工业工程数学基础

矩阵初等变换得
1 0 T1 0 0 0 5 72 0 7.2 2 8 1 0.4 0 1
5
480 36 60
续上
利用上式 x 1 50 / 5 10
x2 36 / 7.2 5
x3 x4 0 z 840
6
目标规划
C1
C2 4 C3 3
1 D
3 1
解：整个计算过程分三个阶段，从最后一个阶段开始。
第一阶段（C →D）： C 有三条路线到终点D 。
显然有 f1 (C1 ) = 1 ； f1(C2 ) = 3 ； f1 (C3 ) = 4
11
3
2 A 4 B2 B1 2 1 3
C1
C2 4 C3 3
1 D
3 1
第二阶段（B →C）： B 到C 有六条路线。
1 3 4 B3 1/ 3 1 1 1/ 4 1 1
1 1 1/ 4 B5 1 1 1/ 4 4 4 1
1 1/ 3 1/ 8 B2 3 1 1/ 3 1 8 3
CI
<2>随机一致性指标RI n RI 1 0 2 0 3 0.52
n
n 1
4 0.89 5 1.12
6 1.26
7 1.36
8 1.41
9 1.46
10 1.49
11 1.52
<3>一致性比率(用于确定A的不一致性的容许范围)
CI CR RI
当CR<0.1时,A的不一致性程度在容许范围内,此 时可用A的特征向量作为权向量!
d( B1,C1 ) + f1 (C1 ) 3+1 f2 ( B1 ) = min d( B1,C2 ) + f1 (C2 ) = min 3+3 d( B1,C3 ) + f1 (C3 ) 1+4 4 = min 6 = 4 (最短路线为B1→C1 →D) 5
12
3
2 A 4 B2 B1 2 1 3
第二讲 工业工程的数学基础
西安建筑科技大学 管理学院
1
MPC(Manufacturing Planning and Control)
规划要素（6M）
人员 物料 机器设备 信息 资金 方法
2
规划过程
市场判据
规划的系统框架 制造资源规划MRPⅡ
过程/流程判据
企业资源规划ERP
组织控制判据
物料需求规划MRP
Fra Baidu bibliotek
w
( 2)
(w1 , w2 ,..., w5 )
( 2) ( 2) ( 2)
即 w (0.263,0.475,0.055,0.099,0.110)
T
用同样的方法构造第3层(方案层)对于第2层的每一个准则的成对比较矩阵,不妨设为:
2 5 1 B1 1/ 2 1 2 1/ 5 1/ 2 1
A max
R. I . 0.52 C. I . 0.0045 C.R. 0.0086 0.1 R. I . 0.52
结论:该判断矩阵一致性良好。
24
4
计算权组合向量并做一致性检验
计算组合权向量
在”旅游问题”中已经得到了第2层(准则层)对于第1层(目标层)的权向量,记为
偏移量 罚函数
多目标
9
动态规划：
范例：最短路径问题 从A 地到D 地要铺设一条煤气管道,其中需经过两级中间站， 两点之间的连线上的数字表示距离，如图所示。问应该选择 什么路线，使总距离最短？ 3 2 A 4 B2 B1 2 C1 C2 1 C3
10
1
3
3 3 4
1 D
3
2 A 4 B2 B1 2 1 3
范例：
假定公司要确定两种型号加工中心的订货台数，以用来制造三种不同的 零件。每种加工中心加工三种零件的生产率（件/h)如下表所示
零件 机床
零件A
零件B
零件C
生产率
（件/h)
加工中心1
加工中心2
10
5
7
5
3
8
假定每种零件生产率的目标为：①目标1：零件A的生产率应达到≥90 件/h ②目标2：零件B的生产率应达到≥80件/h ③目标3：零件C的生 产率应达到≥75件/h。
8
建立数学模型
如下式：
min(1000d1 500d 2 300d 3 )
10x1 5x 2 d1 d1 90 （零件A的生产率目标） 7x 5x d d （零件B的生产率目标） 2 2 2 80 1 d3 75 （零件C的生产率目标） s.t . 3x1 8x 2 d 3 400x 250x 2000 (投资预算约束） 1 2 x , x , d , d , d , d , d , d 3 0 1 2 1 1 2 2 3
18
得到:
A=(xij), xij>0,xji=1/xij
判断矩阵
某人用上述方法得到了”假日旅游”中景色,费用，居住,饮食,旅途5个因素对于目标Z的 比较矩阵如下:
其中,x12=1/2表示景色x1与费用x2对选择旅游地这个目标Z的重要性之比为1:2.即 日认为费用更重要.其他类同.
19
3
计算权向量并做一致性检验
7
续上
若不能达到上述目标要求的生产率，则公司/企业可能受到 的损失为：①零件A：1000000元②零件B：500000元③ 零件C：300000元 若已知每台加工中心1的购置费用为400000元，加工中心2 的购置费用为250000元，投资的总预算为2000000元， 因销售活动而耗费的成本为1000元。 解： 设决策变量 x1为加工中心1的台数，x 2 为加工中心2的台数 偏移变量 d i 为超过第i项目标的数量； d i为达不到第i项目标的数量。
23
最大特征根的计算方法
权重计算方法（特征根法）
这里 max 是A的最大特征根， 是相应的特征向量。所得 的 经归一化就可作为权向量
n 1 计算 max ( Aw )i 作为最大特征根的近似值 n i 1 wi n 3.009 3 C. I . max 0.0045 n 1 3 1
3
2 A 4 B2 B1 2 1 3
C1
C2 4 C3 3
1 D
3 1
第三阶段（ A → B ）： A 到B 有二条路线。
f3(A)1 = d(A, B1 )＋ f2 ( B1 ) ＝2＋4＝6 f3 (A)2 = d(A, B2 )＋ f2 ( B2 ) ＝4＋3＝7 ∴ f3 (A) = min d(A, B1 )＋ f2 ( B1 ) = min｛6,7｝=6 d(A, B2 )＋ f2 ( B2 ) (最短路线为A→B1→C1 →D)
14
系统评价
层次分析法简介 层次分析法(AHP: Analytic Hierarchy Process)是美国著名的运筹学 家T.L.Saaty等人于20世纪70年代提出的一种简便,灵活而又实用 的多准则决策方法.主要用于确定综合评价的决策问题. 层次分析法应用领域 应用遍及经济计划和管理,能源政策和分配,行为科学,军事指挥,运 输,农业,教育,人才,医疗,环境等领域.
