高二级数学试题

绝密★启用前2024年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知z=−1−i，则|z|=( )A. 0B. 1C. √ 2D. 22.已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1，命题q：∃x>0，x3=x，则( )A. p和q都是真命题B. ￢p和q都是真命题C. p和￢q都是真命题D. ￢p和￢q都是真命题3.已知向量a⃗，b⃗⃗满足：|a⃗|=1，|a⃗⃗+2b⃗⃗|=2，且(b⃗⃗−2a⃗⃗)⊥b⃗⃗，则|b⃗⃗|=( )A. 12B. √ 22C. √ 32D. 14.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并部分整理下表：据表中数据，结论中正确的是( )A. 100块稻田亩产量中位数小于1050kgB. 100块稻田中的亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间5.已知曲线C：x2+y2=16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为( )A. x 216+y24=1(y>0) B. x216+y28=1(y>0)C. y 216+x24=1(y>0) D. y216+x28=1(y>0)6.设函数f(x)=a(x+1)2−1，g(x)=cosx+2ax(a为常数)，当x∈(−1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=( )A. −1B. 12C. 1D. 27.已知正三棱台ABC−A1B1C1的体积为523，AB=6，A1B1=2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为( )A. 12B. 1C. 2D. 38.设函数f(x)=(x+a)ln(x+b)，若f(x)≥0，则a2+b2的最小值为( )A. 18B. 14C. 12D. 1二、多选题：本题共3小题，共18分。

纪元中学高二级第13周数学周测试卷一、单选题1. 已知随机变量~(,)X B n p ，若48(),()39E X D X ==，则(1)P X ==（ ）A ．23B ．3281 C ．13D ．4812. 函数3()1f x x x =--的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为（ ）A ．23y x =-B ．2y x =-C ．y x =-D ．21y x =-+3．下面给出四个随机变量： 其中是离散型随机变量的个数为（ ）①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数ξ； ②一个沿x 轴进行随机运动的质点，它在x 轴上的位置η； ③某派出所一天内接到的报警电话次数X ； ④某同学上学路上离开家的距离Y ． A ．1B ．2C ．3D ．44．若随机变量的分布列如表，则(|2|1)P X -=的值为（ ）A ．512B ．12 C ．712 D ．235.()62x y -+展开式中，22x y 的系数为（ ）A.360B.180C.90D.-1806.质监部门对某种建筑构件的抗压能力检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检.若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为（ ） A ．0.4B ．0.16C ．0.68D ．0.177．一个不透明的袋子中装有3个黑球，n 个白球()*N n ∈，这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为920，设X 为取出白球的个数，则()E X =（ ） A ．32B ．12C ．1D ．28．甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制，规定每一局比赛没有平局，且每一局甲赢的概率都是13，随机变量X 表示最终的比赛局数，则（ ）A ．()()268,981E X D X ==B ．()()2620,981E X D X == C ．()()228,981E X D X ==D ．()()2220,981E X D X ==二、多选题9．已知随机变量X 的分布列如下，则正确的是（ ） A ．23m n += B ．7(2)9P X <=C ．若19m =，则()13E X = D ．()22D X = 10．下列说法正确的是（ ）A ．若随机变量X 服从两点分布且1(0)4P X ==，则3()4E X = B ．设随机变量X 的分布列为()12iP X i a ⎛⎫==⎪⎝⎭，1,2,3i =，则a 的值为87. C ．若随机变量1(6,)2X B ，则1(2)4P X ==D ．三、填空题X1 2 3 4P14 14a13X2-1- 1 2P19mn2911．已知离散型随机变量X 的分布列如表：若离散型随机变量21Y X =+，则()E Y = ．12．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则()P A B = ．四、解答题13．某商场拟通过摸球兑奖的方式回馈顾客．规定：每位购物金额超过1千元的顾客从一个装有5个标有面值的球（大小、质地均相同）的袋中随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获得的购物减免额．若袋中所装的5个球中有1个标的面值为50元，2个标的面值为10元，其余2个标的面值均为5元． (1)求顾客获得的购物减免额为60元的概率；(2)若已知顾客摸到的1个球所标的面值为10元，求顾客获得的购物减免额为15元的概率．纪元中学第13周高二数学周测答题卡姓名：___________班级：___________考号：___________ 11 12、 14．某地区统计了20岁到100岁来体检的人数及年龄在[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100的体检人数的频率分布情况，如下表．(1)根据上表，求从2023年该体检机构20岁到100岁体检人群中随机抽取1人，此人年龄不低于60岁的频率；(2)用频率估计概率，从2023年该地区20岁到100岁体检人群中随机抽取3人，其中不低于60岁的人数记为X ，求X 的分布列及数学期望；X 01 2 3P13 112 m1612345678910组别年龄（岁） 频率第一组 [)20,4037%第二组 [)40,60 43%第三组 [)60,8017%第四组 []80,1003%。

高中数学二试题库及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数\( f(x) = ax^2 + bx + c \)（\( a \neq 0 \)）的图像与x轴有两个交点，则下列说法正确的是（）。

A. \( a > 0 \)且\( b^2 - 4ac > 0 \)B. \( a < 0 \)且\( b^2 - 4ac > 0 \)C. \( a > 0 \)且\( b^2 - 4ac < 0 \)D. \( a < 0 \)且\( b^2 - 4ac < 0 \)2. 已知\( \sin \theta = \frac{3}{5} \)，且\( \theta \)为锐角，则\( \cos \theta \)的值为（）。

A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. \( -\frac{3}{5} \)3. 集合\( A = \{x | x^2 - 5x + 6 = 0\} \)，\( B = \{x | x^2 - 5x + 6 < 0\} \)，则\( A \cap B \)为（）。

A. \( \{2, 3\} \)B. \( \{2\} \)C. \( \{3\} \)D. 空集4. 若\( \log_2 8 = 3 \)，则\( \log_2 32 \)等于（）。

A. 3B. 5C. 6D. 95. 函数\( y = \frac{1}{x} \)的图像关于（）对称。

A. y轴B. x轴C. 原点D. 直线y = x6. 已知\( \tan \alpha = 2 \)，求\( \sin \alpha \)的值（）。

A. \( \frac{2}{\sqrt{5}} \)B. \( \frac{1}{\sqrt{5}} \)C. \( \frac{2}{\sqrt{3}} \)D. \( \frac{1}{\sqrt{3}} \)7. 函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \)的极大值点是（）。

高二级数学复习检测题班级 姓名 学号 得分一、选择题：（每题6分，共60分） 1.000(3)()lim1x f x x f x x∆→+∆-=∆，则0()f x '等于 （ ） A ． 1 B. 0 C.3 D.132.如果复数z=3+ai 满足条件22<-z ，那么实数a 的取值范围是（ ） A.)22,22(- B.(-2,2) C.(-1,1) D.)3.3(-3.dx xx x 2234253+-⎰的值为（ ） A ．1 B ．41 C.45D ．2 4.一个质点在直线上运动，其任一时刻t(单位：s)的位置是f(t)=3t-t 2 (单位：cm)，则此质点的最大位移和最大速度分别为（ ）A ．1cm,21cm/s B.s cm cm /3,49 C s cm cm /21,23 D ．1cm,3cm/s5.复数54)31()22(i i -+等于（ ）A.i 31+ B .i 31+- C. i 31- D. i 31--6．由0、1、2、…、9十个数码和一个虚数单位i 可以组成虚数的个数为（ ） A.100 B.10 C.9 D.907.函数xxx f ln )(=，则（ ）A.f(x)在(0,10)上是增函数B. f(x)在(0,10)上是减函数C. f(x)在(0,e)上是增函数，在(e,10)上是减函数D.f(x)在上(0,e)是减函数，在(e,10)上是增函数8.利用数学归纳法证明“（n+1）(n+2)(n+3)…(n+n)=2n ×1×3×…(2n-1)(n ∈N *)”时，从”n=k ”变到“n=k+1”时，左边应增添的因式是（ ）A.2k+1B.112++k kC.1)22)(12(+++k k kD.132++k k9.将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法有（ ） A.43种 B.34种 C. 18种 D.36种 10.由直线y=x-4，曲线x y 2=以及x 轴所围成的图形面积为（ ）A.40 B.13 C.25 D.15二．填空题：（每题6分11.曲线221xy x =+在点(0,0)处的切线方程为 .12.复数z 满足i z i 34)21(+=+，那么z= 。

