吉林省吉林市2019届高三上学期第一次调研测试 数学理科 Word版含答案

2019-2020学年吉林省吉林一中高三（上）第一次调研数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1．设全集U R =，集合2{|12}A x og x =…，{|(3)(1)0}B x x x =-+…，则()(U B A =ð )A ．(-∞，1]-B ．(-∞，1](0,3)- C ．[0，3)D ．(0,3)2︒︒的值为( )A B ．12C ．D ．12-3．已知3a e =，33log 5log 2b =-，2c =a 、b 、c 的大小关系为( ) A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>4．已知R α∈，2sin cos αα-=，则tan(2)(4πα-= ) A ．43B ．7-C ．34-D ．175．要得到函数3sin 2y x =的图象，可将函数3cos(2)4y x π=-的图象( )A ．沿x 轴向左平移8πB ．沿x 轴向右平移8πC ．沿x 轴向左平移4πD ．沿x 轴向右平移4π6．已知函数()tan()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+≠<，点(,0)3π和5(,0)6π是其相邻的两个对称中心，且在区间2(,)33ππ内单调递减，则(ϕ= )A ．3πB ．6πC ．3π-D ．6π-7．若1x 是方程4x xe =的解，2x 是方程4xlnx =的解，则12x x 等于( ) A ．4B ．2C ．eD ．18．已知函数2()12sin ()(0)6f x x πωω=-+>在区间[,]62ππ内单调递减，则ω的最大值是( )A ．12B ．35C ．23D ．349．在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，则sin (A = )A ．310B C D10．已知方程2mx e x =在(0，8]上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为( ) A ．12(,)84lnB ．12[,)164lnC ．322[,)4ln e D ．122[,)4n e11．已知函数2()23f x x alnx =++，若1x ∀，2[4x ∈，12)()x x +∞≠，[2a ∃∈，3]，2112()()2f x f x m x x -<-，则m 的取值范围是( )A ．[2-，)+∞B ．5[,)2-+∞C ．9(,)2-+∞D ．19[,)4-+∞ 12．若函数11()()2x x f x ln e e --=+-与()sin 2xg x π=的图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1(mi i x ==∑ )A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（每题5分，共20分） 13+的值等于 14．已经函数2()(2)sin(1)3f x x x x x =+++-在[4-，2]上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=15．当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =+取得最小值，则sin()3πθ+= ．16．关于函数2()f x lnx x=+，下列说法正确的是 （填上所有正确命题序号） （1）2x =是()f x 的极大值点；（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点； （3）存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立；（4）对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若12()()f x f x =，则124x x +> 三、解答题（共70分）17．已知函数()2|1|||()f x x x a a R =+--∈． （Ⅰ）当2a =时，求不等式()2f x x +…的解集；（Ⅱ）设函数()()3||g x f x x a =+-，当1a =时，函数()g x 的最小值为t ，且21(0,0)2t m n m n+=>>，求m n +的最小值． 18．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos (2)cos a B c b A =-． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC 边上的中线AM =，求ABC ∆的面积．19．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为222((1)(0)x y r r -+-=>，以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，若直线l与曲线C 相切． （Ⅰ）求实数r 的值；（Ⅱ）在圆C 上取两点M ，N ，使得6MON π∠=，点M ，N 与直角坐标原点O 构成OMN ∆，求OMN ∆面积的最大值．20．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()f x 的图象．（Ⅰ）写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若对任意[,]612x ππ∈-，2()()10f x mf x --…恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）求实数a 和正整数n ，使得()()F x f x a =-在[0，]n π上恰有2019个零点． 21．已知函数(),()lnx af x a R x+=∈，2()2x g x e =-． （1）求()f x 的单调区间；（2）若()()f x g x …在(0,)+∞上成立，求a 的取值范围． 22．已知函数()1()f x xlnx ax a R =-+∈． （1）讨论()f x 在(1,)+∞上的零点个数；（2）当1a >时，若存在(1,)x ∈+∞，使()(1)(3)f x e a <--，求实数a 的取值范围．(e 为自然对数的底数，其值为2.71828)⋯⋯2019-2020学年吉林省吉林一中高三（上）第一次调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．设全集U R =，集合2{|12}A x og x =…，{|(3)(1)0}B x x x =-+…，则()(U B A =ð )A ．(-∞，1]-B ．(-∞，1](0,3)- C ．[0，3)D ．(0,3)【解答】解：集合2{|12}(0A x og x ==…，4]， {|(3)(1)0}(B x x x =-+=-∞…，1][3-，)+∞， (1,3)U B ∴=-ð，()(0U B A ∴=ð，3)，故选：D ．2︒︒的值为( )A B ．12C ．D ．12-【解答】解：cos 45cos15sin 45sin(18015)cos 45cos15sin 45sin15︒︒=︒︒-︒︒+︒=︒︒+︒︒cos(4515)cos30=︒-︒=︒=， 故选：A ．3．已知3a e =，33log 5log 2b =-，2c =a 、b 、c 的大小关系为( ) A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>【解答】解：335,,32a log e b log c ln ===，333531,312log log e log ln lne <<=>=， c a b ∴>>．故选：C ．4．已知R α∈，2sin cos αα-=，则tan(2)(4πα-= )A ．43B ．7-C ．34-D ．17【解答】解：已知等式两边平方得2254sin 4sin cos cos 2αααα-+=， 即22233sin 4sin cos (sin cos )2ααααα--=+，即23tan 8tan 30αα--=， 解得133tan tan αα==-或，所以3tan 24α=-， 从而tan(2)74πα-=-．故选：B ．5．要得到函数3sin 2y x =的图象，可将函数3cos(2)4y x π=-的图象( )A ．沿x 轴向左平移8πB ．沿x 轴向右平移8πC ．沿x 轴向左平移4πD ．沿x 轴向右平移4π【解答】解：因为函数3cos(2)3sin(2)44y x x ππ=-=+，所以可将函数3cos(2)4y x π=-的图象，沿x 轴向右平移8π，得到3sin[2()]3sin 284y x x ππ=-+=，得到函数3sin 2y x =的图象， 故选：B ．6．已知函数()tan()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+≠<，点(,0)3π和5(,0)6π是其相邻的两个对称中心，且在区间2(,)33ππ内单调递减，则(ϕ= )A ．3πB ．6πC ．3π-D ．6π-【解答】解：根据题意可得5,0,036ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和是其相邻的两个对称中心得52632T πππ=-=，T π∴=；又因为在区间2(,)33ππ内单调递减，1ω∴=-；则()tan()f x x ϕ=-+； 当3x π=时，()03f π=，又||23ππϕϕ<⇒=． 故选：A ．7．若1x 是方程4x xe =的解，2x 是方程4xlnx =的解，则12x x 等于( ) A ．4B ．2C ．eD ．1【解答】解：由于1x 和2x 是函数x y e =和函数y lnx =与函数4y x=的图象的公共点A 和B 的横坐标， 而114(,)A x x ，224(,)B x x 两点关于y x =对称，可得114,x x ， 因此124x x =， 故选：A ．8．已知函数2()12sin ()(0)6f x x πωω=-+>在区间[,]62ππ内单调递减，则ω的最大值是()A ．12 B ．35C ．23D ．34【解答】解：()cos(2)3f x x πω=+，由2223k x k ππωππ++剟，k Z ∈，得63k k x ππππωωωω-+剟，即函数的单调递减区间为[6k ππωω-，]3k ππωω+，k Z ∈，若()f x 在区间[,]62ππ内单调递减，则满足6632k k πππωωπππωω⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩……得61223k k ωω-⎧⎪⎨+⎪⎩……，同时2263T πππ-=…，则223ππω…，则3ω…当0k =时，203ω<…， 当1k =时，不等式无解， 故ω的最大值为23， 故选：C ． 9．在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，则sin (A = )A ．310B C D 【解答】解：在ABC ∆中，4B π=，BC 边上的高等于13BC ，AB ∴=，由余弦定理得：AC ===， 故111125sin sin 2322BC BC AB AC A BC BC A ==，sin A ∴=， 故选：D ．10．已知方程2mx e x =在(0，8]上有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为( ) A ．12(,)84lnB ．12[,)164lnC ．322[,)4ln e D ．122[,)4n e【解答】解：当0x >时，由2mx e x =可得2()2mx ln x lnx ==，故2lnxm x=． 设2()lnx f x x =，(0x ∈，8]，则22(1)()lnx f x x -'=， ∴当0x e <<时，()0f x '>，当8e x <…时，()0f x '<，()f x ∴在(0,)e 上单调递增，在[e ，8]上单调递减， ()f x ∴的最大值为f （e ）2e=， 又f （8）324ln =，当01x <<时，()0f x <，当1x >时，()0f x >， 作出()y f x =的大致函数图象如图所示：方程2mx e x =在(0，8]上有两个不等的实数根，∴直线y m =与()y f x =在(0，8]上的函数图象有两个交点， ∴3224ln m e<…． 故选：C ．11．已知函数2()23f x x alnx =++，若1x ∀，2[4x ∈，12)()x x +∞≠，[2a ∃∈，3]，2112()()2f x f x m x x -<-，则m 的取值范围是( )A ．[2-，)+∞B ．5[,)2-+∞C ．9(,)2-+∞D ．