正方形经典难题(有解析)

经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）第1题图第2题图2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）第3题图第4题图4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．经典难题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）ANFE CDMB D 2C 2B 2A 2D 1C 1B 1C BDAA 1APC DBAFGCEB O D第1题图第2题图2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）第3题图第4题图4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二）经典难题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）PCGFBQ ADE· OQPBDEC NM· A·GA O DBECQPNM·AD HEM C BO第1题图第2题图2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ． 求证：PA ＝PF ．（初二）第3题图第4题图4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）经典难题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5． 求：∠APB 的度数．（初二）第1题图第2题图2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）PADCBAPC BO D BF AECPFE PCBAE DA CBFAFDECBD3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）第3题图第4题图4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．第1题图第2题图2、P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．第3题图第4题图4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300， ∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．EDCBAAC BPDAC BPDA PCBFPDE CBACBDA经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF 。

初二几何证明经典难题1、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．如下图做△DGC 使与△ADP 全等，可得△PDG 为等边△，从而可得 △DGC ≌△APD ≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG ＝150 所以∠DCP=300 ，从而得出△PBC 是正三角形2、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．如下图连接AC 并取其中点Q ，连接QN 和QM ，所以可得∠QMF=∠F ，∠QNM=∠DEN 和∠QMN=∠QNM ，从而得出∠DEN ＝∠F 。

A PCDB AN FE CDMBPCGFBQADE3、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．3.过E,C,F 点分别作AB 所在直线的高EG ，CI ，FH 。

可得PQ=2EG FH+。

由△EGA ≌△AIC ，可得EG=AI ，由△BFH ≌△CBI，可得FH=BI 。

从而可得PQ=2AI BI += 2AB，从而得证。

4、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．顺时针旋转△ADE ，到△ABG ，连接CG . 由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350从而可得B ，G ，D 在一条直线上，可得△AGB ≌△CGB 。

推出AE=AG=AC=GC ，可得△AGC 为等边三角形。

∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A EC=750。

又∠EFC=∠DFA=450+300=750. 可证：CE=CF 。

5、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．连接BD 作CH ⊥DE ，可得四边形CGDH 是正方形。

22.3正方形的性质习题解答一、选择题（共13小题）1、如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（）A、12B、13C、26D、302、（2006•大兴安岭）如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个3、如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD于G，下列有四个结论：①AF=FH，②∠HAE=45°，③BD=2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（）A、①②③B、①②④C、①③④D、①②③④4、一个围棋盘由18×18个边长为1的正方形小方格组成，一块边长为1.5的正方形卡片放在棋盘上，被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有n个，则n的最大值是（）A、4B、6C、10D、125、如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（）A、75°B、60°C、54°D、67.5°6、在平面直角坐标系中，称横、纵坐标均为整数的点为整点，如下图所示的正方形内（包括边界）整点的个数是（）A、13B、21C、17D、257、在同一平面上，正方形ABCD的四个顶点到直线l的距离只取四个值，其中一个值是另一个值的3倍，这样的直线l可以有（）A、4条B、8条C、12条D、16条8、如图，正方形ABCD的边长为1，E为AD中点，P为CE中点，F为BP中点，则F到BD的距离等于（）A、B、C、D、9、搬进新居后，小杰自己动手用彩塑纸做了一个如图所示的正方形的挂式小饰品ABCD，彩线BD、AN、CM将正方形ABCD分成六部分，其中M是AB的中点，N是BC的中点，AN与CM交于O点．已知正方形ABCD的面积为576cm2，则被分隔开的△CON的面积为（）A、96cm2B、48cm2C、24cm2D、以上都不对10、如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，在BD上截取BE=BC，连接CE，点P是CE上任意一点，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，若正方形ABCD的边长为1，则PM+PN=（）A、1B、C、D、1+11、顶点为A（6，6），B（﹣4，3），C（﹣1，﹣7），D（9，﹣4）的正方形在第一象限的面积是（）A、25B、36C、49D、3012、ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，则△BPD的面积为（）A、B、C、D、13、如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC+PE的和最小，则这个最小值为（）A、4B、2C、2D、2二、填空题（共8小题）14、如图，所示，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是_________cm2．15、如图，若正方体的边长为a，M是AB的中点，则图中阴影部分的面积为_________．16、如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系、已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处，若在y轴上存在点P，且满足FE=FP，则P点坐标为_________．17、如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是两个正方形的中心，则阴影部分的面积为_________，线段O1O2的长为_________．18、已知正方形纸片ABCD的面积为2007cm2．现将该纸片沿一条线段折叠（如图），使点D落在边BC上的点D′处，点A落在点A′处，A′D′与AB交于点E．则△BD′E的周长等于_________cm．19、已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A（0，1），点B（0，0），则点C，D坐标分别为_________和_________．（只写一组）20、如图，在一个正方形被分成三十六个面积均为1的小正方形，点A与点B在两个格点上．在格点上存在点C，使△ABC的面积为2，则这样的点C有_________个．21、已知正方形内接于圆心角为90°，半径为10的扇形（即正方形的各顶点都在扇形上），则这个正方形的边长为_________．三、解答填空题（共6小题）22、如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点F．（1）求证：；（2）点A1、点C1分别同时从A、C两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E⊥A1C1，垂足为E，请猜想EF1，AB与三者之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，当A1E1=6，C1E1=4时，则BD的长为_________．23、（2005•扬州）（1）计算：=_________；（2）已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA⊥AF．求证：DE=BF．24、如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG=AB，则∠EAF=_________度．25、如图，正方形ABCD中，AB=，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15度．（1）求证：DF+BE=EF；（2）则∠EFC的度数为_________度；（3）则△AEF的面积为_________．26、已知正方形ABCD的边长为4cm，E，F分别为边DC，BC上的点，BF=1cm，CE=2cm，BE，DF相交于点G，则四边形CEGF的面积为_________cm2．27、（2007•江苏）如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n°后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O．（1）以图中已标有字母的点为端点连接两条线段（正方形的对角线除外），要求所连接的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；（2）若正方形的边长为2cm，重叠部分（四边形AEOD）的面积为，则旋转的角度n=_________度．答案与评分标准一、选择题（共13小题）1、如图，△ABC是一个等腰直角三角形，DEFG是其内接正方形，H是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（）A、12B、13C、26D、30考点：全等三角形的判定；等腰直角三角形；正方形的性质。

