数学人教a版必修4 3.1.1两角差的余弦公式 作业 含解析

3.1 第1课时 两角差的余弦公式【课前准备】1．课时目标（1）了解两角差的余弦公式的推导过程，通过公式的推导了解角与角之间的内在联系；（2）正确理解与掌握两角差的余弦公式，并会进行化简、求值等应用．2．基础预探两角差的余弦公式：cos （α－β）=________________．【知识训练】1．下面等式中成立的是（ ）A ．cos （α－β）=cos αcos β－sin αsin βB ．cos （α－β）=cos αsin β－cos αsin βC ．cos （α－β）=cos αcos β+sin αsin βD ．cos （α－β）=cos αsin β+cos αsin β2．cos110ºcos20º+sin110ºsin20º的值为（ ）A ．0B ．－21C ．21 D ．1 3．化简cos （2x+y ）cos （x+y ）+sin （2x+y ）sin （x+y ）的值为（ ）A ．cos （3x+2y ）B ．cosxC ．sin （3x+2y ）D ．sinx4．化简：cos80°cos20°+sin80°sin20°=________．5．cos （－50º）cos20º－sin （－20º）sin50º的值为________．6．已知cos α=－54（2π<α<π），求cos （6π－α）的值． 【学习引领】两角差的余弦公式对任意的角都成立，是前面学习的诱导公式的一般化．在利用两角差的余弦公式时，运用两角差的三角函数求解问题一般分三步：第一步求某一个三角函数值；第二步确定角所在的范围；第三步得结论求得所求角的值．【典例导析】题型一：公式的直接应用例1．计算：cos80ºcos35º+sin80ºsin35º=（ ）A ．1B ．21C ．22D ．23 思路导析：直接利用两角差的余弦公式加以化简、计算．解析：cos80ºcos35º+sin80ºsin35º=cos （80º－35º）=cos45º=22，故选择答案：C ． 点评：利用两角差的余弦公式进行化简或计算时，注意函数名称及其位置关系、运算符号等基本特征，直接结合公式加以应用．变式练习1：计算：cos （54º+α）cos （24º+α）+sin （54º+α）sin （24º+α）=________． 题型二：公式的间接应用例2．计算：cos65ºcos35º+cos25ºcos55º=（ ）A ．1B ．21C ．22D ．23思路导析：先利用诱导公式对cos25º及cos55º进行变换，再利用两角差的余弦公式加以化简、计算．解析：由于cos25º=sin （90º－25º）=sin65º，cos55º= sin （90º－55º）=sin35º， 则cos65ºcos35º+cos25ºcos55º= cos65ºcos35º+sin65ºsin35º=cos （65º－35º）=cos30º=23，故选择答案：D ． 点评：利用两角差的余弦公式进行化简或计算时，如何函数名称不满足公式条件，往往可以结合诱导公式加以变换，转化为符号公式条件的等式后再利用相应的公式加以应用．变式练习2：计算：cos78ºsin72º+sin78ºcos72º=________．题型三：公式的综合应用例3．已知α、β、γ∈（0，2π），sin α+sin γ=sin β，cos β+cos γ=cos α，求β－α的值． 思路导析：根据题目条件，消去γ是解题关键，而通过同角三角函数的基本关系式是解决的关键所在，同时结合三角函数的图象与性质等知识．解析：由已知，得sin γ=sin β－sin α，cos γ=cos α－cos β，平方相加得（sin β－sin α）2+（cos α－cos β）2=1，即sin 2β－2sin αsin β+sin 2α+cos 2α－2cos βcos α+cos 2β=1， 亦即2－2（sin αsin β+cos βcos α）=1，∴－2cos （β－α）=－1，∴cos （β－α）=21， ∴β－α=±3π， ∵sin γ=sin β－sin α＞0，∴β＞α，∴β－α=3π． 点评：本题极易求出β－α=±3π，如不注意隐含条件sin γ＞0，则产生增根．因此求值问题要注意分析隐含条件．变式练习3：已知cos α－cos β=21，sin α－sin β=31，则cos （α－β）=________． 【随堂练习】1．计算：cos75ºcos15º+sin75ºsin15º=（ ）A ．1B ．21C ．22D ．23 2．化简cos （x+y ）cos （x －y ）+sin （x+y ）sin （x －y ）的值为（ ）A ．cos2xB ．cos2yC ．sin2xD ．sin2y3．