【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-2教案：第5章 拓展资料：解复系数方程应该注意的几个问题

陕西省石泉县高中数学第五章数系的扩充与复数的引入复习小结教案北师大版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（陕西省石泉县高中数学第五章数系的扩充与复数的引入复习小结教案北师大版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第五章数系的扩充与复数的引入三维目标数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数学发生、发展的客观需求，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充。

在本模块中，学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识,体会人类理性思维在数系扩充中的作用。

提炼的课题复数的除法教学手段运用教学资源选择PPT 或试卷教学过程一．正确理解复数的实部和虚部．对于复数a＋b i（a，b∈R）,实部为a，虚部为b,在表示复数a＋b i时一定要有a，b∈R，否则不能说实部为a，虚部为b。

复数的实部和虚部都是实数．A．3－i B．3＋I C．1＋3i D．3【解析】（1＋z)·z＝（2＋i）（1－i）＝3－i。

【答案】A4．若a,b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i则（）A．a＝1,b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝－1,b＝－1 D．a＝1，b＝－1【解析】∵（a＋i)i＝a i－1＝b＋i，∴a＝1，b＝－1。

【答案】D5．(2013·丹东高二检测)图1若i为虚数单位，图1中复平面内点Z表示复数z，则表示复数错误!的点是( ）A．E B．FC．G D．H【解析】由图知复数z＝3＋i，∴错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝2－i，∴表示复数错误!的点为H。

陕西省石泉县高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.1.1 数的概念的扩展教案北师大版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（陕西省石泉县高中数学第五章数系的扩充与复数的引入5.1.1 数的概念的扩展教案北师大版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.1数的概念的扩展（一）、问题情境1、情境：数的概念的发展：从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的,其发展的动力来自两个方面．①解决实际问题的需要．由于计数的需要产生了自然数；为了刻画具有相反意义的量的需要产生了负数;由于测量等需要产生了分数；为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数(即无限不循环小数）．②解方程的需要．为了使方程40x +=有解,就引进了负数,数系扩充到了整数集；为了使方程320x -=有解，就要引进分数,数系扩充到了有理数集；为了使方程22x =有解，就要引进无理数，数系扩充到了实数集． 引进无理数以后，我们已经能使方程2x a =(0)a >永远有解．但是，这并没有彻底解决问题，当0a <时，方程2x a =在实数范围内无解．为了使方程2x a =(0)a <有解，就必须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数．（可以以分解因式:44x -为例）2、问题：实数集应怎样扩充呢？（二）、新课探析1、为了使方程2x a =(0)a <有解，使实数的开方运算总可以实施，实数集的扩充就从引入平方等于1-的“新数”开始．为此，我们引入一个新数i ，叫做虚数单位（imaginary unit ）．并作如下规定：①21i =-；②实数可以与i 进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．在这种规定下，i 可以与实数b 相乘，再同实数a 相加得i b a ⋅+．由于满足乘法交换律和加法交换律,上述结果可以写成a bi + (,a b R ∈）的形式．2、复数概念及复数集C形如a bi +(,a b R ∈）的数叫做复数。