正方形一、 正方形的性质1. 正方形中的边角计算2. 正方形的面积3. 轴对称性4. 弦图的构造与应用5. 折叠问题6. 图形的剪拼7. 其它（全等、相似）二、 正方形的判定一、 正方形的性质7. 其它（全等、相似）1. 【中】（昆明市2013年初中学业水平考试数学试卷）如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 上一动点（不与A 、B 重合），对角线AC 、BD 相交于点O ，过点P 分别作AC 、BD 的垂线，分别交AC 、BD 于点E 、F ，交AD 、BC 于点M 、N ．下列结论： ①APE AME △≌△；②PM PN AC +=；③222PE PF PO +=④POF BNF △∽△； ⑤当PMN AMP △∽△时，点P 是AB 的中点． 其中正确的结论有（ ） A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个【答案】B四边形ABCD 是正方形，45BAC DAC ∴∠=∠=︒． APE AME 在△和△中，BAC DAC AE AEAEP AEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩APE AME ∴△≌△，故①正确；PE EM ∴==12PM ，NMPO FEDCBA同理，12FP FN NP ==， ABCD AC BD ⊥正方形中， 又PE AC PF BD ⊥⊥，，90PEO EOF PFO APE AE PE ∴∠=∠=∠=︒=，且△中 PEOF ∴四边形是矩形． PF OE ∴=，PE PF OA ∴+=，12PE EM PM ==又， 12FP FN NP ==， 12OA AC =， PM PN AC ∴+=，故②正确； PEOF 四边形是矩形， PE OF ∴=，在直角OPF △中，222OF PF PO +=， 222PE PF PO ∴+=，故③正确.BNF POF △是等腰直角三角形，而△不一定是，故④错误；AMP △是等腰直角三角形，． PMN AMP 当△∽△时，PMN △是等腰直角三角形 PM PN ∴=，AMP BPN 又△和△都是等腰直角三角形，AP BP P AB ∴=，即时的中点．故⑤正确．2. 【中】(2013年齐齐哈尔市初中学业考试数学试卷)在锐角三角形ABC 中，AH 是BC 边上的高，分别以AB 、AC 为一边，向外作正方形ABDE 和ACFG ，连接CE 、BG 和EG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，下列结论：①BG CE =；②BG CE ⊥；③AM 是AEG △的中线；④EAM ABC ∠=∠，其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】A在正方形ABDE 和ACFG 中，AB AE =，AC AG =，90BAE CAG ∠=∠=︒，∴BAE BAC CAG BAC ∠+∠=∠+∠， 即CAE BAG ∠=∠，NMHGFEDCB AQP NM HGFEDCB A∵在ABG AEC △和△中， AB AE BAG CAE AG AC ⎧⎪⎨=∠=∠=⎪⎩，∴()SAS ABG AEC △≌△，∴BG CE =，故①正确； 设BG CE 、相交于点N ，∵ABG AEC △≌△， ∴ACE AGB ∠=∠，∵9090180NCF NGF ACF AGF ∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴3603601809090CNG NCF NGF F ∠=︒-∠+∠+∠=︒-︒+︒=︒（）（）， ∴BG CE ⊥，故②正确；过点E 作EP HA ⊥的延长线于P ，过点G 作GQ AM ⊥于Q ， ∵AH BC ⊥，∴90ABH BAH ∠+∠=︒， ∵90BAE ∠=︒，∴1809090EAP BAH ∠+∠=︒-︒=︒，∴ABH EAP ∠=∠，即ABC EAM ∠=∠，故④正确 ∵在ABH EAP △和△中， 90ABH EAP AHB P AB AE ∠=∠∠=∠=︒=⎧⎪⎨⎪⎩，∴()AAS ABH EAP △≌△， ∴EP AH =，同理可得GQ AH =， ∴EP GQ =，∵在EPM GQM △和△中， 90P MQG EMP GMQ EP GQ ∠=∠=︒∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴EPM GQM AAS △≌△（），∴EM GM =，∴AM 是AEG △的中线，故③正确． 综上所述，①②③④结论都正确． 故选A ．3. 【中】（雅安市2013年初中毕业暨高中阶段教育学校招生考试数学试卷）如图，正方形ABCD 中，点E F 、分别在BC CD 、上，AEF △是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，下列结论：①BE DF =，②15DAF =∠°，③AC 垂直平分EF ，④BE DF EF +=，⑤2CEF ABE S S =△△.其中正确结论有（ ）个A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC CD AD ===，90B BCD D BAD ∠=∠=∠=∠=︒． ∵AEF △等边三角形，∴AE EF AF ==，60EAF ∠=︒． ∴30BAE DAF ∠+∠=︒． 在Rt ABE Rt ADF △和△中， AE AFAB AD ==⎧⎨⎩， Rt ABE Rt ADF HL △≌△（），∴BE DF =，①正确．BAE DAF ∠=∠， ∴30DAF DAF ∠+∠=︒， 即15DAF ∠=︒②正确， ∵BC CD =，∴BC BE CD DF -=-，即CE CF =， ∵AE AF =，∴AC 垂直平分EF ．③正确． 设EC x =，由勾股定理，得EF =，2CG x =，AG x =，∴AC =∴AB∴BE x∴BE DF x +-≠，④错误， ∵22CEFx S =△， GFD ECBA22224ABE x S ==△，222ABE CEF x S S ∴==△△，⑤正确．综上所述，正确的有4个，故选C ．4. 【中】（北京师大附中期中）已知：如图，在正方形ABCD 中，5cm AB =，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，CE 与DF 交于M ，连接AM ，求线段AM 的长．【答案】如图所示，取CD 中点N ，连接AN ，交MD 于P9090905BE CF BC DC EBC FCD EBC FCD DM CE DMC ADN DCF DPN PN MC N DC P DM AN DM AM AD ==∠=∠=︒∴∴⊥∠=︒∴∠=︒∴∴∴∴==，，△≌△，同理△≌△∥是中点是中点是的垂直平分线5. 【中】（2013年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试）如图所示，在正方形ABCD 中，点G 是边BC 上任意一点，DE AG ⊥，垂足为E ，延长DE 交AB 于点F ．在线段AG 上取点H ，使得AG DE HG =+，连接BH ． 求证：ABH CDE ∠=∠．【答案】证明：在正方形ABCD 中，AB AD =，90ABG DAF ∠=∠=︒，∵DE AG ⊥，∴290EAD ∠+∠=︒，MFEDCBAPNMFEDCBACGHBE FDAH GFEDCBA321又∵190EAD ∠+∠=︒， ∴12∠=∠，在ABG DAF △和△中， 1=290AB ADABG DAF ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴ABG DAF ASA △≌△（），∴AF BG AG DF AFD BGA ==∠=∠，，， ∵AG DE HG AG DE EF =+=+，， ∴EF HG =，在AEF BHG △和△中， AF BG AFD BGA EF HG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AEF BHG SAS △≌△（），∴13∠=∠， ∴23∠=∠，∵290CDE ADC ∠+∠=∠=︒， 390ABH ABC ∠+∠=∠=︒， ∴ABH CDE ∠=∠．6. 【中】（2010七年级广雅实验数学检测）已知在正方形ABCD 中，P 是AC 上的任意一点，过点P 作PE AB ⊥，作PF BC ⊥，延长DP 交EF 于点M ，则DM 与EF 有怎样的位置关系，试说明理由．【答案】DM EF ⊥，理由如下：证明：延长EP 交CD 于Q ，PQ FP =，DQ AE EP ==，90DQP EPF ∠=∠=°， ∴DQP EPF △≌△，∴QDP PEF ∠=∠， ∵90QDP QPD PEF EPM ∠+∠=∠+∠=°， ∴90PME ∠=°， ∴DM EF ⊥．7. 【中】（2013年安徽省芜湖市中考试卷）如图1，ABC △是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D 、F 分别在AB 、AC 边上，此时BD CF =，BD CF ⊥成立．P MFE DC BA⑴ 当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转()090θθ︒<<︒时，如图2，BD CF =成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．⑵ 当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转45︒时，如图3，延长BD 交CF 于点G ． ①求证：BD CF ⊥；②当4AB =，AD =时，求线段BG 的长．【答案】⑴成立⑵①略②BG =8. 【中】（2013年湘潭市初中毕业学业考试数学试题卷）在数学活动课中，小辉将边长为3的两个正方形放置在直线l 上，如图1，他连结AD CF ，，经测量发现AD CF =. ⑴他将正方形ODEF 绕O 点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD 与CF 还相等吗？说明你的理由；⑵他将正方形ODEF 绕O 点逆时针旋转，使点E 旋转至直线l 上，如图3，请你求出CF 的长.【答案】⑴AD CF =．理由如下：在正方形ABCO 和正方形ODEF 中，AO CO OD OF ==，，90AOC DOF ∠=∠=︒，45°D G 图3BE AFCθCFAEDB图2图1BD E AFC图3lOG FD ECBA∴AOC COD DOF COD ∠+∠=∠+∠， 即AOD COF ∠=∠， 在AOD COF △和△中， AO CO AOD COF OD OF ⎧⎪⎨=∠=∠=⎪⎩，∴AOD COF SAS △≌△（），∴AD CF =；⑵与⑴同理求出CF AD =， 如图，连接DF 交OE 于G ，则12DF OE DG OG OE ⊥==，，∵ODEF 正方形∴2OE ，∴112122DG OG OE ===⨯=，∴314AG AO OG =+=+=，在Rt ADG △中，AD ==∴CF AD =9. 【中】(2013年齐齐哈尔市初中学业考试数学试卷)正方形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，点E 是射线AB 上一点，点F 是直线AD 上一点，BE DF =，连接EF 交线段BD于点G ，交AO 于点H ．若3AB =，AG =EH 的长为__________．解：由EF 与线段BD 相交，可知点E F 、位于直线BD 的两侧，因此有两种情形，如下：答图1O KNMHGFED CBA答图2O K NMHGFEDCBA①点E 在线段AB 上，点F 在线段AD 延长线上，依题意画出图形，如答图1所示：过点E 作EM AB ⊥，交BD 于点M ，则EM AF ∥，BEM △为等腰直角三角形，∵EM AF ∥，∴EMG FDG ∠=∠，GEM F ∠=∠；∵BEM △为等腰直角三角形，∴EM BE =，∵BE DF =，∴EM DF =． 在EMG FDG △与△中， EMG FDG EM DFGEM F ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩， ∴()ASA EMG FDG △≌△， ∴EG FG =，即G 为EF 的中点，∴2EF AG ==（直角三角形斜边上的中线长等于斜边长的一半） 设BE DF x ==，则3AE x =-，3AF x =+，在Rt AEF △中，由勾股定理得：222AE AF EF +=，即()()(22233x x -++=，解得1x =，即1BE DF ==，∴2AE =，4AF =， ∴12tan F ∠=． 设EF 与CD 交于点K ，则在Rt DFK △中，1•2DK DF tan F =∠=， ∴52CK CD DK =-=． ∵AB CD ∥，∴45225AH AE CH CK ===，∵49AC AH CH AH AC =+=∴== 过点H 作HN AE ∥，交AD 于点N ，则ANH △为等腰直角三角形，∴43AN AH ==．∵HN AE ∥，∴434EH AN EF AF ==，∴EH ②点E 在线段AB 的延长线上，点F 在线段AD 上，依题意画出图形，如答图2所示：同理可求得：EH 综上所述，线段EH10. 【中】如图，正方形ABCD 中，AC 是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B ，直角顶点P 在射线AC 上移动，另一边交DC 于Q ．⑴如图1，当点Q 在DC 边上时，猜想并写出PB 与PQ 所满足的数量关系；并加以证明；⑵如图2，当点Q 落在DC 的延长线上时，猜想并写出PB 与PQ 满足的数量关系，请证明你的猜想．【答案】⑴PB PQ =，证明：过P 作PE BC ⊥，PF CD ⊥， ∵P ，C 为正方形对角线AC 上的点， ∴PC 平分DCB ∠，90DCB ∠=°， ∴PF PE =，∴四边形PECF 为正方形，∵90BPE QPE ∠+∠=°，90QPE QPF ∠+∠=°， ∴BPE QPF ∠=∠，∴Rt Rt PQF PBE △≌△， ∴PB PQ =； ⑵PB PQ =，证明：过P 作PE BC ⊥，PF CD ⊥，图1Q PDCBA图2QP DC BAB∵P ，C 为正方形对角线AC 上的点， ∴PC 平分DCB ∠，90DCB ∠=°， ∴PF PE =，∴四边形PECF 为正方形，∵90BPE QPE ∠+∠=°，90QPE QPF ∠+∠=°， ∴BPE QPF ∠=∠，∴Rt Rt PQF PBE △≌△， ∴PB PQ =．11. 【中】（2012贵州黔东南州中考）点P 是正方形ABCD 边AB 上一点（不与A 、B 重合），连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针旋转90°，得线段PE ，连接BE ，则CBE ∠等于（ ）A ．75°B ．60°C ．45°D ．30° 【解析】过点E 作EF AF ⊥，交AB 的延长线于点F ，则90F ∠=°，∵四边形ABCD 为正方形，∴AD AB =，90A ABC ∠=∠=°， ∴90ADP APD ∠+∠=°，由旋转可得：PD PE =，90DPE ∠=°， ∴90APD EPF ∠+∠=°， ∴ADP EPF ∠=∠， 在APD △和FEP △中， ∵90ADP FPE A F PD EP ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩°， FEQPDC BAPEDCBAFABCDEP∴()AAS APD FEP △≌△， ∴AP EF =，AD PF =， 又∵AD AB =，∴PF AB =，即AP PB PB BF +=+， ∴AP BF =，∴BF EF =，又90F ∠=°， ∴BEF △为等腰直角三角形， ∴45EBF ∠=°，又90CBF ∠=°， 则45CBE ∠=°．【答案】C12. 【中】（四边形练习题）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=°，且EF 交正方形外角DCG ∠的角分线CF 于点F ，求证：AE EF =．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM EC =，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究： ⑴小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE EF =”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； ⑵小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE EF =”仍然成立．你认为小华的观点正确的吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．【答案】：⑴正确．证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ． ∴BM BE =．∴45BME ∠=°.