高三数学复习课时练10

课时跟踪检测（十） 对数与对数函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．(2015·某某调研)函数y ＝log 232x －1的定义域是________．解析：由log 23(2x －1)≥0⇒0<2x －1≤1⇒12<x ≤1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为________．解析：函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )是由y ＝log 12t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．答案：(－∞，－2)3．(2016·某某模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1.答案：a ＝b >c4．(2015·某某高考)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.解析：lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1. 答案：－15．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为______，单调递增区间为______． 解析：作出函数y ＝log 2x 的图象，将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．答案：(－∞，－1) (－1，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内零点的个数为________． 解析：在同一坐标系中分别作函数y ＝|x －2|与y ＝ln x 的图象如图所示．由图可知y ＝|x －2|与y ＝ln x 有2个交点，所以函数f (x )零点的个数为2.答案：22．(2016·某某五校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312的值是________．解析：由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝331-log 2＋1＝33log 2＋1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝5.答案：53．设a ＝log 323，b ＝log 525，c ＝log 727，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：因为log 323＝log 32－1，log 525＝log 52－1，log 727＝log 72－1，log 32>log 52>log 72，故a >b >c .答案：a >b >c4．计算：log 2.56.25＋lg 0.001＋ln e ＋2－1＋log 23＝______. 解析：原式＝log 2.5(2.5)2＋lg 10－3＋ln e 12＋2log 232 ＝2－3＋12＋32＝1.答案：15．若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________．解析：令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1.所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－34，＋∞.又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32.所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)6．如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log22x ，y ＝x 12，y ＝⎝⎛⎭⎪⎫22x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．解析：由条件得，点A 在函数y ＝log22x 的图象上，从而由2＝2，得x A ＝12.而点B 在函数y ＝x 12上，从而2＝x 12，解得x B ＝4.于是点C 的横坐标为4.又点C 在函数y ＝⎝⎛⎭⎪⎫22x上，从而y C ＝14，所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值X 围是______．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.答案：(1，＋∞)8．(2016·某某四市调研)函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为______．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.答案：－149．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12－x ，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数， 所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，(a >0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集． 解：(1)要使函数f (x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故所求函数f (x )的定义域为(－1,1)． (2)证明：由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， 故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1，解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的解集是(0,1). 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值X 围是________．解析：当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－a >0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 2．(2016·某某中学月考)已知函数f (x )＝log a 1－xb ＋x (0<a <1)为奇函数，当x ∈(－1，a ]时，函数f (x )的值域是(－∞，1]，则a ＋b 的值为________．解析：由1－xb ＋x >0，解得－b <x <1(b >0)．又奇函数定义域关于原点对称，故b ＝1.所以f (x )＝log a 1－x 1＋x (0<a <1)．又g (x )＝1－x x ＋1＝－1＋2x ＋1在(－1，a ]上单调递减，0<a <1，所以f (x )在(－1，a ]上单调递增．又因为函数f (x )的值域是(－∞，1]，故f (a )＝1，此时g (a )＝a ，即1－a a ＋1＝a ，解得a ＝2－1(负根舍去)，所以a ＋b ＝ 2. 答案： 23．已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .(1)当x ∈[1,4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1,4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，某某数k 的取值X 围．解：(1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2， 因为x ∈[1,4]，所以log 2x ∈[0,2]， 故函数h (x )的值域为[0,2]． (2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )， 得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈[1,4]，所以t ＝log 2x ∈[0,2]， 所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0,2]时，k <3－4t 3－tt恒成立，即k <4t ＋9t－15，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t－15的最小值为－3.综上，实数k 的取值X 围为(－∞，－3)．。

