条件开放专题

中考数学专题三：开放性问题解题方法考点一：条件开放型条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．例1 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是．（不添加辅助线）．分析：由已知可证∠ECD﹦∠FBD，又∠EDC﹦∠FDB，因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）；考点二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．例2 如图，点E、F分别是AD上的两点，AB∥CD，AB=CD，AF=DE．问：线段CE、BF有什么数量关系和位置关系？并加以证明．分析：CE和BF的关系是CE=BF（数量关系），CE∥BF（位置关系），理由是根据平行线性质求出∠A=∠D，根据SAS证△ABF≌△DCE，推出CE=BF，∠AFB=∠DEC即可．考点三：条件和结论都开放的问题：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断．例3 如图，在△AEC和△DFB中，∠E=∠F，点A、B、C、D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF，②AB=CD，③CE=BF．（1）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果…，那么…”）（2）选择（1）中你写出的一个命题，说明它正确的理由．分析：（1）如果①②作为条件，③作为结论，得到的命题为真命题；如果①③作为条件，②作为结论，得到的命题为真命题，写成题中要求的形式即可；（2）若选择（1）中的如果①②，那么③，由AE与DF平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由AB=DC，等式左右两边都加上BC，得到AC=DB，又∠E=∠F，利用AAS即可得到三角形ACE与三角形DBF 全等，根据全等三角形的对应边相等得到CE=BF，得证；若选择如果①③，那么②，由AE与FD平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由∠E=∠F，CE=BF，利用AAS可得出三角形ACE与三角形DBF 全等，根据全等三角形的对应边相等可得出AC=BD，等式左右两边都减去BC，得到AB=CD，得证．考点四：编制开放型：此类问题是指条件、结论、解题方法都不全或未知，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，寻求解法的一类题，它更具有开放性．例4 看图说故事．请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x、y满足图示的函数关系，要求：①指出变量x和y的含义；②利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中须涉及“速度”这个量．分析：①结合实际意义得到变量x和y的含义；②由于函数须涉及“速度”这个量，只要叙述清楚时间及相应的路程，体现出函数的变化即可．中考真题演练1．写出一个x的值，使|x﹣1|=x﹣1成立，你写出的x的值是．2．写出一个比4小的正无理数．3．写一个比大的整数是．4．将正比例函数y=﹣6x的图象向上平移，则平移后所得图象对应的函数解析式可以是5．写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式：．6．请写出一个二元一次方程组，使它的解是．7．写出一个你喜欢的实数k的值，使得反比例函数y=的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大．8．在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y=﹣2x+6的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是（只写出符合条件的一个即可）．9．请写出一个图象在第二、第四象限的反比例函数解析式，你所写的函数解析式是．10．存在两个变量x与y，y是x的函数，该函数同时满足两个条件：①图象经过（1，1）点；②当x＞0时，y随x的增大而减小，这个函数的解析式是（写出一个即可）．11．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，∠BDE=∠CDF，请你添加一个条件，使DE=DF成立．你添加的条件是．（不再添加辅助线和字母）12．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC．在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是．（填上你认为正确的一个答案即可）13．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，请添加一个条件，使四边形AECF是平行四边形（只填一个即可）．14．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，连接DE，要使△ADE∽△ACB，还需添加一个条件（只需写一个）．15．先化简：，再用一个你最喜欢的数代替a计算结果．16．先化简，然后从﹣2≤x≤2的范围内选择一个合适的整数作为x的值代入求值．17．在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a，b两个情境：情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；情境b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．（1）情境a，b所对应的函数图象分别是、（填写序号）；（2）请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境．18．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF，连接AE、CF．请你猜想：AE与CF有怎样的数量关系？并对你的猜想加以证明．19．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF（不需证明）；（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．20．如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，AB=BF，请你添加一个条件（不需再添加任何线段或字母），使之能推出四边形ABCD为平行四边形，请证明．你添加的条件是．21．右表反映了x与y之间存在某种函数关系，现给出了几种可能的函数关系式：y=x+7，y=x﹣5，y=﹣，y=x﹣1x …﹣6 ﹣5 3 4 …y … 1 1.2 ﹣2 ﹣1.5 …（1）从所给出的几个式子中选出一个你认为满足上表要求的函数表达式：；（2）请说明你选择这个函数表达式的理由．22．在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2．请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．题设：；结论：．（均填写序号）证明：23．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，若点E、F分别在边BC、AD上，连接AE、CF，请再从下列三个备选条件中，选择添加一个恰当的条件．使四边形AECF是平行四边形，并予以证明，备选条件：AE=CF，BE=DF，∠AEB=∠CFD，我选择添加的条件是：．（注意：请根据所选择的条件在答题卡相应试题的图中，画出符合要求的示意图，并加以证明）24．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）答：结论一：；结论二：；结论三：．（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），①求CE的最大值；②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）。

