吉林省吉林市2019届高三上学期第一次调研测试 数学理科 Word版含答案

2019-2020学年吉林省吉林一中高三（上）第一次调研数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1．设全集U R =，集合2{|12}A x og x =…，{|(3)(1)0}B x x x =-+…，则()(U B A =ð )A ．(-∞，1]-B ．(-∞，1](0,3)- C ．[0，3)D ．(0,3)2︒︒的值为( )A B ．12C ．D ．12-3．已知3a e =，33log 5log 2b =-，2c =a 、b 、c 的大小关系为( ) A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>4．已知R α∈，2sin cos αα-=，则tan(2)(4πα-= ) A ．43B ．7-C ．34-D ．175．要得到函数3sin 2y x =的图象，可将函数3cos(2)4y x π=-的图象( )A ．沿x 轴向左平移8πB ．沿x 轴向右平移8πC ．沿x 轴向左平移4πD ．沿x 轴向右平移4π6．已知函数()tan()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+≠<，点(,0)3π和5(,0)6π是其相邻的两个对称中心，且在区间2(,)33ππ内单调递减，则(ϕ= )A ．3πB ．6πC ．3π-D ．6π-7．若1x 是方程4x xe =的解，2x 是方程4xlnx =的解，则12x x 等于( ) A ．4B ．2C ．eD ．18．已知函数2()12sin ()(0)6f x x πωω=-+>在区间[,]62ππ内单调递减，则ω的最大值是( )A ．12B ．35C ．23D ．349．在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，则sin (A = )A ．310B C D10．已知方程2mx e x =在(0，8]上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为( ) A ．12(,)84lnB ．12[,)164lnC ．322[,)4ln e D ．122[,)4n e11．已知函数2()23f x x alnx =++，若1x ∀，2[4x ∈，12)()x x +∞≠，[2a ∃∈，3]，2112()()2f x f x m x x -<-，则m 的取值范围是( )A ．[2-，)+∞B ．5[,)2-+∞C ．9(,)2-+∞D ．19[,)4-+∞ 12．若函数11()()2x x f x ln e e --=+-与()sin 2xg x π=的图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1(mi i x ==∑ )A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（每题5分，共20分） 13+的值等于 14．已经函数2()(2)sin(1)3f x x x x x =+++-在[4-，2]上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=15．当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =+取得最小值，则sin()3πθ+= ．16．关于函数2()f x lnx x=+，下列说法正确的是 （填上所有正确命题序号） （1）2x =是()f x 的极大值点；（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点； （3）存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立；（4）对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若12()()f x f x =，则124x x +> 三、解答题（共70分）17．已知函数()2|1|||()f x x x a a R =+--∈． （Ⅰ）当2a =时，求不等式()2f x x +…的解集；（Ⅱ）设函数()()3||g x f x x a =+-，当1a =时，函数()g x 的最小值为t ，且21(0,0)2t m n m n+=>>，求m n +的最小值． 18．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos (2)cos a B c b A =-． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC 边上的中线AM =，求ABC ∆的面积．19．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为222((1)(0)x y r r -+-=>，以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，若直线l与曲线C 相切． （Ⅰ）求实数r 的值；（Ⅱ）在圆C 上取两点M ，N ，使得6MON π∠=，点M ，N 与直角坐标原点O 构成OMN ∆，求OMN ∆面积的最大值．20．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()f x 的图象．（Ⅰ）写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若对任意[,]612x ππ∈-，2()()10f x mf x --…恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）求实数a 和正整数n ，使得()()F x f x a =-在[0，]n π上恰有2019个零点． 21．已知函数(),()lnx af x a R x+=∈，2()2x g x e =-． （1）求()f x 的单调区间；（2）若()()f x g x …在(0,)+∞上成立，求a 的取值范围． 22．已知函数()1()f x xlnx ax a R =-+∈． （1）讨论()f x 在(1,)+∞上的零点个数；（2）当1a >时，若存在(1,)x ∈+∞，使()(1)(3)f x e a <--，求实数a 的取值范围．(e 为自然对数的底数，其值为2.71828)⋯⋯2019-2020学年吉林省吉林一中高三（上）第一次调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．设全集U R =，集合2{|12}A x og x =…，{|(3)(1)0}B x x x =-+…，则()(U B A =ð )A ．(-∞，1]-B ．(-∞，1](0,3)- C ．[0，3)D ．(0,3)【解答】解：集合2{|12}(0A x og x ==…，4]， {|(3)(1)0}(B x x x =-+=-∞…，1][3-，)+∞， (1,3)U B ∴=-ð，()(0U B A ∴=ð，3)，故选：D ．2︒︒的值为( )A B ．12C ．D ．12-【解答】解：cos 45cos15sin 45sin(18015)cos 45cos15sin 45sin15︒︒=︒︒-︒︒+︒=︒︒+︒︒cos(4515)cos30=︒-︒=︒=， 故选：A ．3．已知3a e =，33log 5log 2b =-，2c =a 、b 、c 的大小关系为( ) A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>【解答】解：335,,32a log e b log c ln ===，333531,312log log e log ln lne <<=>=， c a b ∴>>．故选：C ．4．已知R α∈，2sin cos αα-=，则tan(2)(4πα-= )A ．43B ．7-C ．34-D ．17【解答】解：已知等式两边平方得2254sin 4sin cos cos 2αααα-+=， 即22233sin 4sin cos (sin cos )2ααααα--=+，即23tan 8tan 30αα--=， 解得133tan tan αα==-或，所以3tan 24α=-， 从而tan(2)74πα-=-．故选：B ．5．要得到函数3sin 2y x =的图象，可将函数3cos(2)4y x π=-的图象( )A ．沿x 轴向左平移8πB ．沿x 轴向右平移8πC ．沿x 轴向左平移4πD ．沿x 轴向右平移4π【解答】解：因为函数3cos(2)3sin(2)44y x x ππ=-=+，所以可将函数3cos(2)4y x π=-的图象，沿x 轴向右平移8π，得到3sin[2()]3sin 284y x x ππ=-+=，得到函数3sin 2y x =的图象， 故选：B ．6．已知函数()tan()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+≠<，点(,0)3π和5(,0)6π是其相邻的两个对称中心，且在区间2(,)33ππ内单调递减，则(ϕ= )A ．3πB ．6πC ．3π-D ．6π-【解答】解：根据题意可得5,0,036ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和是其相邻的两个对称中心得52632T πππ=-=，T π∴=；又因为在区间2(,)33ππ内单调递减，1ω∴=-；则()tan()f x x ϕ=-+； 当3x π=时，()03f π=，又||23ππϕϕ<⇒=． 故选：A ．7．若1x 是方程4x xe =的解，2x 是方程4xlnx =的解，则12x x 等于( ) A ．4B ．2C ．eD ．1【解答】解：由于1x 和2x 是函数x y e =和函数y lnx =与函数4y x=的图象的公共点A 和B 的横坐标， 而114(,)A x x ，224(,)B x x 两点关于y x =对称，可得114,x x ， 因此124x x =， 故选：A ．8．已知函数2()12sin ()(0)6f x x πωω=-+>在区间[,]62ππ内单调递减，则ω的最大值是()A ．12 B ．35C ．23D ．34【解答】解：()cos(2)3f x x πω=+，由2223k x k ππωππ++剟，k Z ∈，得63k k x ππππωωωω-+剟，即函数的单调递减区间为[6k ππωω-，]3k ππωω+，k Z ∈，若()f x 在区间[,]62ππ内单调递减，则满足6632k k πππωωπππωω⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩……得61223k k ωω-⎧⎪⎨+⎪⎩……，同时2263T πππ-=…，则223ππω…，则3ω…当0k =时，203ω<…， 当1k =时，不等式无解， 故ω的最大值为23， 故选：C ． 9．在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，则sin (A = )A ．310B C D 【解答】解：在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，AB ∴=，由余弦定理得：AC ===， 故111125sin sin 2322BC BC AB AC A BC BC A ==，sin A ∴=， 故选：D ．10．已知方程2mx e x =在(0，8]上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为( ) A ．12(,)84lnB ．12[,)164lnC ．322[,)4ln e D ．122[,)4n e【解答】解：当0x >时，由2mx e x =可得2()2mx ln x lnx ==，故2lnxm x=． 设2()lnx f x x =，(0x ∈，8]，则22(1)()lnx f x x -'=， ∴当0x e <<时，()0f x '>，当8e x <…时，()0f x '<，()f x ∴在(0,)e 上单调递增，在[e ，8]上单调递减， ()f x ∴的最大值为f （e ）2e=， 又f （8）324ln =，当01x <<时，()0f x <，当1x >时，()0f x >， 作出()y f x =的大致函数图象如图所示：方程2mx e x =在(0，8]上有两个不等的实数根，∴直线y m =与()y f x =在(0，8]上的函数图象有两个交点， ∴3224ln m e<…． 故选：C ．11．已知函数2()23f x x alnx =++，若1x ∀，2[4x ∈，12)()x x +∞≠，[2a ∃∈，3]，2112()()2f x f x m x x -<-，则m 的取值范围是( )A ．[2-，)+∞B ．5[,)2-+∞C ．9(,)2-+∞D ．19[,)4-+∞【解答】解：设12x x >，由2112()()2f x f x m x x -<-，得1122()2()2f x mx f x mx +>+， 记()()2g x f x mx =+，则()g x 在[0，)+∞上单调递增， 故()0g x '…在[4，)+∞上恒成立， 即2220a x m x ++…在[4，)+∞上恒成立，整理得am x x-+…在[4，)+∞上恒成立， [2a ∈，3]，∴函数a y x x =+在[4，)+∞上单调递增，故有44am -+…， [2a ∃∈，3]，∴19(4)44max a m -+=…，即194m -…．故选：D ．12．若函数11()()2x x f x ln e e --=+-与()sin 2xg x π=的图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1(mi i x ==∑ )A ．2B ．4C ．6D ．8【解答】解：函数11()()2x x f x ln e e --=+-关于直线1x =对称（满足()(2))f x f x =-， ()sin2xg x π=也关于直线1x =对称，当1x >时，()f x 单调递增，f （1）22ln =-， f （4）33()21ln e e -=+->，如图，两个函数图象只有两个交点∴12mi i x ==∑，故选：A ．二、填空题（每题5分，共20分） 13+的值等于-【解答】解：原题==-======-14．已经函数2()(2)sin(1)3f x x x x x =+++-在[4-，2]上的最大值为M ，最小值为m ，则M m += 8-【解答】解：设1x t +=，[4x ∈-，2]， [3t ∴∈-，3]，那么1x t =-函数()f x 转化为2()(1)sin 4g t t t t =-+- 令2()(1)sin h t t t t =-+， 可得()()h t h t -=-是奇函数， ()()0min max h t h t ∴+=，最大值为()()4max max M g t h t ==-，最小值为()()4min min m g t h t ==-， 则8M m +=-， 故答案为：8-．15．当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =+取得最小值，则sin()3πθ+=【解答】解：函数()2sin cos )f x x x x α=+=+（其中cosα=，sin α=，当x θ=)θα+=sin()1θα+=-， 所以cos()0θα+=， 可令2πθα+=-，所以2πθα=--，故sin()sin()sin()sincos cossin 36666πππππθαααα+=--=-+=--==．16．关于函数2()f x lnx x=+，下列说法正确的是 （2）（4） （填上所有正确命题序号）（1）2x =是()f x 的极大值点；（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点； （3）存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立；（4）对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若12()()f x f x =，则124x x +> 【解答】解：（1）函数的 的定义域为(0,)+∞， 函数的导数22212()x f x x x x-'=-+=，(0,2)∴上，()0f x '<，函数单调递减， 在(2,)+∞上，()0f x '>，函数单调递增， 2x ∴=是()f x 的极小值点，即（1）错误；（2）2()y f x x lnx x x=-=+-，22221210x x y x x x -+-∴'=-+-=<恒成立， 函数在(0,)+∞上单调递减，1x =时，1y =；x e =时，210y e e =+-<，∴函数()y f x x =-有且只有1个零点，即（2）正确；（3）若()f x kx >，可得22lnx k x x <+，令22()lnx g x x x =+，则34()x xlnxg x x -+-'=， 令()4h x x xlnx =-+-，则()h x lnx '=-，∴在(0,1)x ∈上，函数单调递增，(1,)x ∈+∞上函数单调递减，()h x h ∴…（1）0<，()0g x ∴'<， 22()lnxg x x x∴=+在(0,)+∞上函数单调递减，函数无最小值， ∴不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，即（3）不正确；（4）令(0,2)t ∈，则2(0,2)t -∈，22t +>， 令22242()(2)(2)(2)(2)2242t tg t f t f t ln t ln t lnt t t t+=+--=++---=++---， 则2222222416248()0(4)2(2)(4)t t t g t t t t t ---'=+=-<-+--，()g t ∴在(0,2)上单调递减，则()(0)0g t g <=，即(2)(2)f t f t +<-，令122x t =+>，由12()()(2)f x f x f t =<-，得22x t >-， 则12224x x t t +>-++=， 当14x …时，124x x +>显然成立，∴对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若12()()f x f x =，则124x x +>，即（4）正确．故答案为：（2）（4）， 三、解答题（共70分）17．已知函数()2|1|||()f x x x a a R =+--∈． （Ⅰ）当2a =时，求不等式()2f x x +…的解集；（Ⅱ）设函数()()3||g x f x x a =+-，当1a =时，函数()g x 的最小值为t ，且21(0,0)2t m n m n+=>>，求m n +的最小值． 【解答】解：（1）当2a =时，4,1()2|1||2|3,124,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=+--=-⎨⎪+>⎩剟；当1x <-时，由42x x --+…解得3x -…，31x ∴-<-…；当12x -剟时，由32x x +…解得1x …，11x ∴-剟； 当2x >时，由42x x ++…可得该方程无解； 综上则原不等式的解集为[3-，1]．（2）当1a =时，()2|1|2|1|2|11|4g x x x x x =++-++-=…，当且仅当(1)(1)0x x +-…时，即11x -剟时等号成立， ∴函数()g x 的最小值4t =，∴2142m n+=， ∴11559()()28288888n m m n m n m n m n m n +=++=+++=…， 当且仅当1131284,3828m m n n m n m n ⎧⎧+==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩即时等号成立， m n ∴+的最小值为98．18．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos (2)cos a B c b A =-． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC 边上的中线AM =，求ABC ∆的面积． 【解答】解：（1）由cos (2)cos a B c b A=-得sin cos (2sin sin )cos 2sin cos sin cos A B C B A C A B A =-=-，即sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，即sin()2sin cos A B C A +=，即sin 2sin cos C C A =， 在三角形中sin 0A≠，1cos 2A ∴=，则3A π=．（2）M 是BC 的中点，2BM CM ∴==，由余弦定理得2222228412b θθθ=+-⨯⨯=+-=-， 222222)8412c πθθθ=+-⨯⨯-=++=+，两式相加得2224b c +=，又2222212cos 2242ab c bc Ab c bc bc =+-=+-⨯=-，即1624bc =-，则8bc =，则三角形的面积11sin 822S bc A ==⨯=．19．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为222((1)(0)x y r r -+-=>，以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，若直线l与曲线C 相切． （Ⅰ）求实数r 的值；（Ⅱ）在圆C 上取两点M ，N ，使得6MON π∠=，点M ，N 与直角坐标原点O 构成OMN ∆，求OMN ∆面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，转换为直角坐标方程为20y -+=，若直线l 与曲线C 相切，则圆心20y -+=的距离3312d r -+==，解得2r =，（Ⅱ）由（Ⅰ）得圆的方程为22((1)4x y -+-=． 转换为极坐标方程为4sin()3πρθ=+．设1(M ρ，)θ，2(,)6N πρθ+，所以121||||sin 4sin()sin()2sin(2)26323MON S ππππρρθθθ∆==++=+，当12πθ=时，2MON S ∆+…即最大值为2+．20．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()f x 的图象．（Ⅰ）写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若对任意[,]612x ππ∈-，2()()10f x mf x --…恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）求实数a 和正整数n ，使得()()F x f x a =-在[0，]n π上恰有2019个零点． 【解答】解：（Ⅰ）将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可得sin 2y x =的图象； 再将所得的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()sin 2()sin(2)63f x x x ππ=+=+的图象，所以函数()f x 的解析式为()sin(2)3f x x π=+；（Ⅱ）对任意的[6x π∈-，]12π，则2[03x π+∈，]2π，所以()sin(2)[03f x x π=+∈，1]，此时2()()10f x mf x --…恒成立；令()[0t f x =∈，1]，则2()10g t t mt =--…恒成立， 所以有(0)10g =-…，且g （1）0m =-…，求得m 的取值范围是0m …； （3）因为()()F x f x a =-在[0，]n π上恰有2019个零点， 所以()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上恰有2019个交点； 在[0，]π上，2[33x ππ+∈，7]3π； ①当1a >，或1a <-时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上无交点． ②当1a =，或1a =-时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]π仅有一个交点， 此时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上恰有2019个交点，则2019n =；③当1a -<<1a <<时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]π上恰有2个交点， ()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上有偶数个交点，不会有2019个交点；④当a =时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]π上恰有3个交点， 此时，1009n =，才能使()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上有2019个交点；综上可得，当1a =，或1a =-时，2019n =；当a =1009n =． 21．已知函数(),()lnx af x a R x+=∈，2()2x g x e =-．（1）求()f x 的单调区间；（2）若()()f x g x …在(0,)+∞上成立，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）21()lnx af x x --'=， 当10a x e -<<时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当1a x e -…时，()0f x '…，()f x 单调递减，故()f x 单调递增区间为1(0,)a e -，单调递减区间为1[a e -，)+∞． （2）法一：由()()f x g x …得22xlnx a e x+-…，即2(2)x a x e lnx --… 令2()(2)x h x x e lnx =--，22121()(21)(21)()x x x h x x e x e x x+'=+-=+-， 21()(0)x F x e x x =->，221()20x F x e x '=+>，()F x 在(0,)+∞单调递增，又1()404F =-<，1()202F e =->，所以()F x 有唯一的零点011(,)42x ∈，且当0(0,)x x ∈时，()0F x <，即()0h x '<，()h x 单调递减， 当0(x x ∈，)+∞时，()0F x >，即()0h x '>，()h x 单调递增， 所以02000()()(2)x min h x h x x e lnx ==--， 又因为0()0F x =所以000002011()(2)()1221x h x x ln x x x e=--=-+=， 所以1a …，a 的取值范围是(-∞，1]． 法二：由()()f x g x …得22xlnx a e x+-…， 即222(2)x lnx x a xe x lnx e x lnx +--=-+…，令()2x x lnx ϕ=+，因为12()10e eϕ=-<，ϕ（1）20=>，所以()x ϕ存在零点1x ；令()x G x e x =-，则()1x G x e '=-，当(,0)x ∈-∞时，()0G x '<，()G x 单调递减， 当(0,)x ∈+∞时，()0G x '>，()G x 单调递增． 所以()(0)1min G x G ==，所以112211(2)(2)1lnx x lnx x e x lnx e x lnx ++-+-+=…， 所以a 的取值范围是(-∞，1]．22．已知函数()1()f x xlnx ax a R =-+∈． （1）讨论()f x 在(1,)+∞上的零点个数；（2）当1a >时，若存在(1,)x ∈+∞，使()(1)(3)f x e a <--，求实数a 的取值范围．(e 为自然对数的底数，其值为2.71828)⋯⋯【解答】解：（1）根据题意，函数()1f x xlnx ax =-+，其定义域为(1,)+∞， 则1()10a f x lnx a x e -'=+-=⇒= 分2种情况讨论：①当1a …时，()0f x '>恒成立，此时函数()f x 在(1,)+∞上是增函数；又由f （1）10a =-…，故而()f x f >（1）0…，()f x 在(1,)+∞上无零点； ②当1a >时，1()10a f x lnx a x e -'=+->⇒>；1()01a f x x e -'<⇒<<， 则()f x 在1(a e -，)+∞上是增函数；在1(1,)a e -上是减函数；又由f （1）10a =-<；()10a f e =>，且()f x 连续不断，从而在区间(1,)a e 上，()f x 存在唯一零点，综上所述，当1a …时，()f x 在(1,)+∞上无零点；当1a >时，()f x 在(1,)+∞存在一个零点． （2）根据题意，当1a >时，由（1）得11()()1a a min f x f e e --==-，故应有11(1)(3)a e e a --<--成立，即1(1)(3)10a e e a -+--->不等式成立， 构造函数1()(1)(3)1x h x e e x -=+---，求导得1()10x h x e e -'=+->在(1,)x ∈+∞上恒成立， 故1()(1)(3)1x h x e e x -=+---在(1,)x ∈+∞上单调递增， 注意到h （2）0=，所以()02h x x >⇒>． 故实数a 的取值范围为(2,)+∞．。

