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柯西不等式(优质课)

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柯西不等式(优质课)

柯西不等式(优质课)
应用
在概率论、统计学、信号处理等领域有广泛应用，特别是在估计概率分布、优化 信号传输等方面。
柯西不等式的变体
积分柯西不等式
对于任意的非负函数$f(x)$和$g(x)$， 有$int f(x)g(x)dx leq left(int f^2(x)dxright)^{frac{1}{2}} left(int g^2(x)dxright)^{frac{1}{2}}$。
应用
在向量分析、线性代数、数学物理等领域有广泛应用，特别是在解决优化问题、不等式 证明等方面。
广义柯西不等式
广义柯西不等式
对于任意的非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$和$b_1, b_2, ldots, b_n$，有$(a_1b_1 + a_2b_2 + ldots + a_nb_n)^2 leq (a_1^2 + a_2^2 + ldots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ldots + b_n^2)$。
• 然后应用柯西不等式得到左边 ≤abc[1^2+(1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb)^2+(1/c)^2+(1/a)^2]=abc。
答案与解析
3. 证明
(x+y)^2≤2(1+xy)
解析
首先展开左边得到(x+y)^2=x^2+y^2+2xy。
答案与解析
然后应用柯西不等式得到左边≤2[(x^2+y^2)/2]^2+2xy=2(1+xy)。
解析几何应用
在解析几何中，柯西不等 式可用于研究平面或空间 中的点、线、面的性质和 关系。
在物理领域的应用

数学课件：2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明

数学课件：2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明

≥
(
������
∑
������������)2
������=1
������
∑ ������������
,
当且仅当ai=λbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
变形(2)
������=1
设
������
ai,bi(i=1,2,…,n)同号且不为零,则 ∑
������=1
������������ ������������
名师点拨记忆柯西不等式的一般形式,一是抓住其结构特点:左
边是平方和再开方的积,右边是积的和的绝对值;二是与二维形式
的柯西不等式类比记忆.
知识拓展柯西不等式的变形和推广:
变形(1) 设 ai,bi∈R,bi>0(i=1,2,…,n),
������
则∑
������=1
���������2��� ������������
=
������2 ������2
=
⋯
=
������������ ������������
时等号成立.
∴(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤4. ∴-2≤a1b1+…+anbn≤2. ∴所求的最大值为2.
答案:C
1.一般形式的柯西不等式如何应用? 剖析:我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题, 但往往不能直接应用,需要对数学式子的形式进行变形,拼凑出与 一般形式的柯西不等式相似的结构,才能应用,因而适当变形是我 们应用一般形式的柯西不等式的关键,也是难点.我们要注意在应 用柯西不等式时,对于数学式子中数或字母的顺序要对比柯西不等 式中的数或字母的顺序,以便能使其形式一致,然后应用解题. 2.如何利用“1”? 剖析:数字“1”的利用非常重要,为了利用柯西不等式,除了拼凑应 该有的结构形式外,对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代 表的数或式子所不能起的作用.这要求在理论上认识柯西不等式与 实际应用时二者达到一种默契,即不因为“形式”与“面貌”的影响而 不会用柯西不等式.

人教A版高中数学选修4-5第3讲 2 一般形式的柯西不等式名师公开课市级获奖课件(38张)

人教A版高中数学选修4-5第3讲 2 一般形式的柯西不等式名师公开课市级获奖课件(38张)
预习学案 课堂学案 课后练习
3．已知 a，b，c 为正实数，且 a＋2b＋3c＝9，求 3a＋ 2b ＋ c的最大值________．
解析：
3a＋ 2b＋ c
1 ＝ 3 a＋ 2b＋ 3c 3 ≤
1 3 ＋ 1 ＋ a＋2b＋3c 3
＝ 39，故最大值为 39.
答案：
征，构造两组数的积的形式，然后以柯西不等式求解即可．
数学 选修4-5
第三讲 柯西不等式与排序不等式
预习学案 课堂学案 课后练习
[ 解题过程]
＝ ≥
a2 b2 c2 ＋ ＋ ∵ (a＋b＋c) b c a
a 2 b 2 c 2 2 2 2 ＋ ＋ · [( b ) ＋ ( c ) ＋ ( a ) ] c a b a b c 2 · b＋ · c＋ · a b c a
然后结合柯西不等式处理．
数学 选修4-5
第三讲 柯西不等式与排序不等式
预习学案 课堂学案 课后练习
[ 解题过程]
12x＋22x＋„＋n－12x＋a· n2x ∵f(2x)＝lg n
12x＋22x＋„＋n－12x＋a· n2x ∴要证 f(2x)≥2f(x)， 只要证 lg n 1x＋2x＋„＋n－1x＋a· nx ≥2lg ， n 12x＋22x＋„＋n－12x＋a· n2x 即证 n
解析： 根据已知条件和柯西不等式有 (x2＋y2＋z2)(12＋42＋32)≥(x＋4y＋3z)2＝4， 4 2 所以 x ＋y ＋z ≥ ＝ ， 26 13
2 2 2
x y z 1 4 3 当且仅当 ＝ ＝ ，即 x＝ ，y＝ ，z＝ 时， 1 4 3 13 13 13 2 x ＋y ＋z 的最小值是 . 13

