【创新设计】高中数学苏教版选修2-2练习：章末检测卷(三)(含答案解析)

章末综合测评(三)（时间120分钟,满分160分）一、填空题(本大题共14小题,每小题5分，共70分,请把答案填在题中的横线上）1。

若复数z满足z i＝1－i，则z＝________。

【解析】法一:由z i＝1－i得z＝错误!＝错误!－1＝－1－i。

法二：设z＝a＋b i（a，b∈R)，由z i＝1－i,得（a＋b i）i＝1－i,即－b＋a i＝1－i。

由复数相等的充要条件得错误!即错误!∴z＝－1－i。

【答案】－1－i2。

在复平面内，复数z＝i(1＋3i）对应的点位于第________象限。

【解析】∵z＝i（1＋3i）＝i＋3i2＝－3＋i，∴复数z对应的点为（－3，1）在第二象限.【答案】二3。

(2015·全国卷Ⅱ改编）若a为实数，且（2＋a i）(a－2i)＝－4i,则a＝________。

【解析】∵（2＋a i）（a－2i）＝－4i，∴4a＋（a2－4)i＝－4i。

∴错误!解得a＝0.【答案】04。

设z为纯虚数，且｜z－1－i｜＝1，则z＝________.【解析】设z＝b i（b∈R，b≠0),则｜z－1－i｜＝|(b－1)i－1｜，∴（b－1）2＋1＝1，∴b＝1，则z＝i。

【答案】i5.（2016·辽宁三校高二期末）复数z满足方程｜z－(－1＋i）｜＝4，那么复数z在复平面内对应的点P的轨迹方程是________。

【解析】设z＝x＋y i，由|z－（－1＋i）|＝4得|（x＋1)＋（y －1）i|＝4,即错误!＝4,则（x＋1）2＋（y－1)2＝16.【答案】(x＋1）2＋（y－1）2＝166.在复平面内,若复数（－6＋k2）－（k2－4）i所对应的点位于第三象限，则实数k的取值范围是________.【解析】由已知得错误!∴4<k2<6,∴k∈（－错误!,－2)∪(2，错误!）。

【答案】(－错误!,－2)∪(2,错误!）7。

设a，b∈R,a＋b i＝错误!（i为虚数单位）,则a＋b的值为________。

【创新设计】高中数学苏教版选修2-2练习：1.2.2函数的和、差、积、商的导数（含答案解析）1.2.2 函数的和、差、积、商的导数明目标、知重点 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．导数的运算法则：设两个函数分别为f(x)和g(x)(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)，(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，(3)[Cf(x)]′＝Cf′(x)(C 为常数)，(4)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)g 2(x)(g(x)≠0)．[情境导学]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．对于由四则运算符号连结的两个或两个以上基本初等函数的导数的求解，也是本节要研究的问题．探究点一导数的运算法则思考1 我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x 等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则．思考2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？答 (1)要准确判断函数式的结构特点，选择合适的公式和法则；(2)求导前可以先对解析式适当化简变形，以利于求导；(3)在两个函数积与商的导数运算中，不要出现[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)以及f(x)g(x)′＝f′(x)g′(x)的错误；(4)注意区分两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”；(5)要注意区分参数与变量，例如[a·g(x)]′＝a·g′(x)，运用公式时要注意a′＝0.例1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 3－2x ＋3；(2)y ＝(x 2＋1)(x －1)；(3)y ＝3x －lg x.解(1)y′＝(x 3)′－(2x)′＋3′＝3x 2－2.(2)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1∴y′＝(x 3)′－(x 2)′＋x′－1′＝3x 2－2x ＋1.(3)函数y ＝3x －lg x 是函数f(x)＝3x 与函数g(x)＝lg x 的差．由导数公式表分别得出f′(x)＝3x ln 3，g′(x)＝1xln 10，利用函数差的求导法则可得(3x －lg x)′＝f′(x)－g′(x)＝3x ln 3－1xln 10. 反思与感悟本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形，转化为较易求导的结构形式再求导数．跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 5＋x 7＋x 9x； (2)f(x)＝2－2sin 2x 2. 解(1)∵y ＝x 5＋x 7＋x 9x＝x 2＋x 3＋x 4，∴y′＝(x 2)′＋(x 3)′＋(x 4)′＝2x ＋3x 2＋4x 3.(2)∵f(x)＝2－2sin 2x 2＝1＋cos x ，∴f′(x)＝1′＋(cos x)′＝－sin x.例 2 求下列函数的导数：(1)f(x)＝x·tan x ；(2)f(x)＝x －1x ＋1. 解(1)f′(x)＝(x·tan x)′＝(xsin x cos x)′ ＝(xsin x)′cos x －xsin x(cos x)′cos 2x＝(sin x ＋xcos x)cos x ＋xsin 2x cos 2x ＝sin xcos x ＋x cos 2x . (2)∵f(x)＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1，∴f′(x)＝(1－2x ＋1)′＝(－2x ＋1)′。

