函数的零点自测题001

函数的零点班级 ___________ 姓名 __________ 知识必备1、函数零点定义.对于函数()D x x f y ∈=,，把使()0=x f 成立的实数x 叫作函数()D x x f y ∈=,的零点。

2、函数的零点与相应方程的根，函数的图像与x 轴交点之间的关系.方程()0=x f 有实根⇔函数()x f y =的图像与x 轴交点⇔函数()x f y =有零点. 3、函数零点的判定（零点存在性定理）如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图像是一条连续曲线，并且有()()0<b f a f ，那么，函数()x f y =在区间()b a ,内有零点，即存在()b a c ,∈，使得()0=x f ，这个c 就是方程()0=x f 的根。

例题精练1、下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）x y A cos .= x y B s in .= x y C ln .= 1.2+=x y D2、函数()x x f x32+=的零点所在的一个区间是（ ） ()12.--，A ()01.，-B ()10.，C ()21.，D 3、若0x 是方程2lg =+x x 的解，则0x 属于区间（ ）()10.，A ()1.251.，B ()1.751.25.，C ()21.75.，D4、函数()⎩⎨⎧>+-≤-+=0,ln 20,322x x x x x x f 的零点个数为____________.5、函数()()2,1≥∈-+=+n N n x x x f nn 在区间⎪⎭⎫⎝⎛121，内的零点个数为______.6、已知0x 是函数()xx f x-+=112的一个零点，若()()+∞∈∈,,10201x x x x ，则（ ） ()()0,0.21<<x f x f A ()()0,0.21><x f x f B ()()0,0.21<>x f x f C ()()0,0.21>>x f x f D7、已知a 是()x x f x21log 2-=的零点，若a x <<00，则()0x f 的值满足（ ）()0.0=x f A ()0.0<x f B ()0.0>x f C ()符号不确定0.x f D8、若函数()a xx x f -+=2log 3在区间()21，内有零点，则实数a 的取值范围是（ ） ()2log 1.3--，A ()2l o g 0.3，B ()12l o g .3，C ()4l o g 1.3，D9、若432<<<<b a ，且函数()b x x x f a -+=l o g 的零点()()Z n n n x ∈+∈1,0则.________=n10、若函数()x f 的零点与()224-+=x x g x的零点之差的绝对值不超过0.25,则()x f 可以是（ ）()1.-=x e x f A ()14.-=x x f B ()()21.-=x x f C ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21ln .x x f D11、若函数()a x e x f x+-=2有零点，则a 的取值范围是_____________.12、若函数()()()1,ln ,2--=+=+=x x x h x x x g x x f x的零点分别为321,,x x x ，则321,,x x x 的大小关系是_____________.13、若定义在R 上的函数()x f 单调递增，且对任意()+∞∈,0x ，恒有()()1log 2=-x x f f ，则函数()x f 的零点为______________.14、若[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]x x g =为取整数，0x 是函数()xx x f 2ln -=的零点，则().________0=x g15、已知()x f 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)3,0∈x 时，()2122+-=x x x f ，若函数()a x f y -=在区间[]43，-上有10个零点（互不相同），则a 的取值范围是_____________.16、已知函数()()⎩⎨⎧>-≤-=2,22,22x x x x x f ，函数()(),2x f b x g --=其中R b ∈，若函数()()x g x f y -=恰有4个零点，则b 的取值范围是_____________.17、定义在R上的函数()x f 满足：()()()()()()()[]()()1log 1,03;22;1243+-=∈=+=-x xx f x x f x f x f x f 时，则函数()x x f y 3log -=的零点个数为___________.18、已知函数()(),log ,2121x x g x f x=⎪⎭⎫⎝⎛=记()()()()()()()⎩⎨⎧≥<=x g x f x f x g x f x g x h ,,，则函数()()5-+=x x h x F 的所有零点之和为___________.。

函数零点一、单选题(共10道，每道10分)1.已知函数的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表则函数在区间上的零点至少有( )A.2个B.3个C.4个D.5个答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数零点的存在性2.函数的零点个数为( )A.0B.1C.2D.3答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数零点的存在性3.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数零点的存在性4.已知是函数的零点，若，则的值满足( )A. B.C. D.的符号不确定答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数的零点5.已知是函数的一个零点，若，则( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数的零点6.已知函数，．若函数有两个零点，则实数的取值范围是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数的零点7.对实数，定义运算“*”：，设函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数零点的存在性8.已知函数，，若存在，则实数的取值范围为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数的零点9.方程的解所在的区间是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数零点的存在性10.定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数的零点。

第二章 2.4 2.4.1函数的零点一、选择题1．函数f (x )＝2x ＋7的零点为( ) A ．7 B ．72 C ．－72D ．－7[答案] C[解析] 令f (x )＝2x ＋7＝0，得x ＝－72，∴函数f (x )＝2x ＋7的零点为－72.2．函数f (x )＝x 2＋x ＋3的零点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] A[解析] 令x 2＋x ＋3＝0，Δ＝1－12＝－11<0， ∴方程无实数根，故函数f (x )＝x 2＋x ＋3无零点．3．已知x ＝－1是函数f (x )＝a x＋b (a ≠0)的一个零点，则函数g (x )＝ax 2－bx 的零点是( )A ．－1或1B ．0或－1C ．1或0D ．2或1[答案] C[解析] ∵x ＝－1是函数f (x )＝a x＋b (a ≠0)的一个零点，∴－a ＋b ＝0，∴a ＝b . ∴g (x )＝ax 2－ax ＝ax (x －1)(a ≠0)， 令g (x )＝0，得x ＝0或x ＝1，故选C ．4．(2019·湖北文，9)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}[答案] D[解析] 令x <0，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )2－3(－x )＝x 2＋3x ， 又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝x 2＋3x ，∴f (x )＝－x 2－3x (x <0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x x ≥0－x 2－3x x <0.∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3x ≥0－x 2－4x ＋3x <0.当x ≥0时，由x 2－4x ＋3＝0，得x ＝1或x ＝3. 当x <0时，由－x 2－4x ＋3＝0，得x ＝－2－7， ∴函数g (x )的零点的集合为{－2－7，1,3}． 5．下列图象对应的函数中没有零点的是( )[答案] A[解析] 因为函数的零点即函数图象与x 轴交点的横坐标，因此，若函数图象与x 轴没有交点，则函数没有零点．观察四个图象，可知A 中的图象对应的函数没有零点．6．函数f (x )＝x －4x的零点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个[答案] C[解析] 令f (x )＝0，即x －4x＝0，∴x ＝±2.故f (x )的零点有2个． 二、填空题7．函数f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1的一个零点在原点，则m 的值为________． [答案] 12[解析] 由题意，得2m －1＝0，∴m ＝12.8．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点分别为－2、3，且f (－6)＝36，则二次函数f (x )的解析式为______________．[答案] f (x )＝x 2－x －6[解析] 由题设二次函数可化为y ＝a (x ＋2)(x －3)，又f (－6)＝36，∴36＝a (－6＋2)(－6－3)∴a ＝1，∴f (x )＝(x ＋2)(x －3)，即f (x )＝x 2－x －6. 三、解答题9．求下列函数的零点： (1)f (x )＝－7x 2＋6x ＋1； (2)f (x )＝4x 2＋12x ＋9.[解析] (1)f (x )＝－7x 2＋6x ＋1＝－(7x ＋1)(x －1)，令f (x )＝0，即－(7x ＋1)(x －1)＝0，解得x ＝－17或x ＝1.∴f (x )＝－7x 2＋6x ＋1的零点是－17，1.(2)f (x )＝4x 2＋12x ＋9＝(2x ＋3)2， 令f (x )＝0，即(2x ＋3)2＝0， 解得x 1＝x 2＝－32.∴f (x )＝4x 2＋12x ＋9的零点是－32.10．已知二次函数f (x )的图象过点(0,3)，它的图象的对称轴为x ＝2，且函数f (x )的两个零点的平方和为10，求f (x )的解析式．[解析] 设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的两个零点分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a，x 1x 2＝c a.∵f (0)＝3，∴c ＝3. 又∵－b 2a ＝2，∴－ba ＝4.∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a)2－2c a＝16－6a＝10，∴a ＝1，b ＝－4. ∴f (x )＝x 2－4x ＋3.一、选择题1．若函数f (x )在定义域{x |x ≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断[答案] B[解析] ∵函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0， ∴f (x )在(0，＋∞)上的图象与x 轴只有一个交点， 又∵f (x )在定义域{x |x ≠0}上是偶函数，∴f (x )在(－∞，0)上的图象与x 轴也只有一个交点， 即f (－2)＝0，故选B ．2．若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1、2，则实数f (x )＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( )A ．1,2B ．－1，－2C ．1，12D ．－1，－12[答案] C[解析] 本题主要考查函数零点与方程根的关系，同时考查一元二次方程根与系数的关系．方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1,2，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－ba1×2＝ca，∴ba ＝－3，c a＝2，于是f (x )＝cx 2＋bx ＋a ＝a (c ax 2＋b ax ＋1)＝a (2x 2－3x ＋1)＝a (x －1)(2x －1)，所以该函数的零点是1、12，故选C ．3．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内[答案] A[解析] 本题考查函数的零点的判断问题．因为a <b <c ，所以f (a )＝(a －b )(a －c )>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0，由零点存在性定理知，选A ．4．方程mx 2＋2(m ＋1)x ＋m ＋3＝0仅有一个负根，则m 的取值范围是( ) A ．(－3,0) B ．[－3,0) C ．[－3,0]D ．[－1,0][答案] C[解析] 当m ＝0时，x ＝－32<0成立，排除选项A 、B ，当m ＝－3时，原方程变为－3x2－4x ＝0，两根为x 1＝0，x 2＝－43，也符合题设．二、填空题5．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表，则使ax 2＋bx ＋c >0成立的x 的取值范围是______.[答案] [解析] 由表中给出的数据可以得到f (－2)＝0，f (3)＝0，因此函数的两个零点是－2和3，这两个零点将x 轴分成三个区间(－∞，－2)、(－2,3)、(3，＋∞)，在(－∞，－2)中取特殊值－3，由表中数据知f (－3)＝6>0，因此根据连续函数零点的性质知当x ∈(－∞，－2)时都有f (x )>0，同理可得当x ∈(3，＋∞)时也有f (x )>0，故使ax 2＋bx ＋c >0的自变量x 的取值范围是(－∞，－2)∪(3，＋∞)．6．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a 、b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的方程f (x )＝c (c ∈R )有两个实根m 、m ＋6，则实数c 的值为________．[答案] 9[解析] f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝(x ＋a2)2＋b －a 24，∵函数f (x )的值域为[0，＋∞)， ∴b －a 24＝0，∴f (x )＝(x ＋a2)2.又∵关于x 的方程f (x )＝c ，有两个实根m ，m ＋6， ∴f (m )＝c ，f (m ＋6)＝c ，∴f (m )＝f (m ＋6)， ∴(m ＋a 2)2＝(m ＋a 2＋6)2， ∴(m ＋a2)2＝(m ＋a2)2＋12(m ＋a2)＋36， ∴m ＋a2＝－3. 又∵c ＝f (m )＝(m ＋a2)2，∴c ＝9.三、解答题7．若函数y ＝(a －1)x 2＋x ＋2只有一个零点，求实数a 的取值集合．[解析] ①当a －1＝0，即a ＝1时，函数为y ＝x ＋2，显然该函数的图象与x 轴只有一个交点，即函数只有一个零点．②当a －1≠0，即a ≠1时，函数y ＝(a －1)x 2＋x ＋2是二次函数． ∵函数y ＝(a －1)x 2＋x ＋2只有一个零点，∴关于x 的方程为(a －1)x 2＋x ＋2＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝1－8(a －1)＝0，解得a ＝98.综上所述，实数a 的取值集合是{a |a ＝1或a ＝98}．8．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点． (1)求m 的取值范围；(2)若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为－4，求m 的值．[解析] (1)∵关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点，则m ＋6＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋6≠0Δ＝4m －12－4m ＋6m ＋1≥0，解得m ＝－6或m ≤－59且m ≠－6，∴m 的取值范围为m ≤－59.(2)若函数有两个不同零点x 1，x 2， 则1x 1＋1x 2＝－4，即x 1＋x 2＝－4x 1x 2，∴－2m －1m ＋6＝－4m ＋1m ＋6，解得m ＝－3，经验证m ＝－3符合题意．。

函数的零点测试题一、选择题 １．函数ｆ（ｘ）＝ｘ－x4的零点是（ ） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．无数个２．函数ｆ（ｘ）＝3222x x x --+的零点是（ ） （０，４）内仅有一个实数根，则发ｆ（０）＋８ｍｘ＋２１，当ｆ（ｘ）＜０时－７＜ｘ５．ｆ（ｘ）＝6在[-A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根D.没有实数根7．设f (x )=12x 5x -3++，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是（）A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[－2，－1]D ．[－1，0]8．给出下列三个函数的图象；07徐州三练）3．方程2x +x-4=O 的解所在区间为A ．(-1，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)9.已知函数y=f(x)在定义域内是单调函数,则方程f(x)=c(c 为常数)的解的情况()A.有且只有一个解B.至少有一个解C.至多有一个解D.可能无解,可能有一个或多个解[来源:学_科_网Z_X_X_K])内( )A 且0q >D ( )A 13.已知()()()2f x x a x b =---,,m n 是方程()0f x =的两个根,且,a b m n <<,则,,,a b m n 的大小关系为( )A ． m a b n <<<B ．a m n b <<<C ．a m b n <<<D ． m a n b <<<15、若方程0x a x a --=有两个解，则实数a 的取值范围是（ ）A、(1,)+∞D、Φ+∞B、(0,1)C、(0,)x+=根的个数为（）16、方程12xA、0B、1C、2D、3二、填空题：1．关于ｘ的方程２ｋ2x－２ｘ－３ｋ＝０的两根一个大于１，一个小于１，则实数的取值范围．2．若函数ｆ（ｘ）＝2x－ａｘ－ｂ的两个零点时２和３，则函数ｇ（ｘ）＝ｂ2x－ａｘ－１的零点．3、函数222()(1)(2)(23)=-+--的零点是（必须写全所有f x x x x x的零点）。