柯西不等式(一)教学课件

柯西不等式(一)教学课件
2 2
例 3、已知 x、y R 且 3x2 2 y 2 „ 6 ，求证： 2 x y „ 11.
证明：由柯西不等式可得
a c b d
证法四、 （全量不小于部分） 由于 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2 (ad bc)2 所以 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 .
当且仅当 ad bc 即 时，等号成立
a c b d
定理 1 对任意实数 a，b，c，d ，有 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 . 当向量 (a, b) 与 (c, d ) 共线，即 时，等号成立.
两
边
平
方
a
得
b
A
a 2 b 2 c 2 d 2 卆 ac bd
即 (a b )(c d ) …(ac bd )
2 2 2 2
2
a
c
当且仅当 OB OA 即
a c
b 时，等号成立. d
定理 1 对任意实数 a，b，c，d ，有 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2 . 当向量 (a, b) 与 (c, d ) 共线，即 时，等号成立.
若 a、b 不全为 0，构造函数
f ( x) (a2 b2 ) x2 2(ac bd ) x (c2 d 2 )
由 f ( x) (ax c)2 (bx d )2 …0 对任意 x R 恒成立 所以 4(ac bd )2 4(a2 b2 )(c2 d 2 ) „ 0 即 (a2 b2 )(c2 d 2 ) …(ac bd )2
注： （1）该不等式称为（二维）柯西不等式；

《柯西不等式》课件

《柯西不等式》课件

感谢您的观看
THANKS
应用场景
幂和不等式在数学分析和最优化理论等领域有应用，例如在求解约束优化问题、估计函数 的极值以及分析函数的收敛性等方面。
05
习题与解答
习题一：证明柯西不等式
总结词
通过数学推导证明柯西不等式
详细描述
这道习题要求学生掌握柯西不等式的证明方法，通过数学推导和证明，理解柯西不等式的原理和性质 。
习题二：应用柯西不等式解决问题
总结词
运用柯西不等式解决实际问题
详细描述
这道习题要求学生能够运用柯西不等式解决实际问题，如最大值、最小值问题等，培养学生的数学应用能力。
习题三：探索柯西不等式的变体
总结词
研究柯西不等式的变体形式
详细描述
这道习题要求学生探索柯西不等式的变体形式，理解不同形式的不等式及其应用，培养学生的数学探究能力。
详细描述
平方和不等式是指对于任意非负实数序列a_1, a_2, ..., a_n，有(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) >= (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2。
应用场景
平方和不等式在数学、物理和工程领域有广泛的应用，例如在求解最优 化问题、估计数值稳定性以及分析信号处理中的频率响应等方面。
时。
数学期望
柯西不等式在大数定律的研究中也有应用， 如在研究强大数定律和弱大数定律时。
大数定律
利用柯西不等式，可以推导出一些数学期望 的性质和计算方法。
概率不等式
柯西不等式在概率不等式的证明中也有应用 ，如Chebyshev不等式等。

2.1.2_一般形式的柯西不等式(精品公开课课件)

2.1.2_一般形式的柯西不等式(精品公开课课件)
(a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbb )2
当 且 仅 当bi 0(i 1,2,, n)或 存 在 一 个 数 k, 使 得ai kbi (i 1,2,, n)时, 等 号 成 立。
例1 已知a1 , a2 ,, an都是实数, 求证
a12 a22 a32 b12 b22 b32 a1b1 a2b2 a3b3 2
当且仅当ai kbi时等号成立。 猜想柯西不等式的一般形式
定 理(一 般 形 式 的 柯 西 不 等 式)
设a1 , a2 , a3 ,, an , b1 , b2 , b3 ,, bn是 实 数,则
例3 已知x 2 y 3z 1,求x2 y2 z2的最小值
证 明: ( x2 y2 z2 )(12 22 32 ) ( x 2 y 3z)2 1
x2 y2 z2 1 14
当 且 仅 当x y z 即x 1 , y 1 , z 3 时
1 23
14 7 14
x2 y2 z2取最小值 1 14
例4、把一条长是 m 的绳子截成三段，各围成一
个正方形，怎样截法，才能使这三个正方形的面积最小？
解：设三段绳子的长分别为x、y、z，x y z l
则三个正方形的边长依次为 ：x , y , z 这三个正方形的面积之和为： 4 4 4
求证 : (a 1 )2 (b 1 )2 (c 1)2 100
a
b
c3
练习： P30 第1、2、3题
证明： (a2 2 c2 d 2 )(b2 c2 d 2 a2 )
≥ (ab bc cd da)2 ∵ a,b,c,d 是不全相等的正数， a b c d 不