题组层级快练 5.5复数一、单项选择题1．(2021·衡水中学调研卷)复数i1＋2i(i 是虚数单位)的虚部是( )A.15B.25C.15iD.25i 2．(2019·课标全国Ⅱ)设z ＝i(2＋i)，则z －＝( )A ．1＋2iB ．－1＋2iC ．1－2iD ．－1－2i 3．已知z－1＋i＝2＋i ，则复数z ＝( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i 4．i 是虚数单位，若1＋7i2－i＝a ＋bi(a ，b ∈R )，则ab 的值是( )A ．－15B ．－3C ．3D ．15 5．(2020·揭阳一模)已知a ∈R ，i 是虚数单位，若z ＝3＋ai ，|z －|＝2，则a ＝( ) A.7或－7 B ．1或－1 C ．2 D ．－26．(2021·江西名校高三质检)若在复平面内，复数z ＝3＋mi 6－i (m ∈R )所对应的点落在直线y ＝x 上，则m ＝( )A.157B.715 C ．－157 D ．－7157．(2021·河北六校联考)已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为(2，－1)，(0，－1)，则z 1z 2＋|z 2|＝( )A ．2＋2iB ．2－2iC ．－2＋iD ．－2－i 8．(2020·唐山二模)若复数z ＝1＋ia －i (i 是虚数单位，a ∈R )是纯虚数，则z 的虚部为( )A ．1B ．IC ．2D ．2i 9．(2021·江南十校联考)若复数z 满足z(1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( ) A.2－12 B.2－1 C ．1 D.2＋1210．(2021·武汉市武昌区调考)设z 是复数，α(z)表示满足z n ＝1的最小正整数n ，则对虚数单位i ，α(i)＝( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 11．已知i 是虚数单位，且复数z 1＝3－bi ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2是实数，则实数b 的值为( )A ．－6B ．6C ．0 D.1612．在复数集C 内分解因式2x 2－4x ＋5等于( )A ．(x －1＋3i)(x －1－3i)B ．(2x －2＋3i)(2x －2－3i)C ．2(x －1＋i)(x －1－i)D ．2(x ＋1＋i)(x ＋1－i)13.(2020·湖北黄冈期末)复数z 1，z 2在复平面内分别对应点A ，B ，z 1＝3＋4i ，将点A 绕原点O 逆时针旋转90°得到点B ，则z －2＝( )A ．3－4iB ．－4－3iC ．－4＋3iD ．－3－4i14．(2021·济南市质量评估)已知复数z 满足z ＋z·i ＝2(其中i 为虚数单位)，则z －＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i15．(2020·邯郸二模)复数z 在复平面内表示的点Z 如图所示，则使得z 2·z 1是纯虚数的一个z 1是( )A ．3－4iB ．4＋3iC ．3＋4iD ．4－3i 二、多项选择题16．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的真命题是( )A ．若|z 1－z 2|＝0，则z －1＝z －2B ．若z 1＝z －2，则z －1＝z 2 C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z －1＝z 2·z －2 D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 12＝z 22 17．下列命题正确的是( )A ．若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数B ．z 1，z 2都是复数，若z 1＋z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数C ．复数z 是实数的充要条件是z ＝z －(z －是z 的共轭复数)D ．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i(i 是虚数单位)，它们对应的点分别为A ，B ，C ，O 为坐标原点，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y ＝1 三、填空题与解答题18．(2020·西安模拟)若a ＋bii (a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a ＝________，b ＝________．19．(2020·江苏阜宁中学调研)若复数z ＝i ＋i 2 020，则z －＋10z的模等于________．20．计算：(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ； (2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2； (3)1－3i（3＋i ）2.5.5复数 参考答案1．答案 A 2．答案 D 3．答案 B解析 z －＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ，则z ＝1－3i. 4．答案 B 解析1＋7i 2－i＝（1＋7i ）（2＋i ）5＝－1＋3i ，故a ＝－1，b ＝3，故ab ＝－3.5．答案 B解析 z ＝3＋ai ，z －＝3－ai ，又|z －|＝2，则3＋(－a)2＝4，解得a ＝±1，a 的值为1或－1.故选B. 6．答案 A解析 依题意，z ＝3＋mi 6－i ＝（3＋mi ）（6＋i ）（6－i ）（6＋i ）＝18＋3i ＋6mi －m 37＝18－m 37＋3＋6m 37i ，则18－m ＝3＋6m ，解得m ＝157，故选A.7．答案 A解析 由题意知z 1＝2－i ，z 2＝－i ，则z 1z 2＝2－i －i ＝（2－i ）i －i 2＝1＋2i ，|z 2|＝1，故z 1z 2＋|z 2|＝2＋2i ，故选A. 8．答案 A解析 设z ＝1＋ia －i ＝bi(b ∈R 且b ≠0)，则1＋i ＝b ＋abi ，∴b ＝1.选A. 9．答案 A解析 由z(1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2－12＋2＋12i ，故z 的实部为2－12，故选A. 10．答案 C解析 ∵α(z)表示满足z n ＝1的最小正整数n ，∴α(i)表示满足i n ＝1的最小正整数n.∵i 2＝－1，∴i 4＝1，∴α(i)＝4. 11．答案 B解析 因为z 1z 2＝3－bi 1－2i ＝3＋2b 5＋（6－b ）i 5，z 1z 2是实数，所以6－b 5＝0，所以b ＝6.故选B.12．答案 B解析 2x 2－4x ＋5＝2(x －1)2＋3＝[2(x －1)]2－(3i)2＝(2x －2＋3i)(2x －2－3i)． 13.答案 B解析 由题意知A(3，4)，B(－4，3)，即z 2＝－4＋3i ，z －2＝－4－3i. 14．答案 A解析 方法一：由z ＋z·i ＝2，得z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－i ，所以z －＝1＋i.方法二：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R )，则a ＋bi ＋(a ＋bi)i ＝2，即a －b ＋(b ＋a)i ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，所以z ＝1－i ，所以z －＝1＋i. 15．答案 D解析 由题意可得，z ＝－2＋i ，令z 1＝a ＋bi(a ，b ∈R )，则z 2·z 1＝(－2＋i)2(a ＋bi)＝(3－4i)(a ＋bi)＝(3a ＋4b)－(4a －3b)i.又z 2·z 1为纯虚数，则z 2·z 1的实部为0，即3a ＋4b ＝0，则z 1＝4－3i ，故选D. 16．答案 ABC解析 对于A ，若|z 1－z 2|＝0，则z 1－z 2＝0，z 1＝z 2，所以z －1＝z －2为真； 对于B ，若z 1＝z －2，则z 1和z 2互为共轭复数，所以z －1＝z 2为真；对于C ，设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，若|z 1|＝|z 2|，则a 12＋b 12＝a 22＋b 22，即a 12＋b 12＝a 22＋b 22，所以z 1·z－1＝a 12＋b 12＝a 22＋b 22＝z 2·z －2，所以z 1·z －1＝z 2·z －2为真；对于D ，若z 1＝1，z 2＝i ，则|z 1|＝|z 2|，而z 12＝1，z 22＝－1，所以z 12＝z 22为假，故选ABC. 17．答案 BC解析 对于A ，z 1和z 2可能是相等的复数，错误；对于B ，若z 1和z 2是共轭复数，则相加为实数，不会为虚数，正确；对于C ，由a ＋bi ＝a －bi ，得b ＝0，正确；对于D ，由题可知，A(－1，2)，B(1，－1)，C(3，－2)，建立等式(3，－2)＝(－x ＋y ，2x －y)，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，错误．故选BC. 18．答案 －4 3解析 因为a ＋bi i ＝（a ＋bi ）（－i ）－i 2＝b －ai(a ，b ∈R )，(2－i)2＝4－4i －1＝3－4i ，由题意得b ＝3，a ＝－4.19．答案 6 2解析 z ＝i ＋i 2 020＝i ＋1，z －＋10z ＝1－i ＋101＋i ＝6－6i ，其模为6 2.20．答案 (1)15＋25i (2)－1 (3)－14－34i解析 (1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i2＋i＝i （2－i ）5＝15＋25i.(2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1.(3)1－3i （3＋i ）2＝（3＋i ）（－i ）（3＋i ）2＝－i 3＋i＝（－i ）（3－i ）4＝－14－34i.。