规划的数学基础
数学规划 线性规划 目标规划 动态规划 系统工程基础 系统评价 管理决策
3
线性规划模型及其解法
ma xZ c j x j
j 1
标准式： n
s.t . aij x j bi
j 1
n
maxZ CX s.t .AX B X 0
矩阵式：
xj 0
4
线性规划的工程解法
则称A为一致性矩阵，简称一致阵.
一致阵的性质: 1. A的秩为1,A的唯一非零特征根为n; 2. A的任一列向量都是对应于特征根n的特征向量. 若A为一致阵,则对应于特征根n的,归一化的特征向量(即分量之和为1)即表示各 因素对上一层因素Z的权权向量,各分量即为各因素对于Z的权重!
21
由对于一般的判断矩阵(即A不一定一致)如何计算各因素xi对上一层因素Z的 权重(权系数)? n ~ a. 将A的每一列向量归一化得 wij aij / aij
C1
C2 4 C3 3
1 D
3 1
d( B2,C1 ) + f1 (C1 ) 2+1 f2 ( B2 ) = min d( B2,C2 ) + f1 (C2 ) = min 3+3 d( B2,C3 ) + f1 (C3 ) 1+4 3 = min 6 = 3 (最短路线为B2→C1 →D) 5
13
16
1 建立层次结构模型
目 标(Z) 层 解决问题的目的 (也叫总目标)
选择旅游景点
准 则(x) 层
景
色
费 用
居 住
饮 食
旅 途
为实现总目标而 采取的各种措施 和方案
方 案(y) 层
P1
P2
P3
用于解决问题的 各种措施和方案
17
2 构造成对比较矩阵(判断矩阵)
要比较某一层n个因素x1,x2,…,xn对上一层一个因素Z的影响,可从x1,x2,…,xn中任取
注意,x1,x2, … ,xn中有的不是基数变量，而有可能是序数变量如舒适程度,积极性之 类. 小石块W1 小石块W2
设想: 把一块单位重量的石头砸成n块小石块
… 小石块Wn
20
做成对比较时得到
于是,所谓的权重即指各小石块在大石头中所占的比重,即各wi 一般地,如果一个正互反矩阵A满足
aij.ajk=aik, i,j,k=1,2, … , n
范例 求解下列线性规划问题 将该问题标准化，有
ma xZ 40x1 88x 2 2x1 8x 2 60 5x 2x 60 2 1 s.t . x1 0 x2 0
Z 40x1 88x 2 0 2x1 8x 2 x 3 60 5x 2x x 60 2 4 1 建立系数增广矩阵 T0
xi与xj,比较他们对于Z的贡献(或重要性)大小.按照如下”1~9比例尺度”给xi/xj赋值.
尺度xij
含
义
1 3 5 7 9
xi与xj的影响相同 xi与xj的影响稍强 xi与xj的影响强 xi与xj的影响明显地强
xi与xj的影响绝对地强
2,4,6,8
1,1/2,…,1/9
xi与xj的影响之比在上述两个相邻等级之间 xi与xj的影响之比为上面aij的互反数
~ 按行求和得 b. 对 w
ij
i
~ w ~ w i ij
j 1
n i 1
n

i 1
~ / w ~ , w ( w , w ,..., w )T ~ w w c. 将 w 归一化 i i i 1 2 n , 即为近似特征根(权向量)
n ( Aw ) i 1 d. 计算 n i 1 wi
,作为最大特征根的近似值
2 6 1 0.6 0.615 0.545 1.760 列向量 按行求和 0.972 例: A 1/ 2 1 4 归一化 0.3 0.308 0.364 1/ 6 1/ 4 1 0.1 0.077 0.091 0.268 0.587 归一化 0.324 w 0.089
15
层次分析法的基本步骤
例1:(假日旅游) 有P1,P2,P3三个旅游地供选择, 假如选择的标准和依据有:景色,费用, 饮食,居住和旅途.
一 般 的 思 维 过 程
首先,确定这些准则在你心目中各占的比重多大;
其次,就每一准则将三个地点进行对比;
最后,将这两个层次的比较判断进行综合,作出选择.
层次分析法的步骤
什么是权重(权系数)? 在决策问题中，通常要把变量Z表成变量x1,x2, … , xn的线性组合:
wi 0, 其中 叫权向量.
w
i 1
n
z w1 x1 w2 x2 wn xn
i
1 则 w1 , w2 ,..., wn叫各因素对于目标Z的权重,
w (w1 , w2 ,..., wn )T
1.769 Aw 0.974 0.268
(
1 1.769 0.974 0.268 ) 3.009 3 0.587 0.324 0.089
22
判断矩阵的一致性检验
判断矩阵通常是不一致的,但是为了能用它的对应于特征根的 的特征向量作为被 比较因素的权向量,其不一致程度应在容许的范围内.如何确定这个范围? <1>一致性指标 CI=0时A一致; CI越大,A的不一致性程度越严重!