2015高一物理 2.1 圆周运动 每课一练1(教科版必修2)

题组一 对匀速圆周运动的理解1．下列对于匀速圆周运动的说法中，正确的是( ) A ．线速度不变的运动 B ．角速度不变的运动 C ．周期不变的运动 D ．转速不变的运动 答案 BCD解析 匀速圆周运动的角速度、周期、转速不变，线速度时刻在变，故应选B 、C 、D. 2．对于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是( ) A ．其角速度与转速成正比，与周期成反比B ．运动的快慢可用线速度描述，也可用角速度来描述C ．匀速圆周运动是匀速运动，因为其速率保持不变D ．做匀速圆周运动的物体，所受合力为零 答案 AB解析 做匀速圆周运动的物体，其运动的快慢用线速度或角速度描述，转速与角速度的关系是ω＝2πn ，周期与角速度的关系是ω＝2πT ，即角速度与转速成正比，与周期成反比，故A 、B 正确；匀速圆周运动的速率保持不变，但速度的方向时刻变化，故是非匀速运动，C 错误；匀速圆周运动是变速运动，故做匀速圆周运动的物体一定受到合力作用，故D 错误．3．质点做匀速圆周运动，则( )A ．在任何相等的时间里，质点的位移都相等B ．在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等C ．在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同D ．在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等 答案 BD解析 如图所示，经T 4，质点由A 运动到B ，再经T4，质点由B 运动到C ，由于线速度大小不变，根据线速度的定义，Δs ＝v ·T4，所以相等时间内通过的路程相等，B 对．位移x AB 、x BC 大小相等，方向并不相同，故平均速度不同，A 、C 错．由角速度的定义ω＝ΔφΔt知Δt 相同，Δφ＝ωΔt 相同，D 对． 题组二 圆周运动各物理量间的关系4．关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下列说法中正确的是( )A ．线速度大的角速度一定大B ．线速度大的周期一定小C ．角速度大的半径一定小D ．角速度大的周期一定小 答案 D解析 解决这类题目的方法是：确定哪个量不变，寻找各物理量之间的联系，灵活选取公式进行分析．由v ＝ωr 知，v 越大，ω不一定越大；ω越大，r 不一定越小，故A 、C 均错误；由v ＝2πr T 知，v 越大，T 不一定越小，B 错误；而由ω＝2πT 可知，ω越大，T越小，故D 正确．5．甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法中正确的是( )A ．它们的半径之比为2∶9B ．它们的半径之比为1∶2C ．它们的周期之比为2∶3D ．它们的周期之比为1∶3 答案 AD解析 由v ＝ωr ，得r ＝v ω，r 甲r 乙＝v 甲ω乙v 乙ω甲＝29，A 对，B 错；由T ＝2πω，得T 甲∶T 乙＝2πω甲∶2πω乙＝13，C 错，D 对． 6．一个电子钟的秒针角速度为( )A ．π rad /sB ．2π rad/sC ．π/30 rad/sD ．π/60 rad/s 答案 C7．假设“神舟十号”实施变轨后做匀速圆周运动，共运行了n 周，起始时刻为t 1，结束时刻为t 2，运行速度为v ，半径为r .则计算其运行周期可用( ) A ．T ＝t 2－t 1n B ．T ＝t 1－t 2nC ．T ＝2πrv D ．T ＝2πv r答案 AC解析 由题意可知飞船匀速圆周运动n 周所需时间Δt ＝t 2－t 1，故其周期T ＝Δtn ＝t 2－t 1n，故选项A 正确．由周期公式有T ＝2πrv ，故选项C 正确． 8．汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长．某国产轿车的车轮半径约为30 cm ，当该型号轿车在高速公路上行驶时，驾驶员面前的速率计的指针指在“120 km/h ”上，可估算出该车车轮的转速为( ) A ．1 000 r/s B ．1 000 r/min C ．1 000 r/h D ．2 000 r/s 答案 B解析 由v ＝rω，ω＝2πn 得n ＝v 2πr ＝120×1033 600×2×3.14×30×10－2 r/s ≈17.7 r/s ≈1 000 r/min. 题组三 同轴转动和皮带传动问题图19．如图1所示是一个玩具陀螺．a 、b 和c 是陀螺上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是( ) A ．a 、b 和c 三点的线速度大小相等 B ．a 、b 和c 三点的角速度相等 C ．a 、b 的角速度比c 的大D ．c 的线速度比a 、b 的大 答案 B解析 a 、b 和c 均是同一陀螺上的点，它们做圆周运动的角速度都为陀螺旋转的角速度ω，B 对，C 错；三点的运动半径关系为r a ＝r b >r c ，据v ＝ωr 可知，三点的线速度关系为v a ＝v b >v c ，A 、D 错．图210．如图2所示，圆盘绕过圆心且垂直于盘面的轴匀速转动，其上有a 、b 、c 三点，已知Oc ＝12Oa ，则下列说法中错误．．的是( )A ．a 、b 两点线速度相同B ．a 、b 、c 三点的角速度相同C ．c 点的线速度大小是a 点线速度大小的一半D ．a 、b 、c 三点的运动周期相同 答案 A解析 同轴转动的不同点角速度相同，B 正确；根据T ＝2πω知，a 、b 、c 三点的运动周期相同，D 正确；根据v ＝ωr 可知c 点的线速度大小是a 点线速度大小的一半，C 正确；a 、b 两点线速度的大小相等，方向不同，A 错误．故说法错误的是A.图311．两个小球固定在一根长为1 m 的杆的两端，杆绕O 点逆时针旋转，如图3所示，当小球A 的速度为3 m/s 时，小球B 的速度为12 m/s.则小球B 到转轴O 的距离是( ) A ．0.2 m B ．0.3 m C ．0.6 m D ．0.8 m 答案 D解析 设小球A 、B 做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，则v 1∶v 2＝ωr 1∶ωr 2＝r 1∶r 2＝1∶4，又因r 1＋r 2＝1 m ，所以小球B 到转轴O 的距离r 2＝0.8 m ，D 正确．图412．如图4所示为某一皮带传动装置，主动轮的半径为r 1，从动轮的半径为r 2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n ，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是( ) A ．从动轮做顺时针转动 B ．从动轮做逆时针转动 C ．从动轮的转速为r 1r 2n D ．从动轮的转速为r 2r 1n答案 BC解析 主动轮顺时针转动时，皮带带动从动轮逆时针转动，A 项错误，B 项正确；由于两轮边缘线速度大小相同，根据v ＝2πrn ，可得两轮转速与半径成反比，所以C 项正确，D 项错误．13．如图5所示的传动装置中，B 、C 两轮固定在一起绕同一轴转动，A 、B 两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是r A ＝r C ＝2r B .若皮带不打滑，则A 、B 、C 三轮边缘上a 、b 、c 三点的( )图5A ．角速度之比为1∶2∶2B ．角速度之比为1∶1∶2C ．线速度之比为1∶2∶2D ．线速度之比为1∶1∶2 答案 AD解析 A 、B 两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A 、B 两轮边缘的线速度大小相等，B 、C 两轮固定在一起绕同一轴转动，则B 、C 两轮的角速度相等． a 、b 比较：v a ＝v b由v ＝ωr 得：ωa ∶ωb ＝r B ∶r A ＝1∶2 b 、c 比较：ωb ＝ωc由v ＝ωr 得：v b ∶v c ＝r B ∶r C ＝1∶2 所以ωa ∶ωb ∶ωc ＝1∶2∶2v a ∶v b ∶v c ＝1∶1∶2 故A 、D 正确． 题组四 综合应用14．某转盘每分钟转45圈，在转盘离转轴0.1 m 处有一个小螺帽，求小螺帽做匀速圆周运动的周期、角速度、线速度． 答案 43 s 3π2 rad/s 3π20 m/s解析 由周期和转速的关系可求周期 T ＝1n ＝6045 s ＝43s角速度ω＝ΔφΔt ＝2πT ＝3π2 rad/s线速度v ＝ωr ＝3π20m/s.图615．如图6所示，小球A 在光滑的半径为R 的圆形槽内做匀速圆周运动，当它运动到图中a 点时，在圆形槽中心O 点正上方h 处，有一小球B 沿Oa 方向以某一初速度水平抛出，恰好在a 点与A 球相碰，求： (1)B 球抛出时的水平初速度； (2)A 球运动的线速度的最小值． 答案 (1)Rg2h(2)2πR g 2h解析 (1)小球B 做平抛运动，其在水平方向上做匀速直线运动，则R ＝v 0t ① 在竖直方向上做自由落体运动，则h ＝12gt 2②由①②得v 0＝Rt＝Rg 2h. (2)设相碰时，A 球转了n 圈，则A 球的线速度 v A ＝2πR T ＝2πRt /n＝2πRn g2h当n ＝1时，其线速度有最小值，即g v min＝2πR2h.。