课时规范练51随机抽样、用样本估计总体基础巩固组1.(2020天津耀华中学高一期末)已知一组数据为4,5,6,7,8,8,40%分位数是()A.8B.7C.6D.52.(多选)(2020江苏泗洪质检)某中学高一年级有20个班,每班50人;高二年级有30个班,每班45人.甲就读于高一,乙就读于高二.学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查,下列说法中正确的有()A.应该采用分层随机抽样法B.高一、高二年级应分别抽取100人和135人C.乙被抽到的可能性比甲大D.该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力3.(多选)(2020江苏启东高一期末)某人射箭9次,射中的环数依次为7,8,9,7,6,9,8,10,8,关于这组数据,下列说法正确的是()A.这组数据的众数是8B.这组数据的平均数是8C.这组数据的中位数是6D.这组数据的方差是434.将甲、乙两个篮球队10场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图,由图可知()A.甲队得分的众数是3B.甲、乙两队得分在[30,39)内的频率相等C.甲、乙两队得分的极差相等D.乙队得分的中位数是38.55.(2020陕西榆林高三四模)港珠澳大桥位于中国广东省珠江口伶仃洋海域内,是中国境内一项连接香港、珠海和澳门的桥隧工程,因其超大的建筑规模、空前的施工难度和顶尖的建造技术而闻名世界.2018年10月24日上午9时开通运营后香港到澳门之间4个小时的陆路车程极大缩短.为了解实际通行所需时间,随机抽取了n台车辆进行统计,结果显示这些车辆的通行时间(单位:分钟)都在[35,50]内,按通行时间分为[35,38),[38,41),[41,44),[44,47),[47,50]五组,其中通行时间在[38,47)内的车辆有182台,频率分布直方图如图所示,则n=()A.280B.260C.250D.2006.(2020天津一中高三月考)某社区组织“学习强国”的知识竞赛,从参加竞赛的市民中抽出40人,将其成绩分成以下6组:第1组[40,50),第2组[50,60),第3组[60,70),第4组[70,80),第5组[80,90),第6组[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.现采用分层随机抽样的方法,从第2,3,4组中抽取8人,则第2,3,4组抽取的人数依次为()A.1,3,4B.2,3,3C.2,2,4D.1,1,67.(2020山东泰安高一期末)某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本,数据从小到大排序如下(单位:cm):152,155,158,164,164,165,165,165,166,167,168,168,169,170,170,170,171,x ,174,175,若样本数据的90%分位数是173,则x 的值为.8.(2020北京密云高三质检)某校高一年级三个班共有学生120名,这三个班的男生、女生人数如下表所示,已知在全年级中随机抽取1名学生,抽到二班女生的概率是0.2,则x=.现用分层随机抽样的方法在全年级抽取30名学生,则应在三班抽取的学生人数为.班级一班二班三班女生人数20x y 男生人数2020z 综合提升组9.(多选)(2020山东淄博高三质检)某学校为了调查学生一周内在生活方面的支出情况,抽出了一个容量为n 的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在[50,60)内的学生有60人,则下列说法正确的是()A.样本中支出在[50,60)内的频率为0.03B.样本中支出不少于40元的人数为132C.n的值为200D.若该校有2000名学生,则定有600人支出在[50,60)内10.在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱多少衰出之,问各几何?”其译文为:今有甲持560钱,乙持350钱,丙持180钱,甲、乙、丙三人一起出关,关税共100钱,要按照各人带钱多少的比例进行交税,问三人各应付多少税?则下列说法错误的是()A.甲应付5141109钱B.乙应付3224109钱C.丙应付1656109钱D.三者中甲付的钱最多,丙付的钱最少11.(多选)(2020山东嘉祥一中高三月考)在某次高中学科知识竞赛中,对4000名考生的参赛成绩进行统计,可得到如图所示的频率分布直方图,其中分组的区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],60分以下视为不及格,若同一组中数据用该组区间中点值作代表,则下列说法中正确的是()A.成绩在[70,80)内的考生人数最多B.不及格的考生人数为1000C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D.考生竞赛成绩的中位数为75分12.(2020江西九江高三模拟)一组数据中的每一个数据都乘以3,再减去50,得到一组新数据,若求得新的数据的平均数是1.6,方差是3.6,则原来数据的平均数和方差分别是()A.17.2,3.6B.54.8,3.6C.17.2,0.4D.54.8,0.413.(2020福建福州高二期中)为让学生适应新高考的赋分模式,某校在一次校考中使用赋分制给高二年级学生的生物成绩进行赋分,具体方案如下:A等级,排名等级占比7%,分数区间是83—100;B等级,排名等级占比33%,分数区间是71—82;C等级,排名等级占比40%,分数区间是59—70;D等级,排名等级占比15%,分数区间是41—58;E等级,排名等级占比5%,分数区间是30—40.现从全年段的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩(未赋分)进行分析,其频率分布直方图如图所示:(1)求图中a的值;(2)以样本估计总体的办法,估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C等级及以上(含C等级);(3)若采用分层抽样的方法,从原始成绩在[40,50)和[50,60)内的学生中共抽取5人,查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏,再从中选取2人进行调查分析,求这2人中至少一人原始成绩在[40,50)内的概率.创新应用组14.(多选)(2020重庆巴蜀中学高三月考)气象意义上从春季进入夏季的标志为:“连续5天每天日平均温度不低于22℃”.现有甲、乙、丙三地连续5天日平均温度的记录数据(数据都是正整数,单位:℃)满足以下条件:甲地:5个数据的中位数是24,众数是22;乙地:5个数据的中位数是27,平均数是24;丙地:5个数据有1个是32,平均数是26,方差是10.2,则下列说法正确的是()A.进入夏季的地区至少有2个B.丙地区肯定进入了夏季C.不能肯定乙地区进入夏季D.不能肯定甲地区进入夏季15.如图是某城市100户居民的月平均用电量(单位:度)的频率分布直方图.(1)求频率分布求直方图中x的值;(2)求月平均用电量的众数和中位数;(3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户?参考答案课时规范练51随机抽样、用样本估计总体1.C因为有6位数,所以6×40%=2.4,所以40%分位数是第三个数6.2.ABD由于各年级的年龄段不一样,因此应采用分层随机抽样法.由于比例为23520×50+30×45=110,因此高一年级1000人中应抽取100人,高二年级1350人中应抽取135人,甲、乙被抽到的可能性都是110,因此只有C不正确,故选ABD.3.ABD数据从小到大排列为6,7,7,8,8,8,9,9,10,所以众数为8,故A正确;中位数为8,故C错误;平均数为6+7+7+8+8+8+9+9+109=8,故B正确;方差为19×[(6-8)2+(7-8)2×2+(8-8)2×3+(9-8)2×2+(10-8)2]=43,故D正确.4.D甲队得分的众数是33和35,故A错误;甲、乙两队得分在[30,39)内的频率分别为25和310,所以甲、乙两队得分在[30,39)内的频率不相等,故B错误;甲队得分的极差为51-24=27,乙队得分的极差为52-22=30,所以甲、乙两队得分的极差不相等,故C错误;乙队得分的中位数是34+432=38.5,故D正确.故选D.5.D由题意可知,通行时间在[38,47)内的频率为1-(0.01+0.02)×3=0.91,所以182=0.91,所以n=200.6.C由图可知第2,3,4组的频率之比为0.15∶0.15∶0.3,所以频数之比为1∶1∶2,现采用分层随机抽样的方法,从第2,3,4组中抽取8人,所以第2,3,4组抽取的人数依次为2,2,4.7.17290%分位数是173,所以r1742=173,x=172.8.249由题意可得120=0.2,解得x=24.三班总人数为120-20-20-24-20=36,用分层随机抽样的方法在全年级抽取30名学生,每个学生被抽到的概率为30120=14,故应从三班抽取的人数为36×14=9.9.BC样本中支出在[50,60)内的频率为1-(0.01+0.024+0.036)×10=0.3,故A错误;样本中支出不少于40元的人数为0.0360.03×60+60=132,故B正确;n=600.3=200,故n的值为200,故C正确;若该校有2000名学生,则可能有0.3×2000=600(人)支出在[50,60)内,故D错误.10.B依题意由分层随机抽样可知,100÷(560+350+180)=10109,则甲应付10109×560=5141109(钱);乙应付10109×350=3212109(钱);丙应付10109×180=1656109(钱).11.ABC由频率分布直方图可得,成绩在[70,80)内的频率最高,因此考生人数最多,故A正确;成绩在[40,60)内的频率为0.01×10+0.015×10=0.25,因此,不及格的人数为4000×0.25=1000,故B 正确;考生竞赛成绩的平均分约为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5(分),故C正确;因为成绩在[40,70)内的频率为0.45,在[70,80)内的频率为0.3,所以考生竞赛成绩的中位数为70+10×0.050.3≈71.67(分),故D错误.12.C设一组数据为x i(i=1,2,3,…,n),平均数为,方差为12,所得一组新数据为y i(i=1,2,3,…,n),平均数为,方差为22,则y i=3x i-50(i=1,2,3,…,n),=1+2+…+=1.6,即31-50+32-50+…+3-50=1.6,所以3-50=1.6,所以=51.63=17.2.22=1[(y1-)2+(y2-)2+…+(y n-)2]=1[(3x1-50-1.6)2+(3x2-50-1.6)2+…+(3x n-50-1.6)2]=1×9[(x1-17.2)2+(x2-17.2)2+…+(x n-17.2)2]=1×9[(x1-)2+(x2-)2+…+(x n-)2]=3.6,所以912=3.6,所以12=0.4.