3.2一般形式的柯西不等式(优秀经典公开课比赛课件)

3.2一般形式的柯西不等式(优秀经典公开课比赛课件)
abc
解析 : a b c 1,
∴ 1 1 1 (a b c)( 1 1 1) ≥
abc
abc
( a 1 b 1 c 1 )2 9

b
c
即a b c 1 时, 1 1 1的最小值为9 3 abc
问题 7: 类比二维、三维空间的柯西不等式，
问题 2：你会用柯西不等式证明下面的两个不等式吗？
（１） a2 b2 ≥ 2ab （２） a2 b2 ≥ 1 (a b)2
2
(1)证明: ∵(a2 b2 )(b2 a2 ) ≥ (ab ba)2 (2ab)2, ∴(a2 b2 )2 ≥ (2ab)2
∴a2 b2 ≥ 2ab ≥2ab,
猜一猜 n 维空间的柯西不等式，即一般式．
定理 4：（一般形式的柯西不等式）：
设 n 为大于 1 的自然数， xi , yi R(i 1, 2,3, , n) ,则：
(x12 x22 xn2 )( y12 y22 yn2 ) (x1 y1 x2 y2 xn yn )2
是二次函数,因为对任意的实数 xi , yi (i 1, 2, 3, , n) ,
都有 f (x) ≥ 0 成立，∴△≤0
n
n
n
∴△ 4( xi yi )2 4( xi2 )( yi2 ) 0 ，
i 1
i 1
i 1
∴(x12 x22 xn2 )( y12 y22 yn2 ) (x1 y1 x2 y2 xn yn )2
(x12 x22 x32 )( y12 y22 y32 ) ≥ (x1 y1 x2 y2 x3 y3 )2

教学课件选修45第三节柯西不等式与算术几何平均不等式

教学课件选修45第三节柯西不等式与算术几何平均不等式

(2)
若正实数
a，b，c
满足
abc＝1，求
a4 b(a
c)
b4 c(a
b)
c4 a(b
c)
的最小
值．
“数学史与不等式选讲”模块
(1) 证明 1：因为 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
三式相加并除以 2 得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca．
(1) 证明 2：因为 a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝ 1 [(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，
3．二维形式的三角不等式：设 x1，y1，x2，y2∈R，那么 x12＋y21 ＋ x22＋y22≥ x1－x22＋y1－y22
4．柯西不等式的一般形式： 设 n 为大于 1 的自然数，ai，bi(i＝1,2，…，n)为任意实数，
则i＝n1ai2·i＝n1b2i ≥(i＝n1aibi)2，其中等号当且仅当ab11＝ba22＝…＝abnn时
3、（2010 年浙江省高考）设正实数 a，b，c，满足 abc≥1.
a2
b2
c2
求 a 2b b 2c c 2a 的最小值。
4.（2009 浙江高考） 已知正数 x, y, z 满足 x y z 1.
(1)求证: x 2
y2
z2
1;
y 2z z 2x x 2y 3
(2)求 4x 4y 4z2 的最小值.
2
所以 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca．
…………5 分
(2) 解：由(1)及柯西不等式，均值不等式知
≥ a4 b4 c4
(a2 b2 c2)2
b(a c) c(a b) a(b c) 2(ab bc ca)