计算：cos （38º－x ）cos （8º－x ）+sin （38º－x ）sin （8º－x ）=（ ）A ．1B ．21C ．22D ．23 4．计算：cos68ºcos8º+sin68ºcos82º=________．5．化简：cos （α－2β）cos （2α－β）+ sin （α－2β）sin （2α－β）=________．6．若锐角α、β满足cos α=54，cos （α+β）=53，求cos β的值． 【课后作业】1．化简：cos （α－β）cos （β－γ）＋sin （α－β）sin （β－γ）=（ ）A ．cos （α－2β＋γ）B ．cos （α－γ）C ．sin （α－2β＋γ）D ．sin （α－γ）2．︒︒-︒70sin 20sin 10cos 2的值是（ ） A ．21 B ．23 C ．3 D ．23．已知α、β∈（43π，π），sin （α+β）=－53，sin （β－4π）=1312，则cos （α+4π）=________． 4．已知：α+β∈（2π，π），α－β∈（0，2π），且sin （α－β）=734，cos （α+β）=－1411，则β=________． 5．已知sin α=32，α∈（2π，π），cos β=－43，β∈（π，23π），求cos （α－β）的值． 6．已知cos α=71，cos （α+β）=－1411，α、β∈（0，2π），求β的值．答案：【课前准备】2．基础预探cos αcos β+sin αsin β．【知识训练】1．C ；解析：根据两角差的余弦公式加以判断；2．A ；解析：cos110ºcos20º+sin110ºsin20º=cos （110º－20º）= cos90º=0；3．B ；解析：观察代数式，运用整体思想，逆用两角差的余弦公式加以判断；4．21；解析：cos80°cos20°+sin80°sin20°=cos （80°－20°）=cos60°=21； 5．23；解析：cos （－50º）cos20º－sin （－20º）sin50º=cos50ºcos20º+sin20ºsin50º=cos （50º－20º）= cos30º=23； 6．解析：因为cos α＝－54，且2π<α<π，所以sin α=2)54(1--=53，那么cos （6π－α）=cos 6πcos α+sin 6πsin α 413)525-+⋅=10343-．【典例导析】变式练习1：23；解析：cos （54º+α）cos （24º+α）+sin （54º+α）sin （24º+α）= cos[（54º+α）－（24º+α）]= cos30º=23； 变式练习2：21；解析：cos78ºsin72º+sin78ºcos72º= cos78ºcos （90º－72º）+sin78ºsin （90º－72º）= cos78ºcos18º+sin78ºsin18º=cos （78º－18º）=cos60º=21； 变式练习3：7259；解析：由于（cos α－cos β）2=41，（sin α－sin β）2=91，两式相加，得2－2cos （α－β）=3613，∴cos （α－β）=7259； 【随堂练习】1．B ；解析：cos75ºcos15º+sin75ºsin15º=cos （75º－15º）=cos60º=21； 2．B ；解析：观察代数式，运用整体思想，逆用两角差的余弦公式加以判断；3．D ；解析：cos （38º－x ）cos （8º－x ）+sin （38º－x ）sin （8º－x ）=cos[（38º－x ）－（8º－x ）]=cos30º=23； 4．21；解析：cos68ºcos8º+sin68ºcos82º=cos68ºcos8º+sin68ºsin （90º－8º）=cos68ºcos8º+sin68ºsin8º=cos （68º－8º）=cos60º=21； 5．cos （2βα+）；解析：cos （α－2β）cos （2α－β）+ sin （α－2β）sin （2α－β）= cos ［（α－2β）－（2α－β）］= cos （2βα+）；6．解析：由于锐角α满足cos α=54，则sin α=α2cos 1-=2)54(1-=53， 又锐角α、β满足cos （α+β）=53，则sin （α+β）=)(cos 12βα+-=2)53(1-=54， 所以cos β=cos ［（α+β）－α］= cos （α+β）cos α+ sin （α+β）sin α=53×54+54×53=2524． 【课后作业】1．A ；解析：观察代数式，运用整体思想，逆用两角差的余弦公式加以判断；2．C ；解析：原式=︒︒-︒-︒70sin 20sin 2030cos 2）（=︒︒-︒⋅︒+︒⋅︒70sin 20sin 20sin 30sin 20cos 30cos 2）（=︒︒20cos 20cos 3=3； 3．