高一数学必修一训练习题(1)(附详细答案)
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高中数学必修1第一章集合与函数概念专项练习题一、单选题1.若函数f(x)= |x +2| 的单调递增区间是( )A. (0,+∞)B. (−∞,+∞)C. [2,+∞)D. [−2,+∞)2.设全集 U ={-2,-1,0,1,2} , A ={−2,−1,0} , B ={0,1,2} ,则图中阴影部分所表示的集合为( )A. {0}B. {−2,−1}C. {1,2}D. {0,1,2} 3.函数 f(x)=2xe x +e −x 的大致图像是( )A. B. C. D.4.已知集合A={x|y= √(1−x)(x +3) },B={x|log 2x≤1},则A∩B=( ) A. {x|﹣3≤x≤1} B. {x|0<x≤1} C. {x|﹣3≤x≤2} D. {x|x≤2}5.设函数 f(x)={|x +1|,x ≤0,|log 4x|,x〉0, 若关于 x 的方程 f(x)=a 有四个不同的解 x 1,x 2,x 3,x 4, 且 x 1<x 2<x 3<x 4, 则 x 3(x 1+x 2)+1x32x 4 的取值范围是( )A. (−1,72] B. (−1,72) C. (−1,+∞) D. (−∞,72]6.已知全集U=N ,集合P ={1,2,3,4,6},P ={1,2,3,5,9}则P ∩(C U Q )=( )A. {1,2,3}B. {5,9}C. {4,6}D. {1,2,3,4,6} 7.函数 y =√−x 2−3x+4的定义域为( )A. (−4,−1)B. (−4,1)C. (−1,1)D. (−1,1]8.已知实数 a >0 , a ≠1 ,函数 f(x)=log a |x| 在 (−∞,0) 上是减函数,又 g(x)=a x +1a x ,则下列选项正确的是( )A. g(−2)<g(1)<g(3)B. g(1)<g(−2)<g(3)C. g(3)<g(−2)<g(1)D. g(−2)<g(3)<g(1)9.已知奇函数 y =f(x) 在 (−∞,0) 上单调递减,且 f(1)=0 ,若 a =f(log 318) , b =f(log 214) , c =f(log 23) ,则 a,b,c 的大小关系是( )A. c <b <aB. a <b <cC. a <c <bD. c <a <b10.设a=√2+√3 , M={x|x≤√10},给出下列关系:①a ⊂M ; ②M ⊇{a}; ③{a}∈M ; ④{Ф}⊆{a}; ⑤2a ∉M ; 其中正确的关系式共有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 11.集合 A ={−1,0,1,2,3} , B ={x|log 2(x +1)<2} ,则 A ∩B 等于( )A. {−1,0,1,2}B. {0,1,2}C. {−1,0,1,2,3}D. {0,1,2,3} 12.函数 y =xe cosx (−π≤x ≤π) 的大致图象为( )A. B. C. D.13.若定义在R 上的偶函数f (x )在[0,+∞)上是减函数,则有( )A. f (3)<f (﹣2)<f (1)B. f (1)<f (﹣2)<f (3)C. f (﹣2)<f (1)<f (3)D. f (3)<f (1)<f (﹣2) 14.设f (x )的定义域为D ,若f (x )满足下面两个条件,则称f (x )为闭函数.①f (x )在D 内是单调函数;②存在[a,b ]⊆D , 使f (x )在[a,b ]上的值域为[a,b ] , 如果f (x )=√2x +1+k 为闭函数,那么k 的取值范围是( )A. −1<k ≤−12 B. 12≤k <1 C. k >−1 D. k <1 15.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“同簇函数”.给出下列函数:①f (x )=sinxcosx ; ②f (x )=2sin (x+π4);③f (x )=sinx+√3cosx ; ④f (x )=√2sin2x+1. 其中“同簇函数”的是( )A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④ 16.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )A. y =−x 2+1B. y =lg |x |C. y =1x D. y =e −x 17.下列函数中,是偶函数且在区间 (0,+∞) 上为增函数的是( ) A. y =2ln x B. y =|x 3| C. y =x −1x D. y =cosx18.已知 f(12x −1)=2x +3,f(m)=6 ,则 m 等于( ) A. −14 B. 14 C. 32 D. −32 19.若函数y=x 2﹣3x ﹣4的定义域为[0,m],值域为 [−254,−4] ,则m 的取值范围是( )A. (0,4]B. [−254,−4] C. [32,3] D. [32,+∞)20.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )A. y=x 2+1B. y=|lgx|C. y=cosxD. y=e x ﹣1二、填空题21.已知集合A={1,m+2,m 2+4},且5∈A ,则m=________.22.已知函数 f(x)={x +1,x ≤1f(log 2x),x >1 ,则 f(4)= ________; f(x) 的零点为________.23.函数f (x )=lg (2sinx ﹣1)的定义域为________.24.已知函数 f(x) 是定义在R 上的奇函数,当 x ≥0 时, f(x)=2x −c ,则 f(−2)= ________ 25.已知集合 A ={x|x 2−3x +2=0,x ∈R},B ={x|0<x <5,x ∈N} ,则满足条件 A ⊆C ⊆B 的集合 C 的个数为________.26.若函数 f(x)=lnx −kx 在区间 [1,+∞) 上单调递减,则实数 k 的取值范围是________ 27.设集合A={x|x 2﹣2ax+a=0,x ∈R},B={x|x 2﹣4x+a+5=0,x ∈R},若A 和B 中有且仅有一个是∅,则实数a 的取值范围是________.28.已知函数f (x )满足f (x ﹣1)=x 2﹣x+1,则f (3)=________. 29.函数 f(x)=lg(x −3)+(x−2)0x+1的定义域是________30.函数 y =√5+4x −x 2 的值域是________.31.已知函数f (x )= {log 2(1−x),x ≤0f(x −1)−f(x −2),x >0,则f (2016)=________32.已知定义在R 上的奇函数f (x ),当x≥0时,f (x )=x 2﹣3x .则关于x 的方程f (x )=x+3的解集为________. 33.如果对定义在R 上的函数f (x ),对任意两个不相等的实数x 1 , x 2 , 都有x 1f (x 1)+x 2f (x 2)>x 1f (x 2)+x 2f (x 1),则称函数f (x )为“H 函数”.给出下列函数①y=x 2;②y=e x +1;③y=2x ﹣sinx ;④f (x )={ln |x |,x ≠00,x =0.以上函数是“H 函数”的所有序号为 ________. 34.已知函数f (x )= {(2−a)x +1(x <1)a x (x ≥1) 在(﹣∞,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围是________.35.函数 y =√3−xlog2(x+1)的定义域是________ .三、解答题36.设f (x )=x 2﹣2|x|+3(﹣3≤x≤3) (1)证明f (x )是偶函数; (2)指出函数f (x )的单调增区间; (3)求函数f (x )的值域.37.已知函数f(x)=(x+1)(x+a)x为奇函数. (1)求实数a的值;(2)当x∈[1m ,1n](m>0,n>0)时,若函数f(x)的值域为[3−3m,3−3n],求m,n的值.38.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?(Ⅱ)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?39.设函数f(x)=x2−2|x−a|+3,x∈R.(1)王鹏同学认为,无论a取何值,f(x)都不可能是奇函数,你同意他的观点吗?请说明你的理由;(2)若f(x)是偶函数,求a的值;(3)在(2)的情况下,画出y=f(x)的图象并指出其单独递增区间.40.已知集合A={a,b,2},B={2,b2,2a},若A=B,求实数a,b的值.41.设f(x)=14x+2,先分别求f(0)+f(1),f(﹣1)+f(2),f(﹣2)+f(3),然后归纳猜想一般性结论,并给出证明.42.已知函数f(x)=log a(x+1),g(x)=log a(4−2x)(a>0,且a≠1),设F(x)=f(x)−g(x).(1)求函数F(x)的定义域;(2)求使函数F(x)的值为正数的x的取值范围.43.求函数y=2x﹣3+ √13−4x的值域.44.某通讯公司需要在三角形地带OAC 区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站,甲中转站建在区域BOC 内,乙中转站建在区域AOB 内.分界线OB 固定,且OB=(1+ √3 )百米,边界线AC 始终过点B ,边界线OA 、OC 满足∠AOC=75°,∠AOB=30°,∠BOC=45°.设OA=x (3≤x≤6)百米,OC=y 百米.(1)试将y 表示成x 的函数,并求出函数y 的解析式;(2)当x 取何值时?整个中转站的占地面积S △OAC 最小,并求出其面积的最小值.45.已知由方程kx 2-8x +16=0的根组成的集合A 只有一个元素,试求实数k 的值.46.已知 y =f(x) 为二次函数,其图象顶点为 (1,−3) ,且过坐标原点. (1)求 y =f(x) 的解析式;(2)求 y =f(x) 在区间 [0,m] 上的最大值.47.设全集U=R ,集合A={x|﹣2<x <2},集合B={x|x 2﹣4x+3>0} 求A∩B ,A ∪B ,A∩∁U B .48.已知函数 f(x)=√x , g(x)=|x −2| . (1)求方程 f(x)=g(x) 的解集;(2)定义: max{a,b}={a,a ≥bb,a <b .已知定义在 [0,+∞) 上的函数 ℎ(x)=max{f(x),g(x)} . ①求 ℎ(x) 的单调区间;②若关于 x 的方程 ℎ(x)=m 有两个实数解,求 m 的取值范围.49.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.(1)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示,请补全函数f(x)的图象,并根据图象写出函数f(x)(x∈R)的递增区间;(2)写出函数f(x)(x∈R)的值域;(3)写出函数f(x)(x∈R)的解析式.50.已知函数f(x)=|x+1|−|x|.(1)解关于x的不等式f(x)+f(x−1)<1;(2)若关于x的不等式f(x)−f(x−1)<m−2|x|有解,求m的取值范围.答案解析部分一、单选题1.【答案】D2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】B5.【答案】A6.【答案】C7.【答案】C8.【答案】B9.【答案】D10.【答案】A11.【答案】B12.【答案】A13.【答案】A14.【答案】A15.【答案】C16.【答案】A17.【答案】B18.【答案】A19.【答案】C20.【答案】C二、填空题21.【答案】3或122.【答案】2;-123.【答案】(π6+2kπ,5π6+2kπ),k∈Z24.【答案】25.【答案】426.【答案】[1,+∞)27.【答案】(﹣1,0]∪[1,+∞)28.【答案】1329.【答案】(3,+∞)30.【答案】[0,3]31.【答案】032.【答案】{2+ √7,﹣1,﹣3}33.【答案】②③34.【答案】 [ 32 ,2) 35.【答案】 (−1,0)∪(0,3] 三、解答题36.【答案】 (1)证明:f (x )的定义域为{x|﹣3≤x≤3},关于原点对称 又f (﹣x )=(﹣x )2﹣2|﹣x|+3=x 2﹣2|x|+3=f (x ),∴f (x )是偶函数;(2)解: f(x)={x 2+2x +3=(x +1)2+2(−3≤x ≤0)x 2−2x +3=(x −1)2+2(0<x ≤3) 作出函数的图象,如图,可知:f (x )的单调增区间为[﹣1,0]和[1,3](3)解:由(2)知,x=±1时,函数取得最小值;x=±3时,函数取得最大值 ∴函数f (x )的值域为[2,6].37.【答案】 (1)解:函数f (x )的定义域为: {x ∈R|x ≠0} , f(x)=(x+1)(x+a)x=x +ax+1+a ,∴ f(−x)+f(x)=−x −ax +1+a +x +ax +1+a =0 , ∴ a =−1 ;(2)解:由(1)可知: f(x)=x −1x , 显然 f(x)=x −1x 在 [1m ,1n ] 上单调递增,∴{1m −m =3−3m 1n−n =3−3n,∴ m , n 是方程 2x 2−3x +1=0 的两个实根,且 m >n , ∴ m =1,n =12 .38.【答案】 解:(Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时, 未租出的车辆数为 ,所以这时租出了88辆车.(Ⅱ)设每辆车的月租金定为x 元, 则租赁公司的月收益为,整理得.所以,当x=4050时,f (x )最大,最大值为f (4050)=307050,即当每辆车的月租金定为4050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为307050元 39.【答案】 (1)解:我同意王鹏同学的看法,理由如下: f(a)=a 2+3,f(−a)=a 2−4|a|+3若 f(x) 为奇函数,则有 f(a)+f(−a)=0 , ∴a 2−2|a|+3=0显然 a 2−2|a|+3=0 无解, 所以 f(x) 不可能是奇函数(2)解:若 f(x) 为偶函数,则有 f(x)=f(−x) ∴2|a|=0 , 解得 a =0 ,此时 f(x)=x 2−2|x|+3 ,是偶函数.(3)解:由(2)知 f(x)=x 2−2|x|+3 ,其图象如图所示其单调递增区间是 (−1,0) 和 (1,+∞) .40.【答案】 解:由已知 A =B ,得 {a =2a b =b 2 (1)或 {a =b 2b =2a .(2) 解(1)得 {a =0b =0 或 {a =0b =1 , 解(2)得 {a =0b =0 或 {a =14b =12,又由集合中元素的互异性 得 {a =0b =1 或 {a =14b =12 . 41.【答案】解:f (0)+f (1)= , 同理可得:f (﹣1)+f (2)= ,f (﹣2)+f (3)=.一般性结论:或写成“若x 1+x 2=1,则f (x 1)+f (x 2)=.”证明: ==42.【答案】 (1)解:∵函数 f(x)=log a (x +1) , g(x)=log a (4−2x) ∴ F(x)=f(x)−g(x)=log a (x +1)−log a (4−2x) ∴其定义域满足: {x +1>04−2x >0 ,解得 −1<x <2∴函数 F(x) 的定义域为 (−1,2)(2)解:要使函数 F(x) 的值为正数,等价于 f(x)>g(x) ,即 log a (x +1)>log a (4−2x) . ①当 a >1 时,可得 x +1>4−2x ,解得 x >1 . ∵定义域为 (−1,2)∴实数 x 的取值范围是 (1,2)②当 0<a <1 时,可得 x +1<4−2x ,解得 x <1 . ∵定义域为 (−1,2)∴实数 x 的取值范围是 (−1,1)综上,当 a >1 时,解集为 (1,2) ;当 0<a <1 ,解集为 (−1,1) 43.【答案】解:令则,t≥0 ∴y=﹣3+t=﹣t 2+t+=﹣ (t ﹣1)2+4(t≥0)根据二次函数的性质可知,当t=1即x=3时,函数有最大值4 故答案为:(﹣∞,4]44.【答案】 (1)解:结合图形可知,S △BOC +S △AOB =S △AOC .于是, 12 x (1+ √3 )sin30°+ 12 y (1+ √3 )sin45°= 12 xysin75°,解得:y= √2xx−2 ,(其中3≤x≤6)(2)解:由(1)知,y= √2x x−2 (3≤x≤6),因此,S △AOC = 12 xysin75°= 1+√34 • x 2x−2= 1+√34[(x ﹣2)+ 4x−2 +4] ≥2+2 √3 (当且仅当x ﹣2= 4x−2 ,即x=4时,等号成立).∴当x=400米时,整个中转站的占地面积S △OAC 最小,最小面积是(2+2 √3 )×104平方米. 45.【答案】解:当k =0时,原方程变为-8x +16=0,所以x =2,此时集合A 中只有一个元素2.当k≠0时,要使一元二次方程kx 2-8x +16=0有一个实根,需Δ=64-64k =0,即k =1.此时方程的解为x 1=x 2=4,集合A 中只有一个元素4.综上可知k =0或146.【答案】 (1)解:设 f(x) 解析式为: f(x)=a(x −1)2−3 ∵f(x) 过坐标原点 ∴f(0)=a −3=0 ,解得: a =3∴f(x)=3(x −1)2−3=3x 2−6x(2)解:由(1)知: f(x) 为开口方向向上,对称轴为 x =1 的二次函数 ①当 0<m <2 时, f(x)max =f(0)=0 ,当 m =2 时, f(x)max =f(0)=f(m)=0 , ②当 m >2 时, f(x)max =f(m)=3m 2−6m47.【答案】解:全集U=R ,集合A={x|﹣2<x <2},集合B={x|x 2﹣4x+3>0}={x|x <1或x >3},所以A∩B={x|﹣2<x <1},A ∪B={x|x <2或x >3},∁U B={x|1≤x≤3},所以A∩∁U B={x|1≤x <2}48.【答案】 (1)解:当 x ≥2 时,方程 f(x)=g(x) 为 √x =x −2 ,即 (√x −2)(√x +1)=0 ,解得 x =4 ,当 0≤x <2 时,方程 f(x)=g(x) 为 √x =2−x ,即 (√x +2)(√x −1)=0 ,解得 x =1 , 综上,方程 f(x)=g(x) 的解集为 {1,4} .(2)解:① f(x)≥g(x)⇒1≤x ≤4 , f(x)<g(x)⇒0≤x <1 或 x >4所以 ℎ(x)=max{f(x),g(x)}={2−x,0≤x <1√x,1≤x ≤4x −2,x >4 ,所以, ℎ(x) 的单调递增区间为 [1,+∞) ,单调递减区间为 [0,1) .②由①知 ℎ(x)min =ℎ(1)=1 , ℎ(0)=2 ,当 1<m ≤2 时,方程 ℎ(x)=m 有两个实数解, 综上,实数 m 的取值范围为 (1,2] .49.【答案】 (1)解:根据偶函数的图象关于y 轴对称,作出函数在R 上的图象, 结合图象可得函数的增区间为(﹣1,0)、减区间为(1,+∞)(2)解:结合函数的图象可得,当x=1,或 x=﹣1时,函数取得最小值为﹣1, 函数没有最大值,故函数的值域为[﹣1,+∞)(3)解:当x >0时,﹣x <0,再根据x≤0时,f (x )=x 2+2x ,可得f (﹣x )=(﹣x )2+2(﹣x )=x 2﹣2x .再根据函数f (x )为偶函数,可得f (x )=x 2﹣2x .综上可得,f (x )= {x 2+2x,x ≤0x 2−2x,x >050.【答案】 (1)解: f(x)+f(x −1)<1⇔|x +1|−|x −1|<1⇔{x ⩽−1−x −1−1+x <1 或 {−1<x <1x +1−1+x <1 或 {x ⩾1x +1−x +1<1⇔x ⩽−1 或 −1<x <12⇔x <12所以,原不等式的解集为 (−∞,12)(2)解: f(x)−f(x −1)<m −2|x| 有解即 |x +1|+|x −1|<m 有解则 m >(|x +1|+|x −1|)min 即可.由于 |x +1|+|x −1|⩾|(x +1)−(x −1)|=2 ,当且仅当 (x +1)(x −1)≤0 ,即当 −1≤x ≤1 时等号成立,故 m >2 . 所以, m 的取值范围是 (2,+∞) .。
高一数学必修一第一章测试题(含答案)高一数学必修一第一章测试题满分150分,考试时间120分钟第I卷一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)1.已知全集 $A = \{1,2,4\}$,集合 $A = \{1,2,3\}$,$B =\{2,4\}$,则 $(C \cup A) \cup B$ 为()A。
$\{2,3,4\}$ B。
$\{2,4\}$ C。
$\{0,2,4\}$ D。
$\{0,2,3,4\}$2.集合 $\{a,b\}$ 的子集有()A。
2个 B。
3个 C。
4个 D。
5个3.设集合 $A = \{x|-4<x<3\}$,$B = \{x|x \leq 2\}$,则 $A \cap B =$()A。
$(-4,3)$B。
$(-4,2]$C。
$(-\infty,2]$D。
$(-\infty,3)$4.已知函数 $f(x) = \frac{1}{2-x}$ 的定义域为 $M$,$g(x) = x+2$ 的定义域为 $N$,则 $M \cap N =$()A。
$\{x|x \geq -2\}$B。
$\{x|x < 2\}$C。
$\{-2<x<2\}$D。
$\{-2 \leq x < 2\}$5.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为A。
$y=x+1$B。
$y=-x^2$C。
$y=|x|$D。
$y=x|x|$6.若函数$y=x^2+(2a-1)x+1$ 在$(-\infty,-3]$ 上是减函数,则实数 $a$ 的取值范围是()A。
$(-\infty,-2]$B。
$(-\infty,-\frac{1}{2}]$C。
$[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$D。
$[\frac{1}{2},+\infty)$7.设函数 $f(x) = \begin{cases}x^2+1 & x \leq 1\\ 2x & x>1\end{cases}$,则 $f(f(3)) =$()A。
高一数学必修一第一章(中)函数及其表示练习题及答案高一数学(必修1)第一章:函数及其表示基础训练选择题1.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为()A。
⑴、⑵B。
⑵、⑶C。
⑷D。
⑶、⑸2.函数y=f(x)的图象与直线x=1的公共点数目是()A。
1B。
0或1C。
2D。
1或23.已知集合A={1.2.3.k},B={4.7.a。
4.a^2+3a},且a∈N,x∈A,y∈B*,使B中元素y=3x+1和A中的元素x对应,则a,k的值分别为()A。
2,3B。
3,4C。
3,5D。
2,54.已知f(x)={x+2(x≤-1),x^2(-1<x<2),2x(x≥2)},若f(x)=3,则x的值是()A。
1B。
1或-3C。
1,或±3D。
35.为了得到函数y=f(-2x)的图象,可以把函数y=f(1-2x)的图象适当平移,这个平移是()A。
沿x轴向右平移1个单位B。
沿x轴向右平移1/2个单位C。
沿x轴向左平移1个单位D。
沿x轴向左平移1/2个单位6.设f(x)={x-2(x≥10),f[f(x+6)](x<10)},则f(5)的值为()A。
10B。
11C。
12D。
13填空题1.设函数f(x)={1/(x-1)(x≥1),2/x(xa,则实数a的取值范围是(0.1)。
2.函数y=(x-2)/(x^2-4)的定义域是R-{-2.2}。
3.求函数f(x)=3x/(x+1)的定义域为R-{-1}。
4.函数y=(x-1)/(x-x^2)的定义域是(-∞。
0)∪(1.+∞)。
5.函数f(x)=x+(1/x)的最小值是2.解答题1.求函数f(x)=3x/(x+1)的定义域为R-{-1}。
解:当x+1≠0时,即x≠-1时,f(x)有意义,所以f(x)的定义域为R-{-1}。
2.求函数y=(x^2+x+1)/(x+1)的值域。
解:y=(x^2+x+1)/(x+1)=x+1+1/(x+1),当x→±∞时,y→±∞,所以y的值域为R-{-1}。
高一数学(必修一)练习题及答案一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共60分)1. 下列四个函数中,与y=x表示同一函数的是bA.y=( )2B.y=C.y=D.y=2.已知A={x|y=x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则A∩B等于aA.{x|x∈R}B.{y|y≥0}C.{(0,0),(1,1)}D.3.方程x2-px+6=0的解集为M,方程x2+6x-q=0的解集为N,且M∩N={2},那么p+q等于aA.21B.8C.6D.74. 下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是bA.f(x)=3-xB.f(x)=x2-3xC.f(x)=-D.f(x)=-|x|5.函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上递减,则a的取值范围是cA.[-3,+∞]B.(-∞,-3)C.(-∞,5]D.[3,+∞)6. 函数y= +1(x≥1)的反函数是bA.y=x2-2x+2(x<1)B.y=x2-2x+2(x≥1)C.y=x2-2x(x<1)D.y=x2-2x(x≥1)7. 已知函数f(x)= 的定义域是一切实数,则m的取值范围是dA.0<m≤4B.0≤m≤1C.m≥4D.0≤m≤48.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额b:(1)如果不超过200元,则不给予优惠;(2)如果超过200元但不超过500元,则按标价给予9折优惠;(3)如果超过500元,其500元内的按第(2)条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.某人两次去购物,分别付款168元和423元,假设他一次性购买上述两次同样的商品,则应付款是bA.413.7元B.513.7元C.546.6元D.548.7元9. 二次函数y=ax2+bx与指数函数y=( )x的图象只可能是才才c、10. 已知函数f(n)= 其中n∈N,则f(8)等于dA.2B.4C.6D.711.如图,设a,b,c,d>0,且不等于1,y=ax , y=bx , y=cx ,y=dx 在同一坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的大小顺序()A、a<b<c<dB、a<b<d<cC、b<a<d<cD、b<a<c<d12..已知0<a<1,b<-1,函数f(x)=ax+b的图象不经过:(ba)A.第一象限; B.第二象限; C.第三象限; D.第四象限第Ⅱ卷(非选择题共70分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知f(x)=x2-1(x<0),则f-1(3)=8 ______.14.函数的定义域为__ ___15.某工厂8年来某产品产量y与时间t年的函数关系如下图,则:①前3年总产量增长速度增长速度越来越快;②前3年中总产量增长速度越来越慢;③第3年后,这种产品停止生产;④第3年后,这种产品年产量保持不变.以上说法中正确的是__1 4 _ 。
人教版高中数学必修1课后习题答案(第一章集合与函数概念)人教A版习题1.2(第24页)练习(第32页)1.答:在一定的范围内,生产效率随着工人数量的增加而提高,当工人数量达到某个数量时,生产效率达到最大值,而超过这个数量时,生产效率随着工人数量的增加而降低.由此可见,并非是工人越多,生产效率就越高.2.解:图象如下[8,12]是递增区间,[12,13]是递减区间,[13,18]是递增区间,[18,20]是递减区间.3.解:该函数在[1,0]-上是减函数,在[0,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数,在[4,5]上是增函数. 4.证明:设12,x x R∈,且12x x <, 因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->,即12()()f x f x >, 所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5.最小值.练习(第36页)1.解:(1)对于函数42()23f x x x =+,其定义域为(,)-∞+∞,因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=,所以函数42()23f x x x =+为偶函数;(2)对于函数3()2f x x x =-,其定义域为(,)-∞+∞,因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-,所以函数3()2f x x x =-为奇函数;(3)对于函数21()x f x x+=,其定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ,因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x-++-==-=--,所以函数21()x f x x+=为奇函数;(4)对于函数2()1f x x =+,其定义域为(,)-∞+∞,因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=,所以函数2()1f x x =+为偶函数.2.解:()f x 是偶函数,其图象是关于y 轴对称的;()g x 是奇函数,其图象是关于原点对称的.习题1.3(第39页)1.解:(1)函数在5(,)2-∞上递减;函数在5[,)2+∞上递增; (2)函数在(,0)-∞上递增;函数在[0,)+∞上递减.2.证明:(1)设120x x <<,而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-, 由12120,0x x x x +<-<,得12()()0f x f x ->,即12()()f x f x >,所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数;(2)设120x x <<,而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=,由12120,0x x x x >-<,得12()()0f x f x -<,即12()()f x f x <,所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3.解:当0m >时,一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数;当0m <时,一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数,令()f x mx b =+,设12x x <, 而1212()()()f x f x m x x -=-,当0m >时,12()0m x x -<,即12()()f x f x <, 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数;当0m <时,12()0m x x ->,即12()()f x f x >, 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4.解:自服药那一刻起,心率关于时间的一个可能的图象为5.解:对于函数21622100050x y x =-+-, 当162405012()50x=-=⨯-时,max 307050y =(元), 即每辆车的月租金为4050元时,租赁公司最大月收益为307050元. 6.解:当0x <时,0x ->,而当0x ≥时,()(1)f x x x =+,即()(1)f x x x -=--,而由已知函数是奇函数,得()()f x f x -=-,得()(1)f x x x -=--,即()(1)f x x x =-,所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩. B 组1.解:(1)二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =,则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞,且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数,在[1,)+∞上为增函数,函数()g x 的单调区间为[2,4], 且函数()g x 在[2,4]上为增函数; (2)当1x =时,min ()1f x =-,因为函数()g x 在[2,4]上为增函数,所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=.2.