第一章 综合能力检测一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．函数y ＝sin(π4－x )的导数为( )A ．－cos(π4＋x )B ．cos(π4－x )C ．－sin(π4－x )D ．－sin(x ＋π4)2．(2009·广东三校联考)函数f (x )＝a ln x ＋x 在x ＝1处取得极值，则a 的值为( ) A.12B ．－1C ．0D ．－123．如果f (x )为定义在R 上的偶函数，且导数f ′(x )存在，则f ′(0)的值为( ) A ．2B ．1C ．0D ．－14．(2009·全国卷Ⅰ)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1B ．2C ．－1D ．－25．已知f (x )＝(x －1)2＋2，g (x )＝x 2－1，则f [g (x )]( ) A ．在(－2,0)上递增 B ．在(0,2)上递增 C ．在(－2，0)上递增 D ．在(0，2)上递增6．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在R 上是增函数，则m 的取值范围是( )A ．m <2或m >4B ．－4<m <－2C ．2<m <4D ．2≤m ≤47．(2009·江西高考)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或78．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1) 9．由y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π所围成图形的面积可表示为( ) A.⎠⎛0π(sin x －cos x )dxC.⎠⎛0π(cos x －sin x )dx10．已知f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )dx ，则f (a )的最大值为( )A ．－12B.19C.29D ．不存在11．(2009·青岛模拟)如右图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，由曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π412．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (b )≤bf (a )B ．bf (a )≤af (b )C ．af (a )≤f (b )D ．bf (b )≤f (a ) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.⎠⎛02(2x －e x )dx ＝________.14．(2009·海淀区模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的导函数y＝f ′(x )的部分图象如右图所示，且导函数f ′(x )有最小值－2，则ω＝________，φ＝________.15．若函数y ＝a (x 3－x )的单调递减区间为(－33，33)，则a 的取值范围是________． 16．物体A 以速度v ＝3t 2＋1在一直线上运动，在此直线上物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v ＝10t 的速度与A 同向运动，当t ＝________ s 时，两物体相遇，相遇时物体A 走过________m.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)(2009·浙江高考)已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；(2)若函数f(x)在区间(－1,1)上不单调．．．，求a的取值范围．18．(本小题满分12分)已知F(x)＝⎠⎛x－1t(t－4)dt，x∈(0，＋∞)．(1)求F(x)的单调区间；(2)求函数F(x)在[1,5]上的最值．19．(本小题满分12分)已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x＝±1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由．20．(本小题满分12分)求函数y＝x3－3ax＋2的极值，并说明方程x3－3ax＋2＝0何时有三个不同的实根？何时有唯一的实根？(其中a>0)21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝13ax3－bx2＋(2－b)x＋1，在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，且0<x1<1<x2<2.(1)证明a>0；(2)求z＝a＋2b的取值范围．22．(本小题满分12分)(2009·湖北黄冈模拟)已知函数f(x)＝12x2－a ln x(a∈R)．(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)求证：当x>1时，12x2＋ln x<23x3.第二章 综合能力检测一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．所有自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段推理( ) A ．正确 B ．推理形式不正确 C ．两个“自然数”概念不一致 D ．两个“整数”概念不一致 2．若a >0，b >0，则有( )A.b 2a >2b －aB.b 2a <2b －aC.b 2a ≥2b －a D.b 2a≤2b －a 3．设S (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n 2，则( )A ．S (n )共有n 项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13B ．S (n )共有n ＋1项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14C ．S (n )共有n 2－n 项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14D ．S (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋144．F (n )是一个关于自然数n 的命题，若F (k )(k ∈N *)真，则F (k ＋1)真，现已知F (7)不真，则有：①F (8)不真；②F (8)真；③F (6)不真；④F (6)真；⑤F (5)不真；⑥F (5)真．其中为真命题的是( )A ．③⑤B ．①②C ．④⑥D ．③④5．若x ，y ∈R ，且2x 2＋y 2＝6x ，则x 2＋y 2＋2x 的最大值为( ) A ．14B ．15C ．16D ．176．设f (x )(x ∈R )为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)等于( )A ．0B ．1 C.52D ．57．若O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC→|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心8．如图所示为某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A 到H 有几条不同的旅游路线可走( )A ．15B ．16C ．17D ．189．对于直角坐标平面内的任意两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)定义它们之间的一种“距离”：||AB ||＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|.给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则||AC ||＋||CB ||＝||AB ||； ②在△ABC 中，若∠C ＝90°，则||AC ||2＋||CB ||2＝||AB ||2； ③在△ABC 中，||AC ||＋||CB ||>||AB ||. 其中真命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．310．已知a ，b ，c ，d 是正实数，P ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋d c ＋d ＋b ，则有( )A ．0<P <1B ．1<P <2C ．2<P <3D ．3<P <411．一个等差数列{a n }，其中a 10＝0，则有a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (1≤n ≤19)．一个等比数列{b n }，其中b 15＝1.类比等差数列{a n }有下列结论，正确的是( )A ．b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 29－n (1≤n ≤29，n ∈N *)B ．b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 29－nC ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 29－n (1≤n ≤29，n ∈N *)D ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 29－n 12．观察数表1 2 3 4 …第一行 2 3 4 5 …第二行 3 4 5 6 …第三行 4 5 6 7 …第四行 … … … …第一列 第二列 第三列 第四列根据数表中所反映的规律，第n 行与第n 列的交叉点上的数应该是( ) A ．2n －1 B ．2n ＋1 C ．n 2－1D ．n 2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若三角形内切圆的半径为r ，三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S ＝12r (a ＋b ＋c )，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则四面体的体积V ＝________.14．若符号“*”表示求实数a 与b 的算术平均数的运算，即a *b ＝a ＋b2，则两边均含有运算符号“*”和“＋”，且对于任意3个实数a 、b 、c 都能成立的一个等式可以是________．15．把数列{2n ＋1}依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数……循环下去，如：(3)，(5,7)，(9,11,13)，(15,17,19,21)，…，则第104个括号内各数字之和为________．16．已知n 次多项式P n (x )＝a 0x n ＋a 1x n －1＋…＋a n －2x 2＋a n －1x ＋a n .如果在一种算法中，计算x k 0(k ＝2,3,4，…，n )的值需要k －1次乘法，计算P 3(x 0)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算P n (x 0)的值共需要________次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：P 0(x )＝a 0，P k ＋1(x )＝xP k (x )＋a k ＋1(k ＝0,1,2，…，n －1)．利用该算法，计算P 3(x 0)的值共需要6次运算，计算P n (x 0)的值共需要________次运算．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)证明对于任意实数x ，y 都有x 4＋y 4≥12xy (x ＋y )2.18．(本小题满分12分)(2009·江苏高考)如右图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F 分别是A 1B ，A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .19．(本小题满分12分)求证：y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a ，y ＝cx 2＋2ax ＋b (a ，b ，c 是互不相等的实数)这三条抛物线中，至少有一条与x 轴有两个交点．20．(本小题满分12分)已知函数f(n)(n∈N*)，满足条件：①f(2)＝2，②f(xy)＝f(x)·f(y)，③f(n)∈N*，④当x>y时，有f(x)>f(y)．(1)求f(1)，f(3)的值；(2)由f(1)，f(2)，f(3)的值，猜想f(n)的解析式；(3)证明你猜想的f(n)的解析式的正确性．21．(本小题满分12分)已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d的等差数列；a20，a21，…a30是公差为d2的等差数列(d≠0)．(1)若a20＝40，求d；(2)试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；(3)续写已知数列，使得a30，a31，a40是公差为d3的等差数列，…，依次类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例)，并进行研究，你能得到什么样的结论？22．(本小题满分12分)对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．如果函数f(x)＝x2＋abx－c(b，c∈N)有且只有两个不动点0,2，且f(－2)<－12.(1)求函数f(x)的解析式；(2)已知各项均不为零的数列{a n}满足4S n·f(1a n)＝1，求数列的通项a n；(3)如果数列{a n}满足a1＝4，a n＋1＝f(a n)，求证当n≥2时，恒有a n<3成立．第三章 综合能力检测一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．一个实数x 与一个虚数y 的和x ＋y 必为( )A ．实数B ．虚数C ．可能实数也可能是虚数D ．纯虚数 2．复数4＋3i1＋2i 的实部是( )A ．－2B ．2C ．3D ．43．复数z ＝m －2i1＋2i (m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上的对应点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若复数a ＋3i1＋2i (a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－2B ．4C ．－6D ．65．若3＋2i 是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0(p ，q ∈R )的一个根，则q 的值是( ) A ．26B ．13C ．6D ．56．已知z 1＝2－5i ，z 2＝－3＋i ，z 1，z 2的对应点分别为P 1，P 2，则向量P 2P 1→对应的复数为( ) A ．－5＋6iB ．5－6iC ．5＋6iD ．－1－4i7．已知m1＋i ＝1＋n i ，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i 的值为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i8．复数z 满足|3z ＋1|＝|z －i|，则复数z 对应点的轨迹是( ) A ．直线B ．正方形C ．圆D ．椭圆9．“复数z ＝12＋32i ”是“z ＋1z ∈R ”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件10．复数－35＋2i 2＋35i ＋(21＋i )2008的虚部为( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i11．设f (n )＝(1＋i 1－i )n ＋(1－i 1＋i )n(n ∈N *)，则集合{x |x ＝f (n )}中的元素有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个12．若复数z ，a ，x 满足x ＝a －z 1－a z，且|z |＝1，则|x |等于( )A ．0B ．1C ．|a |D.12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z 0＝3＋2i ，复数z 满足z ·z 0＝3z ＋z 0，则复数z ＝________. 14．复数z 满足|z ＋2＋2i|＝|z |，那么|z －1＋i|的最小值是________． 15．i 是虚数单位，若1＋7i 2－i＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则乘积ab ＝________.16．对于n 个复数z 1，z 1，…，z n ，如果存在n 个不全为零的实数k 1，k 2，…，k n ，使得k 1z 1＋k 2z 2＋…＋k n z n ＝0，就称z 1，z 2，…，z n 线性相关．若要说明复数z 1＝1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝－2线性相关，那么可取{k 1，k 2，k 3}＝________.(只要写出满足条件的一组值即可)三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)(1)设复数z 1＝1＋i ，z 2＝x ＋2i(x ∈R )．若z 1z 2为实数，求实数x ； (2)计算：(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7－i 11)(4－3i)．18．(本小题满分12分)在复数范围内解方程|z 2|＋(z ＋z )i ＝3－i2＋i .(i 为虚数单位)19．(本小题满分12分)已知z ＝(－1＋3i)(1－i)－(1＋3i)i ，ω＝z ＋a i(a ∈R )，当|ωz |≤2时，求a的取值范围．20．(本小题满分12分)已知z ∈C ，z －1z ＋1是纯虚数，求|z 2－z ＋2|的最小值．21．(本小题满分12分)设虚数z 满足|2z ＋5|＝|z ＋10|. (1)求|z |的值；(2)若z m ＋mz为实数，求实数m 的值；(3)若(1－2i)z 在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求复数z .22．(本小题满分12分)对任意一个非零复数α，定义M α＝{ω|ω＝α2n －1，n ∈N *}．(1)设α是方程x ＋1x ＝2的一个根，试用列举法表示集合M α.若在M α中任取两个元素，求其和为零的概率P ；(2)若集合M α中只有三个元素，试写出满足条件的一个α值，并说明理由．第一章 综合能力检测答案一、选择题：1．解析：y ′＝－cos(π4－x )＝－sin[π2－(π4－x )]＝－sin(π4＋x )． 答案：D2．解析：f ′(x )＝ax ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ，由题知当a ＝－1时，原函数在x ＝1处取得极值． 答案：B3．解析：偶函数的导数为奇函数，即f ′(x )为奇函数，故f ′(0)＝0. 答案：C4．解析：y ′＝1x ＋a ，设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切的切点为(x 0，x 0＋1)，则1x 0＋a ＝1，∴x 0＝1－a ，∴ln(1－a ＋a )＝2－a ，∴e 2－a ＝1， ∴a ＝2. 答案：B5．解析：F (x )＝f [g (x )]＝x 4－4x 2＋6，F ′(x )＝4x 3－8x .令F ′(x )>0，得－2<x <0或x >2，∴F (x )在(－2，0)上递增． 答案：C6．解析：由题意，得f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋(15m 2－2m －7)，由于f ′(x )≥0恒成立，故Δ≤0，解得2≤m ≤4. 答案：D7．解析：设直线与曲线y ＝x 3的切点为P (x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 30y 0x 0－1＝3x 20⇒切线斜率k ＝3x 20＝0或k ＝274. 若k ＝0，切线方程为y ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝ax 2＋154x －9， 消去y ，得ax 2＋154x －9＝0，其判别式Δ＝0⇒a ＝－2564；若k ＝274，切线方程为y ＝274(x －1)，由⎩⎨⎧y ＝274(x －1)，y ＝ax 2＋154x －9消去y ，得ax 2－3x －94＝0，其判别式Δ＝0⇒a ＝－1. 答案：A8． 解析：∵f ′(x )＝－x ＋b x ＋2，由题知，f ′(x )<0在(－1，＋∞)上恒成立，即－x ＋bx ＋2<0，∴b <x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1. ∴b <－1.又当b ＝－1时，f ′(x )＝－x －1x ＋2＝－x (x ＋2)＋1x ＋2＝－(x ＋1)2x ＋2<0，∴b ≤－1. 答案：C9．解析：由y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π所围成的图形，如下图的阴影部分．答案：B10．解析：⎠⎛01(2ax 2－a 2x )dx＝(23ax 3－12a 2x 2)|10＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2＝－12(a 2－43a ＋49)＋29＝－12(a －23)2＋29，∴当a ＝23时，f (a )有最大值29. 答案：C11．解析：根据几何概型的意义，所投的点落在阴影部分的概率是S 阴影S 矩形，由S 阴影＝⎠⎛0πsin xdx ＝(－cos x )|π0＝2，所求概率为S 阴影S 矩形＝22π＝1π. 答案：A 12．解析：设函数F (x )＝xf (x )，∴F ′(x )＝[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )≤0，∴F (x )＝xf (x )在(0，＋∞)上单调递减．∵a <b ，∴F (a )≥F (b )，即af (a )≥bf (b )．又∵0<a <b ，f (b )≥0，∴af (a )≤bf (a )，bf (b )≥af (b )．∴bf (a )≥af (b )． 答案：A二、填空题：13.解析：⎠⎛02(2x －e x )dx ＝(x 2－e x )|20＝4－e 2＋1＝5－e 2. 答案：5－e 214．解析：f ′(x )＝ωcos(ωx ＋φ)， 依题意，得ω＝2,2cos(π3＋φ)＝－1，解得φ＝π3.答案：2 π315．解析：∵y ′＝a (3x 2－1)，令y ′<0，当a >0时，不等式的解集为(－33，33)； 当a <0时，不等式的解集为(－∞，－33)∪(33，＋∞)．∵已知函数y ＝a (x 3－x )在(－33，33)上单调递减， ∴a >0. 答案：a >016．解析：设A 追上B 时，所用的时间为t 0，依题意有s A ＝s B ＋5，即10tdt＋5，t 30＋t 0＝5t 20＋5，即t 0(t 20＋1)＝5(t 20＋1)，解得t 0＝5 s ．所以s A ＝5t 20＋5＝130(m)． 答案：130三、解答题：17．解：(1)由函数f (x )的图象过原点，得b ＝0， 又f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)， f (x )在原点处的切线斜率是－3， 则－a (a ＋2)＝－3，所以a ＝－3，或a ＝1.(2)由f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a ＋23.又f (x )在(－1,1)上不单调，即⎩⎨⎧－1<a <1，a ≠－a ＋23，或⎩⎪⎨⎪⎧－1<－a ＋23<1，a ≠－a ＋23.解得⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <1，a ≠－12，或⎩⎪⎨⎪⎧－5<a <1，a ≠－12，所以a 的取值范围是(－5，－12)∪(－12，1)．18．解：F (x )＝⎠⎛x －1(t 2－4t )dt ＝(13t 3－2t 2)|x －1＝13x 3－2x 2－(－13－2)＝13x 3－2x 2＋73(x >－1)． (1)F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )>0，即x 2－4x >0，得－1<x <0或x >4，由F ′(x )<0，即x 2－4x <0，得0<x <4，∴F (x )的单调递增区间为(－1,0)∪(4，＋∞)，单调递减区间为(0,4)．(2)由(1)知F (x )在[1,4]上递减，[4,5]上递增．又∵F (1)＝13－2＋73＝23，F (4)＝13×43－2×42＋73＝－253，F (5)＝13×53－2×52＋73＝－6，∴F (x )在[1,5]上的最大值为23，最小值为－253. 19．解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，因为x ＝±1是函数f (x )的极值点，所以x ＝±1是方程f ′(x )＝0即3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根．由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－2b3a ＝0，①c3a ＝－1，②又f (1)＝－1，所以a ＋b＋c ＝－1.③ 由①②③，解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)因为f (x )＝12x 3－32x ，所以f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)·(x ＋1)．当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，当－1<x <1时，f ′(x )<0.所以函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数．所以当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1，当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.20．解：函数的定义域为R ，其导函数为y ′＝3x 2－3a .由y ′＝0，得x＝±a ，列表讨论如下：x (－∞，－a ) －a(－a ，a ) a (a ，＋∞) f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值由此可得，函数x ＝－a 处取得极大值2＋2a 32；在x ＝a 处取得极小值2－2a 32.根据列表讨论，可作出函数的草图(如右图所示)，因为极大值f (－a )＝2＋2a 32>0，故当极小值f (a )＝2－2a 32<0，即a >1时，方程x 3－3ax ＋2＝0有三个不同的实根；当极小值f (a )＝2－2a 32>0，即0<a <1时，方程x 3－3ax ＋2＝0有唯一的实根．21．解：求函数f (x )的导数得 f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b .(1)证明：由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，知x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根．所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)． 当x <x 1时，f ′(x )>0，函数为增函数， 由x －x 1<0，x －x 2<0得a >0. (2)在题设下，0<x 1<1<x 2<2等价于⎩⎨⎧f ′(0)>0，f ′(1)<0，f ′(2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧2－b >0，a －2b ＋2－b <0，4a －4b ＋2－b >0.化简得⎩⎪⎨⎪⎧2－b >0，a －3b ＋2<0，4a －5b ＋2>0.此不等式组表示的区域为平面aOb 上三条直线2－b ＝0，a －3b ＋2＝0,4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部，其三个顶点分别为A (47，67)，B (2,2)，C (4,2)．z 在这三点的值依次为167，6,8.所以z 的取值范围为(167，8)．22．解：(1)f ′(x )＝x －ax ，∵x ＝2是一个极值点，∴2－a2＝0.∴a ＝4.此时f ′(x )＝x －4x ＝x 2－4x ＝(x －2)(x ＋2)x.∵f (x )的定义域是{x |x >0}，∴当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0. ∴当a ＝4时，x ＝2是f (x )的极小值点．∴a ＝4. (2)∵f ′(x )＝x －ax，∴当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a >0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝(x －a )(x ＋a )x，令f ′(x )>0有x >a ，∴函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)； 令f ′(x )<0有0<x <a ，∴函数f (x )的单调递减区间为(0，a )． (3)证明：设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，则g ′(x )＝2x 2－x －1x，∵当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x >0，∴g (x )在(1，＋∞)上是增函数． ∴g (x )>g (1)＝16>0.∴当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.第二章 综合能力检测答案一、选择题：1．解析：三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的． 答案：A 2．解析：∵b 2a －(2b －a )＝b 2－2ab ＋a 2a ＝(b －a )2a ≥0，∴b 2a≥2b －a . 答案：C 3．解析：从n 到n 2共有n 2－n ＋1个自然数，即S (n )共有n 2－n ＋1项．故选D. 4．解析：若F (k )真，则F (k ＋1)一定真，其逆否命题为F (k ＋1)不真，则F (k )不真． ∴F (7)不真，则F (6)不真；F (6)不真，则F (5)不真． 答案：A5．解析：x 2＋y 2＋2x ＝x 2＋(6x －2x 2)＋2x ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16≤16. 答案：C6．解析：∵f (x ＋2)＝f (x )＋f (2) ∴令x ＝－1则有 f (1)＝f (－1)＋f (2) ∴f (2)＝2f (1)又∵f (1)＝12，∴f (2)＝1∴f (5)＝f (2＋3)＝f (2)＋f (3) ＝f (2)＋f (2)＋f (1) ＝2f (2)＋f (1)＝2＋12＝52. 答案：C7．解析：OP →＝OA →＋λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)，AP →＝λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)＝λ(e 1＋e 2)，∴AP 是∠A 的内角平分线．答案：B8．解析：这是图论中的一个问题，如果一条一条的去数，由于道路错综复杂，哪些已算过，哪些没有算过就搞不清了，所以我们换一个思路，用分析法来试试．要到H 点，需从F 、E 、G 走过来，F 、E 、G 各点又可由哪些点走过来，……，这样一步步倒推，最后归结到A ，然后再反推过去得到如下的计算法：A 至B 、C 、D 的路数记在B 、C 、D 圆圈内，B 、C 、D 分别到F 、E 、G 的路数亦记在F 、E 、G 圆圈内，最后F 、E 、G 各个路数之和，即得至H 的总路数如答图1所示． 答案：C9．解析：①当点C 在线段AB 上时，可知||AC ||＋||CB ||＝||AB ||，故①是正确的．②取A (0,0)，B (1,1)，C (1,0)，则||AC ||2＝1，||BC ||2＝1，||AB ||2＝(1＋1)2＝4，故②是不正确的．③取A (0,0)，B (1,1)，C (1,0)，证明||AC ||＋||CB ||＝||AB ||，故③不正确．故选B. 10．解析：P ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋dc ＋d ＋b>a a ＋b ＋c ＋d ＋b a ＋b ＋d ＋c ＋c c ＋d ＋a ＋b ＋d c ＋d ＋b ＋a ＝1， P ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋dc ＋d ＋b<a a ＋b ＋b a ＋b ＋c c ＋d ＋d c ＋d ＝2， ∴1<P <2. 答案：B11． 解析：在等差数列{a n }中，a 10＝0，知以a 10为等差中项的项和为0，如a 9＋a 11＝a 8＋a 12＝…＝a 2＋a 18＝a 1＋a 19＝0.而在等比数列{b n }中，b 15＝1，类比地有b 1b 29＝b 2b 28＝…＝b 14b 16＝1.从而类似地总结规律应为各项之积．∵等差数列{a n }中a 10＝0，∴a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a 8＋a 12＝a 9＋a 11＝0. 即：a 19－n ＋a n ＋1＝0， a 18－n ＋a n ＋2＝0， a 17－n ＋a n ＋3＝0， …∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 19－n . ∵b 15＝1，∴b 1b 29＝b 2b 28＝…＝b 14b 16＝1. 即b 29－n b n ＋1＝b 28－n b n ＋2＝…＝b 14b 16＝1.∴b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 29－n (1≤n ≤29，n ∈N *)．故选A.12．解析：根据数表可知，第1行第1列上的数为1，第2行第2列上的数为3，第3行第3列上的数为5，第4行第4列上的数为7，那么，由此可以推导出第n 行第n 列交叉点上的数应该是2n －1. 答案：A二、填空题：13．解析：由平面图形到空间图形的类比过程中，边长→面积，面积→体积． 答案：13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)14．解析：答案不唯一．因为a ＋(b *c )＝a ＋b ＋c 2＝2a ＋b ＋c 2，又(a ＋b )*(a ＋c )＝(a ＋b )＋(a ＋c )2＝2a ＋b ＋c2，因此答案成立．同时：(a *b )＋c ＝(a *c )＋(b *c )；a *(b ＋c )＝(a ＋b )*c ＝(b ＋c )*a ＝(a ＋c )*b ；(a *b )＋c ＝(b *a )＋c 也符合题意． 答案：a ＋(b *c )＝(a ＋b )*(a ＋c )15．解析：前面103个括号中共用了256个数，第104个括号有4个数分别是515,517,519,521，其和为2072. 答案：207216．解析：P n (x 0)＝a 0x n －10＋…＋a n －2x 20＋a n －1x 0＋a n ，共需n 次加法运算，每个小因式中所需乘法运算依次为n ，n －1，…，1.故共需计算次数为n ＋n (n ＋1)2＝12n (n ＋3)．第二种运算中，P 0(x 0)＝a 0，不需要运算，P 1(x 0)＝x 0P 0(x 0)＋a 1，需2次运算．P 2(x 0)＝x 0P 1(x 0)＋a 2，需2＋2次运算，依次往下，P n (x 0)需2n 次运算． 答案：12n (n ＋3) 2n三、解答题：17．证明：(分析法)要证x 4＋y 4≥12xy (x ＋y )2，只需证明2(x 4＋y 4)≥xy (x ＋y )2， 即证2(x 4＋y 4)≥x 3y ＋xy 3＋2x 2y 2.只需x 4＋y 4≥x 3y ＋xy 3与x 4＋y 4≥2x 2y 2同时成立即可． 又知x 4＋y 4－2x 2y 2＝(x 2－y 2)2≥0，即x 4＋y 4≥2x 2y 2成立， 只需再有x 4＋y 4≥x 3y ＋xy 3成立即可． 由于x 4＋y 4－x 3y －xy 3＝(x －y )(x 3－y 3)， ∵x －y 与x 3－y 3同号，∴(x －y )(x 3－y 3)≥0，即x 4＋y 4≥x 3y ＋xy 3成立．∴对于任意实数x ，y 都有x 4＋y 4≥12xy (x ＋y )2成立．18．证明：(1)因为E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，所以EF ∥BC ，EF ⊄面ABC ，BC ⊂面ABC .所以EF ∥平面ABC .(2)因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱， 所以BB 1⊥面A 1B 1C 1，BB 1⊥A 1D ， 又A 1D ⊥B 1C ，所以A 1D ⊥平面BB 1C 1C ， 又A 1D ⊂平面A 1FD ， 所以平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .19．证明：假设三条抛物线均与x 轴无两交点，则Δ1＝4b 2－4ac ≤0，Δ2＝4c 2－4ab ≤0，Δ3＝4a 2－4bc ≤0，∴a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc ≤0，即12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≤0，∴a ＝b ＝c ，与a ，b ，c 是互不相等的实数矛盾．故三条抛物线中，至少有一条与x 轴有两个交点．20．解：(1)∵f (2)＝f (2×1)＝f (2)·f (1)，又f (2)＝2，∴f (1)＝1.又∵f (4)＝f (2·2)＝f (2)·f (2)＝4,2＝f (2)<f (3)<f (4)＝4，且f (3)∈N *.∴f (3)＝3.(2)由f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝3，猜想f (n )＝n (n ∈N *)．(3)用数学归纳法证明：(ⅰ)当n ＝1时，f (1)＝1，函数解析式成立． (ⅱ)假设n ＝k 时，f (k )＝k ，函数解析式成立．①若k ＋1＝2m (m ∈N *)，f (k ＋1)＝f (2m )＝f (2)·f (m )＝2m ＝k ＋1. ②若k ＋1＝2m ＋1(m ∈N *)，f (2m ＋2)＝f [2(m ＋1)]＝f (2)·f (m ＋1)＝2(m ＋1)＝2m ＋2，2m ＝f (2m )<f (2m ＋1)<f (2m ＋2)＝2m ＋2. ∴f (2m ＋1)＝2m ＋1＝k ＋1.即当n ＝k ＋1时，函数解析式成立． 综合(ⅰ)(ⅱ)可知，f (n )＝n (n ∈N *)成立． 21．解：(1)a 10＝10，a 20＝10＋10d ＝40， ∴d ＝3.(2)a 30＝a 20＋10d 2＝10(1＋d ＋d 2)(d ≠0)， a 30＝10[(d ＋12)2＋34]，当d ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，a 30∈[7.5，＋∞)；(3)所给数列可推广为无穷数列{a n }，其中a 1，a 2，…，a 10是首项为1，公差为1的等差数列，当n ≥1时，数列a 10n ，a 10n ＋1，…，a 10(n ＋1)是公差为d n 的等差数列．研究的问题可以是：试写出a 10(n ＋1)关于d 的关系式，并求a 10(n ＋1)的取值范围 研究的结论可以是：由a 40＝a 30＋10d 3＝10(1＋d ＋d 2＋d 3)， 依次类推可得a 10(n ＋1)＝10(1＋d ＋…＋d n ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧10×1－d n ＋11－d ，d ≠1，10(n ＋1)，d ＝1.当d >0时，a 10(n ＋1)的取值范围为(10，＋∞)． 22．解：(1)依题意有x 2＋a bx －c＝x ，化简为(1－b )x 2＋cx ＋a ＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧2＋0＝－c 1－b，2·0＝a 1－b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1＋c 2，代入表达式得f (x )＝x 2(1＋c 2)x －c ，由f (－2)＝－21＋c <－12，得c <3.又因为c ∈N ，b ∈N ，若c ＝0，b ＝1，f (x )＝x 不止有两个不动点，若c ＝1，b ＝32，则f (x )＝x只有一个不动点，所以c ＝2，b ＝2，故f (x )＝x 22(x －1)(x ≠1)．(2)由题设得4S n ·(1a n)22(1a n－1)＝1，得2S n ＝a n －a 2n ，(*) 且a n ≠1，把n －1代入得2S n －1＝a n －1－a 2n －1.(**)由(*)与(**)两式相减得2a n ＝(a n －a n －1)－(a 2n －a 2n －1)，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1＋1)＝0，所以a n ＝－a n －1或a n －a n －1＝－1，把n ＝1代入(*)得2a 1＝a 1－a 21，解得a 1＝0(舍去)或a 1＝－1.由a 1＝－1，a n ＝－a n －1，得a 2＝1，这与a n ≠1矛盾，所以a n －a n －1＝－1，即{a n }是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以a n ＝－n .(3)证明：(采用反证法)假设a n ≥3(n ≥2)，则由(1)知a n ＋1＝f (a n )＝a 2n2a n －2，所以a n ＋1a n ＝a n 2(a n －1)＝12·(1＋1a n －1)≤12(1＋12)＝34<1，即a n ＋1<a n (n ≥2，n ∈N )，有a n <a n －1<…<a 2，而当n ＝2时，a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3，所以a 2<3.这与假设矛盾，故假设不成立，所以a n <3.第三章 综合能力检测答案一、选择题：1．解析：由复数的概念可知x ＋y 仍是虚数． 答案：B2． 解析：4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i)(1－2i)1＋22＝(4＋6)＋(3－8)i5＝2－i. 答案：B3．解析：m －2i 1＋2i ＝(m －2i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝(m －4)－2(m ＋1)i5，对于m 的值，不存在m 使m －4>0且m＋1<0，故对应的点不可能在第一象限． 答案：A4．解析：∵z ＝(a ＋3i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝a ＋65＋(3－2a )i 5.若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋6＝0，3－2a ≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，a ≠32.答案：C5．解析：由于实系数一元二次方程的虚根成对出现，是互为共轭复数的，故另一根为3－2i ，则(3＋2i)·(3－2i)＝q2＝13.故选A.6．解析：∵P 2P 1→＝OP 1→－OP 2→，∴P 2P 1→对应的复数为z 1－z 2＝(2－5i)－(－3＋i)＝5－6i. 答案：B7．解析：由m1＋i ＝1＋n i 得m ＝(1＋i)(1－n i)＝(1＋n )＋(1－n )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1＋n ，0＝1－n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1，∴m ＋n i ＝2＋i. 答案：C8．解析：设z ＝x ＋y i ，则|3x ＋3y i ＋1|＝|x ＋y i －i|. ∴(3x ＋1)2＋9y 2＝x 2＋(y －1)2， 即4x 2＋4y 2＋3x ＋y ＝0.∴复数z 对应点Z 的轨迹为圆．故选C.9．解析：由z ＝12＋32i 可得，z ＋1z ＝12＋32i ＋12－32i ＝1∈R . ∴z ＝12＋32i 是z ＋1z ∈R 的充分条件．但z ＋1z ∈R ⇒|z |＝1z ＝12＋32i ，所以z ＝12＋32i 是z ＋1z∈R 的充分非必要条件． 答案：A10．解析：－35＋2i 2＋35i ＋(21＋i )2008＝i(35i ＋2)2＋35i ＋1i1004＝i ＋1. 答案：B11．解析：f (n )＝(1＋i 1－i )n ＋(1－i1＋i )n ＝i n ＋(－i)n (n ∈N *)，根据i n 取值的周期性，给n 赋值发现集合{x |x ＝f (n )}＝{0，－2,2}，故应选C.12．解析：由|z |＝1，得|z |2＝1，即z ·z ＝1，所以x ＝a －z z z －a z ＝a －zz (z －a )＝－1z＝－z ，所以|x |＝|－z |＝1. 答案：B二、填空题：13．解析：由已知得z ＝z 0z 0－3＝3＋2i 2i ＝1－32i. 答案：1－32i14．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由|z ＋2＋2i|＝|z |得(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝x 2＋y 2，即x ＋y ＋2＝0，点(1，－1)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|1－1＋2|2＝2，∴|z －1＋i|的最小值为 2. 答案： 215．解析：1＋7i 2－i ＝(1＋7i)(2＋i)4＋1＝－1＋3i由－1＋3i ＝a ＋b i 得a ＝－1，b ＝3 ∴ab ＝－3 答案：－316．解析：由k 1z 1＋k 2z 2＋k 3z 3＝0得k 1(1＋2i)＋k 2(1－i)＋k 2·(－2)＝0， 即(k 1＋k 2－2k 3)＋(2k 1－k 2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1＋k 2－2k 3＝0，2k 1－k 2＝0.∴k 1∶k 2∶k 3＝1∶2∶32.(答案不唯一，只需满足1∶2∶32的任何一组都行) 答案：{1,2，32}三、解答题：17．解：(1)z 1z 2＝(1＋i)(x ＋2i)＝x ＋2i ＋x i －2＝(x －2)＋(2＋x )i ，因为z 1z 2是实数，所以x ＋2＝0，所以x ＝－2.(2)原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i)＝2(12－3i －4i 2)＋(28－4i －21i ＋3i 2)＝2(11－7i)＋25(1－i)＝47－39i.18．解：原方程化简为|z |2＋(z ＋z )i ＝1－i ，设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，代入上述方程；得x 2＋y 2＋2x i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，2x ＝－1.解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝±32.所以原方程的解是z ＝－12±32i.19．解：z ＝2＋4i －(1＋3i)i ＝1＋i i ＝－i(1＋i)＝1－i ，ω＝1＋(a －1)i ，ωz ＝1＋(a －1)i1－i＝[1＋(a －1)i](1＋i)2＝2－a ＋a i 2，由|ωz |≤2，得(2－a 2)2＋(a2)2≤2，解得1－3≤a ≤1＋ 3.故a 的取值范围是[1－3，1＋3]．20．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z －1z ＋1＝(x －1)＋y i (x ＋1)＋y i ＝x 2＋y 2－1＋2y i(x ＋1)2＋y 2是纯虚数，∴x2＋y 2＝1且y ≠0，于是－1<x <1.而|z 2－z ＋2|＝|(x ＋y i)2－(x ＋y i)＋2|＝|(x 2－y 2－x ＋2)＋y (2x －1)i|＝(x 2－y 2－x ＋2)2＋y 2(2x －1)2＝8x 2－6x ＋2＝8(x －38)2＋78，∴当x ＝38时，|z 2－z ＋2|取得最小值144. 21．解：(1)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则 (2x ＋5)2＋(2y )2＝(x ＋10)2＋y 2. 化简得x 2＋y 2＝25.∴|z |＝5. (2)∵z m ＋m z ＝x ＋y i m ＋m x ＋y i＝(x m ＋mx x 2＋y 2)＋(y m －myx 2＋y2)i 为实数，∴y m －myx 2＋y 2＝0. 又y ≠0，且x 2＋y 2＝25， ∴1m －m25＝0，解得m ＝±5. (3)(1－2i)z ＝(1－2i)(x ＋y i)＝(x ＋2y )＋(y －2x )i ，依据题意，得x ＋2y ＝y －2x . ∴y ＝－3x .①又∵|z |＝5，即x 2＋y 2＝25.② 由①、②得⎩⎨⎧x ＝102，y ＝－3102或⎩⎨⎧x ＝－102，y ＝3102.∴z ＝102－3102i 或z ＝－102＋3102i. 22．解：(1)解方程x ＋1x ＝2，得x ＝22±22i.当α1＝22＋22i 时，ω＝α2n －11＝(α21)nα1＝[(22＋22i)2]n α1＝in α1.由i n 的周期性知，ω有四个值，n ＝1时，ω＝22＋22i ；n ＝2时，ω＝－22＋22i ；n ＝3时，ω＝－22－22i ；n ＝4是，ω＝22－22i. 当α2＝22－22i 时，ω＝α2n －12＝(α22)n α2＝(－i)nα2.当n ＝1时，ω＝22－22i ；n ＝2时，ω＝－22－22i ；n ＝3时，ω＝－22＋22i ；n ＝4时，ω＝22＋22i.∴不论α＝22＋22i 还是α＝22－22i ，都有 M α＝{22＋22i ，22－22i ，－22＋22i ，－22－22i}，P ＝2C 24＝13. (2)取α＝－12＋32i ，则α3＝1，α5＝－12－32i ，于是M α＝{α，α3，α5}＝{－12＋32i,1，－12－32i}．(或取α＝－12－32i ，则α3＝1，α5＝－12＋32i)。