－6556；解析：由已知可得α+β∈（23π，2π），β－4π∈（2π，43π），∴cos （α+β）=54，cos （β－4π）=－135，则cos （α+4π）=cos[（α+β）－（β－4π）]=cos （α+β）cos （β－4π）+sin （α+β）sin （β－4π）=－6556； 4．6π；解析：由题可得：cos （α－β）=71，sin （α+β）=1435，则cos2β=cos[（α+β）－（α－β）]=cos （α+β）cos （α－β）+sin （α+β）sin （α－β）=21，又2π<α+β<π，0<α－β<2π，则0<（α+β）－（α－β）=2β<π，有2β=3π，即β=6π； 5．解析：由sin α=32，α∈（2π，π）得cos α=－α2sin 1-=－2)32(1-=－35， 又由cos β=－43，β∈（π，23π）得sin β=－β2cos 1-=－2)43(1--=－47，所以cos （α－β）=cos αcos β+sin αsinβ=（－35）×（－43）+32×（－47）． 6．解析：由于α、β∈（0，2π），则α+β∈（0，π）， 由cos α=71，cos （α+β）=－1411， 可得sin α=α2cos 1-=734，sin （α+β）=)(cos 12βα+-=1435， 得cos β=cos ［（α+β）－α］= cos （α+β）cos α+ sin （α+β）sin α=－1411×71+1435×734=21， 而由β∈（0，2π）可得β=3π．。

[学业水平训练] ．(－°)的值为( )．－解析：选(－°)＝(°－°)＝° °＋° °＝.．若α∈，则α＋α的值等于( )．－．无法判断解析：选.原式＝＝＝.．θ＋θ等于( )(＋θ) (－θ)．(＋θ) ．(－θ)解析：选θ＋θ＝( θ＋θ)＝(－θ)．．已知α＝，α∈(π，π)，则(α－)的值为( )解析：选.∵α∈(π，π)，∴α＝－，∴(α－)＝α＋α＝×＋(－)×＝.．已知α＋β＝，α＋β＝，则(α－β)＝( )．－．－．解析：选.由α＋β＝，α＋β＝，两边平方相加得( α＋β)＋( α＋β)＝＋＝，∴＋αβ＋αβ＝，( αβ＋αβ)＝－，(α－β)＝－.．(－°) °＋ °(－°)＝．解析：原式＝(－°) °＋(－°) °＝(－°－°)＝(－°)＝°＝. 答案：．锐角△中，＝，＝，则(－)＝．解析：由题意得＝，＝，所以(－)＝×＋×＝.答案：．若(α－β)＝，则( α＋β)＋( α＋β)＝．解析：( α＋β)＋( α＋β)＝＋(α－β)＝.答案：．已知α＝，β＝－，α、β均为第二象限角，求(α－β)．解：由于α＝，α为第二象限角，∴α＝－＝－＝－.由于β＝－，β为第二象限角，∴β＝＝＝.∴(α－β)＝αβ＋αβ＝(－)×(－)＋×＝.．已知(α＋)＝，且<α<，求α的值．解：∵(α＋)＝，且<α<，∴<α＋<π，∴(α＋)＝－＝－，∴α＝[(α＋)－]＝(α＋)＋(α＋)＝－×＋×＝.[高考水平训练]．已知函数()＝ °(－°)＋ °(－°)，则函数()是( )．奇函数．偶函数．非奇非偶函数．既是奇函数又是偶函数解析：选.因为函数的定义域为，且()＝°(－°)＋°(－°)＝°(－°)＋°(－°)＝[ °(－°)＋°(－°)]＝[°－(－°)]＝(°－)＝，所以任取∈，(－)＝(－)(－)＝＝()，故函数()为偶函数．．已知(－α)＝，则α＋α的值为．解析：∵(－α)＝α＋α＝α＋α＝( α＋α)＝.∴α＋α＝.答案：．已知α＝，(α＋β)＝－，<α<，π<α＋β<π，求β的值．解：因为α＝，<α<，所以α＝＝＝.因为(α＋β)＝－，π<α＋β<π，所以(α＋β)＝－＝－＝－.所以β＝[(α＋β)－α]＝(α＋β) α＋(α＋β)·α＝×＋×＝－.．已知函数()＝(其中ω>，∈)的最小正周期为π.()求ω的值．()设α，β∈，＝－，＝，求(α－β)的值．解：()由于函数()的最小正周期为π，所以π＝，所以ω＝.()因为＝－，所以。

第三章三角恒等变换
．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
．两角差的余弦公式
．探索两角差的余弦公式，会利用向量的数量积推导两角差的余弦公式．
．掌握两角差的余弦公式及其结构，会用公式求值．
一、两角差的余弦公式的推导
两角差的余弦公式：在平面直角坐标系内作单位圆，以为公共始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点分别为，，设向量，的夹角α－β满足≤α－β≤π，则＝，＝.