函数零点练习题一、选择题1. 函数f(x)=x²-1在区间[-1,1]上有几个零点？A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 若函数f(x)=2x³-x在(-∞,+∞)上恰有一个零点，则f'(x)=0的解有几个？A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个3. 函数g(x)=x³-3x²+2在区间[1,2]上零点的个数是？A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4. 函数h(x)=x³+2x²-4x-8的零点个数为？A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个5. 函数y=x³-6x²+11x-6的零点一定在哪个区间内？A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)二、填空题6. 若函数f(x)=x³-6x²+11x-6的零点在区间[1,2]内，求f'(x)=______。

7. 函数y=x³-8x+4的导数为y'=______。

8. 函数f(x)=x³-3x²+2在区间[1,2]上有一个零点，求f(x)在x=1处的导数值为______。

9. 若函数g(x)=x³-3x²+2在区间[1,2]上的零点为x₀，则g'(x₀)=______。

10. 若函数h(x)=x³+2x²-4x-8在区间[-2,2]上恰有两个零点，求h'(x)=______。

三、解答题11. 已知函数f(x)=x³-6x²+11x-6，求证其在区间[1,2]内恰有一个零点。

12. 函数y=x³-8x+4在区间[-1,1]上有几个零点？请给出证明。

13. 设函数g(x)=x³-3x²+2，求其在区间[1,2]上的零点，并证明其唯一性。

14. 函数h(x)=x³+2x²-4x-8的导数为h'(x)，求h(x)在区间[-2,2]上的零点个数，并给出证明。

函数的零点专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知函数f (x )=x 3−2x +2，在下列区间中，一定包含f (x )零点的区间是（ ）A.(−2,−1)B.(−1,0)C.(0,1)D.(1,2)2. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A.y =ln xB.y =x 2+1C.y =cos xD.y =sin x3. 函数f (x )={x +1,x ≤0，lg x,x >0的零点是（ ） A.(−1,0),(1,0)B.−1，1C.(−1,0)D.−14. 函数f (x )=√x −x 的零点的个数是( )A.3个B.2个C.1个D.0个5. 我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日—尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢”( )A.第2天B.第3天C.第4天D.第5天6. 函数y =x 2−1的零点是( )A.1B.±1C.(1,0)D.(±1,0)7. 函数f(x)=2x −2x −a 的一个零点在区间(1, 2)内，则实数a 的取值范围是( ) A.(1, 3)B.(1, 2)C.(0, 3)D.(0, 2)8. 已知实数a ，b 满足2a =3，3b =2，则f(x)=a x +x −b 的零点所在的区间是( )A.(−2, −1)B.(−1, 0)C.(0, 1)D.(1, 2)9. 函数y =(2x −2−x )sin x 在[−π,π]的图象大致为( )A.B.C.D.10. 已知三次函数f (x )=13x 3−(4m −1)x 2+(15m 2−2m −7)x +2在定义域R 上无极值点，则m 的取值范围是( )A.m <2或m >4B.m ≥2或m ≤4C.2≤m ≤4D.2<m <411. 已知函数f(x)={e x ,x ≤0，ln x,x >0，g(x)=f(x)+x +a ，若g(x)存在2个零点，则a 的取值范围是( )A.[−1, 0)B.[0, +∞)C.[−1, +∞)D.[1, +∞)12. 已知函数f (x )=2x +ln x ，下列判断正确的是（ ） A.函数f (x )的单调递减区间为(−∞,2]B.x =2是函数f (x )的极大值点C.函数g (x )=f (x )−x 有且只有一个零点D.函数g (x )=f (x )−x 在其定义域内单调递增13. 已知函数f (x )={x +1x ,x >2,ln (x +a ),x ≤2的图象上存在关于直线x =2对称的不同两点，则实数a 的取值范围是( )A.(e,+∞)B.(e 52−2,+∞)C.(−∞,2e −1)D.(−∞,e 52)14. 函数f (x )=|x −2|−2−x 的零点的个数为（ ）A.0B.1C.2D.315. 已知函数f (x )=xe x ，要使函数g (x )=m [f (x )]2−2f (x )+1恰有一个零点，则实数m 的取值范围是( )A.[−e 2−2e,0]B.[−e 2+2e,0]C.(−e 2−2e,0]∪{1}D.(−e 2+2e,0]∪{1}16. 已知定义在R 上的函数y =f (x )，对任意x 都满足f (x +2)=f (x )，且当−1≤x ≤1时f (x )=2x 2，则函数g (x )=f (x )−ln |x|的零点个数为( )A.12B.14C.15D.1617. 函数f (x )=(3x −1)ln x 的零点个数是________.18. 若函数f(x)=log 2(x +a)的零点为2，则a =________．19. 函数f(x)=(x+1)ln x x−3的零点是________．20. 已知函数f(x)={2x +3,x ≤−32,x 2,−32<x <1,4x,x ≥1.若f(x)＝2，则x ＝________．21. 设函数y ＝a x −4，(a >0, a ≠1)，若其零点为2，则a ＝________．22. 已知λ∈R ，函数f (x )={x −4,x ≥λ,x 2−4x +3,x <λ．当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________．23. 已知函数y =f (x )在R 上连续且可导， y =f (x +1)为偶函数且f (2)=0，其导函数满足(x −1)f ′(x )>0，则函数g (x )=(x −1)f (x )的零点个数为________.24. 给出一个满足以下条件的函数f (x )=________.①f (x )的定义域是R ，且其图象是一条连续不断的曲线；②f (x )是偶函数；③f (x )在(0,+∞)不是单调函数；④f (x )有无数个零点．25. 已知函数f (x )={2x −3,x ≥1x 2−x −1,x <1，则y =f [f (x )]−5的所有零点之和为________.26. 已知函数g(x)，ℎ(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足g(x)+ℎ(x)=e x +sin x −x ，则函数g(x)的解析式为________；若函数f(x)=3|x−2020|−λg(x −2020)−2λ2有唯一零点，则实数λ的值为________．27. 已知函数f (x )={e ln x x (x >1),x 2−1(x ≤1),若函数g (x )=f(f (x ))−af (x )+a +1恰有5个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．28. 已知函数 f (x )={1−12|1−x|,x ≤2，12f (x −2),2<x ≤6， 则函数g (x )=xf (x )−1的零点个数为________.29. 定义在R 上的函数f (x )满足f (−x )=−f (x )，f (x +4)=f (x )，当x ∈[0,2)时，f (x )={x 2，0≤x <1，2−x ，1≤x <2，则函数y =f (x )−log 5|x|的零点个数为________.30. （10分） 已知函数f(x)＝log a (5−2x)，其中a >0，且a ≠1．(Ⅰ)求f(x)的定义域；(Ⅲ)比较f(−1)与f(1)的大小．参考答案与试题解析函数的零点专题含答案一、 选择题 （本题共计 16 小题 ，每题 3 分 ，共计48分 ）1.【答案】A【考点】函数的零点【解析】无【解答】解：f (−2)=−2，f (−1)=3，根据零点存在性定理可知答案．故选A ．2.【答案】C【考点】函数的零点函数奇偶性的判断【解析】利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答．【解答】解：对于A ，y =ln x 的定义域为(0, +∞)，则函数不是偶函数；对于B ，由y =x 2+1≥1，得函数y =x 2+1没有零点，不满足条件；对于C ，cos (−x)=cos x ，即函数y =cos x 是偶函数且函数存在零点，满足条件. 对于D ，sin (−x)=−sin x ，即函数y =sin x 为奇函数.故选C .3.【答案】B【考点】函数的零点【解析】根据函数解析式，对x 的取值范围所对应的直线进行求解即可，属于基础题.【解答】解：已知函数f(x)={x +1,x ≤0,lg x,x >0,当x ≤0时，设函数g(x)=x +1，令g(x)=0，解得x =−1，则函数g(x)=x +1的零点为−1，当x >0时，设函数ℎ(x)=lg x ，令ℎ(x)=0，解得x =1，综上可得,函数f(x)={x +1,x ≤0,lg x,x >0的零点是−1，1. 故选B .4.【答案】B【考点】函数的零点【解析】根据方程√x −x =0根的个数判断，利用函数零点和方程根之间的关系，求解即可.【解答】解：由题意知函数f(x)=√x −x 的定义域为[0,+∞)，令f(x)=0，则√x −x =0，即√x =x ，解得x 1=0，x 2=1，故函数f(x)=√x −x 的零点的个数是2个.故选B .5.【答案】B【考点】数列的求和函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】解：设需要n 天时间才能打穿，则2n −12−1+1−(12)n 1−12≥5，化为：2n −22n −4≥0，令f(n)=2n −22n −4， 则f(3)=8−14−4>0，f(2)=4−12−4<0，∴ f(x)在(2, 3)内存在一个零点．又函数f(x)在x ≥1时单调递增，因此f(x)在(2, 3)内存在唯一一个零点，∴ 需要3天时间才能打穿．故选B ．6.【答案】B函数的零点与方程根的关系【解析】首先使得函数等于0，解出关于x的一元二次方程的解，即可得到函数的零点. 【解答】解：令y=x2−1=0，解得x=1或−1，∴函数y=x2−1的零点为±1.故选B.7.【答案】C【考点】函数的零点【解析】由题意可得f(1)f(2)＝(0−a)(3−a)<0，解不等式求得实数a的取值范围．【解答】解：由题意可得f(1)f(2)=(0−a)(3−a)<0，解得0<a<3，故实数a的取值范围是(0, 3).故选C．8.【答案】B【考点】函数的零点指数式与对数式的互化【解析】根据对数，指数的转化得出f(x)=(log23)x+x−log32单调递增，根据函数的零点判定定理得出f(0)=1−log32>0，f(−1)=log32−1−log32=−1<0，判定即可．【解答】解：∵实数a，b满足2a=3，3b=2，∴a=log23>1，0<b=log32<1，∵函数f(x)=a x+x−b，∴f(x)=(log23)x+x−log32单调递增，∵f(0)=1−log32>0,f(−1)=log32−1−log32=−1<0，∴根据函数的零点判定定理得出:函数f(x)=a x+x−b的零点所在的区间是(−1, 0). 故选B．9.【答案】B【考点】函数奇偶性的判断【解析】本题主要考查了函数的奇偶性和零点以及函数的图象，属于基础题，根据奇偶性的定义可得f(x)为偶函数，排队B；再令f(x)=0可得函数的零点为−π，0，π，排队CD，从而得到结论．【解答】解：函数定义域[−π,π]关于原点对称，且f(−x)=(2−x−2x)sin(−x)=−(2x−2−x)(−sin x)=(2x−2−x)sin x=f(x)，∴ f(x)是偶函数，故排除A；令f(x)=0，即(2x−2−x)sin x=0，∴2x−2−x=0或sin x=0，又x∈[−π,π]，∴解得x=−π，0，π，排除C，D.故选B.10.【答案】C【考点】利用导数研究函数的极值函数的零点【解析】由题意，对函数进行求导，由其导函数无变号零点，根据根的判别式可求得m的取值范围．【解答】x3−(4m−1)x2+(15m2−2m−7)x+2，定义域为R，解：已知函数f(x)=13则f′(x)=x2−2(4m−1)x+15m2−2m−7，因为函数f(x)在定义域上无极值点，则f′(x)=x2−2(4m−1)x+15m2−2m−7无变号零点，所以x2−2(4m−1)x+15m2−2m−7≥0恒成立，而Δ=4(4m−1)2−4(15m2−2m−7)=64m2−32m+4−60m2+8m+28=4(m2−6m+8)≤0，解得2≤m≤4.故选C．11.【答案】C【考点】函数的零点【解析】由g(x)=0得f(x)=−x−a，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．解：由g(x)=0得f(x)=−x−a，作出函数f(x)和y=−x−a的图象如图：当直线y=−x−a的截距−a≤1，即a≥−1时，f(x)和y=−x−a的图象都有2个交点，即函数g(x)存在2个零点，故实数a的取值范围是[−1, +∞).故选C．12.【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值函数的零点【解析】利用导数判断函数的单调性即可逐项判定.【解答】解：由题意得，函数的的定义域为(0,+∞)，函数的导数f′(x)=−2x2+1x=x−2x2，当x∈(0,2)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，当x∈(2,+∞)，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，∴x=2时，f(x)取得极小值，故A错误，B错误.∵g(x)=f(x)−x=2x+ln x−x，x>0，则g′(x)=−x2+x−2x2<0，∴函数g(x)=f(x)−x=2x+ln x−x在(0,+∞)上单调递减，∵f(1)−1=2+ln1−1=1>0，f(2)−2=1+ln2−2=ln2−1<0，∴函数g(x)=f(x)−x有且只有1个零点，故C正确，D错误. 故选C.13.B【考点】函数的零点分段函数的应用利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：依题意，函数f(x)的图象上存在关于x=2对称的不同两点，则存在x1>2，x2≤2，且x1+x2=4，使得x1+1x1=ln(x2+a)，则e x1+1x1=x2+a，因此a=e x1+1x1−x2=e x1+1x1+x1−4，设g(x)=e x+1x+x−4，x>2．故问题转化为存在x∈(2,+∞)，使得函数g(x)=e x+1x+x−4与y=a有交点，又g′(x)=e x+1x⋅(1−1x2)+1>0在x∈(2,+∞)上恒成立，所以函数g(x)在x∈(2,+∞)上单调递增，故g(x)>g(2)=e 52−2，因此，为使函数g(x)=e x+1x+x−4与y=a有交点，只需a>e 52−2．故选B．14.【答案】D【考点】函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】解：如图所示，在同一平面直角坐标系中作出函数y=|x−2|，y=2−x的图象．由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为3．故选D．15.【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性函数的零点函数的零点与方程根的关系根的存在性及根的个数判断【解析】本题考查了根据函数零点个数求解参数范围．由导数求f(x)的最值．可得草图．借助图象将问题转化为二次函数的根的分布问题．分情况求解．【解答】解：∵ f(x)=xe x．∴f′(x)=(x+1)e x，易知f(x)在(−∞,−1)单调递减，(−1,+∞)单调递增，∴ f(x)min=f(−1)=−1e，且当x<0时，f(x)<0；当x>0时，f(x)>0，故f(x)大致图象如下：令f(x)=t，若g(x)有且只有一个零点，则方程mt2−2t+1=0只有一个实根t满足t≥−1e，当m=0时，显然t=12满足，当m≠0时，Δ=4−4m≥0，∴ m≤1，当m=1时，方程只有一个根t=1满足，当m<1且m≠0时，若m>0，则方程两根t1+t2=2m >0，t1t2=1m>0，∴t1>0，t2>0，不满足题意，∴ m<0，则t1=2+√4−4m2m ，t2=2−√4−4m2m，∵t1t2=1m<0，∴t1，t2异号，只需2+√4−4m2m =1+√1−mm<−1e，解得m>−e2−2e，∴−e2−2e<m<0，综上所述．m的范围为(−e2−2e,0]∪{1}．故选C．16.【答案】B【考点】函数的零点函数的图象【解析】本题考查函数图象交点问题．【解答】解：∵ f(x+2)=f(x)，∴ T=2，∵当−1≤x≤1时，f(x)=2x2，即可平移获得f(x)图象，函数g(x)=f(x)−ln(x)零点个数即f(x)与ln|x|交点个数，可知f(x)与ln|x|均为偶函数，故只零考虑x>0部分，当x>0时，f(x)与ln|x|的图象如图所示，当x>0，ln|x|=2时，x=e2，∵7<e2<9，∴当x>0，共7个交点，故x<0部分也有7个交点，∴7+7=14（个）.故选B．二、填空题（本题共计 13 小题，每题 3 分，共计39分）17.【答案】1【考点】函数的零点【解析】先得出方程，求出方程的根，再判断零点的个数.【解答】解：函数f(x)=(3x −1)ln x 定义域为(0,+∞)，令f (x )=(3x −1)ln x =0，解得x =1，则零点个数为1个.故答案为：1.18.【答案】−1【考点】函数的零点【解析】函数f(x)=log 3(ax 2−x +a)有零点可化为方程ax 2−x +a =1有解，从而解得．【解答】解：根据题意，若函数 f(x)=log 2(x +a) 的零点为2，则f(2)=log 2(a +2)=0 ,即 a +2=1，解得 a =−1.故答案为：−1.19.【答案】1【考点】函数的零点【解析】令f(x)＝0，求出方程的根即函数的零点即可．【解答】函数f(x)的定义域是(0, 3)∪(3, +∞)，显然x +1>0，x −3≠0，令f(x)＝0，即(x+1)ln x x−3=0，即ln x ＝0，解得：x ＝1，20.【答案】 −√2【考点】函数的零点【解析】根据题意，在每个段上求值，检验，求出x 即可．【解答】当x ≤−32时，f(x)＝2x +3＝2，得x =−12，不成立；当−32<x <1时，x 2＝2，x =±√2，所以x =−√2；当x ≥1时，4x ＝2，x =12，不合题意；综上x =−√2，21.【答案】2【考点】函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答22.【答案】(1,4),(1,3]∪(4,+∞)【考点】函数零点的判定定理函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】当λ=2时，由f (x )<0得{x −4<0x ≥2’或{x 2−4x +3<0x <2,’解得2≤x <4或1<x <2，所以f (x )<0的解集为(1,4)．由x −4=0得x =4，由x 2−4x +3=0得x =1或x =3，因为函数f(x )恰有2个零点，所以{4>λ1<λ3≥λ，或{4<λ1<λ3<λ，解得1<λ≤3或λ>4．本题考查分段函数的性质．求解分段函数问题，要根据自变量的值分别讨论函数在每一段上的性质．23.【答案】3【考点】利用导数研究函数的单调性函数的零点函数奇偶性的性质【解析】由题意得到函数关于x =1对称，且当x >1时，函数单调递增，x <1时函数单调递减，进而得到函数的零点个数.【解答】解：∵ y =f(x +1)为偶函数，∴ y =f(x)关于x =1对称，∵ f(2)=0，∴ f(0)=0.又(x −1)f′(x)＞0，∴ 当x >1时，函数单调递增，x <1时函数单调递减，∴ f(x)有两个零点，分别为0和2，又当x =1时，g(x)=(x −1)f(x)=0，∴ 函数g(x)=(x −1)f(x)的零点有0，1，2，共有三个零点.故答案为：3.24.【答案】x sin x (答案不唯一)【考点】函数的零点奇偶性与单调性的综合【解析】根据题意，分析可得则f (x )可以由三角函数变换得到，由此可得答案．【解答】解：根据题意，要求函数f (x )满足4个条件，则f (x )可以由三角函数函数变换得到，比如f (x )=x sin x ．故答案为：x sin x (答案不唯一)．25.【答案】4−√212【考点】函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，令t =f (x )，则易得f (t )=5的解为： t 1=4， t 2=−2， 当f (x )=4时，结合f (x )={2x −3,x ≥1x 2−x −1,x <1，得： x 1=72，x 2=1−√212， 当f (x )=−2时，结合f (x )={2x −3,x ≥1x 2−x −1,x <1，可知方程f (x )=−2无解． 故y =f [f (x )]−5的所有零点之和为： x 1+x 2=72+1−√212=8−√212=4−√214. 故答案为：4−√212. 26.【答案】g (x )=e x +e −x 2,−1或12 【考点】函数的零点函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：因为函数g (x )，ℎ(x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以g (−x )=g (x )，ℎ(−x )=−ℎ(x ).因为g (x )+ℎ(x )=e x +sin x −x ①，所以g(−x)+ℎ(−x)=e−x−sin x+x，即g(x)−ℎ(x)=e−x−sin x+x②，①②联立，可解得g(x)=e x+e−x2.令F(x)=3|x|−λg(x)−2λ2，则F(−x)=F(x)，所以F(x)为偶函数，所以f(x)=F(x−2020)=3|x−2020|−λg(x−2020)−2λ2关于x=2020对称，因为f(x)有唯一的零点，所以f(x)的零点只能为x=2020.即f(2020)=1−λ−2λ2=0，解得λ=−1或λ=12.故答案为：g(x)=e x+e−x2；−1或12.27.【答案】−12<a<0【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题分段函数的应用由函数零点求参数取值范围问题函数的零点【解析】无【解答】解：分析f(x)的图像以便于作图，当x>1时，f′(x)=e(1−ln x)x2，f′(x)>0⇒1<x<e，f′(x)<0⇒x>e，所以f(x)在(1,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，f(e)=e ln ee=1，且当x→+∞时f(x)>0且f(x)→0，所以x轴为曲线f(x)的水平渐近线；当x≤1时，f(x)=x2−1，所以f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，且f(0)=−1．由此作图，图像如图，设f(x)=t，则由g(x)=f(f(x))−af(x)+a+1=0得f(t)−at+a+1=0⇒f(t)=at−a−1=a(t−1)−1，若函数g(x)=f(f(x))−af(x)+a+1恰有5个不同的零点，则关于x的方程g(x)=f(f(x))−af(x)+a+1=0恰有5个不同的实根，则结合函数y=f(x)的图像及直线y=a(x−1)−1得f(t)=a(t−1)−1恰有2个不等的实根，得t=t1=f(x)∈(−1,0)，t=t2=f(x)∈(0,1)，t1=t=f(x)∈(−1,0)有2个不等的实根，t=t2=f(x)∈(0,1)有3个不等的实根，∴−12<a<0．故答案为：−12<a<0．28.【答案】7【考点】函数的零点与方程根的关系函数的零点分段函数的应用【解析】无【解答】解：令g(x)=0可得：f(x)=1x ，画出y=f(x)和y=1x的图象可以，共有7个交点．故答案为：7.29.【答案】5【考点】函数的周期性函数的零点函数奇偶性的判断函数的图象【解析】由题可知f (x )为奇函数，且周期为4，在同一直角坐标系中作出函数f (x )与y =log 5|x|在R 上的图象，根据函数图形的交点个数即可得到函数y =f (x )−log 5|x|的零点个数.【解答】解：∵ f (−x )=−f (x )，∴ f (x )为奇函数.又∵ f (x +4)=f (x )，∴ f (x )的周期为4.根据x ∈[0,2)时，f (x )={x 2，0≤x <1，2−x ，1≤x <2，在同一直角坐标系中作出函数f (x )与y =log 5|x|在R 上的图象，如图所示，由图可知，共有5个交点，故函数y =f (x )−log 5|x|的零点个数为5个.故答案为：5.三、 解答题 （本题共计 1 小题 ，共计10分 ）30.【答案】（1）因为函数f(x)＝log a (5−2x)，所以令7−2x >0，所以函数f(x)的定义域为；（2）令f(x)＝0，即log a (5−4x)＝0，即5−4x ＝1，所以f(x)的零点为2； (Ⅲ)f(−6)＝log a 7，f(1)＝log a 3，当a >8时，函数y ＝log a x 为增函数，所以log a 7>log a 3，即f(−7)>f(1)； 当0<a <1时，函数y ＝log a x 为减函数，所以log a 6<log a 3，即f(−1)<f(1)．【考点】函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