中考数学专题之开放性问题解析及练习和答案开放性试题是相对于条件和结论明确的封闭题而言的，是能引起同学们产生联想，并会自然而然地往深处想的一种数学问题.简单来说就是答案不唯一，解题的方向不确定，条件(或结论)不止一种情况的试题.解答这类题目时，需要对问题全方位、多层次、多角度思考审视，尽量找到解决问题的方法.根据开放题的特点主要有如下三种题型：(1)条件开放型；(2)结论开放型；(3)综合开放型.题型之一 条件开放型例1 (2014·巴中)如图，在四边形ABCD 中，点H 是边BC 的中点，作射线AH ，在线段AH 及其延长线上分别取点E ,F ，连接BE ,CF .(1)请你添加一个条件，使得△BEH ≌△CFH ，你添加的条件是 ，并证明. (2)在问题(1)中，当BH 与EH 满足什么关系时，四边形BFCE 是矩形，请说明理由.【思路点拨】(1)根据已知条件和图形可知，两个三角形有一组边和一组角相等，因此根据全等三角形的判定方法添加一个条件，然后加以证明即可；(2)由(1)中三角形的全等，易得四边形BFCE 是平行四边形，然后根据矩形的判定方法，得出EH 与BH 应满足的条件.【解答】(1)添加条件：答案不唯一，如：BE ∥CF 或EH =FH 或∠EBH =∠FCH 或∠BEH =∠CFH 等. 选择EH =FH ，证明如下：证明：∵点H 是边BC 的中点，∴BH =CH . 在△BEH 和△CFH 中，,,BH CH EHB FHC EH FH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEH ≌△CFH (SAS ).(2)如图，当BH =EH 时，四边形BFCE 是矩形.理由如下：∵BH =CH ，EH =FH ,∴四边形BFCE 是平行四边形. 又∵BH =EH ,∴EF =B C. ∴四边形BFCE 是矩形.方法归纳：解这种类型的开放性问题的一般思路是：（1）由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻.(2)添加的条件，使证明过程越简单越好，且不可自己难为自己.1.（2014·湘潭）如图，直线a 、b 被直线c 所截，若满足 ，则a 、b 平行.2.(2014·内江)如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AD ∥BC ，请添加一个条件： ，使四边形ABCD 为平行四边形(不添加任何辅助线).3.(2013·六盘水)如图，添加一个条件： ，使△ADE ∽△AC B.(写出一个即可)4.(2014·娄底)先化简241193x x x ⎛⎫⎪⎝-÷--⎭-，再从不等式2x －3<7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值.5.(2013·邵阳)如图所示，将△ABC 绕AC 的中点O 顺时针旋转180°得到△CDA ，请添加一个条件，使得四边形ABCD 为矩形，并说明理由.题型之二结论开放型例2 (2013·西安模拟)按图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20~100(含20和100)之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：(Ⅰ)新数据都在60~100(含60和100)之间；(Ⅱ)新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大.(1)若y与x的关系是y=x+p(100－x)，请说明：当p=12时，这种变换满足上述两个要求；(2)若按关系式y=a(x－h)2+k(a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式.(不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程)【思路点拨】(1)要验证y=x+12(100－x)是否满足题中的两个要求，就是①看y是否随x增大而增大；②看当20≤x≤100时，y的值是否满足60≤y≤100；(2)由于规定了a>0，要使抛物线y=a(x－h)2+k满足题中条件,必经过(20,60),(100,100)两点,且这两点在对称轴的右边,因此其中满足条件的抛物线可以是以(20,60)为顶点,且经过点(100,100).故该解析式不难求出.【解答】(1)当p=12时，y=x+12(100－x).即y=12x+50.∴y随着x的增大而增大，即p=12时，满足条件(Ⅱ)；又当20≤x≤100时，12×20+50≤y≤12×100+50.即60≤y≤100.即满足条件(Ⅰ).综上可知，当p=12时，这种变换满足要求.(2)由题意可知,只要满足：①h≤20；②若x=20，100时，y的对应值m，n能落在60~100之间，则这样的关系式都符合要求.如取h=20，y=a(x－20)2+k.∵a＞0，∴当20≤x≤100时，y随着x的增大而增大，令x=20,y=60，得k=60.令x=100,y=100，得a×802+k=100.则a=1 160.∴y=1160(x－20)2+60.方法归纳：所谓结论性开放题就是给出问题的条件,让解题者根据条件寻找相应的结论,且符合条件的结论往往呈现多样化,这类问题就是结论开放型问题.其解题思路是:从已知条件出发,沿着不同方向、不同层次进行观察、分析、验证得到相应的结论.1.(2014·滨州)写出一个运算结果是a6的算式.2.(2013·赤峰)请你写出一个大于0而小于1的无理数.3.(2014·邵阳)如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.(1)从图中任找两组全等三角形；(2)从(1)中任选一组进行证明.4.(2013·内蒙古)存在两个变量x与y，y是x的函数，该函数同时满足两个条件：①图象经过(1，1)点；②当x＞0时，y随x的增大而减小，请各写出一个满足条件的一次函数、反比例函数和二次函数的解析式.5.(2014·台州)为了估计鱼塘中成品鱼(个体质量在0.5 kg及以上，下同)的总质量，先从鱼塘中捕捞50条成品鱼.称得它们的质量如下表：然后做上记号再放回水库中，过几天又捕捞了100条成品鱼，发现其中2条带有记号.(1)请根据表中数据补全下面的直方图(各组中数据包括左端点不包括右端点).(2)根据图中数据分组.估计从鱼塘中随机捕一条成品鱼，其质量落在哪一组的可能性最大?(3)根据图中数据分组，估计鱼塘里质量中等的成品鱼，其质量落在哪一组内？ (4)请你用适当的方法估计鱼塘中成品鱼的总质量(精确到1 kg ).题型之三 综合开放型例3 (2013·绍兴有改动)看图说故事.请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x ，y 满足图示的函数关系，要求： (1)指出变量x 和y 的含义；(2)利用图中的数据和变化规律提出两个问题，并解答这两个问题.【思路点拨】根据情景说明函数关系，注意只有两个变量，涉及其他的量必须是常量.提出问题时要紧扣图象和(1)中实际意义来提出.【解答】(1)本题答案不唯一，如下列解法：某市出租车计费方法是当载客行驶里程为x (千米)，则车费为y (元).该函数图象就是表示y 随x 的变化过程. (2)①出租车的起步价是多少元？当x ＞3时，求y 关于x 的函数关系式; ②若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程. 解：①由图象得：出租车的起步价是8元. 设当x ＞3时，y 与x 的函数关系式为y =kx +b ， 由函数图象，得83,125.k b k b =+⎧⎨=+⎩解得2,2.k b =⎧⎨=⎩ 故y 与x 的函数关系式为：y =2x +2. ②当y =32时，32=2x +2.解得x =15. 答：这位乘客乘车的里程是15千米.方法归纳：这是一道自编自解的综合开放型的问题，解题时要认真分析已给出的条件，经过适当的尝试，符合要求的答案定会产生.1.看图说故事.请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x、y满足图示的函数关系，要求：（1）指出变量x和y的含义；（2）利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中必须涉及“速度”这个量.2.A，B两地间的距离为15千米，甲从A地出发步行前往B地，20分钟后，乙从B地出发骑车前往A地，且乙骑车比甲步行每小时多走10千米.乙到达A地后停留40分钟，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B 地.请你就“甲从A地到B地步行所用时间”或“甲步行的速度”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程.3.如图是一个反比例函数图象的一部分，点A(1，10)，B(10，1)是它的两个端点.(1)求此函数的解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例.参考答案题型之一 条件开放型1.答案不唯一，如∠1=∠22.（答案不唯一）AD ＝BC (或AB ∥DC )3.∠ADE =∠C (答案不唯一)4.原式=()()431333x x x x x ---÷+--=()()43·334x x x x x --+--=13x +. 解不等式2x －3<7得x <5. 取x =1时，原式=113+=14. 提示：本题最后答案不唯一，x 不能取±3,4.5.本题答案不唯一，如：∠B =90°或∠BAC +∠BCA =90°,或OB =OA =OC 或AB 2+BC 2=AC 2等. 以∠B =90°为例说明.理由： ∵AB =CD ,AD =BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形. 又∵∠B =90°，∴□ABCD 为矩形.题型之二 结论开放型1.答案不唯一，如：2a 6－a 6，a 2×a 4，(a 2)3，a 8÷a 2(a ≠0)2.答案不唯一，如：2，3，4π3.(1)△ABE ≌△CDF ，△ABC ≌△CD A. (2)∵AF ＝CE ，∴AE ＝CF . ∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠DCF . 又∵∠ABE ＝∠CDF ，∴△ABE ≌△CDF .4.根据题意，函数可以是一次函数，反比例函数或二次函数.例如： ① 此函数的解析式为y =kx(k ＞0)， ∵此函数经过点(1，1)，∴k =1. ∴此函数可以为：y =1x； ②设此函数的解析式为y =kx +b (k ＜0)， ∵此函数经过点(1，1)，∴k +b =1，k ＜0. ∴此函数可以为：y =－x +2,y =－2x +3,…； ③设此函数的解析式为y=a(x－m)2+n(a<0,m≤0)，∵此函数经过点(1，1)，∴a(1－m)2+n=1(a<0,m≤0).∴此函数可以为：y=－x2+2,y=－2x2+3,y=－(x+1)2+5,….5.(1)如图所示.(2)其质量落在0.5 kg~0.8 kg范围内的可能性最大；(3)质量落在0.8~1.1 kg范围内；(4)方法一：用去尾平均数估计：去尾平均数x=0.680.715 1.018 1.25 1.6147⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈0.87（kg）.50×50×0.87＝2 175(kg).水库中成品鱼的总质量约为2 175 kg.方法二：平均数x=（0.5×1+0.6×8+0.7×15+1.0×18+1.2×5+1.6×1+1.9×2）×150＝0.904(kg).50×50×0.904＝2 260(kg).水库中成品鱼的总质量约为2 260 kg.方法三：利用组中值计算平均数：x=0.65240.9518 1.255 1.551 1.85250⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝0.884（kg）.50×50×0.884＝2 210(kg).水库中成品鱼的总质量约为2 210 kg.方法四：用众数(中位数)估计水库中成品鱼的总质量：50×50×1.0＝2 500(kg).水库中成品鱼的总质量约为2 500 kg.题型之三综合开放型1.答案不唯一，如：（1）该函数图象表示小明开车离出发地的路程y(单位：km)与他所用的时间x(单位：min）的关系；（2）小明以0.4 km/min的速度匀速开了5 min，在原地休息了6 min，然后以0.5 km/min的速度匀速开车回出发地.2.答案不唯一，如：甲从A地到B地步行所用时间是多久？设甲从A地到B地步行所用时间为x小时，由题意得301x-=15x+10.化简得2x2－5x－3=0，解得x1=3，x2=－1 2 .经检验知x=3符合题意，∴x=3.∴甲从A地到B地步行所用时间为3小时.3.(1)设y =k x， ∵A (1，10)在图象上，∴10=1k.即k =10. ∴y =10x(1≤x ≤10). (2)答案不唯一.例如：小明家离县城10 km ，某天小明骑自行车以x km /h 的速度去县城，那么小明从家去县城所需的时间y =10x（h ）.。

