＝错误!－错误!。

(4）错位相减:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．(5）倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导．自我检测1．（原创题)已知数列{a n｝的前n项的乘积为T n＝3n2(n∈N*）,则数列｛a n}的前n项的和为________．2．设｛a n}是公比为q的等比数列，S n是其前n项和，若｛S n}是等差数列，则q＝________.3．已知等比数列｛a n}的公比为4，且a1＋a2＝20,故b n＝log2a n，则b2＋b4＋b6＋…＋b2n＝________。

第3讲 二项式定理分层训练A 级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2011·陕西卷改编)(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是________．解析 T r ＋1＝C r 6(22x )6－r (－2－x )r ＝(－1)r C r 6·(2x )12－3r ，r ＝4时，12－3r ＝0，故第5项是常数项，T 5＝(－1)4C 46＝15.答案 152．若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 的展开式中第5项是常数项，则正整数n 的值可能为________．解析 T r ＋1＝C r n (x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r n x n －3r 2，当r ＝4时，n －3r 2＝0，又n ∈N *，∴n ＝12.答案 123．(2011·天津改编)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为________． 解析 在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式中，第r ＋1项为 T r ＋1＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫x 26－r ⎝⎛⎭⎪⎫－2x r ＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫126－r x 3－r (－2)r ， 当r ＝1时为含x 2的项，其系数是C 16⎝ ⎛⎭⎪⎫125(－2)＝－38. 答案 －384．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x 8展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是________．解析 由题意知C 48·(－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式各项系数和为(1－a )8＝1或38.答案 1或385．设⎝⎛⎭⎪⎫5x －1x n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中x 的系数为________．解析 由已知条件4n －2n ＝240，解得n ＝4，T r ＋1＝C r 4(5x )4－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r 54－r C r 4x 4－3r 2， 令4－3r 2＝1，得r ＝2，T 3＝150x .答案 1506．已知(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则(a 0＋a 2＋a 4)(a 1＋a 3＋a 5)的值等于________．解析 已知(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，令x ＝1，则0＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，令x ＝－1，则25＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.∴a 0＋a 2＋a 4＝－(a 1＋a 3＋a 5)＝16.则(a 0＋a 2＋a 4)(a 1＋a 3＋a 5)＝－256.答案 －256二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n ， (1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解 (1)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0.∴n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.∴T 4的系数为C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫12423＝352，T 5的系数为C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫12324＝70，当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.∴T 8的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫12727＝3 432. (2)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2＋n －156＝0.∴n ＝12或n ＝－13(舍去)．设T k ＋1项的系数最大，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212(1＋4x )12， ∴⎩⎨⎧C k 124k ≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1. ∴9.4≤k ≤10.4，∴k ＝10.∴展开式中系数最大的项为T 11，T 11＝C 1012·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·210·x 10＝16 896x 10. 8．在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和．(1)试用组合数表示这个一般规律；(2)在数表中试求第n 行(含第n 行)之前所有数之和；(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3∶4∶5，并证明你的结论．第0行 1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1第6行 1 6 15 20 15 6 1解 (1)C r n ＋1＝C r n ＋C r －1n . (2)1＋2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－1.(3)设C r －1n ∶C r n ∶C r ＋1n ＝3∶4∶5，由C r －1n C r n＝34，得r n －r ＋1＝34， 即3n －7r ＋3＝0，① 由C r n C r ＋1n ＝45，得r ＋1n －r ＝45， 即4n －9r －5＝0 ② 解①②联立方程组得，n ＝62，r ＝27，即C 2662∶C 2762∶C 2862＝3∶4∶5.。

