新课标-最新华东师大版九年级数学上学期《解直角三角形》综合检测题及答案解析-精编试题

华东师大版 九上数学 24章 《解直角三角形》单元测试卷（含解析）一. 选择题：（每小题2分，共20分）1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则cotE=（ ） A.43 B.34 C. 53 D.35 2. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ） A. 21B.33 C. 1 D. 3 3. 在△ABC 中，若22cos =A ，3tan =B ，则那个三角形一定是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形4. 如图18，在△EFG 中，∠EFG=90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误的是（ ） A.EG EF G =sin B. EF EHG =sinC. FGGH G =sinD. FGFH G =sin5. sin65°与cos26°之间的关系为（ ）A. sin65°<cos26°B. sin65°>cos26°C. sin65°=cos26°D. sin65°+cos26°=16. 已知30°<α<60°，下列各式正确的是（ ）A. B. C. D.7. 在△ABC 中，∠C=90°，52sin A ，则sinB 的值是（ ）A.32B.52 C.54 D. 521 8. 若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是（ ）米2A. 150B.375 C. 9 D. 79. 如图19，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i=2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（ ）A. 7米B. 9米 C. 12米 D. 15米10. 如图20，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（ ）A. αsin 1B. αcos 1C. αsinD. 1二. 填空题：（每小题2分，共10分）11. 已知0°<α<90°，当α=__________时，21sin =α，当α=__________时，Cota=3.12. 若，则锐角α=__________。

第24章 解直角三角形检测题（本检测题满分:120分，时间：120分钟）一、选择题（每小题2分，共24分） 1.计算:tan 45° + Sin 30° =（ ）2. 在直角三角形ABC 中，已知ZC = 9O% ZA = 40o, BC = 3,则AC = （） A. 3sin 40oB. 3sin 50oC. 3taιι 40oD. 3tail 50°3. （2013 <江温州中考）如图，在ZMBC 中，ZC=903AB = 5,3C = 3,则Sin A 的値是（）c∙l4•如图•四边形個S 是梯形，AD//BC. Ci 是Z 万C 的平分线，且ABLAa ZIg1, Q6,则 tan B≡（ ） 5.如图.Rt △遊中，ΛB = 9,BC = 6,ZB = 90o,将△磁折叠，使月点与庞的中点Q 重合. 折痕为MV,则线段Ey 的长为（）7.已知AD//BC^ AB 丄AP ，点E,点尸分别在射线初，射线兀上，若点E 与点B 关于AC 对称，点E 与点F 关于对称，AC 与3D 相交于点G •则（） A. 1+ tan ZADB = V∑C. ZAEB+22? = ZDEFA-2C. 一l + √3 2β∙iA. 2y 3B. 2vr2c∙τ第3題图C.4D. 56.在△/!恭中, 若三边 BU CA,曲满足 BC ： CA ： AB=5 : 12 : 13,则 COS 庆（12 13 D.Z13B. 2BC = 5CF D. 4cosZAGB = >∕62第5题图B第8题图第9题图8•河堤横断面如图所示，堤高於6 m,迎水坡曲的坡比为1 : v J,则曲的长为（A. 12 InB. 4√3 mC. 5√3 mD. 6√3 m9•如图∙ 一个小球由地而沿着坡度/=1：2的坡面向上前进了 10 m,此时小球距离地面的髙 度为（ ）•310.如图，在菱形ABCD 中，DE 丄ΛB ∙ cosA = - , BE=2,贝IJtanZDBE 的值是（）第17题图16. 已知等腰三角形的腰长为2,腰上的A. 5 mB. 2A /5 mA. 1B-2 c∙T11.已知直角三角形两直角边长之和为7,而积为6,则斜边长为（A. 5B- √37C. 712•如图•已知：45o<ZJ<90o,则下列各式成立的是（ ）A. Sin A=COS AB. Sin A>cos AC. Sin Λ>tan A->填空题（每小题3分，共18分）D. Sin A<cos A13•比较大小：8cos 31° _______ 届.（填“>—二”或 “V”）14. 如图，在△月氏中，Z 血¢30° , AB^Aa 肋是證边上的中线，Z M 决丄ZBAC 9CE 交朋于点E …交AD 于点氏若Be=‰则前的长 2 为 ___________ ・ 15. 如图，小兰想测量南塔的髙度，她在A 处仰望塔顶，测得仰角为 30° ,再往塔的方向前进50 m 至B 处，测得仰角为60° ,那么塔髙约为 ____________ 血（小兰身髙忽略不计，≈ 1.732）第Iel 题)高为1,则它的底角等于 ___________ ・17.图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的宜角三角形围成的，^AC =6, SC = 5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ________________________________ •18•在Rt△遊中，ZC二90° , AB^2BG现给出下列结论：①Sin A=—:②COS 5=1 ：③tan A=—:④tan 5=75 ,2 2 3苴中正确的结论是 ____________ •（只需填上正确结论的序号）三、解答题（共78分）19 （8分）计算下列各题:ω√2(2cos45β-s in60β)+^; (2) (-2)° -3tan30β+1√3 - 24 I21.（10分）如图.在一笔直的海岸线2上有乩万两个观测站，月在万的正东方向，AB-2 （单位：加）・有一艘小船在点P处，从E测得小船在北偏西60°的方向，从万测得小船在北偏东45°的方向・（1）求点P到海岸线』的距离：（2）小船从点尸处沿射线汕的方向航行一段时间后，到达点Q处，此时，从万测得小船在北偏西15°的方向•求点Q与点万之间的距离.（上述2小题的结果都保留根号）22.（10分）如图，为了测量某建筑物切的髙度，先在地面上用测角仪自月处测得建筑物顶部的仰角是30° ,然后在水平地而上向建筑物前进了 IoOllb此时自万处测得建筑物顶部的仰角是45°・已知测角仪的高度是1. 5 m,请你计算出该建筑物的髙度•（取√323.（8 分）如图，在梯形ABCD中，AD//BC. AB = CD = AD. BDLCD.（1）求SinZDBC的值：（2）若BC长度为4 cm,求梯形ABCD的而积.24.（10分）如图，在一次数学课外实践活动中，小文在点Q处测得树的顶端川的仰角为37° ,Q20 m,求树的高度月3（参考数据：Sin 37 ≈0.60, COS 37 ≈0.80, tan 37 ≈0.75 ）25.（10分）如图，在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟30 m的速度沿着仰角为60。

第24章《解直角三角形》单元测试参考答案一．选择题（每小题3分，共24分）1答案：D．解：由α为锐角，且sinα=，得cosα===，tanα===，故选：D．2．答案：D．解：在直角△OAC中，OC=2，AC=3，则OA===，则sin∠AOB===．故选D．3．答案：A．解：在Rt△BDC中，BF=CF，∴DF=BC，Rt△ABC中，AE=CE，∴BE=AC，∵BC＜AC，∴BE＞DF，故选：A．4．答案：D．解：A、==3，是无理数；B、4π是无理数；C、sin45°=是无理数；D、==2，是有理数；故选D．5．答案：C．解：∵sin∠CAB===，∴∠CAB=45°．∵==，∴∠C′AB′=60°．∴∠CAC′=60°﹣45°=15°，鱼竿转过的角度是15°．故选：C．6．答案：C．解：作ME⊥OB于E，∵MD⊥OB，∠OMD=75°，∴∠MOD=15°，∵OM平分∠AOB，∴∠AOB=2∠MOD=30°，∵MC∥OB，∴∠ECM=∠AOB=30°，∴EM=MC=4，∵OM平分∠AOB，MD⊥OB，ME⊥OB，∴MD=ME=4，故选：C．7．答案：B．解：连接AH，CH，∵在四边形ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，H是BD的中点，∴AH=CH=BD．∵点G时AC的中点，∴HG是线段AC的垂直平分线，∴∠EGH=90°．∵∠BEC=80°，∴∠GEH=∠BEC=80°，∴∠GHE=90°﹣80°=10°．故选B．8．答案：C．解：如图：过点M作MN⊥AC于点N，根据题意得：∠MAN=60°﹣30°=30°，∠BCM=75°，∠DCA=60°，∴∠MCN=180°﹣75°﹣60°=45°，设MN=x米，在Rt△AMN中，AN==x（米），在Rt△CMN中，CN==x（米），∵AC=1000米，∴x+x=1000，解得：x=500（﹣1），∴AN=x≈634（米）．故选C．二．填空题（每小题3分，共24分）9．答案：55°．解：∵sinα=cos35°，∴α=90°﹣35°=55°，故答案为55°．10．答案：．解：∵A（﹣1，3），∴OA=，∴角α的余弦值为=；故答案为：．11．答案：0°＜∠A＜45°．解：∵∠A是Rt△ABC的一个内角，∴∠A＜90°，∵sinA＜，∴0°＜∠A＜45°．12．答案：．解：∵AD、BE分别是△ABC中BC、AC边上的高，∴∠BDA=∠ADC=90°，∴∠CBE=∠DAC，∵∠ADC=90°，AD=4，AC=6，∴CD=，∴sin，∴sin∠EBC=，故答案为：．13．答案：．解：令α=45°，β=30°，则sin15°=×﹣×，=．故答案为：．14．答案：1﹣．解：∵30°＜α＜β＜90°，∴cosβ＜cosα，cosβ＜．∴原式=|cosβ﹣cosα|+cosβ﹣+1﹣cosα=﹣cosβ+cosα+cosβ﹣+1﹣cosα=1﹣．故答案为：1﹣．15．答案：150a.解：如图，作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，∵∠BAC=150°，∴∠DAC=30°，∵CD⊥BD，AC=30m，∴CD=15m，∵AB=20m，∴S△ABC=AB×CD=×20×15=150m2，∵每平方米售价a元，∴购买这种草皮的价格为150a 元．故答案为：150a．16．答案：．解：如图，延长AD交地面于E，过D作DF⊥CE于F．∵∠DCF=45°，∠A=60°，CD=4m，∴CF=DF=m，EF=DFtan60°=（m）．∵，∴（m）．三．解答题（８个小题，共72分）17. 解：（1）原式=4×﹣×+×=1+3；（2）原式=•+（）2﹣+2×=+﹣+=1+．18. 解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，AB=10，sinB==，∴=，∴AD=6，在Rt△ACD中，由勾股定理得CD2=AC2﹣AD2，∴CD2=（2）2﹣62=16，∴CD=4，∴tanC===；（2）在Rt△ABD中，AB=10，AD=6，∴由勾股定理得BD=8，由（1）得CD=4，∴BC=BD+CD=12．19. 解：∵点E是Rt△ABC，Rt△ACD斜边AC的中点，∴BE=DE=AC=CE，DE⊥AC，∴∠ACB=∠EBC，∠BDE=∠EBD，又∵∠ACB=30°，∴∠AEB=∠EBC+∠ECB=30°+30°=60°∴∠BED=∠BEA+∠DEA=60°+90°=150°∴∠BDE=（180°﹣∠BED）=（180°﹣150°）=15°．20. 解：如图，PQ⊥AB于点C．∵在Rt△QBC中，QC：BC=5：12，∴设QC=5x米，BC=12x米，∵BQ=13米，∴（5x）2+（12x）2=132，∴x=±1（负值舍去），∴QC=5米，BC=12米．∵AB=8米，∴AC=AB+BC=20米．∵tanα=0.75，∴=0.75，即=0.75，∴PC=15．∴PQ=PC﹣QC=15﹣5=10米．答：香樟树PQ的高度为10米．21.解：如图，作BE⊥l于点E，DF⊥l于点F．根据题意，得BE=24mm，DF=48mm．在Rt△ABE中，sin，∴mm在Rt△ADF中，cos，∴mm．∴矩形ABCD的周长=2（40+60）=200mm．22．解：（1）作AD⊥OC，易知台风中心O与A市的最近距离为AD的长度，∵由题意得：∠DOA=45°，OA=60km，∴AD=DO=60÷=60km，∵60＞50，∴A市不会受到此台风的影响；（2）作BG⊥OC于G，∵由题意得：∠BOC=30°，OB=80km，∴BG=OB=40km，∵40＜50，∴会受到影响，如图：BE=BF=50km，由题意知，台风从E点开始影响B城市到F点影响结束，∴EG==30km，∴EF=2EG=60km，∵风速为40km/h，∴60÷40=1.5小时，∴影响时间约为1.5小时．23. 解：过点N作NF⊥AE于点F，则四边形NDEF为矩形，ND=EF，设BF=x米，在Rt△BMF中，∵∠BMF=30°，∴MF=BF=x，∵MN=10米，∴NF=x﹣10，∵∠ANF=45°，∴AF=NF=x﹣10，∴x﹣10+1.7=18.7，解得：x=9，则AB=AF﹣BF=17﹣9．即广告屏幕AB的长度为（17﹣9）米．24．解：（1）△A1A2B2是等边三角形，理由如下：连结A1B2．∵甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，航行20分钟到达A2，∴A1A2=30×=10，又∵A2B2=10，∠A1A2B2=60°，∴△A1A2B2是等边三角形；（2）如图，∵B1N∥A1A2，∴∠A1B1N=180°﹣∠B1A1A2=180°﹣105°=75°，∴∠A1B1B2=75°﹣15°=60°．∵△A1A2B2是等边三角形，∴∠A2A1B2=60°，A1B2=A1A2=10，∴∠B1A1B2=105°﹣60°=45°．在△B1A1B2中，∵A1B2=10，∠B1A1B2=105°﹣60°=45°，∠A2A1B2=60°，由阅读材料可知，=，解得B1B2==，所以乙船每小时航行：÷=20海里．。

