高等工程数学习题2

第2章 线性代数方程组数值解法 研究n 阶线性方程组Ax b =的数值解法.()ij A a =是n n⨯矩阵且非奇异，12(,,,)Tn x x x x = ,12(,,,)Tn b b b b =两类数值方法：(1) 直接法：通过有限次的算术运算，若计算过程中没有舍入误差，可以求出精确解的方法.Ax b Gx d == 等价变换G 通常是对角矩阵、三角矩阵或者是一些结构简单的矩阵的乘积.(2) 迭代法：用某种极限过程去逐次逼近方程组的解的方法.(1)()i i Ax b x Bx k x Bx k +==+−−−−−→=+ 等价变换建立迭代格式，0,1,i =一、向量范数与矩阵范数 1. 向量范数【定义】 若对nK 上任一向量x ，对应一个非负实数x ，对任意,nx y R ∈及K α∈，满足如下条件(向量范数三公理) (1) 非负性：0x ≥，且0x =的充要条件是0x =；(2)齐次性：x xαα=；(3)三角不等式：x y x y+≤+.则称x为向量x的范数.常用的向量范数： (1) 1—范数11nii x x ==∑(2) 2—范数12221()ni i x x ==∑(3) ∞—范数1max ii nxx ∞≤≤=(4) 一般的p —范数11()pnpi pi xx ==∑2. 矩阵范数【定义】 若n nK ⨯上任一矩阵()ij n n A a ⨯=，对应一个非负实数A ，对任意的,n nA B K ⨯∈和K α∈，满足如下条件(矩阵范数公理)：(1) 非负性：0A ≥，且0A =的充要条件是0A =；(2)齐次性：A Aαα=；(3)三角不等式：A B A B +≤+；(4)乘法不等式：AB A B≤.则称A为矩阵A的范数.矩阵范数与向量范数是相容的：Ax A x≤向量范数产生的从属范数或算子范数：10max maxx x AxA Ax x=≠==常见从属范数：(1) 1—范数111max ||nij j ni A a ≤≤==∑(2) ∞—范数11max ||nij i nj A a ∞≤≤==∑(3) 2—范数2A =谱半径1()max ||H i i n A A ρλ≤≤=，iλ为H A A 的特征值.H A 为A 的共轭转置. 注：矩阵A 的谱半径不超过A 的任一范数，即()A A ρ≤范数等价性定理：,s t x x为n R 上向量的任意两种范数，则存在常数12,0c c >，使得12,ns t s c x x c x x R ≤≤ ∀∈.注：矩阵范数有同样的结论. 【定理2.1】是任一向量范数，向量序列()k x 收敛于向量*x 的充要条件是()*0,k x x k -→ →∞二、 Gauss 消去法 1．顺序Gauss 消去法 将方程Ax b =写成如下形式11112211,121122222,11122,1n n n n n n n n nn n n n a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a ++++++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩其中记,1,1,2,,.i n i a b i n +==消元过程：第一次消元：设110a ≠，由第2,3,,n 个方程减去第一个方程乘以1111/(2,3,,)i i m a a i n == ，则将方程组中第一个未知数1x消去，得到同解方程11112211,1(1)(1)(1)22222,1(1)(1)(1)22,1n n n n n n n nn n n n a x a x a x a a x a x a a x a x a ++++++=⎧⎪ ++=⎪⎨⎪⎪ ++=⎩其中， (1)11,2,3,,;2,3,,,1ijij i j a a m a i n j n n =-==+ . 1111/i i m a a =，2,3,,i n = .第二次消元：设(1)220a ≠，.由第2,3,,n 个方程减去方程组中的第2个方程乘以(1)(1)2222/(3,4,,)i i m a a i n == ，则将方程组第2个未知数2x 消去，得到同解方程11112213311,1(1)(1)(1)(1)2222322,1(2)(2)(2)33333,1(2)(2)(2)33,1n n n n n n n n n nnn n n n a x a x a x a x a a x a a x a a x a x a a x a x a ++++++++=⎧⎪ +++=⎪⎪ ++=⎨⎪⎪⎪ ++=⎩其中(2)(1)(1)22, 3,4,,; 3,4,,,1ij ij i j a a m a i n j n n =-==+ . (1)(1)2222/i i m a a =，3,4,,i n = .经过1n -次消元后，原方程组变成等价方程组11112213311,1(1)(1)(1)(1)2222322,1(2)(2)(2)33333,1(1)(1),1n n n n n n n n n n n nn n n n a x a x a x a x a a x a a x a a x a x a a x a +++--+++++=⎧⎪ +++=⎪⎪ ++=⎨⎪⎪⎪ =⎩其中()(1)(1), 1,2,,k k k ij ij ik ij a a m a i k k n --=-=++ ， 1,2,,,1j k k n n =+++ .(1)(1)/k k ik ik kkm a a --=，1,2,,i k k n =++ ；1,2,,1k n =- .回代过程：(1)(1),1(1)(1)(1),1,,1/[]/,1,2,,2,1.n n n n n m n i i i ii n i j j i j j i x a a x a a x a i n n --+---+=+⎧=⎪⎨=-=--⎪⎩∑计算量：按常规把乘除法的计算次数合在一起作为Gauss 消去法总的计算量，而略去加减法的计算次数. 在消去过程中，对固定的消去次数(1,2,,1)k k n =- ，有：除法(1)(1),,/,1,1,,k k ik i k k k m a a i k k n --= =++ 共计n k -次；乘法(1),,1,2,,;1,2,,,1k ik k j m a i k k n j k k n n - =++ =+++ 共计()(1)n k n k --+次.因此，消去过程总的计算量为1311[()(1)]3n k M n k n k n k n-==--++-≈∑ 回代过程的乘除法计算次数为21()2n n +.与消去法计算量相比可以略去不计.所以， Gauss 消去法总的计算量大约为313n .2. Gauss-Jordan 消去法Gauss-Jordan 消去法是Gauss 消去法的一种变形.此方法的第一次消元过程同Gauss 消去法一样，得到(1)(1)(1)(1)11112213311,1(1)(1)(1)(1)22223322,1(1)(1)(1)(1)32233333,1(1)(1)(1)(1)2233,1,,,,n n n n n n n n n nn nn n n n a x a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a ++++⎧++++=⎪ +++=⎪ +++=⎨ +++= ⎪⎪⎪⎪⎩其中，(1)11,2,,,1jj a a j n n ==+ . 第二次消元：设(1)220a ≠，由第1,3,4,,n 个方程减去第2个方程乘以(1)(1)2222/(1,3,4,,)i i m a a i n == ,则得到同解方程组(2)(2)(2)11113311,1(1)(2)(2)(2)22223322,1(2)(2)(2)33333,1(2)(2)33,1,,,n n n n n n n n n nnn n n n a x a x a x a a x a x a x a a x a x a a x a x a +++++ +++= +++= ++= ++= (2),⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩继续类似的过程，在第k 次消元时，设(1)k kk a -，将第i 个方程减去第k 个方程乘以(1)(1)/k k ik ik kk m a a --=，这里1,3,4,1,1,,i k k n =-+ .经过1n -次消元，得到(2)1111,1(1)(2)2222,1(2)(2)33,1,,,n n n n n a x a a x a a x a +++⎧ =⎪ =⎪⎪ ⎨⎪⎪⎪ =⎩其中()(1)(1),1,2,,1,1,,k k k ij ij ik kj a a m a i k k n --=-=-+ ；1,2,,,1; 1,2,,1j n n k n =+=- .此时，求解回代过程为(1)(1),1/,1,2,,n i i i n iix a a i n --+= = 经统计，总的计算量约为312M n ≈次乘除法. 从表面上看Gauss-Jordan 消去法似乎比Gauss 消去法好，但从计算量上看Gauss －Jordan 消去法明显比Gauss消去法的计算量要大，这说明用Gauss-Jordan 消去法解线性方程组并不可取.但用此方法求矩阵的逆却很方便. 3．列选主元Gauss 消去法在介绍Gauss 消去法时，始终假设(1)0k kk a -≠，称(1)k kka -为主元.若(1)0k kka -=，显然消去过程无法进行.实际上，既使(1)0k kka -≠，但(1)k kka -很小时，用它作除数对实际计算结果也是很不利的.称这样的(1)k kka -为小主元.【例2.2】设计算机可保证10位有效数字，用消元法解方程1112120.3100.7,0.9,x x x x -⎧⨯+=⎪⎨ +=⎪⎩【解】经过第一次消元：第2个方程减去第1个方程乘以212111/m a a =得1112(1)(1)222230.3100.7x x a x a -⎧⨯+=⎪⎨ =⎪⎩其中(1)1222222111/0.333333333310a a a a =-=-⨯，(1)123323211113(/)0.233333333310a a a a a =-⋅=-⨯于是解得(1)(1)223221/0.7000000000,0.0000000000,x a a x ⎧==⎪⎨=⎪⎩而真解为120.2,0.7x x = =注：造成结果失真的主要因素是主元素11a太小，而且在消元过程中作了分母，为避免这个情况发生，应在消元之前，作行交换.【定义】 若 (1)(1)||max ||k k k r k ik k i na a --≤≤=，则称(1)||k k r k a - 为列主元素. k r 行为主元素行，这时可将第 k r行与第k 行进行交换，使(1)||k k r k a - 位于交换后的等价方程组的 (1)k kk a - 位置，然后再施实消去法，这种方法称为列选主元Gauss 消去法或部分主元Gauss 消去法.【例2.3】 应用列选主元Gauss 消去法解上述方程. 