19[,)4-+∞【解答】解：设12x x >，由2112()()2f x f x m x x -<-，得1122()2()2f x mx f x mx +>+， 记()()2g x f x mx =+，则()g x 在[0，)+∞上单调递增， 故()0g x '…在[4，)+∞上恒成立， 即2220a x m x ++…在[4，)+∞上恒成立，整理得am x x-+…在[4，)+∞上恒成立， [2a ∈，3]，∴函数a y x x =+在[4，)+∞上单调递增，故有44am -+…， [2a ∃∈，3]，∴19(4)44max a m -+=…，即194m -…．故选：D ．12．若函数11()()2x x f x ln e e --=+-与()sin 2xg x π=的图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1(mi i x ==∑ )A ．2B ．4C ．6D ．8【解答】解：函数11()()2x x f x ln e e --=+-关于直线1x =对称（满足()(2))f x f x =-， ()sin2xg x π=也关于直线1x =对称，当1x >时，()f x 单调递增，f （1）22ln =-， f （4）33()21ln e e -=+->，如图，两个函数图象只有两个交点∴12mi i x ==∑，故选：A ．二、填空题（每题5分，共20分） 13+的值等于-【解答】解：原题==-======-14．已经函数2()(2)sin(1)3f x x x x x =+++-在[4-，2]上的最大值为M ，最小值为m ，则M m += 8-【解答】解：设1x t +=，[4x ∈-，2]， [3t ∴∈-，3]，那么1x t =-函数()f x 转化为2()(1)sin 4g t t t t =-+- 令2()(1)sin h t t t t =-+， 可得()()h t h t -=-是奇函数， ()()0min max h t h t ∴+=，最大值为()()4max max M g t h t ==-，最小值为()()4min min m g t h t ==-， 则8M m +=-， 故答案为：8-．15．当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =+取得最小值，则sin()3πθ+=【解答】解：函数()2sin cos )f x x x x α=+=+（其中cosα=，sin α=，当x θ=)θα+=sin()1θα+=-， 所以cos()0θα+=， 可令2πθα+=-，所以2πθα=--，故sin()sin()sin()sincos cossin 36666πππππθαααα+=--=-+=--==．16．关于函数2()f x lnx x=+，下列说法正确的是 （2）（4） （填上所有正确命题序号）（1）2x =是()f x 的极大值点；（2）函数()y f x x =-有且只有1个零点； （3）存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立；（4）对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若12()()f x f x =，则124x x +> 【解答】解：（1）函数的 的定义域为(0,)+∞， 函数的导数22212()x f x x x x-'=-+=，(0,2)∴上，()0f x '<，函数单调递减， 在(2,)+∞上，()0f x '>，函数单调递增， 2x ∴=是()f x 的极小值点，即（1）错误；（2）2()y f x x lnx x x=-=+-，22221210x x y x x x -+-∴'=-+-=<恒成立， 函数在(0,)+∞上单调递减，1x =时，1y =；x e =时，210y e e =+-<，∴函数()y f x x =-有且只有1个零点，即（2）正确；（3）若()f x kx >，可得22lnx k x x <+，令22()lnx g x x x =+，则34()x xlnxg x x -+-'=， 令()4h x x xlnx =-+-，则()h x lnx '=-，∴在(0,1)x ∈上，函数单调递增，(1,)x ∈+∞上函数单调递减，()h x h ∴…（1）0<，()0g x ∴'<， 22()lnxg x x x∴=+在(0,)+∞上函数单调递减，函数无最小值， ∴不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，即（3）不正确；（4）令(0,2)t ∈，则2(0,2)t -∈，22t +>， 令22242()(2)(2)(2)(2)2242t tg t f t f t ln t ln t lnt t t t+=+--=++---=++---， 则2222222416248()0(4)2(2)(4)t t t g t t t t t ---'=+=-<-+--，()g t ∴在(0,2)上单调递减，则()(0)0g t g <=，即(2)(2)f t f t +<-，令122x t =+>，由12()()(2)f x f x f t =<-，得22x t >-， 则12224x x t t +>-++=， 当14x …时，124x x +>显然成立，∴对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若12()()f x f x =，则124x x +>，即（4）正确．故答案为：（2）（4）， 三、解答题（共70分）17．已知函数()2|1|||()f x x x a a R =+--∈． （Ⅰ）当2a =时，求不等式()2f x x +…的解集；（Ⅱ）设函数()()3||g x f x x a =+-，当1a =时，函数()g x 的最小值为t ，且21(0,0)2t m n m n+=>>，求m n +的最小值． 【解答】解：（1）当2a =时，4,1()2|1||2|3,124,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=+--=-⎨⎪+>⎩剟；当1x <-时，由42x x --+…解得3x -…，31x ∴-<-…；当12x -剟时，由32x x +…解得1x …，11x ∴-剟； 当2x >时，由42x x ++…可得该方程无解； 综上则原不等式的解集为[3-，1]．（2）当1a =时，()2|1|2|1|2|11|4g x x x x x =++-++-=…，当且仅当(1)(1)0x x +-…时，即11x -剟时等号成立， ∴函数()g x 的最小值4t =，∴2142m n+=， ∴11559()()28288888n m m n m n m n m n m n +=++=+++=…， 当且仅当1131284,3828m m n n m n m n ⎧⎧+==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩即时等号成立， m n ∴+的最小值为98．18．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos (2)cos a B c b A =-． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4a =，BC 边上的中线AM =，求ABC ∆的面积． 【解答】解：（1）由cos (2)cos a B c b A=-得sin cos (2sin sin )cos 2sin cos sin cos A B C B A C A B A =-=-，即sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，即sin()2sin cos A B C A +=，即sin 2sin cos C C A =， 在三角形中sin 0A≠，1cos 2A ∴=，则3A π=．（2）M 是BC 的中点，2BM CM ∴==，由余弦定理得2222228412b θθθ=+-⨯⨯=+-=-， 222222)8412c πθθθ=+-⨯⨯-=++=+，两式相加得2224b c +=，又2222212cos 2242ab c bc Ab c bc bc =+-=+-⨯=-，即1624bc =-，则8bc =，则三角形的面积11sin 822S bc A ==⨯=．19．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为222((1)(0)x y r r -+-=>，以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，若直线l与曲线C 相切． （Ⅰ）求实数r 的值；（Ⅱ）在圆C 上取两点M ，N ，使得6MON π∠=，点M ，N 与直角坐标原点O 构成OMN ∆，求OMN ∆面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）直线l 的极坐标方程为sin()13πρθ-=，转换为直角坐标方程为20y -+=，若直线l 与曲线C 相切，则圆心20y -+=的距离3312d r -+==，解得2r =，（Ⅱ）由（Ⅰ）得圆的方程为22((1)4x y -+-=． 转换为极坐标方程为4sin()3πρθ=+．设1(M ρ，)θ，2(,)6N πρθ+，所以121||||sin 4sin()sin()2sin(2)26323MON S ππππρρθθθ∆==++=+，当12πθ=时，2MON S ∆+…即最大值为2+．20．将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()f x 的图象．（Ⅰ）写出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若对任意[,]612x ππ∈-，2()()10f x mf x --…恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）求实数a 和正整数n ，使得()()F x f x a =-在[0，]n π上恰有2019个零点． 【解答】解：（Ⅰ）将函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可得sin 2y x =的图象； 再将所得的图象向左平移6π个单位长度后得到函数()sin 2()sin(2)63f x x x ππ=+=+的图象，所以函数()f x 的解析式为()sin(2)3f x x π=+；（Ⅱ）对任意的[6x π∈-，]12π，则2[03x π+∈，]2π，所以()sin(2)[03f x x π=+∈，1]，此时2()()10f x mf x --…恒成立；令()[0t f x =∈，1]，则2()10g t t mt =--…恒成立， 所以有(0)10g =-…，且g （1）0m =-…，求得m 的取值范围是0m …； （3）因为()()F x f x a =-在[0，]n π上恰有2019个零点， 所以()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上恰有2019个交点； 在[0，]π上，2[33x ππ+∈，7]3π； ①当1a >，或1a <-时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上无交点． ②当1a =，或1a =-时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]π仅有一个交点， 此时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上恰有2019个交点，则2019n =；③当1a -<<1a <<时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]π上恰有2个交点， ()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上有偶数个交点，不会有2019个交点；④当a =时，()f x 的图象和直线y a =在[0，]π上恰有3个交点， 此时，1009n =，才能使()f x 的图象和直线y a =在[0，]n π上有2019个交点；综上可得，当1a =，或1a =-时，2019n =；当a =1009n =． 21．已知函数(),()lnx af x a R x+=∈，2()2x g x e =-．