2023年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅱ卷）数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 在复平面内，对应的点位于（）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.【详解】因为，则所求复数对应的点为，位于第一象限.故选：A.2. 设集合，，若，则（ ）．A. 2 B. 1C.D. 【答案】B 【解析】分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.【详解】因为，则有：若，解得，此时，，不符合题意；若，解得，此时，，符合题意；综上所述：故选：B.3. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．A. 种 B. 种C. 种D. 种【.()()13i 3i +-()()213i 3i 38i 3i 68i +-=+-=+()6,8{}0,A a =-{}1,2,22B a a =--A B ⊆=a 231-20a -=220a -=A B ⊆20a -=2a ={}0,2A =-{}1,0,2B =220a -=1a ={}0,1A =-{}1,1,0B =-1a =4515400200C C ⋅2040400200C C ⋅3030400200C C ⋅4020400200C C ⋅【答案】D 【解析】【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取，根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种.故选：D.4. 若为偶函数，则（ ）．A. B. 0C.D. 1【答案】B 【解析】【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，当时，，，解得或，则其定义域为或，关于原点对称.，故此时为偶函数.故选：B.5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C 交于A ，B 两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．A.B.C. D. 【答案】C 【解析】【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可.4006040600⨯=2006020600⨯=4020400200C C ⋅()()21ln 21x f x x a x -=++=a 1-12a ()f x 1(1)(1)(1)ln (1)ln 33f f a a =-∴+=-+，0a =0a =()21ln 21x x x fx -=+()()21210x x -+>12x >12x <-12x x⎧⎨⎩12x ⎫<-⎬⎭()()()()()()()121212121ln ln ln ln 21212121f x x x x x x x x x f x x x x x ---+⎫-=---⎛==== ⎪-+-++⎝-⎭-()f x 22:13x C y +=1F 2F y x m =+1F AB △2F AB △m =2323-0∆>m m【详解】将直线与椭圆联立，消去可得，因为直线与椭圆相交于点，则，解得，设到的距离到距离，易知，则，，解得或，故选：C.6. 已知函数在区间上单调递增，则a 的最小值为（ ）．A. B. eC. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，，故，即，即a 的最小值为．故选：C ．7. 已知为锐角，，则（ ）．y x m =+2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y 2246330x mx m ++-=,A B ()223604433m m -⨯-∆=>22m -<<1F AB 12,d F AB 2d ())12,F F 1d =2d =122F AB F ABS S === m =-()e ln xf x a x =-()1,22e 1e -2e -()1e 0xf x a x'=-≥()1,2()1e 0x f x a x '=-≥()1,20a >1e xx a≥()()e ,1,2xg x x x =∈()()1e 0xg x x =+>'()g x ()1,2()()1e g x g >=1e a ≥11e ea -≥=1e -αcos α=sin 2α=A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【详解】因为，而为锐角，解得：故选：D ．8. 记为等比数列的前n 项和，若，，则（ ）．A. 120 B. 85C. D. 【答案】C 【解析】【分析】方法一：根据等比数列的前n 项和公式求出公比，再根据的关系即可解出；方法二：根据等比数列的前n 项和的性质求解．【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，若，则，与题意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故选：C ．方法二：设等比数列的公比为，因为，，所以，否则，从而，成等比数列，2cos 12sin 2αα=-=αsin2α===n S {}n a 45S =-6221S S =8S =85-120-48,S S {}n a q 1a 1q =61126323S a a S ==⨯=1q ≠45S =-6221S S =()41151a q q-=--()()6211112111a q a q q q--=⨯--24121q q ++=24q =8S =()()()()8411411151168511a q a q q qq--=⨯+=-⨯+=---{}n a q 45S =-6221S S =1q ≠-40S =2426486,,,S S S S S S S ---所以有，，解得：或，当时，，即为，易知，，即；当时，，与矛盾，舍去．故选：C ．【点睛】本题主要考查等比数列的前n 项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题一、单选题1．在复平面内，对应的点位于（ ）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A解析：，所以该复数对应的点为，位于第一象限.2．设集合，，若，则（ ）．A．2B．1C．D．答案：B解析：观察发现集合A中有元素0，故只需考虑B中的哪个元素是0。

因为，，所以，故或，解得：或1，注意不能保证，故还需代回集合检验，若，则，，不满足，不合题意；若，则，，满足. 故选B.3．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．A．种B．种C．种D．种答案：D解析：应先找到两层中各抽多少人，因为是比例分配的分层抽取，故各层的抽取率都等于总体的抽取率，设初中部抽取x人，则，解得：，所以初中部抽40人，高中部抽20人，故不同的抽样结果共有种.4．若为偶函数，则（ ）．A ．B．0C．D．1答案：B解法1：偶函数可抓住定义来建立方程求参，因为为偶函数，所以，即 ①，而，代入①得：，化简得：，所以.5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．A．B．C．D．答案：C解析：如图，观察发现两个三角形有公共的底边AB，故只需分析高的关系，作于点G，于点I，设AB与x轴交于点K，由题意，，所以，由图可知，所以，故，又椭圆的半焦距，所以，从而，故，所以，代入可得，解得：.6．已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．A．B．e C．D．答案：C解析：的解析式较复杂，不易直接分析单调性，故求导，由题意，，因为在上，所以在上恒成立，即 ①，观察发现参数a容易全分离，故将其分离出来再看，不等式①等价于，令，则，所以在上，又，，所以，故，因为在上恒成立，所以，故a的最小值为.7．已知为锐角，，则（ ）．A．B．C．D．答案：D解析：，此式要开根号，不妨上下同乘以2，将分母化为，所以，故，又为锐角，所以，故.8．记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．A．120B．85C．D．答案：C解法1：观察发现，，，的下标都是2的整数倍，故可考虑片段和性质，先考虑q是否为，若的公比，则，与题意不符，所以，故，，，成等比数列 ①，条件中有，不妨由此设个未知数，设，则，所以，，由①可得，所以，解得：或，若，则，，，所以，故；到此结合选项已可确定选C，另一种情况我也算一下，若，则，而，所以与同号，故，与题意不符；综上所述，m只能取，此时.二、多选题9．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）．A．该圆锥的体积为B．该圆锥的侧面积为C．D．的面积为答案：AC解析：A项，因为，，所以，，，从而圆锥的体积，故A项正确；B项，圆锥的侧面积，故B项错误；C项，要求AC的长，条件中的二面角还没用，观察发现和都是等腰三角形，故取底边中点即可构造棱的垂线，作出二面角的平面角，取AC中点Q，连接PQ，OQ，因为，，所以，，故即为二面角的平面角，由题意，，所以，故，所以，故C项正确；D项，，所以，故D项错误.10．设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．A．B．C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形答案：AC解析：A项，在中令可得，由题意，抛物线的焦点为，所以，从而，故A项正确；B项，此处可以由直线MN的斜率求得，再代角版焦点弦公式求，但观察发现后续选项可能需要用M，N的坐标，所以直接联立直线与抛物线，用坐标版焦点弦公式来算，设，，将代入消去y整理得：，解得：或3，对应的y分别为和，所以图中，，从而，故B项错误；C项，判断直线与圆的位置关系，只需将圆心到直线的距离d和半径比较，的中点Q到准线的距离，从而以MN为直径的圆与准线l相切，故C项正确；D项，M，N的坐标都有了，算出，即可判断，，，所以，，均不相等，故D项错误.11．若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．A．B．C．D．答案：BCD解析：由题意，，函数既有极大值，又有极小值，所以在上有2个变号零点，故方程在上有两个不相等实根，所以，由①可得，故C项正确；由②可得，所以a，c异号，从而，故D项正确；由③可得a，b同号，所以，故B项正确；因为a，c异号，a，b同号，所以b，c异号，从而，故A项错误.12．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率答案：ABD解析：A项，由题意，若采用单次传输方案，则发送1收到1的概率为，发送0收到0的概率为，所以依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为，故A项正确；B项，采用三次传输方案，若发送1，则需独立重复发送3次1，依次收到1，0，1的概率为，故B项正确；C项，采用三次传输方案，由B项的分析过程可知若发送1，则收到1的个数，而译码为1需收2个1，或3个1，所以译码为1的概率为，故C项错误；D项，若采用单次传输方案，则发送0译码为0的概率为；若采用三次传输方案，则发送0等同于发3个0，收到0的个数，且译码为0的概率为，要比较上述两个概率的大小，可作差来看，，因为，所以，从而，故D项正确.三、填空题13．已知向量，满足，，则______．答案：解析：条件涉及两个模的等式，想到把它们平方来看，由题意， ①，又，所以，故，整理得：，代入①可得，即，所以.14．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．答案：28解析：如图，四棱锥与相似，它们的体积之比等于边长之比的立方，故只需求四棱锥的体积，，所以，故所求四棱台的体积，由题意，，所以.15．已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值__ ____．答案：2（答案不唯一，也可填或或）解析：如图，设圆心到直线AB的距离为，则，注意到也可用d表示，故先由求d，再将d用m表示，建立关于m的方程，又，所以，由题意，，所以，结合解得：或，又，所以或，解得：或.16．已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．答案：解法1：这个条件怎么翻译？可用求A，B横坐标的通解，得到，从而建立方程求，不妨设，令可得或，其中，由图知，，两式作差得：，故，又，所以，解得：，则，再求，由图知是零点，可代入解析式，注意，是增区间上的零点，且的增区间上的零点是，故应按它来求的通解，所以，从而，故，所以.四、解答题17．记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．(1)若，求；(2)若，求．解：（1）如图，因为，所以，（要求，可到中来分析，所给面积怎么用？可以用它求出，从而得到BD）因为D是BC中点，所以，又，所以，由图可知，所以，故，（此时已知两边及夹角，可先用余弦定理求第三边AB，再用正弦定理求角B）在中，由余弦定理，，所以，由正弦定理，，所以，由可知B为锐角，从而，故.（2）（已有关于bc的一个方程，若再建立一个方程，就能求b和c，故把面积和中线都用b，c表示）由题意，，所以 ①，（中线AD怎样用b，c表示？可用向量处理）因为D为BC中点，所以，从而，故，所以，将代入上式化简得②，（我们希望找的是b，c的方程，故由①②消去A，平方相加即可）由①②得，所以③，由可得，所以，结合式③可得.18．已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，．解：（1）（给出了两个条件，把它们用和d翻译出来，即可建立方程组求解和d）由题意， ①，②，由①②解得：，，所以.（2）由（1）可得，（要证结论，还需求，由于按奇偶分段，故求也应分奇偶讨论，先考虑n为偶数的情形）当为偶数时，③，因为和分别也构成等差数列，所以，，代入③化简得：，（要由此证，可作差比较）所以，故；（对于n为奇数的情形，可以重复上述计算过程，但更简单的做法是补1项凑成偶数项，再减掉补的那项）当为奇数时，，所以，故；综上所述，当时，总有.19．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)当漏诊率％时，求临界值c和误诊率；(2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值．解：（1）（给的是漏诊率，故先看患病者的图，漏诊率为0.5%即小于或等于c的频率为0.5%，可由此求c）由患病者的图可知，这组的频率为，所以c在内，且，解得：；（要求，再来看未患病者的图，是误诊率，也即未患病者判定为阳性（指标大于c）的概率）由未患病者的图可知指标大于97.5的概率为，所以.（2）（包含两个分组，故应分类讨论）当时，，，所以，故 ①；当时，，，所以，故②；所以，且由①②可得.20．如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．(1)证明：；(2)点F满足，求二面角的正弦值．解：（1）（BC和DA是异面直线，要证垂直，需找线面垂直，可用逆推法，假设，注意到条件中还有，所以，二者结合可得到面ADE，故可通过证此线面垂直来证）因为，，所以和是全等的正三角形，故，又E为BC中点，所以，，因为AE，平面ADE，，所以平面ADE，又平面ADE，所以.（2）（由图可猜想面BCD，若能证出这一结果，就能建系处理，故先尝试证明）不妨设，则，因为，所以，故，，所以，故，所以EA，EB，ED两两垂直，以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，，由可知四边形ADEF是平行四边形，所以，设平面DAB和平面ABF的法向量分别为，，则，令，则，所以是平面DAB的一个法向量，，令，则，所以是平面ABF的一个法向量，从而，故二面角的正弦值为.21．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.解：（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，则由可得，，双曲线方程为.（2）由(1)可得，设，显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，与联立可得，且，则，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得：，由可得，即，据此可得点在定直线上运动.【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.22．（1）证明：当时，；（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．解：（1）构建，则对恒成立，则在上单调递增，可得，所以；构建，则，构建，则对恒成立，则在上单调递增，可得，即对恒成立，则在上单调递增，可得，所以；综上所述：.（2）令，解得，即函数的定义域为，若，则，因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，不合题意，所以.当时，令因为，且，所以函数在定义域内为偶函数，由题意可得：，（i）当时，取，，则，由（1）可得，且，所以，即当时，，则在上单调递增，结合偶函数的对称性可知：在上单调递减，所以是的极小值点，不合题意；（ⅱ）当时，取，则，由（1）可得，构建，则，且，则对恒成立，可知在上单调递增，且，所以在内存在唯一的零点，当时，则，且，则，即当时，，则在上单调递减，结合偶函数的对称性可知：在上单调递增，所以是的极大值点，符合题意；综上所述：，即，解得或，故a的取值范围为.。