圆周运动的实例分析1．当汽车以相同的速率分别行驶在凸形桥的最高点和凹形桥的最低点时，汽车对桥的压 力的区别如下表所示 .内容项目 凸形桥 凹形桥受力分析图以 a 方向为 mg － N 1＝mv2N 2－mg ＝ mv2正方向，根据rr牛顿第二定N 1＝ mg －mv2N 2＝mg ＋ mv2律列方程rrN 1′＝ N 1N 2′＝ N 2牛顿第三定律22＝ mg － mv＝ mg ＋ mvrrv 增大，N 1 减小；当 v ＝ gr 时，2 增大，只要 v ≠0，讨论N 1＝ 0v 增大， NN 1<N 2由上表比较可知，汽车在凹形桥上行驶对桥面及轮胎损害较大，但在凸形桥上，最高点速率不能超过 ________．当汽车以 v ≥ gr 的速率行驶时，将做 __________，不再落到 桥面上．2．圆锥摆运动的小球做匀速圆周运动的向心力是其________和 ____________的合力提供的．设悬线与竖直方向的夹角为 α，由于 F 合 ＝________， r ＝ lsin α，结合向心力公式可求圆锥摆运动的角速度为 ω＝g .lcos α3．火车转弯时实际是在做圆周运动，因而具有____________，需要 __________ ．如果转弯时内外轨一样高，则由 ________________ 提供向心力，这样，铁轨和车轮易受 损． 如果转弯处外轨略高于内轨，火车转弯时铁轨对火车的支持力不再是竖直向上的，而是 ________________ ，它与重力的合力指向 ________，为火车提供了一部分向心力，减轻 了轮缘与外轨的挤压．修筑铁路时，要适当设计内外轨的高度差，使火车以规定的速度 行驶时，转弯需要的向心力几乎完全由________________________ 提供．4．(1) 离心现象：如果一个正在做匀速圆周运动的物体在运动过程中向心力突然消失或合力不足以提供所需的向心力时，物体就会沿切线方向飞出或 ________圆心运动，这就 是离心现象．离心现象并非受“离心力”作用的运动． 2mv(2)做圆周运动的物体所受的合外力F 合指向圆心，且 F 合＝ ，物体做稳定的 ______ ；r所受的合外力 F 合 突然增大，即 F 合 >mv 2/r 时，物体就会向内侧移动，做________运动； 所受的合外力 F 合 突然减小，即 F 合 <mv 2/r 时，物体就会向外侧移动，做 ________运动， 所受的合外力 F 合 ＝ 0 时，物体做离心运动，将沿切线方向飞出．5．匀速圆周运动、离心运动、向心运动的比较：匀速圆周运动 离心运动向心运动受力 ________等于做圆周运 合外力 __________或者合外力 ________做圆周________ 提供圆周运动特点 动所需的向心力运动所需的向心力所需的向心力图示力学F ____mr ω2F ____mr ω2(或 F ＝ 0)F ____mr ω2- 1 -方程【概念规律练】知识点一汽车过桥问题1．汽车驶向一凸形桥，为了在通过桥顶时，减小汽车对桥的压力，司机应()A．以尽可能小的速度通过桥顶B．适当增大速度通过桥顶C．以任何速度匀速通过桥顶D．使通过桥顶的向心加速度尽可能小2．如图 1 所示，图 1质量 m＝ 2.0× 104 kg 的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为 20 m．如果桥面承受的压力不得超过3.0×105 N，则：(1)汽车允许的最大速率是多少？(g 取 10 m/s2)(2)若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？知识点二“ 旋转秋千” 与圆锥摆图 23．如图 2 所示，链球运动员在将链球抛掷出手之前，总要双手拉着链条加速转动几圈，这样可以使链球速度尽量增大，抛掷出手后飞行得更远．在运动员加速转动的过程中，能发现他手中与链球相连的链条与竖直方向的夹角θ将随着链球转速的增大而增大，试通过分析计算说明：为什么θ角随链球转速的增大而增大．知识点三火车转弯问题4．在某转弯处，规定火车行驶的速率为v0，则下列说法中正确的是()A ．当火车以速率v0行驶时，火车的重力与支持力的合力方向一定沿水平方向- 2 -B．当火车的速率v>v0 时，火车对外轨有向外的侧向压力C．当火车的速率v>v0 时，火车对内轨有向内的挤压力D．当火车的速率v<v0时，火车对内轨有向内侧的压力5．修铁路时，两轨间距是 1 435 mm，某处铁路转弯的半径是 300 m，若规定火车通过这里的速度是 72 km/h. 请你运用学过的知识计算一下，要想使内外轨均不受轮缘的挤压，内外轨的高度差应是多大？知识点四离心运动6.图 3如图 3 所示，光滑水平面上，小球m 在拉力 F 作用下做匀速圆周运动，若小球运动到P点时，拉力 F 发生变化，下列关于小球运动情况的说法正确的是()A ．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa 做离心运动B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pa 做离心运动C．若拉力突然变小，小球将可能沿轨迹Pb 做离心运动D．若拉力突然变大，小球将可能沿轨迹Pc 做向心运动【方法技巧练】竖直平面内圆周运动问题的分析方法7．如图 4 所示，图 4小球 m 在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正确的是()A ．小球通过最高点时的最小速度是v＝ gRB．小球通过最高点时的最小速度为0C．小球在水平线ab 以下的管道中运动时内侧管壁对小球一定无作用力D．小球在水平线ab 以上的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力- 3 -图 58．杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直面内做圆周运动．如图 5 所示，杯内水的质量 m＝ 0.5 kg，绳长 l＝ 60 cm.求：(1)在最高点水不流出的最小速率．(2)水在最高点速率v＝ 3 m/s 时，水对杯底的压力大小．1．关于铁路转弯处内外轨道间有高度差，下列说法正确的是()A．可以使列车顺利转弯，减小车轮与铁轨间的侧向挤压B．因为列车转弯时要受到离心力的作用，故一般使外轨高于内轨，以防列车翻倒C．因为列车转弯时有向内侧倾倒的可能，故一般使内轨高于外轨，以防列车翻倒D．以上说法都不正确2．在高速公路的拐弯处，路面造的外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为θ.设拐弯路段是半径为R 的圆弧，要使车速为v 时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零，θ应等于 ()2v 2vA ． arcsin Rg B． arctan Rg1 2v2 v 2C.2arcsin Rg D． arccot Rg3．一辆卡车在丘陵地匀速行驶，地形如图 6 所示， b 处比 d 处平缓，由于轮胎太旧，爆胎可能性最大的地段应是 ( )图 6A ． a 处B． b 处C． c 处D． d 处4．洗衣机的脱水筒在工作时，有一衣物附着在竖直的筒壁上，则此时()A．衣物受重力、筒壁弹力和摩擦力作用B．衣物随筒壁做圆周运动的向心力由摩擦力提供C．筒壁的弹力随筒转速的增大而增大D．筒壁对衣物的摩擦力随筒转速的增大而增大5．铁路转弯处的弯道半径r 主要是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h 的设计不仅与r 有关，还与火车在弯道上的行驶速率v 有关．下列说法正确的是()A ． v 一定时， r 越小则要求h 越大B． v 一定时， r 越大则要求h 越大- 4 -C． r 一定时， v 越大则要求 h 越大D． r 一定时， v 越小则要求 h 越大6．冰面对溜冰运动员的最大静摩擦力为运动员重力的k 倍，在水平冰面上沿半径为R 的圆周滑行的运动员，其安全速度为()A ． v＝ k RgB ． v≤ kRgC． v≤ 2kRg D ．v≤Rg k7．用细绳拴着质量为m 的物体，在竖直平面内做圆周运动，则下列说法正确的是() A．小球过最高点时，绳子张力可以为零B．小球过最高点时的最小速度是零C．小球过最高点时的速度v≥grD．小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受重力方向相反8．有一种大型游戏器械，它是一个圆筒形大容器，筒壁竖直，游客进入容器后靠筒壁站立．当圆筒开始转动，转速加快到一定程度时，突然地板塌落，游客发现自己没有落下去，这是因为 ()A．游客受到的筒壁的弹力垂直于筒壁并提供向心力B．游客处于失重状态C．游客受到的摩擦力等于重力D．游客随着转速的增大有沿壁向上滑动的趋势图 79．长度为 L＝ 0.50 m 的轻质细杆 OA，A 端有一质量为m＝ 3.0 kg 的小球，如图 7 所示，小球以 O 点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是 2.0 m/s， g 取210 m/s ，则此时细杆 OA 受到 ()A．6.0 N 的拉力B． 6.0 N 的压力C． 24 N 的拉力D． 24 N 的压力10.图 8两个质量相同的小球，在同一水平面内做匀速圆周运动，悬点相同，如图8所示，A运动的半径比 B 的大，则 ( )A ． A 受到的向心力比B 的大B． B 受到的向心力比 A 的大C． A 的角速度比 B 的大D． B 的角速度比 A 的大题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 号答案11.一辆质量为 4 t 的汽车驶过一半径为50 m 的凸形桥面时，始终保持 5 m/s 的速率，汽- 5 -车所受的阻力为车对桥面压力的0.05 倍．求通过桥的最高点时汽车的牵引力是多大？(g取 10 m/s 2)12.图 9如图 9 所示，半径为R、内径很小的光滑半圆形细管竖直放置，有两个质量均为m 的小球 A、B，以不同的速率进入管内，若A球通过圆周最高点N 时，对管壁上部压力为3mg，mg，求A、B两球在N点的速度之比．B 球通过最高点N 时，对管壁下部压力为2第节圆周运动的实例分析课前预习练1.gr 平抛运动2．重力悬线拉力 mgtan α3．向心加速度向心力外轨对轮缘的弹力斜向弯道的内侧圆心重力 G 和支持力N 的合力4．(1)远离(2)匀速圆周运动向心离心5．合外力突然消失不足以大于＝< >课堂探究练1．B(2)10 5 N2．(1)10 m/s解析(1) 汽车在凹形桥底部时对桥面压力最大，由牛顿第二定律得：2v maxN1－ mg＝ m r.代入数据解得v max＝ 10 m/s.(2)汽车在凸形桥顶部时对桥面压力最小，由牛顿第二定律得：2mv代入数据解得N2＝ 105 N.- 6 -由牛顿第三定律知汽车对桥面的最小压力等于105 N.点评(1)汽车行驶时，在凹形桥最低点，加速度方向竖直向上，汽车处于超重状态，故 对桥面的压力大于重力；在凸形桥最高点，加速度方向竖直向下，处于失重状态，故对桥面的压力小于重力．(2)汽车在拱形桥的最高点对桥面的压力小于或等于汽车的重力． ①当 v ＝ gR 时， N ＝0.②当 v> gR 时，汽车会脱离桥面，发生危险． ③当 0≤ v< gR 时， 0<N ≤ mg. 3．见解析解析如图所示，设链球的绳长为L ，绳对球的拉力为 F ，链球重力为 mg ，由正交分解2得 Fcos θ＝ mg ， Fsin θ＝m ω r ， r ＝ Lsin θg联立三式解得cos θ＝ω2L .由此式可以看出转速增大，ω增大， cos θ值减小， θ变大，所以θ角随链球转速的增大 而增大．点评 分析圆锥摆运动时应注意以下两个问题：①分析物体受力，确定其运动所需的向心力；②确定圆周运动的半径． 4．ABD 5．0.195 m解析火车在转弯时所需的向心力由火车所受的重力和轨道对火车支持力的合力提供22vv的，如图所示，图中h 为两轨高度差，d 为两轨间距， mgtan α＝ m r ， tan α＝gr ，又由于轨道h平面和水平面间的夹角一般较小，可近似认为： tan α≈sin α＝ d .h v 2 v 2d 202×1.435因此： d ＝ gr ，则 h ＝ gr ＝9.8× 300 m ＝ 0.195 m.点评 近似计算是本题关键的一步，即当角度很小时 sin α≈ tan α.mv 26．ACD [ 由 F ＝ r知，拉力变小， F 不足以提供所需向心力、 r 变大、小球做离心运动；反之， F 变大，小球做向心运动． ]7． BC [小球沿管道做圆周运动的向心力由重力及管道对小球的支持力的合力沿半径方向的分力提供．由于管道的内、外壁都可以提供支持力，因此过最高点的最小速度为 0，A 错误， B 正确；小球在水平线 ab 以下受外侧管壁指向圆心的支持力作用，C 正确；在 ab 线以上- 7 -是否受外侧管壁的作用力由速度大小决定，D 错误．]8．(1)2.42 m/s (2)2.6 N解析(1)在最高点水不流出的条件是水的重力不大于水做圆周运动所需要的向心力，即 v 2 v 0 ＝ lg ＝ 0.6× 9.8 m/s ＝ 2.42 m/s.mg ≤ ml，则所求最小速率 (2)当水在最高点的速率大于v 0时，只靠重力已不足以提供向心力，此时水杯底对水有一2v竖直向下的力，设为N ，由牛顿第二定律有N ＋mg ＝m l2v即 N ＝ m l － mg ＝ 2.6 N由牛顿第三定律知，水在最高点时对杯底的作用力N ′＝ N ＝ 2.6 N ，方向竖直向上． 方法总结对于竖直面内的圆周运动，在最高点的速度v ＝ gR 往往是临界速度，若速度 大于此临界速度，则重力不足以提供所需向心力，不足的部分由向下的压力或拉力提供；若 速度小于此临界速度，则重力大于所需向心力，要保证物体不脱离该圆周，物体必须受到一 个向上的力．课后巩固练1．A [铁路弯道处外轨高于内轨，目的是由支持力的水平分力提供向心力，从而减小了 铁轨与轮边缘间的侧向挤压力．]2．B [本题主要考查的是圆周运动的向心力问题．试题把情景设置在高速公路拐弯处，比较新 颖，同时也考查考生对实际问题的处理能力．汽车向右拐弯时，受力如图所示．汽车做圆周 运动的圆心与汽车在同一水平面上，当支持力N 和重力 G 的合力刚好是汽车沿圆弧运动的向22vv心力时，汽车与路面之间的横向摩擦力就为 0，因此由 mgtan θ＝ m R 可得 θ＝arctanRg ，故本题应选 B.]2v3．D [在凹形路面处支持力大于重力，且 N － mg ＝ m R .因 v 不变， R 越小， N 越大，故在 d 处爆胎可能性最大． ]4．AC [对衣物研究，竖直方向： f ＝ mg.水平方向： N ＝ mr ω2＝mr(2 πn)2.当转速增大时， 摩擦力 f 不变，弹力 N 增大． ]5．AC [火车转弯时重力和支持力的合力提供向心力，则2vmgtan θ＝ m r ， v ＝ grtan θ当 v 一定时， r 越小， θ越大，而车轨间距恒定，故 h 越大， A 对， B 错；当 r 一定时， v越大， θ越大，同理 h 越大， C 对， D 错． ]6．B [运动员做圆周运动所需的向心力由冰面对他的静摩擦力提供，要想做圆周运动，2v必须满足 f ＝m R ，而 f max ＝ kmg ≥ f ，解得 v ≤ kRg.]7．AC [设球过最高点时的速度为v ，竖直向下为正方向- 8 -F 合＝mg＋ T，2mv又 F 合＝r，mv2则 mg＋ T＝r .当 T＝ 0 时， v＝gr ，故 A 选项正确；当 v< gr 时， T<0，而绳只能产生拉力，不能产生与重力方向相反的支持力，故B、 D 选项错误；当 v> gr 时， T>0，球能沿圆弧通过最高点．可见， v≥gr 是球能沿圆弧过最高点的条件，故C 选项正确． ]8． AC [游客随圆筒做圆周运动，当地板塌落后，游客仍能紧贴器壁而不落下去，是因为筒壁对游客的弹力指向圆心并提供向心力，方向垂直于筒壁．游客还受摩擦力和重力，在竖直方向上受力平衡，故A、C 正确． ]9．B [设小球以速率v0通过最高点时，球对杆2v0的作用力恰好为零，即mg＝ m L，v0＝gL＝10× 0.50 m/s＝ 5 m/s.由于 v＝ 2.0 m/s< 5 m/s，则过最高点时，球对细杆产生压力，如图所示，为小球的受力2v示意图，由牛顿第二定律得：mg－ N＝m L，v22.02即 N＝ mg－ m L＝ 3.0×10 N － 3.0×0.50 N ＝6.0 N ． ]10． A [ 小球做匀速圆周运动由其所受重力和绳子的拉力的合力充当向心力，设悬线与22g竖直方向夹角为θ，则 F＝ mgtan θ＝ mω lsin θ，θ越大，向心力 F 越大，所以 A 对，而ω＝lcosθg＝h，故两者的角速度相同．]11． 1 900 N解析对汽车在拱形桥的最高点受力分析如图所示，由于车速不变，所以在运动方向上有F ＝ f；汽车在桥的最高点时，车的重力和桥对车的支持力的合力提供汽车做圆周运动的向心力，方向竖直向下，根据牛顿第二定律有：2vmg－ N＝ m r由题意知f＝ kN联立以上三式解得- 9 -2vF ＝ k(mg －m r )2＝ 0.05× (4× 103×10－ 4× 103×5)N 50＝ 1900N12．2 2∶1解析对 A 球在最高点时受力分析如图甲，2则 3mg ＋ mg ＝mvAR得 v A ＝ 2 gR对 B 球在最高点时受力分析如图乙，则1 21 v A2 2 mg － mv B，得： v B ＝ 2gR ，故 ＝ 2mg ＝ R 2 B 1.v -10-。

