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用函数观点看
一元二次方程
复习
一元二次方程根的情况与b² -4ac的关系
我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.
当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0有两个不相等的实数根
b b 2 4ac x1, 2 . 2a 当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0有两个相等的实数根 : b x1, 2 . 2a 当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0没有实数根
归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为 x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标 是(x1,0),(x2,0)
3.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由 图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是 -3.3 x1=1.3 ,x2=＿＿＿ y
(4)球从飞出到落地要用多少时间?
解：（1）解方程 （3）解方程 h 15=20t-5t² 20.5=20t-5t² t² -4t+3=0 t² -4t+4.1=0 t 1 =1， t 2 =3. ∵（-4）² -4*4.1＜0， 当球飞行1s和2s时， ∴方程无实数根 它的高度为15m。 （4）解方程 （2）解方程 0=20t-5t² 20=20t-5t² t² -4t=0 t² -4t+4=0 t 1 =0， t 2 =4. t 1 = t2 =2. 当球飞行0s和4s时， 当球飞行2s时， 它的高度为20m。 它的高度为0m，即0s飞 出，4s时落回地面。
?
基础练习:
1.不与x轴相交的抛物线是( D )
A y=2x2 – 3
C y= - x2 – 3x
B y= - 2 x2 + 3
D y=-2(x+1)2 - 3
2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x 轴交点情况是( C ) A 无交点 C 有两个交点 B 只有一个交点 D不能确定
y=x2+2x (-2,0) (0,0) x2+2x=0 x1 = -2 x2 =0
y=x2-2x+1 (1,0) x2-2x+1=0 x1 = x2 =1
y=x2-2x+2 图象与x轴没有交点 x2-2x+2=0
没有实数根
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
2a
x y
有两个相等的 解 b x1=x2=
2a
b2-4ac＜0
与x轴没有 交点
O
没有实数根 x
问题1:如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30度 角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考 虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系: h= 20 t – 5 t2 考虑下列问题: (1)球的飞行高度能否达到 15 m? 若能,需要多少时间? (2)球的飞行高度能否达到 20 m? 若能,需要多少时间? (3)球的飞行高度能否达到 20.5 m? 若能,需要多少时 间?
2 2 2
不论m取何值, 抛物线与x轴总有公共点 .
( 2) A(1,0)在抛物线y 0 2 1 m 1 m
2 2 2
2x
2
mx m 上
2
即 m m 2 0, ( m 2)( m 1) 0 m1 2, m2 1 B点坐标为( 2,0)
y=x² -6x+9
（1、0）
x
?
利用二次函数的图象求方程x2-x-3=0的实 数根（精确到0.1）. y 方法: (1)先作出图象; (2)写出交点的坐标; （-1.3、0）、（2.3、0） (3)得出方程的解. x1 =-1.3，x2 =2.3。
1
x
用你学过的一元二次方程的解法来解， 准确答案是什么？
（2、20）
Hale Waihona Puke t?y Y=x² -x+1 观察:下列二次函数的图 象与x轴有公共点吗?如 Y=x² +x-2 y=x² -6x+9 果有,公共点横坐标是多 少?当x取公共点的横坐 x 标时,函数的值是多少? 由此,你得出相应的一 元二次方程的解吗? (1)y=x2+x-2 (2)y=x2-6x+9 (3)y=x2-x+1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
图象与x轴有2个交点 图象与x轴有1个交点 图象与x轴没有交点 x2+2x=0 △>0 x2-2x+1=0 △=0 x2-2x+2=0 △<0
二次函数与一元二次方程
y=x2+2x (-2,0) (0,0) x2+2x=0 x1 = -2 x2 =0
y=x2-2x+1 (1,0) x2-2x+1=0 x1 = x2 =1
Y
△＜0 △=0
△＞0
O
X
判别式： b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c （a≠0）
与x轴有两个不 同的交点 （x1，0） （x2，0）
与x轴有唯一个 交点 ( b ,0)
图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的根
有两个不同的 解x=x1，x=x2
y
O
b2-4ac＞0
x y
O
b2-4ac=0
y=x2-2x+1
图象与x轴有1个交点 (1,0)
y=x2-2x+1
x2-2x+1=0
△=0
x 1 = x 2 =1
二次函数与一元二次方程
y=x2-2x+2
图象与x轴没有交点
y=x2-2x+2
x2-2x+2=0
△<0 没有实数根
二次函数与一元二次方程
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
我们把代数式b 2 4ac叫做方程ax 2 bx c 0a 0的 根的判别式.用" " 来表示.即 b 2 4ac.
二次函数与一元二次方程
y=x2+2x
图象与x轴有2个交点
(-2,0) (0,0)
y=x2+2x
x2+2x=0
△>0
x 1 = -2
x 2 =0
二次函数与一元二次方程
3
-1
o
.
1.3
A X=-1
思考：已知抛物线y=x2 + mx +m – 2 求证: 无论 m取何值,抛物线总与x轴有两个交点.
x
冲击中考:
1.若抛物线 y=x2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则 无解 方程 x2 + bx+ c =0 的根的情况是＿＿＿＿＿.
2.直线 y=2x+1 与抛物线 y= x2 + 4x +3 无 有＿＿＿＿个交点.
?
二次函数与一元二次 方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有 三种情况: b2 – 4ac > 0 (1)有两个交点 (2)有一个交点 b2 – 4ac= 0 (3)没有交点 b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
（1）设y=0得x2+x-2=0 y x1=1，x2=-2 ∴抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共 -x+1 点，公共点的横坐标分别是1和-2， Y=x² 当x取公共的的横坐标的值时，函 Y=x² +x-2 数的值为0. （-2、0） （2）设y=0得x2-6x+9=0 x1=x2=3 ∴抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点， 公共点的横坐标是3当x取公共点的横坐 标的值时，函数的值为0. （3）设y=0得x2-x+1=0 ∵b2-4ac=（-1）2-4*1*1=-3＜0 ∴方程x2-x+1=0没有实数根 ∴抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点
已知二次函数y=x2-mx-m2 （1）求证：对于任意实数m，该二次函数的图像与x轴 总有公共点; （2）该二次函数的图像与x轴有两个公共点A、B，且A 点坐标为（1、0），求B点坐标。
(1)证明 : 令y 0, 得2 x mx m 0
2 2
(m) 4 2 m 9m 0
y=x2-2x+2 图象与x轴没有交点 x2-2x+2=0
没有实数根
二次函数与一元二次方程
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
图象与x轴有2个交点 图象与x轴有1个交点 图象与x轴没有交点 x2+2x=0 △>0 x2-2x+1=0 △=0 x2-2x+2=0 △<0
二次函数与一元二次方程
2 3、已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示,则
2 一元二次方程ax+bx+c=0的解是
Y
X1=0，x2=5
.
0
5
X
知识巩固:
1.抛物线y=2x2-3x-5 与y轴交于点＿＿＿＿,与 (0,-5) x轴交于点 (5/2,0) (-1,0) .