柯西不等式课件

柯西不等式课件
2，当且仅当 b ＝0( i ＝1，2，3，…， n )或存在一个数 k ，
＋…＋
a
b
)
2
n n
i
使得 ai ＝ kbi ( i ＝1，2，3，…， n )时，等号成立.
利用函数知识证明柯西不等式.
[证明] 构造二次函数
f ( x )＝( a 1 x ＋ b 1)2＋( a 2 x ＋ b 2)2＋…＋( anx ＋ bn )2
法,构造向量法是三种常见的证明方法.
跟踪训练
4. 请用数学归纳法证明柯西不等式.
证明：(1)当 n ＝1时，左式＝( a 1 b 1)2，右式＝( a 1 b 1)2，
显然，左式＝右式；
当 n ＝2时，左式＝( 12 ＋ 22 )( 12 ＋ 22 )＝( a 1 b 1)2＋( a 2 b 2)2＋ 22 12 ＋
个是零向量，则规定 a ·b ＝0，上面的结果仍然正确.
请利用此结论证明下列问题：已知 p ， q ∈R＋，且 p 3＋ q 3＝2.求证： p
＋ q ≤2.
[证明]
p ， q ∈R＋，且 p 3＋ q 3＝2，设 a ＝( 3 ， 3 )， b ＝( ，
)，由向量数量积知｜ a ｜｜ b ｜≥｜ a ·b ｜，则｜ a ｜2·｜ b ｜2≥( a ·b )2，
＋ 2 )≤0，
例3
即( a 1 b 1＋ a 2 b 2＋…＋ anbn )2≤( 12 ＋ 22 ＋…＋ 2 )( 12 ＋ 22 ＋…＋ 2 )，
1
2

当且仅当 aix ＋ bi ＝0( i ＝1，2… n )即 ＝ ＝…＝ 时等号成立.
1
2

方法总结
柯西不等式的证明方法很多,有十几种,其中构造函数、数学归纳

《2.1柯西不等式 2 一般形式的柯西不等式》课件 -优质公开课-北师大选修4-5精品

《2.1柯西不等式 2 一般形式的柯西不等式》课件 -优质公开课-北师大选修4-5精品

1，2，3)时，等号成立.
课前探究学习
课堂讲练互动
3．你能猜想出柯西不等式的一般形式并给出证明吗？
提示 柯西不等式的一般形式为：若 a1，a2，„，an，b1， 2 2 2 2 b2， „， bn 都为实数，则有 (a2 ＋ a ＋ „ ＋ a )( b ＋ b 1 2 n 1 2＋ „ ＋ 2 b2 n)≥(a1b1＋a2b2＋„＋anbn) ， 证明如下： 若 a1＝a2＝„＝an＝0，则不等式显然成立，故设 a1，a2，„， 2 2 an 至少有一个不为零，则 a2 ＋ a ＋ „ ＋ a 1 2 n>0. 2 2 2 考虑二次三项式 (a 2 1 ＋ a 2 ＋ „ ＋ a n )x ＋ 2(a1b1 ＋ a2b2 ＋ „ ＋ 2 2 anbn)x＋(b2 1＋b2＋„＋bn) ＝(a1x＋b1)2＋(a2x＋b2)2＋„＋(anx＋bn)2≥0. 对于一切实数 x 成立，设二次三项式的判别式为 Δ， Δ 2 2 2 2 则 ＝(a1b1＋a2b2＋„＋anbn)2－(a2 ＋ a ＋ „ ＋ a )( b ＋ b 1 2 n 1 2＋ „ 4 2 ＋bn )≤0.
课前探究学习
课堂讲练互动
2．在空间向量中，|α||β|≥|α·β|，你能据此推导出三维的柯 西不等式的代数式吗？ 提示 设α＝(a1，a2，a3)，β＝(b1，b2，b3)，
则α·β＝a1b1＋a2b2＋a3b3代入向量式得
2 2 2 2 2 2 (a2 1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3) . 当且仅当α与β共线时，即存在一个数k，使得ai＝kbi (i＝
＝[( a＋b)2＋( b＋c)2＋( c＋a)2]·
课前探究学习 课堂讲练互动

高中数学 3.2一般形式的柯西不等式课件 新人教A版选修4-5

高中数学 3.2一般形式的柯西不等式课件 新人教A版选修4-5

接
a1b＋b1c＋c1d＋d1a2，
于是a12＋b12＋c12＋d12≥a1b＋b1c＋c1d＋d1a.①
精选ppt
7
1111
等号成立⇔a1＝b1＝1c＝d1⇔ba＝bc＝dc＝ad⇔a＝b＝c＝d，
栏
bcda
目
链
由题设 a，b，c，d 不全相等，于是①中有严格等号不成立， 接
即a12＋b12＋c12＋d12＞a1b＋b1c＋c1d＋d1a.
第三讲 柯西不等式与排序不等式
3．2 一般形式的柯西不等式
精选ppt
1
精选ppt
栏 目 链 接
2
不等式证明
已知 a，b，c∈R＋，求证：
栏
ba＋bc＋acab＋bc＋ac≥9.
目 链 接
分析：对应三维形式的柯西不等式，a1＝ ab，a2＝ bc，a3＝
ac，b1＝ ba，b2＝ bc，b3＝ ac，而 a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而
得证．
精选ppt
3
证明：由柯西不等式知：
左边＝
ab 2＋
bc2＋
ac2×
栏
目
ba2＋
bc2＋
ac2≥
链 接
ab×
ab＋
bc×
bc＋
ac×
a c
2＝
(1＋1＋1)2＝9.
精选ppt
4
∴原不等式成立．
已知 a1，a2…，an 都是实数．
求证：(a1＋a2＋…＋an)2≤n(a12＋a22＋…＋an2)．
栏
目
分析：与柯西不等式的结构相比较，发现它符合柯西不等式的结 链
接
构，因此可用柯西不等式来证明．
证明：根据柯西不等式，有