【解】 因为2111a a >，所以先交换第1行与第2行，得1211120.9,0.3100.7,x x x x -⎧+=⎪⎨⨯+=⎪⎩ 然后再应用Gauss 消去法，得到消元后的方程组为1220.9,0.7.x x x ⎧+=⎨=⎩回代求解，可以得到正确的结果.即120.2,0.7x x = =.三、三角分解法 设方程组Ax b =的系数矩阵A 的顺序主子式不为零.即1112121222110,1,2,,.kk k k k kka a a a a a k n a a a ∆=≠=在Gauss 消去法中，第一次消元时，相当于用单位下三角阵211131111010010n m L m m -⎡⎤⎢⎥- ⎢⎥⎢⎥=- ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥- ⎢⎥⎣⎦ ，左乘方程组Ax b =，得11A x b =，其中11121(1)(1)122211(1)200n n n nn a a a a a A L a a -(1)⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥==⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦ ，1(1)(1)111,11,1,1(,,,)Tn n n n b L b a a a -+++== .第二次消元时，相当于用单位下三角阵1232210101001n L m m - ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥= - ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ - ⎢⎥⎣⎦0 ，左乘方程组11A x b =，得22A x b =其中11121(1)(1)22211(2)(2)221333(2)(2)300000n n n n nn a a a a a A L L A a a a a --⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥== ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ ，11(1)(2)(2)2211,12,13,1,1(,,,,).Tn n n n n b L L b a a a a --++++==经过1n -次消元，最后得到等价方程组11n n A x b --=其中11121(1)222111111221(1)n n n n n n nn a a a a a A L L L L A a (1)--------⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦1111(1)(1)112221,12,1,1(,,,)n Tn n n n n n n b L L L L b a a a --------+++==注意到1n A -是一个上三角阵，记111111221n n n U A L L L L A -------==则121()n A L L L U LU -==其中，121n L L L L -= . 不难验证21313212_1111n n nn m L m m m m m ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥= ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ 1 ⎢⎥⎣⎦是单位下三角阵.于是解线性方程组Ax b =，就转化为解方程 LUx b =，若令Ux y =就得到一个与 Ax b =等价的方程组Ly b Ux y =⎧⎨=⎩【定理2.2】 若 A 为 n 阶方阵，且 A 的所有顺序主子式0k ∆≠，1,2,,k n = .则存在唯一的一个单位下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U ，使A LU =.在上述过程中，若不假设A 的顺序主子式都不为零，只假设A 非奇异，那么Gauss 消去法将不可避免要应用两行对换的初等变换.第一次消元，将第1行与第1r 行交换，相当于将方程组Ax b =左乘矩阵11r P ：1111r r P Ax P b=经第一次消元得11111111r r L P Ax L P b--=即系数矩阵为11111r A L P A-=，其中110111r P ⎡⎢ ⎢ 1= 1 0 1 ⎣0 0 ⎤⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦1 列 1r列 类似地，经1n -次消元，有121111111,22,11n n n n n r n n r r A L P L P L P A----------= .如果预先知道每一个(1,2,,1)iir P i n =- ，则在消元之前就全部作交换，得 1211,2,1,n n n r n r r A P P P A PA----== ，其中，1211,2,1,n n n r n r r P P P P ----= .即原方程变为PAx Pb =然后再消元，相当于对PA 做三角分解PA LU =由以上讨论，可得结论 【定理2.3】 若A 非奇异，则一定存在排列矩阵 P ，使得 PA 被分解为一个单位下三角阵和一个上三角1 行1行r阵的乘积，即PA LU =成立.这时，原方程组Ax b = 等价于 PAx Pb =，即等价于求解LUx Pb =令Ux y =则Ly Pb =实际求解时，先解方程组Ly Pb =,再根据 y 求解 Ux y =,即得原方程组Ax b =的解. 这种求解方法称为三角分解法.常用三角分解方法有以下几种. 1．Doolittle 分解方法 假设系数矩阵A 不需要进行行交换，且三角分解是唯一的. 记21121110n n l L l l ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ , 11121222n n nn u u u u u U u ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥ 0 ⎣⎦ 于是有1112111121222212222112111110n n n n n n n n nn a a a u u u u u a a a l l l a a a ⎡⎤ ⎡⎤⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦ nn u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥0 ⎣⎦从前面讨论A 的LU 分解过程可看出,L 、U 的元素都是用有关的(1)k ij a -来表示的，而它们的计算较麻烦.现在给出直接从系数矩阵A ，通过比较等式的两边逐步把L 和U 构造出来的方法，而不必利用Gauss 消去法的中间结果(1)k ij a -.计算步骤： (1) 由L 阵的第1行分别乘U 阵的各列，先算出U 阵的第1行元素 11,1,2,,j j u a j n = = .然后，由L 阵的各行分别去乘U 阵的第1列，算出L 阵的第1列元素1111/,2,3,,i i l a a i n = = .(2)现假设已经算出U 阵的前1r -行元素，L 阵的前1r -列元素，下面来算U 阵的第r 行元素，L 阵的第r 列元素.由L 阵的第r 行分别乘U 阵的第j 列(,1,,)j r r n =+ ，得11r ij rk kj rjk a l u u -==+∑所以，得U 阵的第r 行元素11,,1,,r rj rj rk kj k u a l u j r r n-==- =+∑ .再由L 阵的第i 行(1,2,,)i r r n =++ 分别去乘U 阵的第r 列,得11r ir ik kr ir rrk a l u l u -==+∑,所以，得L 阵的第r 列元素11[]/,1,2,,.r ir ir ik kr rr k l a l u u i r r n -==- =++∑取1,2,,r n = 逐步计算，就可完成三角分解A LU =；(3)解与Ax b = 等价的方程组Ly b Ux y =⎧⎨=⎩逐次用向前代入过程先解Ly b = 得1111,2,3,,.i i i ij j j y b y b l y i n -==⎧⎪⎨=- =⎪⎩∑然后再用逐次向后回代过程解Ux y =得1/,()/,1,2,,2,1.n n nn n i i ij j ii j i x y u x y u x u i n n =+=⎧⎪⎨=- =--⎪⎩∑2．Crout 分解方法仍假设系数矩阵A 不需要进行行交换，且三角分解是唯一的.即ˆA L=ˆU .与Doolittle 分解方法的区别在111212122211n n n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦ 1122ˆˆl l ⎡⎤ 0⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 122ˆ1ˆ10n u u ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ 1 ⎣⎦ 比较两边，则可推导出与Doolittle 分解方法类似的公式，不过Crout 分解方法是先算ˆL 的第r 列，然后再算ˆU的第r 行.3．Cholesky 分解方法若 A 为对称正定矩阵，则有 ˆT U L =，即11()()TT T A LDL LD LD LL ===其中L 为下三角阵. 进一步展开为1121111211112122221222221212n n n n n n nn n n nn a a a l l l l a a a l l l l l l l a a a ⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥ 0 ⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 0nn l ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦ 比较两边对应元素，容易得到12121()r rr rr rk k l a l -==-∑ ，11()/r ir ir ik rk rrk l a l l l -==-∑ 1,2,,;1,2,,.r n i r r n ==++Cholesky 分解的优点：不用选主元. 由21rrr rk k a l ==∑ 可以看出||1,2,,.rk l k r ≤=这表明中间量rk l得以控制，因此不会产生由中间量放大使计算不稳定的现象. Cholesky 分解的缺点：需要作开方运算. 