解:由矩形的宽为xm ,得矩形的长为3032xm -,设矩形的面积为S , 则23033(10)22x x x S x --==-, 当5x =时,2max 37.5S m =,即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大,且每间熊猫居室的最大面积是237.5m .3.判断()f x 在(,0)-∞上是增函数,证明如下: 设120x x <<,则120x x ->->,因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数,得12()()f x f x -<-, 又因为函数()f x 是偶函数,得12()()f x f x <,所以()f x 在(,0)-∞上是增函数.复习参考题(第44页)A 组1.解:(1)方程29x =的解为123,3x x =-=,即集合{3,3}A =-;(2)12x ≤≤,且x N ∈,则1,2x =,即集合{1,2}B =;(3)方程2320xx -+=的解为121,2x x ==,即集合{1,2}C =.2.解:(1)由PA PB =,得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等,即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线;(2){|3}P POcm =表示的点组成以定点O 为圆心,半径为3cm 的圆. 3.解:集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线, 集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线,得{|}{|}P PA PB P PA PC ==I 的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点,即ABC ∆的外心.4.解:显然集合{1,1}A =-,对于集合{|1}B x ax ==,当0a=时,集合B =∅,满足B A ⊆,即0a =;当0a ≠时,集合1{}B a=,而B A ⊆,则11a =-,或11a =,得1a =-,或1a =,综上得:实数a 的值为1,0-,或1.5.解:集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭I ,即{(0,0)}A B =I ;集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭I,即A C =∅I ;集合3039(,)|{(,)}2355x y B C x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭I; 则39()(){(0,0),(,)}55A B B C =-IU I .6.解:(1)要使原式有意义,则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩,即2x ≥,得函数的定义域为[2,)+∞;(2)要使原式有意义,则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩,即4x ≥,且5x ≠,得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞U .7.解:(1)因为1()1x f x x -=+, 所以1()1a f a a -=+,得12()1111a f a a a -+=+=++, 即2()11f a a +=+;(2)因为1()1xf x x-=+,所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++, 即(1)2af a a +=-+.8.证明:(1)因为221()1x f x x +=-,所以22221()1()()1()1x x f x f x x x +-+-===---,即()()f x f x -=;(2)因为221()1x f x x+=-, 所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---, 即1()()f f x x=-.9.解:该二次函数的对称轴为8k x=, 函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性, 则208k ≥,或58k ≤,得160k ≥,或40k ≤, 即实数k 的取值范围为160k ≥,或40k ≤.10.解:(1)令2()f x x -=,而22()()()f x x x f x ---=-==,即函数2y x -=是偶函数; (2)函数2y x -=的图象关于y 轴对称; (3)函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数; (4)函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数.B 组1.解:设同时参加田径和球类比赛的有x 人, 则158143328x ++---=,得3x =,只参加游泳一项比赛的有15339--=(人),即同时参加田径和球类比赛的有3人,只参加游泳一项比赛的有9人.2.解:因为集合A ≠∅,且20x ≥,所以0a ≥.3.解:由(){1,3}U A B =U ð,得{2,4,5,6,7,8,9}A B =U ,集合A B U 里除去()U A B I ð,得集合B , 所以集合{5,6,7,8,9}B =.4.解:当0x ≥时,()(4)f x x x =+,得(1)1(14)5f =⨯+=; 当0x <时,()(4)f x x x =-,得(3)3(34)21f -=-⨯--=;(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩. .5.证明:(1)因为()f x ax b =+,得121212()()222x x x x a f a b x x b ++=+=++, 121212()()()222f x f x ax b ax b a x x b ++++==++, 所以1212()()()22x x f x f x f ++=; (2)因为2()g x x ax b =++,得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++, 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++ 2212121()()22x x x x a b +=+++, 因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤, 即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+, 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6.解:(1)函数()f x 在[,]b a --上也是减函数,证明如下:设12b x x a -<<<-,则21a x x b <-<-<, 因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数,则21()()f x f x ->-,又因为函数()f x 是奇函数,则21()()f x f x ->-,即12()()f x f x >, 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数;(2)函数()g x 在[,]b a --上是减函数,证明如下: 设12b x x a -<<<-,则21a x x b <-<-<,因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数,则21()()g x g x -<-, 又因为函数()g x 是偶函数,则21()()g x g x <,即12()()g x g x >, 所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数.7.解:设某人的全月工资、薪金所得为x 元,应纳此项税款为y 元,则 0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩ 由该人一月份应交纳此项税款为26.78元,得25004000x <≤, 25(2500)10%26.78x +-⨯=,得2517.8x =, 所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元.。
第一章 1.1 1.1.1集合的含义与表示基础巩固一、选择题1.在“①高一数学中的难题;②所有的正三角形;③方程x 2-2=0的实数解”中,能够构成集合的是( )A .②B .③C .②③D .①②③[答案] C[解析] 高一数学中的难题的标准不确定,因而构不成集合,而正三角形标准明确,能构成集合,方程x 2-2=0的解也是确定的,能构成集合,故选C.2.已知集合A ={x |x ≤10},a =2+3,则a 与集合A 的关系是( ) A .a ∈A B .a ∉A C .a =A D .{a }∈A[答案] A[解析] 由于2+3<10,所以a ∈A .3.(2015·山东临沂检测)集合{x ∈N *|x -2<3}的另一种表示形式是( ) A .{0,1,2,3,4} B .{1,2,3,4} C .{0,1,2,3,4,5} D .{1,2,3,4,5}[答案] B[解析] 由x -2<3,得x <5,又x ∈N *,所以x =1,2,3,4,即集合的另一种表示形式是{1,2,3,4}.4.方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x +y =22x -3y =27的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x =3y =-7B .{x ,y |x =3且y =-7}C .{3,-7}D .{(x ,y )|x =3且y =-7} [答案] D[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x +y =22x -3y =27得⎩⎪⎨⎪⎧x =3y =-7,用描述法表示为{(x ,y )|x =3且y =-7},用列举法表示为{(3,-7)},故选D. 5.已知集合S ={a ,b ,c }中的三个元素是△ABC 的三边长,那么△ABC 一定不是( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形[答案] D[解析] 由集合中元素的互异性知a ,b ,c 互不相等,故选D.6.已知集合A 是由0,m ,m 2-3m +2三个元素组成的集合,且2∈A ,则实数m 的值为( )A .2B .3C .0或3D .0或2或3[答案] B[解析] 因为2∈A ,所以m =2或m 2-3m +2=2,解得m =0或m =2或m =3.又集合中的元素要满足互异性,对m 的所有取值进行一一检验可得m =3,故选B.二、填空题7.用符号∈与∉填空:(1)0________N *;3________Z ; 0________N ;(-1)0________N *; 3+2________Q ;43________Q .(2)3________{2,3};3________{(2,3)}; (2,3)________{(2,3)};(3,2)________{(2,3)}. (3)若a 2=3,则a ________R ,若a 2=-1,则a ________R . [答案] (1)∉ ∉ ∈ ∈ ∉ ∈ (2)∈ ∉ ∈ ∉ (3)∈ ∉[解析] (1)只要熟记常用数集的记号所对应的含义就很容易辨别.(2)中3是集合{2,3}的元素;但整数3不是点集{(2,3)}的元素;同样(2,3)是集合{(2,3)}的元素;因为坐标顺序不同,(3,2)不是集合{(2,3)}的元素.(3)平方等于3的数是±3,当然是实数,而平方等于-1的实数是不存在的.8.设a ,b ∈R ,集合{1,a +b ,a }=⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,ba,b ,则b -a =________.[答案] 2[解析] 显然a ≠0,则a +b =0,a =-b ,b a=-1,所以a =-1,b =1,b -a =2. 三、解答题9.已知集合A 含有a -2,2a 2+5a,12三个元素,且-3∈A ,求a 的值. [解析] ∵-3∈A ,则-3=a -2或-3=2a 2+5a , ∴a =-1或a =-32.当a =-1时,a -2=-3,2a 2+5a =-3,不满足集合中元素的互异性,∴a =-1舍去. 当a =-32时,经检验,符合题意.故a =-32.[注意] (1)分类讨论意识的建立.解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时,要有分类讨论的意识,如本例按照元素-3与a -2,2a 2+5a,12的关系分类 ,即可做到不重不漏.(2)注意集合中元素的互异性.求解与集合有关的字母参数时,需利用集合元素的互异性来检验所求参数是否符合要求,如本例在求出a 的值后,需代入验证是否满足集合中元素的互异性.10.已知集合A ={x |ax 2-3x +2=0}. (1)若A 是单元素集合,求集合A ;(2)若A 中至少有一个元素,求a 的取值范围.[分析] 将求集合中元素问题转化为方程根问题.(1)集合A 为单元素集合,说明方程有唯一根或两个相等的实数根.要注意方程ax 2-3x +2=0可能不是一元二次方程.(2)至少有一个元素,说明方程有一根或两根.[解析] (1)因为集合A 是方程ax 2-3x +2=0的解集,则当a =0时,A ={23},符合题意;当a ≠0时,方程ax 2-3x +2=0应有两个相等的实数根, 则Δ=9-8a =0,解得a =98,此时A ={43},符合题意.综上所述,当a =0时,A ={23},当a =98时,A ={43}.(2)由(1)可知,当a =0时,A ={23}符合题意;当a ≠0时,要使方程ax 2-3x +2=0有实数根, 则Δ=9-8a ≥0,解得a ≤98且a ≠0.综上所述,若集合A 中至少有一个元素,则a ≤98.[点评] “a =0”这种情况容易被忽视,如“方程ax 2+2x +1=0”有两种情况:一是“a =0”,即它是一元一次方程;二是“a ≠0”,即它是一元二次方程,只有在这种情况下,才能用判别式“Δ”来解决.能力提升一、选择题1.(2015·河北衡水中学期末)下列集合中,不同于另外三个集合的是( )A .{x |x =1}B .{x |x 2=1} C .{1} D .{y |(y -1)2=0}[答案] B[解析] {x |x 2=1}={-1,1},另外三个集合都是{1},选B.2.下列六种表示法:①{x =-1,y =2};②{(x ,y )|x =-1,y =2};③{-1,2};④(-1,2);⑤{(-1,2)};⑥{(x ,y )|x =-1或y =2}.能表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x +y =0,x -y +3=0的解集的是( )A .①②③④⑤⑥B .②③④⑤C .②⑤D .②⑤⑥[答案] C [解析] 方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x +y =0,x -y +3=0的解是⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =2.故选C.3.已知x ,y ,z 为非零实数,代数式x |x |+y |y |+z |z |+|xyz |xyz的值所组成的集合是M ,则下列判断正确的是( )A .0∉MB .2∈MC .-4∉MD .4∈M[答案] D[解析] 当x >0,y >0,z >0时,代数式的值为4,所以4∈M ,故选D.4.设A ,B 为两个实数集,定义集合A +B ={x |x 1+x 2,x 1∈A ,x 2∈B },若A ={1,2,3},B ={2,3},则集合A +B 中元素的个数为( )A .3B .4C .5D .6[答案] B[解析] 当x 1=1时,x 1+x 2=1+2=3或x 1+x 2=1+3=4;当x 1=2时,x 1+x 2=2+2=4或x 1+x 2=2+3=5;当x 1=3时,x 1+x 2=3+2=5或x 1+x 2=3+3=6.∴A +B ={3,4,5,6},共4个元素.二、填空题5.已知P ={x |2<x <k ,x ∈N ,k ∈R },若集合P 中恰有3个元素,则实数k 的取值范围是________.[答案] {k |5<k ≤6}[解析] x 只能取3,4,5,故5<k ≤6.6.(2015·湖南郴州模拟)用列举法写出集合{33-x ∈Z |x ∈Z }=________.[答案] {-3,-1,1,3} [解析] ∵33-x∈Z ,x ∈Z , ∴3-x 为3的因数. ∴3-x =±1,或3-x =±3. ∴33-x =±3,或33-x=±1. ∴-3,-1,1,3满足题意. 三、解答题7.数集A 满足条件:若a ∈A ,则1+a 1-a ∈A (a ≠1).若13∈A ,求集合中的其他元素.[分析] 已知a ∈A ,1+a 1-a ∈A ,将a =13代入1+a1-a 即可求得集合中的另一个元素,依次,可得集合中的其他元素.[解析] ∵13∈A ,∴1+131-13=2∈A ,∴1+21-2=-3∈A ,∴1-31+3=-12∈A ,∴1-121+12=13∈A . 故当13∈A 时,集合中的其他元素为2,-3,-12.8.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为“可倒数集”. (1)判断集合A ={-1,1,2}是否为可倒数集; (2)试写出一个含3个元素的可倒数集.[解析] (1)由于2的倒数为12不在集合A 中,故集合A 不是可倒数集.(2)若a ∈A ,则必有1a ∈A ,现已知集合A 中含有3个元素,故必有一个元素有a =1a,即a =±1,故可以取集合A ={1,2,12}或{-1,2,12}或{1,3,13}等.第一章 1.1 1.1.2集合间的基本关系基础巩固一、选择题1.对于集合A,B,“A⊆B”不成立的含义是( )A.B是A的子集B.A中的元素都不是B的元素C.A中至少有一个元素不属于BD.B中至少有一个元素不属于A[答案] C[解析] “A⊆B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素.不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B,故选C.2.下列命题中,正确的有( )①空集是任何集合的真子集;②若A B,B C,则A C;③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集;④如果不属于B的元素也不属于A,则A⊆B.A.①②B.②③C.②④D.③④[答案] C[解析] ①空集只是空集的子集而非真子集,故①错;②真子集具有传递性;故②正确;③若一个集合是空集,则没有真子集,故③错;④由韦恩(Venn)图易知④正确,故选C.3.已知集合A={x|x是三角形},B={x|x是等腰三角形},C={x|x是等腰直角三角形},D={x|x是等边三角形},则( )A.A⊆B B.C⊆BC.D⊆C D.A⊆D[答案] B[解析] ∵正方形必为矩形,∴C⊆B.4.下列四个集合中,是空集的是( )A.{0} B.{x|x>8,且x<5}C.{x∈N|x2-1=0} D.{x|x>4}[答案] B[解析] 选项A、C、D都含有元素.而选项B无元素,故选B.5.若集合A⊆{1,2,3},且A中至少含有一个奇数,则这样的集合A有( )A.3个B.4个C.5个D.6个[答案] D[解析] 集合{1,2,3}的子集共有8个,其中至少含有一个奇数的有{1},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},共6个.6.设集合A ={x |1<x <2},B ={x |x <a },若A B ,则实数a 的取值范围为( ) A .a ≥2 B .a ≤1 C .a ≥1 D .a ≤2[答案] A[解析] 在数轴上表示出两个集合(图略),因为A B ,所以a ≥2. 二、填空题7.用适当的符号填空:(1){x |x 是菱形}________{x |x 是平行四边形}; {x |x 是三角形}________{x |x 是斜三角形}. (2)Z ________{x ∈R |x 2+2=0}; 0________{0};Ø________{0};N ________{0}. [答案] (1)(2) ∈[解析] (1)判断两个集合之间的关系,可以根据子集的定义来加以判断,特别要注意判断出包含关系后,还要进一步判断是否具有真包含关系.(2)集合{x ∈R |x 2+2=0}中,由于实数范围内该方程无解,因此{x ∈R |x 2+2=0}=Ø;0是集合{0}中的元素,它们之间是属于关系;{0}是含有一个元素0的集合;Ø是不含任何元素的集合,故Ø{0};自然数集N 中含有元素0,但不止0这一个元素.8.(2012·大纲全国改编)已知集合A ={1,2,m 3},B ={1,m },B ⊆A ,则m =________. [答案] 0或2或-1[解析] 由B ⊆A 得m ∈A ,所以m =m 3或m =2,所以m =2或m =-1或m =1或m =0,又由集合中元素的互异性知m ≠1.所以m =0或2或-1.三、解答题9.判断下列集合间的关系:(1)A ={x |x -3>2},B ={x |2x -5≥0}; (2)A ={x ∈Z |-1≤x <3},B ={x |x =|y |,y ∈A }. [解析] (1)∵A ={x |x -3>2}={x |x >5},B ={x |2x -5≥0}={x |x ≥52},∴利用数轴判断A 、B 的关系. 如图所示,AB .(2)∵A ={x ∈Z |-1≤x <3}={-1,0,1,2},B ={x |x =|y |,y ∈A ,∴B ={0,1,2},∴B A .10.已知集合M ={x |x =m +16,m ∈Z },N ={x |x =n 2-13,n ∈Z },P ={x |x =p 2+16,p ∈Z },试确定M ,N ,P 之间的关系.[解析] 解法一:集合M ={x |x =m +16,m ∈Z },对于集合N ,当n 是偶数时,设n =2t (t ∈Z ), 则N ={x |x =t -13,t ∈Z };当n 是奇数时,设n =2t +1(t ∈Z ),则N ={x |x =2t +12-13,t ∈Z }={x |x =t +16,t ∈Z }.观察集合M ,N 可知M N .对于集合P ,当p 是偶数时,设p =2s (s ∈Z ),则P ={x |x =s +16,s ∈Z },当p 是奇数时,设p =2s -1(s ∈Z ),则P ={x |x =2s -12+16,s ∈Z } ={x |x =s -13,s ∈Z }.观察集合N ,P 知N =P . 综上可得:MN =P .解法二:∵M ={x |x =m +16,m ∈Z }={x |x =6m +16,m ∈Z }={x |x =3×2m +16,m ∈Z },N ={x |x =n 2-13,n ∈Z }={x |x =3n -26,n ∈Z }={x |x =3n -1+16,n -1∈Z },P ={x |x =p 2+16,p ∈Z }={x |x =3p +16,p ∈Z },比较3×2m +1,3(n -1)+1与3p +1可知,3(n -1)+1与3p +1表示的数完全相同, ∴N =P,3×2m +1只相当于3p +1中当p 为偶数时的情形, ∴MP =N .综上可知M P =N .能力提升一、选择题1.(2015·瓮安一中高一期末试题)设集合M ={x |x =k 2+14,k ∈Z },N ={x |x =k 4+12,k∈Z },则( )A .M =NB .M NC .M ND .M 与N 的关系不确定[答案] B[解析] 解法1:用列举法,令k =-2,-1,0,1,2…可得M ={…-34,-14,14,34,54…}, N ={…0,14,12,34,1…},∴MN ,故选B.解法2:集合M 的元素为:x =k 2+14=2k +14(k ∈Z ),集合N 的元素为:x =k 4+12=k +24(k ∈Z ),而2k +1为奇数,k +2为整数,∴M N ,故选B.[点评] 本题解法从分式的结构出发,运用整数的性质方便地获解.注意若k 是任意整数,则k +m (m 是一个整数)也是任意整数,而2k +1,2k -1均为任意奇数,2k 为任意偶数.2.(2015·湖北孝感期中)集合A ={(x ,y )|y =x }和B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ,y |⎩⎪⎨⎪⎧2x -y =1x +4y =5,则下列结论中正确的是( )A .1∈AB .B ⊆AC .(1,1)⊆BD .Ø∈A[答案] B[解析] B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ,y |⎩⎪⎨⎪⎧2x -y =1x +4y =5={(1,1)},故选B. 3.已知集合A ={1,2},B ={x |ax -2=0},若B ⊆A ,则a 的值不可能是( ) A .0 B .1 C .2 D .3[答案] D[解析] 由题意知,a =0时,B =Ø,满足题意;a ≠0时,由2a∈A ⇒a =1,2,所以a 的值不可能是3.4.集合P ={3,4,5},Q ={6,7},定义P *Q ={(a ,b )|a ∈P ,b ∈Q },则P *Q 的子集个数为( )A .7B .12C .32D .64[答案] D[解析] 集合P *Q 的元素为(3,6),(3,7),(4,6),(4,7),(5,6),(5,7),共6个,故P *Q 的子集个数为26=64.二、填空题5.已知集合M ={x |2m <x <m +1},且M =Ø,则实数m 的取值范围是________. [答案] m ≥1[解析] ∵M =Ø,∴2m ≥m +1,∴m ≥1.6.集合⎩⎨⎧x ,y ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y =-x +2,y =12x +2⊆{(x ,y )|y =3x +b },则b =________.[答案] 2[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =-x +2y =12x +2得⎩⎪⎨⎪⎧x =0y =2,代入y =3x +b 得b =2. 三、解答题7.设集合A ={-1,1},集合B ={x |x 2-2ax +b =0},若B ≠Ø且B ⊆A ,求实数a 、b 的值.[解析] ∵B 中元素是关于x 的方程x 2-2ax +b =0的根,且B ⊆{-1,1},∴关于x 的方程x 2-2ax +b =0的根只能是-1或1,但要注意方程有两个相等根的条件是Δ=0.∵B ={x |x 2-2ax +b =0}⊆A ={-1,1},且B ≠Ø, ∴B ={-1}或B ={1}或B ={-1,1}. 当B ={-1}时,Δ=4a 2-4b =0且1+2a +b =0,解得a =-1,b =1. 当B ={1}时,Δ=4a 2-4b =0且1-2a +b =0,解得a =b =1. 当B ={-1,1}时,有(-1)+1=2a ,(-1)×1=b ,解得a =0,b =-1.8.设集合A ={x |-2≤x ≤5},B ={x |m +1≤x ≤2m -1}.(1)若B ⊆A ,求实数m 的取值范围;(2)当x ∈Z 时,求A 的非空真子集个数;(3)当x ∈R 时,不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立,求实数m 的取值范围.[解析] (1)当m +1>2m -1,即m <2时,B =Ø,满足B ⊆A .当m +1≤2m -1,即m ≥2时,要使B ⊆A 成立,只需⎩⎪⎨⎪⎧ m +1≥-2,2m -1≤5,即2≤m ≤3.综上,当B ⊆A 时,m 的取值范围是{m |m ≤3}.(2)当x ∈Z 时,A ={-2,-1,0,1,2,3,4,5},∴集合A 的非空真子集个数为28-2=254.(3)∵x ∈R ,且A ={x |-2≤x ≤5}, B ={x |m +1≤x ≤2m -1},又不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立,∴当B =Ø,即m +1>2m -1,得m <2时,符合题意;当B ≠Q ,即m +1≤2m -1,得m ≥2时,⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2,m +1>5,或⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2,2m -1<-2,解得m >4.综上,所求m 的取值范围是{m |m <2或m >4}.第一章 1.1 1.1.3 第一课时并集和交集基础巩固一、选择题1.下面四个结论:①若a ∈(A ∪B ),则a ∈A ;②若a ∈(A ∩B ),则a ∈(A ∪B );③若a ∈A ,且a ∈B ,则a ∈(A ∩B );④若A ∪B =A ,则A ∩B =B .其中正确的个数为( )A .1B .2C .3D .4[答案] C[解析] ①不正确,②③④正确,故选C.2.已知集合M ={x |-3<x ≤5},N ={x |x >3},则M ∪N =( )A .{x |x >-3}B .{x |-3<x ≤5}C .{x |3<x ≤5}D .{x |x ≤5}[答案] A[解析] 在数轴上表示集合M,N,如图所示,则M∪N={x|x>-3}.3.(2015·全国高考卷Ⅰ文科,1题)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,12,14},则集合A∩B中元素的个数为( )A.5 B.4C.3 D.2[答案] D[解析] A∩B={8,14},故选D.4.(2015·浙江省期中试题)集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=( )A.{1,2,3} B.{1,2,4}C.{2,3,4} D.{1,2,3,4}[答案] D[解析] A∩B={1,2},(A∩B)∪C={1,2,3,4},故选D.5.若A∪B=Ø,则( )A.A=Ø,B≠ØB.A≠Ø,B=ØC.A=Ø,B=ØD.A≠Ø,B≠Ø[答案] C6.设集合A={x|-1≤x≤2},集合B={x|x≤a},若A∩B=Ø,则实数a的取值集合为( )A.{a|a<2} B.{a|a≥-1}C.{a|a<-1} D.{a|-1≤a≤2}[答案] C[解析] 如图.要使A∩B=Ø,应有a<-1.二、填空题7.若集合A={2,4,x},B={2,x2},且A∪B={2,4,x},则x=________.[答案] 0,1或-2[解析] 由已知得B⊆A,∴x2=4或x2=x,∴x=0,1,±2,由元素的互异性知x≠2,∴x =0,1或-2.8.已知集合A ={x |x ≥5},集合B ={x |x ≤m },且A ∩B ={x |5≤x ≤6},则实数m =________.[答案] 6[解析] 用数轴表示集合A 、B 如图所示.由于A ∩B ={x |5≤x ≤6},得m =6.三、解答题9.设集合A ={a 2,a +1,-3},B ={a -3,2a -1,a 2+1},A ∩B ={-3},求实数a 的值.[解析] ∵A ∩B ={-3},∴-3∈B .∵a 2+1≠-3,∴①若a -3=-3,则a =0,此时A ={0,1,-3},B ={-3,-1,1},但由于A ∩B ={1,-3}与已知A ∩B ={-3}矛盾,∴a ≠0.②若2a -1=-3,则a =-1,此时A ={1,0,-3},B ={-4,-3,2},A ∩B ={-3}.综上可知a =-1.10.已知集合A ={x |-1≤x <3},B ={x |2x -4≥x -2}.(1)求A ∩B ;(2)若集合C ={x |2x +a >0},满足B ∪C =C ,求实数a 的取值范围.[解析] (1)∵B ={x |x ≥2},A ={x |-1≤x <3},∴A ∩B ={x |2≤x <3}.(2)∵C ={x |x >-a 2},B ∪C =C ⇔B ⊆C , ∴-a 2<2,∴a >-4. 能力提升一、选择题1.已知集合M ={-1,0,1},N ={x |x =ab ,a ,b ∈M 且a ≠b },则M ∪N =( )A .{0,1}B .{-1,0}C .{-1,0,1}D .{-1,1} [答案] C[解析] 由题意可知,集合N ={-1,0},所以M ∪N =M .2.若集合M ={(x ,y )|x +y =0},P ={(x ,y )|x -y =2},则M ∩P 等于( )A .(1,-1)B .{x =1或y =-1}C .{1,-1}D .{(1,-1)} [答案] D[解析] M ∩P 的元素是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x +y =0x -y =2的解∴M ∩P ={(1,-1)}.3.(2015·衡水高一检测)若集合A ,B ,C 满足A ∩B =A ,B ∪C =C ,则A 与C 之间的关系为( )A .C AB .AC C .C ⊆AD .A ⊆C [答案] D[解析] ∵A ∩B =A ,∴A ⊆B ,又B ∪C =C ,∴B ⊆C ,∴A ⊆C ,故选D.4.