2017-2018学年高中数学(人教B版 选修2-3)课件：第2章 概率-2.1-2.1.3

章末分层突破[自我校对］①p i≥0，i＝1,2，…，n②错误!i＝1③二点分布④超几何分布⑤P(B|A）＝错误!⑥0≤P（B|A）≤1P（B∪C|A）＝P(B｜A）＋P(C|A）(B，C互斥)⑦P(A∩B)＝P（A）·P(B）⑧A与B相互独立，则错误!与B，A与错误!，错误!与错误!相互独立⑨P（X＝k）＝C错误!p k(1－p）n－k(k＝0,1，2，…，n)⑩E（aX＋b）＝aE(X）＋b⑪E(X)＝p⑫E(X）＝np⑬D（X）＝p(1－p)⑭D(X）＝np(1－p）⑮D(aX＋b）＝a2D(X）条件概率条件概率是学习相互独立事件的前提和基础,计算条件概率时,必须搞清欲求的条件概率是在什么条件下发生的概率.求条件概率的主要方法有:(1)利用条件概率公式P（B｜A）＝错误!;(2)针对古典概型,可通过缩减基本事件总数求解.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题，求：(1)第1次抽到理科题的概率;（2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；（3）在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率.【精彩点拨】本题是条件概率问题，根据条件概率公式求解即可.【规范解答】设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2题抽到理科题”为事件B，则“第1次和第2次都抽到理科题"为事件AB.(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为n(Ω)＝A错误!＝20。

根据分步乘法计数原理，n（A）＝A错误!×A错误!＝12.于是P(A）＝错误!＝错误!＝错误!。

（2)因为n(AB）＝A错误!＝6,所以P（AB)＝错误!＝错误!＝错误!.（3）法一由(1）(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率P(B｜A)＝P A∩BP A＝错误!＝错误!。

法二因为n（A∩B）＝6，n(A)＝12，所以P(B|A）＝错误!＝错误!＝错误!.[再练一题]1.掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点,问“掷出点数之和大于或等于10"的概率.【解】设“掷出的点数之和大于或等于10”为事件A，“第一颗骰子掷出6点”为事件B.法一P（A|B）＝错误!＝错误!＝错误!.法二“第一颗骰子掷出6点”的情况有（6，1),(6，2)，（6,3)，（6，4)，（6，5）,(6,6)，共6种，故n(B)＝6.“掷出的点数之和大于或等于10"且“第一颗掷出6点”的情况有（6,4),（6,5)，(6,6），共3种，即n（A∩B）＝3.从而P（A|B）＝错误!＝错误!＝错误!.相互独立事件的概率求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解.特别注意以下两公式的使用前提：（1）若A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A）＋P（B），反之不成立.（2）若A，B相互独立，则P（A∩B）＝P(A)P（B)，反之成立.甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位,甲、乙两人只有一人被选中的概率为错误!，两人都被选中的概率为错误!，丙被选中的概率为错误!,且各自能否被选中互不影响。

2.2超几何分布1．了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．(重点)2．会利用超几何分布的概念判断一个实际问题是否属于超几何分布，从而利用相关公式解题．(难点)[基础·初探]教材整理超几何分布的概率及表示阅读教材P53～P55，完成下列问题．一般地，若一个随机变量X的分布列为P(X＝r)＝C r M C n－rN－MC n N，其中r＝0,1,2,3，…，l，l＝min(n，M)，则称X服从超几何分布，记为X～H(n，M，N)，并将P(X＝r)＝C r M C n－rN－MC n N记为H(r；n，M，N)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)超几何分布的总体中只有两类物品．()(2)在产品检验中，超几何分布描述的是有放回抽样．()(3)若X～H(n，M，N)，则n≤M.()(4)超几何分布X～H(n，M，N)中n是随机一次取出的样本容量，M是总体中不合格产品的总数，N是总体中的个体总数．()【答案】(1)√(2)×(3)×(4)√2．在含有5件次品的10件产品中，任取4件，则取到的次品数X的分布列为P(X＝r)＝________.【解析】P(X＝r)＝C r5C4－r5C410，r＝0,1,2,3,4.【答案】C r5C4－r5C410，r＝0,1,2,3,43．从有3个黑球，5个白球的盒中取出2个球，其中恰有一个是白球的概率是________. 【导学号：29440038】【解析】由题意，这是一道超几何分布题，其中N＝8，M＝5，n＝2.所以P(X＝1)＝C15C13C28＝1528.【答案】1528[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布；(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的概率分布；(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只．任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的概率分布；(4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布；(5)现有100台MP3播放器未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放器的个数记为X，求X的概率分布．【精彩点拨】总体是否由两类个体构成→随机变量是否为样本中一类个体的个数→是否为不放回抽样【自主解答】(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类．随机变量X表示抽取n件样本，某类样本被抽取的件数，是超几何分布．(5)中没有给出不合格品数，无法计算X的概率分布，所以不属于超几何分布问题．1．判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点：(1)总体是否可分为两类明确的对象；(2)是否为不放回抽样；(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数．2．超几何分布中，r，n，M，N均为有限数，且r≤min(n，M)．[再练一题]1．下列随机变量中，服从超几何分布的有________．(填序号)①在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X；②从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数；③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X.【解析】根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X服从超几何分布．②中随机变量X服从超几何分布．而③中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布．【答案】①②现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为1 7.(1)求7名学生中甲班的学生数；(2)设所选2名学生中甲班的学生数为ξ，求ξ≥1的概率．【精彩点拨】(1)利用古典概型求解．(2)借助超几何分布的概率公式求解．【自主解答】(1)设甲班的学生人数为M，则C2M C27＝1 7.即M2－M－6＝0，解得M＝3或M＝－2(舍去)．∴7名学生中甲班的学生共有3人．(2)由题意可知，ξ～H(2,3,7)，∴P(ξ≥1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝C13C14C27＋C23C04C27＝47＋17＝5 7.求解此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布.如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何分布模型求解，否则借助相应概率公式求解.[再练一题]2．高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：准备了10张相同的卡片，其中只在5张卡片上印有“奖”字．游戏者从10张卡片中任意抽取5张，如果抽到2张或2张以上印有“奖”字的卡片，就可获得一件精美的小礼品；如果抽到的5张卡片上都印有“奖”字，除精美小礼品外，还可获赠一套丛书．一名同学准备试一试，那么他能获得精美小礼品的概率是多少？能获赠一套丛书的概率又是多少？【解】设X表示抽取5张卡片中印有“奖”字的卡片数，则X服从参数为N＝10，M＝5，n＝5的超几何分布．X的可能取值为0,1,2,3,4,5，则X的分布列为P(X＝r)＝C r5C5－r5C510(r＝0,1,2,3,4,5)．若要获得精美小礼品，只需X≥2，故获得精美小礼品的概率为P(X≥2)＝1－P(X<2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－C05C55C510－C15C45C510＝113126.若要获赠一套丛书，必须X＝5，故获赠一套丛书的概率为P(X＝5)＝C55C05 C510＝1252.[探究共研型]探究1产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些有什么共同点？【提示】这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果．定义一个随机变量，使其中一个结果对应于1，另一个结果对应于0，即得到服从两点分布的随机变量．探究2只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？【提示】不一定．如随机变量X的分布列由下表给出X探究3在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X是否服从超几何分布？超几何分布适合解决什么样的概率问题？【提示】随机变量X服从超几何分布，超几何分布适合解决从一个总体(共有N个个体)内含有两种不同事物A(M个)、B(N—M个)，任取n个，其中恰有X 个A的概率分布问题．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值为Y 元，求Y 的分布列．【精彩点拨】 (1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X ～(0,1)．(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X (X ＝1,2)服从超几何分布．【自主解答】 (1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况．P (X ＝1)＝C 14C 110＝410＝25，则P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝1－25＝35.因此X 的分布列为(2)1张中奖或2张都中奖．故所求概率P ＝C 14C 16＋C 24C 06C 210＝3045＝23.②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60，且P (Y ＝0)＝C 04C 26C 210＝1545＝13，P (Y ＝10)＝C 13C 16C 210＝1845＝25，P (Y ＝20)＝C 23C 06C 210＝345＝115，P (Y ＝50)＝C 11C 16C 210＝645＝215，P (Y ＝60)＝C 11C 13C 210＝345＝115.