改进的Cholesky 分解： 改为使用分解T A LDL =即11121121121221222121111n n n n n n n n nn a a a d l l l d a a a l l d a a a ⎡⎤ 1 ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ 1 1 ⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 2n l ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ 1⎣⎦其中21ˆl 1ˆn l 2ˆn l ˆnn l 1ˆn u12111()/r r rr rk k k r ir ir ik k rk rk d a l d l a l d l d-=-=⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑∑，1,2,,;1,2,,.r n i r r n ==++Cholesky 分解方法或平方根法：应用Cholesky 分解可将Ax b =分解为两个三角形方程组T Ly b L x y ⎧= ⎪⎨= ⎪⎩分别可解得111111/,()/.i i i ik k ii k y b l y b l y l i n -=⎧=⎪⎨=-, =2,3,,⎪⎩∑和1/,()/1,.n n nn n i i ki k ii k i x y l x y l x l i n n =+⎧=⎪⎨=-, =--2,,2,1⎪⎩∑改进的Cholesky 分解方法或改进的平方根法：应用改进的Cholesky 分解，将方程组Ax b =分解为下面两个方程组1,,T Ly b L x D y -= ⎧⎨= ⎩同理可解得1111,,2,3,,.i i i ik k k y b y b l y i n ==⎧=⎪⎨=- =⎪⎩∑和1/,/,1,2,,2,1.n n n n i i i ki k k i x y d x y d l x i n n =+⎧=⎪⎨=- =--⎪⎩∑ 4．解三对角方程组的追赶法若()ij n n A a ⨯=满足1||||,1,2,,.nii ij j j ia a i n =≠> =∑则称A 为严格对角占优矩阵.若A 满足1||||,1,2,,.nii ij j j ia a i n =≠≥ =∑且其中至少有一个严格不等式成立，则称A 为弱对角占优矩阵.现在考虑Ax d = 的求解，即11112222211111n n n n n n n n n b c x d a b c x d a b c x d d a b x -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ = ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 系数矩阵A 满足条件11||||0,||||||,,0,2,3,, 1.||||0,i i i i i n n b c b a c a c i n b a ⎧>>⎪≥+ ≠=-⎨⎪>>⎩采用Crout 分解方法11112222221111n n n n n n n b c a b c a b c a b βαβγαγα---⎡⎤ ⎡⎤⎢⎥ 1 ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ = ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ⎣⎦ 1n β-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥1 ⎢⎥⎢⎥ 1 ⎣⎦其中，,,i i i αβγ为待定系数.比较上式两边可得到111111,;,,2,3,,;,2,3,, 1.i i i i i i i i i b c a b i n c i n ααβγγβααβ-= == =+ == =-进而可导出1111111,2,3,,.,/,,2,3,,./(),2,3,, 1.i i i i i i ii i i i a i n b c b b i n c b i n γαβααββαβ--⎧= =⎪= =⎪⎨=- =⎪⎪=- =-⎩由此可看出，真正需要计算的是(1,2,,1)i n β=- ，而i α可由,i i b a 和1i β-产生.因此，实现了A 的Crout 分解后，求解Ax d =就等价于解方程组Ly dUx y =⎧⎨=⎩从而得到解三对角方程组的追赶法公式： (1) 计算i β的递推公式：1111/,/(),2,3,, 1.i i i i i c b c b i n ββαβ-⎧=⎪⎨=- =-⎪⎩(2) 解方程组Ly d =：11111/()/(),2,3,,.i i i i i i i y d b y d a y b a i n β--⎧=⎪⎨=-- =⎪⎩(3) 解方程组Ux y =：1,1,2,,2,1.n n i i i i x y x y x i n n β+⎧=⎪⎨=- =--⎪⎩追赶法的乘除法次数是66n -次.将计算121n βββ-→→→ 及12n y y y →→→ 的过程称之为“追”的过程，将计算方程组Ax d =的解121n n x x x x -→→→→ 的过程称之为“赶”的过程.四、迭代法 将Ax b =改写为一个等价的方程组 x Bx k =+建立迭代公式 (1)(),0,1,2,.i i x Bx k i +=+ =称矩阵B 为迭代矩阵.【定义】 如果对固定的矩阵B及向量k，对任意初始猜值向量(0)x ，迭代公式(1)()i i +()i()*lim i i x x →+∞=成立，其中*x 是一确定的向量，它不依赖于(0)x 的选取.则称此迭代公式是收敛的，否则称为发散的.如果迭代收敛，则应有**,x Bx k =+1. 收敛性()()*,0,1,2,i i x x i ε=- =为第i步迭代的误差向量.则有(1)(1)*()*()(),0,1,2,.x x B x x B i εε++=-=-==所以，容易推出()(0),0,1,2,,i i B i εε= =其中，(0)(0)*xxε=-为初始猜值的误差向量.设n nB K ⨯∈，lim 0i i B →+∞=⇔ ()1B ρ<.迭代法收敛基本定理： 下面三个命题是等价的 (1) 迭代法(1)()i i x Bx k +=+收敛；(2)()1B ρ<；(3) 至少存在一种矩阵的从属范数⋅，使1B <注：当条件()1B ρ<难以检验时，用1B 或B ∞等容易求出的范数，检验11B <或1B∞<来作为收敛的充分条件较为方便.常用迭代法如下. 2．Jacob 迭代 考察线性方程组Ax b =，设A 为非奇异的n 阶方阵，且对角线元素0ii a ≠(1,2,,)i n = .此时，可将矩阵A 写成如下形式A D L U =++,1122(,,,)nn D diag a a a = ，21313212000n n a L a a a a ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥= ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ 0 ⎢⎥⎣⎦ ,12131232000n n a a a a a U ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥= 0 ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ ,建立Jacobi 迭代公式(1)1()1(),i i x D L U x D b +--=-++迭代矩阵11()J B D L U I D A --=-+=-J B 的具体元素为112111122122221200n n J n n nn nn a a a a a a B a a a a a a ⎡⎤ - -⎢⎥⎢⎥⎢⎥- - ⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥- - 0 ⎢⎥⎣⎦ Jacobi 迭代法的分量形式如下1(1)()()111(),j n i i i jj jm m jm m m m j jj xb a x a x a -+==+=--∑∑1,2,,;0,1,2,.j n i = =3．Gauss-Seidel 迭代容易看出，在Jacobi 迭代法中，每次迭代用的是前一次迭代的全部分量()(1,2,,)i jx j n = .实际上，在计算(1)i j x +时，最新的分量(1)(1)(1)121,,,i i i j x x x +++- 已经算出，但没有被利用.事实上，如果Jacobi 迭代收敛，最新算出的分量一般都比前一次旧的分量更加逼近精确解，因此，若在求(1)i j x+时，利用刚刚计算出的新分量(1)(1)(1)121,,,i i i j x x x+++- ，对Jacobi 迭代加以修改，可得迭代公式1(1)(1)()111(),j ni i i jj jm m jm m m m j jj xb a x a x a -++==+=--∑∑1,2,,;0,1,2,.j n i = =矩阵形式(1)1()1()(),0,1,2,.i i x D L Ux D L b i +--=-++-+=1()G B D L U -=--+注：（1）两种迭代法均收敛时，Gauss-Seidt 迭代收敛速度更快一些.（2）但也有这样的方程组，对Jacobi 迭代法收敛，而对Gauss-Seidel 迭代法却是发散的. 【例2.4】 分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下面的方程组121232342,46,4 2.x x x x x x x ⎧- =⎪-+-=⎨⎪-+=⎩初始猜值取0(0,0,0)x =. 【解】 Jacobi 迭代公式为(1)()12(1)()()213(1)()321(2),41(6),0,1,2,41(2),4i i i i i i i x x x x x i x x +++⎧=+⎪⎪⎪=++=⎨⎪⎪=+⎪⎩迭代计算4次的结果如下 (1)(2)(3)(4)(0.5,1.5,0.5),(0.875,1.75,0.875),(0.938,1.938,0.938),(0.984,1.969,0.984).T T T T x x x x ====Gauss-Seidel 迭代公式为(1)()12(1)(1)()213(1)(1)321(2),41(6),0,1,2,41(2),4i i i i i i i x x x x x i x x +++++⎧=+⎪⎪⎪=++=⎨⎪⎪=+⎪⎩迭代计算4次的结果如下(1)(2)(3)(4)(0.5,1.625,0.9063),(0.9063,1.9532,0.9883),(0.9883,2.0,0.9985),(0.9985,1.999,0.9998).T T T T x x x x ====从这个例子可以看到，两种迭代法作出的向量序列(){}i x 逐步逼近方程组的精确解*(1,2,1)T x =,而且Gauss-Seidel 迭代法收敛速度较快.一般情况下，当这两种迭代法均收敛时，Gauss-Seidt 迭代收敛速度更3．