高2数学试题概率及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出一个球，下列哪个概率是正确的？A. 取出红球的概率是1/3B. 取出蓝球的概率是1/2C. 取出红球的概率是5/8D. 取出蓝球的概率是3/82. 抛一枚公正的硬币两次，下列哪个事件的概率是1/4？A. 两次都是正面B. 两次都是反面C. 至少一次是正面D. 至少一次是反面3. 一个班级有30个学生，其中10个是男生，20个是女生。

随机选择一个学生，下列哪个概率是正确的？A. 选择男生的概率是1/3B. 选择女生的概率是2/5C. 选择男生的概率是1/2D. 选择女生的概率是3/54. 一个骰子有6个面，每个面出现的概率相等。

投掷一次骰子，下列哪个事件的概率是1/6？A. 得到1点B. 得到2点C. 得到3点D. 所有选项都是1/65. 一个盒子里有3个白球和2个黑球，随机取出两个球，下列哪个组合的概率是1/5？A. 两个都是白球B. 两个都是黑球C. 一个白球和一个黑球D. 没有可能的组合二、填空题（每题2分，共10分）6. 如果一个事件的概率是0.6，那么它的对立事件的概率是________。

7. 一个袋子里有7个球，其中2个是红球，5个是蓝球。

如果随机取出一个球，再放回去，然后再取出一个球，两次取出的都是红球的概率是________。

8. 抛一枚公正的硬币三次，至少出现一次正面的概率是________。

9. 一个袋子里有4个白球和6个黑球，随机取出3个球，取出的球都是同一种颜色的概率是________。

10. 如果一个事件的概率是p，那么它的必然事件的概率是________。

三、解答题（每题5分，共20分）11. 一个袋子里有10个球，其中4个是红球，6个是蓝球。

求以下事件的概率：- 随机取出一个球，是红球的概率。

- 随机取出两个球，两个都是红球的概率。

12. 一个班级有50个学生，其中25个是男生，25个是女生。

（9）椭圆一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．如果方程x 2+k y 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 （ ）A ．(0, +∞)B ．(0, 2)C ．(1, +∞)D ．(0, 1)2．直线y = x +1被椭圆x 2+2y 2=4所截得的弦的中点坐标是（ ）A ．(31, -32) B ．．(-32, 31) C ．(21, -31) D ．(-31,21 ) 3．平面内有两定点A 、B 及动点P ，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以A ．B 为焦点的椭圆”，那么（ ）A ．甲是乙成立的充分不必要条件B ．甲是乙成立的必要不充分条件C ．甲是乙成立的充要条件D ．甲是乙成立的非充分非必要条件4．若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则椭圆的离心率等于（ ）A ．21 B ．2C ．22 D ．25．椭圆13222=+y x 的中心到准线的距离是 （ ）A ．2B ．3C ．2D ． 36．椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段P F 1的中点在y 轴上，那么|P F 1|是|PF 2|的 （ ）A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍7．椭圆4 x 2+y 2=k 两点间最大距离是8，那么k =（ ）A ．32B ．16C ．8D ．4 8．中心在原点，准线方程为x =±4，离心率为21的椭圆方程是（ ）A ． 13422=+y x B ． 14322=+y x C ． 42x + y 2=1D ． x 2+42y =19．直线)(01R k kx y ∈=--与椭圆1522=+by x 恒有公共点，则b 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（0，5）C ．),5()5,1[+∞D ．),1(+∞10．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的最短是距离为3，这个椭圆方程为（ ）A ．112919122222=+=+y x y x 或B ．112922=+y xC ．191222=+y x D ．以上都不对二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．椭圆x 2+4y 2=1的离心率是 ．12．设椭圆12222=+by a x （a >b >0）的右焦点为F 1，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的距离，则椭圆的离心率是 ．13．一个椭圆的离心率为e=0.5，准线方程为x =4，对应的焦点F （2，0），则椭圆的方程为 ．14．椭圆14922=+y x 的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点．当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共76分） 15．求椭圆θθθ(sin 3cos 5⎩⎨⎧==y x 为参数）的准线方程．（12分）16．求经过点P （1，1），以y 轴为准线，离心率为21的椭圆的中心的轨迹方程．（12分）17．若直线y =x +t 与椭圆1422=+y x 相交于A 、B 两点，当t 变化时，求|AB|的最大值．(12分)18．已知椭圆的中心在原点O ，焦点在坐标轴上，直线y = x +1与该椭圆相交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆的方程．（12分）19．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e=23，已知点P （0，23）到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标．（14分）20．设椭圆方程为18422=+y x ，过原点且倾斜角为)20(πθθπθ<<-和的两条直线分别交椭圆于A 、C 和B 、D 两点．（1）用θ表示四边形ABCD 的面积S ；（2）当)4,0(πθ∈时，求S 的最大值．（14分）参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DBBCBABACA二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．e=23 12．2113．3 x 2+4 y 2-8 x =0 14．-53< x <53三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分）[解析]：由⎩⎨⎧==θθsin 3cos 5y x ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒θθ2222sin 9cos 5y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒θθ2222sin 9cos 5y x 又因为1cos sin 22=+θθ，得52x +92y =1，由此可得a =3，b=5，c=2所以准线方程292±=±=c a y ．16．（12分）[解析]：因为椭圆经过点P （1，1），又以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴的右边．设椭圆中心Q c a e y x 221),,(=∴=．而中心Q 到准线的距离为ca x 2=． 4x c =∴),43(),,(11y x F y c x F 即为左焦点-∴由椭圆的第二定义得41)1()143(41211||22211=-+-⇒=⇒=y x PF PF 即椭圆的中心的轨迹方程是：1)1(44)34(922=-+-y x17．（12分）[解析]：以y = x +t 代入1422=+y x ，并整理得0448522=-++t tx x ① 因为直线与椭圆相交，则△=0)44(206422>--t t ，所以52<t，即55<<-t ，设A （11,y x ），B （22,y x ），则A （t x x +11,），B （t x x +22,），且21,x x 是方程①的两根．由韦达定理可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+5)1(45822121t x x t x x ， 所以，弦长|AB|2=221)(x x -+221)(y y -=2221)(x x - =2[221)(x x +214x x ⋅-]=2[2)58(t -5)1(442-⋅-t ]得 |AB|=25254t -⋅所以当t=0时，|AB|取最大值为1054． 18．（12分）[解析]：设所求椭圆的方程为12222=+by a x ，依题意，点P （11,y x ）、Q （22,y x ）的坐标OPQ xy满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+112222x y by a x 解之并整理得0)1(2)(222222=-+++b a x a x b a或0)1(2)(222222=-+-+a b y b y b a所以222212b a a x x +-=+，222221)1(b a b a x x +-= ①222212b a b y y +=+，222221)1(b a a b y y +-=②由OP ⊥OQ 02121=+⇒y y x x 22222b a b a =+⇒ ③又由|PQ |=2102212212)()(y y x x PQ -+-=⇒=25 21221212214)(4)(y y y y x x x x -++-+⇒=2521221212214)(4)(y y y y x x x x -++-+⇒=25④由①②③④可得：048324=+-b b 32222==⇒b b 或 23222==⇒a a 或故所求椭圆方程为123222=+y x ，或122322=+y x 19．（14分）[解析]：（1）由题设e=23可得a 2=4b 2， 于是，设椭圆方程为222222244,14y b x by b x -==+即 又设M （x ，y ）是椭圆上任意一点，且b y b ≤≤-，所以49344)23(222222+-+-=-+=y y y b y x PM34)21(322+++-=b y因为b y b ≤≤-，所以①若b<21，当y =-b 时，2PM 有最大值为4932++b b =2)7( 解得21237>-=b 与b<21相矛盾（即不合题意）．②若b 21≥，当y =-21时，2PM 有最大值为342+b =2)7(解得 b=1，a =2．故所求椭圆方程为1422=+y x ．（2） 把y =-21代入1422=+y x 中，解得3±=x ，因此椭圆上的点（3，21-），（3-，21-）到点P 的距离都是720．（14分）[解析]：（1）设经过原点且倾斜角为θ的直线方程为y = x tanθ，代入18422=+y x ，求得θθθ22222tan 48tan 32,tan 4832+=+=y x ．由对称性可知四边ABCD 为矩形，又由于)20(πθ<<，所以四边形ABCD 的面积S=4| x y |θθ2tan 2tan 32+=．（2）当4πθ≤<时， 1tan 0≤<θ，设t=tan θ，则S 2232t t +=tt+=232，)10(≤<t设t t t f +=2)(，因为)(t f 在（0，1]上是减函数，所以3112)1()(min =+==f t f ． 所以，当θ=4π时，332max =S ．。