因此随机变量Y 的分布列为1．两点分布的几个特点(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的．(2)由对立事件的概率求法可知，已知P (X ＝0)(或P (X ＝1))，便可求出P (X ＝1)(或P (X ＝0))．2．解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．(2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．[再练一题]3．现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．【解】设所得金额为X，X的可能取值为3,7,11.P(X＝3)＝C38C310＝715，P(X＝7)＝C28C12C310＝715，P(X＝11)＝C18·C22C310＝115.故X的分布列为1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是________．【解析】设随机变量X为抽到白球的个数，X服从超几何分布，由公式，得P(X＝1)＝C14C25C39＝4×1084＝1021.【答案】10 212．有10位同学，其中男生6位，女生4位，从中任选3人参加数学竞赛．用X表示女生人数，则概率P(X≤2)＝________. 【导学号：29440039】【解析】 P (X ≤2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝0)＝C 14C 26C 310＋C 24C 16C 310＋C 36C 310＝2930.【答案】 29303．若在甲袋内装有8个白球，4个红球，在乙袋中装有6个白球，6个红球，今从两袋内任意取出1个球，设取出的白球个数为X ，则P (X ＝1)＝________.【解析】 P (X ＝1)＝C 18C 16＋C 14C 16C 112C 112＝12.【答案】 124．某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X 表示这6人中“三好学生”的人数，则当X 取________时，对应的概率为C 35C 37C 612.【解析】 由题意可知，X 服从超几何分布，由概率值中的C 35可以看出“从5名三好生中选取了3名”．【答案】 35．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．(1)求ξ的分布列；(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率． 【解】 (1)ξ可能取的值为0,1,2，服从超几何分布，P (ξ＝k )＝C k 2·C 3－k4C 36，k ＝0,1,2.所以，ξ的分布列为(2)由(1)P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝45.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。

第二章 2.4一、选择题1．(2014·邯郸摸底考试)已知随机变量ξ服从正态分布N(4，σ2)，若P(ξ>8)＝0.4，则P(ξ<0)＝() A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7[答案]B[解析]∵随机变量ξ服从正态分布N(4，σ2)，μ＝4，P(ξ>8)＝0.4，∴P(ξ<0)＝P(ξ>8)＝0.4，故选B.2．总体密度曲线是函数f(x)＝12πσe－(x－μ)22σ2，x∈R的图象的正态总体有以下命题：(1)正态曲线关于直线x＝μ对称；(2)正态曲线关于直线x＝σ对称；(3)正态曲线与x轴一定不相交；(4)正态曲线与x轴一定相交．其中正确的命题是()A．(2)(4) B．(1)(4) C．(1)(3) D．(2)(3)[答案] C[解析]由正态函数图象的基本特征知(1)(3)正确．故选C.3．正态分布密度函数为φμ，σ(x)＝18πe－x28，x∈(－∞，＋∞)，则总体的平均数和标准差分别是()A．0和8 B．0和4C．0和2 D．0和 2[答案] C[解析]由题意知μ＝0，σ＝2.故选C.4．工人制造机器零件尺寸在正常情况下，服从正态分布N(μ，σ2). 在一次正常的试验中，取10 000个零件时，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为()A．70个B．100个C．28个D．60个[答案] C[解析]∵正态分布N(μ，σ2) 落在(μ－3σ，μ＋3σ)的概率为0.997 4，∴不属于( μ－3σ，μ＋3σ)的概率为0.002 6.∴取10 000个零件时，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为26个左右．故选C.5．某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的分布可视为正态分布，如图所示，则下列说法中正确的一个是( )A ．乙科总体的标准差及平均数不相同B ．甲、乙、丙三科的总体的平均数不相同C ．丙科总体的平均数最小D ．甲科总体的标准差最小[答案] D[解析] 由图象知甲、乙、丙三科的平均分一样，但标准差不同，σ甲<σ乙<σ丙．6．设两个正态分布N (μ1σ21)(σ1＞0)和N (μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1＜μ2，σ1＜σ2B ．μ1＜μ2，σ1＞σ2C ．μ1＞μ2，σ1＜σ2D ．μ1＞μ2，σ1＞σ2[答案] A[解析] 由密度函数的性质知μ1＜μ2，σ1＜σ2.故选A.7．若随机变量ξ的密度函数为f (x )＝12πe －x 22，ξ在(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p 1、p 2，则p 1、p 2的关系为( )A ．p 1＞p 2B ．p 1＜p 2C ．p 1＝p 2D ．不确定 [答案] C[解析] 由题意知，μ＝0，σ＝1，所以曲线关于x ＝0对称，所以p 1＝p 2.故选C.二、填空题8．已知X ～N (1.4,0.052)，则X 落在区间(1.35,1.45)中的概率为____________．[答案] 0.682 6[解析] 因为μ＝1.4，σ＝0.05，所以X 落在区间(1.35，1.45)中的概率为P (1.4－0.05<X ≤1.4＋0.05)＝0.682 6.9．设随机变量ξ～N (2,4)，则D ⎝⎛⎭⎫12ξ的值等于____________．[答案] 1[解析] ∵σ2＝4，∴D (ξ)＝4，∴D (12ξ)＝14D (ξ)＝1. 三、解答题10．已知随机变量X ～N (μ，σ2)，且其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且P (72≤X ≤88)＝0.683.(1)求参数μ，σ的值；(2)求P (64<X ≤72)．[解析] (1)由于正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x ＝80对称，即参数μ＝80.又P (72≤x ≤88)＝0.683.结合P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.683，可知σ＝8.(2)∵P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝P (64<X <96)＝0.954.又∵P (X <64)＝P (X >96)，∴P (X <64)＝12(1－0.954)＝12×0.046＝0.023. ∴P (X >64)＝0.977.又P (X ≤72)＝12(1－P (72≤X ≤88)) ＝12(1－0.683)＝0.158 5， P (64<X ≤72)＝P (X >64)－P (X >72)＝0.977－(1－0.158 5)＝0.135 5.一、选择题1．(2013·吉林白山一中高二期末)设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，则c ＝( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] B[解析]由正态分布的性质及条件P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)得，(c＋1)＋(c－1)＝2×2，∴c＝2.2．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？()A．(90,110] B．(95,125]C．(100,120] D．(105,115][答案] C[解析]由于X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5.因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.682 6,0.954 4,0.997 4.由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：60×0.682 6≈41人，60×0.954 4≈57人，60×0.997 4≈60人．故选C.3．(2014·哈师大附中高二期中)已知随机变量ξ服从正态分布N(1,4)，则P(－3<ξ<5)＝() (参考数据：P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.9974) A．0.6826 B．0.9544C．0.0026 D．0.9974[答案] B[解析]由ξ～N(1,4)知，μ＝1，σ＝2，∴μ－2σ＝－3，μ＋2σ＝5，∴P(－3<ξ<5)＝P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，故选B.二、填空题4．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．[答案]0.8[解析]如图所示，易得P(0<ξ<1)＝P(1<ξ<2)，故P(0<ξ<2)＝2P(0<ξ<1)＝2×0.4＝0.8.三、解答题5．工厂制造的某机械零件尺寸X 服从正态分布N (4，19)，问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有多少个？[解析] ∵X ～N (4，19)，∴μ＝4，σ＝13. ∴不属于区间(3,5)的概率为P (X ≤3)＋P (X ≥5)＝1－P (3＜X ＜5)＝1－P (4－1＜X ＜4＋1)＝1－P (μ－3σ＜X ＜μ＋3σ)＝1－0.997＝0.003∴1 000×0.003＝3(个)，即不属于区间(3,5)这个尺寸范围的零件大约有3个．6．一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个方案的利润ξ(万元)分别服从正态分布N (8,32)和N (6,22)，投资者需要“利润超过5万元”的概率尽量地大，那么他应该选择哪一个方案？[解析] 由题意，只需求出两个方案中“利润超过5万元”的概率哪个大，大的即为最佳选择方案．对第一方案有ξ～N (8,32)，于是P (ξ＞5)＝1－P (ξ≤5)＝1－F (5)＝1－Φ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－83＝1－Φ(－1)＝Φ(1)＝0.841 3. 对第二方案有ξ～N (6,22)，于是P (ξ＞5)＝1－P (ξ≤5)＝1－F (5)＝1－Φ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－62＝1－Φ⎝⎛⎭⎫－12＝Φ⎝⎛⎭⎫12＝0.6915. 所以应选第一个方案为好．7．某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：(1)成绩不及格的人数占多少？(2)成绩在80～90内的学生占多少？[解析] (1)设学生的得分情况为随机变量X ，X ～N (70,102)，则μ＝70，σ＝10.分数在60～80之间的学生的比为：P(70－10<X≤70＋10)＝0.682 6，所以不及格的学生的比为12(1－0.682 6)＝0.158 7，即成绩不及格的学生占15.87%.(2)成绩在80～90内的学生的比为12[P(70－2×10<x≤70＋2×10)－0.682 6]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.即成绩在80～90间的学生占13.59%.。