当x ∈A 时,若x -1∉A ,且x +1∉A ,则称x 为A 的一个“孤立元素”,由A 的所有孤立元素组成的集合称为A 的“孤星集”,若集合M ={0,1,3}的孤星集为M ′,集合N ={0,3,4}的孤星集为N ′,则M ′∪N ′=( )A .{0,1,3,4}B .{1,4}C .{1,3}D .{0,3} [答案] D[解析] 由条件及孤星集的定义知,M ′={3},N ′={0},则M ′∪N ′={0,3}.二、填空题5.以下四个推理:①a ∈(A ∪B )⇒a ∈A ;②a ∈(A ∩B )⇒a ∈(A ∪B );③A ⊆A ⇒A ∪B =B ;④A ∪B =A ⇒A ∩B =B .其中正确的为________.[答案] ②③④[解析] ①是错误的,a ∈(A ∪B )时可推出a ∈A 或a ∈B ,不一定推出a ∈A .6.已知集合A ={x |x 2+px +q =0},B ={x |x 2-px -2q =0},且A ∩B ={-1},则A ∪B =________.[答案] {-2,-1,4}[解析] 因为A ∩B ={-1},所以-1∈A ,-1∈B ,即-1是方程x 2+px +q =0和x 2-px -2q =0的解,所以⎩⎪⎨⎪⎧ -12-p +q =0,-12+p -2q =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧p =3,q =2, 所以A ={-1,-2},B ={-1,4},所以A ∪B ={-2,-1,4}.三、解答题7.已知A ={x |2a <x ≤a +8},B ={x |x <-1或x >5},A ∪B =R ,求a 的取值范围.[解析] ∵B ={x |x <-1或x >5},A ∪B =R ,∴⎩⎪⎨⎪⎧2a <-1,a +8≥5,解得-3≤a <-12. 8.设A ={x |x 2+8x =0},B ={x |x 2+2(a +2)x +a 2-4=0},其中a ∈R .如果A ∩B =B ,求实数a 的取值范围.[解析] ∵A ={x }x 2+8x =0}={0,-8},A ∩B =B ,∴B ⊆A .当B =Ø时,方程x 2+2(a +2)x +a 2-4=0无解,即Δ=4(a +2)2-4(a 2-4)<0,得a <-2.当B ={0}或{-8}时,这时方程的判别式 Δ=4(a +2)2-4(a 2-4)=0,得a =-2.将a =-2代入方程,解得x =0,∴B ={0}满足.当B ={0,-8}时,⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0,-2a +2=-8,a 2-4=0,可得a =2.综上可得a =2或a ≤-2. [点评] (1)当集合B ⊆A 时,如果集合A 是一个确定的集合,而集合B 不确定,运算时,要考虑B =Ø的情形,切不可漏掉.(2)利用集合运算性质化简集合,有利于准确了解集合之间的关系.第一章 1.1 1.1.3 第二课时补集基础巩固一、选择题1.(2015·重庆三峡名校联盟)设全集I ={1,2,3,4,5},集合A ={2,3,5},集合B ={1,2},则(∁I B )∩A 为( )A .{2}B .{3,5}C .{1,3,4,5}D .{3,4,5}[答案] B[解析] 因为全集I ={1,2,3,4,5},集合B ={1,2},则∁I B ={3,4,5}.所以(∁I B )∩A 为{3,5}.故选B.[易错警示] 本小题的关键是先求出集合B的补集,再求交集.集合的运算是集合关系的基础知识,要理解清楚,可能渗透在一个大题中,不熟练会导致整体看不懂或理解错误.2.设全集U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},则∁U A的所有非空子集的个数为( )A.4 B.3C.2 D.1[答案] B[解析] ∵∁U A={2,4},∴非空子集有22-1=3个,故选B.3.若P={x|x<1},Q={x|x>-1},则( )A.P⊆Q B.Q⊆PC.(∁R P)⊆Q D.Q⊆∁R P[答案] C[解析] ∵P={x|x<1},∴∁R P={x|x≥1}.又Q={x|x>-1},∴(∁R P)⊆Q,故选C.4.若全集U={1,2,3,4,5,6},M={2,3},N={1,4},则集合{5,6}等于( )A.M∪N B.M∩NC.(∁U M)∪(∁U M) D.(∁U M)∩(∁U N)[答案] D[解析] ∵M∪N={1,2,3,4},∴(∁U M)∩(∁U N)=∁U(M∪N)={5,6},故选D.5.已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x<-1或x>4},那么集合A∪(∁U B)等于( )A.{x|-2≤x≤4}B.{x|x≤3,或x≥4}C.{x|-2≤x<-1}D.{x|-1≤x≤3}[答案] A[解析] 由题意可得∁U B={x|-1≤x≤4},A={x|-2≤x≤3},所以A∪(∁U B)={x|-2≤x≤4},故选A.6.已知集合A={x|x<a},B={x|x<2},且A∪(∁R B)=R,则a满足( )A.a≥2B.a>2C.a<2 D.a≤2[答案] A[解析] ∁R B={x|x≥2},则由A∪(∁R B)=R得a≥2,故选A.二、填空题7.已知集合A={3,4,m},集合B={3,4},若∁A B={5},则实数m=________.[答案] 58.U =R ,A ={x |-2<x ≤1或x >3},B ={x |x ≥4},则∁U A =________,∁A B =________.[答案] {x |x ≤-2或1<x ≤3} {x |-2<x ≤1或3<x <4}三、解答题9.已知全集U ={2,3,a 2-2a -3},A ={2,|a -7|},∁U A ={5},求a 的值.[解析] 解法1:由|a -7|=3,得a =4或a =10.当a =4时,a 2-2a -3=5,当a =10时,a 2-2a -3=77∉U ,∴a =4.解法2:由A ∪∁U A =U 知⎩⎪⎨⎪⎧ |a -7|=3a 2-2a -3=5,∴a =4.10.(2015·唐山一中月考试题)已知全集U ={x |x ≤4},集合A ={x |-2<x <3},B ={x |-3≤x ≤2},求A ∩B ,(∁U A )∪B ,A ∩(∁U B ).[分析] 利用数轴,分别表示出全集U 及集合A ,B ,先求出∁U A 及∁U B ,然后求解.[解析] 如图所示,∵A ={x |-2<x <3},B ={x |-3≤x ≤2},∴∁U A ={x |x ≤-2或3≤x ≤4},∁U B ={x |x <-3或2<x ≤4}.∴A ∩B ={x |-2<x ≤2},(∁U A )∪B ={x |x ≤2或3≤x ≤4},A ∩(∁UB )={x |2<x <3}.[点评] (1)数轴与Venn 图有同样的直观功效,在数轴上可以直观地表示数集,所以进行数集的交、并、补运算时,经常借助数轴求解.(2)不等式中的等号在补集中能否取到要引起重视,还要注意补集是全集的子集.能力提升一、选择题1.如图,阴影部分用集合A 、B 、U 表示为( )A .(∁U A )∩BB .(∁U A )∪(∁U B )C .A ∩(∁U B )D .A ∪(∁U B )[答案] C[解析] 阴影部分在A中,不在B中,故既在A中也在∁U B中,因此是A与∁U B的公共部分.2.设S为全集,则下列说法中,错误的个数是( )①若A∩B=Ø,则(∁S A)∪(∁S B)=S;②若A∪B=S,则(∁S A)∩(∁S B)=Ø;③若A∪B=Ø,则A=B.A.0 B.1C.2 D.3[答案] A[解析] 借助文氏图可知,①②正确,对于③于由A∪B=Ø,∴A=Ø,B=Ø,∴A=B,故选A.3.设全集U={1,2,3,4,5},集合S与T都是U的子集,满足S∩T={2},(∁U S)∩T={4},(∁U S)∩(∁U T)={1,5}则有( )A.3∈S,3∈T B.3∈S,3∈∁U TC.3∈∁U S,3∈T D.3∈∁U S,3∈∁U T[答案] B[解析] 若3∈S,3∈T,则3∈S∩T,排除A;若3∈∁U S,3∈T,则3∈(∁U S)∩T,排除C;若3∈∁U S,3∈∁U T,则3∈(∁U S)∩(∁U T),排除D,∴选B,也可画图表示.4.(2008·北京)已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x<-1或x>4},那么集合A∩(∁U B)等于( )A.{x|-2≤x<4} B.{x|x≤3或x≥4}C.{x|-2≤x<-1} D.{x|-1≤x≤3}[答案] D[解析] ∁U B={x|-1≤x≤4},A∩∁U B={x|-1≤x≤3},故选D.二、填空题5.已知全集为R,集合M={x∈R|-2<x<2},P={x|x≥a},并且M⊆∁R P,则a的取值范围是________.[答案] a≥2[解析] M={x|-2<x<2},∁R P={x|x<a}.∵M⊆∁R P,∴由数轴知a≥2.6.已知U =R ,A ={x |a ≤x ≤b },∁U A ={x |x <3或x >4},则ab =________.[答案] 12[解析] ∵A ∪(∁U A )=R ,∴a =3,b =4,∴ab =12.三、解答题7.已知集合A ={x |x 2+ax +12b =0}和B ={x |x 2-ax +b =0},满足(∁U A )∩B ={2},A ∩(∁U B )={4},U =R ,求实数a ,b 的值.[提示] 由2∈B,4∈A ,列方程组求解.[解析] ∵(∁U A )∩B ={2},∴2∈B ,∴4-2a +b =0.①又∵A ∩(∁U B )={4},∴4∈A ,∴16+4a +12b =0.②联立①②,得⎩⎪⎨⎪⎧ 4-2a +b =0,16+4a +12b =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =87,b =-127.经检验,符合题意:∴a =87,b =-127. [点评] 由题目中所给的集合之间的关系,通过分析得出元素与集合之间的关系,是解决此类问题的关键.8.已知全集U =R ,集合A ={x |x <-1},B ={x |2a <x <a +3},且B ⊆∁R A ,求a 的取值范围.[分析] 本题从条件B ⊆∁R A 分析可先求出∁R A ,再结合B ⊆∁R A 列出关于a 的不等式组求a 的取值范围.[解析] 由题意得∁R A ={x |x ≥-1}.(1)若B =Ø,则a +3≤2a ,即a ≥3,满足B ⊆∁R A .(2)若B ≠Ø,则由B ⊆∁R A ,得2a ≥-1且2a <a +3,即-12≤a <3. 综上可得a ≥-12.第一章 1.1 1.1.3 第三课时习题课基础巩固一、选择题1.(2015·全国高考卷Ⅱ文科,1题)已知集合A ={x |-1<x <2},B ={x |0<x <3},则A ∩B =( )A .{x |-1<x <3}B .{x |-1<x <0}C.{x|0<x<2} D.{x|2<x<3}[答案] A[解析] A∪B={x|-1<x<3},故选A.2.设U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则A∩(∁U B)等于( )A.{x|0≤x<1} B.{x|0<x≤1}C.{x|x<0} D.{x|x>1}[答案] B[解析] 画出数轴,如图所示,∁U B={x|x≤1},则A∩∁U B={x|0<x≤1},故选B.3.图中阴影部分所表示的集合是( )A.B∩(∁U(A∪C))B.(A∪B)∪(B∪C)C.(A∪C)∩(∁U B)D.[∁U(A∩C)]∪B[答案] A[解析] 阴影部分位于集合B内,且位于集合A、C的外部,故可表示为B∩(∁U(A∪C)),故选A.4.已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x<-2或x>4},那么集合(∁U A)∩(∁U B)等于( )A.{x|3<x≤4}B.{x|x≤3或x≥4}C.{x|3≤x<4} D.{x|-1≤x≤3}[答案] A[解析] 方法1:∁U A={x|x<-2或x>3},∁U B={x|-2≤x≤4}∴(∁U A)∩(∁U B)={x|3<x≤4},故选C.方法2:A∪B={x|x≤3或x>4},(∁U A)∩(∁U B)=∁U(A∪B)={x|3<x≤4}.故选A.5.已知集合A={x|-1≤x≤1},B={x|-1≤x≤a},且(A∪B)⊆(A∩B),则实数a=( )A.0 B.1C.2 D.3[答案] B[解析] ∵(A ∪B )⊆(A ∩B ),∴(A ∪B )=(A ∩B ), ∴A =B ,∴a =1.6.设U 为全集,对集合X ,Y 定义运算“*”,X *Y =∁U (X ∩Y ),对于任意集合X ,Y ,Z ,则(X *Y )*Z =( )A .(X ∪Y )∩∁U ZB .(X ∩Y )∪∁U ZC .(∁U X ∪∁U Y )∩ZD .(∁U X ∩∁U Y )∪Z [答案] B[解析] X *Y =∁U (X ∩Y )(X *Y )*Z =∁U [∁U (X ∩Y )∩Z ]=∁U (∁U (X ∩Y ))∪∁U Z =(X ∩Y )∪∁U Z ,故选B. 二、填空题7.(河北孟村回民中学2014~2015学年高一九月份月考试题)U ={1,2},A ={x |x 2+px +q =0},∁U A ={1},则p +q =________.[答案] 0[解析] 由∁U A ={1},知A ={2}即方程x 2+px +q =0有两个相等根2,∴p =-4,q =4,∴p +q =0.8.已知集合A ={(x ,y )|y =2x -1},B ={(x ,y )|y =x +3},若m ∈A ,m ∈B ,则m 为________.[答案] (4,7)[解析] 由m ∈A ,m ∈B 知m ∈(A ∩B ), 由⎩⎪⎨⎪⎧y =2x -1y =x +3,得⎩⎪⎨⎪⎧x =4y =7,∴A ∩B ={(4,7)}.三、解答题9.已知全集U =R ,A ={x |2≤x <5},B ={x |3≤x <7},求: (1)(∁R A )∩(∁R B ) (2)∁R (A ∪B ) (3)(∁R A )∪(∁R B ) (4)∁R (A ∩B )[分析] 在进行集合运算时,充分利用数轴工具是十分有效的手段,此例题可先在数轴上画出集合A 、B ,然后求出A ∩B ,A ∪B ,∁R A ,∁R B ,最后可逐一写出各小题的结果.[解析] 如图所示,可得A ∩B ={x |3≤x <5},A ∪B ={x |2≤x <7}.∁R A ={x |x <2或x ≥5}, ∁R B ={x |x <3或x ≥7}. 由此求得(1)(∁R A )∩(∁R B )={x |x <2或x ≥7}. (2)∁R (A ∪B )={x |x <2或x ≥7}.(3)(∁R A )∪(∁R B )={x |x <2或x ≥5}∪{x <3或x ≥7}={x |x <3或x ≥5}. (4)∁R (A ∩B )={x |x <3或x ≥5}.[点评] 求解集合的运算,利用数轴是有效的方法,也是数形结合思想的体现. 10.已知U =R ,A ={x |x 2+px +12=0},B ={x |x 2-5x +q =0},若(∁U A )∩B ={2},(∁UB )∩A ={4},求A ∪B .[分析] 先确定p 和q 的值,再明确A 与B 中的元素,最后求得A ∪B . [解析] ∵(∁U A )∩B ={2},∴2∈B 且2∉A . ∵A ∩(∁U B )={4},∴4∈A 且4∉B .∴⎩⎪⎨⎪⎧42+4p +12=0,22-5×2+q =0.解得p =-7,q =6,∴A ={3,4},B ={2,3},∴A ∪B ={2,3,4}.能力提升一、选择题1.设A 、B 、C 为三个集合,(A ∪B )=(B ∩C ),则一定有( ) A .A ⊆C B .C ⊆A C .A ≠C D .A =Ø[答案] A[解析] ∵A ∪B =(B ∩C )⊆B , 又B ⊆(A ∪B ),∴A ∪B =B ,∴A ⊆B , 又B ⊆(A ∪B )=B ∩C ,且(B ∩C )⊆B , ∴(B ∩C )=B ,∴B ⊆C ,∴A ⊆C .2.设P ={3,4},Q ={5,6,7},集合S ={(a ,b )|a ∈P ,b ∈Q },则S 中元素的个数为( )A .3B .4C .5D .6[答案] D[解析] S ={(3,5),(3,6),(3,7),(4,5),(4,6),(4,7)}共6个元素,故选D. 3.(2015·陕西模拟)已知全集U ={1,2,3,4,5},集合A ={x |x 2-3x +2=0},B ={x |x =2a ,a ∈A },则集合∁U (A ∪B )中元素的个数为( )A.1 B.2C.3 D.4[答案] B[解析] 因为集合A={1,2},B={2,4},所以A∪B={1,2,4},所以∁U(A∪B)={3,5}.4.设全集U=R,集合A={x|x≤1或x≥3},集合B={x|k<x<k+1,k<2},且B∩(∁U A)≠Ø,则( )A.k<0 B.k<2C.0<k<2 D.-1<k<2[答案] C[解析] ∵U=R,A={x|x≤1或x≥3},∴∁U A={x|1<x<3}.∵B={x|k<x<k+1,k<2},∴当B∩(∁U A)=Ø时,有k+1≤1或k≥3(不合题意,舍去),如图所示,∴k≤0,∴当B∩(∁U A)≠Ø时,0<k<2,故选C.二、填空题5.(2014·福建,理)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2,④d≠4有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是________.[答案] 6[解析] 根据题意可分四种情况:(1)若①正确,则a=1,b=1,c≠2,d=4,符合条件的有序数组有0个;(2)若②正确,则a≠1,b≠1,c≠2,d=4,符合条件的有序数组为(2,3,1,4)和(3,2,1,4);(3)若③正确,则a≠1,b=1,c=2,d=4,符合条件的有序数组为(3,1,2,4);(4)若④正确,则a≠1,b=1,c≠2,d≠4,符合条件的有序数组为(2,1,4,3),(4,1,3,2),(3,1,4,2).所以共有6个.故答案为6.6.设数集M={x|m≤x≤m+34},N={x|n-13≤x≤n},且M,N都是集合{x|0≤x≤1}的子集,如果把b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”,那么集合M∩N的“长度”的最小值是________.[答案]1 12[解析] 如图,设AB 是一长度为1的线段,a 是长度为34的线段,b 是长度为13的线段,a ,b 可在线段AB 上自由滑动,a ,b 重叠部分的长度即为M ∩N 的“长度”,显然,当a ,b各自靠近线段AB 两端时,重叠部分最短,其值为34+13-1=112.三、解答题7.已知集合A ={x |x 2-ax +a 2-19=0},B ={x |x 2-5x +6=0},C ={x |x 2+2x -8=0},试探求a 取何实数时,(A ∩B )Ø与A ∩C =Ø同时成立.[解析] B ={x |x 2-5x +6=0}={2,3},C ={x |x 2+2x -8=0}={2,-4},由A ∩BØ与A ∩C =Ø同时成立可知,3是方程x 2-ax +a 2-19=0的解,将3代入方程得a 2-3a -10=0,解得a =5或a =-2.当a =5时,A ={x |x 2-5x +6=0}={2,3},此时A ∩C ={2},与此题设A ∩C =Ø矛盾,故不适合.当a =-2时,A ={x |x 2+2x -15=0}={3,-5},此时(A ∩B )Ø与A ∩C =Ø同时成立,则满足条件的实数a =-2.8.设A ,B 是两个非空集合,定义A 与B 的差集A -B ={x |x ∈A ,且x ∉B }. (1)试举出两个数集,求它们的差集;(2)差集A -B 与B -A 是否一定相等?说明理由;(3)已知A ={x |x >4},B ={x |-6<x <6},求A -(A -B )和B -(B -A ). [解析] (1)如A ={1,2,3},B ={2,3,4}, 则A -B ={1}. (2)不一定相等,由(1)B -A ={4},而A -B ={1}, 故A -B ≠B -A .又如,A =B ={1,2,3}时,A -B =Ø,B -A =Ø,此时A -B =B -A ,故A -B 与B -A 不一定相等. (3)因为A -B ={x |x ≥6},B -A ={x |-6<x ≤4}, A -(A -B )={x |4<x <6}, B -(B -A )={x |4<x <6}.第一章 1.2 1.2.1函数的概念基础巩固一、选择题1.下列四种说法中,不正确的是( )A .在函数值域中的每一个数,在定义域中都至少有一个数与之对应B .函数的定义域和值域一定是无限集合C .定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了D .若函数的定义域中只含有一个元素,则值域也只含有一个元素 [答案] B2.f (x )=1+x +x1-x 的定义域是( )A .[-1,+∞)B .(-∞,-1]C .RD .[-1,1)∪(1,+∞)[答案] D[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧1+x ≥01-x ≠0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥-1,x ≠1,故定义域为[-1,1)∪(1,+∞),选D.3.各个图形中,不可能是函数y =f (x )的图象的是( )[答案] A[解析] 因为垂直x 轴的直线与函数y =f (x )的图象至多有一个交点,故选A. 4.(2015·曲阜二中月考试题)集合A ={x |0≤x ≤4},B ={y |0≤y ≤2},下列不表示从A 到B 的函数是( )A .f x →y =12xB .f x →y =13xC .f x →y =23xD .f x →y =x[答案] C[解析] 对于选项C ,当x =4时,y =83>2不合题意.故选C.5.下列各组函数相同的是( )A .f (x )=x 2-1x -1与g (x )=x +1B .f (x )=-2x 3与g (x )=x ·-2x C .f (x )=2x +1与g (x )=2x 2+xxD .f (x )=|x 2-1|与g (t )=t 2-12[答案] D[解析] 对于A.f (x )的定义域是(-∞,1)∪(1,+∞),g (x )的定义域是R ,定义域不同,故不是相同函数;对于B.f (x )=|x |·-2x ,g (x )=x ·-2x 的对应法则不同;对于C ,f (x )的定义域为R 与g (x )的定义域是{x |x ≠0},定义域不同,故不是相同函数;对于D.f (x )=|x 2-1|,g (t )=|t 2-1|,定义域与对应关系都相同,故是相同函数,故选D.6.函数y =f (x )的图象与直线x =a 的交点个数有( ) A .必有一个 B .一个或两个 C .至多一个 D .可能两个以上[答案] C[解析] 当a 在f (x )定义域内时,有一个交点,否则无交点. 二、填空题 7.已知函数f (x )=11+x,又知f (t )=6,则t =________. [答案] -56[解析] f (t )=1t +1=6.∴t =-568.用区间表示下列数集: (1){x |x ≥1}=________; (2){x |2<x ≤4}=________; (3){x |x >-1且x ≠2}=________.[答案] (1)[1,+∞) (2)(2,4] (3)(-1,2)∪(2,+∞) 三、解答题9.求下列函数的定义域,并用区间表示:(1)y =x +12x +1-1-x ;(2)y =5-x|x |-3.[分析] 列出满足条件的不等式组⇒解不等式组⇒求得定义域[解析] (1)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x +1≠01-x ≥0,解得x ≤1且x ≠-1,即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠-1}=(-∞,-1)∪(-1,1].(2)要使函数有意义,自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5-x ≥0|x |-3≠0,解得x ≤5,且x ≠±3,即函数定义域为{x |x ≤5,且x ≠±3}=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]. [规律总结] 定义域的求法:(1)如果f (x )是整式,那么函数的定义域是实数集R ;(2)如果f (x )是分式,那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合;(3)如果f (x )为偶次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合;(4)如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合.(5)如果函数有实际背景,那么除符合上述要求外,还要符合实际情况. 函数定义域要用集合或区间形式表示,这一点初学者易忽视. 10.已知函数f (x )=x +3+1x +2. (1)求函数的定义域; (2)求f (-3),f (23)的值;(3)当a >0时,求f (a ),f (a -1)的值.[解析] (1)使根式x +3有意义的实数x 的集合是{x |x ≥-3},使分式1x +2有意义的实数x 的集合是{x |x ≠-2},所以这个函数的定义域是{x |x ≥-3}∩{x |x ≠-2}={x |x ≥-3,且x ≠-2}. (2)f (-3)=-3+3+1-3+2=-1; f (23)=23+3+123+2=113+38=38+333. (3)因为a >0,故f (a ),f (a -1)有意义.f (a )=a +3+1a +2;f (a -1)=a -1+3+1a -1+2=a +2+1a +1.能力提升一、选择题1.给出下列从A 到B 的对应:①A =N ,B ={0,1},对应关系是:A 中的元素除以2所得的余数 ②A ={0,1,2},B ={4,1,0},对应关系是f :x →y =x 2③A ={0,1,2},B ={0,1,12},对应关系是f :x →y =1x其中表示从集合A 到集合B 的函数有( )个.( ) A .1 B .2 C .3 D .0[答案] B[解析] 由于③中,0这个元素在B 中无对应元素,故不是函数,因此选B. 2.(2012·高考安徽卷)下列函数中,不满足:f (2x )=2f (x )的是( ) A .f (x )=|x | B .f (x )=x -|x | C .f (x )=x +1 D .f (x )=-x [答案] C[解析] f (x )=kx 与f (x )=k |x |均满足:f (2x )=2f (x )得:A ,B ,D 满足条件. 3.(2014~2015惠安中学月考试题)A ={x |0≤x ≤2},B ={y |1≤y ≤2},下列图形中能表示以A 为定义域,B 为值域的函数的是( )[答案] B[解析] A 、C 、D 的值域都不是[1,2],故选B. 4.(2015·盘锦高一检测)函数f (x )=11-2x 的定义域为M ,g (x )=x +1的定义域为N ,则M ∩N =( )A .[-1,+∞)B .[-1,12)C .(-1,12)D .(-∞,12)[答案] B 二、填空题5.若函数f (x )的定义域为[2a -1,a +1],值域为[a +3,4a ],则a 的取值范围是________. [答案] (1,2)[解析] 由区间的定义知⎩⎪⎨⎪⎧2a -1<a +1,a +3<4a⇒1<a <2.6.函数y =f (x )的图象如图所示,那么f (x )的定义域是________;其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________.[答案] [-3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5] [解析] 观察函数图象可知f (x )的定义域是[-3,0]∪[2,3];只与x 的一个值对应的y 值的范围是[1,2)∪(4,5]. 三、解答题7.求下列函数的定义域: (1)y =31-1-x;(2)y =x +10|x |-x;(3)y =2x +3-12-x +1x.[解析] (1)要使函数有意义,需⎩⎨⎧1-x ≥0,1-1-x ≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1,x ≠0⇔x ≤1且x ≠0,所以函数y =31-1-x的定义域为(-∞,0)∪(0,1].(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x +1≠0,|x |-x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠-1,|x |≠x ,∴x <0且x ≠-1,∴原函数的定义域为{x |x <0且x ≠-1}. (3)要使函数有意义,需⎩⎪⎨⎪⎧2x +3≥0,2-x >0,x ≠0.解得-32≤x <2且x ≠0,所以函数y =2x +3-12-x +1x 的定义域为[-32,0)∪(0,2).[点评] 求给出解析式的函数的定义域的步骤为:(1)列出使函数有意义的x 所适合的式子(往往是一个不等式组);(2)解这个不等式组;(3)把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域.8.已知函数f (x )=1+x 21-x 2,(1)求f (x )的定义域. (2)若f (a )=2,求a 的值.(3)求证:f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x=-f (x ). [解析] (1)要使函数f (x )=1+x 21-x 2有意义,只需1-x 2≠0,解得x ≠±1,所以函数的定义域为{x |x ≠±1}. (2)因为f (x )=1+x21-x2,且f (a )=2,所以f (a )=1+a 21-a 2=2,即a 2=13,解得a =±33. (3)由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =1+⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21-⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2=x 2+1x 2-1,-f (x )=-1+x 21-x 2=x 2+1x 2-1, ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =-f (x ).第一章 1.2 1.2.2 第一课时函数的表示方法基础巩固一、选择题1.已知y 与x 成反比,且当x =2时,y =1,则y 关于x 的函数关系式为( ) A .y =1xB .y =-1xC .y =2xD .y =-2x[答案] C[解析] 设y =k x ,由1=k 2得,k =2,因此,y 关于x 的函数关系式为y =2x.2.一等腰三角形的周长是20,底边长y 是关于腰长x 的函数,则它的解析式为( ) A .y =20-2xB .y =20-2x (0<x <10)C .y =20-2x (5≤x ≤10)D .y =20-2x (5<x <10)[答案] D[解析] 由题意得y +2x =20,∴y =20-2x .又∵2x >y ,∴2x >20-2x ,即x >5.由y >0,即20-2x >0得x <10,∴5<x <10.故选D.3.设函数f (x )=2x +3,g (x +2)=f (x ),则g (x )的解析式是( ) A .g (x )=2x +1 B .g (x )=2x -1 C .g (x )=2x -3 D .g (x )=2x +7[答案] B[解析] ∵g (x +2)=f (x )=2x +3,∴令x +2=t ,则x =t -2,g (t )=2(t -2)+3=2t -1.∴g (x )=2x -1.4.(2015·安丘一中月考)某同学在一学期的5次大型考试中的数学成绩(总分120分)如下表所示:A .成绩y 不是考试次数x 的函数B .成绩y 是考试次数x 的函数C .考试次数x 是成绩y 的函数D .成绩y 不一定是考试次数x 的函数 [答案] B5.如果二次函数的二次项系数为1,图象开口向上,且关于直线x =1对称,并过点(0,0),则此二次函数的解析式为( )A .f (x )=x 2-1 B .f (x )=-(x -1)2+1 C .f (x )=(x -1)2+1 D .f (x )=(x -1)2-1[答案] D6.(2015·武安中学周测题)若f (x )满足关系式f (x )+2f (1x)=3x ,则f (2)的值为( )。