第25章《解直角三角形》整章测试一.选择题（每小题3分，共24分）1.在Rt △ABC 中， ∠C=90︒，AB=4，AC=1，则cos A 的值是（ ）（A(B)14(D)４2.计算：2)130(tan -︒＝（ ）(Ａ)331-(B)13- (Ｃ)133- （D ）１－3 3.在ABC ∆中，,A B ∠∠都是锐角，且sinA ＝21， cosB ＝23，则ABC ∆的形状（ ） （A ）直角三角形（B ）钝角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）不能确定4.如图，在Rt ABC △中，tan B =，BC =则AC 等于（ ） （A ）3（B ）4（C）（D ）65.如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小颖的 眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ） (A)32）m (B)（32）m (D)4m 6．因为1sin 302=，1sin 2102=-， 所以sin 210sin(18030)sin30=+=-；因为2sin 45=，sin 225=-， 所以sin 225sin(18045)sin 45=+=-，由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin(180)sin αα+=-，由此可知：sin 240=（ ）（A ）12-(B)-(C)-(D)7．如图，客轮在海上以30km/h 的速度由B 向C 航行，在B 处测得 灯塔A 的方位角为北偏东80，测得C 处的方位角为南偏东25，航行1小时后到达C 处，在C 处测得A 的方位角为北偏东20，则C 到A 的距离是（ ）(A)(B)(C)km (D)km北8.如图，在Rt ABC △中，906cm A AC ∠==，，8cm AB =，把AB 边翻折，使AB 边落在BC 边上，点A 落在点E 处，折痕为BD ， 则sin DBE ∠的值为（ ） (A)13(B)310二.填空题（每小题3分，共24分） 9．计算sin 60tan 45cos30-的值是 ．10. 用“>”或“<”号填空：1sin 50cos 402-0．（可用计算器计算） 11.在Rt ABC △中，90C ∠=，:3:4BC AC =，则cos A = ． 12．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC =3米，3cos 4BAC ∠=，则梯子AB 的长度为 米．13.如图，一轮船由南向北航行到O 处时，发现与轮船相距40海里的A 岛在北偏东33方向．已知A 岛周围20海里水域有暗礁， 如果不改变航向，轮船 （填“有”或“没有”）触暗礁 的危险．（可使用科学计算器）14. 如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE=6cm ，3sin 5A =，则菱形ABCD 的面积是__________2cm ． 15.根据指令[s,A]（s ≥0,0°≤A ＜360°）机器人在平面上能完成如下动作：先在原地逆时针旋转角度A ，再朝其面对的方向沿直线行走距离s ．现在机器人在平面直角坐标系的原点，且面对y 轴的负方向，为使其移动到点（－3，3），应下的指令是 ．16. 有古诗“葭生池中”今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问： 水深.葭长各几何？（1丈=10尺）回答：水深 ，葭长 . 三.解答题（本大题共52分）17.（本题845sin 60)4︒-︒+．ABCDEA BC18.（本题10分）某校数学兴趣小组在测量一座池塘边上A B ，两点间的距离时用了以下三种测量方法，如下图所示．图中a b c ，，表示长度，β表示角度．请你求出AB 的长度（用含有a b c β，，，（1）______AB = （2）______AB = （3）______AB =19.（本题10分）小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m ，50m ，第三边上的高为30m ，请你帮小强计算这块菜地的面积（结果保留根号）．20.（本题12分）海中有一个小岛P ，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A 测得小岛P 在北偏东60°方向上，航行12海里到达B 点，这时测得小岛P 在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．（1）c21.（本题12分）如图，AC 是某市环城路的一段，AE ，BF ，CD 都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A ，B ，C ．经测量花卉世界D 位于点A 的北偏东45°方向.点B 的北偏东30°方向上，AB ＝2km ，∠DAC＝15°． （1）求B ，D 之间的距离； （2）求C ，D 之间的距离．四.附加题（本题20分）22. 现代家居设计的“推拉式”钢窗，运用了轨道滑行技术，纱窗装卸时利用了平行四边形的不稳定性，操作步骤如下：（1）将矩形纱窗转化成平行四边形纱窗后，纱窗上边框嵌入窗框的上轨道槽（如图1）． （2）将平行四边形纱窗的下边框对准窗框的下轨道槽（如图2）．（3）将平行四边形纱窗还原成矩形纱窗，同时下边框嵌入窗框的下轨道槽（如图3）．在装卸纱窗的过程中，如图所示α∠的值不得小于81，否则纱窗受损．现将高96cm 的矩形纱窗恰好安装在上.下槽深分别为0.9cm ，高96cm （上.下槽底间的距离）的窗框上．试求合理安装纱窗时α∠的最大整数值．（下表提供的数据可供使用）ABC 中山路文化路D 和平路45° 15° 30°EF 图1图2图3参考答案一.1～8 BABA ACDD 二.9.0 10. > 11.3512. 4 13.没有 14. 6015.225⎡⎤⎣⎦16. 12尺，13尺三.17.解：=原式2=2=18.解：（1）AB = （2）tan AB a β= （3）ac AB b=． 19．解：分两种情况：（1）当ACB ∠为钝角时， BD 是高，90ADB ∴∠=．在Rt BCD △中，40BC =，30BD =∴CD ===在Rt ABD △中，50AB =，∴40AD ==．40AC AD CD ∴=-=-∴211(4030(600)22ABC S AC BD ==-⨯=-△． （2）当ACB ∠为锐角时， BD 是高，90ADB BDC ∴∠=∠=，在Rt ABD △中，5030AB BD ==，，40AD ∴==．同理CD ===∴(40AC AD CD =+=+，∴211(4030(600)22ABC S AC BD ==+⨯=+△．综上所述：2(600)ABC S =±△.20．解：有触礁危险．理由： 过点P 作PD ⊥AC 于D ．设PD 为x ，在Rt △PBD 中，∠PBD=90°－45°＝45°． ∴BD ＝PD ＝x ．在Rt △PAD 中，∵∠PAD ＝90°－60°＝30°，∴x ．xAD 330tan =︒= ∵BD ，AB AD +=∴x ．x +=123 ∴)13(61312+=-=x ．∵，＜18)13(6+∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．21. 解：（1）由题意得，∠EA D =45°，∠FBD=30°．∴ ∠EAC=∠EA D +∠DA C =45°+15°=60°． ∵ AE∥BF∥CD，∴ ∠FBC=∠EAC =60°． ∴ ∠DBC=30°．又∵ ∠DBC=∠DAB+∠ADB， ∴ ∠ADB=15°．∴ ∠DAB=∠ADB． ∴ BD=AB=2． 即B ，D 之间的距离为2km ．（2）过B 作BO⊥DC，交其延长线于点O ， 在Rt△DBO 中，BD=2，∠DBO=60°． ∴ DO=2×sin60°=2×323=,BO=2×cos60°=1． 在Rt△CBO 中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°=33， ∴ CD=DO－CO=332333=-（km ）． 即C ，D 之间的距离为332km ． 22. 解：能够合理装上平行四边形纱窗时的最大高度：960.995.1-=（cm ）能够合理装上平行四边形纱窗时的高：96sin α∠或96cos(90)α-∠·° 当81α∠=°时，纱窗高：96sin 81960.98794.75295.1=⨯=<°∴此时纱窗能装进去，当82α∠=°时，纱窗高：96sin82960.99095.0495.1=⨯=<° ∴此时纱窗能装进去．当83α∠=°时，纱窗高：96sin 83960.99395.32895.1=⨯=>° ∴此时纱窗装不进去． 因此能合理装上纱窗时α∠的最大值是82°.。