综合检测卷(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________. 答案 －1＋3i解析 (－1＋i)(2－i)＝－2＋3i －i 2＝－1＋3i.2．演绎推理“因为对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)是增函数，而函数y ＝log 12x 是对数函数，所以y ＝log 12x 是增函数”所得结论错误的原因是________．答案 大前提错误解析 对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)，当a >1时是增函数，当0<a <1时是减函数，故大前提错误．3．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为________． 答案 a ，b 都不能被3整除解析 “至少有一个”的否定为“一个也没有”．4．i 为虚数单位，复平面内表示复数z ＝－i 2＋i 的点在第________象限．答案 三解析 因为z ＝－i 2＋i ＝－i (2－i )5＝－15－25i ，所以复平面内表示复数z ＝－i 2＋i 的点在第三象限．5．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系为________． 答案 P <Q解析 要比较P 与Q 的大小，只需比较P 2与Q 2的大小，只需比较2a ＋7＋2a (a ＋7)与2a＋7＋2(a ＋3)(a ＋4)的大小，只需比较a 2＋7a 与a 2＋7a ＋12的大小，即比较0与12的大小，而0<12，故P <Q .6．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且(x －1)f ′(x )>0，a ＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 c >a >b解析 因为(x －1)f ′(x )>0，所以当x >1，f ′(x )>0，即函数y ＝f (x )在(1，＋∞)上是增函数．又f (x )＝f (2－x )，所以a ＝f (0)＝f (2)，b ＝f (12)＝f (32)，所以c >a >b .7．设f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f (x )的单调递增区间为________． 答案 (2，＋∞)解析 f (x )定义域为(0，＋∞)，又由f ′(x )＝2x －2－4x ＝2(x －2)(x ＋1)x >0，解得－1<x <0或x >2，所以f ′(x )>0的解集为(2，＋∞)．8．设x ，y ，z 都是正数，则三个数x ＋1y ，y ＋1z ，z ＋1x 的值说法正确的是________．①都小于2 ②至少有一个不大于2 ③至少有一个不小于2 ④都大于2 答案 ③解析 假设这三个数都小于2， 即x ＋1y <2，y ＋1z <2，z ＋1x <2，则(x ＋1y )＋(y ＋1z )＋(z ＋1x)<6，又由基本不等式x >0，y >0，z >0时，(x ＋1y )＋(y ＋1z )＋(z ＋1x )≥2x ·1x＋2y ·1y＋2z ·1z＝6，与假设矛盾．故选③.9．曲线f (x )＝x 3＋x －2在点P 处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 的坐标为________． 答案 (1,0)或(－1，－4)解析 设点P 的坐标为(a ，b )，因为f ′(x )＝3x 2＋1，所以点P 处的切线的斜率为f ′(a )＝3a 2＋1，又切线平行于直线y ＝4x －1，所以3a 2＋1＝4，解得a ＝±1. 当a ＝1时，由P (a ，b )为曲线f (x )＝x 3＋x －2上的点， 得b ＝0；当a ＝－1时，同理可得b ＝－4，所以点P 的坐标为(1,0)或(－1，－4)．10．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c ，类比这个结论可知：四面体S —ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S —ABC 的体积为V ，则R ＝________. 答案3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析 设四面体的内切球的球心为O ， 则球心O 到四个面的距离都是R ， 所以四面体的体积等于以O 为顶点， 分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V 四面体S —ABC ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.11．若复数z ＝cos θ－sin θi 所对应的点在第四象限，则θ为第________象限角． 答案 一解析 由已知得⎩⎨⎧cos θ>0－sin θ<0，∴θ为第一象限角．12．变速直线运动的物体的速度为v (t )＝1－t 2(m/s)(其中t 为时间，单位：s)，则它在前2 s 内所走过的路程为________m. 答案 2解析 由1－t 2≥0得－1≤t ≤1， 所求路程为s ＝⎠⎛01v (t )d t －⎠⎛12v (t )d t ＝⎠⎛1(1－t 2)d t －⎠⎛12(1－t 2)d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫t －t 3310－⎪⎪⎝⎛⎭⎫t －t 3321＝2(m)． 13.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－3，3]解析 依题意可知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是单调减函数，所以f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，则Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.14．设函数f (x )＝e x ＋x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，若存在b ∈[0,1]使f (f (b ))＝b 成立，则a 的取值范围是________． 答案 [1，e]解析 若存在b ∈[0,1]使f (f (b ))＝b 成立， 则A (b ，f (b ))，A ′(f (b )，b )都在y ＝f (x )的图象上． 又f (x )＝e x ＋x －a 在[0,1]上单调递增，∴(x A ′－x A )(y A ′－y A )≥0， 即(f (b )－b )(b －f (b ))≥0， ∴(f (b )－b )2≤0，∴f (b )＝b . ∴f (x )＝x 在x ∈[0,1]上有解， 即e x ＋x －a ＝x 在[0,1]上有解，∴a ＝e x ＋x －x 2，x ∈[0,1]． 令φ(x )＝e x ＋x －x 2，x ∈[0,1] 则φ′(x )＝e x ＋1－2x ≥0，x ∈[0,1]，∴φ(x )在[0,1]上单调递增，又φ(0)＝1，φ(1)＝e ， ∴φ(x )∈[1，e]，即a ∈[1，e]． 二、解答题(本大题共6小题，共90分) 15．(14分)已知z ＝1＋i.(1)设ω＝z 2＋3z －4，求复数ω；(2)如果z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，求实数a ，b 的值．解 (1)由z ＝1＋i ，得ω＝z 2＋3z －4＝(1＋i)2＋3(1＋i )－4 ＝2i ＋3(1－i)－4＝－1－i. (2)由z ＝1＋i ，有z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝(1＋i )2＋a (1＋i )＋b (1＋i )2－(1＋i )＋1＝(a ＋b )＋(a ＋2)i i ＝(a ＋2)－(a ＋b )i.由题设条件知(a ＋2)－(a ＋b )i ＝1－i.根据复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝1，－(a ＋b )＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.16.(14分)已知a >5，求证：a －5－a －3<a －2－a . 证明 要证a －5－a －3<a －2－a ， 只需证a －5＋a <a －3＋a －2， 只需证(a －5＋a )2<(a －3＋a －2)2， 只需证2a －5＋2a 2－5a <2a －5＋2a 2－5a ＋6，只需证a 2－5a <a 2－5a ＋6，只需证a 2－5a <a 2－5a ＋6， 只需证0<6. 因为0<6恒成立， 所以a －5－a －3<a －2－a 成立．17．(14分)在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3，求a 2、a 3、a 4的值，由此猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．解 a 1＝12＝36，a 2＝37，a 3＝38，a 4＝39，猜想a n ＝3n ＋5，下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝31＋5＝12，猜想成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立， 即a k ＝3k ＋5.则当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝3a k a k ＋3＝3·3k ＋53k ＋5＋3＝3(k ＋1)＋5，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立， 由①②知，对n ∈N *，a n ＝3n ＋5都成立．18.(16分)已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ，且其中任意两边长均不相等．若1a ，1b ，1c 成等差数列． (1)比较b a与cb的大小，并证明你的结论． (2)求证：B 不可能是钝角． (1)解 大小关系为b a<c b ， 证明如下：要证b a <c b， 只需证b a <c b，由题意知a 、b 、c >0， 只需证b 2<ac ， ∵1a ，1b ，1c 成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c ≥21ac ， ∴b 2≤ac ，又a 、b 、c 任意两边均不相等， ∴b 2<ac 成立．故所得大小关系正确．(2)证明 假设B 是钝角，则cos B <0， 而cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac >2ac －b 22ac >ac －b 22ac >0.这与cos B <0矛盾，故假设不成立． ∴B 不可能是钝角．19.(16分)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋k2x 2(k ≥0)．(1)当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )的单调区间．解 (1)当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2， f ′(x )＝11＋x－1＋2x . 由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.(2)f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x，x ∈(－1，＋∞)．当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x .所以，在区间(－1,0)上，f ′(x )>0； 在区间(0，＋∞)上，f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是(－1,0)， 单调递减区间是(0，＋∞)．当0<k <1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x ＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk>0.所以，在区间(－1,0)和(1－kk，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(0，1－kk)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1,0)和(1－kk ，＋∞)，单调递减区间是(0，1－kk )．当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x.故f (x )的单调递增区间是(－1，＋∞)． 当k >1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x ＝0，得x 1＝1－kk∈(－1,0)，x 2＝0.所以，在区间(－1，1－kk )和(0，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(1－kk，0)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1，1－kk )和(0，＋∞)，单调递减区间是(1－kk，0)．20．(16分)设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)． (1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解 (1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ， 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x .令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3. 当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0， 故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知，f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3.。

明目标、知重点 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法(1)如果当n取第一个值n0(例如n0＝1,2等)时结论正确；(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确．那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立．2．应用数学归纳法时应注意几点(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的数学命题．(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．(3) 步骤②的证明必须以“假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时结论成立”为条件．[情境导学]多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩时将骨牌按一定间距排列成行，保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必然导致第三块骨牌倒下…，最后不论有多少块骨牌都能全部倒下．请同学们思考所有的骨牌都一一倒下蕴涵怎样的原理？探究点一数学归纳法的原理思考1多米诺骨牌游戏给你什么启示？你认为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？答(1)第一张牌被推倒；(2)任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下．结论：多米诺骨牌会全部倒下．所有的骨牌都倒下，条件(2)给出了一个递推关系，条件(1)给出了骨牌倒下的基础．思考2对于数列{a n}，已知a1＝1，a n＋1＝a n1＋a n，试写出a1，a2，a3，a4，并由此作出猜想．请问这个结论正确吗？怎样证明？ 答 a 1＝1，a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14，猜想a n ＝1n (n ∈N *)．以下为证明过程：(1)当n ＝1时，a 1＝1＝11，所以结论成立．(2)假设当n ＝k(k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝1k ，则当n ＝k ＋1时a k ＋1＝a k1＋a k(已知)＝1k1＋1k(代入假设) ＝1k k ＋1k (变形) ＝1k ＋1(目标)， 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由(1)(2)可得，对任意的正整数n 都有a n ＝1n 成立．思考3 你能否总结出上述证明方法的一般模式？答 一般地，证明一个与正整数n 有关的命题P(n)，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；(2)(归纳递推)假设当n ＝k(k≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立． 上述证明方法叫做数学归纳法．思考4 用数学归纳法证明1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2，如采用下面的证法，对吗？若不对请改正．证明：(1)n ＝1时，左边＝1，右边＝12＝1，等式成立． (2)假设n ＝k 时等式成立， 即1＋3＋5＋…＋(2k －1)＝k 2，则当n ＝k ＋1时，1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋1)×[1＋(2k ＋1)]2＝(k ＋1)2等式也成立．由(1)和(2)可知对任何n ∈N *等式都成立．答 证明方法不是数学归纳法，因为第二步证明时，未用到归纳假设．从形式上看这种证法，用的是数学归纳法，实质上不是，因为证明n ＝k ＋1正确时，未用到归纳假设，而用的是等差数列求和公式．探究点二 用数学归纳法证明等式 例 1 用数学归纳法证明12＋22＋…＋n 2＝n(n ＋1)(2n ＋1)6(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝1×(1＋1)×(2×1＋1)6＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k(k ∈N *)时等式成立，即 12＋22＋…＋k 2＝k(k ＋1)(2k ＋1)6，那么，12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2 ＝k(k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2＝k(k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)26＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]6，即当n ＝k ＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立．反思与感悟 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关．由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．跟踪训练1 求证：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n (n ∈N *)．证明 当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，所以等式成立． 假设n ＝k(k ∈N *)时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k 成立．那么当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12(k ＋1)－1－12(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12(k ＋1)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋[1k ＋1－12(k ＋1)]＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1(k ＋1)＋k ＋12(k ＋1)，所以n ＝k ＋1时，等式也成立．综上所述，对于任何n ∈N *，等式都成立． 探究点三 用数学归纳法证明数列问题例 2 已知数列11×4，14×7，17×10，…，1(3n －2)(3n ＋1)，…，计算S 1，S 2，S 3，S 4，根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明． 解 S 1＝11×4＝14；S 2＝14＋14×7＝27；S 3＝27＋17×10＝310；S 4＝310＋110×13＝413.可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n 一致，分母可用项数n 表示为3n ＋1.于是可以猜想S n ＝n 3n ＋1.下面我们用数学归纳法证明这个猜想． (1)当n ＝1时，左边＝S 1＝14，右边＝n 3n ＋1＝13×1＋1＝14，猜想成立．(2)假设当n ＝k(k ∈N *)时猜想成立，即11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＝k 3k ＋1，那么，11×4＋14×7＋17×10＋…＋1(3k －2)(3k ＋1)＋1[3(k ＋1)－2][3(k ＋1)＋1] ＝k 3k ＋1＋1(3k ＋1)(3k ＋4)＝3k 2＋4k ＋1(3k ＋1)(3k ＋4) ＝(3k ＋1)(k ＋1)(3k ＋1)(3k ＋4) ＝k ＋13(k ＋1)＋1， 所以，当n ＝k ＋1时猜想也成立．根据(1)和(2)，可知猜想对任何n ∈N *都成立．反思与感悟 归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法，数学归纳法是“完全归纳”的一种科学方法，对于无穷尽的事例，常用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法给予证明，这就是“归纳——猜想——证明”的基本思想．跟踪训练2 数列{a n }满足S n ＝2n －a n (S n 为数列{a n }的前n 项和)，先计算数列的前4项，再猜想a n ，并证明． 解 由a 1＝2－a 1， 得a 1＝1；由a 1＋a 2＝2×2－a 2， 得a 2＝32；由a 1＋a 2＋a 3＝2×3－a 3， 得a 3＝74；由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2×4－a 4， 得a 4＝158.猜想a n ＝2n －12n －1.下面证明猜想正确：(1)当n ＝1时，由上面的计算可知猜想成立． (2)假设当n ＝k 时猜想成立， 则有a k ＝2k －12k －1，当n ＝k ＋1时，S k ＋a k ＋1＝2(k ＋1)－a k ＋1，∴a k ＋1＝12[2(k ＋1)－S k ]＝k ＋1－12(2k －2k －12k －1)＝2k ＋1－12(k ＋1)－1， 所以，当n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)和(2)可知，a n ＝2n －12n －1对任意正整数n 都成立．1．若命题A(n)(n ∈N *)在n ＝k(k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则下列说法正确的是________． ①命题对所有正整数都成立；②命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立；③命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立． 答案 ③解析 由已知得n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有n ＝n 0＋1时命题成立；在n ＝n 0＋1时命题成立的前提下，又可推得n ＝(n 0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知③正确． 2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a 2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a(a≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为________． 答案 1＋a ＋a 2＋a 33．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k(k ∈N *)时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n ∈N *，等式都成立． 上述证明的错误是________． 答案 未用归纳假设 解析 本题在由n ＝k 成立， 证n ＝k ＋1成立时， 应用了等比数列的求和公式， 而未用上假设条件， 这与数学归纳法的要求不符．4．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式(1＋13)(1＋15)·…·(1＋12n －1)>2n ＋12均成立．证明 (1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝52.∵左边>右边，∴不等式成立．(2)假设n ＝k(k≥2，且k ∈N *)时不等式成立，即 (1＋13)(1＋15)·…·(1＋12k －1)>2k ＋12.则当n ＝k ＋1时，(1＋13)(1＋15)·…·(1＋12k －1)[1＋12(k ＋1)－1]>2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1>4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋32k ＋122k ＋1＝2(k ＋1)＋12.∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n ，不等式都成立． [呈重点、现规律]在应用数学归纳法证题时应注意以下几点：(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障；(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明.一、基础过关1．用数学归纳法证明：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2nn ＋1时，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的项是________________________________________________________________________． 答案11＋2＋3＋…＋k ＋(k ＋1)2．一个与正整数n 有关的命题，当n ＝2时命题成立，且由n ＝k 时命题成立可以推得n ＝k＋2时命题也成立，则下列说法正确的是________． ①该命题对于n>2的自然数n 都成立； ②该命题对于所有的正偶数都成立； ③该命题何时成立与k 取值无关． 答案 ②解析 由n ＝k 时命题成立可以推出n ＝k ＋2时命题也成立．且n ＝2，故对所有的正偶数都成立．3．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n(n －3)条时，第一步验证n ＝________.答案 3解析 因为是证凸n 边形，所以应先验证三角形．4．若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N *)，则n ＝1时f(n)是________．答案 1＋12＋135．已知f(n)＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则f(n)共有________项，且f(2)＝________.答案 n 2－n ＋1 12＋13＋14解析 观察分母的首项为n ， 最后一项为n 2，公差为1， ∴项数为n 2－n ＋1.6．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算a 2，a 3，a 4，归纳推测出{a n }的通项a n ＝________. 答案26n －5解析 a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，…，可推测a n ＝26n －5. 7．用数学归纳法证明(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1n ＋2)＝2n ＋2(n ∈N *)．证明 (1)当n ＝1时，左边＝1－13＝23，右边＝21＋2＝23，等式成立．(2)假设当n ＝k(k≥1，k ∈N *)时等式成立，即 (1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)＝2k ＋2，当n ＝k ＋1时，(1－13)(1－14)(1－15)…(1－1k ＋2)·(1－1k ＋3)＝2k ＋2(1－1k ＋3)＝2(k ＋2)(k ＋2)(k ＋3)＝2k ＋3， 所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)(2)可知，对于任意n ∈N *等式都成立． 二、能力提升8．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n)＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式为________． 答案 2(2k ＋1) 解析 n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k)·(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1)．9.已知f(n)＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n －1(n ∈N *)，则f(k ＋1)＝______________________.答案 f(k)＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2－1k ＋110．证明：假设当n ＝k(k ∈N *)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ，那么2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时等式也成立．因此对于任何n ∈N *等式都成立．以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n(n ∈N *)”的过程中的错误为________________________________________________________________________． 答案 缺少步骤归纳奠基11．用数学归纳法证明12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n(n ＋1)2.证明 (1)当n ＝1时，左边＝1， 右边＝(－1)1－1×1×22＝1，结论成立．(2)假设当n ＝k 时，结论成立．即12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＝(－1)k －1·k(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，12－22＋32－42＋…＋(－1)k －1k 2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k －1·k(k ＋1)2＋(－1)k (k ＋1)2＝(－1)k ·(k ＋1)·－k ＋2k ＋22＝(－1)k ·(k ＋1)(k ＋2)2.即n ＝k ＋1时结论也成立．由(1)(2)可知，对一切正整数n 都有此结论成立．12.已知数列{a n }的第一项a 1＝5且S n －1＝a n (n≥2，n ∈N *)，S n 为数列{a n }的前n 项和． (1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式． (1)解 a 2＝S 1＝a 1＝5，a 3＝S 2＝a 1＋a 2＝10， a 4＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝5＋5＋10＝20，猜想a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5 (n ＝1)5×2n －2， (n≥2，n ∈N *). (2)证明 ①当n ＝2时，a 2＝5×22－2＝5，公式成立．②假设n ＝k(k≥2，k ∈N *)时成立， 即a k ＝5×2k －2，当n ＝k ＋1时，由已知条件和假设有 a k ＋1＝S k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝5＋5＋10＋…＋5×2k －2.＝5＋5(1－2k －1)1－2＝5×2k －1.故n ＝k ＋1时公式也成立．由①②可知，对n≥2，n ∈N *，有a n ＝5×2n －2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5 (n ＝1)5×2n －2 (n≥2，n ∈N *). 三、探究与拓展13.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－na n (n ∈N *)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 解 (1)计算得a 1＝12；a 2＝16；a 3＝112；a 4＝120.(2)猜想：a n ＝1n(n ＋1).下面用数学归纳法证明①当n ＝1时，猜想显然成立．②假设n ＝k(k ∈N *)时，猜想成立，即a k ＝1k(k ＋1). 那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1， 即S k ＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1.又S k ＝1－ka k ＝k k ＋1， 所以k k ＋1＋a k ＋1＝1－(k ＋1)a k ＋1， 从而a k ＋1＝1(k ＋1)(k ＋2)＝1(k ＋1)[(k ＋1)＋1]. 即n ＝k ＋1时，猜想也成立． 故由①和②，可知猜想成立．。