2019年长春市高中毕业班第一次调研试题数学试题卷(理科)及参考答案与评分标准本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第II卷22题一24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第I卷 (选择题60分)一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1.复数Z=1－i 的虚部是( )(A).i (B) －i (C) －1 (D)12.已知集合M={},集合N={ x|lg(3-x)>0},则=( )(A).{ x|2<x<3} (B). { x|1<x<3} (C) . { x|1<x<2} (D) ∅3.函数f(x)=(sinx+cosx)2 的一条对称轴的方程是( )4.抛物线21 2x y=的焦点到准线的距离是( )(A) 2 (B)1 (C).12(D).145.等比数列中,前三项和为 ,则公比q的值是( )(A).1 (B)－12(C) 1或－12(D)－ 1或－126.定义某种运算,运算原理如图所示，则式子的值为( A).－3 (B).－4 (C).－8 (D). 07.实数x,y满足，若函数z=x+y的最大值为4,则实数a的值为(A). 2 (B). 3 (C). 32(D).48.已知三条不重合的直线m,n,l 和两个不重合的平面α，β ,下列(A). 若m//n，n⊂α，则m// α(B). 若α⊥β, αβ=m, n⊥m ，则n⊥α.(C) .若l⊥n ，m⊥n, 则l//m(D). 若l⊥α，m⊥β, 且l⊥m ，则α⊥β9.已知双曲线的右顶点、左焦点分别为A 、F ，点B （0，－b ），若，则双曲线的离心率值为（ ）（A）12 （B）12（C）12（D10.一个半径为1有球体经过切割后，剩下部分几何体的三视图如图所示，则剩下部分几何体的表面积为（ ）第二卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-21题为必考题，每个试题考生都必须作 答，第22题-24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13、在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则＝＿＿＿14.已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1,侧棱垂直于底面,且该三棱柱的外接球表面积为12π,则该三棱柱的体积为 . 15.已知数列，圆，圆，若圆C 2平分圆C 1的周长，则的所有项的和为 .16.定义[x]表示不超过x 的最大整数,例如:[1.5]=1,[-1.5]=-2,若f(x)=sin(x-[x]),则下列结论中①y ＝f(x)是奇是函数 ②.y ＝f(x)是周期函数 ,周期为2π ③..y ＝f(x)的最小值为0 ,无最大值 ④. y ＝f(x)无最小值,最大值为sin1.正确的序号为 .三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.(本小题满分12分） 设等差数列的前n 项和为Sn, 且,(1).求数列的通项公式第10题图俯视图侧视图正视图(2).若成等比数列,求正整数n 的值 .18. (本小题满分12分） 已知向量,设函数f(x)= .(1).求函数f(x)的最小正周期;(2).已知a,b,c 分别为三角形ABC 的内角对应的三边长,A 为锐角,a=1,，且f(A)恰是函数f(x)在上的最大值,求A,b 和三角形ABC 的面积.19. (本小题满分12分）如图所示,正方形AA 1D 1D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直,AB=2AD=2,点E 为AB 的中点, (1).求证:D 1E⊥A 1D ;(2).在线段AB 上是否存在点M ，使二面角D 1-MC-D 的大小为存在,求出AM 的长，若不存在，说明理由20．(本小题满分12分） 已知椭圆＝1(a>b>0)的左焦为F,右顶点为A,上顶点为B,O 为坐标原点,M 为椭圆上任意一点,过F,B,A三点的圆的圆心为(p,q).(1).当p+q ≤0时,求椭圆的离心率的取值范围;(2).若D(b+1,0),在(1)的条件下,当椭圆的离心率最小时, 的最小值为,求椭圆的方程.21. (本小题满分12分） 已知函数(1).a ≥－2时,求F(x)= f(x)- g(x)的单调区间;(2).设h(x)= f(x)+ g(x),且h(x)有两个极值点为x 1 , x 2 ,其中,求h(x 1)- h(x 2)的最小值.E D 1A 1DCBA第19题图请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.如图,四边形为边长为a的正方形,以D为圆心,DA为半径的圆弧与以BC为直径的圆O交于F,连接CF并延长交AB于点 E.(1).求证:E为AB的中点;(2).求线段FB的长.23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.以直角坐标系的原点为极点O，x轴正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1,-5),点C的极坐标为 ,若直线l经过点P,且倾斜角为，圆C的半径为4.(1).求直线l的参数方程及圆C的极坐标方程;(2).试判断直线l与圆C有位置关系.24. 本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.已知f(x)=|x+1|+|x-1| ,不等式f(x)的解集为M.(1).求M;(2).当a,b M时,证明:2|a+b|＜|4+ab|.2019年长春市高中毕业班第一次调研测试 数学（理科）试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要B 【试题解析】由复数虚部定义：复数i b a +()R R ∈∈b a ，的虚部为b ，得i 1-=z 的虚部为1-，故选B . 2.【试题答案】B【试题解析】因为{}31|<<=x x M ，{}2|<=x x N ，所以{}21|<<=x x N M ，故选B . 3.【试题答案】A 【试题解析】化简x x x x x x x x f 2sin 1cos sin 2cos sin )cos (sin )(222+=++=+=，∴将选项代入验证，当4π=x 时，)(x f 取得最值，故选A .4.【试题答案】D【试题解析】由抛物线标准方程py x 22=()0>p 中p 的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又41=p ，故选D .5.【试题答案】C 【试题解析】3233300327027S x dx x ===-=⎰，设公比为q ，又93=a ，则279992=++q q，即0122=--q q ，解得1=q 或21-=q ，故选C .6.【试题答案】D【试题解析】由题意可知，程序框图的运算原理可视为函数()()⎩⎨⎧<-≥+=⊗=ba b a ba b a b a S ,1,1，所以412ln 45tan 2=⊗=⊗e π，43231100lg 1=⊗=⎪⎭⎫ ⎝⎛⊗-， 1512tan ln lg10044043e π-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⊗-⊗=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，故选D .7.【试题答案】A【试题解析】由y x z +=，得z x y +-=,则z 表示该组平行直线在y 轴的截距。

吉林省吉林市2019届高三第一次摸底考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求. 1. 计算：21ii -=( ) A . 1i + B .1i - C . 1i -+ D . 1i -- 【答案】C考点：复数的计算.2. 已知{1,2,3,5}{0,2,4,8}A B A C B C ⊆⊆==，，，，则 A 可以是( )A ．{1,2}B ．{2,4}C ．{4}D ．{2}【答案】D考点：集合的交集、子集运算.3. 已知条件 p : 22210x ax a -+->，条件 q : 2x >,且 q 是p 的充分而不必要条件，则 a 的取值范围是（ ）A ．1a ≥ B ．1a ≤ C ．3a ≥- D ． 3a ≤- 【答案】B 【解析】试题分析：∵条件p ：22210x ax a -+->，条件q ：x ＞2，且q 是p 的充分而不必要条件，∴q ⇒p ，p ⇒q ，即a ≤2且24410a a -+-≥解不等式组可得：a ≤1故选：B . 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．4. 某程序图如右图所示，该程序运行后输出的结果是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C考点：程序框图.5. 已知某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形，且体积为12，视图可以是，则该几何体的俯视图可以是( )A .B .C .D .【答案】A考点：简单空间图形的三视图． 6. 将函数() 2sin +36x f x π⎛⎫=⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位，再向下平移1个单位，得到函数 g ( x ) 的图象，则 g ( x ) 的解析式为( )A . () 2sin +134x g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．() 2sin 134x g x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C ．() 2sin 1312x g x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭ D ．() 2sin 1312x g x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【答案】A考点：函数y =Asin （ωx +φ）的图象变换．7. 已知等差数列{}n a 的公差为 2，若前 17 项和为 17S =34，则12a 的值为( )A .-10B .8C .4D .12【答案】B考点：1.等差数列的前n 项和；2.等差数列的通项公式．8. 在ABC ∆中，内角 A 、B 、C 的对边分别是 a 、b 、c ，若22, b c sin A C -=，则B =( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】A 【解析】试题分析：∵ sin A C =，∴a =，∵22b c -=，∴cosB =2222a c b ac +-==B =30°，故选A . 考点：余弦定理的应用．9. 在8x ⎛⎝的二项展开式中，常数项为( ) A .1024 B .1324 C .1792 D .-1080【答案】C考点：二项式定理. 10. 已知双曲线()22221 0, 0x y a b ab-=>>的左顶点与抛物线()22 0y px p =>的焦点的距离为 4,的焦距是且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 (-2,- 1) ,则双曲线的焦距为( )A .BC .2D 【答案】A考点：1.双曲线的简单性质；2.直线与圆锥曲线的关系．11. ABC ∆中，120 , 2, 1BAC AB AC ∠=︒==,D 是边BC 上的一点（包括端点），则•AD BC 的取值范围是( )A. B . C .D.【答案】D 【解析】试题分析：∵D 是边BC 上的一点（包括端点），∴可设()101A D A B A C λλλ=+-≤≤,（）．∵∠BAC =120°，AB =2，AC =1，∴•21c o s 1201A B A C =⨯⨯︒=-．∴()[1]()ADBC AB AC AC AB λλ⋅=+-⋅- ()()22211AB AC AB AC λλλ=-⋅-+-214172λλλλ=----=-+（）．∵0≤λ≤1，∴（-7λ+2）∈．∴•AD BC 的取值范围是[52]-，．故选：D ． 考点：平面向量数量积的运算．12.对函数 f ( x ) ，若,, a b c R ∀∈， f ( a ), f (b ), f ( c ) 为一三角形的三边长，则称 f ( x ) 为“三角型函数”，已知函数()()2 >0 22xxm f x m +=+是“三角型函数”，则实数 m 的取值范围是( )A .B .C .D .【答案】A考点：函数的值．第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知x ，y 满足不等式组22y xx y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为________.【答案】6 【解析】考点：简单线性规划．14. 已知直线l ⊥平面α，直线 m ⊂平面β，有下列四个命题：①若α∥β，则 l ⊥ m ；②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ,则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β.其中正确命题序号是 .【答案】①③考点：平面的基本性质及推论．15. 若动直线 x =a 与函数() f x sin x cos x =和()2cos g x x =的图像分别交于 M ，N 两点, 则 M N 的最大值为 .【答案】12+ 【解析】试题分析：211122222fx sinxcosx sin x g x cos x cos x ====+（），（），所以||AB f x g x =-（）（）111|22|222sin x cos x =-+（）|2|242sin x π=--（）则214sin x π-=-（）时，AB 的最大值为：12．故答案为：12. 考点：1.二倍角的余弦；2.二倍角的正弦；3.三角函数的最值． 16. 若数列{}n a 满足()*1112, 1n n na a a n N a ++===∈-，则该数列的前 2014 项的乘积123201...a a a a = .【答案】-6考点：数列递推式．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 10 分）已知ABC ∆中， a,b, c 为角 A,B,C 所对的边，3cos cos +cos b A c A a C = ． （Ⅰ）求 cos A 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为3a =，求 b ， c 的长． 【答案】（Ⅰ）13;（Ⅱ）2,3b c ==或3,2b c ==.考点：正弦定理． 18．（本小题满分 12 分）已知数列 {}n a 是公差大于零的等差数列，数列{}n b 为等比数列，且112233 1,2,1,13a b b a a b ==-=+= （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式（Ⅱ）设n n n c a b =，求数列 {}n c 前 n 项和 n T .【答案】（Ⅰ）21(*),2(*)n n n a n n N b n N =-∈=∈;（Ⅱ）16(23)2n n ++-⨯.341131112222(21)22(12)2(21)2126(23)2n n n n n n n n ++-++=-----+-⨯-=--+-⨯-=+-⨯---------------------------------12分.考点：1.数列的求和；2.等差数列的性质．19．（本小题满分 12 分）一企业某次招聘新员工分笔试和面试两部分，人力资源部经理把参加笔试的 40 名学生的成绩分组：第 1 组[75,80) ，第 2 组 [80,85) ，第 3 组[85, 90) ，第 4 组 [90, 95) ，第 5 组[95,100) ，得到频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）分别求成绩在第 4，5 组的人数；（Ⅱ）若该经理决定在笔试成绩较高的第 3，4，5 组中用分层抽样抽取 6 名进入面试，①已知甲和乙的成绩均在第 3 组，求甲和乙同时进入面试的概率；②若经理决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受考官D 的面试，设第 4 组中有X 名学生被考官D 面试，求X 的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）8人，4人;（Ⅱ）①122，②23.考点：1.频率分布直方图；2.离散型随机变量及其分布列；3.离散型随机变量的期望与方差．20．（本小题满分 12 分）一个多面体的直观图及三视图如图所示,其中 M , N分别是AF、BC 的中点，（Ⅰ）求证：MN // 平面CDEF；（Ⅱ）求二面角A-CF-B的余弦值；【答案】（Ⅰ）详见解析;二面角A-CF-B的余弦值．试题解析：解（1）证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF,且AB =BC =BF =4,DE =CF=90CBF ∠=︒,连结BE , M 在BE 上，连结CEEM =BM ,CN =BN , 所以MN ∥,CE CE CDEF ⊂面,所以//MN 平面CDEF ------5分（II ）方法一：作BQ ⊥CF 于Q ，连结AQ ，面BFC ⊥面ABFE ，面ABFE ∩面BFC =BF ，AB ⊂面ABFE ，AB ⊥BF ，∴AB ⊥面BCF ，CF ⊂面BCF ，∴AB ⊥CF ，BQ ⊥CF ，AB ∩BQ =B ，∴CF ⊥面ABQ ，AQ ⊂面ABQ ，AQ ⊥CF ，∴∠AQB 为所求的二面角的平面角，（8分）在Rt △ABQ 中，tan ∠AQB=AB BQ ==--------------------------------------9分 ∴cos ∠AQB∴二面角A -CF -B的余弦值为．-------------------------------------------------------12分 （II ）方法二：以EA ,AB ,AD 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系，x yz A B CD E F所以(0,0,0),(0,4,0),(0,4,4),(4,4,0)A B C F -面CBF 法向量为(0,1,0)n =(0,4,4),(4,0,4)CA CF =--=-- -----------------8分设面ACF 法向量为(,,)m x y z =，(,,)(0,4,4)0440(,,)(4,0,4)0440m CA x y z y z x y z x z m CF⎧⊥⋅--=--=⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨⋅--=--=⊥⎩⎩⎪⎩ 取1z =-，所以1,1,(1,1,1)x y m ===-设二面角A CF B --为θ，cos ||||m n m n θ⋅===分. 考点：1.用空间向量求平面间的夹角；2.直线与平面平行的判定．21．（本小题满分 12 分）已知椭圆E ：()22221 0, 0xy ab a b +=>>的离心率 e =1)2P （Ⅰ）求椭圆 E 的方程；（Ⅱ）问是否存在直线y =-x +m ，使直线与椭圆交于 A , B 两点，满足OA OB ⊥,若存在求m 值，若不存在说明理由.【答案】（Ⅰ）2214x y +=;（Ⅱ）m =考点：直线与圆锥曲线的综合问题．22．（本小题满分 12 分）已知函数()() = f x ax ln x a R +∈.（Ⅰ）若a =2，求曲线y =f ( x )在x =1处的切线方程；（Ⅱ）求 f (x ) 的单调区间；（III ）设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20, 1x ∈，使得12()()f x g x <，求 a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）310x y --=;（Ⅱ）函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1(,)a -+∞；（III ）31a e <-.考点：1.利用导数研究曲线上某点切线方程；2.利用导数研究函数的单调性；3.利用导数求闭区间上函数的最值．。