江苏省2014届一轮复习数学试题选编14：等差与等比数列综合填空题1 ．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）数列{}n a 中,12a =,1n n a a cn +=+(c 是常数,123n =，，，),且123a a a ，，成公比不为1的等比数列,则{}n a 的通项公式是______.【答案】22n a n n =-+2 ．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知数列{}n a 满足143a =,()*11226n n a n N a +-=∈+,则11ni ia =∑=______. 【答案】2324n n ⋅--3 ．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3=18,S 3=26,则{a n }的公比q =________. 【答案】3 4 ．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）设数列{a n }满足:()()*3118220()n n n n a a a a a n ++=---=∈N ，,则a 1的值大于20的概率为____. 【答案】145 ．（苏北老四所县中2013届高三新学期调研考试）已知数列}{n a 满足122n n a qa q +=+-（q 为常数，||1q <），若3456,,,a a a a ∈}{18,6,2,6,30---，则1a = ▲ ． 【答案】2-或1266 ．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）观察下列等式:31×2×12=1-122, 31×2×12+42×3×122=1-13×22, 31×2×12+42×3×122+53×4×123=1-14×23,,由以上等式推测到一个一般的结论:对于n ∈N *,31×2×12+42×3×122++n ＋2n n ＋1×12n =______. 【答案】()nn 2111⋅+-7 ．（江苏省扬州市2013届高三上学期期中调研测试数学试题）已知等比数列{}n a 的首项是1,公比为2,等差数列{}n b 的首项是1,公差为1,把{}n b 中的各项按照如下规则依次插入到{}n a 的每相邻两项之间,构成新数列}{n c :1122334,,,,,,,a b a b b a b 564,,b b a ,,即在n a 和1n a +两项之间依次插入{}n b 中n 个项,则2013c =____. 【答案】19518 ．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）若数列{}n a 是各项均为正数的等比数列,则当12n n n b a a a =⋅⋅⋅时,数列{}n b 也是等比数列;类比上述性质,若数列{}n c 是等差数列,则当n d =_______时,数列{}n d 也是等差数列.【答案】nc c c n+++ 219 ．（江苏省无锡市2013届高三上学期期中考试数学试题）已知等差数列{}n a 满足:21-=a ,02=a .若将1a ,4a ,5a 都加上同一个数,所得的三个数依次成等比数列,则所加的这个数为___________.【答案】7- 10．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）过点(1 0)P -，作曲线C :e x y =的切线,切点为1T ,设1T 在x 轴上的投影是点1H ,过点1H 再作曲线C 的切线,切点为2T ,设2T 在x 轴上的投影是点2H ,,依次下去,得到第1n +()n ∈N 个切点1n T +.则点1n T +的坐标为______. 【答案】()e n n ，11．（江苏省2013届高三高考模拟卷（二）（数学） ）已知数列{a n }满足3a n +1+a n =4(n ∈N*),且a 1=9,其前n项之和为S n ,则满足不等式|S n -n -6|<1125的最小整数n 是______.【答案】7 解答题12．（江苏省无锡市2013届高三上学期期中考试数学试题）数列{}n a 是公比大于1的等比数列,62=a ,263=S . (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)在n a 与1+n a 之间插入n 个数,使这2+n 个数组成公差为n d 的等差数列.设第n 个等差数列的前n 项和是n A .求关于n 的多项式)(n g ,使得n n d n g A )(=对任意+∈N n 恒成立;(3)对于(2)中的数列1d ,2d ,3d ,⋅⋅⋅,n d ,⋅⋅⋅,这个数列中是否存在不同的三项m d ,k d ,p d (其中正整数m ,k ,p 成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由.【答案】13．（江苏省南京市四区县2013届高三12月联考数学试题 ）设等差数列}{n a 的公差0≠d ,数列}{n b 为等比数列,若a b a ==11,33b a =,57b a = (1)求数列}{n b 的公比q ;(2)若*,,N m n b a m n ∈=,求n 与m 之间的关系;(3)将数列}{n a ,}{n b 中的公共项按由小到大的顺序排列组成一个新的数列}{n c ,是否存在正整数r q p ,,)(r q p <<使得r q p ,,和r c q c p c r q p +++,,均成等差数列?说明理由.【答案】解:(1)设}{n b 的公比为q ,由题意⎪⎩⎪⎨⎧+=+=d a aq d a aq 6242 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-da aq da aq 6242 1=q 不合题意,故311142=--q q ,解得22=q 2±=∴q(2)由m n b a =得1)1(-=-+m aq d n a ,又a a aq d =-=22 2a d =∴ 1)2(211-±=-+∴m n 即2112)1(1+-±=+m m n*1N n ∈+ 0)(1>±∴-m 1221-=∴+m n m 为奇数，且(3)若}{n a 与}{n b 有公共项,不妨设m n b a = 由(2)知:1221-=+m n m 为奇数，且令)(12*N k k m ∈-=,则11122)2(---•=•=k k m a a ba c n n 12-=∴若存在正整数)(r q p r q p <<、、满足题意,则⎩⎨⎧+•++•=+•+=---)2()2()2(22111r a p a q a rp q r p q 11222--+=∴r p q ,又)""(222222211===≥++-+--时取当且仅当r p r p r P r p又r p ≠ ,211222r p r p +-->+∴又xy 2=在R 上增,2r p q +>∴.与题设2rp q +=矛盾, ∴若不存在r q p 、、满足题意数学附加题14．（江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S , 且1517a a +=.(1)若{}n a 为等差数列, 且856S =.①求该等差数列的公差d ;②设数列{}n b 满足3n n n b a =⋅,则当n 为何值时,n b 最大?请说明理由;(2)若{}n a 还同时满足: ①{}n a 为等比数列;②2416a a =;③对任意的正整数k ,存在自然数m ,使得2k S +、k S 、m S 依次成等差数列,试求数列{}n a 的通项公式.【答案】解: (1)①由题意,得11241782856a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得1d =-4分②由①知1212a =,所以232n a n =-,则2333()2n n n n b a n =⋅=⋅-因为1121233()3()22n n n n b b n n ++-=⋅--⋅-21233[3()()]23[10]22n n n n n =⋅---=⨯⋅-所以1110b b =,且当10n ≤时,{}n b 单调递增,当11n ≥时,{}n b 单调递减,故当10n =或11n =时,nb 最大(2)因为{}n a 是等比数列,则241516a a a a ==,又1517a a +=,所以15116a a =⎧⎨=⎩或15161a a =⎧⎨=⎩从而12n n a -=或1(2)n n a -=-或1116()2n n a -=⨯或1116()2n n a -=⨯-. 又因为2k S +、k S 、m S 依次成等差数列,得22k k m S S S +=+,而公比1q ≠,所以2111(1)(1)(1)2111k k m a q a q a q q q q +---=+---,即22k k m q q q +=+,从而22m kq q -=+ (*)当12n n a -=时, (*)式不成立; 当1(2)n n a -=-时,解得1m k =+;当1116()2n n a -=⨯时, (*)式不成立;当1116()2n n a -=⨯-时, (*)式不成立. 综上所述,满足条件的1(2)n n a -=-15．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知数列{}n a 是等差数列,12315a a a ++=,数列{}n b 是等比数列,12327b b b =.(1)若1243,a b a b ==.求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)若112233,,a b a b a b +++是正整数且成等比数列,求3a 的最大值.【答案】解:(1)由题得225,3a b ==,所以123a b ==,从而等差数列{}n a 的公差2d =,所以21n a n =+,从而349b a ==,所以13n n b -=(2)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q ,则15a d =-,13b q=,35a d =+,33b q =. 因为112233,,a b a b a b +++成等比数列,所以2113322()()()64a b a b a b +⋅+=+=.设1133a b m a b n+=⎧⎨+=⎩,*,m n N ∈,64mn =, 则3553d m q d q n ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩,整理得,2()5()800d m n d m n +-++-=.解得d =(舍去负根).35a d =+,∴要使得3a 最大,即需要d 最大,即n m -及2(10)m n +-取最大值.*,m n N ∈,64mn =,∴当且仅当64n =且1m =时,n m -及2(10)m n +-取最大值.从而最大的d =所以,最大的3a =16．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修历史））已知数列*122{}:1,(0),{}()n n n n n a a a a a b b a a n N +==>=∈满足数列满足(1)若{}n a 是等差数列,且345,{}n b a a =求的值及的通项公式;(2)若{}n a 的等比数列,求{}n b 的前n 项和.n S【答案】解 (1)因为{}n a 是等差数列,1d a =-,1(1)n a n a =+-,[12(1)][14(1)]45a a +-+-=,解得3a =或74a -=(舍去), 21n a n =-(2)因为{}n a 是等比数列,q a =,1n n a a -=,2n n b a = 当1a =时,1n b =,n S n =;当1a ≠时, 222(1)1n n a a S a -=-17．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）若数列{}n a 是首项为612t -, 公差为6的等差数列;数列{}n b 的前n 项和为3nn S t =-. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)若数列{}n b 是等比数列, 试证明: 对于任意的(,1)n n N n ∈≥, 均存在正整数n c , 使得1nn c b a +=, 并求数列{}n c 的前n 项和n T ;(3)设数列{}n d 满足n n n d a b =⋅, 且{}n d 中不存在这样的项k d , 使得“1k k d d -<与1k k d d +<”同时成立(其中2≥k , *∈N k ), 试求实数的取值范围.【答案】解: (1)因为{}n a 是等差数列,所以(612)6(1)612n a t n n t =-+-=-而数列{}n b 的前n 项和为3n n S t =-,所以当2n ≥时, 11(31)(31)23n n n n b --=---=⨯,又113b S t ==-,所以13,123,2n n t n b n --=⎧=⎨⨯≥⎩(2)证明:因为{}n b 是等比数列,所以113232t --=⨯=,即1t =,所以612n a n =-对任意的(,1)n n N n ∈≥,由于11123636(32)12n n n n b --+=⨯=⨯=⨯+-, 令1*32n n c N -=+∈,则116(23)12n n cn a b -+=+-=,所以命题成立数列{}n c 的前n 项和13112321322n n n T n n -=+=⨯+-- (3)易得6(3)(12),14(2)3,2n nt t n d n t n --=⎧=⎨-≥⎩, 由于当2n ≥时, 114(12)34(2)3n nn nd d n t n t ++-=+---38[(2)]32nn t =--⨯,所以①若3222t -<,即74t <,则1n n d d +>,所以当2n ≥时,{}n d 是递增数列,故由题意得 12d d ≤,即6(3)(12)36(22)t t t --≤-,5975977444t ---+≤≤<,②若32232t ≤-<,即7944t ≤<,则当3n ≥时,{}n d 是递增数列,, 故由题意得23d d =,即234(22)34(23)3t t -=-,解得74t =③若321(,3)2m t m m N m ≤-<+∈≥,即35(,3)2424m m t m N m +≤<+∈≥,则当2n m ≤≤时,{}n d 是递减数列, 当1n m ≥+时,{}n d 是递增数列,则由题意,得1m m d d +=,即14(2)34(21)3mm t m t m +-=--,解得234m t +=综上所述,59759744t ---+≤≤234m t +=(,2)m N m ∈≥ 18．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）设()2012()k k k f n c c n c n c n k =+++⋅⋅⋅+∈N ,其中012,,,,k c c c c ⋅⋅⋅为非零常数,数列{a n }的首项a 1=1,前n 项和为S n ,对于任意的正整数n ,a n +S n =()k f n . (1)若k =0,求证:数列{a n }是等比数列;(2)试确定所有的自然数k ,使得数列{a n }能成等差数列.【答案】【证】(1)若0k =,则()k f n 即0()f n 为常数,不妨设0()f n c =(c 为常数). 因为()n n k a S f n +=恒成立,所以11a S c +=,即122c a ==. 而且当2n ≥时,2n n a S +=, ①112n n a S --+=, ②①-②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，≥.若a n =0,则1=0n a -,,a 1=0,与已知矛盾,所以*0()n a n ≠∈N . 故数列{a n }是首项为1,公比为12的等比数列.【解】(2)(i) 若k =0,由(1)知,不符题意,舍去. (ii) 若k =1,设1()f n bn c =+(b ,c 为常数), 当2n ≥时,n n a S bn c +=+, ③ 11(1)n n a S b n c --+=-+, ④③-④得 12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥.要使数列{a n }是公差为d (d 为常数)的等差数列,必须有n a b d =-(常数),而a 1=1,故{a n }只能是常数数列,通项公式为a n =1()*n ∈N ,故当k =1时,数列{a n }能成等差数列,其通项公式为a n =1()*n ∈N ,此时1()1f n n =+. (iii) 若k =2,设22()f n an bn c =++(0a ≠,a ,b ,c 是常数), 当2n ≥时,2n n a S an bn c +=++, ⑤211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+, ⑥ ⑤-⑥得 122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥, 要使数列{a n }是公差为d (d 为常数)的等差数列,必须有 2n a an b a d =+--,且d =2a ,考虑到a 1=1,所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()*n ∈N .故当k =2时,数列{a n }能成等差数列,其通项公式为221n a an a =-+()*n ∈N ,此时22()(1)12f n an a n a =+++-(a 为非零常数). (iv) 当3k ≥时,若数列{a n }能成等差数列,则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2,故数列{a n }不能成等差数列.综上得,当且仅当k =1或2时,数列{a n }能成等差数列.19．