章末分层突破[自我校对]①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ②∑i ＝1np i ＝1③二点分布 ④超几何分布 ⑤P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )⑥0≤P (B |A )≤1P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A ) (B ，C 互斥)⑦P (A ∩B )＝P (A )·P (B )⑧A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 相互独立⑨P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k (k ＝0,1,2，…，n ) ⑩E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ⑪E (X )＝p ⑫E (X )＝np⑬D (X )＝p (1－p ) ⑭D (X )＝np (1－p ) ⑮D (aX ＋b )＝a 2D (X )条件概率条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清欲求的条件概率是在什么条件下发生的概率.求条件概率的主要方法有：(1)利用条件概率公式P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )；(2)针对古典概型，可通过缩减基本事件总数求解.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题，求： (1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率. 【精彩点拨】 本题是条件概率问题，根据条件概率公式求解即可.【规范解答】 设“第1次抽到理科题”为事件A ，“第2题抽到理科题”为事件B ，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB .(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为 n (Ω)＝A 25＝20.根据分步乘法计数原理，n (A )＝A 13×A 14＝12. 于是P (A )＝n A n Ω＝1220＝35.(2)因为n (AB )＝A 23＝6，所以P (AB )＝n A ∩B n Ω＝620＝310.(3)法一 由(1)(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率 P (B |A )＝P A ∩BP A ＝31035＝12.法二 因为n (A ∩B )＝6，n (A )＝12， 所以P (B |A )＝nA ∩B n A ＝612＝12.[再练一题]1.掷两颗均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，问“掷出点数之和大于或等于10”的概率.【解】 设“掷出的点数之和大于或等于10”为事件A ，“第一颗骰子掷出6点”为事件B .法一 P (A |B )＝P (A ∩B )P (B )＝336636＝12.法二 “第一颗骰子掷出6点”的情况有(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种，故n (B )＝6.“掷出的点数之和大于或等于10”且“第一颗掷出6点”的情况有(6,4)，(6,5)，(6,6)，共3种，即n (A ∩B )＝3.从而P (A |B )＝n (A ∩B )n (B )＝36＝12.相互独立事件的概率求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解.特别注意以下两公式的使用前提：(1)若A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )，反之不成立. (2)若A ，B 相互独立，则P (A ∩B )＝P (A )P (B )，反之成立.甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，甲、乙两人只有一人被选中的概率为1120，两人都被选中的概率为310，丙被选中的概率为13，且各自能否被选中互不影响.(1)求3人同时被选中的概率； (2)求恰好有2人被选中的概率； (3)求3人中至少有1人被选中的概率.【精彩点拨】 根据相互独立事件的概率解决.【规范解答】 设甲、乙、丙能被选中的事件分别为A ，B ，C ，则 P (A )(1－P (B ))＋P (B )(1－P (A ))＝1120，P (A )P (B )＝310，∴P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13.(1)3人同时被选中的概率P 1＝P (A ∩B ∩C )＝P (A )·P (B )P (C )＝25×34×13＝110.(2)恰有2人被选中的概率P 2＝P (A ∩B ∩ C )＋P (A ∩ B ∩C )＋P (A ∩B ∩C )＝2360.(3)3人中至少有1人被选中的概率 P 3＝1－P (A ∩ B ∩ C )＝1－35×14×23＝910.[再练一题]2.某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第1,2,3个问题分别得100分，100分，200分，答错得零分.假设这名同学答对第1,2,3个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6.且各题答对与否相互之间没有影响.(1)求这名同学得300分的概率； (2)求这名同学至少得300分的概率.【解】 记“这名同学答对第i 个问题”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.7，P (A 3)＝0.6.(1)这名同学得300分的概率为：P 1＝P (A 1∩A 2∩A 3)＋P (A 1∩A 2∩A 3)＝P (A 1)P (A2)P (A 3)＋P (A 1)·P (A 2)P (A 3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228. (2)这名同学至少得300分的概率为： P 2＝P 1＋P (A 1∩A 2∩A 3)＝P 1＋P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.离散型随机变量的分布列、均值和方差1.含义：均值和方差分别反映了随机变量取值的平均水平及其稳定性.2.应用范围：均值和方差在实际优化问题中应用非常广泛，如同等资本下比较收益的高低、相同条件下比较质量的优劣、性能的好坏等.3.求解思路：应用时，先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布列.对于一般类型的随机变量，应先求其分布列，再代入公式计算，此时解题的关键是概率的计算.计算概率时要结合事件的特点，灵活地结合排列组合、古典概型、独立重复试验概率、互斥事件和相互独立事件的概率等知识求解.若离散型随机变量服从特殊分布(如二点分布、二项分布等)，则可直接代入公式计算其数学期望与方差.甲、乙、丙三支足球队进行比赛，根据规则：每支队伍比赛两场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局.已知乙队胜丙队的概率为15，甲队获得第一名的概率为16，乙队获得第一名的概率为115.(1)求甲队分别胜乙队和丙队的概率P 1，P 2；(2)设在该次比赛中，甲队得分为ξ，求ξ的分布列及数学期望、方差.【精彩点拨】 (1)通过列方程组求P 1和P 2；(2)由题意求出甲队得分ξ的可能取值，然后再求出ξ的分布列，最后再求出数学期望和方差.【规范解答】 (1)设“甲队胜乙队”的概率为P 1，“甲队胜丙队”的概率为P 2.根据题意，甲队获得第一名，则甲队胜乙队且甲队胜丙队，所以甲队获得第一名的概率为P 1×P 2＝16.①乙队获得第一名，则乙队胜甲队且乙队胜丙队， 所以乙队获得第一名的概率为(1－P 1)×15＝115.②解②，得P 1＝23，代入①，得P 2＝14，所以甲队胜乙队的概率为23，甲队胜丙队的概率为14.(2)ξ的可能取值为0,3,6.当ξ＝0时，甲队两场比赛皆输，其概率为 P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－14＝14； 当ξ＝3时，甲队两场只胜一场，其概率为 P (ξ＝3)＝23×⎝⎛⎭⎫1－14＋14×⎝⎛⎭⎫1－23＝712； 当ξ＝6时，甲队两场皆胜，其概率为 P (ξ＝6)＝23×14＝16.所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×14＋3×712＋6×16＝114.D (ξ)＝⎝⎛⎭⎫0－1142×14＋⎝⎛⎭⎫3－1142×712＋⎝⎛⎭⎫6－1142×16＝5916. [再练一题]3.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.【解】 (1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以，事件A 发生的概率为635. (2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 3C 48(k ＝1,2,3,4). 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52.正态分布的实际应用对于正态分布问题，课标要求不是很高，只要求了解正态分布中最基础的知识，主要是：(1)掌握正态分布曲线函数关系式；(2)理解正态分布曲线的性质；(3)记住正态分布在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图象求相应的概率.正态分布的概率通常有以下两种方法：(1)注意“3σ原则”的应用.记住正态总体在三个区间内取值的概率.(2)注意数形结合.由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题.某学校高三2 500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布N (500,502)，请您判断考生成绩X 在550～600分的人数.【精彩点拨】 根据正态分布的性质求出P (550＜x ≤600)，即可解决在550～600分的人数.【规范解答】 ∵考生成绩X ～N (500,502)， ∴μ＝500，σ＝50，∴P (550<X ≤600)＝12[P (500－2×50<X ≤500＋2×50)－P (500－50<X ≤500＋50)]＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9， ∴考生成绩在550～600分的人数为2 500×0.135 9≈340(人). [再练一题]4.为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X (kg)服从正态分布N (μ，22)，且正态分布密度曲线如图2-1所示.若体重大于58.5 kg 小于等于62.5 kg 属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数是( )图2-1A.997B.954C.819D.683【解析】 由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P (58.5<X ≤62.5)＝P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，从而属于正常情况的人数是1 000×0.682 6≈683.