2019-2020学年吉林省吉林市高三（上）第一次调研数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 已知集合A ={x ∈N|2x −7<0}，B ={x|x 2−3x −4≤0}，则A ∩B =( )A. {1,2，3}B. {0,1，2，3}C. {x|x ≤72}D. {x|0<x ≤72}2. 函数f (x )=sin (2x −π6)的最小正周期是( )A. π2B. πC. 2πD. 4π3. 如图所示，M 是边AB 的中点，若CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CA⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 2b ⃗ −2a ⃗B. a ⃗ +2b ⃗C. 2a ⃗ −2b ⃗D. 2a ⃗ +b ⃗ 4. 已知函数f(x)为奇函数，且当x <0时，f(x)=2x 2−1，则f(1)的值为( )A. 1B. −1C. 2D. −25. 已知正项等比数列{a n }中，a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 100+a 101a 98+a 99的值为( )A. 1+√2B. 1−√2C. 3+2√2D. 3−2√26. 已知sin(π+α)=13，则cos2α=( )A. 79 B. 89 C. −79 D. 4√297. 在矩形ABCD 中|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则向量|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |= ( ) A. 2B. 2√3C. 4D. 4√38. 函数f (x )=sin (x +π6)的图象向左平移π3个单位，再将图象上各点的横坐标压缩为原来的12，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A. x =−π2B. x =−π4 C. x =π8 D. x =π49. 函数y =2log 4(1−x)的图象大致是( )A.B.C.D.10. 在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，点E 满足BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. 1 B. 3 C. √10D. 92 11. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3=4，S 3=7，则S 6的值为( )A. 31B. 32C. 63或13327D. 6412. 已知函数f(x)=x 2e x，下列关于f(x)的四个命题：①函数f(x)在[0,1]上是增函数； ②函数f(x)的最小值为0；③如果x ∈[0,t]时，f(x)max =4e 2，则t 的最小值为2； ④函数f(x)有2个零点； 其中真命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. 已知函数f(x)={e x ,x <0,lnx,x >0,则f[f(1e )]=_____________.14. 设平面向量m⃗⃗⃗ =(−1,2)，n ⃗ =(2,b)，若m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，则|n ⃗ |等于______． 15. 已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，对任意大于2的正整数n ，记集合{x|x =a i +a j ,i ∈N,j ∈N,1≤i <j ≤n}的元素个数为c n ，把{c n }的各项摆成如图所示的三角形数阵，则数阵中c 5= ; 第17行由左向右数第10个数为 ．16. 函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(π)的值为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.如图，有一壁画，最高点A距离地面AE为4米，最低点B距离地面BE为2米．如果在距离地面高CF为1.5米、与墙壁距离EF为4米的C处观赏壁画，但效果不佳．为了提高欣赏效果(视角∠ACB=θ越大，效果越好)，现在有两种方案可供选择：①与壁画距离EF不变，调节高度CF；②与地面距离CF不变，调节与壁画的距离EF．(1)按照方案①，设CF为h米(2<ℎ<4)，当h为何值时，视角θ最大？(2)按照方案②，设EF为x米(x<4)，当x为何值时，视角θ最大？18.在等差数列{an}中，公差d=4,a2+a5=22，记数列{an}的前n项和为S n．(1)求S n；}的前n项和为T n，求T14．(2)设数列{n(2n+1)S n19.在锐角△ABC中，a，b，c为内角A，B，C的对边，且满足．(1)求角B的大小．(2)已知c=2，边AC边上的高BD=3√21，求△ABC的面积S的值．720.已知等比数列{a n}的公比q>0，a1a5=8a2，且3a4，28，a6成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记b n=2n，求数列{b n}的前n项和T n．a n21.设函数f(x)=2x3−12x+c的图象经过原点．(1)求c的值及函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在[−1,3]上的最大值和最小值．22.已知函数f(x)=lnx−a(x2−x)(a∈R)．(Ⅰ)当a=1时，求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)求f(x)在[1,2]的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：A ={0,1，2，3}，B ={x|−1≤x ≤4}； ∴A ∩B ={0,1，2，3}． 故选：B ．可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 本题考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：B解析： 【分析】本题考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，属于基础题． 由正弦函数的周期公式即可求解． 【解答】解： 因为函数f (x )=sin (2x −π6)， 所以最小正周期是T =2π2=π．故选B ．3.答案：C解析： 【分析】本题考查平面向量的基本定理及向量的三角形法则，属于基础题． 根据向量的三角形法则得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ ，由此即可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 【解答】解：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ ， 因为M 为AB 的中点，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ −2b ⃗ ， 故选C ．4.答案：B解析：解：函数f(x)为奇函数，且当x <0时，f(x)=2x 2−1， 则f(1)=−f(−1)=−(2×12−1)=−1． 故选：B ．直接利用函数的奇偶性以及函数的解析式求解即可．本题考查函数的奇偶性的应用，函数值的求法，考查计算能力．5.答案：C解析： 【分析】设等比数列的公比为q ，q >0，运用等比数列通项公式和等差数列中项性质，解方程可得q ，进而得到所求值．本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 【解答】解：正项等比数列{a n }的公比设为q ，(q >0)， a 1，12a 3，2a 2成等差数列， 可得a 3=a 1+2a 2， 即a 1q 2=a 1+2a 1q ， 解得q =1+√2(负的舍去)， 则a 100+a 101a 98+a 99=q 2(a 98+a 99)a 98+a 99=q 2=3+2√2，故选C ．6.答案：A解析：解：∵sin(π+α)=13，∴可得sinα=−13， ∴cos2α=1−2sin 2α=1−2×19=79． 故选：A ．由已知及诱导公式可求sinα，由二倍角的余弦函数公式即可得解． 本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．解析：【分析】本题考查向量加法的几何意义，属于基础题．由向量加法的几何意义，将AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 转化为2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再求向量的模． 【解答】解：在矩形ABCD 中|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，故选C 项． 8.答案：A解析： 【分析】本题主要考查了三角函数图象的平移和伸缩变换，y =Acos(ωx +φ)型函数的性质， 准确写出变换后函数的解析式是解决本题的关键．先利用三角函数图象的平移和伸缩变换理论求出变换后函数的解析式，再利用余弦函数图象和性质，求所得函数的对称轴方程，即可得正确选项.属于基础题． 【解答】解：将函数f(x)=sin(x +π6)的图象向左平移π3个单位， 得到函数y =sin(x +π3+π6)=cosx 的图象， 再将图象上各点的横坐标压缩为原来的12， 得到函数y =cos2x 的图象， 由2x =kπ， 得x =12kπ，k ∈Z ，∴所得图象的对称轴方程为x =12kπ，k ∈Z ， k =−1时，x =−π2． 故选A ．9.答案：C解析：本题考查函数的图象的判断，考查函数图象与性质的应用，是基础题． 利用函数的定义域以及函数的单调性判断函数的图象即可． 【解答】解：由题意可知函数的定义域为：x <1，函数是减函数． 故选C ．10.答案：A解析： 【分析】本题主要考查平面向量数量积的计算，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键． 根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法进行求解即可． 【解答】解：∵E 满足BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴E 是BC 的中点， 建立平面直角坐标系如图：则A(0,0)，E(1,1)，B(0,1)， 则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1)⋅(0,1)=1， 故选：A ．11.答案：C解析：解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 3=4，S 3=7， ∴a 1q 2=4，a 1(1+q +q 2)=7，解得a1=1，q=2，或q=−23，a1=9．当a1=1，q=2时，则S6=26−12−1=63．当q=−23，a1=9时，S6=9[1−(−23)6]1−(−23)=13327．∴S6=63或13327，故选：C．设等比数列{a n}的公比为q，由a3=4，S3=7，可得a1q2=4，a1(1+q+q2)=7，解得a1，q.再利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：C解析：【分析】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查数形结合思想方法，以及运算能力和判断能力，属于中档题．求得f(x)的导数和单调区间、极值和最值，作出f(x)的图象，结合图象可得单调性、最值和t的范围，以及零点个数．【解答】解：函数f(x)=x2e x，导数为f′(x)=x(2−x)e x，可得0<x<2时，f′(x)>0，f(x)递增；x>2或x<0，f′(x)<0，f(x)递减，即有f(x)的极小值为f(0)=0，极大值为f(2)=4e2，作出函数f(x)的图象，如下：①函数f(x)在[0,1]上是增函数，正确；②函数f(x)的最小值为0，正确；③如果x∈[0,t]时，f(x)max=4e2，则t的最小值为2，正确；④函数f(x)有1个零点，即为0，故④不正确． 其中真命题的个数为3， 故选C ．13.答案：1e解析： 【分析】本题考查分段函数的求值问题，属于基础题.理解分段函数的概念是关键． 【解答】解：f[f(1e )]=f(−1)=e −1=1e ． 故答案为1e ．14.答案：2√5解析：解：∵平面向量m⃗⃗⃗ =(−1,2)，n ⃗ =(2,b)， ∴由m ⃗⃗⃗ //n ⃗ 可得−1×b −2×2=0，解得b =−4，∴|n ⃗ |=√22+(−4)2=2√5故答案为：2√5由向量平行可得b 的值，再由向量的模长公式可得． 本题考查平面向量的平行关系和模长公式，属基础题．15.答案：7；293解析： 【分析】本题考查对等差数列通项公式与求和公式，属于中档题． 对于题意的理解是关键，利用特殊条件，可以进行简便求解． 【解答】解：设a n =a 1+(n −1)d ， 则a i +a j =2a 1+(i +j −2)d ， 由题意1≤i <j ≤n ，当i =1，j =2时，i +j −2 取最小值1， 当i =n −1，j =n 时，i +j −2取最大值2n −3， 易知i +j −2可取遍1,2,3,…,2n −3， 即c n =2n −3(n ≥3)，∴c 5=2×5−3=7，数阵中前16行共有1+2+3+⋯+16=(1+16)×162=136个数，所以第17行左数第10个数为c 148=2×148−3=293． 故答案为7；293．16.答案：−√3解析： 【分析】本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，属于基础题． 由周期求出ω，由特殊点的坐标结合φ的范围求出φ的值，可得函数的解析式． 【解答】解：由图可知T =4(π6+π12)=π，∴ω=2， ∴f(x)=2sin(2x +φ)．∵f(−π12)=2sin(φ−π6)=−2，∴sin(φ−π6)=−1.再根据|φ|<π2， ∴φ=−π3，∴f(x)=2sin(2x −π3)，∴f(π)=−√3， 故答案为：−√3．17.答案：解：(1)如图(1)所示，由题意知，tanα=4−ℎ4，tanβ=ℎ−24，∴tanθ=tan(α+β)=4−ℎ4+ℎ−241−4−ℎ4×ℎ−24=8(ℎ−3)2+15，2<ℎ<4；当ℎ=3时tanθ取得最大值为815；因为函数y =tanθ在(0,π2)上是增函数，所以当ℎ=3时θ取得最大值；(2)如图(2)所示，由题意知，tanα=2−1.5x，tanβ=4−1.5x，∴tanθ=tan(β−α)=2.5x −0.5x 1+2.5x ⋅0.5x=2x+54x≤2√5，x >0，当且仅当x =√52时取“=”，所以x =√52时，视角θ取得最大值．解析：本题考查了三角函数模型的应用问题，是中档题．(1)根据题意画出图形，结合图形求出tanθ的解析式，计算tanθ取得最大值时h的值；(2)根据题意画出图形，结合题意求出tanθ的解析式，计算tanθ取最大值时对应θ的值．18.答案：解：(1)等差数列{a n}中，由a2+a5=22可得2a1+5d=22，又因为d=4，所以a1=1，于是a n=4n−3，则S n=(1+4n−3)n2=2n2−n．(2)因为n(2n+1)S n =1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)．所以T14=12(1−13+13−15+...+127−129)=12(1−129)=1429．解析：此题考查等差数列的通项公式、求和公式的应用，及裂项相消求和的应用．(1)利用等差数列的通项公式求出首项，得出通项公式，利用等差数列的求和公式S n=(1+4n−3)n2= 2n2−n；(2)由裂项相消法得出T14．19.答案：解：(1)∵(2c−a)cosB−bcosA=0，由正弦定理得(2sinC−sinA)cosB−sinBcosA=0，∴(2sinC−sinA)cosB=sinBcosA，2sinCcosB=sin(A+B)，∵A+B=π−C，且sinC≠0，∴2sinCcosB=sinC，∴cosB=12，∵B∈(0,π)，∴B=π3．(2)∵S=12acsinB=12BD⋅b，代入c =2，BD =3√217且sinB =√32，得b =√7a3， 由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB =a 2−2a +4， 代入b =√7a3，得a 2−9a +18=0，解得{a =3b =√7，或{a =6b =2√7，又∵锐角三角形， ∴a 2<c 2+b 2， ∴a =3，∴S △ABC =12acsinB =12×2×3×√32=3√32．解析：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，正余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．(1)由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用，结合sinC ≠0，可得cosB =12，根据范围B ∈(0,π)可求B 的值．(2)由已知利用三角形面积公式可得b =√7a3，由余弦定理可得a 2−9a +18=0，结合a ，b 的关系，进而根据三角形面积公式即可计算得解．20.答案：解：(1)由a 1a 5=8a 2得：a 1q 3=8，即a 4=8，又∵3a 4，28，a 6成等差数列，∴3a 4+a 6=56， 将a 4=8代入得：a 6=32． 从而：a 1=1，q =2． ∴a n =2n−1；(2)b n =2n a n=2n ⋅(12)n−1，T n =2×(12)0+4×(12)1+6×(12)2+⋯+2(n −1)⋅(12)n−2+2n ⋅(12)n−1……………………①12T n =2×(12)1+4×(12)2+6×(12)3+⋯+2(n −1)⋅(12)n−1+2n ⋅(12)n ……………………② ①−②得：12T n =2×[(12)0+2(12)1+(12)2+⋯+(12)n−1]−2n ⋅(12)n =2+2×12[1−(12)n−1]1−12−2n ⋅(12)n =4−(n +2)⋅(12)n−1．∴T n =8−(n +2)⋅(12)n−2．解析：(1)利用等差数列以及等比数列的通项公式列出方程组，求出数列的首项与公比，然后求解数列的通项公式；(2)化简通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查转化首项以及计算能力，是中档题．21.答案：解：(1)∵f(0)=0∴c=0…(2)，∴f(x)=2x3−12x…(4分)∴f′(x)=6x2−12=6(x+√2)(x−√2)，…(5分)列表如下：递减区间是(−√2,√2)…(8分)(2)∵f(−1)=10，f(√2)=−8√2，f(3)=18∴f(x)在[−1,3]上的最大值是f(3)=18，最小值是f(√2)=−8√2…(12分)解析：(1)由f(0)=0，求出c的值，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；(2)根据函数的单调性求出函数的最值即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．22.答案：解：(I)当a=1时f(x)=lnx−x2+xf′(x)=1x−2x+1，∴f(1)=0，f′(1)=0即：所求切线方程为：y=0，(II)∵f′(x)=1x−2ax+a=−2ax2+ax+1x,x>0∴当a=0时，f′(x)>0，f(x)在[1,2]上递增∴f(x)max=f(2)=ln2，当a≠0时可令g(x)=−2ax2+ax+1，x∈[1,2]．∵g(x)的对称轴x=14且过点(0,1)∴当a<0时，f′(x)>0在[1,2]恒成立，f(x)在[1,2]上递增∴f(x)max=f(2)=ln2−2a，当a>0时，若g(1)≤0，即：a≥1时，f′(x)<0在[1,2]恒成立，f(x)在[1,2]上递减，∴f(x)max=f(1)=0，若g(1)>0，g(2)<0，即：16<a<1时，f′(x)在[1,a+√a2+8a4a)上大于零，在(a+√a 2+8a4a,2]上小于零f(x)在[1,a+√a 2+8a4a)上递增，在(a+√a2+8a4a,2]上递减，∴f(x)max =f(a+√a 2+8a4a)=lna+√a 2+8a4a+√a 2+8a+a−48，若g(1)>0，g(2)≥0，即：0<a ≤16时，f′(x)>0在[1,2]恒成立， f(x)在[1,2]上递增，∴f(x)max =f(2)=ln2−2a ，综上：f(x)max ={ ln2−2a,a ≤16ln a+√a 2+8a 4a +√a 2+8a+a−48,16<a <10,a ≥1解析：(Ⅰ)通过a =1，求出函数的导数，得到切线的斜率，然后求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (Ⅱ)求出函数的导数，通过a 与0的大小，讨论，分别判断函数的单调性求解求f(x)在[1,2]的最大值．本题考查函数的导数的应用，闭区间上的函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．。