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）已知数列{}n a ,其前n 项和为n S .⑴若对任意的n *∈N ,2-12+12,,n n n a a a 组成公差为4的等差数列,且1=1a ,220132nS n=,求n 的值; ⑵若数列{+}nnS a a 是公比为(1)q q ≠-的等比数列,a 为常数,求证:数列{}n a 为等比数列的充要条件为1=1+q a.【答案】⑴因为21212,,n n n a a a -+成公差为4的等差数列,所以21212214,8)n n n n a a a a n *+---==+∈N （, 所以1352121,,,,,n n a a a a a -+是公差为4的等差数列,且 2462135218n n a a a a a a a a n -++++=+++++,又因为11a =,所以()21352128n n S a a a a n-=+++++2(1)2[4]8462(23)2n n n n n n n n -=⨯==++++, 所以22320132nS n n==+,所以1005n = ⑵因为1(1)n nnS a a q a -+=+,所以1(1)n n n n S a q a aa -=+-, ① 所以111(1)n n n n S a q a aa +++=+-, ②②-①,得11(1)(1)[(1)]n n n n a q a a a q a -++-=-+, ③ (ⅰ)充分性:因为11q a=+,所以0,1,1a q a aq ≠≠+=,代入③式,得 1(1)(1)n n n n q q a q a +-=-,因为1q ≠-,又1q ≠,所以11n n a a q+=,*n ∈N ,所以{}n a 为等比数列, (ⅱ)必要性:设{}n a 的公比为0q ,则由③得10(1)(1)(1)n n a q q a a q -+-=-+,整理得()()00111()n a q a a q q q+-=+-,此式为关于n 的恒等式,若1q =,则左边0=,右边1=-,矛盾;1q ≠±若,当且仅当00(1,1(1(1)a q a a q a q+=⎧⎪⎨+=+⎪⎩））时成立,所以11q a =+.由(ⅰ)、(ⅱ)可知,数列{}n a 为等比数列的充要条件为1=1+q a20．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项的和为n S ,数列{}2na 的前n 项的和为nT ,且()2*234,n n S T n N -+=∈.⑴证明数列{}n a 是等比数列,并写出通项公式;⑵若20n n S T λ-<对*n N ∈恒成立,求λ的最小值; ⑶若12,2,2x yn n n a a a ++成等差数列,求正整数,x y 的值.【答案】(1)因为2(2)34n n S T -+=,其中n S 是数列}{n a 的前n 项和,n T 是数列}{2n a 的前n 项和,且0>n a ,当1=n 时,由2211(2)34a a -+=,解得11a =, 当2n =时,由2222(12)3(1)4a a +-++=,解得212a =; 4分 由43)2(2=+-n n T S ,知43)2(121=+-++n n T S ,两式相减得03)4)((2111=+-+-+++n n n n n a S S S S ,即03)4(11=+-+++n n n a S S ,亦即221=-+n n S S ,从而122,(2)n n S S n --=≥,再次相减得11,(2)2n n a a n +=≥,又1221a a =,所以11,(1)2n n a n a +=≥所以数列}{n a 是首项为1,公比为12的等比数列, 其通项公式为121-=n n a *n ∈N(2)由(1)可得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n nn S 2112211211,11414113414nnn T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-, 若02<-n n T S λ对*N n ∈恒成立,只需126321121132+-=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=>n n nnnT Sλ对*N n ∈恒成立,因为31263<+-n对*N n ∈恒成立,所以3λ≥,即λ的最小值为3; (3)若212,2,++n yn xn a a a 成等差数列,其中y x ,为正整数,则1122,22,21+-n yn x n 成等差数列,整理得2212-+=y x ,当2>y 时,等式右边为大于2的奇数,等式左边是偶数或1,等式不能成立, 所以满足条件的y x ,值为2,1==y x21．（江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题）已知数列{}n a 中,12a =,23a =,其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+,其中2n ≥,*n ∈N . (1)求证;数列{}n a 为等差数列,并求其通项公式;(2)设n n n a b -⋅=2,n T 为数列{}n b 的前n 项和,求使n T >2的n 的取值范围.(3)设λλ(2)1(41n an n n c ⋅-+=-为非零整数,*n ∈N ),试确定λ的值,使得对任意*n ∈N ,都有n n c c >+1成立.【答案】解:(1)由已知,()()111n n n n S S S S +----=(2n ≥,*n ∈N ), 即11n n a a +-=(2n ≥,*n ∈N ),且211a a -=. ∴数列{}n a 是以12a =为首项,公差为1的等差数列. ∴1n a n =+(2) ∵1n a n =+,∴nn n b 21)1(⋅+= 21231111123(1) (1)22221111123(1)..........(2)22222n n n n n n T n n T n n -+∴=⨯+⨯++⋅++⋅=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅++23111111(1)(2)1(1)22222n n n T n +-=++++-+⋅得：∴ n T n n 233+-= 代入不等式得:01232233<-+>+-n n n n ，即设022)()1(,123)(1<+-=-+-+=+n n n n f n f n n f 则 ∴)(n f 在+N 上单调递减, ∵041)3(,041)2(,01)1(<-=>=>=f f f , ∴当n =1,n=2时,()0,3()0f n n f n ><≥当时，, 所以n 的取值范围.为3,n n *∈N ≥且(3)1,n a n =+114(1)2n n n n c λ-+∴=+-,要使1n n c c +>恒成立,即1211144(1)2(1)20n n n n n n n n c c λλ++-++-=-+--->恒成立,11343(1)20n n n λ-+∴⨯-->恒成立,∴11(1)2n n λ---<恒成立,(i)当n 为奇数时,即12n λ-<恒成立,当且仅当1n =时,12n -有最小值为1,1λ∴<.(ii)当n 为偶数时,即12n λ->-恒成立,当且仅当2n =时,12n --有最大值2-, 2λ∴>-.即21λ-<<,又λ为非零整数,则1λ=-综上所述:存在1λ=-,使得对任意的n *∈N ,都有1n n c c +>22．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）已知等差数列{a n }的首项a 1为a (,0)a R a ∈≠.设数列的前n项和为S n ,且对任意正整数n 都有24121n n a n a n -=-. (1) 求数列{a n }的通项公式及S n ;(2) 是否存在正整数n 和k ,使得S n , S n +1 , S n +k 成等比数列?若存在,求出n 和k 的值;若不存在,请说明理由.【答案】23．（2013江苏高考数学）本小题满分16分.设}{n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列)0(≠d ,n S 是其前n项和.记cn nS b n n +=2,*N n ∈,其中c 为实数. (1)若0=c ,且421b b b ，，成等比数列,证明:k nk S n S 2=(*,N n k ∈);(2)若}{n b 是等差数列,证明:0=c .【答案】本题主要考察等差数列等比数列的定义.通项.求和等基础知识,考察分析转化能力及推理论证能力.证明:∵}{n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列)0(≠d ,n S 是其前n 项和 ∴d n n na S n 2)1(-+= (1)∵0=c ∴d n a n S b n n 21-+==∵421b b b ，，成等比数列 ∴4122b b b = ∴)23()21(2d a a d a +=+∴041212=-d ad ∴0)21(21=-d a d ∵0≠d ∴d a 21= ∴a d 2= ∴a n a n n na d n n na S n 222)1(2)1(=-+=-+= ∴左边=a k n a nk S nk 222)(== 右边=a k n S n k 222=∴左边=右边∴原式成立(2)∵}{n b 是等差数列∴设公差为1d ,∴11)1(d n b b n -+=带入cn nS b nn +=2得:11)1(d n b -+cn nS n +=2∴)()21()21(11121131b d c n cd n d a d b n d d -=++--+-对+∈N n 恒成立∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==+--=-0)(0021021111111b d c cd d a d b d d由①式得:d d 211=∵ 0≠d ∴ 01≠d 由③式得:0=c法二:证:(1)若0=c ,则d n a a n )1(-+=,2]2)1[(a d n n S n +-=,22)1(ad n b n +-=.当421b b b ，，成等比数列,4122b b b =,即:⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2322d a a d a ,得:ad d 22=,又0≠d ,故a d 2=.由此:a n S n 2=,a k n a nk S nk 222)(==,a k n S n k 222=. 故:k nk S n S 2=(*,N n k ∈).(2)c n ad n n c n nS b n n ++-=+=22222)1(, c n a d n ca d n c a d n n ++--+-++-=2222)1(22)1(22)1( cn a d n ca d n ++--+-=222)1(22)1(. (※) 若}{n b 是等差数列,则Bn An b n +=型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,故有:022)1(2=++-cn ad n c,即022)1(=+-a d n c ,而22)1(a d n +-≠0, 故0=c .经检验,当0=c 时}{n b 是等差数列.24．（江苏省南京市四校2013届高三上学期期中联考数学试题）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】解:(Ⅰ)依题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⨯++⨯+)12()3(5025452233112111d a a d a d a d a 解得⎩⎨⎧==231d a ,1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，(Ⅱ)13-=n nna b ,113)12(3--⋅+=⋅=n n n n n a b 123)12(37353-⋅+++⋅+⋅+=n n n T n n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=-n n n n T 3)12(3232323212+-⋅++⋅+⋅+=--nnn n n 323)12(31)31(3231⋅-=+---⋅+=- ∴nn n T 3⋅=25．（扬州市2012-2013学年度第一学期期末检测高三数学试题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S .(Ⅰ)若数列{}n a 是等比数列,满足23132a a a =+, 23+a 是2a ,4a 的等差中项,求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)是否存在等差数列{}n a ,使对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ⋅=+?若存在,请求出所有满足条件的等差数列;若不存在,请说明理由. 【答案】解:(Ⅰ)设等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为q ,依题意,有⎩⎨⎧+=+=+).2(2,32342231a a a a a a 即⎩⎨⎧+=+=+)2(.42)()1(,3)2(2131121q a q q a q a q a由 )1(得 0232=+-q q ,解得1=q 或2=q.当1=q 时,不合题意舍;当2=q时,代入(2)得21=a ,所以,n n n a 2221=⋅=-(Ⅱ)假设存在满足条件的数列{}n a ,设此数列的公差为d ,则 方法1: 211(1)[(1)][]2(1)2n n a n d a n d n n ++-+=+,得 222222111331()()222222d n a d d n a a d d n n +-+-+=+对*n N ∈恒成立, 则22122112,232,2310,22d a d d a a d d ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-+=⎪⎩解得12,2,d a =⎧⎨=⎩或12,2.d a =-⎧⎨=-⎩此时2n a n =,或2n a n =-.故存在等差数列{}n a ,使对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ⋅=+.其中2n a n =, 或2n a n =-方法2:令1n =,214a =,得12a =±,令2n =,得2212240a a a +⋅-=,①当12a =时,得24a =或26a =-,若24a =,则2d =,2n a n =,(1)n S n n =+,对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ⋅=+; 若26a =-,则8d =-,314a =-,318S =-,不满足23323(31)a S ⋅=⨯⨯+. ②当12a =-时,得24a =-或26a =,若24a =-,则2d =-,2n a n =-,(1)n S n n =-+,对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ⋅=+; 若26a =,则8d =,314a =,318S =,不满足23323(31)a S ⋅=⨯⨯+.综上所述,存在等差数列{}n a ,使对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ⋅=+.其中2n a n =,或2n a n =- 26．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21n n a S An Bn +=++(0A ≠).(1)若132a =,294a =,求证数列{}n a n -是等比数列,并求数列{}n a 的通项公式; (2)已知数列{}n a 是等差数列,求1B A-的值.【答案】27．（2012年江苏理）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足:221nn n n n b a b a a ++=+,*N n ∈,(1)设n n n a b b +=+11,*N n ∈,求证:数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列; (2)设nnn a b b •=+21,*N n ∈,且{}n a 是等比数列,求1a 和1b 的值. 【答案】解:(1)∵n n n a b b +=+11,∴1n a +=∴11n n b a ++=()2222111*n n n n n n b b b n N a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.∴数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是以1 为公差的等差数列.(2)∵00n n a >b >，,∴()()22222n n n n n n a b a b <a b +≤++.∴11n <a +=≤﹡)设等比数列{}n a 的公比为q ,由0n a >知0q >,下面用反证法证明=1q 若1,q >则212=a a <a q≤1log q n >时,11n n a a q +=与(﹡)矛盾. 若01,<q <则212=1a a >a >q ,∴当11log q n >a 时,111n n a a q <+=,与(﹡)矛盾. ∴综上所述,=1q .∴()1*n a a n N =∈,∴11<a ≤又∵11n n n n b b b a +=()*n N ∈,∴{}n b1.若1a ≠,11,于是123b <b <b . 又由221nn n n n b a b a a ++=+即1a =,得11n b a -.∴123b b b ，，中至少有两项相同,与123b <b <b矛盾.∴1a .∴1n b -∴ 12=a b。