九年级数学上学期：第24章检测题(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，若OP 与x 轴正半轴的夹角为α，下列结论正确的是( A )A ．tan α＝43B ．tan α＝45C ．sin α＝35D ．cos α＝542．(三明中考)如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边BC 的长是( A )A ．m sin35°B ．m cos35° C.m sin35° D.mcos35° ,第2题图) ,第5题图),第7题图)3．计算6tan 45°－2cos 60°的结果是( D )A ．4 3B ．4C ．5 3D ．54．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝513，则tan B 的值为( D ) A.1213 B.512 C.1312 D.1255．如图，网格中的小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则∠A 的正弦值是( D )A.3510B.12C.255D.556．如果∠A，∠B 均为锐角，且2sin A －1＋(3tan B －3)2＝0，那么△ABC 是( B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形 7．如图，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1∶3，堤高BC ＝10 m ，则坡面AB 的长度是( C )A ．15 mB ．20 3 mC ．20 mD ．10 3 m8．如图，CD 是平面镜，光线从A 点射出，经CD 上点E 反射后照射到B 点，若入射角为α，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C ，D ，且AC ＝3，BD ＝6，CD ＝11，则tan α的值为( D )A.113B.311C.911D.119,第8题图) ,第9题图),第10题图)9．江津四面山是国家5A 级风景区，里面有一个景点被誉为亚洲第一岩——土地神岩，土地神岩壁画高度从石岩F 处开始一直竖直到山顶E 处，为了测量土地神岩上壁画的高度，小明从山脚A 处，沿坡度i ＝0.75的斜坡上行65米到达C 处，在C 处测得山顶E 处仰角为26.5°，再往正前方水平走15米到达D 处，在D 处测得壁画底端F 处的俯角为42°，壁画底端F 处距离山脚B 处的距离是12米，A ，B ，C ，D ，E ，F 在同一平面内，A ，B 在同一水平线上，EB ⊥AB ，根据小明的测量数据，则壁画的高度EF 为(精确到0.1米，参考数据：sin 26.5°≈0.45，cos 26.5°≈0.9，tan 26.5°≈0.5，sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.9)(A)A ．49.5米B ．68.7米C ．69.7米D ．70.2米10．如图，从点A 处观测一山坡上的电线杆PQ ，测得电线杆顶端P 的仰角是45°，向前走6 m 到达B 点，测得电线杆顶端P 和底端Q 的仰角分别是60°和30°，则该电线杆PQ 的高度(A) A ．6＋2 3 B ．6＋ 3 C ．10－ 3 D ．8＋ 3二、填空题(每小题3分，共24分)11．计算：tan 45°－13(3－1)0＝__23__． 12．如图，某山坡的坡面AB ＝200米，坡角∠BAC＝30°，则该山坡的高BC 的长为__100__米．13．如图，∠B ＝∠C，DE ⊥BC 于E ，EF ⊥AB 于F ，∠ADE 等于140°，∠FED ＝__50°__．,第12题图) ,第13题图),第14题图)14．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE ＝6 cm ，sin A ＝35，则菱形ABCD 的面积是__60__cm 2.15．将一副三角尺按如图所示叠放在一起，则BE EC 的值是__33__． 16．如图，△ABC 的顶点A ，C 的坐标分别是(0，4)，(3，0)，且∠ACB＝90°，∠B ＝30°，则顶点B 的坐标是__(3＋43，33)__．,第15题图) ,第16题图),第18题图)17．在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，∠BAC ＝30°，则△ABC 的面积为__23＋5或23－5__．18．为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5 米，宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出__17__个这样的停车位．(2≈1.4)三、解答题(共66分)19．(8分)计算：(1)(－12)0＋(13)－1·23－|tan 45°－3|； (2)24sin 45°＋cos 230°－12·tan 60°＋2sin 60°.解：2＋3 解：1＋53620．(8分)如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求sin C 的值．解：121321．(8分)(2018·岳阳)图1是某小区入口实景图，图2是该小区入口抽象成的平面示意图．已知入口BC 宽3.9米，门卫室外墙AB 上的O 点处装有一盏路灯，点O 与地面BC 的距离为3.3米，灯臂OM 长为1.2米(灯罩长度忽略不计)，∠AOM ＝60°.(1)求点M 到地面的距离；(2)某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD 保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．(参考数据：3≈1.73，结果精确到0.01米)解：(1)如图，过M 作MN⊥AB 于N ，交BA 的延长线于N ，在Rt △OMN 中，∠NOM ＝60°，OM＝1.2，∴∠M＝30°，∴ON＝12OM＝0.6，∴NB＝ON＋OB＝3.3＋0.6＝3.9，即点M到地面的距离是3.9米．(2)取CE＝0.65，EH＝2.55，∴HB＝3.9－2.55－0.65＝0.7，过H作GH⊥BC，交OM于G，过O作OP⊥GH于P.∵∠GOP＝30°，∴tan30°＝GPOP＝33，∴GP＝33OP＝1.73×0.73≈0.404，∴GH＝3.3＋0.404＝3.704≈3.70＞3.5，∴货车能安全通过．22．(10分)(2018·铁岭)如图，某地质公园中有两座相邻小山．游客需从左侧小山山脚E处乘坐竖直观光电梯上行100米到达山顶C处，然后既可以沿水平观光桥步行到景点P 处，也可以通过滑行索道到达景点Q处，在山顶C处观测坡底A的俯角为75°，观测Q处的俯角为30°，已知右侧小山的坡角为30°.(图中的点C，E，A，B，P，Q均在同一平面内，点A，Q，P在同一直线上)(1)求∠CAP的度数及CP的长度；(2)求P，Q两点之间的距离．(结果保留根号)解：(1)∵PC∥AB，∴∠APC＝∠PAB＝30°，∴∠CAP＝180°－75°－30°＝75°，∴∠CAP＝∠PCA，∴PC＝AP，过P作PF⊥AB于F，则PF＝CE＝100，∴PA＝2PF＝200米，∴PC＝PA＝200米．(2)∵∠PCQ＝∠QPC＝30°，∴CQ＝PQ.过Q作QH⊥PC于H，∴PH＝12PC＝100，∴PQ＝PHcos30°＝20033米．答：P，Q两点之间的距离是20033米．23．(8分)(2018·镇江)如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24米，小明在点E(B，E，D在一条直线上)处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8米到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°.已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB的高度．(精确到0.1米，参考值：2≈1.41，3≈1.73)解：延长HF交CD于点N，延长FH交AB于点M，如右图所示，由题意可得，MB＝HG＝FE＝ND＝1.6 m，HF＝GE＝8 m，MF＝BE，HN＝GD，MN＝BD＝24 m，设AM＝x m，则CN＝x m，在Rt△AFM中，MF＝AMtan45°＝x1＝x，在Rt△CNH中，HN＝CNtan30°＝x33＝3x，∴HF＝MF＋HN－MN＝x＋3x－24，即8＝x＋3x－24，解得x≈11.7，∴AB＝11.7＋1.6＝13.3 m，答：教学楼AB的高度AB长13.3 m.24.(12分)为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度，一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A ，B 两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C 处海域．如图所示，AB ＝60(6＋2)海里，在B 处测得C 在北偏东45°的方向上，A 处测得C 在北偏西30°的方向上，在海岸线AB 上有一灯塔D ，测得AD ＝120(6－2)海里．(1)分别求出A 与C 及B 与C 的距离AC ，BC ；(结果保留根号)(2)已知在灯塔D 周围100海里范围内有暗礁群，我在A 处海监船沿AC 前往C 处盘查，途中有无触礁的危险？(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)解：(1)过点C 作CE⊥AB 于点E ，可得∠CBD ＝45°，∠CAD ＝60°，设CE ＝x ，在Rt△CAE 中，AE ＝CE·tan30°＝33x ，在Rt △BCE 中，BE ＝CE ＝x ，∵AB ＝60(6＋2)海里，∴x ＋33x ＝60(6＋2)，解得x ＝606，则AC ＝233x ＝1202，BC ＝2x ＝1203，答：A 与C 的距离为1202海里，B 与C 的距离为1203海里．(2)过点D 作DF⊥AC 于点F ，在△AD F 中，∵AD ＝120(6－2)，∠CAD ＝60°，∴DF ＝ADsin60°＝1802－606≈106.8＞100，故海监船沿AC 前往C 处盘查，无触礁的危险．25．(12分)如图，已知斜坡AB 长602米，坡角(即∠BAC)为45°，BC ⊥AC ，现计划在斜坡中点D 处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA 的休闲平台DE 和一条新的斜坡BE.(1)若修建的斜坡BE 的坡比为3∶1，求休闲平台DE 的长是多少米？(2)一座建筑物GH 距离A 点33米远(即AG ＝33米)，小亮在D 点测得建筑物顶部H 的仰角(即∠HDM)为30°，点B ，C ，A ，G ，H 在同一个平面内，点C ，A ，G 在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH 高为多少米？解：(1)∵FM∥CG ，∴∠BDF ＝∠BAC ＝45°.∵斜坡AB 长602，D 是AB 的中点，∴BD ＝30 2.在△BDF 中，DF ＝BD ·cos ∠BDF ＝30，BF ＝DF ＝30.∵斜坡BE 的坡比为3∶1，∴BF EF ＝31，∴EF ＝103，∴DE ＝DF －EF ＝30－103，即休闲平台DE 的长是(30－103)米． (2)设GH ＝x 米，则MH ＝GH －GM ＝x －30，DM ＝AG ＋AP ＝33＋30＝63.在Rt △DMH 中，tan30°＝MH DM ，即x －3063＝33，解得x ＝30＋213，则建筑物GH 的高为(30＋213)米．。

第24章检测题(时间：100分钟 满分：120分)一、精心选一选(每小题3分，共30分)1．如图，在平面直角坐标系中，直线OA 过点(2，1)，则tan α的值是( C ) A.55 B. 5 C.12D ．2(第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图)2．河堤横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比为1∶3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，则AC 的长是( A )A ．53米B ．102米C ．15米D ．10米3．如图，正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点M ，N 分别为OB ，OC 的中点，则cos ∠OMN 的值为( B ) A.12 B.22 C.32D ．1 4．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE ＝α，且cos α＝35，AB ＝4，则AC 的长为( C )A ．3 B.165 C.203 D.1635．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝2，CD ＝3，则AB ＝( D )A ．4B ．5C ．2 3 D.833(第5题图) (第6题图) (第9题图) (第10题图)6．如图，cos B ＝22，sin C ＝35，AC ＝5，则△ABC 的面积是( A ) A.212B ．12C ．14D ．21 7．式子2cos 30°－tan 45°－（1－tan 60°）2的值是( B )A ．23－2B ．0C ．2 3D ．28．李红同学遇到了这样一道题：3tan (α＋20°)＝1，你认为锐角α的度数应是( D )A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°9．为了测量被池塘隔开的A ，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB ⊥BE ，EF ⊥BE ，AF 交BE 于D ，C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC ，∠ACB ；②CD ，∠ACB ，∠ADB ；③EF ，DE ，BD ；④DE ，DC ，BC.能根据所测数据，求出A ，B 间距离的有( C )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组10．如图，某人在大楼30米高(即PH ＝30米)的窗口P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°，已知该山坡的坡角i 为1∶3，点P ，H ，B ，C ，A 在同一个平面上，点H ，B ，C 在同一条直线上，且PH ⊥HC.则A ，B 两点间的距离是( B )A ．15米B ．203米C ．202米D ．103米二、细心填一填(每小题3分，共24分)11．若α为锐角，cos α＝35，则sin α＝__45__，tan α＝__43__． 12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝512，△ABC 的周长为18，则S △ABC ＝__545__． 13．小志同学书桌上有一个电子相框，将其侧面抽象如图所示的几何图，已知AB ＝AC ＝15 cm ，∠BAC ＝40°，则点A 到BC 的距离为__14.1__cm.(参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，sin40°≈0.643，cos40°≈0.766.结果精确到0.1 cm ，可用科学计算器)(第13题图) (第15题图) (第16题图) (第17题图)14．在△ABC 中，若|2cos A －1|＋(3－tan B)2＝0，则∠C ＝__60°__．15．如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，若过点C作CD ⊥AB 于点D ，则∠BCD ＝15°，根据图形计算tan 15°＝．16．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD ，BC ∥AD ，迎水坡AB长13米，且tan ∠BAE ＝125，则河堤的高BE 为__12__米． 17．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且BD 平分AC.若BD ＝8，AC ＝6，∠BOC ＝120°，则四边形ABCD 的面积为__．(结果保留根号)18．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，tan A ＝43.点D ，E 分别是边BC ，AC 上的点，且∠EDC ＝∠A.将△ABC 沿DE 所在直线对折，若点C 恰好落在边AB 上，则DE 的长为__12548__． 三、用心做一做(共66分)19．(10分)解下列各题：(1)先化简，再求代数式(1x ＋x ＋1x )÷x ＋2x 2＋x 的值，其中x ＝3cos 30°＋12； 解：原式＝x ＋1，当x ＝2时，原式＝3(2)已知α是锐角，且sin(α＋15°)＝32.计算8－4cos α－(π－3.14)0＋tan α＋(13)－1的值． 解：α＝45°，原式＝320．(8分)解下列各题：(1)已知∠A ，∠B ，∠C 是锐角三角形ABC 的三个内角，且满足(2sin A －3)2＋tan B －1＝0，求∠C 的度数；解：75°(2)(原创题)已知tan α的值是方程x 2－x －2＝0的一个根，求式子3sin α－cos α2cos α＋sin α的值． 解：∵方程的根为x 1＝2，x 2＝－1.又∵tan α＞0，∴tan α＝2，∴原式＝3tan α－12＋tan α＝3×2－12＋2＝5421．(10分)如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan B ＝cos ∠DAC.(1)求证：AC ＝BD ；(2)若sin C ＝1213，BC ＝12，求AD 的长．解：(1)∵AD 是BC 上的高，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∠ADC ＝90°，在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，∵tanB ＝AD BD ，cos ∠DAC ＝AD AC，又tanB ＝cos ∠DAC ，∴AD BD ＝AD AC ，∴AC ＝BD (2)在Rt △ADC 中，sinC ＝1213，故可设AD ＝12k ，AC ＝13k ，∴CD ＝AC 2－AD 2＝5k.∵BC ＝BD ＋CD ，AC＝BD ，∴BC ＝13k ＋5k ＝18k ，∴18k ＝12，∴k ＝23，∴AD ＝12k ＝12×23＝822．(8分)如图，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC 的高度，他们在斜坡上D 处测得大树顶端B 的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A 处，在A 处测得大树顶端B 的仰角是48°.若坡角∠FAE ＝30°，求大树的高度．(结果保留整数．参考数据：sin 48°≈0.74，cos 48°≈0.67，tan 48°≈1.11，3≈1.73)解：延长BD 交AE 于点G ，过点D 作DH ⊥AE 于点H.由题意知∠DAE ＝∠BGA ＝30°，DA ＝6，∴GD ＝DA ＝6，∴GH ＝AH ＝DA ·cos30°＝33，∴GA ＝6 3.设BC 的长为x 米．在Rt △GBC 中，GC ＝BC tan ∠BGC＝x tan30°＝3x.在Rt △ABC 中，AC ＝BC tan ∠BAC ＝x tan48°∵GC －AC ＝GA ，∴3x －x tan48°＝63，∴x ≈13，即大树的高度约为13米23．(8分)如图，登山缆车从点A 出发，途经点B 后到达终点C.其中AB 段与BC 段的运行路程均为200 m ，且AB 段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC 段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A 运行到点C 的垂直上升的距离．(参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90)解：根据题意可知∠BAD ＝30°，∠CBE ＝42°，AB ＝BC ＝200 m ．在Rt △ABD 中，BD ＝AB ·sin30°＝200×12＝100(m )．在Rt △BCE 中，CE ＝BC ·sin42°≈200×0.67＝134(m )，∴BD ＋CE ≈100＋134＝234(m )，因此，缆车从点A 运行到点C 的垂直上升的距离约为234 m24．(10分)如图是我国某海域内的一个小岛，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝15千米，CD ＝32千米，请据此解答如下问题：(1)求该岛的周长和面积；(结果保留整数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，6≈2.449)(2)求∠ACD 的余弦值．解：连结AC ，∵AB ＝BC ＝15千米，∠B ＝90°，∴∠BAC ＝∠ACB ＝45°，AC ＝152千米，又∵∠D ＝90°，∴AD ＝AC 2－CD 2＝（152）2－（32）2＝123(千米)，∴周长＝AB ＋BC ＋CD ＋DA ≈55(千米)，面积＝S △ABC ＋S △ADC ≈157(平方千米)(2)cos ∠ACD ＝CD AC ＝32152＝1525．(12分)如图，甲、乙只捕捞船同时从A 港出海捕鱼，甲船以每小时15 2 km 的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以每小时15 km 的速度沿东北方向前进．甲船航行2 h 到达C 处，此时甲船发现渔具丢在了乙船上，于是甲船快速(匀速)沿北偏东75°的方向追赶乙船，结果两船在B 处相遇．问： (1)甲船从C 处出发追赶上乙船用了多少时间？(2)甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？解：过点A 作AM ⊥BC 于点M ，如图，(1)设甲船从C 处出发追赶上乙船用了x h ，则乙船从A 到B 用了(x ＋2)h.在Rt △ACM 中，AC ＝152×2＝302(km )，∴MC ＝AM ＝AC ·sin ∠ACB ＝302×22＝30(km )．在Rt △ABM 中，AM ＝12AB ，∴30＝12×15×(x ＋2)，解得x ＝2，答：甲船从C 处出发追赶上乙船用了2 h (2)在Rt △ABM 中，AM ＝30 km ，AB ＝60 km ，∴BM ＝AB 2－AM 2＝602－302＝303(km )，∴BC ＝MC ＋BM ＝30(1＋3)(km )，∴甲船追赶乙船的速度是30（1＋3）2＝15(1＋3)km/h.答：甲船追赶乙船的速度是每小时15(1＋3)千米。