由向量数量积定义得
·＝＝，
且有·＝αβ＋αβ，
于是得两角差的余弦公式：＝αβ＋αβ．
当α，β，α－β为任意角时，该公式也适用．
注意：公式的逆用形式为αβ＋αβ＝．
练习：在直角坐标系中始边在轴正半轴，°角的终边与圆心在原点的单位圆的交点坐标为．
二、角的组合
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，
α＝[(α＋β)－(β－α)]，
α＝[(α＋β)＋(α－β)]，α＝(β＋α)－(β－α)等．
你能归纳出两角差的余弦公式的结构特点吗？
解析：()两边的符号正好相反(一正一负)，右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后；
()式子中α、β是任意的；
()式子的逆用，变形应用．
正因为α、β的任意性，所以赋予(α－β)公式的强大生命力．
．下列式子中，正确的个数为()。

[A.基础达标]1．若α∈R ，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos α＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin α的值等于( ) A.32 B.12C ．－32 D ．无法判断解析：选B.原式＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3－α＝cos π3＝12.2．sin 35°sin 65°＋cos 35°cos 65°值为( ) A.12 B.32C ．－12 D ．－32解析：选B.sin 35°sin 65°＋cos 35°cos 65°＝cos(65°－35°)．＝cos 30°＝32.3．满足cos αcos β＝32－sin αsin β的一组α，β的值分别是() A.13π12，3π4 B.π2，π3 C.π2，π6 D.2π3，π6 解析：选B.由题意知sin αsin β＋cos αcos β＝32，即cos(α－β)＝32，将各项代入检验，可知B 正确．4．已知cos α＝1213，α∈(32π，2π)，则cos(α－π4)的值为( )A.5213B.7213C.17226 D.7226解析：选D.∵α∈(32π，2π)，∴sin α＝－513，∴cos(α－π4)＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝1213×22＋(－513)×22＝7226.5．已知cos α＋cos β＝12，sin α＋sin β＝32，则cos(α－β)＝() A ．－12 B ．－32C.12 D ．1解析：选A.由cos α＋cos β＝12，sin α＋sin β＝32，两边平方相加得(cos α＋cos β)2＋(sin α＋sin β)2＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1，∴2＋2cos αcos β＋2sin αsin β＝1，2(cos αcos β＋sin αsin β)＝－1， cos(α－β)＝－12. 6．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝________.解析：cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12. 答案：12 7．已知sin(A ＋π4)＝7210，A ∈(π4，π2)，则cos A ＝________. 解析：由A ∈(π4，π2)，可知A ＋π4∈(π2，3π4)，则cos(A ＋π4)＝－210，cos A ＝cos[(A ＋π4)－π4]＝cos(A ＋π4)·cos π4＋sin(A ＋π4)sin π4＝－210×22＋7210×22＝35. 答案：35 8．满足12sin x ＋32cos x ＝12的角x (－π2＜x ＜0)是________． 解析：12sin x ＋32cos x ＝cos x cos π6＋sin x sin π6＝cos(x －π6)＝12， 因为－π2＜x ＜0，所以x －π6＝－π3，即x ＝－π6. 答案：－π69．若x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，且sin x ＝45，求2cos ⎝⎛⎭⎫x －23π＋2cos x 的值． 解：∵x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，sin x ＝45， ∴cos x ＝－35. ∴2cos ⎝⎛⎭⎫x －23π＋2cos x ＝2⎝⎛⎭⎫cos x cos 23π＋sin x sin 23π＋2cos x ＝2⎝⎛⎭⎫－12cos x ＋32sin x ＋2cos x ＝3sin x ＋cos x＝435－35＝43－35. 10．已知sin(α＋π4)＝45，且π4＜α＜3π4，求cos α的值． 解：∵sin(α＋π4)＝45， 且π4＜α＜3π4，∴π2＜α＋π4＜π. ∴cos(α＋π4)＝－1－(45)2＝－35. ∴cos α＝cos[(α＋π4)－π4] ＝cos(α＋π4)cos π4＋sin(α＋π4)sin π4＝－35×22＋45×22＝210. [B.能力提升]1．已知x ∈R ，sin x －cos x ＝m ，则m 的取值范围为( )A ．－1≤m ≤1B ．－2≤m ≤2C ．－1≤m ≤ 2D ．－2≤m ≤1 解析：选B.sin x －cos x ＝2⎝⎛⎭⎫22sin x －22cos x＝2(sin 3π4sin x ＋cos 3π4cos x )＝2cos(x －3π4)，因为x ∈R ，所以x －3π4∈R ，所以－1≤cos(x －3π4)≤1，所以－2≤m ≤ 2.2．已知函数f (x )＝x sin 126°sin(x －36°)＋x cos 54°·cos(x －36°)，则函数f (x )是()A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数解析：选B.因为函数的定义域为R ，且f (x )＝x sin 126°sin(x －36°)＋x cos 54°cos(x －36°)＝x sin 54°sin(x －36°)＋x cos 54°cos(x －36°)＝x [sin 54°sin(x －36°)＋cos 54°cos(x －36°)]＝x cos[54°－(x －36°)]＝x cos(90°－x )＝x sin x ，所以任取x ∈R ，f (－x )＝(－x )sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，故函数f (x )为偶函数．3．已知cos(π3－α)＝18，则cos α＋3sin α的值为________．解析：∵cos(π3－α)＝cos π3cos α＋sin π3sin α＝12cos α＋32sin α＝12(cos α＋3sin α)＝18，∴cos α＋3sin α＝14.答案：144．(tan 10°＋3)·cos 10°sin 70°＝________.