第5讲数学归纳法分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在进行第二步证明时，给出四种证法．)，证明n＝k＋1命题成立；①假设n＝k(k∈N＋②假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立；)，证明n＝k＋1命题成立；③假设n＝2k＋1(k∈N＋④假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立．正确证法的序号是________．解析①②③中，k＋1不一定表示奇数，只有④中k为奇数，k＋2为奇数．答案④2．用数学归纳证明：对任意的n∈N*,34n＋2＋52n＋1能被14整除的过程中，当n ＝k＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1可变形为________．答案34(34k＋2＋52k＋1)－52k＋1×563．(2010·寿光一中模拟)若存在正整数m，使得f(n)＝(2n－7)3n＋9(n∈N*)能被m 整除，则m＝________.解析f(1)＝－6，f(2)＝－18，f(3)＝－18，猜想：m＝－6.答案 64．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开的式子是________．解析假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k3即可．答案 (k ＋3)35．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上________．解析 ∵当n ＝k 时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，∴当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.答案 (k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)26．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________．解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2；∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2012·苏中三市调研)已知数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝2a n a n ＋1(n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)证明：不等式0<a n <a n ＋1对于任意的n ∈N *都成立．(1)解 由题意，得a 2＝23，a 3＝45.(2)证明 ①当n ＝1时，由(1)，知0<a 1<a 2，即不等式成立．②设当n ＝k (k ∈N *)时，0<a k <a k ＋1成立，则当n ＝k ＋1时，由归纳假设，知a k ＋1>0.而a k ＋2－a k ＋1＝2a k ＋1a k ＋1＋1－2a k a k ＋1＝2a k ＋1(a k ＋1)－2a k (a k ＋1＋1)(a k ＋1＋1)(a k ＋1)＝2(a k ＋1－a k )(a k ＋1＋1)(a k ＋1)>0， ∴0<a k ＋1<a k ＋2，即当n ＝k ＋1时，不等式成立． 由①②，得不等式0<a n <a n ＋1对于任意n ∈N *成立．8．(2011·盐城调研)已知数列{a n }满足a n ＋1＝－a 2n ＋pa n (p ∈R )，且a 1∈(0,2)，试猜想p 的最小值，使得a n ∈(0,2)对n ∈N *恒成立，并给出证明． 证明 当n ＝1时，a 2＝－a 21＋pa 1＝a 1(－a 1＋p )． 因为a 1∈(0,2)，所以欲使a 2∈(0,2)恒成立，则要⎩⎪⎨⎪⎧ p ＞a 1，p ＜a 1＋2a 1恒成立，解得2≤p ≤22，由此猜想p 的最小值为2.因为p ≥2，所以要证该猜想成立，只要证：当p ＝2时，a n ∈(0,2)对n ∈N *恒成立． 现用数学归纳法证明：①当n ＝1时结论显然成立；②假设当n ＝k 时结论成立，即a k ∈(0,2)， 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝－a 2k ＋2a k ＝a k (2－a k )， 一方面，a k ＋1＝a k (2－a k )＞0成立，另一方面，a k ＋1＝a k (2－a k )＝－(a k －1)2＋1≤1＜2， 所以a k ＋1∈(0,2)，即当n ＝k ＋1时结论也成立． 由①②可知，猜想成立，即p 的最小值为2.。