函数零点练习题函数零点是指函数图像与x轴交点的横坐标之值，也就是函数f(x)= 0的解。

在数学中，寻找函数的零点是一个常见的问题，因为理解和求解函数的零点有助于我们对函数的性质和行为有更深入的了解。

本文将介绍一些函数零点练习题，帮助读者提高对函数零点的求解能力。

练习一：线性函数的零点首先我们来看一个简单的例子，求解线性函数的零点。

线性函数的一般形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数。

要求解线性函数的零点，我们需要找到一个横坐标x，使得f(x) = 0。

由于线性函数的图像是一条直线，所以零点即为直线与x轴的交点。

例如，考虑函数f(x) = 2x - 3，我们将f(x)置为零得到方程2x - 3 = 0。

解这个方程我们得到x = 3/2，即函数f(x) = 2x - 3与x轴交于点(3/2, 0)。

因此，线性函数f(x) = 2x - 3的零点为x = 3/2。

练习二：二次函数的零点接下来我们来看一个二次函数的例子，求解二次函数的零点。

二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数。

同样地，要求解二次函数的零点，我们需要找到一个横坐标x，使得f(x) = 0。

而求解二次函数的零点，可以通过配方法、因式分解或者求根公式等方式进行。

例如，考虑函数f(x) = x^2 - 4x + 3，我们将f(x)置为零得到方程x^2 - 4x + 3 = 0。

通过因式分解得到(x - 1)(x - 3) = 0，解这个方程我们得到x = 1和x = 3，即函数f(x) = x^2 - 4x + 3与x轴交于点(1, 0)和(3, 0)。