【答案】D1.若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( )A.8B.15C.16D.32【解析】 已知样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为s ＝8，则s 2＝64，数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的方差为22s 2＝22×64，所以其标准差为22×64＝2×8＝16，故选C.【答案】 C2.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312【解析】 3次投篮投中2次的概率为P (k ＝2)＝C 23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P (k ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P (k ＝2)＋P (k ＝3)＝C 23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.【答案】 A3.已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p ).若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________. 【解析】 由E (X )＝30，D (X )＝20，可得{ np ＝30，np (1－p )＝20， 解得p ＝13.【答案】 134.某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得图2-2柱状图：图2-2以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X 的分布列；(2)若要求P (X ≤n )≥0.5，确定n 的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n ＝19与n ＝20之中选其一，应选用哪个？【解】 (1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而P (X ＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P (X ＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P (X ＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P (X ＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P (X ＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2； P (X ＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P (X ＝22)＝0.2×0.2＝0.04. 所以X 的分布列为(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040；当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．设随机变量ξ的概率分布为则P (ξ＜3)＝【解析】 P (ξ＜3)＝1－P (ξ≥3)＝1－P (ξ＝3)＝1－25＝35. 【答案】 352．设随机变量ξ的概率分布P (ξ＝i )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ，i ＝1,2,3，则a ＝________.【解析】 由P (ξ＝i )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13i，i ＝1,2,3，得P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝1， ∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋19＋127＝1，∴a ＝2713. 【答案】 27133．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球一次得分的概率分布为________．【答案】4.ξ，则ξ＝k 表示的试验结果为________．【答案】 前k 次检测到正品，而第k ＋1次检测到次品5．随机变量ξ的等可能取值为1,2，…，n ，若P (ξ＜4)＝0.3，则n ＝________.【解析】 ∵ξ等可能取值为1,2，…，n . ∴P (ξ＜4)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3) ＝1n ＋1n ＋1n ＝0.3， ∴n ＝10. 【答案】 106．若随机变量X ～0-1分布，P (X ＝0)＝a ，P (X ＝1)＝32a ，则a ＝________.【导学号：29440036】【解析】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧a ＋32a ＝1，0≤a ≤1，0≤32a ≤1，解得a ＝25.【答案】 257．随机变量ξ的概率分布列为P (ξ＝n )＝an (n ＋1)，n ＝1,2,3,4，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<52的值为________．【解析】 ∵P (ξ＝n )＝a n (n ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1a ，∴∑i ＝14P (ξ＝i )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15a ＝45a ＝1，∴a＝54.∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<52＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝56.【答案】 568．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X 的分布列如下表，其中a ，b ，c 成等差数列，且c ＝ab ，则这名运动员得3分的概率是________．【解析】 由题中条件，知2b ＝a ＋c ，c ＝ab ，再由分布列的性质，知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a ＝12，b ＝13，c ＝16，所以得3分的概率是16.【答案】 16 二、解答题9．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)盒中有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取3支，其中所含白粉笔的支数为X ；(2)从4张已编号(1～4号)的卡片中任意取出2张，被取出的卡片编号数之和为X .【解】 (1)X 可取0,1,2,3.X ＝i 表示取出i 支白粉笔，(3－i )支红粉笔，其中i ＝0,1,2,3.(2)X 可取3,4,5,6,7.X ＝3表示取出分别标有1,2的两张卡片；X ＝4表示取出分别标有1,3的两张卡片；X ＝5表示取出分别标有1,4或2,3的两张卡片；X ＝6表示取出分别标有2,4的两张卡片；X ＝7表示取出分别标有3,4的两张卡片．10．已知随机变量ξ的概率分布为(1)求η1＝12ξ的概率分布； (2)求η2＝ξ2的概率分布． 【解】 (1)η1＝12ξ的概率分布为(2)η2＝ξ2的概率分布为1．若随机变量X 服从两点分布，且P (X ＝0)＝0.8，P (X ＝1)＝0.2.令Y ＝3X －2，则P (Y ＝－2)＝________. 【导学号：29440037】【解析】 由Y ＝－2，得3X －2＝－2，X ＝0. ∴P (Y ＝－2)＝P (X ＝0)＝0.8. 【答案】 0.82．设随机变量X 的概率分布为P (X ＝k )＝ck (k ＋1)，k ＝1,2,3，c 为常数，则P (0.5＜X ＜2.5)＝________.【解析】 ∵c ⎝ ⎛⎭⎪⎫11×2＋12×3＋13×4＝1， ∴c ＝43，∴P (0.5＜X ＜2.5)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝23＋29＝89. 【答案】 893．已知随机变量ξ只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是________．【解析】 设随机变量ξ取x 1，x 2，x 3的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则由分布列的性质得(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，故a ＝13， 由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，解得－13≤d ≤13.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，134．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝i )＝i10，i ＝1,2,3,4，求： (1)P (ξ＝1或ξ＝2)； (2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<72.【解】 (1)∵P (ξ＝1)＝110，P (ξ＝2)＝210，∴P (ξ＝1或ξ＝2)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝110＋210＝310＝0.3.(2)ξ＝1,2,3,4，又12<ξ<72，故只有ξ＝1,2,3适合，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<72＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝110＋210＋310＝0.6.。