第一章 集合与函数的概念1.某公司为了适应市场需求,对产品结构做了重大调整.调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与产量x 的关系,则可选用( )A .一次函数B .二次函数C .指数型函数D .对数型函数 解析:选D.一次函数保持均匀的增长,不符合题意; 二次函数在对称轴的两侧有增也有降;而指数函数是爆炸式增长,不符合“增长越来越慢”;因此,只有对数函数最符合题意,先快速增长,后来越来越慢. 2.某种植物生长发育的数量y 与时间x 的关系如下表:x 1 2 3 … y 1 3 8 …则下面的函数关系式中,能表达这种关系的是( ) A .y =2x -1 B .y =x 2-1 C .y =2x -1 D .y =1.5x 2-2.5x +2解析:选D.画散点图或代入数值,选择拟合效果最好的函数,故选D.3.如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km 的两城镇间旅行的函数图象,由图可知:骑自行车者用了6小时,沿途休息了1小时,骑摩托车者用了2小时,根据这个函数图象,推出关于这两个旅行者的如下信息:①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时,晚到1小时; ②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动; ③骑摩托车者在出发了1.5小时后,追上了骑自行车者. 其中正确信息的序号是( ) A .①②③ B .①③ C .②③ D .①②解析:选A.由图象可得:①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时,晚到1小时,正确;②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动,正确;③骑摩托车者在出发了1.5小时后,追上了骑自行车者,正确.4.长为4,宽为3的矩形,当长增加x ,且宽减少x2时面积最大,此时x =________,面积S =________.解析:依题意得:S =(4+x )(3-x 2)=-12x 2+x +12=-12(x -1)2+1212,∴当x =1时,S max =1212.答案:1 12121x 1 2 3 4 5 y 3 5 6.99 9.01 11( )A .指数函数B .反比例函数C .一次函数D .二次函数解析:选C.画出散点图,结合图象(图略)可知各个点接近于一条直线,所以可用一次函数表示.2.某林场计划第一年造林10000亩,以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林( ) A .14400亩 B .172800亩 C .17280亩 D .20736亩 解析:选C.y =10000×(1+20%)3=17280.3.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格相比,变化情况是( )A .增加7.84%B .减少7.84%C .减少9.5%D .不增不减 解析:选B.设该商品原价为a ,四年后价格为a (1+0.2)2·(1-0.2)2=0.9216a . 所以(1-0.9216)a =0.0784a =7.84%a , 即比原来减少了7.84%.4.据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0.8元,普通车存车费是每辆一次0.5元,若普通车存车数为x 辆次,存车费总收入为y 元,则y 关于x 的函数关系式是( )A .y =0.3x +800(0≤x ≤2000)B .y =0.3x +1600(0≤x ≤2000)C .y =-0.3x +800(0≤x ≤2000)D .y =-0.3x +1600(0≤x ≤2000)解析:选D.由题意知,变速车存车数为(2000-x )辆次, 则总收入y =0.5x +(2000-x )×0.8=0.5x +1600-0.8x =-0.3x +1600(0≤x ≤2000).5.如图,△ABC 为等腰直角三角形,直线l 与AB 相交且l ⊥AB ,直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ,点A 到直线l 的距离为x ,则y =f (x )的图象大致为四个选项中的( )解析:选C.设AB =a ,则y =12a 2-12x 2=-12x 2+12a 2,其图象为抛物线的一段,开口向下,顶点在y 轴上方.故选C.6.小蜥蜴体长15 cm ,体重15 g ,问:当小蜥蜴长到体长为20 cm 时,它的体重大约是( )A .20 gB .25 gC .35 gD .40 g解析:选C.假设小蜥蜴从15 cm 长到20 cm ,体形是相似的.这时蜥蜴的体重正比于它的体积,而体积与体长的立方成正比.记体长为20 cm 的蜥蜴的体重为W 20,因此有W 20=W 15·203153≈35.6(g),合理的答案为35 g .故选C.7.现测得(x ,y )的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合模型,甲:y =x 2+1;乙:y =3x -1.若又测得(x ,y )的一组对应值为(3,10.2),则应选用________作为拟合模型较好.解析:图象法,即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象(图略),比较发现选甲更好.答案:甲8.一根弹簧,挂重100 N 的重物时,伸长20 cm ,当挂重150 N 的重物时,弹簧伸长________.解析:由10020=150x,得x =30.答案:30 cm9.某工厂8年来某产品年产量y 与时间t 年的函数关系如图,则: ①前3年总产量增长速度越来越快; ②前3年中总产量增长速度越来越慢; ③第3年后,这种产品停止生产;④第3年后,这种产品年产量保持不变. 以上说法中正确的是________.解析:观察图中单位时间内产品产量y 变化量快慢可知①④. 答案:①④10.某公司试销一种成本单价为500元的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不高于800元.经试销调查,发现销售量y (件)与销售单价x (元)之间的关系可近似看作一次函数y =kx +b (k ≠0),函数图象如图所示.(1)根据图象,求一次函数y =kx +b (k ≠0)的表达式;(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S 元.试问销售单价定为多少时,该公司可获得最大毛利润?最大毛利润是多少?此时的销售量是多少?解:(1)由图象知,当x =600时,y =400;当x =700时,y =300,代入y =kx +b (k ≠0)中,得⎩⎪⎨⎪⎧ 400=600k +b ,300=700k +b ,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =-1,b =1000. 所以,y =-x +1000(500≤x ≤800). (2)销售总价=销售单价×销售量=xy , 成本总价=成本单价×销售量=500y , 代入求毛利润的公式,得S =xy -500y =x (-x +1000)-500(-x +1000) =-x 2+1500x -500000=-(x -750)2+62500(500≤x ≤800).所以,当销售单价定为750元时,可获得最大毛利润62500元,此时销售量为250件. 11.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是T 0,经过一定时间t 后的温度是T ,则T -T a =(T 0-T a )·(12)th ,其中T a 表示环境温度,h 称为半衰期.现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降温到40 ℃需要20 min ,那么降温到35 ℃时,需要多长时间?解:由题意知40-24=(88-24)·(12)20h ,即14=(12)20h . 解之,得h =10.故T -24=(88-24)·(12)t10.当T =35时,代入上式,得35-24=(88-24)·(12)t10,即(12)t 10=1164. 两边取对数,用计算器求得t ≈25. 因此,约需要25 min ,可降温到35 ℃.12.某地区为响应上级号召,在2011年初,新建了一批有200万平方米的廉价住房,供困难的城市居民居住.由于下半年受物价的影响,根据本地区的实际情况,估计今后住房的年平均增长率只能达到5%.(1)经过x 年后,该地区的廉价住房为y 万平方米,求y =f (x )的表达式,并求此函数的定义域.(2)作出函数y =f (x )的图象,并结合图象求:经过多少年后,该地区的廉价住房能达到300万平方米?解:(1)经过1年后,廉价住房面积为 200+200×5%=200(1+5%); 经过2年后为200(1+5%)2; …经过x 年后,廉价住房面积为200(1+5%)x , ∴y =200(1+5%)x (x ∈N *).(2)作函数y =f (x )=200(1+5%)x (x ≥0)的图象,如图所示.作直线y =300,与函数y =200(1+5%)x的图象交于A 点,则A (x 0,300),A 点的横坐标x 0的值就是函数值y =300时所经过的时间x 的值.因为8<x 0<9,则取x 0=9,即经过9年后,该地区的廉价住房能达到300万平方米.1.对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示,其中正确的一个是( ) A .{x |x 是小于18的正奇数} B .{x |x =4k +1,k ∈Z ,且k <5} C .{x |x =4t -3,t ∈N ,且t ≤5} D .{x |x =4s -3,s ∈N *,且s ≤5}解析:选D.A 中小于18的正奇数除给定集合中的元素外,还有3,7,11,15;B 中k 取负数,多了若干元素;C 中t =0时多了-3这个元素,只有D 是正确的.2.集合P ={x |x =2k ,k ∈Z },M ={x |x =2k +1,k ∈Z },S ={x |x =4k +1,k ∈Z },a ∈P ,b ∈M ,设c =a +b ,则有( )A .c ∈PB .c ∈MC .c ∈SD .以上都不对解析:选B.∵a ∈P ,b ∈M ,c =a +b , 设a =2k 1,k 1∈Z ,b =2k 2+1,k 2∈Z , ∴c =2k 1+2k 2+1=2(k 1+k 2)+1, 又k 1+k 2∈Z ,∴c ∈M .3.定义集合运算:A *B ={z |z =xy ,x ∈A ,y ∈B },设A ={1,2},B ={0,2},则集合A *B 的所有元素之和为( )A .0B .2C .3D .6解析:选D.∵z =xy ,x ∈A ,y ∈B ,∴z 的取值有:1×0=0,1×2=2,2×0=0,2×2=4, 故A *B ={0,2,4},∴集合A *B 的所有元素之和为:0+2+4=6.4.已知集合A ={1,2,3},B ={1,2},C ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈B },则用列举法表示集合C =____________.解析:∵C ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈B }, ∴满足条件的点为:(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2).答案:{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)}1.集合{(x ,y )|y =2x -1}表示( ) A .方程y =2x -1 B .点(x ,y )C .平面直角坐标系中的所有点组成的集合D .函数y =2x -1图象上的所有点组成的集合 答案:D2.设集合M ={x ∈R |x ≤33},a =26,则( ) A .a ∉M B .a ∈MC .{a }∈MD .{a |a =26}∈M 解析:选B.(26)2-(33)2=24-27<0, 故26<3 3.所以a ∈M .3.方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y =1x -y =9的解集是( )A .(-5,4)B .(5,-4)C .{(-5,4)}D .{(5,-4)}解析:选D.由⎩⎪⎨⎪⎧ x +y =1x -y =9,得⎩⎪⎨⎪⎧x =5y =-4,该方程组有一组解(5,-4),解集为{(5,-4)}.4.下列命题正确的有( ) (1)很小的实数可以构成集合;(2)集合{y |y =x 2-1}与集合{(x ,y )|y =x 2-1}是同一个集合;(3)1,32,64,|-12|,0.5这些数组成的集合有5个元素;(4)集合{(x ,y )|xy ≤0,x ,y ∈R }是指第二和第四象限内的点集. A .0个 B .1个 C .2个 D .3个解析:选A.(1)错的原因是元素不确定;(2)前者是数集,而后者是点集,种类不同;(3)32=64,|-12|=0.5,有重复的元素,应该是3个元素;(4)本集合还包括坐标轴. 5.下列集合中,不同于另外三个集合的是( ) A .{0} B .{y |y 2=0} C .{x |x =0} D .{x =0}解析:选D.A 是列举法,C 是描述法,对于B 要注意集合的代表元素是y ,故与A ,C 相同,而D 表示该集合含有一个元素,即“x =0”.6.设P ={1,2,3,4},Q ={4,5,6,7,8},定义P *Q ={(a ,b )|a ∈P ,b ∈Q ,a ≠b },则P *Q 中元素的个数为( )A .4B .5C .19D .20解析:选C.易得P *Q 中元素的个数为4×5-1=19.故选C 项.7.由实数x ,-x ,x 2,-3x 3所组成的集合里面元素最多有________个.解析:x 2=|x |,而-3x 3=-x ,故集合里面元素最多有2个. 答案:28.已知集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |4x -3∈Z ,试用列举法表示集合A =________.解析:要使4x -3∈Z ,必须x -3是4的约数.而4的约数有-4,-2,-1,1,2,4六个,则x =-1,1,2,4,5,7,要注意到元素x 应为自然数,故A ={1,2,4,5,7}答案:{1,2,4,5,7}9.集合{x |x 2-2x +m =0}含有两个元素,则实数m 满足的条件为________. 解析:该集合是关于x 的一元二次方程的解集,则Δ=4-4m >0,所以m <1. 答案:m <110. 用适当的方法表示下列集合: (1)所有被3整除的整数;(2)图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合(不含虚线); (3)满足方程x =|x |,x ∈Z 的所有x 的值构成的集合B .解:(1){x |x =3n ,n ∈Z };(2){(x ,y )|-1≤x ≤2,-12≤y ≤1,且xy ≥0};(3)B ={x |x =|x |,x ∈Z }.11.已知集合A ={x ∈R |ax 2+2x +1=0},其中a ∈R .若1是集合A 中的一个元素,请用列举法表示集合A .解:∵1是集合A 中的一个元素,∴1是关于x 的方程ax 2+2x +1=0的一个根, ∴a ·12+2×1+1=0,即a =-3. 方程即为-3x 2+2x +1=0,解这个方程,得x 1=1,x 2=-13,∴集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫-13,1.12.已知集合A ={x |ax 2-3x +2=0},若A 中元素至多只有一个,求实数a 的取值范围.解:①a =0时,原方程为-3x +2=0,x =23,符合题意.②a ≠0时,方程ax 2-3x +2=0为一元二次方程.由Δ=9-8a ≤0,得a ≥98.∴当a ≥98时,方程ax 2-3x +2=0无实数根或有两个相等的实数根.综合①②,知a =0或a ≥98.1.下列各组对象中不能构成集合的是( ) A .水浒书业的全体员工 B .《优化方案》的所有书刊C .2010年考入清华大学的全体学生D .美国NBA 的篮球明星解析:选D.A 、B 、C 中的元素:员工、书刊、学生都有明确的对象,而D 中对象不确定,“明星”没有具体明确的标准.2.(2011年上海高一检测)下列所给关系正确的个数是( ) ①π∈R ;②3∉Q ;③0∈N *;④|-4|∉N *. A .1 B .2 C .3 D .4 解析:选B.①②正确,③④错误.3.集合A ={一条边长为1,一个角为40°的等腰三角形}中有元素( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .无数个解析:选C.(1)当腰长为1时,底角为40°或顶角为40°.(2)当底边长为1时,底角为40°或顶角为40°,所以共有4个三角形.4.以方程x 2-5x +6=0和方程x 2-x -2=0的解为元素的集合中共有________个元素. 解析:由x 2-5x +6=0,解得x =2或x =3. 由x 2-x -2=0,解得x =2或x =-1. 答案:31.若以正实数x ,y ,z ,w 四个元素构成集合A ,以A 中四个元素为边长构成的四边形可能是( )A .梯形B .平行四边形C .菱形D .矩形 答案:A2.设集合A 只含一个元素a ,则下列各式正确的是( ) A .0∈A B .a ∉A C .a ∈A D .a =A 答案:C3.给出以下四个对象,其中能构成集合的有( ) ①教2011届高一的年轻教师;②你所在班中身高超过1.70米的同学; ③2010年广州亚运会的比赛项目; ④1,3,5.A .1个B .2个C .3个D .4个 解析:选C.因为未规定年轻的标准,所以①不能构成集合;由于②③④中的对象具备确定性、互异性,所以②③④能构成集合.4.若集合M ={a ,b ,c },M 中元素是△ABC 的三边长,则△ABC 一定不是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .等腰三角形解析:选D.根据元素的互异性可知,a ≠b ,a ≠c ,b ≠c . 5.下列各组集合,表示相等集合的是( ) ①M ={(3,2)},N ={(2,3)}; ②M ={3,2},N ={2,3}; ③M ={(1,2)},N ={1,2}. A .① B .②C .③D .以上都不对解析:选B.①中M 中表示点(3,2),N 中表示点(2,3),②中由元素的无序性知是相等集合,③中M 表示一个元素:点(1,2),N 中表示两个元素分别为1,2.6.若所有形如a +2b (a ∈Q 、b ∈Q )的数组成集合M ,对于x =13-52,y =3+2π,则有( )A .x ∈M ,y ∈MB .x ∈M ,y ∉MC .x ∉M ,y ∈MD .x ∉M ,y ∉M解析:选B.∅x =13-52=-341-5412,y =3+2π中π是无理数,而集合M 中,b ∈Q ,得x ∈M ,y ∉M .7.已知①5∈R ;②13∈Q ;③0={0};④0∉N ;⑤π∈Q ;⑥-3∈Z .其中正确的个数为________.解析:③错误,0是元素,{0}是一个集合;④0∈N ;⑤π∉Q ,①②⑥正确. 答案:38.对于集合A ={2,4,6},若a ∈A ,则6-a ∈A ,那么a 的取值是________. 解析:当a =2时,6-a =4∈A ; 当a =4时,6-a =2∈A ; 当a =6时,6-a =0∉A , 所以a =2或a =4. 答案:2或49.若a ,b ∈R ,且a ≠0,b ≠0,则|a |a +|b |b 的可能取值组成的集合中元素的个数为________.解析:当a >0,b >0时,|a |a +|b |b=2;当a ·b <0时,|a |a +|b |b=0;当a <0且b <0时,|a |a +|b |b=-2.所以集合中的元素为2,0,-2.即元素的个数为3. 答案:310.已知集合A 含有两个元素a -3和2a -1,若-3∈A ,试求实数a 的值. 解:∵-3∈A ,∴-3=a -3或-3=2a -1. 若-3=a -3,则a =0,此时集合A 含有两个元素-3,-1,符合题意. 若-3=2a -1,则a =-1,此时集合A 含有两个元素-4,-3,符合题意.综上所述,满足题意的实数a 的值为0或-1.11.集合A 是由形如m +3n (m ∈Z ,n ∈Z )的数构成的,试判断12-3是不是集合A 中的元素?解:∵12-3=2+3=2+3×1,而2,1∈Z ,∴2+3∈A ,即12-3∈A .12.已知M ={2,a ,b },N ={2a,2,b 2},且M =N ,试求a 与b 的值. 解:根据集合中元素的互异性,有 ⎩⎪⎨⎪⎧ a =2a b =b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a =b 2b =2a , 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =0b =1或⎩⎪⎨⎪⎧a =0b =0或⎩⎨⎧a =14b =12.再根据集合中元素的互异性,得⎩⎪⎨⎪⎧a =0b =1或⎩⎨⎧a =14b =12.1.下列六个关系式,其中正确的有( )①{a ,b }={b ,a };②{a ,b }⊆{b ,a };③∅={∅};④{0}=∅;⑤∅{0};⑥0∈{0}. A .6个 B .5个C .4个D .3个及3个以下 解析:选C.①②⑤⑥正确.2.已知集合A ,B ,若A 不是B 的子集,则下列命题中正确的是( ) A .对任意的a ∈A ,都有a ∉B B .对任意的b ∈B ,都有b ∈A C .存在a 0,满足a 0∈A ,a 0∉B D .存在a 0,满足a 0∈A ,a 0∈B解析:选C.A 不是B 的子集,也就是说A 中存在不是B 中的元素,显然正是C 选项要表达的.对于A 和B 选项,取A ={1,2},B ={2,3}可否定,对于D 选项,取A ={1},B ={2,3}可否定.3.设A ={x |1<x <2},B ={x |x <a },若A B ,则a 的取值范围是( )A .a ≥2B .a ≤1C .a ≥1D .a ≤2解析:选A.A ={x |1<x <2},B ={x |x <a },要使A B ,则应有a ≥2. 4.集合M ={x |x 2-3x -a 2+2=0,a ∈R }的子集的个数为________.解析:∵Δ=9-4(2-a 2)=1+4a 2>0,∴M 恒有2个元素,所以子集有4个. 答案:41.如果A ={x |x >-1},那么( ) A .0⊆A B .{0}∈AC .∅∈AD .{0}⊆A解析:选D.A 、B 、C 的关系符号是错误的.2.已知集合A ={x |-1<x <2},B ={x |0<x <1},则( ) A .A >B B .ABC .B AD .A ⊆B解析:选C.利用数轴(图略)可看出x ∈B ⇒x ∈A ,但x ∈A ⇒x ∈B 不成立.3.定义A -B ={x |x ∈A 且x ∉B },若A ={1,3,5,7,9},B ={2,3,5},则A -B 等于( ) A .A B .BC .{2}D .{1,7,9}解析:选D.从定义可看出,元素在A 中但是不能在B 中,所以只能是D. 4.以下共有6组集合.(1)A ={(-5,3)},B ={-5,3}; (2)M ={1,-3},N ={3,-1}; (3)M =∅,N ={0};(4)M ={π},N ={3.1415};(5)M ={x |x 是小数},N ={x |x 是实数};(6)M ={x |x 2-3x +2=0},N ={y |y 2-3y +2=0}. 其中表示相等的集合有( ) A .2组 B .3组 C .4组 D .5组解析:选A.(5),(6)表示相等的集合,注意小数是实数,而实数也是小数.5.定义集合间的一种运算“*”满足:A *B ={ω|ω=xy (x +y ),x ∈A ,y ∈B }.若集合A ={0,1},B ={2,3},则A *B 的子集的个数是( )A .4B .8C .16D .32解析:选B.在集合A 和B 中分别取出元素进行*的运算,有0·2·(0+2)=0·3·(0+3)=0,1·2·(1+2)=6,1·3·(1+3)=12,因此可知A *B ={0,6,12},因此其子集个数为23=8,选B.6.设B ={1,2},A ={x |x ⊆B },则A 与B 的关系是( ) A .A ⊆B B .B ⊆A C .A ∈B D .B ∈A解析:选D.∵B 的子集为{1},{2},{1,2},∅, ∴A ={x |x ⊆B }={{1},{2},{1,2},∅},∴B ∈A .7.设x ,y ∈R ,A ={(x ,y )|y =x },B ={(x ,y )|yx=1},则A 、B 间的关系为________.解析:在A 中,(0,0)∈A ,而(0,0)∉B ,故BA .答案:B A8.设集合A ={1,3,a },B ={1,a 2-a +1},且A ⊇B ,则a 的值为________.解析:A ⊇B ,则a 2-a +1=3或a 2-a +1=a ,解得a =2或a =-1或a =1,结合集合元素的互异性,可确定a =-1或a =2.答案:-1或29.已知A ={x |x <-1或x >5},B ={x |a ≤x <a +4},若A B ,则实数a 的取值范围是________.解析:作出数轴可得,要使A B ,则必须a +4≤-1或a >5,解之得{a |a >5或a ≤-5}.答案:{a |a >5或a ≤-5}10.已知集合A ={a ,a +b ,a +2b },B ={a ,ac ,ac 2},若A =B ,求c 的值.解:①若⎩⎪⎨⎪⎧a +b =aca +2b =ac 2,消去b 得a +ac 2-2ac =0, 即a (c 2-2c +1)=0.当a =0时,集合B 中的三个元素相同,不满足集合中元素的互异性,故a ≠0,c 2-2c +1=0,即c =1;当c =1时,集合B 中的三个元素也相同, ∴c =1舍去,即此时无解.②若⎩⎪⎨⎪⎧a +b =ac2a +2b =ac ,消去b 得2ac 2-ac -a =0,即a (2c 2-c -1)=0.∵a ≠0,∴2c 2-c -1=0,即(c -1)(2c +1)=0.又∵c ≠1,∴c =-12.11.已知集合A ={x |1≤x ≤2},B ={x |1≤x ≤a ,a ≥1}.(1)若A B ,求a 的取值范围; (2)若B ⊆A ,求a 的取值范围. 解:(1)若AB ,由图可知,a >2.(2)若B ⊆A ,由图可知,1≤a ≤2.12.若集合A ={x |x 2+x -6=0},B ={x |mx +1=0},且B A ,求实数m 的值.解:A ={x |x 2+x -6=0}={-3,2}.∵B A ,∴mx +1=0的解为-3或2或无解. 当mx +1=0的解为-3时,由m ·(-3)+1=0,得m =13;当mx +1=0的解为2时,由m ·2+1=0,得m =-12;当mx +1=0无解时,m =0.综上所述,m =13或m =-12或m =0.1.(2010年高考广东卷)若集合A ={x |-2<x <1},B ={x |0<x <2},则集合A ∩B =( ) A .{x |-1<x <1} B .{x |-2<x <1} C .{x |-2<x <2} D .{x |0<x <1}解析:选D.因为A ={x |-2<x <1},B ={x |0<x <2},所以A ∩B ={x |0<x <1}. 2.(2010年高考湖南卷)已知集合M ={1,2,3},N ={2,3,4}则( ) A .M ⊆N B .N ⊆MC .M ∩N ={2,3}D .M ∪N ={1,4} 解析:选C.∵M ={1,2,3},N ={2,3,4}. ∴选项A 、B 显然不对.M ∪N ={1,2,3,4}, ∴选项D 错误.又M ∩N ={2,3},故选C.3.已知集合M ={y |y =x 2},N ={y |x =y 2},则M ∩N =( ) A .{(0,0),(1,1)} B .{0,1} C .{y |y ≥0} D .{y |0≤y ≤1}解析:选C.M ={y |y ≥0},N =R ,∴M ∩N =M ={y |y ≥0}. 4.已知集合A ={x |x ≥2},B ={x |x ≥m },且A ∪B =A ,则实数m 的取值范围是________.解析:A ∪B =A ,即B ⊆A ,∴m ≥2. 答案:m ≥21.下列关系Q ∩R =R ∩Q ;Z ∪N =N ;Q ∪R =R ∪Q ;Q ∩N =N 中,正确的个数是( )A .1B .2C .3D .4解析:选C.只有Z ∪N =N 是错误的,应是Z ∪N =Z .2.(2010年高考四川卷)设集合A ={3,5,6,8},集合B ={4,5,7,8},则A ∩B 等于( ) A .{3,4,5,6,7,8} B .{3,6} C .{4,7} D .{5,8}解析:选D.∵A ={3,5,6,8},B ={4,5,7,8},∴A ∩B ={5,8}.3.(2009年高考山东卷)集合A ={0,2,a },B ={1,a 2}.若A ∪B ={0,1,2,4,16},则a 的值为( )A .0B .1C .2D .4解析:选D.根据元素特性,a ≠0,a ≠2,a ≠1. ∴a =4.4.已知集合P ={x ∈N |1≤x ≤10},集合Q ={x ∈R |x 2+x -6=0},则P ∩Q 等于( ) A .{2} B .{1,2} C .{2,3} D .{1,2,3}解析:选A.Q ={x ∈R |x 2+x -6=0}={-3,2}. ∴P ∩Q ={2}.5.(2010年高考福建卷)若集合A ={x |1≤x ≤3},B ={x |x >2},则A ∩B 等于( ) A .{x |2<x ≤3} B .{x |x ≥1} C .{x |2≤x <3} D .{x |x >2}解析:选A.∵A ={x |1≤x ≤3},B ={x |x >2}, ∴A ∩B ={x |2<x ≤3}.6.设集合S ={x |x >5或x <-1},T ={x |a <x <a +8},S ∪T =R ,则a 的取值范围是( )A .-3<a <-1B .-3≤a ≤-1C .a ≤-3或a ≥-1D .a <-3或a >-1 解析:选A.S ∪T =R , ∴⎩⎪⎨⎪⎧a +8>5,a <-1.∴-3<a <-1. 7.(2010年高考湖南卷)已知集合A ={1,2,3},B ={2,m,4},A ∩B ={2,3},则m =________. 解析:∵A ∩B ={2,3},∴3∈B ,∴m =3. 答案:38.满足条件{1,3}∪M ={1,3,5}的集合M 的个数是________. 解析:∵{1,3}∪M ={1,3,5},∴M 中必须含有5, ∴M 可以是{5},{5,1},{5,3},{1,3,5},共4个. 答案:49.若集合A ={x |x ≤2},B ={x |x ≥a },且满足A ∩B ={2},则实数a =________. 解析:当a >2时,A ∩B =∅; 当a <2时,A ∩B ={x |a ≤x ≤2}; 当a =2时,A ∩B ={2}.综上:a =2. 答案:210.已知A ={x |x 2+ax +b =0},B ={x |x 2+cx +15=0},A ∪B ={3,5},A ∩B ={3},求实数a ,b ,c 的值.解:∵A ∩B ={3},∴由9+3c +15=0,解得c =-8.由x 2-8x +15=0,解得B ={3,5},故A ={3}. 又a 2-4b =0,解得a =-6,b =9. 综上知,a =-6,b =9,c =-8.11.已知集合A ={x |x -2>3},B ={x |2x -3>3x -a },求A ∪B . 解:A ={x |x -2>3}={x |x >5}, B ={x |2x -3>3x -a }={x |x <a -3}. 借助数轴如图:①当a -3≤5,即a ≤8时, A ∪B ={x |x <a -3或x >5}. ②当a -3>5,即a >8时,A ∪B ={x |x >5}∪{x |x <a -3}={x |x ∈R }=R .综上可知当a ≤8时,A ∪B ={x |x <a -3或x >5}; 当a >8时,A ∪B =R .12.设集合A ={(x ,y )|2x +y =1,x ,y ∈R },B ={(x ,y )|a 2x +2y =a ,x ,y ∈R },若A ∩B =∅,求a 的值.解:集合A 、B 的元素都是点,A ∩B 的元素是两直线的公共点.A ∩B =∅,则两直线无交点,即方程组无解.列方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x +y =1a 2x +2y =a ,解得(4-a 2)x =2-a ,则⎩⎪⎨⎪⎧4-a 2=02-a ≠0,即a =-2.1.(2010年高考辽宁卷)已知集合U ={1,3,5,7,9},A ={1,5,7},则∁U A =( ) A .{1,3} B .{3,7,9} C .{3,5,9} D .{3,9} 解析:选D.∁U A ={3,9},故选D.2.(2010年高考陕西卷)集合A ={x |-1≤x ≤2},B ={x |x <1},则A ∩(∁R B )=( ) A .{x |x >1} B .{x |x ≥1} C .{x |1<x ≤2} D .{x |1≤x ≤2}解析:选D.∵B ={x |x <1},∴∁R B ={x |x ≥1}, ∴A ∩∁R B ={x |1≤x ≤2}.3. 已知全集U =Z ,集合A ={x |x 2=x },B ={-1,0,1,2},则图中的阴影部分所表示的集合等于( )A .{-1,2}B .{-1,0}C .{0,1}D .{1,2}解析:选A.依题意知A ={0,1},(∁U A )∩B 表示全集U 中不在集合A 中,但在集合B 中的所有元素,故图中的阴影部分所表示的集合等于{-1,2}.选A.4.