因此，二次函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点为x = 1和x = 3。

练习三：三角函数的零点除了线性函数和二次函数，我们还可以考虑求解三角函数的零点。

三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们的零点是三角函数图像与x轴的交点。

一、选择题 1．函数11y x=-的图象与函数()2sin 24y x x π=-≤≤的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）A. 2B. 4C. 6D. 82．设，用二分法求方程在内近似解的过程中，，则方程的根落在区间（ ）A.B.C. D. 不能确定3．设函数3y x =与21xy =+的图象的交点为()00,x y ，则0x 所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)4．已知函数() 2 0ln 0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，（k R ∈），若函数()y f x k =+有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A.2k ≤B.10k -<<C.21k -≤<-D.2k ≤-5．设函数若有三个不等实数根，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.6．定义域为R 的函数lg |x 2|,x 2(x)1,2f x -≠⎧=⎨=⎩，若关于x 的方程2(x)bf(x)c 0f ++=恰有5个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，则12345(x x x x)f x ++++的值等于（ ）A.4lg 2B.3lg 2C.2lg 2D.lg 27．已知实数,0,(x)lg(x),x 0,x e x f ⎧≥=⎨-<⎩若关于x 的方程2(x)f(x)t 0f ++=有三个不同的实根，则t 的取值范围为（ ）A.(,2]-∞-B.[1,)+∞C.[2,1]-D.(,2][1,)-∞-+∞8．函数，若方程恰有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）A. B.C. D.9．若函数则当时，函数的零点个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 410．已知函数，方程，，则方程的根的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5二、填空题11．若函数()|21|x f x m =--有两个零点，则实数m 的取值范围是 ．参考答案1．D【解析】试题分析：由于函数11y x=-与函数()2sin 24y x x π=-≤≤均关于点()1,0成中心对称，结合图形以点()1,0为中心两函数共有8个交点，则有18212x x +=⨯=，同理有2736452,2,2x x x x x x +=+=+=，所以所有交点的横坐标之和为8.故正确答案为D.考点：1.函数的对称性；2.数形结合法的应用. 2．B【解析】试题分析：方程的解等价于的零点.由于在上连续且单调递增，所以在内有零点且唯一，所以方程的根落在区间，故选B ．考点：函数的零点． 【方法点晴】本题主要考查了函数的零点的判定与应用，其中熟记函数零点的判定方法和函数零点的存在性定理是解答此类问题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力及转化与化归思想的应用，属于基础题，本题的解答中，方程的解等价于的零点，利用函数零点的存在定理，即可得到零点的区间，得到结论．3．B 【解析】 试题分析：设()()()32111210,28410x f x x f f =--=--<=--> ()()120f f ∴<，所以函数在区间(1,2)内有零点，即函数3y x =与21xy =+的图象的交点横坐标0x 所在的区间是()1,2考点：方程的根与函数零点4．D 【解析】试题分析：由下图可得22k k-≥⇒≤-，故选D.考点：函数与方程.5．D【解析】试题分析：由下图可得，故选D.考点：函数与方程.6．B【解析】试题分析：当2x=时，()1f x=，则由2(x)bf(x)c0f++=，所以12,1x c b==--，当2x>时，()log(2)f x x=-，由2(x)bf(x)c0f++=得[lg(2)]blg(2)c0x x-+-+=，解得2lg(2)112x x-=⇒=或3lg(2)210bx b x-=⇒=+，当2x<时，()log(2)f x x=-，由2(x)bf(x)c0f++=得[log(2)]blog(2)c0x x-+-+=，解得4log(2)18x x-=⇒=-或3log(2)210bx b x-=⇒=-，所以12345(x x x x)(10)lg1023lg2f x f++++==-=，x故选B.考点：函数的综合应用.【方法点晴】本题主要考查了函数的综合应用问题，其中解答中涉及到对数函数的性质，一元二次函数的图象与性质，对数的运算及指数幂的化简等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中按照题设条件分别根据三种情况分类讨论求出关于x 的方程2(x)bf(x)c 0f ++=的5个不同的实数解，即可求解12345(x x x x )f x ++++的值.7．A 【解析】试题分析：设()m f x =，作出函数()f x 的图象，如图所示，则1m ≥时，()m f x =有两个根，当1m <时，()m f x =有一个根，若关于x 的方程2(x)f(x)t 0f ++=有三个不同的实根，则等价为2t 0m m ++=由两个不同的实数根，且1m ≥或1m <，当1m =时，2t =-，此时由220m m +-=，解得1m =或2m =-，满足()1f x =有两个根，()2f x =-有一个根，满足条件；当1m ≠时，设()2t h m m m =++，则()10h <即可，即110t ++<，解得2t <-，综上实数t 的取值范围为2t ≤-，故选A.考点：根的存在性及个数的判断. 【方法点晴】本题主要考查了根的存在性及个数的判断问题，其中解答中涉及到到指数函数与对数函数的图象与性质，一元二次函数根的分布等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中利用函数的零点和方程之间的关系转化为两个函数图象的交点是解答的根据，利用数形结合以及换元法是解答本题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题. 8．D【解析】试题分析：方程恰有两个不相等的实数根，等价于函数与图象恰有两个不同的交点，由图象可知当直线介于两红色线之间时符合题意，因为为直线的截距，由图易得上直线的截距为，由可得，由可得，所以的取值范围为，故选D．考点：函数的零点问题．【方法点晴】本题主要考查了函数的零点问题，其中解答中涉及到指数函数的图象与性质、一元二次函数的图象与性质、函数的图象等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的考查，本题的解答中把方程恰有两个不相等的实数根，转化为函数与图象恰有两个不同的交点，正确作出函数的图象是解答的关键，属于中档试题．9．D【解析】试题分析：先作出函数的图象,如图所示.当时,令有,则或,当,存在两个零点;当时,存在两个零点,故函数的零点个数为.选D.考点：根的存在性及个数判断.【方法点睛】本题主要考查了分段函数的零点个数的判断,属于中档题. 本题方法: 先画出函数的草图，求函数的零点个数,就是求的根的个数,利用分段函数的解析式,得到或,再转化为函数与的图象的交点个数,或者转化为函数与的图象的交点个数.做本题时注意数形结合思想. 10．D【解析】试题分析：因为，所以或，作函数的图象如图，结合图象可知，有两个不同的根，，有三个不同的根，且个根都不相同，故方程的根的个数是，故选D ．考点：分段函数图象与性质．【思路点晴】本题主要考查分段函数的图象与性质，由于，所以或，作函数的图象，根据图象可知有两个不同的根，，有三个不同的根，合起来就一共有个不同的实根．对于函数根的问题，往往转化为函数图象和值域来求解，有时候也转化为两个函数交点来求解． 11．()0,1 【解析】试题分析：令()0f x =，所以21x m =-有两个交点，画出21x-的图象如下图所示，由图可知()0,1m ∈.考点：函数图象与性质.【思路点晴】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.本题采用第二种方法，首先令()0f x =，变为两个函数,21x y m y ==-，先画出21x-的图象，然后将x 轴下方的图象向上翻折，得到21xy =-的图象，由图可知，()0,1m ∈有两个交点.。

函数零点及函数应用练习卷1.若a b c <<,则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间( )A.(),a b 和(),b c 内B.(),a -∞和(),a b 内C.(),b c 和(),c +∞内D.(),a -∞和(),c +∞内2.若函数3()=+b +f x x x c 有极值点1x ,2x ,且11()=f x x ,则关于x 的213(())+2()+=0f x f x b 的不同实根个数是3.已知函数(](]13,1,0()10,1x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩，且()()g x f x mx m =--在(]1,1-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是4.已知函数()|2|1f x x =-+，()g x kx =，若()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是5.在同一直角坐标系中，函数22a y ax x =-+与222()y a x ax x a a R =-++∈的图像不可能的是（ ）6.函数()y f x =的图像如图所示,在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,,,n x x x ,使得1212()()()n nf x f x f x x x x ===,则n 的取值范围为（ ） A ．{}2,3 B ．{}2,3,4C ．{}3,4D ．{}3,4,57.如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）.已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为8.一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示. 某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示.（至少打开一个水口）9.给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；C②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水. 则正确论断的个数是（）A．0 B． 1 C． 2 D． 310.某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为( )A．5 B．7 C．9 D．1111.如图，直线l 和圆C ，当l 从l 0开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图象大致是()A. B. C. D.12.如图，在平面直角坐标系中，AC 平行于x 轴，四边形ABCD 是边长为1的正方形，记四边形位于直线(0)x t t =>左侧图形的面积为f （t ），则f （t ）的大致图象是()13.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是 ( )14.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在处有一棵树与两墙的距离分别是米、4米，不考虑树的粗细．现在想用米长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃．设此矩形花圃的面积为平方米，的最大值为，若将这棵树围在花圃内，则函数的图象大致是( )距学校的距离距学校的距离距学校的距离ABCD时间时间时间时间OOOO距学校的距离15.某汽车销售公司在A 、B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售16辆这种品牌汽车，则能获得的最大利润是( ) A.10.5万元 B.11万元 C.43万元 D.43.025万元16.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A ．略有盈利 B ．略有亏损 C ．没有盈利也没有亏损 D ．无法判断盈亏情况17.若函数()12f x x x a =+++的最小值3，则实数a 的值为18.若不等式2212122++≥++-a a x x 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是____________.。

【高中数学新人教B 版必修1】2.4.1《函数的零点》测试一、选择题 １．函数ｆ（ｘ）＝ｘ－x4的零点是（ ） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．无数个２．函数ｆ（ｘ）＝3222x x x --+的零点是（ ）Ａ． １，２，３ Ｂ．－１，１，２ Ｃ．０，１，２ Ｄ．－１，１，－２３．若函数ｆ（Ｘ）在［０，４］上的图像是连续的，且方程ｆ（ｘ）＝０在（０，４）内仅有一个实数根，则发ｆ（０）∙ｆ（４）的值（ ）Ａ．大于０ Ｂ．小于０ Ｃ．等于０ Ｄ．无法判断４．若函数ｆ（ｘ）＝ｍ2x ＋８ｍｘ＋２１，当ｆ（ｘ）＜０时－７＜ｘ＜－１，则实数ｍ的值为（ ）Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ５．ｆ（ｘ）＝xx 1-，方程ｆ（４ｘ）＝ｘ的根是（ ） Ａ．－２ Ｂ．２ Ｃ．－０．５ Ｄ．０．５ 6．设函数)f(x)= c bx x 3++在[-1,1]上为增函数,且0)21(f ).21(f <-,则方程f(x)在[-1,1]内A .可能有3个实数根B .可能有2个实数根C. 有唯一的实数根 D .没有实数根7．设f (x ) = 12x 5x -3++，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是（ ）A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[－2，－1]D ．[－1，0]8．给出下列三个函数的图象；07徐州三练） 3．方程2x +x-4=O 的解所在区间为A ．(-1，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)9.已知函数y=f(x)在定义域内是单调函数,则方程f(x)=c(c 为常数)的解的情况( )A.有且只有一个解B.至少有一个解C.至多有一个解D.可能无解,可能有一个或多个解二、填空题：10．关于ｘ的方程２ｋ2x －２ｘ－３ｋ＝０的两根一个大于１，一个小于１，则实数的取值范围 ．11．若函数ｆ（ｘ）＝2x －ａｘ－ｂ的两个零点时２和３，则函数ｇ（ｘ）＝ｂ2x －ａｘ－１的零点 ．三、解答题12．已知函数ｆ（ｘ）＝２（ｍ－１）2x －４ｍｘ＋２ｍ－１（１）ｍ为何值时，函数图像与ｘ轴有一个公共点．（２）如果函数的一个零点为２，求ｍ的值．13．已知二次函数f （x ）=a 2x +bx （ａ，ｂ是常数且ａ≠０）满足条件：ｆ（２）＝０．方程有等根（１）求f （x ）的解析式；（２）问：是否存在实数ｍ，ｎ使得ｆ（ｘ）定义域和值域分别为［ｍ，ｎ］和［２ｍ，２ｎ］，如存在，求出ｍ，ｎ的值；如不存在，说明理由．参考答案：一、选择题1． Ｃ２．Ｂ３．Ｄ４．Ｃ５．Ｄ6． C7． A8． C9． C二、填空题：10．ｋ＞０或ｋ＜－４12．31,21-- 三、解答题 13．解：（１）由条件知；Δ＝24m -－８（ｍ－１）（２ｍ－１）又Δ＞０ 即ｍ＞31 所以函数与ｘ轴有两个交点 （２）函数一个零点在原点即ｘ＝０为其方程的一个根，∴有２（ｍ－１）⨯20－４ｍ0⋅＋２ｍ－１＝０∴ｍ＝０．５14．（１）由ｆ（２）＝０得：４ａ＋２ｂ＝０，方程ｆ（ｘ）＝ｘ即a x 2+（b －１）x＝０．有等根∴Δ＝)1(2-b ＝０， 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+-0024)1(2b b a ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=121b a ，∴ｆ（ｘ）＝－x 221＋ｘ （２）ｆ（ｘ）＝－x 221＋ｘ＝－212121)1(2≤+-x ∴２ｎ21≤ ，∴ ｎ41≤∴函数ｆ（ｘ）在［ｍ，ｎ］上是增函数 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==+-=n n n f m m m f n m 2221)(,221)(2，解得ｍ＝２，ｎ＝０。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作【高中数学新人教B 版必修1】2.4.1《函数的零点》测试一、选择题 １．函数ｆ（ｘ）＝ｘ－x4的零点是（ ） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．无数个２．函数ｆ（ｘ）＝3222x x x --+的零点是（ ）Ａ． １，２，３ Ｂ．－１，１，２ Ｃ．０，１，２ Ｄ．－１，１，－２ ３．若函数ｆ（Ｘ）在［０，４］上的图像是连续的，且方程ｆ（ｘ）＝０在（０，４）内仅有一个实数根，则发ｆ（０）∙ｆ（４）的值（ ）Ａ．大于０ Ｂ．小于０ Ｃ．等于０ Ｄ．无法判断４．若函数ｆ（ｘ）＝ｍ2x ＋８ｍｘ＋２１，当ｆ（ｘ）＜０时－７＜ｘ＜－１，则实数ｍ的值为（ ）Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ５．ｆ（ｘ）＝xx 1-，方程ｆ（４ｘ）＝ｘ的根是（ ） Ａ．－２ Ｂ．２ Ｃ．－０．５ Ｄ．０．５ 6．设函数)f(x)= c bx x 3++在[-1,1]上为增函数,且0)21(f ).21(f <-,则方程f(x)在[-1,1]内A .可能有3个实数根B .可能有2个实数根C. 有唯一的实数根 D .没有实数根7．设f (x ) = 12x 5x -3++，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是（ ）A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[－2，－1]D ．[－1，0]8．给出下列三个函数的图象；07徐州三练） 3．方程2x +x-4=O 的解所在区间为A ．(-1，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)9.已知函数y=f(x)在定义域内是单调函数,则方程f(x)=c(c 为常数)的解的情况( )A.有且只有一个解B.至少有一个解C.至多有一个解D.可能无解,可能有一个或多个解二、填空题：10．关于ｘ的方程２ｋ2x －２ｘ－３ｋ＝０的两根一个大于１，一个小于１，则实数的取值范围 ．11．若函数ｆ（ｘ）＝2x －ａｘ－ｂ的两个零点时２和３，则函数ｇ（ｘ）＝ｂ2x －ａｘ－１的零点 ．三、解答题12．已知函数ｆ（ｘ）＝２（ｍ－１）2x －４ｍｘ＋２ｍ－１（１）ｍ为何值时，函数图像与ｘ轴有一个公共点．（２）如果函数的一个零点为２，求ｍ的值．13．已知二次函数f （x ）=a 2x +bx （ａ，ｂ是常数且ａ≠０）满足条件：ｆ（２）＝０．方程有等根（１）求f （x ）的解析式；（２）问：是否存在实数ｍ，ｎ使得ｆ（ｘ）定义域和值域分别为［ｍ，ｎ］和［２ｍ，２ｎ］，如存在，求出ｍ，ｎ的值；如不存在，说明理由．参考答案：一、选择题1． Ｃ２．Ｂ３．Ｄ４．Ｃ５．Ｄ6． C7． A8． C9． C二、填空题：10．ｋ＞０或ｋ＜－４12．31,21-- 三、解答题13．解：（１）由条件知；Δ＝24m -－８（ｍ－１）（２ｍ－１）又Δ＞０ 即ｍ＞31 所以函数与ｘ轴有两个交点 （２）函数一个零点在原点即ｘ＝０为其方程的一个根，∴有２（ｍ－１）⨯20－４ｍ0⋅＋２ｍ－１＝０∴ｍ＝０．５14．（１）由ｆ（２）＝０得：４ａ＋２ｂ＝０，方程ｆ（ｘ）＝ｘ即ax 2+（b －１）x＝０．有等根∴Δ＝)1(2-b ＝０， 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+-0024)1(2b b a ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=121b a ，∴ｆ（ｘ）＝－x 221＋ｘ （２）ｆ（ｘ）＝－x 221＋ｘ＝－212121)1(2≤+-x ∴２ｎ21≤ ，∴ ｎ41≤∴函数ｆ（ｘ）在［ｍ，ｎ］上是增函数 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==+-=n n n f m m m f n m 2221)(,221)(2，解得ｍ＝２，ｎ＝０。