解析：原式＝(tan 10°＋tan 60°)·cos 10°sin 70°＝⎝⎛⎭⎫sin 10°cos 10°＋sin 60°cos 60°·cos 10°sin 70°＝sin 10°cos 60°＋sin 60°cos 10°cos 10°cos 60°·cos 10°sin 70°＝cos 80°cos 60°＋sin 60°sin 80°cos 10°cos 60°·cos 10°sin 70°＝cos 20°cos 60°·1cos 20°＝1cos 60°＝2. 答案：25．设cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，其中α∈(π2，π)，β∈(0，π2)，求cos α＋β2. 解：因为α∈(π2，π)，β∈(0，π2)， 所以α－β2∈(π4，π)，α2－β∈(－π4，π2)． 因为cos(α－β2)＝－19， sin(α2－β)＝23， 所以sin(α－β2) ＝1－cos 2(α－β2)＝1－181＝459. cos(α2－β)＝1－sin 2(α2－β)＝ 1－49＝53. 所以cos α＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)] ＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β) ＝－19×53＋459×23＝7527. 6．(选做题)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值； (2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－5π6＝1617，求cos(α－β)的值． 解：(1)由于函数f (x )的最小正周期为10π，所以10π＝2πω，所以ω＝15. (2)因为f ⎝⎛⎭⎫5α＋5π3＝－65， 所以2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5α＋5π3＋π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－65，所以sin α＝35. 又因为f ⎝⎛⎭⎫5β－5π6＝1617， 所以2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5β－5π6＋π6 ＝2cos β＝1617， 所以cos β＝817.因为α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 所以cos α＝45，sin β＝1517， cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝45×817＋35×1517＝7785.。

课时提升作业二十五两角差的余弦公式(15分钟30分)一、选择题(每小题4分,共12分)1.已知sin(540°+α)=-,则cos(α-270°)= ( )A. B.- C. D.-【解析】选B.sin(540°+α)=sin(360°+180°+α)=sin(180°+α)=-sinα=-,可得sinα=,那么cos(α-270°)=cos(270°-α)=-sinα=-.2.在△ABC中,sinAsinC<cosAcosC,则△ABC一定是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【解析】选C.因为sinAsinC<cosAcosC,所以cosAcosC-sinAsinC>0,即cos(A+C)>0,所以cosB<0,即B为钝角.3.若α,β都是锐角,且cos=-,sin(-α)=-,则cos(α-β)的值等于( ) A. B.C. D.【解析】选B.因为cos=-sinβ=-,所以sinβ=,又α,β都是锐角,所以cosβ=.因为sin=-cosα=-,所以cosα=.又α,β都是锐角,所以sinα=,所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=×+×=.二、填空题(每小题4分,共8分)4.若cosα=,α∈,则cos=________.【解析】因为cosα=,α∈,所以sinα=-=-=-,则cos=cos cosα+sin sinα=×+×=.答案:5.cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)sin(170°-α)=________.【解析】原式=cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)sin[180°-(10°+α)]=cos(70°+α)cos(10°+α)+sin(70°+α)sin(10°+α)=cos[(70°+α)-(10°+α)]=cos60°=.答案:三、解答题6.(10分)已知α,β∈,sin(α+β)=-,sin=,求cos.【解析】因为α,β∈,所以α+β∈,又sin(α+β)=-,所以cos(α+β)==;由α,β∈,得β-∈,因为sin=,所以cos=-=-;所以cos=cos=cos(α+β)cos+sin(α+β)sin=×+×=-.(15分钟30分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.cos(α+β)=,sin=,α,β∈,那么cos的值为( ) A. B. C. D.【解析】选C.因为α,β∈,cos(α+β)=>0,sin=>0, 所以sin(α+β)=,cos(β-)=,所以cos=cos=cos(α+β)cos+sin(α+β)sin=×+×=.2.函数y=cosx+cos,x∈(0,π)的最小值为( )A.-B.C.-D.【解析】选C.y=cosx+cosx+sinx=cosx+sinx==cos,因为x∈(0,π),所以x-∈,故y min=×=-.二、填空题(每小题5分,共10分)3.=________.【解析】===.答案:4.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=,则cos(α-β)=________.【解析】因为sinβ=sinα,cosβ=-cosα,所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-cos2α+sin2α=2sin2α-1=-.答案:-三、解答题5.(10分)已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),|a-b|=,求cos(α-β)的值.【解析】因为a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),所以a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ).所以|a-b|====,所以2-2cos(α-β)=,所以cos(α-β)=.。

