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陕西省石泉县高中数学第五章数系的扩充与复数的引入复习小结教案北师大版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（陕西省石泉县高中数学第五章数系的扩充与复数的引入复习小结教案北师大版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第五章数系的扩充与复数的引入三维目标数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数学发生、发展的客观需求，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充。
在本模块中，学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识,体会人类理性思维在数系扩充中的作用。
提炼的课题复数的除法教学手段运用教学资源选择PPT 或试卷教学过程一．正确理解复数的实部和虚部．对于复数a＋b i（a，b∈R）,实部为a，虚部为b,在表示复数a＋b i时一定要有a，b∈R，否则不能说实部为a，虚部为b。
复数的实部和虚部都是实数．A．3－i B．3＋I C．1＋3i D．3【解析】（1＋z)·z＝（2＋i）（1－i）＝3－i。
【答案】A4．若a,b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i则（）A．a＝1,b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝－1,b＝－1 D．a＝1，b＝－1【解析】∵（a＋i)i＝a i－1＝b＋i，∴a＝1，b＝－1。
【答案】D5．(2013·丹东高二检测)图1若i为虚数单位，图1中复平面内点Z表示复数z，则表示复数错误!的点是( ）A．E B．FC．G D．H【解析】由图知复数z＝3＋i，∴错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝2－i，∴表示复数错误!的点为H。
陕西省石泉县高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.1.1 数的概念的扩展教案北师大版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（陕西省石泉县高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.1.1 数的概念的扩展教案北师大版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.1数的概念的扩展（一）、问题情境1、情境：数的概念的发展：从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的,其发展的动力来自两个方面．①解决实际问题的需要．由于计数的需要产生了自然数；为了刻画具有相反意义的量的需要产生了负数;由于测量等需要产生了分数；为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数(即无限不循环小数）．②解方程的需要．为了使方程40x +=有解,就引进了负数,数系扩充到了整数集；为了使方程320x -=有解，就要引进分数,数系扩充到了有理数集；为了使方程22x =有解，就要引进无理数，数系扩充到了实数集． 引进无理数以后，我们已经能使方程2x a =(0)a >永远有解．但是，这并没有彻底解决问题，当0a <时，方程2x a =在实数范围内无解．为了使方程2x a =(0)a <有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数．（可以以分解因式:44x -为例）2、问题：实数集应怎样扩充呢？（二）、新课探析1、为了使方程2x a =(0)a <有解，使实数的开方运算总可以实施，实数集的扩充就从引入平方等于1-的“新数”开始．为此，我们引入一个新数i ，叫做虚数单位（imaginary unit ）．并作如下规定：①21i =-；②实数可以与i 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．在这种规定下，i 可以与实数b 相乘，再同实数a 相加得i b a ⋅+．由于满足乘法交换律和加法交换律,上述结果可以写成a bi + (,a b R ∈）的形式．2、复数概念及复数集C形如a bi +(,a b R ∈）的数叫做复数。
高中数学 《复数的四则运算》教材解读教案 选修2-2一、数系的扩充和复数的概念1．复数的引入：回想数系的每一次扩充都主要来自两个方面：一方面数学本身发展的需要；另一方面由于实际的需要.而复数的引入属于前者．我们知道，方程210x +=在实数范围内无解，于是需引入新数i 使方程有解，显然，需要21i =-．数系的扩充过程：自然数集N 引入负数整数集Z 引入分数有理数集Q 引入无理数实数集R 引入虚数复数集C ．2．复数的代数形式：由实数的运算类似地得到新数i 可以同实数进行加、减、乘运算，于是得到：形如()a bi a b +∈R ，的数叫做复数，并且把()z a bi a b =+∈R ，的这一表现形式叫做复数的代数形式，其中的a 叫做复数的实部，b 叫复数的虚部．注意复数132i -的虚部是3-，而不是3i -．3．复数相等的充要条件a bi c di a c +=+⇔=且()b d a bcd =∈R ，，，注意事项：（1）复数a bi +(0)(0)(0)(0)a b bi a a bi b a bi a =⎧⎪=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数 （2）复数集C ⎧⎨⌝⎩R R 实数集虚数集 （3）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数，则不能比较大小. 二、复数的几何意义1．复数可以用平面直角坐标系的点来唯一表示，于是：复数集{}a bi a b =+∈C R ，|与坐标系中的点集{}()|a b a b ∈R ，，，可以建立一一对应．2．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是１，y 轴的单位是i ，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点(00)，对应复数0．于是有下面的一一对应关系：复数Z a bi =+复平面内的点()Z a b ，．3．由于平面向量与坐标平面的点一一对应，于是有：复数Z a bi =+一一对应平面向量OZ ．在这些意义下，我们就可以把复数z a bi =+说成点Z 或向量OZ ，这给研究复数运算的几何意义带来了方便．4．复数的模就是这个复数对应的向量的模，复数z a bi =+的模为22z a b =+．三、复数代数形式的四则运算1．复数的加法、减法①运算法则()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±．其运算法则类似于多项式的合并同类项②复数加法的运算律对于任意的123z z z ∈C ，，，有：交换律：1221z z z z +=+．结合律：123123()()z z z z z z ++=++．③复数加法的几何意义设1OZ ，2OZ 分别与复数a bi +，c di +对应，根据向量加法的平行四边形（三角形）法则，则有12OZ OZ OZ +=（如图1）．由平面向量的坐标运算：12()OZ OZ a c b d +=++，，即得OZ 与复数()()a c b d i +++对应．可见，复数的加法可以按向量加法的法则进行．④复数减法的几何意义设1OZ ，2OZ 分别与复数a bi +，c di +对应（如图2），根据向量加法的三角形法则有：2211OZ Z Z OZ +=．于是：1221OZ OZ Z Z -=．由平面向量的坐标运算：12()OZ OZ a c b d -=--，，即得21Z Z 与复数()()a c b d i -+-对应．于是得到向量的减法运算法则为：两个复数的差与连接两个向量的终点并指向被减数的向量相对应．2．复数代数形式的乘法运算①运算法则：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++．两个复数相乘类似于两个多项式相乘，只是把2i 换为1-，并且把实部与虚部分别合并即可．②运算律：交换律：1221z z z z =··．结合律：123123()()z z z z z z =····．分配律：1231213()z z z z z z z +=+．③虚数i 的乘方及其规律：1i i =，21i =-，3i i =-，41i =，5i i =，61i =-，7i i =-，81i =，．可见，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-，41()n i n *=∈N ，即i 具有周期性且最小正周期为4．④共轭复数a bi +与a bi -互为共轭复数，即当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．它的几何意义是：共轭的两个复数关于x 轴对称．主要用于复数的化简以及复数的除法运算.3．复数代数形式的除法运算运算法则：2222(0)a bi ac bd bc ad i c di c di c d c d ++-=++≠+++． 其实质是分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式．类似于以前所学的把分母“有理化”．。
1数系的扩充与复数的引入数的概念的扩展已知方程(1)x2－22x＋2＝0，(2)x2＋1＝0.问题1：方程(1)在有理数数集中有解吗？实数范围内呢？提示：在有理数集中无解；在实数范围内有解，其解为 2.问题2：方程(2)在实数集中有解吗？提示：没有．问题3：若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？提示：有解x＝i，但不是实数．1．复数的概念2．复数集复数的全体组成的集合，记作C.显然R C.复数相等问题1：若a，b，c，d∈R且a＝c，b＝d，复数a＋b i和c＋d i相等吗？提示：相等．问题2：若a＋b i＝c＋d i，那么实数a，b，c，d有何关系？提示：a＝c，b＝d.复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d.复平面及复数的几何意义问题1：实数与数轴上的点一一对应，复数可以用平面内的点表示吗？ 提示：可以．问题2：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)与有序实数对(a ，b )有何对应关系？与平面直角坐标系中的点Z (a ，b )有何对应关系？提示：一一对应，一一对应．问题3：在平面直角坐标系中点Z (a ，b )与向量OZ ―→＝(a ，b )有何对应关系？ 提示：一一对应关系．问题4：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)与OZ ―→有何对应关系？ 提示：一一对应．1．复平面(1)当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x 轴为实轴，y 轴为虚轴．