九年级数学上册《第二十四章 解直角三角形》 单元测试卷及答案-华东师大版（考试时间：60分钟 总分：100分）一、选择题1．如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB 在地面上的影子长DE ＝1.8m ，窗户下沿到地面的距离BC ＝1m ，EC ＝1.2m ，那么窗户的高AB 为（ ）A ．1.5mB ．1.6mC ．1.86mD ．2.16m2．若某三角形的三边长分别为3，4，m ，则m 的值可以是（ ）A ．1B ．5C ．7D ．93．如图，某段河流的两岸互相平行，为测量此段的河宽AB （AB 与河岸垂直），测得AC 两点的距离为m 米θACB ∠=，则河宽AB 的长为（ ）A ．θm tan ⋅B ．θm sin ⋅C ．θm cos ⋅D ．θmtan 4．在△ABC 中，△C ＝90°，sinB ＝45，则tanA ＝（ ） A ．43B ．34C ．35D ．455．数学兴趣小组的同学们来到宝安区海淀广场，设计用手电来测量广场附近某大厦CD 的高度，如图，点P 处放一水平的平面镜．光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD 的顶端C 处，已知AB BD ⊥，CD BD ⊥且测得1AB =米， 1.5BP =米，48PD =米，那么该大厦的高度约为（ ）A ．32米B ．28米C ．24米D ．16米6．已知等腰三角形周长为13cm ，其中一边长为3cm ，则该等腰三角形的腰长为( )A ．7cmB ．3cmC ．5cm 或3cmD ．5cm7．如图2，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为边BC 的中点，连结OE ．若68AC BD ==，，则OE =（ ）A ．2B ．52C ．3D ．48．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则θsin =（ ）A ．45B ．35 C ．25 D ．15 9．如图，点A 在双曲线(0)k y x x =-<上，连接OA ，作OB OA ⊥，交双曲线9(0)y x x=>于点B连接AB ．若4sin 5B =，则k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．94D ．1610．如图所示，有一天桥高AB 为5米，BC 是通向天桥的斜坡45ACB ∠=︒市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C 延伸到D 处，使30D ∠=︒则CD 的长度约为（参考数据：2 1.4143 1.732≈≈，）（ ）A ．1.59米B ．2.07米C ．3.55米D ．3.66米二、填空题11．如图，某学生利用一根长1米的标杆EC 测量一棵树的高度，测得3BC =米，1CA =米，那么树的高度DB 为 米.12．如图，CD 为Rt△ABC 斜边AB 上的中线，E 为AC 的中点．若8AC =，5CD =则DE= ．13．454tan ︒= ． 14．在Rt ABC 中90C ∠=︒，67sinA =则cosB = ． 三、解答题15．位于陕西省渭南市澄城县城以南6公里处的印象古徵民俗文化园将现代都市生活与田园乡村气息完美结合，原汁原味的关中民俗风情诱惑着一批又一批的人前来游览．某个天气晴好的周末，欢欢和乐乐两个人去印象古徵民俗文化园游玩，看见园中的一棵大树，于是他们想运用所学知识测量这棵树的高度．如图，乐乐站在大树AB 的影子BC 的末端C 处，同一时刻，欢欢在乐乐的影子CE 的末端E 处做上标记，随后两人用尺子测得10BC =米，2CE =米．已知乐乐的身高 1.6CD =米，B 、C 、E 在一条直线上DC BE ⊥，AB BE ⊥请你运用所学知识，帮助欢欢和乐乐求出这棵大树的高度AB ．16．如图，在Rt ABC 中90ACB ∠=，点D 是斜边AB 的中点CEAB 和CD BE ．求证：四边形CDBE 是菱形．17．如图，在△ABC 中，AD△BC ，垂足是点D ，若BC=14，AD=12，tan△BAD=34，求sinC 的值．18．如图是一座人行天桥的示意图，已知天桥的高度6CD =米，坡面BC 的倾斜角45CBD ∠=︒，距B 点8米处有一建筑物NM ，为了方便行人推自行车过天桥，市政府决定降低坡面BC 的坡度，把倾斜角由45︒减至30︒，即使得新坡面AC 的倾斜角为30CAD ∠=︒．若新坡面底端A 处与建筑物NM 之间需要留下至少3米宽的人行道，那么该建筑物是否需要拆除？请说明理由．（结果精确到0.12 1.14≈3 1.73≈）四、综合题19．如图ABC 中，点D 在AB 上，已知AD BD CD ==.（1）求ACB ∠的大小；（2）若30A ∠=︒，4AB =求BCD 的周长.20．已知如图，等腰梯形ABCD 中120AB AD A =∠=︒，，E 为BC 边的中点，连接DE BD 、．（1）求证：四边形ABED是菱形．∠的值为．（2）tan DBC21．为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园ABC边上修建一个四边形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点C在点A的正东方向170米处，点E在点A的正北方、都在点C的正北方向，BD长为100米，点B在点A的北偏东30︒方向，点D在点E 向，点B D的北偏东58︒方向．（1）求步道DE的长度．（2）点D处有一个小商店，某人从点A出发沿人行步道去商店购物，可以经点B到达点D，也可以经点E到达点D，请通过计算说明他走哪条路较近．结果精确到个位）（参考数据：，，，）︒≈︒≈︒≈≈sin cos tan580.85580.5358 1.603 1.73参考答案与解析1．【答案】A【解析】【解答】∵BE△AD∴△BCE△△ACD ∴CB CE AC CD =，即 CB CEAB BC DE EC =++ ∵BC=1，DE=1.8，EC=1.2 ∴1 1.21 1.8 1.2AB =++∴1.2AB=1.8 ∴AB=1.5m ． 故答案为：A ．【分析】先证明△BCE△△ACD ，再利用相似三角形的性质可得CB CEAC CD=，即 CB CE AB BC DE EC =++，再将数据代入计算可得 1 1.21 1.8 1.2AB =++，最后求出AB 的长即可。

华师大版九年级数学上册《解直角三角形》单元试卷检测练习及答案解析一、选择题1、计算sin30°·cos60°的结果是（）A．B．C．D．2、△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC于D，下列选项中错误的是( )A．sinα＝cosαB．tan C＝2 C．sinβ＝cosβD．tanα＝1 3、已知α为锐角，且2sin(α－10°)＝，则α等于( )A．50°B．60°C．70°D．80°4、如果把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦值( )A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的C．没有变化D．不能确定5、如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，若AB＝5，AC＝3，则tan∠BCD＝( ) A．B．C．D．（第2题图）（第5题图）（第7题图）（第8题图）6、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝3，则cos A等于( )A．B．C．D．7、如图，直线y＝x＋3与x、y轴分别交于A、B两点，则cos∠BAO的值是( ) A．B．C．D．8、如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB为( )A．50米B．51米C．(50＋1)米D．101米二、填空题9、如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则cos∠ABC的值为__________。

10、如图，已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高，且AB=6，BC=10．则AC= ______，sin a=____ 。