超松弛迭代法为了加快迭代的收敛速度，可将Gauss-Seidel 迭代公式改写成1(1)()(1)()11(),j ni i i i jjj jm m jm m m m jjj xx b a x a x a -++===+--∑∑ 1,2,,;0,1,2,.j n i = =并记1(1)(1)()11(),j ni i i jj jm m jm m m m jjj rb a x a x a -++===--∑∑称 (1)i j r + 为 1i + 步迭代的第 j 个分量的误差向量.当迭代收敛时，显然有所有的误差向量(1)0(),1,2,,.i j r i j n +→→∞=为了获得更快的迭代公式，引入因子R ω∈，对误差向量 (1)i j r + 加以修正，得超松弛迭代法（简称SOR 方法）(1)()(1),0,1,2,.i i i j j j x x r i ω++=+ =即1(1)()(1)()1(),j ni i i i jjj jm mjm m m m jjjxx b a xa x a ω-++===+--∑∑1,2,,;0,1,2,.j n i = =适当选取因子ω，可望比Gauss-Seidel 迭代法收敛得更快.称ω为松弛因子.特别当1ω=时，SOR 方法就是Gauss-Seidel 迭代法.写成矩阵向量形式(1)1()1()[(1)](),j i x D L D U x D L b ωωωωω+--=+--++0,1,2,.i =迭代矩阵为1()[(1)].B D L D U ωωωω-=+--实际计算时，大部分是由计算经验或通过试算法来确定opt ω的近似值.所谓试算法就是从同一初始向量出发，取不同的松驰因子ω迭代相同次数(注意：迭代次数不应太少)，然后比较其相应的误差向量()()i i r b Ax =-(或()(1)i i x x --)，并取使其范数最小的松弛因子ω作为最佳松弛因子opt ω的近似值.实践证明，此方法虽然简单，但往往是行之有效的. 4．迭代收敛其它判别方法：用迭代法收敛基本定理来判断收敛性时，当n 较大时，迭代矩阵的谱半径计算比较困难，因此，人们试图建立直接利用矩阵元素的条件来判别迭代法的收敛定理. （1） 若方程组Ax b =中的系数矩阵A 是对称正定阵，则 Gauss-Seidel 迭代法收敛. 对于SOR 方法，当02ω<< 时迭代收敛（2）若A 为严格对角占优阵，则解方程组 Ax b = 的Jacobi 迭代法，Gauss －Seidel 迭代法均收敛. 对于SOR 方法，当01ω<< 时迭代收敛.【例2.5】 设线性方程组为121221,32,x x x x ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩建立收敛的Jacobi 迭代公式和Gauss －Seidel 迭代公式. 【解】 对方程组直接建立迭代公式，其Jacobi 迭代矩阵为0230J B -⎡⎤=⎢⎥- ⎣⎦，显见谱半径()1J B ρ=>，故Jacobi 迭代公式发散.同理Gauss －Seidel 迭代矩阵为0206G B -⎡⎤=⎢⎥ ⎣⎦，谱半径()61G B ρ=>，故Gauss －Seidel 选代公式也发散. 若交换原方程组两个方程的次序，得一等价方程组121232,21,x x x x ⎧+=⎪⎨+=-⎪⎩其系数矩阵显然对角占优，故对这一等价方程组建立的Jacobi 迭代公式，Gauss －Seidel 迭代公式皆收敛. （3）SOR 方法收敛的必要条件是 02ω<<【定理2.5】 如果A 是对称正定阵，且02ω<<，则解Ax b =的SOR 方法收敛.注：当(0,2)ω∈ 时，并不是对任意类型的矩阵A ，解线性方程组Ax b =的SOR 方法都是收敛的.当SOR 方法收敛时，通常希望选择一个最佳的值opt ω使SOR 方法的收敛速度最快.然而遗憾的是，目前尚无确定最佳超松弛因子opt ω的一般理论结果.实际计算时，大部分是由计算经验或通过试算法来确定opt ω的近似值.所谓试算法就是从同一初始向量出发，取不同的松驰因子ω迭代相同次数(注意：迭代次数不应太少)，然后比较其相应的误差向量()()i i r b Ax =-(或()(1)i i x x --)，并取使其范数最小的松弛因子ω作为最佳松弛因子opt ω的近似值.实践证明，此方法虽然简单，但往往是行之有效的.【例2.6】 求解线性方程组Ax b =，其中10.3000900.308980.30009100.4669110.274710.30898A - -- -0.46691 0= - -- 00.274711(5.32088,6.07624,8.80455,2.67600).T b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ - ⎣⎦ =-分别利用Jacobi 迭代法，Gauss －Seidel 迭代法，SOR 迭代法求解. 【解】其结果列入下表中，方程组精确解(五位有效数字)为*(8.4877,6.4275, 4.7028,4.0066).T x =-Jacobi 迭代法计算结果i()1i x()2i x ()3i x ()4i x ()2||||i r0 012.3095 1 5.3209 6.0762 －8.8046 2.6760 5.3609 27.97113.5621 －5.2324 1.90143.631820 8.4872 6.4263 －4.7035 4.0041 0.0041 218.48606.4271 －4.7050 4.0063 0.0028Gauss-Seidel 迭代法计算结果i()1i x()2i x()3i x()4i x()2||||i r0 012.3095 1 5.3209 7.6730 －5.2220 2.8855 3.6202 28.51506.1933 －5.1201 3.90040.49098 8.4832 6.4228 －4.7064 4.0043 0.0078 98.48556.4252－4.70554.00550.0038SOR 迭代法计算结果（1.16ω=）i()1i x()2i x()3i x()4i x()2||||i r0 012.3095 1 6.1722 9.1970 －5.2320 3.6492 3.6659 29.69416.1177 －4.8999 4.43351.33136 8.4842 6.4253 －4.7005 4.4047 0.0051 78.48686.4288－4.70314.00650.0016计算结果表明，若求出精确到小数点后两位的近似解，Jacobi 迭代法需要21次，Gauss －Seidel 迭代法需要9次，而SOR 迭代法(选松弛因子 1.16ω=)仅需要7次，起到加速作用.5．误差分析 【定理2.6】设 *x 是方程 Ax b = 的惟一解，v ⋅ 是某一种向量范数，若对应的迭代矩阵其范数1v B <，则迭代法(1)(),0,1,2,.i i xBx k i +=+ = 收敛，且产生向量序列(){}i x 满足()*()(1)||||||||||||1||||i i i vv vvB x x x x B --≤--()*(1)(0)||||||||||||1||||i i vv vvB x x x x B -≤--【证明】 由迭代收敛基本定理的(3)知，迭代法(1)(),0,1,2,.i i x Bx k i +=+ =收敛到方程的解*x .于是，由迭代公式立即得到(1)*()*(1)()()(1)(),().i i i i i i x x B x x x x B x x ++--=--=-为书写方便把v 范数中v 略去，有估计式(1)*()*||||||||||||,i i x x B x x +-≤⋅-(1)()()(1)||||||||||||.i i i i x x B x x +--≤⋅-再利用向量范数不等式||||||||||||x y x y -≥-于是得第一个不等式()(1)(1)()()*(1)*()*||||||||||||||||||||(1||||)||||,i i i i i i i B x x x x x x x x B x x -++ -≥-≥--- ≥--再反复递推即第二个不等式.注：（1）若事先给出误差精度ε，利用第二个不等式可得到迭代次数的估计(1)(0)(1||||)ln ln ||||||||v v v B i B x x ε⎡⎤->⎢⎥-⎣⎦ （2）在||||v B 不太接近1的情况下，由第一个不等式，可用()(1)||||i i v x x ε--<作为控制迭代终止的条件，并取 ()i x 作为方程组 Ax b = 的近似解.但是在||||v B 很接近1时，此方法并不可靠.一般可取1,2,v =∞或F .【例2.7】 用Jacobi 迭代法解方程组123123123202324,812,231530.x x x x x x x x x ⎧++=⎪++=⎨⎪-+=⎩问Jacobi 迭代是否收敛?若收敛，取(0)(0,0,0)T x =，需要迭代多少次，才能保证各分量的误差绝对值小于610-?【解】 Jacobi 迭代的分量公式为(1)()()123(1)()()213(1)()()3121(2423)201(12),0,1,2,81(3022),15i i i i i i i i i x x x x x x i x x x +++⎧=--⎪⎪⎪=-- =⎨⎪⎪=-+⎪⎩Jacobi 迭代矩阵J B 为130102011088210155J B ⎡⎤ - -⎢⎥⎢⎥⎢⎥=- -⎢⎥⎢⎥⎢⎥- ⎢⎥⎣⎦，由5251||||max ,,1208153J B ∞⎧⎫==<⎨⎬⎩⎭知，Jacobi 迭代收敛. 因设(0)(0,0,0)Tx =，用迭代公式计算一次得(1)(1)(1)12363,, 2.52x x x = = =而(1)(0)|||| 2.x x ∞-=于是有6110(1)13ln ln 13.23i -⎡⎤⋅-⎢⎥>=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以，要保证各分量误差绝对值小于610-，需要迭代14次.【例2.8】 用Gauss －Seidel 迭代法解例2.11中的方程组，问迭代是否收敛?若收敛，取(0)(0,0,0)Tx =，需要迭代多少次，才能保证各分量误差的绝对值小于610-?【解】 Gauss －Seidel 迭代矩阵G B 为102403601()03025524000G B D L U - - ⎡⎤⎢⎥=-+= -⎢⎥⎢⎥ 38 -3⎣⎦显然1||||14G B =<，所以迭代收敛. Gauss －Seidel 迭代分量公式为(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)3121(2423),201(12),0,1,2,81(3022),15i i i i i i i i i x x x x x x i x x x ++++++⎧=--⎪⎪⎪=-- =⎨⎪⎪=-+⎪⎩因取(0)(0,0,0)T x =，故迭代一次得(1)(1)(1)1231.2, 1.35, 2.11x x x = = =于是有(1)(0)|||| 2.11x x ∞-=，计算得6110(1)14ln ln 10.2.114i -⎡⎤⋅-⎢⎥>=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所在，要保证各分量误差绝对值小于610-，需要迭代11次.。