已知全集U ={x |1≤x ≤5},A ={x |1≤x <a },若∁U A ={x |2≤x ≤5},则a =________.解析:∵A∪∁U A=U,∴A={x|1≤x<2}.∴a=2.答案:21.已知全集U={1,2,3,4,5},且A={2,3,4},B={1,2},则A∩(∁U B)等于()A.{2} B.{5}C.{3,4} D.{2,3,4,5}解析:选C.∁U B={3,4,5},∴A∩(∁U B)={3,4}.2.已知全集U={0,1,2},且∁U A={2},则A=()A.{0} B.{1}C.∅D.{0,1}解析:选D.∵∁U A={2},∴2∉A,又U={0,1,2},∴A={0,1}.3.(2009年高考全国卷Ⅰ)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=A∪B,则集合∁U(A∩B)中的元素共有()A.3个B.4个C.5个D.6个解析:选A.U=A∪B={3,4,5,7,8,9},A∩B={4,7,9},∴∁U(A∩B)={3,5,8}.4.已知集合U={2,3,4,5,6,7},M={3,4,5,7},N={2,4,5,6},则()A.M∩N={4,6} B.M∪N=UC.(∁U N)∪M=U D.(∁U M)∩N=N解析:选B.由U={2,3,4,5,6,7},M={3,4,5,7},N={2,4,5,6},得M∩N={4,5},(∁U N)∪M={3,4,5,7},(∁U M)∩N={2,6},M∪N={2,3,4,5,6,7}=U,选B.5.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A},则集合∁U(A∪B)中元素个数为()A.1 B.2C.3 D.4解析:选B.∵A={1,2},∴B={2,4},∴A∪B={1,2,4},∴∁U(A∪B)={3,5}.6.已知全集U=A∪B中有m个元素,(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素.若A∩B非空,则A∩B的元素个数为()A.mn B.m+nC.n-m D.m-n解析:选D.U=A∪B中有m个元素,∵(∁U A)∪(∁U B)=∁U(A∩B)中有n个元素,∴A∩B中有m-n个元素,故选D.7.设集合U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={3,4,5},C={3,4},则(A∪B)∩(∁U C)=________.解析:∵A∪B={2,3,4,5},∁U C={1,2,5},∴(A∪B)∩(∁U C)={2,3,4,5}∩{1,2,5}={2,5}.答案:{2,5}8.已知全集U={2,3,a2-a-1},A={2,3},若∁U A={1},则实数a的值是________.解析:∵U={2,3,a2-a-1},A={2,3},∁U A={1},∴a2-a-1=1,即a2-a-2=0,解得a=-1或a=2.答案:-1或29.设集合A ={x |x +m ≥0},B ={x |-2<x <4},全集U =R ,且(∁U A )∩B =∅,求实数m 的取值范围为________.解析:由已知A ={x |x ≥-m }, ∴∁U A ={x |x <-m },∵B ={x |-2<x <4},(∁U A )∩B =∅, ∴-m ≤-2,即m ≥2, ∴m 的取值范围是m ≥2. 答案:{m |m ≥2}10.已知全集U =R ,A ={x |-4≤x <2},B ={x |-1<x ≤3},P ={x |x ≤0或x ≥52},求A ∩B ,(∁U B )∪P ,(A ∩B )∩(∁U P ).解:将集合A 、B 、P 表示在数轴上,如图.∵A ={x |-4≤x <2},B ={x |-1<x ≤3}, ∴A ∩B ={x |-1<x <2}. ∵∁U B ={x |x ≤-1或x >3},∴(∁U B )∪P ={x |x ≤0或x ≥52},(A ∩B )∩(∁U P )={x |-1<x <2}∩{x |0<x <52}={x |0<x <2}.11.已知集合A ={x |x 2+ax +12b =0}和B ={x |x 2-ax +b =0},满足B ∩(∁U A )={2},A ∩(∁U B )={4},U =R ,求实数a ,b 的值.解:∵B ∩(∁U A )={2}, ∴2∈B ,但2∉A .∵A ∩(∁U B )={4},∴4∈A ,但4∉B .∴⎩⎪⎨⎪⎧42+4a +12b =022-2a +b =0,解得⎩⎨⎧a =87b =127.∴a ,b 的值为87,-127.12.已知集合A ={x |2a -2<x <a },B ={x |1<x <2},且A ∁R B ,求实数a 的取值范围. 解:∁R B ={x |x ≤1或x ≥2}≠∅, ∵A ∁R B ,∴分A =∅和A ≠∅两种情况讨论. ①若A =∅,此时有2a -2≥a , ∴a ≥2.②若A ≠∅,则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a -2<a a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧2a -2<a 2a -2≥2. ∴a ≤1.综上所述,a ≤1或a ≥2.第二章 基本初等函数1.下列说法中正确的为( )A .y =f (x )与y =f (t )表示同一个函数B .y =f (x )与y =f (x +1)不可能是同一函数C .f (x )=1与f (x )=x 0表示同一函数D .定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数 解析:选A.两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关,判断两个函数是否相同,主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同.2.下列函数完全相同的是( ) A .f (x )=|x |,g (x )=(x )2 B .f (x )=|x |,g (x )=x 2C .f (x )=|x |,g (x )=x 2xD .f (x )=x 2-9x -3,g (x )=x +3解析:选B.A 、C 、D 的定义域均不同. 3.函数y =1-x +x 的定义域是( ) A .{x |x ≤1} B .{x |x ≥0} C .{x |x ≥1或x ≤0} D .{x |0≤x ≤1}解析:选D.由⎩⎪⎨⎪⎧1-x ≥0x ≥0,得0≤x ≤1.4.图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x ,y 的对应关系,其中表示y 是x 的函数关系的有________.解析:由函数定义可知,任意作一条直线x =a ,则与函数的图象至多有一个交点,对于本题而言,当-1≤a ≤1时,直线x =a 与函数的图象仅有一个交点,当a >1或a <-1时,直线x =a 与函数的图象没有交点.从而表示y 是x 的函数关系的有(2)(3).答案:(2)(3)1.函数y =1x的定义域是( )A .RB .{0}C .{x |x ∈R ,且x ≠0}D .{x |x ≠1}解析:选C.要使1x 有意义,必有x ≠0,即y =1x的定义域为{x |x ∈R ,且x ≠0}.2.下列式子中不能表示函数y =f (x )的是( ) A .x =y 2+1 B .y =2x 2+1 C .x -2y =6 D .x =y解析:选A.一个x 对应的y 值不唯一. 3.下列说法正确的是( )A .函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B .函数的定义域和值域可以是空集C .函数的定义域和值域一定是数集D .函数的定义域和值域确定后,函数的对应关系也就确定了解析:选C.根据从集合A 到集合B 函数的定义可知,强调A 中元素的任意性和B 中对应元素的唯一性,所以A 中的多个元素可以对应B 中的同一个元素,从而选项A 错误;同样由函数定义可知,A 、B 集合都是非空数集,故选项B 错误;选项C 正确;对于选项D ,可以举例说明,如定义域、值域均为A ={0,1}的函数,对应关系可以是x →x ,x ∈A ,可以是x →x ,x ∈A ,还可以是x →x 2,x ∈A .4.下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是( ) A .A ={-1,0,1},B ={0,1},f :A 中的数平方 B .A ={0,1},B ={-1,0,1},f :A 中的数开方 C .A =Z ,B =Q ,f :A 中的数取倒数D .A =R ,B ={正实数},f :A 中的数取绝对值解析:选A.按照函数定义,选项B 中集合A 中的元素1对应集合B 中的元素±1,不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件;选项C 中的元素0取倒数没有意义,也不符合函数定义中集合A 中任意元素都对应唯一函数值的要求;选项D 中,集合A 中的元素0在集合B 中没有元素与其对应,也不符合函数定义,只有选项A 符合函数定义.5.下列各组函数表示相等函数的是( )A .y =x 2-3x -3与y =x +3(x ≠3)B .y =x 2-1与y =x -1C .y =x 0(x ≠0)与y =1(x ≠0)D .y =2x +1,x ∈Z 与y =2x -1,x ∈Z 解析:选C.A 、B 与D 对应法则都不同.6.设f :x →x 2是集合A 到集合B 的函数,如果B ={1,2},则A ∩B 一定是( ) A .∅ B .∅或{1} C .{1} D .∅或{2}解析:选B.由f :x →x 2是集合A 到集合B 的函数,如果B ={1,2},则A ={-1,1,-2,2}或A ={-1,1,-2}或A ={-1,1,2}或A ={-1,2,-2}或A ={1,-2,2}或A ={-1,-2}或A ={-1,2}或A ={1,2}或A ={1,-2}.所以A ∩B =∅或{1}.7.若[a,3a -1]为一确定区间,则a 的取值范围是________.解析:由题意3a -1>a ,则a >12.答案:(12,+∞)8.函数y =(x +1)03-2x的定义域是________.解析:要使函数有意义,需满足⎩⎪⎨⎪⎧x +1≠03-2x >0,即x <32且x ≠-1.答案:(-∞,-1)∪(-1,32)9.函数y =x 2-2的定义域是{-1,0,1,2},则其值域是________. 解析:当x 取-1,0,1,2时, y =-1,-2,-1,2,故函数值域为{-1,-2,2}. 答案:{-1,-2,2}10.求下列函数的定义域: (1)y =-x 2x 2-3x -2;(2)y =34x +83x -2.解:(1)要使y =-x 2x 2-3x -2有意义,则必须⎩⎪⎨⎪⎧-x ≥0,2x 2-3x -2≠0,解得x ≤0且x ≠-12, 故所求函数的定义域为{x |x ≤0,且x ≠-12}.(2)要使y =34x +83x -2有意义,则必须3x -2>0,即x >23, 故所求函数的定义域为{x |x >23}. 11.已知f (x )=11+x(x ∈R 且x ≠-1),g (x )=x 2+2(x ∈R ). (1)求f (2),g (2)的值; (2)求f (g (2))的值.解:(1)∵f (x )=11+x ,∴f (2)=11+2=13,又∵g (x )=x 2+2, ∴g (2)=22+2=6. (2)由(1)知g (2)=6,∴f (g (2))=f (6)=11+6=17.12.已知函数y =ax +1(a <0且a 为常数)在区间(-∞,1]上有意义,求实数a 的取值范围.解:函数y =ax +1(a <0且a 为常数).∵ax +1≥0,a <0,∴x ≤-1a ,即函数的定义域为(-∞,-1a].∵函数在区间(-∞,1]上有意义,∴(-∞,1]⊆(-∞,-1a],∴-1a≥1,而a <0,∴-1≤a <0.即a 的取值范围是[-1,0).1.下列各图中,不能是函数f (x )图象的是( )解析:选C.结合函数的定义知,对A 、B 、D ,定义域中每一个x 都有唯一函数值与之对应;而对C ,对大于0的x 而言,有两个不同值与之对应,不符合函数定义,故选C.2.若f (1x )=11+x,则f (x )等于( )A.11+x(x ≠-1) B.1+x x (x ≠0)C.x 1+x(x ≠0且x ≠-1) D .1+x (x ≠-1) 解析:选C.f (1x )=11+x =1x 1+1x(x ≠0),∴f (t )=t1+t (t ≠0且t ≠-1),∴f (x )=x1+x(x ≠0且x ≠-1).3.已知f (x )是一次函数,2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1,则f (x )=( ) A .3x +2 B .3x -2 C .2x +3 D .2x -3解析:选B.设f (x )=kx +b (k ≠0), ∵2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1, ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k -b =5k +b =1,∴⎩⎪⎨⎪⎧k =3b =-2,∴f (x )=3x -2. 4.已知f (2x )=x 2-x -1,则f (x )=________.解析:令2x =t ,则x =t2,∴f (t )=⎝⎛⎭⎫t 22-t 2-1,即f (x )=x 24-x 2-1.答案:x 24-x 2-11.下列表格中的x 与y 能构成函数的是( ) A.x 非负数 非正数 y 1 -1B.x 奇数 0 偶数y 1 0-1 C.x 有理数 无理数 y 1 -1D.x 自然数 整数 有理数y 1 0 -1解析:选C.A 中,当x =0时,y =±1;B 中0是偶数,当x =0时,y =0或y =-1;D 中自然数、整数、有理数之间存在包含关系,如x =1∈N(Z ,Q),故y 的值不唯一,故A 、B 、D 均不正确.2.若f (1-2x )=1-x 2x 2(x ≠0),那么f (12)等于( )A .1B .3C .15D .30解析:选C.法一:令1-2x =t ,则x =1-t2(t ≠1),∴f (t )=4(t -1)2-1,∴f (12)=16-1=15. 法二:令1-2x =12,得x =14,∴f (12)=16-1=15.3.设函数f (x )=2x +3,g (x +2)=f (x ),则g (x )的表达式是( ) A .2x +1 B .2x -1 C .2x -3 D .2x +7解析:选B.∵g (x +2)=2x +3=2(x +2)-1, ∴g (x )=2x -1.4.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程,在下图中纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图中较符合此学生走法的是( )解析:选D.由于纵轴表示离学校的距离,所以距离应该越来越小,排除A 、C ,又一开始跑步,速度快,所以D 符合.5.如果二次函数的二次项系数为1且图象开口向上且关于直线x =1对称,且过点(0,0),则此二次函数的解析式为( )A .f (x )=x 2-1B .f (x )=-(x -1)2+1C .f (x )=(x -1)2+1D .f (x )=(x -1)2-1 解析:选D.设f (x )=(x -1)2+c , 由于点(0,0)在函数图象上, ∴f (0)=(0-1)2+c =0,∴c =-1,∴f (x )=(x -1)2-1.6.已知正方形的周长为x ,它的外接圆的半径为y ,则y 关于x 的函数解析式为( )A .y =12x (x >0)B .y =24x (x >0)C .y =28x (x >0)D .y =216x (x >0)解析:选C.设正方形的边长为a ,则4a =x ,a =x4,其外接圆的直径刚好为正方形的一条对角线长.故2a =2y ,所以y =22a =22×x 4=28x .7.已知f (x )=2x +3,且f (m )=6,则m 等于________.解析:2m +3=6,m =32.答案:328. 如图,函数f (x )的图象是曲线OAB ,其中点O ,A ,B 的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f [1f (3)]的值等于________.解析:由题意,f (3)=1,∴f [1f (3)]=f (1)=2.答案:2 9.将函数y =f (x )的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位得函数y =x 2的图象,则函数f (x )的解析式为__________________.解析:将函数y =x 2的图象向下平移2个单位,得函数y =x 2-2的图象,再将函数y =x 2-2的图象向右平移1个单位,得函数y =(x -1)2-2的图象,即函数y =f (x )的图象,故f (x )=x 2-2x -1.答案:f (x )=x 2-2x -110.已知f (0)=1,f (a -b )=f (a )-b (2a -b +1),求f (x ). 解:令a =0,则f (-b )=f (0)-b (-b +1) =1+b (b -1)=b 2-b +1.再令-b =x ,即得f (x )=x 2+x +1.11.已知f (x +1x )=x 2+1x 2+1x,求f (x ).解:∵x +1x =1+1x ,x 2+1x 2=1+1x 2,且x +1x ≠1,∴f (x +1x )=f (1+1x )=1+1x 2+1x=(1+1x )2-(1+1x)+1.∴f (x )=x 2-x +1(x ≠1).12.设二次函数f (x )满足f (2+x )=f (2-x ),对于x ∈R 恒成立,且f (x )=0的两个实根的平方和为10,f (x )的图象过点(0,3),求f (x )的解析式.解:∵f (2+x )=f (2-x ),∴f (x )的图象关于直线x =2对称. 于是,设f (x )=a (x -2)2+k (a ≠0), 则由f (0)=3,可得k =3-4a ,∴f (x )=a (x -2)2+3-4a =ax 2-4ax +3.∵ax 2-4ax +3=0的两实根的平方和为10,∴10=x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=16-6a, ∴a =1.∴f (x )=x 2-4x +3.1.已知集合A ={a ,b },集合B ={0,1},下列对应不是A 到B 的映射的是( )解析:选C.A 、B 、D 均满足映射的定义,C 不满足A 中任一元素在B 中都有唯一元素与之对应,且A 中元素b 在B 中无元素与之对应.2.(2011年葫芦岛高一检测)设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +3 (x >10)f (f (x +5)) (x ≤10),则f (5)的值是( ) A .24 B .21 C .18 D .16 解析:选A.f (5)=f (f (10)), f (10)=f (f (15))=f (18)=21, f (5)=f (21)=24.3.函数y =x +|x |x的图象为( )解析:选C.y =x +|x |x =⎩⎪⎨⎪⎧x +1 (x >0)x -1 (x <0),再作函数图象.4.函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x +1,x <11x, x >1的值域是________.解析:当x <1时,x 2-x +1=(x -12)2+34≥34;当x >1时,0<1x<1,则所求值域为(0,+∞),故填(0,+∞).答案:(0,+∞)1.设f :A →B 是集合A 到B 的映射,其中A ={x |x >0},B =R ,且f :x →x 2-2x -1,则A 中元素1+2的像和B 中元素-1的原像分别为( )A.2,0或2 B .0,2 C .0,0或2 D .0,0或2 答案:C2.某城市出租车起步价为10元,最长可租乘3 km(含3 km),以后每1 km 为1.6元(不足1 km ,按1 km 计费),若出租车行驶在不需等待的公路上,则出租车的费用y (元)与行驶的里程x (km)之间的函数图象大致为( )解析:选C.由题意,当0<x ≤3时,y =10; 当3<x ≤4时,y =11.6; 当4<x ≤5时,y =13.2; …当n -1<x ≤n 时,y =10+(n -3)×1.6,故选C.3.函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -x 2(0≤x ≤3)x 2+6x (-2≤x ≤0)的值域是( )A .RB .[-9,+∞)C .[-8,1]D .[-9,1]解析:选C.画出图象,也可以分段求出部分值域,再合并,即求并集.4.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +2(x ≤-1),x 2(-1<x <2)2x (x ≥2),若f (x )=3,则x 的值是( ) A .1B .1或32C .1,32或± 3 D.3解析:选D.该分段函数的三段各自的值域为(-∞,1],[0,4),[4,+∞),而3∈[0,4), ∴f (x )=x 2=3,x =±3,而-1<x <2,∴x = 3.5.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1, x 为有理数,0, x 为无理数,g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧0, x 为有理数,1, x 为无理数,当x ∈R 时,f (g (x )),g (f (x ))的值分别为( )A .0,1B .0,0C .1,1D .1,0解析:选D.g (x )∈Q ,f (x )∈Q ,f (g (x ))=1,g (f (x ))=0.6.设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(x +1)2 (x ≤-1),2(x +1) (-1<x <1),1x -1 (x ≥1),已知f (a )>1,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,-2)∪⎝⎛⎭⎫-12,+∞ B.⎝⎛⎭⎫-12,12 C .(-∞,-2)∪⎝⎛⎭⎫-12,1 D.⎝⎛⎭⎫-12,12∪(1,+∞) 解析:选C.f (a )>1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤-1(a +1)2>1或⎩⎪⎨⎪⎧-1<a <12(a +1)>1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥11a-1>1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤-1a <-2或a >0或⎩⎪⎨⎪⎧-1<a <1a >-12或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥10<a <12⇔a <-2或-12<a <1.即所求a 的取值范围是(-∞,-2)∪⎝⎛⎭⎫-12,1. 7.设A =B ={a ,b ,c ,d ,…,x ,y ,z }(元素为26个英文字母),作映射f :A →B 为A中每一个字母与B 中下一个字母对应,即:a →b ,b →c ,c →d ,…,z →a ,并称A 中的字母组成的文字为明文,B 中相应的字母为密文,试破译密文“nbuj ”:________.解析:由题意可知m →n ,a →b ,t →u ,i →j , 所以密文“nbuj ”破译后为“mati ”. 答案:mati8.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2, x ≤0,f (x -2), x >0,则f (4)=________.解析:f (4)=f (2)=f (0)=0.答案:09.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x ≥0,-1,x <0,则不等式x +(x +2)·f (x +2)≤5的解集是________.解析:原不等式可化为下面两个不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧ x +2≥0x +(x +2)·1≤5或⎩⎪⎨⎪⎧x +2<0x +(x +2)·(-1)≤5, 解得-2≤x ≤32或x <-2,即x ≤32.答案:(-∞,32]10.已知f (x )=⎩⎨⎧x 2 (-1≤x ≤1)1 (x >1或x <-1),(1)画出f (x )的图象;(2)求f (x )的定义域和值域.解:(1)利用描点法,作出f (x )的图象,如图所示. (2)由条件知,函数f (x )的定义域为R.由图象知,当-1≤x ≤1时, f (x )=x 2的值域为[0,1], 当x >1或x <-1时,f (x )=1,所以f (x )的值域为[0,1].11.某汽车以52千米/小时的速度从A 地到260千米远的B 地,在B 地停留112小时后,再以65千米/小时的速度返回A 地.试将汽车离开A 地后行驶的路程s (千米)表示为时间t (小时)的函数.解:∵260÷52=5(小时),260÷65=4(小时),∴s =⎩⎪⎨⎪⎧52t (0≤t ≤5),260 ⎝⎛⎭⎫5<t ≤612,260+65⎝⎛⎭⎫t -612 ⎝⎛⎭⎫612<t ≤1012.12. 如图所示,已知底角为45°的等腰梯形ABCD ,底边BC 长为7cm ,腰长为2 2 cm ,当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时,直线l 把梯形分成两部分,令BF =x ,试写出左边部分的面积y 与x 的函数解析式,并画出大致图象.解:过点A ,D 分别作AG ⊥BC ,DH ⊥BC ,垂足分别是G ,H . 因为ABCD 是等腰梯形, 底角为45°,AB =2 2 cm , 所以BG =AG =DH =HC =2 cm. 又BC =7 cm ,所以AD =GH =3 cm. ①当点F 在BG 上时,。
高一数学(必修1)第一章(上) 集合[基础训练]一、选择题1.下列各项中,不可以组成集合的是( ) A .所有的正数 B .等于2的数 C .接近于0的数 D .不等于0的偶数 2.下列四个集合中,是空集的是( )A .}33|{=+x xB .},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C .}0|{2≤x x D .},01|{2R x x x x ∈=+- 3.下列表示图形中的阴影部分的是( )A .()()A CB CB .()()AB A CC .()()A B B CD .()A B C4.下面有四个命题:(1)集合N 中最小的数是1;(2)若a -不属于N ,则a 属于N ; (3)若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2;(4)x x 212=+的解可表示为{}1,1; 其中正确命题的个数为( )A .0个B .1个C .2个D .3个5.若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长,则△ABC 一定不是( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .等腰三角形 6.若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且,则集合A 的真子集共有( ) A .3个 B .5个 C .7个 D .8个二、填空题1.用符号“∈”或“∉”填空 (1)0______N , 5______N , 16______N(2)1______,_______,______2R Q Q e C Q π-(e 是个无理数) (3{}|,,x x a a Q b Q =+∈∈ 2. 若集合{}|6,A x x x N =≤∈,{|}B x x =是非质数,C AB =,则C 的A BC非空子集的个数为 。
3.若集合{}|37A x x =≤<,{}|210B x x =<<,则AB =_____________.4.设集合{32}A x x =-≤≤,{2121}B x k x k =-≤≤+,且A B ⊇,则实数k 的取值范围是 。
高一数学必修1试题附答案详解一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集I ={0,1,2},且满足C I (A ∪B )={2}的A 、B 共有组数 A.5 B.7 C.9 D.112.如果集合A ={x |x =2k π+π,k ∈Z},B ={x |x =4k π+π,k ∈Z},则A.A BB.B AC.A =BD.A ∩B =∅3.设A ={x ∈Z||x |≤2},B ={y |y =x 2+1,x ∈A },则B 的元素个数是 A.5 B.4 C.3 D.2 4.若集合P ={x |3<x ≤22},非空集合Q ={x |2a +1≤x <3a -5},则能使Q ⊆ (P ∩Q )成立的所有实数a 的取值范围为 A.(1,9) B.[1,9] C.[6,9)D.(6,9]5.已知集合A =B =R ,x ∈A ,y ∈B ,f :x →y =a x +b ,若4和10的原象分别对应是6和9,则19在f 作用下的象为 A.18B.30C. 272D.286.函数f (x )=3x -12-x (x ∈R 且x ≠2)的值域为集合N ,则集合{2,-2,-1,-3}中不属于N 的元素是 A.2 B.-2 C.-1 D.-3 7.已知f (x )是一次函数,且2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1,则f (x )的解析式为 A.3x -2 B.3x +2 C.2x +3 D.2x -3 8.下列各组函数中,表示同一函数的是 A.f (x )=1,g (x )=x 0B.f (x )=x +2,g (x )=x 2-4x -2C.f (x )=|x |,g (x )=⎩⎨⎧x x ≥0-x x <0D.f (x )=x ,g (x )=(x )29. f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2 x >0π x =00 x <0,则f {f [f (-3)]}等于A.0B.πC.π2D.910.已知2lg(x -2y )=lg x +lg y ,则xy 的值为A.1B.4C.1或4D. 14或4 11.设x ∈R ,若a <lg(|x -3|+|x +7|)恒成立,则 A.a ≥1 B.a >1 C.0<a ≤1 D.a <112.若定义在区间(-1,0)内的函数f (x )=log 2a (x +1)满足f (x )>0,则a 的取值范围是A.(0,12)B.(0,⎥⎦⎤21C.( 12,+∞)D.(0,+∞)二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上) 13.若不等式x 2+ax +a -2>0的解集为R ,则a 可取值的集合为__________.14.函数y =x 2+x +1 的定义域是______,值域为__ ____.15.若不等式3ax x 22->(13)x +1对一切实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为___ ___.16. f (x )=]()⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∞∈---,1 231,( 2311x x x x ,则f (x )值域为_____ _. 17.函数y =12x +1的值域是__________.18.方程log 2(2-2x )+x +99=0的两个解的和是______.第Ⅱ卷二、填空题13 14 1516 17 18三、解答题(本大题共5小题,共66分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.全集U=R,A={x||x|≥1},B={x|x2-2x-3>0},求(C U A)∩(C U B).20.已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.(1)求证:f(8)=3 (2)求不等式f(x)-f(x-2)>3的解集.21.某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?22.已知函数f (x )=log 412x -log 41x +5,x ∈[2,4],求f (x )的最大值及最小值.23.已知函数f (x )=a a 2-2 (a x -a -x )(a >0且a ≠1)是R 上的增函数,求a 的取值范围.高一数学综合训练(一)答案二、填空题13. ∅ 14. R [32,+∞) 15. -12 < a < 3216. (-2,-1] 17. (0,1) 18. -99三、解答题(本大题共5小题,共66分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.全集U =R ,A ={x ||x |≥1},B ={x |x 2-2x -3>0},求(C U A )∩(C U B ).(C U A )∩(C U B )={x |-1<x <1}20.已知f (x )是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f (xy )=f (x )+f (y ),f (2)=1. (1)求证:f (8)=3 (2)求不等式f (x )-f (x -2)>3的解集. 考查函数对应法则及单调性的应用. (1)【证明】 由题意得f (8)=f (4×2)=f (4)+f (2)=f (2×2)+f (2)=f (2)+f (2)+f (2)=3f (2) 又∵f (2)=1 ∴f (8)=3(2)【解】 不等式化为f (x )>f (x -2)+3∵f (8)=3 ∴f (x )>f (x -2)+f (8)=f (8x -16) ∵f (x )是(0,+∞)上的增函数∴⎩⎨⎧->>-)2(80)2(8x x x 解得2<x <16721.某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少? 考查函数的应用及分析解决实际问题能力.【解】 (1)当每辆车月租金为3600元时,未租出的车辆数为 3600-300050=12,所以这时租出了88辆.(2)设每辆车的月租金定为x 元,则公司月收益为 f (x )=(100-x -300050 )(x -150)-x -300050×50整理得:f (x )=-x 250 +162x -2100=-150 (x -4050)2+307050∴当x =4050时,f (x )最大,最大值为f (4050)=307050 元22.已知函数f (x )=log 412x -log 41x +5,x ∈[2,4],求f (x )的最大值及最小值.考查函数最值及对数函数性质.【解】 令t =log 41x ∵x ∈[2,4],t =log 41x 在定义域递减有log 414<log 41x <log 412, ∴t ∈[-1,-12]∴f (t )=t 2-t +5=(t -12 )2+194 ,t ∈[-1,-12 ]∴当t =-12 时,f (x )取最小值 234当t =-1时,f (x )取最大值7.23.已知函数f (x )=a a 2-2(a x -a -x )(a >0且a ≠1)是R 上的增函数,求a 的取值范围.考查指数函数性质.【解】 f (x )的定义域为R ,设x 1、x 2∈R ,且x 1<x 2 则f (x 2)-f (x 1)= aa 2-2(a 2x -a 2x --a 1x +a 1x -) =aa 2-2 (a 2x -a 1x )(1+211x x aa ⋅) 由于a >0,且a ≠1,∴1+211x x a a >0∵f (x )为增函数,则(a 2-2)( a 2x -a 1x )>0于是有⎪⎩⎪⎨⎧<-<-⎪⎩⎪⎨⎧>->-002002121222x x x x a a a a a a 或, 解得a > 2 或0<a <1. . .。