高二级第一次月考数学试题考试时间：120分钟 总分：150分一、填空题（本大题有10小题，每小题6分，共60分） 1、在数列Λ,17,13,3,5,1中，53是数列的第( )A 10项B 11项C 12项D 13项2、等差数列{}n a 的前三项为1,1,23x x x -++，则这个数列的通项公式为 （ ）A 21n a n =+B 21n a n =-C 23n a n =-D 25n a n =-3、在ABC ∆中，1,60,45=︒=︒=c C B ，则最短的边长等于（ ）A36 B 26 C 21 D 23 4、数列{}n a 中，33=a ，且13+⋅-=n n a a ，则=8a ( )A 811-B 729-C 271D 243-5、在ABC ∆中，已知4:3:2sin :sin :sin =C B A ，则C cos 等于( )A 32B 32-C 31-D 41-6、等差数列{}n a 中，已知33,4,31521==+=n a a a a ，则n 为A 48B 49C 50D 517、在ABC ∆中，如果()()bc a c b c b a 3=-+⋅++，则A 等于（ ）A ︒30B ︒60C ︒120D ︒1508、等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若10173=+a a ，则19S 的值 （ ）A 55B 95C 100D 不能确定9、等差数列}{n a 的首项11=a ，公差0≠d ，如果521,,a a a 成等比数列，那么d 等于（ ）A 3B 2C -2D 2或-210、在ABC ∆中，4,6,60==︒=b a A ，则满足条件的ABC ∆（ ）A 不存在B 唯一存在C 有2个D 不确定二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分） 11、一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时，各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍 人。