《高等工程数学》――科学出版社版习题答案： 第一章习题（P26） 1．略2．在R 4中，求向量a ＝[1,2,1,1]T ,在基a 1 ＝ [1 , 1, 1, 1]T , a 2 ＝ [1 , 1, －1,－1]T a 3 ＝ [1 , －1, 1, －1]T a 4 ＝ [1 , －1,－1, 1]T 下的坐标。

解：其坐标为：x ＝( 5/4, 1/4, －1/4，－1/4 )T 3．在R2×2中，求矩阵12A=03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在基 111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦下的坐标。

解：其坐标为：x ＝( 3, －3, 2，－1 )T 4．试证：在R 2×2中，矩阵111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦线性无关。

证明：设 k 1B 1+ k 2B 2+ k 3B 3+ k 4B 4=0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦，只要证明k 1= k 2 = k 3= k 4 =0即可。

余略。

5．已知R 4中的两组基：和T T T T 1234=[2,1,1,1],=[0,3,1,0],=[5,3,2,1],=[6,6,1,3]ββββ－求由基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵，并求向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标。

解：基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵是：2056133611211013⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－ 向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标是：6．设R[x]n 是所有次数小于n 的实系数多项式组成的线性空间，求多项式p(x) = 1+ 2x n －1在基{1，(x －1)，(x －1)2，(x －1)3，….，(x －1)n －1}的坐标。

高等工程数学练习题 （2012年12月16）1. n 位男士和n 位女士排成一行，要求男女相间，求有多少种不同的排法？把n 个男、n 个女分别进行全排列，然后按乘法法则放到一起，而男女分别在前面,应该再乘2,即方案数为2·(n!) 个2. n 个人围圆圈坐下做游戏，求不同的坐法数？若某两人不愿坐在一起，有多少种不同的坐法? 若有3人总是坐在一起，又有多少种不同的坐法？ A: Q(n ,n)=(n-1)!;B: Q(n ,n)- Q(n-1,n-1) *2！=(n-1)!- (n-2)! *2！ C: Q(n-2,n-2) *3！= (n-3)! *3！3. 书架上有一部24卷的百科全书，现要从中取出5本，使得没有两本书是连续的，问有多少种不同的取法？ C(24-5+1,5)=C(20,5)4. 设{1,2,3,,(1)}.A n =+ （1）证明最大元素恰为j 的子集的个数是12j -；（2）证明：2112222 1.m m +++++=-A 、最大元素恰为j 的子集的个数，相当于前j-1个元素，每个元素出现或不出现的情况构成的所有子集的数量，每个元素出现或不出现2种可能，因此j-1个2相乘即为所有的情况，即12j -。

B:等比数列a1=2,q=2右侧为1+(2*（1-2^m ）/1-2)=2^(m+1)-2+1=2^(m+1)-1=左侧5. 证明等式: 22222012n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C(n 0)*C(n 0)=C(n 0)*C(n n); C(n 1)*C(n 1)=C(n 1)*C(n n-1); ……C(n k)*C(n k)=C(n k)*C(n n-k) ,K=0~nC(n k)相当于（0 0）到直线{（n 0）(0 n)}上的某点（n-k,k ）的路径 C(n n-k) 相当于直线{（n 0）(0 n)}上的某点（n-k,k ）到（n n ）的路径根据乘法原理 C(n k)*C(n n-k)相当于（0 0）点通过直线{（n 0）(0 n)}上的某点（n-k,k ）到（n n ）的路径左侧为（0 0）点通过直线{（n 0）(0 n)}上所有点到（n n ）的路径相加由于（0 0）点到达（n n ）的所有路径均通过直线{（n 0）(0 n)}，所以根据加法原理左侧为（0 0）点到（n n ）的所有路径即等于（2n n ） 6. 证明恒等式： 11221011220n r n r n r n m r mn r m m m m m -+-+-+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（-r-1,0）到(-1,i)路径为c(r+i,i)(-1,i)到(0,i)路径为1(0,i)到(n-m,m)路径为c(n-i.m-i)根据乘法原理，c(r+i,i) c(n-i.m-i)为（-r-1,0）经过(-1,i)到(0,i)再到(n-m,m)点的路径 左侧为i 取0至m ，（-r-1,0）经过(-1,i)到(0,i)再到(n-m,m)点的路径之和， 右侧围（-r-1,0）到(n-m,m)点的路径 左右相等7. 求不定方程123(,)n x x x x r n r Z +++++=∈的非负整数解的个数；设r n ≥，求不定方程的正整数解的个数. C （n+r-1,r ）C(n+r-n-1,r-n)=c(r-1,r-n),相当于每盒先放一个球，球数量变成r-n ，再求解。

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PDF中有大部分课后习题的答案，不能保证正确，而且不全，尤其是第四章的答案木有，不过第四章题目很少，自己做做吧。

PDF中有书签，可以快速索引到对应章节，以及对应的第四版讲义的页码。

清晰度的问题：我已经尽可能处理清楚了，我手上的纸质版也没有更清楚，大家将就着看看吧。

因为马上就考试了，所以我觉得不必要维护此文档了，言下之意就是这是文档的第一版也是最后一版，不再做修订了。

如果发现内有错误，大家可以在群里互相讨论讨论。

最后祝大家考试顺利，平安夜快乐，圣诞，元旦双快乐！
第七天堂2013.12.24。

高数II-2一、单项选择1、级数为( )• A、发散• B、条件收敛但不绝对收敛• C、绝对收敛但不条件收敛• D、绝对收敛且条件收参考答案 B2、曲线在t=2处的切向量是( ）。