章末分层突破[自我校对]①－1 ②a ＝c ，b ＝d ③z ＝a －bi ④Z(a ，b)⑤O Z →⑥(a ＋c)＋(b ＋d)I ⑦(a －c)＋(b －d)i______________________________________________________________________________________________ _______________________________________________数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提.两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义.复数z ＝log 3(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)，当x 为何实数时，(1)z ∈R ；(2)z 为虚数.【精彩点拨】 根据复数的分类列方程求解.【规范解答】 (1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以⎩⎨⎧x 2－3x －3>0， ①log 2(x －3)＝0， ②x －3>0， ③ 由②得x ＝4，经验证满足①③式. 所以当x ＝4时，z ∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以⎩⎨⎧ x 2－3x －3>0，①log 2(x －3)≠0， ②x －3>0， ③由①得x>3＋212或x<3－212. 由②得x ≠4，由③得x>3.所以当x>3＋212且x ≠4时，z 为虚数. [再练一题]1.(1)复数z ＝|(3－i)i|＋i 5(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数为________.(2)设z ＝11＋i＋i ，则|z|＝________. 【01580071】【解析】 (1)∵(3－i)i ＝3i ＋1，∴|(3－i)i|＝|3i ＋1|＝2 ∴z ＝2＋i 5＝2＋i ，∴复数z 的共轭复数为2－i.(2)z ＝11＋i ＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，则|z|＝12＝22. 【答案】 (1)2－i (2)22(i 2＝－1)，除法运算注意应用共轭的性质z ·z 为实数.(1)若i(x ＋yi)＝3＋4i ，(x ，y ∈R)，则复数x ＋yi 的模是________.(2)已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则zz 的值为________. 【精彩点拨】 (1)先利用复数相等求x ，y ，再求模；(2)先求z ，进而求z ，再计算zz .【规范解答】 (1)法一：因为i(x ＋yi)＝3＋4i ，所以x ＋yi ＝3＋4i i＝(3＋4i )(－i )i (－i )＝4－3i ，故|x ＋yi|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5. 法二：因为i(x ＋yi)＝3＋4i ，所以－y ＋xi ＝3＋4i ，所以x ＝4，y ＝－3，故|x ＋yi|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5.法三：因为i(x ＋yi)＝3＋4i ，所以(－i)i(x ＋yi)＝(－i)·(3＋4i)＝4－3i ，即x ＋yi ＝4－3i ，故|x ＋yi|＝|4－3i|＝42＋(－3)2＝5.(2)因为(1＋2i)z ＝4＋3i ，所以z ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )5＝2－i ，所以z ＝2＋i ，所以z z＝2＋i 2－i ＝(2＋i )25＝35＋45i. 【答案】 (1)5 (2)35＋45i [再练一题]2.(1)(2014·四川高考)复数2－2i 1＋i ＝________. (2)(2015·山东实验中学三模)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 014＝________.。

第二章 章末检测1、观察下列各式：22334455134711a b a b a b a b a b ＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，…，则1010a b ＋＝（ ）A. 28B. 76C. 123D. 1992、用反证法证明命题:“若,N,a b ab ∈能被3整除,那么,a b 中至少有一个能被3整除”时,假设应为( )A.,a b 都能被3整除B.,a b 都不能被3整除C.,a b 不都能被3整除D.a 不能被3整除3、《论语·子路》篇中说:“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足”,所以,名不正,则民无所措手足.上述推理用的是( )A.类比推理B.归纳推理C.演绎推理D.—次三段论4、下面是一段“三段论”推理过程:若函数()f x 在(),a b 内可导且单调递增,则在(),a b 内, ()'0f x >恒成立.因为()3f x x =在()1,1-内可导且单调递增,所以在()1,1-内,()230f x x ='>恒成立,以上推理中( )A.大前提错误B.小前提错误C.结论正确D.推理形式错误5、证明命题:“()1x xf x e e =+在()0,+∞上是增函数”,现给出的证法如下:因为()1x x f x e e =+,所以()1'x x f x e e=-, 因为0x >,所以1x e >,101x e <<,所以10x x e e ->,即()0f x '>,所以()f x 在()0,+∞上是增函数,使用的证明方法是( )A.综合法B.分析法C.反证法D.以上都不是6、用数学归纳法证明“111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++”时,由n k =的假设证明1n k =+时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为( )A. 1111221k k k +++++B. 1111122122k k k k +++++++ C. 1112221k k k +++++ D. 11122122k k k ++++++ 7、在证明命题"对于任意角θ,44cos sin cos 2θθθ-="的过程"44cos sin θθ+()()2222cos sin cos sin θθθθ=+-22cos sin θθ=-cos2θ="中,应用了( )A.分析法B.综合法C.分析法和综合法综合使用D.间接证明法8、如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”,它们是由整数的倒数组成的,第n 行有n 个数且两端的数均为()12n n≥,每个数是它下一行左右相邻两数的和,如111122=+,111236=+,1113412=+,则第10行第4个数(从左往右数)为( )A.1360B. 1504C. 1840D. 11260 9、若数列{}n a 是等比数列,则数列{}1n n a a ++ ( )A.一定是等比数列B.一定是等差数列C.可能是等比数列也可能是等差数列D.一定不是等比数列10、求证:>证明:,>,只需证明22>,展开得55+>,即0>,此式显然成立,>.上述证明过程应用了( )A.综合法B.分析法C.综合法、分析法配合使用D.间接证法11、用数学归纳法证明: 422123,2n n n ++++⋯+=其初始值为______,当1n k =+时,其式子的左端应在n k =时的左端再加上_________.12、已知1131,,23n n n a a a a +==+则234,,a a a 的值分别为_______,由此猜想n a =________. 13、已知,,x y R ∈且2,x y +<则,x y 中至多有一个大于1,在用反证法证明时,假设应为__________.14、若三角形的周长为L ,面积为S ,内切圆半径为r ,则有2s r L=,类比此结论,在四面体中,设其表面积为S ,体积为V ,内切球半径为R ,则有__________.15、已知21()(1)bx f x ax +=+(1x a≠-,0a >),且16(1)log 2f =,(2)1f -=. 1.求函数()f x 的表达式;2.已知数列{}n x 的项满足[][][]1(1)1(2)1()n x f f f n =-⋅-⋅⋅-,试求1x 、2x 、3x 、4x ;3.猜想{}n x 的通项.答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：2答案及解析：答案：B解析：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立.而",a b 中至少有一个能被3整除"的反面是;",a b 都不能被3整除",故应假设,a b 都不能被3整除,故选B ．3答案及解析：答案：C解析：这是一个复合三段论,从“名不正”推出“民无所措手足”,连续运用五次三段论,属演绎推理形式.4答案及解析：答案：A解析：()f x 在(),a b 内可导且单调递增,则在(),a b 内, ()'0f x ≥恒成立,故大前提错误.故选A.5答案及解析：答案：A解析：题中命题的证明方法是由所给的条件,利用所学的定理、定义、公式证得要证的结论,故此题的证明方法属于综合法,6答案及解析：答案：D解析：当1n k =+时,右边应为111(1)1(1)2(1)(1)k k k k ++⋯+++++++ 11111.2222122k k k k k =++⋯+++++++ 故D 正确.7答案及解析：答案：B解析：因为证明过程是“从左往右”,即由条件⇒结论.8答案及解析：答案：C解析：设第n 行第 m 个数为(),a n m ,由题意知()17,17a =,()18,18a =,()19,19a =,()110,110a =, ∴()()()11110,29,110,191090a a a =-=-=, ()()()1118,27,18,17856a a a =-=-=, ()()()1119,28,19,18972a a a =-=-=, ∴()()()110,39,210,2360a a a =-=,()()()19,38,29,2252a a a =-=, ∴()()()110,49,310,3840a a a =-=, 则第10行第4个数为1840,故选C.9答案及解析：答案：C解析：设等比数列{}n a 的公比为q ,则1(1)n n n a a a q ++=+.∴当1q ≠-时, {}1n n a a ++一定是等比数列;当1q =-时, 10,n n a a ++=此时为等差数列.10答案及解析：答案：B解析：证明过程中的“为了证明……”,“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的,是分析法的证明模式.11答案及解析：答案：1;()()()k k k +++++⋯+222121解析：代入验证可知n 的初始值为1. n k =时的左端为2123,1k n k +++⋯+=+时的左端为()()()2222123121.k k k k +++⋯++++++⋯++ 故增加的式子为()()()222121.k k k ++++⋯++12答案及解析： 答案：3333,,;7895n + 解析：121133332,1372532a a a ⨯====+++ 同理, 232333,3835a a a ===++ 433,945a ==+ 533,1055a ==+ 猜想3.5n a n =+13答案及解析：答案：x ，y 都大于1解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”,故其对立面为“,x y 都大于1”.14答案及解析： 答案：3V R S= 解析：三角形可分解为三个以内切圆圆心为顶点的三角形,于是有12L r S ⋅=,即2S r L=,四面体可分解为四个以四面体各面为底面,内切球球心为顶点的三棱锥.于是13S R V ⋅⋅=,即3V R S =.15答案及解析：答案：1.由16(1)log 2f =,(2)1f -=解得1a =,0b =,所以21()(1)(1)f x x x =≠-+. 2. 134x =,223x =,358x =,435x =. 3.猜想: 22(1)n n x n +=+*()n N ∈. 数学归纳法证明22(1)n n x n +=+. ①当1n =时,因为134x =,而()1232114+=⨯+, 所以猜想成立. ②假设当()*1,n k k k N =≥∈时,猜想成立,即()221k k x k +=+, 当1n k =+时, ()111k k x x f k +=-+⎡⎤⎣⎦()()22112111k k k ⎡⎤+=-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦()()()()221212212k k k k k +++-+=⋅++ ()()121322211k k k k +++=⋅=+++⎡⎤⎣⎦. 所以当1n k =+时,猜想也成立.所以{}n x 的通项为22(1)n n x n +=+. 解析：1.实际上是用待定系数法求()f x 的解析式.2.体现的则是“归纳-猜想-证明”的思想方法.3.点评:这是一道函数、数列与数学归纳法相结合的综合题,重点是培养我们分析问题和解决问题的能力.由Ruize收集整理。

2020年苏教版选修2-2课后练习（3）一、解答题（本大题共9小题，共108.0分）1.当h无限趋近于0时，无限趋近于多少？无限趋近于多少？2.已知函数，记，，求在区间上的平均变化率，并观察当n不断增大时的变化趋势．3.若，用割线逼近切线的方法求；若，用割线逼近切线的方法求．4.曲线的一条切线的斜率是，求切点的坐标．5.设．函数在区间，，上的平均变化率各是多少？函数在出的瞬时变化率是多少？6.蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为其中为蜥蜴的体温单位：为太阳落山后的时间单位：．从到，蜥蜴的体温下降了多少？从到，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？当时，蜥蜴的体温的瞬时变化率是多少？蜥蜴的体温的瞬时变化率为时的时刻t是多少？精确到7.航天飞机发射后的一段时间内，第ts时的高度，其中h的单位为m，t的单位为s．，分别表示什么？求第1s内的平均速度；求第1s末的瞬时速度；经过多长时间，飞机的速度达到？8.生产某塑料管的利润函数为其中n为工厂每月生产该塑料管的根数，利润的单位为元．求边际利润函数；求n的值，使：解释中n的值的实际意义．9.对于函数，若存在，则当h无限趋近于0时，下列式子各无限趋近于何值？；．-------- 答案与解析 --------1.答案：解：根据题意，，则有，故当h无限趋近于0时，无限趋近于6，，则有；故当h无限趋近于0时，无限趋近于，解析：根据题意，先将式子变形，进而求出h无限趋近于0时，式子的极限值，即可得答案．本题考查变化率的计算，注意极限的定义，属于基础题．2.答案：解：根据题意，函数，则，，则在区间上的平均变化率，当n不断增大时，逐渐接近常数4．解析：根据题意，求出与的值，由变化率公式计算可得在区间上的平均变化率，进而分析可得答案．本题考查变化率的计算，注意变化率公式的应用，属于基础题．3.答案：解：．．解析：根据导数的定义直接计算即可．本题考查了学生对函数导数的定义的记忆和理解．属于基础题．4.答案：解：的一条切线的切点为，由的导数为，可得切线的斜率为，曲线的一条切线的斜率是，即为，解得，，则切点的坐标为．解析：设出切线的切点，求出函数的导数，运用导数的几何意义，可得切线的斜率，由条件解方程可得切点的坐标．本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，以及运算能力，属于基础题．5.答案：解：：，，，，该函数在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为，．解析：利用函数的解析式求出区间两个端点的函数值；利用平均变化率公式求出即可；先求导，再带值计算即可，本题考查函数在某区间上的平均变化率和瞬时变化率，属于基础题6.答案：解：由题意可知，，当时，，当时，，从到，蜥蜴的体温下降了；从到，蜥蜴的体温的平均变化率为：；对求导得：，当时，，对求导得：，令得：，解得：，时刻时，蜥蜴的体温的瞬时变化率为．解析：分别求出和时的蜥蜴的体温，即可得到从到，蜥蜴的体温下降量；利用的结果即可求解；求出，令，即可求出蜥蜴的体温的瞬时变化率；令，求出t的值，即是蜥蜴的体温的瞬时变化率为时的时刻．本题主要考查了导数的实际意义，同时也考查了对应用题的理解能力，做题要认真审题，属于中档题．7.答案：解：，表示初始位置时航天飞机的高度为4m．，表示航天飞机发射1s时的高度为74m．第1s内的平均速度；，第1s末的瞬时速度为；令，解得：，经过，飞机的速度达到．解析：，表示初始位置时航天飞机的高度为同理可得及其意义．第1s内的平均速度；，即可得出第1s末的瞬时速度为；令，解得：t，即可得出结论．本题考查了利用导数研究速度问题、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：解：边际利润函数；由，，化为，解得．由中，即每月生产该塑料管的根数为450时，获得最大利润元．解析：利用导数可得：边际利润函数；由，，利用因式分解即可解得n．由中，即每月生产该塑料管的根数为450时，获得最大利润．本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.答案：解：，，则当h无限趋近于0时，无限趋近于，，又由，则当h无限趋近于0时，无限趋近于解析：根据题意，先将式子变形，结合导数的定义分析可得答案．本题考查函数导数的定义，涉及极限的定义，属于基础题．。

模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把正确答案填在题中的横线上)1.已知复数z ＝5i1＋2i(i 是虚数单位)，则|z |＝________. 【解析】 |z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5i 1＋2i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5i (1－2i )5＝|i ＋2|＝ 5. 【答案】52.若f (x )＝sin α－cos x (α是常数)，则f ′(α)＝________. 【解析】 f ′(x )＝(sin α－cos x )′＝sin x ， ∴f ′(α)＝sin α. 【答案】 sin α3.(2016·重庆一中高二期末)复数z 满足z i －2i ＋1＝0(其中i 为虚数单位)，则z ＝________.【解析】 由z i －2i ＋1＝0得z ＝－1＋2i i ＝(－1＋2i )(－i )i (－i )＝2＋i.【答案】 2＋i4.若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的 解集为________. 【解析】 f ′(x )＝2x －2－4x >0，x 2－x －2x >0.∵x >0，∴(x －2)(x ＋1)>0. ∴x >2.【答案】 (2，＋∞) 5.(2016·淄博质检)设复数z ＝1m ＋5＋(m 2＋2m －15)i 为实数，则实数m 的值是________.【解析】由题意知m2＋2m－15＝0，解之得m＝3或m＝－5.当m＝－5时，1m＋5无意义，所以m＝3.【答案】 36.函数y＝ln x(x>0)的图象与直线y＝12x＋a相切，则a等于________.【导学号：01580074】【解析】y′＝(ln x)′＝1x(x>0)，又y＝ln x的图象与直线y＝12x＋a相切，∴1 x ＝12，∴x＝2，因此，切点P(2，ln 2)在直线y＝12x＋a上，∴ln 2＝1＋a，∴a＝ln 2－1.【答案】ln 2－17.观察下列的图形中小正方形的个数，则第10个图形中有________个小正方形.图1【解析】第n个图形中有小正方形1＋2＋…＋(n＋1)＝(n＋1)(n＋2)2(个)，故第10个图形中有66个小正方形.【答案】668.用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n－1<n(n∈N*，n>1)”时，由n＝k(k>1，k∈N*)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是________.【解析】令f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n－1，∴f(k＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k－1＋12k＋…＋12k＋1－1，因此应增加的项为12k ＋12k＋1＋…＋12k＋1－1，共2k项.【答案】2k9.(2016·天津高考)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a，则a b的值为________.【解析】因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b＋(1－b)i＝a，又a，b∈R，所以1＋b＝a且1－b＝0，得a＝2，b＝1，所以ab＝2.【答案】 210.(2016·咸阳模拟)[n]表示不超过n的最大整数.S1＝[1]＋[2]＋[3]＝3，S2＝[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝10，S3＝[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝21，……那么S n＝________.【解析】S1＝[12]＋[12＋1]＋[12＋2]＝1×3，S2＝[22]＋[22＋1]＋[22＋2]＋[22＋3]＋[22＋4]＝2×5，S3＝[32]＋[32＋1]＋[32＋2]＋[32＋3]＋[32＋4]＋[32＋5]＋[32＋6]＝3×7，观察式子规律，可以得出S n＝[n2]＋[n2＋1]＋[n2＋2]＋…＋[n2＋2n]＝n(2n＋1).【答案】n(2n＋1)11.(2014·湖南高考改编)若0<x1<x2<1，则下列四个结论正确的是________(填序号)①e x2－e x1>ln x2－ln x1；②e x2－e x1<ln x2－ln x1；③x2e x1>x1e x2；④x2e x1<x1e x2.【导学号：01580075】【解析】设f(x)＝e x－ln x(0<x<1)，则f′(x)＝e x－1x＝x e x－1x.令f′(x)＝0，得x e x－1＝0，根据函数y＝e x与y＝1x的图象可知两函数图象交点x0∈(0,1)，因此函数f(x)在(0,1)上不是单调函数，故①②不正确.令g(x)＝e xx(0<x<1)，则g′(x)＝x e x－e xx2＝e x(x－1)x2.当0<x<1时，g′(x)<0，即g(x)在(0,1)上单调递减，∵0<x1<x2<1，∴g(x2)<g(x1)，即e x2x2<e x1x1，∴x2e x1>x1e x2.即③正确.【答案】③12.函数y＝12x2－ln x的单调递减区间是________.【解析】y′＝x－1x＝x2－1x＝(x－1)(x＋1)x(x>0)令y′<0，∵x>0，∴0<x<1，即函数y＝12x2－ln x的单调递减区间是(0,1).【答案】(0,1)13.(2016·大连测试)已知函数f(x)＝e x－2x－1(其中e为自然对数的底数)，则y＝f(x)的图象大致为________(填序号).图2【解析】 依题意得f ′(x )＝e x －2.当x <ln 2时，f ′(x )<0，f (x )是减函数，f (x )>f (ln 2)＝1－2ln 2；当x >ln 2时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，因此对照图象知③正确.【答案】 ③14.观察下列推理过程：∵tan 2 α－1tan α＝2tan 2α－12tan α＝－2tan 2α， ∴tan α－1tan α＝－2tan 2α， ∴tan 2α－1tan 2α＝－2tan 4α， ∴tan 4α－1tan 4α＝－2tan 8α， …由此可化简：tan π31＋2tan 2π31＋4tan 4π31＋8tan 8π31＋16tan 16π31＝________. 【解析】 由推理过程得tan α＝1tan α－2tan 2α，2tan 2α＝2tan 2α－4tan 4α， 4tan 4α＝4tan 4α－8tan 8α，8tan 8α＝8tan 8α－16tan 16α， 16tan 16α＝16tan 16α－32tan 32α，将这五个等式相加，得tan α＋2tan 2α＋4tan 4α＋8tan 8α＋16tan 16α＝1tan α－32tan 32α，令α＝π31，可得原式＝－31tan π31. 【答案】 －31tan π31二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.复数z 1＝3a ＋5＋(a 2－10)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值.【解】 z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a ＋(2a －5)i＝⎝⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13(a ＋5)(a －1)＋(a 2＋2a －15)i.∵z 1＋z 2是实数， ∴a 2＋2a －15＝0， 解得a ＝－5或a ＝3.∵a ＋5≠0，∴a ≠－5，故a ＝3.16.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1. (1)当a ＝－2时，讨论f (x )的单调性；(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围. 【解】 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 3－32x 2＋3x ＋1， f ′(x )＝3x 2－62x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝2－1，x 2＝2＋1.当x ∈(－∞， 2－1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－1)上是增函数； 当x ∈(2－1，2＋1)时，f ′(x )＜0，f (x )在(2－1, 2＋1)上是减函数； 当x ∈(2＋1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(2＋1，＋∞)上是增函数. (2)由f (2)≥0，得a ≥－54. 当a ≥－54，x ∈(2，＋∞)时， f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －2)＞0，所以f (x )在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0. 综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，＋∞.17.(本小题满分14分)设等差数列{a n }的公差为d ，S n 是{a n }中从第2n －1项开始的连续2n －1项的和，即S 1＝a 1， S 2＝a 2＋a 3， S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7， ……S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋…＋a 2n －1， ……若S 1，S 2，S 3成等比数列，问：数列{S n }是否成等比数列？请说明你的理由. 【解】 ∵S 1，S 2，S 3成等比数列， ∴S 1＝a 1≠0，且S 1·S 3＝S 22，由S 1·S 3＝S 22，得a 1(a 4＋a 5＋a 6＋a 7)＝(a 2＋a 3)2，即a 1(4a 1＋18d )＝(2a 1＋3d )2,2a 1d ＝3d 2.∴d ＝0或a 1＝32d . 当d ＝0时，S n ＝2n －1a 1≠0，S n ＋1S n ＝2n a 12n －1a 1＝2(常数)，n ∈N *，{S n }成等比数列； 当a 1＝32d 时，S n ＝a 2n －1＋a 2n －1＋1＋a 2n －1＝2n －1a 2n －1＋2n －1(2n －1－1)2d＝2n －1[a 1＋(2n －1－1)d ]＋2n －1(2n －1－1)2d＝2n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫32d ·2n －1＋a 1－32d ＝32d ·4n －1≠0，S n ＋1S n ＝32d ·4n32d ·4n －1＝4(常数)，n ∈N *，{S n }成等比数列.综上所述，若S 1，S 2，S 3成等比数列，则{S n }成等比数列.18.(本小题满分16分)已知幂函数f (x )＝x －m 2＋2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设函数g (x )＝14f (x )＋ax 3＋92x 2－b (x ∈R )，其中a ，b ∈R ，若函数g (x )仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围.【解】 (1)因为f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数， 所以－m 2＋2m ＋3>0，即m 2－2m －3<0， 所以－1<m <3，又m ∈Z ，所以m ＝0,1,2. 而m ＝0,2时，f (x )＝x 3不是偶函数，m ＝1时， f (x )＝x 4是偶函数， 所以f (x )＝x 4.(2)由(1)知g (x )＝14x 4＋ax 3＋92x 2－b ，则g ′(x )＝x (x 2＋3ax ＋9)，显然x ＝0不是方程x 2＋3ax ＋9＝0的根. 为使g (x )仅在x ＝0处有极值， 必须x 2＋3ax ＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a 2－36≤0，解不等式得a ∈[－2,2]. 这时，g (0)＝－b 是唯一极值，所以a ∈[－2,2].19.(本小题满分16分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n . (1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想. 【解】 (1)由S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1， 因为a n >0，所以a 1＝1.由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0，所以a 2＝2－1，由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3，得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *).证明：①当n ＝1时， a 1＝1－0＝1，命题成立； ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时， a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时， a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ， 即a k ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1 －12⎝⎛⎭⎪⎫k －k －1＋1k －k －1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k ， 所以a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0. 所以a k ＋1＝k ＋1－k ，则n ＝k ＋1时，命题成立. 则①②知，n ∈N *，a n ＝n －n －1.20.(本小题满分16分)设函数f (x )＝a e x ln x ＋b ex －1x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )>1.【解】 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋bx e x －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e.故a ＝1，b ＝2. (2)证明：由(1)知，f (x )＝e x ln x ＋2x e x －1， 从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2e . 设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x . 所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0.故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e .设函数h (x )＝x e －x －2e ，则h ′(x )＝e －x (1－x ). 所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－1e. 综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.。