∴135AME ∠=°． ∵CF 是外角平分线，∴45DCF ∠=°. ∴135ECF ∠=°． ∴AME ECF ∠=∠．∵90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°， ∴BAE CEF ∠=∠．∴()ASA AME ECF △≌△． ∴AE EF =． ⑵正确．证明：在BA 的延长线上取一点N ，使AN CE =，连接NE ． ∴BN BE =．∴45N FCE ∠=∠=° 四边形ABCD 是正方形， ∴AD BE ∥．∴DAE BEA ∠=∠． ∴NAE CEF ∠=∠．∴()ANE ECF ASA △≌△． ∴AE EF =．图1GFE DC BAM FE DC BA 图2图3N GFEDCBA13. 【中】（2013年衡阳市初中毕业学业水平考试数学试卷）如图，P 为正方形ABCD 的边AD 上的一个动点，AE BP ⊥，CF BP ⊥，垂足分别为点E F ，，已知4AD =． ⑴试说明22AE CF +的值是一个常数；⑵过点P 作PM FC ∥交CD 于点M ，点P 在何位置时线段DM 最长，并求出此时DM 的值．【答案】解：⑴由已知90AEB BFC ∠=∠=︒，AB BC =，又∵ABE FBC BCF FBC ∠+∠=∠+∠， ∴ABE BCF ∠=∠，∵在ABE BCF △和△中，ABE BCF AEB BFC AB BC ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩∴()AAS ABE BCF △≌△，∴AE BF =，∴2222216AE CF BF CF BC +=+==为常数； ⑵设AP x =，则4PD x =-， 由已知DPM PAE ABP ∠=∠=∠， ∴PDM BAP △∽△， ∴DM AP PD AB =，即44DM xx =-， ∴()24144x x DM x x -==-，当2x =时，DM 有最大值为1．14. 【中】（黑龙江省龙东地区2013年初中毕业学业统一考试数学试题）正方形ABCD 的顶点A 在直线MN 上，点O 是对角线AC 、BD 的交点，过点O 作OE MN ⊥于点E ，过点B 作BF MN ⊥于点F ． ⑴ 如图1，当O 、B 两点均位于直线MN 上方时，易证：2AF BF OE +=（不需证明）． ⑵ 当正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF 、BF 、OE 之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．【答案】图2结论：2AF BF OE -=图3结论：2BF AF OE -= 对于图2证明：过点B 作BG OE ⊥交OE 的延长线于G ， 则四边形BGEF 是矩形， ∴BF GE =，EF GB =， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴OA OB ⊥，AC BD =． ∵BG OG ⊥，OE MN ⊥， ∴1290∠+∠=︒， 1390∠+∠=︒．∴23∠=∠，90OEA OGB ∠=∠=︒． 又∵正方形ABCD ，∴1122OA OB AC BD ===． ∴AOE OBG △≌△． ∴AE OG =，OE GB =， ∴OE EF =．∴AF BF AE FE BF -=+- 2OE EG OE GE OE =++-= ∴2AF BF OE -=．若选如图3，其证明方法同上．图3图1图2MA EFNBO DCMA EF NB ODCCDOBNF E AM15. 【中】(2013年绥化市初中毕业学业考试数学试卷)已知，在ABC △中，90BAC ∠=︒，45ABC ∠=︒，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点B ，C 重合）．以AD 为边做正方形ADEF ，连接CF ．⑴ 如图1，当点D 在线段BC 上时．求证：CF CD BC +=；⑵ 如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF 、BC 、CD 三条线段之间的关系；⑶ 如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为AE ，DF 相交于点O ，连接OC ．求OC 的长度．【答案】⑴证明：∵90BAC ∠=︒，45ABC ∠=︒，∴45ACB ABC ∠=∠=︒， ∴AB AC =．∵四边形ADEF 是正方形， ∴AD AF =，90DAF ∠=︒．∵90BAD DAC ∠=︒-∠，90CAF DAC ∠=︒-∠， ∴BAD CAF ∠=∠． ∴BAD CAF △≌△． ∴BD CF =．∵BD CD BC +=， ∴CF CD BC +=． ⑵CF CD BC -=． ⑶①CD CF BC -=．②∵90BAC ∠=︒，45ABC ∠=︒， ∴45ACB ABC ∠=∠=︒．图1FED CBA图2FEDC BA图3OFE DC BA∴AB AC =．∵四边形ADEF 是正方形， ∴AD AF =，90DAF ∠=︒．∵90BAD BAF ∠=︒-∠，90CAF BAF ∠=︒-∠， ∴BAD CAF ∠=∠． ∴BAD CAF △≌△． ∴ACF ABD ∠=∠． ∵45ABC ∠=︒， ∴135ABD ∠=︒．∴135ACF ABD ∠=∠=︒． ∴90FCD ∠=︒．∴FCD △为直角三角形．∵正方形ADEF的边长为AE 、DF 相交于点O ，∴4DF ==，O 为DF 中点． ∴122OC DF ==．16. 【中】（2013年武汉市初中毕业生学业考试数学试卷）如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE DF =．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是________．1解：在正方形ABCD 中，AB AD CD ==，BAD CDA ∠=∠，ADG CDG ∠=∠， 在ABE DCF △和△中， AB CD BAD CDA AE DF ⎧⎪⎨=∠=∠=⎪⎩，∴()SAS ABE DCF △≌△， ∴12∠=∠，在ADG CDG △和△中，O 321HGF EDCBAAD CD ADG CDG DG DG ⎧⎪⎨=∠=∠=⎪⎩，∴()SAS ADG CDG △≌△， ∴23∠=∠， ∴13∠=∠，∵390BAH BAD ∠+∠=∠=︒， ∴190BAH ∠+∠=︒，∴1809090AHB ∠=︒-︒=︒，取AB 的中点O ，连接OH OD 、， 则112OH AO AB ===， 在Rt AOD △中，OD == 根据三角形的三边关系，OH DH OD +＞，∴当O D H 、、三点共线时，DH 的长度最小， 最小值=1OD OH -=1.17. 【中】（北京西城初二下期末）如图，正方形ABCD 中，BD 是对角线，E 、F 点分别在BC 、CD 边上，且△AEF 是等边三角形． ⑴ 求证：ABE ADF △≌△；⑵ 过点D 作DG BD ⊥交BC 延长线于点G ，在DB 上截取DH DA =，连结HG ． 请你参考下面方框中的方法指导，证明：．【答案】⑴∵正方形ABCD ，∴AB AD =，90ABC ADC ∠=∠=°．方法指导在一些证明线段间数量关系的问题中，有时可以运用代数计算的方法进行证明．例如：要证明DE BE =．可设AB a =，AE b =（0b a >>），在Rt ABE △和Rt ADF △中， 22222BE AE AB b a =-=-． 22222DF AF AD b a =-=-． ∴22DF BE =． ∴DF BE =．这就是图形证明中代数方法的应用．运用代数方法证明几何问题时，线段通常用单个小写字母表示．又AEF △是等边三角形， ∴AE AF =．∴Rt Rt ABE ADF △≌△．⑵设正方形的边长为a ，()0CE x x a =<<． 在正方形ABCD 中，BD 是对角线，DG BD ⊥， ∴1245∠=∠=°．∴DA DC DH CG a ====，DG==． 在Rt DHG △中，222HG DH DG =+， ∴HG=．又由⑴可得BE DF =，则CE CF x ==，BE DF a x ==-． 在Rt ECF △中，EF=． ∴AF EF ==． 在Rt ADF △中， 222AD DF +． ∴222)()a a x =+-， 整理，得22220x axa +-=．解得x =a =-（负舍）． ∴x a =-．∴EG EC CG =+()a a =-+==． ∴EG HG =．二、 正方形的判定18. 【易】（2010年北京裕中期中）黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，则黑板上画的图形是________． 【答案】正方形19. 【易】（2011年松江区初中毕业生学业模拟考试）下列命题中，错误的是（ ）A ．有一个角是直角的平行四边形是正方形；B ．对角线相等的菱形是正方形；C ．对角线互相垂直的矩形是正方形；D ．一组邻边相等的矩形是正方形． 【答案】A20. 【易】（期末模拟练习）下列说法不正确的是（ ）A ．有一个角是直角的菱形是正方形B ．两条对角线相等的菱形是正方形C ．对角线互相垂直的矩形是正方形D ．四条边都相等的四边形是正方形 【答案】D2GH EFBCDA 121. 【易】（初二数学期末复习五）在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是（ ） A ．AC BD =，AB CD ∥，AB CD = B ．AD BC ∥，A C ∠=∠ C ．AO BO CO DO ===，AC BD ⊥ D ．AO CO =，BO DO =，AB BC = 【答案】C22. 【易】（2010年北京西城期中）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相平分，要使它成为正方形，需要添加的条件是（ ）A ．AB CD = B ．AC BD = C ．AC BD ⊥ D ．AC BD =且AC BD ⊥ 【答案】D23. 【易】（丰台区2010-2011学年度第二学期期末练习）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 互相垂直平分，若使四边形ABCD 是正方形，则需要添加一个条件为________．（图形中不再添加辅助线，写出一个条件即可）【答案】90ABC ∠=︒（答案不唯一）24. 【易】（天津市河西区2011年初中毕业生学业考试模拟试卷（二）数学）要使一个菱形成为正方形，则需增加的条件是________．（填上一个正确的结论即可）． 【答案】答案不唯一，如：对角线相等25. 【易】（莆田市中考）如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，请你添加一个条件：使得该菱形为正方形________．【答案】AB BC ⊥或AC BD =或AO BO =等26. 【易】（2011年广西崇左市中考题）矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的矩形，也是特殊的菱形．因此，我们可利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题．回答下列问题： ⑴将平行四边形、矩形、菱形、正方形填入它们的包含关系的下图中．ODCBAODCBA ODCBA⑵要证明一个四边形是正方形，可先证明四边形是矩形，再证明这个矩形的________相等；或者先证明四边形是菱形，在证明这个菱形有一个角是________．⑶某同学根据菱形面积计算公式推导出对角线长为a 的正方形面积是20.5S a =，对此结论，你认为是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请举出一个反例说明． 【答案】⑴⑵邻边，直角； ⑶正确．27. 【易】（单元测试）如图，在ABC △中，90C ∠=°，A ∠、B ∠的平分线交于点D ，DE BC ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ．求证：四边形CFDE 是正方形．【答案】连接BD∵DF BC ⊥，DE AC ⊥ ∴90DEB DFA ∠=∠=° 又∵90C ∠=°∴90DEB DFA C ∠=∠=∠=° ∴四边形DFCE 是矩形 ∵AD ，BD 是角平分线 ∴CD 是角平分线 ∴DE DF =四边形CEDF 为正方形28. 【易】（北京一六一中学2011-2012期中）以四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E ，F ，G ，H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ．⑴ 如图1，当四边形ABCD 为正方形时，我们发现四边形EFGH 是正方形；如图2，当四边形ABCD 为矩形时，请判断：四边形EFGH 的形状（不要求证明）；⑵ 如图3，当四边形ABCD 为一般平行四边形时，设()090ADC αα∠=<<°°， ① 试用含α的代数式表示HAE ∠； ② 求证：HE HG =；③ 四边形EFGH 是什么四边形?并说明理由．平行四边形菱形正方形矩形FEDC BA【答案】⑴四边形EFGH 是正方形⑵①在平行四边形ABCD 中，AB CD ∥∴180BAD α∠=-°∵HAD △和EAB △是等腰直角三角形∴45HAD EAB ∠=∠=°∴()3603604545180HAE HAD EAB BAD α∠=-∠-∠-∠=---°°°°°-90α=+°②证明：∵ABE △和GDC △是等腰直角三角形∴AE AB =，DG = ∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB CD =∴AE DG =∵HAD △和GDC △是等腰直角三角形∴45HDA CDG ∠=∠=°∴90HDG HDA ADC CDG HAE α∠=∠+∠+∠=+=∠°∵△HAD 是等腰直角三角形∴HA HD =∴HAE HDG △≌△∴HE HG =③四边形EFGH 是正方形由②同理可得GH GF =GF FE =∵HE HG =∴GF GH FE HE ===∴四边形EFGH 是菱形∵HAE HDG △≌△∴DHG AHE ∠=∠又∵90AHD AHG DHG ∠=∠+∠=°∴90EHG AHG AHE ∠=∠+∠=°∴四边形EFGH 是正方形29. 【易】（初二下期末综合练习（三））如图1，在正方形ABCD 中，点E F 、分别为边BC CD 、的中点，AF DE 、相交于点G ，则可得结论：①AF DE =；②AF DE ⊥．（不需要证明）⑴如图2，若点E F 、不是正方形ABCD 的边BC CD 、的中点，但满足CE DF =．则上面的结论①②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”）⑵如图3，若点E F 、分别在正方形ABCD 的边CB 的延长线和DC 的延长线上，且CE DF =，此时上面的结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．⑶如图4，在⑵的基础上，连接AE 和EF ，若点M ，N ，P ，Q 分别为AE ，EF ，FD ，AD 的中点，请判断四边形MNPQ 是“矩形，菱形，正方形，等腰梯形”中的哪一种？并写出证明过程．【答案】⑴成立；⑵成立．由ADF DCE △≌△及“8”字形可得．⑶四边形MNPQ 是正方形．由DE AF ⊥，DE AF =及三角形中位线定理可证．30. 【易】（扬州市2013年初中毕业、升学统一考试数学试题）如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 在边AB 上，连接CD ，将线段CD 绕点C 顺时针旋转90︒至CE 位置，连接AE ．⑴求证：AB AE ⊥；⑵若2BC AD AB =⋅，求证：四边形ADCE 为正方形．【答案】⑴思路：由BCD ACE △≌△得45CAE B ∠=∠=︒，故得出90BAE ∠=︒⑵思路：由条件可先证出ACD ABC △∽△，进而得出90ADC ∠=︒，易证四边形ADCE 是矩形，再由DC CE =，可得四边形ADCE 是正方形．31. 【易】（南京市2013年初中毕业生学业考试数学试题）图1G F E D C B A 图2A B CD E F G图3A BC DE F G图4P O NMA B C DEF G EDCB A如图，在四边形ABCD 中，AB BC =，对角线BD 平分ABC ∠，P 是BD 上一点，过点P 作PM AD ⊥，PN CD ⊥，垂足分别为M N 、． ⑴求证：ADB CDB ∠=∠；⑵若90ADC ∠=︒，求证：四边形MPND 是正方形．【答案】证明：⑴∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠．又∵BA BC =，BD BD =，∴ABD CBD △≌△．∴ADB CDB ∠=∠．⑵∵PM AD ⊥，PN CD ⊥，∴90PMD PND ∠=∠=︒．又∵90ADC ∠=︒，∴四边形MPND 是矩形．∵ADB CDB ∠=∠，PM AD ⊥，PN CD ⊥， ∴PM PN =．∴四边形MPND 是正方形．P NMD B A。