基本算法语句分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分) 1．按照下面的算法进行操作： S1 x ←2.35 S2 y ←Int(x ) S3 Print y最后输出的结果是________．解析 Int(x )表示不大于x 的最大整数． 答案 22．下面是一个算法的伪代码，如果输入的x 的值是20，则输出的y 的值是________． 解析 ∵x ＝20>5，∴执行赋值语句y ＝7. 5x ＝7.5×20＝150. 答案 150(第2题图) (第3题图)3．以上给出的是用条件语句编写的一个伪代码，该伪代码的功能是________． 答案 求下列函数当自变量输入值为x 时的函数值f (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <32，x ＝3x 2－1，x >34．(2013·南通调研)根据如图的算法，输出的结果是________．S ←0For I From 1 to 10 S ←S ＋IEnd For Print S End解析 S ＝1＋2＋3＋…＋10＝10×112＝55.答案 555．(2012·苏州调研)根据如图所示的伪代码，最后输出的t ＝________. 解析 由题意，得t ＝1＋3＋5＋7＋9＝25. 答案 25(第5题图) (第6题图)6．(2012·苏北四市质检(一))根据如图所示的伪代码，可知输出的S ＝________.解析 i ＝1时第一次循环：i ＝3，S ＝9；第二次循环：i ＝5，S ＝13；第三次循环：i ＝7，S ＝17；第四次循环：i ＝9，S ＝21，此时不满足条件“i <8”，停止循环，输出S ＝21.答案 21二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x ＜，x ＝，x ＋x ＞，编写伪代码，输入自变量x 的值，输出其相应的y值，并画出流程图．解 伪代码如下： 流程图如下：8．用伪代码写出求1＋3＋32＋33＋34的值的算法． 解S←0For I From 0 to 4 Step 1S←S＋3IEnd ForPrint S分层训练B级创新能力提升1．(2012·盐城调研)如图所示的伪代码运行的结果为________．解析a＝1＋1＝2，b＝2＋1＝3，c＝2＋3＝5；a＝2＋3＝5，b＝5＋3＝8，c＝5＋8＝13；a＝5＋8＝13，b＝13＋8＝21，c＝13＋21＝34.答案34(第1题图) (第2题图)2．(2012·高邮模拟)根据如图所示伪代码，可知输出结果S＝________，I＝________.解析S＝2×7＋3＝17，I＝7＋2＝9.答案17 93．(2012·泰州调研)如图，运行伪代码所示的程序，则输出的结果是________．a←1b←2I←2While I≤6a←a＋bb←a＋bI←I＋2End WhilePrint b解析 流程图的执行如下：当I ＝8答案 344．(2012·南京调研)写出下列伪代码的运行结果．(1)图1的运行结果为________； (2)图2的运行结果为________．解析 (1)图1的伪代码是先执行S ←S ＋i ，后执行i ←i ＋1 ∴S ＝0＋1＋2＋…＋(i －1)＝i －i2>20，∴i 的最小值为7.(2)图2的伪代码是先执行i ←i ＋1，后执行S ←S ＋i ， ∴S ＝0＋1＋2＋…＋i ＝i i ＋2>20.∴i 的最小值为6.答案 (1)7 (2)65．(2012·常州调研)根据下列伪代码画出相应的流程图，并写出相应的算法．S ←1n ←1While S <1 000 S ←S ×n n ←n ＋1End While Print n 解 流程图如图：算法如下： S1 S ←1； S2 n ←1；S3 如果S <1 000，那么S ←S ×n ，n ←n ＋1，重复S3； S4 输出n .6．(2012·苏北四市调研)设计算法，求1－3＋5－7＋…－99＋101的值，用伪代码表示． 解 用“For”语句表示，S ←1a ←1For I From 3 To 101 Step 2 a ←a － S ←S ＋a ×I End For Print S用“While”语句表示，S ←1I ←3a ←1While I ≤101 a ←a － S ←S ＋a ×I I ←I ＋2End While Print S。