1.圆周运动课标要求1.知道什么是圆周运动，知道什么是匀速圆周运动，理解匀速圆周运动的特点．2．理解线速度、角速度、周期、频率等概念，会对它们进行定量计算．3．掌握线速度与周期、角速度与周期的关系．4．掌握常见传动装置的特点．思维导图必备知识·自主学习——突出基础性素养夯基一、圆周运动和匀速圆周运动1．圆周运动：物体的运动轨迹是________的运动．2．匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在任意相等时间内通过的________都相等，这种运动叫作匀速圆周运动．[提醒]弧长不是位移．[提醒]匀速圆周运动只是速率不变，速度方向时刻变化，匀速圆周运动是匀速率的圆周运动．二、描述匀速圆周运动的物理量1．线速度(1)大小：做圆周运动的物体通过的________与________的比，表达式：v＝________．(2)方向：________________________．(3)物理意义：描述质点沿圆周运动的________．注意：线速度是质点做圆周运动的瞬时速度，是矢量．不仅有大小而且有方向，且方向时刻改变，所以圆周运动是________曲线运动．2．角速度(1)定义：对于做匀速圆周运动的质点，连接质点和圆心的半径所转过的________跟________的比，叫作匀速圆周运动的角速度，表达式：ω＝________．(2)物理意义：描述质点绕圆心转动的________．(3)单位：________，符号是________．(4)匀速圆周运动是角速度不变的运动．三、周期T和转速n：1．周期：指做匀速圆周运动的物体，________所用的时间．单位：________．转速是指物体转过的________与________之比．单位：________或________．均用来描述物体绕轴转动的________．2．转速与周期的关系：T＝________．四、线速度、角速度、周期的关系1．线速度与周期的关系v＝________．2．角速度与周期的关系ω＝________．3．线速度与角速度的关系v＝rω.[举例](1)地球在自转，地球上不同纬度处的点，线速度大小不相等，但角速度相同．(2)钟表上的时针和分针绕轴转动的角速度、周期、转速不同，时针和分针末端的线速度大小也不同．[导学](1)同轴转动的物体各点角速度相同，半径越大的点线速度越大．(2)皮带(链条)传动、齿轮传动边缘线速度大小相等，两轮角速度与轮半径成反比．关键能力·合作探究——突出综合性素养形成探究点一描述圆周运动的物理量导学探究如图所示，钟表上的秒针、分针、时针以不同的角速度做圆周运动．秒针针尖做圆周运动的半径为r，在很短时间Δt内转过的圆心角为Δθ，对应弧长AB为Δs.(1)秒针、分针、时针它们转动的快慢相同吗？谁转得最快？(2)秒针的周期是多大？秒针针尖的线速度v是多大？秒针的角速度ω是多大？(3)圆心角Δθ与弧长Δs及半径r之间有什么数学关系？线速度v与角速度ω及半径r 之间有什么关系？归纳总结1.描述圆周运动的各物理量之间的关系2．描述圆周运动的各物理量之间关系的理解(1)角速度、周期、转速之间关系的理解：物体做匀速圆周运动时，由ω＝2π＝2πn知，T角速度、周期、转速三个物理量．只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也唯一确定了．(2)线速度与角速度之间关系的理解：由v＝ωr知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝1；ω一定时，v∝r.r典例示范例 1 一个小孩坐在游乐场的旋转木马上，绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动，圆周的半径为4.0 m，10 s内转过的弧长为20 m，试求小孩做圆周运动时，(1)线速度的大小；(2)角速度的大小；(3)周期的大小．素养训练1A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们()A．线速度大小之比为2∶3B．角速度大小之比为3∶4C．圆周运动的半径之比为2∶1D．转速之比为3∶2素养训练2物体做匀速圆周运动，速度的大小为2 m/s，1 s内速度变化的大小为2 m/s，则匀速圆周运动的半径和角速度分别可以为()A．3 m和1 rad/s B．1 m和3 rad/sC．12πm和π6rad/s D．6πm和π3rad/s【思维方法】(1)v、ω、r间的关系为瞬时对应关系．(2)讨论v、ω、r三者关系时，先确保一个量不变，再确定另外两个量间的正、反比关系．(3)公式v＝ωr适用于所有的圆周运动；关系式T＝1f适用于所有具有周期性运动的情况．探究点二三种传动方式归纳总结传动装置及其特点同轴传动皮带传动齿轮传动A、B两点在同轴的一个圆盘上两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点角速度、周期相同线速度大小相同线速度大小相同典例示范例2 如图是自行车传动结构的示意图，其中大齿轮、小齿轮和后轮的半径分别为r 1、r 2和r 3.假设脚踏板的转速为n (r/s)，则该自行车前进的速度为( )A ．2πnr 2r 3r 1B ．2πnr 1r 3r 2C ．2πr 1r 3nr 2D ．2πr 2r 3nr 1素养训练3随着信息技术在日常生活中的日益普及，现在很多停车场出入口都安装车辆识别系统．当车辆驶近时，道闸杆会自动升起，如图所示，A 、B 是某道闸杆上的两点，B 是A 到转轴的中点．当道闸杆升降时，A 、B 两点的线速度大小分别为v A 、v B ；角速度大小分别为ωA 、ωB ，则( )A ．v A ∶vB＝1∶2 B ．v A ∶v B ＝2∶1 C ．ωA ∶ωB ＝2∶1 D ．ωA ∶ωB ＝1∶2素养训练4如图所示，A 、B 两点分别位于大、小轮的边缘上，大轮半径是小轮半径的2倍，它们之间靠摩擦传动，接触面不打滑，则A 、B 两点的周期之比T A ∶T B 为( )A ．1∶2B ．1∶4C．2∶1 D．1∶1探究点三圆周运动的周期性和多解问题归纳总结因匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在确定做匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去，一般t＝nT(T为运动周期，n为运动圈数)．典例示范例 3 有一种工作时扇面上能够显示各种图案的创意风扇，如图，其原理是在其中一片扇叶上设置一列发光二极管，当扇叶转动起来时，控制各二极管的明灭就可以显示各种图案了，如图，现令所有二极管保持同步明灭，而且每次发光均持续时间kT2(k<1)，每次灭的时间均持续(1－k)T2，若扇叶转动的周期为T1，且T1、T2、k均可在较大范围内独立调节．若在某次调试后成功显示出一个“不动”的扇环(非图所示图案)，且扇环所对应的圆心角为θ，那么()A．k一定等于θ2πB．若重新调节，将风扇转速加倍，所看到的图案的圆心角一定变成2θC．若重新调节，只要满足T1>kT2，所看到的图案一定为闭合的圆环D．若重新调节，只要满足T1＝nT2(n取1、2、3……)，所看到的图案一定是“不动”的素养训练5如图甲所示，生活中我们常看见在时钟表盘出现分针和时针相遇的情景，其中的物理关系可以简化成图乙模型，有A、B两质点绕同一点O做匀速圆周运动，运动方向相同．已知A的周期为T A，B的周期为T B，且T A>T B，若设A、B运动到图示位置为第一次相遇，则两质点下一次相遇所用的时间为()A．T A－T B B．T A＋T BC．T A−T BT A T B D．T A T BT A−T B素养训练6如图所示，一位同学玩飞镖游戏，圆盘最上端有一点P，飞镖抛出时与P 在同一竖直面内等高，且抛出点距离P点为L.当飞镖以初速度v0垂直盘面瞄准P点抛岀的同时，圆盘绕经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动．忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，求：(1)圆盘的半径；(2)圆盘转动角速度的最小值．随堂演练·自主检测——突出创新性素养达标1．对于做匀速圆周运动的物体，下列说法中正确的是()A．速度大小不变，方向变化B．速度的大小和方向都改变C．周期不变，转速变化D．周期、转速和速度都不变2．一质点经历15 s的时间沿圆形轨道从一点逆时针匀速率运动到另一点，该质点在圆上转过的角度为π3，则质点的角速度为()A．π45rad/s B．45πrad/sC．15π3rad/s D．315πrad/s3．如图所示，皮带传动装置中小轮半径r a是大轮半径r b的一半，大轮上c点到轮心O 的距离恰等于r a，若皮带不打滑，则图中a、b、c三点()A．a点与c点的线速度大小相等B．a点与b点的角速度大小相等C．a点与c点的周期相等D．b点与c点周期相等4.如图所示，带有一白点的黑色圆盘，绕过其中心且垂直于盘面的轴沿顺时针方向匀速转动，转速为n＝20 r/s.在暗室中用每秒闪光25次的频闪光源照射圆盘，则观察到白点转动方向和转动周期分别为()A．逆时针转动，周期为0.1 sB．逆时针转动，周期为0.2 sC．顺时针转动，周期为0.1 sD．顺时针转动，周期为0.2 s5.如图所示为“行星传动示意图”．中心“太阳轮”的转动轴固定，齿数为30，周围四个“行星轮”的转动轴固定，其齿数为20，“齿圈”的齿数为70，A、B、C分别是“太阳轮”“行星轮”“齿圈”边缘上的点，齿轮传动过程不打滑，那么() A．A点与B点的角速度相同B．A点与B点的线速度相同C．B点与C点的转速之比为7∶2D．A点与C点的周期之比为1∶12．匀速圆周运动的向心力和向心加速度第1课时必备知识·自主学习一、1．圆心2．圆心线速度3．方向大小4．作用效果二、1．角速度ω半径r质量m2．m v2mω2rr三、1．向心力2.v2ω2rr3．圆心线速度变加速关键能力·合作探究探究点一【导学探究】提示：由地球指向太阳的中心；小球受到重力、桌面对它的支持力和细线的拉力三个力作用，这些力的合力指向圆心．【典例示范】例1解析：由题可知物体做匀速圆周运动的向心力由摩擦力提供，方向沿半径向里，指向转盘的圆心．根据向心力的公式得摩擦力大小f＝F向＝mω2r.综上所述，D正确．答案：D素养训练1解析：根据向心力公式F＝m4π2n2r可知，若增大转速，保持绳长不变，则拉力变大，故A、B错误；根据向心力公式F＝m4π2n2r可知，若增大绳长，保持转速不变，则拉力变大，故C错误，D正确．答案：D素养训练2解析：物体做匀速圆周运动，合力指向圆心，对物体受力分析，受重力、竖直向上的静摩擦力、指向圆心的支持力，如图所示，重力G与静摩擦力f平衡，即G＝f，则静摩擦力不变，且与物体的角速度无关，因为支持力N提供向心力，即N＝mrω2，所以当圆筒的角速度ω增大以后，需要的向心力变大，则物体所受弹力N增大，D正确．答案：D探究点二【典例示范】例2 解析：因为皮带不打滑，A 点与B 点的线速度大小相等，都等于皮带运动的速率．根据向心加速度公式a ＝v 2r ，可得a A ∶a B ＝r 2∶r 1＝2∶1.由于B 、C 是固定在同一个轮上的两点，所以它们的角速度相同．根据向心加速度公式a ＝rω2，可得a B ∶a C ＝r 2∶r 3＝2∶1.5.由此得a A ∶a B ∶a C ＝8∶4∶3，故选项C 正确．答案：C素养训练3 解析：笔绕其上的某一点O 做匀速圆周运动，所以笔杆上各点周期相同，角速度相同，C 错误，B 正确；由v ＝ωr 知角速度相同时，线速度与半径成正比，笔杆上各点线速度大小不相同，A 错误；由a ＝ω2r 知角速度相同时，向心加速度与半径成正比，笔杆上的点离O 点越远，向心加速度越大，D 错误．答案：B素养训练4 解析：根据a ＝v 2r 知，当线速度v 大小为定值时，a 与r 成反比，其图像为双曲线的一支；根据a ＝rω2知，当角速度ω大小为定值时，a 与r 成正比，其图像为过原点的倾斜直线，所以A 正确．答案：A随堂演练·自主检测1．解析：匀速圆周运动线速度大小不变，所以向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量，D 正确，A 、B 、C 错误．答案：D2．解析：对小球进行受力分析如图所示，重力方向竖直向下，支持力垂直漏斗壁面，向心力指向圆周运动轨迹圆心，重力和支持力合力或者支持力沿水平方向的分量提供向心力，D 正确．答案：D3．解析：踩踏板一周用时约0.65 s ，可知牙盘的角速度为ω＝2πT ，牙盘和飞轮齿数分别为22和34，飞轮与牙盘由链条相连，边缘点的线速度大小相等，可知飞轮的角速度为ω′＝2234ω＝44π34T ，后轮与飞轮共轴，角速度相等，则有a ＝ω′2r ，代入数据解得a ＝(44×3.1434×0.65)2×0.662 m/s 2≈13 m/s 2，可知自行车轮边缘上一质点的向心加速度大小最接近于13 m/s 2，B 正确，A 、C 、D 错误．答案：B4．解析：物体做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得F ＝mv 2r ，当v 变成原来的2倍，则F 变成原来的4倍，故A 、C 、D 错误，B 正确．答案：B5．解析：A 、B 共轴转动，角速度大小相等，即ωA ∶ωB ＝1∶1，由公式v ＝rω得线速度之比v A ∶v B ＝r A ∶r B ＝2∶1，A 正确，B 错误；根据a ＝ω2r 可得向心加速度之比a A ∶a B ＝r A :r B ＝2∶1，摩擦力提供A 、B 圆周运动的向心力，所以f A ＝ma A ，f B ＝2ma B ，可得摩擦力之比f A ∶f B ＝ 1∶1，D 错误．答案：A。