1、如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边作正方形BCDE，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=3，AO=22，那么AC的长等于（）A．12 B．7 C．17D．622、如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC．（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和GC．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．3、操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．探究：设A、P两点间的距离为x．（1）点Q在CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；（2）点Q边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由（如图3）．（图4、图5、图6的形状、大小相同，图4供操作、实验用，图5和图6备用）．4、在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标；（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由．5、已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．6、如图，正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，Rt△CEF的面积为200，则BE 的长为。

八年级数学竞赛例题专题-正方形专题20正方形阅读与思考矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的菱形，因此，我们可以利用矩形、菱形的性质来研究正方形的有关问题．正方形问题常常转化为三角形问题解决，在正方形中，我们最容易得到特殊三角形、全等三角形，熟悉以下基本图形．例题与求解【例l】如图，在正方形纸片中，对角线，交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交，于点，.下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤.其中，正确结论的序号是______________．（重庆市中考试题）解题思路：本题需综合运用轴对称、菱形判定、数形结合等知识方法．【例2】如图1，操作：把正方形的对角线放在正方形的边的延长线上，取线段的中点.连，．（1）探究线段，的关系，并加以证明．（2）将正方形绕点旋转任意角后（如图2），其他条件不变．探究线段，的关系，并加以证明．（大连市中考题改编）解题思路：由为中点，想到“中线倍长法”再证三角形全等．【例3】如图，正方形中，，是，边上两点，且，于，求证：.（重庆市竞赛试题）解题思路：构造的线段是解本例的关键．【例4】如图，正方形被两条与边平行的线段、分割成四个小矩形，是与的交点，若矩形的面积恰是矩形面积的2倍，试确定的大小，并证明你的结论．（北京市竞赛试题）解题思路：先猜测的大小，再作出证明，解题的关键是由条件及图形推出隐含的线段间的关系．【例5】如图，在正方形中，，分别是边，上的点，满足，分别与对角线交于点．求证：（1）；（2）．（四川省竞赛试题）解题思路：对于（1），可作辅助线，创造条件，再通过三角形全等，即可解答；对于（2），很容易联想到直角三角形三边关系．【例6】已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点．当绕点旋转到时（如图1），易证．（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．（黑龙江省中考试题）解题思路：对于（2），构造是解题的关键．能力训练A级1.如图，若四边形是正方形，是等边三角形，则的度数为__________. （北京市竞赛试题）2.四边形的对角线相交于点，给出以下题设条件：①；②；③；④．其中，能判定它是正方形的题设条件是______________.（把你认为正确的序号都填在横线上）（浙江省中考试题）3．如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住一个不动，将另一个绕顶点顺时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是__________. （青岛市中考试题）第1题图第3题图第4题图4.如图，是正方形内一点，将绕点顺时针方向旋转至能与重合，若，则=__________.（河南省中考试题）5.将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点分别是正方形的中心，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为()A.B．C.D.（晋江市中考试题）第5题图第6题图6.如图，以的斜边为一边在的同侧作正方形，设正方形的中心为，连接，如果，则的长为()A.12B．8C.D.（浙江省竞赛试题）7．如图，正方形中，，那么是()A.B．C.D.8．如图，正方形的面积为256，点在上，点在的延长线上，的面积为200，则的值是()A．15B．12C．11D．109．如图，在正方形中，是边的中点，与交于点，求证：．10.如图，在正方形中，是边的中点，是上的一点，且．求证：平分．11.如图，已知是正方形对角线上一点，分别是垂足．求证：．（扬州市中考试题）12.（1）如图1，已知正方形和正方形，在同一条直线上，为线段的中点．探究：线段的关系．（2）如图2，若将正方形绕点顺时针旋转，使得正方形的对角线在正方形的边的延长线上，为的中点．试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（大连市中考试题）图1图2B级1.如图，在四边形中，，于，若四边形的面积为8，则的长为__________.2.如图，是边长为1的正方形内一点，若，则__________.（北京市竞赛试题）3.如图，在中，，以为一边向三角形外作正方形，正方形的中心为，且，则的长为__________.（“希望杯”邀请赛试题）4.如图：边长一定的正方形，是上一动点，交于，过作交于点，作于点，连接，下列结论：①；②；③；④为定值，其中一定成立的是()A.①②③B．①②④C.②③④D.①②③④5.如图，是正方形，，是菱形，则与度数的比值是()A.3B．4C.5D.不是整数6.一个周长为20的正方形内接于一个周长为28的正方形，那么从里面正方形的顶点到外面正方形的顶点的最大距离是()A.B．C.8D.E.（美国高中考试题）7.如图，正方形中，，是的中点，设，在上取一点，使，则的长度等于()A.1B．2C.3D.（“希望杯”邀请赛试题）8.已知正方形中，是中点，是延长线上一点，且交平分线于（如图1）（1）求证：；（2）若将上述条件中的“是中点”改为“是上任意一点”其余条件不变（如图2），（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图2，点是的延长线上（除点外）的任意一点，其他条件不变，则（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（临汾市中考试题）`9.已知求证：10.如果，点分别在正方形的边上，已知的周长等于正方形周长的一半，求的度数．（“祖冲之杯”邀请赛试题）11.如图，两张大小适当的正方形纸片，重叠地放在一起，重叠部分是一个凸八边形，对角线分这个八边形为四个小的凸四边形，请你证明：，且．（北京市竞赛试题）12.如图，正方形内有一点，以为边向外作正方形和正方形，连接．求证：．（武汉市竞赛试题）。