吉林市普通中学2018—2019学年度高中毕业班第一次调研测试理科数学本试卷共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟。

考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效。

4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1. 已知全集U R =，集合{|11}A x x x =<->或，则U A =ðA ． (,1)(1,)-∞-+∞B ． (,1][1,)-∞-+∞C ． (1,1)-D ． [1,1]-2. 若3sin(),25παα-=-为第二象限角，则tan α=A. 43-B. 43C. 34-D. 343. 在下列给出的四个结论中，正确的结论是A. 已知函数()f x 在区间(,)a b 内有零点，则()()0f a f b <B. 若1a b +=，则3是3a 与3b 的等比中项C. 若12,e e 是不共线的向量，且122,m e e =-1236n e e =-，则m ∥nD. 已知角α终边经过点(3,4)-，则4cos 5α=-4. 已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE =A. 12AB AD -+ B. 12AB AD -C. 12AB AD +D. 12AB AD -5. 已知21tan(),tan()544παββ+=-=, 则tan()4πα+的值为A ． 16B ． 2213C ． 322D ．13186. 在小正方形边长为1的正方形网格中, 向量,a b 的大小与方向如图所示，则向量,a b 所成角的余弦值是A.2B.C. 15D.6137. 若公比为2的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且52,9,a a 成等差数列，则20S =A. 2121-B.2021-C. 1921-D. 2221-8. 函数ln ||()x f x=的图象大致是 A.B. C.D.9. 已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，满足1494S a S +=，给出下列四个结论：①70a =；②140S =；③58S S =；④7S 最小. 其中一定正确的结论是A. ①③B. ①③④C. ②③④D. ①② 10. 若直线y ax =是曲线2ln 1y x =+的一条切线，则实数a =A. 12e- B. 122e-C.12eD.122e11. 将函数2()2cos ()16f x x ππ=+-的图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，最后得到图象对应的函数为奇函数，则ϕ的最小值为A.13B.23C.76D.5612. 已知等边ABC ∆的边长为2，则|23|AB BC CA ++=A.B.C. D. 12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

吉林市2019届高三第一次摸底考试数学理试题一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．计算：=（）A．i+1 B．i﹣1 C．﹣i+1 D．﹣i﹣12．已知A⊆B，A⊆C，B={1，2，3，5}，C={0，2，4，8}，则A可以是（）A．{1，2} B．{2，4} C．{2} D．{4}3．已知条件p：x2﹣2ax+a2﹣1＞0，条件q：x＞2，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣3 D．a≤﹣34．某程序图如图所示，该程序运行后输出的结果是（）A．3 B．4C．5D．65．已知某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（）6．将函数f（x）=2sin（+）的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）A．g（x）=2sin（+）﹣1 B．g（x）=2sin（﹣）+1C．g（x）=2sin（﹣）+1 D．g（x）=2sin（﹣）﹣17．已知等差数列{a n}的公差为2，若前17项和为S17=34，则a12的值为（）A．8 B． 6 C． 4 D． 28．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若b2﹣c2=ac，sinA=2sinC，则B=（）A．30°B．60°C．120°D．150°9．在（x﹣）8的二项展开式中，常数项为（）A．1024 B．1324 C．1792 D．﹣108010．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．2B．2C．4D．411．△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上的一点（包括端点），则•的取值范围是（）A．[1，2]B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣5，2]12．对函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为一三角形的三边长，则称f（x）为“三角型函数”，已知函数f（x）=（m＞0）是“三角型函数”，则实数m的取值范围是（）A．[1，4]B．[0，2]C．[2，4]D．[1，2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x，y满足不等式组，则目标函数z=2x+y的最大值为_________．14．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β其中正确命题的序号是_________．15．若动直线x=a与函数f（x）=sinxcosx和g（x）=cos2x的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为_________．16．若数列{a n}满足a1=2，a n+1=（n∈N*），则该数列的前2019项的乘积a1•a2•a3• (2019)_________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，3bcosA=ccosA+acosC．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为2，a=3，求b，c的长．18．（12分）已知数列{a n}是公差大于零的等差数列，数列{b n}为等比数列，且a1=1，b1=2，b2﹣a2=1，a3+b3=13（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式（Ⅱ）设c n=a n b n，求数列{c n}前n项和T n．19．（12分）一企业某次招聘新员工分笔试和面试两部分，人力资源部经理把参加笔试的40名学生的成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100），得到频率分布直方图如图所示（Ⅰ）分别求成绩在第4，5组的人数（Ⅱ）若该经理决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名进入面试，①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲和乙同时进入面试的概率②若经理决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望．20．（12分）一个多面体的直观图（图1）及三视图（图2）如图所示，其中M，N分别是AF、BC 的中点（Ⅰ）求证：MN∥平面CDEF：（Ⅱ）求二面角A﹣CF﹣B的余弦值；21．（12分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，并且经过定点P（，）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）问是否存在直线y=﹣x+m，使直线与椭圆交于A、B两点，满足OA⊥OB，若存在求m值，若不存在说明理由．22．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．数 学（理科）参考答案与评分标准一、选择题：二、填空题：13．6 14. ①③ 15. 1216. - 6 三、解答题：17．解：（Ⅰ）由正弦定理得：B C A A B sin )sin(cos sin 3=+=0sin ≠B1cos 3A ∴=----------------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）由题意得：1sin 2ABC S bc A ∆==6bc = ------------------ 7分由余弦定理得： 222222cos ,9()2,53a b c bc A b c bc bc b c =+-=+--+=联立上述两式,解得：2,3b c ==或3,2b c ==. ---------------------------10分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为(0)d d >，数列{}n b 的公比为q由已知得：22(1)112213q d d q -+=⎧⎨++=⎩，解得：10242d d q q =-=⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩， --------------------3分 因为0d >，所以2,2d q ==， 112(1)21,222n nn n a n n b -=+-=-=⨯=即21(*),2(*)nn n a n n N b n N =-∈=∈ ------------------------------------------6分 （Ⅱ） 23123252(21)2(1)n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯--------- 23412123252(21)2(2)n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⨯-------（2）－（1）得：23112222222(21)2n n n T n +=-⨯-⨯-⨯--⨯+-⨯341131112222(21)22(12)2(21)2126(23)2n n n n n n n n ++-++=-----+-⨯-=--+-⨯-=+-⨯---------------------------------12分 19．（本小题满分12分）解（Ⅰ）第4组学生人数为0.045408⨯⨯= ，第5组人数为0.025404⨯⨯= 所以第4，5组的学生人数分别为8人，4人 -----------------------------------------4分 （Ⅱ）①因为第3组学生人数为0.0654012⨯⨯=，所以第3，4，5中抽取的人数分别是3人，2人，1人，则甲，乙同时进入面试的概率为110312122C P C == ---------------------8分②由①知，X 的可能取值为0，1，2所以21124422222666281(0),(1),(2)51515C C C C P X P X P X C C C ========= X 分布列为2812515153EX =⨯+⨯+⨯= --------------------------------------------- 12分20．（本小题满分12分）解（1）证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF,且AB=BC=BF=4,DE=CF=90CBF ∠=︒ ,连结BE, M 在BE 上，连结CEEM=BM,CN=BN, 所以MN ∥,CE CE CDEF ⊂面,所以//MN 平面CDEF ------5分 （II ）--------------------------------------9分-------------------------------------------------------12分z（II ）另解：以EA,AB,AD 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空 间直角坐标系，所以(0,0,0),(0,4,0),(0,4,4),(4,4,0)A B C F - 面CBF 法向量为(0,1,0)n =(0,4,4),(4,0,4)CA CF =--=-- -----------------8分设面ACF 法向量为(,,)m x y z =，(,,)(0,4,4)0440(,,)(4,0,4)0440m CAx y z y z x y z x z m CF⎧⊥--=--=⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨--=--=⊥⎩⎩⎪⎩ 取1z =-，所以1,1,(1,1,1)x y m ===-设二面角A CF B --为θ，3cos ||||m n m n θ===-----------12分 21．（本小题满分12分） 解（Ⅰ）由题意：c e a ==且223114a b +=，又222c a b =- 解得：224,1a b ==，即：椭圆E 的方程为2214x y += ------------------5分 （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y22222214()40584404x y x m x x mx m y x m⎧+=⎪⇒+--=⇒-+-=⎨⎪=-+⎩ （*） 所以21212844,55m m x x x x -+== --------------------------------------------------7分 222212121212844()()()55m y y m x m x m m x x x x m m -=--=-++=-+245m -=-----------------------------------9分由0OA OB OA OB ⊥⇒=得2211221212444(,)(,)0,0,0,55m m x yx y x x y y m --=+=+== ----------11分 又方程（*）要有两个不等实根，22(8)45(44)0,m m m ∆=--⨯-><m 的值符合上面条件，所以m = ------------------------------------------12分22．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知1()2(0)f x x x'=+>， (1)213f '=+=，所以斜率3k =， 又切点(1,2)，所以切线方程为23(1)y x -=-)，即310x y --=故曲线()y f x =在1x =处切线的切线方程为310x y --=。

吉林省长春2019届上学期第一次质量检测试题高三理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合}log ,3{2a P =，{}b a Q ,=，若}0{=Q P ，则=Q P （ ）A.{}0,3B.{}2,0,3C.{}1,0,3D.{}2,1,0,3 【答案】C .考点：集合间的基本运算；2.已知向量(,1)a λ→=，(2,1)b λ→=+，若a b a b →→→→+=-，则实数λ的值为( )A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣2【答案】C . 【解析】试题分析：因为向量(,1)a λ→=，(2,1)b λ→=+，所以(22,2)a b λ→→+=+，(2,0)a b →→-=-，于是由a b a b →→→→+=-2=，解之得1λ=-，故应选C .考点：平面向量的坐标运算；【方法点晴】本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的模的概念，属于容易题.解题时一定要注意正确的计算平面向量的坐标运算，并准确地运用平面向量模的概念建立等式关系，否则很容易导致计算错误.作为一道选择题还可以选择代值法，逐一进行验证每个选项是否满足已知条件，若不是，则排除之；若是，即为所求的答案.3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若469,11a a ==，则9S 等于( )A ．180B ．90C ．72D ．10【答案】B .考点：1、等差数列；2、等差数列的前n 项和；4.下列函数中，既是偶函数又在(),0-∞上单调递增的函数是( ) A ．2y x = B ．2xy = C.21log y x= D ．sin y x = 【答案】C . 【解析】试题分析：对于选项A ，函数2y x =为偶函数但在(),0-∞上单调递减的函数，不符合题意；对于选项B ，函数2xy =为偶函数但在(),0-∞上单调递减的函数，不符合题意；对于选项C ，函数21log y x=为偶函数且在(),0-∞上单调递增的函数，符合题意；对于选项D ，函数sin y x =为奇函数，不符合题意，故应选C .考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性. 5.设复数iz --=12，则在复平面内z i ⋅对应的点坐标为（ ） A .()1,1 B ．()1,1- C ．()1,1-- D ． ()1,1- 【答案】D . 【解析】试题分析：因为复数i z --=122(1)1(1)(1)i i i i -+==-+---+，所以1z i -=--，于是(1)1i z i i i -⋅=--=-，所以在复平面内z i ⋅对应的点坐标为()1,1-，故应选D . 考点：1、复数的基本概念；2、复数的四则运算. 6.如图所示，程序框图的功能是（ ） A ．求{n 1}前10项和 B ．求{n 21}前10项和 C ．求{n 1}前11项和 D ．求{n21}前11项和 第6题图【答案】B .考点：1、算法与程序框图；7.某几何体的三视图如右图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x 的值是（ ） A. 2 B.92 C.32D.3【答案】C .【解析】试题分析：由三视图可知，原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、搞分别为1、2、2的直角梯形，一条边长为x 的侧棱垂直于底面.于是其体积为12(12)3322x ⨯+⨯=，解之得32x =，故应选C .考点：1、三视图；2、空间几何体的体积. 8.有下列关于三角函数的命题： 1:,()2P x x k k ∀∈≠+∈R Z ππ，若tan 0x >，则sin 20x >；2:P 函数3sin()2y x π=-与函数cos y x =的图像相同； 300:,2cos P x x π∃∈=R ；4:P 函数|cos |y x =()x ∈R 的最小正周期为2π．其中的真命题是（ ）A. 1P ，4P B ．2P ，4P C ．2P ，3P D ．1P ，2P【答案】D .考点：1命题的真假判断与应用；9.设,,a b c 是空间三条直线，α,β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（ ） A. 当c α⊥时，若c β⊥，则α∥β B. 当b α⊂时，若b β⊥，则βα⊥C. 当α⊂b ，且c 是a 在α内的射影时，若b c ⊥，则a b ⊥D. 当α⊂b ，且α⊄c 时，若c ∥α，则b ∥c 【答案】B .考点：1、空间中直线与平面之间的位置关系； 2、空间中直线与直线之间的位置关系；3、空间中平面与平面之间的位置关系.10.下列四个结论正确的个数是（ ）①若n 组数据()()n n y x y x ,,,11 的散点都在12+-=x y 上，则相关系数1-=r ②由直线,2,21==x x 曲线x y 1=及x 轴围成的图形的面积是2ln 2③已知随机变量ξ服从正态分布(),,12σN (),79.04=≤ξP 则()21.02=-≤ξP ④设回归直线方程为x y 5.22-=∧，当变量x 增加一个单位时，∧y 平均增加2.5个单位A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D . 【解析】试题分析：对于①，因为n 组数据()()n n y x y x ,,,11 的散点都在12+-=x y 上，则相关性最强，所以相关系数为1-，即①为正确的；对于②，由定积分的几何意义知，由直线,2,21==x x 曲线x y 1=及x 轴围成的图形的面积可表示为22112211ln ln 2ln2ln 22dx x x==-=⎰，即②为正确的；对于③，由正态分布的对称性知，(2)(4)1(4)10.790.21P P P ξξξ≤-=≥=-≤=-=，即③为正确的；对于④，因为回归直线方程为x y 5.22-=∧，当变量x 增加一个单位时，∧y 平均减少2.5个单位，所以④不正确，故应选D . 考点：1、命题的真假判断；2、线性回归方程；3、定积分的几何意义；4、正态分布.11.直线2:,:21+==x y l x y l 与圆C 02222=--+ny mx y x 的四个交点把圆C 分成的四条弧长相等，则=m （ ）A .0或1 B. 0或1- C ． 1- D ． 1 【答案】B .考点：1、直线与圆的位置关系；【易错点晴】本题主要考查了直线与圆相交的性质问题，属于易错题.其解题中易错点有三：其一是没能观察发现题意隐藏的条件即直线1l 与2l 平行，否则解答无法进行；其二是一定要正确地画出图形，并结合图形进行解答，否则很容易出现错误；其三还应全面、准确地考虑问题，学生容易出现只片面的考虑其中一种情况，进而导致错误的出现.12.已知函数()f x 的定义域为R ，且满足(4)1f =，)(x f '为()f x 的导函数，又知)(x f y '= 的图像如图所示，若两个正数b a ,满足，1)2(<+b a f ，则12++a b 的取值范围是（ ） A ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛6,32B ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,32 C ．]25,41[ D ．⎪⎭⎫⎝⎛25,41【答案】A .考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用；2、导数的几何意义3、线性规划.【思路点晴】本题属于线性规划中的延伸题，主要考查导函数的几何意义、线性规划等综合知识，属较难题. 对于可行域内求线性目标函数的最值，其解题的思路为：首先利用导数与函数的关系可得关于,a b 的不等关系式，然后画出关于,a b 的可行域，再结合直线斜率的几何意义可知，式子12++a b 表示的几何意义是可行域中的点与(1,2)--的连线的斜率问题，运用数形结合思想即可得出结论.第Ⅱ卷（共110分）（非选择题共110分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.二项式5的展开式中常数项为 ． 【答案】10-. 【解析】试题分析：因为二项式5的展开式的通项为：1555655((1)rr r r r r C C x --=-，令1550r -=，即3r =，所以其展开式中的常数项为：335(1)10C -=-，故应填10-.考点：1、二项式定理.14.记集合(){}()221,1,,00x y A x y x y B x y x y ⎧+≤⎧⎫⎪⎪⎪=+≤=≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪≥⎩⎭⎩构成的平面区域分别为,M N ，现随机地向M 中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N 中的概率为_________． 【答案】π21.考点：1、几何概型的概率计算公式； 15.已知数列{}n a为等比数列，且201320150a a +=⎰，则2014201220142016(2)a a a a ++的值为【答案】2π. 【解析】试题分析：因为π=⎰，所以201320150a a π+==⎰，则2014201220142016(2)a a a a ++22220142012201420142016201320132015201522a a a a a a a a a =++=++220132015()a a =+2π=，故应填2π.考点：1、等比数列的性质；2、定积分；【思路点晴】本题综合考查了等比数列及其性质和定积分的计算，是数列与定积分的综合应用，属中档题.解答该题基本思路：首先运用定积分的几何意义求出已知的定积分，然后利用等比数列的性质即若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅，建立起所求的未知问题与已知条件之间的联系，最后运用平方和公式即可求出所求答案.16.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，对x R ∀∈都有()()13-=-x f x f 成立，当(0,1]x ∈且12x x ≠时，有2121()()0f x f x x x -<-, 给出下列命题(1) ()f x 在[2,2]-上有5个零点；(2) 点(2016,0)是函数()y f x =的一个对称中心； (3) 直线2016x =是函数()y f x =图像的一条对称轴； (4)()()π<f f 2.9. 则正确的是 ．【答案】(1)、(2)、(4).00.841π<<-<，所以(0.8)(4)f f π>-，所以(9.2)()f f π<，即命题（4）正确. 故应填(1)、(2)、(4).考点：1、函数的奇偶性；2、函数的周期性；3、函数的对称性；4、函数的单调性.【易错点晴】本题综合考查了函数的奇偶性、函数的周期性和函数的单调性，是函数的图像及其性质的综合应用，属较难题.解答该题应注意以下几个易错点：其一是未能读懂题意，不能将题目表达式转化为所学的函数性质问题如函数的周期性和单调性；其二是对函数的图像未能准确把握，不能正确理解函数的对称中心和对称轴的基本概念.三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本题满分10分) 在ABC ∆中，已知角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且C B A ,,成等差数列。