第3讲2一般形式的柯西不等式课件人教新课标

第3讲2一般形式的柯西不等式课件人教新课标
当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)
时等号成立.
题型探究
类型一 利用柯西不等式证明不等式 命题角度1 三维情势的柯西不等式的应用 例1 设a，b，c为正数，且不全相等. 求证：a＋2 b＋b＋2 c＋c＋2 a＞a＋9b＋c.
证明
反思与感悟 有些问题一般不具备直接应用柯西不等式的条件，可以通过： (1)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以巧拆常数. (2)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以重新安排各项的次序. (3)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以改变式子的结构，从而到达使 用柯西不等式的目的. (4)构造符合柯西不等式的情势及条件，可以添项.
∴a＋2b＋3c的最小值为9.
1234
解析 答案
3.设 a，b，c，d 均为正实数，则(a＋b＋c＋d)1a＋b1＋1c ＋1d的最小值为 __1_6_____.
解析 (a＋b＋c＋d)1a＋1b＋1c＋1d
＝[(
a)2＋(
b)2＋(
c)2＋(
d)2]·
1a2＋
1b2＋
1c2＋
1
2
d
≥
a·1a＋
a2b2＋a3b3)2 ，当且仅当 b1＝b2＝b3＝0或存在一个数 k，使得 ai＝kbi
(i＝1,2,3)时等号成立.
知识点二 一般情势的柯西不等式
1.一般形式的柯西不等式 设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21 ＋b22＋…＋b2n)≥ (a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2 . 2.柯西不等式等号成立的条件
b·1b＋
c·1c＋
d·1d2

柯西不等式课件

柯西不等式课件

二维形式的三角不等式
设 x1,y1,x2,y2R,那么
( x 1 2 + y 1 2 ) +( x 2 2 + y 2 2 ) ( x 1 - x 2 ) 2 + ( y 1 - y 2 ) 2
三维形式的三角不等式 设 x1, y1, z1, x2, y2, z2 R,那么
( x 1 2 + y 1 2 + z 1 2 ) + ( x 2 2 + y 2 2 + z 2 2 ) ( x 1 - x 2 ) 2 + ( y 1 - y 2 ) 2 ( z 1 - z 2 ) 2
（二维形式的柯西不等式）
若 a ,b ,c ,d 都是实数，则
a2b2 c2d2|a cbd |
当且仅当 ad = bc 时等号成立．
2020/3/27
柯西不等式的向量形式 设 α ,β 是两个向量,则
||||||
当且仅当 β 是零向量，或存在k实数使 α = k β 时，等号成立．
2020/3/27
求:证 x12 x22 xn2 1
1x1 1x2
1xn n1
证明: (n 1) ( x12 x22 xn2 )
1 x1 1 x2
1 xn
(1 x1
1
x2
1
xn
)
( 1
x12 x1
x22 1 x2
xn2 ) ( 1 xn
1 x1
x1 1 x1
1 x2
x2 1 x2
柯西不等式
2020/3/27
例1. 求函数 y5 x1102x的最大值
引：
若 2 x 3 y 1 , 求 4 x 2 9 y 2 的 最 小 值 , 并 求 最 小 值 点 .

第四讲柯西不等式2名师课件

第四讲柯西不等式2名师课件
定理 3（三维形式下的三角不等式） 设 x1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y3 R ,则
x12 x22 x32 y12 y22 y32 ( x1 y1 )2 ( x2 y2 )2 ( x3 y3 )2
定理(一般形式的柯西不等式) 若 a1, a2 , a3 ,L an , b1, b2 , b3 ,L bn 都是实数, 则 (a12 a22 L an2 )(b12 b22 L bn2 )≥ (a1b1 a2b2 L anbn )2 .
例1、已知a2 b2 c2 1. 求a b c的最大值；
变式1、求a 2b 3c的最大值； 变式2、求a 2b 3c的最大值；
例2、已知x y z 1.
求x2 y2 z2的最小值； 变式1、求x2 4 y2 9z2的最小值；
变式2、求 x 1 y 1 z 1的最大值；
x2 y2 z2 w2 12,
求w的取值范围.
变式3、x