高中数学 《复数的四则运算》教材解读教案 选修2-2一、数系的扩充和复数的概念1．复数的引入：回想数系的每一次扩充都主要来自两个方面：一方面数学本身发展的需要；另一方面由于实际的需要.而复数的引入属于前者．我们知道，方程210x +=在实数范围内无解，于是需引入新数i 使方程有解，显然，需要21i =-．数系的扩充过程：自然数集N 引入负数整数集Z 引入分数有理数集Q 引入无理数实数集R 引入虚数复数集C ．2．复数的代数形式：由实数的运算类似地得到新数i 可以同实数进行加、减、乘运算，于是得到：形如()a bi a b +∈R ，的数叫做复数，并且把()z a bi a b =+∈R ，的这一表现形式叫做复数的代数形式，其中的a 叫做复数的实部，b 叫复数的虚部．注意复数132i -的虚部是3-，而不是3i -．3．复数相等的充要条件a bi c di a c +=+⇔=且()b d a bcd =∈R ，，，注意事项：（1）复数a bi +(0)(0)(0)(0)a b bi a a bi b a bi a =⎧⎪=⎧⎨+≠⎨⎪+≠⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数 （2）复数集C ⎧⎨⌝⎩R R 实数集虚数集 （3）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数，则不能比较大小. 二、复数的几何意义1．复数可以用平面直角坐标系的点来唯一表示，于是：复数集{}a bi a b =+∈C R ，|与坐标系中的点集{}()|a b a b ∈R ，，，可以建立一一对应．2．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是１，y 轴的单位是i ，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点(00)，对应复数0．于是有下面的一一对应关系：复数Z a bi =+复平面内的点()Z a b ，．3．由于平面向量与坐标平面的点一一对应，于是有：复数Z a bi =+一一对应平面向量OZ ．在这些意义下，我们就可以把复数z a bi =+说成点Z 或向量OZ ，这给研究复数运算的几何意义带来了方便．4．复数的模就是这个复数对应的向量的模，复数z a bi =+的模为22z a b =+．三、复数代数形式的四则运算1．复数的加法、减法①运算法则()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±．其运算法则类似于多项式的合并同类项②复数加法的运算律对于任意的123z z z ∈C ，，，有：交换律：1221z z z z +=+．结合律：123123()()z z z z z z ++=++．③复数加法的几何意义设1OZ ，2OZ 分别与复数a bi +，c di +对应，根据向量加法的平行四边形（三角形）法则，则有12OZ OZ OZ +=（如图1）．由平面向量的坐标运算：12()OZ OZ a c b d +=++，，即得OZ 与复数()()a c b d i +++对应．可见，复数的加法可以按向量加法的法则进行．④复数减法的几何意义设1OZ ，2OZ 分别与复数a bi +，c di +对应（如图2），根据向量加法的三角形法则有：2211OZ Z Z OZ +=．于是：1221OZ OZ Z Z -=．由平面向量的坐标运算：12()OZ OZ a c b d -=--，，即得21Z Z 与复数()()a c b d i -+-对应．于是得到向量的减法运算法则为：两个复数的差与连接两个向量的终点并指向被减数的向量相对应．2．复数代数形式的乘法运算①运算法则：()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++．两个复数相乘类似于两个多项式相乘，只是把2i 换为1-，并且把实部与虚部分别合并即可．②运算律：交换律：1221z z z z =··．结合律：123123()()z z z z z z =····．分配律：1231213()z z z z z z z +=+．③虚数i 的乘方及其规律：1i i =，21i =-，3i i =-，41i =，5i i =，61i =-，7i i =-，81i =，．可见，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-，41()n i n *=∈N ，即i 具有周期性且最小正周期为4．④共轭复数a bi +与a bi -互为共轭复数，即当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．它的几何意义是：共轭的两个复数关于x 轴对称．主要用于复数的化简以及复数的除法运算.3．复数代数形式的除法运算运算法则：2222(0)a bi ac bd bc ad i c di c di c d c d ++-=++≠+++． 其实质是分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式．类似于以前所学的把分母“有理化”．。