(2)任一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)与复平面内的点Z (a ，b )是一一对应的．这是复数的几何意义．一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)与复平面内的向量OZ ―→＝(a ，b )是一一对应的． 2．复数的模设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)在复平面内对应的点是Z (a ，b )，点Z 到原点的距离|OZ |叫作复数z 的模或绝对值，记作|z |，显然，|z |＝a 2＋b 2.1．注意复数的代数形式z ＝a ＋b i 中a ，b ∈R 这一条件，否则a ，b 就不一定是复数的实部与虚部．2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.3．只有两个复数都是实数时才能比较大小，否则没有大小关系．复数的基本概念[例1] 复数z ＝(1)z 为实数；(2)z 为虚数；(3)z 为纯虚数？[思路点拨] 分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断． [精解详析] (1)当m 2＋m －2＝0，即m ＝－2或m ＝1时，z 为实数． (2)当m 2＋m －2≠0，即m ≠－2且m ≠1时，z 为虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2≠0，m 2－3m ＋2＝0，即m ＝2时，z 为纯虚数．[一点通] 复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)时应先转化形式．(2)注意分清复数分类中的条件设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则①z 为实数⇔b ＝0，②z 为虚数⇔b ≠0，③z 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0.④z ＝0⇔a ＝0，且b ＝0.1．设a ，b ∈R.“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选B 当a ＝0，且b ＝0时，a ＋b i 不是纯虚数；若a ＋b i 是纯虚数，则a ＝0.故“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要而不充分条件．2．若复数z ＝(x 2－1)＋1x －1i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．－1或1解析：选A 由复数z ＝(x 2－1)＋1x －1i 为纯虚数得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，解得x ＝－1.复数的相等[例2] (1)已知(2x y ；(2)设z 1＝1＋sin θ－icos θ，z 2＝11＋sin θ＋(cos θ－2)i.若z 1＝z 2，求θ.[思路点拨] 先找出两个复数的实部和虚部，然后再利用两个复数相等的充要条件列方程组求解．[精解详析] (1)根据复数相等的充要条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－3－y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4.(2)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋sin θ＝11＋sin θ，cos θ＝2－cos θ，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝0，cos θ＝1.则θ＝2k π(k ∈Z)．[一点通] 复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．3．若a i ＋2＝b －i(a ，b ∈R)，i 为虚数单位，则a 2＋b 2＝( ) A ．0 B ．2 C.52D ．5解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2＝b ，a ＝－1，则a 2＋b 2＝5.4．若关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x ＋3m ＋i ＝0有实根，则实数m ＝( ) A.112B.112i C ．－112D ．－112i解析：选A 因为关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x ＋3m ＋i ＝0有实根，即x 2＋(1＋2i)x ＋3m＋i ＝0⇔x 2＋x ＋3m ＋(2x ＋1)i ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋3m ＝0，2x ＋1＝0⇒m ＝112，故选A.复数的几何意义[例3] 实数a a 2－3a ＋2)i 的点 (1)位于第二象限； (2)位于直线y ＝x 上？[思路点拨] 位于第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0；位于直线y ＝x 上的点的横坐标等于纵坐标．[精解详析] 根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 的点就是点Z (a 2＋a －2，a 2－3a ＋2)．(1)由点Z 位于第二象限得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2<0，a 2－3a ＋2>0，解得－2<a <1.故满足条件的实数a 的取值范围为(－2,1)．(2)由点Z 位于直线y ＝x 上得a 2＋a －2＝a 2－3a ＋2，解得a ＝1. 故满足条件的实数a 的值为1.[一点通] 按照复数集和复平面内所有的点的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置确定复数的实部、虚部满足的条件．5．若复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1 B ．a ≠2且a ≠1 C ．a ＝0D ．a ＝2或a ＝0解析：选D 因为复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，所以a 2－2a ＝0，解得a ＝0或a ＝2.6．已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA ―→，OB ―→对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA ―→的坐标是( )A ．(－5,5) B.(5，－5) C ．(5,5)D ．(－5，－5)解析：选B 向量OA ―→，OB ―→对应的复数分别记作z 1＝2－3i ，z 2＝－3＋2i ，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量OA ―→＝(2，－3)，OB ―→＝(－3,2)．由向量减法的坐标运算可得向量BA ―→＝OA ―→－OB ―→＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)．7．在复平面内，求复数z ，使复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R)的对应点 (1)在虚轴上； (2)在实轴负半轴上．解：(1)若复数z 对应点在虚轴上， 则m 2－m －2＝0，∴m ＝－1或m ＝2， 此时，z ＝6i 或z ＝0.(2)若复数z 对应点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1，∴z ＝－2.复 数 的 模[例4] (1)若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1－2i C ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i(2)设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＜|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－1,1) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)[精解详析] (1)依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R)， 由|z |＝5得 a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i. (2)因为|z 1|＝ a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5， 所以a 2＋4＜5，即a 2＋4＜5，所以a 2＜1， 即－1＜a ＜1. [答案] (1)D (2)B [一点通] 复数模的计算(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解．8．已知复数z ＝1－2m i(m ∈R)，且|z |≤2，则实数m 的取值范围是________． 解析：由|z |＝1＋4m 2≤2，解得－32≤m ≤32. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 9．求复数z 1＝6＋8i 与z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的模的大小．解：∵z 1＝6＋8i ，z 2＝－12－2i ，∴|z 1|＝62＋82＝10，|z 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋－22＝32.∵10>32，∴|z 1|>|z 2|.1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数b i(b ≠0，b ∈R)不要只记形式，要注意b ≠0.2．复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，可知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)、复平面内的点Z (a ，b )和平面向量OZ ―→之间的关系可用图表示．1．复数1＋i 2的实部和虚部分别是( ) A ．1和i B ．i 和1 C ．1和－1D ．0和0解析：选D ∵1＋i 2＝1－1＝0，故选D.2．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵23<m <1，∴3m －2>0，m －1<0，∴点(3m －2，m －1)在第四象限．3．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．±1D ．－1或－2解析：选B ∵(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0.