1 y

1 z
的最小值；
变式4、当x, y, z R时，求
(x 1 )2 (y 1 )2 (z 1)2的最小值；
x
y
z
例3、（1）已知a,b, c R.证明： a b c 3
bc ca ab 2
（2）已知x y z w 6,
当且仅当 bi 0(i 1, 2,L , n) 或存在一个数 k ， 使得 ai kbi (i 1, 2,L , n) 时,等号成立.
定理（一般形式下的三角不等式） 设 x1 , x2 ,L , xn , y1 , y2 ,L , yn R ,则

2019年安徽省高中数学优质课比赛说课稿柯西不等式(第一课时)

2019年安徽省高中数学优质课比赛说课稿柯西不等式(第一课时)

二维形式的柯西不等式（第一课时）说课稿安徽省六安中学钟志虎各位专家、评委：上午好！今天我说课的课题是新课标人教A版选修4一5第3讲“柯西不等式与排序不等式”第1节二维形式的柯西不等式（第一课时），下面我将从以下六个方面进行分析。

一、教材分析柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用。

二维柯西不等式的向量形式和代数形式是等价的，从而可以从形和数两个角度加深对柯西不等式的认识和运用，也为后面引出三维和一般形式的柯西不等式埋下伏笔。

二、学情分析学生已经初步掌握不等式和向量的基本知识，具有对数运算、基本不等式等公式学习的经验，有一定的观察、思考、推理能力，这些都为柯西不等式的学习奠定了基础.三、教学目标根据以上两点，教学目标确定为：1）借助平面向量数量积的性质，探究发现二维形式的柯西不等式，并能进行代数证明；2）掌握二维形式的柯西不等式的结构特征以及等号成立的条件，能初步利用柯西不等式进行基本的推理证明和简单的函数最值的求解；3）经历对二维形式的柯西不等式的探究、证明和应用过程，提升直观想象、逻辑推理、数学运算数学学科核心素养。

教学重点确立为：二维形式的柯西不等式及其初步应用。

教学难点确立为：二维形式的柯西不等式的结构特征。

四、教学策略：教法：采用启发、探究式学习。

通过设疑启发、引导探究、深化理解、归纳总结达到课堂的充分交流互动。

学法：引导学生揭示知识的内涵，帮助其养成独立思考、合作探究的良好习惯.五、教学过程分析环节一：引入新课为激发学生探究欲望，创设情境：播放川剧变脸短视频我国的川剧艺术，有一个典型代表——变脸。

脸虽然变来变去，但人始终还是那个人。

这节课，我们学习数学中的一个经典不等式，它也经常变脸，需要我们敏锐地分辨出真人，这就是柯西不等式。

设计意图：引入课题。

环节二：新知探究“柯西不等式从哪里来？它长什么样？”这是这一环节的主要任务，为此设计如下三个问题：问题1：设α、是两个向量，根据向量数量积的定义，有αcosβθ=⋅，这个等式中共有四个量：⋅，θ⋅cos，其中某些量之间含有不等关系，你能找到吗？问题引导：（1）哪个量自己天生就蕴含不等关系（有范围限制）？（2）由1cos ≤θ，可以得到βα⋅之间具有怎样的不等关系？≤①；（3）等号何时成立？——α、β共线。

《二 一般形式的柯西不等式》课件1-优质公开课-人教A版选修4-5精品

《二 一般形式的柯西不等式》课件1-优质公开课-人教A版选修4-5精品

二 一般形式的柯西不等式
问题导学 当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
一、利用柯西不等式证明不等式
活动与探究 怎样巧用柯西不等式? 提示:在一个问题的众多解法中,利用柯西不等式来解往往是最优
的.因此,正确地理解柯西不等式,掌握它的结构特征,碰到棘手的问题,
思路分析:将已知等式变形,直接应用柯西不等式.
解:由柯西不等式,得 120=3[(2x+1)+(3y+4)+(5z+6)]
≥(1× 2������ + 1+1× 3������ + 4+1× 5������ + 6)2,
故 2������ + 1 + 3������ + 4 + 5������ + 6≤2 30.
当且仅当 2x+1=3y+4=5z+6,即 x=367,y=298,z=2125时,等号成立,此时 umax=2 30.
二 一般形式的柯西不等式
问题导学 当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
迁移与应用 把一根长为 12m 的细绳截成三段,各围成三个正方形.问:怎样截法, 才能使围成的三个正方形面积之和 S 最小,并求此最小值.
问题导学 当堂检测
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
(5)因式的巧嵌
有时为了运用柯西不等式,我们需要设法嵌入一个因式.