（1）求()f x 的单调区间；（2）若()()f x g x …在(0,)+∞上成立，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）21()lnx af x x --'=， 当10a x e -<<时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当1a x e -…时，()0f x '…，()f x 单调递减，故()f x 单调递增区间为1(0,)a e -，单调递减区间为1[a e -，)+∞． （2）法一：由()()f x g x …得22xlnx a e x+-…，即2(2)x a x e lnx --… 令2()(2)x h x x e lnx =--，22121()(21)(21)()x x x h x x e x e x x+'=+-=+-， 21()(0)x F x e x x =->，221()20x F x e x '=+>，()F x 在(0,)+∞单调递增，又1()404F =-<，1()202F e =->，所以()F x 有唯一的零点011(,)42x ∈，且当0(0,)x x ∈时，()0F x <，即()0h x '<，()h x 单调递减， 当0(x x ∈，)+∞时，()0F x >，即()0h x '>，()h x 单调递增， 所以02000()()(2)x min h x h x x e lnx ==--， 又因为0()0F x =所以000002011()(2)()1221x h x x ln x x x e=--=-+=， 所以1a …，a 的取值范围是(-∞，1]． 法二：由()()f x g x …得22xlnx a e x+-…， 即222(2)x lnx x a xe x lnx e x lnx +--=-+…，令()2x x lnx ϕ=+，因为12()10e eϕ=-<，ϕ（1）20=>，所以()x ϕ存在零点1x ；令()x G x e x =-，则()1x G x e '=-，当(,0)x ∈-∞时，()0G x '<，()G x 单调递减， 当(0,)x ∈+∞时，()0G x '>，()G x 单调递增． 所以()(0)1min G x G ==，所以112211(2)(2)1lnx x lnx x e x lnx e x lnx ++-+-+=…， 所以a 的取值范围是(-∞，1]．22．已知函数()1()f x xlnx ax a R =-+∈． （1）讨论()f x 在(1,)+∞上的零点个数；（2）当1a >时，若存在(1,)x ∈+∞，使()(1)(3)f x e a <--，求实数a 的取值范围．(e 为自然对数的底数，其值为2.71828)⋯⋯【解答】解：（1）根据题意，函数()1f x xlnx ax =-+，其定义域为(1,)+∞， 则1()10a f x lnx a x e -'=+-=⇒= 分2种情况讨论：①当1a …时，()0f x '>恒成立，此时函数()f x 在(1,)+∞上是增函数；又由f （1）10a =-…，故而()f x f >（1）0…，()f x 在(1,)+∞上无零点； ②当1a >时，1()10a f x lnx a x e -'=+->⇒>；1()01a f x x e -'<⇒<<， 则()f x 在1(a e -，)+∞上是增函数；在1(1,)a e -上是减函数；又由f （1）10a =-<；()10a f e =>，且()f x 连续不断，从而在区间(1,)a e 上，()f x 存在唯一零点，综上所述，当1a …时，()f x 在(1,)+∞上无零点；当1a >时，()f x 在(1,)+∞存在一个零点． （2）根据题意，当1a >时，由（1）得11()()1a a min f x f e e --==-，故应有11(1)(3)a e e a --<--成立，即1(1)(3)10a e e a -+--->不等式成立， 构造函数1()(1)(3)1x h x e e x -=+---，求导得1()10x h x e e -'=+->在(1,)x ∈+∞上恒成立， 故1()(1)(3)1x h x e e x -=+---在(1,)x ∈+∞上单调递增， 注意到h （2）0=，所以()02h x x >⇒>． 故实数a 的取值范围为(2,)+∞．。

2019年长春市高中毕业班第一次调研试题数学试题卷(理科)及参考答案与评分标准本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第II卷22题一24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第I卷 (选择题60分)一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1.复数Z=1－i 的虚部是( )(A).i (B) －i (C) －1 (D)12.已知集合M={},集合N={ x|lg(3-x)>0},则=( )(A).{ x|2<x<3} (B). { x|1<x<3} (C) . { x|1<x<2} (D) ∅3.函数f(x)=(sinx+cosx)2 的一条对称轴的方程是( )4.抛物线21 2x y=的焦点到准线的距离是( )(A) 2 (B)1 (C).12(D).145.等比数列中,前三项和为 ,则公比q的值是( )(A).1 (B)－12(C) 1或－12(D)－ 1或－126.定义某种运算,运算原理如图所示，则式子的值为( A).－3 (B).－4 (C).－8 (D). 07.实数x,y满足，若函数z=x+y的最大值为4,则实数a的值为(A). 2 (B). 3 (C). 32(D).48.已知三条不重合的直线m,n,l 和两个不重合的平面α，β ,下列(A). 若m//n，n⊂α，则m// α(B). 若α⊥β, αβ=m, n⊥m ，则n⊥α.(C) .若l⊥n ，m⊥n, 则l//m(D). 若l⊥α，m⊥β, 且l⊥m ，则α⊥β9.已知双曲线的右顶点、左焦点分别为A 、F ，点B （0，－b ），若，则双曲线的离心率值为（ ）（A）12 （B）12（C）12（D10.一个半径为1有球体经过切割后，剩下部分几何体的三视图如图所示，则剩下部分几何体的表面积为（ ）第二卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-21题为必考题，每个试题考生都必须作 答，第22题-24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13、在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则＝＿＿＿14.已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1,侧棱垂直于底面,且该三棱柱的外接球表面积为12π,则该三棱柱的体积为 . 15.已知数列，圆，圆，若圆C 2平分圆C 1的周长，则的所有项的和为 .16.定义[x]表示不超过x 的最大整数,例如:[1.5]=1,[-1.5]=-2,若f(x)=sin(x-[x]),则下列结论中①y ＝f(x)是奇是函数 ②.y ＝f(x)是周期函数 ,周期为2π ③..y ＝f(x)的最小值为0 ,无最大值 ④. y ＝f(x)无最小值,最大值为sin1.正确的序号为 .三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.(本小题满分12分） 设等差数列的前n 项和为Sn, 且,(1).求数列的通项公式第10题图俯视图侧视图正视图(2).若成等比数列,求正整数n 的值 .18. (本小题满分12分） 已知向量,设函数f(x)= .(1).求函数f(x)的最小正周期;(2).已知a,b,c 分别为三角形ABC 的内角对应的三边长,A 为锐角,a=1,，且f(A)恰是函数f(x)在上的最大值,求A,b 和三角形ABC 的面积.19. (本小题满分12分）如图所示,正方形AA 1D 1D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直,AB=2AD=2,点E 为AB 的中点, (1).求证:D 1E⊥A 1D ;(2).在线段AB 上是否存在点M ，使二面角D 1-MC-D 的大小为存在,求出AM 的长，若不存在，说明理由20．(本小题满分12分） 已知椭圆＝1(a>b>0)的左焦为F,右顶点为A,上顶点为B,O 为坐标原点,M 为椭圆上任意一点,过F,B,A三点的圆的圆心为(p,q).(1).当p+q ≤0时,求椭圆的离心率的取值范围;(2).若D(b+1,0),在(1)的条件下,当椭圆的离心率最小时, 的最小值为,求椭圆的方程.21. (本小题满分12分） 已知函数(1).a ≥－2时,求F(x)= f(x)- g(x)的单调区间;(2).设h(x)= f(x)+ g(x),且h(x)有两个极值点为x 1 , x 2 ,其中,求h(x 1)- h(x 2)的最小值.E D 1A 1DCBA第19题图请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.如图,四边形为边长为a的正方形,以D为圆心,DA为半径的圆弧与以BC为直径的圆O交于F,连接CF并延长交AB于点 E.(1).求证:E为AB的中点;(2).求线段FB的长.23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.以直角坐标系的原点为极点O，x轴正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1,-5),点C的极坐标为 ,若直线l经过点P,且倾斜角为，圆C的半径为4.(1).求直线l的参数方程及圆C的极坐标方程;(2).试判断直线l与圆C有位置关系.24. 本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.已知f(x)=|x+1|+|x-1| ,不等式f(x)的解集为M.(1).求M;(2).当a,b M时,证明:2|a+b|＜|4+ab|.2019年长春市高中毕业班第一次调研测试 数学（理科）试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要B 【试题解析】由复数虚部定义：复数i b a +()R R ∈∈b a ，的虚部为b ，得i 1-=z 的虚部为1-，故选B . 2.【试题答案】B【试题解析】因为{}31|<<=x x M ，{}2|<=x x N ，所以{}21|<<=x x N M ，故选B . 3.【试题答案】A 【试题解析】化简x x x x x x x x f 2sin 1cos sin 2cos sin )cos (sin )(222+=++=+=，∴将选项代入验证，当4π=x 时，)(x f 取得最值，故选A .4.【试题答案】D【试题解析】由抛物线标准方程py x 22=()0>p 中p 的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又41=p ，故选D .5.【试题答案】C 【试题解析】3233300327027S x dx x ===-=⎰，设公比为q ，又93=a ，则279992=++q q，即0122=--q q ，解得1=q 或21-=q ，故选C .6.【试题答案】D【试题解析】由题意可知，程序框图的运算原理可视为函数()()⎩⎨⎧<-≥+=⊗=ba b a ba b a b a S ,1,1，所以412ln 45tan 2=⊗=⊗e π，43231100lg 1=⊗=⎪⎭⎫ ⎝⎛⊗-， 1512tan ln lg10044043e π-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⊗-⊗=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，故选D .7.【试题答案】A【试题解析】由y x z +=，得z x y +-=,则z 表示该组平行直线在y 轴的截距。