双基达标 (限时20分钟)1．计算cos 80°cos 20°＋sin 80°·sin 20°的值为 ( )．A.22B.32C.12 D ．－22答案 C2．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝35，则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝ ( )．A.75 B.15 C ．－75D ．－15解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝35，∴cos α＝45.∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αcos π4＋sin αsin π4＝cos α＋sin α＝45＋35＝75. 答案 A3．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α、β均为锐角，且α<β，则α＋β的值为( )．A.π6B.π4C.3π4D.5π6解析 ∵0<α<β<π2， ∴－π2<α－β<0,0<2α<π，∴由cos(α－β)＝55，得sin (α－β)＝－255，由cos 2α＝1010，得sin 2α＝31010. ∴cos(α＋β)＝cos []2α－(α－β) ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝1010×55＋31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－22. 又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4. 答案 C4．计算12sin 60°＋32cos 60°＝________. 解析 原式＝sin 30°sin 60°＋cos 30°cos 60° ＝cos(60°－30°)＝cos 30°＝32. 答案 325．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝18，则cos α＋3sin α的值为________．解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos π3cos α＋sin π3sin α＝12cos α＋32sin α ＝12()cos α＋3sin α＝18，故cos α＋3sin α＝14. 答案 146．已知sin α＝－45，sin β＝513，且180°<α<270°，90°<β<180°，求cos(α－β)． 解 因为sin α＝－45，180°<α<270°， 所以cos α＝－35.因为sin β＝513，90°<β<180°，所以cos β＝－1213. 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513 ＝3665－2065＝1665.综合提高 (限时25分钟)7．下列式子中正确的个数是( )．①cos(α－β)＝cos α－cos β；②cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β；③cos(π2－α)＝cos α；④cos(π2＋α)＝cos α.A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①②③④都错． 答案 A8．不满足sin αsin β＝22－cos αcos β的一组α，β值是 ( )．A ．α＝π2，β＝π4 B ．α＝2π3，β＝5π12 C ．α＝2π3，β＝π12D ．α＝π4，β＝π2解析 因为sin αsin β＝22－cos αcos β，所以cos(α－β)＝22，经检验C 中的α，β不满足，故选C.答案 C9．若α为锐角，且cos α＝255，则cos (π4－α)＝________.解析 由α为锐角，且cos α＝255，可得sin α＝55.于是cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cosα＋sin αsin π4＝22×255＋22×55＝31010.答案 3101010．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin ()α＋β＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.解析 ∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，∴α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4， 又sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，∴cos(α＋β)＝1－sin 2(α＋β)＝45， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－ 1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－513.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1213＝－5665.答案 －566511．已知α、β为锐角，且cos α＝45，cos(α＋β)＝－1665，求cos β的值． 解 ∵0<α，β<π2，∴0<α＋β<π. 由cos(α＋β)＝－1665，得sin(α＋β)＝6365. 又∵cos α＝45，∴sin α＝35. ∴cos β＝cos [](α＋β)－α ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1665×45＋6365×35＝513.12．(创新拓展)已知cos (α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且π2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求角β的值．解 由cos (α－β)＝－1213，且π2<α－β<π， 得到sin(α－β)＝513，由cos(α＋β)＝1213，且3π2<α＋β<2π， 得到sin(α＋β)＝－513.于是cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝1213×(－1213)＋(－513)×513＝－1. 由于π2<α－β<π，所以－π<β－α<－π2，与3π2<α＋β<2π相加得到， π2<2β<3π2.故2β＝π，从而β的值为π2.。