由x 2－1＝0，得x ＝±1，又由x 2＋3x ＋2≠0，得x ≠－2且x ≠－1，∴x ＝1. 4．已知虚数z ＝x ＋y i 的模为1(其中x ，y 均为实数)，则yx ＋2的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0 解析：选B ∵|z |＝1，∴x 2＋y 2＝1.设k ＝yx ＋2，则k 为过圆x2＋y 2＝1上的点和点(－2,0)的直线斜率，作图如图所示，∴k ≤13＝33. 又∵z 为虚数，∴y ≠0，∴k ≠0. 又由对称性可得k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎦⎥⎤0，33. 5．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.解析：由复数的几何意义知，z 1，z 2的实部，虚部均互为相反数，故z 2＝－2＋3i. 答案：－2＋3i6．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i>0，则实数m 的值为________． 解析：由于两个不全为实数的复数不能比较大小，可知(m 2－1)＋(m 2－2m )i 应为实数，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1>0，m 2－2m ＝0，解得m ＝2. 答案：27．已知复数z ＝(m 2－3m )＋(m 2－m －6)i ，当实数m 为何值时，①z 是实数；②z ＝4＋6i ；③z 对应的点在第三象限？解：z ＝(m 2－3m )＋(m 2－m －6)i. ①令m 2－m －6＝0⇒m ＝3或m ＝－2， 即m ＝3或m ＝－2时，z 为实数．②⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝4，m 2－m －6＝6⇒m ＝4.即m ＝4时z ＝4＋6i.③若z 所对应的点在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m <0，m 2－m －6<0⇒0<m <3.即0<m <3时z 对应的点在第三象限．8．在复平面内画出复数z 1＝12＋32i ，z 2＝－1，z 3＝12－32i 对应的向量OZ 1―→，OZ 2―→，OZ 3―→，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z 1，Z 2，Z 3的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，(－1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，则向量OZ 1―→，OZ 2―→，OZ 3―→如图所示．|z 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1， |z 2|＝|－1|＝1，|z 3|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1. ∴在复平面xOy 内，点Z 1，Z 3关于实轴对称，且Z 1，Z 2，Z 3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．。
Z 2Z 1 Z Oxy复数的乘法与除法教学目的：1、掌握复数的加、减、乘、除四则运算及其运算律；理解复数加、减法的几何意义。
2、培养类比思想和逆向思维。
3、培养学生探索精神和良好的学习习惯。
教学重点：复数的加、减、乘、除四则运算及其运算律。
教学难点：运用类比思想由实数运算法则探究复数运算法则。
教学方法：类比法。
教学过程：一、复习引入复数的加法：设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a,b,c,d ∈R)是任意两个复数，则它们和为z 1＋z 2＝(a ＋bi)＋(c ＋di)＝(a ＋c)＋(b ＋d)i复数的和仍然为一个复数，其实部为z 1、z 2的实部和，虚部为z 1、z 2的虚部和。
复数加法满足(1)交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1；(2)结合律(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3) 复数的减法：(加法的逆运算)复数a ＋bi 减去复数c ＋di 的差是指满足(c ＋di)＋(x ＋yi)＝a ＋bi 的复数x ＋yi ，记作(a ＋bi)－(c ＋di)根据复数相等的定义：(a ＋bi)－(c ＋di)＝(a －c)＋(b －d)i复数的差仍然是一个复数，其实部为两个复数实部的差，虚部为两个复数虚部的差。
显然，减法不满足交换律和结合律。
复数加法的几何意义：复数可以用向量表示，复数加法的几何意义即为平行四边形法则。
证明思路1：设z 1＝a ＋bi 、z 2＝c ＋di 分别对应复平面上的点Z 1(a ，b)和Z 2(c ，d)，z ＝(a ＋c)＋(b ＋d) i 对应复平面上Z (a ＋c ，b＋d)，证明OZ 1ZZ 2为平行四边形。
证明思路2：根据平行四边形法则求得点Z ，证明其坐标为(a ＋c ，b ＋d)。
1OZ ＋2OZ ＝ ＜＝＞ z 1＋z 2＝z复数减法的几何意义：复数减法的几何意义即为三角形法则。
1OZ －2OZ ＝12Z Z ＜＝＞ z 1－z 2＝z二、新课讲解1.复数的乘法：设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R)是任意两个复数，则它们积为z 1•z 2＝(a ＋bi) (c ＋di)＝(ac －bd)＋(bc ＋ad)i复数的积仍然为一个复数，复数的乘法与多项式的乘法相似。
第五章数系的扩充与复数的引入一、教学目标：1、了解数的概念发展和数系扩充的过程，了解引进虚数单位i的必要性和作用，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；3、理解并掌握复数的代数形式四则运算法则与规律二、教学重难点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件；复数的代数形式四则运算法则与规律。
三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、基础梳理1、复数的概念及其表示形式：通常复数z的实部记作Rez；复数z的虚部记作Imz.两个重要命题：（2）复数的几何形式：复数集与平面上的点集之间能建立一一对应关系，故可用平这是解决复数问题时进行虚实转化的工具：在复平面上，互为共轭复数的两个点关于实轴对称：=+∈(,), 5z a bi a b R Z a b（）复数的模：设在复平面上对应的点为（），则2.、复数的运算：（1）四则运算法则（可类比多项式的运算）简记为“分母实数化”。
特例：利用复数相等的充要条件转化为解实方程组。
（二）、例题探析 例1、1、若i b i i a -=-)2(，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则22b a += 。
答案52、已知复数i z i z 21,221+=+=，则12z z z =在复平面内所对应的点位于（ ） (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限答案：Ａ3、已知m R ∈，复数2(2)(21)1m m z m m i m +=++--，当m 为何值时：（1）z R ∈；（2）z 是虚数；（3）z 是纯虚数．解：（1）当2210m m +-=且10m -≠，即1m =-z 是实数；（2）当2210m m +-≠且10m -≠，即1m ≠-1m ≠时，z 是虚数；（3）当(2)01m m m +=-且2210m m +-≠，即0m =或2-时，z 为纯虚数． 学生练习，教师准对问题讲评。
归纳推理【例1】 (1)观察式子：1＋22<2，1＋22＋32<3，1＋22＋32＋42<4，……，由此可归纳出的式子为( )A ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n －1B ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n ＋1C ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1nD ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n 2n ＋1(2)两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin(π＋α)＝0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝0，由此可以推知，四点等分单位圆时的相应正确关系为__________．思路探究：(1)观察各式特点，找准相关点，归纳即得． (2)观察各角的正弦值之间的关系得出结论．(1)C (2)sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin(α＋π)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝0 [(1)由各式特点，可得1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n.故选C.(2)用两点等分单位圆时，关系为sin α＋sin(π＋α)＝0，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差为(π＋α)－α＝π，用三点等分单位圆时，关系为sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝0，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，即有⎝⎛⎭⎪⎫α＋4π3－⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3－α＝2π3.依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为α，第二个角为2π4＋α＝π2＋α，第三个角为π2＋α＋2π4＝π＋α，第四个角为π＋α＋2π4＝3π2＋α，即其关系为sin α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝0.]归纳推理的特点及一般步骤1．已知函数y ＝sin 4x ＋cos 4x(x∈R)的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，则(1)函数y ＝sin 6x ＋cos 6x(x∈R)的值域是__________；(2)类比上述结论，函数y ＝sin 2nx ＋cos 2nx(n∈N ＋)的值域是__________．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1 (2)[21－n,1] [(1)y ＝sin 6x ＋cos 6x ＝(sin 2x ＋cos 2x)(sin 4x －sin 2 xcos 2 x ＋cos 4 x)＝sin 4x －sin 2xcos 2 x ＋cos 4x ＝(sin 2 x ＋cos 2 x)2－3sin 2xcos 2x ＝1－34sin 2(2x)＝1－38(1－cos 4x)＝58＋38cos 4x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1.