• A、(2，1, 4)•B、（4，3，4）•C、0•D、(−4，3, 4)参考答案 A3、在)处均存在是在处连续的（)条件.• A、充分• B、必要• C、充分必要• D、既不充分也不必要参考答案 D4、设a为常数，则级数( ）• A、绝对收敛• B、条件收敛• C、发散• D、敛散性与a的值有关参考答案 A5、二元函数的定义域是（）。

• A、• B、• C、• D、参考答案 A6、方程表示的曲面是（）。

• A、圆• B、椭球• C、抛物面• D、球面参考答案 D7、有且仅有一个间断点的函数是（)。

• A、• B、• C、• D、参考答案 B8、下列级数中,收敛级数是()• A、• B、• C、• D、参考答案 A9、按牛顿冷却定律：物体在空气中冷却的速度与物体的温度和空气的温度之差成正比。

已知空气温度为300C,而物体在15分钟内从1000C冷却到700C，求物体冷却到400C所需的时间为（)分钟.• A、50•B、51•C、52•D、53参考答案 C10、平面4y－7z=0的位置特点是(）• A、平行于z轴• B、垂直于x轴• C、平行于y轴• D、通过x轴参考答案 D11、若满足，则交错级数。

• A、一定发散• B、一定收敛• C、可收敛也可发散• D、难以确定参考答案 C12、下列无穷级数中发散的是().• A、• B、• C、• D、参考答案 C13、下列说法正确的是（) .• A、两直线之间的夹角范围在• B、两平面之间的夹角范围在• C、两向量之间的夹角范围在• D、直线和平面之间的夹角范围在参考答案 C14、级数收敛，则参数a满足条件（)• A、a〉e•B、a〈e•C、a=e•D、a为任何实数参考答案 A15、下列方程中（）是表示母线平行于y轴的双曲柱面。

（二）数值分析一．（8分）作一个五次多项式()x H ，使得()31=H ()12-=H ()34=H ()21='H ()12='H ()22=''H解：先用H(1)=3,H(2)=-1,H(4)=3求N 2(x) 商差表：1 3 2 -1 -4 4 3 2 2∴ N 2(x)=3-4(x-1)+2(x-1)(x-2)=2x 2-10x+11 ∵ f(x)次数≤5∴ 可设H(x)=N 2(x)+(ax 2+bx+c)(x-1)(x-2)(x-4) （a 、b 、c 为待定常数） H(x)=2x 2-10x+11+[ax 5+(-7a+b)x 4+(14a-7b+c)x 3+(-8a+14b-7c)x 2+(-8b+14c)x-8c] ∴ H ’(x)=4x-10+[5ax 4+4(-7a+b)x 3+3(14a-7b+c)x 2+2(-8a+14b-7c)x+(-8b+14c)] H ’’(x)=4+[20ax 3+12(-7a+b)x 2+6(14a-7b+c)x+2(-8a+14b-7c)] 由H ’(1)=2,H ’(2)=1,H ’’(2)=2得()()()()()()()()()()()4105a 47a b 314a 7b c 28a 14b 7c 8b 14c 242105a 1647a b 8314a 7b c 428a 14b 7c 28b 14c 1420a 8127a b 4614a 7b c 228a 14b 7c 2⎧-++-++-++-+-+-+=⎡⎤⎣⎦⎪⎪⨯-+⨯+-+⨯+-+⨯+-+-⨯+-+=⎡⎤⎨⎣⎦⎪+⨯+-+⨯+-+⨯+-+-=⎡⎤⎪⎣⎦⎩化简得3a 3b 3c 808a 4b 2c 3012a 4b c 10++-=⎧⎪+++=⎨⎪++-=⎩解得65a 12245b 1253c 3⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩∴ H(x)=2x 2-10x+11+[ax 5+(-7a+b)x 4+(14a-7b+c)x 3+(-8a+14b-7c)x 2+(-8b+14c)x-8c] =543265700283727051202391x x x x x 121212633-+-+- 二．（10分）分析方程 ()11=-xe x存在几个实根，用简单迭代格式求出这些根（精确到四位有效数字），并说明所用迭代格式是收敛的。

《高等工程数学》――科学出版社版习题答案： 第一章习题（P26） 1．略2．在R 4中，求向量a ＝[1,2,1,1]T ,在基a 1 ＝ [1 , 1, 1, 1]T , a 2 ＝ [1 , 1, －1,－1]Ta 3 ＝ [1 , －1, 1, －1]T a 4 ＝ [1 , －1,－1, 1]T 下的坐标。

解：其坐标为：x ＝( 5/4, 1/4, －1/4，－1/4 )T 3．在R 2×2中，求矩阵12A=03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在基 111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦下的坐标。

解：其坐标为：x ＝( 3, －3, 2，－1 )T4．试证：在R 2×2中，矩阵111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦线性无关。

证明：设 k 1B 1+ k 2B 2+ k 3B 3+ k 4B 4=0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦，只要证明k 1= k 2 = k 3= k 4 =0即可。

余略。

5．已知R 4中的两组基：T T T T 1234=[1,0,0,0],=[0,1,0,0],=[0,0,1,0],=[0,0,0,1]αααα和T T T T 1234=[2,1,1,1],=[0,3,1,0],=[5,3,2,1],=[6,6,1,3]ββββ－求由基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵，并求向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标。

解：基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵是：2056133611211013⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－ 向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标是：11234205612927331336112923x 112190018101373926x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦－－－－－1＝－－27－－6．设R[x]n 是所有次数小于n 的实系数多项式组成的线性空间，求多项式p(x) = 1+ 2x n －1在基{1，(x －1)，(x －1)2，(x －1)3，….，(x －1)n －1}的坐标。