空间向量及其运算分层训练A 级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．给出下列四个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面；②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b .③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A 、B 共面；④若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →.其中真命题的序号是________．解析 其中①③为正确命题．答案 ①③2. 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则BM →用a ，b ，c 表示为________．解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c . 答案 －12a ＋12b ＋c 3．(2011·苏州期末)已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值是________．解析 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋16＝22λ，2μ－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－3，μ＝12. 答案 2，12或－3，124．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值为________． 解析 b －a ＝(1＋t,2t －1,0)，∴|b －a |＝＋t 2＋t －2＝ 5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95， ∴当t ＝15时，|b －a |取得最小值为355. 答案 3555. 如图，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为________．解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c由已知条件〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |， OA →·BC →＝a ·(c －b )＝a·c －a·b＝12|a||c |－12|a||b|＝0，∴cos 〈OA →，BC →〉＝0. 答案 06．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉＝________.解析 由条件知(a ＋3b )·(7a －5b )＝7|a |2＋16a ·b －15|b |2＝0，及(a －4b )·(7a －2b )＝7|a |2＋8|b |2－30a ·b ＝0.两式相减，得46a ·b ＝23|b |2，∴a ·b ＝12|b |2. 代入上面两个式子中任意一个，即可得到|a |＝|b |.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12|b |2|b |2＝12. ∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝60°.答案 60°二、解答题(每小题15分，共30分)7．若a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k ；(2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k .解 k a ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)， a －3b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．(1)∵(k a ＋b )∥(a －3b )，∴k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13. (2)∵(k a ＋b )⊥(a －3b )，∴(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0.解得k ＝1063. 8. 如图，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ；(2)求MN 的长．解 (1)设A B →＝p ，A C →＝q ，A D →＝r .由题意可知：|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°. M N →＝A N →－A M →＝12(A C →＋A D →)－12A B → ＝12(q ＋r －p )， ∴M N →·A B →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2) ＝12(a 2·cos 60°＋a 2·cos 60°－a 2)＝0. ∴MN ⊥AB ，同理可证MN ⊥CD .(2)由(1)可知，MN ＝12(q ＋r －p )． ∴|M N →2|＝MN →2＝14(q ＋r －p )2 ＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q ·r －p ·q －r ·p )] ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2＋a 2＋a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a 22－a 22＝14×2a 2＝a 22. ∴|M N →|＝22a ，∴MN 的长为22a . 分层训练B 级 创新能力提升1．(2011·常州月考)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为________．解析 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2. 设M (x ，y ，z )，∵点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→， ∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )， ∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3.得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3， ∴|MN →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32＝216a . 答案 216a 2．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是________．①OM →＝2OA →－OB →－OC →；②OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →； ③MA →＋MB →＋MC →＝0；④OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0；解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴MA →＝－MB →－MC →，则MA →、MB →、MC →为共面向量，即M 、A 、B 、C 四点共面．答案 ③3．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为________． 解析 |a |＝22＋－2＋22＝3，|b |＝22＋22＋12＝3， a·b ＝2×2＋(－1)×2＋2×1＝4，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝49，sin 〈a ，b 〉＝659，S 平行四边形＝|a||b|sin 〈a ，b 〉＝65.答案65 4．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，给出下列四个命题：①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 12；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|A B →·AA 1→·A D →|.其中正确命题的序号是________．解析 设正方体的棱长为1，①中(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2＝3，故①正确；②中A 1B 1→－A 1A →＝AB 1→，由于AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确；④中|AB →·AA 1→·AD →|＝0.故④也不正确．答案 ①②5．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，AC →＝2e 1＋8e 2，AD →＝3e 1－3e 2，求证：A 、B 、C 、D 共面．证明 令λ(e 1＋e 2)＋μ(2e 1＋8e 2)＋v (3e 1－3e 2)＝0.则(λ＋2μ＋3v )e 1＋(λ＋8μ－3v )e 2＝0.∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋2μ＋3v ＝0λ＋8μ－3v ＝0.易知⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－5μ＝1v ＝1是其中一组解，则－5AB →＋AC →＋AD →＝0.∴A 、B 、C 、D 共面．6. 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB 、AD 、CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →； (2)EF →·DC →；(3)EG 的长；(4)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值．解 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c .则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，DC →＝b －c ，(1)EF →·BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a ) ＝12a 2－12a·c ＝14， (2)EF →·DC →＝12(c －a )·(b －c ) ＝12(b·c －a·b －c 2＋a·c )＝－14； (3)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝12a ＋b －a ＋12c －12b ＝－12a ＋12b ＋12c ， |EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a·b ＋12b·c －12c·a ＝12，则|EG →|＝22. (4)AG →＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ， cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23，由于异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π2， 所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.。