01如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的等量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．解：(1)AG2＝GE2＋GF2；理由：如解图，连接CG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠CDG＝45°，AD＝CD，DG＝DG，∴△ADG≌△CDG，∴AG＝CG，又∵GE⊥DC，GF⊥BC，∠BCD＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∴CF＝GE，在Rt△GFC中，由勾股定理得，CG2＝GF2＋CF2，∴AG2＝GE2＋GF2；(2)如解图，过点A作AM⊥BD于点M，∵GF⊥BC，∠ABG＝∠GBC＝45°，∴∠BAM＝∠BGF＝45°，∴△ABM，△BGF都是等腰直角三角形，∵AB＝1，∴AM＝BM＝2 2，∵∠AGF＝105°，∴∠AGM＝60°，∴tan60°＝AMGM，∴GM＝6 6，∴BG＝BM＋GM＝22＋66＝32＋66.02如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4A BCD FEG 10题图考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理分析：根据翻折变换的性质和正方形的性质可证△ABG ≌△AFG ；在直角△ECG 中，根据勾股定理可证BG =GC ；通过证明∠AGB =∠AGF =∠GFC =∠GCF ，由平行线的判定可得AG ∥CF ；由于S △FGC =S △GCE ﹣S △FEC ，求得面积比较即可．解答：解：①正确．因为AB =AD =AF ，AG =AG ，∠B =∠AFG =90°，∴△ABG ≌△AFG ； ②正确．因为：EF =DE =13CD =2，设BG =FG =x ，则CG =6﹣x ．在直角△ECG 中，根据勾股定理，得（6﹣x ）2+42=（x +2）2，解得x =3．所以BG =3=6﹣3=GC ； ③正确．因为CG =BG =GF ，所以△FGC 是等腰三角形，∠GFC =∠GCF ．又∠AGB =∠AGF ，∠AGB +∠AGF =180°﹣∠FGC =∠GFC +∠GCF ，∴∠AGB =∠AGF =∠GFC =∠GCF ，∴AG ∥CF ； ④错误．过F 作FH ⊥DC ， ∵BC ⊥DH ， ∴FH ∥GC ，∴△EFH ∽△EGC ， ∴FH GC =EFEG， EF =DE =2，GF =3， ∴EG =5， ∴FH GC =EF EG =25， ∴S △FGC =S △GCE ﹣S △FEC =12×3×4﹣12×4×（25×3）=185≠3． 故选C ．点评：本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．A B CD FE G10题03如图，在一方形ABCD中．E为对角线AC上一点，连接EB、ED，（1）求证：△BEC≌△DEC：（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB=140°．求∠AFE 的度数．考点：正方形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质。