第2课时基本计数原理的应用1.熟练应用两个计数原理.(重点))2.能运用两个计数原理解决一些综合性的问题.(难点[基础·初探]教材整理分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别阅读教材P4～P5，完成下列问题.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的联系与区别1.由1,2,3,4组成没有重复数字的三位数的个数为________.【解析】由题意知可以组成没有重复数字的三位数的个数为4×3×2＝24.【答案】242.(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4)展开后共有________项.【导学号：62980004】【解析】该展开式中每一项的因式分别来自a1＋a2＋a3，b1＋b2＋b3，c1＋c2＋c3＋c4中的各一项.由a1，a2，a3中取一项共3种取法，从b1，b2，b3中取一项有3种不同取法，从c1，c2，c3，c4中任取一项共4种不同的取法.由分步乘法计数原理知，该展开式共3×3×4【答案】363.5名班委进行分工，其中A不适合当班长，B只适合当学习委员，则不同的分工方案种数为________.【解析】根据题意，B只适合当学习委员，有1种情况，A不适合当班长，也不能当学习委员，有3种安排方法，剩余的3人担任剩余的工作，有3×2×1＝6种情况，由分步乘法计数原理，可得共有1×3×6＝18种分工方案.【答案】184.用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻，这样的四位数有________个.【解析】分三步完成，第1步，确定哪一个数字被使用2次，有3种方法；第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上，有3种方法；第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法.故有3×3×2＝18个不同的四位数.【答案】18[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]抽取(分配)问题(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有()A.16种B.18种C.37种D.48种(2)甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数有________.【精彩点拨】(1)由于去甲工厂的班级分配情况较多，而其对立面较少，可考虑间接(2)先让一人去抽，然后再让被抽到贺卡所写人去抽.【自主解答】(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案.则满足条件的不同的分配方案有43－33＝37(种).故选C.(2)不妨由甲先来取，共3种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，共3种取法，余下来的人，都只有1种选择，所以不同取法共有3×3×1×1＝9(种).【答案】(1)C(2)9求解抽取(分配)问题的方法1.当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法.2.当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理.②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.[再练一题]1.3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？【解】法一(以小球为研究对象)分三步来完成：第一步：放第一个小球有5种选择；第二步：放第二个小球有4种选择；第三步：放第三个小球有3种选择.根据分步乘法计数原理得：共有方法数N＝5×4×3＝60.法二(以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5，分成以下10类：第一类：空盒子标号为(1,2)：选法有3×2×1＝6(种)；第二类：空盒子标号为(1,3)：选法有3×2×1＝6(种)；第三类：空盒子标号为(1,4)：选法有3×2×1＝6(种)；分类还有以下几种情况：空盒子标号分别为(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10类，每一类都有6种方法.根据分类加法计数原理得，共有方法数N＝6＋6＋…＋6＝60(种).组数问题用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的(1)银行存折的四位密码；(2)四位整数；(3)比2 000大的四位偶数.【精彩点拨】(1)用分步乘法计数原理求解(1)问；(2)0不能作首位，优先排首位，用分步乘法计数原理求解；(3)可以按个位是0,2,4分三类，也可以按首位是2,3,4,5分四类解决，也可以用间接法求解.【自主解答】(1)分步解决.第一步：选取左边第一个位置上的数字，有6种选取方法；第二步：选取左边第二个位置上的数字，有5种选取方法；第三步：选取左边第三个位置上的数字，有4种选取方法；第四步：选取左边第四个位置上的数字，有3种选取方法.由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有6×5×4×3＝360(个).(2)分步解决.第一步：首位数字有5种选取方法；第二步：百位数字有5种选取方法；第三步：十位数字有4种选取方法；第四步：个位数字有3种选取方法.由分步乘法计数原理知，可组成四位整数有5×5×4×3＝300(个).(3)法一按末位是0,2,4分为三类：第一类：末位是0的有4×4×3＝48个；第二类：末位是2的有3×4×3＝36个；第三类：末位是4的有3×4×3＝36个.则由分类加法计数原理有N＝48＋36＋36＝120(个).法二按千位是2,3,4,5分四类：第一类：千位是2的有2×4×3＝24(个)；第二类：千位是3的有3×4×3＝36(个)；第三类：千位是4的有2×4×3＝24(个)；第四类：千位是5的有3×4×3＝36(个).则由分类加法计数原理有N＝24＋36＋24＋36＝120(个).法三间接法.用0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的四位偶数分两类：第一类：末位是0的有5×4×3＝60个；第二类：末位是2或4的有2×4×4×3＝96个.共有60＋96＝156(个).其中比2 000小的有：千位是1的共有3×4×3＝36(个)，所以符合条件的四位偶数共有156－36＝120(个).1.对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解.2.解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘.排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则.[再练一题]2.由0,1,2,3这四个数字，可组成多少个：【导学号：62980005】(1)无重复数字的三位数？(2)可以有重复数字的三位数？【解】(1)0不能做百位数字，所以百位数字有3种选择，十位数字有3种选择，个位数字有2种选择，所以无重复数字的三位数共有3×3×2＝18(个).(2)百位数字有3种选择，十位数字有4种选择，个位数字也有4种选择.由分步乘法计数原理知，可以有重复数字的三位数共有3×4×4＝48(个).[探究共研型]涂色问题探究1用3种不同颜色填涂图1-1-4中A，B，C，D四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？【提示】涂A区有3种涂法，B，C，D区域各有2种不同的涂法，由分步乘法计数原理将A，B，C，D四个区域涂色共有3×2×2×2＝24(种)不同方案.探究2在探究1中，若恰好用3种不同颜色涂A，B，C，D四个区域，那么哪些区域必同色？把四个区域涂色，共有多少种不同的涂色方案？【提示】恰用3种不同颜色涂四个区域，则A，C区域，或A，D区域，或B，D区域必同色.由加法计数原理可得恰用3种不同颜色涂四个区域共3×2×1＋3×2×1＋3×2×1＝18(种)不同的方案.探究3在探究1中，若恰好用2种不同颜色涂完四个区域，则哪些区域必同色？共有多少种不同的涂色方案？【提示】若恰好用2种不同颜色涂四个区域，则A，C区域必同色，且B、D区域必同色.先从3种不同颜色中任取两种颜色，共3种不同的取法，然后用所取的2种颜色涂四个区域共2种不同的涂法.由分步乘法计数原理可得恰好用2种不同颜色涂四个区域共有3×2＝6(种)不同的涂色方案.将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂在如图1-1-5所示的图中，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？图1-1-5【精彩点拨】给图中区域标上记号A，B，C，D，E，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色取决于B与D涂的颜色，如果B与D颜色相同有2种，如果不相同，那么只有1种.因此应先分类后分步.【自主解答】法一：给图中区域标上记号A，B，C，D，E，如图所示.①当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48种.②当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24种.故共有48＋24＝72种不同的涂色方法.法二：按涂色时所用颜色种数多少分类：第一类，用4种颜色：此时B，D区域或A，E区域同色，则共有2×4×3×2×1＝48种不同涂法.第二类，用3种颜色：此时B，D同色，A，E同色，先从4种颜色中取3种，再涂色，共4×3×2×1＝24种不同涂法.由分类加法计数原理共48＋24＝72种不同涂法.求解涂色(种植)问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：(1)按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；(3)对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题.)[再练一题]3.如图1-1-6所示的几何体是由一个正三棱锥P-ABC与正三棱柱ABC-A1B1C1组合而成的，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种.图1-1-6【解析】先涂三棱锥P-ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，由分步乘法计数原理，共有3×2×1×2＝12种不同的涂法.【答案】12[构建·体系]1.已知x∈{1,2,3,4}，y∈{5,6,7,8}，则xy可表示不同值的个数为()A.2B.4C.8D.15【解析】x的取值共有4个，y的取值也有4个，则xy共有4×4＝16个积，但是由于3×8＝4×6，所以xy共有16－1＝15(个)不同值，故选D.【答案】 D2.某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有()A.6种B.7种C.8种D.9种【解析】可按女生人数分类：若选派一名女生，有2×3＝6种；若选派2名女生，则有3种.由分类加法计数原理，共有9种不同的选派方法.【答案】 D3.3名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人选报一门，则不同的报名方案有________种.【导学号：62980006】【解析】每名同学都有4种不同的报名方案，共有4×4×4＝64种不同的方法.【答案】644.圆周上有2n个等分点(n大于2)，任取3点可得一个三角形，恰为直角三角形的个数为________.【解析】先在圆周上找一点，因为有2n个等分点，所以应有n条直径，不过该点的直径应有n－1条，这n－1条直径都可以与该点形成直角三角形，一个点可以形成n－1个直角三角形，而这样的点有2n个，所以一共有2n(n－1)个符合题意的直角三角形.【答案】2n(n－1)5.用6种不同颜色的彩色粉笔写黑板报，板报设计如图1-1-7所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔.问：该板报有多少种书写方案？图1-1-7【解】第一步，选英语角用的彩色粉笔，有6种不同的选法；第二步，选语文学苑用的彩色粉笔，不能与英语角用的颜色相同，有5种不同的选法；第三步，选理综视界用的彩色粉笔，与英语角和语文学苑用的颜色都不能相同，有4种不同的选法；第四步，选数学天地用的彩色粉笔，只需与理综视界的颜色不同即可，有5种不同的选法，共有6×5×4×5＝600种不同的书写方案.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。