(2)由类比可知，y ＝sin 2nx ＋cos 2nx 的值域是[21－n,1]．]类比推理【例2】 类比三角形内角平分线定理：设△ABC 的内角A 的平分线交BC 于点M ，则AC ＝MC .若在四面体PABC 中，二面角BPAC 的平分面PAD 交BC 于点D ，你可得到什么结论？并加以证明．思路探究：此题是平面图形与立体图形作类比，因为平面图形中得出的结论是线段的比，所以立体图形中可想到面积的比．S △BDP S △CDP ＝S △BPAS △CPA. [解] 画出相应图形，如图所示．由题意类比推理所探索结论为证明如下：由于平面PAD 是二面角BPAC 的平分面，所以点D 到平面BPA 与它到平面CPA 的距离相等．所以V DBPA V DCPA ＝S △BPA S △CPA.①又因为V DBPA V DCPA ＝V ABDP V ACDP ＝S △BDPS △CDP ，②由①②知S △BDP S △CDP ＝S △BPAS △CPA成立．类比推理的特点及一般步骤2．在Rt△ABC 中，若∠C＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，则在立体几何中，给出四面体相应结论的猜想． [解] 直角三角形类比三个侧面两两垂直的四面体；直角三角形的两个锐角类比上述四面体的三个侧面与底面所成的角，分别设为α，β，γ； 类比直角三角形中相应的结论猜想cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1．综合法与分析法【例3】 设a>0，b>0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.试用综合法和分析法分别证明．思路探究：(1)综合法：根据a ＋b ＝1，分别求1a ＋1b 与1ab 的最小值．(2)分析法：把1ab 变形为a ＋b ab ＝1a ＋1b 求证．[证明] 法一：(综合法) ∵a>0，b>0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b≥2ab ，ab ≤12，ab≤14，∴1ab≥4.又1a ＋1b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． 法二：(分析法) ∵a>0，b>0，a ＋b ＝1， 要证1a ＋1b ＋1ab≥8，只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋b ab ≥8， 只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8， 即证1a ＋1b≥4，也就是证a ＋b a ＋a ＋bb ≥4，即证b a ＋ab≥2，由基本不等式可知，当a>0，b>0时， b a ＋ab≥2成立，所以原不等式成立．分析法和综合法的证明特点1．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题的常用的方法，综合法是由因导果的思维方式，而分析法的思路恰恰相反，它是执果索因的思维方式．2．分析法和综合法是两种思路相反的推理方法．分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条理清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．3．(1)已知a ，b ，c 为互不相等的非负数， 求证：a 2＋b 2＋c 2>abc(a ＋b ＋c)．(2)用分析法证明：2cos(α－β)－sin (2α－β)sin α＝sin βsin α.[证明] (1)因为a 2＋b 2≥2ab， b 2＋c 2≥2bc，a 2＋c 2≥2ac，又因为a ，b ，c 为互不相等的非负数， 所以上面三个式子中都不能取“＝”， 所以a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ac ，因为ab ＋bc≥2ab 2c ，bc ＋ac≥2abc 2， ab ＋ac≥2a 2bc ，又a ，b ，c 为互不相等的非负数， 所以ab ＋bc ＋ac>abc(a ＋b ＋c)， 所以a 2＋b 2＋c 2>abc(a ＋b ＋c)． (2)要证原等式成立，只需证：2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，① 因为①左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α]＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α ＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α ＝sin β＝右边，所以①成立，即原等式成立.反证法n (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q≠1，证明：数列{a n ＋1}不是等比数列．思路探究：(1)利用等比数列的概念及通项公式推导前n 项和公式；(2)利用反证法证明要证的结论． [解] (1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1， ① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n，②①－②得，(1－q)S n ＝a 1－a 1q n， ∴S n ＝a 1(1－q n)1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q，q≠1.(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k∈N ＋， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)， a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1， a 21q 2k＋2a 1q k＝a 1qk －1·a 1qk ＋1＋a 1q k －1＋a 1qk ＋1，∵a 1≠0，∴2q k＝qk －1＋qk ＋1．∵q≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．反证法证题思路反证法是间接证明的一种基本方法，用反证法证明时，假定原结论的对立面为真，从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定结论．反证法的思路：反设→归谬→结论．4．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0)的图像与x 轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0<x<c 时，f(x)>0.(1)证明：1a 是f(x)＝0的一个根；(2)试比较1a与c 的大小．[解] (1)证明：∵f(x)的图像与x 轴有两个不同的交点， ∴f(x)＝0有两个不等实根x 1，x 2． ∵f(c)＝0，∴x 1＝c 是f(x)＝0的根． 又x 1x 2＝ca ，∴x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ，∴1a 是f(x)＝0的一个根． (2)假设1a <c ，又1a >0，由0<x<c 时，f(x)>0，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾， ∴1a ≥c.又∵1a ≠c，∴1a>c.数学归纳法【例5】 已知正数数列{a n }(n∈N ＋)中，前n 项和为S n ，且2S n ＝a n ＋a n，用数学归纳法证明：a n ＝n－n －1.[证明] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，所以a 21＝1(a n >0)，所以a 1＝1，又1－0＝1， 所以n ＝1时，结论成立．(2)假设n ＝k(k≥1，k∈N ＋)时，结论成立，即a k ＝k －k －1. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ，所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0，解得a k ＋1＝k ＋1－k(a n >0)，所以n ＝k ＋1时，结论成立． 由(1)(2)可知，对n∈N ＋都有a n ＝n －n －1.数学归纳法使用的两个关注点关注点一：用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n 0是多少．关注点二：由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要利用n ＝k 时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．5．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a n ＋1)2(n∈N ＋)，a 2＝2．(1)求a 1，a 3；(2)猜想{a n }的通项公式，并证明．[解] (1)由S n ＝n (a n ＋1)2，得a 1＝1，又由a 2＝2，得a 3＝3.(2)猜想：a n ＝n.证明如下：①当n ＝1时，猜想成立．②假设当n ＝k(k≥2)时，猜想成立，即a k ＝k ， 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝(k ＋1)(a k ＋1＋1)2－k (a k ＋1)2＝(k＋1)(a k＋1＋1)2－k(k＋1)2.所以a k＋1＝k＋1，所以当n＝k＋1时，猜想也成立．根据①②知，对任意n∈N＋，都有a n＝n.导数的定义求导【例1】 利用导数的定义求函数y ＝x 2＋1的导数．思路探究：根据求导的步骤求解即可． [解] y′＝lim Δx→0Δy Δx ＝lim Δx→0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx→0(x ＋Δx )2＋1－x 2＋1Δx＝lim Δx→02x·Δx＋(Δx )2Δx [(x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1]＝lim Δx→02x ＋Δx(x ＋Δx )2＋1＋x 2＋1＝xx 2＋1.导数定义的理解函数f(x)在点x ＝x 0处的导数是f(x)在x 0点附近的平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；当Δx 趋于0时的极限，即f′(x 0)＝lim Δx→0ΔyΔx，这是数学上的“逼近思想”． 对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和Δx→0的方式，掌握用定义求导数的三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形．