吉林吉林2019高三上开学摸底考试-数学（理）数 学〔理科〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。

第一卷〔选择题 共60分〕【一】选择题：本大题共12题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1、设全集{1,2,3,4,5}U =,集合{1,2}A =,{2,3}B =,那么()UA B ð=A 、{4,5}B 、{2,3}C 、{1}D 、{1,2}2、抛物线24y x =的准线方程为 A. 2x =B. 2x =-C. 1x =D. 1x =-3. 复数i 212i-=+A. iB. i -C.43i 55--D.43i 55-+ 4. 在等差数列{}n a 中，351028a a a ++=，那么此数列的前13项的和等于A. 8B. 13C. 16D. 265. 假设m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，那么以下结论正确的选项是A. 假设m 、n 都平行于平面α，那么m 、n 一定不是相交直线；B. 假设m 、n 都垂直于平面α，那么m 、n 一定是平行直线；C. α、β互相垂直，m 、n 互相垂直，假设m ⊥α，那么n ⊥β；D. m 、n 在平面α内的射影互相垂直，那么m 、n 互相垂直. 6. 如图，该程序运行后输出的结果为 A 、15 B 、21 C 、28 D 、36 7. 曲线3y x =在点(1,1)处的切线方程为 A. 320x y --= B. 2C. 320x y --=D. 230x y --=,"1"x R x ∈>则是“2x >”的必要不充分条件;(3)假设,[0,2]a b ∈，那么不等式2214a b +<成立的概率是16π.其中正确命题的个数是A.0B.1C.2D.39.(12)n x +的展开式中3x 的系数等于2x 的系数的4倍，那么n 等于 A 、7 B 、8 C 、9D 、1010.如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为线段BC 1上的动点，那么以下判断错误的选项是．．．．．． A 、DB 1⊥平面ACD 1 B 、BC 1∥平面ACD 1 C 、BC 1⊥DB 1D 、三棱锥P-ACD 1的体积与P 点位置有关11.函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为奇函数，该函数的部分图象如下图，EFG ∆是边长为2的等边三角形，那么(1)f 的 值为 A、2-B、2-CD、12.设函数()f x 的定义域为D ，如果对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得12()()2f x f x C+=成立〔其中C 为常数〕，那么称函数()y f x =在D 上的“算术均值”为C ，那么以下函数在其定义域上的“算术均值”可以为2的函数是A 、2y x =B 、4sin y x =C 、ln y x =D 、2x y =第二卷〔非选择题共90分〕【二】填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分、把答案填在答题卡的相应位置、 13、假设一个几何体的三视图如右，那么这个几何体的表面积为14.f(x)是R 上的偶函数，且在(－∞,0]上是减函数，那么 不等式f(x)≤f(3)的解集是 15.向量(1,2),(4,),a x b y =-=且,a b ⊥那么93x y+的最小值为16.当对数函数log (01)ay x a a =>≠且的图象至少经过区域(,)80(,)30x y M x y x y x y R y ⎧⎫-≥⎧⎪⎪⎪=+-≤∈⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≥⎩⎩⎭内的一个点时，实数a 的取值范围是【三】解答题：本大题共6小题，共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、17、〔本小题总分值10分〕设锐角△ABC 的三内角A B C 、、的对边长分别为a 、b 、c ，b 是a 、c 的等比中项，且3sin sin 4A C =. (1)求角B 的大小；(2)假设[0,)x π∈，求函数()sin()sin f x x B x =-+的值域. 18、〔本小题总分值12分〕设{}n a 是一个公差为2的等差数列，124,,a a a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)数列{}nb 满足2n n a b n =，设{}n b 的前n 项和为n S ，求n S .19、〔本小题总分值12分〕一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片。

2019-2020学年吉林省吉林市高三（上）第一次调研数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．设{|23}A x x =-<<，{|0}B x x =>，则(A B = )A ．(2,3)-B ．(3,)+∞C ．(2,0)-D ．(0,3)2．函数3sin(4)3y x π=+的最小正周期是( )A ．2πB ．2πC ．3πD ．π3．已知向量(1,2),(2,3)a b =-=-，则(a b = ) A ．8-B ．4C ．7D ．1-4．已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-；当0x <时，()f x 等于( ) A ．(1)x x -+B ．(1)x x +C ．(1)x x -D ．(1)x x --5．若数列{}n a 满足：111n na a +=-且12a =，则2019(a = ) A ．12B ．1-C ．2D ．12-6．若cos()2πα+=，则cos 2(α= )A ．23-B ．13-C ．13D ．237．将函数()2sin(2)3f x x π=+图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，在()g x 图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为( ) A ．24x π=-B ．4x π=C ．524x π=D ．12x π=8．已知,a b 是不共线的向量，2,2,,AB a b AC a b R λμλμ=-=+∈，若A 、B 、C 三点共线，则λ，μ满足( ) A ．2λμ+=B ．1λμ=-C ．4λμ+=D ．4λμ=-9．若函数()(0x f x a a =>且1)a ≠在R 上为减函数，则函数log (||1)a y x =-的图象可以是()A ．B ．C ．D ．10．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2135213()(*)n n S a a a a n N -=+++⋯⋯+∈，1238a a a =，则8(S = ) A ．510B ．255C ．127D ．654011．已知向量OA 、OB 满足0OA OB =，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，若||12||OA OB =，则(mn = )A B ．4 C ． D ．1412．设函数()f x 的定义域为D ，若满足条件：存在[m ，]n D ⊆，使()f x 在[m ，]n 上的值域为[km ，](kn k R ∈且0)k >，则称()f x 为“k 倍函数”，若函数()(1)x f x a a =>为“3倍函数”，则实数a 的取值范围是( ) A ．3(1,)eeB ．3(1,)eC ．2(,)ee eD ．3(,)e e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应位置． 13．已知函数1,0()2,0x lnx x f x x +>⎧=⎨⎩…，则1[()]f f e = ．14．已知向量,a b 的夹角为60︒，||1,||2a b ==，则|2|a b -= ．15．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(gu ǐ)长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为 尺．16．已知函数()sin()2cos()f x x x πϕπϕ=+-+，若(1)(1)f x f x +=-，则sin 2ϕ= ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．AB 是底部B 不可到达的建筑物，A 是建筑物的最高点，为测量建筑物AB 的高度，先把高度为1米的测角仪放置在CD 位置，测得仰角为45︒，再把测角仪放置在EF 位置，测得仰角为75︒，已知2DF =米，D ，F ，B 在同一水平线上，求建筑物AB 的高度．18．已知数列{}n a 为等差数列，公差0d ≠，前n 项和为n S ，36a =，且2a ，4a ，8a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1n n b S n=+，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．19．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知sin()sin 03b Cc B π--=．（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若4,a c ==，求ABC ∆的面积．20．设函数()sin 1f x x =-的正零点从小到大依次为1x ，2x ，⋯⋯，n x ，⋯⋯，构成数列{}n x ．（1）写出数列{}n x 的通项公式n x ，并求出数列{}n x 的前n 项和n S ； （2）设4n n S a n π=-，求sin n a 的值． 21．已知函数32()391f x x x x =+-+． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当[4x ∈-，4]时，求函数()f x 的最大值与最小值． 22．设函数()()()x f x m x e m Z =-∈．（1）当0m =时，求函数()f x 在点(1，f （1）)处的切线方程；（2）当0x >时，()3f x x <+恒成立，求整数m 的最大值．2019-2020学年吉林省吉林市高三（上）第一次调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．设{|23}A x x =-<<，{|0}B x x =>，则(A B = )A ．(2,3)-B ．(3,)+∞C ．(2,0)-D ．(0,3)【解答】解：{|23}A x x =-<<，{|0}B x x =>，{|03}(0,3)AB x x ∴=<<=．故选：D ． 2．函数3sin(4)3y x π=+的最小正周期是( )A ．2πB ．2πC ．3πD ．π【解答】解：函数3sin(4)3y x π=+的最小正周期是：242T ππ==． 故选：B ．3．已知向量(1,2),(2,3)a b =-=-，则(a b = ) A ．8-B ．4C ．7D ．1-【解答】解：向量(1,2),(2,3)a b =-=-， 则268a b =--=-． 故选：A ．4．已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-；当0x <时，()f x 等于( ) A ．(1)x x -+B ．(1)x x +C ．(1)x x -D ．(1)x x --【解答】解：设0x <，则0x ->， 当0x >时，()(1)f x x x =-+， ()(1)f x x x ∴-=-+又()f x 是定义在R 上的奇函数，()()(1)f x f x x x ∴=--=+故选：B ．5．若数列{}n a 满足：111n na a +=-且12a =，则2019(a = ) A ．12B ．1-C ．2D ．12-【解答】解：数列{}n a 满足：111n na a +=-且12a =， 可得212a =，31a =-，42a =，⋯ 所以数列的周期为：3， 20196723331a a a ⨯+===-．故选：B ．6．若cos()2πα+=，则cos 2(α= )A ．23-B ．13-C ．13D ．23【解答】解：cos()sin 2παα+=-=，sin α∴=， 则211cos 212sin 1233αα=-=-⨯=，故选：C ．7．将函数()2sin(2)3f x x π=+图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，在()g x 图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为( ) A ．24x π=-B ．4x π=C ．524x π=D ．12x π=【解答】解：将函数()2sin(2)3f x x π=+图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变， 得到2sin(4)3y x π=+，再将所得图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，得到2()2sin[4()]2sin(4)1233g x x x πππ=++=+， 由2432x k πππ+=+，k Z ∈， 得1424x k ππ=-，k Z ∈， 当0k =时，离原点最近的对称轴方程为24x π=-，故选：A ．8．已知,a b 是不共线的向量，2,2,,AB a b AC a b R λμλμ=-=+∈，若A 、B 、C 三点共线，则λ，μ满足( ) A ．2λμ+=B ．1λμ=-C ．4λμ+=D ．4λμ=-【解答】解：，2,2,,AB a b AC a b R λμλμ=-=+∈， 若A 、B 、C 三点共线，设AB mAC =，则22a b ma m b λμ-=+，,a b 是不共线， 所以2m λ=，2m μ-=，224m mλμ-==-， 故选：D ．9．若函数()(0x f x a a =>且1)a ≠在R 上为减函数，则函数log (||1)a y x =-的图象可以是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：由函数()(0x x f x a a a -=->且1)a ≠在R 上为减函数， 故01a <<．函数log (||1)a y x =-是偶函数，定义域为1x >或1x <-，函数log (||1)a y x =-的图象，1x >时是把函数log a y x =的图象向右平移1个单位得到的， 故选：D ．10．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2135213()(*)n n S a a a a n N -=+++⋯⋯+∈，1238a a a =，则8(S = ) A ．510B ．255C ．127D ．6540【解答】解：设等比数列{}n a 的公比为q ， 2135213()(*)n n S a a a a n N -=+++⋯⋯+∈，22112(1)3(1)11n n a a q q q q-=---， 2q ∴=，312328a a a a ==，22a ∴=，11a =，则881225512S -==-． 故选：B ．11．已知向量OA 、OB 满足0OA OB =，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，若||12||OA OB =，则(mn = )A B ．4C ．D ．14【解答】解：||12||OA OB =， ∴1||||2OA OB =， 0OA OB =，即OA OB ⊥，故可以OA ，OB 为x 轴，y 轴建立直角坐标系，设(1,0)OA =，(0,2)OB =， (,2)OC mOA nOB m n =+=， 30AOC ∠=︒，∴2tan 30n m =︒=，则mn =． 故选：C ．12．设函数()f x 的定义域为D ，若满足条件：存在[m ，]n D ⊆，使()f x 在[m ，]n 上的值域为[km ，](kn k R ∈且0)k >，则称()f x 为“k 倍函数”，若函数()(1)x f x a a =>为“3倍函数”，则实数a 的取值范围是( ) A ．3(1,)eeB ．3(1,)eC ．2(,)ee eD ．3(,)e e【解答】解：因为函数()(1)x f x a a =>为增函数，由函数()(1)x f x a a =>为“3倍函数”，即函数()y f x =的图象与直线3y x =有两个不同的交点， 设()3x g x a x =-， 则()3x g x a lna '=-， 又1a >，所以0lna >， 则当3log ax lna <时，()0g x '<，当3log a x lna>时，()0g x '>， 所以函数()g x 在3(,log )alna -∞为减函数，在3(log alna，)+∞为增函数， 要函数()y f x =的图象与直线3y x =有两个不同的交点， 则需3(log )0a g lna<， 所以33log alna lna<， 所以3log ()1lnaa lna>， 所以3()lnaa lna >， 所以31ln lna>， 所以3e lna>， 即3ea e <， 又1a >， 所以31ea e <<， 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡中相应位置． 13．已知函数1,0()2,0x lnx x f x x +>⎧=⎨⎩…，则1[()]f f e = 1 ．【解答】解：根据题意，函数1,0()2,0x lnx x f x x +>⎧=⎨⎩…，则11()1f ln lne e e==-=-，01[()](1)21f f f e=-==，故答案为：1．14．已知向量,a b 的夹角为60︒，||1,||2a b ==，则|2|a b -= 2 ．【解答】解：向量,a b 的夹角为60︒，||1,||2a b ==，∴12cos601a b =⨯⨯︒=． 则222|2|(2)444412a b a b a a b b -=-=-+=-⨯+=， 故答案为：2．15．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(gu ǐ)长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为 1.5 尺． 【解答】解：由题意知为单调递增的等差数列， 设为1a ，2a ，⋯，12a ，公差为d ， 1591216.584a a a S ++=⎧⎨=⎩， 代入得1111(4)(8)16.5121112842a a d a d da ++++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩， 联立方程解得1 1.5a =， 故答案为：1.5．16．已知函数()sin()2cos()f x x x πϕπϕ=+-+，若(1)(1)f x f x +=-，则sin 2ϕ= 5．【解答】解：由(1)(1)f x f x +=-，得()f x 的对称轴方程为1x =， 由()sin()2cos())(tan 2)f x x x x πϕπϕπϕθθ=+-+=+-=， 得2k ππϕθπ+-=+，k Z ∈．2k πϕπθ∴=-+，则2222sin cos 2tan 4sin 2sin(22)sin 215k sin cos tan θθθϕππθθθθθ=-+=-=-=-=-++．故答案为：45-．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．AB 是底部B 不可到达的建筑物，A 是建筑物的最高点，为测量建筑物AB 的高度，先把高度为1米的测角仪放置在CD 位置，测得仰角为45︒，再把测角仪放置在EF 位置，测得仰角为75︒，已知2DF =米，D ，F ，B 在同一水平线上，求建筑物AB 的高度．【解答】解：ACE ∆中，sin 45sin(7545)AE CE=︒︒-︒，2sin 45sin 302AE ︒===︒)，1sin 751751AB AH AE =+=︒+=︒+，因为sin 75sin(3045)sin 30cos 45cos30sin 45︒=︒+︒=︒︒+︒︒12==，所以12AB =+=+) 所以建筑物AB的高度为(2+米．（注:sin 75︒=． 18．已知数列{}n a 为等差数列，公差0d ≠，前n 项和为n S ，36a =，且2a ，4a ，8a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1n n b S n=+，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．【解答】解：（1）由题意得：324286a a a a =⎧⎨=⎩，1211126(1)(3)()(7)(2)a d a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩，由（2）式得：222211116987a a d d a a d d ++=++，21d a d =， 因为0d ≠，所以1d a =，代入（1）式求得12d a ==， 所以22(1)2n a n n =+-=． （2）2n S n n =+，211111()222n n b S n n n n n ===-+++， 111111*********()()()()()21322423521122n T n n n n =-+-+-+⋯+-+--++ 1111(1)2212n n =+--++ 3111()4212n n =-+++． 34<． 19．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知sin()sin 03b Cc B π--=．（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若4,a c ==，求ABC ∆的面积． 【解答】（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）sin()sin 03b Cc B π--=，∴1sin (sin )sin sin 02B C C C B -=，∴1sin 02C C +=， ∴sin()03C π+=．(0,)C π∈， ∴23C π=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （Ⅱ）2222cos c a b ab C =+-， 24120b b ∴+-=， 0b >， 2b ∴=，∴11sin 2422S ab C ==⨯⨯=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 20．设函数()sin 1f x x =-的正零点从小到大依次为1x ，2x ，⋯⋯，n x ，⋯⋯，构成数列{}n x ．（1）写出数列{}n x 的通项公式n x ，并求出数列{}n x 的前n 项和n S ； （2）设4n n S a n π=-，求sin n a 的值． 【解答】解：（1）函数()sin 1f x x =-的正零点从小到大依次为1x ，2x ，⋯⋯，n x ，⋯⋯， 2(1)2n x n n π=-+，n N ∈．(2)(4)[2(1)]2222n S n πππππππ=+++++⋯⋯+-+2[123(1)]2n n ππ=+++⋯⋯+-+ (1)2n n n ππ=-+． （2）(1)44n n S a n n πππ=-=-+，当21n k =-，*k N ∈时，sin sin[(22)]sin[2(1)]sin444n a k k πππππ=-+=-+==，当2n k =，*k N ∈时，3sin sin[(21)]sin(2)sin()444n a k k ππππππ=-+=-+=-=． 21．已知函数32()391f x x x x =+-+． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当[4x ∈-，4]时，求函数()f x 的最大值与最小值．【解答】解：（1）22()3693(23)3(3)(1)f x x x x x x x '=+-=+-=+-， 当(,3)x ∈-∞-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当(3,1)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；所以()f x 的递增区间是(,3)-∞-、(1,)+∞；递减区间是(3,1)-．（2）由（1）知，()f x 在区间[4-，3]-，[1，4]上单调递增，在区间[3-，1]上单调递减， 所以()()328f x f =-=极大，()f x f =极小（1）4=-， 又因为(4)21f -=，f （4）77=， 所以()f x 的最大值是77，最小值是4-． 22．设函数()()()x f x m x e m Z =-∈．（1）当0m =时，求函数()f x 在点(1，f （1）)处的切线方程； （2）当0x >时，()3f x x <+恒成立，求整数m 的最大值．【解答】解：（1）当0m =时，()x f x xe =-，()(1)x x x f x e xe x e '=--=-+， 所以k f '=（1）2e =-，因为f （1）e =-，所以切线方程为2(1)y e e x +=--，整理得：20ex y e +-=． （2）()3x m x e x -<+，因为0x e >，所以3(0)xx m x x e +<+>恒成立， 设3()x x h x x e +=+，则2(3)2(2)()11x x x x x x e x e x e x h x e e e -+---+'=+=+=，设()(2)x s x e x =-+，则()10x s x e '=->，所以()s x 在(0,)+∞上单调递增，又3237(1)30,()022s e s e =-<=-=>，所以存在03(1,)2x ∈使得0()0s x =，0(1,)x x ∈时，()0s x <；0(x x ∈，)+∞时，()0s x >，所以()h x 在0(1,)x 上单调递减，0(x ，)+∞上单调递增， 所以00003()()min x x h x h x x e +==+， 又00000()0,20,2x x s x e x e x =--==+， 所以000000000331()()122min x x x h x h x x x x x x e ++==+=+=++++， 当03(1,)2x ∈时，0201()10(2)h x x '=->+，所以0()h x 在3(1,)2上单调递增， 所以03(1)()()2h h x h <<，即0739()314h x <<，因为m Z ∈，所以2m …，所以m 的最大值为2．。