吉林省吉林市2019届高三第一次摸底考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求. 1. 计算：21ii -=( ) A . 1i + B .1i - C . 1i -+ D . 1i -- 【答案】C考点：复数的计算.2. 已知{1,2,3,5}{0,2,4,8}A B A C B C ⊆⊆==，，，，则 A 可以是( )A ．{1,2}B ．{2,4}C ．{4}D ．{2}【答案】D考点：集合的交集、子集运算.3. 已知条件 p : 22210x ax a -+->，条件 q : 2x >,且 q 是p 的充分而不必要条件，则 a 的取值范围是（ ）A ．1a ≥ B ．1a ≤ C ．3a ≥- D ． 3a ≤- 【答案】B 【解析】试题分析：∵条件p ：22210x ax a -+->，条件q ：x ＞2，且q 是p 的充分而不必要条件，∴q ⇒p ，p ⇒q ，即a ≤2且24410a a -+-≥解不等式组可得：a ≤1故选：B . 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．4. 某程序图如右图所示，该程序运行后输出的结果是( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C考点：程序框图.5. 已知某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形，且体积为12，视图可以是，则该几何体的俯视图可以是( )A .B .C .D .【答案】A考点：简单空间图形的三视图． 6. 将函数() 2sin +36x f x π⎛⎫=⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位，再向下平移1个单位，得到函数 g ( x ) 的图象，则 g ( x ) 的解析式为( )A . () 2sin +134x g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．() 2sin 134x g x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C ．() 2sin 1312x g x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭ D ．() 2sin 1312x g x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【答案】A考点：函数y =Asin （ωx +φ）的图象变换．7. 已知等差数列{}n a 的公差为 2，若前 17 项和为 17S =34，则12a 的值为( )A .-10B .8C .4D .12【答案】B考点：1.等差数列的前n 项和；2.等差数列的通项公式．8. 在ABC ∆中，内角 A 、B 、C 的对边分别是 a 、b 、c ，若22, b c sin A C -=，则B =( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】A 【解析】试题分析：∵ sin A C =，∴a =，∵22b c -=，∴cosB =2222a c b ac +-==B =30°，故选A . 考点：余弦定理的应用．9. 在8x ⎛⎝的二项展开式中，常数项为( ) A .1024 B .1324 C .1792 D .-1080【答案】C考点：二项式定理. 10. 已知双曲线()22221 0, 0x y a b ab-=>>的左顶点与抛物线()22 0y px p =>的焦点的距离为 4,的焦距是且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 (-2,- 1) ,则双曲线的焦距为( )A .BC .2D 【答案】A考点：1.双曲线的简单性质；2.直线与圆锥曲线的关系．11. ABC ∆中，120 , 2, 1BAC AB AC ∠=︒==,D 是边BC 上的一点（包括端点），则•AD BC 的取值范围是( )A. B . C .D.【答案】D 【解析】试题分析：∵D 是边BC 上的一点（包括端点），∴可设()101A D A B A C λλλ=+-≤≤,（）．∵∠BAC =120°，AB =2，AC =1，∴•21c o s 1201A B A C =⨯⨯︒=-．∴()[1]()ADBC AB AC AC AB λλ⋅=+-⋅- ()()22211AB AC AB AC λλλ=-⋅-+-214172λλλλ=----=-+（）．∵0≤λ≤1，∴（-7λ+2）∈．∴•AD BC 的取值范围是[52]-，．故选：D ． 考点：平面向量数量积的运算．12.对函数 f ( x ) ，若,, a b c R ∀∈， f ( a ), f (b ), f ( c ) 为一三角形的三边长，则称 f ( x ) 为“三角型函数”，已知函数()()2 >0 22xxm f x m +=+是“三角型函数”，则实数 m 的取值范围是( )A .B .C .D .【答案】A考点：函数的值．第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知x ，y 满足不等式组22y xx y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为________.【答案】6 【解析】考点：简单线性规划．14. 已知直线l ⊥平面α，直线 m ⊂平面β，有下列四个命题：①若α∥β，则 l ⊥ m ；②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ,则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β.其中正确命题序号是 .【答案】①③考点：平面的基本性质及推论．15. 若动直线 x =a 与函数() f x sin x cos x =和()2cos g x x =的图像分别交于 M ，N 两点, 则 M N 的最大值为 .【答案】12+ 【解析】试题分析：211122222fx sinxcosx sin x g x cos x cos x ====+（），（），所以||AB f x g x =-（）（）111|22|222sin x cos x =-+（）|2|242sin x π=--（）则214sin x π-=-（）时，AB 的最大值为：12．故答案为：12. 考点：1.二倍角的余弦；2.二倍角的正弦；3.三角函数的最值． 16. 若数列{}n a 满足()*1112, 1n n na a a n N a ++===∈-，则该数列的前 2014 项的乘积123201...a a a a = .【答案】-6考点：数列递推式．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 10 分）已知ABC ∆中， a,b, c 为角 A,B,C 所对的边，3cos cos +cos b A c A a C = ． （Ⅰ）求 cos A 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为3a =，求 b ， c 的长． 【答案】（Ⅰ）13;（Ⅱ）2,3b c ==或3,2b c ==.考点：正弦定理． 18．（本小题满分 12 分）已知数列 {}n a 是公差大于零的等差数列，数列{}n b 为等比数列，且112233 1,2,1,13a b b a a b ==-=+= （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式（Ⅱ）设n n n c a b =，求数列 {}n c 前 n 项和 n T .【答案】（Ⅰ）21(*),2(*)n n n a n n N b n N =-∈=∈;（Ⅱ）16(23)2n n ++-⨯.341131112222(21)22(12)2(21)2126(23)2n n n n n n n n ++-++=-----+-⨯-=--+-⨯-=+-⨯---------------------------------12分.考点：1.数列的求和；2.等差数列的性质．19．（本小题满分 12 分）一企业某次招聘新员工分笔试和面试两部分，人力资源部经理把参加笔试的 40 名学生的成绩分组：第 1 组[75,80) ，第 2 组 [80,85) ，第 3 组[85, 90) ，第 4 组 [90, 95) ，第 5 组[95,100) ，得到频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）分别求成绩在第 4，5 组的人数；（Ⅱ）若该经理决定在笔试成绩较高的第 3，4，5 组中用分层抽样抽取 6 名进入面试，①已知甲和乙的成绩均在第 3 组，求甲和乙同时进入面试的概率；②若经理决定在这 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受考官D 的面试，设第 4 组中有X 名学生被考官D 面试，求X 的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）8人，4人;（Ⅱ）①122，②23.考点：1.频率分布直方图；2.离散型随机变量及其分布列；3.离散型随机变量的期望与方差．20．（本小题满分 12 分）一个多面体的直观图及三视图如图所示,其中 M , N分别是AF、BC 的中点，（Ⅰ）求证：MN // 平面CDEF；（Ⅱ）求二面角A-CF-B的余弦值；【答案】（Ⅰ）详见解析;二面角A-CF-B的余弦值．试题解析：解（1）证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF,且AB =BC =BF =4,DE =CF=90CBF ∠=︒,连结BE , M 在BE 上，连结CEEM =BM ,CN =BN , 所以MN ∥,CE CE CDEF ⊂面,所以//MN 平面CDEF ------5分（II ）方法一：作BQ ⊥CF 于Q ，连结AQ ，面BFC ⊥面ABFE ，面ABFE ∩面BFC =BF ，AB ⊂面ABFE ，AB ⊥BF ，∴AB ⊥面BCF ，CF ⊂面BCF ，∴AB ⊥CF ，BQ ⊥CF ，AB ∩BQ =B ，∴CF ⊥面ABQ ，AQ ⊂面ABQ ，AQ ⊥CF ，∴∠AQB 为所求的二面角的平面角，（8分）在Rt △ABQ 中，tan ∠AQB=AB BQ ==--------------------------------------9分 ∴cos ∠AQB∴二面角A -CF -B的余弦值为．-------------------------------------------------------12分 （II ）方法二：以EA ,AB ,AD 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系，x yz A B CD E F所以(0,0,0),(0,4,0),(0,4,4),(4,4,0)A B C F -面CBF 法向量为(0,1,0)n =(0,4,4),(4,0,4)CA CF =--=-- -----------------8分设面ACF 法向量为(,,)m x y z =，(,,)(0,4,4)0440(,,)(4,0,4)0440m CA x y z y z x y z x z m CF⎧⊥⋅--=--=⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨⋅--=--=⊥⎩⎩⎪⎩ 取1z =-，所以1,1,(1,1,1)x y m ===-设二面角A CF B --为θ，cos ||||m n m n θ⋅===分. 考点：1.用空间向量求平面间的夹角；2.直线与平面平行的判定．21．（本小题满分 12 分）已知椭圆E ：()22221 0, 0xy ab a b +=>>的离心率 e =1)2P （Ⅰ）求椭圆 E 的方程；（Ⅱ）问是否存在直线y =-x +m ，使直线与椭圆交于 A , B 两点，满足OA OB ⊥,若存在求m 值，若不存在说明理由.【答案】（Ⅰ）2214x y +=;（Ⅱ）m =考点：直线与圆锥曲线的综合问题．22．（本小题满分 12 分）已知函数()() = f x ax ln x a R +∈.（Ⅰ）若a =2，求曲线y =f ( x )在x =1处的切线方程；（Ⅱ）求 f (x ) 的单调区间；（III ）设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20, 1x ∈，使得12()()f x g x <，求 a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）310x y --=;（Ⅱ）函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1(,)a -+∞；（III ）31a e <-.考点：1.利用导数研究曲线上某点切线方程；2.利用导数研究函数的单调性；3.利用导数求闭区间上函数的最值．。