专题六开放型条件开放类[类型解读]条件开放类问题的三种类型(1)补充条件型:题目给出部分条件,然后再添加一个(或几个)条件,使结论成立.(2)探索条件型:题目只给出结论,通过分析给出的结论特征,发现使结论成立的条件.(3)条件变化型:在原有条件与结论的基础上,题目的结论发生变化,需要补充条件.[例1](2019绍兴)在屏幕上有如下内容:如图,△ABC内接于☉O,直径AB的长为2,过点C的切线交AB的延长线于点D.张老师要求添加条件后,编制一道题目,并解答.(1)在屏幕内容中添加条件∠D=30°,求AD的长.请你解答.(2)以下是小明、小聪的对话:小明:我加的条件是BD=1,就可以求出AD的长.小聪:你这样太简单了,我加的是∠A=30°,连接OC,就可以证明△ACB与△DCO全等.参考此对话,在屏幕内容中添加条件,编制一道题目(可以添线添字母),并解答.解决条件开放型问题的一般思路:从结论出发,执果索因,逆向思维,逐步探求结论成立的条件.强化运用1:(2019齐齐哈尔)如图,已知在△ABC和△DEF中,∠B=∠E,BF=CE,点B,F,C,E在同一条直线上,若使△ABC≌△DEF,则还需添加的一个条件是(只填一个即可).结论开放类[类型解读]结论开放型问题的两种类型(1)结论是否成立型:这类探索问题的设问,常以适合某种条件的结论“成立”“不成立”等语句加以表述.从给出的已知条件出发,经过推理证明能够推出结论是否成立.(2)判断猜想型:这类问题设问通常有两条线段有何关系(探索相等、平行或垂直),两个角是否相等,这个三角形是什么特殊的三角形,这个四边形是什么特殊的四边形等.它与传统题的区别在于:探索问题的结论过程往往也是解题过程.[例2]小敏思考解决如下问题:原题:如图1,点P,Q分别在菱形ABCD的边BC,CD上,∠PAQ=∠B,求证:AP=AQ.(1)小敏进行探索,若将点P,Q的位置特殊化:把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF,使AE⊥BC,点E,F分别在边BC,CD上,如图2.此时她证明了AE=AF,请你证明;(2)受以上(1)的启发,在原题中,添加辅助线:如图3,作AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F.请你继续完成原题的证明.解决结论开放型问题,要充分利用题目中给出的条件合理地猜想,正确地推理,就会获得所求的结论.强化运用2:(2019贵阳)(1)数学理解:如图①,△ABC是等腰直角三角形,过斜边AB的中点D 作正方形DECF,分别交BC,AC于点E,F,求AB,BE,AF之间的数量关系;(2)问题解决:如图②,在任意直角△ABC内,找一点D,过点D作正方形DECF,分别交BC,AC于点E,F,若AB=BE+AF,求∠ADB的度数;(3)联系拓广:如图③,在(2)的条件下,分别延长ED,FD,交AB于点M,N,求MN,AM,NB的数量关系.存在性开放类[类型解读]存在性开放问题常见的四种类型(1)特殊点存在性开放问题:图形中存在特殊的点,该点满足题目中的某些条件,通过探索,推理证明或运算说明该点存在.(2)特殊三角形存在性开放问题:图形中存在着特殊的三角形(等腰三角形或直角三角形),通过探索,推理证明或运算说明该特殊三角形存在.(3)相似三角形存在性开放问题:图形中存在着与原三角形相似的三角形,通过探索,推理证明说明该三角形存在.(4)特殊四边形存在性开放问题:图形中存在着特殊的四边形,通过探索,推理证明或运算说明该特殊四边形存在.[例3](2019辽阳)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC 的边BC在x轴上,∠ABC=90°,以A 为顶点的抛物线y=-x2+bx+c经过点C(3,0),交y轴于点E(0,3),动点P在对称轴上.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P从A点出发,沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止,设运动时间为t秒,过点P作PD⊥AB交AC于点D,过点D作平行于y轴的直线l交抛物线于点Q,连接AQ,CQ,当t为何值时,△ACQ的面积最大?最大值是多少?(3)若点M是平面内的任意一点,在x轴上方是否存在点P,使得以点P,M,E,C为顶点的四边形是菱形,若存在,请求出符合条件的M点坐标;若不存在,请说明理由.解决存在性问题,需先假设存在,再进行推演,若得出推演结果,则说明结论存在;若推出矛盾,则推翻假设,说明结论不存在.2+bx+c(a≠0)经过点A(3,0),B(-1,0),C(0,-3).(1)求该抛物线的解析式;(2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M,求切点M的坐标;(3)若点Q在x轴上,点P在抛物线上,是否存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.1.(2019咸宁)若整式x2+my2(m为常数,且m≠0)能在有理数范围内分解因式,则m的值可以是(写一个即可).2.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(1,3),(n,3),若直线y=2x与线段AB有公共点,则n的值可以为.(写出一个即可)3.如图,在△ABC中,AB≠AC,D,E分别为边AB,AC上的点,AC=3AD,AB=3AE,点F为BC边上一点,添加一个条件: ,可以使得△FDB与△ADE相似.(只需写出一个)第2题图第3题图4.(2019舟山)如图,在矩形ABCD中,点E,F在对角线BD上.请添加一个条件,使得结论“AE=CF”成立,并加以证明.5.(2019温州)如图,在7×5的方格纸ABCD中,请按要求画图,且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A,B,C,D重合.(1)在图1中画一个格点△EFG,使点E,F,G分别落在边AB,BC,CD上,且∠EFG=90°.(2)在图2中画一个格点四边形MNPQ,使点M,N,P,Q分别落在边AB,BC,CD,DA上,且MP=NQ.6.如图,已知二次函数的图象过点O(0,0),A(8,4),与x轴交于另一点B,且对称轴是直线x=3.(1)求该二次函数的解析式;(2)若M是OB上的一点,作MN∥AB交OA于点N,当△ANM面积最大时,求点M的坐标;(3)P是x轴上的点,过P作PQ⊥x轴,与抛物线交于点Q.过A作AC⊥x轴于点C,当以点O,P,Q 为顶点的三角形与以点O,A,C为顶点的三角形相似时,求P点的坐标.专题六开放型专题突破[例1]解:(1)如图,连接OC,∵CD为切线,∴OC⊥CD,∴∠OCD=90°,∵∠D=30°,∴OD=2OC=2,∴AD=AO+OD=1+2=3.(2)(答案不唯一)添加∠DCB=30°,求AC的长.解:∵AB为直径,∴∠ACB=90°,∵∠ACO+∠OCB=90°,∠OCB+∠DCB=90°,∴∠ACO=∠DCB,∵∠ACO=∠A,∴∠A=∠DCB=30°,在Rt△ACB中,BC=AB=1,∴AC=BC=.强化运用1:AB=DE(答案不唯一)[例2]证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴∠B+∠C=180°,∠B=∠D,AB=AD,∵∠EAF=∠B,∴∠EAF+∠C=180°,∴∠AEC+∠AFC=180°,∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°,∴∠AFC=∠AFD=90°,在△AEB和△AFD中,∴△AEB≌△AFD,∴AE=AF.(2)由(1)得∠PAQ=∠EAF=∠B,AE=AF,∴∠EAP=∠FAQ,在△AEP和△AFQ中,∴△AEP≌△AFQ(ASA),∴AP=AQ.强化运用2:解:(1)AB=(AF+BE).理由如下:∵△ABC是等腰直角三角形,∴AC=BC,∠A=∠B=45°,AB=AC,∵四边形DECF是正方形,∴DE=DF=CE=CF,∠DFC=∠DEC=90°,∴∠A=∠ADF=45°,∴AF=DF=CE,∴AF+BE=BC=AC,∴AB=(AF+BE).(2)如图,延长AC到点M,使FM=BE,连接DM,∵四边形DECF是正方形,∴DF=DE,∠DFC=∠DEC=90°,∵BE=FM,∠DFC=∠DEB=90°,DF=ED,∴△DFM≌△DEB(SAS),∴DM=DB,∵AB=AF+BE,AM=AF+FM,FM=BE,∴AM=AB,又DM=DB,AD=AD,∴△ADM≌△ADB(SSS).∴∠DAC=∠DAB=∠CAB,同理,得∠ABD=∠CBD=∠ABC,∵∠ACB=90°,∴∠CAB+∠CBA=90°,∴∠DAB+∠ABD=(∠CAB+∠CBA)=45°,∴∠ADB=180°-(∠DAB+∠ABD)=135°. (3)∵四边形DECF是正方形,∴DE∥AC,DF∥BC,∴∠CAD=∠ADM,∠CBD=∠NDB,∠MDN=∠AFD=90°,∵∠DAC=∠DAB,∠ABD=∠CBD,∴∠DAB=∠ADM,∠NDB=∠ABD,∴AM=MD,DN=NB,在Rt△DMN中,MN2=MD2+DN2,∴MN2=AM2+NB2.[例3]解:(1)将点C(3,0),E(0,3)的坐标分别代入二次函数解析式,得解得故抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.(2)由(1)知y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴点A的坐标为(1,4),设直线AC的解析式为y=kx+b,把A(1,4),C(3,0)代入,得解得∴直线AC的解析式为y=-2x+6,由题意,知AP=t,∴BP=4-t(0≤t≤4).把y=4-t代入y=-2x+6得4-t=-2x+6,解得x=1+.∴点D的坐标为1+,4-t.把x=1+代入y=-x2+2x+3,得y=-1+2+2×1++3=-+4,∴点Q的坐标为1+,-+4.∴QD=y Q-y D=-+4-(4-t)=-+t,∴S△ACQ=S△ADQ+S△CDQ=QD·(x Q-x A)+QD·(x C-x Q)=QD·(x C-x A)=×-+t×(3-1)=-+t=-(t-2)2+1(0≤t≤4).∴当t=2时,△ACQ的面积最大,最大面积为1.(3)设点P的坐标为(1,m),点M的坐标为(x,y),①当EC是菱形一条边时,且点M在直线AB右侧时,点E向右平移3个单位、向下平移3个单位得到C,则点P向右平移3个单位、向下平移3个单位得到M,则1+3=x,m-3=y,而MP=EP,得1+(m-3)2=(x-1)2+(y-m)2,解得y=m-3=,故点M的坐标为(4,);当点M在直线AB左侧时,同理,得点M的坐标为(-2,3+);②当EC是菱形一对角线时,则EC的中点即为PM的中点,则x+1=3,y+m=3,而PE=PC,即1+(m-3)2=4+m2,解得m=1,故x=2,y=3-m=3-1=2,故点M的坐标为(2,2).综上,点M的坐标为(4,)或(-2,3+)或(2,2).强化运用3:解:(1)把A(3,0),B(-1,0),C(0,-3)代入抛物线解析式,得解得则该抛物线的解析式为y=x2-2x-3.(2)设直线BC的解析式为y=kx-3,把B(-1,0)代入得-k-3=0,即k=-3,∴直线BC的解析式为y=-3x-3,∵A(3,0),B(-1,0),C(0,-3),∴AB=4,BC=,BO=1,如图,∵以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M,∴AM⊥BC,∴∠AMB=∠COB=90°.∵∠ABM=∠CBO,∴△ABM∽△CBO,∴=,∴=,∴BM=,设M点的坐标为(m,-3m-3).则BM2=(-1-m)2+(3m+3)2=,解得m1=-,m2=-(不合题意,舍去)∴M点的坐标为-,-.(3)存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形.设Q(x,0),P(n,n2-2n-3),当四边形BCQP为平行四边形时,由B(-1,0),C(0,-3),则-1+x=0+n,0+0=-3+n2-2n-3,解得n1=1+,n2=1-,当n=1+时,n2-2n-3=3,即P1(1+,3);当n=1-时,n2-2n-3=3,即P2(1-,3).当四边形BCPQ为平行四边形时,则-1+n=0+x,0+n2-2n-3=-3+0,解得n3=0,n4=2,当n=0时,不合题意,舍去;当n=2时,n2-2n-3=-3,即P3(2,-3).当四边形BQCP为平行四边形时,x+n=-1+0,0+n2-2n-3=-3+0,解得n5=0,n6=2,则P4(2,-3).综上可得,存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形,点P的坐标为(1+,3)或(1-,3)或(2,-3).专题精练1.-1(答案不唯一)2.2(答案不唯一)3.∠BDF=∠A(答案不唯一)4.解:(答案不唯一)添加的条件是BE=DF.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,AB=CD,∴∠ABD=∠BDC,又∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF(SAS),∴AE=CF.5.解:(1)(答案不唯一)满足条件的△EFG,如图1,2所示.(2)(答案不唯一)满足条件的四边形MNPQ如图所示.6.解:(1)∵抛物线过原点,对称轴是直线x=3,∴点B的坐标为(6,0),设抛物线解析式为y=ax(x-6),把A(8,4)代入,得4=8a(8-6),解得a=,∴抛物线解析式为y=x(x-6)=x2-x.(2)设M(t,0),直线OA的解析式为y=x,设直线AB的解析式为y=kx+b,把B(6,0),A(8,4)代入得,解得∴直线AB的解析式为y=2x-12,∵MN∥AB,∴设直线MN的解析式为y=2x+n,把M(t,0)代入得2t+n=0,解得n=-2t,∴直线MN的解析式为y=2x-2t,解方程组得则N t,t,∴S△AMN=S△AOM-S△NOM=×4t-t×t=-t2+2t=-(t-3)2+3,当t=3时,S△AMN有最大值3,此时M点坐标为(3,0).(3)设点P(m,0),则点Q m,m2-m,当△PQO∽△COA时,=,即=,∴PQ=2PO,即m2-m=2|m|,解方程m2-m=2m,得m1=0(舍去),m2=14,此时P点坐标为(14,0);解方程m2-m=-2m,得m3=0(舍去),m4=-2,此时P点坐标为(-2,0).当△PQO∽△CAO时,=,即=,∴PQ=PO,即m2-m=|m|,解方程m2-m=m,得m5=0(舍去),m6=8(舍去),解方程m2-m=-m,得m7=0(舍去),m8=4,此时P点坐标为(4,0).综上所述,P点坐标为(14,0)或(-2,0)或(4,0).。