1．设f(x)在x 处可导，则lim Δh→0f (x ＋h )－f (x －h )2h ＝( )A ．2f′(x)B ．12f′(x) C ．f′(x) D ．4f′(x)C [lim Δh→0f (x ＋h )－f (x －h )2h＝lim Δh→0f (x ＋h )－f (x )＋f (x )－f (x －h )2h＝12lim Δh→0 f (x ＋h )－f (x )h ＋12lim Δh→0 f (x )－f (x －h )h ＝f′(x)．]导数的几何意义的应用【例2】 已知函数f(x)＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 思路探究：(1)点(2，－6)在曲线上，利用y －f(x 0)＝f′(x 0)(x －x 0)；(2)点(0,0)不在曲线上要先设切点(x 0，f(x 0))再将(0,0)代入切线方程求切点即可求得． [解] (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f(x)上． ∵f′(x)＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f′(2)＝13. ∴切线的方程为y －(－6)＝13(x －2)， 即y ＝13x －32． (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f′(x 0)＝3x 20＋1， y 0＝x 30＋x 0－16，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16. 又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16， 整理得，x 30＝－8， ∴x 0＝－2．∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，得切点坐标为(－2，－26)，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ， 切点坐标为(－2，－26)．利用几何意义求切线时的关键利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x 1，y 1)，则切线方程为y －y 1＝f′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P(x 0，y 0)得y 0－y 1＝f′(x 1)(x 0－x 1)， ① 又y 1＝f(x 1)，②由①②求出x 1，y 1的值，即求出了过点P(x 0，y 0)的切线方程．2．已知曲线y ＝1x.(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q(1,0)的切线方程； (3)求满足斜率为－14的曲线的切线方程．[解] ∵y＝1x ，∴y′＝－1x 2.(1)∵点P(1,1)在y ＝1x 上，∴k＝y′|x ＝1＝－112＝－1．∴在点P(1,1)处的切线方程为：y －1＝－(x －1)． ∴切线方程为：x ＋y －2＝0.(2)∵点Q(1,0)不在曲线y ＝1x 上，可设切点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，1x 0， ∴在A 点处的切线方程为：y －1x 0＝－1x 20(x －x 0)．∴切线方程为：y ＝－1x 20x ＋2x 0.又∵切线过点Q(1,0)，∴－1x 20＋2x 0＝0，∴2x 0－1＝0，∴x 0＝12.∴切线方程为y ＝－4x ＋4. (3)设切点坐标为B ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，1x 1，则切线的斜率为k ＝－1x 21.又∵－1x 21＝－14，∴x 21＝4，∴x 1＝2或－2，∴切点为B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12或B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12，∴切线方程为：y －12＝－14(x －2)，或y ＋12＝－14(x ＋2)，∴切线方程为：y ＝－14x ＋1或y ＝－14x －1．求函数的导数【例3】 求下列函数的导数． (1)y ＝(1＋x 2)cos x ； (2)y ＝ln x x －2x；(3)y ＝e －ax 2＋bx.思路探究：认真分析解析式的特征，判断函数是由基本初等函数的和、差、积、商构成还是复合构成，然后选择相应的求导法则进行运算．[解] (1)∵y＝(1＋x 2)cos x ， ∴y′＝2xcos x ＋(1＋x 2)(－sin x) ＝2xcos x －sin x －x 2sin x. (2)∵y＝ln x x－2x ，∴y′＝(ln x )′x－x′ln x x 2－2x ln 2＝1－ln x x 2－2xln 2． (3)y ＝e u，u ＝－ax 2＋bx.y x ′＝y u ′·u x ′＝e u·(－ax 2＋bx)′ ＝e u·(－2ax ＋b)＝(－2ax ＋b)e －ax 2＋bx.运算法则求导的注意点求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题．3．求下列函数的导数．(1)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(2)y ＝3x 2－x x ＋5x －9x ；(3)y ＝1＋ln 2x.[解] (1)∵y＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2，∴y′＝3x 2－2x3.(2)∵y＝3x 32－x ＋5－9x －12，∴y′＝3(x 32)′－x′＋5′－9(x －12)′ ＝92x 12－1＋92x －32＝92 x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1． (3)y ＝u 12，u ＝1＋v 2，v ＝ln x. y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝12u －12·2v·1x＝12·11＋ln 2x·2ln x·1x ＝ln xx 1＋ln 2 x .导数的综合问题【例4】 设函数f(x)＝ax ＋x ＋b(a ，b∈Z)，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y ＝3. (1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y ＝f(x)上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．思路探究：(1)用待定系数法求解，根据条件通过导数建立关于a ，b 的方程组，解方程组确定a ，b 从而得到f(x)的解析式．(2)设曲线上任一点坐标(x 0，y 0)，表示出该点的切线方程，然后证明三角形的面积与点(x 0，y 0)无关．[解] (1)f′(x)＝a －1(x ＋b )2，则依题意f′(2)＝0，f(2)＝3. 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋12＋b ＝3，a －1(2＋b )2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝94，b ＝－83.因为a ，b∈Z，故f(x)＝x ＋1x －1. (2)证明：在曲线上任取一点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0＋1x 0－1， 由f′(x 0)＝1－1(x 0－1)2，知在此点处的切线方程为y －x 20－x 0＋1x 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(x 0－1)2(x －x 0)．令x ＝1，得y ＝x 0＋1x 0－1，即切线与直线x ＝1的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，x 0＋1x 0－1；令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，即切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)； 又直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)， 从而所围成的三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0－1|2x 0－2|＝2．所以，所围成的三角形的面积为定值2．导数应用中的数学思想导函数本身就是一种函数，因此在解决有关导数的问题时，常常会用到函数方程思想．函数的思想是用运动和变化的观点、集合与对应的思想去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．方程思想就是分析数学问题中变量的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，从而使问题获得解决．4．已知直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，试在抛物线的弧︵AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．[解] 设P(x 0，y 0)，过点P 与AB 平行的直线为l ，如图．由于直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A ，B 两点，所以|AB|为定值，要使△ABP 的面积最大，只要P 到AB 的距离最大，而P 点是抛物线的弧︵AOB 上的一点，因此点P 是抛物线上＝12x，由题平行于直线AB 的切线的切点，由图知点P 在x 轴上方，y ＝x ，y′意知k AB ＝12，所以k l ＝12x 0＝12，即x 0＝1，所以y 0＝1，所以P(1,1)．利用导数研究函数的单调性【例1】 设函数f(x)＝x －1x －aln x(a∈R)，讨论f(x)的单调性．思路探究：求出导函数的表达式→根据a 的取值情况对导数符号的影响进行分类讨论[解] 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝1＋1x 2－a x ＝x 2－ax ＋1x2. 令g(x)＝x 2－ax ＋1，则对于方程x 2－ax ＋1＝0，Δ＝a 2－4.(1)当－2≤a≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0，只有当a ＝2，x ＝1或a ＝－2，x ＝－1时，等号成立，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(2)当a<－2时，Δ>0，g(x)＝0的两根都小于0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，则在(0，＋∞)上g(x)>g(0)＝1，所以f′(x)>0，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(3)当a>2时，Δ>0，g(x)＝0的两根为x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－42.