2019-2020学年吉林省吉林市高三（上）第一次调研数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 已知集合A ={x ∈N|2x −7<0}，B ={x|x 2−3x −4≤0}，则A ∩B =( )A. {1,2，3}B. {0,1，2，3}C. {x|x ≤72}D. {x|0<x ≤72}2. 函数f (x )=sin (2x −π6)的最小正周期是( )A. π2B. πC. 2πD. 4π3. 如图所示，M 是边AB 的中点，若CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CA⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 2b ⃗ −2a ⃗B. a ⃗ +2b ⃗C. 2a ⃗ −2b ⃗D. 2a ⃗ +b ⃗ 4. 已知函数f(x)为奇函数，且当x <0时，f(x)=2x 2−1，则f(1)的值为( )A. 1B. −1C. 2D. −25. 已知正项等比数列{a n }中，a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 100+a 101a 98+a 99的值为( )A. 1+√2B. 1−√2C. 3+2√2D. 3−2√26. 已知sin(π+α)=13，则cos2α=( )A. 79 B. 89 C. −79 D. 4√297. 在矩形ABCD 中|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则向量|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |= ( ) A. 2B. 2√3C. 4D. 4√38. 函数f (x )=sin (x +π6)的图象向左平移π3个单位，再将图象上各点的横坐标压缩为原来的12，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A. x =−π2B. x =−π4 C. x =π8 D. x =π49. 函数y =2log 4(1−x)的图象大致是( )A.B.C.D.10. 在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，点E 满足BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. 1 B. 3 C. √10D. 92 11. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3=4，S 3=7，则S 6的值为( )A. 31B. 32C. 63或13327D. 6412. 已知函数f(x)=x 2e x，下列关于f(x)的四个命题：①函数f(x)在[0,1]上是增函数； ②函数f(x)的最小值为0；③如果x ∈[0,t]时，f(x)max =4e 2，则t 的最小值为2； ④函数f(x)有2个零点； 其中真命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. 已知函数f(x)={e x ,x <0,lnx,x >0,则f[f(1e )]=_____________.14. 设平面向量m⃗⃗⃗ =(−1,2)，n ⃗ =(2,b)，若m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，则|n ⃗ |等于______． 15. 已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，对任意大于2的正整数n ，记集合{x|x =a i +a j ,i ∈N,j ∈N,1≤i <j ≤n}的元素个数为c n ，把{c n }的各项摆成如图所示的三角形数阵，则数阵中c 5= ; 第17行由左向右数第10个数为 ．16. 函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(π)的值为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.如图，有一壁画，最高点A距离地面AE为4米，最低点B距离地面BE为2米．如果在距离地面高CF为1.5米、与墙壁距离EF为4米的C处观赏壁画，但效果不佳．为了提高欣赏效果(视角∠ACB=θ越大，效果越好)，现在有两种方案可供选择：①与壁画距离EF不变，调节高度CF；②与地面距离CF不变，调节与壁画的距离EF．(1)按照方案①，设CF为h米(2<ℎ<4)，当h为何值时，视角θ最大？(2)按照方案②，设EF为x米(x<4)，当x为何值时，视角θ最大？18.在等差数列{an}中，公差d=4,a2+a5=22，记数列{an}的前n项和为S n．(1)求S n；}的前n项和为T n，求T14．(2)设数列{n(2n+1)S n19.在锐角△ABC中，a，b，c为内角A，B，C的对边，且满足．(1)求角B的大小．(2)已知c=2，边AC边上的高BD=3√21，求△ABC的面积S的值．720.已知等比数列{a n}的公比q>0，a1a5=8a2，且3a4，28，a6成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记b n=2n，求数列{b n}的前n项和T n．a n21.设函数f(x)=2x3−12x+c的图象经过原点．(1)求c的值及函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在[−1,3]上的最大值和最小值．22.已知函数f(x)=lnx−a(x2−x)(a∈R)．(Ⅰ)当a=1时，求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)求f(x)在[1,2]的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：A ={0,1，2，3}，B ={x|−1≤x ≤4}； ∴A ∩B ={0,1，2，3}． 故选：B ．可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 本题考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：B解析： 【分析】本题考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，属于基础题． 由正弦函数的周期公式即可求解． 【解答】解： 因为函数f (x )=sin (2x −π6)， 所以最小正周期是T =2π2=π．故选B ．3.答案：C解析： 【分析】本题考查平面向量的基本定理及向量的三角形法则，属于基础题． 根据向量的三角形法则得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ ，由此即可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 【解答】解：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ ， 因为M 为AB 的中点，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ −2b ⃗ ， 故选C ．4.答案：B解析：解：函数f(x)为奇函数，且当x <0时，f(x)=2x 2−1， 则f(1)=−f(−1)=−(2×12−1)=−1． 故选：B ．直接利用函数的奇偶性以及函数的解析式求解即可．本题考查函数的奇偶性的应用，函数值的求法，考查计算能力．5.答案：C解析： 【分析】设等比数列的公比为q ，q >0，运用等比数列通项公式和等差数列中项性质，解方程可得q ，进而得到所求值．本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 【解答】解：正项等比数列{a n }的公比设为q ，(q >0)， a 1，12a 3，2a 2成等差数列， 可得a 3=a 1+2a 2， 即a 1q 2=a 1+2a 1q ， 解得q =1+√2(负的舍去)， 则a 100+a 101a 98+a 99=q 2(a 98+a 99)a 98+a 99=q 2=3+2√2，故选C ．6.答案：A解析：解：∵sin(π+α)=13，∴可得sinα=−13， ∴cos2α=1−2sin 2α=1−2×19=79． 故选：A ．由已知及诱导公式可求sinα，由二倍角的余弦函数公式即可得解． 本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．解析：【分析】本题考查向量加法的几何意义，属于基础题．由向量加法的几何意义，将AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 转化为2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再求向量的模． 【解答】解：在矩形ABCD 中|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，故选C 项． 8.答案：A解析： 【分析】本题主要考查了三角函数图象的平移和伸缩变换，y =Acos(ωx +φ)型函数的性质， 准确写出变换后函数的解析式是解决本题的关键．先利用三角函数图象的平移和伸缩变换理论求出变换后函数的解析式，再利用余弦函数图象和性质，求所得函数的对称轴方程，即可得正确选项.属于基础题． 【解答】解：将函数f(x)=sin(x +π6)的图象向左平移π3个单位， 得到函数y =sin(x +π3+π6)=cosx 的图象， 再将图象上各点的横坐标压缩为原来的12， 得到函数y =cos2x 的图象， 由2x =kπ， 得x =12kπ，k ∈Z ，∴所得图象的对称轴方程为x =12kπ，k ∈Z ， k =−1时，x =−π2． 故选A ．9.答案：C解析：本题考查函数的图象的判断，考查函数图象与性质的应用，是基础题． 利用函数的定义域以及函数的单调性判断函数的图象即可． 【解答】解：由题意可知函数的定义域为：x <1，函数是减函数． 故选C ．10.答案：A解析： 【分析】本题主要考查平面向量数量积的计算，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键． 根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法进行求解即可． 【解答】解：∵E 满足BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴E 是BC 的中点， 建立平面直角坐标系如图：则A(0,0)，E(1,1)，B(0,1)， 则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1)⋅(0,1)=1， 故选：A ．11.答案：C解析：解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 3=4，S 3=7， ∴a 1q 2=4，a 1(1+q +q 2)=7，解得a1=1，q=2，或q=−23，a1=9．当a1=1，q=2时，则S6=26−12−1=63．当q=−23，a1=9时，S6=9[1−(−23)6]1−(−23)=13327．∴S6=63或13327，故选：C．设等比数列{a n}的公比为q，由a3=4，S3=7，可得a1q2=4，a1(1+q+q2)=7，解得a1，q.再利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：C解析：【分析】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查数形结合思想方法，以及运算能力和判断能力，属于中档题．求得f(x)的导数和单调区间、极值和最值，作出f(x)的图象，结合图象可得单调性、最值和t的范围，以及零点个数．【解答】解：函数f(x)=x2e x，导数为f′(x)=x(2−x)e x，可得0<x<2时，f′(x)>0，f(x)递增；x>2或x<0，f′(x)<0，f(x)递减，即有f(x)的极小值为f(0)=0，极大值为f(2)=4e2，作出函数f(x)的图象，如下：①函数f(x)在[0,1]上是增函数，正确；②函数f(x)的最小值为0，正确；③如果x∈[0,t]时，f(x)max=4e2，则t的最小值为2，正确；④函数f(x)有1个零点，即为0，故④不正确． 其中真命题的个数为3， 故选C ．13.答案：1e解析： 【分析】本题考查分段函数的求值问题，属于基础题.理解分段函数的概念是关键． 【解答】解：f[f(1e )]=f(−1)=e −1=1e ． 故答案为1e ．14.答案：2√5解析：解：∵平面向量m⃗⃗⃗ =(−1,2)，n ⃗ =(2,b)， ∴由m ⃗⃗⃗ //n ⃗ 可得−1×b −2×2=0，解得b =−4，∴|n ⃗ |=√22+(−4)2=2√5故答案为：2√5由向量平行可得b 的值，再由向量的模长公式可得． 本题考查平面向量的平行关系和模长公式，属基础题．15.答案：7；293解析： 【分析】本题考查对等差数列通项公式与求和公式，属于中档题． 对于题意的理解是关键，利用特殊条件，可以进行简便求解． 【解答】解：设a n =a 1+(n −1)d ， 则a i +a j =2a 1+(i +j −2)d ， 由题意1≤i <j ≤n ，当i =1，j =2时，i +j −2 取最小值1， 当i =n −1，j =n 时，i +j −2取最大值2n −3， 易知i +j −2可取遍1,2,3,…,2n −3， 即c n =2n −3(n ≥3)，∴c 5=2×5−3=7，数阵中前16行共有1+2+3+⋯+16=(1+16)×162=136个数，所以第17行左数第10个数为c 148=2×148−3=293． 故答案为7；293．16.答案：−√3解析： 【分析】本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，属于基础题． 由周期求出ω，由特殊点的坐标结合φ的范围求出φ的值，可得函数的解析式． 【解答】解：由图可知T =4(π6+π12)=π，∴ω=2， ∴f(x)=2sin(2x +φ)．∵f(−π12)=2sin(φ−π6)=−2，∴sin(φ−π6)=−1.