（第9题图）（第10题图）（第12题图）11、如果sin2α+cos230°=1,那么锐角α的度数是__________。

12、如图，，将绕点按逆时针方向旋转至，使点恰好落在边上．已知，，则__________。

第24章 解直角三角形检测题（本检测题满分:120分，时间：120分钟）一、选择题（每小题2分，共24分）1.计算：A. B.232+ C.23 D.231+2.（2014·杭州中考）在直角三角形ABC 中，已知90C ∠=︒，40A ∠=︒，3BC =，则AC =( ) A.3sin 40︒ B.3sin 50︒ C.3tan 40︒ D.3tan 50︒3.（2013·浙江温州中考）如图，在ABC △中，90,5,3,∠C AB BC =︒==则sin A 的值是（ ） A.34 B.34C.35D.454.（2013·广州中考）如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，CA 是∠BCD 的平分线，且AB ⊥AC ，AB=4，AD=6，则tan B=( )A.2B.2C.D.5.（2014·安徽中考）如图，Rt △ABC 中，9,6,AB BC B ==∠=90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A.53B.52 C.4 D.56.在△ABC 中，若三边BC ，CA ，AB 满足 BC ∶CA ∶AB=5∶12∶13，则cos B=（ ） A.125 B.512 C.135 D.1312 7.（2014·杭州中考）已知AD BC ∥，AB AD ⊥，点E ,点F 分别在射线AD ，射线BC 上，若点E 与点B 关于AC 对称，点E 与点F 关于BD 对称，AC 与BD 相交于点G ，则（ ） A.1tan 2ADB +∠= B.25BC CF = C.22AEB DEF ∠+︒=∠ D.4cos 6AGB ∠=8.(2013·聊城中考)河堤横断面如图所示，堤高BC=6 m ，迎水坡AB 的坡比为1∶，则AB的长为（ ） A.12 mB.4mC.5mD.6m9.如图，一个小球由地面沿着坡度12∶i =的坡面向上前进了10 m ，此时小球距离地面的高度为( )A.5 mB.25 mC.45 mD.310m 10.如图，在菱形ABCD 中，⊥DE AB ，3cos 5A =，2BE =，则tan ∠DBE 的值是( ) 第9题图第3题图第8题图第5题图A ．12B ．2C ．52D ．5511.已知直角三角形两直角边长之和为7，面积为6，则斜边长为（ ）A. 5B.C. 7D.12.如图，已知：45°＜∠A ＜90°，则下列各式成立的是( ) A.sin cos A A = B.sin cos A>A C.sin tan A>AD.sin cos A<A二、填空题（每小题3分，共18分）13.（2013·陕西中考）比较大小：8cos 31︒ 35.（填“＞”“=”或“＜”）14.（2014·山西中考）如图，在△ABC 中，∠BAC=30°，AB=AC ，AD是BC 边上的中线，∠ACE=12∠BAC,CE 交AB 于点E ，交AD 于点F ，若BC=2,则EF 的长为 .15.如图，小兰想测量南塔的高度，她在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m 至B 处，测得仰角为60°，那么塔高约为 _________ m.（小兰身高忽略不计，31732.≈）A BC第12题图①1AB C②2ABC第17题图第14题图16.已知等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于________ ．17.图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________. 18.(2013· 杭州中考)在△ABC 中，∠90°，AB=2BC ，现给出下列结论：①32；②cos B=12；③33；④3， 其中正确的结论是 .（只需填上正确结论的序号）三、解答题（共78分）19.（8分）计算下列各题：(1)()42460sin 45cos 22+- ；（2）2330tan 3)2(0-+--.20.(8分)(2013·无锡中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，sin A=25，求BC 的长和tan B 的值.第20题图 第21题图21.（10分）(2013·苏州中考)如图，在一笔直的海岸线l 上有A ，B 两个观测站，A 在B 的正东方向，AB=2（单位：km ）.有一艘小船在点P 处，从A 测得小船在北偏西60°的方向，从B 测得小船在北偏东45°的方向. （1）求点P 到海岸线l 的距离；（2）小船从点P 处沿射线AP 的方向航行一段时间后，到达点C 处，此时，从B 测得小船在北偏西15°的方向.求点C 与点B 之间的距离.（上述2小题的结果都保留根号） 22.（10分）如图，为了测量某建筑物CD 的高度，先在地面上用测角仪自A 处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100 m ，此时自B 处测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5 m ，请你计算出该建筑物的高度．（取 3≈1.732，结果精确到1 m ）23.（8分）如图，在梯形ABCD 中，∥AD BC ，AB CD AD ==，⊥BD CD ． （1）求sin ∠DBC 的值；（2）若BC 长度为4cm ，求梯形ABCD 的面积．24.（10分）（2014·成都中考）如图，在一次数学课外实践活动中，小文在点C 处测得树的顶端A 的仰角为37°，BC=20 m ，求树的高度AB.（参考数据：sin 370.60≈ ，cos 370.80≈ ，tan 370.75≈ ）25.（10分）如图，在小山的东侧A 处有一热气球，以每分钟30m 的速度沿着仰角为60°的方向上升，20 min 后升到B 处，这时热气球上的人发现在A 的正西方向俯角为45°的C 处有一着火点，求热气球的升空点A 与着火点C 的距离（结果保留根号）.26.（14分）（2014·福州中考）如图（1），点O 在线段AB 上，AO =2，OB =1，OC 为射线，且∠BOC =60︒，动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 做匀速运动，设运动时间为t 秒. （1）当t =12秒时，则OP = ，S △ABP = ； （2）当△ABP 是直角三角形时，求t 的值；（3）如图（2），当AP =AB 时，过点A 作AQ ∥BP ，并使得∠QOP =∠B ，求证：AQ ·BP =3.BCA东西45°60°第25题图第24题图第26题图第24章 解直角三角形检测题参考答案1.C 解析：2.D 解析：在Rt ABC △中，∵ 90C ∠=︒，40A ∠=︒，∴ 50B =︒∠， ∴ tan tan 50ACB BC=︒=，∴ tan 503tan 50AC BC =︒=︒. 3.C 解析：3sin 5BC A AB == . 4.B 解析：如图，过点D 作DE ∥AB 交BC 于点E ，则四边形ABED 是平行四边形， ∴ BE=AD=6.∵ AB ⊥AC ，∴ DE ⊥AC.∵ CA 是∠BCD 的平分线，∴ CD=CE. ∵ AD ∥BC ，∴ ∠ACB=∠DAC=∠DCA.∴ CD=AD=6. ∴ BC=BE+CE=BE+CD=6+6=12.∴ AC===8.∴ tan B===2.5.C 解析：设BN 的长为x ，则AN=9-x ，由题意得DN=AN=9-x.因为D 为BC 的中点，所以132BD BC ==.在Rt △BND 中，∠B=90°，由勾股定理得222BN BD ND +=，即2223(9)x x +=-，解得4x =.6.C 解析：设，则，，所以，所以△是直角三角形，且∠．第4题答图所以在△ABC 中，135135==x x AB BC ． 7.A 解析：设AB x =.由题意知AE BC x ==，2BE DE x ==，∴ (21)AD x =+. 在Rt ABD △中，22422BD AB AD x =+=+，又2BF BE x ==，∴ (21)CF BF BC x =-=-.根据条件还可以得出45ABE AEB EBF ===︒∠∠∠，EBD EDB ∠=∠=22.5FBD ∠=︒，67.5AGB ABG ∠=∠=︒.A.在Rt ABD △中，tan 21(21)AB xADB AD x===-+∠， ∴ 1tan 2ADB +∠=，故选项A 正确. B.2255(21)BC x CF x =≠=-，故选项B 错误. C.226767.5AEB DEF ∠+︒=︒≠∠=︒，故选项C 错误. D.∵ 1cos cos 422AB AGB ABG BD ∠=∠==+，∴ 4cos 6AGB ∠≠，故选项D 错误. 8.A 解析：先由坡比的定义，得BC ∶AC=1∶.由BC=6 m ，可得AC=6 m. 在Rt △ABC中，由勾股定理，得AB==12(m).9.B 解析：设小球距离地面的高度为则小球水平移动的距离为所以解得10.B 解析：设 又因为在菱形中，所以所以所以由勾股定理知所以211.A 解析：设直角三角形的两直角边长分别为则所以斜边长12.B 解析：在锐角三角函数中仅当∠45°时，，所以选项错误；因为45°＜∠A ＜90°，所以∠B ＜45°，即∠A ＞∠B ，所以BC ＞AC ，所以AB BC ＞ABAC，即sin cos A>A ，所以选项正确，选项错误； tan A =ACBC＞1，＜1，所以选项错误.13.＞ 解析：因为8cos 31 6.86,35 5.92︒≈≈ ，所以∠8cos 3135︒> .14.31－解析：过F 点作FG ∥BC 交AB 于点G. ∵ 在△ABC 中，AB=AC,AD 是BC 边上的中线， ∴ BD=CD=12BC=1,∠BAD=∠CAD=12∠BAC=15°,AD ⊥BC. ∵ ∠ACE=12∠BAC, ∴ ∠CAD=∠ACE=15°, ∴ AF=CF.∵ ∠ACD=(180°－30°)÷2=75°, ∴ ∠DCE=75°－15°=60°. 在Rt △CDF 中, CF=cos 60DC︒=2,DF=CD ·tan 60°=3.又AF=CF,∴ AF=2. ∵ FG ∥BC,∴ GF ∶BD=AF ∶AD,即GF ∶1=2∶(2+3), 解得GF=4－23,∴ EF ∶EC=GF ∶BC,即EF ∶(EF+2)=(4－23)∶2, 解得EF=3－1. 15.43.3 解析：因为，所以第14题答图所以所以()3502532517324332=⨯=≈⨯=DC ..m . 16.15°或75° 解析：如图，.在图①中，，所以∠∠； 在图②中，，所以∠∠.17.76 解析：如图，因为，所以CD=12，由勾股定理得所以这个风车的外围周长为18.②③④ 解析：因为∠C=90°，AB=2BC ，所以∠A=30°，∠B=60°，所以②③④正确.19.解：（1）()24232622cos 45sin 60224224 ⎛⎫-+=⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭366622222222.⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭（2）()023tan 30321323323 --+-=-+-=-.20.分析：由sin A==求出BC 的长，根据勾股定理求出AC 的长，利用tan B=求出tan B的值.第16题答图BC D②ABCD ①AB CD第17题答图解：∵sin A==，AB=10，∴BC=4.又∵AC==2，∴tan B==.21.分析:（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D，设PD=km，根据AD+BD=2列方程求解. （2）过点B作BF⊥CA于点F，在Rt△ABF和Rt△BFC中解直角三角形求解.解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D，第21题答图设PD=km，由题意可知∠PBD=45°，∠PAD=30°，∴在Rt△BDP中，BD=PD=km,在Rt△PDA中，AD=PD=km.∵AB=2 km，∴=2.∴== 1.∴点P到海岸线l的距离为（）km.（2）如图，过点B作BF⊥CA于点F.在Rt△ABF 中，BF=AB·sin 30°=2×=1（km）.在△ABC中，∠C=180°∠BAC∠ABC=45°.在Rt△BFC 中，BC=BF=×1=（km）.∴点C与点B之间的距离为km.点拨：此题是解直角三角形在现实生活中的应用，通过构造直角三角形求解.当利用勾股定理或锐角三角函数不能直接求解时，常采用作垂线、引入未知数（一般为待定的数）构造方程求解. 22.解：设，则由题意可知，m ．在Rt △AEC 中，tan ∠CAE ＝AE CE，即tan 30°＝100+x x ， ∴33100=+x x ，即3x 3(x ＋100)，解得x 50＋503.经检验50＋503是原方程的解．∴故该建筑物的高度约为23.解：(1)∵ ，∴ ∠∠. ∵∥，∴ ∠∠∠. 在梯形中，∵ ，∴ ∠∠∠∠∵，∴ 3∠，∴ ∠30° ，∴（2）如图，过点作于点. 在Rt △中，•∠，• ∠，∴在Rt △中，，∴ 梯形ABCD 的面积为24.分析：利用解直角三角形求线段长，首先根据锐角三角函数的定义选取恰当的三角函数关系式，然后把已知的数据代入计算.本题根据锐角三角函数的定义得tan 37°＝ABBC，把tan370.75≈，BC=20 m代入tan 37°＝ABBC中求出树的高度AB.解:因为tan 37°＝ABBC≈0.75，BC=20 m，所以AB≈0.75×20＝15（m）.25.解：过点作于点..因为∠，3003m，所以300(3－1)即热气球的升空点与着火点的距离为300(3－1)26.（1）解：133；（2）解：①∵∠A<∠BOC=60︒，∴∠A不可能是直角.②当∠ABP=90︒时，如图所示（第26题答图（1）），∵∠BOC=60︒，∴∠OPB=30︒.∴OP=2OB，即2t=2.∴t=1.第26题答图（1）③当∠APB=90︒时，如图所示（第26题答图（2）），作PD⊥AB，垂足为D，则∠ADP=∠PDB=90︒.在Rt△POD中，∵∠POD=60︒，∴∠OPD=30︒.∵OP=2t，∴OD=t，PD3，AD=2+t，BD=1-t（△BOP是锐角三角形）.第26题答图（2）方法一：BP 2=BD 2+PD 2=（1-t ）2+3t 2，AP 2=AD 2+PD 2=(2+t)2+3t 2. ∵ BP 2+AP 2=AB 2，∴ (1-t)2+3t 2+(2+t)2+3t 2=9，即4t 2+t -2=0.解得t 1t 2（舍去）. 方法二：∵ ∠APD +∠BPD =90︒，∠B +∠BPD =90︒， ∴ ∠APD =∠B.∴ △APD ∽△PBD. ∴.AD PD PD BD=∴ PD 2=AD ·BD.于是2=(2+t)(1-t)，即4t 2+t -2=0.解得t 1t 2（舍去）.综上，当△ABP 为直角三角形时，t =1（3）证法一：∵ AP =AB ，∴ ∠APB =∠B.如图所示（第26题答图（3）），作OE ∥AP ，交BP 于点E ， ∴ ∠OEB =∠APB =∠B.∵ AQ ∥BP ，∴ ∠QAB +∠B =180︒. 又∵ ∠3+∠OEB =180︒，∴ ∠3=∠QAB.又∵ ∠AOC =∠2+∠B =∠1+∠QOP ，∠B =∠QOP ， ∴ ∠1=∠2.在△QAO 和△OEP 中，∵ ∠3=∠QAO ，∠1=∠2，∴ △QAO ∽△OEP. ∴AQ AOEO EP=，即AQ ·EP =EO ·AO. ∵ OE ∥AP ，∴ △OBE ∽△ABP. ∴13OE BE BO AP BP BA ===.∴ OE =13AP =1，BP =32EP.∴ AQ ·BP =AQ ·32EP =32AQ ·EP =32AO ·EO =32⨯2⨯1=3.第26题答图（3）证法二：如图所示（第26题答图（4）），连接PQ ，设AP 与OQ 相交于点F. ∵ AQ ∥BP ，∴ ∠QAP =∠APB.∵ AP =AB ，∴ ∠APB =∠B.∴ ∠QAP =∠B. 又∵ ∠QOP =∠B ，∴ ∠QAP =∠QOP.在△QFA 和△PFO 中，∵ ∠QAF =∠FOP ，∠QFA =∠PFO ， ∴ △QFA ∽△PFO.∴FQ FA FP FO =，即FQ FPFA FO=. 又∵ ∠PFQ =∠OFA ，∴ △PFQ ∽△OFA.∴ ∠3=∠1. ∵ ∠AOC =∠2+∠B =∠1+∠QOP ，∠B =∠QOP ， ∴ ∠1=∠2.∴ ∠2=∠3. ∴ △APQ ∽△BPO.∴AQ APBO BP=.∴ AQ ·BP =AP ·BO =3⨯1=3.第26题答图（4）。