【2021精品】高中数学《一 二维形式的柯西不等式》公开课优质教学设计教案

【2021精品】高中数学《一 二维形式的柯西不等式》公开课优质教学设计教案

一 二维形式的柯西不等式（1）教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点：理解几何意义. 教学过程： 一、复习准备：1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？答案：(0,0)2a ba b +>>及几种变式. 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 二、讲授新课： 1. 教学柯西不等式：① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则2||m a =2||n c d =+∵ m n ac bd •=+，且||||cos ,m n m n m n =<>，则||||||m n m n ≤. ∴ ….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立.∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++≤0，即….. ③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？ 222||c d ac bd +≥+ 或 222||||c d ac bd +≥+222c d ac bd +≥+.④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）→ 讨论：上面时候等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线）⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式：① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明→ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 三、巩固练习：1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式2. 作业：教材P 37 4、5题.二维形式的柯西不等式（二）教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系. 教学重点：利用二维柯西不等式解决问题. 教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式. 教学过程： 一、复习准备：1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+≥2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3. 如何利用二维柯西不等式求函数y ?要点：利用变式22||ac bd c d ++.二、讲授新课： 1. 教学最大（小）值：① 出示例1：求函数y = 分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演→变式：y = → 推广：,,,,,)y a b c d e f R +=∈② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值. 解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313x y x y x y +=++≥+=. 讨论：其它方法 （数形结合法）2. 教学不等式的证明：① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥. 分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）要点：2222111111()()]22x y x y x y +=++=++≥… 讨论：其它证法（利用基本不等式）② 练习：已知a 、b R +∈，求证：11()()4a b a b++≥. 3. 练习：① 已知,,,x y a b R +∈，且1a bx y+=，则x y +的最小值. 要点：()()a bx y x y x y+=++=…. → 其它证法② 若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求222x y z ++的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=.3. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧. 三、巩固练习：1. 练习：教材P 37 8、9题2. 作业：教材P 37 1、6、7题。

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定理3：(二维形式的三角不等式)
2 2 x2 y2 ( x1 x 2 ) 2 ( y1 y2 ) 2
设x1 , y1 , x 2 , y2 R, 则 x12 y12

证明思路1：(几何法)
y P1(x1,y1) P2(x2,y2) O x
y
P1(x1,y1) O P2(x2,y2)
(2) (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时, 等号成立.
例2.求函数
y 5 x 1 10 2 x
的最大值
ac bd (a b ) c d
2 2 2
2

变形，使之出现常数
1 22 设a 0, b 0, 且a b 1, 求证：2a 1 b 3 2
2 2 2 2
不等式①：
2
不等式②：
a c ad bc b d a d ac bd b c
x y 例3.设x 0, y 0, 且x y 2, 的最小值。 2 x 2 y
2
2
灵活对调前后项
变式1：若2 x 3 y 1, 求4 x 9 y 的最小值.
思考
设a1 , a2 , a3 ,
2 1 2 2 2 3
, an , b1 , b2 , b3 ,
2 1 2 2 2 3
, bn是实数,则
(a a a )(b b b ) ≥
?
2 2
(a a 2 1 2 2 a )(b b 2 n 2 1
b )
2 n
1 1 4 例4.若a b c, 求证： a b bc a c
练习2
变形，使之出现 条件中的表达式或表达式的倍数
x y 例3.设x 0, y 0, 且x y 2, 的最小值。 2 x 2 y
2
2
不等式(a b )(d c ) (ad bc ) 成立吗？
2 2 2 2 2
与不等式(a b )(c d ) (ac bd ) 矛盾吗？它们之间有什么区别？
2 2 2
2

两边平方后得证.
柯西不等式的几何意义
设 (a, b), (c, d ), 则
ac bd (a b ) c d
2 2 2
2

“=”何时成立
当且仅当是零向量, 或存在实数k , 使 k 时,等号成立.
定理 2(柯西不等式的向量形式) 若 , 是两个向量,则 ≥ . 当且仅当 是零向量或存在实数 k ，使 k 时,等号成立.
(1) (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时, 等号成立.
2 2 2 2
(2) (a b ) (c d ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时 , 等号成立.
(a 2 b2 )(c 2 d 2 ) ≥ (ac bd )2
思考
设a1 , a2 , a3 ,
2 (a12 a2
, an , b1 , b2 , b3 ,
2 an )(b12 b22
, bn是实数,则
2 bn )
2 2
2 1 变式2：设a, b R , 2a 3b 6求 的最小值. a b