再根据|φ|<π2， ∴φ=−π3，∴f(x)=2sin(2x −π3)，∴f(π)=−√3， 故答案为：−√3．17.答案：解：(1)如图(1)所示，由题意知，tanα=4−ℎ4，tanβ=ℎ−24，∴tanθ=tan(α+β)=4−ℎ4+ℎ−241−4−ℎ4×ℎ−24=8(ℎ−3)2+15，2<ℎ<4；当ℎ=3时tanθ取得最大值为815；因为函数y =tanθ在(0,π2)上是增函数，所以当ℎ=3时θ取得最大值；(2)如图(2)所示，由题意知，tanα=2−1.5x，tanβ=4−1.5x，∴tanθ=tan(β−α)=2.5x −0.5x 1+2.5x ⋅0.5x=2x+54x≤2√5，x >0，当且仅当x =√52时取“=”，所以x =√52时，视角θ取得最大值．解析：本题考查了三角函数模型的应用问题，是中档题．(1)根据题意画出图形，结合图形求出tanθ的解析式，计算tanθ取得最大值时h的值；(2)根据题意画出图形，结合题意求出tanθ的解析式，计算tanθ取最大值时对应θ的值．18.答案：解：(1)等差数列{a n}中，由a2+a5=22可得2a1+5d=22，又因为d=4，所以a1=1，于是a n=4n−3，则S n=(1+4n−3)n2=2n2−n．(2)因为n(2n+1)S n =1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)．所以T14=12(1−13+13−15+...+127−129)=12(1−129)=1429．解析：此题考查等差数列的通项公式、求和公式的应用，及裂项相消求和的应用．(1)利用等差数列的通项公式求出首项，得出通项公式，利用等差数列的求和公式S n=(1+4n−3)n2= 2n2−n；(2)由裂项相消法得出T14．19.答案：解：(1)∵(2c−a)cosB−bcosA=0，由正弦定理得(2sinC−sinA)cosB−sinBcosA=0，∴(2sinC−sinA)cosB=sinBcosA，2sinCcosB=sin(A+B)，∵A+B=π−C，且sinC≠0，∴2sinCcosB=sinC，∴cosB=12，∵B∈(0,π)，∴B=π3．(2)∵S=12acsinB=12BD⋅b，代入c =2，BD =3√217且sinB =√32，得b =√7a3， 由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB =a 2−2a +4， 代入b =√7a3，得a 2−9a +18=0，解得{a =3b =√7，或{a =6b =2√7，又∵锐角三角形， ∴a 2<c 2+b 2， ∴a =3，∴S △ABC =12acsinB =12×2×3×√32=3√32．解析：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，正余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．(1)由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用，结合sinC ≠0，可得cosB =12，根据范围B ∈(0,π)可求B 的值．(2)由已知利用三角形面积公式可得b =√7a3，由余弦定理可得a 2−9a +18=0，结合a ，b 的关系，进而根据三角形面积公式即可计算得解．20.答案：解：(1)由a 1a 5=8a 2得：a 1q 3=8，即a 4=8，又∵3a 4，28，a 6成等差数列，∴3a 4+a 6=56， 将a 4=8代入得：a 6=32． 从而：a 1=1，q =2． ∴a n =2n−1；(2)b n =2n a n=2n ⋅(12)n−1，T n =2×(12)0+4×(12)1+6×(12)2+⋯+2(n −1)⋅(12)n−2+2n ⋅(12)n−1……………………①12T n =2×(12)1+4×(12)2+6×(12)3+⋯+2(n −1)⋅(12)n−1+2n ⋅(12)n ……………………② ①−②得：12T n =2×[(12)0+2(12)1+(12)2+⋯+(12)n−1]−2n ⋅(12)n =2+2×12[1−(12)n−1]1−12−2n ⋅(12)n =4−(n +2)⋅(12)n−1．∴T n =8−(n +2)⋅(12)n−2．解析：(1)利用等差数列以及等比数列的通项公式列出方程组，求出数列的首项与公比，然后求解数列的通项公式；(2)化简通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查转化首项以及计算能力，是中档题．21.答案：解：(1)∵f(0)=0∴c=0…(2)，∴f(x)=2x3−12x…(4分)∴f′(x)=6x2−12=6(x+√2)(x−√2)，…(5分)列表如下：递减区间是(−√2,√2)…(8分)(2)∵f(−1)=10，f(√2)=−8√2，f(3)=18∴f(x)在[−1,3]上的最大值是f(3)=18，最小值是f(√2)=−8√2…(12分)解析：(1)由f(0)=0，求出c的值，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；(2)根据函数的单调性求出函数的最值即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．22.答案：解：(I)当a=1时f(x)=lnx−x2+xf′(x)=1x−2x+1，∴f(1)=0，f′(1)=0即：所求切线方程为：y=0，(II)∵f′(x)=1x−2ax+a=−2ax2+ax+1x,x>0∴当a=0时，f′(x)>0，f(x)在[1,2]上递增∴f(x)max=f(2)=ln2，当a≠0时可令g(x)=−2ax2+ax+1，x∈[1,2]．∵g(x)的对称轴x=14且过点(0,1)∴当a<0时，f′(x)>0在[1,2]恒成立，f(x)在[1,2]上递增∴f(x)max=f(2)=ln2−2a，当a>0时，若g(1)≤0，即：a≥1时，f′(x)<0在[1,2]恒成立，f(x)在[1,2]上递减，∴f(x)max=f(1)=0，若g(1)>0，g(2)<0，即：16<a<1时，f′(x)在[1,a+√a2+8a4a)上大于零，在(a+√a 2+8a4a,2]上小于零f(x)在[1,a+√a 2+8a4a)上递增，在(a+√a2+8a4a,2]上递减，∴f(x)max =f(a+√a 2+8a4a)=lna+√a 2+8a4a+√a 2+8a+a−48，若g(1)>0，g(2)≥0，即：0<a ≤16时，f′(x)>0在[1,2]恒成立， f(x)在[1,2]上递增，∴f(x)max =f(2)=ln2−2a ，综上：f(x)max ={ ln2−2a,a ≤16ln a+√a 2+8a 4a +√a 2+8a+a−48,16<a <10,a ≥1解析：(Ⅰ)通过a =1，求出函数的导数，得到切线的斜率，然后求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (Ⅱ)求出函数的导数，通过a 与0的大小，讨论，分别判断函数的单调性求解求f(x)在[1,2]的最大值．本题考查函数的导数的应用，闭区间上的函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．。

吉林市普通中学2018—2019学年度高中毕业班第一次调研测试理科数学本试卷共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟。

考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效。

4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1. 已知全集U R =，集合{|11}A x x x =<->或，则U A =ðA ． (,1)(1,)-∞-+∞B ． (,1][1,)-∞-+∞C ． (1,1)-D ． [1,1]-2. 若3sin(),25παα-=-为第二象限角，则tan α=A. 43-B. 43C. 34-D. 343. 在下列给出的四个结论中，正确的结论是A. 已知函数()f x 在区间(,)a b 内有零点，则()()0f a f b <B. 若1a b +=，则3是3a 与3b 的等比中项C. 若12,e e 是不共线的向量，且122,m e e =-1236n e e =-，则m ∥nD. 已知角α终边经过点(3,4)-，则4cos 5α=-4. 已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE =A. 12AB AD -+ B. 12AB AD -C. 12AB AD +D. 12AB AD -5. 已知21tan(),tan()544παββ+=-=, 则tan()4πα+的值为A ． 16B ． 2213C ． 322D ．13186. 在小正方形边长为1的正方形网格中, 向量,a b 的大小与方向如图所示，则向量,a b 所成角的余弦值是A.2B.C. 15D.6137. 若公比为2的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且52,9,a a 成等差数列，则20S =A. 2121-B.2021-C. 1921-D. 2221-8. 函数ln ||()x f x=的图象大致是 A.B. C.D.9. 已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，满足1494S a S +=，给出下列四个结论：①70a =；②140S =；③58S S =；④7S 最小. 其中一定正确的结论是A. ①③B. ①③④C. ②③④D. ①② 10. 若直线y ax =是曲线2ln 1y x =+的一条切线，则实数a =A. 12e- B. 122e-C.12eD.122e11. 将函数2()2cos ()16f x x ππ=+-的图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，最后得到图象对应的函数为奇函数，则ϕ的最小值为A.13B.23C.76D.5612. 已知等边ABC ∆的边长为2，则|23|AB BC CA ++=A.B.C. D. 12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

吉林市2019届高三第一次摸底考试数学理试题一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．计算：=（）A．i+1 B．i﹣1 C．﹣i+1 D．﹣i﹣12．已知A⊆B，A⊆C，B={1，2，3，5}，C={0，2，4，8}，则A可以是（）A．{1，2} B．{2，4} C．{2} D．{4}3．已知条件p：x2﹣2ax+a2﹣1＞0，条件q：x＞2，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣3 D．a≤﹣34．某程序图如图所示，该程序运行后输出的结果是（）A．3 B．4C．5D．65．已知某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（）6．将函数f（x）=2sin（+）的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）A．g（x）=2sin（+）﹣1 B．g（x）=2sin（﹣）+1C．g（x）=2sin（﹣）+1 D．g（x）=2sin（﹣）﹣17．已知等差数列{a n}的公差为2，若前17项和为S17=34，则a12的值为（）A．8 B． 6 C． 4 D． 28．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若b2﹣c2=ac，sinA=2sinC，则B=（）A．30°B．60°C．120°D．150°9．在（x﹣）8的二项展开式中，常数项为（）A．1024 B．1324 C．1792 D．﹣108010．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．2B．2C．4D．411．△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上的一点（包括端点），则•的取值范围是（）A．[1，2]B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣5，2]12．对函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为一三角形的三边长，则称f（x）为“三角型函数”，已知函数f（x）=（m＞0）是“三角型函数”，则实数m的取值范围是（）A．[1，4]B．[0，2]C．[2，4]D．[1，2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x，y满足不等式组，则目标函数z=2x+y的最大值为_________．