故选C.13.解(1)由题意(0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005)×10=1,所以a=0.030.(2)由已知等级达到C及以上所占排名等级占比为7%+33%+40%=80%,假设原始分不少于x分可以达到赋分后的C等级及以上,则有(0.005+0.025+0.030+0.015)×10+(60-x)×0.015=0.8,所以x≈57.估计原始分不少于57分才能达到赋分后的C等级及以上.(3)由题知评分在[40,50)和[50,60)内的频率分别为0.1和0.15,则抽取的5人中,评分在[40,50)内的有2人,评分在[50,60)内的有3人,记评分在[50,60)内的3位学生为a,b,c,评分在[40,50)内的2位学生为D,E,则从5人中任选2人的所有可能结果为:(a,b),(a,c),(a,D),(a,E),(b,c),(b,D),(b,E),(c,D),(c,E),(D,E),共10种,其中,这2人中至少一人评分在[40,50)内的可能结果为(a,D),(a,E),(b,D),(b,E),(c,D),(c,E),(D,E),共7种.所以这2人中至少一人评分在[40,50)内的概率为710.14.ABC甲地:5个数据由小到大排,则22,22,24,a,b,其中24<a<b,满足进入夏季的标志;乙地:将5个数据由小到大排,则a,b,27,c,d,其中a≤b≤27≤c≤d,则27+c+d≥81,而a+b+27+c+d=120,故a+b≤39,其中必有一个小于22,故不满足进入夏季的标志;丙地:设5个数据为a,b,c,d,32,且a,b,c,d∈N*,由方差公式可知:(a-26)2+(b-26)2+(c-26)2+(d-26)2+(32-26)2=10.2×5=51,则(a-26)2+(b-26)2+(c-26)2+(d-26)2=15=9+4+1+1,不妨设|a-26|=3,|b-26|=2,|c-26|=|d-26|=1,则a,b,c,d均大于22,满足进入夏季标准.综上,ABC正确.15.解(1)由频率分布直方图得20×(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)=1,解得x=0.0075.(2)由频率分布直方图知众数为230,用电量在[160,220)的频率是20×(0.002+0.0095+0.011)=0.45,用电量在[220,240)的频率为0.0125×20=0.25,设中位数为m,则-22020=0.5-0.450.25,解得m=224,即中位数是224.(3)由频率分布直方图知月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户的频率依次为0.25,0.15,0.1,0.05,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取户数为0.250.25+0.15+0.1+0.05×11=5,应抽取5户.。

题组层级快练 6.3等比数列一、单项选择题1．(2021·泰安模拟)若等比数列{a n }的各项均为正数，a 2＝3，4a 32＝a 1a 7，则a 5等于( ) A.34 B.38 C ．12 D ．24 2．在等比数列{a n }中，a 2a 6＝16，a 4＋a 8＝8，则a 20a 10等于( )A ．1B ．－3C ．1或－3D ．－1或33．(2020·广州模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足4S 5＝3S 4＋S 6，且a 2＝1，则a 4＝( ) A.127 B ．27 C.19D ．9 4．(2021·益阳市、湘潭市高三调研)已知等比数列{a n }中，a 5＝3，a 4a 7＝45，则a 7－a 9a 5－a 7的值为( )A ．3B ．5C ．9D ．255．(2021·天津市河西区月考)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q>1”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．《张丘建算经》中“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．问日行几何？”意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里路，问每天走的里数为多少？”则该匹马第一天走的里数为( )A.128127B.44 800127C.700127D.17532 7．(2021·深圳一模)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a·3n －1＋b ，则a b ＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．38．在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项总和为778，则此数列的项数为( )A ．4B ．5C ．6D ．79．(2021·广东惠州一中月考)已知数列{a n }是等比数列，且a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n ) 10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝a 2＋2a 3，S 2是S 1与mS 3的等比中项，则m ＝( ) A ．1 B.97 C.67 D.12二、多项选择题11．已知正项等比数列{a n }满足a 4＝4，a 2＋a 6＝10，则公比q ＝( ) A.12 B. 2 C ．2 D.22 12．已知等比数列{a n }中，满足a 1＝1，q ＝2，则( ) A ．数列{a 2n }是等比数列B ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是递增数列C ．数列{log 2a n }是等差数列D ．数列{a n }中，S 10，S 20，S 30仍成等比数列 三、填空题与解答题13．已知等比数列{a n }满足a 1＝12，a 2a 8＝2a 5＋3，则a 9＝________．14．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________．15．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________．16．(2020·课标全国Ⅲ，文)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝4，a 3－a 1＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{log 3a n }的前n 项和．若S m ＋S m ＋1＝S m ＋3，求m.17．(2021·华大新高考联盟质检)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3a 11＝2a 52，且S 4＋S 12＝λS 8，则λ＝________．18．(2021·四川成都一诊)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4. (1)证明：数列{a n ＋4}是等比数列； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n .6.3等比数列 参考答案1．答案 D 2．答案 A解析 由a 2a 6＝16，得a 42＝16⇒a 4＝±4.又a 4＋a 8＝8，可得a 4(1＋q 4)＝8，∵q 4>0，∴a 4＝4.∴q 2＝1，a 20a 10＝q 10＝1. 3．答案 D解析 因为4S 5＝3S 4＋S 6，所以3S 5－3S 4＝S 6－S 5，即3a 5＝a 6，故公比q ＝3.由等比数列的通项公式得a 4＝a 2q 4－2＝1×32＝9.故选D. 4．答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 7＝a 5q ·a 5q 2＝9q ＝45，所以q ＝5，所以a 7－a 9a 5－a 7＝a 5q 2－a 7q 2a 5－a 7＝q 2＝25.故选D. 5．答案 D 6．答案 B解析 由题意知每日所走的路程成等比数列{a n }，且公比q ＝12，S 7＝700，由等比数列的求和公式得a 1⎝⎛⎭⎫1－1271－12＝700，解得a 1＝44 800127.故选B.7．答案 A 8．答案 B解析 ∵q ≠1⎝⎛⎭⎫14≠78，∴S n ＝a 1－a n q 1－q ，∴778＝14－78q1－q ，解得q ＝－12，78＝14×⎝⎛⎭⎫－12n ＋2－1，∴n ＝3.故该数列共5项． 9．答案 C解析 因为等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝14，所以a 5a 2＝q 3＝18，所以q ＝12.