2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题一、单选题二、多选题四、解答题17．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c ．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)当漏诊率()0.5p c =％时，求临界值c 和误诊率()q c ；(2)设函数()()()f c p c q c =+，当[]95,105c ∈时，求()f c 的解析式，并求()f c 在区间[95,10520．如图，三棱锥A BCD -中，DA DB DC ==，BD CD ⊥，60ADB ADC ∠=∠= ，E 为BC (1)证明：BC DA ⊥；(2)点F 满足EF DA =，求二面角21．已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为(2)记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点()4,0-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ．证明:点P 在定直线上.22．（1）证明：当01x <<时，sin x x x x 2-<<；（2）已知函数()()2cos ln 1f x ax x =--，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围．参考答案1．（2023·新高考Ⅱ卷·1·★）在复平面内，(13i)(3i)+-对应的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限答案：A解析：2(13i)(3i)3i 9i 3i 68i +-=-+-=+，所以该复数对应的点为(6,8)，位于第一象限.2．（2023·新高考Ⅱ卷·2·★）设集合{0,}A a =-，{1,2,22}B a a =--，若A B ⊆，则a =（）（A ）2（B ）1（C ）23（D ）1-答案：B解析：观察发现集合A 中有元素0，故只需考虑B 中的哪个元素是0，因为0A ∈，A B ⊆，所以0B ∈，故20a -=或220a -=，解得：2a =或1，注意0B ∈不能保证A B ⊆，故还需代回集合检验，若2a =，则{0,2}A =-，{1,0,2}B =，不满足A B ⊆，不合题意；若1a =，则{0,1}A =-，{1,1,0}B =-，满足A B ⊆.故选B.3．（2023·新高考Ⅱ卷·3·★）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（）（A ）4515400200C C ⋅种（B ）2040400200C C ⋅种（C ）3030400200C C ⋅种（D ）4020400200C C ⋅种答案：D解析：应先找到两层中各抽多少人，因为是比例分配的分层抽取，故各层的抽取率都等于总体的抽取率，设初中部抽取x 人，则60400400200x =+，解得：40x =，所以初中部抽40人，高中部抽20人，故不同的抽样结果共有4020400200C C ⋅种.4．（2023·新高考Ⅱ卷·4·★★）若21()()ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则a =（）（A ）1-（B ）0（C ）12（D ）1答案：B解法1：偶函数可抓住定义()()f x f x -=来建立方程求参，因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，即2121()ln ()ln 2121x x x a x a x x ----+=+-++①，而121212121ln ln ln()ln 21212121x x x x x x x x ---+--===--+-++，代入①得：2121()(ln ()ln 2121x x x a x a x x ---+-=+++，化简得：x a x a -=+，所以0a =.解法2：也可在定义域内取个特值快速求出答案，210(21)(21)021x x x x ->⇔+->+，所以12x <-或12x >，因为()f x 为偶函数，所以(1)(1)f f -=，故1(1)ln3(1)ln 3a a -+=+①，而11ln ln3ln33-==-，代入①得：(1)ln3(1)ln3a a -+=-+，解得：0a =.5．（2023·新高考Ⅱ卷·5·★★★）已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于A ，B 两点，若1F AB ∆的面积是F AB ∆面积的2倍，则m =（）（A ）23（B ）3（C ）3-（D ）23-答案：C解析：如图，观察发现两个三角形有公共的底边AB ，故只需分析高的关系，作1FG AB ⊥于点G ，2F I AB ⊥于点I ，设AB 与x 轴交于点K ，由题意，121212212F AB F ABAB F G S S AB F I ∆∆⋅==⋅，所以122F G F I=，由图可知12F KG F KI ∆∆∽，所以11222F K F G F KF I==，故122F K F K =，又椭圆的半焦距c =，所以122F F c ==，从而21212233F K F F ==，故1123OK OF F K =-=，所以2(3K ，代入y x m =+可得203m =+，解得：23m =.6．（2023·新高考Ⅱ卷·6·★★★）已知函数()e ln x f x a x =-在区间(1,2)单调递增，则a 的最小值为（）（A ）2e （B ）e （C ）1e -（D ）2e -答案：C解析：()f x 的解析式较复杂，不易直接分析单调性，故求导，由题意，1()e x f x a x '=-，因为()f x 在(1,2)上，所以()0f x '≥在(1,2)上恒成立，即1e 0x a x-≥①，观察发现参数a 容易全分离，故将其分离出来再看，不等式①等价于1ex a x ≥，令()e (12)x g x x x =<<，则()(1)e 0x g x x '=+>，所以()g x 在(1,2)上，又(1)e g =，2(2)2e g =，所以2()(e,2e )g x ∈，故21111(,)()e 2e e x g x x =∈，因为1e x a x ≥在(1,2)上恒成立，所以11e e a -≥=，故a 的最小值为1e -.7．（2023·新高考Ⅱ卷·7·★★）已知α为锐角，cos α=sin 2α=（）（A （B （C （D 答案：D解析：221535cos 12sin sin 2428ααα+-=-=⇒=，此式要开根号，不妨上下同乘以2，将分母化为2，所以222625(51)sin 2164α-==，故51sin 24α-=±，又α为锐角，所以(0,)24απ∈，故51sin 24α-=.8．（2023·新高考Ⅱ卷·8·★★★）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =（）（A ）120（B ）85（C ）85-（D ）120-答案：C解法1：观察发现2S ，4S ，6S ，8S 的下标都是2的整数倍，故可考虑片段和性质，先考虑q 是否为1-，若{}n a 的公比1q =-，则414[1(1)]01(1)a S --==--，与题意不符，所以1q ≠-，故2S ，42S S -，64S S -，86S S -成等比数列①，条件中有6221S S =，不妨由此设个未知数，设2S m =，则621S m =，所以425S S m -=--，64215S S m -=+，由①可得242262()()S S S S S -=-，所以2(5)(215)m m m --=+，解得：1m =-或54，若1m =-，则21S =-，424S S -=-，6416S S -=-，所以8664S S -=-，故8664216485S S m =-=-=-；到此结合选项已可确定选C ，另一种情况我也算一下，若54m =，则2504S =>，而2222412341212122()(1)(1)S a a a a a a a q a q a a q S q =+++=+++=++=+，所以4S 与2S 同号，故40S >，与题意不符；综上所述，m 只能取1-，此时885S =-.解法2：已知和要求的都只涉及前n 项和，故也可直接代公式翻译，先看公比是否为1，若{}n a 的公比1q =，则612162142S a S a =≠=，不合题意，所以1q ≠，故414(1)51a q S q -==--①，又6221S S =，所以6211(1)(1)2111a q a q q q--=⋅--，化简得：62121(1)q q -=-②，又62322411()(1)(1)q q q q q -=-=-++，代入②可得：2242(1)(1)21(1)q q q q -++=-③，两端有公因式可约，但需分析21q -是否可能为0，已经有1q ≠了，只需再看q 是否可能等于1-，若1q =-，则414[1(1)]01(1)a S --==--，与题意不符，所以1q ≠-，故式③可化为24121q q ++=，整理得：42200q q +-=，所以24q =或5-（舍去），故要求的8241118(1)[1()]255111a q a q aS q q q--===-⋅---④，只差11aq-了，该结构式①中也有，可由24q =整体计算它，将24q =代入①可得21(14)51a q-=--，所以1113a q =-，代入④得81255853S =-⨯=-.9．（2023·新高考Ⅱ卷·9·★★★）（多选）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，o 120APB ∠=，2PA =，点C 在底面圆周上，且二面角P AC O --为o 45，则（）（A ）该圆锥的体积为π（B ）该圆锥的侧面积为（C ）AC =（D ）PAC ∆答案：AC解析：A 项，因为2PA =，o 120APB ∠=，所以o 60APO ∠=，cos 1OP AP APO =⋅∠=，sin OA AP APO =⋅∠=，从而圆锥的体积211133V Sh ππ==⨯⨯⨯=，故A 项正确；B 项，圆锥的侧面积2S rl ππ===，故B 项错误；C 项，要求AC P O --还没用，观察发现PAC ∆和OAC ∆都是等腰三角形，故取底边中点即可构造棱的垂线，作出二面角的平面角，取AC 中点Q ，连接PQ ，OQ ，因为OA OC =，PA PC =，所以AC OQ ⊥，AC PQ ⊥，故PQO ∠即为二面角P AC O --的平面角，由题意，o 45PQO ∠=，所以1OQ OP ==，故AQ ==，所以2AC AQ ==，故C 项正确；D 项，PQ ==，所以11222PAC S AC PQ ∆=⋅=⨯=，故D 项错误.10．（2023·新高考Ⅱ卷·10·★★★）（多选）设O 为坐标原点，直线1)y x =-过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则（）（A ）2p =（B ）83MN =（C ）以MN 为直径的圆与l 相切（D ）OMN ∆为等腰三角形答案：AC解析：A 项，在1)y x =-中令0y =可得1x =，由题意，抛物线的焦点为(1,0)F ，所以12p=，从而2p =，故A 项正确；B 项，此处可以由直线MN 的斜率求得MFO ∠，再代角版焦点弦公式22sin pMN α=求MN ，但观察发现后续选项可能需要用M ，N 的坐标，所以直接联立直线与抛物线，用坐标版焦点弦公式来算，设11(,)M x y ，22(,)N x y，将1)y x =-代入24y x =消去y 整理得：231030x x -+=，解得：13x =或3，对应的y分别为3和-(3,M -，1(,33N ，从而121163233MN x x p =++=++=，故B 项错误；C 项，判断直线与圆的位置关系，只需将圆心到直线的距离d 和半径比较，12523x x MN +=⇒的中点Q 到准线:1l x =-的距离8132d MN ==，从而以MN 为直径的圆与准线l 相切，故C 项正确；D 项，M ，N 的坐标都有了，算出OM ，ON即可判断，OM =133ON ==，所以OM ，ON ，MN 均不相等，故D 项错误.11．（2023·新高考Ⅱ卷·11·★★★）（多选）若函数2()ln (0)b cf x a x a x x =++≠既有极大值也有极小值，则（）（A ）0bc >（B ）0ab >（C ）280b ac +>（D ）0ac <答案：BCD解析：由题意，223322()(0)a b c ax bx cf x x x x x x --'=--=>，函数()f x 既有极大值，又有极小值，所以()f x '在(0,)+∞上有2个变号零点，故方程220ax bx c --=在(0,)+∞上有两个不相等实根，所以212120()(()4(2)020)()b a c c x x a b x x a ⎧⎪∆=--->⎪⎪=->⎨⎪⎪+=>⎪⎩保证有两根保证两根同号保证两根只能同③正①②，由①可得280b ac +>，故C 项正确；由②可得0ca<，所以a ，c 异号，从而0ac <，故D 项正确；由③可得a ，b 同号，所以0ab >，故B 项正确；因为a ，c 异号，a ，b 同号，所以b ，c 异号，从而0bc <，故A 项错误.12．（2023·新高考Ⅱ卷·12·★★★★）（多选）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1α-；发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1β-.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.（）（A ）采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)(1)αβ--（B ）采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)ββ-（C ）采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)βββ-+-（D ）当00.5α<<时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率答案：ABD解析：A 项，由题意，若采用单次传输方案，则发送1收到1的概率为1β-，发送0收到0的概率为1α-，所以依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)(1)(1)(1)(1)βαβαβ---=--，故A 项正确；B 项，采用三次传输方案，若发送1，则需独立重复发送3次1，依次收到1，0，1的概率为2(1)(1)(1)βββββ--=-，故B 项正确；C 项，采用三次传输方案，由B 项的分析过程可知若发送1，则收到1的个数~(3,1)X B β-，而译码为1需收2个1，或3个1，所以译码为1的概率为22332333(2)(3)C (1)C (1)3(1)(1)P X P X ββββββ=+==-+-=-+-，故C 项错误；D 项，若采用单次传输方案，则发送0译码为0的概率为1α-；若采用三次传输方案，则发送0等同于发3个0，收到0的个数~(3,1)Y B α-，且译码为0的概率为22332333(2)(3)C (1)C (1)3(1)(1)P Y P Y αααααα=+==-+-=-+-，要比较上述两个概率的大小，可作差来看，2323(1)(1)(1)(1)[3(1)(1)1](1)(12)ααααααααααα-+---=--+--=--，因为00.5α<<，所以233(1)(1)(1)(1)(12)0ααααααα-+---=-->，从而233(1)(1)1αααα-+->-，故D 项正确.13．（2023·新高考Ⅱ卷·13·★★）已知向量a ，b满足-=a b 2+=-a b a b ，则=b _____.解析：条件涉及两个模的等式，想到把它们平方来看，由题意，22223-=+-⋅=a b a b a b ①，又2+=-a b a b ，所以222+=-a b a b ，故2222244++⋅=+-⋅a b a b a b a b ，整理得：220-⋅=a a b ，代入①可得23=b ，即23=b，所以=b .14．（2023·新高考Ⅱ卷·14·★★）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为_____.答案：28解析：如图，四棱锥1111P A B C D -与P ABCD -相似，它们的体积之比等于边长之比的立方，故只需求四棱锥1111P A B C D -的体积，11113112111()4228P A B C D P ABCD V A B AB V --==⇒==，所以11118P ABCD P A B C D V V --=，故所求四棱台的体积11117P A B C D V V -=，由题意，1111212343P A B C D V -=⨯⨯=，所以7428V =⨯=.【反思】相似图形的面积之比等于边长之比的平方，体积之比等于边长之比的立方.15．（2023·新高考Ⅱ卷·15·★★★）已知直线10x my -+=与⊙22:(1)4C x y -+=交于A ，B 两点，写出满足“ABC∆的面积为85”的m 的一个值_____.答案：2（答案不唯一，也可填2-或12或12-）解析：如图，设圆心(1,0)C 到直线AB 的距离为(0)d d >，则12ABC S AB d ∆=⋅，注意到AB 也可用d 表示，故先由85ABC S ∆=求d ，再将d 用m 表示，建立关于m 的方程，又AB ==，所以12ABC S d ∆=⨯=，由题意，85ABC S ∆=85=，结合0d >解得：d =又d ==，所以==，解得：2m =±或12±.16．（2023·新高考Ⅱ卷·16·★★★★）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，如图，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若6AB π=，则()f π=_____.答案：解法1：6AB π=这个条件怎么翻译？可用12y =求A ，B 横坐标的通解，得到AB ，从而建立方程求ω，不妨设0ω>，令1sin()2x ωϕ+=可得26x k πωϕπ+=+或526k ππ+，其中k ∈Z ，由图知26A x k πωϕπ+=+，526B x k πωϕπ+=+，两式作差得：2()3B A x x πω-=，故23B A x x πω-=，又6B A AB x x π=-=，所以336ππω=，解得：4ω=，则()sin(4)f x x ϕ=+，再求ϕ，由图知23π是零点，可代入解析式，注意，23π是增区间上的零点，且sin y x =的增区间上的零点是2n π，故应按它来求ϕ的通解，所以82()3n n πϕπ+=∈Z ，从而823n πϕπ=-，故82()sin(42sin(4)33f x x n x πππ=+-=-，所以2223()sin(4)sin()sin 3332f πππππ=-=-=-=-.解法2：若注意横向伸缩虽会改变图象在水平方向上的线段长度，但不改变长度比例，则可先分析sin y x =与12y =交点的情况，再按比例对应到本题的图中来，如图1，直线12y =与函数sin y x =在y 轴右侧的三个I ，J ，K 的横坐标分别为6π，56π，136π，所以52663IJ πππ=-=，1354663JK πππ=-=，:1:2IJ JK =，故在图2中:1:2AB BC =，因为6AB π=，所以3BC π=，故2AC AB BC π=+=，又由图2可知AC T =，所以2T π=，故24Tπω==，接下来同解法1.【反思】①对于函数sin()(0)y x ωϕω=+>，若只能用零点来求解析式，则需尽量确定零点是在增区间还是减区间.“上升零点”用2x n ωϕπ+=来求，“下降零点”用2x n ωϕππ+=+来求；②对图象进行横向伸缩时，水平方向的线段长度比例关系不变，当涉及水平线与图象交点的距离时，我们常抓住这一特征来求周期.17．（2023·新高考Ⅱ卷·17·★★★）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆，D 为BC 的中点，且1AD =.（1）若3ADC π∠=，求tan B ；（2）若228b c +=，求b ，c .解：（1）如图，因为3ADC π∠=，所以23ADB π∠=，（要求tan B ，可到ABD ∆中来分析，所给面积怎么用？可以用它求出ABD S ∆，从而得到BD ）因为D 是BC 中点，所以2ABC ABD S S ∆∆=，又ABC S ∆=ABD S ∆=，由图可知112sin 1sin 223ABD S AD BD ADB BD π∆=⋅⋅∠=⨯⨯⨯==2BD =，（此时ABD ∆已知两边及夹角，可先用余弦定理求第三边AB ，再用正弦定理求角B ）在ABD ∆中，由余弦定理，2222212cos 12212()72AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-=，所以AB =由正弦定理，sin sin AB AD ADB B =∠，所以1sin sin AD ADB B AB ⋅∠===，由23ADB π∠=可知B为锐角，从而cos B ==，故sin tan cos 5B B B ==.（2）（已有关于bc 的一个方程，若再建立一个方程，就能求b 和c ，故把面积和中线都用b ，c 表示）由题意，1sin 2ABC S bc A ∆==，所以sin bc A =①，（中线AD 怎样用b ，c 表示？可用向量处理）因为D 为BC 中点，所以1()2AD AB AC =+ ，从而2AD AB AC =+ ，故22242AD AB AC AB AC =++⋅ ，所以222cos 4c b cb A ++=，将228b c +=代入上式化简得cos 2bc A =-②，（我们希望找的是b ，c 的方程，故由①②消去A ，平方相加即可）由①②得222222sin cos 16b c A b c A +=，所以4bc =③，由228b c +=可得2()28b c bc +-=，所以4b c +==，结合式③可得2b c ==.18．（2023·新高考Ⅱ卷·18·★★★★）已知{}n a 为等差数列，6,2,n n na nb a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，记n S ，n T 分别为{}n a ，{}n b 的前n 项和，432S =，316T =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：当5n >时，n n T S >.解：（1）（给出了两个条件，把它们用1a 和d 翻译出来，即可建立方程组求解1a 和d ）由题意，414632S a d =+=①，31231231111(6)2(6)62()26441216T b b b a a a a a d a d a d =++=-++-=-++++-=+-=②，由①②解得：15a =，2d =，所以1(1)23n a a n d n =+-=+.（2）由（1）可得21()(523)422n n n a a n n S n n +++===+，（要证结论，还需求n T ，由于n b 按奇偶分段，故求n T 也应分奇偶讨论，先考虑n 为偶数的情形）当(5)n n >为偶数时，12n nT b b b =++⋅⋅⋅+12341(6)2(6)2(6)2n n a a a a a a -=-++-++⋅⋅⋅+-+13124()62()2n n n a a a a a a -=++⋅⋅⋅+-⨯+++⋅⋅⋅+③，因为131,,,n a a a -⋅⋅⋅和24,,,n a a a ⋅⋅⋅分别也构成等差数列，所以211131()(521)32242n n n a a n n n n a a a --++++++⋅⋅⋅+===，2224()(723)52242n n n a a n n n n a a a ++++++⋅⋅⋅+===，代入③化简得：222353732222n n n n n n n T n +++=-+⨯=，（要由此证n n T S >，可作差比较）所以2237(4)022n n n n n n T S n n 2+--=-+=>，故n n T S >；（对于n 为奇数的情形，可以重复上述计算过程，但更简单的做法是补1项凑成偶数项，再减掉补的那项）当(5)n n >为奇数时，2113(1)7(1)2n n n n n T T b +++++=-=-2213(1)7(1)351022(25)22n n n n n a n +++++-=-+=，所以223510(4)2n n n n T S n n +--=-+2310(2)(5)022n n n n --+-==>，故n n T S >；综上所述，当5n >时，总有n n T S >.19．（2023·新高考Ⅱ卷·19·★★★）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该项指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c .假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.（1）当漏诊率()0.5%p c =时，求临界值c 和误诊率()q c ；（2）设函数()()()f c p c q c =+.当[95,105]c ∈时，求()f c 的解析式，并求()f c 在区间[95,105]的最小值.解：（1）（给的是漏诊率，故先看患病者的图，漏诊率为0.5%即小于或等于c 的频率为0.5%，可由此求c ）由患病者的图可知，[95,100)这组的频率为50.0020.010.005⨯=>，所以c 在[95,100)内，且(95)0.0020.005c -⨯=，解得：97.5c =；（要求()q c ，再来看未患病者的图，()q c 是误诊率，也即未患病者判定为阳性（指标大于c ）的概率）由未患病者的图可知指标大于97.5的概率为(10097.5)0.0150.0020.035-⨯+⨯=，所以() 3.5%q c =.（2）（[95,105]包含两个分组，故应分类讨论）当95100c ≤<时，()(95)0.002p c c =-⨯，()(100)0.0150.002q c c =-⨯+⨯，所以()()()0.0080.82f c p c q c c =+=-+，故()0.0081000.820.02f c >-⨯+=①；当100105c ≤≤时，()50.002(100)0.012p c c =⨯+-⨯，()(105)0.002q c c =-⨯，所以()()()0.010.98f c p c q c c =+=-，故()(100)0.011000.980.02f c f ≥=⨯-=②；所以0.0080.82,95100()0.010.98,100105c c f c c c -+≤<⎧=⎨-≤≤⎩，且由①②可得min ()0.02f c =.20．（2023·新高考Ⅱ卷·20·★★★）如图，三棱锥A BCD -中，DA DB DC ==，BD CD ⊥，o 60ADB ADC ∠=∠=，E 为BC 的中点.（1）证明：BC DA ⊥；（2）点F 满足EF DA = ，求二面角D AB F --的正弦值.解：（1）（BC 和DA 是异面直线，要证垂直，需找线面垂直，可用逆推法，假设BC DA ⊥，注意到条件中还有DB DC =，所以BC DE ⊥，二者结合可得到BC ⊥面ADE ，故可通过证此线面垂直来证BC DA ⊥）因为DA DB DC ==，o 60ADB ADC ∠=∠=，所以ADB ∆和ADC ∆是全等的正三角形，故AB AC =，又E 为BC 中点，所以BC AE ⊥，BC DE ⊥，因为AE ，DE ⊂平面ADE ，AE DE E = ，所以BC ⊥平面ADE ，又DA ⊂平面ADE ，所以BC DA ⊥.（2）（由图可猜想AE ⊥面BCD ，若能证出这一结果，就能建系处理，故先尝试证明）不妨设2DA DB DC ===，则2AB AC ==，因为BD CD ⊥，所以BC ==，故12DE CE BE BC ====AE ==所以2224AE DE AD +==，故AE DE ⊥，所以EA ，EB ，ED 两两垂直，以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A，D，B ，所以(DA =，AB = ，由EF DA = 可知四边形ADEF 是平行四边形，所以FA ED == ，设平面DAB 和平面ABF 的法向量分别为111(,,)x y z =m ，222(,,)x y z =n ，则111100DA AB ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ m m ，令11x =，则1111y z =⎧⎨=⎩，所以(1,1,1)=m 是平面DAB的一个法向量，22200AB FA ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ n n ，令21y =，则2201x z =⎧⎨=⎩，所以(0,1,1)=n 是平面ABF 的一个法向量，从而cos ,⋅<>===⋅m n m n m n D AB F --的正弦值为=21．（2023·新高考Ⅱ卷·21·★★★★）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(-.（1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点(4,0)-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ，证明：点P 在定直线上.解：（1）设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，由焦点坐标可知c =则由c e a==可得2a =，4b ==，双曲线方程为221416x y -=.（2）由(1)可得()()122,0,2,0A A -，设()()1122,,,M x y N x y ，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN 的方程为4x my =-，且1122m -<<，与221416x y -=联立可得()224132480m y my --+=，且264(43)0m ∆=+>，则1212223248,4141m y y y y m m +==--，直线1MA 的方程为()1122y y x x =++，直线2NA 的方程为()2222y y x x =--，联立直线1MA 与直线2NA 的方程可得：()()()()()2121121211212121222222266y x y my my y y y y x x y x y my my y y +--+++==--=--112221122483216222141414148483664141m m m y y m m m m m y y m m -⋅-⋅++---===-⨯----，由2123x x +=--可得=1x -，即1P x =-，据此可得点P 在定直线=1x -上运动.【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.22．（2023·新高考Ⅱ卷·22·★★★★）（1）证明：当01x <<时，2sin x x x x -<<；（2）已知函数2()cos ln(1)f x ax x =--，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围.解：（1）构建()()sin ,0,1F x x x x =-∈，则()1cos 0F x x '=->对()0,1x ∀∈恒成立，则()F x 在()0,1上单调递增，可得()()00F x F >=，所以()sin ,0,1x x x >∈；构建()()()22sin sin ,0,1G x x x x x x x x =--=-+∈，则()()21cos ,0,1G x x x x '=-+∈，构建()()(),0,1g x G x x '=∈，则()2sin 0g x x '=->对()0,1x ∀∈恒成立，则()g x 在()0,1上单调递增，可得()()00g x g >=，即()0G x '>对()0,1x ∀∈恒成立，则()G x 在()0,1上单调递增，可得()()00G x G >=，所以()2sin ,0,1x x x x >-∈；综上所述：sin x x x x 2-<<.（2）令210x ->，解得11x -<<，即函数()f x 的定义域为()1,1-，若0a =，则()()()2ln 1,1,1f x x x =--∈-，因为ln y u =-在定义域内单调递减，21y x =-在()1,0-上单调递增，在()0,1上单调递减，则()()2ln 1f x x =--在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递增，故0x =是()f x 的极小值点，不合题意，所以0a ≠.当0a ≠时，令0b a =>因为()()()()()222cos ln 1cos ln 1cos ln 1f x ax x a x x bx x =--=--=--，且()()()()()22cos ln 1cos ln 1f x bx x bx x f x ⎡⎤-=----=--=⎣⎦，所以函数()f x 在定义域内为偶函数，由题意可得：()()22sin ,1,11x f x b bx x x =--∈'--，（i ）当202b <≤时，取1min ,1m b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，()0,x m ∈，则()0,1bx ∈，由（1）可得()()()2222222222sin 111x b x b x x f x b bx b x x x x+-'=-->--=---，且22220,20,10b x b x >-≥->，所以()()2222201x b x b f x x +-'>>-，即当()()0,0,1x m ∈⊆时，()0f x ¢>，则()f x 在()0,m 上单调递增，结合偶函数的对称性可知：()f x 在(),0m -上单调递减，所以0x =是()f x 的极小值点，不合题意；（ⅱ）当22b >时，取()10,0,1x b ⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭，则()0,1bx ∈，由（1）可得()()()2233223222222sin 2111x x x f x b bx b bx b x b x b x b x b x x x'=--<---=-+++----，构建()33223212,0,h x b x b x b x b x b ⎛⎫=-+++-∈ ⎪⎝⎭，则()3223132,0,h x b x b x b x b ⎛⎫'=-++∈ ⎪⎝⎭，且()33100,0h b h b b b ⎛⎫''=>=-> ⎪⎝⎭，则()0h x '>对10,x b ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，可知()h x 在10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且()21020,20h b h b ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭，所以()h x 在10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一的零点10,n b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当()0,x n ∈时，则()0h x <，且20,10x x >->，则()()3322322201x f x b x b x b x b x'<-+++-<-，即当()()0,0,1x n ∈⊆时，()0f x '<，则()f x 在()0,n 上单调递减，结合偶函数的对称性可知：()f x 在(),0n -上单调递增，所以0x =是()f x 的极大值点，符合题意；综上所述：22b >，即22a >，解得aa <故a 的取值范围为(),-∞+∞ .。