2011-11-6专题一：全等三角形中的开放探究型问题例谈探究型问题是近年中考的热点之一，它的最大特征是条件或结论具有一定的开放性．这类题目既考查了同学们的“双基”水平，以及对原有知识的掌握程度，又培养了创新能力．与全等三角形有关的探究题型没有明确的结论或条件，需要通过观察、联想、分析、比较、归纳、概括、猜想等来发现解题条件或结论． （一）结论开放型 例题1 如图所示，，请你添加一个条件： ，使OC =OD ．例题2 如图所示，AB //CD ．（1）用尺规作图法作∠ACD 的平分线CP ，CP 交AB 于点E （保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）中作出的线段CE 上取一点F ，连接AF ．要使△ACF ≌△AEF ，还需要添加一个什么条件？请你写出这个条件（只要给出一种情况即可；图中不再添加字母和线段；不要求证明）．（二）方法开放型例题3 已知，如图所示，AD 与BC 相交于点O ，∠CAB =∠DBA ，AC =BD ．求证： （1）∠C =∠D ；（2）△AOC ≌△BOD ． （三）条件开放型例题4 如图所示，在△AFD 和△BEC 中，点A 、E 、F 、C 在同一直线上，有下面四个论断：①AD =BC ；②AE =CF ；③∠B =∠D ；④AD ∥BC ．请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学题，并写出解答过程． （四）探究规律型例题5 CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线，CA =CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且 ∠BEC =∠CF A =．如图所示．（1）若直线CD 经过∠BCA 的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题： （ⅰ）如图①所示，若∠BCA =90°，=90°，则BE CF ；EF |BE -AF |（填“>”“<”或“=”）；（ⅱ）如图②所示，若0°＜∠BCA ＜180°，请添加一个关于α与∠BCA 关系的条件 ，使（ⅰ）中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论成立； （2）如图③所示，若直线CD 经过∠BCA 的外部，∠BCA ，请提出EF 、BE 、AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．2011-11-6【强化练习】 1．如图，已知AB =AD ，∠BAE =∠DAC ，要使△ABC ≌△ADE ，可补充的条件是 （写出一个即可）．2．如图，点P 在∠AOB 的平分线上，若使△AOP ≌△BOP ，则需要添加的一个条件是 ．（只写一个即可，不添加辅助线） 3．如图所示，已知AB =AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ） A ．CB =CD B ．∠BAC =∠DAC C ．∠BCA =∠DCA D ．∠B =∠D =90° 4．如图，∠C =∠D =90°，若要依据“HL ”证明△ABC ≌△BAD ，应添加条件 ，若要依据“AAS ”证明△ABC ≌△BAD ，应添加条件 ．5．如图，在△ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，①AD 平分∠BAC ；②DE ⊥AB ，DF ⊥AC ；③AD ⊥EF ，以其中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：①②→③；①③→②；②③→①．（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）； （2）请证明你认为正确的命题．6．如图，△ABC 的边BC 在直线l 上，AC ⊥BC ，且AC =BC ；△EFP 的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF =FP ．（1）在图（1）中，请你通过观察、测量、猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；（2）将△EFP 沿直线l 向左平移到图（2）的位置时，EP 交AC 于点Q ，连接AP 、BQ ，猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请你证明你的猜想；（3）将△EFP 沿直线l 向左平移到图（3）的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连接AP 、BQ ．你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．。