14．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β其中正确命题的序号是_________．15．若动直线x=a与函数f（x）=sinxcosx和g（x）=cos2x的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为_________．16．若数列{a n}满足a1=2，a n+1=（n∈N*），则该数列的前2019项的乘积a1•a2•a3• (2019)_________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，3bcosA=ccosA+acosC．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为2，a=3，求b，c的长．18．（12分）已知数列{a n}是公差大于零的等差数列，数列{b n}为等比数列，且a1=1，b1=2，b2﹣a2=1，a3+b3=13（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式（Ⅱ）设c n=a n b n，求数列{c n}前n项和T n．19．（12分）一企业某次招聘新员工分笔试和面试两部分，人力资源部经理把参加笔试的40名学生的成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100），得到频率分布直方图如图所示（Ⅰ）分别求成绩在第4，5组的人数（Ⅱ）若该经理决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名进入面试，①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲和乙同时进入面试的概率②若经理决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望．20．（12分）一个多面体的直观图（图1）及三视图（图2）如图所示，其中M，N分别是AF、BC 的中点（Ⅰ）求证：MN∥平面CDEF：（Ⅱ）求二面角A﹣CF﹣B的余弦值；21．（12分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，并且经过定点P（，）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）问是否存在直线y=﹣x+m，使直线与椭圆交于A、B两点，满足OA⊥OB，若存在求m值，若不存在说明理由．22．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．数 学（理科）参考答案与评分标准一、选择题：二、填空题：13．6 14. ①③ 15. 1216. - 6 三、解答题：17．解：（Ⅰ）由正弦定理得：B C A A B sin )sin(cos sin 3=+=0sin ≠B1cos 3A ∴=----------------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）由题意得：1sin 2ABC S bc A ∆==6bc = ------------------ 7分由余弦定理得： 222222cos ,9()2,53a b c bc A b c bc bc b c =+-=+--+=联立上述两式,解得：2,3b c ==或3,2b c ==. ---------------------------10分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为(0)d d >，数列{}n b 的公比为q由已知得：22(1)112213q d d q -+=⎧⎨++=⎩，解得：10242d d q q =-=⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩， --------------------3分 因为0d >，所以2,2d q ==， 112(1)21,222n nn n a n n b -=+-=-=⨯=即21(*),2(*)nn n a n n N b n N =-∈=∈ ------------------------------------------6分 （Ⅱ） 23123252(21)2(1)n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯--------- 23412123252(21)2(2)n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⨯-------（2）－（1）得：23112222222(21)2n n n T n +=-⨯-⨯-⨯--⨯+-⨯341131112222(21)22(12)2(21)2126(23)2n n n n n n n n ++-++=-----+-⨯-=--+-⨯-=+-⨯---------------------------------12分 19．（本小题满分12分）解（Ⅰ）第4组学生人数为0.045408⨯⨯= ，第5组人数为0.025404⨯⨯= 所以第4，5组的学生人数分别为8人，4人 -----------------------------------------4分 （Ⅱ）①因为第3组学生人数为0.0654012⨯⨯=，所以第3，4，5中抽取的人数分别是3人，2人，1人，则甲，乙同时进入面试的概率为110312122C P C == ---------------------8分②由①知，X 的可能取值为0，1，2所以21124422222666281(0),(1),(2)51515C C C C P X P X P X C C C ========= X 分布列为2812515153EX =⨯+⨯+⨯= --------------------------------------------- 12分20．（本小题满分12分）解（1）证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF,且AB=BC=BF=4,DE=CF=90CBF ∠=︒ ,连结BE, M 在BE 上，连结CEEM=BM,CN=BN, 所以MN ∥,CE CE CDEF ⊂面,所以//MN 平面CDEF ------5分 （II ）--------------------------------------9分-------------------------------------------------------12分z（II ）另解：以EA,AB,AD 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空 间直角坐标系，所以(0,0,0),(0,4,0),(0,4,4),(4,4,0)A B C F - 面CBF 法向量为(0,1,0)n =(0,4,4),(4,0,4)CA CF =--=-- -----------------8分设面ACF 法向量为(,,)m x y z =，(,,)(0,4,4)0440(,,)(4,0,4)0440m CAx y z y z x y z x z m CF⎧⊥--=--=⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨--=--=⊥⎩⎩⎪⎩ 取1z =-，所以1,1,(1,1,1)x y m ===-设二面角A CF B --为θ，3cos ||||m n m n θ===-----------12分 21．（本小题满分12分） 解（Ⅰ）由题意：c e a ==且223114a b +=，又222c a b =- 解得：224,1a b ==，即：椭圆E 的方程为2214x y += ------------------5分 （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y22222214()40584404x y x m x x mx m y x m⎧+=⎪⇒+--=⇒-+-=⎨⎪=-+⎩ （*） 所以21212844,55m m x x x x -+== --------------------------------------------------7分 222212121212844()()()55m y y m x m x m m x x x x m m -=--=-++=-+245m -=-----------------------------------9分由0OA OB OA OB ⊥⇒=得2211221212444(,)(,)0,0,0,55m m x yx y x x y y m --=+=+== ----------11分 又方程（*）要有两个不等实根，22(8)45(44)0,m m m ∆=--⨯-><m 的值符合上面条件，所以m = ------------------------------------------12分22．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知1()2(0)f x x x'=+>， (1)213f '=+=，所以斜率3k =， 又切点(1,2)，所以切线方程为23(1)y x -=-)，即310x y --=故曲线()y f x =在1x =处切线的切线方程为310x y --=。

吉林省长春2019届上学期第一次质量检测试题高三理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合}log ,3{2a P =，{}b a Q ,=，若}0{=Q P ，则=Q P （ ）A.{}0,3B.{}2,0,3C.{}1,0,3D.{}2,1,0,3 【答案】C .考点：集合间的基本运算；2.已知向量(,1)a λ→=，(2,1)b λ→=+，若a b a b →→→→+=-，则实数λ的值为( )A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣2【答案】C . 【解析】试题分析：因为向量(,1)a λ→=，(2,1)b λ→=+，所以(22,2)a b λ→→+=+，(2,0)a b →→-=-，于是由a b a b →→→→+=-2=，解之得1λ=-，故应选C .考点：平面向量的坐标运算；【方法点晴】本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的模的概念，属于容易题.解题时一定要注意正确的计算平面向量的坐标运算，并准确地运用平面向量模的概念建立等式关系，否则很容易导致计算错误.作为一道选择题还可以选择代值法，逐一进行验证每个选项是否满足已知条件，若不是，则排除之；若是，即为所求的答案.3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若469,11a a ==，则9S 等于( )A ．180B ．90C ．72D ．10【答案】B .考点：1、等差数列；2、等差数列的前n 项和；4.下列函数中，既是偶函数又在(),0-∞上单调递增的函数是( ) A ．2y x = B ．2xy = C.21log y x= D ．sin y x = 【答案】C . 【解析】试题分析：对于选项A ，函数2y x =为偶函数但在(),0-∞上单调递减的函数，不符合题意；对于选项B ，函数2xy =为偶函数但在(),0-∞上单调递减的函数，不符合题意；对于选项C ，函数21log y x=为偶函数且在(),0-∞上单调递增的函数，符合题意；对于选项D ，函数sin y x =为奇函数，不符合题意，故应选C .考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性. 5.设复数iz --=12，则在复平面内z i ⋅对应的点坐标为（ ） A .()1,1 B ．()1,1- C ．()1,1-- D ． ()1,1- 【答案】D . 【解析】试题分析：因为复数i z --=122(1)1(1)(1)i i i i -+==-+---+，所以1z i -=--，于是(1)1i z i i i -⋅=--=-，所以在复平面内z i ⋅对应的点坐标为()1,1-，故应选D . 考点：1、复数的基本概念；2、复数的四则运算. 6.如图所示，程序框图的功能是（ ） A ．求{n 1}前10项和 B ．求{n 21}前10项和 C ．求{n 1}前11项和 D ．求{n21}前11项和 第6题图【答案】B .考点：1、算法与程序框图；7.某几何体的三视图如右图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x 的值是（ ） A. 2 B.92 C.32D.3【答案】C .【解析】试题分析：由三视图可知，原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、搞分别为1、2、2的直角梯形，一条边长为x 的侧棱垂直于底面.