章末检测卷（三）一、选择题 (本大题共12小题，每题 5 分，共60 分)1． i 是虚数单位，若会合S＝ { － 1,0,1} ，则 ()A ． i ∈ SB ．i 2∈ SC． i 3∈ S D.2∈ Si答案B2． z1＝ (m2＋ m＋ 1)＋ (m2＋ m－ 4)i， m∈ R， z2＝3－ 2i，则“m＝ 1”是“z1＝ z2”的 () A ．充足不用要条件 B ．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足又不用要条件答案A由于 z1＝ z2，因此m2＋ m＋ 1＝ 3分析，m2＋ m－ 4＝－ 2解得 m＝ 1 或 m＝－ 2，因此 m＝ 1 是 z1＝ z2的充足不用要条件．3＋ i 等于()3． i 是虚数单位，复数1－iA ． 1＋ 2iB ．2＋ 4iC．－ 1－ 2i D． 2－ i答案A分析3＋i ＝(3 ＋i)(1 ＋ i) ＝2＋ 4i＝1＋2i.应选A.1－ i (1－ i)(1 ＋ i)2a－ i是纯虚数，则 a 等于 () 4．已知 a 是实数，1＋iA ． 1B．－ 1C. 2D．－ 2答案A分析a－i ＝(a－i)(1 － i) ＝(a－ 1)－ (a＋ 1)i是纯虚数，1＋ i (1＋ i)(1 － i)2则 a－ 1＝0， a＋ 1≠0，解得 a＝ 1.5．若 (x－ i)i ＝ y＋2i， x， y∈ R，则复数 x＋ yi 等于 () A ．－ 2＋ i B ．2＋ iC． 1－2i D． 1＋ 2i答案B分析∵ (x － i)i ＝ y ＋ 2i ， xi － i 2＝ y ＋2i ，∴ y ＝ 1， x ＝ 2，∴ x ＋yi ＝ 2＋ i.→ → →→6．在复平面内， O 是原点， OA ，OC ，AB 对应的复数分别为－ 2＋ i ，3＋ 2i,1 ＋ 5i ，那么 BC对应的复数为 ( )A ． 4＋ 7iB ．1＋ 3iC ． 4－4iD ．－ 1＋ 6i答案C分析→ → →由于 OA ， OC ， AB 对应的复数分别为－ 2＋ i,3＋ 2i ， 1＋ 5i ， → → → → → → BC ＝OC － OB ＝ OC － (OA ＋ AB)，→因此 BC 对应的复数为 3＋ 2i －[( －2＋ i) ＋ (1＋ 5i)] ＝ 4－ 4i. 7．若复数 z 知足 (3－ 4i)z ＝ |4＋ 3i|，则 z 的虚部为 ()44A ．－4B ．－5C ．4 D.5答案 D分析 设 z ＝ a ＋ bi ，故 (3－ 4i)(a ＋ bi) ＝ 3a ＋ 3bi － 4ai ＋ 4b ＝ |4＋ 3i|，因此3b － 4a ＝ 043a ＋ 4b ＝ 5；解得 b ＝ .58． i 是虚数单位，若1＋7i＝ a ＋ bi(a ， b ∈ R)，则 ab 的值是 ()2－ iA ．－15B ． 3C ．－ 3D ．15答案 C分析1＋7i ＝(1＋ 7i)(2 ＋ i) ＝－ 1＋ 3i ，2－i5∴ a ＝－ 1，b ＝ 3， ab ＝－ 3.9．若 z 1＝ (x － 2)＋ yi 与 z 2＝ 3x ＋ i(x ， y ∈ R)互为共轭复数，则 z 1 对应的点在 ()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案Cx － 2＝3x分析由 z 1， z 2 互为共轭复数，得，y ＝－ 1x ＝－ 1解得，因此 z 1＝ (x － 2)＋ yi ＝－ 3－ i.y ＝－ 1由复数的几何意义知z 1 对应的点在第三象限．10．已知 f(n)＝ i n －i － n的元素个数是 ()(n ∈ N * ) ，则会合 { f(n)}A ．2 B．3 C．4 D．无数个答案B分析f(n)有三个值0,2i，－ 2i.11．已知复数 z＝3＋i2， z 是 z 的共轭复数，则z·z 等于 () (1－ 3i)11A. 4B. 2C． 1D． 2答案A12．设 f(z) ＝z， z1＝ 3＋ 4i， z2＝－ 2－ i，则 f(z1－ z2)＝ ()A ． 1－ 3iB ．11i － 2C． i － 2D． 5＋ 5i答案D二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分)13．复平面内，若z＝m2(1＋ i)－ m(4＋ i) － 6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是 ________．答案(3,4)分析∵ z＝m2－ 4m＋ (m2－ m－6)i 所对应的点在第二象限，m2－4m<0∴，解得 3<m<4.m2－m－ 6>014．给出下边四个命题：① 0 比－ i 大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③x＋ yi＝ 1＋ i 的充要条件为 x＝ y＝ 1；④假如让实数 a 与 ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．此中真命题的个数是 ________．答案015．已知 0<a<2，复数 z 的实部为 a，虚部为 1，则 |z|的取值范围是 ______．答案(1， 5)分析由题意得 z＝ a＋ i ，依据复数模的定义可知 |z|＝ a2＋ 1.由于 0< a<2，因此 1<a2＋ 1<5，故 1<a2＋ 1< 5.16．以下说法中正确的序号是________．2x－ 1＝ y①若 (2x－ 1)＋ i ＝ y－ (3－ y)i ，此中 x∈ R， y∈ ?C R，则必有；1＝－ (3－ y)② 2＋ i>1 ＋ i；③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在；13⑤若 z＝，则 z ＋ 1 对应的点在复平面内的第一象限．答案⑤2x－ 1＝ y分析由 y∈ ?C R，知 y 是虚数，则不建立，故①错误；两个不全为实数的复1＝－ (3－ y)数不可以比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，31故④错误；⑤中 z ＋1＝i3＋ 1＝i＋ 1，对应点在第一象限，故⑤正确．三、解答题 (本大题共 6 小题，共70 分)22，当 m 为什么值时，17． (10 分 )设复数 z＝ lg( m － 2m－ 2)＋ (m ＋3m＋ 2)i(1) z 是实数？ (2)z 是纯虚数？解 (1)要使复数 z 为实数，需知足m2－ 2m－ 2>0，解得 m＝－ 2 或－ 1.即当 m＝－ 2 或－m2＋ 3m＋ 2＝ 01 时， z 是实数．m2－ 2m－ 2＝ 1(2)要使复数z为纯虚数，需知足2＋3m＋2≠0，m解得 m＝ 3.即当 m＝ 3 时， z 是纯虚数．18． (12 分 )已知复数z1＝ 1－ i， z1·z2＋ z 1＝ 2＋2i ，求复数z2.解由于 z1＝1－ i ，因此z 1＝ 1＋ i ，因此 z1·z2＝ 2＋ 2i － z 1＝2＋ 2i－ (1＋ i) ＝ 1＋ i.设 z2＝ a＋ bi(a， b∈ R)，由 z1·z2＝ 1＋i ，得 (1－ i)( a＋ bi) ＝ 1＋ i，因此 (a＋ b)＋ (b－ a)i＝ 1＋ i，a＋ b＝ 1，解得 a＝0， b＝ 1，因此 z2＝ i.因此b－ a＝ 1(2＋ 2i) 419． (12 分 )计算： (1)－ 3i)5；(1 (2)(2 － i)( － 1＋ 5i)(3 － 4i) ＋2i.解(1)原式＝16(1＋ i) 44(1－ 3i)(1 － 3i)＝16(2i) 2(－ 2－ 2 3i)2 (1－ 3i)＝－64－ 16＝4(1＋ 3i) 2(1－ 3i)(1＋ 3i) ×4－4＝＝－ 1＋3i.(2) 原式＝ (3＋ 11i)(3 － 4i)＋ 2i＝53＋ 21i＋ 2i＝ 53＋ 23i.20． (12 分 )实数 m 为什么值时，复数z＝ (m2＋5m＋ 6)＋(m2－ 2m－ 15)i 对应的点在：(1)x 轴上方；(2)直线 x＋ y＋ 5＝0 上．解 (1)若 z 对应的点在 x 轴上方，则 m2－ 2m－ 15>0，解得 m<－3 或 m>5.(2)复数 z 对应的点为 (m2＋ 5m＋ 6，m2－ 2m－ 15)，∵ z 对应的点在直线x＋ y＋ 5＝ 0 上，∴(m2＋ 5m＋ 6)＋ (m2－ 2m－ 15)＋ 5＝ 0，整理得 2m2＋ 3m－ 4＝ 0，－3± 41解得 m＝4.21． (12 分 )已知复数z 知足 |z|＝2， z2的虚部是 2.(1)求复数 z；(2) 设 z，z2， z－z2在复平面上的对应点分别为A， B， C，求△ ABC 的面积．222 22 解 (1)设 z＝ a＋ bi( a， b∈R) ，则 z ＝ a －b ＋2abi，由题意得 a ＋ b ＝ 2 且 2ab＝2，解得 a＝ b＝ 1 或 a＝b＝－ 1，(2)当 z＝1＋ i 时， z2＝ 2i， z－ z2＝ 1－ i，因此 A(1,1)，B(0,2)， C(1，－ 1)，因此 S△ABC＝ 1.当 z＝－ 1－ i 时， z2＝2i ，z－ z2＝－ 1－ 3i，因此 A(－ 1，－ 1)， B(0,2)， C(－ 1，－ 3)，因此 S△ABC＝ 1.122． (12 分 )设 z1是虚数， z2＝ z1＋z1是实数，且－1≤z2≤ 1.(1)求 |z1|的值以及 z1的实部的取值范围；(2)若ω＝1－z1，求证：ω为纯虚数．1＋ z1(1) 解设 z1＝ a＋ bi(a，b∈ R 且 b≠0)，则 z2＝ z1＋1＝a＋ bi＋1＝ (a＋2a2)＋( b－ 2b2)i. z1a＋ bi a＋ b a＋ b由于 z2是实数， b≠0，于是有 a2＋ b2＝ 1，即 |z1|＝ 1，还可得 z2＝ 2a.11[ －11由－ 1≤z2≤1，得－ 1≤2a≤1，解得－≤a≤，即 z1的实部的取值范围是，]．2222(2) 证明1－ z1＝1－ a－ bi ω＝1＋ z11＋a＋ bi1－ a2－ b2－ 2bi b＝2＋ b 2 ＝－i.(1＋ a)a＋ 111由于 a∈ [－， ] ， b≠0，因此ω为纯虚数．22。

阶段质量检测(三) 数系的扩充与复数的引入 [考试时间：120分钟 试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝________.2．(山东高考改编)若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝________. 3．若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为________．4．已知m1＋i ＝1－n i ，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i 等于________．5．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则满足条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为________． 6．在复平面内，复数2－i1＋i 对应的点位于第________象限．7.5(4＋i )2i (2＋i )＝________. 8．设a 是实数，且a1＋i＋1＋i 2是实数，则a 等于________．9．复数z 满足方程⎪⎪⎪⎪z ＋21＋i ＝4，那么复数z 的对应点P 组成图形为________． 10．已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝________. 11．若复数z 满足|z |－z ＝101－2i，则z ＝________. 12．若u u r OA ＝3i ＋4，u u u r OB ＝－1－i ，i 是虚数单位，则u u u rAB ＝________.(用复数代数形式表示)13．复数z 满足|z ＋1|＋|z －1|＝2，则|z ＋i ＋1|的最小值是________．14．已知关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x －(3m －1)＝0有实根，则纯虚数m 的值是________． 二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)计算： (1)(2＋i )(1－i )21－2i ；(2)4＋5i (5－4i )(1－i ).16．(本小题满分14分)求实数k 为何值时，复数(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)分别是： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．17．(本小题满分14分)已知复数z 满足|z |＝1＋3i －z ，求(1＋i )2(3＋4i )22z 的值．18．(本小题满分16分)已知ω＝－12＋32i.(1)求ω2及ω2＋ω＋1的值；(2)若等比数列{a n }的首项为a 1＝1，公比q ＝ω，求数列{a n }的前n 项和S n .19.(本小题满分16分)已知z ＝a －i1－i (a ∈R 且a ＞0)，复数ω＝z (z ＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于32，求复数ω的模．20．(本小题满分16分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部为2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．答 案1.解析：∵z 1＝2＋i 复平面内对应点(2,1)，又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称， 则z 2的对应点为(－2,1)，则z 2＝－2＋i ， ∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5. 答案：－52．解析：根据已知得a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i. 答案：3＋4i3．解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴z ＝|4＋3i|3－4i ＝5(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝3＋4i 5＝35＋45i ，∴z 的虚部是45.答案：454．解析：m1＋i＝1－n i ，所以m ＝(1＋n )＋(1－n )i ，因为m ，n ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－n ＝0，1＋n ＝m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，m ＝2，即m ＋n i ＝2＋i. 答案：2＋i5．解析：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，设z ＝x ＋y i ，∴z i ＋z ＝x i －y ＋x ＋y i ＝x －y ＋(x ＋y )i ＝4＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝4，x ＋y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.∴z ＝3－i. 答案：3－i6．解析：2－i 1＋i ＝(2－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－3i 12＋12＝12－32i ，对应的点位于第四象限． 答案：四7．解析：5(4＋i )2i (2＋i )＝5(15＋8i )－1＋2i ＝5(15＋8i )(－1－2i )(－1)2＋22＝1－38i.答案：1－38i8．解析：∵a1＋i ＋1＋i 2＝a (1－i )2＋1＋i 2＝⎝⎛⎭⎫a 2＋12＋(1－a )2i 是实数，∴1－a2＝0，即a ＝1.答案：19．解析：⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋21＋i ＝|z ＋(1－i)|＝|z －(－1＋i)|＝4.设－1＋i 对应的点为C (－1,1)，则|PC |＝4，因此动点P 的轨迹是以C (－1,1)为圆心，4为半径的圆．答案：以(－1,1)为圆心，以4为半径的圆 10．解析：由M ∩N ＝{4}，知4∈M ， 故z i ＝4，∴z ＝4i ＝－4i.答案：－4i11．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， ∴|z |－z ＝a 2＋b 2－(a －b i)＝a 2＋b 2－a ＋b i ，101－2i ＝10(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝10(1＋2i )12＋22＝2＋4i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－a ＝2，b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4.∴z ＝3＋4i. 答案：3＋4i12．解析：由于u u r OA ＝3i ＋4，u u u rOB ＝－1－i ，i 是虚数单位， 所以u u u r AB ＝u uu r OB －u u r OA ＝(－1－i)－(3i ＋4)＝－5－4i.答案：－5－4i13．解析：由|z ＋1|＋|z －1|＝2，根据复数减法的几何意义可知，复数z 对应的点到两点(－1,0)和(1,0)的距离和为2，说明该点在线段y ＝0(x ∈[－1,1])上，而|z ＋i ＋1|为该点到点(－1，－1)的距离，其最小值为1.答案：114．解析：方程有实根，不妨设其一根为x 0，设m ＝a i 代入方程得x 20＋(1＋2i)x 0－(3a i －1)i ＝0，化简得，(2x 0＋1)i ＋x 20＋x 0＋3a ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＋1＝0，x 20＋x 0＋3a ＝0，解得a ＝112，∴m ＝112i.答案：112i15．解：(1)(2＋i )(1－i )21－2i ＝(2＋i )(－2i )1－2i ＝2(1－2i )1－2i ＝2.(2)4＋5i (5－4i )(1－i )＝(5－4i )i(5－4i )(1－i ) ＝i1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝i －12＝－12＋12i.16．解：由z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i. (1)当k 2－5k －6＝0时，z ∈R ， ∴k ＝6或k ＝－1.(2)当k 2－5k －6≠0时，z 是虚数，即k ≠6且k ≠－1.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0时，z 是纯虚数，∴k ＝4.(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0时，z ＝0，解得k ＝－1.综上，当k ＝6或k ＝－1时，z ∈R . 当k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．当k ＝4时，z 是纯虚数，当k ＝－1时，z ＝0. 17．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由|z |＝1＋3i －z ， 得a 2＋b 2－1－3i ＋a ＋b i ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋a －1＝0，b －3＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3，所以z ＝－4＋3i.则(1＋i )2(3＋4i )22z ＝2i (3＋4i )22(－4＋3i )＝2(－4＋3i )(3＋4i )2(－4＋3i )＝3＋4i.18．解：(1)ω2＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i 2＝14－32i －34＝－12－32i.ω2＋ω＋1＝⎝⎛⎭⎫－12－32i ＋⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＋1＝0.(2)由于ω2＋ω＋1＝0，∴ωk ＋2＋ωk ＋1＋ωk ＝ωk (ω2＋ω＋1)＝0，k ∈Z .∴S n ＝1＋ω＋ω2＋…＋ωn －1＝⎩⎪⎨⎪⎧0， n ＝3k ，1， n ＝3k ＋1，1＋ω， n ＝3k ＋2，∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧0， n ＝3k (k ∈Z )，1， n ＝3k ＋1(k ∈Z )，12＋32i ， n ＝3k ＋2(k ∈Z ).19．解：把z ＝a －i1－i (a ＞0)代入ω中，得ω＝a －i 1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －i 1－i ＋i ＝a ＋12＋a (a ＋1)2i.由a (a ＋1)2－a ＋12＝32，得a 2＝4.又a ＞0，所以a ＝2. 所以|ω|＝|32＋3i|＝325.20．解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由已知条件得：a 2＋b 2＝2，z 2＝a 2－b 2＋2ab i ， 所以2ab ＝2.所以a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i.(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i，所以点A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝12|AC|×1＝12×2×1＝1；当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i. 所以点A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝12|AC|×1＝12×2×1＝1.即△ABC的面积为1.。