第二章 2.3 第1课时一、选择题1．若随机变量X ～B (5,0.8)，则E (X )的值为( ) A ．0.8 B ．4 C ．5 D ．3[答案] B[解析] ∵X ～B (5,0.8)， ∴E (X )＝5×0.8＝4.2．已知随机变量X 的分布列为：则E (X )等于( ) A ．0 B ．－1 C ．－13D ．16[答案] C[解析] 由题意可知E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13.3．口袋中有5只球，编号为1、2、3、 4、5，从中任取3球，以ξ表示取出球的最大号码，则E (ξ)的值是( )A ．4B ．4.5C ．4.75D ．5 [答案] B[解析] 取出球的最大号码ξ的取值3、4、5. P (ξ＝3)＝1C 35＝110，P (ξ＝4)＝C 23C 35＝310，P (ξ＝5)＝C 24C 35＝610.∴E (ξ)＝3×110＋4×310＋5×610＝4.5.故选B.4．若随机变量ξ～B (n,0.6)，且E (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值是( ) A ．2×0.44B ．2×0.45C．3×0.44D．3×0.64[答案] C[解析]∵E(ξ)＝n×0.6＝3，∴n＝5.∴P(ξ＝1)＝C15×0.6×(1－0.6)4＝3×0.44.故选C.5．设随机变量ξ的分布列如下表所示且E(ξ)＝1.6，则a－b＝()A.0.2C．－0.2 D．－0.4[答案] C[解析]由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8①又由E(ξ)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3②由①②解得a＝0.3，b＝0.5，∴a－b＝－0.2.故选C.6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100B．200C．300D．400[答案] B[解析]本题以实际问题为背景，考查服从二项分布的事件的数学期望等．记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1 000,0.1)，所以E(ξ)＝1 000×0.1＝100，而X＝2ξ，故E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200，故选B.7．若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为()A．无法求B．0C．E(X) D．2E(X)[答案] B[解析]只要认识到E(X)是一个常数，则可直接运用均值的性质求解．∵E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而E(X)为常数，∴E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0.二、填空题8．将一颗骰子连掷100次，则点6出现次数X的均值E(X)＝________.[答案]50 3[解析] 这是100次独立重复试验，X ～B ⎝⎛⎭⎫100，16， ∴E (X )＝100×16＝503.9．已知某离散型随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝76，ξ的分布列如下表：则a ＝________. [答案] 13[解析] E (ξ)＝76＝0×a ＋1×13＋2×16＋3b ⇒b ＝16，又P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝1⇒a ＋13＋16＋16＝1⇒a ＝13. 三、解答题10．(2014·深圳市二调)某班联欢晚会玩飞镖投掷游戏，规则如下：每人连续投掷5支飞镖，累积3支飞镖掷中目标即可获奖；否则不获奖．同时要求在以下两种情况下中止投掷：①累积3支飞镖掷中目标；②累积3支飞镖没有掷中目标．已知小明同学每支飞镖掷中目标的概率是常数p (p >0.5)，且掷完3支飞镖就中止投掷的概率为13.(1)求p 的值；(2)记小明结束游戏时，投掷的飞镖支数为X ，求X 的分布列和数学期望． [解析] (1)由已知P (X ＝3)＝p 3＋(1－p )3＝13，解得p ＝13或p ＝23.∵p >0.5，∴p ＝23.(2)X 的所有可能取值为3,4,5.P (X ＝3)＝13，P (X ＝4)＝[C 23×(23)2×13]×23＋[C 23×(13)2×23]×13＝1027， P (X ＝5)＝C 24×(23)2×(13)2＝827(或P (X ＝5)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝827)． X 的分布列为∴X 的数学期望为E (X )＝3×13＋4×1027＋5×827＝10727.一、选择题1．(2013·湖北理，9)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝( )A.126125 B ．65C.168125 D ．75[答案] B[解析] 题意知X ＝0、1、2、3，P (X ＝0)＝27125，P (X ＝1)＝54125，P (X ＝2)＝36125，P (X ＝3)＝8125，∴E (X )＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝150125＝65.2．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为ξ，则E (ξ)＝( )A ．0.765B ．1.75C ．1.765D ．0.22 [答案] B[解析] 设A 、B 分别为每台雷达发现飞行目标的事件，ξ的可能取值为0、1、2. P (ξ＝0)＝P (A ·B )＝P (A )·P (B ) ＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015.P (ξ＝1)＝P (A ·B ＋A ·B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝0.9×0.15＋0.1×0.85＝0.22. P (ξ＝2)＝P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.9×0.85＝0.765. ∴E (ξ)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.故选B.3．已知随机变量p 的分布列为其中m ，n ∈[0,1)，且E (P )＝16，则m ，n 的值分别为( )A.112，12 B ．16，16C.14，13 D ．13，14[答案] D [解析] 由题意得⎩⎨⎧112＋m ＋n ＋112＋16＋112＝1，－2·112＋(－1)m ＋0·n ＋1·112＋2·16＋3·112＝16，即⎩⎨⎧m ＋n ＝712，12－m ＝16.∴⎩⎨⎧m ＝13，n ＝14.二、填空题4．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小牛同学计算ξ肯定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝________.[答案] 2[解析] 设？处为x ，！处为y ，则由分布列的性质得2x ＋y ＝1，∴期望E (ξ)＝1×P (ξ＝1)＋2×P (ξ＝2)＋3×P (ξ＝3)＝4x ＋2y ＝2.5．设离散型随机变量ξ可能取的值为1、2、3、4.P (ξ＝k )＝ak ＋b (k ＝1、2、3、4)．又ξ的数学期望E (ξ)＝3，则a ＋b ＝________.[答案]110[解析] 由已知得，(a ×1＋b )＋(a ×2＋b )＋(a ×3＋b )＋(a ×4＋b )＝1，即10a ＋4b ＝1① 又E (ξ)＝3，故(a ＋b )×1＋(2a ＋b )×2＋(3a ＋b )×3＋(4a ＋b )×4＝3，即30a ＋10b ＝3② 联立①、②，解得b ＝0，a ＝110，∴a ＋b ＝110.三、解答题6．甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率；(2)设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列． [解析] (1)记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)随机变量ξ可能取的值为1,2，事件“ξ＝2”是指有两人同时参加A 岗位服务，则P (ξ＝2)＝C 25A 33C 25A 44＝14.所以P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝2)＝34，ξ的分布列是7.(2014·天津理，16)名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． [解析] (1)设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03C 37C 310＝4960.所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960. (2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.P (X ＝k )＝C k 4·C 3－k 6C 310(k ＝0、1、2、3)．所以，随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝65.8．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和．(1)求X 的分布列；(2)求X 的数学期望E (X )．[解析] (1)由题意得X 取3,4,5,6，且 P (X ＝3)＝C 35C 39＝542；P (X ＝4)＝C 14·C 25C 39＝1021；P (X ＝5)＝C 24·C 15C 39＝514；P (X ＝6)＝C 34C 39＝121.所以X 的分布列为(2)由(1)知E (X )＝3·P (X ＝3)＋4·P (X ＝4)＋5·P (X ＝5)＋6·P (X ＝6)＝133.。

2．1.3概率的基本性质预习课本必修3 P119～121，思考并完成以下问题1．事件B包含事件A的含义是什么？2．什么叫做两个事件的相等？3．什么叫和事件？什么是积事件？4．什么是互斥事件？什么叫对立事件？5．概率的基本性质是什么？[新知初探]1．事件的关系与运算(1)事件的关系：(2)事件的运算：2．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：[0,1]．(2)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.(3)概率加法公式为：如果事件A与B为互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(4)若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0.[小试身手]1．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()A．对立事件B．互斥但不对立事件C．不可能事件D．以上都不对解析：选B由于每人分得一张牌，故“甲分得红牌”意味着“乙分得红牌”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件，故选B．2．设A，B为两个事件，且P(A)＝0.3，则P(B)＝0.7时，两事件的关系是()A．A与B互斥B．A与B对立C．A⊆B D．A不包含B解析：选B∵P(A)＋P(B)＝1，∴当A与B对立时，结论成立．3．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为()A．0.40B．0.30C．0.60D．0.90解析：选A依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不够8环的概率为1－0.60＝0.40.4．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，两人下成和棋的概率为0.5，那么甲不输的概率是________．答案：0.8[典例]判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．[解]从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．(1)“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件．(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生”与“至少一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．判断事件间关系的方法(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的．(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析．