由等比数列的性质，易知数列{a n a n＋1}为等比数列，其首项为a 1a 2＝8，公比为q 2＝14，所以要求的a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1为数列{a n a n ＋1}的前n项和．由等比数列的前n 项和公式得a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n )．故选C. 10．答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝a 2＋2a 3，得a 1＝a 1q ＋2a 1q 2，解得q ＝－1或q ＝12，当q ＝－1时，S 2＝0，这与S 2是S 1与mS 3的等比中项矛盾．当q ＝12时，S 1＝a 1，S 2＝32a 1，mS 3＝74a 1m ，由S 2是S 1与mS 3的等比中项，得S 22＝S 1×mS 3，94a 12＝m ×74a 12，所以m ＝97.故选B.11．答案 BD解析 因为a 4＝4，a 2＋a 6＝10，所以a 4q 2＋a 4q 2＝10，得2q 4－5q 2＋2＝0，得q 2＝2或q 2＝12，又q>0，所以q ＝2或q ＝22.故选BD. 12．答案 AC解析 等比数列{a n }中，a 1＝1，q ＝2，所以a n ＝2n －1，S n ＝2n －1. 于是a 2n＝22n －1，1a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，log 2a n ＝n －1，故数列{a 2n }是等比数列，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是递减数列，数列{log 2a n }是等差数列．因为S 10＝210－1，S 20＝220－1，S 30＝230－1，S 20S 10≠S 30S 20，所以S 10，S 20，S 30不成等比数列(应是S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列)．故选AC. 13．答案 18解析 方法一：设数列{a n }的公比为q ，由a 2a 8＝2a 5＋3，得a 12q 8＝2a 1q 4＋3，又a 1＝12，所以q 8－4q 4－12＝0，解得q 4＝6或q 4＝－2(舍去)，所以a 9＝a 1q 8＝12×62＝18.方法二：根据等比数列的性质可得a 2a 8＝a 52，又a 2a 8＝2a 5＋3，所以a 52－2a 5－3＝0，解得a 5＝3或a 5＝－1.因为a 1>0，所以a 5＝a 1q 4>0，所以a 5＝3.因为a 1a 9＝a 52，所以a 9＝a 52a 1＝18.14．答案 －2解析 由S 3＋3S 2＝0，即a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0，即4a 1＋4a 2＋a 3＝0，即4a 1＋4a 1q ＋a 1q 2＝0，即q 2＋4q ＋4＝0，所以q ＝－2. 15．答案 －2 2n －1－12解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以q ＝－2；等比数列{|a n |}的公比为|q|＝2，则|a n |＝12×2n －1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12(1＋2＋22＋…＋2n －1)＝12(2n －1)＝2n －1－12.16．答案 (1)a n ＝3n －1 (2)6解析 (1)设{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q n －1.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝4，a 1q 2－a 1＝8，解得a 1＝1，q ＝3，所以{a n }的通项公式为a n ＝3n －1. (2)由(1)知log 3a n ＝n －1. 故S n ＝n （n －1）2. 由S m ＋S m ＋1＝S m ＋3得m(m －1)＋(m ＋1)m ＝(m ＋3)(m ＋2)，即m 2－5m －6＝0. 解得m ＝－1(舍去)或m ＝6. 17．答案 83解析 ∵数列{a n }是等比数列，a 3a 11＝2a 52，∴a 72＝2a 52，∴q 4＝2. ∵S 4＋S 12＝λS 8，∴a 1（1－q 4）1－q ＋a 1（1－q 12）1－q ＝λa 1（1－q 8）1－q ，∴1－q 4＋1－q 12＝λ(1－q 8)， 将q 4＝2代入计算可得λ＝83.18．答案 (1)证明见解析 (2)S n ＝2n ＋1－4n ＋2 解析 (1)证明：∵a 1＝－2，∴a 1＋4＝2. ∵a n ＋1＝2a n ＋4，∴a n ＋1＋4＝2a n ＋8＝2(a n ＋4)， ∴a n ＋1＋4a n ＋4＝2， ∴{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)可知a n ＋4＝2n ，∴a n ＝2n －4. 当n ＝1时，a 1＝－2<0，∴S 1＝|a 1|＝2； 当n ≥2时，a n ≥0，∴S n ＝－a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋(22－4)＋…＋(2n －4)＝2＋22＋…＋2n －4(n －1)＝2（1－2n ）1－2－4(n －1)＝2n ＋1－4n ＋2.又当n ＝1时，上式也满足． ∴S n ＝2n ＋1－4n ＋2.。

题组层级快练7.5空间向量及应用一、单项选择题1．已知点O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，且向量a ＝OA →＋OB →＋OC →，向量b ＝OA →＋OB →－OC →，则与a ，b 不能构成空间基底的向量是()A.OA→ B.OB→ C.OC→ D.OA →或OB→2．(2021·福建南安一中段考)在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ′→＝xAB →＋2yBC →＋3zCC ′→，则x ＋y ＋z ＝()A.23B.56C.76D.1163．已知平面α内有一个点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量是n ＝(6，－3，6)，则下列点P 在平面α内的是()A ．P(2，3，3)B ．P(－2，0，1)C ．P(－4，4，0)D ．P(3，－3，4)4．(2021·广西桂林一中期中)若a ＝(2，3，m)，b ＝(2n ，6，8)，且a ，b 为共线向量，则m ＋n 的值为()A ．7B.52C ．6D ．85．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC 的一个单位法向量是()A.33，33，－33B.33，－33，33C.－33，33，33D.－33，－33，－336.已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是边OA ，CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使MG ＝2GN ，如图，则正确用向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →的是()A.OG →＝OA →＋23OB →＋23OC→B.OG →＝12OA →＋23OB →＋23OC→C.OG →＝16OA →＋13OB →＋13OC→D.OG →＝16OA →＋13OB →＋23OC→7．已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z)，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为()A.337，－157，4 B.407，－157，4 C.407，－2，4D ．4，407，－158.(2021·成都调研)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是()A ．相交B ．平行C ．垂直D ．MN 在平面BB 1C 1C 内9.(2021·长沙模拟)如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为()A ．(1，1，1)，23，，22，，24，二、多项选择题10．下面四个命题中，真命题是()A ．若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面B ．若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y bC ．若MP →＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A ，B 共面D ．若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB→三、解答题11.(2021·石家庄市高三一检)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD ∥BC ，CD ⊥BC ，AD ＝2，AB ＝BC ＝3，PA ＝4，M 为AD 的中点，N为PC 上的点，且PC ＝3PN.求证：MN ∥平面PAB.12.已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝90°，2AB ＝2AD＝CD ，侧面PAD 是正三角形且垂直于底面ABCD ，E 是PC 的中点．(1)求证：BE ⊥平面PCD ；(2)在PB 上是否存在一点F ，使AF ∥平面BDE?13．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°的角．