第十四章算法初步、推理与证明、复数第1讲算法的含义及流程图分层训练A级基础达标演练(时间:30分钟满分：60分）1．关于流程图的图形符号的理解，正确的是________（填序号)．①任何一个流程图都必须有起止框；②输入框只能在开始框之后，输出框只能放在结束框之前；③判断框是唯一具有超过一个退出点的图形符号;④对于一个流程图来说，判断框内的条件是唯一的．解析任何一个程序都有开始和结束，因而必须有起止框；输入和输出可以放在算法中任何需要输入、输出的位置；判断框内的条件不是唯一的，如a>b，亦可写为a≤b.故只有①③对．答案①③2．（2011·天津卷改编）阅读如图所示流程图，运行相应的程序，若输入x的值为－4，则输出y的值为________．解析当x＝－4时，|x|＝4〉3，x赋值为x＝|－4－3｜＝7>3，∴x 赋值为x ＝|7－3|＝4>3,x 再赋值为x ＝｜4－3|＝1〈3，则y ＝21＝2，输出2。

答案 23．(2012·盐城市期末考试)执行如图所示的流程图，则输出的y 的值是________．解析 当x ＝16时，经循环得x ＝4，再循环得x ＝2，此时不满足x >2，故y ＝e 2－2＝1. 答案 14。