2019年吉林省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={a，4}，B={2，a2}，且A∩B={4}，则A∪B=（）A．{2，4}B．{﹣2，4}C．{﹣2，2，4}D．{﹣4，2，4}2．若复数x满足（3+4i）x=|4+3i|，则x的虚部为（）A．B．﹣4 C．﹣D．43．下列说法中正确的是（）A．命题“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题B．命题“∀x∈（0，+∞），2x＞1”的否定是“∃x°∈（0，+∞），2x°≤1”C．命题“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题是“若a2＜b2，则a＜b”D．设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的必要而不充分条件4．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β，⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥α D．m∥n，n⊥α⇒m⊥α5．执行如图的算法程序框图，输出的结果是（）A．211﹣2 B．211﹣1 C．210﹣2 D．210﹣16．在△ABC中，|+|=|﹣|，AB=4，AC=2，E，F为线段BC 的三等分点，则•=（）A． B．4 C． D．7．如图为某几何体的三视图，则该几何体的内切球的直径为（）A．2 B．1 C．D．48．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且3a1，a3，2a2成等差数列，则等于（）A．3 B．9 C．27 D．819．如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5 A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）B．产品的生产能耗与产量呈正相关C．t的取值必定是3.15D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨10．如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，3）B．（﹣1，1）C．（﹣3，1）D．（﹣3，﹣1）∪（1，3）11．设F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P 是双曲线右支上一点，满足（+）•=0（O为坐标原点），且3||=4||，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．512．已知定义在R上的函数满足：f（x）=，且f（x+2）=f（x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣7，3]上的所有实数根之和为（）A．﹣9 B．﹣10 C．﹣11 D．﹣12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上．13．已知=dx，那么（x2﹣）n的展开式中的常数项为．14．记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是．15．已知等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，其前n项和为S n，若直线y=a1x+m与圆x2+（y﹣1）2=1的两个交点关于直线x+y﹣d=0对称，则数列（）的前100项的和为．16．关于函数f（x）=cosxsin2x，下列说法中正确的是①y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称；②y=f（x）的图象关于直线对称③y=f（x）的最大值是；④f（x）即是奇函数，又是周期函数．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知函数f（x）=sin2wx﹣sin2（wx﹣）（x∈R，w为常数且＜w＜1），函数f（x）的图象关于直线x=π对称．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，f（A）=．求△ABC面积的最大值．18．（12分）微信是现代生活进行信息交流的重要工具，随机对使用微信的60人进行了统计，得到如下数据统计表，每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人”，不超过2两小时的人被定义为“非微信达人”，己知“非微信达人”与“微信达人”人数比恰为3：2．（1）确定x，y，p，q的值，并补全须率分布直方图；（2）为进一步了解使用微信对自己的日不工作和生活是否有影响，从“微信达人”和“非微信达人”60人中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随积选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“微信达人”的人数为X，求X的分布列和数学期望．频数频率使用微信时间（单位：小时）（0，0.5] 3 0.05（0.5，1]x p（1，1.5]9 0.15（1.5，2]15 0.25（2，2.5]18 0.30（2.5，3]y q合计60 1.0019．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AA1的中点，E为BC的中点．（1）求证：直线AE∥平面BDC1；（2）若三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，AB=2，AA1=4，求平面BDC1与平面ABC所成二面角的正弦值．20．（12分）已知三角形ABC中，B（﹣1，0），C（1，0），且|AB|+|AC|=4．（Ⅰ）求动点A的轨迹M的方程；（Ⅱ）P为轨迹M上动点，△PBC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，当P在M上运动时，求的最小值．21．（12分）已知f（x）=x2﹣ax，g（x）=lnx，h（x）=f（x）+g（x）．（1）若h（x）的单调减区间是（，1），求实数a的值；（2）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（3）设h（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，）．若h（x1）﹣h（x2）＞m恒成立，求m的最大值．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在平面直角坐标系中，直线l的方程为x+y+3=0，以直角坐标系中x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆M的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出圆M的直角坐标方程及过点P（2，0）且平行于l的直线l1的参数方程；（Ⅱ）设l1与圆M的两个交点为A，B，求+的值．选修4-5：不等式选讲23．设f（x）=|x﹣a|，a∈R（Ⅰ）当a=5，解不等式f（x）≤3；（Ⅱ）当a=1时，若∃x∈R，使得不等式f（x﹣1）+f（2x）≤1﹣2m 成立，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