开放性问题【专题点拨】开放探索问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，或者条件、结论有待探求、补充等.【解题策略】在解决开放探索问题的时候，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.【典例解析】类型一：条件开放型问题例题1：（2016·某某省滨州市·14分）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；函数及其图象．【分析】（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），由此不难解决问题．（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，∴x2+2x﹣8=0，x=﹣4或2，∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，∴点E的横坐标为﹣7或5，∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣），∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×=．（3）如图所示，①当C为顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，在RT△CM1N中，==，∴点M1坐标（﹣1，2+），点M2坐标（﹣1，2﹣）．②当M3为顶点时，∵直线AC解析式为y=﹣x+1，线段AC的垂直平分线为y=x，∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．③当点A为顶点的等腰三角形不存在．综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1.2﹣）．【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．变式训练1：（2016·某某某某）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P 的坐标和四边形ABPC的最大面积．（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．类型二：结论开放型问题例题2：（2016·某某随州·3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c ＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解析】二次函数图象与系数的关系．（1）正确．根据对称轴公式计算即可．（2）错误，利用x=﹣3时，y＜0，即可判断．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），列出方程组求出a、b即可判断．（4）错误．利用函数图象即可判断．（5）正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．【解答】解：（1）正确．∵﹣ =2，∴4a+b=0．故正确．（2）错误．∵x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，∴9a+c＜3b，故（2）错误．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），∴解得，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵a＜0，∴8a+7b=2c＞0，故（3）正确．（4）错误，∵点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3），∵﹣2=，2﹣（﹣）=，∴＜∴点C离对称轴的距离近，∴y3＞y2，∵a＜0，﹣3＜﹣＜2，∴y1＜y2∴y1＜y2＜y3，故（4）错误．（5）正确．∵a＜0，∴（x+1）（x﹣5）=﹣3/a＞0，即（x+1）（x﹣5）＞0，故x＜﹣1或x＞5，故（5）正确．∴正确的有三个，故选B．变式训练2：（2016·某某某某·3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值X围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个类型三：解题策略开放型例题3：(2014 年某某襄阳)如图 Z3-1，在△ABC 中，点D，E 分别在边 AC，AB 上，BD 与 CE 交于点 O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC 是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)（2）选择其中的成立条件进行证明。

2014年中考数学专题复习：开放题【问题发现】如图，已知AC ⊥BD 于点P ，AP ＝CP ，请增加一个条件，使得△ABP≌△CDP(不能添加辅助线)，你增加的条件是 。

问题回顾：三角形全等的判定有： ， ， ， ， 。

根据什么 判定，需要添加条件 。

【分析归纳】相信同学已经做过类似的问题。

我们发现题目的条件不完全，答案不唯一。

我们把这类题叫做开放题。

主要分为条件开放，结论开放，综合开放和策略开放四类。

条件开放：条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求。

1、已知反比例函数xm y 2-=，其图象在第一、第三象限内，则m 的值可为（写出满足条件的一个k 的值即可）分析：对于反比例函数xk y =（k 是常数，k ≠0）。

当它的图象在第一、第三象限时有，m>0，所以本题中应该是m-2>0，即m>2。

2、在多项式4x 2+1中添加一个条件，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是（只写出一个即可）。

分析：要使多项式4x 2+1成为一个完全平方式，可添加一次项，也可添加二次项，还可添加常数项。

结论开放型：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍。

3、如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，DE ∥AC ，DE 交AB 于点E ，M 为BE 的中点，连接DM.在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是 ．(写出一个即可) 分析：4、已知二次函数y=ax 2+bx +c 的图形如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（-1,0），（3,0）.对于下列命题：①b 2-4ac >0；②2a+b<0；③a-b+c=0；④a+b+c>0。

第3课时开放探究题开放探究题是一种新的题型, 关于开放题的概念，主要有下列几种描述：（1）答案不固定或者条件不完备的习题成为开放题；（2）具有多种不同的解法或有多种可能的解答的问题称为开放题.开放探究题的特点是：（1）条件多余需选择,条件不足需补充；（2）答案不固定；（3）问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的结论或条件或方法.开放探究题常见的类型有：（1）条件开放型：即问题的条件不完备或满足结论的条件不唯一；（2）结论开放型：即在给定的条件下，结论不唯一；（3）策略开放型：即思维策略与解题方法不唯一；（4）综合型：即条件、结论、策略中至少有两项均是开放的.在解决开放探究题的时候，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.这类题主要考查我们分析问题和解决问题的能力和创新意识.类型之一条件开放型问题解这种类型的开放性问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式.它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因。

1. （郴州市）已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是_________．2.（庆阳市）如下左图，D、E分别是ABC△的边AB、AC上的点，则使△的条件是．△∽ABCAED类型之二结论开放型问题解决这种类型的问题的时候要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象，然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维. 它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力。

3.（滨州市）如上右图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有_________（把你认为正确的序号都填上）。

专题复习：开放型问题一、中考专题诠释开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．二、解题策略与解法精讲解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。