1数系的扩充与复数的引入数的概念的扩展已知方程(1)x2－22x＋2＝0，(2)x2＋1＝0.问题1：方程(1)在有理数数集中有解吗？实数范围内呢？提示：在有理数集中无解；在实数范围内有解，其解为 2.问题2：方程(2)在实数集中有解吗？提示：没有．问题3：若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？提示：有解x＝i，但不是实数．1．复数的概念2．复数集复数的全体组成的集合，记作C.显然R C.复数相等问题1：若a，b，c，d∈R且a＝c，b＝d，复数a＋b i和c＋d i相等吗？提示：相等．问题2：若a＋b i＝c＋d i，那么实数a，b，c，d有何关系？提示：a＝c，b＝d.复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d.复平面及复数的几何意义问题1：实数与数轴上的点一一对应，复数可以用平面内的点表示吗？ 提示：可以．问题2：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)与有序实数对(a ，b )有何对应关系？与平面直角坐标系中的点Z (a ，b )有何对应关系？提示：一一对应，一一对应．问题3：在平面直角坐标系中点Z (a ，b )与向量OZ ―→＝(a ，b )有何对应关系？ 提示：一一对应关系．问题4：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)与OZ ―→有何对应关系？ 提示：一一对应．1．复平面(1)当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x 轴为实轴，y 轴为虚轴．(2)任一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)与复平面内的点Z (a ，b )是一一对应的．这是复数的几何意义．一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)与复平面内的向量OZ ―→＝(a ，b )是一一对应的． 2．复数的模设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)在复平面内对应的点是Z (a ，b )，点Z 到原点的距离|OZ |叫作复数z 的模或绝对值，记作|z |，显然，|z |＝a 2＋b 2.1．注意复数的代数形式z ＝a ＋b i 中a ，b ∈R 这一条件，否则a ，b 就不一定是复数的实部与虚部．2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.3．只有两个复数都是实数时才能比较大小，否则没有大小关系．复数的基本概念[例1] 复数z ＝(1)z 为实数；(2)z 为虚数；(3)z 为纯虚数？[思路点拨] 分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断． [精解详析] (1)当m 2＋m －2＝0，即m ＝－2或m ＝1时，z 为实数． (2)当m 2＋m －2≠0，即m ≠－2且m ≠1时，z 为虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2≠0，m 2－3m ＋2＝0，即m ＝2时，z 为纯虚数．[一点通] 复数分类的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式．求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)时应先转化形式．(2)注意分清复数分类中的条件设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则①z 为实数⇔b ＝0，②z 为虚数⇔b ≠0，③z 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0.④z ＝0⇔a ＝0，且b ＝0.1．设a ，b ∈R.“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选B 当a ＝0，且b ＝0时，a ＋b i 不是纯虚数；若a ＋b i 是纯虚数，则a ＝0.故“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要而不充分条件．2．若复数z ＝(x 2－1)＋1x －1i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．－1或1解析：选A 由复数z ＝(x 2－1)＋1x －1i 为纯虚数得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，解得x ＝－1.复数的相等[例2] (1)已知(2x y ；(2)设z 1＝1＋sin θ－icos θ，z 2＝11＋sin θ＋(cos θ－2)i.若z 1＝z 2，求θ.[思路点拨] 先找出两个复数的实部和虚部，然后再利用两个复数相等的充要条件列方程组求解．[精解详析] (1)根据复数相等的充要条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－3－y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4.(2)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋sin θ＝11＋sin θ，cos θ＝2－cos θ，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝0，cos θ＝1.则θ＝2k π(k ∈Z)．[一点通] 复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．3．若a i ＋2＝b －i(a ，b ∈R)，i 为虚数单位，则a 2＋b 2＝( ) A ．0 B ．2 C.52D ．5解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2＝b ，a ＝－1，则a 2＋b 2＝5.4．若关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x ＋3m ＋i ＝0有实根，则实数m ＝( ) A.112B.112i C ．－112D ．－112i解析：选A 因为关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x ＋3m ＋i ＝0有实根，即x 2＋(1＋2i)x ＋3m＋i ＝0⇔x 2＋x ＋3m ＋(2x ＋1)i ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋3m ＝0，2x ＋1＝0⇒m ＝112，故选A.复数的几何意义[例3] 实数a a 2－3a ＋2)i 的点 (1)位于第二象限； (2)位于直线y ＝x 上？[思路点拨] 位于第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0；位于直线y ＝x 上的点的横坐标等于纵坐标．[精解详析] 根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 的点就是点Z (a 2＋a －2，a 2－3a ＋2)．(1)由点Z 位于第二象限得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2<0，a 2－3a ＋2>0，解得－2<a <1.故满足条件的实数a 的取值范围为(－2,1)．(2)由点Z 位于直线y ＝x 上得a 2＋a －2＝a 2－3a ＋2，解得a ＝1. 故满足条件的实数a 的值为1.[一点通] 按照复数集和复平面内所有的点的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置确定复数的实部、虚部满足的条件．5．若复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1 B ．a ≠2且a ≠1 C ．a ＝0D ．