正方形问题1 如图，在边长为6的正方形ABCD 的两侧作正方形BEFG 和正方形DMNK ，恰好使得N 、A 、F 三点在一直线上，连接MF 交线段AD 于点P ,连接NP ，设正方形BEFG 的边长为x ，正方形DMNK 的边长为y ．(1）求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围； （2）当△NPF 的面积为32时,求x 的值;（3）以P 为圆心，AP 为半径的圆能否与以G 为圆心，GF 为半径的圆相切？如果能，请求出x 的值，如果不能，请说明理由．解析:(1）∵正方形BEFG 、正方形DMNK 、正方形ABCD ∴∠E ＝∠F ＝90O,AE ∥MC ，MC ∥NK ∴AE ∥NK ，∴∠KNA ＝∠EAF∴△KNA ∽△EAF ，∴错误! ＝ 错误! ，即 错误! ＝ 错误! ∴y ＝x ＋6（0＜x ≤6）（2）由(1)知NK ＝AE ，∴AN ＝AF∵正方形DMNK ，∴AP ∥NM ，∴错误! ＝ 错误! ＝1 ∴FP ＝PM ，∴S △MNP ＝S △NPF ＝32 ∴S 正方形DMNK ＝2S △MNP ＝64 ∴y ＝8，∴x ＝2（3）连接PG ,延长FG 交AD 于点H ,则GH ⊥AD易知：AP ＝ 错误! ，AH ＝x ，PH ＝ 错误! －x ，HG ＝6;PG ＝AP ＋GF ＝ 错误! ＋x ①当两圆外切时在Rt △GHP 中，PH 2＋HG 2＝PG 2，即( 错误! －x )2＋6 2＝( 错误! ＋x ）2NK GCE DFAB P M解得:x ＝－3－3 错误!(舍去）或x ＝－3＋3 错误! ②当两圆内切时在Rt △GHP 中,PH 2＋HG 2＝PG 2，即（ 错误! －x ）2＋6 2＝（ 错误! －x ）2方程无解所以，当x ＝3 错误!－3时，两圆相切2 已知：正方形ABCD 的边长为1，射线AE 与射线BC 交于点E ，射线AF 与射线CD 交于点F ，∠EAF ＝45°，连接EF ．(1）如图1,当点E 在线段BC 上时，试猜想线段EF 、BE 、DF 有怎样的数量关系？并证明你的猜想；(2）设BE ＝x ,DF ＝y ，当点E 在线段BC 上运动时（不包括点B 、C ）,求y 关于x 的函数解析式，并指出x 的取值范围；（3）当点E 在射线BC 上运动时（不含端点B ），点F 在射线CD 上运动．试判断以E 为圆心，以BE 为半径的⊙E 和以F 为圆心,以FD 为半径的⊙F 之间的位置关系;(4）如图2,当点E 在BC 的延长线上时，设AE 与CD 交于点G ．问:△EGF 与△EFA 能否相似？若能相似，求出BE 的长，若不可能相似，请说明理由．解析：AB DCEF图1ABD CEFG图2AB DCEF图1F ′12（1）猜想：EF＝BE＋DF证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°,得△ABF′,易知点F′、B、E在同一直线上（如。