第二章《推理与证明》章末检测 一、填空题 1．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2用的是________推理．2．在△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，则有EF ∥BC ，这个问题的大前提为________________________．3．用反证法证明命题 “三角形的内角至多有一个钝角”时，反设为________．4．用数学归纳法证明：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2n n ＋1时，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的项是________．5．已知f (x ＋1)＝2f (x )f (x )＋2，f (1)＝1(x ∈N *)，猜想f (x )的表达式为________． 6．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4页，则这个数列的一个通项公式为________．7．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判断正确的个数为________．8．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有________个． ①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱椎．9．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，则a 2 013＝________. 10．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般规律为____________________________________．11．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，推测当n ≥2时，有____________．12．如图所示是按照一定规律画出的一列“树型”图，设第n 个图有a n 个“树枝”，则a n＋1与a n (n ∈N *)之间的关系是______．13．在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE EB ＝AC BC，把这个结论类比到空间：在三棱锥A —BCD 中(如图所示)，面DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．二、解答题14．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立：(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．15．1，3，2能否为同一等差数列中的三项？说明理由．16．设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )．17．设a ，b ，c 为一个三角形的三边，s ＝12(a ＋b ＋c )，且s 2＝2ab ，试证：s <2a .18．数列{a n }满足a 1＝16，前n 项和S n ＝n (n ＋1)2a n . (1)写出a 2，a 3，a 4；(2)猜出a n 的表达式，并用数学归纳法证明．19．设f (n )＝1＋12＋13＋ (1)，是否存在关于自然数n 的函数g (n )，使等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝g (n )·[f (n )－1]对于n ≥2的一切自然数都成立？并证明你的结论．答案1．归纳2．三角形的中位线平行于第三边3．假设至少有两个钝角4.2(k ＋1)(k ＋2)5．f (x )＝2x ＋16．a n ＝3n －1(n ∈N *，n ≥1)7．18．29．－110．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)211．f (2n )>2＋n 2(n ≥2) 12．a n ＋1＝2a n ＋113.AE EB ＝S △ACD S △BCD14．解 (1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交．结论是正确的：证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a ，则必有γ∩β＝b ，若γ与β不相交，则必有γ∥β，又α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a 矛盾，∴必有γ∩β＝b .(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．15．解 假设1，3，2能为同一等差数列中的三项，但不一定是连续的三项，设公差为d ，则1＝3－md,2＝3＋nd ，m ，n 为两个正整数，消去d 得m ＝(3＋1)n .∵m 为有理数，(3＋1)n 为无理数，∴m ≠(3＋1)n .∴假设不成立．即1，3，2不可能为同一等差数列中的三项．16．证明 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时，用分析法证明如下：要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎡⎦⎤22(a ＋b )2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab . ∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 综上所述，对任意实数a ，b 不等式都成立． 17．证明 要证s <2a ，由于s 2＝2ab ，所以只需证s <s 2b ，即证b <s . 因为s ＝12(a ＋b ＋c )，所以只需证2b <a ＋b ＋c ，即证b <a ＋c . 由于a ，b ，c 为一个三角形的三条边，所以上式成立．于是原命题成立．18．解 (1)令n ＝2，∵a 1＝16，∴S 2＝2×(2＋1)2a 2， 即a 1＋a 2＝3a 2.∴a 2＝112. 令n ＝3，得S 3＝3×(3＋1)2a 3， 即a 1＋a 2＋a 3＝6a 3，∴a 3＝120. 令n ＝4，得S 4＝4×(4＋1)2a 4， 即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10a 4，∴a 4＝130. (2)猜想a n ＝1(n ＋1)(n ＋2)，下面用数学归纳法给出证明． ①当n ＝1时，a 1＝16＝1(1＋1)(1＋2)，结论成立． ②假设当n ＝k 时，结论成立，即a k ＝1(k ＋1)(k ＋2)， 则当n ＝k ＋1时，S k ＝k (k ＋1)2a k ＝k (k ＋1)2·1(k ＋1)(k ＋2)＝k 2(k ＋2)， S k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1， 即S k ＋a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1. ∴k 2(k ＋2)＋a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1.∴a k ＋1＝k 2(k ＋2)(k ＋1)(k ＋2)2－1＝k k (k ＋3)(k ＋2) ＝1(k ＋2)(k ＋3). 当n ＝k ＋1时结论成立．由①②可知，对一切n ∈N *都有a n ＝1(n ＋1)(n ＋2). 19．解 当n ＝2时，由f (1)＝g (2)·[f (2)－1]，得g (2)＝f (1)f (2)－1＝1(1＋12)－1＝2， 当n ＝3时，由f (1)＋f (2)＝g (3)·[f (3)－1]，得g (3)＝f (1)＋f (2)f (3)－1＝1＋(1＋12)(1＋12＋13)－1＝3， 猜想g (n )＝n (n ≥2)．下面用数学归纳法证明：当n ≥2时，等式f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1]恒成立． ①当n ＝2时，由上面计算可知，等式成立．②假设n ＝k (k ∈N *且k ≥2)时，等式成立，即f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1](k ≥2)成立， 那么当n ＝k ＋1时，f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k )＝k [f (k )－1]＋f (k )＝(k ＋1)f (k )－k＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1k ＋1]－k ＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]，∴当n ＝k ＋1时，等式也成立．由①②知，对一切n ≥2的自然数n ，等式都成立，故存在函数g (n )＝n ，使等式成立．。

习题课 复 数 明目标、知重点 1.巩固复数的概念和几何意义.2.理解并能进行复数的四则运算并认识复数加减法的几何意义．1．复数的四则运算，若两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R)(1)加法：z 1＋z 2＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i ；(2)减法：z 1－z 2＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i ；(3)乘法：z 1·z 2＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ；(4)除法：z 1z 2＝a 1a 2＋b 1b 2a 22＋b 22＋a 2b 1－a 1b 2a 22＋b 22i(z 2≠0)； (5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；(6)特殊复数的运算：i n (n 为正整数)的周期性运算；(1±i)2＝±2i ；若ω＝－12±32i ，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0. 2．共轭复数与复数的模(1)若z ＝a ＋bi ，则z ＝a －bi ，z ＋z 为实数，z －z 为纯虚数(b≠0)．(2)复数z ＝a ＋bi 的模，|z|＝a 2＋b 2，且z·z ＝|z|2＝a 2＋b 2.3．复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→、OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连结向量OZ 1→、OZ 2→的终点，并指向Z 1的向量所对应的复数．题型一 复数的四则运算例1 (1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 012＋ (4－8i)2－(－4＋8i)211－7i； (2)已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1的模． 解 (1)原式＝i(1＋23i)1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 1 006＋ (4－8i ＋8i －4)(4－8i ＋4－8i)11－7i＝i ＋(－i)1 006＋0＝－1＋i.(2)z 2－3z ＋6z ＋1＝(1＋i)2－3(1＋i)＋62＋i ＝3－i 2＋i＝1－i ， ∴z 2－3z ＋6z ＋1的模为 2. 反思与感悟 复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a ＋bi)÷(c ＋di)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．跟踪训练1 (1)已知z 1＋i＝2＋i ，则复数z ＝________. 答案 1－3i 解析 方法一 ∵z1＋i ＝2＋i ，∴z ＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i －1＝1＋3i ，∴z ＝1－3i. 方法二 设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，∴z ＝a －bi ，∴a －bi 1＋i ＝2＋i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3，z ＝1－3i. (2)i 为虚数单位，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 011等于________． 答案 －i 解析 因为1＋i 1－i ＝(1＋i)2(1－i)(1＋i)＝i ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 011＝i 2 011＝i 4×502＋3＝i 3＝－i. 题型二 复数的几何意义例2 已知点集D ＝{z||z ＋1＋3i|＝1，z ∈C}，试求|z|的最小值和最大值．解 点集D 的图象为以点C(－1， －3)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P 对应的复数为z ，则|OP →|＝|z|.由图知，当OP 过圆心C(－1，－3)时，与圆交于点A 、B ，则|z|的最小值是|OA|＝|OC|－1＝(－1)2＋(－3)2－1＝2－1＝1，即|z|min ＝1；|z|的最大值是|OB|＝|OC|＋1＝2＋1＝3，即|z|max ＝3.反思与感悟 复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应的两点Z 1，Z 2之间的距离． 跟踪训练2 已知复数z 1，z 2满足|z 1|＝3，|z 2|＝5，|z 1－z 2|＝10，求|z 1＋z 2|的值．解 如图所示，设z 1，z 2对应点分别为A ，B ，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则OC →对应的复数为z 1＋z 2.这里|OA →|＝3，|OB →|＝5，|BA →|＝10.∴cos ∠AOB ＝|OA →|2＋|OB →|2－|BA →|22|OA →||OB →|＝32＋52－102×3×5＝45. ∴cos ∠OBC ＝－45.又|BC →|＝|OA →|＝3， ∴|z 1＋z 2|＝|OC →|＝|OB →|2＋|BC →|2－2|OB →||BC →|cos ∠OBC ＝58.题型三 两个复数相等例3 设复数z 和它的共轭复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，求复数z.解 设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)．因为4z ＋2z ＝33＋i ，所以2z ＋(2z ＋2z )＝33＋i.2z ＋2z ＝2(a ＋bi)＋2(a －bi)＝4a ，整体代入上式，得2z ＋4a ＝33＋i.所以z ＝33－4a 2＋i 2. 根据复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧ a ＝33－4a 2，b ＝12.解得⎩⎨⎧ a ＝32，b ＝12.所以z ＝32＋i 2. 反思与感悟 两个复数相等是解决复数问题的重要工具．“复数相等”可以得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，常用于确定系数，解复数方程等问题．跟踪训练3 关于x 的方程x 2＋(3＋2i)x ＋3ai ＝0有非零实根，求实数a 的值及方程的实数根．解 设方程的实数根为b(b≠0)，代入方程x 2＋(3＋2i)x ＋3ai ＝0，化为b 2＋3b ＋(2b ＋3a)i ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋3b ＝0，2b ＋3a ＝0.已知b≠0，解得b ＝－3，a ＝2. 故实数a 的值及方程的实数根分别为2和－3.1．设i 是虚数单位，复数1＋ai 2－i为纯虚数，则实数a 为________． 答案 2解析 设1＋ai 2－i＝bi(b ∈R 且b≠0)， 则1＋ai ＝bi(2－i)＝b ＋2bi ，所以b ＝1，a ＝2.2．复平面内点A 、B 、C 对应的复数分别为i 、1、4＋2i ，由A→B→C→D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|BD →|＝________.答案 13解析 设D 点对应复数为z ，∵AB →＝DC →，∴1－i ＝－z ＋(4＋2i)，∴z ＝3＋3i ，∴BD →对应的复数为2＋3i ，∴|BD →|＝13.3．已知复数z ＝2－i 1－i，其中i 是虚数单位，则|z|＝________. 答案 102解析 z ＝32＋12i ，∴|z|＝102. 4．设复数z 满足关系：z ＋|z |＝2＋i ，那么z ＝________.答案 34＋i 解析 设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，由已知a ＋bi ＋a 2＋b 2＝2＋i ，由复数相等可得⎩⎨⎧ a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1， 故z ＝34＋i. 5．设复数z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i，若z 2＋a·z ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值． 解 z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i＝(3－i)(2－i)5＝1－i. 因为z 2＋a·z ＋b ＝1＋i ，所以(1－i)2＋a(1－i)＋b ＝1＋i.所以(a ＋b)－(a ＋2)i ＝1＋i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1，解得a ＝－3，b ＝4. 即实数a ，b 的值分别是－3,4.[呈重点、现规律]1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化；2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现；3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题.一、基础过关1．复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是________． 答案 15解析 1－2＋i ＋11－2i＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i. 2．复数2＋i 1－2i的共轭复数是________． 答案 －i3．若(m 2－5m ＋4)＋(m 2－2m)i>0，则实数m 的值为________．答案 0解析 由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m ＋4>0m 2－2m ＝0，得m ＝0. 4．复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z z －z －1＝________.答案 －i解析 z ＝1＋i ，则z z －z －1＝2－(1＋i)－1＝－i.5．已知(a －i)2＝2i ，那么实数a ＝________.答案 －1解析 由题意，得a 2－1－2ai ＝2i.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，－2a ＝2. 解得a ＝－1.6．设复数z 满足条件|z|＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值是________．答案 4解析 复数z 满足条件|z|＝1，z 所对应的点的轨迹是单位圆，而|z ＋22＋i|即表示单位圆上的动点到定点(－22，－1)的距离．从图形上可得|z ＋22＋i|的最大值是4.7．已知a ∈R ，z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？解 由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，∴复数z 的实部为正数，虚部为负数，因此，复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋yi (x 、y ∈R)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2) 消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2 (x≥3)．∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线，方程为y ＝－x ＋2 (x≥3)．二、能力提升8．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于第________象限．答案 四解析 (2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，∴对应点坐标(3，－4)，位于第四象限．9．设i 是虚数单位.z 是复数z 的共轭复数．若z·z i ＋2＝2z ，则z ＝________. 答案 1＋i解析 设z ＝a ＋bi ，a ，b ∈R ，代入z·z i ＋2＝2z ，整理得：(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2bi ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a 2＋b 2＝2b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1，因此z ＝1＋i. 10．已知复数z ＝5i 1＋2i(i 是虚数单位)，则|z|＝________. 答案 5解析 |z|＝⎪⎪⎪⎪5i 1＋2i ＝|5i||1＋2i|＝55＝ 5. 11．已知复数z ＝3＋bi(b ∈R)，且(1＋3i)·z 为纯虚数．(1)求复数z.(2)若ω＝z 2＋i，求复数ω的模|ω|. 解 (1)(1＋3i)·(3＋bi)＝(3－3b)＋(9＋b)i.因为(1＋3i)·z 为纯虚数，所以3－3b ＝0，且9＋b≠0，所以b ＝1，所以z ＝3＋i.(2)ω＝3＋i 2＋i ＝(3＋i)·(2－i)(2＋i)·(2－i)＝7－i 5＝75－15i ， 所以|ω|＝(75)2＋(－15)2 ＝ 2.12.在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是2＋i.(1)如果点A 关于实轴的对称点为B ，求向量OB →对应的复数；(2)如果(1)中点B 关于虚轴的对称点为C ，求点C 对应的复数．解 (1)设所求向量OB →对应的复数为z 1＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则点B 的坐标为(a ，b)．已知A(2,1)，由对称性可知a ＝2，b ＝－1.所以OB →对应的复数为z 1＝2－i.(2)设所求点C 对应的复数为z 2＝c ＋di(c ，d ∈R)，则C(c ，d)．由(1)，得B(2，－1)．由对称性可知，c ＝－2，d ＝－1.故点C 对应的复数为z 2＝－2－i.三、探究与拓展13.是否存在复数z ，使其满足z ·z ＋2i z ＝3＋ai.如果存在，求实数a 的取值范围；如果不存在，请说明理由．解 设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，则原条件等式可化为x 2＋y 2＋2i(x －yi)＝3＋ai.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2y ＝3，2x ＝a. 消去x ，得y 2＋2y ＋a 24－3＝0.所以当Δ＝4－4⎝⎛⎭⎫a 24－3＝16－a 2≥0，即－4≤a≤4时，复数z 存在．故存在满足条件的复数z ，且实数a 的取值范围为－4≤a≤4.。

章末检测卷(三)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的________条件．答案 充分不必要解析 因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3m 2＋m －4＝－2， 解得m ＝1或m ＝－2，所以m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件．2．i 是虚数单位，复数3＋i 1－i的共轭复数为________． 答案 1－2i解析 3＋i 1－i ＝3＋i 1＋i 1－i 1＋i ＝2＋4i 2＝1＋2i ，其共轭复数为1－2i. 3．已知a 是实数，a －i 1＋i是纯虚数，则a ＝________. 答案 1解析 a －i 1＋i ＝a －i 1－i 1＋i 1－i ＝a －1－a ＋1i2是纯虚数，则a －1＝0，a ＋1≠0，解得a ＝1.4．若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i ＝________.答案 2＋i解析 ∵(x －i)i ＝y ＋2i ，x i －i 2＝y ＋2i ，∴y ＝1，x ＝2，∴x ＋y i ＝2＋i.5．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i ，3＋2i,1＋5i ，那么BC→对应的复数为________．答案 4－4i解析 因为OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i ，1＋5i ，BC →＝OC →－OB →＝OC →－(OA →＋AB →)，所以BC →对应的复数为3＋2i －[(－2＋i)＋(1＋5i)]＝4－4i.6．(1＋i)20－(1－i)20的值是________．答案 0解析 (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.7．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为________．答案 45 解析 设z ＝a ＋b i ，故(3－4i)(a ＋b i)＝3a ＋3b i －4a i ＋4b ＝|4＋3i|， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3b －4a ＝03a ＋4b ＝5，解得b ＝45. 8．i 是虚数单位，若1＋7i 2－i＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则ab 的值是________． 答案 －3解析 1＋7i 2－i ＝1＋7i 2＋i 5＝－1＋3i ， ∴a ＝－1，b ＝3，ab ＝－3.9．若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是________．答案 (4，－2)解析 z ＝2＋4i i＝4－2i ，∴z 对应的点的坐标是(4，－2)． 10．已知f (n )＝i n －i －n (n ∈N *)，则集合{f (n )}的元素个数是________．答案 三解析 f (n )有三个值0,2i ，－2i.11．复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是________．答案 (3,4)解析 ∵z ＝m 2－4m ＋(m 2－m －6)i 所对应的点在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m <0m 2－m －6>0，解得3<m <4. 12．给出下面四个命题：①0比－i 大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；④如果让实数a 与a i 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中真命题的个数是________．答案 013．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.答案 1＋2i解析 由(a ＋i)(1＋i)＝b i 得a －1＋(a ＋1)i ＝b i ， ⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝0，a ＋1＝b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2. ∴a ＋b i ＝1＋2i.14.下列说法中正确的序号是________．①若(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，其中x ∈R ，y ∈∁C R ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝y 1＝－3－y；②2＋i>1＋i ；③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在；⑤若z ＝1i，则z 3＋1对应的点在复平面内的第一象限． 答案 ⑤ 解析 由y ∈∁C R ，知y 是虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝y 1＝－3－y 不成立，故①错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故②错误；原点也在虚轴上，表示实数0，故③错误；实数的虚部为0，故④错误；⑤中z 3＋1＝1i 3＋1＝i ＋1，对应点在第一象限，故⑤正确．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时，(1)z 是实数？(2)z 是纯虚数？解 (1)要使复数z 为实数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2或－1.即当m ＝－2或－1时，z 是实数． (2)要使复数z 为纯虚数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1m 2＋3m ＋2≠0， 解得m ＝3.即当m ＝3时，z 是纯虚数．16．(14分)已知复数z 1＝1－i ，z 1·z 2＋z 1＝2＋2i ，求复数z 2. 解 因为z 1＝1－i ，所以z 1＝1＋i ，所以z 1·z 2＝2＋2i －z 1＝2＋2i －(1＋i)＝1＋i.设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 1·z 2＝1＋i ，得(1－i)(a ＋b i)＝1＋i ，所以(a ＋b )＋(b －a )i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1b －a ＝1，解得a ＝0，b ＝1，所以z 2＝i. 17．(14分)计算：(1)2＋2i41－3i 5；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.解 (1)原式＝161＋i41－3i 41－3i ＝162i2－2－23i21－3i ＝－6441＋3i 21－3i ＝－161＋3i ×4 ＝－41＋3i＝－1＋3i. (2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.18.(16分)实数m 为何值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 对应的点在：(1)x 轴上方；(2)直线x ＋y ＋5＝0上．解 (1)若z 对应的点在x 轴上方，则m 2－2m －15>0，解得m <－3或m >5.(2)复数z 对应的点为(m 2＋5m ＋6，m 2－2m －15)，∵z 对应的点在直线 x ＋y ＋5＝0上，∴(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，整理得2m 2＋3m －4＝0，解得m ＝－3±414. 19.(16分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2.(1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积． 解 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2， 解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝1.当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝1.20.(16分)设z 1是虚数，z 2＝z 1＋1z 1是实数，且－1≤z 2≤1. (1)求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围；(2)若ω＝1－z 11＋z 1，求证：ω为纯虚数． (1)解 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝(a ＋aa 2＋b 2)＋(b －b a 2＋b 2)i.因为z 2是实数，且b ≠0，于是有a 2＋b 2＝1，即|z 1|＝1，还可得z 2＝2a .由－1≤z 2≤1，得－1≤2a ≤1，解得－12≤a ≤12，即z 1的实部的取值范围是[－12，12]． (2)证明 ω＝1－z 11＋z 1＝1－a －b i 1＋a ＋b i＝1－a 2－b 2－2b i 1＋a 2＋b 2＝－b a ＋1i. 因为a ∈[－12，12]，b ≠0，所以ω为纯虚数．。