求证：(1)CM ∥平面PAD ；(2)平面PAB ⊥平面PAD.14．(2021·湖北襄阳模拟)如图，多面体ABCDEF 中，DE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，AB ＝2，∠BAD ＝60°，四边形BDEF 是正方形．(1)求证：CF ∥平面AED ；(2)在线段EC 上是否存在点P ，使得AP ⊥平面CEF ？若存在，求出EPPC的值；若不存在，说明理由．7.5空间向量及应用参考答案1．答案C解析根据题意得OC →＝12(a －b )，∴OC →，a ，b 共面．2．答案D解析∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→，又AC ′→＝xAB →＋2yBC →＋3zCC ′→，∴x ＝1，2y ＝1，3z ＝1，即x ＝1，y ＝12，z ＝13.∴x ＋y ＋z ＝1＋12＋13＝116，选D.3．答案A解析∵n ＝(6，－3，6)是平面α的法向量，∴n ⊥MP →，在选项A 中，MP →＝(1，4，1)，∴n ·MP →＝0.4．答案C解析由a ，b 为共线向量，得22n ＝36＝m8，解得m ＝4，n ＝2，则m ＋n ＝6.故选C.5．答案D解析AB →＝(－1，1，0)，AC →＝(－1，0，1)，设平面ABC 的一个法向量n ＝(x ，y ，z)，∴－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0.令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，∴n ＝(1，1，1)．单位法向量为：±n|n |＝±33，33，33.6.答案C解析OG →＝OM →＋MG→＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →＋12OC →－12OA ＝16OA →＋13OB →＋13OC →.选C.7．答案B解析∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，又BP ⊥平面ABC ，∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，又∵BC →＝(3，1，4)，x －1）＋5y ＋6＝0，（x －1）＋y －12＝0，＝407，＝－157.8.答案B解析∵MN →＝MA 1→＋A 1A →＋AN→＝13BA 1→＋A 1A →＋13AC →＝13(B 1A 1→－B 1B →)＋B 1B →＋13(AB →＋AD →)＝23B 1B →＋13B 1C 1→，∴MN →，B 1B →，B 1C 1→共面．又MN ⊄平面B 1BCC 1，∴MN ∥平面BB 1C 1C.9.答案C解析∵面ABCD ⊥面ACEF ，面ABCD ∩面ACEF ＝AC ，EC ⊥CA ，∴CE ⊥平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系．设AC ∩BD ＝O ，连接OE.∵AM ∥平面BDE ，面BDE ∩面ACEF ＝OE ，∴AM ∥OE.∵O 是AC 的中点，∴M 为EF 中点．∵E(0，0，1)，F(2，2，1)，∴M ，22，选C.10．答案AC解析A 正确．B 中若a ，b 共线，p 与a 不共线，则p ＝x a ＋y b 就不成立．C 正确．D 中若M ，A ，B 共线，点P 不在此直线上，则MP →＝xMA →＋y MB →不成立．11.答案略证明方法一(传统法)：如图，在平面PBC 内作NH ∥BC 交PB 于点H ，连接AH ，在△PBC 中，NH ∥BC ，且NH ＝13BC ＝1，AM＝12AD ＝1，又AD ∥BC ，∴NH ∥AM 且NH ＝AM ，∴四边形AMNH 为平行四边形，∴MN ∥AH ，又AH ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，∴MN ∥平面PAB.方法二(向量法)：在平面ABCD 内作AE ∥CD 交BC 于点E ，则AE ⊥AD.分别以AE ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则P(0，0，4)，M(0，1，0)，C(22，2，0)，，23，B(22，－1，0)，A(0，0，0)，MN →，－13，AP →＝(0，0，4)，AB →＝(22，－1，0)．设MN →＝mAB →＋nAP →，，－13，m(22，－1，0)＋n(0，0，4)，∴m ＝13，n ＝23，∴MN →，AB →，AP →共面．∴MN →∥平面PAB.又MN ⊄平面PAB ，∴MN ∥平面PAB.方法三(法向量)：建系写点坐标如方法二．设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面PAB 的一个法向量，则由m ⊥AP →，m ⊥AB →1＝0，22x 1－y 1＝0，1＝0，1＝22x 1.令x 1＝1，则m ＝(1，22，0)．∴MN →·m ＝223×1－13×22＋83×0＝0.∴m ⊥MN →，∴MN →∥平面PAB.又MN ⊄平面PAB ，∴MN ∥平面PAB.方法四(基底法)：设BE →＝13BC →.由题知PC →＝3PN →.MN →＝AN →－AM →＝AP →＋PN →－BE →＝AP →＋13PC →－13BC→＝AP →－13(CP →－CB →)＝AP →－13BP→＝AP →－13(AP →－AB →)＝23AP →＋13AB →，∴MN →，AP →，AB →三向量共面．∴MN →∥平面PAB.又MN ⊄平面PAB ，∴MN ∥平面PAB.12.答案(1)略(2)F 为PB 中点时，AF ∥平面BDE解析(1)证明：以AD 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝AD ＝2，则有B(1，2，0)，C(－1，4，0)，D(－1，0，0)，P(0，0，3)，－12，2∴BE →－32，0PC →＝(－1，4，－3)，CD →＝(0，－4，0)．∴BE →·PC →－32，0(－1，4，－3)＝0，BE →·CD →－32，0(0，－4，0)＝0.即BE ⊥PC ，BE ⊥CD.又PC ∩CD ＝C ，∴BE ⊥平面PCD.(2)设平面BDE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，∵n ⊥BE →，n ⊥DE →，∴n ·BE →＝0，n ·DE →＝0.－32x ＋32z ＝0，＋2y ＋32z ＝0.令y ＝－1，则x ＝1，z ＝ 3.∴平面BDE 的一个法向量为n ＝(1，－1，3)．取PB 的中点F ，则有1又A(1，0，0)，∴AF →－12，1∵AF →·n－12，1(1，－1，3)＝－12－1＋32＝0，∴AF →⊥n .又n 是平面BDE 的一个法向量，且AF ⊄平面BDE ，∴AF ∥平面BDE.故存在PB 的中点F 使AF ∥平面BDE.13．答案(1)略(2)略证明以C 为坐标原点，CB 为x 轴，CD 为y 轴，CP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz.∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角，∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4，∴D(0，1，0)，B(23，0，0)，A(23，4，0)，P(0，0，2)，M(32，0，32)，∴DP →＝(0，－1，2)，DA →＝(23，3，0)，CM →＝(32，0，32)．(1)设n ＝(x ，y ，z)为平面PAD 的一个法向量，·n ＝0，·n ＝0，y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，令y ＝2，得n ＝(－3，2，1)．∵n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，∴n ⊥CM →.又CM ⊄平面PAD ，∴CM ∥平面PAD.(2)方法一：由(1)知，BA →＝(0，4，0)，PB →＝(23，0，－2)，设平面PAB 的一个法向量m ＝(x 0，y 0，z 0)，·m ＝0，·m ＝0，0＝0，23x 0－2z 0＝0，令x 0＝1，得m ＝(1，0，3)，又∵平面PAD 的一个法向量n ＝(－3，2，1)，∴m ·n ＝1×(－3)＋0×2＋3×1＝0，∴m ⊥n ，∴平面PAB ⊥平面PAD.方法二：如图，取AP 的中点E ，连接BE ，则E(3，2，1)，BE →＝(－3，2，1)．∵PB ＝AB ，∴BE ⊥PA.又∵BE →·DA →＝(－3，2，1)·(23，3，0)＝0，∴BE →⊥DA →，∴BE ⊥DA.又PA ∩DA ＝A ，PA ，DA ⊂平面PAD ，∴BE ⊥平面PAD.又∵BE ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD.14．答案(1)略(2)不存在点P解析(1)证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以BC ∥AD.又BC ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以BC ∥平面ADE ，又四边形BDEF 是正方形，所以BF ∥DE.因为BF ⊄平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，所以BF ∥平面ADE ，因为BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，BC ∩BF ＝B ，所以平面BCF ∥平面AED ，因为CF ⊂平面BCF ，所以CF ∥平面AED.(2)不存在，理由如下：因为四边形ABCD 为菱形，且∠BAD ＝60°，所以△BCD 为等边三角形，取BD 的中点O ，连接CO ，所以CO ⊥BD ，取EF 的中点G ，连接OG ，则OG ∥DE ，因为DE ⊥平面ABCD ，所以OG ⊥平面ABCD ，故可建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz.则O(0，0，0)，A(0，－3，0)，B(1，0，0)，C(0，3，0)，E(－1，0，2)，F(1，0，2)，所以AF →＝(1，3，2)，FE →＝(－2，0，0)，FC →＝(－1，3，－2)．设平面CEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，·FE →＝0，·FC →＝0，2x ＝0，x ＋3y －2z ＝0.令y ＝1，则n，1又EC →＝(1，3，－2)，AE →＝(－1，3，2)，设EP →＝λEC →(0≤λ≤1)，由AP →＝AE →＋EP →＝AE →＋λEC →，得AP →＝(λ－1，3λ＋3，2－2λ)，又平面CEF 的一个法向量为n ，1若AP ⊥平面CEF ，则AP →∥n ，令AP →＝μn ，1＝0，λ＋3＝μ，2λ＝32μ.方程组无解，故线段EC 上不存在点P ，使得AP ⊥平面CEF.。

