特征函数随机过程

+∞
上式两边对 u 求 n 阶导数后令 u = 0 得
d C X (0) = j n mn du n
9
n
或
d nC X (0) mn = (− j ) n du n
9
7
P( X = 0) = 1 / 2 P( X = 2) = P( X = −2) = 1 / 4
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例4、若随机变量X的特征函数为：
1 C X ( ju ) = (1 + 2e ju + e 2 ju ) 2 16
求 P{1 < X < 4} 及 P{ X > 2}
1 解、 ( ju ) = CX (1 + 4 e ju + 6 e j 2 u + 4 e 3 ju + e 4 ju ) 16
P (1 < X < 4 ) = 10 / 16 = 5 / 8
P ( X > 2 ) = 5 / 16
8
8
2、特征函数与矩的关系
( jux ) n C X ( ju ) = E{e juX } = ∫ f X ( x )(1 + jux + L + + L) dx −∞ n! ( ju ) n mn = 1 + jum1 + L + +L n!
k
2
2
性质： 1： C X (0) = 1 2： C X ( ju ) =
∫
∞
−∞
f X ( x)e dx ≤ ∫
jux
∞
−∞
f X ( x)dx = 1
1 f X ( x) = 3： 2π
∫
+∞
−∞
C X ( ju ) e − jω x d ω
3
3
性质： 5：若
Y = CX （C is constant）则：CY ( ju ) = Φ X ( jCu )
P{ X = 1} = p, P{ X = 0} = q
求特征函数。 解、 由特征函数的定义
CX ( ju) = E{e juX } = e ju⋅0 P{X = 0} + e ju⋅1P{X = 1} = q + pe ju
5
5
例2、设X为均匀分布随机变量，其概率分布
为：
1 f ( x ) = 2a 0
C X ( ju ) = cos 2 u
求随机变量的分布。 解、（1）由题可得
1 ju Φ X ( ju ) = ( e + e − ju ) 2
由特征函数的定义可知
P( X = 1) = 1 / 2 P( X = −1) = 1 / 2
1 ju 1 2 ju − ju 2 （2） X ( ju ) = Φ ( e + e ) = ( e + e −2 ju + 2) 4 4
求特征函数。
x ∈ [ − a, a ] other
解、 由特征函数的定义
1 CX ( ju) = ∫ e f X (x)dx = ∫ e dx = sin au / au −∞ −a 2a
jux a jux
∞
6
6
例3、若随机变量相应的特征函数分别为： (1) (2)
C X ( ju ) = cos ju
随机变量的特征函数
1
1
1、特征函数(Characteristic function)定义 随机变量X的特征函数定义为：
∞
C X ( ju ) = E (e
juX
)=∫
−∞
f X ( x)e jux dx
若X为离散型随机变量，则有：
C X ( ju ) = E (e juX ) = ∑ e juxk P{ X = xk }
6：若
Y = aX + b （a,b is constant） 则：
CY ( ju ) = e jbu C X (au )
7：相互独立的随机变量之和的特征函数是各特征函数之乘积，即
n
n
Y = ∑ Xi
i =1
CY ( ju ) = ∏ C X i ( ju )
i =1
4
4
例1、设X为(0,1)分布随机变量，其概率分布为：