2024年高二级数学模拟试卷一、选择题（每题2分，共10分）1.设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A={1,3,5,7,9}，B={2,4,6,8}，则A∩B=（）A.{1,3,5,7,9}B.{2,4,6,8}C.∅D.{1,2,3,4,5,6,7,8,9}2.若函数f(x)=x^2-2x+1，则f(-1)=（）A.0B.2C.4D.63.在三角形ABC中，若sinA:sinB:sinC=3:4:5，则三角形ABC 是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不等边三角形4.已知等差数列{an}中，a1=1，公差d=2，则a10=（）A.17B.19C.21D.235.若复数z满足|z|=1，则z可以是（）A.1B.iC.1+iD.-1+i6.二项式展开式(x+y)^10中，x^3y^7的系数为（）A.120B.210C.240D.3007.若函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，则f'(x)在[0,1]上（）A.≥0B.≤0C.>0D.<08.在空间直角坐标系中，点P(1,2,3)到原点的距离为（）A.√14B.√26C.√38D.√509.若矩阵A=[[1,2],[3,4]]，则A的行列式值为（）A.5B.10C.-5D.-1010.若函数y=lnx的图像上一点P的切线斜率为1，则点P的横坐标为（）A.eB.1/eC.e^2D.1/e^2二、判断题（每题2分，共10分）1.若a，b是实数，则a^2+b^2≥0。