第24章　素养综合检测(满分100分,限时60分钟)一、选择题(每小题4分,共32分)1.(2023陕西咸阳泾阳期末)计算1-2sin 245°的结果是( )A.-1B.0C.12 D.12.(2023吉林长春二道月考)在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =10,AC =6,下列四个选项,正确的是( )A.tan B =43 B.tan A =34C.sin B =35 D.cos A =453.(2023山西太原小店月考)数学小组探究这样一道题:已知,tan α=2,tan β=13,求α-β的度数.该组的同学经过思考后,画出如图所示的5×3的小正方形网格,把α和β放在网格中,使∠BAC =α,∠DAC =β,连结BD ,得到△ABD ,此时,根据网格可知AD =BD ,∠ADB =90°.由此可知,α-β=45°.该小组的这种求解体现的数学思想是( )A.数形结合思想B.分类思想C.统计思想D.方程思想4.(2023吉林大学附中期末)如图,某地修建高速公路,要从B 地向C 地修一条隧道(B ,C 在同一水平面上),为了测量B ,C 两地之间的距离,某工程师乘坐热气球从C 地出发,垂直上升300米到达A 处,在A 处观察B 地的俯角为α,则B ,C 两地之间的距离为( )A.300sin α米B.300cos α米C.300tan α米D.300sin α米5.(2022吉林长春十一高中北湖学校模拟)如图,一座厂房屋顶人字架的跨度AC =12 m,AB =BC ,∠BAC =25°.若用科学计算器求AB 的长,则下列按键顺序正确的是( )A.6×sin25 °'″ =B.6÷cos25 °'″ =C.6÷tan25 °'″ =D.12÷cos25 °'″ =6.【新定义试题】(2023山西临汾曲沃期末)定义一种公式如下:cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,已知32sin θ+12cos θ=22,则锐角θ的值为( )A.75°B.60°C.30°D.15°7.【新独家原创】四边形的不稳定性,使其在生活中得到广泛的应用. 如图所示的图形为一个伸缩门的一部分,四边形ABCD 是边长为2的正方形,通过拉伸改变内角度数,使其变为菱形ABC'D',若∠D'AB =45°,则阴影部分的面积是( )A.5+22B.5-2C.5+222　D.5-228.【跨学科·物理】(2022海南海口模拟)如图所示的是一块光学直角棱镜,其截面为直角三角形ABC,AB所在的面为不透光的磨砂面,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=8 cm.现将一束单色光从AC边上的O点入射,折射后到达AB边上的D点,恰有CD⊥AB,再经过反射后(即∠CDE=∠ODC),从E点垂直于BC射出,则光线在棱镜内部经过的路径OD+DE 的总长度为( )A.12 cmB.63cmcmC.(43+4)cmD.212二、填空题(每小题4分,共16分)9.【教材变式·P104T3】(2023河南鹤壁淇滨期末)如图,∠AOB=30°,点C在射线OB上,若OC=6,则点C到OA的距离等于 .10.(2022湖北荆州中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,通过尺规作图得到的直线MNAE=1,则CD= .分别交AB,AC于D,E,连结CD.若CE=1311.(2023海南海口实验中学期中)如图,已知花丛中的电线杆AB上有一盏路灯A,灯光下,小明在点C处时,测得他的影长CD=3米,他沿BC方向行走到点E处时,CE=2米,测得他的影长EF=4米,如果小明的身高为1.6米,那么电线杆AB的高度等于 米.12.【新考法】【实践探究题】(2023吉林长春四十五中期末)已知直线l1∥l2∥l3,且相邻的两条平行直线间的距离均等,将一个含45°角的直角三角板按图示放置,使其三个顶点分别在三条平行线上,则sin α的值是 .三、解答题(共52分)13.【教材变式·P111T3】(2023河南周口实验中学期末)(8分)计算:;(1)cos30°―tan60°―cos45°cos30°tan230°-sin 30°.(2)cos 60°-2sin245°+3214.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分线AD交BC于点D,E为AB的中点.若BC=12,AD=8,求DE的长.15.(2023河南新乡十中期末)(10分)周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们选择了河对岸岸边的一棵大树,将其底部作为点A ,在他们所在的岸边选择了点B ,使得AB 与河岸垂直,并在点B 竖起标杆BC ,再在AB 的延长线上选择点D ,竖起标杆DE ,使得点E 、C 、A 共线.CB ⊥AD ,ED ⊥AD ,测得BC =1 m,DE =1.5 m,BD =9 m .测量示意图如图所示.请根据相关测量信息,求河宽AB.16.【代数推理】(2022福建泉州模拟)(12分)小明在某次作业中得到如下结果:sin 27°+sin 283°≈0.122+0.992=0.994 5,sin 222°+sin 268°≈0.372+0.932=1.001 8,sin 229°+sin 261°≈0.482+0.872=0.987 3,sin 237°+sin 253°≈0.602+0.802=1.000 0,sin 245°+sin 245°=1.据此,小明猜想:对于任意锐角α,均有sin 2α+sin 2(90°-α)=1.(1)当α=30°时,验证sin 2α+sin 2(90°-α)=1是否成立;(2)小明的猜想是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请举出一个反例.17.(2022山西晋城模拟)(14分)如图①,AB 、CD 是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔.小明和小丽为了测量两座铁塔的高度,从地面上的点E 处测得铁塔顶端A 的仰角为39°,铁塔顶端C 的仰角为27°,沿着EB 向前走20米到达点F 处,测得铁塔顶端A 的仰角为53°.已知∠ABE =∠CDE =90°,点E 、B 、D 构成的△EBD 中,∠EBD =90°.(1)图②是图①中的一部分,求铁塔AB 的高度;(2)小明说,在点E 处只要再测量一个角,通过计算即可求出铁塔CD 的高度,那么可以测量的角为 ,若将这个角记为α,则铁塔CD 的高度是 米;(用含α的式子表示)(3)小丽说,除了在点E 处测量角的度数外,还可以在点F 处再测量一条线段的长度,通过计算也可求出铁塔CD 的高度,那么可以测量的线段是 .(请写出两个不同的答案,可用文字描述) （结果精确到1米,参考数据:sin 39°≈35,cos 39°≈34,tan 39°≈45,sin27°≈920,cos 27°≈910,tan 27°≈12,sin 53°≈45,cos 53°≈35,tan 53°≈43）答案全解全析1.B 原式=1-2×12=1-1=0.2.C 如图,根据勾股定理得BC =102―62=8,∴tan B =AC BC =34,tan A =BC AC =43,sin B =AC AB =35,cos A =AC AB =35.3.A 本题结合几何图形探究角度间的关系,体现了数形结合的思想.4.C ∵∠ACB =90°,AC =300米,∠DAB =α,AD ∥BC ,∴∠ABC =∠DAB =α,在Rt △ABC 中,BC =ACtan α=300tan α(米).5.B 如图,过B 点作BD ⊥AC 于D ,∵AB =BC ,BD ⊥AC ,AC =12米,∴AD =CD =6米,在Rt △ADB中,∠BAC =25°,∴AB =AD cos25°=6cos25°米,即按键顺序正确的是6÷cos25 °'″ =.6.D ∵32sin θ+12cos θ=22,∴sin 60°sin θ+cos 60°cos θ=22. ∵cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,∴cos(60°-θ)=cos 45°,即60°-θ=45°,∴θ=15°.7.D 设BC 与C'D'的交点为E ,则BE ⊥C'D',∴C'E =BC'·cos C'. ∵四边形ABC'D'为菱形,∴∠C'=∠D'AB =45°,∴C'E =BC'·cos C'=2×22=2.∴BE =C'E =2,∴D'E =2-2,∴梯形D'EBA 的面积=12(D'E +AB )·BE =22-1,∴阴影部分的面积=2×2-(22-1)=5-22.8.B ∵∠ACB =90°,∠A =30°,∴∠B =60°,∵CD ⊥AB ,∴∠CDB =∠CDA =90°,∴∠DCB =30°,∠DCA =60°,在Rt △BCD 中,BD =12BC =4 cm,∴CD =3BD =43 cm,∵DE ⊥BC ,∴∠BDE =30°,∴BE =12BD =2 cm,∠CDE =60°,∴DE =3BE =23 cm,∵∠CDE =∠ODC ,∴∠ODC =60°=∠DCA ,∴△OCD 是等边三角形,∴OD =CD =43 cm,∴OD +DE =43+23=63(cm).9.3解析　如图,作CD ⊥OA 于点D ,∵∠AOB =30°,∴CD =12OC =3.10.6解析　如图,连结BE ,∵CE =13AE =1,∴AE =3,AC =4,根据作图可知直线MN 为线段AB 的垂直平分线,∴AE =BE =3,在Rt △ECB 中,BC =BE 2―CE 2=22,∴AB =AC 2+BC 2=26,∵CD 为直角三角形ABC 斜边上的中线,∴CD =12AB =6.11.4.8解析　∵CC'∥AB ,∴△DC'C ∽△DAB ,∴C′C AB =DCDB ,即1.6AB =3BC +3①,∵EE'∥AB ,∴△FE'E ∽△FAB ,∴EE′AB =EFBF ,即1.6AB =4BC +2+4②.由①②得3BC +3=4BC +2+4,解得BC =6米,∴1.6AB =36+3,∴AB =4.8米,即电线杆AB 的高度等于4.8米.12.55解析　本题在平行线中探究三角函数值,命题新颖. 如图,过点A 作AD ⊥l 3于D ,过点B 作BE ⊥l 3于E ,设l 1,l 2,l 3相邻两条直线之间的距离d =1,∵AD ⊥l 3,BE ⊥l 3,∴∠ADC =∠BEC =90°,∵∠CAD +∠ACD =90°,∠BCE +∠ACD =90°,∴∠CAD =∠BCE ,在等腰直角△ABC 中,AC =BC ,∴在△ACD 和△CBE 中,∠ADC =∠CEB ,∠CAD =∠BCE ,AC =CB ,∴△ACD ≌△CBE ,∴CE =AD =2,在Rt △BCE 中,BC =BE 2+CE 2=12+22=5,∴sin α=BE BC =15=55.13.解析　(1)原式=32―3―2232=―32―2232=-1-63=-3+63.(2)原式=12-2×+32×-12=12-1+12-12=-12.14.解析　∵AB =AC ,∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ,∴AD ⊥BC ,BD =CD =12BC =6,由勾股定理得AB =AD 2+BD 2=82+62=10,∵E 为AB 的中点,∴DE =12AB =5.15.解析　∵CB ⊥AD ,ED ⊥AD ,∴BC ∥DE ,∴△ABC ∽△ADE ,∴BC DE =ABAD .∵BC =1 m,DE =1.5 m,BD =9 m,∴11.5=AB AB +9,解得AB =18 m,∴河宽AB 为18 m .16.解析　(1)证明:当α=30°时,sin 2α+sin 2(90°-α)=sin 230°+sin 260°=14+34=1.所以,当α=30°时,sin 2α+sin 2(90°-α)=1成立.(2)小明的猜想成立,证明如下:如图,在△ABC 中,∠C =90°,设∠A =α,则∠B=90°-α,∴sin2α+sin 2(90°-α=BC 2+AC 2AB 2=AB 2AB 2=1.17.解析　(1)在Rt △ABE 中,∠ABE =90°,∴tan 39°=AB BE ,即BE =ABtan39°,在Rt △ABF 中,∠ABF =90°,∴tan 53°=AB BF ,即BF =AB tan53°,∵EF =20米,∴BE -BF =AB tan39°-ABtan53°=20,∴AB =20tan53°·tan39°tan53°―tan39°≈40(米),故铁塔AB 的高度约为40米.(2)答案不唯一,如:可以测量的角是∠BED ,在Rt △ABE 中,BE =ABtan39°≈50米,在Rt △BED中,DE =BEcos α=50cos α米,在Rt △CED 中,CD =DE ·tan 27°=12×50cos α=25cos α米.(3)在点F 处测量FD 的长度或点F 到DE 的距离,通过计算也可求出铁塔CD 的高度.①连结FD ,测得FD =m ,在Rt △BDF 中,利用勾股定理求得BD ,在Rt △BED 中,利用勾股定理求得DE ,在Rt △CED 中,利用CD =DE ·tan 27°求得结果;②作FM ⊥DE ,测得F 到DE 的距离为n ,在Rt △EFM 中,利用勾股定理求得EM ,通过三角形相似求得BD ,然后在Rt △BED 中,利用勾股定理求得DE ,在Rt △CED 中,根据CD =DE ·tan 27°求得结果.。

华师大版九年级上册第２４章解直角三角形单元考试题姓名：，成绩：；一、选择题（4×12=48分）１、将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A．3cm B．6cm C．cm D．cm２、如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．2553、在Rt△ABC中，∠C=90°，则表示（）A．sinA B．cosA C．sinB D．以上都不４、小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°的角的正切值是（）ECD A B FA.3+1B. 2+1C. 2.5D.5５、在Rt △ABC 中，∠C=90°，若tanA=512，则sinA=（ ） A 、 1213 B 、512 C 、135 D 、513６、已知∠A 为锐角，且sinA ≤21，则（ ） Ａ、0°≤A ≤60° B 、60°≤A ＜90° C 、0°＜A ≤30° D 、30°≤A ≤90°７、在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A=55°，则直角边BC 的长是（ ） A ．msin55° B ．mcos55° C ．sin 55m ︒ D ．cos55m ︒8、一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（ ）A ．米2B ．米2C ．（4+）米2 D ．（4+4tan θ）米29、在△ABC 中，若22cos =A ，3tan =B ，则这个三角形一定是（ ）Ａ、锐角三角形;Ｂ、直角三角形;Ｃ、钝角三角形;Ｄ、等腰三角形.10、如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2．下列说法正确的是（）Ａ、ＡＢ的长为４００米；Ｂ、ＡＦ的长为１０米；Ｃ、填充的土石方为19200立方米；Ｄ、填充的土石方为384立方米１１、如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（）A．B．C．D．12、如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）A．30.6 B．32.1 C．37.9 D．39.4二、填空题（４×６＝２４分）１３、直角三角形斜边上的中线长是2.5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为．１４、如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是．15、若某人沿坡度i=3：4的斜坡前进10m，则他所在的位置比原来的的位置升高m。