函数的零点自测题001一、选择题1.　函数的零点所在的区间是（ ）2)(-+=x e x f x (A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2）2.　函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 ( )(A)（-2，-1） (B)（-1,0） (C)（0,1） (D)（1,2）3．函数)(x f y =在区间[],a b 上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（） A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；B ．若0)()(<b f a f ，存在且只存在一个实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；C ．若0)()(>b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；D ．若0)()(<b f a f ，有可能不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ；3*.已知函数f (x )在区间 [a ，b ]上单调，且f (a )•f (b )<0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ）.A.至少有一实根B.至多有一实根C.没有实根D.必有惟一实根4．方程0lg =-x x 根的个数为（ ）A ．无穷多B ．3C ．1D ．05．如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ）A ．()6,2-B ．[]6,2-C ．{}6,2-D ．()(),26,-∞-+∞6．函数132)(3+-=x x x f 零点的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．设()833-+=x x f x ，用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x 在内近似解的过程中得 ()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（ ）A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定8．直线3y =与函数26y x x =-的图象的交点个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．若方程0x a x a --=有两个实数解，则a 的取值范围是（ ）A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．(0,2)D ．(0,)+∞10．已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（ ）A ．函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点B ．函数)(x f 在(3,5)内无零点C ．函数)(x f 在(2,5)内有零点D ．函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点11．若0x 是方程式 lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（ ） （A ）（0，1）. （B ）（1，1.25）. （C ）（1.25，1.75） （D ）（1.75，2）12．已知x 是函数f(x)=2x + 11x-的一个零点.若1x ∈（1，0x ），2x ∈（0x ，+∞），则 （A ）f(1x )＜0，f(2x )＜0 （B ）f(1x )＜0，f(2x )＞0（C ）f(1x )＞0，f(2x )＜0 （D ）f(1x )＞0，f(2x )＞013．若1x 是方程lg 3x x +=的解，2x 是310=+x x 的解，则21x x +的值为（） A ．23 B ．32 C ．3 D ．3114．函数5()3f x x x =+-的实数解落在的区间是()A ．[0,1]B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[3,4] 15．在,,log ,222x y x y y x ===这三个函数中，当1021<<<x x 时， 使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个16．若函数()f x 唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内，那么下列命题中正确的是（ ）A ．函数()f x 在区间(0,1)内有零点B ．函数()f x 在区间(0,1)或(1,2)内有零点C ．函数()f x 在区间[)2,16内无零点D ．函数()f x 在区间(1,16)内无零点17．求3()21f x x x =--零点的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 18．若方程310x x -+=在区间(,)(,,1)a b a b Z b a ∈-=且上有一根，则a b +的值为（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-二、填空题19．已知函数的零点，且，，，则 ()35x f x x =+-[]0,x a b ∈1b a -=a b N *∈a b +=20．用“二分法”求方程0523=--x x 在区间[2,3]内的实根，取区间中点为5.20=x ，那么下一个有根的区间是 。