1、四边形ABCD 中，AD=BC ，EF 为AB 、DC 的中点的连线，并分别与AD 、BC 延长线交于M 、N ，求证：∠A M E =∠B N E 。

2、若以三角形ABC 的边AB 、BC 为边向三角形外作正方形ABDE 、BCFG ，N 为AC 中点，求证：DG=2BN ，BM ?DG 。

3、已知正方形ABCD 是一个正方形。

F 为CD 上一点，，G 为对角线BD 上一点，且FG ⊥BD ，M 为BG 中点，连接AM 、MF 。

求证：AM=MF ，AM ⊥MF4、已知正方形ABCD 是一个正方形。

E 是BC 上一点，F 是CD 上一点，∠EAF=45°，AE 、AF 分别交BD 于M 、N ，连接MF 求证：AM ⊥MF ，AM=MF 5已知正方形ABCD 是一个正方形、E 为BC 上一点，F 为CD 上一点，∠EAF=45°， AE 、AF 分别交BD 于M 、N ，连接EF 。

（1）求证：EF=BE+DF 。

（2）求证：∠AFD=∠AFE=∠AMN ，∠AEB=∠AEF=∠ANM （3）试探究MN 、BM 、DN 的关系（4）求证：2222222,2BN DN AN DM BM AM +=+= （5）连接NE 、MF ，求证：AM=MF ，AM ⊥MF ；AN=NE ，AN ⊥NE （6）求证：BE BA BN DA DF DM +=+=2,2（7）过M 向CF 做垂线，垂足为P ，求证：P 为CF 中点； 过N 向CE 做垂线，垂足为Q ，求证：Q为CE 中点。

（8）求证：DN CE BM CF 2,2==（9）求证：MN EF 2=（10）过F 做CD 的垂线FR 交BD 于R ，求证：RM=BM （11）分别过E 、F 向BD 做垂线，垂足分别为S 、R求证：BD SN RM 21== （12）求证：AEF AMN S S △△21=（13）P 为EF 中点，连接PM 、PN 求证：△PMN 是等腰直角三角形（14）过M 、N 分别做AB 、AD 的平行线交于点Q ，连接AQ ，求证：AQ ⊥EF ，AQ=QM=QN （15）已知正方形边长为a ，令DF=x ，BE=y ，请问x 、y 之间有何数量关系？6、如图，已知正方形纸片ABCD ，E 为BC 延长线上一点，F 为边AB 上一点，将纸片沿直线EF 翻折，点B 恰好落在AD 边上的点G ，连接GE 交CD 于H 点。

正方形经典难题(有解析）已知正方形ABCD是一个正方形。

一、F为CD上一点，，G为对角线BD上一点，且FG⊥BD，M为BG中点，连接AM、MF。

求证：AM=MF，AM⊥MF方法一：考虑到M是BG中点，GF∥BC，所以想到倍长中线证明：延长CB、FM交于点I，连接AI、AF∵GF⊥CD，∴GF∥BC∴∠GFM=∠MIB又GM=MB，∠IMB=∠FMG∴△GMF≌BMI所以MF=MI，BI=GF在Rt△ADF与Rt△ABI中AB=AD，DF=GF=BI∠ADF=∠ABI=90°∴△ADF≌△ABI所以AF=AI，∠1=∠2∠IAF=∠2+∠BAF=∠1+∠BAF=90°所以△IAF是一个等腰直角三角形又MI=MF∴△AMF是一个等腰直角三角形所以AM=MF，AM⊥MF方法二：可以将需要证明的结论看做是一个三角形绕M点旋转90°的结果，条件中又有MG=MB，所以想到构造一个三角形与△MGF全等。

证明：延长FG交AB于J，连接JM∵GF⊥CD∴四边形AJDF和四边形BJFC均为矩形所以AJ=DF=GF，BJ=CF在△BJG中，∠JBG=45°，GJ⊥BJ，又M为BG中点故JM=BM=GM，∠BJM=45°∵∠DGF=45°∴∠MGF=∠AJM=135°在△AJM和△FGM中，JM=GM，AJ=GF，∠MGF=∠AJM∴△AJM≌△FGM∴AM=MF，∠AMF=∠JMG=90°，即AM⊥MF二、E是BC上一点，F是CD上一点，∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连接MF求证：AM⊥MF，AM=MF方法一：联想到上题的图形，仍然考虑过F做CD的垂线证明：过F做FH⊥CD交BD于H，过F做FG⊥AF交AE延长线于G，连接AH、HG、BG∵∠EAF=45°∴△AFG为等腰直角三角形∴AF=FG又∠AFD=∠GFH=90°-∠AFHDF=HF∴△ADF≌△GHF∴HG=AD，HG⊥HF∴HG=AB，HG∥AB所以四边形AHGB是平行四边形∴M是AG中点∴△AMF为等腰直角三角形∴AM⊥MF，AM=MF方法二：首先证明一个题目四边形ABCD是一个正方形，F为CD上一点，QD为∠ADS的角平分线，且QF=BF求证：QF⊥BF证明：过F分别向QD、BD做垂线，垂足分别为G、H∵AD⊥SC∴∠GDF=∠QDS=45°又∠BDC=45°所以CD是∠HDG的角平分线又HF⊥BD、FG⊥DG∴HF=FG在Rt△QFG和Rt△BFH中QF=BF，HF=FG所以△QFG≌△BFH∴∠Q=∠DBF∴∠QFB=∠QDB=90°即QF⊥BF联想到此题的做法，给出以下证明证明：过A做AQ⊥AE，并截取AQ=AM，连接QF，过F分别向QD、BD做垂线，垂足分别为G、H∵AQ⊥AM，AD⊥AB∴∠QAD=∠MAB又AQ=AM，AD=AB∴△AQD≌△AMB∴∠ADQ=∠ABM=45°又AD⊥CD∴∠CDG=45°∴CD平分∠BDG又HF⊥BD，FG⊥DG∴HF=FG在△AQF和△AMF中∠QAF=∠EAF=45°AQ=AM，AF公共所以△AQF≌△AMF∴QF=FM在Rt△QFG和Rt△MFH中，QF=FM，FG=HF∴△QFG≌△MFH∴∠DQF=∠DMF∴∠QFM=∠QDM=90°又AQ=QM，QF=FM，∠QAM=90°易证四边形AQFM为正方形所以AM⊥MF，AM=MF三、E为BC上一点，F为CD上一点，∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连接EF。

初三几何综合应用：正方形难题解析压轴题1：在正方形ABCD中，E为AD的中点，DF⊥CE于M，交AB于F，交AC于N，连接EN、BM，有如下结论：①△ADF≌△DCE；②CN=2AN；③MN:EN=4:5；④S△AND：S四边形CNFB=2:5；⑤∠ADF=∠BMF。

其中正确的结论有哪些？【解析】①：∵∠ADF+∠DEC=∠ADF+∠DFA=90°，∴∠DEC=∠DFA，AD=CD，∴△ADF≌△DCE，①正确；②：由①知：AF=DE=½AD=½AB，AF∥CD，∴AF∶CD=AN∶NC=1:2，∴NC=2AN，故②正确；③设EM=x，∵△CDE为Rt△，DM⊥CE，∴△DME和△DMC也是Rt△，故△CDE∽△DME∽△CDM，∴x∶DE=DM∶CD，得DM=2x，同理，CM=4x；由AE=AF，AN为∠EAF角平分线，知：EN=FN，设MN=y，则：x²+y²=EN²=FN²=(DF-DN)²=(CE-DN)²,∴x²+y²=(x+4x-2x-y)²，即y=4x/3，由勾股定理，EN=5x/3，∴MN∶EN=4x/3∶5x/3=4:5，故③正确；④延长DF、CB，相交于G点，如右图。