高一数学必修1习题及答案5篇进入高中一之后,第一个学习的重要数学知识点就是集合,学生需要通过练习稳固集合内容,那么,高一数学必修1习题及答案怎么写以下是我精心收集整理的高一数学必修1习题及答案,下面我就和大家分享,来欣赏一下吧。
高一数学必修1习题及答案1一、选择题:(在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.)1.假设集合,那么m∩p= ( )a. b. c. d.2.以下函数与有相同图象的一个函数是( )a. b. c. d.3. 设a={x|0≤x≤2},b={y|1≤y≤2},在以下各图中,能表示从集合a 到集合b的映射的是( )4设,,,那么,,的大小关系为( ). . . . .5.定义为与中值的较小者,那么函数的值是( )6.假设,那么的表达式为( )a. b. c. d.7.函数的反函数是( )a. b.c. d.8假设那么的值为( )a.8b.c.2d.9假设函数在区间上的图象为连续不断的一条曲线,那么以下说法正确的选项是( )a.假设,不存在实数使得;b.假设,存在且只存在一个实数使得;c.假设,有可能存在实数使得;d.假设,有可能不存在实数使得;10.求函数零点的个数为( ) a. b. c. d.11.定义域为r的函数f(x)在区间(-∞,5)上单调递减,对任意实数t,都有f(5+t)=f(5-t),那么以下式子一定成立的是( )a.f(-1)f(9)f(13) p=b.f(13)f(9)f(-1)c.f(9)f(-1)f(13) p=d.f(13)f(-1)f(9)12.某学生离家去,由于怕迟到,一开始就跑步,等跑累了再步行走完余下的路程,假设以纵轴表示离家的距离,横轴表示离家后的时间,那么以下四个图形中,符合该学生走法的是( )二、填空题:本大题共6小题,每题4分,共24分.把答案直接填在题中横线上.13、,那么的取值范围是14.实数满足等式,以下五个关系式:(1) ,(2) ,(3) ,(4) ,(5)其中可能成立的关系式有.15.如果在函数的图象上任取不同的两点、,线段(端点除外)总在图象的下方,那么函数的图象给我们向上凸起的印象,我们称函数为上凸函数;反之,如果在函数的图象上任取不同的两点、,线段(端点除外)总在图象的上方,那么我们称函数为下凸函数.例如:就是一个上凸函数.请写出两个不同类型的下凸函数的解析式:16.某批发商批发某种商品的单价p(单位:元/千克)与一次性批发数量q(单位:千克)之间函数的图像如图2,一零售商仅有现金2700元,他最多可购置这种商品千克(不考虑运输费等其他费用).三、解答题:.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题总分值12分)全集u=r,集合,,求,,。
高中数学必修一练习题(一)集合(详细答案)班号姓名集合的含义与表示1.下面的结论正确的是()A.a∈Q,则a∈NC.某2-1=0的解集是{-1,1}2.下列说法正确的是()A.某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B.由1,2,3和9,1,4组成的集合不相等C.不超过20的非负数组成一个集合D.方程某2-4=0和方程|某-1|=1的解构成了一个四元集3.用列举法表示{(某,y)|某∈N+,y∈N+,某+y=4}应为()A.{(1,3),(3,1)}B.{(2,2)}D.{(4,0),(0,4)}B.a∈Z,则a∈ND.以上结论均不正确C.{(1,3),(3,1),(2,2)}4.下列命题:(1)方程某-2+|y+2|=0的解集为{2,-2};(2)集合{y|y=某2-1,某∈R}与{y|y=某-1,某∈R}的公共元素所组成的集合是{0,1};(3)集合{某|某-1<0}与集合{某|某>a,a∈R}没有公共元素.其中正确的个数为()A.0B.1C.2D.35.对于集合A={2,4,6,8},若a∈A,则8-a∈A,则a的取值构成的集合是________.6.定义集合A某B={某|某=a-b,a∈A,b∈B},若A={1,2},B={0,2},则A某B中所有元素之和为________.7.若集合A={-1,2},集合B={某|某2+a某+b=0},且A=B,则求实数a,b的值.8.已知集合A={a-3,2a-1,a2+1},a∈R.(1)若-3∈A,求实数a的值;(2)当a为何值时,集合A的表示不正确.集合间的基本关系1.下列关系中正确的个数为()①0∈{0};②{0};③{(0,1)}{(0,1)};④{(a,b)}={(b,a)}.A.1 B.2C.3D.42.已知集合A={某|-1BB.ABC.BAD.AB3.已知{1,2}M{1,2,3,4},则符合条件的集合M的个数是()A.3B.4C.6D.8M,则a的取值为()4.集合M={1,2,a,a2-3a-1},N={-1,3},若3∈M且NA.-1 B.4C.-1或-4D.-4或15.集合A中有m个元素,若在A中增加一个元素,则它的子集增加的个数是__________.6.已知M={y|y=某2-2某-1,某∈R},N={某|-2≤某≤4},则集合M与N之间的关系是________.7.若集合M={某|某2+某-6=0},N={某|(某-2)(某-a)=0},且NM,求实数a的值.8.设集合A={某|a-2<某<a+2},B={某|-2<某<3},(1)若A B,求实数a的取值范围;(2)是否存在实数a使BA并集与交集1.A∩B=A,B∪C=C,则A,C之间的关系必有()A.ACB.CAC.A=CD.以上都不对2.A={0,2,a},B={1,a2},A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为()A.0B.1C.2D.43.已知全集U=R,集合M={某|-2≤某-1≤2}和N={某|某=2k-1,k∈N某}的关系的韦恩(Venn)图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有()A.2个B.3个C.1个D.无穷多个4.设集合M={某|-3≤某<7},N={某|2某+k≤0},若M∩N≠,则k 的取值范围是()A.k≤3B.k≥-3C.k>6D.k≤65.已知集合M={某|-35},则M∪N=________,M∩N=________.6.已知集合A={(某,y)|y=某2,某∈R},B={(某,y)|y=某,某∈R},则A∩B中的元素个数为___.7.已知集合A={某|某2+p某+q=0},B={某|某2-p某-2q=0},且A∩B={-1},求A∪B.8.已知A={某|某3},B={某|4某+m<0,m∈R},当A∩B=B时,求m的取值范围.集合的补集运算1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},M={1,3,5,7},N ={5,6,7},则U(M∪N)=()A.{5,7}B.{2,4}C.{2,4,8}D.{1,3,5,6,7}2.已知全集U={2,3,5},集合A={2,|a-5|},若UA={3},则a的值为()A.0B.10C.0或10D.0或-103.已知全集U=R,集合A={某|-2≤某≤3},B={某|某<-1或某>4},那么集合A∩(UB)等于()A.{某|-2≤某<4}B.{某|某≤3或某≥4}C.{某|-2≤某<-1}D.{某|-1≤某≤3}4.如图所示,U是全集,A,B是U的子集,则阴影部分所表示的合是()A.A∩BB.A∪BC.B∩(UA)D.A∩(UB)5.已知全集S=R,A={某|某≤1},B={某|0≤某≤5},则(SA)∩B=________.6.定义集合A某B={某|某∈A,且某B},若A={1,2,3,4,5},B={2,4,5},则A某B的子集的个数是________.7.已知全集U=R,A={某|-4≤某≤2},B={某|-12},(1)求A∩B;(2)求(UB)∪P;(3)求(A∩B)∩(UP).8.已知集合A={某|2a-2集参考答案集合的含义与表示1.选C对于A,a属于有理数,则a属于自然数,显然是错误的,对于B,a属于整数,则a属于自然数当然也是错的,对于C的解集用列举法可用它来表示.故C正确.2.选CA项中元素不确定;B项中两个集合元素相同,因集合中的元素具有无序性,所以两个集合相等;D项中两个方程的解分别是±2,0,2,由互异性知,可构成一个三元集.3.选C某=1时,y=3;某=2时,y=2;某=3时,y=1.某=2,某-2=0,4.选A(1)故解集为{(2,-2)},而不是{2,-2};y=-2.|y+2|=0(2)集合{y|y=某2-1,某∈R}表示使y=某2-1有意义的因变量y的范围,而y=某2-1≥-1,故{y|y=某2-1,某∈R}={y|y≥-1}.同理集合{y|y=某-1,某∈R}=R.结合数轴(图1)知,两个集合的公共元素所组成的集合为{y|y≥-1};(3)集合{某|某-1<0}表示不等式某-1<0的解集,即{某|某<1}.而{某|某>a,a∈R}就是某>a的解集.结合图2,当a≥1时两个集合没有公共元素;当a<1时,两个集合有公共元素,形成的集合为{某|a5.解析:当a=2时,8-a=6∈A;a=4时,8-a=4∈A;a=6时,8-a=2∈A;a=8时,8-a=0A.∴所求集合为{2,4,6}.答案:{2,4,6}6.解析:A某B={1,-1,2,0},∴A某B中所有元素之和为1-1+2+0=2.答案:27.解:由题意知-1,2是方程某2+a某+b=0的两个根,1-a+b=0,由根与系数的关系可知有故有a=-1,b=-2.4+2a+b=0,当a-3=-3时,a=0,集合A={-3,-1,1},满足题意;当2a-1=-3时,a=-1,集合A={-4,-3,2},满足题意;当a2+1=-3时,a无解.综上所述,a=0或a=-1.(2)若元素不互异,则集合A的表示不正确若a-3=2a-1,则a=-2;若a-3=a2+1,则方程无解;若2a-1=a2+1,则方程无解.综上所述,a=-2.集合间的基本关系1.选C①、②、③均正确;④不正确.a≠b时,(a,b)与(b,a)是不同的元素.2.C3.选A符合条件的集合M有{1,2},{1,2,3},{1,2,4}共3个.4.选B(1)若a=3,则a2-3a-1=-1,即M={1,2,3,-1},显然NM,不合题意.(2)若a2-3a-1=3,即a=4或a=-1(舍去),当a=4时,M={1,2,4,3},满足要求.5.解析:由2m+1-2m=2·2m-2m=2m.答案:2m6.解析:∵y=(某-1)2-2≥-2,∴M={y|y≥-2},∴NM.答案:NM7.解:由某2+某-6=0,得某=2或某=-3.因此,M={2,-3}.若a=2,则N={2},此时NM;若a=-3,则N={2,-3},此时N=M;若a≠2且a≠-3,则N={2,a},此时N不是M的子集,故所求实数a的值为2或-3.a-2>-2,a-2≥-2,8.解:(1)借助数轴可得,a应满足的条件为或解得0≤a≤1.a+2≤3,a+2<3,a-2≤-2,(2)同理可得a应满足的条件为得a无解,所以不存在实数a使BA.a+2≥3,并集与交集1.选AA∩B=AAB,B∪C=CBC,∴AC.a=4,2.选D∵A={0,2,a},B={1,a2},A∪B={0,1,2,4,16},则∴a=4.a=16.23.选AM={某|-1≤某≤3},N={某|某=2k-1,k∈N某},∴M∩N ={1,3}.kk4.选D因为N={某|2某+k≤0}={某|某≤-},且M∩N≠,所以-≥-3k≤6.225.解析:借助数轴可知:M∪N={某|某>-5},M∩N={某|-3-5}{某|-3y=某2,某=0,某=1,6.解析:由得或答案:2y=某,y=0y=1.7.解:因为A∩B={-1},所以-1∈A且-1∈B,将某=-1分别代入两个方程,得1-p+q=0p=3,解得.所以A={某|某2+3某+2=0}={-1,-2},1+p-2q=0q=2B={某|某2-3某-4=0}={-1,4},所以A∪B={-1,-2,4}.m8.解:由题知,B={某|某4m所以由数轴(如图)可得-≤-2,所以m≥8,即m的取值范围是m≥8. 4集合的补集运算1.选CM∪N={1,3,5,6,7}.∴U(M∪N)={2,4,8}.2.选C由UA={3},知3A,3∈U.∴|a-5|=5,∴a=0或a=10.3.选D由题意可得,UB={某|-1≤某≤4},A={某|-2≤某≤3},所以A∩(UB)={某|-1≤某≤3}.端点处的取舍易出错.4.选C阴影部分表示集合B与集合A的补集的交集.因此,阴影部分所表示的集合为B∩(UA).5.解析:由已知可得SA={某|某>1},∴(SA)∩B={某|某>1}∩{某|0≤某≤5}={某|1答案:{某|16.解析:由题意知A某B={1,3}.则A某B的子集有22=4个.答案:47.解:借助数轴,如图.(1)A∩B={某|-15(2)∵UB={某|某≤-1或某>3},∴(UB)∪P={某|某≤0或某≥}.255(3)UP={某|0228.解:RB={某|某≤1或某≥2}≠,∵ARB,∴分A=和A≠两种情况讨论.(1)若A=,此时有2a-2≥a,∴a≥2.2a-2<a2a-2综上所述,a≤1或a≥2.。
第一章 集合与函数的概念1.某公司为了适应市场需求,对产品结构做了重大调整.调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与产量x 的关系,则可选用( )A .一次函数B .二次函数C .指数型函数D .对数型函数 解析:选D.一次函数保持均匀的增长,不符合题意; 二次函数在对称轴的两侧有增也有降;而指数函数是爆炸式增长,不符合“增长越来越慢”;因此,只有对数函数最符合题意,先快速增长,后来越来越慢. 2A .y =2x -1B .y =x 2-1C .y =2x -1D .y =1.5x 2-2.5x +2解析:选D.画散点图或代入数值,选择拟合效果最好的函数,故选D.3.如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km 的两城镇间旅行的函数图象,由图可知:骑自行车者用了6小时,沿途休息了1小时,骑摩托车者用了2小时,根据这个函数图象,推出关于这两个旅行者的如下信息:①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时,晚到1小时; ②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动; ③骑摩托车者在出发了1.5小时后,追上了骑自行车者. 其中正确信息的序号是( ) A .①②③ B .①③ C .②③ D .①②解析:选A.由图象可得:①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时,晚到1小时,正确;②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动,正确;③骑摩托车者在出发了1.5小时后,追上了骑自行车者,正确.4.长为4,宽为3的矩形,当长增加x ,且宽减少x2时面积最大,此时x =________,面积S =________.解析:依题意得:S =(4+x )(3-x 2)=-12x 2+x +12=-12(x -1)2+1212,∴当x =1时,S max =1212.答案:1 12121( )A .指数函数B .反比例函数C .一次函数D .二次函数解析:选C.画出散点图,结合图象(图略)可知各个点接近于一条直线,所以可用一次函数表示.2.某林场计划第一年造林10000亩,以后每年比前一年多造林20%,则第四年造林( ) A .14400亩 B .172800亩 C .17280亩 D .20736亩解析:选C.y =10000×(1+20%)3=17280.3.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格相比,变化情况是( )A .增加7.84%B .减少7.84%C .减少9.5%D .不增不减 解析:选B.设该商品原价为a , 四年后价格为a (1+0.2)2·(1-0.2)2=0.9216a . 所以(1-0.9216)a =0.0784a =7.84%a , 即比原来减少了7.84%.4.据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0.8元,普通车存车费是每辆一次0.5元,若普通车存车数为x 辆次,存车费总收入为y 元,则y 关于x 的函数关系式是( )A .y =0.3x +800(0≤x ≤2000)B .y =0.3x +1600(0≤x ≤2000)C .y =-0.3x +800(0≤x ≤2000)D .y =-0.3x +1600(0≤x ≤2000)解析:选D.由题意知,变速车存车数为(2000-x )辆次, 则总收入y =0.5x +(2000-x )×0.8=0.5x +1600-0.8x =-0.3x +1600(0≤x ≤2000).5.如图,△ABC 为等腰直角三角形,直线l 与AB 相交且l ⊥AB ,直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ,点A 到直线l 的距离为x ,则y =f (x )的图象大致为四个选项中的( )解析:选C.设AB =a ,则y =12a 2-12x 2=-12x 2+12a 2,其图象为抛物线的一段,开口向下,顶点在y 轴上方.故选C.6.小蜥蜴体长15 cm ,体重15 g ,问:当小蜥蜴长到体长为20 cm 时,它的体重大约是( )A .20 gB .25 gC .35 gD .40 g解析:选C.假设小蜥蜴从15 cm 长到20 cm ,体形是相似的.这时蜥蜴的体重正比于它的体积,而体积与体长的立方成正比.记体长为20 cm 的蜥蜴的体重为W 20,因此有W 20=W 15·203153≈35.6(g),合理的答案为35 g .故选C.7.现测得(x ,y )的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合模型,甲:y =x 2+1;乙:y =3x -1.若又测得(x ,y )的一组对应值为(3,10.2),则应选用________作为拟合模型较好.解析:图象法,即描出已知的三个点的坐标并画出两个函数的图象(图略),比较发现选甲更好.答案:甲8.一根弹簧,挂重100 N 的重物时,伸长20 cm ,当挂重150 N 的重物时,弹簧伸长________.解析:由10020=150x,得x =30.答案:30 cm9.某工厂8年来某产品年产量y 与时间t 年的函数关系如图,则: ①前3年总产量增长速度越来越快; ②前3年中总产量增长速度越来越慢; ③第3年后,这种产品停止生产;④第3年后,这种产品年产量保持不变. 以上说法中正确的是________.解析:观察图中单位时间内产品产量y 变化量快慢可知①④. 答案:①④某公司试销一种成本单价为500元的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不高于800元.经试销调查,发现销售量y (件)与销售单价x (元)之间的关系可近似看作一次函数y =kx +b (k ≠0),函数图象如图所示.(1)根据图象,求一次函数y =kx +b (k ≠0)的表达式;(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S 元.试问销售单价定为多少时,该公司可获得最大毛利润?最大毛利润是多少?此时的销售量是多少?解:(1)由图象知,当x =600时,y =400;当x =700时,y =300,代入y =kx +b (k ≠0)中,得⎩⎪⎨⎪⎧ 400=600k +b ,300=700k +b ,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =-1,b =1000. 所以,y =-x +1000(500≤x ≤800). (2)销售总价=销售单价×销售量=xy , 成本总价=成本单价×销售量=500y , 代入求毛利润的公式,得S =xy -500y =x (-x +1000)-500(-x +1000) =-x 2+1500x -500000=-(x -750)2+62500(500≤x ≤800).所以,当销售单价定为750元时,可获得最大毛利润62500元,此时销售量为250件. 11.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是T 0,经过一定时间t 后的温度是T ,则T -T a =(T 0-T a )·(12)th ,其中T a 表示环境温度,h 称为半衰期.现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降温到40 ℃需要20 min ,那么降温到35 ℃时,需要多长时间?解:由题意知40-24=(88-24)·(12)20h ,即14=(12)20h . 解之,得h =10.故T -24=(88-24)·(12)t10.当T =35时,代入上式,得35-24=(88-24)·(12)t10,即(12)t 10=1164. 两边取对数,用计算器求得t ≈25. 因此,约需要25 min ,可降温到35 ℃.12.某地区为响应上级号召,在2011年初,新建了一批有200万平方米的廉价住房,供困难的城市居民居住.由于下半年受物价的影响,根据本地区的实际情况,估计今后住房的年平均增长率只能达到5%.(1)经过x 年后,该地区的廉价住房为y 万平方米,求y =f (x )的表达式,并求此函数的定义域.(2)作出函数y =f (x )的图象,并结合图象求:经过多少年后,该地区的廉价住房能达到300万平方米?解:(1)经过1年后,廉价住房面积为 200+200×5%=200(1+5%); 经过2年后为200(1+5%)2; …经过x 年后,廉价住房面积为200(1+5%)x , ∴y =200(1+5%)x (x ∈N *).(2)作函数y =f (x )=200(1+5%)x (x ≥0)的图象,如图所示.作直线y =300,与函数y =200(1+5%)x的图象交于A 点,则A (x 0,300),A 点的横坐标x 0的值就是函数值y =300时所经过的时间x 的值.因为8<x 0<9,则取x 0=9,即经过9年后,该地区的廉价住房能达到300万平方米.1.对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示,其中正确的一个是( ) A .{x |x 是小于18的正奇数}B .{x |x =4k +1,k ∈Z ,且k <5}C .{x |x =4t -3,t ∈N ,且t ≤5}D .{x |x =4s -3,s ∈N *,且s ≤5}解析:选D.A 中小于18的正奇数除给定集合中的元素外,还有3,7,11,15;B 中k 取负数,多了若干元素;C 中t =0时多了-3这个元素,只有D 是正确的.2.集合P ={x |x =2k ,k ∈Z },M ={x |x =2k +1,k ∈Z },S ={x |x =4k +1,k ∈Z },a ∈P ,b ∈M ,设c =a +b ,则有( )A .c ∈PB .c ∈MC .c ∈SD .以上都不对解析:选B.∵a ∈P ,b ∈M ,c =a +b , 设a =2k 1,k 1∈Z ,b =2k 2+1,k 2∈Z , ∴c =2k 1+2k 2+1=2(k 1+k 2)+1, 又k 1+k 2∈Z ,∴c ∈M .3.定义集合运算:A *B ={z |z =xy ,x ∈A ,y ∈B },设A ={1,2},B ={0,2},则集合A *B 的所有元素之和为( )A .0B .2C .3D .6解析:选D.∵z =xy ,x ∈A ,y ∈B ,∴z 的取值有:1×0=0,1×2=2,2×0=0,2×2=4, 故A *B ={0,2,4},∴集合A *B 的所有元素之和为:0+2+4=6.4.已知集合A ={1,2,3},B ={1,2},C ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈B },则用列举法表示集合C =____________.解析:∵C ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈B }, ∴满足条件的点为:(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2).答案:{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)}1.集合{(x ,y )|y =2x -1}表示( ) A .方程y =2x -1 B .点(x ,y )C .平面直角坐标系中的所有点组成的集合D .函数y =2x -1图象上的所有点组成的集合 答案:D2.设集合M ={x ∈R |x ≤33},a =26,则( ) A .a ∉M B .a ∈MC .{a }∈MD .{a |a =26}∈M 解析:选B.(26)2-(33)2=24-27<0, 故26<3 3.所以a ∈M .3.方程组⎩⎪⎨⎪⎧x +y =1x -y =9的解集是( )A .(-5,4)B .(5,-4)C .{(-5,4)}D .{(5,-4)}解析:选D.由⎩⎪⎨⎪⎧ x +y =1x -y =9,得⎩⎪⎨⎪⎧x =5y =-4,该方程组有一组解(5,-4),解集为{(5,-4)}. 4.下列命题正确的有( ) (1)很小的实数可以构成集合;(2)集合{y |y =x 2-1}与集合{(x ,y )|y =x 2-1}是同一个集合;(3)1,32,64,|-12|,0.5这些数组成的集合有5个元素;(4)集合{(x ,y )|xy ≤0,x ,y ∈R }是指第二和第四象限内的点集. A .0个 B .1个 C .2个 D .3个解析:选A.(1)错的原因是元素不确定;(2)前者是数集,而后者是点集,种类不同;(3)32=64,|-12|=0.5,有重复的元素,应该是3个元素;(4)本集合还包括坐标轴. 5.下列集合中,不同于另外三个集合的是( ) A .{0} B .{y |y 2=0} C .{x |x =0} D .{x =0}解析:选D.A 是列举法,C 是描述法,对于B 要注意集合的代表元素是y ,故与A ,C 相同,而D 表示该集合含有一个元素,即“x =0”.6.设P ={1,2,3,4},Q ={4,5,6,7,8},定义P *Q ={(a ,b )|a ∈P ,b ∈Q ,a ≠b },则P *Q 中元素的个数为( )A .4B .5C .19D .20解析:选C.易得P *Q 中元素的个数为4×5-1=19.故选C 项.7.由实数x ,-x ,x 2,-3x 3所组成的集合里面元素最多有________个.解析:x 2=|x |,而-3x 3=-x ,故集合里面元素最多有2个. 答案:28.已知集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |4x -3∈Z ,试用列举法表示集合A =________.解析:要使4x -3∈Z ,必须x -3是4的约数.而4的约数有-4,-2,-1,1,2,4六个,则x =-1,1,2,4,5,7,要注意到元素x 应为自然数,故A ={1,2,4,5,7}答案:{1,2,4,5,7}9.集合{x |x 2-2x +m =0}含有两个元素,则实数m 满足的条件为________. 解析:该集合是关于x 的一元二次方程的解集,则Δ=4-4m >0,所以m <1. 答案:m <110. 用适当的方法表示下列集合: (1)所有被3整除的整数;(2)图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合(不含虚线); (3)满足方程x =|x |,x ∈Z 的所有x 的值构成的集合B .解:(1){x |x =3n ,n ∈Z };(2){(x ,y )|-1≤x ≤2,-12≤y ≤1,且xy ≥0};(3)B ={x |x =|x |,x ∈Z }.11.已知集合A ={x ∈R |ax 2+2x +1=0},其中a ∈R .若1是集合A 中的一个元素,请用列举法表示集合A .解:∵1是集合A 中的一个元素,∴1是关于x 的方程ax 2+2x +1=0的一个根, ∴a ·12+2×1+1=0,即a =-3. 方程即为-3x 2+2x +1=0,解这个方程,得x 1=1,x 2=-13,∴集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫-13,1.12.已知集合A ={x |ax 2-3x +2=0},若A 中元素至多只有一个,求实数a 的取值范围.解:①a =0时,原方程为-3x +2=0,x =23,符合题意.②a ≠0时,方程ax 2-3x +2=0为一元二次方程.由Δ=9-8a ≤0,得a ≥98.∴当a ≥98时,方程ax 2-3x +2=0无实数根或有两个相等的实数根.综合①②,知a =0或a ≥98.1.下列各组对象中不能构成集合的是( ) A .水浒书业的全体员工 B .《优化方案》的所有书刊C .2010年考入清华大学的全体学生D .美国NBA 的篮球明星解析:选D.A 、B 、C 中的元素:员工、书刊、学生都有明确的对象,而D 中对象不确定,“明星”没有具体明确的标准.2.(2011年上海高一检测)下列所给关系正确的个数是( ) ①π∈R ;②3∉Q ;③0∈N *;④|-4|∉N *. A .1 B .2 C .3 D .4 解析:选B.①②正确,③④错误.3.集合A ={一条边长为1,一个角为40°的等腰三角形}中有元素( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .无数个解析:选C.(1)当腰长为1时,底角为40°或顶角为40°.(2)当底边长为1时,底角为40°或顶角为40°,所以共有4个三角形.4.以方程x 2-5x +6=0和方程x 2-x -2=0的解为元素的集合中共有________个元素. 解析:由x 2-5x +6=0,解得x =2或x =3. 由x 2-x -2=0,解得x =2或x =-1. 答案:31.若以正实数x ,y ,z ,w 四个元素构成集合A ,以A 中四个元素为边长构成的四边形可能是( )A .梯形B .平行四边形C .菱形D .矩形 答案:A2.设集合A 只含一个元素a ,则下列各式正确的是( ) A .0∈A B .a ∉A C .a ∈A D .a =A答案:C3.给出以下四个对象,其中能构成集合的有( ) ①教2011届高一的年轻教师;②你所在班中身高超过1.70米的同学; ③2010年广州亚运会的比赛项目; ④1,3,5.A .1个B .2个C .3个D .4个解析:选C.因为未规定年轻的标准,所以①不能构成集合;由于②③④中的对象具备确定性、互异性,所以②③④能构成集合.4.若集合M ={a ,b ,c },M 中元素是△ABC 的三边长,则△ABC 一定不是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .等腰三角形解析:选D.根据元素的互异性可知,a ≠b ,a ≠c ,b ≠c . 5.下列各组集合,表示相等集合的是( ) ①M ={(3,2)},N ={(2,3)}; ②M ={3,2},N ={2,3}; ③M ={(1,2)},N ={1,2}. A .① B .②C .③D .以上都不对解析:选B.①中M 中表示点(3,2),N 中表示点(2,3),②中由元素的无序性知是相等集合,③中M 表示一个元素:点(1,2),N 中表示两个元素分别为1,2.6.若所有形如a +2b (a ∈Q 、b ∈Q )的数组成集合M ,对于x =13-52,y =3+2π,则有( )A .x ∈M ,y ∈MB .x ∈M ,y ∉MC .x ∉M ,y ∈MD .x ∉M ,y ∉M解析:选B.∅x =13-52=-341-5412,y =3+2π中π是无理数,而集合M 中,b ∈Q ,得x ∈M ,y ∉M .7.已知①5∈R ;②13∈Q ;③0={0};④0∉N ;⑤π∈Q ;⑥-3∈Z .其中正确的个数为________.解析:③错误,0是元素,{0}是一个集合;④0∈N ;⑤π∉Q ,①②⑥正确. 答案:38.对于集合A ={2,4,6},若a ∈A ,则6-a ∈A ,那么a 的取值是________. 解析:当a =2时,6-a =4∈A ; 当a =4时,6-a =2∈A ; 当a =6时,6-a =0∉A , 所以a =2或a =4. 答案:2或49.若a ,b ∈R ,且a ≠0,b ≠0,则|a |a +|b |b 的可能取值组成的集合中元素的个数为________.解析:当a >0,b >0时,|a |a +|b |b=2;当a ·b <0时,|a |a +|b |b=0;当a <0且b <0时,|a |a +|b |b=-2.所以集合中的元素为2,0,-2.即元素的个数为3. 答案:310.已知集合A 含有两个元素a -3和2a -1,若-3∈A ,试求实数a 的值. 解:∵-3∈A ,∴-3=a -3或-3=2a -1. 若-3=a -3,则a =0,此时集合A 含有两个元素-3,-1,符合题意. 若-3=2a -1,则a =-1,此时集合A 含有两个元素-4,-3,符合题意. 综上所述,满足题意的实数a 的值为0或-1.11.集合A 是由形如m +3n (m ∈Z ,n ∈Z )的数构成的,试判断12-3是不是集合A 中的元素?解:∵12-3=2+3=2+3×1,而2,1∈Z ,∴2+3∈A ,即12-3∈A .12.已知M ={2,a ,b },N ={2a,2,b 2},且M =N ,试求a 与b 的值. 解:根据集合中元素的互异性,有⎩⎪⎨⎪⎧ a =2a b =b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a =b 2b =2a , 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =0b =1或⎩⎪⎨⎪⎧a =0b =0或⎩⎨⎧a =14b =12.再根据集合中元素的互异性,得⎩⎪⎨⎪⎧a =0b =1或⎩⎨⎧a =14b =12.1.下列六个关系式,其中正确的有( )①{a ,b }={b ,a };②{a ,b }⊆{b ,a };③∅={∅};④{0}=∅;⑤∅{0};⑥0∈{0}. A .6个 B .5个C .4个D .3个及3个以下 解析:选C.①②⑤⑥正确.2.已知集合A ,B ,若A 不是B 的子集,则下列命题中正确的是( ) A .对任意的a ∈A ,都有a ∉B B .对任意的b ∈B ,都有b ∈A C .存在a 0,满足a 0∈A ,a 0∉B D .存在a 0,满足a 0∈A ,a 0∈B解析:选C.A 不是B 的子集,也就是说A 中存在不是B 中的元素,显然正是C 选项要表达的.对于A 和B 选项,取A ={1,2},B ={2,3}可否定,对于D 选项,取A ={1},B ={2,3}可否定.3.设A ={x |1<x <2},B ={x |x <a },若AB ,则a 的取值范围是( )A .a ≥2B .a ≤1C .a ≥1D .a ≤2解析:选A.A ={x |1<x <2},B ={x |x <a },要使A B ,则应有a ≥2. 4.集合M ={x |x 2-3x -a 2+2=0,a ∈R }的子集的个数为________.解析:∵Δ=9-4(2-a 2)=1+4a 2>0,∴M 恒有2个元素,所以子集有4个. 答案:41.如果A ={x |x >-1},那么( ) A .0⊆A B .{0}∈A C .∅∈A D .{0}⊆A解析:选D.A 、B 、C 的关系符号是错误的.2.已知集合A ={x |-1<x <2},B ={x |0<x <1},则( ) A .A >B B .ABC .B AD .A ⊆B解析:选C.利用数轴(图略)可看出x ∈B ⇒x ∈A ,但x ∈A ⇒x ∈B 不成立.3.定义A -B ={x |x ∈A 且x ∉B },若A ={1,3,5,7,9},B ={2,3,5},则A -B 等于( ) A .A B .BC .{2}D .{1,7,9}解析:选D.从定义可看出,元素在A 中但是不能在B 中,所以只能是D. 4.以下共有6组集合.(1)A ={(-5,3)},B ={-5,3}; (2)M ={1,-3},N ={3,-1}; (3)M =∅,N ={0};(4)M ={π},N ={3.1415};(5)M ={x |x 是小数},N ={x |x 是实数};(6)M ={x |x 2-3x +2=0},N ={y |y 2-3y +2=0}. 其中表示相等的集合有( ) A .2组 B .3组 C .4组 D .5组解析:选A.(5),(6)表示相等的集合,注意小数是实数,而实数也是小数.5.定义集合间的一种运算“*”满足:A *B ={ω|ω=xy (x +y ),x ∈A ,y ∈B }.若集合A ={0,1},B ={2,3},则A *B 的子集的个数是( )A .4B .8C .16D .32解析:选B.在集合A 和B 中分别取出元素进行*的运算,有0·2·(0+2)=0·3·(0+3)=0,1·2·(1+2)=6,1·3·(1+3)=12,因此可知A *B ={0,6,12},因此其子集个数为23=8,选B.6.设B ={1,2},A ={x |x ⊆B },则A 与B 的关系是( ) A .A ⊆B B .B ⊆A C .A ∈B D .B ∈A解析:选D.∵B 的子集为{1},{2},{1,2},∅, ∴A ={x |x ⊆B }={{1},{2},{1,2},∅},∴B ∈A .7.设x ,y ∈R ,A ={(x ,y )|y =x },B ={(x ,y )|yx=1},则A 、B 间的关系为________.解析:在A 中,(0,0)∈A ,而(0,0)∉B ,故BA .答案:B A8.设集合A ={1,3,a },B ={1,a 2-a +1},且A ⊇B ,则a 的值为________.解析:A ⊇B ,则a 2-a +1=3或a 2-a +1=a ,解得a =2或a =-1或a =1,结合集合元素的互异性,可确定a =-1或a =2.答案:-1或29.已知A ={x |x <-1或x >5},B ={x |a ≤x <a +4},若A B ,则实数a 的取值范围是________.解析:作出数轴可得,要使A B ,则必须a +4≤-1或a >5,解之得{a |a >5或a ≤-5}.答案:{a |a >5或a ≤-5}10.已知集合A ={a ,a +b ,a +2b },B ={a ,ac ,ac 2},若A =B ,求c 的值.解:①若⎩⎪⎨⎪⎧a +b =ac a +2b =ac 2,消去b 得a +ac 2-2ac =0, 即a (c 2-2c +1)=0.当a =0时,集合B 中的三个元素相同,不满足集合中元素的互异性, 故a ≠0,c 2-2c +1=0,即c =1;当c =1时,集合B 中的三个元素也相同, ∴c =1舍去,即此时无解.②若⎩⎪⎨⎪⎧a +b =ac 2a +2b =ac ,消去b 得2ac 2-ac -a =0,即a (2c 2-c -1)=0.∵a ≠0,∴2c 2-c -1=0,即(c -1)(2c +1)=0.又∵c ≠1,∴c =-12.11.已知集合A ={x |1≤x ≤2},B ={x |1≤x ≤a ,a ≥1}.(1)若A B ,求a 的取值范围; (2)若B ⊆A ,求a 的取值范围. 解:(1)若AB ,由图可知,a >2.(2)若B ⊆A ,由图可知,1≤a ≤2.12.若集合A ={x |x 2+x -6=0},B ={x |mx +1=0},且B A ,求实数m 的值.解:A ={x |x 2+x -6=0}={-3,2}.∵B A ,∴mx +1=0的解为-3或2或无解. 当mx +1=0的解为-3时,由m ·(-3)+1=0,得m =13;当mx +1=0的解为2时,由m ·2+1=0,得m =-12;当mx +1=0无解时,m =0.综上所述,m =13或m =-12或m =0.1.(2010年高考广东卷)若集合A ={x |-2<x <1},B ={x |0<x <2},则集合A ∩B =( ) A .{x |-1<x <1} B .{x |-2<x <1}C .{x |-2<x <2}D .{x |0<x <1}解析:选D.因为A ={x |-2<x <1},B ={x |0<x <2},所以A ∩B ={x |0<x <1}. 2.(2010年高考湖南卷)已知集合M ={1,2,3},N ={2,3,4}则( ) A .M ⊆N B .N ⊆MC .M ∩N ={2,3}D .M ∪N ={1,4} 解析:选C.∵M ={1,2,3},N ={2,3,4}. ∴选项A 、B 显然不对.M ∪N ={1,2,3,4}, ∴选项D 错误.又M ∩N ={2,3},故选C.3.已知集合M ={y |y =x 2},N ={y |x =y 2},则M ∩N =( ) A .{(0,0),(1,1)} B .{0,1} C .{y |y ≥0} D .{y |0≤y ≤1}解析:选C.M ={y |y ≥0},N =R ,∴M ∩N =M ={y |y ≥0}. 4.已知集合A ={x |x ≥2},B ={x |x ≥m },且A ∪B =A ,则实数m 的取值范围是________. 解析:A ∪B =A ,即B ⊆A ,∴m ≥2. 答案:m ≥21.下列关系Q ∩R =R ∩Q ;Z ∪N =N ;Q ∪R =R ∪Q ;Q ∩N =N 中,正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4解析:选C.只有Z ∪N =N 是错误的,应是Z ∪N =Z .2.(2010年高考四川卷)设集合A ={3,5,6,8},集合B ={4,5,7,8},则A ∩B 等于( ) A .{3,4,5,6,7,8} B .{3,6} C .{4,7} D .{5,8}解析:选D.∵A ={3,5,6,8},B ={4,5,7,8},∴A ∩B ={5,8}.3.(2009年高考山东卷)集合A ={0,2,a },B ={1,a 2}.若A ∪B ={0,1,2,4,16},则a 的值为( )A .0B .1C .2D .4解析:选D.根据元素特性,a ≠0,a ≠2,a ≠1. ∴a =4.4.已知集合P ={x ∈N |1≤x ≤10},集合Q ={x ∈R |x 2+x -6=0},则P ∩Q 等于( ) A .{2} B .{1,2} C .{2,3} D .{1,2,3}解析:选A.Q ={x ∈R |x 2+x -6=0}={-3,2}. ∴P ∩Q ={2}.5.(2010年高考福建卷)若集合A ={x |1≤x ≤3},B ={x |x >2},则A ∩B 等于( ) A .{x |2<x ≤3} B .{x |x ≥1} C .{x |2≤x <3} D .{x |x >2}解析:选A.∵A ={x |1≤x ≤3},B ={x |x >2}, ∴A ∩B ={x |2<x ≤3}. 6.设集合S ={x |x >5或x <-1},T ={x |a <x <a +8},S ∪T =R ,则a 的取值范围是( ) A .-3<a <-1 B .-3≤a ≤-1 C .a ≤-3或a ≥-1 D .a <-3或a >-1 解析:选A.S ∪T =R , ∴⎩⎪⎨⎪⎧a +8>5,a <-1.∴-3<a <-1. 7.(2010年高考湖南卷)已知集合A ={1,2,3},B ={2,m,4},A ∩B ={2,3},则m =________.解析:∵A ∩B ={2,3},∴3∈B ,∴m =3. 答案:38.满足条件{1,3}∪M ={1,3,5}的集合M 的个数是________. 解析:∵{1,3}∪M ={1,3,5},∴M 中必须含有5, ∴M 可以是{5},{5,1},{5,3},{1,3,5},共4个. 答案:49.若集合A ={x |x ≤2},B ={x |x ≥a },且满足A ∩B ={2},则实数a =________. 解析:当a >2时,A ∩B =∅; 当a <2时,A ∩B ={x |a ≤x ≤2}; 当a =2时,A ∩B ={2}.综上:a =2. 答案:210.已知A ={x |x 2+ax +b =0},B ={x |x 2+cx +15=0},A ∪B ={3,5},A ∩B ={3},求实数a ,b ,c 的值.解:∵A ∩B ={3},∴由9+3c +15=0,解得c =-8.由x 2-8x +15=0,解得B ={3,5},故A ={3}. 又a 2-4b =0,解得a =-6,b =9. 综上知,a =-6,b =9,c =-8.11.已知集合A ={x |x -2>3},B ={x |2x -3>3x -a },求A ∪B . 解:A ={x |x -2>3}={x |x >5}, B ={x |2x -3>3x -a }={x |x <a -3}. 借助数轴如图:①当a -3≤5,即a ≤8时, A ∪B ={x |x <a -3或x >5}. ②当a -3>5,即a >8时,A ∪B ={x |x >5}∪{x |x <a -3}={x |x ∈R }=R .综上可知当a ≤8时,A ∪B ={x |x <a -3或x >5}; 当a >8时,A ∪B =R .12.设集合A ={(x ,y )|2x +y =1,x ,y ∈R },B ={(x ,y )|a 2x +2y =a ,x ,y ∈R },若A ∩B =∅,求a 的值.解:集合A 、B 的元素都是点,A ∩B 的元素是两直线的公共点.A ∩B =∅,则两直线无交点,即方程组无解.列方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x +y =1a 2x +2y =a ,解得(4-a 2)x =2-a , 则⎩⎪⎨⎪⎧4-a 2=02-a ≠0,即a =-2.1.(2010年高考辽宁卷)已知集合U ={1,3,5,7,9},A ={1,5,7},则∁U A =( ) A .{1,3} B .{3,7,9} C .{3,5,9} D .{3,9} 解析:选D.∁U A ={3,9},故选D.2.(2010年高考陕西卷)集合A ={x |-1≤x ≤2},B ={x |x <1},则A ∩(∁R B )=( ) A .{x |x >1} B .{x |x ≥1}C.{x|1<x≤2} D.{x|1≤x≤2}解析:选D.∵B={x|x<1},∴∁R B={x|x≥1},∴A∩∁R B={x|1≤x≤2}.3. 已知全集U=Z,集合A={x|x2=x},B={-1,0,1,2},则图中的阴影部分所表示的集合等于()A.{-1,2} B.{-1,0}C.{0,1} D.{1,2}解析:选A.依题意知A={0,1},(∁U A)∩B表示全集U中不在集合A中,但在集合B中的所有元素,故图中的阴影部分所表示的集合等于{-1,2}.选A.4.已知全集U={x|1≤x≤5},A={x|1≤x<a},若∁U A={x|2≤x≤5},则a=________.解析:∵A∪∁U A=U,∴A={x|1≤x<2}.∴a=2.答案:21.已知全集U={1,2,3,4,5},且A={2,3,4},B={1,2},则A∩(∁U B)等于()A.{2} B.{5}C.{3,4} D.{2,3,4,5}解析:选C.∁U B={3,4,5},∴A∩(∁U B)={3,4}.2.已知全集U={0,1,2},且∁U A={2},则A=()A.{0} B.{1}C.∅D.{0,1}解析:选D.∵∁U A={2},∴2∉A,又U={0,1,2},∴A={0,1}.3.(2009年高考全国卷Ⅰ)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=A∪B,则集合∁U(A∩B)中的元素共有()A.3个B.4个C.5个D.6个解析:选A.U=A∪B={3,4,5,7,8,9},A∩B={4,7,9},∴∁U(A∩B)={3,5,8}.4.已知集合U={2,3,4,5,6,7},M={3,4,5,7},N={2,4,5,6},则()A.M∩N={4,6} B.M∪N=UC.(∁U N)∪M=U D.(∁U M)∩N=N解析:选B.由U={2,3,4,5,6,7},M={3,4,5,7},N={2,4,5,6},得M∩N={4,5},(∁U N)∪M={3,4,5,7},(∁U M)∩N={2,6},M∪N={2,3,4,5,6,7}=U,选B.5.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A},则集合∁U(A∪B)中元素个数为()A.1 B.2C.3 D.4解析:选B.∵A={1,2},∴B={2,4},∴A∪B={1,2,4},∴∁U(A∪B)={3,5}.6.已知全集U=A∪B中有m个元素,(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素.若A∩B非空,则A∩B的元素个数为()A.mn B.m+nC.n-m D.m-n解析:选D.U=A∪B中有m个元素,∵(∁U A)∪(∁U B)=∁U(A∩B)中有n个元素,∴A ∩B 中有m -n 个元素,故选D.7.设集合U ={1,2,3,4,5},A ={2,4},B ={3,4,5},C ={3,4},则(A ∪B )∩(∁U C )=________. 解析:∵A ∪B ={2,3,4,5},∁U C ={1,2,5}, ∴(A ∪B )∩(∁U C )={2,3,4,5}∩{1,2,5}={2,5}. 答案:{2,5}8.已知全集U ={2,3,a 2-a -1},A ={2,3},若∁U A ={1},则实数a 的值是________. 解析:∵U ={2,3,a 2-a -1},A ={2,3},∁U A ={1}, ∴a 2-a -1=1,即a 2-a -2=0, 解得a =-1或a =2. 答案:-1或29.设集合A ={x |x +m ≥0},B ={x |-2<x <4},全集U =R ,且(∁U A )∩B =∅,求实数m 的取值范围为________.解析:由已知A ={x |x ≥-m }, ∴∁U A ={x |x <-m },∵B ={x |-2<x <4},(∁U A )∩B =∅, ∴-m ≤-2,即m ≥2, ∴m 的取值范围是m ≥2. 答案:{m |m ≥2}10.已知全集U =R ,A ={x |-4≤x <2},B ={x |-1<x ≤3},P ={x |x ≤0或x ≥52},求A ∩B ,(∁U B )∪P ,(A ∩B )∩(∁U P ).解:将集合A 、B 、P 表示在数轴上,如图.∵A ={x |-4≤x <2},B ={x |-1<x ≤3}, ∴A ∩B ={x |-1<x <2}. ∵∁U B ={x |x ≤-1或x >3},∴(∁U B )∪P ={x |x ≤0或x ≥52},(A ∩B )∩(∁U P )={x |-1<x <2}∩{x |0<x <52}={x |0<x <2}. 11.已知集合A ={x |x 2+ax +12b =0}和B ={x |x 2-ax +b =0},满足B ∩(∁U A )={2},A ∩(∁U B )={4},U =R ,求实数a ,b 的值.解:∵B ∩(∁U A )={2}, ∴2∈B ,但2∉A .∵A ∩(∁U B )={4},∴4∈A ,但4∉B .∴⎩⎪⎨⎪⎧42+4a +12b =022-2a +b =0,解得⎩⎨⎧a =87b =127.∴a ,b 的值为87,-127.12.已知集合A ={x |2a -2<x <a },B ={x |1<x <2},且A ∁R B ,求实数a 的取值范围.解:∁R B ={x |x ≤1或x ≥2}≠∅, ∵A ∁R B ,∴分A =∅和A ≠∅两种情况讨论. ①若A =∅,此时有2a -2≥a , ∴a ≥2.②若A ≠∅,则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a -2<a a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧2a -2<a 2a -2≥2. ∴a ≤1.综上所述,a ≤1或a ≥2.第二章 基本初等函数1.下列说法中正确的为( )A .y =f (x )与y =f (t )表示同一个函数B .y =f (x )与y =f (x +1)不可能是同一函数C .f (x )=1与f (x )=x 0表示同一函数D .定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数解析:选A.两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关,判断两个函数是否相同,主要看这两个函数的定义域和对应法则是否相同.2.下列函数完全相同的是( ) A .f (x )=|x |,g (x )=(x )2 B .f (x )=|x |,g (x )=x 2C .f (x )=|x |,g (x )=x 2xD .f (x )=x 2-9x -3,g (x )=x +3解析:选B.A 、C 、D 的定义域均不同. 3.函数y =1-x +x 的定义域是( ) A .{x |x ≤1} B .{x |x ≥0} C .{x |x ≥1或x ≤0} D .{x |0≤x ≤1}解析:选D.由⎩⎪⎨⎪⎧1-x ≥0x ≥0,得0≤x ≤1.4.图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x ,y 的对应关系,其中表示y 是x 的函数关系的有________.解析:由函数定义可知,任意作一条直线x =a ,则与函数的图象至多有一个交点,对于本题而言,当-1≤a ≤1时,直线x =a 与函数的图象仅有一个交点,当a >1或a <-1时,直线x =a 与函数的图象没有交点.从而表示y 是x 的函数关系的有(2)(3).答案:(2)(3)1.函数y =1x的定义域是( )A .RB .{0}C .{x |x ∈R ,且x ≠0}D .{x |x ≠1}解析:选C.要使1x 有意义,必有x ≠0,即y =1x的定义域为{x |x ∈R ,且x ≠0}.2.下列式子中不能表示函数y =f (x )的是( ) A .x =y 2+1 B .y =2x 2+1 C .x -2y =6 D .x =y解析:选A.一个x 对应的y 值不唯一. 3.下列说法正确的是( )A .函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B .函数的定义域和值域可以是空集C .函数的定义域和值域一定是数集D .函数的定义域和值域确定后,函数的对应关系也就确定了解析:选C.根据从集合A 到集合B 函数的定义可知,强调A 中元素的任意性和B 中对应元素的唯一性,所以A 中的多个元素可以对应B 中的同一个元素,从而选项A 错误;同样由函数定义可知,A 、B 集合都是非空数集,故选项B 错误;选项C 正确;对于选项D ,可以举例说明,如定义域、值域均为A ={0,1}的函数,对应关系可以是x →x ,x ∈A ,可以是x →x ,x ∈A ,还可以是x →x 2,x ∈A .4.下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是( ) A .A ={-1,0,1},B ={0,1},f :A 中的数平方 B .A ={0,1},B ={-1,0,1},f :A 中的数开方 C .A =Z ,B =Q ,f :A 中的数取倒数D .A =R ,B ={正实数},f :A 中的数取绝对值解析:选A.按照函数定义,选项B 中集合A 中的元素1对应集合B 中的元素±1,不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件;选项C 中的元素0取倒数没有意义,也不符合函数定义中集合A 中任意元素都对应唯一函数值的要求;选项D 中,集合A 中的元素0在集合B 中没有元素与其对应,也不符合函数定义,只有选项A 符合函数定义.5.下列各组函数表示相等函数的是( )A .y =x 2-3x -3与y =x +3(x ≠3)B .y =x 2-1与y =x -1C .y =x 0(x ≠0)与y =1(x ≠0)D .y =2x +1,x ∈Z 与y =2x -1,x ∈Z 解析:选C.A 、B 与D 对应法则都不同.6.设f :x →x 2是集合A 到集合B 的函数,如果B ={1,2},则A ∩B 一定是( ) A .∅ B .∅或{1} C .{1} D .∅或{2} 解析:选B.由f :x →x 2是集合A 到集合B 的函数,如果B ={1,2},则A ={-1,1,-2,2}或A ={-1,1,-2}或A ={-1,1,2}或A ={-1,2,-2}或A ={1,-2,2}或A ={-1,-2}或A ={-1,2}或A ={1,2}或A ={1,-2}.所以A ∩B =∅或{1}.7.若[a,3a -1]为一确定区间,则a 的取值范围是________.解析:由题意3a -1>a ,则a >12.答案:(12,+∞)8.函数y =(x +1)03-2x的定义域是________.解析:要使函数有意义,需满足⎩⎪⎨⎪⎧x +1≠03-2x >0,即x <32且x ≠-1.答案:(-∞,-1)∪(-1,32)9.函数y =x 2-2的定义域是{-1,0,1,2},则其值域是________. 解析:当x 取-1,0,1,2时, y =-1,-2,-1,2,故函数值域为{-1,-2,2}. 答案:{-1,-2,2}10.求下列函数的定义域: (1)y =-x 2x 2-3x -2;(2)y =34x +83x -2.解:(1)要使y =-x 2x 2-3x -2有意义,则必须⎩⎪⎨⎪⎧-x ≥0,2x 2-3x -2≠0,解得x ≤0且x ≠-12,故所求函数的定义域为{x |x ≤0,且x ≠-12}.(2)要使y =34x +83x -2有意义,则必须3x -2>0,即x >23, 故所求函数的定义域为{x |x >23}. 11.已知f (x )=11+x(x ∈R 且x ≠-1),g (x )=x 2+2(x ∈R ). (1)求f (2),g (2)的值; (2)求f (g (2))的值.解:(1)∵f (x )=11+x ,∴f (2)=11+2=13,又∵g (x )=x 2+2, ∴g (2)=22+2=6. (2)由(1)知g (2)=6,∴f (g (2))=f (6)=11+6=17.12.已知函数y =ax +1(a <0且a 为常数)在区间(-∞,1]上有意义,求实数a 的取值范围.解:函数y =ax +1(a <0且a 为常数).∵ax +1≥0,a <0,∴x ≤-1a ,即函数的定义域为(-∞,-1a].∵函数在区间(-∞,1]上有意义,∴(-∞,1]⊆(-∞,-1a],∴-1a≥1,而a <0,∴-1≤a <0.即a 的取值范围是[-1,0).1.下列各图中,不能是函数f (x )图象的是()解析:选C.结合函数的定义知,对A 、B 、D ,定义域中每一个x 都有唯一函数值与之对应;而对C ,对大于0的x 而言,有两个不同值与之对应,不符合函数定义,故选C.2.若f (1x )=11+x,则f (x )等于( )A.11+x(x ≠-1) B.1+x x (x ≠0)C.x 1+x(x ≠0且x ≠-1) D .1+x (x ≠-1) 解析:选C.f (1x )=11+x =1x 1+1x(x ≠0),∴f (t )=t1+t (t ≠0且t ≠-1),∴f (x )=x1+x(x ≠0且x ≠-1).3.已知f (x )是一次函数,2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1,则f (x )=( ) A .3x +2 B .3x -2 C .2x +3 D .2x -3解析:选B.设f (x )=kx +b (k ≠0), ∵2f (2)-3f (1)=5,2f (0)-f (-1)=1,∴⎩⎪⎨⎪⎧ k -b =5k +b =1,∴⎩⎪⎨⎪⎧k =3b =-2,∴f (x )=3x -2. 4.已知f (2x )=x 2-x -1,则f (x )=________.解析:令2x =t ,则x =t2,∴f (t )=⎝⎛⎭⎫t 22-t 2-1,即f (x )=x 24-x 2-1.答案:x 24-x 2-11.下列表格中的x 与y 能构成函数的是( ) A.B.C.D.解析:选C.A 中,当x =0时,y =±1;B 中0是偶数,当x =0时,y =0或y =-1;D 中自然数、整数、有理数之间存在包含关系,如x =1∈N(Z ,Q),故y 的值不唯一,故A 、B 、D 均不正确.2.若f (1-2x )=1-x 2x 2(x ≠0),那么f (12)等于( )A .1B .3C .15D .30解析:选C.法一:令1-2x =t ,则x =1-t2(t ≠1),∴f (t )=4(t -1)2-1,∴f (12)=16-1=15. 法二:令1-2x =12,得x =14,∴f (12)=16-1=15.3.设函数f (x )=2x +3,g (x +2)=f (x ),则g (x )的表达式是( ) A .2x +1 B .2x -1 C .2x -3 D .2x +7解析:选B.∵g (x +2)=2x +3=2(x +2)-1, ∴g (x )=2x -1.4.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程,在下图中纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图中较符合此学生走法的是( )解析:选D.由于纵轴表示离学校的距离,所以距离应该越来越小,排除A 、C ,又一开始跑步,速度快,所以D 符合.5.如果二次函数的二次项系数为1且图象开口向上且关于直线x =1对称,且过点(0,0),则此二次函数的解析式为( )A .f (x )=x 2-1B .f (x )=-(x -1)2+1C .f (x )=(x -1)2+1D .f (x )=(x -1)2-1 解析:选D.设f (x )=(x -1)2+c , 由于点(0,0)在函数图象上, ∴f (0)=(0-1)2+c =0,∴c =-1,∴f (x )=(x -1)2-1.6.已知正方形的周长为x ,它的外接圆的半径为y ,则y 关于x 的函数解析式为( )A .y =12x (x >0)B .y =24x (x >0)C .y =28x (x >0)D .y =216x (x >0)解析:选C.设正方形的边长为a ,则4a =x ,a =x4,其外接圆的直径刚好为正方形的一条对角线长.故2a =2y ,所以y =22a =22×x 4=28x .7.已知f (x )=2x +3,且f (m )=6,则m 等于________.解析:2m +3=6,m =32.答案:328. 如图,函数f (x )的图象是曲线OAB ,其中点O ,A ,B 的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),则f [1f (3)]的值等于________.解析:由题意,f (3)=1,∴f [1f (3)]=f (1)=2.答案:2 9.将函数y =f (x )的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位得函数y =x 2的图象,则函数f (x )的解析式为__________________.解析:将函数y =x 2的图象向下平移2个单位,得函数y =x 2-2的图象,再将函数y =x 2-2的图象向右平移1个单位,得函数y =(x -1)2-2的图象,即函数y =f (x )的图象,故f (x )=x 2-2x -1.答案:f (x )=x 2-2x -110.已知f (0)=1,f (a -b )=f (a )-b (2a -b +1),求f (x ). 解:令a =0,则f (-b )=f (0)-b (-b +1) =1+b (b -1)=b 2-b +1.再令-b =x ,即得f (x )=x 2+x +1.11.已知f (x +1x )=x 2+1x 2+1x,求f (x ).解:∵x +1x =1+1x ,x 2+1x 2=1+1x 2,且x +1x ≠1,∴f (x +1x )=f (1+1x )=1+1x 2+1x=(1+1x )2-(1+1x )+1.∴f (x )=x 2-x +1(x ≠1).12.设二次函数f (x )满足f (2+x )=f (2-x ),对于x ∈R 恒成立,且f (x )=0的两个实根的平方和为10,f (x )的图象过点(0,3),求f (x )的解析式.解:∵f (2+x )=f (2-x ),∴f (x )的图象关于直线x =2对称. 