函数零点判断定理专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 方程e x+8x−8=0的根所在的区间为( )A.(−2, −1)B.(−1, 0)C.(0, 1)D.(1, 2)2. 函数f(x)=e x+x3−9的零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)3. 函数f(x)=log3x+x3−9的零点所在区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)4. 函数f(x)=2x +ln1x的零点所在的大致区间为( )A.(1, 2)B.(2, 3)C.(3, 4)D.(1, 2)与(2, 3)5. 函数f(x)=x−log527的零点所在的区间为()A.(2,3)B.(1,2)C.(0,1)D.(3,4)6. 函数f(x)=e x+2x−5的零点所在的区间是( )A.(3, 4)B.(2, 3)C.(0, 1)D.(1, 2)7. 在下列区间中函数f(x)=2x−4+3x的零点所在的区间为( )A.(12,1) B.(0,12) C.(1,32) D.(1, 2)8. 函数f(x)=e x+2x−5的零点所在的区间是（）A.(3, 4)B.(2, 3)C.(0, 1)D.(1, 2)9. 函数f(x)=ln x−2x的零点所在的大致区间为( )A.(1, 2)B.(2, 3)C.(e, 3)D.(e, +∞)10. 已知实数a>1，0<b<1，则函数f(x)=a x+x−b的零点所在的区间是( )A.(−2, −1)B.(−1, 0)C.(0, 1)D.(1, 2)11. 若函数f (x )=2x +x −4的零点所在区间为(k,k +1)(k ∈Z )，则k 的值是（ ）A.1B.2C.3D.412. 已知函数f (x )=ln (√1+x 2−x)，若不相等的正实数a ，b 满足f (a )+f (b −52)=0，且a ，b 恰为函数g (x )=|ln x|−k 的两个零点，则k =（ ）A.52B.ln3C.1D.ln213. 函数f(x)＝e x +x −3在区间(0, 1)内零点有________个．14. 若函数f(x)=2−x −x +3的零点为x 0，满足x 0∈(k, k +1)且k ∈Z ，则k =________．15. 函数f(x)={x 2−2|x|+12，x ≤0，|lg x|−1,x >0，的零点个数为________.16. 已知λ∈R ，函数f (x )={x −4,x ≥λ,x 2−4x +3,x <λ．当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________．17. 已知函数y =f(x)是R 上的连续可导函数，且xf′(x)+f(x)>0，则函数g(x)=xf(x)+1(x >0)的零点个数为________.18. 若函数f (x )=(x 2+ax +2a )e x 在区间(−2,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为________.19. 若函数f(x)=2ln x +x 2+a −2在上(1, e)有零点，则实数a 的取值范围为________．20. 已知函数f(x)={|lg (−x)|,x <0x 2−6x +4,x ≥0若关于x 的函数y =f 2(x)−bf(x)+1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是________．21. 已知函数f(x)=ax 2−x −a −ln x .(1)若f(x)在其定义域上单调递减，求a 的取值范围；(2)证明：f(x)在区间(0，1)恰有一个零点.22. 已知函数（）且.（1）求的值；（2）若函数有零点，求实数的取值范围.23. 已知函数f(x)＝ax2+2x+1(a∈R)有唯一零点．（1）求a的值；（2）当x∈[−2, 2]时，求函数f(x)的值域．,a∈R．24. （2019上海卷）已知f(x)=ax+1x+1当a=1时，求不等式f(x)+1<f(x+1)的解集；若f(x)在x∈[1,2]时有零点，求a的取值范围．25. 设函数f k(x)=2x+(k−1)⋅2−x(x∈R,k∈Z)．（1）设不等式f0(x)+mf1(x)≥4在x∈[0, 1]上恒成立，求实数m的取值范围；（2）设函数g(x)＝λf0(x)−f2(2x)在x∈[1, +∞)上有零点，求实数λ的取值范围．26.x2−ax，其中e为自然对数的底数.已知函数f(x)=xe x−a2(1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若方程f(x)=ex在x∈(0，+∞)上有唯一解，求实数a的取值范围.27. 已知函数f(x)=ax2−4x+2．(1)若f(x)的值域为[0,+∞)，求a的值．(2)若a≤1，是否存在实数a，使函数y=f(x)−log2x8在[1,2]内有且只有一个零点．若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．28. 已知函数f(x)=ln(x+m)−xe−x．(1)若f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x−2y=0平行，求m的值；(2)在(1)的条件下，证明：当x>0时，f(x)>0；(3)当m>1时，求f(x)的零点个数．29. 已知函数f(x)=ae x(a∈R).(1)若直线y=x−1与曲线y=f(x)相切，求a的值；(2)当a=1时，求证：当x>0时，f(x)>x ln x+x2+1恒成立．（参考数据：ln2≈0.69，ln3≈1.10，e2≈7.39）30. 已知f(x)=(x3−ax+1)ln x．(1)若函数f(x)有三个不同的零点，求实数a的取值范围；(2)在(1)的前提下，设三个零点分别为x1，x2，x3且x1<x2<x3，当x1+x3>2时，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析函数零点判断定理专题含答案一、选择题（本题共计 12 小题，每题 3 分，共计36分）1.【答案】C【考点】函数零点的判定定理【解析】此题暂无解析【解答】解：令函数f(x)=e x+8x−8，则方程e x+8x−8=0的根即为函数f(x)的零点，再由f(0)=1−8=−7<0，f(1)=e>0，可得函数f(x)在(0,1)上有零点.故选C.2.【答案】B【考点】函数零点的判定定理【解析】根据零点存在性定理，由f(x)=e x+x3−9为增函数，带入相关数值判断即可得解．【解答】解：由e x为增函数，x3为增函数，故f(x)=e x+x3−9为增函数，由f(1)=e−8<0，f(2)=e2−1>0，根据零点存在性定理可得∃x0∈(1,2)使得f(x0)=0.故选B．3.【答案】C【考点】函数零点的判定定理【解析】首先根据函数解析式得到函数单调性，再通过计算得到f(2)<0，f(3)>0，由零点存在定理即可求解.【解答】解：函数f(x)的定义域为(0, +∞)，且函数在(0, +∞)上单调递增，∵f(2)=log32−1<0，f(3)=1+27−9=19>0,∴由函数的零点存在定理可知，f(x)在区间(2,3)存在唯一零点. 故选C.4.B【考点】函数零点的判定定理【解析】显然该函数在定义域内是减函数，所以至多有一个零点，故排除D，然后利用零点存在性定理判断即可．【解答】解：f(1)=2>0；f(2)=1+ln12=1−ln2>0；f(3)=23+ln13=ln(13×√e23)，因为(13×√e23)3=e227<1，故f(3)<0．故f(2)⋅f(3)<0，故零点所在的大致区间为(2, 3)．故选B．5.【答案】A【考点】函数零点的判定定理【解析】【解答】解：因为2<log527<3，所以f(x)的零点所在的区间为(2,3)．故选A .6.【答案】D【考点】函数零点的判定定理【解析】由零点存在性定理即可得出选项．【解答】解：由函数f(x)=e x+2x−5为连续函数，且f(1)=e+2−5=e−3<0，f(2)=e2+4−5=e2−1>0，所以零点所在的区间为(1,2).故选D.7.【答案】A【考点】函数零点的判定定理由已知函数解析式求得f(12)<0，f(1)>0，结合函数零点存在定理得答案． 【解答】解：函数f(x)=2x −4+3x ，∵ f(12)=2×12−4+312=−3+√3<0，f(1)=2×1−4+3=1>0，满足f(12)f(1)<0．∴ 函数f(x)=2x −4+3x 的零点所在的区间为(12,1)．故选A ．8.【答案】D【考点】函数零点的判定定理【解析】由零点存在性定理即可得出选项．【解答】解：由函数f (x )=e x +2x −5为连续函数，且f (1)=e +2−5=e −3<0，f (2)=e 2+4−5=e 2−1>0，所以零点所在的区间为(1,2).故选D .9.【答案】B【考点】函数零点的判定定理【解析】根据函数零点的判断条件，即可得到结论．【解答】解：∵ f ′(x)=1x +2x 2，则函数f(x)在(0, +∞)上单调递增，∵ f(2)=ln 2−1<0，f(3)=ln 3−23>0， ∴ f(2)⋅f(3)<0，则函数f(x)在区间(2, 3)内存在零点.故选B .10.【答案】B函数零点的判定定理【解析】由a>1可得函数f(x)的单调性，然后由已知判断f(−1)、f(0)的符号，最后由函数零点存在性定理得答案．【解答】解：∵a>1，∴函数f(x)=a x+x−b为增函数，又∵0<b<1，∴f(−1)=1−1−b<0，f(0)=1−b>0，a∴函数f(x)=a x+x−b在(−1, 0)内有零点.故选B．11.【答案】A【考点】函数零点的判定定理【解析】易知函数f(x)=2x+x−4在其定义域上连续且单调递增，从而利用零点的判定定理判断即可．【解答】解：易知函数f(x)=2x+x−4在其定义域上连续且单调递增，且f(1)=2+1−4<0，f(2)=22+2−4>0，故f(1)f(2)<0故函数f(x)=2x+x−4的零点在区间(1,2)上，故k=1.故选A．12.【答案】D【考点】函数的零点函数零点的判定定理【解析】=0，再由a，b恰为函数g(x)=|ln x|−k的两个由函数奇偶性及单调性可得a+b−52零点，可得|ln a|=|ln b|，求解即可.【解答】解：由f(x)=ln(√1+x2−x)，可得f(x)+f(−x)=0，且f(x)在R上为减函数，)=0，又正实数a，b满足f(a)+f(b−52=0，因为a，b恰为函数g(x)=|ln x|−k的两个零点．所以a+b−52所以g (a )=|ln a|−k =0，g (b )=|ln b|−k =0．则|ln a|=|ln b|即ln a =ln b （舍去），或ln a =−ln b ，故ab =1，可得a =2，b =12或b =2，a =12，故k =ln 2．故选D ．二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）13.【答案】1【考点】函数零点的判定定理【解析】利用函数的单调性，结合零点判断定理，推出结果即可．【解答】函数f(x)＝e x +x −3在区间(0, 1)内是连续增函数，f(0)＝1+0−3＝−2<o ，f(1)＝e +1−3＝e −2>0，f(0)f(1)<0，所以函数f(x)＝e x +x −3在区间(0, 1)内零点有1个．故答案为：1．14.【答案】3【考点】函数零点的判定定理【解析】根据题意，分析可得f(x)为减函数，进而计算f(3)、f(4)的值，分析可得f(3)f(4)<0，由函数零点判定定理可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)=2−x −x +3，分析可得f(x)为减函数.又f(3)=2−3−3+3=18>0，f(4)=2−4−4+3=−1516<0，所以f(3)f(4)<0，则函数f(x)的零点在(3, 4)上，则k =3.故答案为：3.15.【答案】4【考点】函数零点的判定定理【解析】由题意得：f(x)−g(x)>0在[1, e]上有解，分离参数，求最值，即可求出实数a 的范围．【解答】解：方程|lg x|=1，(x >0)有两个根10，110； 方程x 2−2|x|+12=0 (x ≤0)⇒x 2+2x +12=0 (x ≤0) ⇒x =−2±√22<0，故有4个根.故答案为：4.16.【答案】(1,4),(1,3]∪(4,+∞)【考点】函数零点的判定定理函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】当λ=2时，由f (x )<0得{x −4<0x ≥2’或{x 2−4x +3<0x <2,’解得2≤x <4或1<x <2，所以f (x )<0的解集为(1,4)．由x −4=0得x =4，由x 2−4x +3=0得x =1或x =3，因为函数f(x )恰有2个零点，所以{4>λ1<λ3≥λ，或{4<λ1<λ3<λ，解得1<λ≤3或λ>4．本题考查分段函数的性质．求解分段函数问题，要根据自变量的值分别讨论函数在每一段上的性质．17.【答案】【考点】利用导数研究函数的单调性函数零点的判定定理【解析】根据函数与方程的关系，得到xf(x)=−1(x >0)，构造函数ℎ(x)=xf(x)，求函数的导数，研究函数的单调性和取值范围进行求解即可．【解答】解：由g(x)=xf(x)+1=0，得xf(x)=−1(x >0)，设ℎ(x)=xf(x)，则ℎ′(x)=f(x)+xf′(x)，∵ xf′(x)+f(x)>0，∴ ℎ′(x)>0，即函数ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增.∵ ℎ(0)=0⋅f(0)=0，∴ 当x >0时，ℎ(x)>ℎ(0)=0，∴ ℎ(x)=−1无解，∴ 函数g(x)=xf(x)+1(x >0)的零点个数为0个.故答案为：0.18.【答案】(−34,0]【考点】利用导数研究函数的极值函数零点的判定定理【解析】先求导，由题意得到则f′(x)=[x2+(a+2)x+3a]e x=0在(−2,1)上仅有一个解，设g(x)=x2+(a+2)x+3a，利用零点存在定理进行求解即可.【解答】解：∵函数f(x)=(x2+ax+2a)e x，∴f′(x)=[x2+(a+2)x+3a]e x.要使函数f(x)=(x2+ax+2a)e x在(−2,1)上仅有一个极值点，则f′(x)=[x2+(a+2)x+3a]e x=0在(−2,1)上仅有一个变号零点，即x2+(a+2)x+3a=0在(−2,1)上仅有一个变号零点.设g(x)=x2+(a+2)x+3a，则g(−2)g(1)<0，即a(4a+3)<0，解得−34<a<0.当a=0，f′(x)=(x2+2x)e x=0在(−2,1)上仅有一个解，满足题意，综上所述：−34<a≤0.故答案为：(−34,0].19.【答案】(−e2, 1)【考点】函数零点的判定定理【解析】判断函数的单调性，结合零点判断定理，列出不等式组，求解即可．【解答】函数f(x)=2ln x+x2+a−2在(1, e)上是增函数，所以函数f(x)=2ln x+x2+a−2在(1, e)上有零点，可得(1+a−2)(2+e2+a−2)<0，解得：−e2<a<1，则实数a的取值范围为：(−e2, 1)．20.【答案】(2, 17 4 ]【考点】函数零点的判定定理【解析】作函数f(x)={|lg (−x)|,x <0x 2−6x +4,x ≥0 的图象，从而可得方程x 2−bx +1=0有2个不同的正解，且在(0, 4]上，从而解得． 【解答】作函数f(x)={|lg (−x)|,x <0x 2−6x +4,x ≥0 的图象如右图，∵ 关于x 的函数y =f 2(x)−bf(x)+1有8个不同的零点， ∴ 方程x 2−bx +1=0有2个不同的正解，且在(0, 4]上； ∴ { 1>0b2>0△=b 2−4>016−4b +1≥0 ， 解得，2<b ≤174；三、 解答题 （本题共计 10 小题 ，每题 10 分 ，共计100分 ） 21.【答案】(1)解：由于f(x)的定义域为(0，+∞)， 且f ′(x)=2ax 2−x−1x，所以如果f(x)单调递减，则当x >0时，2ax 2−x −1≤0恒成立， 解得a ≤0，即a 的取值范围为(−∞，0]. (2)证明：当a ≤0时，由于f(x)在区间(0，+∞)单调递减， 且f(1)=−1<0， f (1e )=a e 2−1e −a +1 =(1−1e )[1−a (1+1e)]>0，所以f(x)在区间(0，1)恰有一个零点； 当a >0时，由于f ′(x)=2ax 2−x−1x,且方程2ax 2−x −1=0在区间(0，+∞)有唯一的实根x 0， 从而f(x)在区间(0，x 0)单调递减， 在区间(x 0，+∞)单调递增， 注意到f(1)=−1<0，所以f(x)区间(0，1)的零点个数不超过1个. ①当0<a ≤1时， 由于f (1e 2)=ae 4−1e 2−a +2>2−a −1e 2>0，所以f(x)区间(0，1)恰有一个零点； ②当a >1时，由于f (1e 2a )=ae 4a −1e 2a −a +2a >a −1e 2a >0，所以f(x)区间(0，1)恰有一个零点. 综上，f(x)在区间(0，1)恰有一个零点. 【考点】简单复合函数的导数 函数零点的判定定理 函数的单调性及单调区间 【解析】 此题暂无解析 【解答】(1)解：由于f(x)的定义域为(0，+∞)， 且f ′(x)=2ax 2−x−1x，所以如果f(x)单调递减，则当x >0时，2ax 2−x −1≤0恒成立， 解得a ≤0，即a 的取值范围为(−∞，0]. (2)证明：当a ≤0时，由于f(x)在区间(0，+∞)单调递减， 且f(1)=−1<0， f (1e )=a e 2−1e −a +1 =(1−1e )[1−a (1+1e)]>0，所以f(x)在区间(0，1)恰有一个零点； 当a >0时，由于f ′(x)=2ax 2−x−1x,且方程2ax 2−x −1=0在区间(0，+∞)有唯一的实根x 0， 从而f(x)在区间(0，x 0)单调递减， 在区间(x 0，+∞)单调递增， 注意到f(1)=−1<0，所以f(x)区间(0，1)的零点个数不超过1个.①当0<a≤1时，由于f(1e2)=ae4−1e2−a+2>2−a−1e2>0，所以f(x)区间(0，1)恰有一个零点；②当a>1时，由于f(1e2a )=ae4a−1e2a−a+2a>a−1e2a>0，所以f(x)区间(0，1)恰有一个零点.综上，f(x)在区间(0，1)恰有一个零点.22.【答案】（1）2；（2）k<1.【考点】函数的零点函数零点的判定定理由函数零点求参数取值范围问题【解析】（1）代入f(0)=0，解得α的值；（2）化简函数g(x)得2x−1+k，再根据指数函数图像确定实数k的取值范围．【解答】（1）对于函数f(x)=1−42a x+a (a>0,a≠1)，由f(0)=1−42+3=0求得a=2，故f(x)=1−42⋅2x+2=1−22x+1（2）若函数g(x)=(2x+1)⋅(x)+k=2x+1−2+k=2x−1+k有零点，则函数y=2x的图象和直线y=1−k有交点，∴1−k>0，求得k<123.【答案】当a＝0时，f(x)＝2x+1，符合题意；当a≠0时，要使f(x)＝ax2+2x+1有唯一零点，∴△＝4−4a＝0，∴a＝1．综合可得a＝0或a＝1；当a＝0时，f(x)＝2x+1(a∈R)，x∈[−2, 2]时，−3≤2x+1≤5，∴值域为[−3, 5]；当a≠0时，∵f(x)＝ax2+2x+1(a∈R)有唯一零点，∴△＝4−4a＝0，∴a＝1，∴ f(x)＝ax 2+2x +1＝x 2+2x +1＝(x +1)2， ∴ x ∈[−2, 2]时，0≤f(x)≤9，即值域为[0, 9]． 故当a ＝0时，值域为[−3, 5]． 当a ≠0时，值域为[0, 9]． 【考点】函数零点的判定定理 二次函数的图象 二次函数的性质【解析】（1）讨论当a ＝0时f(x)＝2x +1＝0符合，当a ≠0时，△＝0； （2）当a ＝0时求出值域，当a ≠0时求出值域即可． 【解答】当a ＝0时，f(x)＝2x +1，符合题意；当a ≠0时，要使f(x)＝ax 2+2x +1有唯一零点， ∴ △＝4−4a ＝0， ∴ a ＝1．综合可得a ＝0或a ＝1；当a ＝0时，f(x)＝2x +1(a ∈R)，x ∈[−2, 2]时，−3≤2x +1≤5， ∴ 值域为[−3, 5]；当a ≠0时，∵ f(x)＝ax 2+2x +1(a ∈R)有唯一零点， ∴ △＝4−4a ＝0， ∴ a ＝1，∴ f(x)＝ax 2+2x +1＝x 2+2x +1＝(x +1)2， ∴ x ∈[−2, 2]时，0≤f(x)≤9，即值域为[0, 9]． 故当a ＝0时，值域为[−3, 5]． 当a ≠0时，值域为[0, 9]． 24.【答案】{x|−2<x <−1} [−12,−16] 【考点】分式不等式的解法利用导数研究函数的单调性 函数零点的判定定理 函数的零点 【解析】 此题暂无解析 【解答】当a =1时，f (x )=x +1x+1，则f (x +1)=x +1+1x+2． 不等式f (x )+1<f (x +1)可化为x +1+1x+1<x +1+1x+2，即1x+1<1x+2，即1x+1−1x+2<0，即1(x+1)(x+2)<0，所以−2<x <−1．所以不等式f (x )+1<f (x +1)的解集为{x|−2<x <−1}． 因为f (x )在区间[1,2]时有零点，所以关于x 的方程ax +1x+1=0在区间[1,2]上有实数解，所以a =−1x (x+1)，x ∈[1,2]．令g (x )=−1x (x+1)． 易得g (x )=−1x (x+1)在[1,2]上单调递增，所以g (x )∈[−12,−16]． 所以a 的取值范围是[−12,−16]．25.【答案】∵ f 0(x)+mf 1(x)≥4， ∴ 2x −2−x +m ⋅2x ≥4，即m ≥4−2x +2−x2x=(12x )2+42x −1，令t =12x ，ℎ(t)＝t 2+4t −1， ∵ x ∈[0, 1]，∴ t ∈[12, 1]，∴ 当t ＝1时ℎ(t)取得最大值4． ∴ m ≥4．g(x)＝λf 0(x)−f 2(2x)＝λ(2x −2−x )−(22x +2−2x )， 令g(x)＝0可得λ=22x +2−2x 2x −2−x=2x −2−x +22x −2−x，令p(x)＝2x −2−x ，显然p(x)为增函数， 故p(x)在[1, +∞)上的值域为[32, +∞)．由对勾函数单调性可知当p(x)=32时，λ取得最小值32+43=176．∴ λ的取值范围是：[176,+∞)．【考点】利用导数研究函数的最值 函数恒成立问题 函数零点的判定定理 【解析】（1）分离参数得：m ≥(12x )2+42x −1，利用换元法t =12x ，求出函数ℎ(t)＝t 2+4t −1的最大值即可得出m 的取值范围； （2）令g(x)＝0可得λ＝2x −2−x +22x −2−x，令p(x)＝2x −2−x ，得出p(x)的值域，再根据对勾函数的性质求出λ＝2x −2−x +22x −2−x 的值域，从而得出λ的范围． 【解答】∵ f 0(x)+mf 1(x)≥4， ∴ 2x−2−x+m ⋅2x≥4，即m ≥4−2x +2−x2x=(12x )2+42x −1，令t =12x，ℎ(t)＝t 2+4t −1，∵ x ∈[0, 1]，∴ t ∈[12, 1]，∴ 当t ＝1时ℎ(t)取得最大值4． ∴ m ≥4．g(x)＝λf 0(x)−f 2(2x)＝λ(2x −2−x )−(22x +2−2x )， 令g(x)＝0可得λ=22x +2−2x 2x −2−x=2x −2−x +22x −2−x，令p(x)＝2x −2−x ，显然p(x)为增函数， 故p(x)在[1, +∞)上的值域为[32, +∞)．由对勾函数单调性可知当p(x)=32时，λ取得最小值32+43=176．∴ λ的取值范围是：[176,+∞)．26. 【答案】解：(1)a =1时，f(x)=xe x −12x 2−x ，所以f′(x)=(x +1)e x −x −1=(x +1)(e x −1). 当f′(x)>0时，{x +1>0，e x −1>0或{x +1<0，e x −1<0解得x <−1或x >0；当f′(x)<0时，{x +1>0，e x −1<0或{x +1<0，e x −1>0解得−1<x <0.所以，f(x)在(−∞，−1)，(0，+∞)上单调递增， 在(−1，0)上单调递减.(2)因为x ∈(0，+∞)，所以f(x)=ex ⇒g(x)=e x −a2x −a −e =0. g ′(x)=e x −a2，①a ≤2时，因为x >0，所以e x >1，则由a2≤1可知g′(x)>0，所以g(x)在(0，+∞)单调递增. 因为g(2)=e 2−2a −e ≥e 2−4−e >0， 所以g(0)=1−a −e <0⇒a >1−e ，所以1−e<a≤2；②a>2时，g′(x)>0⇒e x>a2⇒x>ln(a2)，g′(x)<0⇒e x<a2⇒0<x<ln(a2)，所以g(x)在(0，ln(a2))单调递减，在(ln(a2)，+∞)单调递增.因为g(0)=1−a−e<0，所以g(ln(a2))<0，且x→+∞时，g(x)→+∞，所以x>0时，存在唯一x0∈(ln(a2)，+∞)，使得g(x0)=0，满足题意.综上可知a>1−e.【考点】由函数零点求参数取值范围问题利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性函数零点的判定定理【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)a=1时，f(x)=xe x−12x2−x，所以f′(x)=(x+1)e x−x−1=(x+1)(e x−1).当f′(x)>0时，{x+1>0，e x−1>0或{x+1<0，e x−1<0解得x<−1或x>0；当f′(x)<0时，{x+1>0，e x−1<0或{x+1<0，e x−1>0解得−1<x<0.所以，f(x)在(−∞，−1)，(0，+∞)上单调递增，在(−1，0)上单调递减.(2)因为x∈(0，+∞)，所以f(x)=ex⇒g(x)=e x−a2x−a−e=0.g′(x)=e x−a2，①a≤2时，因为x>0，所以e x>1，则由a2≤1可知g′(x)>0，所以g(x)在(0，+∞)单调递增.因为g(2)=e2−2a−e≥e2−4−e>0，所以g(0)=1−a−e<0⇒a>1−e，所以1−e<a≤2；②a>2时，g′(x)>0⇒e x>a2⇒x>ln(a2)，g′(x)<0⇒e x <a2⇒0<x <ln (a2)，所以g(x)在(0，ln (a2))单调递减，在(ln (a2)，+∞)单调递增. 因为g(0)=1−a −e <0，所以g(ln (a2))<0，且x →+∞时，g(x)→+∞，所以x >0时，存在唯一x 0∈(ln (a2)，+∞)， 使得g(x 0)=0，满足题意. 综上可知a >1−e . 27.【答案】解：(1)当a =0时，f (x )=−4x +2，值域为R ，不符合题意， 当a ≠0,∵ f (x )的值域为[0,+∞)， 则Δ=16−8a =0 ， 解得a =2，综上，实数a 的值为2．(2)∵ a ≤1，函数y =f (x )−log 2x 8=ax 2−4x +5−log 2x ， 令g (x )=ax 2−4x +5，ℎ(x )=log 2x ，则可转化为，函数g (x )与函数ℎ(x )的图象在区间[1,2]上有唯一的交点， ①当a =0时，g (x )=−4x +5，ℎ(x )=log 2x ，根据单调性可判断． ∵ g (1)=1>ℎ(1)=0，g (2)=−3<ℎ(2)=1，∴ 函数g (x )与函数ℎ(x )的图象在区间[1,2]上有唯一的交点． ②当a ≤0时，抛物线g (x )的开口向下，对称轴x =2a <0<1， ∴ g (x )=ax 2−4x +5在区间[1,2]单调递减， ℎ(x )=log 2x 在区间[1,2]单调递增， ∴ {g (1)≥ℎ(1)，g (2)≤ℎ(2)，即{a +1≥0，4a −3≤1，解得−1≤a ≤1，由a ≤0，可知−1≤a <0．③当0<a ≤1时，抛物线g (x )的开口向上，对称轴x =2a ≥2， ∴ g (x )=ax 2−4x +5在区间[1,2]单调递减， ℎ(x )=log 2x 在区间[1,2]单调递增，∴ {g (1)≥ℎ(1)，g (2)≤ℎ(2)，即{a +1≥0，4a −3≤1，解得−1≤a ≤1， 由0<a ≤1 ∴ 0<a ≤1．综上所述，实数a 的取值范围[−1,1]. 【考点】 函数的零点函数的值域及其求法 函数零点的判定定理 【解析】 无 无【解答】解：(1)当a =0时，f (x )=−4x +2，值域为R ，不符合题意， 当a ≠0,∵ f (x )的值域为[0,+∞)， 则Δ=16−8a =0 ， 解得a =2，综上，实数a 的值为2．(2)∵ a ≤1，函数y =f (x )−log 2x8=ax 2−4x +5−log 2x ， 令g (x )=ax 2−4x +5，ℎ(x )=log 2x ，则可转化为，函数g (x )与函数ℎ(x )的图象在区间[1,2]上有唯一的交点， ①当a =0时，g (x )=−4x +5，ℎ(x )=log 2x ，根据单调性可判断． ∵ g (1)=1>ℎ(1)=0，g (2)=−3<ℎ(2)=1，∴ 函数g (x )与函数ℎ(x )的图象在区间[1,2]上有唯一的交点． ②当a ≤0时，抛物线g (x )的开口向下，对称轴x =2a<0<1，∴ g (x )=ax 2−4x +5在区间[1,2]单调递减， ℎ(x )=log 2x 在区间[1,2]单调递增， ∴ {g (1)≥ℎ(1)，g (2)≤ℎ(2)，即{a +1≥0，4a −3≤1，解得−1≤a ≤1，由a ≤0，可知−1≤a <0．③当0<a ≤1时，抛物线g (x )的开口向上，对称轴x =2a ≥2， ∴ g (x )=ax 2−4x +5在区间[1,2]单调递减，ℎ(x)=log2x在区间[1,2]单调递增，∴{g(1)≥ℎ(1)，g(2)≤ℎ(2)，即{a+1≥0，4a−3≤1，解得−1≤a≤1，由0<a≤1∴ 0<a≤1．综上所述，实数a的取值范围[−1,1].28.【答案】(1)解：因为f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x−2y=0平行，所以f′(1)=12，因为f′(x)=1x+m+(x−1)e−x，所以f′(1)=11+m =12，解得m=1．(2)证明：由(1)得当m=1时，f′(x)=1x+1+(x−1)e−x=e x+x2−1(x+1)e x.当x>0时，令ℎ(x)=e x+x2−1，显然ℎ(x)在(0,+∞)单调递增，所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，所以f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，因为f(0)=0，所以f(x)>0在(0,+∞)上恒成立．(3)解：由(2)可知当m>1且x>0时，f(x)>ln(x+1)−xe−x>0，即f(x)在[0,+∞)上没有零点，当x∈(−m,0)时，f′(x)=1x+m +(x−1)e−x=e x+x2+(m−1)x−m(x+m)e x，令g(x)=e x+x2+(m−1)x−m，x∈(−m,0)，则g′(x)=e x+2x+m−1单调递增，且g′(−m)=e−m−2m+m−1=e−m−m−1<0，g′(0)=m>0，所以g′(x)在(−m,0)上存在唯一零点，记为x0，且当x∈(−m,x0)时，g′(x)<0，当x∈(x0,0)时，g′(x)>0，所以g(x)在(−m,x0)上单调递减，在(x0,0)上单调递增．因为m>1，所以g(−m)=e−m>0，g(0)=1−m<0，因为g(x0)<g(0)，所以g(x0)<0，所以g(x)在(−m,x0)上存在唯一零点x1，且在(x0,0)上恒小于零，故当x∈(−m,x1)时，g(x)>0，当x∈(x1,0)时，g(x)<0，所以f(x)在(−m,x1)上单调递增，在(x1,0)上单调递减，且f(0)=ln m>0，所以f(x)在(−m,0)上至多有一个零点，取x2=−m+e−me m∈(−m,0)，则有f(x2)<ln(x2+m)+me m=0，所以由零点存在定理可知f(x)在(−m,0)上只有一个零点，所以f(x)在(−m,+∞)上只有一个零点．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究与函数零点有关的问题函数零点的判定定理【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：因为f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x−2y=0平行，所以f′(1)=12，因为f′(x)=1x+m+(x−1)e−x，所以f′(1)=11+m =12，解得m=1．(2)证明：由(1)得当m=1时，f′(x)=1x+1+(x−1)e−x=e x+x2−1(x+1)e x.当x>0时，令ℎ(x)=e x+x2−1，显然ℎ(x)在(0,+∞)单调递增，所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，所以f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，因为f(0)=0，所以f(x)>0在(0,+∞)上恒成立．(3)解：由(2)可知当m>1且x>0时，f(x)>ln(x+1)−xe−x>0，即f(x)在[0,+∞)上没有零点，当x∈(−m,0)时，f′(x)=1x+m +(x−1)e−x=e x+x2+(m−1)x−m(x+m)e x，令g (x )=e x +x 2+(m −1)x −m ，x ∈(−m,0)，则g ′(x )=e x +2x +m −1单调递增，且g ′(−m )=e −m −2m +m −1=e −m −m −1<0， g ′(0)=m >0，所以g ′(x )在(−m,0)上存在唯一零点，记为x 0，且当x ∈(−m,x 0)时，g ′(x )<0，当x ∈(x 0,0)时，g ′(x )>0，所以g (x )在(−m,x 0)上单调递减，在(x 0,0)上单调递增． 因为m >1，所以g (−m )=e −m >0，g (0)=1−m <0，因为g (x 0)<g (0)，所以g (x 0)<0，所以g (x )在(−m,x 0)上存在唯一零点x 1，且在(x 0,0)上恒小于零，故当x ∈(−m,x 1)时，g (x )>0，当x ∈(x 1,0)时，g (x )<0，所以f (x )在(−m,x 1)上单调递增，在(x 1,0)上单调递减， 且f (0)=ln m >0，所以f (x )在(−m,0)上至多有一个零点，取x 2=−m +e −me m ∈(−m,0)，则有f (x 2)<ln (x 2+m )+me m =0，所以由零点存在定理可知f (x )在(−m,0)上只有一个零点， 所以f (x )在(−m,+∞)上只有一个零点．29.【答案】(1)解：设切线与y =f (x )相切于点P (x 0,y 0)，f ′(x )=ae x ，依题意{ae x 0=1,y 0=ae x 0,y 0=x 0−1,解得x 0=2，y 0=1，a =1e 2.(2)证明：即证e x −x ln x −x 2−1>0对x >0恒成立， 先证明ln x ≤x −1，设ℎ(x )=ln x −x +1，则ℎ′(x )=1−x x ，∴ y =ℎ(x )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，∴ ℎ(x )≤ℎ(1)=0，即ln x ≤x −1，当且仅当x =1时取等号， ∴ x ln x ≤x (x −1)，∴ e x −x ln x −x 2−1≥e x −2x 2+x −1，x >0，先证明当x ≥0时，e x −2x 2+x −1≥0恒成立.令k (x )=e x −2x 2+x −1(x ≥0)，则k ′(x )=e x −4x +1，令F (x )=k ′(x )，则F ′(x )=e x −4，令F ′(x )=0，解得x =2ln 2，∵ x ∈(0,2ln 2)时，F ′(x )<0，x ∈(2ln 2,+∞)时，F ′(x )>0，且k ′(2ln 2)=5−8ln 2<0，k ′(0)=2>0，k ′(2)=e 2−8+1>0，由零点存在定理，可知∃x 1∈(0,2ln 2)，∃x 2∈(2ln 2,2)， 使得k ′(x 1)=k ′(x 2)=0，故0<x <x 1或x >x 2时， k ′(x )>0，k (x )在(0,x 1)，(x 2,+∞)上单调递增，当x 1<x <x 2时，k ′(x )<0，k (x )在(x 1,x 2)上单调递减，由此知k (x )的最小值是k (0)=0或k (x 2)，由k ′(x 2)=0，得e x 2=4x 2−1，∴ k(x 2)=e x 2−2x 22+x 2−1=4x 2−1−2x 22+x 2−1=−(x 2−2)(2x 2−1).∵ x 2∈(2ln 2,2)，∴ k (x 2)>0，当x >0时， e x −2x 2+x −1>0恒成立，∴ 当x >0时，f (x )>x ln x +x 2+1恒成立．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性利用导数研究不等式恒成立问题函数零点的判定定理【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：设切线与y =f (x )相切于点P (x 0,y 0)，f ′(x )=ae x ，依题意{ae x 0=1,y 0=ae x 0,y 0=x 0−1,解得x 0=2，y 0=1，a =1e 2.(2)证明：即证e x −x ln x −x 2−1>0对x >0恒成立， 先证明ln x ≤x −1，设ℎ(x )=ln x −x +1，则ℎ′(x )=1−x x ，∴ y =ℎ(x )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，∴ ℎ(x )≤ℎ(1)=0，即ln x ≤x −1，当且仅当x =1时取等号， ∴ x ln x ≤x (x −1)，∴ e x −x ln x −x 2−1≥e x −2x 2+x −1，x >0，先证明当x ≥0时，e x −2x 2+x −1≥0恒成立.令k (x )=e x −2x 2+x −1(x ≥0)，则k ′(x )=e x −4x +1，令F (x )=k ′(x )，则F ′(x )=e x −4，令F ′(x )=0，解得x =2ln 2，∵ x ∈(0,2ln 2)时，F ′(x )<0，x ∈(2ln 2,+∞)时，F ′(x )>0， 且k ′(2ln 2)=5−8ln 2<0，k ′(0)=2>0，k ′(2)=e 2−8+1>0，由零点存在定理，可知∃x 1∈(0,2ln 2)，∃x 2∈(2ln 2,2)， 使得k ′(x 1)=k ′(x 2)=0，故0<x <x 1或x >x 2时， k ′(x )>0，k (x )在(0,x 1)，(x 2,+∞)上单调递增，当x 1<x <x 2时，k ′(x )<0，k (x )在(x 1,x 2)上单调递减，由此知k (x )的最小值是k (0)=0或k (x 2)，由k ′(x 2)=0，得e x 2=4x 2−1，∴ k(x 2)=e x 2−2x 22+x 2−1=4x 2−1−2x 22+x 2−1=−(x 2−2)(2x 2−1).∵ x 2∈(2ln 2,2)，∴ k (x 2)>0，当x >0时， e x −2x 2+x −1>0恒成立，∴ 当x >0时，f (x )>x ln x +x 2+1恒成立． 30.【答案】解：(1)当x =1时，f (x )=0，令g (x )=x 3−ax +1． 当x >1时，f (x )的零点与函数g (x )(x >0)的零点相同． 当a ≤0时，g (x )>0(x >0)，所以f (x )只有一个零点，不合题意．因此a >0．又因为函数f (x )有三个不同的零点，所以g (x )(x >0)有两个均不等于1的不同零点． 令g ′(x )=3x 2−a =0，解得x =√a 3（舍去负值）．所以当x ∈(0,√a 3)时，g ′(x )<0，g (x )是减函数； 当x ∈(√a 3,+∞)时，g ′(x )>0，g (x )是增函数． 因为g (0)=1>0，g(√a)=1>0，所以当g (√a 3)<0，即a >3√232时，g (x )(x >0)有两个不同零点．又因为g (1)=0时，a =2>3√232，所以函数f (x )有三个不同的零点，实数a 的取值范围是(3√232,2)∪(2,+∞)．(2)因为x 1<x 2<x 3，x 1+x 3>2，所以1<x 3．所以g (1)=2−a <0．所以x 1<1．所以x 1，x 3是g (x )=0的两个根．又因为g (−2a )=−8a 3+2a 2+1<−8a 3+4a 2=4a 2(1−2a )<0， 所以g (x )=0有一个小于0的根，不妨设为x 0． 根据g (x )=0有三个根x 0，x 1，x 3可知g (x )=x 3−ax +1=(x −x 0)(x −x 1)(x −x 3)， 所以x 0+x 1+x 3=0，即x 1+x 3=−x 0．因为x 1+x 3>2，所以x 0<−2．所以g (−2)=−8+2a +1>0，即a >72． 显然72>2，所以a 的取值范围是(72,+∞)． 【考点】利用导数研究函数的单调性函数的零点由函数零点求参数取值范围问题利用导数研究函数的极值函数零点的判定定理【解析】无无【解答】解：(1)当x =1时，f (x )=0，令g (x )=x 3−ax +1． 当x >1时，f (x )的零点与函数g (x )(x >0)的零点相同． 当a ≤0时，g (x )>0(x >0)，所以f (x )只有一个零点，不合题意．因此a >0．又因为函数f (x )有三个不同的零点，所以g (x )(x >0)有两个均不等于1的不同零点． 令g ′(x )=3x 2−a =0，解得x =√a 3（舍去负值）．所以当x ∈(0,√a 3)时，g ′(x )<0，g (x )是减函数； 当x ∈(√a 3,+∞)时，g ′(x )>0，g (x )是增函数． 因为g (0)=1>0，g(√a)=1>0，所以当g (√a 3)<0，即a >3√232时，g (x )(x >0)有两个不同零点．又因为g (1)=0时，a =2>3√232，所以函数f (x )有三个不同的零点，实数a 的取值范围是(3√232,2)∪(2,+∞)．(2)因为x 1<x 2<x 3，x 1+x 3>2，所以1<x 3．所以g (1)=2−a <0．所以x 1<1．所以x 1，x 3是g (x )=0的两个根．又因为g (−2a )=−8a 3+2a 2+1<−8a 3+4a 2=4a 2(1−2a )<0， 所以g (x )=0有一个小于0的根，不妨设为x 0．根据g(x)=0有三个根x0，x1，x3可知g(x)=x3−ax+1=(x−x0)(x−x1)(x−x3)，所以x0+x1+x3=0，即x1+x3=−x0．因为x1+x3>2，所以x0<−2．．所以g(−2)=−8+2a+1>0，即a>72>2，显然72,+∞)．所以a的取值范围是(72。