考点一：条件开放型例1：写出一个过点（0，3），且函数值y随自变量x的增大而减小的一次函数关系式：．（填上一个答案即可）练习：已知（x1，y1），（x2，y2）为反比例函数kyx图象上的点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k的一个值可为．（只需写出符合条件的一个k的值）考点二：结论开放型例2：请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：．练习：四川雅安发生地震后，某校九（1）班学生开展献爱心活动，积极向灾区捐款．如图是该班同学捐款的条形统计图．写出一条你从图中所获得的信息：．（只要与统计图中所提供的信息相符即可得分）考点三：条件和结论都开放的问题例3：如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．（1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．练习：如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．【课堂讲解】1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使得四边形ABCD是平行四边形，应添加的条件是______（只填写一个条件，不使用图形以外的字母和线段）．2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是_______（写出一个即可）．3．如图，已知△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，要使△ABD≌ACE，则只需添加一个适当的条件是___________．（只填一个即可）4．若反比例函数y＝kx的图象在其每个象限内，y随x的增大而增大，则k的值可以是_______．（写出一个k的值）5．若函数y=1mx的图象在同一象限内，y随x增大而增大，则m的值可以是________（写出一个即可）．6. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，不添加辅助线，梯形满足条件时，有MB=MC（只填一个即可）．7. 直线l过点M（-2，0），该直线的解析式可以写为________．（只写出一个即可）8. 如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是_______（添加一个条件即可）．9. 请举反例说明命题“对于任意实数x，x2+5x+5的值总是整数”是假命题，你举的反例是（写出一个x的值即可）10．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，BE=CF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF．11．如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件，使得△EAB≌△BCD．12．如图，已知∠B=∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是．13．如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是（填一个即可）14．如图所示，弦AB、CD相交于点O，连结AD、BC，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是．15．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA、OB．点P是半径OB上任意一点，连接AP．若OA=5cm，OC=3cm，则AP的长度可能是cm（写出一个符合条件的数值即可）16．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t （s）的值为．（填出一个正确的即可）17．已知（x1，y1），（x2，y2）为反比例函数kyx图象上的点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k的一个值可为．（只需写出符合条件的一个k的值）18. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．19. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）答：结论一：；结论二：；结论三：．（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），①求CE的最大值；②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）20. 在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF（不需证明）；（2）若E 是线段AC 或AC 延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE 、EF 有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．【课堂训练】1.如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判定△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（ ）A ．∠ABD=∠CB ．∠ADB=∠ABC C. CD CB BD AB = D. ACAB AB AD =2. 如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB 的两个交点之间的距离为23且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y 轴的抛物线条数是（ ）A ．16B ．15C ．14D ．133. 如图，在四边形ABCD 中，点H 是BC 的中点，作射线AH ，在线段AH 及其延长线上分别取点E ，F ，连结BE ，CF ．（1）请你添加一个条件，使得△BEH ≌△CFH ，你添加的条件是 ，并证明．（2）在问题（1）中，当BH 与EH 满足什么关系时，四边形BFCE 是矩形，请说明理由．4. 复习课中，教师给出关于x 的函数y =2kx 2﹣（4kx +1）x ﹣k +1（k 是实数）．教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：①存在函数，其图象经过（1，0）点；②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数．教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．5. 猜想与证明：如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．拓展与延伸：（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为DM=DE．（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．6. 已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C 重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证：CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；2对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．②若正方形ADEF的边长为27. 在△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜45°，点O为AB中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点O重合，一边OE经过点C，另一边OD与AC交于点M．（1）如图1，当∠A=30°时，求证：MC2=AM2+BC2；（2）如图2，当∠A≠30°时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由；（3）将三角形ODE绕点O旋转，若直线OD与直线AC相交于点M，直线OE与直线BC相交于点N，连接MN，则MN2=AM2+BN2成立吗？答：（填“成立”或“不成立”）个性化教案（真题演练）1. （2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s 的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为．（填出一个正确的即可）1对1出门考（_______年______月______日周_____）1. 写出一个你喜欢的实数k 的值 ，使得反比例函数xk y 2-=的图象在每一个象限内，y 随x 的增大而增大．2. 写出一个x 的值，使|x ﹣1|=x ﹣1成立，你写出的x 的值是 ．3. 存在两个变量x 与y ，y 是x 的函数，该函数同时满足两个条件：①图象经过（1，1）点；②当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，这个函数的解析式是 （写出一个即可）．4. 如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，作射线AD ，在线段AD及其延长线上分别取点E 、F ，连接CE 、BF ．添加一个条件，使得△BDF ≌△CDE ，并加以证明．你添加的条件是 ．（不添加辅助线）．5. 先化简22)1111(2-÷+--x x x x ，然后从﹣2≤x≤2的范围内选择一个合适的整数作为x 的值代入求值．6. 在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a ，b 两个情境：情境a ：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；情境b ：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．（1）情境a ，b 所对应的函数图象分别是 、 （填写序号）；（2）请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境．评语： 3A 作业：周一： 周二：周三： 周四：周五：作业要求在 月 日之前完成。

华师大九年级 17期 .开放探究专题 叶子开放探究专题学海导航：在近几年的中考中，出现了越来越多的开放探究题，这对于培养创造性人才非常重要。

主要有三种形式：①条件的开放与探究；②结论的开放与探究；③解题方法的开放与探究。

1．条件开放探究题的明确特征是缺少确定的条件，问题所需补充的条件不是得出结论的必要条件，即所需补充的条件不能由结论推出。

2．给出问题的条件，让解答者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求解题者探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题。

3．策略开放性问题，一般指解题方法不唯一或解题途径不明确的问题，这类问题要求解题者不要墨守成规，善于标新立异，积极发散思维，优化解题方案和过程。

同学们在解决开放性问题过程中，运用所学的知识经过推理，得出正确得结论，充分显示出思维的多样化，也体现了学生对数学学习的个性化，从而全方位地培养学生的创造能力。

探究与创新,是中考试题的主旋律一、条件探索型此类题的特点是：结论确定，而需探索发现使结论成立的条件。

例1：一次函数的图象过点(-l,0)，且函数值随着自变量的增大而减小，写出一个符合这个条件的一次函数解析式:____.评析：由题知k<0,令k=-1将x=-1,y=0代入y=kx+b 中得b=-1.因此一次函数解析式可以是y=-x-1.这是一道考查一次函数概念和性质的开放题，解答的关键是抓住一次函数y kx b =+中k 、b 的正负、大小对性质的影响。

二、结论探索型这类题目的特点是：给定条件但无明确结论或结论不唯一，而需要探索发现与之相应的结论，并运用所学的知识进行认证。

例2 如图，已知∠MON=90º，等边三角形ABC 的一个顶点A 是射线OM 上的一定点，顶点B 与点O 重合，顶点C 在∠MON 内部.（1）当顶点B 在射线ON 上移动到B 1时，连结AB 1为一边的等边三角形AB 1C 1（保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）设AB 1与OC 交于点Q ，AC 的延长线与B 1C 1交于点D .求证：AQ AB AD AC ⋅=⋅1；（3）连结CC 1，试猜想∠ACC 1为多少度？并证明你的猜想.解： （1）如图所示；证明：（2）∵△AOC 与△AB 1C 1等边三角形，∴∠ACB =∠AB 1D =60º.又∵∠CAQ =∠B 1AD , ∴△ACQ ∽△AB 1D ；1.,11AB AQ AD AC AD AQ AB AC ⋅=⋅=∴即(3) 猜想∠ACC 1=90º.证明:∵△AOC 和△AB 1C 1为正三角形,AO=AC ，AB 1=AC 1，∴∠OAC=∠C 1AB 1，∴∠OAC -∠CAQ=∠C 1AB 1-∠CAQ ，∴∠OAB 1=∠CAC 1 .∴△AO B 1 ≌ △AC C 1. ∴∠ACC 1=∠AOB 1=90º.评析：问题中要求同学们画出正△AB 1C 1，是对同学们理解能力和动手能力的考验,同时通过比例线段确认要证的相似三角形是常用方法之一. 问题(3) 是一道结论开放的问题，根据对已知条件的分析，对图形的观察，猜想直角。