华东师大版数学九年级上学期第24章解直角三角形《解直角三角形》同步练习（有答案）一．选择题〔共11小题〕1．如图，四边形ABCD中，∠ABC=Rt∠．∠A=α，外角∠DCE=β，BC=a，CD=b，那么以下结论错误的选项是〔〕A．∠ADC=90°﹣α+βB．点D到BE的距离为b•sinβC．AD=D．点D到AB的距离为a+bcosβ2．在Rt△ABC中，∠C=90°，假设AC=2，cosA=，那么AB的长是〔〕A．3 B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，假定AC=6cm，那么BC的长度为〔〕A．8cm B．7cm C．6cm D．5cm4．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，那么tan∠BAC的值为〔〕A．2 B．C．D．5．BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，那么AB=〔〕A．B．2C．3D．66．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，假设AD=m，∠A=α，那么BC的长为〔〕A．m•tanα•cosαB．m•cotα•cosαC．D．7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，D为AB上一点，且AD：DB=3：2，过点D作DE⊥AC于E，连结BE，那么tan∠CEB的值等于〔〕A．B．2 C．D．8．一个三角形的边长区分为a，a，b，另一个三角形的边长区分为b，b，a，其中a＞b，假定两个三角形的最小内角相等，的值等于〔〕A．B．C．D．9．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=4，E为BC中点，AE平分∠BAD，衔接DE，那么sin∠ADE的值为〔〕A．B．C．D．10．如下图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，OE⊥AC于O交BC于E，衔接AE．假定AB=1，AD=，那么AE=〔〕A．B．C．D．211．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向行进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，那么这个电视塔的高度AB〔单位：米〕为〔〕A．50B．51 C．50+1D．101二．填空题〔共6小题〕12．在△ABC中，AB=2，AC=3，cos∠ACB=，那么∠ABC的大小为度．13．等腰△ABC，AB=AC，BH为腰AC上的高，BH=3，tan∠ABH=，那么CH 的长为．14．平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P的坐标为〔5，12〕，那么OP与x轴正半轴所夹角的余弦值为．15．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C=1，tan∠BA2C=，tan∠BA3C=，计算tan∠BA4C=，…按此规律，写出tan ∠BA n C=〔用含n的代数式表示〕．16．△ABC中，满足+=，AB=10．那么AC+BC=17．在△ABC中，AB=AC，假定BD⊥直线AC于点D，假定cos∠BAD=，BD=2，那么BC为．三．解答题〔共8小题〕18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是BC边的中点，BD=2，tanB=〔1〕求AD和AB的长；〔2〕求sin∠BAD的值．19．如图，四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线，∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD 是锐角．〔1〕假定BD=BC，证明：sin∠BCD=．〔2〕假定AB=BC=4，AD+CD=6，求的值．〔3〕假定BD=CD，AB=6，BC=8，求sin∠BCD的值．〔注：此题可依据需求自己画图并解答〕20．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，sinA=，点D在AB边上，且∠BDC=45°，BC=5．〔1〕求AD长；〔2〕求∠ACD的正弦值．21．在数学活动课上，教员带抢先生去测量操场上树立的旗杆的高度，教员为同窗们预备了如下工具：①高为m米的测角仪，②长为n米的竹竿，③足够长的皮尺．请你选用以上的工具，设计一个可以经过测量，求出国旗杆高度的方案〔不用计算和说明，画出图形并标志可以测量的长度或许角度即可，可测量的角度选用α，β，γ标志，可测量的长度选用a，b，c，d标志，测角仪和竹竿可以用线段表示〕．〔1〕你选用的工具为：；〔填序号即可〕〔2〕画出图形．22．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤〔横断面为梯形ABCD〕急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石停止加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：．〔1〕求加固后坝底添加的宽度AF；〔2〕求完成这项工程需求土石多少立方米？〔结果保管根号〕23．每年的6至8月份是台风多发时节，某次台风来袭时，一棵大树树干AB〔假定树干AB垂直于空中〕被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的项部恰恰接触到空中D〔如下图〕，量得树干的倾斜角为∠BAC=15°，大树被折断局部和空中所成的角∠ADC=60°，AD=4米，求这棵大树AB原来的高度是多少米？〔结果准确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4〕24．小明与班级数学兴味小组的同窗在学校操场上测得旗杆BC在空中上的影长AB为12米，同一时辰，测得小明在空中的影长为2.4米，小明的身高为1.6米．〔1〕求旗杆BC的高度；〔2〕兴味小组活动一段时间后，小明站在A，B两点之间的D处〔A，D，B三点在一条直线上〕，测得旗杆BC的顶端C的仰角为α，且tanα=0.8，求此时小明与旗杆之间的距离．25．甲、乙两条轮船同时从港口A动身，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向飞行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正西方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船集合，于是甲船改动了行进的速度，沿着西南方向飞行，结果在小岛C处与乙船相遇．假定乙船的速度和航向坚持不变，求：〔1〕港口A与小岛C之间的距离；〔2〕甲轮船后来的速度．参考答案一．选择题1．C．2．A．3．A．4．B．5．C．6．C．7．D．8．B．9．B．10．C．11．C．二．填空题〔共6小题〕12．30或150．13．3或14．15．；．16．14．17．2或2．三．解答题18．解：〔1〕∵D是BC的中点，BD=2，∴BD=DC=2，BC=4，在Rt△ACB中，由tanB==，∴AC=3，由勾股定理得：AD===，AB===5；〔2〕过点D作DE⊥AB于E，∴∠C=∠DEB=90°，又∠B=∠B，∴△DEB∽△ACB，∴DE=，∴sin∠BAD===．19．解：〔1〕如图1中，过点B作AD的垂线BE交DA的延伸线于点E，∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴四边形ABCD四点共圆，∴∠BDE=∠ACB，∠EAB=∠BCD，∵∠BED=∠ABC=90°，∴△BED∽△ABC，∴==sin∠EAB=sin∠BCD；〔2〕如图2中，过点B作BF⊥BD交DC的延伸线于F．∵∠ABC=∠DBF=90°，∠BAD+∠BCD+∠ABC+∠ADC=360°，∠ABC+∠ADC=180°，∴∠BAD=180°﹣∠BCD=∠BCF，∵∠BCF=∠BAD，BC=BA，∴△DAB≌△CBF，∴BD=BF，AD=CF，∵∠DBF=90°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴BD=DF，∵AD+CD=6，∴CF+CD=DF=6，∴BD=3，AC==4，〔3〕当BD=CD时，如图3中，过点B作MN∥DC，过点C作CN⊥MN，垂足为N，延伸DA交MN于点M，那么四边形DCNM是矩形，△ABM∽△BCN，设AM=6y，BN=8y，BM=6x，CN=8x，在Rt△BDM中，BD==10x，∵BD=DC，∴10x=6x+8y，∴x=2y，在Rt△ABM中，AB==6y，∴sin∠BCD=sin∠MAB===．20．解：〔1〕∵∠B=90°，∠BDC=45°，∴BC=BD=5，∵sinA=，∴AB=12，∴AD=AB﹣BD=12﹣5=7；〔2〕过A作AE⊥CE交CD延伸线于点E，∵△ADE是等腰直角三角形，∴AE=DE=，那么sin∠ACD=．21．解：〔1〕选用的工具为：①③；故答案为：①③；〔2〕如下图：可以量出AM，AC，AB的长，以及α，β的度数，即可得出DC，NC的长．22．解：〔1〕区分过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H．∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，∴DH平行且等于EG．故四边形EGHD是矩形．∴ED=GH．在Rt△ADH中，AH=DH÷tan∠DAH=10÷tan45°=10〔米〕．在Rt△FGE中，i==，∴FG=EG=10〔米〕．∴AF=FG+GH﹣AH=10+3﹣10=10﹣7〔米〕；×坝长〔2〕加宽局部的体积V=S梯形AFED=×〔3+10﹣7〕×10×500=25000﹣10000〔立方米〕．答：〔1〕加固后坝底添加的宽度AF为〔10﹣7〕米；〔2〕完成这项工程需求土石〔25000﹣10000〕立方米．23．解：过点A作AE⊥CD于点E，∵∠BAC=15°，∴∠DAC=90°﹣15°=75°，∵∠ADC=60°，∴在Rt△AED中，∵cos60°===，∴DE=2，∵sin60°===，∴AE=2，∴∠EAD=90°﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，在Rt△AEC中，∵∠CAE=∠CAD﹣∠DAE=75°﹣30°=45°，∴∠C=90°﹣∠CAE=90°﹣45°=45°，∴AE=CE=2，∴sin45°===，∴AC=2，∴AB=2+2+2≈2×2.4+2×1.7+2=10.2≈10米．答：这棵大树AB原来的高度是10米．24．解：〔1〕依题意有：=，即=，解得BC=8．故旗杆BC的高度是8米；〔2〕如图，在Rt△CFE中，tan∠CEF===0.8，解得EF=8，那么BD=8．故此时小明与旗杆之间的距离是8米．25．解：〔1〕作BD⊥AC于点D，如下图：由题意可知：AB=30×1=30海里，∠BAC=30°，∠BCA=45°，在Rt△ABD中，∵AB=30海里，∠BAC=30°，∴BD=15海里，AD=ABcos30°=15海里，在Rt△BCD中，∵BD=15海里，∠BCD=45°，∴CD=15海里，BC=15海里，∴AC=AD+CD=15+15海里，即A、C间的距离为〔15+15〕海里．〔2〕∵AC=15+15〔海里〕，轮船乙从A到C的时间为=+1，由B到C的时间为+1﹣1=，∵BC=15海里，∴轮船甲从B到C的速度为=5〔海里/小时〕．。