学业分层测评(十五) 函数的零点(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列函数没有零点的是( ) A ．f (x )＝0 B ．f (x )＝2 C ．f (x )＝x 2－1D ．f (x )＝x －1x【解析】 函数f (x )＝2，不能满足方程f (x )＝0，因此没有零点． 【答案】 B2．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，则f (x )的零点个数为( )A ．1 003B ．1 004C ．2 006D ．2 007【解析】 因为f (x )是奇函数，则f (0)＝0，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，所以f (x )在(－∞，0)内的零点有1 003个．因此f (x )的零点共有1 003＋1 003＋1＝2 007(个)． 【答案】 D3．函数y ＝x 3－16x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】 令x 3－16x ＝0，易解得x ＝－4,0,4，由函数零点的定义知，函数y ＝x 3－16x 的零点有3个．【答案】 D4．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，且a>b>c，则该函数的零点个数为()A．1 B．2C．0 D．不能确定【解析】由f(1)＝0，得a＋b＋c＝0，又a>b>c，∴a>0，c<0，∴Δ＝b2－4ac>0.故方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点．【答案】 B5．若函数f(x)的零点与g(x)＝2x－2的零点相同，则f(x)可以是()A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝x2＋4x－5 D．f(x)＝x2－1【解析】令g(x)＝2x－2＝0，得x＝1，∴g(x)的零点为1.由题意知方程f(x)＝0只有x＝1一个根．只有选项B中函数f(x)＝(x－1)2满足．【答案】 B二、填空题6．已知函数f(x)＝x2－2 015x＋2 016与x轴的交点为(m,0)，(n,0)，则(m2－2 016m＋2 016)(n2－2 016n＋2 016)的值为________．【解析】由题意，f(m)＝m2－2 015m＋2 016＝0，f(n)＝n2－2 015n＋2 016＝0，mn是方程x2－2 015x＋2 016＝0的两根，mn＝2 016，∴(m2－2 016m＋2 016)(n2－2 016n＋2 016)＝mn＝2 016.【答案】 2 0167．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________.【导学号：60210061】【解析】由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象，则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0＜a＜4.【答案】(0,4)8．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在(0,1)内，另一根在(1,2)内，则k的取值范围为________.【导学号：97512032】【解】设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1.∵f(x)＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>0，1＋k －2＋2k －1<0，4＋2k －4＋2k －1>0，∴12<k <23.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23三、解答题9．设函数g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，且g (1)＝－a2.(1)求证：函数g (x )有两个零点；(2)讨论函数g (x )在区间(0,2)内的零点个数．【解】 (1)证明：∵g (1)＝a ＋b ＋c ＝－a2，∴3a ＋2b ＋2c ＝0，∴c ＝－32a －b .∴g (x )＝ax 2＋bx －32a －b ，∴Δ＝(2a ＋b )2＋2a 2，∵a ＞0，∴Δ＞0恒成立，故函数f (x )有两个零点．(2)根据g (0)＝c ，g (2)＝4a ＋2b ＋c ，由(1)知3a ＋2b ＋2c ＝0，∴g (2)＝a －c .①当c ＞0时，有g (0)＞0，又∵a ＞0，∴g (1)＝－a2＜0， 故函数g (x )在区间(0,1)内有一个零点，故在区间(0,2)内至少有一个零点．②当c ≤0时，g (1)＜0，g (0)＝c ≤0，g (2)＝a －c ＞0，∴函数f (x )在区间(1,2)内有一零点，综合①②，可知函数g (x )在区间(0,2)内至少有一个零点．10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x (x ≥0)，2x (x <0)，(1)画出函数y ＝f (x )的图象；(2)讨论方程|f (x )|＝a 的解的个数．(只写明结果，无需过程) 【解】 (1)函数y ＝f (x )的图象如图所示：(2)函数y ＝|f (x )|的图象如图所示：①0＜a ＜4时，方程有四个解； ②a ＝4时，方程有三个解； ③a ＝0或a ＞4时，方程有二个解； ④a ＜0时，方程没有实数解．[能力提升]1．若方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一个实根，则a 的取值范围是( )A ．a <－1B ．a >1C ．－1<a <1D ．0≤a <1【解析】 若a ＝0时显然不符合，令y ＝2ax 2－x －1，由f (0)＝－1，结合图象(略)知：若在(0,1)内恰有一零点，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f (1)>0或⎩⎨⎧a <0，f (1)>0，即a >1.【答案】 B2．若一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根，则有( )A ．a <0B ．a >0C ．a <－1D ．a >1【解析】 设方程的两根为x 1，x 2，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 2＝1a <0，Δ＝4－4a >0，∴⎩⎨⎧a <0，a <1，∴a <0.【答案】 A3．已知f (x )＝1－(x －a )(x －b )(a <b )，m ，n 是f (x )的零点，且m <n ，则实数a ，b ，m ，n 的大小关系是_______________________________．【解析】 由题意知，f (x )的图象是开口向下的抛物线，f (a )＝f (b )＝1，f (m )＝f (n )＝0，如图所示．所以m <a <b <n . 【答案】 m <a <b <n4．已知关于x 的函数y ＝(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1恒有零点． (1)求m 的范围；(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m 的值. 【导学号：60210062】 【解】 (1)当m ＋6＝0时， 函数为y ＝－14x －5，显然有零点； 当m ＋6≠0时，由Δ＝4(m －1)2－4(m ＋6)(m ＋1) ＝－36m －20≥0，得m ≤－59.∴当m ≤－59且m ≠－6时，二次函数有零点． 综上，m ≤－59.(2)设x 1，x 2是函数的两个零点，则x 1，x 2是方程(m ＋6)x 2＋2(m －1)x ＋m ＋1＝0(m ＋6≠0)的两个根． x 1＋x 2＝－2(m －1)m ＋6，x 1x 2＝m ＋1m ＋6.∵1x 1＋1x 2＝－4，即x1＋x2x1x2＝－4，∴－2(m－1)m＋1＝－4，解得m＝－3.且当m＝－3时，m＋6≠0，Δ＞0符合题意，∴m的值为－3.。