小结
1、二维形式的柯西不等式 2 2 2 2 2 若 a, b, c, d 都是实数 , 则 (a b )(c d ) ≥ (ac bd ) . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
2、二维形式的柯西不等式的变式
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 a, b, c, d 都是实数 , 则 (a2 b2 )(c2 d 2 ) ≥ (ac bd )2 . 当且仅当 ad bc 时,等号成立.
变变形……,可得下面不等式:
若 a, b, c, d 都是实数, 则 (1) (a 2 b 2 ) (c 2 d 2 ) ≥ ac bd .当且仅当 ad bc 时, 等号成立.
例1：已知a,b为实数，求证
(a b )(a b ) (a b )
4 4 2 2 3
3 2
分清（找准）a,b,c,d
1 1 练习 1:设 a , b R , a b 1, 求证: ≥ 4 . a b

证明:由于 a , b R ,根据柯西不等式,得 1 1 1 1 2 (a b)( ) ≥ ( a b ) 4 a b a b 1 1 又 a b 1 ,∴ ≥ 4 a b
由 a 2 b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系 ,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系:
设 a, b, c, d 为任意实数.
(a b )(c d )
2 2 2 2
联
想
研究一下(a2+b2)(c2+d2)的不等关系
(a b )(c d )
2 2 2 2
a c b d a d b c
x

证明思路2：(代数法)
2 2 2 2 2 2 x1 y12 2 x1 x 2 y1 y2 x 2 y2 x1 y12 2( x1 x 2 y1 y2 ) x 2 y2 2 2 2 2 x1 2 x1 x 2 x 2 y12 2 y1 y2 y 2 ( x x ) ( y y ) 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
2 2
(ac bd ) (ad bc)
2
2
(ac bd )
2
二维形式的柯西不等式
二维形式的柯西不等式定理：
若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立. 仔细观察上述定理，概括它的特点
平方的和的乘积不小于乘积的和的平方
2 2 2 2 2 2 2 2 证明 : ( x12 y12 x 2 y2 ) x1 y12 2 x12 y12 x 2 y2 x2 y2
(1)二维形式的柯西不等式
小结
(a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) (ac bd ) 2 (a , b, c , d R) 当且仅当ad bc时, 等号成立.
已知 a,b R ，a+b=1, x1 , x2 R ,


求证： ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ x1 x 2
分析：如果对不等式左端用柯西不等式，就得不到所 要证明的结论 .若把第二个小括号内的前后项对调一 下，情况就不同了. 证明：∵ ax1 bx2 bx1 ax2 = ax1 bx2 ax2 bx1 由柯西不等式可知
补全a,b,c,d
柯西不等式的几何意义
– 证明思路2：(构造向量法)
设 (a, b), (c, d ), 则
a b , c d ,
2 2 2 2
ac bd ,
利用 ,
ac bd (a b ) c d
注：若 ( x1 , y1 ) ， ( x2 , y2 ) ，则 x1 x2 y1 y2 cos , 2 2 2 2 x1 y1 x2 y2
定理 1(二维形式的柯西不等式) 若 x1 , y1 , x2 , y2 都是实数 , 则 ( x12 y12 )( x22 y22 ) ≥( x1 x2 y1 y2 )2 . 当且仅当 x1 y2 x2 y1 时,等号成立.
( 2) a 2 b 2 c 2 d 2 ac bd
(3) a 2 b 2 c 2 d 2 ac bd
(4)柯西不等式的向量形式 .当且仅当
是零向量, 或存在实数k , 使 k 时, 等号成立.
(5)二维形式的三角不等式
2 2 x12 y12 x2 y2 ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2
2 2
解 :由柯西不等式(4 x 9 y )(1 1 ) (2 x 3 y ) 1,
2 2 2 2 2
1 4x 9 y . 2 当且仅当2 x 1 3 y 1, 即2 x 3 y时取等号.
2 2
1 x 2 x 3 y 4 由 得 2 x 3 y 1 y 1 6 1 4 x 9 y 的最小值为 2
柯 西 不 等 式
二维形式的柯西不等式
柯西(Cauchy,Augustin-Louis, 1789-1857)是法国数学家、力学家。
27岁成为巴黎综合工科学校教授，
并当选为法国科学院 院士. 柯西对高等数学的贡献包括：无穷级数的敛散性，
实变和复变函数论,微分方程，行列式，概率和数理方程
等方面的研究． 目前我们所学的极限和连续性的定义，导数的定义， 以及微分、定积分用无穷多个无穷小的和的极限定义， 实质上都是柯西给出的。
ax1 bx2 bx1 ax2 ≥ a
2
x1 x2 b x1 x2

2
= a b x1 x2 x1 x2 .得证
定理 2(柯西不等式的向量形式) 若 , 是两个向量,则 ≥ . 当且仅当 是零向量或存在实数 k ， 使 k 时,等号成立.