当0<x<x 1时，f′(x)>0；当x 1<x<x 2时，f′(x)<0；当x>x 2时，f′(x)>0.故函数f(x)在(0，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减．综上，当a≤2时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>2时，函数f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递减．利用导数研究单调性的步骤利用导数研究函数的单调性是导数的主要应用之一，其步骤为： (1)求函数的定义域，并求导；(2)研究导函数f′(x)的符号，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(3)确定函数的单调性或单调区间．在求导这一环节中，往往要将导函数变形，其目的在于方便下一环节研究导函数的符号，常见的措施有化为基本初等函数、通分、因式分解等．1．已知函数f(x)＝x 3－ax －1，讨论f(x)的单调区间． [解] f′(x)＝3x 2－a.(1)当a≤0时，f′(x)≥0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数． (2)当a>0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a3， 当x>3a 3或x<－3a 3时，f′(x)>0； 当－3a 3<x<3a 3时，f′(x)<0. 因此f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数． 综上可知，当a≤0时，f(x)在R 上为增函数． 当a>0时， f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数.利用导数研究函数的极值与最值32行．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[0，t](0<t<3)上的最大值和最小值；思路探究：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝0，f′(1)＝－3，求出a ，b 即可．(2)对t 分0<t≤2与2<t<3两种情况求最值．[解] (1)因为f′(x)＝3x 2＋2ax ，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a ，即3＋2a ＝－3，a ＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2． 所以a ＝－3，b ＝2，f(x)＝x 3－3x 2＋2． (2)由f(x)＝x 3－3x 2＋2，得f′(x)＝3x 2－6x. 由f′(x)＝0，得x ＝0或x ＝2．①当0<t≤2时，在区间(0，t)上f′(x)<0，f(x)在[0，t]上是减函数，所以f(x)max ＝f(0)＝2，f(x)min＝f(t)＝t 3－3t 2＋2．②当2<t<3时，当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,2) 2 (2，t) t f′(x) 0 － 0 ＋ ＋ f(x)2单调递减↘极小值－2单调递增↗t 3－3t 2＋2f(x)min ＝f(2)＝－2，f(x)max 为f(0)与f(t)中较大的一个． f(t)－f(0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0. 所以f(x)max ＝f(0)＝2．本例在(1)的结论下，关于x 的方程f(x)＝c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围．[解] 令g(x)＝f(x)－c ＝x 3－3x 2＋2－c ， g′(x)＝3x 2－6x ＝3x(x －2)．在x∈[1,2)上，g′(x)<0；在x∈(2,3]上，g′(x)>0.要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (3)≥0，解得－2<c≤0.利用导数求极值和最值的步骤导数是求函数极值与最值的最有力工具，求函数极值的一般步骤为： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)解方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号． 若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是f(x)的极值点．对于求函数的最值问题，只需直接将极值与区间端点函数值比较即可．2．已知函数f(x)＝－x 3＋12x ＋m.(1)若x∈R，求函数f(x)的极大值与极小值之差； (2)若函数y ＝f(x)有三个零点，求m 的取值范围；(3)当x∈[－1,3]时，f(x)的最小值为－2，求f(x)的最大值．[解] (1)f′(x)＝－3x 2＋12． 当f′(x)＝0时，x ＝－2或x ＝2． 当f′(x)＞0时，－2＜x ＜2． 当f′(x)＜0时，x ＜－2或x ＞2．∴f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减，在(－2,2)上单调递增． ∴f(x)极小值＝f(－2)＝－16＋m. f(x)极大值＝f(2)＝16＋m. ∴f(x)极大值－f(x)极小值＝32．(2)由(1)知要使函数y ＝f(x)有三个零点，必须⎩⎪⎨⎪⎧f (x )极小值＜0，f (x )极大值＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－16＋m ＜0，16＋m ＞0，∴－16＜m ＜16.∴m 的取值范围为(－16,16)．(3)当x∈[－1,3]时，由(1)知f(x)在[－1,2)上单调递增，f(x)在[2,3]上单调递减，f(x)的最大值为f(2)．又f(－1)＝－11＋m ，f(3)＝m ＋9， ∴f(－1)＜f(3)，∴在[－1,3]上f(x)的最小值为f(－1)＝－11＋m ， ∴－11＋m ＝－2，∴m＝9.∴当x∈[－1,3]时，f(x)的最大值为 f(2)＝(－2)3＋12×2＋9＝25.导数的实际应用【例3】 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x(cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．思路探究：根据侧面积和体积公式建立侧面积和体积关于x 的函数，利用配方法或导数法求出最值． [解] 设包装盒的高为h cm ，底面边长为a cm.由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x)，0<x<30.(1)S ＝4ah ＝8x(30－x)＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V′＝62x(20－x)． 由V′＝0，得x ＝0(舍)或x ＝20.当x∈(0,20)时，V′>0；当x∈(20,30)时，V′<0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值． 此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去． (2)在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x 的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．3．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？[解] 当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8×100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x≤120)．h′(x)＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x≤120)，令h′(x)＝0，得x ＝80.因为x∈(0,80)时，h′(x)<0，h(x)是减函数； x∈(80,120]时，h′(x)>0，h(x)是增函数，所以当x ＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11．25(升)． 因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．答：汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11．25升.导数在最值中应用【例4】 已知函数f(x)＝－x 3＋ax 2＋bx 在区间(－2,1)内x ＝－1时取极小值，x ＝23时取极大值．(1)求函数y ＝f(x)在x ＝－2时的对应点的切线方程； (2)求函数y ＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值．思路探究：先求出a ，b 的值，然后求出对应点(即切点)的坐标和切线斜率，即可得出(1)的结论，列出x 变化时，f′(x)及f(x)的变化情况，从而得出(2)的结论．[解] (1)f′(x)＝－3x 2＋2ax ＋b.又x ＝－1，x ＝23分别在f(x)＝－x 3＋ax 2＋bx 上取得极小值、极大值，所以－1，23为方程－3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根．所以23a ＝－1＋23，－b 3＝(－1)×23.于是a ＝－12，b ＝2，则f(x)＝－x 3－12x 2＋2x.x ＝－2时，f(－2)＝2，即(－2,2)在曲线上． 又切线斜率为k ＝f′(x)＝－3x 2－x ＋2， f′(－2)＝－8，所求切线方程为y －2＝－8(x ＋2)， 即为8x ＋y ＋14＝0.(2)x 变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如表所示： x －2 (－2，－1)－1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23 23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 1 f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x)2↘极小值－32↗极大值2227↘12则f(x)在[－2,1]上的最大值为2，最小值为－32.导数是求函数极值与最值的最有力工具，函数y ＝f (x )的极值是其定义域内的一个局部概念，用f′(x )＝0的根，将f (x )的定义域分成若干个小区间，并列成表格，结合每个小区间内f′(x )的正负号来判定f (x )在相应区间上的增减性来确定f (x )的极值.f′(x )＝0的根x 不一定是函数的极值点.对于求函数的最值问题，只需将极值与区间端点函数值比较即可.4．