[活学活用]从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中任抽取1张，判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”．解：(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，因此它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出牌的点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.事件的运算[典例]盒子里有6A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？[解](1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B．(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A．事件运算应注意的2个问题(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．[活学活用]在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C 与B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？解：由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故B⊆C，E⊆C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D．互斥事件与对立事件的概率公式的应用[典例别为0.1,0.2,0.3,0.3，0.1.计算这个运动员在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率．[解]设“射中10环”、“射中9环”、“射中8环”、“射中7环”、“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，则(1)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3.所以射中10环或9环的概率为0.3.(2)因为射中7环以下的概率为0.1，所以由对立事件的概率公式，得至少射中7环的概率为1－0.1＝0.9.互斥事件、对立事件概率的求解方法(1)互斥事件的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．[活学活用]一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．解：法一：(1)从12个球中任取1球，红球有5种取法，黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取1球有12种取法．∴任取1球得红球或黑球的概率为P 1＝912＝34. (2)从12个球中任取1球，红球有5种取法，黑球有4种取法，得白球有2种取法，从而得红球或黑球或白球的概率为5＋4＋212＝1112. 法二：(利用互斥事件求概率)记事件A 1＝{}任取1球为红球，A 2＝{}任取1球为黑球，A 3＝{}任取1球为白球，A 4＝{}任取1球为绿球，则P (A 1)＝512，P (A 2)＝412， P (A 3)＝212，P (A 4)＝112. 根据题意知，事件A 1，A 2，A 3，A 4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝512＋412＝34. (2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P (A 1∪A 2∪A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝512＋412＋212＝1112. 法三：(利用对立事件求概率)(1)由法二知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A 1∪A 2的对立事件为A 3∪A 4，所以取得1球为红球或黑球的概率为P (A 1∪A 2)＝1－P (A 3∪A 4)＝1－P (A 3)－P (A 4)＝1－212－112＝912＝34. (2)A 1∪A 2∪A 3的对立事件为A 4.所以P (A 1∪A 2∪A 3)＝1－P (A 4)＝1－112＝1112.层级一学业水平达标1．从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B ＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中错误的是() A．A与C互斥B．B与C互斥C．任何两个都互斥D．任何两个都不互斥解析：选D由题意知事件A、B、C两两不可能同时发生，因此两两互斥．2．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为()A．至多有2件次品B．至多有1件次品C．至多有2件正品D．至少有2件正品解析：选B至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．3．已知盒中有5个红球，3个白球，从盒中任取2个球，下列说法中正确的是() A．全是白球与全是红球是对立事件B．没有白球与至少有一个白球是对立事件C．只有一个白球与只有一个红球是互斥关系D．全是红球与有一个红球是包含关系解析：选B从盒中任取2球，出现球的颜色情况是，全是红球，有一个红球且有一个白球，全是白球，至少有一个的对立面是没有一个，所以选B．4．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是() A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有二个红球解析：选D对于A中的两个事件不互斥，对于B中两个事件互斥且对立，对于C中两个事件不互斥，对于D中的两个事件互斥而不对立．5．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是() A．0.665 B．0.56C．0.24 D．0.285解析：选A∵甲厂产品占70%，甲厂产品的合格率是95%，∴从市场上买到一个甲厂生产的合格灯泡的概率是0.7×0.95＝0.665，故选A．6．掷一枚骰子，记A为事件“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，C 为事件“落地时向上的数是3的倍数”．其中是互斥事件的是________，是对立事件的是________．解析：A ，B 既是互斥事件，也是对立事件．答案：A ，B A ，B7．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是________．解析：摸出红球、白球、黑球是互斥事件，所以摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3. 答案：0.38．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率为________． 解析：因为事件A 与事件B 是互斥事件，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝23. 答案：239．甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，求： (1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．解：(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率P ＝1－12－13＝16. 即甲获胜的概率是16. (2)法一：设事件A 为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P (A )＝16＋12＝23. 法二：设事件A 为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P (A )＝1－13＝23. 即甲不输的概率是23. 10．在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在80分～89分的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算：(1)小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率；(2)小明考试及格的概率．解：记小明的成绩“在90分以上”“在80分～89分”“在70分～79分”“在60分～69分”为事件A，B，C，D，这四个事件彼此互斥．(1)小明成绩在80分以上的概率是P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)法一：小明及格的概率是P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.法二：小明不及格的概率为0.07，则小明及格的概率为1－0.07＝0.93.层级二应试能力达标1．如果事件A，B互斥，记A，B分别为事件A，B的对立事件，那么()A．A∪B是必然事件B．A∪B是必然事件C．A与B一定互斥D．A与B一定不互斥解析：选B用Venn图解决此类问题较为直观．如图所示，∪是必然事件，故选B．2．根据湖北某医疗所的调查，某地区居民血型的分布为：O型52%，A型15%，AB 型5%，B型28%.现有一血型为A型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则此人能为病人输血的概率为()A．67% B．85%C．48% D．15%解析：选A O型血与A型血的人能为A型血的人输血，故所求的概率为52%＋15%＝67%.故选A．3．下列各组事件中，不是互斥事件的是()A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分C．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒D．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%解析：选B对于B，设事件A1为平均分不低于90分，事件A2为平均分不高于90分，则A1∩A2为平均分等于90分，A1，A2可能同时发生，故它们不是互斥事件．4．把电影院的4张电影票随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事件“甲分得4排1号”与事件“乙分得4排1号”是()A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．以上答案都不对解析：选C“甲分得4排1号”与“乙分得4排1号”是互斥事件但不对立．5．一个口袋内有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出不是红球的概率为________．解析：设A ＝{摸出红球}，B ＝{摸出白球}，C ＝{摸出黑球}，则A ，B ，C 两两互斥，A 与A 为对立事件，因为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.58，P (A ＋C )＝P (A )＋P (C )＝0.62，P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝1，所以P (C )＝0.42，P (B )＝0.38，P (A )＝0.20，所以P (A )＝1－P (A )＝1－0.20＝0.80.答案：0.806．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________． 解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37＋14＝1928. 答案：19287．在大小相同的5个球中，只有红色和白色两种球，若从中任取2个，全是白球的概率为0.3，求所取出的2个球中至少有1个红球的概率．解：记事件A 表示“取出的2个球中至少有1个红球”，事件B 表示“取出的2个球全是白球”，则事件A 与事件B 互为对立事件，而事件B 发生的概率为P (B )＝0.3，所以事件A 发生的概率为P (A )＝1－P (B )＝1－0.3＝0.7.8．某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1 000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )；(2)抽取1张奖券中奖概率；(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．解：(1)∵每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，∴P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100，P (C )＝501 000＝120. (2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D ，则P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝11 000＋1100＋120＝611 000.(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，则P(E)＝1－P(A)－P(B)＝1－11 000－1100＝9891 000.。