第二章匀速圆周运动1 圆周运动A级必备知识基础练1.(四川成都高一期末)日常生活中,人们经常用到扳手这一工具。

当用扳手拧螺母时,如图所示,扳手上A、B两点的角速度分别是ωA和ωB,线速度分别是v A和v B,则( D )A.ωA>ωBB.ωA<ωBC.v A>v BD.v A<v B、B两点在同一物体上随物体做圆周运动,属于同轴转动,两点角速度相等,即ωA=ωB,根据v=ωr,A点转动半径小于B点转动半径,则线速度关系为v A<v B,故选D。

2.如图所示,在匀速转动的陀螺上,距轴心距离不等的A、B两点,分别滴有两滴水滴,随陀螺一起做圆周运动。

关于两滴水滴,下列说法不正确的是( B )A.角速度相等B.线速度相等C.频率相等D.周期相等,角速度相等,由ω=2πf=2πT可知,频率相等,周期相等,A、C、D正确,不符合题意;由v=rω可知,由于转动半径不同,导致线速度大小不同,B错误,符合题意。

故选B。

3.(上海第十中学高一期末)洗衣机脱水筒上小螺丝旋转半径为0.2 m,转速为1 200 r/min,小螺丝转动周期和线速度大小分别为( A )A.0.05 s,8π m/sB.20 s,8π m/sC.0.05 s,16π m/sD.20 s,16π m/s小螺丝转动周期大小为T=1n =120s=0.05s,线速度大小为v=2πrT =2π×0.20.05m/s=8πm/s,故选A。

4.(陕西西安长安一中高一期末)普通的手表上,分针正常转动时的角速度大约是( B )A.0.1 rad/sB.0.002 rad/sC.0.001 rad/sD.0.2 rad/s60min,则分针正常转动时的角速度大约是ω=2πT=2×3.1460×60rad/s≈0.002rad/s,故A、C、D错误,B正确。

5.(吉林长春德惠高一期末)如图所示为“行星传动示意图”。

题组一对曲线运动的理解1．做曲线运动的物体，在运动过程中，一定变化的物理量是()A．速率B．速度C．加速度D．合外力答案 B解析物体做曲线运动时，速度方向一定变化，速度大小不一定变化，A错，B对．做曲线运动的物体的合外力或加速度既可能变，也有可能不变，C、D错．2．下列关于曲线运动的说法中正确的是()A．曲线运动一定是变速运动B．变速运动一定是曲线运动C．速率不变的曲线运动没有加速度D．曲线运动一定是匀加速运动答案 A解析既然是曲线运动，它的速度的方向必定是改变的，所以曲线运动一定是变速运动，变速运动的合外力不为零，故A正确，C错误；变速运动不一定是曲线运动，如加速直线运动，故B错误；曲线运动的加速度可以改变，故D错误．3．关于曲线运动的速度，下列说法正确的是()A．速度的大小与方向都在时刻变化B．速度的大小不断发生变化，速度的方向不一定发生变化C．速度的方向不断发生变化，速度的大小不一定发生变化D．质点在某一点的速度方向是曲线上该点的切线方向答案CD解析曲线运动的速度方向一定是时刻变化的，故选项B错误．物体可以做速度方向时刻变化而大小不变的曲线运动，故选项A错误，C正确．曲线运动的速度方向即质点所在位置处曲线的切线方向，D正确．4．在弯道上高速行驶的赛车后轮突然脱离赛车，关于脱离了赛车的后轮的运动情况，以下说法正确的是()A．仍然沿着汽车行驶的弯道运动B．沿着与弯道垂直的方向飞出C．沿着脱离时轮子前进的方向做直线运动，离开弯道D．上述情况都有可能答案 C解析曲线上某一点的速度方向沿曲线在这一点的切线方向，所以脱离了赛车的后轮将沿着脱离时轮子前进的方向做直线运动而离开弯道，故C正确．题组二对曲线运动条件的理解5．若已知物体运动的初速度v0的方向及它受到的恒定的合外力F的方向，下图中曲线a、b、c、d表示物体运动的轨迹，其中正确的是()答案 B解析合外力F与初速度v0不共线，物体一定做曲线运动，C错．物体的运动轨迹向合外力F方向偏转，且介于F与v0的方向之间，A、D错，B对．6．做曲线运动的物体，在其轨迹曲线上某一点的加速度方向()A．为通过该点的曲线的切线方向B．与物体在这一点时所受合外力方向垂直C．与物体在这一点的速度方向一致D．与物体在这一点的速度方向的夹角一定不为零答案 D7．物体受到几个恒力的作用处于平衡状态，若再对物体施加一个恒力，则物体可能() A．静止B．做匀速直线运动C．做变加速曲线运动D．做匀变速曲线运动答案 D解析物体受几个恒力的作用而处于平衡状态，相当于不受力，速度可能为零，也可能为某个确定的值；若再对物体施加一个恒力，合力不为零，不可能保持静止或匀速直线运动，故A、B错误；如果速度与合力不共线，物体就做曲线运动，由于合力是恒力，故加速度恒定不变，是匀变速曲线运动，故C错误，D正确．8．撑开的带有水滴的伞绕着伞柄在竖直面内旋转，伞面上的水滴随伞做曲线运动．若有水滴从伞面边缘最高处O飞出，如图1所示．则飞出伞面后的水滴可能()图1A．沿曲线Oa运动B．沿直线Ob运动C．沿曲线Oc运动D．沿圆弧Od运动答案 C解析雨滴在最高处离开伞边缘，沿切线方向飞出，由于受重力轨迹向下偏转，故C正确，A、B、D错误．9．一个质点受到两个互成锐角的恒力F1和F2作用，由静止开始运动，若运动中保持二力方向不变，但F1突然减小到F1－ΔF，则该质点以后()A．一定做变加速曲线运动B．在相等的时间内速度的变化一定相等C．可能做匀速直线运动D．可能做变加速直线运动答案 B解析质点原来是静止的，在F1、F2的合力的作用下开始运动，此时质点做的是直线运动，运动一段时间之后，物体就有了速度，而此时将F1突然减小为F1－ΔF，F1变小了，它们的合力也就变了，原来合力的方向与速度的方向在一条直线上，质点做的是直线运动，把F1改变之后，合力的大小变了，合力的方向也变了，就不再和速度的方向在同一条直线上了，所以此后质点将做曲线运动，由于F1、F2都是恒力，改变之后它们的合力还是恒力，质点的加速度就是定值，所以在相等的时间里速度的增量一定相等，故质点是在做匀变速曲线运动，故B正确，A、C、D错误．10．一个质点在恒力F作用下，在xOy平面上从O点运动到B点的轨迹如图2所示，且在A点时的速度方向与x轴平行，则恒力F的方向可能是()图2A．沿＋x方向B．沿－x方向C．沿＋y方向D．沿－y方向答案 D解析根据曲线运动的轨迹位于速度方向和合外力方向所夹的范围内且向合外力方向弯曲，可知B、C错误；若恒力F沿＋x方向则速度方向不可能与x轴平行，故A错误，所以正确选项为D.题组三合外力对曲线运动速度大小的影响11．下列说法中正确的是()A．合外力方向与速度方向相同时，物体做加速直线运动B．合外力方向与速度方向成锐角时，物体做曲线运动C．合外力方向与速度方向成钝角时，物体做减速直线运动D．合外力方向与速度方向相反时，物体做减速直线运动答案ABD解析当物体加速度方向与速度方向相同时，物体做加速直线运动，选项A正确；当物体加速度方向与速度方向成锐角时，加速度与速度平行的分量使速率增大，加速度与速度垂直的分量使速度方向改变，物体做曲线运动，选项B正确；当物体加速度方向与速度方向成钝角时，加速度与速度平行的分量使速率减小，加速度与速度垂直的分量改变速度方向，物体做曲线运动，选项C错误；当物体加速度方向与速度方向相反时，物体做减速直线运动，选项D正确．图312．一个物体在光滑水平面上以初速度v0做曲线运动，已知在此过程中只受一个恒力F 作用，运动轨迹如图3所示．则由M到N的过程中，速度的大小()A．逐渐增大B．逐渐减小C．先增大后减小D．先减小后增大答案 D解析判断做曲线运动的物体速度大小的变化情况时，应从下列关系入手：当物体所受合外力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体做曲线运动的速率减小；当物体所受合外力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体做曲线运动的速率增大；当物体所受合外力方向与速度方向的夹角始终为直角(或垂直)时，物体做曲线运动的速率不变．在本题中，合力F的方向与速度方向的夹角先为钝角，后为锐角，故D选项正确．图413．如图4所示，一物体在水平恒力的作用下沿光滑水平面做曲线运动，当物体从M点运动到N点时，其速度方向恰好改变了90°，则物体从M点到N点的运动过程中，物体的速度()A．不断增大B．不断减小C．先增大后减小D．先减小后增大答案 D解析曲线运动的轨迹在速度方向与合外力方向之间，对M、N点进行分析可知开始时恒力与速度夹角为钝角，后来夹角为锐角，则物体的速度先减小后增大，D正确．。