专题10概率A 组基础巩固1．（2022·江苏高邮·高三开学考试）某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是（）A ．15B ．25C ．35D ．452．（2022·全国·高二课时练习）2021年6月14日是我国的传统节日“端午节”.这天，王华的妈妈煮了五个粽子，其中两个蜜枣馅，三个豆沙馅，王华随机拿了两个粽子，若已知王华拿到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为蜜枣馅的概率为()A ．14B ．34C ．110D ．3103．（2022·辽宁·瓦房店市高级中学高二期末）口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为（）A ．0.4B ．0.5C ．0.6D ．0.754．（2022·山东德州·高二期末）某一电子集成块有三个元件a ，b ，c 并联构成，三个元件是否有故障相互独立．已知至少1个元件正常工作，该集成块就能正常运行．若每个元件能正常工作的概率均为45，则在该集成块能够正常工作的情况下，有且仅有一个元件出现故障的概率为（）．A ．1231B ．48125C ．1625D ．161255．（2021·辽宁·高二阶段练习）地面上现有标号为1—10号的一个游戏方格，某人投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则他连续向前走2格，若反面朝上，则他连续向前走3格，他从起始位置开始出发，若他超过10号位置，则游戏结束，那么他在8号位置停留的条件下，恰好已经投掷了四次硬币的概率是（）A ．13B ．14C ．23D ．176．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知事件A ，B 相互独立，()0.8,()0.3P A P B ==，则()P A B =（）A ．0.24B ．0.8C ．0.3D ．0.167．（2021·重庆一中高三阶段练习）某同学参加学校数学考试，数学考试分为选填题和解答题两部分，选填题及格的概率为45，两部分都及格概率为310，则在选填题及格的条件下两部分都能及格的概率为（）A ．625B ．310C ．38D ．14258．（2022·四川省宜宾市第四中学校二模（理））设A ，B 是两个事件，且B 发生A 必定发生，0()1,0()1P A P B <<<<，给出下列各式，其中正确的是（）A ．()()P A B P B +=B ．()(|)()P A P B A P B =C ．(|)1P A B =D ．()()P AB P A =9．（2021·北京通州·高二期末）学校有A ，B 两个餐厅，如果王同学早餐在A 餐厅用餐，那么他午餐也在A 餐厅用餐的概率是34，如果他早餐在B 餐厅用餐，那么他午餐在A 餐厅用餐的概率是14，若王同学早餐在A 餐厅用餐的概率是34，那么他午餐在B 餐厅用餐的概率是（）A ．38B ．58C ．716D ．91610．（2022·全国·高二课时练习）英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件A ，B ，A （A 的对立事件）存在如下关系：()()()(()P B P BA P A PB A P A =⋅+⋅∣∣．若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性，该试剂的误报率为5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（）A ．0.0688B ．0.0198C ．0.049D ．0.0511．（2021·全国·高二课时练习）设某医院仓库中有10盒同样规格的X 光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X 光片的次品率依次为111,,101520，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X 光片，则取得的X 光片是次品的概率为（）A ．0.08B ．0.1C ．0.15D ．0.212．（2021·全国·高二课时练习）2021年6月14日是中国的传统节日“端午节”，这天人们会吃粽子、赛龙舟．现有七个粽子，其中三个是腊肉馅，四个是豆沙馅，小明随机取两个，记事件A 为“取到的两个为同一种馅”，事件B 为“取到的两个都是豆沙馅”，则()P B A =______．13．（2022·浙江·镇海中学高二期末）已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为3 4，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案．小王从这8题中任选1题，则他做对的概率为___________．14．（2021·湖南·高二期中）对正在横行全球的“新冠病毒”，某科研团队研发了一款新药用于治疗，为检验药效，该团队从“新冠”感染者中随机抽取100名，检测发现其中感染了“普通型毒株”，“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的人数占比为5:3:2．对他们进行治疗后，统计出该药对“普通型毒株”、“德尔塔型毒株”、“其他型毒株”的有效率分别为82%、60%、75%，那么你预估这款新药对“新冠病毒”的总体有效率是________．15．（2021·全国·高二课时练习）某人从15米高的楼层把一个成熟的椰子扔向地面，第一次未摔裂的概率为0.4，当第一次未摔裂时第二次也未摔裂的概率为0.3，则这个椰子从15米高的楼层扔向地面两次后仍未摔裂的概率是___________.16．（2021·全国·高二学业考试）某份资料显示，人群中患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，则不吸烟者中患肺癌的概率是______.B 组能力提升17．（2021·福建省宁化第一中学高二期中）（多选题）骰子通常作为桌上游戏的小道具.最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6.现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n 关要抛掷六面骰n 次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于2n n +，则算闯过第n 关，1,2,3,4n =.假定每次闯关互不影响，则()A ．直接挑战第2关并过关的概率为712B ．连续挑战前两关，至多过一关的概率为1924C ．若直接挑战第3关，设A =“三个点数之和等于15”，B =至少出现一个5点”，则()113P A B =D ．若直接挑战第4关，则过关的概率是35129618．（2021·全国·高二课时练习）（多选）下列说法正确的是（）A ．()()|P A B P AB <B ．()()()|P A P A B P B =是可能的C ．()0|1P A B ≤≤D ．()|1P A A =19．（2022·山东临沂·一模）（多选题）甲和乙两个箱子中各有质地均匀的9个球，其中甲箱中有4个红球，2个白球，3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球，2个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入到乙箱中，分别以1A ，2A ，3A 表示从甲箱中取出的球是红球、白球、黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以B 表示取出的球是红球的事件，则（）A ．B 与1A 相互独立B ．1A ，2A ，3A 两两互斥C ．()225P B A =D ．()12P B =20．（2021·辽宁·模拟预测）（多选题）甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以12,A A 表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（）A ．12,A A 两两互斥B ．()22|3P B A =C ．事件B 与事件2A 相互独立D ．()914P B =21．（2022·湖南·高一课时练习）一个口袋装有两个白球和两个黑球，把“从中任意摸出一个球，得到白球”记作事件A，把“从剩下的三个球中任意摸出一个球，得到白球”记作事件B．