专题三开放与探索开放探索型问题有条件开放与探索、结论开放与探索、条件结论都开放与探索等，这类题目新颖，思考方向不确定，因此比一般综合题更能考查学生综合运用知识的能力，从而深受命题者的青睐．中考题型以填空题、解答题为主．考向一条件开放问题条件开放探索问题的特征是缺少确定的条件，所需补充的条件不能由结论直接推出，而满足结论的条件往往也是不唯一的．【例1】如图，已知AC⊥BD于点P，AP＝CP，请增加一个条件：使△ABP≌△CDP(不能添加辅助线)，你增加的条件是__________．解析：要证明△ABP≌△CDP，已经给出了两个条件：AP＝CP，AC⊥BD(即∠APB＝∠CPD＝90°)，根据证明两个三角形全等的判断方法，可以添加一个条件角或者边．答案：∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB∥CD，BP＝DP，AB＝CD.(任选其中一个)方法归纳解决此类题的方法是：从所给的结论出发，设想出合乎要求的一些条件，逐一列出，运用所学的定理，进行逻辑推理，从而找出满足结论的条件．考向二结论开放问题结论开放探索问题是给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，符合条件的结论往往呈现多样性．【例2】(2011广东河源)如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点(P不与A，B重合)，分别以AP，PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD.(1)当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP＝__________.(直接写结果)(2)连接AD，BC，相交于点Q，设∠AQC＝α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由．(3)如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转(旋转角小于180°)，此时α的大小是否发生变化？(只需直接写出你的猜想，不必证明)图1图2分析：(1)设等边△APC边长为x，高为32x，则面积为34x2，则等边△BDP边长为2a－x，高为32(2a－x)，则面积为34(2a－x)2，面积之和为S＝34x2＋34(2a－x)2＝32x2－3ax＋3a2，这是一个二次函数的最值问题．当x＝a时，S最小＝32a2.(2)判别α的大小是否会随点P的移动而变化，只需计算∠AQC.(3)根据(2)证明过程或直观可得结论．解：(1)a(2)α的大小不会随点P的移动而变化．理由：∵△APC是等边三角形，∴P A＝PC，∠APC＝60°.∵△BDP是等边三角形，∴PB＝PD，∠BPD＝60°，∴∠APC＝∠BPD，∴∠APD＝∠CPB，∴△APD≌△CPB，∴∠P AD＝∠PCB.∵∠QAP＋∠QAC＋∠ACP＝120°，∴∠QCP＋∠QAC＋∠ACP＝120°，∴∠AQC＝180°－120°＝60°.(3)此时α的大小不会发生改变，始终等于60°.方法归纳解答本题将等边三角形的面积用二次函数表示是解答本题的难点．解答结论开放性问题常常需要借助直观或特殊化方法探求．考向三条件与结论开放问题条件、结论开放探索问题是指条件和结论都不唯一，此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有开放性，它要求学生通过自己的观察和思考，将已知的信息集中进行分析，通过这一思维活动揭示事物的内在联系．【例3】(1)如图1，在正方形ABCD中，M是BC边(不含端点B，C)上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN＝90°，求证：AM＝MN.下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB上截取AE＝MC，连接ME.正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，AB ＝BC.∴∠NMC＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠MAB＝∠MAE.(下面请你完成余下的证明过程)图1 图2(2)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”(如图2)，N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN＝60°时，结论AM＝MN是否还成立？请说明理由．(3)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X”，请你作出猜想：当∠AMN ＝__________时，结论AM＝MN仍然成立．(直接写出答案，不需要证明) 分析：证两条线段相等，最常用的方法是证明两条线段所在三角形全等．(1)中给出了线段EM，即想提示考生证明△AEM≌△MCN.由题目中的条件知，只需再找一角即可．(2)中解法同(1)，在AB上构造出线段AE＝MC，连接ME.进一步证明△AEM≌△MCN.(3)是将(1)(2)中特殊问题推广到一般情况，应抓住本质：∠AMN与正多边形的内角度数相等．解：(1)∵AE＝MC，∴BE＝BM，∴∠BEM＝∠EMB＝45°，∴∠AEM＝135°.∵CN平分∠DCP，∴∠PCN＝45°，∴∠AEM＝∠MCN＝135°.在△AEM 和△MCN 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AEM ＝∠MCN ，AE ＝MC ，∠EAM ＝∠CMN ，∴△AEM ≌△MCN ，∴AM ＝MN .(2)仍然成立．在边AB 上截取AE ＝MC ，连接ME . ∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，∠B ＝∠ACB ＝60°， ∴∠ACP ＝120°.∵AE ＝MC ，∴BE ＝BM ， ∴∠BEM ＝∠EMB ＝60°， ∴∠AEM ＝120°.∵CN 平分∠ACP ，∴∠PCN ＝60°， ∴∠AEM ＝∠MCN ＝120°. ∵∠CMN ＝180°－∠AMN －∠AMB ＝180°－∠B －∠AMB ＝∠BAM ，∴△AEM ≌△MCN ，∴AM ＝MN .(3)(n －2)180°n.方法归纳 解答本题的关键是结合已给出的材料借助类比思想进行．一般地，解答条件、结论开放探索问题，即条件和结论都不确定，首先要认定条件和结论，然后组成一个新的命题并加以证明或判断．一、选择题 1．如图，在网格中有一个直角三角形(网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度)，若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其他的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上，那么符合要求的新三角形有( )A ．4个B ．6个C ．7个D ．9个2．根据图1所示的程序，得到了y 与x 的函数图象(如图2)，过点M 作PQ ∥x 轴交图象于点P ，Q ，连接OP ，OQ .则以下结论①x ＜0时，y ＝2x，②△OPQ 的面积为定值，③x ＞0时，y 随x 的增大而增大， ④MQ ＝2PM ，⑤∠POQ可以等于90°.图1 图2其中正确的结论是()A．①②④B．②④⑤C．③④⑤D．②③⑤二、填空题3．在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形．你添加的条件是__________．(写出一种即可)4．若关于x的方程x2－mx＋3＝0有实数根，则m的值可以为__________．(任意给出一个符合条件的值即可)三、解答题5．如图，将△ABC的顶点A放在⊙O上，现从AC与⊙O相切于点A(如图1)的位置开始，将△ABC绕着点A顺时针旋转，设旋转角为α(0°＜α＜120°)，旋转后AC，AB分别与⊙O交于点E，F，连接EF(如图2)．已知∠BAC＝60°，∠C＝90°，AC＝8，⊙O的直径为8.图1 图2 备用图(1)在旋转过程中，有以下几个量：①弦EF的长；② EF的长；③∠AFE的度数；④点O到EF的距离．其中不变的量是__________(填序号)．(2)当BC与⊙O相切时，请直接写出α的值，并求此时△AEF的面积．6．如图1，△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB＝AC＝EF＝9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G，H点，如图2.(1)问：始终与△AGC相似的三角形有__________及__________；(2)设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式(只要求根据图2情形说明理由)；(3)问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？