训练1 怎样描述圆周运动[概念规律题组]1．做匀速圆周运动的物体，下列物理量中不变的是 ( ) A ．线速度B ．转速C ．频率D ．周期2．下列说法正确的是( )A ．匀速圆周运动是一种匀速运动B ．匀速圆周运动是一种匀加速直线运动C ．匀速圆周运动是一种曲线运动D ．做匀速圆周运动的物体在相等的时间内通过的弧长相等 3. 某质点绕圆轨道做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )A ．因为它速度大小始终不变，所以它做的是匀速运动B ．它速度大小不变，但方向时刻改变，是变速运动C ．该质点速度大小不变，因而加速度为零，处于平衡状态D ．该质点做的是变速运动，具有加速度，故它所受合外力不等于零 4．关于角速度和线速度，下列说法正确的是( )A ．半径一定，角速度与线速度成反比B ．半径一定，角速度与线速度成正比C ．线速度一定，角速度与半径成正比D ．角速度一定，线速度与半径成反比5．静止在地球上的物体都要随地球一起转动，下列说法正确的是( )A ．它们的运动周期都是相同的B ．它们的线速度方向都是相同的C ．它们的线速度大小都是相同的D ．它们的角速度是不同的6．假设“神舟”十号实施变轨后做匀速圆周运动，共运行了n 周，起始时刻为t 1，结束时刻为t 2，运行速度为v ，半径为r .则计算其运行周期可用( )A ．T ＝t 2－t 1nB ．T ＝t 1－t 2n C ．T ＝2πr vD ．T ＝2πv r[方法技巧题组]7．汽车在公路上行驶一般不打滑，车轮转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长．某国产轿车的车轮半径约为30 cm ，当该型号轿车在高速公路上行驶时，驾驶员面前的速率计的指针指在“120 km/h”上，可估算出该车车轮的转速为( )A ．1 000 r/sB ．1 000 r/minC ．1 000 r/hD ．2 000 r/s8．如图1所示为某一皮带传动装置，主动轮的半径为r 1，从动轮的半径为r 2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n ，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是 ( )图1A ．从动轮做顺时针转动B ．从动轮做逆时针转动C ．从动轮的转速为r 1r 2nD ．从动轮的转速为r 2r 1n9．两个小球固定在一根长为L 的杆的两端，绕杆上的O 点做圆周运动，如图2所示，当小球1的速度为v 1时，小球2的速度为v 2，则转轴O 到小球2的距离为( )图2A ．v 1L /(v 1＋v 2)B ．v 2L /(v 1＋v 2)C ．(v 1＋v 2)L /v 1D ．(v 1＋v 2)L /v 210．地球半径R ＝6 400 km ，站在赤道上的人和站在北纬60°上的人随地球转动的角速度分别是多大？他们的线速度分别是多大？11．如图3所示的传动装置中，B 、C 两轮固定在一起绕同一轴转动，A 、B 两轮用皮带传动，三轮半径关系为r A ＝r C ＝2r B .若皮带不打滑，求A 、B 、C 轮边缘的a 、b 、c 三质点的角速度之比和线速度之比．图3[创新应用]12．如图4所示，小球A 在半径为R 的光滑圆形槽内做匀速圆周运动，当它运动到图中a 点时，在圆形槽中心O 点正上方h 处，有一小球B 沿Oa 方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在a 点与A 球相碰，求：图4(1)B 球抛出时的水平初速度； (2)A 球运动的线速度最小值．答案1．BCD 2．CD 3．BD 4．B 5．A 6．AC 7．B 8．BC 9．B 10．见解析解析 如图所示，作出地球自转示意图，设赤道上的人站在A 点，北纬60°上的人站在B 点，地球自转角速度固定不变，A 、B 两点的 角速度相同，有ωA ＝ωB ＝2πT ＝2×3.1424×3 600rad/s＝7.3×10－5rad/s依题意可知，A 、B 两处站立的人随地球自转做匀速圆周运动的半径分别为R A ＝R ，R B ＝R cos 60°，则由v ＝ωR 可知，A 、B 两点的线速度分别为：v A ＝ωA R A ＝7.3×10－5×6 400×103 m/s ＝467.2 m/s v B ＝ωB R B ＝7.3×10－5×6 400×103×12m/s ＝233.6 m/s即赤道上和北纬60°上的人随地球转动的角速度都为7.3×10－5rad/s ，赤道上和北纬60°上的人随地球运动的线速度分别为467.2 m/s 和233.6 m/s. 11．1∶2∶2 1∶1∶2 12．(1)Rg2h (2)2πR g 2h。

1.圆周运动基础巩固1.用细线拴住一个小球在光滑的水平面内做匀速圆周运动,下列描述小球运动的物理量发生变化的是()A.速率B.线速度C.周期D.角速度答案：B解析：做匀速圆周运动的小球的速度大小恒定,线速度变化,匀速圆周运动的周期和角速度恒定,B符合题意,A、C、D不符合题意。

2.关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系,下列说法正确的是()A.线速度大的角速度一定大B.线速度大的周期一定小C.角速度大的半径一定小D.角速度大的周期一定小答案：D解析：由v=ωr可知,当r一定时,v与ω成正比;v一定时,ω与r成反比,故A、C均错误。

由v=2πrT 可知,当r一定时,v越大,T越小,B错误。

由ω=2πT可知,ω越大,T越小,故D正确。

3.(多选)甲、乙两个做匀速圆周运动的质点,它们的角速度之比为3∶1,线速度之比为2∶3,那么下列说法正确的是()A.它们的半径之比为2∶9B.它们的半径之比为1∶2C.它们的周期之比为2∶3D.它们的周期之比为1∶3答案：AD解析：由v=ωr,得r=vω,r甲r乙=v甲ω乙v乙ω甲=29,A对,B错;由T=2πω,得T甲∶T乙=2πω甲∶2πω乙=1∶3,C错,D对。

4.如图所示,细杆上固定两个小球a和b,杆绕O点做匀速转动,下列说法正确的是()A.a 、b 两球线速度相等B.a 、b 两球角速度相等C.a 球的线速度比b 球的大D.a 球的角速度比b 球的大 答案：B解析：细杆上固定两个小球a 和b ,杆绕O 点做匀速转动,所以a 、b 属于同轴转动,故两球角速度相等,故B 正确,D 错误;由题图可知b 球的转动半径比a 球转动半径大,根据v=r ω可知:a 球的线速度比b 球的小,故A 、C 错误。

5.一汽车发动机的曲轴每分钟转2 400圈,求: (1)曲轴转动的周期与角速度。

(2)距转轴r=0.2 m 点的线速度大小。

答案：(1)140 s 80π rad/s (2)16π m/s 解析：(1)由于曲轴每秒转2 40060=40(圈),周期T=140s;而每转一圈为2π rad,因此曲轴转动的角速度ω=2π×40 rad/s =80π rad/s 。

一、单选题(选择题)1. 某同学以变速自行车的齿轮传动作为研究性课题，他通过查阅相关资料了解变速自行车的变速原理，测得图示后小齿轮组中最小，最大齿轮半径分别为、，前大齿轮半径为、后轮半径为R。

若该自行车前大齿轮每秒匀速转动1圈，则后轮的最大线速度为（）A．B．C．D．2. 如图是多级减速装置的示意图、每一级减速装置都是由固定在同一传动轴上、绕同一转动轴转动的大小两个轮子组成。

各级之间用皮带相连。

如果每级减速装置中大轮的半径为R =1m，小轮的半径为r =0.5m。

则当第一级的大轮外缘线速度大小为v1 =80m/s时，第六级的大轮外缘线速度大小为（）A．20m/s B．10m/s C．5m/s D．2.5m/s3. 如图所示是磁盘的磁道，磁道是一些不同半径的同心圆．为了数据检索的方便，磁盘格式化时要求所有磁道储存的字节与最内磁道的字节相同，最内磁道上每字节所占用磁道的弧长为L．已知磁盘的最外磁道半径为R，最内磁道的半径为r，相邻磁道之间的宽度为d，最外磁道不储存字节．电动机使磁盘以每秒n圈的转速匀速转动，磁头在读写数据时保持不动，磁盘每转一圈，磁头沿半径方向跳动一个磁道，不计磁头转移磁道的时间．下列说法正确的是（）A．相邻磁道的向心加速度的差值为B．最内磁道的一个字节通过磁头的时间为C．读完磁道上所有字节所需的时间为D．若r可变，其他条件不变，当，时磁盘储存的字节最多4. 我国运动员在2022年北京冬奥会上夺得双人花样滑冰冠军。

比赛中他们以如图所示的姿势绕男运动员旋转，图中P、Q两点分别位于男、女运动员的手臂上。

则P、Q两点的线速度，，角速度，的大小关系正确的是（）A．B．C．D．5. 下列说法中正确的是（）A．做曲线运动的物体，速度可以是不变的B．物体做曲线运动，加速度一定变化C．平抛运动的物体速度均匀变化D．圆周运动的合力指向圆心6. 如图所示，数学老师在讲解圆的知识时，用粉笔在黑板上以手肘为圆心徒手画圆，A、B是手臂上两点，已知A、B做圆周运动的半径关系为r A＝2r B．下列关于这两点的角速度、线速度和向心加速度的关系正确的是 ( )B．v A＝2v BA．v A＝v BC．ωA＝2ωBD．a A＝a B7. 甲、乙两物体分别做匀速圆周运动，如果它们转动的半径之比为1：5，线速度之比为3：2，则下列说法正确的是（）A．甲、乙两物体的角速度之比是2：15B．甲、乙两物体的角速度之比是10：3C．甲、乙两物体的周期之比是2：15D．甲、乙两物体的周期之比是10：38. 下列说法正确的是（）A．匀速圆周运动是匀速运动B．匀速圆周运动是匀变速运动C．匀速圆周运动是变加速运动D．做圆周运动的物体其合力一定与速度方向垂直9. 正在以速度v匀速行驶的汽车，车轮的直径为d，则车轮的转动周期为（）A．B．C．D．10. 下列关于圆周运动说法正确的是（）A．匀速圆周运动是一种匀变速运动B．向心加速度越大，物体速率变化越快C．做匀速圆周运动的物体所受合外力为变力D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒定的11. 如图所示为大众双离合变速箱的工作原理简化图。