a ＝2或a ＝0解析：选D 因为复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，所以a 2－2a ＝0，解得a ＝0或a ＝2.6．已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA ―→，OB ―→对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA ―→的坐标是( )A ．(－5,5) B.(5，－5) C ．(5,5)D ．(－5，－5)解析：选B 向量OA ―→，OB ―→对应的复数分别记作z 1＝2－3i ，z 2＝－3＋2i ，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量OA ―→＝(2，－3)，OB ―→＝(－3,2)．由向量减法的坐标运算可得向量BA ―→＝OA ―→－OB ―→＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)．7．在复平面内，求复数z ，使复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R)的对应点 (1)在虚轴上； (2)在实轴负半轴上．解：(1)若复数z 对应点在虚轴上， 则m 2－m －2＝0，∴m ＝－1或m ＝2， 此时，z ＝6i 或z ＝0.(2)若复数z 对应点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1，∴z ＝－2.复 数 的 模[例4] (1)若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1－2i C ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i(2)设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＜|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－1,1) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)[精解详析] (1)依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R)， 由|z |＝5得 a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i. (2)因为|z 1|＝ a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5， 所以a 2＋4＜5，即a 2＋4＜5，所以a 2＜1， 即－1＜a ＜1. [答案] (1)D (2)B [一点通] 复数模的计算(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解．8．已知复数z ＝1－2m i(m ∈R)，且|z |≤2，则实数m 的取值范围是________． 解析：由|z |＝1＋4m 2≤2，解得－32≤m ≤32. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 9．求复数z 1＝6＋8i 与z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的模的大小．解：∵z 1＝6＋8i ，z 2＝－12－2i ，∴|z 1|＝62＋82＝10，|z 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋－22＝32.∵10>32，∴|z 1|>|z 2|.1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数b i(b ≠0，b ∈R)不要只记形式，要注意b ≠0.2．复数与复平面内的点一一对应，复数与向量一一对应，可知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)、复平面内的点Z (a ，b )和平面向量OZ ―→之间的关系可用图表示．1．复数1＋i 2的实部和虚部分别是( ) A ．1和i B ．i 和1 C ．1和－1D ．0和0解析：选D ∵1＋i 2＝1－1＝0，故选D.2．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵23<m <1，∴3m －2>0，m －1<0，∴点(3m －2，m －1)在第四象限．3．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．±1D ．－1或－2解析：选B ∵(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0.由x 2－1＝0，得x ＝±1，又由x 2＋3x ＋2≠0，得x ≠－2且x ≠－1，∴x ＝1. 4．已知虚数z ＝x ＋y i 的模为1(其中x ，y 均为实数)，则yx ＋2的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0 解析：选B ∵|z |＝1，∴x 2＋y 2＝1.设k ＝yx ＋2，则k 为过圆x2＋y 2＝1上的点和点(－2,0)的直线斜率，作图如图所示，∴k ≤13＝33. 又∵z 为虚数，∴y ≠0，∴k ≠0. 又由对称性可得k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎦⎥⎤0，33. 5．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.解析：由复数的几何意义知，z 1，z 2的实部，虚部均互为相反数，故z 2＝－2＋3i. 答案：－2＋3i6．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i>0，则实数m 的值为________． 解析：由于两个不全为实数的复数不能比较大小，可知(m 2－1)＋(m 2－2m )i 应为实数，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1>0，m 2－2m ＝0，解得m ＝2. 答案：27．已知复数z ＝(m 2－3m )＋(m 2－m －6)i ，当实数m 为何值时，①z 是实数；②z ＝4＋6i ；③z 对应的点在第三象限？解：z ＝(m 2－3m )＋(m 2－m －6)i. ①令m 2－m －6＝0⇒m ＝3或m ＝－2， 即m ＝3或m ＝－2时，z 为实数．②⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝4，m 2－m －6＝6⇒m ＝4.即m ＝4时z ＝4＋6i.③若z 所对应的点在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m <0，m 2－m －6<0⇒0<m <3.即0<m <3时z 对应的点在第三象限．8．在复平面内画出复数z 1＝12＋32i ，z 2＝－1，z 3＝12－32i 对应的向量OZ 1―→，OZ 2―→，OZ 3―→，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z 1，Z 2，Z 3的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，(－1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，则向量OZ 1―→，OZ 2―→，OZ 3―→如图所示．|z 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1， |z 2|＝|－1|＝1，|z 3|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1. ∴在复平面xOy 内，点Z 1，Z 3关于实轴对称，且Z 1，Z 2，Z 3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．。