第3章 数系的扩充与复数的引入(B)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．下列命题正确的是________．(填序号)①纯虚数集相对复数集的补集是虚数集；②复数z 是实数的充要条件是z ＝z ；③复数z 是纯虚数的充要条件是z ＋z ＝0；④i ＋1的共轭复数是i －1.2．复数z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2，z 2＝2－i 3分别对应复平面内的点P 、Q ，则向量PQ →对应的复数是________．3．已知复数z 1＝x ＋2i ，z 2＝－2＋i 且|z 1|<|z 2|，则实数x 的取值范围是________．4．已知复数z ＝1－i ，则z 2z －1＝________.5．已知z 1＝3－4i ，z 2＝－7－2i ，z 1、z 2对应点分别为P 1、P 2，则P 2P 1→对应复数为________．6．复数z ＝2i 1＋i的共轭复数z ＝________. 7．设x 1＋i ＝32－i ＋y 1－i(x ，y ∈R )，则x ＝________，y ＝________. 8．若(2－i)·4i ＝4－b i(其中i 为虚数单位，b 为实数)，则b ＝________.9．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z ＝________. 10．设m ∈R ，复数z ＝(2＋i)m 2－3(1＋i)m －2(1－i)．(1)若z 为实数，则m ＝________；(2)若z 为纯虚数，则m ＝________.11．已知m1－i＝1＋i ，其中m 是实数，i 是虚数单位，则在复平面内复数－1＋m i 对应的点在第________象限．12．设f (n )＝(1＋i 1－i )n ＋(1－i 1＋i)n (n ∈Z )，则值域中元素有________个． 13．若复数z ＝2i 1－i，则|z ＋3i|＝________.14．已知复数z 1＝2＋3i ，z 2＝a ＋b i ，z 3＝1－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A 、B 、C .若OC →＝2OA →＋OB →，则a ＝________，b ＝________.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知复数z ＝(2＋i)m 2－6m 1－i－2(1－i)，当实数m 取什么值时，复数z 是： (1)虚数；(2)纯虚数．16.(14分)设复数z 满足|z |＝5，且(3＋4i)z 在复平面内的对应点在第二、四象限的角平分线上，|2z －m |＝52(m ∈R )，求z 和m 的值．17．(14分)复数z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i ，若z 2＋a z<0，求纯虚数a .18.(16分)已知复数z 的模为2，求复数1＋3i ＋z 的模的最大值、最小值．19．(16分)已知z 是虚数，证明：z ＋1z为实数的充要条件是|z |＝1.20.(16分)复数z ＝(1＋i)3(a ＋b i)1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a 、b 的值．答案1．②2．3＋i解析 PQ →：z 2－z 1＝2－i 3－(1－i 1＋i)2 ＝2＋i ＋1＝3＋i.3．(－1,1)解析 ∵|z 2|＝5，∴x 2＋4<5，∴x 2<1，∴－1<x <1.4．2解析 ∵z ＝1－i ，∴z 2＝－2i ，又z －1＝1－i －1＝－i ，则z 2z －1＝－2i －i＝2. 5．10－2i解析 ∵P 2P 1→＝OP 1→－OP 2→，∴P 2P 1对应的复数为z 1－z 2＝(3－4i)－(－7－2i)＝(3＋7)－(4－2)i ＝10－2i.6．1－i解析 z ＝2i(1－i)(1＋i)(1－i)＝i(1－i)＝1＋i. ∴z ＝1－i.7.35 －95解析 由已知可得x (1－i)(1＋i)(1－i)＝3(2＋i)(2－i)(2＋i)＋y (1＋i)(1－i)(1＋i)， 所以x (1－i)2＝6＋3i 5＋y ＋y i 2， 即x 2－x 2i ＝65＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋y 2i.所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝65＋y 2，－x 2＝35＋y 2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝35，y ＝－95.8．－8解析 4＋8i ＝4－b i ，∴b ＝－8.9．－2i解析 设z ＝y i(y ∈R ，且y ≠0)，则y i ＋21－i ＝(2－y )＋(y ＋2)i 2∈R ， ∴2＋y ＝0，即y ＝－2，∴z ＝－2i.10．(1)1或2 (2)－12解析 (1)z ＝(2＋i)m 2－3(1＋i)m －2(1－i)＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i.由题意知：m 2－3m ＋2＝0，即m ＝1或m ＝2时，z 是实数．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2≠0， 解得m ＝－12. ∴当m ＝－12时，z 是纯虚数． 11．二解析 ∵m ＝(1＋i)(1－i)＝2，∴－1＋m i ＝－1＋2i ，故其对应的点在第二象限．12．3解析 f (n )＝i n ＋(－i)n ，n 取特殊值1,2,3,4，可得相应的值．f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2. 13. 5解析 ∵z ＝2i 1－i ＝2i(1＋i)2＝－1＋i. ∴z ＝－1－i ，∴|z ＋3i|＝|－1＋2i|＝ 5.14．－3 －10解析 ∵OC →＝2OA →＋OB →∴1－4i ＝2(2＋3i)＋(a ＋b i)即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝4＋a －4＝6＋b ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ＝－10. 15．解 由于m ∈R ，复数z 可表示为z ＝(2＋i)m 2－3m (1＋i)－2(1－i)＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i ，(1)当m 2－3m ＋2≠0，即m ≠2且m ≠1时，z 为虚数．(2)当⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0m 2－3m ＋2≠0，即m ＝－12时，z 为纯虚数． 16．解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．因为|z |＝5，所以a 2＋b 2＝25.因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(4a ＋3b )i ，又(3＋4i)z 在复平面内的对应点在第二、四象限的角平分线上，所以3a －4b ＋4a ＋3b ＝0，得b ＝7a ，所以a ＝±22，b ＝±722，即z ＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋722i ， 所以2z ＝±(1＋7i)．当2z ＝1＋7i 时，有|1＋7i －m |＝52，即(1－m )2＋72＝50，得m ＝0，或m ＝2.当2z ＝－(1＋7i)时，同理可得m ＝0，或m ＝－2.17．解 z ＝(1＋i)2＋3(1－i)2＋i＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i＝1－i. ∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i(m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i ＝－2i ＋m i －m 2＝－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2－2i<0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －m 2<0，m 2－2＝0， ∴m ＝4.∴a ＝4i.18．解 利用公式||z 1|－|z 2||≤|z 1＋z 2|≤|z 1|＋|z 2|.∵|z |＝2，∴||z |－|1＋3i||≤|z ＋1＋3i|≤|z |＋|1＋3i|.∴0≤|z ＋1＋3i|≤2＋2， ∴|z ＋1＋3i|min ＝0，|z ＋1＋3i|max ＝4.19．证明 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R 且y ≠0)，则z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y2 ＝x ＋xx 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i. 当|z |＝1，即x 2＋y 2＝1时，z ＋1z＝2x ∈R . 当z ＋1z ∈R ，即y －y x 2＋y 2＝0时，又y ≠0， ∴x 2＋y 2＝1，即|z |＝1.∴z ＋1z为实数的充要条件是|z |＝1. 20．解 z ＝(1＋i)2·(1＋i)1－i(a ＋b i) ＝2i ·i(a ＋b i)＝－2a －2b i.由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4.①∵复数0、z 、z 对应的点构成正三角形，∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1.②又∵z 对应的点在第一象限，∴－2a >0，－2b >0，∴a <b ，b <0.③由①②③得⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝－1.故所求值为a ＝－3，b ＝－1.。

第三章 章末检测1、若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内z 对应的点的坐标是( )A.()2,4B.(2,4)-C.()4,2-D.()4,22、在复平面内,复数21i z i =+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3、若复数z 满足1z i i =-,其中i 为虚数单位,则z = ( ) A. 1i -B. 1i +C. 1i --D. 1i -+4、设复数z 满足11z i z +=-,则z = ( ) A. 1B.2 C. 3D. 25、已知复数z 满足(34)25i z +=,则z = ( )A. 34i -B. 34i +C. 34i --D. 34i -+6、已知i 是虚数单位, ,a b R ∈ ,则“1a b ==”是“()22a bi i +=”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 7、是的共轭复数,若,(是虚数单位),则等于( ) A.B.C.D. 8、复数(1)z i i =+ (i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9、设复数z 满足(1)2i z i -=,则z = ( )A. 1i -+B. 1i --C. 1i +D. 1i -10、复数的11z i =-模为( ) A. 12B.22 2D. 211、数列{}n a 满足112a =，212n n a a a n a +++=，则数列{}n a 的通项公式n a =______. 12、已知复数()252z i =+ (i 是虚数单位),则z 的实部为__________.13、设复数a bi + (a ,b R ∈)3,则()()a bi a bi +-=__________.14、i 是虚数单位,若复数()()12i a i -+是纯虚数,则实数a 的值为__________.15、已知z 是复数, 2z i +,2z i-均为实数(i 为虚数单位),且复数()2z ai +在复平面内对应的点在第一象限,求实数a 的取值范围.答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：由24iz i =+,得2442i z i i +==-,∴z 对应的点的坐标为()4,2-.故选C.2答案及解析：答案：D 解析：由21i z i =+得()()()21111i i z i i i -==++-,∴z 的共扼复数是1i -,故z 的共扼复数对应的点位于第四象限.3答案及解析：答案：A 解析：∵1z i i=-,∴(1)1z i i i =-=+,∴1z i =-.故选A4答案及解析：答案：A 解析：由题意知1z i zi +=-,所以()()()211111i i z i i i i --===++-,所以1z =,故选A. 考点:本题主要考查复数的运算和复数的模等.5答案及解析：答案：A解析：解法一:由题意得()()()()25342534253434343425i i z i i i i --====-++-,故选A. 解法二:设 (),z a bia b R =+∈, 则()()()()()3434344325i z i a bi a b a b i +=++=-++=,由复数相等得3425,{430,a b a b -=+= 解得3,{ 4.a b ==- 因此34z i =-,故选A.6答案及解析：答案：A解析：利用复数的运算性质,分别判断“1a b ==” ⇒ “()22a bi i +=”与“1a b ==” ⇐ “()22a bi i +=”的真假,进而根据充要条件的定义得到结论. 当“1a b ==”时,“()()2212a bi i i +=+=”成立,故“1a b ==”是“()22a bi i +=”的充分条件;当“()22222a bi a b abi i +=-+=”时,“1a b ==”或“1a b ==-”,故“1a b ==”是“()22a bi i +=”的不必要条件;综上所述,“1a b ==”是“()22a bi i +=”的充分不必要条件;故选A.7答案及解析：答案： D解析： 方法一:设, ,为实数,则. ∵,∴. 又,∴.故. 方法二:∵,∴. 又,∴,∴,∴.8答案及解析：答案：B 解析：(1)1z i i i =+=-+,故对应的点(1,1)-在第二象限.9答案及解析：解析：根据所给的等式两边同时除以1i -,得到z 的表示式,进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,整理成最简形式,得到结果.解:∵复数z 满足()12z i i -=, ∴()()()2121111i i i z i i i i +===-+--+ 故选A.点评:本题考查代数形式的除法运算,是一个基础题,这种题目若出现一定是一个送分题目,注意数字的运算.10答案及解析：答案：B 解析：由11z i =-得12i z --=,∴2z ==,故选B.11答案及解析： 答案：1(1)n n + 解析： 由题知2n n S n a =，当2n ≥时，21(1)1n n S n a -=--，则2211(1)n n n n S S n a n a ---=--，即221(1)n n n a n a n a -=--，得221(1)(1)n n n a n a --=-，111n n a n a n --∴=+， 故324123112312........3451(1)n n a a a a n a a a a n n n --==++， 从而12(1)n a a n n =+，得1(1)n a n n =+.12答案及解析：答案：21解析：由题意得()()22522525222120z i i i i =+=+⨯⨯+=+,所以其实部为21.13答案及解析：答案：3解析：复数a bi + (a ,b R ∈),则223a b +=,所以()()222223a bi a bi a b i a b +-=-⋅=+=.14答案及解析：答案：-2解析：()()()()12212i a i a a i -+=++-是纯虚数,所以20a +=,即2a =-.15答案及解析：答案：设(),z x yi x y R =+∈,∴()22z i x y i +=++,由题意得2y =-.()()2122225z x i x i i i i -==-+--()()1122455x x i =++-. 由题意得4x =,∴42z i =-.∵()()()2212482z ai a aa i +=+-+-, ∵()2z ai +在复平面内对应的点在第一象限,∴()21240{820a a a +->->,解得26a <<, ∴实数a 的取值范围是()2,6.解析：由Ruize收集整理。