题组一 圆周运动的各物理量的关系1．关于匀速圆周运动，下列说法正确的是( )A ．由a ＝v 2r可知，a 与r 成反比 B ．由a ＝ω2r 可知，a 与r 成正比C ．由v ＝ωr 可知，ω与r 成反比D ．由ω＝2πn 可知，ω与n 成正比答案 D解析 物体做匀速圆周运动的向心加速度与物体的线速度、角速度、半径有关．但向心加速度与半径的关系要在一定前提条件下才能成立．当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比．对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论．正确选项为D.图12．如图1所示，一小物块以大小为a ＝4 m/s 2的向心加速度在水平面内做匀速圆周运动，半径R ＝1 m ，则下列说法正确的是( )A ．小物块运动的角速度为2 rad/sB ．小物块做圆周运动的周期为π sC ．小物块在t ＝π4 s 内通过的位移大小为π20m D ．小物块在π s 内通过的路程为零答案 AB解析 因为a ＝ω2R ，所以小物块运动的角速度为ω＝a R ＝2 rad/s ，周期T ＝2πω＝π s ，选项A 、B 正确；小物块在π4 s 内转过π2，通过的位移为 2 m ，在π s 内转过一周，通过的路程为2π m ，选项C 、D 错误．3．A 、B 两小球都在水平地面上做匀速圆周运动，A 球的轨道半径是B 球轨道半径的2倍，A 的转速为30 r/min ，B 的转速为15 r/min.则两球的向心加速度之比为( )A ．1∶1B ．2∶1C ．4∶1D ．8∶1答案 D解析 由题意知A 、B 两小球的角速度之比ωA ∶ωB ＝n A ∶n B ＝2∶1，所以两小球的向心加速度之比a A∶a B＝ω2A R A∶ω2B R B＝8∶1，D正确．4．如图2所示，当正方形薄板绕着过其中心O并与板垂直的转动轴转动时，板上A、B两点的()图2A．角速度之比ωA∶ωB＝1∶1B．角速度之比ωA∶ωB＝1∶ 2C．线速度之比v A∶v B＝2∶1D．线速度之比v A∶v B＝1∶ 2答案AD解析板上A、B两点绕同一个转轴转动，所以具有相同的角速度，即角速度之比ωA∶ωB＝1∶1，故A正确，B错误．根据几何关系得板上A、B两点的轨道半径之比为1∶2，所以线速度之比v A∶v B＝1∶2，故C错误，D正确0.题组二向心力来源分析图35．如图3，一小球套在光滑轻杆上，绕着竖直轴OO′匀速转动，下列关于小球的说法中正确的是()A．小球受到重力、弹力和静摩擦力B．小球受到重力、弹力和向心力C．小球向心力的方向沿着水平方向指向圆心D．小球受到重力、弹力的合力是恒力答案 C解析小球受重力、弹力，这两个力的合力提供向心力，向心力的方向始终沿着水平方向指向圆心，所以合力不是恒力．故C正确，A、B、D错误．图46．如图4所示，一根轻杆(质量不计)的一端以O点为固定转轴，另一端固定一个小球，小球以O点为圆心在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，当小球运动到图中位置时，轻杆对小球作用力的方向可能( )A ．沿F 1的方向B ．沿F 2的方向C ．沿F 3的方向D ．沿F 4的方向答案 C解析 小球做匀速圆周运动，根据小球受到的合力提供向心力，则小球受的的合力方向必指向圆心，小球受到竖直向下的重力，还有轻杆的作用力，由题图可知，轻杆的作用力如果是F 1、F 2、F 4，则与重力的合力不可能指向圆心，只有轻杆的作用力为F 3方向，与重力的合力才可能指向圆心，故A 、B 、D 错误，C 正确．图57．如图5所示，两个水平摩擦轮A 和B 传动时不打滑，半径R A ＝2R B ，A 为主动轮．当A 匀速转动时，在A 轮边缘处放置的小木块恰能与A 轮相对静止．若将小木块放在B 轮上，为让其与轮保持相对静止，则木块离B 轮转轴的最大距离为(已知同一物体在两轮上受到的最大静摩擦力相等)( )A.R B 4B.R B 2C ．R BD ．B 轮上无木块相对静止的位置答案 B解析 摩擦传动不打滑时，两轮边缘上线速度大小相等，根据题意有：R A ωA ＝R B ωB所以：ωB ＝R A R BωA 因为同一物体在两轮上受到的最大静摩擦力相等，设在B 轮上的转动半径最大为r ，则根据最大静摩擦力等于向心力有：mR A ω2A ＝mrω2B得：r ＝R A ω2A (R A R BωA )2＝R 2B R A ＝R B 2图68．如图6所示，滑块M 能在水平光滑杆上自由滑动，滑杆固定在转盘上，M 用绳跨过在圆心处的光滑滑轮与另一质量为m 的物体相连．当转盘以角速度ω转动时，M 离轴距离为r ，且恰能保持稳定转动．当转盘转速增到原来的2倍，调整r 使之达到新的稳定转动状态，则滑块M ( )A ．所受向心力变为原来的4倍B ．线速度变为原来的12C ．转动半径r 变为原来的12D ．角速度变为原来的12答案 B解析 转速增加，再次稳定时，M 做圆周运动的向心力仍由拉力提供，拉力仍然等于m 的重力，所以向心力不变，故A 错误．转速增到原来的2倍，则角速度变为原来的2倍，根据F＝mrω2，向心力不变，则r 变为原来的14.根据v ＝rω，线速度变为原来的12，故B 正确，C 、D 错误．题组三 竖直平面内的“绳杆模型”的临界问题图79．如图7所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动，细杆长0.5 m ，小球质量为3 kg ，现给小球一初速度使它做圆周运动，若小球通过轨道最低点a 的速度为v a ＝4 m/s ，通过轨道最高点b 的速度为v b ＝2 m/s ，取g ＝10 m/s 2，则小球通过最低点和最高点时对细杆作用力的情况是( )A ．在a 处为拉力，方向竖直向下，大小为126 NB ．在a 处为压力，方向竖直向上，大小为126 NC ．在b 处为拉力，方向竖直向上，大小为6 ND ．在b 处为压力，方向竖直向下，大小为6 N答案 AD解析 小球对细杆的作用力大小等于细杆对小球的作用力大小．在a 点设细杆对球的作用力为F a ，则有F a －mg ＝m v 2a r ，所以F a ＝mg ＋m v 2a r ＝(30＋3×420.5) N ＝126 N ，故小球对细杆的拉力为126 N ，方向竖直向下，A 正确，B 错误．在b 点设细杆对球的作用力方向向上，大小为F b ，则有mg －F b ＝m v 2b r ，所以F b ＝mg －m v 2b r ＝30 N －3×220.5N ＝6 N ，故小球对细杆的作用力为压力，方向竖直向下，大小为6 N ，C 错误，D 正确．10．如图8所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，身体颠倒，若轨道半径为R ，人体重为mg ，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山车在最高点时的速度大小为( )图8A ．0 B.gR C.2gR D.3gR答案 C解析 由题意知F ＋mg ＝2mg ＝m v 2R，故速度大小v ＝2gR ，C 正确． 图911．如图9所示，一个固定在竖直平面上的光滑圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，下列说法中正确的是( )A ．小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向下B ．小球通过管道最低点时，小球对管道的压力向上C ．小球通过管道最高点时，小球对管道的压力可能向上D ．小球通过管道最高点时，小球对管道可能无压力答案 ACD图1012．杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m 的细绳的一端，系一个与水的总质量为m ＝0.5 kg 的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图10所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s ，则下列说法正确的是(g ＝10 m/s 2)( )A ．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B ．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C ．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D ．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N答案 B解析 水流星在最高点的临界速度v ＝gR ＝4 m/s ，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，故选B.图1113．如图11所示，长为l 的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直面内做圆周运动，关于最高点的速度v ，下列说法正确的是( )A ．v 的最小值为glB ．v 由零逐渐增大，向心力也增大C ．当v 由gl 逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大D ．当v 由gl 逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大答案 BCD解析 由于是轻杆，即使小球在最高点速度为零，小球也不会掉下来，因此v 的最小值是零，A 错；v 由零逐渐增大，由F 向＝m v 2l 可知，F 向也增大，B 对；当v ＝gl 时，F 向＝m v 2l＝mg ，此时杆恰对小球无作用力，向心力只由其自身重力提供；当v 由gl 逐渐增大时，则m v 2l＝mg ＋F ，故F ＝m v 2l－mg ，杆对球的力为拉力，且逐渐增大；当v 由gl 逐渐减小时，杆对球的力为支持力．此时，mg －F ′＝m v 2l ，F ′＝mg －m v 2l，支持力F ′逐渐增大，杆对球的拉力、支持力都为弹力，所以C 、D 也对，故选B 、C 、D.14．质量为0.2 kg 的小球固定在长为0.9 m 的轻杆一端，杆可绕过另一端O 点的水平轴在竖直平面内转动．g ＝10 m/s 2，求：(1)当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零？(2)当小球在最高点的速度分别为6 m/s 和1.5 m/s 时，球对杆的作用力．答案 (1)3 m/s (2)6 N ，方向竖直向上 1.5 N ，方向竖直向下 解析 (1)当小球在最高点对杆的作用力为零时，重力提供向心力，则mg ＝m v 20R，解得v 0＝3 m/s. (2)v 1＞v 0，由牛顿第二定律得：mg ＋F 1＝m v 21R，由牛顿第三定律得：F 1′＝F 1，解得F 1′＝6 N ，方向竖直向上．v 2＜v 0，由牛顿第二定律得：mg －F 2＝m v 22R，由牛顿第三定律得：F 2′＝F 2，解得：F 2′＝1.5 N ，方向竖直向下．。

