解复系数方程应该注意的几个问题
当系数不全为实数时，不可以用∆的正负来判断其是否有实数根，但求根公式仍然可以使用．
1．注意能细致观察系数为实数还是复数
例1：解方程0522=-+ix x ．
错解：因为0522=-+ix x ，则02)5(2=+-ix x ，则由复数相等条件得到052=-x 且02=x ，这两式不可能同时成立，所以原方程无解．
剖析：上述解法是错误的，其原因是默认x 为实数．
正解：设bi a x +=()R b a ∈,，则()05)(22
=-+++bi a i bi a ， 即()
()0225222=++---i a ab b b a ．则由复数相等的条件得到
05222=---b b a 且022=+a ab ， 则解得2±=a ，1-=b ，所以i x -±=2．
点评：对于上述复系数方程，一定要看清题意，这样才能正确解题． 练习：解方程06882=+-+i ix x ．答案：i 71-或i 71--．
2．掌握根的判别式与系数之间的联系
例2：已知关于x 的方程()0222=++++ki x i k x 有实数根，求实数k 的取值范围．
错解：因为方程()0222=++++ki x i k x 有实数根，则有
()()021422
≥+⨯⨯-+=∆ki i k ， 得到122≥k ，则32≥k 或32-≤k ．
剖析：上述解法将结论“实系数一元二次方程有实数0≥∆⇔”迁移到系数不全为实数的复系数一元二次方程上．这种思路是错误的．
正解：∵方程()0222=++++ki x i k x 有实数根，
∴当R x ∈时，将原方程整理，得到()
()0222=++++i k x kx x ． 再由复数相等的条件得到022=++kx x ，且02=+k x ．
解得⎪⎩⎪⎨⎧-==222k x ，或⎪⎩⎪⎨⎧=-=2
22k x ，所以实数k 为22-或22． 点评：对于系数不全为实数的复系数一元二次方程()002≠=++a c bx ax ，当0>∆时，方程不一定有两个相异的实数根．
练习：解关于x 的方程256(2)0x x x i -++-=．答案：原方程的解为13x i =-，22x =．
3．熟悉系数不全为实数的复系数
例3：已知方程02=++m x x 的两根分别为α、β，且3=-βα，求实数m 的值． 错解：()()3422=-+=-=-αββαβαβα，而由韦达定理知道，⎩⎨⎧=-=+m αββα1，所以()3412=--m ，得到2-=m ． 剖析：因为数系的扩充，绝对值的意义和性质已经发生了变化，当z 为虚数时，z 表示模，此时z z ±≠，2z 2z ≠，z 2z ≠． 因此当βα-为虚数时，()()αββαβαβα422-+=-≠-．
可见仍用实数范围内的结论解决复数问题，是容易犯错误的．
正解：（1）当041≥-=∆m ，即41≤m 时，则()()3422=-+=-=-αββαβαβα，而由韦达定理知道，⎩⎨⎧=-=+m
αββα1，所以()3412=--m ，得到2-=m ．
（2）当041<-=∆m ，即4
1>
m 时，设方程的一根为bi a +=α()R b a ∈,时，则另一根为bi a -=β．
则由韦达定理有12-==+a βα，则得到2
1-=a ． 又322===-b bi βα，所以23±=b ，所以()()2
5=-+==bi a bi a m αφ，即m 的值是2
5．
点评：在考虑上述问题时一定要细致和全面，才能把问题完整求出． 练习：已知方程022=+-m x x 有一根为i +3，求m 的值．答案：i 42--．