设函数f(x)＝ae x＋1ae x ＋b(a>0)．求f(x)在[0，＋∞)内的最小值．[解] f′(x)＝ae x－1ae x ，令f′(x)＝0，得x ＝－ln a.当x>－ln a 时，f′(x)>0； 当x<－ln a 时，f′(x)<0.当0<a<1时，－ln a>0，所以f(x)在(0，－ln a)上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(－ln a)＝2＋b ；当a≥1时，－ln a≤0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，从而f(x)在[0，＋∞)内的最小值为f(0)＝a ＋1a＋b.导数的综合应用(1)若函数f(x)在区间[e ，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围；(2)当a ＝1且k∈Z 时，不等式k(x －1)<f(x)在x∈(1，＋∞)上恒成立，求k 的最大值． 思路探究：(1)转化为f′(x)≥0恒成立，分离参数求解． (2)分离参数中，转化为求函数最值． [解] (1)f′(x)＝a ＋ln x ＋1，由题意知f′(x)≥0在[e ，＋∞)上恒成立， 即ln x ＋a ＋1≥0在[e ，＋∞)上恒成立， 即a≥－(ln x ＋1)在[e ，＋∞)上恒成立， 而[－(ln x ＋1)]max ＝－(ln e ＋1)＝－2， ∴a≥－2，即a 的取值范围为[－2，＋∞)． (2)当a ＝1时，f(x)＝x ＋xln x ， ∵x∈(1，＋∞)，∴原不等式可化为k<f (x )x －1，即k<x ＋xln x x －1对任意x>1恒成立．令g(x)＝x ＋xln x x －1，则g′(x)＝x －ln x －2(x －1)2. 令h(x)＝x －ln x －2(x>1)， 则h′(x)＝1－1x ＝x －1x >0，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增． ∵h(3)＝1－ln 3<0，h(4)＝2－2ln 2>0，∴存在x 0∈(3,4)使h(x 0)＝0，即g′(x 0)＝0. 即当1<x<x 0时，h(x)<0，即g′(x)<0. 当x>x 0时，h(x)>0，即g′(x)>0.∴g(x)在(1，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增． 由h(x 0)＝x 0－ln x 0－2＝0，得ln x 0＝x 0－2， g(x)min ＝g(x 0)＝x 0(1＋ln x 0)x 0－1＝x 0(1＋x 0－2)x 0－1＝x 0∈(3,4)，∴k<g(x)min ＝x 0且k∈Z，即k max ＝3.恒成立问题的处理策略恒成立问题是导数的常见题型，往往靠分离参数后，转化为用导数求函数的最值问题，在函数中，导数与不等式紧密结合，要注意分类讨论和数形结合的思想．5．(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x －x ＋1x －1.(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；(2)设x 0是f(x)的一个零点，证明曲线y ＝ln x 在点A(x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x的切线． [解] (1)f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．因为f′(x)＝1x ＋2(x －1)2＞0，所以f(x)在(0,1)，(1，＋∞)单调递增．因为f(e)＝1－e ＋1e －1＜0，f(e 2)＝2－e 2＋1e 2－1＝e 2－3e 2－1＞0，所以f(x)在(1，＋∞)有唯一零点x 1，即f(x 1)＝0. 又0＜1x 1＜1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＝－ln x 1＋x 1＋1x 1－1＝－f(x 1)＝0，故f(x)在(0,1)有唯一零点1x 1. 综上，f(x)有且仅有两个零点．(2)因为1x 0＝e －ln x 0，故点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln x 0，1x 0在曲线y ＝e x上．由题设知f(x 0)＝0， 即ln x 0＝x 0＋1x 0－1，故直线AB 的斜率k ＝1x 0－ln x 0－ln x 0－x 0＝1x 0－x 0＋1x 0－1－x 0＋1x 0－1－x 0＝1x 0. 曲线y ＝e x在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln x 0，1x 0处切线的斜率是1x 0，曲线y ＝ln x 在点A(x 0，ln x 0)处切线的斜率也是1x 0，所以曲线y ＝ln x 在点A(x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x的切线．定积分的计算【例1】 求下列定积分．.思路探究：(1)可用定积分的几何意义求解； (2)先去绝对值号，然后结合定积分的性质求解． [解] (1)⎠⎛－224－x 2dx 表示的是图中阴影所示半径为2的半圆的面积．其面积为12×π×22＝2π，∴⎠⎛－224－x 2dx ＝2π.(2)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln 3x x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln 3x x ，1e≤x≤1，ln 3xx，1≤x≤e，求定积分的三种方法1．利用定义求定积分．步骤：(1)分割区间；(2)近似代替；(3)求和；(4)取极限． 2．利用定积分的几何意义求定积分．3．利用微积分基本定理求定积分．如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即F′(x)＝f(x)，则有⎠⎛abf (x )dx ＝F(b)－F(a)．1．计算下列定积分． (1)⎠⎛121x (x ＋1)dx ；(2)⎠⎜⎜⎛-π2π2(cos x ＋2x)dx. [解] (1)∵⎠⎛121x (x ＋1)dx ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x ＋1dx＝[ln x －ln(x ＋1)]| 21＝ln 43.(2)⎠⎜⎜⎛-π2π2(cos x ＋2x)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋2xln 2⎪⎪⎪⎪π2－π2＝2＋1ln 2(2π2－2-π2).用定积分求平面图形的面积【例2】 求由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成的平面图形的面积． 思路探究：画出草图→求交点坐标→确定被积函数及积分上、下限→求定积分[解] 画出草图，如图所示． 所求平面图形为图中阴影部分．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋4，y ＝5x ，得交点A(1,5)，B(4,20)．故所求平面图形的面积S ＝⎠⎛01(x 2＋4－5x)dx ＋⎠⎛14(5x －x 2－4)dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋4x －52x 2⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52x 2－13x 3－4x ⎪⎪⎪41＝13＋4－52＋52×42－13×43－4×4－52＋13＋4＝193.定积分在求平面图形面积中的应用及注意由积分的概念可知，定积分在研究求解曲边平面图形的面积中有广泛的应用．求解时应将相应问题画出草图，适当分割后转化为定积分求解．2．求由曲线y ＝1x及直线y ＝x ，y ＝3所围成的平面图形的面积．[解] 画出曲线y ＝1x (在第一象限)，直线y ＝x ，y ＝3的草图，所求面积为图中阴影部分的面积．画⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1x ，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13，y ＝3，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3；由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1x ，y ＝x得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1(舍去)，故B ()1，1；由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C ()3，3.用定积分求几何体的体积【例3】 求曲线y ＝sin x ，x∈[0，π]与x 轴所围成平面图形绕x 轴旋转一周所得到旋转体的体积．[解] 由体积公式V ＝⎠⎛0ππy 2dx ＝⎠⎛0ππ(sin x)2dx＝π⎠⎛0πsin 2xdx ＝π⎠⎛0π1－cos 2x 2dx ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫⎠⎛0π12dx －⎠⎛0πcos 2x 2dx ＝π2⎝ ⎛⎭⎪⎫⎠⎛0π1dx －⎠⎛0πcos 2xdx ＝π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ⎪⎪⎪π－12sin 2x ⎪⎪⎪π＝π2(π－0)＝π22.利用定积分也可以求出一些简单的几何体体积．如圆锥体、圆柱体、圆台、球体等．计算由曲线y ＝f(x)，直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而形成的旋转体的体积为V ＝⎠⎛abπ[f (x )]2dx.3．半椭圆x 24＋y22＝1(y≥0)绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积为( )A ．16π3B ．173πC ．5πD ．6πA [V ＝⎠⎛-22π·2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24dx＝2π·⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 33×4-22＝163π.]数形结合思想的应用【例4】 如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1与S 2之和最小．思路探究：确定被积函数，积分上、下限，求定积分，并用导数求最值．[解] S 1的面积等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴，直线x ＝t 围成的面积．即S 1＝t·t 2－⎠⎛0t x 2dx ＝23t 3；S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉一矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t ，即S 2＝⎠⎛t 1x 2dx －t 2(1－t)＝23t 3－t 2＋13.