高等工程数学习题答案【篇一：高等工程数学考试题及参考解答(仅供参考)】xt>一、填空题（每小题3分，共15分）2x12???x101，设总体x服从正态分布n(0,4)，而(x1,x2?,x15)是来自x的样本，则u?222(x11???x15)服从的分布是_______ .解：f(10,5)．?是总体未知参数?的相合估计量的一个充分条件是2，?n?)??, limvar(??)?0．解：lime(?nnn??n??3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：?检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ .解：推断各因素对试验结果影响是否显著．22?1二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设总体x~n(1,9)，(x1,x2,?,x9)是x的样本，则（a）x?1x?1~n(0,1)；（b）~n(0,1)； 31x?1~n(0,1)． ~n(0,1)；（d92（c）2，若总体x?n(?,?)，其中?已知，当样本容量n保持不变时，如果置信度1??减小，则?的2置信区间____b___ .（a）长度变大；（b）长度变小；（c）长度不变；（d）前述都有可能.3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____b___ . （a）拒绝和接受原假设的理由都是充分的；（b）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的；（c）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的；（d）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设st为总离差平方和，se为误差平方和，sa为效应平方和，则总有___a___ .（a）st?se?sa；（b）sa?2??2(r?1)；（c）sa/(r?1)?f(r?1,n?r)；（d）sa与se相互独立.se/(n?r)?)=?[in?x(xx???0n；（b）cov(??)x?]；（a）???2?1（c）?????n?p?1是?2的无偏估计；（d）（a）、（b）、（c）都对.22三、（本题10分）设总体x?n(?1,?)、y?n(?2,?)，(x1,x2,?,xn1)和(y1,y2,?,yn2)分别是来自x和y的样本，且两个样本相互独立，和sx、sy分别是它们的样本均值和样本方差，证明2222(n1?1)sx?(n2?1)sy其中s??.n1?n2?22?t(n1?n2?2)，证明：易知??n(?1??2,?2n1??2n2)，u??n(0,1)．由定理可知2(n1?1)sx?2由独立性和?分布的可加性可得2??(n1?1)，22(n2?1)sy?2??2(n2?1)．v?2(n1?1)sx?2?2(n2?1)sy?2??2(n1?n2?2)．由u与v得独立性和t分布的定义可得??t(n1?n2?2)．?1?2?, 0?x??,??1,??x?1,其中参数?（0???1) 四、（本题10分）设总体x的概率密度为f(x;?)??2(1??)??0, 其他，???；?，xn)是来自总体的一个样本，是样本均值，未知，(x1，x2，（1）求参数?的矩估计量?（2）证明4不是2?2的无偏估计量．解：（1）e(x)??????xf(x,?)dx???01xx1?dx??dx??，?2(1??)2?42??2?令?e(x)，代入上式得到?的矩估计量为?（2）1． 2111?1?4e(42)?42?4[?()2]?4?dx?(??)2??dx?????，424?n?n因为d(x)?0，??0，所以 e(4)??．故42不是?的无偏估计量．五、（本题10分）设总体x服从[0,?](??0)上的均匀分布，(x1,x2,?xn)是来自总体x的一个样本，试求参数?的极大似然估计．解：x的密度函数为,0?x??;??f(x,?)??0,其他,?222似然函数为???n,0?xi??,i?1,2,?,n,l(?)??其它??0,??max?x,x,?,x?是?的显然??0时，l(?)是单调减函数，而??max?x1,x2,?,xn?，所以?12n极大似然估计．六、（本题10分）设总体x服从b(1,p)分布，(x1,x2,?xn)为总体的样本，证明是参数p的一个umvue．证明：x的分布律为f(x;p)?px(1?p)1?x,x?0,1．容易验证f(x;p)满足正则条件，于是???1i(p)?e?lnf(x;p)??．?pp(1?p)??另一方面2var()?1p(1?p)1， var(x)??nnni(p)即得方差达到c-r下界的无偏估计量，故是p的一个umvue．七、（本题10分）某异常区的磁场强度服从正态分布n(?0,?)，由以前的观测可知?0?56．现有一台新仪器, 用它对该区进行磁测, 抽测了16个点, 得?61, s?400, 问此仪器测出的结果与以往相2解：设h0：???0?56．构造检验统计量22t???0~t(15)， n确定拒绝域的形式?t?t??．由??0.05，定出临界值t?/2?t0.025?2.1315，从而求出拒绝域t?2.1315．?????2而n?16,?60，从而 |t|???0.8?2.1315，接受假设h0，即认为此仪器测222出的结果与以往相比无明显的差异．2八、（本题10分）已知两个总体x与y独立，x~(?1,?1)，y~(?2,?2)，?1, ?2, ?1, ?2未知，?12(x1,x2,?,xn)和(y1,y2,?,yn)分别是来自x和y的样本，求2的置信度为1??的置信区间.?2122分别表示总体x，y的样本方差，由抽样分布定理知解：设s12,s2p?f?/2(n1?1,n2?1)?f?f1??/2(n1?1,n2?1)??1??，则22??s12/s2?12s12/s2p??2???1??， ?f1??/2(n1?1,n2?1)?2f?/2(n 1?1,n2?1)?22??s12/s2s12/s2?12,所求2的置信度为1??的置信区间为 ??．?2f(n?1,n?1)f(n?1,n?1)2?/212?1??/21?九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．答：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测【篇二：高等工程数学试题答案】>一、设总体x具有分布律其中?(0???1)为未知参数，已知取得了样本值x1?1,x2?2,x3?1，求?的矩估计和最大似然估计.解：（1）矩估计：ex??2?2?2?(1??)?3(1??)2??2??314?(1?2?1)?33??5. 令ex?，得?6（2）最大似然估计：l(?)?????2?(1??)?2??2?2256dln(?)?10?4?12?5?0 d???5得?6二、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度x~n(10,1)，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为10.8（mg/l），标准差为1.2（mg/l），问该工厂生产是22否正常？（??0.05,t0.025(9)?2.2622,?0.025(9)?19.023,?0.975(9)?2.700）解：（1）检验假设h0：?=1，h1：?≠1；取统计量：??222(n?1)s2?20；拒绝域为：?2≤?21?2222?=2.70或≥(n?1)??(9)?(n?1)???0.975?0.025=19.023， 22经计算：??2(n?1)s22?09?1.22??12.96，由于?2?12.96?(2.700,19.023)2，1故接受h0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为?2=1。

作业2.1.2.1一、 填空题1．设函数sin cos y x α=-，则y '= ． 解cos 0cos y x x '=+=。

2．设函数tan y x x =，则dydx= ． 解2tan (tan )tan sec dyx x x x x x x dx''=+=+． 3． 曲线ln y x x =在2x =处切线斜率为 ．解 221(ln )ln 21x x k y x x x =='==+⋅=+． 4．如果函数()f x 和()g x 对于区间(,)a b 内每个点都有()()f x g x ''=，则在区间(,)a b 内必有()f x = ．解 ()()f x g x C =+． 二、 解答题1求下列函数的导数.(1)(22y x =+；(2)3cos y x x =；解 5222y x x =+ 解 233cos sin y x x x x '=-542y x '=+(3)y ； (4) ln sin xy x=. 解 8713635y x x x -=-+ 解21s i n l n c o s (s i n )x x x x y x ⋅-⋅'=514363875363y x x x -'=--(5) sin sin cos tu t t =+ 解 2c o s (s i n c o s )s i n (c o s s i n )(s i n c o s )t t t t t t u t t +--'=+21=(s i n c o s )t t +．2. 求下列函数在给定点的导数.(1)sin cos y x x =+，在0x =及π2x =处； 解 cos sin y x x '=-，代入0x =和π2x =得π(0)1,()12f f ''==-．(2)()2cos 1f x x x x =+-，在πx =-及πx =处；解 ()2cos sin f x x x x x '=+-，代入πx =-和πx =得(π)2π1,(π)2π1f f ''-=--=- (3)3()ln f x x x =,在1x =处．解 22()3ln f x x x x '=+，代入1x = 得(1)1f '=．3.曲线44x y x =-在N 处切线平行于x 轴，求N 点的坐标．解 N 点处切线斜率31k y x '==-，因为切线平行于x 轴，所以0k =． 即1x =．所以N 点的坐标3(1,)4-．4．求曲线322y x x =-在1x =处的切线方程． 解 在1x =处的切线斜率为211(62)4x x k y x x =='==-=，又当1x =时1y =．所求切线方程为430x y --=5． 求曲线22sin y x x =+在0x =处切线方程．解 在0x =处切线斜率为00(22cos )2x x k y x x =='==+=．又当0x =时0y =所求方程为2y x =． 作业2.1.2.2一、 填空题1设5()(21)f x x =+，则()f x '= ．解 445(21)(21)10(21)y x x x ''=+⋅+=+。

中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷考试日期：20XX 年月日 时间110分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分)（1）对方程32()2f x x x x =-+，写出其Newton 迭代公式【注意重根】，使得由迭代公式产生的序列{}n x 可以2阶收敛于方程的唯一正根*x ；（2）在[,]a b 上，设0)(=x f 与)(x x ϕ=等价，则当)(x ϕ满足，和时，由)(1k k x x ϕ=+（L ,2,1,0=k ）产生的序列{}k x 收敛于方程)(x x ϕ=的根；（3）用Doolittle 分解法求方程：123211413261225x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦则：L =，U =，解x =；（4）已知2114132,61225A x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 则：A ∞=；1A =；1x =。

（5）已知)(x f y =在区间],[b a 上通过点(,),0,1,2,,i i x y i n =，则其三次样条插值函数)(x S 是满足，，；（6）设有线性回归模型1112122312322y y y βεββεββε=+⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩，其中2~(0,)(1,2,3)i N i εσ=且相互独立，写出参数12,ββ的最小二乘估计。

（7）在多元线性回归建模过程中，需要考虑自变量的选择问题。

写出三种常用的自变量的选取方法。

（8）影响数学模型数值求解结果的误差有：，， 。

二、（本题8分）已知)(x f 的数据如表：试求三次Newton 插值多项式3()N x ，求(5)f 的近似值，并给出相应的误差估计式。

三、（本题10分）引入人工变量利用大M 法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）：12121212max 34..240.510,Z x x s tx x x x x x =++≤-≥≥≥四、（本题8分）某厂生产甲、乙、丙三种产品，都分别经A,B 两道工序加工，A 工序在设备1A 或2A 上完成，B 工序在1B ，2B ，3B 三种设备上完成。