3.1 和角公式3.1.1两角和与差的余弦两角和与差的余弦公式Cα＋β：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.Cα－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.思考：用向量法推导两角差的余弦公式时，角α、β终边与单位圆交点P1、P2的坐标是怎样得到的？[提示]依据任意角三角函数的定义得到的．以点P为例，若设P(x，y)，则sin α＝y1，cos α＝x1，所以x＝cos α，y＝sin α，即点P坐标为(cos α，sin α)．1．cos 22°cos 38°－sin 22°sin 38°的值为()A.12 B.13C.32 D.33A[原式＝cos (22°＋38°)＝cos 60°＝1 2.]2．化简cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β为()A．sin(2α＋β) B．cos(2α－β)C．cos αD．cos βC[原式＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.]3．cos (－40°)cos 20°－sin (－40°)sin (－20°)＝________.12[原式＝cos(－40°)·cos(－20°)－sin (－40°)·sin(－20°)＝cos[－40°＋(－20°)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.]A．2－64B．6－24C．2＋64D．－2＋64(2)化简下列各式：①cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.[思路探究]利用诱导公式，两角差的余弦公式求解．(1)C[cos 345°＝cos(360°－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝6＋2 4.](2)解：①原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)]＝cos 45°＝22，所以原式＝22；②原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43°＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝32.1．在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．1．求下列各式的值： (1)cos 13π12；(2)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)； (3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α)． [解] (1)cos 13π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π12＝－cos π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π12－2π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4cos π6＋sin π4sin π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫22×32＋22×12＝－6＋24.(2)原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280° ＝－sin 80°sin 20°－cos 20°cos 80° ＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°) ＝－cos 60°＝－12.(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)·sin(40°－α) ＝cos[(α＋20°)＋(40°－α)] ＝cos 60°＝12.【例2】 (1)已知cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2π，则cos α－3＝________.(2)α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cos α的值． [思路探究] (1)可先求得sin α，再用两角差的余弦公式求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3；(2)可考虑拆角即α＝(2α＋β)－(α＋β)来求cos α. (1)3－4310 [因为cos α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2π，所以sin α＝－45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝35×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×32＝3－4310.](2)解：因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π.又因为cos(α＋β)＝1213，所以0<α＋β<π2，所以0<2α＋β<π. 又因为cos(2α＋β)＝35，所以0<2α＋β<π2， 所以sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45， 所以cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665.给值求值的解题步骤：(1)找角的差异.已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异.(2)拆角与凑角.根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)， α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等. (3)求解.结合公式C α±β求解便可.2．已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos β的值．[解] ∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)．又∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝1－cos 2α＝437，sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314.又∵β＝(α＋β)－α， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437 ＝12.[思路探究] 本题可先求出cos(α－β)的值，结合α－β的范围，再求出α－β的值．[解] ∵α，β均为锐角，cos α＝255，cos β＝1010， ∴sin α＝55，sin β＝31010， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝255×1010＋55×31010＝22.又sin α<sin β，∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0.