图1 图27．已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD＞AB)，将纸片折叠一次，使点A与点C 重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连接AF和CE.(1)求证：四边形AFCE是菱形；(2)若AE＝10 cm，△ABF的面积为24 cm2，求△ABF的周长；(3)在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2＝AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．8．已知：二次函数y＝x2＋bx－3的图象经过点P(－2,5)．(1)求b的值，并写出当1＜x≤3时y的取值范围．(2)设点P1(m，y1)，P2(m＋1，y2)，P3(m＋2，y3)在这个二次函数的图象上．①当m＝4时，y1，y2，y3能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由．②当m取不小于5的任意实数时，y1，y2，y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．9．如图1，已知抛物线的顶点为A(0,1)，矩形CDEF的顶点C，F在抛物线上，D，E 在x轴上，CF交y轴于点B(0,2)且其面积为8.(1)求此抛物线的解析式．(2)如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连接PB并延长交抛物线于点Q，过点P，Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S，R.①求证：PB＝PS；②判断△SBR的形状；③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P，S，M为顶点的三角形和以点Q，R，M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由．图1 图2参考答案专题提升演练1．C以较短的直角边为公共边可以画三个符合要求的三角形，以较长的直角边为公共边也可以画三个符合要求的三角形，以斜边为公共边也可以画一个符合要求的三角形，这样可以画七个符合要求的三角形，故选C.2．B 根据图中所示程序，可得y 与x 的函数关系式为y ＝⎩⎨⎧－2x(x <0)，4x (x >0)，易知①错误；∵PQ ∥x 轴，∴点P 在y ＝－2x 上，∴S △POM ＝12×OM ×PM ＝12|k |＝1，同理可得S △QOM ＝2，∴S △POQ ＝S △POM ＋S △QOM ＝1＋2＝3，∴②正确；当x ＞0时，y ＝4x，y 随x 的增大而减小，∴③错误；设OM ＝a ，当y ＝a 时，P 点的横坐标为－2a ，Q 点的横坐标为4a ，则PM ＝2a，MQ＝4a，则MQ ＝2PM ，∴④正确；当点M 在y 轴的正半轴上由下向上运动时，∠POQ 由180°逐渐变小至0°，∴∠POQ 可以等于90°，∴⑤正确．3．∠A ＝90°或∠B ＝90°或∠C ＝90°或∠D ＝90°或AC ＝BD (答案不唯一，写出一种即可) 由已知条件AB ＝DC ，AD ＝BC ，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，再要使ABCD 是矩形，根据判定矩形的方法，只需有一个角为直角的平行四边形即为矩形，或者对角线相等的平行四边形是矩形，所以可添的条件为角是直角或对角线相等．4．答案不唯一，所填写的数值只要满足m 2≥12即可，如4等 由于这个方程有实数根，因此Δ＝b 2－4ac ＝(－m )2－12＝m 2－12≥0，即m 2≥12.5．解：(1)①②④ (2)α＝90°.依题意可知，△ACB 旋转90°后AC 为⊙O 直径，且点C 与点E 重合，因此∠AFE ＝90°.∵AC ＝8，∠BAC ＝60°，∴AF ＝12AC ＝4，EF ＝43，∴S △AEF ＝12×4×43＝8 3.6．解：(1)△HGA △HAB (2)由(1)可知△AGC ∽△HAB ， ∴CG AB ＝AC BH ，即x 9＝9y ， ∴y ＝81x.(3)由(1)知△AGC ∽△HGA .∴要使△AGH 是等腰三角形，只要△AGC 是等腰三角形即可．有两种情况，(1)CG 为底，AC ＝AG 时，得AG ＝9，此时CG 等于92，(2)CG 为腰，CG ＝AG 时，此时CG ＝922.7．解：(1)证明：由折叠可知EF ⊥AC ，AO ＝CO . ∵AD ∥BC ，∴∠EAO ＝∠FCO ，∠AEO ＝∠CFO . ∴△AOE ≌△COF . ∴EO ＝FO .∴四边形AFCE 是菱形． (2)由(1)得AF ＝AE ＝10. 设AB ＝a ，BF ＝b ，得 a 2＋b 2＝100①，ab ＝48②.①＋2×②得(a ＋b )2＝196，得a ＋b ＝14(另一负值舍去)． ∴△ABF 的周长为24 cm.(3)存在，过点E 作AD 的垂线交AC 于点P ，则点P 符合题意．证明：∵∠AEP ＝∠AOE ＝90°，∠EAP ＝∠OAE ， ∴△AOE ∽△AEP . ∴AO AE ＝AEAP，得AE 2＝AO ·AP ，即2AE 2＝2AO ·AP . 又AC ＝2AO ， ∴2AE 2＝AC ·AP .8．解：(1)把点P 代入二次函数解析式，得5＝(－2)2－2b －3，解得b ＝－2. 所以二次函数解析式为y ＝x 2－2x －3. 当x ＝1时，y ＝－4，当x ＝3时，y ＝0，所以当1＜x ≤3时，y 的取值范围为－4＜y ≤0. (2)①m ＝4时，y 1，y 2，y 3的值分别为5,12,21， 由于5＋12＜21，不能成为三角形的三边长．②当m 取不小于5的任意实数时，由图象知y 1＜y 2＜y 3，y 1，y 2，y 3的值分别为m 2－2m －3，m 2－4，m 2＋2m －3，y 1＋y 2－y 3＝(m 2－2m －3)＋(m 2－4)－(m 2＋2m －3)＝m 2－4m －4＝(m －2)2－8，当m 不小于5时成立，(m －2)2≥9，所以(m －2)2－8＞0，即y 1＋y 2＞y 3成立．所以当m 取不小于5的任意实数时，y 1，y 2，y 3一定能作为同一个三角形三边的长． 9．(1)解：方法一：∵B 点坐标为(0,2)， ∴OB ＝2.∵矩形CDEF 面积为8， ∴CF ＝4.∴C 点坐标为(－2,2)，F 点坐标为(2,2)． 设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ， 其过三点A (0,1)，C (－2,2)，F (2,2)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝c ，2＝4a －2b ＋c ，2＝4a ＋2b ＋c .解这个方程组，得 a ＝14，b ＝0，c ＝1. ∴此抛物线的解析式为y ＝14x 2＋1.方法二：∵B 点坐标为(0,2)， ∴OB ＝2.∵矩形CDEF 面积为8， ∴CF ＝4.∴C 点坐标为(－2,2)．根据题意可设抛物线解析式为y ＝ax 2＋c . 其过点A (0,1)和C (－2,2)． 得⎩⎪⎨⎪⎧1＝c ，2＝4a ＋c . 解这个方程组，得a ＝14，c ＝1.∴此抛物线解析式为y ＝14x 2＋1.(2)①过点B 作BN ⊥PS ，垂足为N .∵P 点在抛物线y ＝14x 2＋1上，可设P 点坐标为⎝⎛⎭⎫a ，14a 2＋1， ∴PS ＝14a 2＋1，OB ＝NS ＝2，BN ＝a .∴PN ＝PS －NS ＝14a 2－1.在Rt △PNB 中，PB 2＝PN 2＋BN 2＝⎝⎛⎭⎫14a 2－12＋a 2＝⎝⎛⎭⎫14a 2＋12.∴PB ＝PS ＝14a 2＋1.②根据①同理可知BQ ＝QR . ∴∠1＝∠2， 又∵∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3.同理∠SBP ＝∠5. ∴2∠5＋2∠3＝180°. ∴∠5＋∠3＝90°， ∴∠SBR ＝90°.∴△SBR 为直角三角形． ③若以P ，S ，M 为顶点的三角形与以Q ，M ，R 为顶点的三角形相似， ∵∠PSM ＝∠MRQ ＝90°，∴有△PSM ∽△MRQ 和△PSM ∽△QRM 两种情况．当△PSM ∽△MRQ 时，∠SPM ＝∠RMQ ，∠SMP ＝∠RQM . 由直角三角形两锐角互余性质，知∠PMS ＋∠QMR ＝90°， ∴∠PMQ ＝90°.取PQ 中点为N ，连接MN ，则MN ＝12PQ ＝12(QR ＋PS )．∴MN 为直角梯形SRQP 的中位线． ∴点M 为SR 的中点．当△PSM ∽△QRM 时，RM MS ＝QR PS ＝QBBP.又QB BP ＝RO OS，∴RMMS＝ROOS，即M点与点O重合．∴点M为原点O.综上所述，当点M为SR的中点时，△PSM∽△MRQ；当点M为原点时，△PSM∽△QRM.。