2.1 匀速圆周运动 每课一练（粤教版必修2）我夯基 我达标1.匀速圆周运动属于（ ）A.匀速运动B.匀加速运动C.加速度不变的曲线运动D.变加速的曲线运动思路解析：运动质点的速率不变，速度方向时刻改变,为变加速曲线运动，加速度a 大小不变,方向时刻指向圆心. 答案：D2.对于做匀速圆周运动的物体来说，不变的物理量是（ ） A.周期 B.频率 C.角速度 D.线速度 答案：ABC3.质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是…（ ） A.线速度越大，周期一定越小 B.角速度越大，周期一定越小 C.转速越大，周期一定越小 D.圆周半径越小，周期一定越小 思路解析：由于T=vR π2，所以T 不仅与v 有关，还与轨道半径R 有关，又根据T=ωπ2，则T∝ω1.答案：BC4.机械表的时针和分针做圆周运动（ ） A.分针角速度是时针角速度的12倍 B.分针角速度是时针角速度的60倍C.如果分针的长度是时针长度的1.5倍，则分针端点的线速度是时针端点线速度的18倍D.如果分针的长度是时针长度的1.5倍，则分针端点的线速度是时针端点线速度的1.5倍 思路解析：取1个小时的时间,φ分=2πφ时=6π，所以根据ω=Tϕ,ω分∶ω时=12∶1，又根据v=ω·r，当l 分=1.5l 时时，v 分∶v 时=18∶1. 答案：AC5.如图2-1-7所示，皮带传动装置转动后，皮带不打滑.则皮带轮上A 、B 、C 三点的情况是图2-1-7A.v A =v B ，v B ＞v CB.ωA =ωB ，v B ＞v CC.v A =v B ，ωB =ωCD.ωA ＞ωB ，v B =v C思路解析：皮带不打滑,两轮边缘点线速度相同,同一圆盘上的点具有相同的角速度,A 、B 两点线速度相同,B 、C 两点角速度相同.因两轮由皮带传动，所以两轮边缘的线速度相同，v A =v B ，由于B 、C 是同一轮上的两个不同点，所以ωB =ωC ，根据v=ωr ，所以v B ＞v C . 答案：AC6.在下列几种运动中，属于匀变速运动的是（ ）A.匀速圆周运动B.上抛运动C.平抛运动D.斜抛运动思路解析：匀变速运动中，物体的加速度a 恒定，故B 、C 、D 正确，在匀速圆周运动中，加速度总指向圆心，时刻在改变，故A 错误. 答案：BCD7.如图2-1-8所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω转动,则（ ）图2-1-8A.A 、B 两点的角速度相等B.A 、B 两点的线速度相等C.若θ=30°，则v A ∶v B =3∶2D.以上选项都不对思路解析：小球在A 、B 两点具有相同的角速度ωA =ωB ，根据v=ωR ，且R A =R B cos θ=23R B ，所以v A ∶v B =R A ∶R B =3∶2.8.半径为10 cm 的砂轮，每0.2 s 转一周，砂轮边缘上某一质点，它做圆周运动的线速度的大小是多大？角速度是多大？砂轮上离轮轴不同距离的质点，它们做匀速圆周运动的线速度是否相同？角速度是否相同？ 思路解析：由匀速圆周运动的公式v=TR π2，则v=2.00.123.14⨯⨯ m/s=3.14 m/s,再由角速度公式：ω=T π2，则ω=0.23.142⨯ rad/s=31.4 rad/s.砂轮上离转轴不同距离的质点，线速度不同，距轴越远,线速度越大.但轮上各不同质点的角速度是相同的. 答案：3.14 m/s 31.4 rad/s 角速度相同,线速度距轴越远越大9.一个直径为d 的飞轮绕水平轴转动，当飞轮转速为n 时，附在轮边沿上与圆心同高处的水滴脱离飞轮飞出.求证：水滴上升的最大高度h=π2n 2d 2/（2g ）.思路解析：附在轮边沿上与圆心同高处的水滴脱离飞轮飞出时的方向竖直向上，速度的大小是v=r ω=d ω/2=2πd/(2T)=πdn ，随后水滴做竖直上抛运动，上升到最大高度时速度为零.可以依据匀变速直线运动的位移公式求出水滴上升的最大高度. 转轮的线速度为v=r ω=d ω/2=2πd/(2T)=πdn. 水滴以该速度沿切线飞出，做竖直上抛运动.根据竖直上抛的公式，其最大高度为h=v 2/（2g ）=π2n 2d 2/（2g ）. 答案：π2n 2d 2/（2g ）我综合 我发展10.如图2-1-9所示为一实验小车中利用光脉冲测量车速和行程的装置示意图，A 为光源，B 为电接收器，A 、B 均固定在车身上，C 为小车的车轮，D 为与C 同轴相连的齿轮.车轮转动时，A 发出的光束通过旋转齿轮上齿的间隙后变成脉冲光信号，被B 接收并转换成电信号，由电子电路记录和显示.若实验单位时间内显示的脉冲数为n ，累计脉冲数为N ，则要测出小车的速度和行程还必须测量的物理量或数据是__________;车速度的表达式v=_____________;行程的表达式s=___________________.图2-1-9思路解析：因为B 在单位时间内接到脉冲数为n ，每个间隙转动的时间t=n1，设一周有P个齿，则有P 个间隙，周期T=Pt=n P ，据v=TR π2，可得v=P nR π2，所以要求车速必须测量出车轮的半径R 和齿轮数P.当脉冲总数为N ，则经过的时间t 总=Nt=N[]n;所以行程s=vt 总=PRNπ2. 答案：车轮的半径R 和齿轮数PP nR π2 PRNπ2 11.如图2-1-10所示是生产流水线上的皮带传输装置，传输带上等间距地放着很多半成品产品.A 轮处装有光电计数器，它可以记录通过A 处的产品数目.已经测得轮A 、B 的半径分别为r A =20 cm 、r B =10 cm ，相邻两产品距离为30 cm ，1 min 内有41个产品通过A 处.求：图2-1-10（1）产品随传输带移动的速度大小；（2）A 、B 轮轮缘上的两点P 、Q 及A 轮半径中点M 的线速度和角速度大小；（3）如果A 轮是通过摩擦带动C 轮转动，且r C =5 cm ，求出C 轮的角速度（假设轮不打滑）. 思路解析：（1）A 、B 轮上每一点的线速度与传输带运动的速度相等，v=t s =600.3040⨯ m/s=0.2 m/s.（2）v P =v Q =v=0.2 m/s ，又因为ωM =ωP ，所以v M =21v P =0.1 m/s.ωP =ωM =2.02.0=A P v v rad/s=1 rad/s;ωQ =2ωP =2 rad/s. （3）因为v C =v A ，所以ωC =CA r r ωA =05.02.0×1 rad/s=4 rad/s.答案：（1）0.2 m/s （2）v P =v Q =0.2 m/sv c =0.1 m/s ωP =1 rad/s ωQ =2 rad/s ωM =1 rad/s （3）ωC =4 rad/s12.如图2-1-11，A 、B 两个齿轮的齿数分别是z 1、z 2，各自固定在过O 1、O 2的轴上.其中过O 1的轴与电动机相连接，此轴每分钟转速为n 1，求:图2-1-11（1）B 齿轮的转速n 2;（2）A 、B 两齿轮的半径之比;（3）在时间t 内，A 、B 两齿轮转过的角度之比以及B 齿轮外缘上一点通过的路程. 思路解析：在齿轮传动装置中，各齿轮的“齿”是相同的，齿轮的齿数对应齿轮的周长，在齿轮传动进行转速变换时，单位时间内每个齿轮转过的齿数相等，相当于每个接合的齿轮边缘处线速度大小相等，因此齿轮传动满足的关系是齿轮转速与齿数成反比，即21z z =12n n =12ωω. （1）齿轮的转速与齿数成反比，所以B 齿轮的转速n 2=21z z n 1. （2）齿轮A 边缘的线速度v 1=ω1r 1=2πn 1r 1 齿轮B 边缘的线速度v 2=ω2r 2=2πn 2r 2因两齿轮边缘上点的线速度大小相等，即v 1=v 2 所以2πn 1r 1=2πn 2r 2即两齿轮半径之比r 1∶r 2=n 2∶n 1=z 1∶z 2.（3）在时间t 内，A 、B 转过的角度分别为φ1=ω1t=2πn 1t ，φ2=ω2t=2πn 2t ，转过的角度之比φ1∶φ2=n 1∶n 2.B 齿轮外缘一点在时间t 内通过的路程为s 2=v 2t=ω2r 2t=2πn 2r 2t=2πz 1n 1r 2t/z 2. 答案：（1）21z z n 1（2）z 1∶z 2（3）2πz 1n 1r 2t/z 2 13.一把雨伞边缘的半径为r ，且高出水平地面h ，当雨伞以某一角速度匀速旋转时，雨滴自边缘甩出且落在地面上形成一个半径为3r 的大圆周，则雨伞旋转的角速度为多大？ 思路解析：由下图可知，在直角三角形BCO 中，∠B=90°，OB=r ，OC=3r ，可求出CB=22)3(r r -=8r ，在伞转动过程中，雨滴从伞边缘的各个点如A 点以速度v A 做平抛运动，落在C 点.由平抛运动的规律：CB=v A t ①h=21gt 2② v A =ωr ③ 联立①②③得：ω=2hg . 答案：2hg。

圆周运动1．关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，如下说法正确的答案是( )A ．线速度大的角速度一定大B ．线速度大的周期一定小C ．角速度大的半径一定小D ．角速度大的周期一定小解析：选D ．由v ＝rω得ω＝vr，显然只有当半径r 一定时，角速度与线速度才成正比，故A 项错；由v ＝2πr T 得T ＝2πr v，只有当半径r 一定时，周期与线速度才成反比，故B 项错；由ω＝v r知，线速度一定时，角速度与半径成反比，故C 项错；由ω＝2πT得T ＝2πω，显然周期与角速度成反比，角速度大的，周期一定小，故D 项对．2．如下列图，在闹钟和手表之间的争论中，其中闹钟用来分析圆周运动的物理量是( )A ．角速度B ．周期C ．线速度D ．转速解析：选C ．闹钟和手表秒针的角速度相等，根据v ＝rω，半径越大，线速度越大，闹钟秒针的针尖到转轴的距离大于手表的秒针的针尖到转轴的距离，所以v 闹>v 手，闹钟根据自己线速度大而说自己运动得快．故C 正确，A 、B 、D 错误．3．如下列图，普通轮椅一般由轮椅架、车轮、刹车装置等组成．车轮有大车轮和小车轮，大车轮上固定有手轮圈，手轮圈由患者直接推动．大车轮、手轮圈、小车轮的半径之比为9∶8∶1，假设轮椅在地面上做直线运动，手和手轮圈之间、车轮和地面之间都不打滑，当手推手轮圈的角速度为ω时，小车轮的角速度为( )A ．ωB ．18ωC ．98ω D ．9ω解析：选D ．手轮圈和大车轮的转动角速度相等，都等于ω，大车轮、小车轮和地面之间不打滑，如此大车轮与小车轮的线速度相等，假设小车轮的半径是r ，如此有v ＝ω·9r ＝ω′·r ，小车轮的角速度为ω′＝9ω，选项D 正确．4．〔多项选择〕如下列图为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r 1，从动轮的半径为r 2．主动轮做顺时针转动，转速为n ，转动过程中皮带不打滑．如下说法正确的答案是( )A ．从动轮做顺时针转动B ．从动轮做逆时针转动C ．从动轮的转速为r 1r 2nD ．从动轮的转速为r 2r 1n解析：选BC ．因为主动轮顺时针转动，从动轮通过皮带的摩擦力带动转动，所以从动轮逆时针转动，A 错误，B 正确；由于通过皮带传动，皮带与轮边缘接触处的线速度相等，所以由2πnr 1＝2πn 2r 2，得从动轮的转速为n 2＝nr 1r 2，C 正确，D 错误． 5．从我国汉代古墓一幅表现纺织女纺纱的情景的壁画上看到〔如图〕，纺车上，一根绳圈连着一个直径很大的纺轮和一个直径很小的纺锤，纺纱女只要轻轻摇动那个巨大的纺轮，那根绳圈就会牵动着另一头的纺锤飞快转动．如果纺轮与纺锤的直径之比是100∶1，假设纺轮转动1周，如此纺锤转动多少周？解析：纺轮和纺锤在一样时间内转过的圆弧弧长相等，即线速度相等，v 轮＝v 锤，由v ＝ω·r 知角速度之比ω轮∶ω锤＝1∶100即当纺轮转动1周时，纺锤转动100周． 答案：100周[课时作业][学生用书P93〔单独成册〕]一、单项选择题 1．如下列图是一个玩具陀螺．a 、b 和c 是陀螺上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，如下表述正确的答案是( )A ．a 、b 和c 三点的线速度大小相等B ．a 、b 和c 三点的角速度相等C ．a 、b 的角速度比c 的大D ．c 的线速度比a 、b 的大解析：选B ．a 、b 和c 均是同一陀螺上的点，它们做圆周运动的角速度都为陀螺旋转的角速度ω，B 对，C 错．三点的运动半径关系r a ＝r b ＞r c ，据v ＝ω·r 可知，三点的线速度关系v a ＝v b ＞v c ，A 、D 错．2．如图，圆盘绕过圆心且垂直于盘面的轴匀速转动，其上有a 、b 、c 三点，Oc ＝12Oa ，如此如下说法中错误的答案是( )A ．a 、b 两点线速度一样B ．a 、b 、c 三点的角速度一样C ．c 点的线速度大小是a 点线速度大小的一半D ．a 、b 、c 三点的运动周期一样解析：选A ．同轴转动的不同点角速度一样，B 正确；根据T ＝2πω知，a 、b 、c 三点的运动周期一样，D 正确；根据v ＝ωr 可知c 点的线速度大小是a 点线速度大小的一半，C 正确；a 、b 两点线速度的大小相等，方向不同．A 错误．3．如下列图，直径为d 的纸制圆筒，以角速度ω绕中心轴匀速转动，把枪口垂直对准圆筒轴线，使子弹穿过圆筒，结果发现圆筒上只有一个弹孔，如此子弹的速度不可能是( )A ．dωπB ．dω2πC ．dω3πD ．dω5π解析：选B ．圆筒上只有一个弹孔，明确子弹从一个位置进入和离开圆筒，故子弹穿过圆筒的时间t 内，转过的角度θ＝〔2n ＋1〕π〔n ＝0，1，2…〕，故子弹的速度v ＝d t ＝dωθ＝dω〔2n ＋1〕π．n ＝0时，v ＝dωπ，A 对．n ＝1时，v ＝dω3π，C 对．n ＝2时，v ＝dω5π，D 对． 4．汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长．某国产轿车的车轮半径约为30 cm ，当该型轿车在高速公路上行驶时，驾驶员面前的速率计的指针指在“120 km/h 〞上，可估算出该车车轮的转速约为( )A ．1 000 r/sB ．1 000 r/minC ．1 000 r/hD ．2 000 r/s解析：选B ．据车速与转速的关系知v ＝2πr ·n 即120×103＝2π×0．3n 1，解得每小时的转速n 1≈6．4×104r/h ．120×10360＝2π×0．3n 2，解得每分钟的转速n 2≈1 000r/min ．120×1033.6×103＝2π×0．3n 3，解得每秒钟的转速n 3≈18 r/s ．二、多项选择题5．做匀速圆周运动的物体，如下物理量中不变的是( ) A ．速度 B ．速率 C ．角速度D ．转速解析：选BCD ．速度是矢量，匀速圆周运动的速度方向不断改变；速率、转速都是标量，匀速圆周运动的速率、转速不变；角速度是矢量，在中学阶段不讨论角速度的方向，角速度方向不变．综上，B 、C 、D 正确．6．某教师在做竖直面内圆周运动快慢的实验研究，并给运动小球拍了频闪照片，如下列图〔小球相邻影像间的时间间隔相等〕，小球在最高点和最低点的运动快慢比拟，如下说法中正确的答案是( )A ．最高点附近小球相邻影像间弧长短，线速度小，运动较慢B ．最低点附近小球相邻影像间圆心角大，角速度大，运动较快C ．小球在相邻影像间运动时间间隔相等，最高点与最低点运动一样快D ．无法比拟最高点和最低点的运动快慢解析：选AB ．由所给频闪照片可知，在最高点附近，相邻影像间弧长较小，明确最高点附近的线速度较小，运动较慢，A 对；在最低点附近，相邻影像间弧长较大，对应一样时间内通过的圆心角较大，故角速度较大，运动较快，B 对．7．甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么如下说法中正确的答案是( )A ．它们的半径之比为2∶9B ．它们的半径之比为1∶2C ．它们的周期之比为2∶3D ．它们的周期之比为1∶3 解析：选AD ．因为v 1v 2＝r 1ω1r 2ω2＝23，且ω1ω2＝3，因此r 1r 2＝23×ω2ω1＝29，选项A 正确，选项B错误；匀速圆周运动的周期T ＝2πω，如此T 1T 2＝ω2ω1＝13，选项C 错误，选项D 正确．8．假设某一飞船升空后，先运行在近地点高度为200 km 、远地点高度为350 km 的椭圆轨道上，实施变轨后做匀速圆周运动，共运行了n 周，起始时刻为t 1，完毕时刻为t 2，运行速度为v ，半径为r ，如此计算其运行周期可用( )A ．T ＝t 2－t 1n B ．T ＝t 1－t 2n C ．T ＝2πr vD ．T ＝2πvr解析：选AC ．由题意可知飞船做匀速圆周运动n 周所需时间Δt ＝t 2－t 1，故其周期T ＝Δt n ＝t 2－t 1n ，选项A 正确；由周期公式有T ＝2πrv，选项C 正确．三、非选择题9．如下列图，在O 1、O 2、O 3三个轮的边缘各取一点A 、B 、C ，三个轮的半径之比r 1∶r 2∶r 3＝3∶2∶1，如此A 、B 、C 三点的线速度大小之比为v A ∶v B ∶v C ＝；A 、B 、C 三点的角速度之比ωA ∶ωB ∶ωC ＝；A 、B 、C 三个轮子的转速之比n 1∶n 2∶n 3＝解析：由于O 1、O 3两轮共轴，所以A 、C 两点角速度相等，即ωA ＝ωC ；由于O 1、O 2通过皮带传动，所以A 、B 两点线速度的大小相等，即v A ＝v B ，由v ＝ωr ，r 1∶r 3＝3∶1，ωA ＝ωC ，如此v A ∶v C ＝3∶1，整理得：v A ∶v B ∶v C ＝3∶3∶1；由ω＝v r，r 1∶r 2＝3∶2，v A ＝v B ，如此ωA ∶ωB ＝2∶3，整理得：ωA ∶ωB ∶ωC ＝2∶3∶2，由ω＝2πn ，得：n 1∶n 2∶n 3＝2∶3∶2．答案：3∶3∶1 2∶3∶2 2∶3∶210．如下列图，半径为R 的圆轮在竖直面内绕O 轴匀速转动，O 轴离地面高为2R ，轮上a 、b 两点与O 点连线相互垂直，a 、b 两点均粘有一小物体，当a 点转至最低位置时，a 、b两点处的小物体同时脱落，经过一样时间落到水平地面上．(1)试判断圆轮的转动方向． (2)求圆轮转动的角速度的大小．解析：(1)由题意知，a 、b 两点处的物体脱离圆轮后在空中的运动时间相等，因h b >h a ，所以脱离时b 点处物体的速度应竖直向下，即圆轮的转动方向为逆时针．(2)a 、b 两点处的物体脱落前分别随圆盘做匀速圆周运动v 0＝ωR ①脱落后a 点处物体做平抛运动h a ＝12gt 2＝R②b 点处物体做竖直下抛运动 h b ＝v 0t ＋12gt 2＝2R③联立以上方程得ω＝g 2R ． 答案：(1)逆时针 (2)g 2R11．如下列图，小球A 在光滑的半径为R 的圆形槽内做匀速圆周运动，当它运动到图中的a 点时，在圆形槽中心O 点正上方h 处，有一小球B 沿Oa 方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在a 点与A 球相碰，求：(1)B 球抛出时的水平速度多大？(2)A 球运动的线速度最小值为多大？解析：(1)小球B 做平抛运动，其在水平方向上做匀速直线运动，设小球B 的水平速度为v 0，如此R ＝v 0t ①在竖直方向上做自由落体运动，如此h ＝12gt 2②由①②得v 0＝R t ＝Rg 2h． (2)A 球的线速度取最小值时，A 球刚好转过一圈，B 球落到a 点与A 球相碰，如此A 球做圆周运动的周期正好等于B 球的飞行时间，即T ＝2hg所以v A ＝2πRT＝2πRg 2h． 答案：(1)R g2h(2)2πR g 2h。