故α－β＝－π4.1．这类问题的求解，关键环节有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，角可求解．2．确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定．3．设α，β是锐角，sin α＝437，cos(α＋β)＝－1114，求证：β＝π3. [证明] 由0<α<π2，0<β<π2，知0<α＋β<π， 又cos(α＋β)＝－1114， 故sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－11142＝5314. 由sin α＝437，可知cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫4372＝17， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α] ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝5314×17－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×437＝32，∴β＝π3.1．若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？ [提示] cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β.2．利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？[提示] cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)． 3．若cos α－cos β＝a ，sin α－sin β＝b ，则cos(α－β)等于什么？ [提示] cos(α－β)＝2－a 2－b 22.【例4】 若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2的值为( )A ．33B ．－33 C ．539D ．－69[思路探究] 利用角的交换求解，α＋β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2. C [∵0<α<π2，－π2<β<0， ∴π4<α＋π4<3π4，π4<π4－β2<π2，又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2 ＝13×33＋223×63＝539.故选C.]巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角.主要针对已知某些角的三角函数值，求(或证明)另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察.常见的“变角”有：①单角变为和(差)角，如α＝(α－β)＋β，β＝α＋β2－α－β2等；②倍角化为和(差)角，如2α＝(α＋β)＋(α－β)等等.4．设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求cosα＋β2的值．[解] ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，α2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－181＝459，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－49＝53，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－19×53＋459×23＝7527.(教师用书独具)对公式C (α－β)和C (α＋β)的三点说明(1)公式的结构特点：公式的左边是差(和)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和(差)式，可用口诀两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．(2)公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－α－β2中的“α＋β2”相当于公式中的角α，“α－β2”相当于公式中的角β.(3)公式的“活”用：公式的运算要“活”，体现在顺用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面：①公式本身的变用，如cos(α－β)－cos α cos β＝sin α sin β. ②角的变用，也称为角的变换，如cos α＝cos[(α＋β)－β]等.1．下列式子中，正确的个数为( )①cos(α－β)＝cos α－cos β；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin α；③cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β. A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个A [由cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β知①③错误，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α，故②错误，故选A.]2．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos β等于( ) A ．3365 B ．－3365 C ．5475D ．－5475A [因为α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513， 所以sin α＝45，sin(α＋β)＝1213， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α ＝－513×35＋1213×45＝3365.故选A.] 3．sin 75°＝________. 6＋24 [sin 75°＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30° ＝22×32＋22×12 ＝6＋24.]4．设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，求cos β的值． [解] ∵α，β都是锐角且cos α＝55<12， ∴π3<α<π2，又sin(α＋β)＝35>12， ∴π2<α＋β<π， ∴cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－45，sin α＝1－cos 2α＝255，∴cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.。