（）2.若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则f'(x)>0。

（）3.在三角形ABC中，若A+B+C=180°，则sinA+sinB+sinC=2。

（）4.若等差数列{an}中，a1=1，公差d=2，则a10=19。

（）5.若复数z满足|z|=1，则z可以是1+i。

（）6.二项式展开式(x+y)^10中，x^3y^7的系数为120。

绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试(新高考全国Ⅱ卷)数学本试卷共4页，22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写。

在试题卷和答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共8小题, 每小题5分, 共40分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内, 1+3i3-i对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】1+3i3-i=6+8i,故对应的点在第一象限，选A。

2.设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2}, 若A⊆B, 则a=()A.2B.1C.23D.-1【答案】B【解析】若a-2=0,则a=2,此时A=0,-2},B=1,0,2},不满足题意;若2a-2=0,则a =1,此时A={0,-1},B={1,-1,0},满足题意。

选B。

3.某学校为了解学生参加体育运动的情况, 用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查, 拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生, 已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生, 则不同的抽样结果共有()A.C45400⋅C15200种 B.C20400⋅C40200种 C.C30400⋅C30200种 D.C40400⋅C20200种【答案】D【解析】根据按比例分配的分层抽样可知初中部抽40人，高中部抽20人，选D。

高二级中期考试数学试题一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分），在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合p={ x |-2< x <3}，Q={ x | | x +1|>2，x ∈R}，则集合P ∪Q=（ ）A ．{ x |-2< x <1}B ．{ x |1< x <3}C ．{ x |-3< x <3|D ．{ x | x <-3 或x >-2}2．若log 3M+log 3N ≥4，则M+N 的最小值是（ ）A ．4B ．18C ．34D ．9.3．设向量=(1,－3), =(－2,4),若表示向量4、3－2,的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量为 （ ）(A)（1，－1） (B)（－1， 1） (C) （－4，6） (D) （4，－6）4．下列四个命题中的真命题是（ ）A ．通过点)(00y x P ，的直线一定能够用方程)(00x x k y y -=-表示B ．通过任意两个不同点心)(111y x P ，、)(222y x P ，的直线都能够用方程))(())((121121y y x x x x y y --=--表示C ．不通过原点的直线都能够用方程1=+bya x 表示 D ．通过点A （0，b ）的直线都能够用方程y=kx+b 表示5．以点（2，－1）为圆心且与直线3450x y -+=相切的圆的方程为 ( ) （A ）22(2)(1)3x y -++= （B ）22(2)(1)3x y ++-=（C ）22(2)(1)9x y -++= （D ）22(2)(1)3x y ++-=6.动点P 到x 轴，y 轴的距离之比等于非零常数k ，则动点P 的轨迹方程是 ( )A.y=k x(x ≠0) B.y=kx(x ≠0) C.y=-kx(x ≠0)D.y=±kx(x ≠0)7.（理科做）圆(x-3)2+(y+4)2=2关于直线x+y=0的对称圆的标准方程是 ( )A.(x+3)2+(y-4)2=2B.(x-4)2+(y+3)2=2C.(x+4)2+(y-3)=2D.(x-3)2+(y-4)2=2 7．（文科做）点A （4，0）关于直线1：5x+4y+21=0的对称点是 （ ） A ．（－6，8） B ．（－8，－6） C ．（6，8） D ．（―6，―8）8.关于x,y 的方程Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是 ( )A.B=0，且A=C ≠0B.B=1且D 2+E 2-4AF ＞0C.B=0且A=C ≠0，D 2+E 2-4AF ≥0D.B=0且A=C ≠0,D 2+E 2-4AF ＞09. 椭圆192522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ）A.5B.6C.4D.1010．为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d 对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为 ( )A.4,6,1,7B.7,6,1,4C.6,4,1,7D.1,6,4,7二.填空题（本大体共6小题，每小题4分，共24分）11．在△ABC 中，A （3，-1）、B （-1，1）、C （1，3）写出△ABC 区域(包含边界)所表示的二元一次不等式组 .12.不等式｜a-b ｜≤｜a ｜+｜b ｜取等号的条件是 .13.圆x 2+y 2+ax=0(a ≠0)的圆心坐标是 .半径为 .14.已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为 .15. 在数列{}n a 中，若11a =，12(1)n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a = 。

高中数学2测试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，则f(-1)的值为：A. 0B. 4C. 8D. 122. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则a5的值为：A. 9B. 10C. 11D. 123. 圆的方程为x^2+y^2-6x-8y+25=0，圆心坐标为：A. (3, 4)B. (-3, -4)C. (3, -4)D. (-3, 4)4. 函数y=x^3-3x^2+4x的单调递增区间为：A. (-∞, 1)B. (1, +∞)C. (-∞, 1) ∪ (2, +∞)D. (-∞, 1) ∪ (1, 2)5. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B的元素个数为：A. 1B. 2C. 3D. 46. 函数y=|x|的图象是：A. 两条直线B. 一条直线C. 两条曲线D. 一条曲线7. 已知向量a=(2, 3)，b=(1, -1)，则a·b的值为：A. 1B. -1C. 0D. 58. 函数y=sin(x)的周期为：A. πB. 2πC. 3πD. 4π9. 已知复数z=2+3i，其模长为：A. √13B. √23C. √33D. √4310. 函数y=x^2-6x+8的顶点坐标为：A. (3, -1)B. (-3, 1)C. (3, 1)D. (-3, -1)二、填空题（每题4分，共20分）11. 等比数列{bn}的第二项b2=8，公比q=2，则b4=________。

12. 已知直线l：y=2x+1与x轴的交点坐标为(-1/2, 0)，则直线l的斜率为________。

13. 函数f(x)=x/(x+1)的值域为________。

14. 已知圆的直径为10，其面积为________。

15. 集合{1, 2, 3, 4, 5}的所有子集个数为________。

三、解答题（每题10分，共50分）16. 已知函数f(x)=x^2-2x-3，求证f(x)在(-∞, 1)上单调递减。

全国高考数学二卷一、单选题 1.tan 3π=（ ）A ．3B ．3C ．1D 32.在三棱锥B ACD -中，若AB AC AD BC BD CD =====，则异面直线AB 与CD 所成角为（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°下3．“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知由小到大排列的4个数据1、3、5、G,若这4个数据的极差是它们中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数是（ ）A.9B.7C.5D.35．设32x y +=，则函数327x y z =+的最小值是（ ）A.12B.6C.27D.306.2020年，一场突如其来的“肺炎”使得全国学生无法在春季正常开学，不得不在家“停课不停学”.为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n 个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如下图所示），已知学习时长在[9,11)的学生人数为25，则n 的值为（ ）A ．40B ．50C ．80D ．1007.设集合{}{}234345M N ==，，，，，， 那么M N ⋃=（ ）A.{} 2345，，，B.{}234，，C.{}345，，D.{}34，8．已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则(2)()1f x g x x =-的定义域为（ ） A.[)(]0,11,2 B.[)(]0,11,4 C.[0,1) D.(1,4]9.下列计算正确的是A.()22x y x y +=+B.()2222x y x xy y -=-- C.()()2111x x x +-=- D.()2211x x -=-10．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. D.11.函数1y x =-的定义域为( )A ．{|21}x x x >-≠且B ．{|21}x x x ≥-≠且C ．)[(21,1,)-⋃+∞D ．)((21,1,)-⋃+∞二、填空题12.定义25(0),()8(0).x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(1,1)-上的函数()f x 满足()()()1f x g x g x =--+，对任意的1212,(1,1),x x x x ∈-≠，恒有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则关于x 的不等式(21)()2f x f x ++>的解集为（ ）。

2024年普通高等学校招生全国统一考试数 学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知 1i z =−− ,则 z =（ ）A. 0B. 1D. 22. 已知命题 :R,11p x x ∀∈+> ; 命题 3:0,q x x x ∃>=,则（ ） A. p 和 q 都是真命题 B. p ¬ 和 q 都是真命题 C. p 和 q ¬ 都是真命题 D. p ¬ 和 q ¬ 都是真命题 3. 已知向量 、a b 满足: 1,22=+=a a b ,且 ()2−⊥b a b ,则 =b （ ）A.12D. 14. 某农业研究部门在面积相等的 100 块稻田上种植新型水稻, 得到各块稻田的 亩产量 (单位: kg ) 并部分整理如下表所示。

亩产 [900,950) [950,1000) [1000,1050) [1050,1150) [1150,1200) 频数 6 12 18 24 10根据表中数据, 下列结论正确的是（ ） A. 100 块稻田亩产量的中位数小于 1050kgB. 100 块稻田中亩产量低于 1100kg 的稻田所占比例超过 40%C. 100 块稻田亩产量的极差介于 200kg 到 300kg 之间D. 100 块稻田亩产量的平均值介于 900kg 到 1000kg 之间5. 已知曲线 ()22:160C x y y +=> ,从 C 上任意一点 P 向 x 轴作垂线段 ,PP P ′′ 为垂足,则线段 PP ′ 的中点 M 的轨迹方程为（ ）A. ()2210164x y y +=>B. ()2210168x y y +=>C. ()2210164y x y +=>D. ()2210168y x y +=>6. 设函数 ()()()211,cos 2f x a x g x x ax =+−=+ ( a 为常数),当 ()1,1x ∈− 时,曲线()y f x = 和 ()y g x = 恰有一个交点,则 a =（ ） A. -1B.12C. 1D. 27. 已知正三棱台 ABC A B C ′−′′ 的体积为 1152,6,23AB A B == ,则 AA ′ 与平 面 ABC 所成角的正切值为（ ）A. 12B. 1C. 2D. 38. 设函数 ()()()ln f x x a x b =++ ,若 ()0f x ≥ ,则 22a b + 的最小值为（ ） A. 18B.14C.12D. 1二、多项选择题:本大题共3个小题，每小题6分，共18分。