Z 2Z 1 Z Oxy复数的乘法与除法教学目的：1、掌握复数的加、减、乘、除四则运算及其运算律；理解复数加、减法的几何意义。

2、培养类比思想和逆向思维。

3、培养学生探索精神和良好的学习习惯。

教学重点：复数的加、减、乘、除四则运算及其运算律。

教学难点：运用类比思想由实数运算法则探究复数运算法则。

教学方法：类比法。

教学过程：一、复习引入复数的加法：设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a,b,c,d ∈R)是任意两个复数，则它们和为z 1＋z 2＝(a ＋bi)＋(c ＋di)＝(a ＋c)＋(b ＋d)i复数的和仍然为一个复数，其实部为z 1、z 2的实部和，虚部为z 1、z 2的虚部和。

复数加法满足(1)交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1；(2)结合律(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3) 复数的减法：(加法的逆运算)复数a ＋bi 减去复数c ＋di 的差是指满足(c ＋di)＋(x ＋yi)＝a ＋bi 的复数x ＋yi ，记作(a ＋bi)－(c ＋di)根据复数相等的定义：(a ＋bi)－(c ＋di)＝(a －c)＋(b －d)i复数的差仍然是一个复数，其实部为两个复数实部的差，虚部为两个复数虚部的差。

显然，减法不满足交换律和结合律。

复数加法的几何意义：复数可以用向量表示，复数加法的几何意义即为平行四边形法则。

证明思路1：设z 1＝a ＋bi 、z 2＝c ＋di 分别对应复平面上的点Z 1(a ，b)和Z 2(c ，d)，z ＝(a ＋c)＋(b ＋d) i 对应复平面上Z (a ＋c ，b＋d)，证明OZ 1ZZ 2为平行四边形。

证明思路2：根据平行四边形法则求得点Z ，证明其坐标为(a ＋c ，b ＋d)。

1OZ ＋2OZ ＝ ＜＝＞ z 1＋z 2＝z复数减法的几何意义：复数减法的几何意义即为三角形法则。

1OZ －2OZ ＝12Z Z ＜＝＞ z 1－z 2＝z二、新课讲解1.复数的乘法：设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R)是任意两个复数，则它们积为z 1•z 2＝(a ＋bi) (c ＋di)＝(ac －bd)＋(bc ＋ad)i复数的积仍然为一个复数，复数的乘法与多项式的乘法相似。

第五章数系的扩充与复数的引入一、教学目标：1、了解数的概念发展和数系扩充的过程，了解引进虚数单位i的必要性和作用，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；3、理解并掌握复数的代数形式四则运算法则与规律二、教学重难点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件；复数的代数形式四则运算法则与规律。

三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、基础梳理1、复数的概念及其表示形式：通常复数z的实部记作Rez；复数z的虚部记作Imz.两个重要命题：（2）复数的几何形式：复数集与平面上的点集之间能建立一一对应关系，故可用平这是解决复数问题时进行虚实转化的工具：在复平面上，互为共轭复数的两个点关于实轴对称：=+∈(,), 5z a bi a b R Z a b（）复数的模：设在复平面上对应的点为（），则2.、复数的运算：（1）四则运算法则（可类比多项式的运算）简记为“分母实数化”。

特例：利用复数相等的充要条件转化为解实方程组。

（二）、例题探析 例1、1、若i b i i a -=-)2(，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则22b a += 。

答案52、已知复数i z i z 21,221+=+=，则12z z z =在复平面内所对应的点位于（ ） (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限答案：Ａ3、已知m R ∈，复数2(2)(21)1m m z m m i m +=++--，当m 为何值时：（1）z R ∈；（2）z 是虚数；（3）z 是纯虚数．解：（1）当2210m m +-=且10m -≠，即1m =-z 是实数；（2）当2210m m +-≠且10m -≠，即1m ≠-1m ≠时，z 是虚数；（3）当(2)01m m m +=-且2210m m +-≠，即0m =或2-时，z 为纯虚数． 学生练习，教师准对问题讲评。