2.1 匀速圆周运动快慢的描述
1、如果钟表的指针都做匀速圆周运动，钟表上分针的周期和角速度各多大？分针与秒针的角速度之比为多少？
2、做匀速圆周运动的飞机，运动半径为4000m，线速度为80m/s，则周期为______s，角速度为______rad/s．
3、半径为40cm，转速是1200r/min．求（1）砂轮转动的周期；（2）砂轮转动的角速度；（3）砂轮边缘上一点线速度的大小？
4、自行车匀速行驶中，车轮绕轴转动的转速为120r/min，车轮的直径为0.70m．求自行车行驶速度的大小？
5、如图，一个匀速转动的圆盘上有a、b、c三点，已知
，则下面说法中正确的是（）
A、a，b两点线速度大小相等
B、a、b、c三点的角速度相同
C、c点的线速度大小是a点线速度大小的一半
D、a、b、c三点的运动周期相同
6、一个质点做半径为60cm的匀速圆周运动，它在0.2s的时间内转过了30°，则质点的角速度为 rad/s，线速度为 m/s．
7．把地球看成一个球体，在地球表面上赤道某一点A，北纬60°一点B，在地球自转时，A 与B两点角速度之比为多大？线速度之比为多大？
8．如图所示，直径为d的纸筒，以角速度
绕o轴转动，
一颗子弹沿直径水平穿过圆纸筒，先后留下a、b两个弹孔，且oa、ob间的夹角为
，则子弹的速度为多少？。

圆周运动每课一练一、选择题1.关于角速度和线速度，下列说法正确的是[]A.半径一定，角速度与线速度成反比B.半径一定，角速度与线速度成正比C.线速度一定，角速度与半径成正比D.角速度一定，线速度与半径成反比2.下列关于甲乙两个做圆周运动的物体的有关说法正确的是[]A.它们线速度相等，角速度一定相等B.它们角速度相等，线速度一定也相等C.它们周期相等，角速度一定也相等D.它们周期相等，线速度一定也相等3.时针、分针和秒针转动时，下列正确说法是[]A.秒针的角速度是分针的60倍B.分针的角速度是时针的60倍C.秒针的角速度是时针的360倍D.秒针的角速度是时针的86400倍4.关于物体做匀速圆周运动的正确说法是[]A.速度大小和方向都改变B.速度的大小和方向都不变C.速度的大小改变，方向不变D.速度的大小不变，方向改变5.物体做匀速圆周运动的条件是[]A.物体有一定的初速度，且受到一个始终和初速度垂直的恒力作用B.物体有一定的初速度，且受到一个大小不变，方向变化的力的作用C.物体有一定的初速度，且受到一个方向始终指向圆心的力的作用D.物体有一定的初速度，且受到一个大小不变方向始终跟速度垂直的力的作用6．质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是（）A．线速度越大，周期一定越小B．角速度越大，周期一定越小C．转速越大，周期一定越小D．圆周半径越小，周期一定越小二、填空题7、做匀速圆周运动的物体，当质量增大到2倍，周期减小到一半时，其向心力大小是原来的______倍，当质量不变，线速度大小不变，角速度大小增大到2倍时，其向心力大小是原来的______倍。

8、一物体在水平面内沿半径R=20 cm的圆形轨道做匀速圆周运动，线速度V=0.2m/s，那么，它的向心加速度为______m/S2，它的角速度为_______ rad/s，它的周期为______s。

三、计算题9、如图6所示，一质量为0.5kg的小球，用0.4m长的细线拴住在竖直面内作圆周运动，求：（1）当小球在圆上最高点速度为4m/s时，细线的拉力是多少？拉力是多少？（g=10m/s2）10、如图7所示，飞机在半径为R的竖直平面内翻斤斗，已知飞行员质量为m，飞机飞至最高点时，对座位压力为N，此时飞机的速度多大？圆周运动每课一练答案一、选择题1.B2.A3.A4.D5.D6.BC二、填空题7. 8、2 8.0.2、1、2π三、计算题9.15N、45N 10.。

1.曲线运动1．曲线运动的特征（1）曲线运动的轨迹是曲线。

（2）由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。

即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。

（3）由于曲线运动的速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的中速度必不为零，所受到的合外力必不为零，必定有加速度。

（注意：合外力为零只有两种状态：静止和匀速直线运动。

）曲线运动速度方向一定变化，曲线运动一定是变速运动，反之，变速运动不一定是曲线运动。

2．物体做曲线运动的条件(1)从动力学角度看：物体所受合外力方向跟它的速度方向不在同一条直线上。

(2)从运动学角度看：物体的加速度方向跟它的速度方向不在同一条直线上。

3．匀变速运动：加速度（大小和方向）不变的运动。

也可以说是：合外力不变的运动。

4曲线运动的合力、轨迹、速度之间的关系（1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。

（2）合力的效果：合力沿切线方向的分力F2改变速度的大小，沿径向的分力F1改变速度的方向。

①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。

②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。

③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。

（举例：匀速圆周运动）2.绳拉物体合运动：实际的运动。

对应的是合速度。

方法：把合速度分解为沿绳方向和垂直于绳方向。

3.小船渡河例1:一艘小船在200m 宽的河中横渡到对岸，已知水流速度是3m/s ，小船在静水中的速度是5m/s ，求：（1）欲使船渡河时间最短，船应该怎样渡河？最短时间是多少？船经过的位移多大？（2）欲使航行位移最短，船应该怎样渡河？最短位移是多少？渡河时间多长？船渡河时间：主要看小船垂直于河岸的分速度，如果小船垂直于河岸没有分速度，则不能渡河。

min cos d dt t v v θ=⇒=船船（此时θ=0°，即船头的方向应该垂直于河岸）解：（1）结论：欲使船渡河时间最短，船头的方向应该垂直于河岸。

4．如上图所示小物块位于半径为R的半球的顶端，若给小物块以水平的初速度V 时物块刚好无压力，则下列说法正确的是（）
A小物块立即离开球面做平抛运动；
B小物块落地时水平位移为2R；
C小物块沿球面运动
D物块落地时速度的方向与地面成45º角。

5.如图为小孩用在细绳悬挂起来荡秋扦，绳子长为L，最大偏角为
θ，小孩摆到最低位置时的速度是多大？最低位置时绳子的拉力为多大？(质量为M)
6.汽车在倾斜的弯道上拐弯，如上图所示弯道的半径为θ（半径为R）则汽车完全不靠摩擦力转弯，速率是多少？与此速率比较，过大或过小过弯道时人坐在车上的感觉如何？多少大的速度过弯道人感觉是最舒服的？。