2024年高考数学真题试卷（新课标全国Ⅱ卷）1.一、选择题：本题共 8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。

已知，则B.（ ）1A.0 C.2.已知命题p D.2：，；命题q：， A.p 和q ，则（ ）都是真命题 B. C.p 和q 都是真命题和 都是真命题D.和3.都是真命题已知向量满足，且，则（ ）A. B. C.950[900亩产4.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg D.1）并整理如下表量，）1000[950，）1050[1000，）[1050，1100）1200[1150[1100，1150），）频数612183024105.已知曲线C B.100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ）A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg C.100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg之间之间：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ） A. （ ） B. （ ）C.（ ）D.（ 6.）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）A.B.7. D.C.12已知正三棱台的体积为，，，则值为（ ）与平面ABC所成角的正切A. C.28.B.1D.3设函数，若，则的最小值为（ ）A. B. C.9.二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错D.1的得0分.对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 与 有相同的零点 B. 与 有相同的最大值 C.与 有相同的最小正周期D.与10.抛物线C 的图象有相同的对称轴：的准线为l，P为C上的动点，过P作 A.l 点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ 的一条切线，Q为切）与 B.当P ，A ，B 相切三点共线时，C.当时，D.满足的点11.有且仅有2个设函数A.，则（ ）当时， B.有三个零点当时，是C.存在a ，b 的极大值点，使得为曲线 的对称轴D.存在a，使得点为曲线12.的对称中心三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.记为等差数列的前n项和，若，，则13._______________.已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______________.14.在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有_______________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是_______________．15.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知15.1.求A ．15.2.．若，，求16.的周长．已知函数16.1.．当时，求曲线在点16.2.处的切线方程；若17.如图，平面四边形ABCD 有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．17.1.证明：18.1.18.某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q 17.2.求平面PCD与平面PBF ；所成的二面角的正弦值．，各次投中与否相互独立．若，18.2.，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．假设，19.（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为19.1..若，求19.2.；证明：数列是公比为19.3.的等比数列；设为的面积，证明：对任意正整数，参考答案1.C 解析：由复数模的计算公式直接计算即可..若，则故选：C.2.B 解析：.对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，综上，和故选：B.3.B 解析：都是真命题.由得，结合，得，由此即可得解.因为，所以，即，又因为，所以，从而对于 A, 根据频数分布表可知故选：B.4.C 解析：计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断. D., ,所以亩产量的中位数不小于对于B , 故 A 错误；，亩产量不低于的频数为，所以低于的稻田占比为对于C ，故B错误；，稻田亩产量的极差最大为，最小为对于D ，故C正确；，由频数分布表可得，平均值为.故选；C.5.A 解析：，故D错误设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解.设点，则，因为为的中点，所以，即，又在圆上，所以，即，即点的轨迹方程为故选：A6.D 解析：.解法一：令，分析可知曲线与，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 恰有一个交点轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知点只能为0的零，即可得，并代入检验即可.解法一：令，即，可得，令，原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可得，即，解得，若，令，可得因为，则，当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，所以符合题意；综上所述：.解法二：令，原题意等价于有且仅有一个零点，因为，则为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即，解得，若，则，又因为当且仅当时，等号成立，可得，当且仅当时，等号成立，即有且仅有一个零点0，所以故选：D.7.B 解析：符合题意；解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，根据比例关系可得，进而可求正三棱锥的高，即可得结果.解法一：分别取的中点，则，可知，设正三棱台的为，则，解得，如图，分别过作底面垂线，垂足为，设，则，，可得，结合等腰梯形可得,即，解得，所以与平面ABC所成角的正切值为；解法二：将正三棱台补成正三棱锥，则与平面ABC所成角即为与平面ABC所成角，因为，则，可知，则，设正三棱锥的高为，则，解得取底面ABC ，的中心为，则底面ABC，且，所以与平面ABC所成角的正切值故选：B.8.C 解析：.解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值.解法一：由题意可知：的定义域为，令解得；令解得；若，当时，可知，此时，不合题意；若，当时，可知，此时，不合题意；若，当时，可知，此时；当时，可知，此时；可知若，符合题意；若，当时，可知，此时，不合题意；综上所述：，即，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为；解法二：由题意可知：的定义域为，令解得；令解得；则当时，，故，所以；时，，故，所以；故 ，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为故选：C..关键点点睛：分别求、A ，结合符号性分析判断.9.BC 解析：根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论.选项，令，解得，即为零点，令，解得，即为零点，显然B 零点不同，A选项错误；选项，显然C ，B选项正确；选项，根据周期公式，的周期均为D ，C选项正确；选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，的对称轴满足，显然故选：BC10.ABD 解析：A 图像的对称轴不同，D选项错误.选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设A 点坐标进行求解.选项，抛物线的准线为，的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，故准线和B 相切，A选项正确；选项，三点共线时，即，则的纵坐标，由，得到，故，此时切线长C ，B选项正确；选项，当时，，此时，故或，当时，，，，不满足；当时，，，，不满足；于是D选项，不成立，C选项错误；方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，，这里，于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题，，中点，中垂线的斜率为，于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得，，即的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个点，使得，D选项正确.方法二：（设点直接求解）设，由可得，又，又，根据两点间的距离公式，，整理得，，则关于的方程有两个解，即存在两个这样的点，D选项正确.故选：ABD11.AD 解析：A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则；D 为恒等式，据此计算判断选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则A 进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解，据此.选项，，由于，故时，故在上单调递增，时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值，由，，则，根据零点存在定理在上有一个零点，又，，则，则在上各有一个零点，于是时，B 有三个零点，A选项正确；选项，，时，，单调递减，时，单调递增，此时在C 处取到极小值，B选项错误；选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，即存在这样的使得，即，根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的，使得为D选项，的对称轴，C选项错误；方法一：利用对称中心的表达式化简，若存在这样的，使得为的对称中心，则，事实上，，于是即，解得，即存在使得是方法二：直接利用拐点结论的对称中心，D选项正确.任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，，，，由，于是该三次函数的对称中心为，由题意也是对称中心，故，即存在使得是故选：AD结论点睛：（1的对称中心，D选项正确.）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即称中心12.95 解析：是三次函数的对利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.因为数列为等差数列，则由题意得，解得，则.故答案为：.13.解析：法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.法一：由题意得，因为，，则，，又因为，则，，则，则，联立，解得法二：.因为为第一象限角，为第三象限角，则,，，则故答案为： 14.24112 解析：由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1.个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解.由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有种选法；每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字，则所有的可能结果为：，，，，所以选中的方格中，的4个数之和最大，为故答案为：24；112关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果..15.1. 解析：方法一：常规方法（辅助角公式）由可得，即，由于，故，解得方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由，又，消去得到：，解得，又，故方法三：利用极值点求解设，则，显然时，，注意到，，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，即，即，又，故方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设，由题意，，根据向量的数量积公式，，则，此时，即同向共线，根据向量共线条件，，又，故方法五：利用万能公式求解设，根据万能公式，，整理可得，，解得，根据二倍角公式，，又，故15.2. 解析：由题设条件和正弦定理，又，则，进而，得到，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，故的周长为16.1. 解析：当时，则，，可得，，即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为，即.16.2. 解析：解法一：因为的定义域为，且，若，则对任意恒成立，可知在上单调递增，无极值，不合题意；若，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则有极小值，无极大值，由题意可得：，即，构建，则，可知在内单调递增，且，不等式等价于，解得所以a ，的取值范围为；解法二：因为的定义域为，且，若有极小值，则有零点，令，可得，可知与有交点，则，若，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则有极小值，无极大值，符合题意，由题意可得：，即，构建，因为则在内单调递增，可知在内单调递增，且，不等式等价于，解得所以a ，的取值范围为17.1.证明见解析 解析：.由，得，又，在中，由余弦定理得,所以，则，即，所以，又平面，所以平面，又平面，故；17.2. 解析：连接，由，则，在中，，得，所以，由（1）知，又平面，所以平面，又平面，所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系，则，由是的中点，得，所以，设平面和平面的一个法向量分别为，则，，令，得，所以，所以，设平面和平面所成角为，则，即平面和平面所成角的正弦值为.18.1.甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1 解析：次，比赛成绩不少于5分的概率18.2.（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛； 解析：（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15.分的概率为，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为，，，，应该由甲参加第一阶段比赛.(ii)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，，，，，记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩的所有可能取值为0，5，10，15，同理，因为，则，，则，应该由甲参加第一阶段比赛.19.1.，解析：由已知有，故的方程为.当时，过且斜率为的直线为，与联立得到.解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上.故，从而，19.2.证明见解析.解析：由于过且斜率为的直线为，与联立，得到方程.展开即得，由于已经是直线和的公共点，故方程必有一根.从而根据韦达定理，另一根，相应的.所以该直线与的不同于的交点为，而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故一定在的左支上.所以.这就得到，.所以.再由，就知道，所以数列是公比为19.3.证明见解析 解析：的等比数列.方法一：先证明一个结论：对平面上三个点，若，，则.（若在同一条直线上，约定）证明：.证毕，回到原题.由于上一小问已经得到，，故.再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.，都有所以对任意的正整数而又有，，故利用前面已经证明的结论即得.这就表明的取值是与无关的定值，所以.方法二：由于上一小问已经得到，，故.再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.，都有所以对任意的正整数这就得到，以及.两式相减，即得.移项得到.故.而，.所以和平行，这就得到，即.。