《高等工程数学》试题一、 设总体X 具有分布律其中(01)θθ<<为未知参数，已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，求θ的矩估计和最大似然估计.解：（1）矩估计：2222(1)3(1)23EX θθθθθ=+⨯-+-=-+14(121)33X =++=令EX X =，得5ˆ6θ=. （2）最大似然估计：2256()2(1)22L θθθθθθθ=⋅⋅-=-45ln()10120d d θθθθ=-= 得5ˆ6θ= 二、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度)1,10(~N X ，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为10.8（mg/L ），标准差为1.2（mg/L ），问该工厂生产是否正常？（220.0250.0250.9750.05,(9) 2.2622,(9)19.023,(9) 2.700t αχχ====）解：（1）检验假设H 0：σ2=1，H 1：σ2≠1； 取统计量：2022)1(σχs n -=；拒绝域为：χ2≤)9()1(2975.0221χχα=--n =2.70或χ2≥2025.022)1(χχα=-n =19.023， 经计算：96.1212.19)1(2222=⨯=-=σχs n ，由于)023.19,700.2(96.122∈=χ2，故接受H 0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为σ2=1。

（2）检验假设101010≠'='μμ：，：H H ； 取统计量：10/10S X t -=~ )9(2αt ；拒绝域为2622.2)9(025.0=≥t t ；1028.210/2.1108.10=-=t <2.2622 ，所以接受0H '， 即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L ）。

综上，认为工厂生产正常。

三、 在单因素方差分析中，因素A 有3个水平，每个水平各做4次重复实验，完成下列方差分析表，在显著水平0.05α=下对因素A 是否显著做检验。

工程硕士学位课程考试 高等工程数学试题（2009年3月）注意：每位考生只要选做以下两部分试题，答案必须写在答题纸上矩阵分析部分一．（8分）设202230,0,123i A i X i i i ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭其中，求112,,,A A AX AX ∞值。

解: 由定义:{}{}111max max 3,4,66max max 5,4,45nij ij nij ji A a A a ∞========∑∑因为1643AX i -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭所以11216512ni i AX AXξ===++====∑二．（6分） 已知函数矩阵：22222222222333332t tt t t t Att t t t t t t t t tt t e e e e e e e e ee e e e e e e e e e ⎛⎫--- ⎪=--- ⎪ ⎪---⎝⎭， 求矩阵.A 解: 设2Att t ee B e C =+, 其中211111121,111332333B C ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭利用公式AtAt de Ae dt=以及1()A A e e --=, 可知()12222(2)()22At At At At t t t t t t de de A e e dt dte B e C e B e C B e BC e CB C ----===++=+++ 由计算可知0BC CB ==, 从而222311131331A B C =+-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭三．（10分）设向量123(1,0,2,1),(2,0,1,1),(1,0,1,0)T T T ααα==-=与12(1,1,0,1),(4,1,3,1)T T ββ==，令),,,(3211αααL V =),(212ββL V =，（1）求21V V +的一组基和维数； （2）求维数)dim(21V V 。

V17 31 3二. A D 三.xoy 面 (-2,3,0)-2 a a四.cos 1 ——,cos 2——,cos 2五.（1） (-1,3, 3)二. C 三. 1. (-4, 2, —4) 2. 3. 4.四.S 15 五.去(5,V 93 2) 二. CDDCC 三. 1. 2 2. x 2四.1 .由 xoz 面上的曲线 2•由 xoy 面上的曲线 x 2二. BD 三. 1.点43’ 过点习题习题—10, 22 J3 yoz 坐标面COS5.习题二3. y 2 z 25x22x 绕z 轴旋转得到的 2—1绕x 轴旋转得到的4习题四2. x 2y 2 (0,0,3),2os 32©4. 3-,17,0 ）平行于z 轴的直线332953y (x 1)2z 2x 1 四.y 3 —=cos 3 -7= cos 迈3sin 五.在xoy 平面的投影曲线 x 2 y 2x y 1 z 0在yoz 平面的投影曲线 x 2(1 y z)2z x 0在xoz 平面的投影曲线 (1 x z)2 z 0习题五.DCC 二. 1. 3x 7y 5z 14 2. (1,— 1,3) 3. 103 4. — 4,3三.x 7y 8z 12四. 9x y 3z 16 五.面方程: y 3x 3y 0习题六一. DBA 二. 1. L 0 x 12.C y 2 1y 1 1z 30 z 11,参数方程： x 1 2t,y 1 t,z 1 3t3三.直线方程:四.x 5y z 13、2X lim 20 ,x 01 X 24五、由于第八章 复习题三.1. 0 2. (X 3)2 (y 1) 4. 2 5. X 2 2 4z y ,z 6.X 2 y 3 z 1 12 20 23 四. ( 1,6,3)arcsin ——二. BBB 5 五. X 2'2(z 1)2 213.(X y)2 (z 1)23/2 六. 1、 2、3、 四、 1、 2、 35 (2,9,6) (X 1)2(yf(x,y) xy {(X, y)13 2)2 (Z 1)249sin(x 2 y 2) 0}.7665 arcsin ---133习题七lim(X, y) (0,0) y X1、2、四、1、2、4、五、1、2、2、2lim 4X y2 lim (x’y) (0,0) x4y2x 0 x4 y x '所以极限不存在2,x3 cotFy y2x1、du15x2 v n(2(x342 x z :zy x lny;22xln(xdzdtyzx yz4x4x3x2习题八4 cotyx3 y2).y2).5yjl n3(x3 7)2y2zy)y22yl nx 尹(1xln2y2lnx 7」 --- x z2x3x y12t232z 2xy2 2x y (x y)习题九6tJ1 (3t2 4t32)21dx zx yz ln xdy yx yz ln xdz2z 2y 2e 2xy 2习题1.X2. D B C y e u3、dz 3x 2 2e 2xdx 1 (x 3 e 2x )2四、1、z f(x x, y y) f(x, y)5 42dz 0.1252、z 1上 y 2f 2；z x—f1 2 f 1 2xyf 2x yyyz2z 2 --- 6xy f32xf yg;gxx y4、令u 2x y, v 3x 2y 则zz u zv2vu v13uv ・In uxu x v xyg2(3x 2y)(2x\3x 2y 1y) 2四、 1. 6x 2ycosy 3£3y 4xa)Z yxz b )2x yexy Z ye z 4xye 2X22x ye z3(2x y)3x 2y ln(2x y)五、 证明:x[y F(u) xy xF (u) z -F (u)] x yF (u) y[x F(u)]xy yF (u) xy1.2品2. e五、x 6, y 6,z 3习题习题四、1.1.3.A/5502. (3, 12. 6)2. (6e4. 01)习题3.1—(1,2,3)182. x 6y 10z 17 01. x3y 4z 1 _ 11x 4y 12z —2 4 12 22. x21 y 1z 2d1运x y 42x 1y 1 z 3. 12x 1 8y z 30 0 一J2y 3z 14 01.2四、1. 362. 182品2. e五、x 6, y 6,z 3复习题四、1. (1,3)为极大值点，极大值为103. 极大值6,极大小值X2 3 332sin(X 2 y 2) 1 03. (x,y)16且x 2 四、 1.2xy 3zf 1 yf 2 2xf 3 2. 3. 1.1. dz3x z 24y[(2x 2xz 3)d z (4yz 2 3y 2)d y72(5e2. 361. 1.1.1.16)习题十四四、R 32. 03.100习题十五2340 2.163.243 204. 8(1 cos1)dy (1 14a 4(1 cos1)f(x,y)d习题2. -R 3(3 (b1. 2 a22. 0四、 1.2.1. 641、 、1、 习题RdXdyX 2y 2f(X, y,z)d z1dX 1[(I n2 2 原式= 2、原式= 三、原式= dyX 22y 2f(X, y,z)d z8)3d 四、1、原式= 2、原式= 14 45si n2d dzcosd dzdrdr 3sin d d dz drdsin ) dz jd~22cos2、2dar 3sin dr2dz16 "93dz16 32acossi ndr(1cosr 3sin dr 10dxdy-12ddz28 3习题十九J 1 X 2dXdyD123 11620 032M x ydxdy 2 xydxdy D D 1 2D 1 3cos sin d d23d2cos 3cos sin d三、将扇形顶点放在坐标原点, y 轴为中心轴, 则质心为 (0,y)1 A D1 2ydxdy, A -a 2 2a 2 四、 ydxdy2asin五、I y x 2D (2) X 2 sin d d dxdy o,y d dza2・ Si nd 旦 sin3 质心为(0,2asin3cos2Rcos 03cos 5 R 4 4(x 2D y 2)dxdyadx a/ 2a (xy 2)dy8a 40,z zdv x 2 dx aa dy 。