第1页，共10页2019年吉林省名校高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合A ={0，1，2，3}，B ={x ∈N |ln x ＜1}，则A ∩B =（ ）A. B. C. 1， D. 1，2，{0,1}{1,2}{0,2}{0,3}2.设复数z满足，则|z |=（ ）z−i 2−i=iA. 1B. C. 3D. 5103.已知双曲线（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ）x 2a 2−y 2b 2=1(2，6)A. 2B. C. 3D. 234.某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：不喜欢喜欢男性青年观众3010女性青年观众3050现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n =（ ）A. 12B. 16C. 24D. 325.在△ABC 中，若点D满足，点E 为AC的中点，则=（ ）⃗BD=3⃗DC ⃗ED A.B.C. D.56⃗AC+13⃗AB14⃗AB+14⃗AC34⃗AC −14⃗AB56⃗AC −13⃗AB6.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B 等于（ ）A. 4B. 13C. 40D. 417.将函数f （x ）=sin x的图象向右平移个单位长度后得到函数y =g （x ）的图象，则函数y =f （x ）g （x ）π4的最大值为（ ）A.B.C. 1D.2+242−24128.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C.D.3433344339.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =1，a （2sin B -cos C ）=c cos A ，点D 是边33BC 的中点，且AD =△ABC 的面积为（ ）132A. B. C. 或 D. 或332323334310.函数f （x ）=x sin2x +cos x 的大致图象有可能是（ ）A. B.C.D.11.已知四棱锥S -ABCD ，SA ⊥平面ABCD ，AB ⊥BC ，∠BCD +∠DAB =π，SA =2，，二面角S -BC -ABC =263的大小为．若四面体SACD 的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）π3A. B. C. D. 42π4π8π16π12.已知函数f （x ）=e x -e -x ，若对任意的x ∈（0，+∞），f （x ）＞mx 恒成立，则m 的取值范围为（ ）A. B. C. D. (−∞,1)(−∞,1](−∞,2)(−∞,2]二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.二项式的展开式中x -2的系数是______．(x−1)514.设x ，y 满足约束条件，则的最大值是______．{x +2y−4≤0，x−y−1≤0，2x +y +1≥0，z =y +2x +315.已知sin10°-m cos10°=2cos140°，则m =______．16.已知A ，B 是抛物线y 2=2px （p ＞0）上任意不同的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P （x 0，0），则x 0的取值范围是______．（用p 表示）三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列{a n }为等差数列，a 7-a 2=10，且a 1，a 6，a 21依次成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n=，数列{bn }的前n 项和为S n ，若S n =，求n 的值．1a n a n +122518.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 是底面ABCD 的中心，E 是线段D 1O 的上一点．（1）若E 为D 1O 的中点，求直线OD 1与平面CDE 所成角的正弦值；（2）能否存在点E 使得平面CDE 上平面CD 1O ，若能，请指出点E 的位置关系，并加以证明；若不能，请说明理由．19.随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活．在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式．某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数y i （单位：人）与时间t i （单位：年）的数据，列表如下：t i12345y i2427416479（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请计算相关系数r 并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若|r |＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式，参考数据．r =∑ni =1(t i −−t )(y i −−y )∑n i =1(t i −−t )2∑n i =1(y i −−y )2=∑ni =1t i y i −n −t −y∑ni =1(t i −−t )2∑ni =1(y i −−y )25695≈75.47（2）某网购专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．方案一：每满600元可减100元；方案二：金额超过600元可抽奖三次，每次中奖的概率都为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打912折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．①两位顾客都购买了1050元的产品，求至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠的概率；②如果你打算购买1000元的产品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．20.顺次连接椭圆（a ＞b ＞0）的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．C ：x 2a 2+y 2b 2=1322（1）求椭圆C 的方程；第3页，共10页（2）A ，B 是椭圆C 上的两个不同点，若直线OA ，OB 的斜率之积为（O 为坐标原点），线段OA−12上有一点M满足，连接BM 并延长椭圆C 于点N ，求的值．|OM||OA|=23|BM||BN|21.已知函数f （x ）=x 2-2x +2a ln x ，若函数f （x ）在定义域上有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2．（1）求实数a 的取值范围；（2）证明：．f(x 1)+f(x 2)+ln2+32＞022.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：（a ＞0，t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴的正半{x =a(1+sint),y =acost 轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：θ=（ρ∈R ）．π6（1）说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（2）若直线C 3的方程为y =-x ，设C 2与C 1的交点为O ，M ，C 3与C 1的交点为O ，N ，若△OMN 的3面积为2，求a 的值．323.已知函数f （x ）=|4x -1|-|x +2|．（1）解不等式f （x ）＜8；（2）若关于x 的不等式f （x ）+5|x +2|＜a 2-8a 的解集不是空集，求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：B={1，2}，A={0，1，2，3}；∴A∩B={1，2}．故选：B．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，对数函数的单调性，交集的运算．2.【答案】D【解析】解：∵复数z满足，∴z-i=2i+1，可得z=3i+1．则|z|==．故选：D．利用复数的运算性质、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由题意可得=，即b=a，即有双曲线的e====2．故选：A．求得双曲线的渐近线方程，结合a，b，c的关系，再由离心率公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由分层抽样的性质得：，解得n=24．故选：C．由分层抽样的性质列方程能求出n的值．本题考查样本单元数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：==+=+（）=，故选：B．由平面向量基本定理及共线向量的运算得：==+=+（）=，得解．本题考查了平面向量基本定理及共线向量的运算，属简单题．6.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得A=1，B=0满足条件A≤4，执行循环体，B=1，A=2满足条件A≤4，执行循环体，B=4，A=3满足条件A≤4，执行循环体，B=13，A=4满足条件A≤4，执行循环体，B=40，A=5此时，不满足条件A≤4，退出循环，输出B的值为40．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量B的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.【答案】A【解析】解：将函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，则g（x）=sin（x-），则y=f（x）g（x）=sinx•sin（x-）=-[cos（2x）-cos]=-cos（2x）+，又-1≤cos（2x）≤1，所以函数y=f（x）g（x）的最大值为，故选：A．由三角函数图象的平移得：g（x）=sin（x-），由积化和差公式得：y=f（x）g（x）=sinx•sin（x-）=-[cos（2x）-cos ]=-cos（2x）+，由三角函数的有界性及最值得：因为-1≤cos（2x）≤1，所以函数y=f（x）g（x）的最大值为，得解．本题考查了三角函数图象的平移、积化和差公式、三角函数的有界性及最值，属中档题．8.【答案】B【解析】解：由几何体的三视图得该几何体是如图所示的三棱锥S-ABC，其中底面△ABC是边长为2的等边三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，∴BO==3，SO==1，∴该几何体的体积为：V===．故选：B．由几何体的三视图得该几何体三棱锥S-ABC，其中底面△ABC是边长为2的等边三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，由此能求出该几何体的体积．本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9.【答案】D【解析】解：∵a（2sinB-cosC）=ccosA，∴2sinAsinB-sinAcosC=sinCcosA，即2sinAsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∵sinB≠0，∴2sinA=，即sinA=，即A=或∵点D是边BC的中点，∴=（+），平方得2=（2+2+2•），即=（b2+c2+2bccosA），即13=1+c2+2ccosA，若A=则c2+c-12=0得c=3或c=-4（舍），此时三角形的面积S=bcsinA==若A=则c2-c-12=0得c=4或c=-3（舍），此时三角形的面积S=bcsinA==，综上三角形的面积为或，故选：D．根据正弦定理先求出A的大小，结合中线的向量公式以及向量数量积的公式进行转化求出c第5页，共10页的值进行求解即可．本题主要考查三角形的面积的计算，结合正弦定理了以及向量的中点公式以及向量数量积的应用是解决本题的关键．10.【答案】A【解析】解：f（-x）=-xsin（-2x）+cos（-x）=xsin2x+cosx=f（x），则函数f（x）是偶函数，排除D，由f（x）=x2sinxcosx+cosx=0，得cosx（2xsinx+1）=0，得cosx=0，此时x=或，由2xsinx+1=0得sinx=-，作出函数y=sinx和y=-，在（0，2π）内的图象，由图象知两个函数此时有两个不同的交点，综上f（x）在（0，2π）有四个零点，排除B，C，故选：A．判断函数的奇偶性，判断函数零点个数进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性以及函数零点个数进行排除是解决本题的关键．11.【答案】C【解析】解：如下图所示，由于AB⊥BC，∠BCD+∠BAD=π，所以，，则A、B、C、D四点共圆．∵SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥SA．又BC⊥AB，且SA∩AB=A，∴BC⊥平面SAB，∵SB⊂平面SAB，∴BC⊥SB，则二面角S-BC-A的平面角为∠ABS，即．在Rt△ABS中，．所以，直角△ABC的外接圆直径为，即四边形ABCD的外接圆直径为AC=2．∵SA⊥平面ABCD，所以，四棱锥S-ABCD的外接球直径为，因此，该球的表面积为4πR2=π×（2R）2=8π．故选：C．先利用四边形ABCD的对角互补可得知A、B、C、D四点共圆，先证明BC⊥平面SAB，得出二面角S-BC-A的平面角为，可计算出AB，再利用勾股定理可得出四边形ABCD外接圆的直径AC ，然后利用公式计算出外接球的半径R，最后利用球体表面积公式可得出的答案．本题考查球体表面积的计算，考查二面角的定义，同时也考查了直线与平面垂直的判定，考查推理能力与计算能力，属于中等题．12.【答案】D【解析】解：令g（x）=e x-e-x-mx，x∈（0，+∞），则g′（x）=e x+e-x-m，x∈（0，+∞），易得函数y=e x+e-x＞2在x∈（0，+∞）恒成立，故当m≤2时，g′（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立，故g（x）在（0，+∞）递增，又g（0）=0，故f（x）＜mx恒成立，当m＞2时，∵g′（x）在x∈（0，+∞）递增，故存在x0∈（0，+∞）恒成立，使得g′（x0）=0，故g（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，又g（0）=0，则g（x0）＜0，这与g（x）＞0恒成立矛盾，故m≤2，即m的范围是（-∞，2]，故选：D．求出函数的导数，通过讨论m的范围，结合函数的单调性确定m的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．13.【答案】-10【解析】解：二项式的展开式中通项公式：T r+1==（-1）r．令-=-2，解得r=3．x-2的系数=-=-10．故答案为：-10．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】5【解析】解：x，y满足约束条件，满足的可行域如图：则的几何意义是可行域内的点与（-3，-2）连线的斜率，经过A时，目标函数取得最大值．由，可得A（-2，3），则的最大值是：=5．故答案为：5．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．本题考查线性规划的简单应用，画出可行域，判断目标函数的最值是解题的关键．15.【答案】3【解析】解：由题意可得m=====，故答案为：．把已知等式变形，可得m==，化40°=30°+10°，展开两角差的余弦即可．本题主要考查三角恒等变换，属于中档题．16.【答案】（p，+∞）【解析】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0），∴AB不平行于y轴．即x1≠x2，则|PA|=|PB|则=；整理得（x1-x2）（x1+x2-2x0）=y22-y12，∵A，B是抛物线上的两个点，∴y12=2py1，y22=2py2，代入上式得x0=p+，∵x1≥0，x2≥0，x1≠x2，∴x1+x2＞0，则得x0=p+＞p，第7页，共10页即x 0的取值范围是（p ，+∞），故答案为：（p ，+∞）．设出A ，B 坐标，结合线段AB 垂直平分线的性质建立|PA|=|PB|，利用点在抛物线上利用消参法进行转化求解即可本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用，利用垂直平分线的性质以及消参法是解决本题的关键．17.【答案】解：（1）设数列{a n }为公差为d 的等差数列，a 7-a 2=10，即5d =10，即d =2，a 1，a 6，a 21依次成等比数列，可得a 62=a 1a 21，即（a 1+10）2=a 1（a 1+40），解得a 1=5，则a n =5+2（n -1）=2n +3；（2）b n===（-），1a n a n +11(2n +3)(2n +5)1212n +312n +5即有前n 项和为S n =（-+-+…+-）121517171912n +312n +5=（-）=，121512n +5n5(2n +5)由S n =，可得5n =4n +10，225解得n =10．【解析】（1）设等差数列的公差为d ，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得b n ===（-），运用裂项相消求和可得S n ，解方程可得n ．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）不妨设正方体的棱长为2，以DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，则D （0，0，0），D 1（0，0，2），C （0，2，0），O （1，1，0）．因为点E 是D 1O 的中点，所以点E 的坐标为．(12，12，1)所以，，．⃗OD 1=(−1，−1，2)⃗DE=(12，12，1)⃗DC=(0，2，0)设是平面CDE 的法向量，则即，⃗p=(x ，y ，z){⃗p ⋅⃗DE =0，⃗p ⋅⃗DC=0，{12x +12y +z =0，2y =0.取x =2，则z =-1，所以平面CDE 的一个法向量为．⃗p =(2，0，−1)所以．cos〈⃗OD 1，⃗p〉=⃗OD 1⋅⃗p |⃗OD 1||⃗p|=−1×2+2×(−1)(−1)2+(−1)2+22⋅22+(−1)2=−23015所以直线OD 1与平面CDE 所成角的正弦值为．23015（2）假设存在点E 使得平面CDE ⊥平面CD 1O ，设．⃗D 1E=λ⃗EO 显然，．⃗OC=(−1，1，0)⃗OD 1=(−1，−1，2)设是平面CD 1O 的法向量，则，即．⃗m=(x ，y ，z){⃗m ⋅⃗OC=0，⃗m ⋅⃗OD 1=0，{−x +y =0,−x−y +2z =0,取x =1，则y =1，z =1，所以平面CD 1O 的一个法向量为．⃗m =(1，1，1)因为，所以点E 的坐标为．⃗D 1E =λ⃗EO (λλ+1，λλ+1，2λ+1)所以，．⃗DE=(λλ+1，λλ+1，2λ+1)⃗DC=(0，2，0)设是平面CDE 的法向量，则即．⃗n=(x ，y ，z){⃗n ⋅⃗DE =0，⃗n ⋅⃗DC=0，{λλ+1x +λλ+1y +2λ+1z =0，2y =0.取x =1，则，所以平面CDE 的一个法向量为．z =−λ2⃗n=(1，0，−λ2)因为平面CDE ⊥平面CD 1O ，所以，即，，解得λ=2．⃗m⊥⃗n ⃗m ⋅⃗n=01−λ2=0所以λ的值为2．即当时，平面CDE ⊥平面CD 1O ．|⃗D 1E ||⃗EO|=2【解析】（1）设正方体的棱长为2，以DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，利用向量法能求出直线OD 1与平面CDE 所成角的正弦值．（2）假设存在点E 使得平面CDE ⊥平面CD 1O ，设．求出平面CD 1O 的法向量，平面第9页，共10页CD 1O 的一个法向量，利用向量法能求出结果．本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足面面垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）由题知，，，，−t =3−y =47∑5i =1t i y i =852∑n i =1(t i −−t )2=10，∑n i =1(y i −−y )2=2278则=．r =∑ni =1(t i −−t )(y i −−y )∑ni =1(t i −−t )∑n i =1(y i −−y )2=∑ni =1t i y i −n −t −y∑ni =1(t i −−t )∑ni =1(y i −−y )214722780=14725695≈147150.94≈0.97＞0.75故y 与t 的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合．（2）①选择方案二比方案一更优惠则需要至少中奖一次，设顾客没有中奖为事件A ，则，P(A)=C 03(12)3=18故所求概率为．P =1−P(A)P(A)=6364②若选择方案一，则需付款1000-100=900（元），若选择方案二，设付款X 元，则X 可能取值为700，800，900，1000.；P(X =700)=C 33(12)3=18；；．P(X =800)=C 23(12)2×12=38P(X =900)=C 13×12×(12)2=38P(X =1000)=C 03(12)3=18所以（元），E(X)=700×18+800×38+900×38+1000×18=850因为850＜900，所以选择方案二更划算．【解析】（1）利用公式求得相关系数r≈0.97＞0.75，说明可用线性回归模型拟合；（2）①至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠等价于顾客需要至少中奖一次； ②分别求出两种方案中顾客付款金额的数学期望，比较期望的大小可作出选择．本题考查了线性回归方程，属中档题．20.【答案】解：（1）由题可知，a 2+b 2=3，2ab =22解得，b =1．a =2所以椭圆C的方程为；x 22+y 2=1（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），．N （x 3，y 3），|BM||BN|=λ∵，∴，⃗OM =23⃗OA M(23x 1，23y 1)∴，．⃗BM=(23x 1−x 2，23y 1−y 2)⃗BN=(x 3−x 2，y 3−y 2)又∵，∴，⃗BM =λ⃗BN (23x 1−x 2，23y 1−y 2)=λ(x 3−x 2，y 3−y 2)即，．x 3=23λx 1+λ−1λx 2y 3=23λy 1+λ−1λy 2∵点N （x 3，y 3）在椭圆C 上，∴，(2x 1+λ−1x 2)22+(23λy 1+λ−1λy 2)2=1即．（*）49λ2(x 212+y 21)+(λ−1)2λ2(x 222+y 22)+4(λ−1)3λ2(x 1x 22+y 1y 2)=1∵A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在椭圆C 上，∴，①，②x 212+y 21=1x 222+y 22=1又直线OA ，OB斜率之积为，∴，即，③−12y 1y 2x 1x 2=−12x 1x 22+y 1y 2=0将①②③代入（*）得，解得．49λ2+(λ−1)2λ2=1λ=1318【解析】（1）由菱形的面积公式可得2ab=2，由勾股定理可得a 2+b 2=3，解方程即可得到所求椭圆方程；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），．N （x 3，y 3），由向量的坐标表示和点满足椭圆方程，结合直线的斜率公式，化简变形，即可得到所求值．本题考查椭圆方程的求法，注意运用菱形的面积求法，考查点满足椭圆方程，以及化简变形能力，推理能力，属于难题．21.【答案】（1）解：因为函数f （x ）在定义域（0，+∞）上有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，所以在（0，+∞）上有两个根x 1，x 2，且x 1＜x 2，f′(x)=2x−2+2a x=0即x 2-x +a =0在（0，+∞）上有两个不相等的根x 1，x 2．所以{△=1−4a >0,a >0,解得．0＜a ＜14（2）证明：由题可知x 1，x 2（0＜x 1＜x 2）是方程x 2-x +a =0的两个不等的实根，所以其中．{x 1+x 2=1,x 1x 2=a,0＜a ＜14故f(x 1)+f(x 2)=x 21−2x 1+2alnx 1+x 22−2x 2+2alnx 2=（x 1+x 2）2-2x 1x 2-2（x 1+x 2）+2a ln （x 1x 2）=2a lna-2a -1，令g （a ）=2a lna-2a -1，其中．故g '（a ）=21na ＜0，0＜a ＜14所以g （a ）在上单调递减，则，(0，14)g(a)＞g(14)=−ln2−32即．f(x 1)+f(x 2)+ln2+32＞0【解析】（1）求出函数的导数，结合二次函数的性质确定a 的范围即可；（2）结合二次函数的性质，求出f （x 1）+f （x 2）的解析式，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道综合题．22.【答案】解：（1）曲线C 1：（a ＞0，t 为参数）．{x =a(1+sint),y =acost 转换为直角坐标方程为：（x -a ）2+y 2=a 2，该曲线为以（a ，0）为圆心a 为半径的圆．圆的极坐标方程为ρ=2a cosθ．（2）直线C 3的方程为y =-x ，3转换为极坐标方程为：．θ=5π3将代入ρ=2cosθ，θ=π6，θ=5π3解得：，ρ1=3a ，ρ2=a 则：=，S △OMN =12⋅3a ⋅a ⋅sin(π6+π3)23解得：a =2．【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程进行转换．（2）利用极径建立方程组，进一步利用三角形的面积建立等量关系，求出参数的值．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，三角函数关系式的恒等变变换，直线方程的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．属于基础题型．23.【答案】解：（1）由题意可得f （x ）=，{−3x +3，x ≤−2−5x−1，−2＜x ＜143x−3，x ≥14当x ≤-2时，-3x +3＜8，得，无解；x ＞−53当时，-5x -1＜8，得，即；−2＜x ＜14x ＞−95−95＜x ＜14当时，3x -3＜8，得，即．x ≥14x ＜11314≤x ＜113所以不等式的解集为．{x|−95＜x ＜113}（2）f （x ）+5|x +2|=|4x -1|+|4x +8|≥9，则由题可得a 2-8a ＞9，解得a ＜-1或a ＞9．【解析】（1）求出f （x ）的分段函数的形式，解各个区间上的不等式的解集，取并集即可； （2）求出f （x ）+5|x+2|的最小值，得到关于a 的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。

2019届吉林省长春市普通高中高三质量监测（一）理科数学试题★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将答题卡依序排列上交。

8、本科目考试结束后，请将试卷自行保管，以供教师讲评分析试卷使用。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数A. B. C. D.【答案】C2.已知集合，则满足条件的集合的个数为A. B. C. D.【答案】D3.函数的最大值为，A. B. C. D.【答案】A4.下列函数中是偶函数，且在区间上是减函数的是A. B. C. D.【答案】B5.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为A. B. C. D.【答案】C6.已知等差数列中，为其前项的和，，，则A. B. C. D.【答案】C7.在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为A. B. C. D.【答案】D8.要将甲、乙、丙、丁4名同学分到、、三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到班的分法种数为，A. B. C. D.【答案】B9.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为，以下结论中不正确的为A. 15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B. 15名志愿者身高和臂展成正相关关系，C. 可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米，D. 身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米，【答案】D10.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一头五升（注：一斗为十升）.问,米几何？”如图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的(单位:升)，则输入的值为，A. B. C. D.【答案】D11.已知双曲线的两个顶点分别为、，点为双曲线上除、外任意一点，且点与点、连线的斜率分别为、，若，则双曲线的渐进线方程为，A. B. C. D.【答案】C12.已知函数是定义在上的函数，且满足，其中为的导数，设，，，则、、的大小关系是A. B. C. D.【答案】A二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.________.【答案】14.若椭圆的方程为，则其离心率为____________.【答案】15.各项均为正数的等比数列的前项和为，已知，,则_____.【答案】1016.已知所有棱长都相等的三棱锥的各个顶点同在一个半径为的球面上，则该三棱锥的表面积为___________.【答案】三、解答题：共70份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23选考题，考生根据要求作答.17.在中，内角、、的对边分别为、、，已知.(1)求角；(2)若,求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先由正弦定理得到，再由三角形内角和的关系得到角A的正弦值，进而得到角A的大小；（2）由向量点积运算得到，再由余弦定理得到，再由重要不等式得到结果.【详解】（1）∵△ABC中，b﹣acosC=，∴由正弦定理知，sinB﹣sinAcosC=sinC，∵A+B+C=π，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC﹣sinAcosC=sinC，∴cosAsinC=sinC，∴cosA=，∴A=．（2）由（1）及得，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为.【点睛】解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题;注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等;正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.18.在四棱锥中,平面平面，,四边形是边长为的菱形，,是的中点.(1)求证:平面；(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)连接，根据几何关系得到,由平面平面，可得平面，进而得到,再由三角形ABE的角度及边长关系得到，进而得到结果;(2)建立空间坐标系得到面的法向量为，面的一个法向量为，根据向量夹角运算可得结果【详解】（1）连接，由，是的中点，得，由平面平面，可得平面，，又由于四边形是边长为2的菱形，，所以，从而平面.（2）以为原点，为轴，建立空间直角坐标系，，，有，，令平面的法向量为，由，可得一个，同理可得平面的一个法向量为，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了面面垂直的证法，以及二面角的求法，证明面面垂直经常先证线面垂直，再得面面垂直，或者建立坐标系，求得两个面的法向量，证明法向量公线即可.19.平面直角坐标系中，为坐标原点，已知抛物线的方程为.(1)过抛物线的焦点且与轴垂直的直线交曲线于、两点，经过曲线上任意一点作轴的垂线，垂足为.求证:；(2)过点的直线与抛物线交于、两点且，.求抛物线的方程.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）设再根据点Q在抛物线上可得到结果；（2）联立直线和抛物线得到，设，有，根据韦达定理得到结果.【详解】（1）设，从而.（2）由条件可知，，联立直线和抛物线，有，有，设，由有，有，由韦达定理可求得，所以抛物线.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．20.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量(单位:瓶)的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为(单位:元)，当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时？的数学期望达到最大值？【答案】（1）见解析；（2）n =300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元. 【解析】 【分析】（1）由题意知X 的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列；（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，只需考虑200≤n≤500，根据300≤n≤500和200≤n≤300分类讨论经，能得到当n=300时，EY 最大值为520元．【详解】（1）由题意知，所有可能取值为200,300,500，由表格数据知，，.因此的分布列为（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑 .当时，若最高气温不低于25，则；若最高气温位于区间，则；若最高气温低于20，则；因此.当时，若最高气温不低于20，则；若最高气温低于20，则；因此.所以n =300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.21.已知函数.（1）当且时，试判断函数的单调性；（2）若且，求证：函数在上的最小值小于；（3）若在单调函数，求的最小值.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析. 【解析】 【分析】 （1）先求导得，再构造函数，再求导，根据函数的最值即可判断;（2）等价于当x∈[1，+∞）时，f（x）min=f（t）=e t（1﹣t）+t2．构造函数h（x）=e x（1﹣x）+x2，x＞1，求出函数的最值即可证明;（3）等价于f′（x）=e x﹣bx+a≥0，构造函数m（x）=e x﹣bx+a，求导，分类讨论，求出函数的最值即可．【详解】（1）由题可得，设，则，所以当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，所以，因为，所以，即，所以函数在上单调递増.（2）由（1）知在上单调递増，因为，所以，所以存在，使得，即，即，所以函数在上单调递减，在上单调递増，所以当时，.令，则恒成立，所以函数在上单调递减，所以，所以，即当时，故函数在上的最小值小于.（3），由为上的单调函数，可知一定为单调增函数因此，令，当时，；当时，，在上为增函数时,与矛盾当时,当时,，令，则当时,,的最小值为.【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）22.已知直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）若直线与圆相交于、两点，且，求的值.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】(1)根据极坐标和直角坐标的互化公式得到结果；（2）联立直线和圆得到，根据弦长公式得到，根据韦达定理得到结果.【详解】（1）圆C的直角坐标方程为.（2）将直线的参数方程代入到圆C的直角坐标方程中，有，由，代入韦达定理得到：得，所以或.【点睛】这个题目考查了极坐标方程化为普通方程的方法，考查了直线参数中t的几何意义，一般t的绝对值表示方程中的定点到动点的距离，故，，均可用t来表示，从而转化为韦达定理来解决.23.已知，，.(1)求证：；(2)求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据重要不等式得到进而得到结果；（2）根据均值不等式得到结果.【详解】（1）根据重要不等式得到：.（2），等号成立的条件为：故.【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.。