苏教版高中数学选修2-2期末综合训练卷（含答案）一．选择题1．设i 为虚数单位，则复数z=i i+-12在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．若函数f(x)满足f(x)=e x lnx+3xf ’(1)-1,则，f ’(1)= ( )A.2e -B ．3e-C.-e D ．e3．函数f(x)=x ³+x ²-5x 的单调递增区间为 ( )A ．（-∞，35-）和(-1，+∞） B ．（-∞，35-）和(1，+∞)，C ．（-∞，-1)，和(35，+∞) D.( -∞，-1)和(35，+∞)4．已知x ₁>0，x ₁≠1且(n ∈N*)，试证“数列{xn}对任意正整数n 都满足xn<xn ₊₁，或者对任意正整数n 都满足xn<xn ₊₁”，当此题用反证法否定结论时，应为( )A ．对任意的正整数n ，都有xn=xn ₊₁．B ．存在正整数n ，使xn>xn ₊₁C ．存在正整数n(n ≥2)，使xn ≥xn ₊₁且xn ≤xn ₋₁D ．存在正整数n(n ≥2)，使（xn-xn ₋₁）（xn-xn ₊₁）≥05．若实数a ，b 满足a>0，b>0，则“a>b ”是“a+ln a>b+ln b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．图①~图④是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是 ( )圈① 图② 图③ 图④ A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①④7．设函数f (0)(x)=sinx ，定义f (1)(x)=f ’(0)(x),f (2)(x)=,f ’(1)(x)……)()(x n f =f ’(n-1)(x)，则f (1)(15º)+f (2)(15º)+f (3)(15º)+…+f (2017)(15º)的值是 ( )A ．426+B ．426- C.0 D.18．已知z ₁、z ₂均为复数，下列四个命题中，为真命题的是( )A.|z ₁|_|1z -|=12zB ．若|z ₂|=2，则z ₂的取值集合为{-2，2，- 2i ，2i}（i 是虚数单位）C ．若，则z ₁=0或z ₂=0 D.一定是实数9．已知，若，则 ( )A ．31B ．31- C.32 D ．32-10.若函数n x x f 12)(=)0(>x x 的极值点是α，函数g(x)=xln x ²(x ﹥0)的极值点是β，则有 ( ) A ．α﹤β B ．α﹥βC ．α=βD ．α与β的大小不确定11．已知z -是复数z 的共轭复数，且z+z -+z ·z -=0，则复数z 在复平面内对应的点的轨迹是 ( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线12．定义：如果函数f(x)在[a ，b]上存在x ₁ x ₂（a<x ₁ <x ₂<b ）满足a b a f b f x f --=)()()1(',a b a f b f x f --=)()()2('，则称函数)(x f 是[a ，b]上的“双中值函数”．已知函数a x x x f +-=23)(是[0，α]上的“双中值函数”，则实数α的取值范围是 ( )A.)21,31(B.)2,23( C. D.)2,31(二．填空题13．设函数)0(2)(≠+=a b ax x f ，若0(330)(x f dx x f =⎰f(x)dx=3f(x 0)，x 0 >0，则x 0 =____．14．观察下列式子：,......474131211,3531211,23211222222<+++<++<+，根据上述规律，第n 个不等式应该为_______________．15.设函数f ’(x)是奇函数f(x)(x ∈R )的导函数f(-1)=0，当x>0时，xf ’(x) -f(x)>0，则使得，f （x ）>0成立的x 的取值范围是________． 16．下列四个命题中，正确的为________（填上所有正确命题的序号）． ①若实数a ，b ，c 满足a+b+c=3，则a ，b ，c 中至少有一个不小于1; ②若z 为复数，且|z| =1，则|z-i|的最大值等于2； ③对任意x ∈(0，+∞)，都有x>sinx ；④定积分⎰=-πππ0422dx x三．解答题17．已知复数z=i i i -++-2)1(32)1(，i 为虚数单位．(1)若复数z ₁与z 在复平面上所对应的点关于虚轴对称，求z ₁； (2)若实数a ，b 满足z ²+az+b= 1-i ，求z ₂ =a+bi 的共轭复数．18．设函数21)(+=x x f ，a,b ∈(0,+∞)．(1)用分析法证明：32)()(≤+a b f ba f ； (2)设a+b>4，求证：af(b)，bf （a ）中至少有一个大于21．19．已知函数)(x f =xln x-22xa (a ∈R )．(1)若a=2，求曲线y=f(x)在点（1,f(1)）处的切线方程；(2)若g(x)= f(x)+（a-1）x 在x=1处取得极小值，求实数α的取值范围．20．已知函数x x f -=22)(，记数列{an}的前n 项和为Sn ，且有a ₁ =f(1)．当n≥2时，)252(21)(2-+=-n n n a f n s .(1)直接写出口a ₁ ，a ₂，a ₃，a ₄的值; (2)猜想数列{an}的通项公式，并给予证明．21.现有一张长为108 cm ，宽为a cm(a<108)的长方形铁皮ABCD ，准备用它做一个无盖长方体铁皮容器，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失，如图，在长方形铁皮ABCD 的一个角上剪下一块边长为x cm 的正方形铁皮，作为铁皮容器的底面，把余下材料剪拼后作为铁皮容器的侧面，设长方体铁皮容器的高为ycm ，体积为Vcm ³.(1)求y 关于x 的函数关系式； (2)求该铁皮容器体积V 的最大值．22．已知函数f(x)=ln （ax+1）+x x+-11，x ≥0，其中a>0．(1)若f(x)在x=1处取得极值，求a 的值； (2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)的最小值为1，求a 的取值范围.参考答案一、选择题1．D z=231)1)(1()1)(2(12i i i i i i i -=-+--=+-,在复平面上对应的点为)23,21(-，位于第四象限， 故选D ．2．A 由已知可得f ’(x)=xe lnx+x x e +3f ’(1)，令x=1，则，f ’(1)=0+e+3f ’(1)，解得f ’(1)=2e-，故选A ．3．B 由题意得，f ’(x)= 3x ²+2x-5，令f ’(x)>0，得x<35-或x>1，故选B ．4．D 命题的结论等价于“数列｛xn}是递增数列或是递减数列”，其否定是“数列既不是递增数列，也不是递减数列”，由此可知选D ．5．C 构造函数y=x+lnx ，x>0，则y ’=1+x 1>0，故函数y= x+ln x 在(0，+∞)上单调递增，由“a>b>0”可得到“a+ln a>b+ln b ”，反之，由“a+ln a>b+ln b ”亦可得到“a>b>0”，选C ．6．B ①②正确；③不正确，导函数图象过原点，且在原点附近的导数值异号，但三次函数在x=0处不存在极值；④不正确，三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负．故选B ．7．A 由题设可算得：f (1)(x) cos x ，f (2)(x)=-sin x ，f (3)(x)=- cos x ，f (4)(x)= sin x ，f (5)(x)= cos x ，……，显然f (1)(x)=f (5)(x)=f (9)(x)=f (13)(x)=f (17)(x)=...=f (2017)(x),即f (n)(x)=f (n+4)(x)，又f (1)(x)+f (2)(x)+f (3)(x)+f (4)(x)=0,且2017 = 504x4+1，故f (1)(15°)+f (2)(15°)+f (3)(15°)+...+f (2017)(15°)=f (1)(15°)=cos(15°)=426+，选A ．9. C 依题意知因为，所以，则，故，故选C ．10．B 由题意得f'(x)= 2xln x+x ，g ’(x)=In x ²+2，又函数f(x)= x ²ln x( x>0)的极值点是α，函数g(x)=xln x ²(x>0)的极值点是β，所以2αln α+α=0，Inβ²+2=0，所以α=21e -，β=1e -，所以α>β，故选B ．11．A 设z=x+yi(x ，y ∈R )，则-z =x-yi ，代入z+-z +z ·-z =0，得x+yi+x-yi+x ²+y ²=0，即x ²+y ²+2x=0，整理得(x+1)²+y ²=1，∴复数z 在复平面内对应的点的轨迹是圆．12.C 由题意可知，在区间(0，α)上存在x ₁，X ₂( 0<x ₁<x ₂<0)，满足f ’(x ₁)=f ’(x ₂)=a 2a )0()(--a f a f .∵f(x)=x ³-x ²+a ．∴f ’(x)= 3x ²-2x,∴方程3x ²-2x= a ²-a 在区间(0，a)上有两个不相等的实数根． 令g(x)=3x ²-2x-a ²+a(0<x<a)，则g （x ）有两个不同的零点，∴解得21<a<1．∴实数a 的取值范围是，故选C ．二、填空题 13．答案3解析 ∵ ba bx ax dxb ax 393030)331()2(+=+=+⎰，∴9a+3b=203ax +3b ，∴ 20x =3，∵x 0 >0, ∴x 0=3，故答案为3．14，答案1122)1(1...2312211++<+++++n n n解析 根据规律，不等式的左边是(n+1)个正整数倒数的平方的和，右边分数的分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以第n 个不等式应该为1122)1(1...2312211++<+++++n n n .15．答案（-1，0）U(1，+∞)解析 设g(x)=x x f )(，则g(x)的导数为2)()(')('x x f x xf x g -=,∵当x>0时，xf'(x)-f(x)>0，即当x>0时，g ’(x)恒大于0,∴当x>0时，函数g(x)为增函数， ∵f'(x)为奇函数，∴函数g(x)为定义域上的偶函数，又∵g （-1）=1)1(--f =0，f(x ）>0，∴当x>0时，g(x)>0=g(1)，当x<0时，g(x)<0=g （-1），∴x>1或-1<x<0，故使f(x)>0成立的x 的取值范围是（-1，0）U(1，+∞)， 故答案为（-1，0）U(1，+∞)． 16．答案①②③④解析 ①若实数a ，b ，c 满足a+b+c=3，则用反证法证明，假设a ，b ，c 都小于1，则a+b+c<3，与已知矛盾，故可得a ，b ，c 中至少有一个不小于1，故①正确； ②若z 为复数，且|z|=1．则由|z-i|≤|z|+|-i|=2．可得|z-i|的最大值等于2，故②正确；③令y=x-sin x ，其导数为y ’=1-cos x ，y ’≥0．∴y=x-sin x 在R 上为增函数，当x=0时，x-sin x=0,∴对任意x ∈(0，+∞)，都有x-sin x>0．故③正确.④定积分⎰-ππ02dxx 表示以原点为圆心，π为半径的圆的面积的四分之一，故 ④正确． 三、解答题17．解析由已知得复数：ii i i i i i i i i i i i z +=+=+-++=-+=-++-=-++-=15i 55)2)(2()2)(3(2323322)1(32)1((1)复数z ₁与z 在复平面上所对应的点关于虚轴对称，则它们的实部互为相反数，虚部相等，所以z ₁= -1+i ．(2)因为z ²+az+b= 1-i ，所以（1+i ）²+a(1+i)+6=1-i ，整理得a+b+(2+a)i=1-i ，因为a ，b ∈R ，所以a+b=1，且2+a=-1，解得a=-3，b=4，所以复数z ₂=-3+4i ，所以z ₂的共轭复数为-3-4i ．18．证明 (1)要证)(b a f +)(a b f ≤32，只需证322121≤+++abb a即证3222≤+++a b a b a b ,即证3222522242≤++++b ab a a ab b ，即证（a-b ）²≥0，这显然成立，∴)(b a f +)(a b f ≤32．(2)假设af(b)，bf(a)都小于或等于21，即212≤+b a ，212≤+a b ，则有2a ≤b+2，2b ≤a+2．两式相加得a+b ≤4．这与a+b>4矛盾，∴af(b)，bf(a)中至少有一个大于21．19．解析 (1)当a=2时，f(x)= xln x-x ²，f ’(x)= In x+1-2x ，因为f(1)=-1，f ’(1)= -1，所以曲线y=f(x)在点（1 ，f(1)）处的切线方程为y= -x.(2)由已知得g(x)=xln x-22xa +(a-1)x ，则g'(x)= In x-ax+a ，记h(x)=g ’(x)=1nx-ax+a,则h(1)=0，h ’(x)=x 1-a=x ax -1．①当a ≤0，x ∈(0，+∞)时，h ’(x)>0，函数g ’(x)单调递增，因为g ’(1)=0，所以当X ∈(0，1)时，g ’(x)<0，当X ∈(1，+∞)时，g ’(x)>0，所以g(x)在x=1处取得极小值，满足题意，②当0<a<1时，则a 1>1．当x ∈(0，a 1)时，h ’(x)>0，故函数g ’(x)单调递增，可得当x ∈ (0，1)时，g ’(x)<0，X ∈(1，a 1)时，g ’(x)>0，所以g(x)在x=1处取得极小值．满足题意．③当a=1时，当x ∈(0，1)时，h ’(x)>0．g ’(x)在(0，1)内单调递增，x ∈(1，+∞)时，h ’(x)<0，g ’(x)在(1，+∞)内单调递减，所以当x ∈(0，+∞)时，g(x)在x=1处取极大值，不合题意，④当a>1．即0<a 1<1时，当x ∈(a 1，1)时，h ’(x)<0，g ’(x)单调递减，g ’(x)>0，当x ∈(1，+∞)时，h ’(x)<0，g ’(x)单调递减，g ’(x)<0，所以g(x)在x=1处取得极大值，不合题意．综上可知，实数a 的取值范围为（-∞，1）．20．解析 (1)a ₁=2，a ₂ =3，a ₃ =4，a ₄=5．(2)由(1)猜想an=n+1．下面用数学归纳法证明：①当n=1，2，3，4时，由(1)可知猜想成立；②假设n=k （k ≥4且k ∈N*）时猜想成立，即1+=k a k ，则当n=k+1时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=-++2)1(52)1(21)(211k k a f s k k即即⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=--+-+-+++2)1(52)1(21)2(2)252(2111k k a a a k k k k k ， 化简整理得1)1(21++=+=+k k a k ，∴当n=k+1时猜想成立，综上所述，对任意n ∈N*，an= n+1成立．21．解析(1)由题意得x ²+4xy= 108a ，即y=(0<x ≤a)．(2)铁皮容器的体积V(x)= x 2y= x 2·V ’(x)=，当0<a ≤36，即a 6≥a 时，在(0，a]上，V ’(x)≥0恒成立，函数V(x)单调递增，此时)108(241)()(max a a a V x V -==当36<a<108，即a 6<a 时，在(0，a 6）上，V ’(x)>0，函数V(z)单调递增，在(a 6，a]上，V ’(x)<0，函数V(x)单调递减，此时max )(x V =V(a 6)= 108a a , 所以⎪⎩⎪⎨⎧≤<-<<=,360),108(41,10836,108)(2m axa a a a a a x V22．解析(1)由题意得2)1)(1(222)1(21)('x ax a ax x ax a x f ++-+=+-+=∵f(z ）在x=1处取得极值，∴f ’(1)=0，即0)1(42=+-+a a a ，解得a=1．(2)由(1)知f ’(x)=2)1)(1(22x ax a ax ++-+，∵x ≥0，a>0，∴ ax+1>0.①当a ≥2时，在区间(0，+∞)上，f ’(x)>0，∴f(x)的单调增区间为(0，+∞)．②当0<a<2时，令f ’(x)>0，解得x>a a-2， 令f ’(x)<0，解得x<a a-2 ， ∴f(x)的单调减区间为(0，a a -2），单调增区间为（a a-2，+∞）．综上可知，当a ≥2时，f(x)的单调增区间为(0，+∞)；当0<a<2时，f(x)的单调减区间为(0，a a -2），单调增区间为（a a-2,+∞）．(3)当a ≥2时，由(2)①知，f(x)的最小值为f(0)=1；当0<a<2时，由(2)②知，f(x)在x=a a-2处取得最小值，最小值为f(a a2）<f(0)=1.综上可知，若f(x)的最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）．。

章末综合测评(三) 统计案例(时间120分钟，满分160分)一、选择题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．在直线回归方程y ^＝a ^＋b ^x 中，b ^表示________(填序号)．①当x 增加一个单位时，y 增加a^的数量； ②当y 增加一个单位时，x 增加b^的数量；③当x 增加一个单位时，y 的平均增加量； ④当y 增加一个单位时，x 的平均增加量． 【答案】 ③2．线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^所表示的直线必经过点________． 【答案】 (x －，y －)3．经调查某地若干户家庭的年收入x (万元)和年饮食支出y (万元)具有线性相关关系，并得到y 关于x 的线性回归直线方程：y ^＝0.254x ＋0.321，由线性回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．【解析】 ∵y 关于x 的线性回归直线方程： y ^＝0.254x ＋0.321，①∴年收入增加1万元时，年饮食支出 y ^＝0.254(x ＋1)＋0.321，②②－①可得：年饮食支出平均增加0.254万元． 【答案】 0.2544．对于线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，下列说法中不正确的序号是________．①x 增加一个单位时，y 平均增加b ^个单位； ②样本数据中x ＝0时，可能y ＝a ^；③样本数据中x ＝0时，肯定有y ＝a^.【解析】 线性回归方程y ^＝b^x ＋a ^中，x 增加一个单位时，y 平均增加b ^个单位，故①正确；线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，样本数据中x ＝0时，可能有y ＝a ^，也可能有y ≠a ^，故②正确，③不正确．【答案】 ③5．已知x ，y 的取值如下表，假如y 与x 呈线性相关，且线性回归方程为y ^＝b^x ＋132，则b ^＝________.【解析】 ∵线性回归方程为y ^＝b^x ＋132，又∵线性回归方程过样本中心点，且x －＝2＋3＋43＝3，y －＝6＋4＋53＝5，∴回归方程过点(3,5)， ∴5＝3b^＋132，∴b^＝－12. 【答案】 －126．若线性回归直线方程中的回归系数b ^＝0，则相关系数等于________.【导学号：29440071】【解析】 由于在回归系数b ^的计算公式中，与相关系数的计算公式中，它们的分子相同，所以r ＝0.【答案】 07．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若全部样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．(填序号)①－1；②0；③12；④1【解析】 当全部样本点都在一条直线上时，相关系数为1.故填④. 【答案】 ④8．(2022·常州月考)观看图1中各图形：图1其中两个变量x ，y 具有相关关系的图是________． 【解析】 由散点图知③④具有相关关系． 【答案】 ③④9．已知数组(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”是“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010的”________． ①充分不必要条件；②必要不充分条件； ③充要条件；④既不充分也不必要条件．【解析】 当x 0，y 0为这10组数据的平均值，即当x 0＝x －，y 0＝ y －时，由于线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心点(x －，y －)，因此(x 0，y 0)肯定满足线性回归方程，但满足线性回归方程的点除(x －，y －)外，可能还有其他点．【答案】 ②10．(2022·东北三校联考)下列说法中错误的是________．①设有一个回归方程y ^＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位； ②线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过(x －，y －)； ③y ^＝b^x ＋a ^，其中a ^，b ^都为整数． 【解析】 线性回归方程中x 的系数具备直线斜率的功能，对于回归方程y ^＝3－5x ，当x增加一个单位时，y 平均削减5个单位，①错误；由线性回归方程的定义知，线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过点(x －，y －)，②正确；在线性回归方程中a ，b 的值不肯定是整数，③错误．【答案】 ①③11．在调查某班级数学成果与物理成果的相关关系时，对数据进行统计得到散点图(如图2所示)，用直线y ^＝b^x ＋a ^近似刻画其关系，依据图形，b 的数值最有可能是________．(填序号)图2①0；②2.55；③0.85；④－0.24.【解析】 从散点图来看某班级数学成果与物理成果的相关关系是正相关，所以回归直线的斜率不能是负值，所以④不正确，由于回归直线不和横轴平行，所以斜率不能是0，所以①不正确，从散点图观看，直线应当比y ＝x 的斜率要小一些，肯定不会达到2.55，所以②不正确，只有0.85符合题意．【答案】 ③12．考古学家通过争辩始祖鸟化石标本发觉：其股骨长度x (cm)与肱骨长度y (cm)的线性回归方程为y ^＝1.197x －3.660，由此估量，当股骨长度为50 cm 时，肱骨长度为________cm. 【导学号：29440072】【解析】 依据线性回归方程y ^＝1.197x －3.660，将x ＝50代入得y ^＝56.19，则估量肱骨长度为56.19 cm.【答案】 56.1913．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：月份x1234用水量y/百吨 4.543 2.5由散点图可知(图略)，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y^＝－0.7x＋a^，则a^＝________.【解析】回归直线过样本点的中心点(2.5,3.5)，代入线性回归方程得：3.5＝－0.7×2.5＋a^，解得a^＝5.25.【答案】 5.2514．某高校教《统计初步》课程的老师随机调查了选修该课的一些同学的状况，具体数据如下表：非统计专业统计专业合计男131023女72027合计203050为了推断选修统计专业是否与性别有关系，依据表中的数据，得到χ2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，由于χ2>3.841，所以认为主修统计专业与性别有关系，则这种推断出错的可能性为________．【解析】由于χ2>3.841，查临界值表，可知推断出错的可能性为5%.【答案】5%二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)随着生活水平的提高，越来越多的人参与了潜水这项活动．某潜水中心调查了100名男性和100名女性下潜至距离水面5米时是否会耳鸣，得到下面的2×2列联表.有耳鸣无耳鸣合计男3070100女5050100合计80120200利用独立性检验的方法推断耳鸣与性别是否有关系？若有关系，所得结论的把握有多大？【解】提出假设H0：耳鸣与性别没有关系．∵χ2＝200×(30×50－70×50)2100×100×80×120≈8.33>7.897.∴可以推断耳鸣与性别是有关系的．∵P(χ2>7.879)≈0.005.∴我们有99.5%的把握认为耳鸣与性别有关．16．(本小题满分14分)下表供应了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(t)与相应的能耗y(t)的几组对比数据.x 345 6y 2.534 4.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请依据上表供应的数据，求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^.【解】(1)由题设所给数据，可得散点图如图所示．(2)由对比数据，计算得∑4i＝1x2i＝86，x－＝3＋4＋5＋64＝4.5，y－＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑4i＝1x i y i＝66.5，b^＝∑4i＝1x i y i－4 x－y－∑4i＝1x2i－4(x－)2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7，a ^＝y －－b ^x －＝3.5－0.7×4.5＝0.35.因此，所求的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.17．(本小题满分14分)某大型企业人力资源部为了争辩企业员工工作乐观性与对待企业改革的态度的关系，随机抽取了189名员工进行调查．其中乐观支持企业改革的被调查者中，工作乐观的有54人，工作一般的有32人；而不太赞成企业改革的被调查者中，工作乐观的有40人，工作一般的有63人．试推断员工对待企业改革的态度是否与其工作乐观性有关．【解】 提出假设H 0：员工对待企业改革的态度与其工作乐观性无关． 由题意得，如下2×2列联表：χ2＝189×(54×63－40×32)294×95×86×103≈10.759.由于χ2≈10.759>7.879，所以有99.5%的把握认为，员工对待企业改革的态度与其工作乐观性有关．18．(本小题满分16分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析争辩，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与试验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请依据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的估量数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是牢靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否牢靠？【解】 (1)设大事A 表示“选取的2组数据恰好是不相邻2天的数据”，则A 表示“选取的数据恰好是相邻2天的数据”．基本大事总数为10，大事A 包含的基本大事数为4. ∴P (A )＝410＝25， ∴P (A )＝1－P (A )＝35.(2)x ＝12，y ＝27，∑3i ＝1x i y i ＝977，∑3i ＝1x 2i ＝434， ∴b ^＝∑3i ＝1x i y i －3x y ∑3i ＝1x 2i－3(x )2＝977－3×12×27434－3×122＝2.5，a^＝y －b ^x ＝27－2.5×12＝－3， ∴y ^＝2.5x －3.(3)由(2)知，当x ＝10时，y ^＝22，误差不超过2颗； 当x ＝8时，y ^＝17，误差不超过2颗．故所求得的线性回归方程是牢靠的．19．(本小题满分16分)假设关于某设备的使用年限x 和所支出的修理费用y (万元)，有如下表的统计资料：使用年限x 2 3 4 5 6 修理费用y2.23.85.56.57.0若由资料知y 与x 呈线性相关关系．(1)试求线性回归方程y ^＝b ^x ＋a 的回归系数b ^与常数项a ^；(2)估量使用年限为10年，则修理费用是多少万元？ 【解】 (1)由已知条件制成下表：序号 1 2 3 4 5 合计 x i 2 3 4 5 6 20 y i 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 x i y i 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3 x 2i4916253690x －＝4，y －＝5，∑i ＝15x 2i ＝90，∑i ＝15x i y i ＝112.3于是b ＝112.3－5×4×590－5×42＝12.310＝1.23，a ＝y －－b x －＝5－1.23×4＝0.08.(2)由(1)知线性回归方程是y ＝1.23x ＋0.08，当x ＝10时，y ＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)． 即估量使用10年时修理费用是12.38万元．20．(本小题满分16分)以下是某地搜集到的新居屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：房屋面积x (m 2) 115 110 80 135 105 销售价格y (万元)24.821.618.429.222(1)画出数据对应的散点图；(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；(3)依据(2)的结果估量当房屋面积为150 m 2时的销售价格． 【解】 (1)散点图如图所示：(2)x －＝15∑i ＝15x i ＝109，∑i ＝15(x i －x －)2＝1 570， y －＝23.2，∑i ＝15(x i －x －)(y i －y －)＝308.设所求线性回归方程为y ＝bx ＋a ， 则b^＝3081 570≈0.196 2，a ^＝y －－b ^x －＝23.2－3081 570×109≈1.816 6. 故所求线性回归方程为y ＝0.196 2x ＋1.816 6. (3)据(2)可知，当x ＝150 m 2时，销售价格的估量值为 y ＝0.196 2×150＋1.816 6＝31.246 6(万元)．。

姓名：__________班级：________得分：________1.设2()ln(2)f x x x x =+，则'(1)f = .2.点（2，a ）在直线3240x y -+=的右下方，则a 的取值范围是 .3.函数32()15336f x x x x =-+++的单调减区间为 ．4.已知函数2233)(m nx mx x x f +++=在1x =-处取得极值0，则m n += .5．如图是导函数)(x f y '=的图象:①2x 处导函数)(x f y '=有极大值；②在41,x x 处导函数)(x f y '=有极小值；③在3x 处函数)(x f y =有极大值；④在5x 处函数)(x f y =有极小值;以上叙述正确的是____________.6．若对任意x R ∈，不等式2134x ax x -≥-恒成立，则实数a 的范围是 ． 7.设()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x = .8.（理科）在下列等式中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是________．(写出所有符合要求的序号)①OM →＝2OA →－OB →－OC →；②OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →； ③MA →＋MB →＋MC →＝0；④OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0.（文科）已知集合{}223x x x P =-≥，{}Q 14,x x x Z =<<∈，则Q P =I ． 9.已知函数()f x =2x x a x++，[)1,x ∈+∞． （１）当a =13时，求函数()f x 的最小值； （2）若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围．10.（理科）如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．（1）化简：A 1O →－12AB →－12AD →； (2)设E 是棱DD 1上的点且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，试求x 、y 、z 的值．（文科）（本小题满分14分）设}03)4(|{22=++-+=a x a x x A ，}065|{2=+-=x x x B ，}0252|{2=+-=x x x C ．（1）若A B A B =I U ，求a 的值；（2）若A B A C =≠∅I I ，求a 的值．参考答案。