于是其体积为12(12)3322x ⨯+⨯=，解之得32x =，故应选C .考点：1、三视图；2、空间几何体的体积. 8.有下列关于三角函数的命题： 1:,()2P x x k k ∀∈≠+∈R Z ππ，若tan 0x >，则sin 20x >；2:P 函数3sin()2y x π=-与函数cos y x =的图像相同； 300:,2cos P x x π∃∈=R ；4:P 函数|cos |y x =()x ∈R 的最小正周期为2π．其中的真命题是（ ）A. 1P ，4P B ．2P ，4P C ．2P ，3P D ．1P ，2P【答案】D .考点：1命题的真假判断与应用；9.设,,a b c 是空间三条直线，α,β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（ ） A. 当c α⊥时，若c β⊥，则α∥β B. 当b α⊂时，若b β⊥，则βα⊥C. 当α⊂b ，且c 是a 在α内的射影时，若b c ⊥，则a b ⊥D. 当α⊂b ，且α⊄c 时，若c ∥α，则b ∥c 【答案】B .考点：1、空间中直线与平面之间的位置关系； 2、空间中直线与直线之间的位置关系；3、空间中平面与平面之间的位置关系.10.下列四个结论正确的个数是（ ）①若n 组数据()()n n y x y x ,,,11 的散点都在12+-=x y 上，则相关系数1-=r ②由直线,2,21==x x 曲线x y 1=及x 轴围成的图形的面积是2ln 2③已知随机变量ξ服从正态分布(),,12σN (),79.04=≤ξP 则()21.02=-≤ξP ④设回归直线方程为x y 5.22-=∧，当变量x 增加一个单位时，∧y 平均增加2.5个单位A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D . 【解析】试题分析：对于①，因为n 组数据()()n n y x y x ,,,11 的散点都在12+-=x y 上，则相关性最强，所以相关系数为1-，即①为正确的；对于②，由定积分的几何意义知，由直线,2,21==x x 曲线x y 1=及x 轴围成的图形的面积可表示为22112211ln ln 2ln2ln 22dx x x==-=⎰，即②为正确的；对于③，由正态分布的对称性知，(2)(4)1(4)10.790.21P P P ξξξ≤-=≥=-≤=-=，即③为正确的；对于④，因为回归直线方程为x y 5.22-=∧，当变量x 增加一个单位时，∧y 平均减少2.5个单位，所以④不正确，故应选D . 考点：1、命题的真假判断；2、线性回归方程；3、定积分的几何意义；4、正态分布.11.直线2:,:21+==x y l x y l 与圆C 02222=--+ny mx y x 的四个交点把圆C 分成的四条弧长相等，则=m （ ）A .0或1 B. 0或1- C ． 1- D ． 1 【答案】B .考点：1、直线与圆的位置关系；【易错点晴】本题主要考查了直线与圆相交的性质问题，属于易错题.其解题中易错点有三：其一是没能观察发现题意隐藏的条件即直线1l 与2l 平行，否则解答无法进行；其二是一定要正确地画出图形，并结合图形进行解答，否则很容易出现错误；其三还应全面、准确地考虑问题，学生容易出现只片面的考虑其中一种情况，进而导致错误的出现.12.已知函数()f x 的定义域为R ，且满足(4)1f =，)(x f '为()f x 的导函数，又知)(x f y '= 的图像如图所示，若两个正数b a ,满足，1)2(<+b a f ，则12++a b 的取值范围是（ ） A ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛6,32B ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,32 C ．]25,41[ D ．⎪⎭⎫⎝⎛25,41【答案】A .考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用；2、导数的几何意义3、线性规划.【思路点晴】本题属于线性规划中的延伸题，主要考查导函数的几何意义、线性规划等综合知识，属较难题. 对于可行域内求线性目标函数的最值，其解题的思路为：首先利用导数与函数的关系可得关于,a b 的不等关系式，然后画出关于,a b 的可行域，再结合直线斜率的几何意义可知，式子12++a b 表示的几何意义是可行域中的点与(1,2)--的连线的斜率问题，运用数形结合思想即可得出结论.第Ⅱ卷（共110分）（非选择题共110分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.二项式5的展开式中常数项为 ． 【答案】10-. 【解析】试题分析：因为二项式5的展开式的通项为：1555655((1)rr r r r r C C x --=-，令1550r -=，即3r =，所以其展开式中的常数项为：335(1)10C -=-，故应填10-.考点：1、二项式定理.14.记集合(){}()221,1,,00x y A x y x y B x y x y ⎧+≤⎧⎫⎪⎪⎪=+≤=≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪≥⎩⎭⎩构成的平面区域分别为,M N ，现随机地向M 中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N 中的概率为_________． 【答案】π21.考点：1、几何概型的概率计算公式； 15.已知数列{}n a为等比数列，且201320150a a +=⎰，则2014201220142016(2)a a a a ++的值为【答案】2π. 【解析】试题分析：因为π=⎰，所以201320150a a π+==⎰，则2014201220142016(2)a a a a ++22220142012201420142016201320132015201522a a a a a a a a a =++=++220132015()a a =+2π=，故应填2π.考点：1、等比数列的性质；2、定积分；【思路点晴】本题综合考查了等比数列及其性质和定积分的计算，是数列与定积分的综合应用，属中档题.解答该题基本思路：首先运用定积分的几何意义求出已知的定积分，然后利用等比数列的性质即若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅，建立起所求的未知问题与已知条件之间的联系，最后运用平方和公式即可求出所求答案.16.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，对x R ∀∈都有()()13-=-x f x f 成立，当(0,1]x ∈且12x x ≠时，有2121()()0f x f x x x -<-, 给出下列命题(1) ()f x 在[2,2]-上有5个零点；(2) 点(2016,0)是函数()y f x =的一个对称中心； (3) 直线2016x =是函数()y f x =图像的一条对称轴； (4)()()π<f f 2.9. 则正确的是 ．【答案】(1)、(2)、(4).00.841π<<-<，所以(0.8)(4)f f π>-，所以(9.2)()f f π<，即命题（4）正确. 故应填(1)、(2)、(4).考点：1、函数的奇偶性；2、函数的周期性；3、函数的对称性；4、函数的单调性.【易错点晴】本题综合考查了函数的奇偶性、函数的周期性和函数的单调性，是函数的图像及其性质的综合应用，属较难题.解答该题应注意以下几个易错点：其一是未能读懂题意，不能将题目表达式转化为所学的函数性质问题如函数的周期性和单调性；其二是对函数的图像未能准确把握，不能正确理解函数的对称中心和对称轴的基本概念.三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本题满分10分) 在ABC ∆中，已知角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且C B A ,,成等差数列。

吉林吉林2019高三上开学摸底考试-数学（理）数 学〔理科〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。

第一卷〔选择题 共60分〕【一】选择题：本大题共12题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1、设全集{1,2,3,4,5}U =,集合{1,2}A =,{2,3}B =,那么()UA B ð=A 、{4,5}B 、{2,3}C 、{1}D 、{1,2}2、抛物线24y x =的准线方程为 A. 2x =B. 2x =-C. 1x =D. 1x =-3. 复数i 212i-=+A. iB. i -C.43i 55--D.43i 55-+ 4. 在等差数列{}n a 中，351028a a a ++=，那么此数列的前13项的和等于A. 8B. 13C. 16D. 265. 假设m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，那么以下结论正确的选项是A. 假设m 、n 都平行于平面α，那么m 、n 一定不是相交直线；B. 假设m 、n 都垂直于平面α，那么m 、n 一定是平行直线；C. α、β互相垂直，m 、n 互相垂直，假设m ⊥α，那么n ⊥β；D. m 、n 在平面α内的射影互相垂直，那么m 、n 互相垂直. 6. 如图，该程序运行后输出的结果为 A 、15 B 、21 C 、28 D 、36 7. 曲线3y x =在点(1,1)处的切线方程为 A. 320x y --= B. 2C. 320x y --=D. 230x y --=,"1"x R x ∈>则是“2x >”的必要不充分条件;(3)假设,[0,2]a b ∈，那么不等式2214a b +<成立的概率是16π.其中正确命题的个数是A.0B.1C.2D.39.(12)n x +的展开式中3x 的系数等于2x 的系数的4倍，那么n 等于 A 、7 B 、8 C 、9D 、1010.如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为线段BC 1上的动点，那么以下判断错误的选项是．．．．．． A 、DB 1⊥平面ACD 1 B 、BC 1∥平面ACD 1 C 、BC 1⊥DB 1D 、三棱锥P-ACD 1的体积与P 点位置有关11.函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为奇函数，该函数的部分图象如下图，EFG ∆是边长为2的等边三角形，那么(1)f 的 值为 A、2-B、2-CD、12.设函数()f x 的定义域为D ，如果对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得12()()2f x f x C+=成立〔其中C 为常数〕，那么称函数()y f x =在D 上的“算术均值”为C ，那么以下函数在其定义域上的“算术均值”可以为2的函数是A 、2y x =B 、4sin y x =C 、ln y x =D 、2x y =第二卷〔非选择题共90分〕【二】填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分、把答案填在答题卡的相应位置、 13、假设一个几何体的三视图如右，那么这个几何体的表面积为14.f(x)是R 上的偶函数，且在(－∞,0]上是减函数，那么 不等式f(x)≤f(3)的解集是 15.向量(1,2),(4,),a x b y =-=且,a b ⊥那么93x y+的最小值为16.当对数函数log (01)ay x a a =>≠且的图象至少经过区域(,)80(,)30x y M x y x y x y R y ⎧⎫-≥⎧⎪⎪⎪=+-≤∈⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≥⎩⎩⎭内的一个点时，实数a 的取值范围是【三】解答题：本大题共6小题，共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、17、〔本小题总分值10分〕设锐角△ABC 的三内角A B C 、、的对边长分别为a 、b 、c ，b 是a 、c 的等比中项，且3sin sin 4A C =. (1)求角B 的大小；(2)假设[0,)x π∈，求函数()sin()sin f x x B x =-+的值域. 18、〔本小题总分值12分〕设{}n a 是一个公差为2的等差数列，124,,a a a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)数列{}nb 满足2n n a b n =，设{}n b 的前n 项和为n S ，求n S .19、〔本小题总分值12分〕一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片。