陕西省石泉县高中数学第二章函数零点练习题北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（陕西省石泉县高中数学第二章函数零点练习题北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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函数的零点1.函数21y x =-的零点是 变式：函数y ＝3，x －错误!的一个零点是( ）A ．－1B ．1C ．（－1，0）D ．（1,0)变式：函数f （x )＝错误!＋a 的零点为1,则实数a 的值为______．2．若函数f (x ）＝ax ＋b 的零点是2,则函数g (x ）＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0,2B ．0，错误!C ．0,－错误!D ．2，－错误!变式：若函数f （x )＝x 2－ax ＋b 的两个零点是2和3,则函数g （x )＝bx 2－ax －1的零点是（ )A ．－1和错误!B ．1和－错误!C 。

错误!和错误!D ．－错误!和－错误!3、若函数f (x )是奇函数，且有三个零点x 1、x 2、x 3,则x 1＋x 2＋x 3的值为（ ）A ．－1B ．0C ．3D ．不确定变式：定义在R 上的偶函数()x f y =在(－∞，0]上递增，函数()x f 的一个零点为－错误!，则满足0log 41≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x f 的x 的取值集合4、函数()x x f x 32+=的零点所在的一个区间为A 。

()1,2-- B.()0,1- C. ()1,0 D. ()2,1变式：（2010·天津)函数f (x ）＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1）B ．(－1,0)C ．（0,1）D ．（1，2) 变式:函数3log )(3-+=x x f x 零点所在大致区间是（ ）A 。

函数零点与极值求解练习题一、函数零点求解练习题1. 求解函数$f(x)=2x^3+5x^2-3x+1$的零点。

解答：要求解函数的零点，即找到满足$f(x)=0$的x值。

首先，我们可以使用代入法来尝试找到一个零点。

将x=1代入函数$f(x)$中，$f(1)=2(1)^3+5(1)^2-3(1)+1=2+5-3+1=5$。

我们发现$f(1)=5$，不等于0，说明x=1不是一个零点。

因此，我们需要采用其他方法来求解。

其次，我们可以使用图像法来大致找到函数的零点。

通过绘制函数的图像，我们可以观察到函数与x轴的交点，这些交点即是函数的零点。

使用计算机软件或者在线图像绘制工具，我们可以得到函数的图像。

根据绘制的图像，我们可以看到函数$f(x)$与x轴交于两个点，分别大约为x=-1.8和x=0.3。

这两个点即为函数$f(x)=0$的零点。

因此，函数$f(x)=2x^3+5x^2-3x+1$的零点为x=-1.8和x=0.3。

2. 求解函数$g(x)=e^x-2x$的零点。

解答：使用代入法求解：当x=0时，$g(0)=e^0-2(0)=1-0=1$。

当x=1时，$g(1)=e^1-2(1)=e-2≈0.7183-2≈-1.2817$。

根据代入法的计算，我们发现函数$g(x)$在x=0和x=1处的取值都不为0。

因此，我们需要使用其他方法来求解函数的零点。

我们可以使用数值逼近的方法，如二分法或牛顿迭代法，来求得函数的零点。

通过数值逼近的计算，我们得到函数$g(x)$的零点大约为x=0.7032。

因此，函数$g(x)=e^x-2x$的零点为x=0.7032。

二、函数极值求解练习题1. 求解函数$h(x)=x^2-6x+8$的极值。

解答：要求解函数的极值，我们需要先求解函数的导数，并找到导数为0的点，即函数的驻点。

然后再通过二阶导数测试来确定这些驻点是否为极值点。

首先，求解函数$h(x)$的导数：$h'(x)=2x-6$。