第二章 2.3 第2课时一、选择题1．若随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫4，12，则D (X )的值为( ) A ．2 B ．1 C.12 D.14[答案] B[解析] ∵X ～B ⎝⎛⎭⎫4，12， ∴D (X )＝4×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝1.故选B. 2．若X 的分布列为其中p ∈(0,1)，则( ) A ．D (X )＝p 3 B ．D (X )＝p 2 C ．D (X )＝p －p 2 D ．D (X )＝pq 2[答案] C[解析] 由两点分布的方差公式D (X )＝p (1－p )＝p －p 2.故选C. 3．下列说法正确的是( )A ．离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值B ．离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ的取值的平均水平C ．离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的平均水平D ．离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值 [答案] C[解析] 由离散型随机变量的期望与方差的定义可知，C 正确．故选C. 4．已知随机变量ξ的分布列为则Dξ的值为( ) A.2912 B ．121144C.179144D ．1712[解析] ∵Eξ＝1×14＋2×13＋3×16＋4×14＝2912，∴Dξ＝⎝⎛⎭⎫17122×14＋⎝⎛⎭⎫5122×13＋⎝⎛⎭⎫7122×16＋⎝⎛⎭⎫19122×14＝179144.故选C.5．已知随机变量ξ的分布列为：P (ξ＝k )＝13，k ＝1、2、3，则D (3ξ＋5)＝( )A ．6B ．9C ．3D ．4[答案] A[解析] E (ξ)＝(1＋2＋3)×13＝2，D (ξ)＝[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]×13＝23，∴D (3ξ＋5)＝9D (ξ)＝6.故选A.6．设ξ～B (n ，p )，且E (ξ)＝12，D (ξ)＝4，则n 与p 的值分别为( ) A ．18，13B ．12，23C ．18，23D ．12，13[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ E (ξ)＝12D (ξ)＝4得⎩⎪⎨⎪⎧np ＝12np (1－p )＝4，得p ＝23，n ＝18.故选C.7．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X 的均值与方差分别为( ) A ．E (X )＝0，D (X )＝1 B ．E (X )＝12，D (X )＝12C ．E (X )＝0，D (X )＝12D ．E (X )＝12，D (X )＝1[答案] A[解析] 要计算随机变量的期望和方差，应先列出其分布列．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X 的分布列为所以E (X )＝1×0.5＋(－1)×0.5＝0D (X )＝(1－0)2×0.5＋(－1－0)2×0.5＝1.故选A.8．已知随机变量X的分布列为：则X的方差为________．[答案]0.41[解析]由题意可知0.4＋0.5＋x＝1，即x＝0.1，∴E(X)＝1×0.4＋2×0.5＋3×0.1＝1.7，∴D(X)＝(1－1.7)2×0.4＋(2－1.7)2×0.5＋(3－1.7)2×0.1＝0.41.9．某射手击中目标的概率为p，则他射击n次，击中目标次数ξ的方差为________．[答案]np(1－p)[解析]∵ξ～B(n，p)，∴D(ξ)＝np(1－p)．三、解答题10．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ、η的分布列为求：(1)a、b的值；(2)计算ξ、η的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况．[解析](1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3.同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4.(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E (ξ)＞E (η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D (ξ)>D (η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势.一、选择题1．设X ～B (n ，p )，则有( ) A ．E (2X －1)＝2npB ．D (2X ＋1)＝4np (1－p )＋1C ．E (2X ＋1)＝4np ＋1D ．D (2X －1)＝4np (1－p ) [答案] D[解析] 因为X ～B (n ，p )，所以D (x )＝np (1－p )，于D (2X －1)＝4D (X )＝4np (1－p )，故选D. 2．设X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，现已知：E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为( )A.53 B ．73C ．3D ．113[答案] C[解析] 由题意，p (X ＝x 1)＋p (X ＝x 2)＝1，所以随机变量X 只有x 1，x 2两个取值，所以⎩⎨⎧x 1·23＋x 2·13＝43，⎝⎛⎭⎫x 1－432·23＋⎝⎛⎭⎫x 2－432·13＝29.解得x 1＝1，x 2＝2，所以x 1＋x 2＝3，故选C. 3．已知X 的分布列如下表：且a 、b 、c 成等比数列，E (X )＝19，则a ＝( )A.16 B ．13C.12D ．23[答案] C[解析] 由分布列的性质得a ＋b ＋c ＝1318①∵E (X )＝19，∴－a ＋c ＋59＝19，∴a －c ＝49，② 又a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ，③ 将②代入①、③得，⎩⎨⎧2a ＋b ＝76， ④b 2＝a (a －49). ⑤由④得b ＝76－2a ，代入⑤得，a ＝12或a ＝4954，当a ＝4954时，a ＋518＝6454>0，不合题意舍去，∴a ＝12.二、填空题4．(2014·浙江理，12)随机变量ξ的取值为0、1、2，若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.[答案] 25[解析] 设ξ＝1的概率为P .则E (ξ)＝0×15＋1×P ＋2(1－P －15)＝1，∴P ＝35.故D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.5．设p 为非负实数，随机变量X 的概率分布为则E (X )的最大值为 [答案] 321[解析] E (X )＝0×⎝⎛⎭⎫12－p ＋1×p ＋2×12＝p ＋1 ∵0≤12－p ≤12，0≤p ≤12，∴p ＋1≤32，D (X )＝(p ＋1)2·⎝⎛⎭⎫12－p ＋p 2·p ＋(p －1)2×12＝－p 2＋1－p ＝－⎝⎛⎭⎫p ＋122＋54≤1. 三、解答题6．抛掷一枚质地均匀的骰子，用X 表示掷出偶数点的次数． (1)若抛掷一次，求E (X )和D (X )； (2)若抛掷10次，求E (X )和D (X )． [解析] (1)X 服从二点分布所以E (X )＝p ＝12，D (X )＝p (1－p )＝12×⎝⎛⎭⎫1－12＝14. (2)依题意可知，X ～B ⎝⎛⎭⎫10，12， ∴E (X )＝np ＝10×12＝5，D (X )＝np (1－p )＝10×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝52. 7．一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分．学生甲选对任一题的概率为0.9.学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个．求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中成绩的数学期望和方差．[解析] 设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是X 和η，则 X ～B (20,0.9)， η～B (20,0.25)，所以E (X )＝20×0.9＝18，D (X )＝1.8， E (η)＝20×0.25＝5，D (η)＝3.75，由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验中成绩分别是5X 和5η.所以，他们在测验中成绩的数学期望与方差分别是E (5X )＝5E (X )＝5×18＝90， E (5η)＝5E (η)＝5×5＝25， D (5X )＝25D (X )＝25×1.8＝45，D(5η)＝25D(η)＝25×3.75＝93.75.8．(2014·辽宁理，18)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．[解析](1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天是有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”，因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0、1、2、3，相应的概率为P(X＝0)＝C03·(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288.P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432.P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216.分布列为因为X～B(3,0.6)所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.。