于是,设f (x )=a (x -2)2+k (a ≠0), 则由f (0)=3,可得k =3-4a ,∴f (x )=a (x -2)2+3-4a =ax 2-4ax +3.∵ax 2-4ax +3=0的两实根的平方和为10,∴10=x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=16-6a, ∴a =1.∴f (x )=x 2-4x +3.1.已知集合A ={a ,b },集合B ={0,1},下列对应不是A 到B 的映射的是( )解析:选C.A 、B 、D 均满足映射的定义,C 不满足A 中任一元素在B 中都有唯一元素与之对应,且A 中元素b 在B 中无元素与之对应.2.(2011年葫芦岛高一检测)设f (x )= ⎩⎪⎨⎪⎧x +3 (x >10)f (f (x +5)) (x ≤10),则f (5)的值是( ) A .24 B .21 C .18 D .16 解析:选A.f (5)=f (f (10)), f (10)=f (f (15))=f (18)=21, f (5)=f (21)=24.3.函数y =x +|x |x的图象为( )解析:选C.y =x +|x |x =⎩⎪⎨⎪⎧x +1 (x >0)x -1 (x <0),再作函数图象.4.函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x +1,x <11x, x >1的值域是________.解析:当x <1时,x 2-x +1=(x -12)2+34≥34;当x >1时,0<1x<1,则所求值域为(0,+∞),故填(0,+∞).答案:(0,+∞)1.设f :A →B 是集合A 到B 的映射,其中A ={x |x >0},B =R ,且f :x →x 2-2x -1,则A 中元素1+2的像和B 中元素-1的原像分别为( )A.2,0或2 B .0,2 C .0,0或2 D .0,0或 2 答案:C2.某城市出租车起步价为10元,最长可租乘3 km(含3 km),以后每1 km 为1.6元(不足1 km ,按1 km 计费),若出租车行驶在不需等待的公路上,则出租车的费用y (元)与行驶的里程x (km)之间的函数图象大致为( )解析:选C.由题意,当0<x ≤3时,y =10; 当3<x ≤4时,y =11.6; 当4<x ≤5时,y =13.2; …当n -1<x ≤n 时,y =10+(n -3)×1.6,故选C.3.函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -x 2(0≤x ≤3)x 2+6x (-2≤x ≤0)的值域是( )A .RB .[-9,+∞)C .[-8,1]D .[-9,1]解析:选C.画出图象,也可以分段求出部分值域,再合并,即求并集.4.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +2(x ≤-1),x 2(-1<x <2)2x (x ≥2),若f (x )=3,则x 的值是( ) A .1B .1或32C .1,32或±3 D. 3解析:选D.该分段函数的三段各自的值域为(-∞,1],[0,4),[4,+∞),而3∈[0,4), ∴f (x )=x 2=3,x =±3,而-1<x <2,∴x = 3.5.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1, x 为有理数,0, x 为无理数,g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧0, x 为有理数,1, x 为无理数,当x ∈R 时,f (g (x )),g (f (x ))的值分别为( )A .0,1B .0,0C .1,1D .1,0解析:选D.g (x )∈Q ,f (x )∈Q ,f (g (x ))=1,g (f (x ))=0.6.设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(x +1)2 (x ≤-1),2(x +1) (-1<x <1),1x -1 (x ≥1),已知f (a )>1,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,-2)∪⎝⎛⎭⎫-12,+∞ B.⎝⎛⎭⎫-12,12C .(-∞,-2)∪⎝⎛⎭⎫-12,1 D.⎝⎛⎭⎫-12,12∪(1,+∞) 解析:选C.f (a )>1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤-1(a +1)2>1或⎩⎪⎨⎪⎧-1<a <12(a +1)>1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥11a-1>1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤-1a <-2或a >0或⎩⎪⎨⎪⎧-1<a <1a >-12或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥10<a <12⇔a <-2或-12<a <1.即所求a 的取值范围是(-∞,-2)∪⎝⎛⎭⎫-12,1. 7.设A =B ={a ,b ,c ,d ,…,x ,y ,z }(元素为26个英文字母),作映射f :A →B 为A 中每一个字母与B 中下一个字母对应,即:a →b ,b →c ,c →d ,…,z →a ,并称A 中的字母组成的文字为明文,B 中相应的字母为密文,试破译密文“nbuj ”:________.解析:由题意可知m →n ,a →b ,t →u ,i →j , 所以密文“nbuj ”破译后为“mati ”. 答案:mati8.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2, x ≤0,f (x -2), x >0,则f (4)=________.解析:f (4)=f (2)=f (0)=0. 答案:09.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x ≥0,-1,x <0,则不等式x +(x +2)·f (x +2)≤5的解集是________.解析:原不等式可化为下面两个不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧ x +2≥0x +(x +2)·1≤5或⎩⎪⎨⎪⎧x +2<0x +(x +2)·(-1)≤5, 解得-2≤x ≤32或x <-2,即x ≤32.答案:(-∞,32]10.已知f (x )=⎩⎨⎧x 2(-1≤x ≤1)1 (x >1或x <-1),(1)画出f (x )的图象;(2)求f (x )的定义域和值域.解:(1)利用描点法,作出f (x )的图象,如图所示. (2)由条件知,函数f (x )的定义域为R.由图象知,当-1≤x ≤1时, f (x )=x 2的值域为[0,1], 当x >1或x <-1时,f (x )=1,所以f (x )的值域为[0,1].11.某汽车以52千米/小时的速度从A 地到260千米远的B 地,在B 地停留112小时后,再以65千米/小时的速度返回A 地.试将汽车离开A 地后行驶的路程s (千米)表示为时间t (小时)的函数.解:∵260÷52=5(小时),260÷65=4(小时),∴s =⎩⎪⎨⎪⎧52t (0≤t ≤5),260 ⎝⎛⎭⎫5<t ≤612,260+65⎝⎛⎭⎫t -612 ⎝⎛⎭⎫612<t ≤1012.12. 如图所示,已知底角为45°的等腰梯形ABCD ,底边BC 长为7 cm ,腰长为2 2 cm ,当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时,直线l 把梯形分成两部分,令BF =x ,试写出左边部分的面积y 与x 的函数解析式,并画出大致图象.解:过点A ,D 分别作AG ⊥BC ,DH ⊥BC ,垂足分别是G ,H . 因为ABCD 是等腰梯形, 底角为45°,AB =2 2 cm , 所以BG =AG =DH =HC =2 cm. 又BC =7 cm ,所以AD =GH =3 cm. ①当点F 在BG 上时,即x ∈[0,2]时,y =12x 2;②当点F 在GH 上时,即x ∈(2,5]时,y =x +(x -2)2×2=2x -2;③当点F 在HC 上时,即x ∈(5,7]时, y =S 五边形ABFED =S 梯形ABCD -S Rt △CEF =12(7+3)×2-12(7-x )2 =-12(x -7)2+10.综合①②③,得函数解析式为y =⎩⎪⎨⎪⎧12x 2(x ∈[0,2])2x -2 x ∈(2,5].-12(x-7)2+10 x ∈(5,7]函数图象如图所示.1.函数f (x )=2x 2-mx +3,当x ∈[-2,+∞)时,f (x )为增函数,当x ∈(-∞,-2]时,函数f (x )为减函数,则m 等于( )。
集合与函数基础测试一、选择题(共12小题,每题5分,四个选项中只有一个符合要求)1.函数y ==x 2-6x +10在区间(2,4)上是( )A .递减函数B .递增函数C .先递减再递增D .选递增再递减.2.方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是 ( )A .)}1,1{(B .}1,1{C .(1,1)D .}1{3.已知集合A ={a ,b ,c },下列可以作为集合A 的子集的是 ( )A. aB. {a ,c }C. {a ,e }D.{a ,b ,c ,d }4.下列图形中,表示N M ⊆的是 ( )5.下列表述正确的是 ( )A.}0{=∅B. }0{⊆∅C. }0{⊇∅D. }0{∈∅6、设集合A ={x|x 参加自由泳的运动员},B ={x|x 参加蛙泳的运动员},对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( )A.A∩BB.A ⊇BC.A ∪BD.A ⊆B7.集合A={x Z k k x ∈=,2} ,B={Z k k x x ∈+=,12} ,C={Z k k x x ∈+=,14}又,,B b A a ∈∈则有( )A.(a+b )∈ AB. (a+b) ∈BC.(a+b) ∈ CD. (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个8.函数f (x )=-x 2+2(a -1)x +2在(-∞,4)上是增函数,则a 的范围是( )A .a ≥5B .a ≥3C .a ≤3D .a ≤-59.满足条件{1,2,3}⊂≠M ⊂≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是( ) A. 8 B. 7 C. 6 D. 510.全集U = {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 }, A= {3 ,4 ,5 }, B= {1 ,3 ,6 },那么集合 { 2 ,7 ,8}是 ( )A. A B YB. B A IC. B C A C U U ID. B C A C U U Y11.下列函数中为偶函数的是( )A .x y =B .x y =C .2x y =D .13+=x y12. 如果集合A={x |ax 2+2x +1=0}中只有一个元素,则a 的值是 ( )A .0B .0 或1C .1D .不能确定二、填空题(共4小题,每题4分,把答案填在题中横线上)13.函数f (x )=2×2-3|x |的单调减区间是___________.14.函数y =11+x 的单调区间为___________. 15.含有三个实数的集合既可表示成}1,,{ab a ,又可表示成}0,,{2b a a +,则=+20042003b a M N A M N B N M C M N D=N ,=⋂)(N C M U ,=⋃N M .三、解答题(共4小题,共44分)17. 已知集合}04{2=-=x x A ,集合}02{=-=ax x B ,若A B ⊆,求实数a 的取值集合.18. 设f (x )是定义在R 上的增函数,f (xy )=f (x )+f (y ),f (3)=1,求解不等式f (x )+f (x -2)>1.19. 已知函数f (x )是奇函数,且当x >0时,f (x )=x 3+2x 2—1,求f (x )在R 上的表达式.20. 已知二次函数222)1(2)(m m x m x x f -+-+-=的图象关于y 轴对称,写出函数的解析表达式,并求出函数)(x f 的单调递增区间.必修1 第一章 集合测试集合测试参考答案:一、1~5 CABCB 6~10 ABACC 11~12 cB二、13 [0,43],(-∞,-43) 14 (-∞,-1),(-1,+∞) 15 -1 16 03|{≤≤-=x x N 或}32≤≤x ;}10|{)(<<=⋂x x N C M U ;13|{<≤-=⋃x x N M 或}32≤≤x .三、17 .{0.-1,1}; 18. 解:由条件可得f (x )+f (x -2)=f [x (x -2)],1=f (3). 所以f [x (x -2)]>f (3),又f (x )是定义在R 上的增函数,所以有x (x -2)>3,可解得x >3或x <-1.答案:x >3或x <-1.19. .解析:本题主要是培养学生理解概念的能力.f (x )=x 3+2x 2-1.因f (x )为奇函数,∴f (0)=-1.当x <0时,-x >0,f (-x )=(-x )3+2(-x )2-1=-x 3+2x 2-1,∴f (x )=x 3-2x 2+1.20. Θ二次函数222)1(2)(m m x m x x f -+-+-=的图象关于y 轴对称,∴1=m ,则1)(2+-=x x f ,函数)(x f 的单调递增区间为(]0,∞-..。
人教版高一数学必修1测试题(含答案)人教版数学必修I测试题(含答案)一、选择题1、设集合U 1,2,3,4,5 ,A 1,2,3 ,B 2,5 ,则A CUB ()A、2B、2,3C、3D、1,32、已知集合M 0,1,2 ,N xx 2a,a M ,则集合M N (A、0 B、0,1C、1,23、函数y 1 log2x, x 4 的值域是()A、2,B、3,C、3, ,4、关于A到B的一一映射,下列叙述正确的是()① 一一映射又叫一一对应② A中不同元素的像不同③ B中每个元素都有原像④ 像的集合就是集合BA、①②B、①②③C、②③④ ①②③④ 5、在y1x2,y 2x,y x2x,y (A、1个B、2个C、3个4个)D、0,2D、D、)D、6、已知函数f x 1 x2 x 3,那么f x 1 的表达式是()A、x2 5x 9B、x2 x 3C、x2 5x 9D、x2 x 17、若方程ax x a 0有两个解,则a的取值范围是()A、0,B、1,C、0,1D、8、若102x 25,则10 x等于()A、1B1 C1 D、55501 6259、若loga a2 1 loga2a 0,则a的取值范围是()11A、0 a 1 B a 1 C、a 1 0 a D、2210、设a 40.9,b 80.481,c21.5,则a,b,c的大小顺序为()A、a b cB、a c bC、b a cD、c a b11、已知f x x2 2 a 1 x 2在,4 上单调递减,则a的取值范围是()A、a 3B、a 3C、a 3D、以上答案都不对12、若f lgx x,则f 3 ()A、lg3B、3 C、103D、310二、填空题13、设A x x 2 ,B xx a 0 ,若AB,则a的取值范围是;14、函数y 的定义域为;15、若x2,则x4的3x 值是;16lg20 log*****、。
三、解答题17、(本小题满分10分)设A 4,2a 1,a2 ,B a 5,1 a,9 ,已知A B 9 ,求a的值。
高一数学必修一第一章练习题及答案基础训练1.选择题1.下列各项中,不可以组成集合的是()A。
所有的正数 B。
等于2的数 C。
接近于2的数 D。
不等于2的偶数2.下列四个集合中,是空集的是()A。
{x|x+3=3} B。
{(x,y)|y=-x,x,y∈R} C。
{x|x≤0} D。
{x|x-x+1=0,x∈R}3.下列表示图形中的阴影部分的是()A。
(AC)(BC) B。
(AB22BB)(AC) C。
(AB)(BC) D。
(AB)CC4.下面有四个命题:1)集合N中最小的数是1;2)若-a不属于N,则a属于N;3)若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;4)x+1=2x的解可表示为{x|2x-1,x∈R};其中正确命题的个数为()A。
0个 B。
1个 C。
2个 D。
3个5.若集合M={a,b,c}中的元素是△ABC的三边长,则△ABC一定不是()A。
锐角三角形 B。
直角三角形 C。
钝角三角形 D。
等腰三角形6.若全集U={0,1,2,3}且CUA={2},则集合A的真子集共有()A。
3个 B。
5个 C。
7个 D。
8个二、填空题1.用符号“∈”或“∉”填空1)∈N。
2)-5∉N,16∈N3) 2-3+2+3∈x|x=a+6b,a∈Q,b∈Q2.若集合A={x|x≤6,x∈N},B={x|x是非质数},C=A-B,则C的非空子集的个数为。
答案:633.若集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},则AB=_____________。
答案:{x|3≤x<7}4.设集合A={x-3≤x≤2},B={x2k-1≤x≤2k+1},且A⊆B,则实数k的取值范围是。
答案:k≥25.已知A={y|-x2+2x-1=y},B={y|2x+1=y},则AB=_________。
答案:{x|0≤x≤1}三、解答题1.已知集合A={x∈N|6-x∈N},试用列举法表示集合A。
答案:A={1,5}2.已知A={x-2≤x≤5},B={xm+1≤x≤2m-1},B⊆A,求m 的取值范围。
高一数学必修一第一章测试题(含答案)满分150分,考试时间120分钟第I 卷一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集,集合{1,2,3}A =,{2,4}B =,则()U C A B ⋃为 ( )A .{1,2,4}B .{2,3,4}C .{0,2,4}D .{0,2,3,4}2. 集合},{b a 的子集有 ( ) A .2个B .3个C .4个D .5个3. 设集合{}|43A x x =-<<,{}|2B x x =≤,则A ∩B=( ) A .(4,3)- B .(4,2]-C .(,2]-∞D .(,3)-∞4. 已知函数xx f -=21)(的定义域为M ,2)(+=x x g 的定义域为N ,则=⋂N M () A.{}2-≥x xB.{}2<x xC.{}22<<-x xD. {}22<≤-x x 5. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 ( )A .1y x =+B .2y x =-C .1y x=D .||y x x =6. 若函数1)12(2+-+=x a x y 在(]2-,∞上是减函数,则实数a 的取值范围是 ( )A. ),23[+∞-B. ]23,(--∞C. ),23[+∞ D .]23,(-∞7. 设函数211()21x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,则((3))f f =( )A .15B .3C .23D .1398.下列各组函数中,与x x f =)(是同一个函数的是( )A .=)(x g x2x B .2)()(x x g = C .2)(x x g =D .33)(x x g =9.设)(x f 是定义在R 上的任意一个增函数,)()()(x f x f x G --=,则)(x G 必定为( )A .增函数且为奇函数B .增函数且为偶函数C .减函数且为奇函数D .减函数且为偶函数10.设)(x f 是定义在R 上的奇函数,当0≤x 时,x x x f -=22)(,则=)1(f ( ) A .-3B .-1C .1D .311.定义)}(),(min{x g x f 为)(x f 与)(x g 中值的较小者,则函数},2m in{)(2x x x f -=的最大值是 ( )A .2-B .1C .1-D .212.若函数()f x 为定义在R 上的偶函数,且在(0,)+∞内是增函数,又(2)f 0=,则不等式0)(<x xf 的解集为 ( )A. (2,0)(2,)-+∞B .(,2)(0,2)-∞-C .(,2)(2,)-∞-+∞D .)2,0()0,2( -第II 卷二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,将正确答案填在题中横线上)13.已知函数212x y x ⎧+=⎨-⎩(0)(0)x x ≤>,使函数值为5的x 的值是14. 已知()5412-+=-x x x f ,则()x f 的表达式是15. 已知A ,B 均为集合U ={1,3,5,7,9}的子集,且A ∩B ={3},(∁U B )∩A ={9},则A =________16. 若函数5)12(+-=x a y 是减函数,则a 的取值范围是三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数q px x x f ++=2)(且满足0)2()1(==-f f ,求函数)(x f 的解析式.18. (本小题满分12分)已知全集U =R ,集合M ={x |x ≤3},N ={x |x <1},求M ∪N ,(∁U M )∩N ,(∁U M )∪(∁U N ).19. (本小题满分12分)函数)(x f 是R 上的偶函数,且当0>x 时,函数解析式为12)(-=xx f (1) 求)1(-f 的值;(2) 求当0<x 时,函数的解析式.20.(本小题满分12分)已知全集U =R ,集合A ={y |y =3-x 2,x ∈R ,且x ≠0},集合B 是函数xx y -+-=522的定义域,集合C ={x |5-a <x <a }. (1)求集合A ∪(∁U B )(结果用区间表示); (2)若C ⊆(A ∩B ),求实数a 的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2x+1 x+1(1)判断函数在区间[)∞+,1上的单调性,并用定义证明你的结论;(2)求该函数在区间[]4,1上的最大值与最小值.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=1+x-|x| 4.(1)用分段函数的形式表示函数f(x);(2)在平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象;(3)在同一平面直角坐标系中,再画出函数g(x)=1x(x>0)的图象(不用列表),观察图象直接写出当x>0时,不等式f(x)>1x的解集.答案一、选择题 CCBDD BDDAA BD二、填空题13.已知函数212x y x⎧+=⎨-⎩ (0)(0)x x ≤>,使函数值为5的x 的值是 -214. 已知()5412-+=-x x x f ,则()x f 的表达式是 x x 62+ 15. 已知A ,B 均为集合U ={1,3,5,7,9}的子集,且A ∩B ={3},(∁U B )∩A ={9},则A =________..{3,9}16. 若函数5)12(+-=x a y 是减函数,则a 的取值范围是 .⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知函数q px x x f ++=2)(且满足0)2()1(==-f f ,求函数)(x f 的解析式. 解:因0)2()1(==-f f所以024,01=++=+-q p q p 得2.1-=-=q p所以2)(2--=x x x f 20. (本小题满分12分)已知全集U =R ,集合M ={x |x ≤3},N ={x |x <1},求M ∪N , (∁U M )∩N ,(∁U M )∪(∁U N ).解:由题意得M ∪N ={x |x ≤3}, ∁U M ={x |x >3},∁U N ={x |x ≥1}, 则(∁U M )∩N ={x |x >3}∩{x |x <1}=Ø,(∁U M )∪(∁U N )={x |x >3}∪{x |x ≥1}={x |x ≥1}21. (本小题满分12分)函数)(x f 是R 上的偶函数,且当0>x 时,函数解析式为12)(-=xx f (1) 求)1(-f 的值;(2) 求当0<x 时,函数的解析式. 解:(1)1)1()1(==-f f(2)设0,0>-<x x 则,因)(x f 是R 上的偶函数,12)()(--=-=xx f x f20.(本小题满分12分)已知全集U =R ,集合A ={y |y =3-x 2,x ∈R ,且x ≠0},集合B 是函数y =x -2+25-x的定义域,集合C ={x |5-a <x <a }. (1)求集合A ∪(∁U B )(结果用区间表示); (2)若C ⊆(A ∩B ),求实数a 的取值范围.解:(1)由已知得A ={x |x <3},B ={x |2≤x <5}, ∴∁U B ={x |x <2,或x ≥5},∴A ∪(∁U B )={x |x <3,或x ≥5}=(-∞,3)∪5,+∞). (2)由(1)知A ∩B ={x |2≤x <3},当C =∅时,满足C ⊆(A ∩B ),此时5-a ≥a ,解得a ≤52; 当C ≠∅时,要满足C ⊆(A ∩B ), 则⎩⎪⎨⎪⎧5-a <a ,5-a ≥2,a ≤3,解得52<a ≤3.综上可得a ≤3.21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=2x +1x +1,(1)判断函数在区间[)∞+,1上的单调性,并用定义证明你的结论; (2)求该函数在区间[]4,1上的最大值与最小值.解:(1)函数f (x )在[)∞+,1上是增函数. 任取x 1,x 2∈[)∞+,1,且x 1<x 2,f (x 1)-f (x 2)=2x 1+1x 1+1-2x 2+1x 2+1=x 1-x 2(x 1+1)(x 2+1),∵x 1-x 2<0,(x 1+1)(x 2+1)>0, 所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2),所以函数f (x )在[)∞+,1上是增函数. (2)由(1)知函数f (x )在[]4,1上是增函数,最大值f (4)=95,最小值f (1)=32.22.(本小题满分12分)已知函数f (x )=1+x -|x |4. (1)用分段函数的形式表示函数f (x );(2)在平面直角坐标系中画出函数f (x )的图象;(3)在同一平面直角坐标系中,再画出函数g (x )=1x (x >0)的图象(不用列表),观察图象直接写出当x >0时,不等式f (x )>1x 的解集.解:(1)当x ≥0时,f (x )=1+x -x4=1;当x <0时,f (x )=1+x +x 4=12x +1.所以f (x )=⎩⎨⎧1,x ≥0,12x +1,x <0.(2)函数f (x )的图象如图所示.(3)函数g (x )=1x (x >0)的图象如图所示,由图象知f (x )>1x 的解集是{x |x >1}.。
高一数学必修一训练习题(一)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 1、下列集合中表示同一集合的是( )
A 、)}2,3{(=M }2,3{=N
B 、 }1|),{(=+=y x y x M }1|{=+=y x y N
C 、)}5,4{(=M )}4,5{(=N
D 、}1,2{=M }2,1{=N
2、已知幂函数)(x f 过点,则)4(f 的值为 ( ) A 、
2
1
B 、 1
C 、2
D 、8 3、sin 585°的值为 ( )
A. 2-
B.2
C.2-
D. 2
4、与-463°终边相同的角可表示为 ( ) A .k·360°+436°(k ∈Z ) B .k·360°+103°(k ∈Z ) C .k·360°+257°(k ∈Z )
D .k·360°-257°(k ∈Z )
5、已知函数⎩⎨⎧<≥=)
0()
0()(2x x x x x f ,则))2((-f f 的值是( )
A 、2
B 、2-
C 、4
D 、4-
6.已知2log 3.6a =,4log 3.2b =,4log 3.6c =,则 ( ).
A .a b c >>
B .a c b >>
C .b a c >>
D .c a b >>
7、下列函数中,既是奇函数,又在定义域内为减函数的是( )
A 、x
y )2
1(= B 、2x y -= C 、3
x y -= D 、)(log 3x y -=
8.函数1
()12
x y =+的图象关于直线y =x 对称的图象像大致是
9.设函数()(),x
x
f x x e ae x R -=+∈是奇函数,则实数a = ( ) A .4 B .3 C .2 D .1
10.已知函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1
,341
,442
x x x x x x f ,()x x g 2log =,则()()()F x f x g x =-的零点个数是( )
A .4
B .3
C .2 D..1
二、填空题(每小题5分,共20分)
11.函数2()5f x x ax =++在[2,+∞)单调递增,则a 的范围是 .
12.函数]3,1[,1
)( ∈-
=x x x x f 的值域是 13.若12
1
()log (21)
f x x =+,则()f x 的定义域为
三、解答题:本大题共6小题,共80分。
解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15、(本题满分12分)已知全集为U=R ,A={22|<<-x x } ,B={4,1|≥-<x x x 或}
求:(1)B A ⋂ (2)B A ⋃ (3))()(B C A C U U ⋂
16.(1)计算:21
4303
1
25.016)8
1
(064
.0++---;
(2)已知53,2log 3==b a ,用,a b 表示30log 3.(本题满分12分)
19.(本题满分14分)已知定义域为R 的函数12()22
x x b f x +-+=+是奇函数.
(1)求b 的值;
(2)判断函数()f x 的单调性,并利用定义证明.
20.(本题满分14分)二次函数2()(,,0)f x ax bx c a b R a =++∈≠满足条件:
①当R x ∈时,)(x f 的图象关于直线1-=x 对称; ② 1)1(=f ;
③)(x f 在R 上的最小值为0; (1)求函数)(x f 的解析式;
(2)求最大的)1(>m m ,使得存在R t ∈,只要],1[m x ∈,就有x t x f ≤+)(.
参考答案
一、
选择题
1.D
2.A
3.A
4.C
5.C
6.B
7.C
8.C
9.D 10.B 二、填空题
11. {}|4a a ≥- 12. 80,3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
13.
1|02x x x ⎧⎫-≠⎨⎬⎩
⎭
且 15、解:(1){}22|<<-=x x A }4,1|{≥-<=x x x B 或 {}12|-<<-=⋂∴x x B A ………………4分 (2){}22|<<-=x x A }4,1|{≥-<=x x x B 或 ∴ {}4,2|≥<=⋃x x x B A 或 ………………8分 (3){}22|≤≤-=x x A C U {}41|<≤-=x x B C U
∴{}21|)()(≤≤-=⋂x x B C A C U U ………………12分
16.解:(1)原式=(0.41
313
423
42
)1(2)(0.5)-
-++ ……………2分
=0.4
1
-1
182
-++
…………3分
51722=
++
=10. ……………………6分
(2)∵53=b
∴5log 3=b …………………8分 ∴
)1(2
1
)5log 12(log 21)532(log 2130log 3333b a ++=++=⨯⨯=
.…….
20、解:(1)∵)(x f 的对称轴为1-=x ,
∴2b
a
-
= –1即a b 2=………………1分 又1)1(=f ,即1=++c b a …………………………2分
由条件③知:0>a ,且0442
=-a
b a
c ,即ac b 42=……………………3分
由上可求得111
,,424
a b c ===……………………4分
∴2111
()424
f x x x =
++…………………………5分. (2)由(1)知:2)1(4
1
)(+=
x x f ,图象开口向上. 而)(t x f y +=的图象是由)(x f y =平移t 个单位得到,要],1[m x ∈时,
x t x f ≤+)(即)(t x f y +=的图象在x y =的图象的下方,且m 最大.……7分
∴1,m 应该是)(t x f y +=与x y =的交点横坐标,……………………8分 即1,m 是x t x =++2)1(4
1
的两根,…………………………9分 由1是
x t x =++2)1(4
1
的一个根,得4)2(2=+t ,解得0=t ,或4-=t …11分 把0=t 代入原方程得121==x x (这与1>m 矛盾)………………12分
把4-=t 代入原方程得09102
=+-x x ,解得9,121==x x ∴9=m ……13分
综上知:m 的最大值为9.……………………14分。