则由于F为AB中点，AD∥BG，得：△ADF≌△BGF；设S△ANF =p，则由NF∶ND=AF:CD=1:2，知：S△AND =2p；∴S△ADF=3p，即S△BGF=3p；连接BN，则S△BNF =S△ANF =p，∴S△GBN=p+3p=4p；而BG=AD=BC，∴S△CBN =4p，即S四边形CNFB=5p，∴S△AND：S四边形CNFB=2p：5p=2:5，故④正确；⑤在Rt△CMG中，B为CG中点，∴BG=BM，∠BGF=∠BMF，而∠ADF=∠BGF，∴∠ADF=∠BMF，故⑤正确。

正方形的应用题解析正方形是一个有四条边且四条边相等、四个角相等的特殊四边形。

在实际生活中，正方形的特性经常被应用在各种问题和计算中。

本文将对正方形的应用题进行解析，从几何角度和数学角度来讲解相关问题。

一、正方形的性质及推论正方形的性质非常重要，它的四个角均为90度，边长相等，并且对角线相等且垂直平分。

这些性质为解决正方形的应用题提供了基础。

1. 周长和面积问题正方形的周长是其四条边的总和，可以通过边长的乘以4得到。

正方形的面积可以通过边长的平方得到。

在解决周长和面积问题时，需注意边长的单位和计算方式。

2. 对角线问题正方形的对角线是连接相对顶点的线段，它的长度可以通过边长应用勾股定理计算。

并且对角线相等，在实际问题中，可以利用这个性质解决一些距离和长度问题。

二、应用题解析1. 路径规划问题小明家周围是一个正方形的花园，他每天都要从花园的一角走到另一角去上学。

花园的边长为500米，请问小明每天上学走的最短路径是多少？解析：由于正方形的对角线相等且垂直平分，小明可以选择走对角线的路径，这样可以使得他所走的路径最短。

对角线的长度可以通过边长的平方和开根号来计算，即500^2+500^2的开根号。

最后计算结果为500√2米。

2. 围栏建设问题一个正方形的农田需要建设围栏，农场主希望围栏的总长度为1000米，求农田的边长及围栏的面积。

解析：设正方形的边长为x，由于正方形的周长为4x，根据题意可得4x=1000。

解方程得到x=250。

因此，农田的边长为250米。

围栏的面积可以通过边长的平方计算，即250^2=62500平方米。

3. 建筑设计问题一幢建筑的平面图是一个正方形，设计师计划为建筑的四个角营造欣赏风景的空地，每个角营地的面积均为100平方米，请问建筑的边长是多少？解析：设建筑的边长为x，根据题意可得(x-2)^2=100。

解方程得到x=12。

因此，建筑的边长为12米。

三、结论正方形作为一种常见的几何形状，经常出现在生活和问题中。

题目：有一个正方形，它的面积是100平方厘米。

现在，我们要将这个正方形切割成若干个小的正方形，并且这些小正方形的边长都是整数。

请问，最少可以切割成多少个这样的小正方形？
解析：首先，我们可以尝试将这个大正方形切割成边长为1厘米的小正方形，这样可以得到100个小正方形。

但是，这并不是最少的切割方式。

妙解：我们可以尝试将这个大正方形切割成边长为2、5、10厘米的小正方形。

具体来说，我们可以将这个大正方形切割成4个边长为10厘米的小正方形，然后将这4个小正方形分别切割成4个边长为5厘米的小正方形，再将这16个小正方形分别切割成4个边长为2厘米的小正方形。

这样一来，我们一共得到了4+16+64=84个边长为整数的小正方形，这就是最少的切割方式。

这个妙解的关键在于，我们找到了一个边长较长的小正方形（边长为10厘米），然后用它去填充整个大正方形。

这样一来，我们可以减少很多不必要的切割，从而得到了最少的切割方式。

同时，这个妙解也体现了数学中的“分治”思想，即将一个大问题分解成若干个小问题来解决。

初中正方体经典题目
正方体是一种具有六个面都是正方形的立体图形。

在初中数学中，经常会出现与正方体相关的题目，通过解决这些题目可以加深对正方体性质的理解。

下面是一些初中正方体的经典题目：
1. 正方体的面
- 一个正方体有多少个面？
- 一个正方体有多少个顶点？
- 一个正方体有多少条边？
- 一个正方体中，相对的两个面有什么特点？
- 一个正方体中，不相邻的两个面有什么特点？
2. 正方体的体积和表面积
- 已知一个正方体的边长为a，则它的体积是多少？表面积又是多少？
- 已知一个正方体的体积为V，则它的边长和表面积分别是多少？
- 若正方体的体积增大一倍，边长和表面积各增大多少倍？
3. 正方体的对角线
- 若正方体的边长为a，则它的对角线长为多少？
- 若正方体的对角线长为d，则它的边长是多少？
4. 正方体的棱长比例
- 一个正方体的一条棱长为a，另一条棱长为b，求这两条棱长的比值。

5. 正方体的立体角
- 一个正方体的一个顶点上有多少个立体角？
- 一个正方体的全体立体角的和是多少？
注意：以上题目涉及到的数学知识包括正方体的性质、体积计算、表面积计算、直角三角形、勾股定理等。

在解决这些题目时，可以根据已知条件利用相应的数学知识进行推导和计算。

希望以上内容能够帮助到你解决初中正方体的经典题目！。

正方形难题部分1. （2011•牡丹江）如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点0作射线OM、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF=90°，BO、EF交于点P．则下列结论中：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；2（4）AE2+CF2=20P•OB（3）BE＋BF＝OA2. （2011·南充）已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF3.（2009重庆）已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，EB= 5．（1）求证：△APD≌△AEB；（2）探究EB与ED的位置关系，并说明理由；（3）求正方形ABCD的面积4.（2010•南宁）正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，且G为BC的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG的边长为4，则△DEK 的面积为多少？5. 点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．若AB=2，AG=1，则EB为多少？6. （2009·孝感）如图，正方形ABCD 内有两条相交线段MN 、EF ，M 、N 、E 、F 分别在边AB 、CD 、AD 、BC 上．甲同学认为：若MN=EF ，则MN ⊥EF ；乙同学认为：若MN ⊥EF ，则MN=EF ．你认为那个对？7. （2008•无锡）如图，E ，F ，G ，H 分别为正方形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE=BF=CG=DH=31AB ，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为（ ）8. （2007•天门）如图所示，O 为正方形ABCD 的中心，BE 平分∠DBC 交DC 于点E ，延长BC 到点F ，使FC=EC ，连接DF 交BE 的延长线于点H ，连接OH 交DC 于点G ，连接HC ．则下列结论：①OH ∥BF ；②∠CHF=45°；③GH=41BC ；④FH 2=HE•HB ，正确的是那些？9. （2005•太原）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC ，CD 上，如果AE=4，EF=3，AF=5，那么正方形ABCD 的面积等于10.（2005济南）图，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD，小明从顶点A沿着花坛间小路走到长边中点O，再从中点O走到正方形OCDF的中心O1，再从中心O1走到正方形O1GFH的中心O2，又从中心O2走到正方形O2IHJ的中心O3，再从O3走到正方形O3KJP 的中心O4，一共走了31 2 m，11. （2003•河北）如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是多少？12.如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF 分别交CD，CE于H，G求证△DHG为等腰△13（2006•河北）1，一等腰直角三角尺GEF的直角与的重合一起．现保持不动，将三角尺GEF绕斜EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．（1）2，当EF与AB于点M，GF与BD于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF旋转到3所示的位置时，FE的延长线与AB的延长线于点M，BD的延长线与GF的延长线于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．13，正方形OEFG绕着边长为12的正方形ABCD的对角线的交点O旋转，边OE、OG分别交边AD、AB于点M、N．（1）求证：OM=ON；（2）设正方形OEFG的对角线OF与边AB相交于点P，连接PM．若PM=5，试求AM 的长；（3）连接MN，求线段MN长度的最小值，并指出此时线段MN与线段BD的关系．14. （2011•潍坊）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点。