2019年吉林省名校高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合A={0，1，2，3}，B={x∈N|ln x＜1}，则A∩B=（）A. B. C. 1， D. 1，2，2.设复数z满足，则|z|=（）A. 1B.C. 3D.3.已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点，，则该双曲线的离心率为（）A. 2B.C. 3D.4.某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n=（）A. 12B. 16C. 24D. 325.在△ABC中，若点D满足，点E为AC的中点，则=（）A. B. C. D.6.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于（）A. 4B. 13C. 40D. 417.将函数f（x）=sin x的图象向右平移个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，则函数y=f（x）g（x）的最大值为（）A. B. C. 1 D.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=1，a（2sin B-cos C）=c cos A，点D是边BC的中点，且AD=，则△ABC的面积为（）A. B. C. 或 D. 或10.函数f（x）=x sin2x+cos x的大致图象有可能是（）A.B.C.D.11.已知四棱锥S-ABCD，SA⊥平面ABCD，AB⊥BC，∠BCD+∠DAB=π，SA=2，，二面角S-BC-A的大小为．若四面体SACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=e x-e-x，若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＞mx恒成立，则m的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.二项式的展开式中x-2的系数是______．14.设x，y满足约束条件，，，，则的最大值是______．15.已知sin10°-m cos10°=2cos140°，则m=______．16.已知A，B是抛物线y2=2px（p＞0）上任意不同的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0），则x0的取值范围是______．（用p表示）三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知数列{a n}为等差数列，a7-a2=10，且a1，a6，a21依次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为S n，若S n=，求n的值．18.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，E是线段D1O的上一点．（1）若E为D1O的中点，求直线OD1与平面CDE所成角的正弦值；（2）能否存在点E使得平面CDE上平面CD1O，若能，请指出点E的位置关系，并加以证明；若不能，请说明理由．19.随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活．在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式．某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数y i（单位：人）与时间t i（单位：年）的数据，列表如下：（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系，请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）附：相关系数公式，参考数据．（2）某网购专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．方案一：每满600元可减100元；方案二：金额超过600元可抽奖三次，每次中奖的概率都为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．①两位顾客都购买了1050元的产品，求至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠的概率；②如果你打算购买1000元的产品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．20.顺次连接椭圆：（a＞b＞0）的四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形．（1）求椭圆C的方程；（2）A，B是椭圆C上的两个不同点，若直线OA，OB的斜率之积为（O为坐标原点），线段OA上有一点M 满足，连接BM并延长椭圆C于点N，求的值．21.已知函数f（x）=x2-2x+2a ln x，若函数f（x）在定义域上有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（1）求实数a的取值范围；（2）证明：＞．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1：（a＞0，t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：θ=（ρ∈R）．（1）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（2）若直线C3的方程为y=-x，设C2与C1的交点为O，M，C3与C1的交点为O，N，若△OMN的面积为2，求a的值．23.已知函数f（x）=|4x-1|-|x+2|．（1）解不等式f（x）＜8；（2）若关于x的不等式f（x）+5|x+2|＜a2-8a的解集不是空集，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：B={1，2}，A={0，1，2，3}；∴A∩B={1，2}．故选：B．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，对数函数的单调性，交集的运算．2.【答案】D【解析】解：∵复数z满足，∴z-i=2i+1，可得z=3i+1．则|z|==．故选：D．利用复数的运算性质、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由题意可得=，即b=a，即有双曲线的e====2．故选：A．求得双曲线的渐近线方程，结合a，b，c的关系，再由离心率公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由分层抽样的性质得：，解得n=24．故选：C．由分层抽样的性质列方程能求出n的值．本题考查样本单元数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：==+=+（）=，故选：B．由平面向量基本定理及共线向量的运算得：==+=+（）=，得解．本题考查了平面向量基本定理及共线向量的运算，属简单题．6.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得A=1，B=0满足条件A≤4，执行循环体，B=1，A=2满足条件A≤4，执行循环体，B=4，A=3满足条件A≤4，执行循环体，B=13，A=4满足条件A≤4，执行循环体，B=40，A=5此时，不满足条件A≤4，退出循环，输出B的值为40．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量B的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.【答案】A【解析】解：将函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位长度后得到函数y=g（x）的图象，则g（x）=sin（x-），则y=f（x）g（x）=sinx•sin（x-）=-[cos（2x）-cos ]=-cos（2x）+，又-1≤cos（2x）≤1，所以函数y=f（x）g（x）的最大值为，故选：A．由三角函数图象的平移得：g（x）=sin（x-），由积化和差公式得：y=f（x）g（x）=sinx•sin（x-）=-[cos（2x）-cos ]=-cos（2x）+，由三角函数的有界性及最值得：因为-1≤cos（2x）≤1，所以函数y=f（x）g（x）的最大值为，得解．本题考查了三角函数图象的平移、积化和差公式、三角函数的有界性及最值，属中档题．8.【答案】B【解析】解：由几何体的三视图得该几何体是如图所示的三棱锥S-ABC，其中底面△ABC是边长为2的等边三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，∴BO==3，SO==1，∴该几何体的体积为：V===．故选：B．由几何体的三视图得该几何体三棱锥S-ABC，其中底面△ABC是边长为2的等边三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，由此能求出该几何体的体积．本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图、空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．9.【答案】D【解析】解：∵a（2sinB-cosC）=ccosA，∴2sinAsinB-sinAcosC=sinCcosA，即2sinAsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∵sinB≠0，∴2sinA=，即sinA=，即A=或∵点D是边BC的中点，∴=（+），平方得2=（2+2+2•），即=（b2+c2+2bccosA），即13=1+c2+2ccosA，若A=则c2+c-12=0得c=3或c=-4（舍），此时三角形的面积S=bcsinA==若A=则c2-c-12=0得c=4或c=-3（舍），此时三角形的面积S=bcsinA==，综上三角形的面积为或，故选：D．根据正弦定理先求出A的大小，结合中线的向量公式以及向量数量积的公式进行转化求出c的值进行求解即可．本题主要考查三角形的面积的计算，结合正弦定理了以及向量的中点公式以及向量数量积的应用是解决本题的关键．10.【答案】A【解析】解：f（-x）=-xsin（-2x）+cos（-x）=xsin2x+cosx=f（x），则函数f（x）是偶函数，排除D，由f（x）=x2sinxcosx+cosx=0，得cosx（2xsinx+1）=0，得cosx=0，此时x=或，由2xsinx+1=0得sinx=-，作出函数y=sinx和y=-，在（0，2π）内的图象，由图象知两个函数此时有两个不同的交点，综上f（x）在（0，2π）有四个零点，排除B，C，故选：A．判断函数的奇偶性，判断函数零点个数进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性以及函数零点个数进行排除是解决本题的关键．11.【答案】C【解析】解：如下图所示，由于AB⊥BC，∠BCD+∠BAD=π，所以，，则A、B、C、D四点共圆．∵SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥SA．又BC⊥AB，且SA∩AB=A，∴BC⊥平面SAB，∵SB⊂平面SAB，∴BC⊥SB，则二面角S-BC-A的平面角为∠ABS，即．在Rt△ABS中，．所以，直角△ABC的外接圆直径为，即四边形ABCD的外接圆直径为AC=2．∵SA⊥平面ABCD，所以，四棱锥S-ABCD的外接球直径为，因此，该球的表面积为4πR2=π×（2R）2=8π．故选：C．先利用四边形ABCD的对角互补可得知A、B、C、D四点共圆，先证明BC⊥平面SAB，得出二面角S-BC-A 的平面角为，可计算出AB，再利用勾股定理可得出四边形ABCD外接圆的直径AC，然后利用公式计算出外接球的半径R，最后利用球体表面积公式可得出的答案．本题考查球体表面积的计算，考查二面角的定义，同时也考查了直线与平面垂直的判定，考查推理能力与计算能力，属于中等题．12.【答案】D【解析】解：令g（x）=e x-e-x-mx，x∈（0，+∞），则g′（x）=e x+e-x-m，x∈（0，+∞），易得函数y=e x+e-x＞2在x∈（0，+∞）恒成立，故当m≤2时，g′（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立，故g（x）在（0，+∞）递增，又g（0）=0，故f（x）＜mx恒成立，当m＞2时，∵g′（x）在x∈（0，+∞）递增，故存在x0∈（0，+∞）恒成立，使得g′（x0）=0，故g（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，又g（0）=0，则g（x0）＜0，这与g（x）＞0恒成立矛盾，故m≤2，即m的范围是（-∞，2]，故选：D．求出函数的导数，通过讨论m的范围，结合函数的单调性确定m的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．13.【答案】-10【解析】解：二项式的展开式中通项公式：T r+1==（-1）r．令-=-2，解得r=3．x-2的系数=-=-10．故答案为：-10．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】5【解析】解：x，y满足约束条件，满足的可行域如图：则的几何意义是可行域内的点与（-3，-2）连线的斜率，经过A时，目标函数取得最大值．由，可得A（-2，3），则的最大值是：=5．故答案为：5．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．本题考查线性规划的简单应用，画出可行域，判断目标函数的最值是解题的关键．15.【答案】【解析】解：由题意可得m=====，故答案为：．把已知等式变形，可得m==，化40°=30°+10°，展开两角差的余弦即可．本题主要考查三角恒等变换，属于中档题．16.【答案】（p，+∞）【解析】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0），∴AB不平行于y轴．即x1≠x2，则|PA|=|PB|则=；整理得（x1-x2）（x1+x2-2x0）=y22-y12，∵A，B是抛物线上的两个点，∴y12=2py1，y22=2py2，代入上式得x0=p+，∵x1≥0，x2≥0，x1≠x2，∴x1+x2＞0，则得x0=p+＞p，即x0的取值范围是（p，+∞），故答案为：（p，+∞）．设出A，B坐标，结合线段AB垂直平分线的性质建立|PA|=|PB|，利用点在抛物线上利用消参法进行转化求解即可本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用，利用垂直平分线的性质以及消参法是解决本题的关键．17.【答案】解：（1）设数列{a n}为公差为d的等差数列，a7-a2=10，即5d=10，即d=2，a1，a6，a21依次成等比数列，可得a62=a1a21，即（a1+10）2=a1（a1+40），解得a1=5，则a n=5+2（n-1）=2n+3；（2）b n===（-），即有前n项和为S n=（-+-+…+-）=（-）=，由S n=，可得5n=4n+10，解得n=10．【解析】（1）设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得b n ===（-），运用裂项相消求和可得S n，解方程可得n．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）不妨设正方体的棱长为2，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则D（0，0，0），D1（0，0，2），C（0，2，0），O（1，1，0）．因为点E是D1O的中点，所以点E的坐标为，，．所以，，，，，，，，．设，，是平面CDE的法向量，则，，即，，取x=2，则z=-1，所以平面CDE的一个法向量为，，．所以，．所以直线OD1与平面CDE所成角的正弦值为．（2）假设存在点E使得平面CDE⊥平面CD1O，设．显然，，，，，．设，，是平面CD1O的法向量，则，，，即．取x=1，则y=1，z=1，所以平面CD1O的一个法向量为，，．因为，所以点E的坐标为，，．所以，，，，，．设，，是平面CDE的法向量，则，，即，．取x=1，则，所以平面CDE的一个法向量为，，．因为平面CDE⊥平面CD1O，所以⊥，即，，解得λ=2．所以λ的值为2．即当时，平面CDE⊥平面CD1O．【解析】（1）设正方体的棱长为2，以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出直线OD1与平面CDE所成角的正弦值．（2）假设存在点E使得平面CDE⊥平面CD1O，设．求出平面CD1O的法向量，平面CD1O的一个法向量，利用向量法能求出结果．本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足面面垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.【答案】解：（1）由题知，，，，，则=＞．故y与t的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合．（2）①选择方案二比方案一更优惠则需要至少中奖一次，设顾客没有中奖为事件A，则，故所求概率为．②若选择方案一，则需付款1000-100=900（元），若选择方案二，设付款X元，则X可能取值为700，800，900，1000.；；；．所以（元），因为850＜900，所以选择方案二更划算．【解析】（1）利用公式求得相关系数r≈0.97＞0.75，说明可用线性回归模型拟合；（2）①至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠等价于顾客需要至少中奖一次；②分别求出两种方案中顾客付款金额的数学期望，比较期望的大小可作出选择．本题考查了线性回归方程，属中档题．20.【答案】解：（1）由题可知，a2+b2=3，解得，b=1．所以椭圆C的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），．N（x3，y3），∵，∴，，∴，，，．又∵，∴，，，即，．∵点N（x3，y3）在椭圆C上，∴，即．（*）∵A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆C上，∴，①，②又直线OA，OB斜率之积为，∴，即，③将①②③代入（*）得，解得．【解析】（1）由菱形的面积公式可得2ab=2，由勾股定理可得a2+b2=3，解方程即可得到所求椭圆方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），．N（x3，y3），由向量的坐标表示和点满足椭圆方程，结合直线的斜率公式，化简变形，即可得到所求值．本题考查椭圆方程的求法，注意运用菱形的面积求法，考查点满足椭圆方程，以及化简变形能力，推理能力，属于难题．21.【答案】（1）解：因为函数f（x）在定义域（0，+∞）上有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，所以在（0，+∞）上有两个根x1，x2，且x1＜x2，即x2-x+a=0在（0，+∞）上有两个不相等的根x1，x2．所以△解得＜＜．（2）证明：由题可知x1，x2（0＜x1＜x2）是方程x2-x+a=0的两个不等的实根，所以其中＜＜．故=（x1+x2）2-2x1x2-2（x1+x2）+2a ln（x1x2）=2a lna-2a-1，令g（a）=2a lna-2a-1，其中＜＜．故g'（a）=21na＜0，所以g（a）在，上单调递减，则＞，即＞．【解析】（1）求出函数的导数，结合二次函数的性质确定a的范围即可；（2）结合二次函数的性质，求出f（x1）+f（x2）的解析式，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道综合题．22.【答案】解：（1）曲线C1：（a＞0，t为参数）．转换为直角坐标方程为：（x-a）2+y2=a2，该曲线为以（a，0）为圆心a为半径的圆．圆的极坐标方程为ρ=2a cosθ．（2）直线C3的方程为y=-x，转换为极坐标方程为：．将，代入ρ=2cosθ，解得：，，则：△ =，解得：a=2．【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程进行转换．（2）利用极径建立方程组，进一步利用三角形的面积建立等量关系，求出参数的值．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，三角函数关系式的恒等变变换，直线方程的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．属于基础题型．23.【答案】解：（1）由题意可得f（x）=，，＜＜，，当x≤-2时，-3x+3＜8，得＞，无解；当＜＜时，-5x-1＜8，得＞，即＜＜；当时，3x-3＜8，得＜，即＜．所以不等式的解集为＜＜．（2）f（x）+5|x+2|=|4x-1|+|4x+8|≥9，则由题可得a2-8a＞9，解得a＜-1或a＞9．【解析】（1）求出f（x）的分段函数的形式，解各个区间上的不等式的解集，取并集即可；（2）求出f（x）+5|x+2|的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。

吉林吉林2019高三上年末考试--数学（理）数学(理科)本试卷分第一卷(选择题)和第二卷〔非选择题〕两部分，共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟.本卷须知1、答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名填写在答题卡上；2、答案请使用0.5毫米的黑色中性〔签字〕笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚；3、请按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 参考公式：样本数据n x x x ,21，的标准差 锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x ns n -++-+-=Sh V 31=， 其中x为样本的平均数 其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式Sh V = 24RS π=，334R V π= 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 表示球的半径第一卷【一】选择题：本大题共12题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1、集合}1{>=x x A ，那么（R A N ）的子集有A.1个B.2个C.4个D.8个2、α是第四象限角，且53sin -=α，那么=αtanA.43B.43-C.34D.34- 3、以下函数中，在区间〔0,1〕上为增函数的是A.xy 21log = B.xy 1=C.x y sin =D.x x y -=24、圆0622=-+x y x 过点〔4,2〕的最短弦所在直线的斜率为A.2B.- 2C.21D.1- 5、一个正方体的展开图如下图，A 、B 、C 、D 为原正方体的 顶点，那么在原来的正方体中A.CD AB //B. AB 与CD 相交C.CD AB ⊥D. AB 与CD 所成的角为 606、某地区教育主管部门为了对该地区模拟考 试成绩进行分析，抽取了总成绩介于350 分到650分之间的10000名学生成绩，并 根据这10000名学生的总成绩画了样本的 频率分布直方图〔如右图〕、为了进一步 分析学生的总成绩与各科成绩等方面的关系，要从这10000名学生中，再用分层抽样方法抽出200人作进一步调查，那么总成绩在［400，500〕内共抽出A. 100 人B. 90人C. 65人D. 50人 7、执行如下图的程序框图，输出的M 的值为A.17B.53C.161D.4858、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意R ∈x都有)4()(+=x f x f ，当），（20∈x 时，x x f 2)(=， 那么)2011()2012(f f -的值为 A.2 B.2-C.21D.21- 9、为了得到函数21cos sin 3cos 2--=x x x y 的图象，只需将函数x y 2cos =的图象A.向左平移6π个长度单位B.向右平移6π个长度单位C.向左平移3π个长度单位D.向右平移3π个长度单位10、函数)0(2)(23>+++=a x ax x x f 的极大值点和极小值点都在区间），（11-内， 那么实数a 的取值范围是A 、〔0，2]B 、〔0，2〕C. [3，2〕D.），（23①函数x y -=10和函数x y 10=的图象关于x 轴对称； ②所有幂函数的图象都经过点〔1，1〕；③曲线2x y =与x y =2所围成的图形的面积是31；④假设}{n a 是首项大于零．．．．．的等比数列，那么“21a a <”是“数列}{n a 是递增数列”的充要条件.其中真命题的个数有A.1B.2C.3D.412、过抛物线x y 4C 2=：的焦点F 的直线l 交抛物线C 于Q P 、两点，假设点P 关于x 轴对称的点为M ，那么直线QM 的方程可能为 A.0323=++y x B.0653=+-y xC.0432=++y xD.012=+-y x第二卷【二】填空题：本大题共4个小题,每题5分。