执行如图所示流程图，得到的结果是________． 解析 由题意，得S ＝12＋错误!＋错误!＝错误!。

(第4题图)答案错误!5．（2013·无锡调研）某算法的流程图如图所示，若输入a＝4，b ＝2，c＝6,则输出的结果为________．解析原执行程序是在输入的a,b，c中，选出最大的数，∴结果为6.答案66．（2012·南通调研一）如图是求函数值的算法流程图,当输入值为2时,则输出值为________．解析本题的流程图其实是一个分段函数y＝错误!当输入x＝2时，y＝5－4×2＝－3。

答案－37．(2011·天津卷)阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为________．解析第一次运行结束：i＝1，a＝2；第二次运行结束：i＝2，a＝5；第三次运行结束：i＝3，a＝16;第四次运行结束：i＝4，a＝65，故输出i＝4。

2014届江苏高考数学最后一讲及实战演练(含答案)2014届江苏高考数学最后一讲及实战演练一、主要考点：（一）、填空题1．复数，2．集合（简易逻辑），3．双曲线与抛物线，4．统计，5．概率，6．流程图，7．立体几何，8．导数，9．三角，10．向量，11．数列，12．解析几何，13．不等式，14．杂题（函数）填空题的能力题体现在考试说明中的C级（8个）以及B级（36个）中，近几年，主要体现在：导数，三角计算，解析几何（直线与圆），平面向量（基本定理与数量积），不等式（线性规划、基本不等式或函数），数列综合，函数综合等．（二）、解答题15．三角与向量，16．立体几何，17．应用题，18．解析几何，19．数列，20．函数综合二：时间安排（参考意见）填空题（用时35分钟左右）：1—6题防止犯低级错误，平均用时在2分钟左右。

7—12题防止犯运算错误，平均用时在2.5分钟左右。

13—14防止犯耗时错误，平均用时在4分钟左右。

解答题（用时在85分钟左右）：15—16题防止犯运算和表述错误，平均用时10分钟左右。

17—18题防止犯审题和建模错误，平均用时在15分钟左右。

19—20题防止犯第一问会而不做和以后的耗时错误，平均用时在17分钟左右。

三：题型分析（一）填空题：解题的基本方法一般有：①直接求解法；②数形结合法；③特殊化法(特殊值法、特殊函数法、特殊角法、特殊数列法、图形特殊位置法、特殊点法、特殊方程法、特殊模型法)；④整体代换法；⑤类比、归纳法；⑥图表法等．（二）解答题：是高考数学试卷中的一类重要题型，这些题涵盖了中学数学的主要内容，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点，解答题综合考查学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力，分值占90分，主要分六块：三角函数(或与平面向量交汇)、立体几何、应用问题、函数与导数(或与不等式交汇)、数列(或与不等式交汇)、解析几何(或与平面向量交汇)．从历年高考题看综合题这些题型的命制都呈现出显著的特点和解题规律，从阅卷中发现考生“会而得不全分”的现象大有人在，针对以上情况，最后几天时间里，能不断回顾之前做过的典型题目，从知识、方法等层面进行反思做到触类旁通，举一反三；考场上能将平时所掌握的知识、学到的方法体现在你的解题中，将你会做的做对，相信你的高考数学一定能取得满意成绩！！！四：特别提醒：(1)对会做的题目：要解决“会而不对，对而不全”这个老大难的问题，要特别注意表达准确，考虑周密，破性的进展．顺向推有困难就逆推，直接证有困难就间接证．考试过程力争做到： １．难易分明，决不耗时； 2．慎于审题，决不懊悔；３．必求规范，决不失分； ４．细心运算，决不犯错；５．提防陷阱，决不上当； ６．愿慢求对，决不快错；７．遇新不慌，决不急躁； ８．奋力拼杀，决不落伍；2014届高考数学最后一讲-------实战演练（一）、填空题1．设集合A ＝{(x ，y )⎪⎪⎪⎪x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是________．2．如果复数2－b i 1＋2i(其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于_____．3．某个容量为N 的样本频率分布直方图如右图所示，已知在区间[4,5)上频数为60，则N＝________.4．若将一颗质地均匀的骰子(各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷两次，向上的点数依次为m ，n ，则方程x 2＋2mx ＋n ＝0无实数根的概率是________．5．有四个关于三角函数的命题：p 1：∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12；p 2：∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p 3：∀x ∈[0，π], 1－cos 2x 2＝sin x ；p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2.其中假命题的是________． 6．若cos αcos(α＋β)＋sin αsin(α＋β)＝－35，β是第二象限的角，则tan 2β＝________.7．若一个正方形的四个顶点都在双曲线C 上，且其一边经过C 的焦点，则双曲线C 的离心率是8．不等式228()a b b a b λ+≥+对于任意的,a b R ∈恒成立，则实数λ的取值范围为 。