第24章 解直角三角形检测题（本检测题满分:120分，时间：120分钟）一、选择题（每小题2分，共24分）1.计算：A. B.232+ C.23 D.231+2.（2014·杭州中考）在直角三角形ABC 中，已知90C ∠=︒，40A ∠=︒，3BC =，则AC =( ) A.3sin 40︒ B.3sin 50︒ C.3tan 40︒ D.3tan 50︒3.（2013·浙江温州中考）如图，在ABC △中，90,5,3,∠C AB BC =︒==则sin A 的值是（ ）A.34 B.34C.35D.454.（2013·广州中考）如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，CA 是∠BCD 的平分线，且AB ⊥AC ，AB=4，AD=6，则tan B=( ) A.2B.2C.D.5.（2014·安徽中考）如图，Rt △ABC 中，9,6,AB BC B ==∠=90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A.53B.52C.4D.5第3题图第5题图6.在△ABC 中，若三边BC ，CA ，AB 满足 BC ∶CA ∶AB=5∶12∶13，则cos B=（ ） A.125 B.512 C.135 D.1312 7.（2014·杭州中考）已知AD BC ∥，AB AD ⊥，点E ,点F 分别在射线AD ，射线BC 上，若点E 与点B 关于AC 对称，点E 与点F 关于BD 对称，AC 与BD 相交于点G ，则（ ） A.1tan 2ADB +∠= B.25BC CF = C.22AEB DEF ∠+︒=∠ D.4cos 6AGB ∠=第7题图8.(2013·聊城中考)河堤横断面如图所示，堤高BC=6 m ，迎水坡AB 的坡比为1∶，则AB的长为（ ） A.12 mB.4mC.5mD.6m9.如图，一个小球由地面沿着坡度12∶i =的坡面向上前进了10 m ，此时小球距离地面的高度为( )A.5 mB.25mC.45mD.310m 10.如图，在菱形ABCD 中，⊥DE AB ，3cos 5A =，2BE =，则tan ∠DBE 的值是( ) A ．12 B ．2 C ．52 D ．5511.已知直角三角形两直角边长之和为7，面积为6，则斜边长为（） A. 5 B.C. 7D.12.如图，已知：45°＜∠A ＜90°，则下列各式成立的是( )A.sin cos A A =B.sin cos A>AC.sin tan A>AD.sin cos A<A二、填空题（每小题3分，共18分）13.（2013·陕西中考）比较大小：8cos 31︒35.（填“＞”“=”或“＜”）14.（2014·山西中考）如图，在△ABC 中，∠BAC=30°，AB=AC ，AD是BC 边上的中线，∠ACE=12∠BAC,CE 交AB 于点E ，交AD 于点F ，若BC=2,则EF 的长为.15.如图，小兰想测量南塔的高度，她在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m 至B 处，测得仰角为60°，那么塔高约为 _________ m.（小兰身高忽略不计，31732.≈）第12题图第17题图第14题图16.已知等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于________ ．17.图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________. 18.(2013· 杭州中考)在△ABC 中，∠90°，AB=2BC ，现给出下列结论：①sin A=32；②cos B=12；③tan A=33；④tan B=3， 其中正确的结论是.（只需填上正确结论的序号）三、解答题（共78分）19.（8分）计算下列各题：(1)()42460sin 45cos 22+-οο；（2）2330tan 3)2(0-+--ο.20.(8分)(2013·无锡中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，sin A=25，求BC 的长和tan B 的值.第20题图 第21题图21.（10分）(2013·苏州中考)如图，在一笔直的海岸线l 上有A ，B 两个观测站，A 在B 的正东方向，AB=2（单位：km ）.有一艘小船在点P 处，从A 测得小船在北偏西60°的方向，从B 测得小船在北偏东45°的方向. （1）求点P 到海岸线l 的距离；（2）小船从点P 处沿射线AP 的方向航行一段时间后，到达点C 处，此时，从B 测得小船在北偏西15°的方向.求点C 与点B 之间的距离.（上述2小题的结果都保留根号） 22.（10分）如图，为了测量某建筑物CD 的高度，先在地面上用测角仪自A 处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100 m ，此时自B 处测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5 m ，请你计算出该建筑物的高度．（取3≈1.732，结果精确到1 m ）23.（8分）如图，在梯形ABCD 中，∥AD BC ，AB CD AD ==，⊥BD CD ． （1）求sin ∠DBC 的值；（2）若BC 长度为4cm ，求梯形ABCD 的面积．24.（10分）（2014·成都中考）如图，在一次数学课外实践活动中，小文在点C 处测得树的顶端A 的仰角为37°，BC=20 m ，求树的高度AB.（参考数据：sin 370.60≈o ，cos 370.80≈o ，tan 370.75≈o ）第25题图25.（10分）如图，在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟30m的速度沿着仰角为60°的方向上升，20 min后升到B处，这时热气球上的人发现在A的正西方向俯角为45°的C处有一着火点，求热气球的升空点A与着火点C的距离（结果保留根号）.26.（14分）（2014·福州中考）如图（1），点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60︒，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒.（1）当t=12秒时，则OP=，S△ABP=；（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；（3）如图（2），当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ·BP=3.第26题图第24题图第24章 解直角三角形检测题参考答案1.C 解析：2.D 解析：在Rt ABC △中，∵ 90C ∠=︒，40A ∠=︒，∴ 50B =︒∠， ∴ tan tan 50ACB BC=︒=，∴ tan 503tan 50AC BC =︒=︒g . 3.C 解析：3sin 5BC A AB == . 4.B 解析：如图，过点D 作DE ∥AB 交BC 于点E ，则四边形ABED 是平行四边形， ∴ BE=AD=6.∵ AB ⊥AC ，∴ DE ⊥AC.∵ CA 是∠BCD 的平分线，∴ CD=CE. ∵ AD ∥BC ，∴ ∠ACB=∠DAC=∠DCA.∴ CD=AD=6. ∴ BC=BE+CE=BE+CD=6+6=12.∴ AC===8.∴ tan B===2.5.C 解析：设BN 的长为x ，则AN=9-x ，由题意得DN=AN=9-x.因为D 为BC 的中点，所以132BD BC ==.在Rt △BND 中，∠B=90°，由勾股定理得222BN BD ND +=，即2223(9)x x +=-，解得4x =.6.C 解析：设，则，，所以，所以△是直角三角形，且∠．所以在△ABC 中，135135==x x AB BC ． 第4题答图7.A 解析：设AB x =.由题意知AE BC x ==，2BE DE x ==，∴ (21)AD x =+. 在Rt ABD △中，22422BD AB AD x =+=+，又2BF BE x ==，∴ (21)CF BF BC x =-=-.根据条件还可以得出45ABE AEB EBF ===︒∠∠∠，EBD EDB ∠=∠=22.5FBD ∠=︒，67.5AGB ABG ∠=∠=︒.A.在Rt ABD △中，tan 21(21)AB xADB AD x===-+∠， ∴ 1tan 2ADB +∠=，故选项A 正确. B.2255(21)BC x CF x =≠=-，故选项B 错误. C.226767.5AEB DEF ∠+︒=︒≠∠=︒，故选项C 错误. D.∵ 1cos cos 422AB AGB ABG BD ∠=∠==+，∴ 4cos 6AGB ∠≠，故选项D 错误. 8.A 解析：先由坡比的定义，得BC ∶AC=1∶.由BC=6 m ，可得AC=6 m. 在Rt △ABC中，由勾股定理，得AB==12(m).9.B 解析：设小球距离地面的高度为则小球水平移动的距离为所以解得10.B 解析：设 又因为在菱形中，所以所以所以由勾股定理知所以211.A 解析：设直角三角形的两直角边长分别为则所以斜边长12.B 解析：在锐角三角函数中仅当∠45°时，，所以选项错误； 因为45°＜∠A ＜90°，所以∠B ＜45°，即∠A ＞∠B ，所以BC ＞AC ，所以AB BC ＞ABAC，即sin cos A>A ，所以选项正确，选项错误；tan A =ACBC＞1，＜1，所以选项错误.13.＞ 解析：因为8cos 31 6.86,35 5.92︒≈≈ ，所以∠8cos 3135︒> .14.31－解析：过F 点作FG ∥BC 交AB 于点G. ∵ 在△ABC 中，AB=AC,AD 是BC 边上的中线， ∴ BD=CD=12BC=1,∠BAD=∠CAD=12∠BAC=15°,AD ⊥BC. ∵∠ACE=12∠BAC, ∴∠CAD=∠ACE=15°, ∴ AF=CF.∵∠ACD=(180°－30°)÷2=75°, ∴∠DCE=75°－15°=60°. 在Rt △CDF 中, CF=cos 60DC︒=2,DF=CD ·tan 60°=3.又AF=CF,∴ AF=2. ∵ FG ∥BC,∴ GF ∶BD=AF ∶AD,即GF ∶1=2∶(2+3), 解得GF=4－23,∴ EF ∶EC=GF ∶BC,即EF ∶(EF+2)=(4－23)∶2, 解得EF=3－1. 15.43.3 解析：因为，所以所以所以()3502532517324332=⨯=≈⨯=DC ..m . 16.15°或75° 解析：如图，.在图①中，，所以∠∠； 在图②中，，所以∠∠.第14题答图17.76 解析：如图，因为，所以CD=12，由勾股定理得所以这个风车的外围周长为18.②③④ 解析：因为∠C=90°，AB=2BC ，所以∠A=30°，∠B=60°，所以②③④正确.19.解：（1）()24232622cos 45sin 60224224 ⎛⎫-+=⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭o o 366622222222.⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭（2）()023tan 30321323323 --+-=-+-=-o .20.分析：由sin A==求出BC 的长，根据勾股定理求出AC 的长，利用tan B=求出tan B 的值.解：∵ sin A==，AB=10，∴ BC=4.又∵ AC==2，∴ tan B==.21.分析:（1）如图，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，设PD= km ，根据AD+BD=2列方程求解. （2）过点B 作BF ⊥CA 于点F ，在Rt △ABF 和Rt △BFC 中解直角三角形求解. 解：（1）如图，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，设PD= km ，由题意可知∠PBD=45°，∠PAD=30°，∴ 在Rt △BDP 中，BD=PD= km,在Rt △PDA 中，AD=PD= km. ∵ AB=2 km ，∴ =2.∴ == 1.∴ 点P 到海岸线l 的距离为（）km.（2）如图，过点B 作BF ⊥CA 于点F. 在Rt △ABF 中，BF=AB ·sin 30°=2×=1（km ）.在△ABC 中，∠C=180°∠BAC ∠ABC=45°.在Rt △BFC 中，BC=BF=×1=（km ）.∴ 点C 与点B 之间的距离为 km.点拨：此题是解直角三角形在现实生活中的应用，通过构造直角三角形求解.当利用勾股定理或锐角三角函数不能直接求解时，常采用作垂线、引入未知数（一般为待定的数）构造方程求解.22.解：设，则由题意可知，m ．在Rt △AEC 中，tan ∠CAE ＝AE CE ，即tan 30°＝100+x x ， ∴33100=+x x ，即3x 3(x ＋100)，解得x 50＋503.经检验50＋503是原方程的解．∴第21题答图故该建筑物的高度约为23.解：(1)∵，∴∠∠. ∵∥，∴∠∠∠. 在梯形中，∵，∴∠∠∠∠ ∵，∴3∠， ∴∠30° ，∴ （2）如图，过点作于点. 在Rt △中，•∠， •∠，∴在Rt △中，，∴ 梯形ABCD 的面积为24.分析：利用解直角三角形求线段长，首先根据锐角三角函数的定义选取恰当的三角函数关系式，然后把已知的数据代入计算.本题根据锐角三角函数的定义得tan 37°＝AB BC ，把tan370.75 o ，BC=20 m 代入tan 37°＝AB BC中求出树的高度AB. 解:因为tan 37°＝AB BC≈0.75，BC=20 m ，所以AB ≈0.75×20＝15（m ）. 25.解：过点作于点.. 因为∠，3003 m ， 所以300(3－1)即热气球的升空点与着火点的距离为300(3－1)26.（1）解：1，334；（2）解：①∵ ∠A<∠BOC =60︒，∴ ∠A 不可能是直角.②当∠ABP =90︒时，如图所示（第26题答图（1）），∵ ∠BOC =60︒，∴ ∠OPB =30︒.∴ OP =2OB ，即2t =2.∴ t =1.第26题答图（1）③当∠APB =90︒时，如图所示（第26题答图（2）），作PD ⊥AB ，垂足为D ，则∠ADP =∠PDB =90︒. 在Rt △POD 中，∵ ∠POD=60︒，∴ ∠OPD=30︒.∵ OP =2t ，∴ OD =t ，PD =3t ，AD =2+t ，BD =1-t （△BOP 是锐角三角形）.第26题答图（2）方法一：BP 2=BD 2+PD 2=（1-t ）2+3t 2，AP 2=AD 2+PD 2=(2+t)2+3t 2.∵ BP 2+AP 2=AB 2，∴ (1-t)2+3t 2+(2+t)2+3t 2=9，即4t 2+t -2=0.解得t 1=1338-+，t 2=1338--（舍去）. 方法二：∵ ∠APD +∠BPD =90︒，∠B +∠BPD =90︒，∴ ∠APD =∠B.∴ △APD ∽△PBD.∴ .AD PD PD BD=∴ PD 2=AD ·BD. 于是(3t)2=(2+t)(1-t)，即4t 2+t -2=0.解得t1=1338-+，t2=1338--（舍去）.综上，当△ABP为直角三角形时，t=1或1338-+.（3）证法一：∵ AP=AB，∴∠APB=∠B.如图所示（第26题答图（3）），作OE∥AP，交BP于点E，∴∠OEB=∠APB=∠B.∵ AQ∥BP，∴∠QAB+∠B=180︒.又∵∠3+∠OEB=180︒，∴∠3=∠QAB.又∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP，∠B=∠QOP，∴∠1=∠2.在△QAO和△OEP中，∵∠3=∠QAO，∠1=∠2，∴△QAO∽△OEP.∴AQ AOEO EP=，即AQ·EP=EO·AO.∵ OE∥AP，∴△OBE∽△ABP.∴13OE BE BOAP BP BA===.∴ OE=13AP=1，BP=32EP.∴ AQ·BP=AQ·32EP =32AQ·EP=32AO·EO=32⨯2⨯1=3.第26题答图（3）证法二：如图所示（第26题答图（4）），连接PQ，设AP与OQ相交于点F. ∵ AQ∥BP，∴∠QAP=∠APB.∵ AP=AB，∴∠APB=∠B.∴∠QAP=∠B.又∵∠QOP=∠B，∴∠QAP=∠QOP.在△QFA和△PFO中，∵∠QAF=∠FOP，∠QFA=∠PFO，∴△QFA∽△PFO.∴FQ FAFP FO=，即FQ FPFA FO=.又∵∠PFQ=∠OFA，∴△PFQ∽△OFA.∴∠3=∠1. ∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP，∠B=∠QOP，∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.∴△APQ∽△BPO.∴AQ APBO BP=.∴ AQ·BP=AP·BO=3⨯1=3.第26题答图（4）。