所以阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t≤1)．令S′(t)＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12，易知当t ＝12时，S 最小，所以最小值为S ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14.数形结合在求定积分中的应用数形结合思想贯穿本章的始终，主要体现在利用定积分的几何意义求定积分及用定积分求曲边图形的面积．在做题前首先要画出图形，确定图形是在x 轴的上方还是下方，并且通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限．4．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．[解] 抛物线y ＝x －x 2与x 轴交点的横坐标分别为x 1＝0，x 2＝1，所以抛物线与x 轴所围成图形的面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33⎪⎪⎪1＝12－13＝16. 抛物线y ＝x －x 2与直线y ＝kx 交点的横坐标分别为x 1′＝0，x 2′＝1－k ， 所以S 2＝⎠⎛01-k (x －x 2－kx)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－x 33⎪⎪⎪1－k＝16(1－k)3，又知S ＝16， 所以(1－k)3＝12，于是k ＝1－312＝1－342.复数的概念【例1】 复数z ＝log 3(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)，当x 为何实数时，(1)z∈R；(2)z 为虚数． 思路探究：根据复数的分类列方程求解．[解] (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x －3>0， ①log 2(x －3)＝0， ②x －3>0， ③由②得x ＝4，经验证满足①③式． 所以当x ＝4时，z∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0， ①log 2(x －3)≠0， ②x －3>0， ③由①得x>3＋212或x<3－212.由②得x≠4，由③得x>3.所以当x>3＋212且x≠4时，z 为虚数．解决复数问题的三点注意1．正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．2．两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据． 3．求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义．1．(1)设i 是虚数单位，若复数a －103－i (a∈R)是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则复数z 的实部是__________．(1)D (2)1 [(1)因为a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝a －10(3＋i )10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a ＝3.(2)法一：设z ＝a ＋bi(a ，b∈R)，则i(z ＋1)＝i(a ＋bi ＋1)＝－b ＋(a ＋1)i ＝－3＋2i.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－3，a ＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故复数z 的实部是1．法二：由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得z ＋1＝－3＋2ii＝2＋3i ，故z ＝1＋3i ，即复数z 的实部是1．]复数的四则运算【例2】 (1)设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则i ＋i·z ＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i(2)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2iD ．3－2i思路探究：(1)先求出z 及zi ，结合复数运算法则求解．(2)利用方程思想求解并化简．(1)C (2)A [(1)∵z＝1＋i ，∴z －＝1－i ，z i ＝1＋i i ＝－i 2＋i i ＝1－i ，∴zi＋i·z －＝1－i ＋i(1－i)＝(1－i)(1＋i)＝2．故选C.(2)由(z －2i)(2－i)＝5，得z ＝2i ＋52－i ＝2i ＋5(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2i ＋2＋i ＝2＋3i.]复数的四则运算复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i 看作一个字母(i 2＝－1)，除法运算注意应用共轭的性质z·z 为实数．2．已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z z的值为( )A ．35＋45i B ．35－45i C ．－35＋45iD ．－35－45iA [因为(1＋2i)z ＝4＋3i ，所以z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )5＝2－i ，所以z ＝2＋i ，所以z z ＝2＋i2－i ＝(2＋i )25＝35＋45i.]复数的几何意义【例3】 (1)在复平面内，复数1＋i 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)在复平面内，复数1－2i2＋i 对应的点的坐标为( )A ．(0，－1)B ．(0,1)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35思路探究：先把复数z 化为复数的标准形式，再写出其对应坐标． (1)A (2)A [(1)复数i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i.∴复数对应点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12. ∴复数i1＋i在复平面内对应的点位于第一象限．故选A.(2)∵1－2i 2＋i ＝(1－2i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5i 5＝－i ，其对应的点为(0，－1)，故选A.]复数的几何意义1．复数的几何表示法：即复数z ＝a ＋bi(a ，b∈R)可以用复平面内的点Z(a ，b)来表示．此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．2．复数的向量表示：以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．3．(1)已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z ＋1所对应的向量正确的是( )(2)若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )A ．EB ．FC ．GD ．H(1)A (2)D [(1)由题图知，z ＝－2＋i ，∴z＋1＝－2＋i ＋1＝－1＋i ，故z ＋1对应的向量应为选项A.(2)由题图可得z ＝3＋i ，所以z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i2＝2－i ，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．]转化与化归思想【例4】 设z∈C，满足z ＋z ∈R，且z －4是纯虚数，求z.思路探究：本题关键是设出z 代入题中条件进而求出z. [解] 设z ＝x ＋yi(x ，y∈R)，则z ＋1z ＝x ＋yi ＋1x ＋yi ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i ，。
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解复系数方程应该注意的几个问题
当系数不全为实数时，不可以用的正负来判断其是否有实数根，但求根公
式仍然可以使用．
1．注意能细致观察系数为实数还是复数
例1：解方程0522ixx．
错解：因为0522ixx，则02)5(2ixx，则由复数相等条件得到
052x
且02x，这两式不可能同时成立，所以原方程无解．
剖析：上述解法是错误的，其原因是默认x为实数．
正解：设biaxRba,，则05)(22biaibia，
即0225222iaabbba．则由复数相等的条件得到
05222bba
且022aab，
则解得2a，1b，所以ix2．
点评：对于上述复系数方程，一定要看清题意，这样才能正确解题．
练习：解方程06882iixx．答案：i71或i71．
2．掌握根的判别式与系数之间的联系
例2：已知关于x的方程0222kixikx有实数根，求实数k的取值
范围．
错解：因为方程0222kixikx有实数根，则有
021422kiik
，
得到122k，则32k或32k．
剖析：上述解法将结论“实系数一元二次方程有实数0”迁移到系数不
全为实数的复系数一元二次方程上．这种思路是错误的．
正解：∵方程0222kixikx有实数根，
∴当Rx时，将原方程整理，得到0222ikxkxx．
再由复数相等的条件得到022kxx，且02kx．
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解得222kx，或222kx，所以实数k为22或22．
点评：对于系数不全为实数的复系数一元二次方程002acbxax，当
0
时，方程不一定有两个相异的实数根．
练习：解关于x的方程256(2)0xxxi．答案：原方程的解为13xi，
2
2x
．
3．熟悉系数不全为实数的复系数
例3：已知方程02mxx的两根分别为、，且3，求实数
m
的值．
错解：3422，而由韦达定理知道，
m
1
，所以3412m，得到2m．
剖析：因为数系的扩充，绝对值的意义和性质已经发生了变化，当z为虚数
时，z表示模，此时zz，2z2z，z2z．
因此当为虚数时，422．
可见仍用实数范围内的结论解决复数问题，是容易犯错误的．
正解：（1）当041m，即41m时，则
3422
，而由韦达定理知道，m1，所以
3412m
，得到2m．
（2）当041m，即41m时，设方程的一根为biaRba,时，
则另一根为bia．
则由韦达定理有12a，则得到21a．
又322bbi，所以23b，所以25biabiam，即
m
的值是25．
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点评：在考虑上述问题时一定要细致和全面，才能把问题完整求出．
练习：已知方程022mxx有一根为i3，求m的值．答案：i42．