(1)在先摸出白球后，再摸出白球的概率是多少？(2)在先摸出黑球后，再摸出白球的概率是多少？(3)事件A与B是独立的吗？22．（2021·全国·高二课时练习）盒子里放着三张卡片，一张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是黑色，剩下的一张卡片一面是红色一面是黑色．现在随机抽出一张卡片，并展示它的一面的颜色．假设是红色，那么剩下的一面也是红色的概率是多少？考察下面的解法：随意从三张卡片中抽出一张，抽到任何一张都是等概率的．如果抽出的这张展示的一面是红色，那么这张卡片有可能是两面全是红色的那张，也可能是一面红一面黑的那张，因此抽到的是两面全红的那张卡片的概率是12．好像很简单，但请再换个问题研究一下：如果展示出来的那一面是黑色，由上面的思路可得抽到两面全是黑色的卡片的概率也是12．所以，不管我们看到的是什么颜色，抽到两面同色的卡片的概率都是12．这意味着虽然三张卡片中只有两张是同色的卡片，但随机抽到其中任何一张的概率都是12．肯定什么地方出错了．请问：上述解法中，哪里出现错误呢？23．（2022·全国·高二课时练习）某技术部门招工需经过四项考核，已知能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别为0.6，0.8，0.9和0.65，各项考核是相互独立的.每个应聘者都要经过四项考核，只要有一项考核不通过即被淘汰.（1）求该部门招工的淘汰率；（2）求通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率；（3）假设考核按第一项到第四项的顺序进行，应聘者一旦经某项考核不合格即被淘汰（不再参加后面的考核），求这种情况下的淘汰率.24．（2022·全国·高二课时练习）如图，有三个箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同．某人先从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大．25．（2022·湖南·高二课时练习）同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起．(1)从中任取一件，求此产品为正品的概率；(2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？26．（2022·吉林·东北师大附中高二期末）现将两个班的艺术类考生报名表分别装进2个档案袋，第一个档案袋内有6名男生和4名女生的报名表，第二个档案袋内有5名男生和5名女生的报名表．随机选择一个档案袋，然后从中随机抽取2份报名表．(1)若选择的是第一个档案袋，求从中抽到两名男生报名表的概率；(2)求抽取的报名表是一名男生一名女生的概率．。

专题层级快练3.3.4利用导数证明不等式1．(2020·沧州七校联考)设a 为实数，函数f(x)＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，e x >x 2－2ax ＋1.2．(2021·赣州模拟)已知函数f(x)＝1－lnx x ，g(x)＝ae e x ＋1x－bx ，若曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A 处的切线互相垂直．(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x ≥1时，f(x)＋g(x)≥2x.3．(2017·课标全国Ⅲ)已知函数f(x)＝lnx ＋ax 2＋(2a ＋1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a<0时，证明：f(x)≤－34a－2.4．(2021·河南开封市高三模拟)已知函数f(x)＝lnx ＋a x(a ∈R )e ，其中e 为自然对数的底数．(1)求实数a 的值，并求f(x)的单调区间；(2)证明：xf(x)>x ex .5．已知函数f(x)＝xlnx －m 2x 2－x ＋e 2(0<x ≤e 2)．(1)当m ＝1e时，求函数f(x)的单调区间；(2)证明：当0<m<1e2时，f(x)>0.6．(2021·八省联考)已知函数f(x)＝e x －sinx －cosx ，g(x)＝e x ＋sinx ＋cosx.(1)证明：当x>－5π4时，f(x)≥0.(2)若g(x)≥2＋ax ，求a 的值．3.3.4利用导数证明不等式参考答案1．答案(1)单调递减区间为(－∞，ln2)，单调递增区间为(ln2，＋∞)；极小值为2(1－ln2＋a)，无极大值(2)略解析(1)由f(x)＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ，得f ′(x)＝e x －2，x ∈R .令f ′(x)＝0，得x ＝ln2.于是当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f ′(x)－0＋f(x)极小值故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)．f(x)在x ＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝e ln2－2ln2＋2a ＝2(1－ln2＋a)，无极大值．(2)证明：设g(x)＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R .于是g ′(x)＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a>ln2－1时，g ′(x)最小值为g ′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.于是对任意x ∈R ，都有g ′(x)>0，所以g(x)在R 内单调递增．于是当a>ln2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．又g(0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g(x)>0.即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.2．答案(1)a ＝－1，b ＝－1(2)略解析(1)因为f(x)＝1－lnx x ，x>0，所以f ′(x)＝lnx －1x2，f ′(1)＝－1.因为g(x)＝ae e x ＋1x－bx ，所以g ′(x)＝－ae e x －1x2－b.因为曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A 处的切线互相垂直，所以g(1)＝1，且f ′(1)·g ′(1)＝－1，所以g(1)＝a ＋1－b ＝1，g ′(1)＝－a －1－b ＝1，解得a ＝－1，b ＝－1.(2)证明：由(1)知，g(x)＝－e e x ＋1x＋x ，则f(x)＋g(x)≥2x ⇔1－lnx x －e e x －1x＋x ≥0.令h(x)＝1－lnx x －e e x －1x＋x(x ≥1)，则h(1)＝0，h ′(x)＝－1＋lnx x 2＋e e x ＋1x 2＋1＝lnx x 2＋e e x ＋1.因为x ≥1，所以h ′(x)＝lnx x 2＋e ex ＋1>0.所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ≥1时，h(x)≥h(1)＝0，即1－lnx x －e e x －1x＋x ≥0，所以当x ≥1时，f(x)＋g(x)≥2x.3．答案(1)当a ≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，f(x)在(0，－12a )上单调递增，在(－12a，＋∞)上单调递减(2)略解析(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝（x ＋1）（2ax ＋1）x.若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a<0，则当x f ′(x)>0；当x －12a，＋f ′(x)<0.故f(x)－12a，＋(2)证明：由(1)知，当a<0时，f(x)在x ＝－12a 处取得最大值，最大值为1－14a.所以f(x)≤－34a －2等价于1－14a ≤－34a －2，即＋12a＋1≤0.设g(x)＝lnx －x ＋1，则g ′(x)＝1x－1.当x ∈(0，1)时，g ′(x)>0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x)<0.所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x ＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0.所以当x>0时，g(x)≤0.从而当a<0时，＋12a ＋1≤0，即f(x)≤－34a－2.4．答案(1)a ＝2e，函数的单调递减区间为(2)证明见解析思路(1)先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求a ，结合导数与单调性关系即可求解；(2)要证明原不等式成立，可转化为证明求解相应函数的范围，进行合理的变形后构造函数，结合导数可证．解析(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f ′(x)＝1x －a x 2，由题意可得，f e －ae 2＝－e ，故a ＝2e ，f ′(x)＝1x －2ex 2＝ex －2ex 2.当x f ′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，故函数f(x)(2)证明：设h(x)＝xf(x)＝xlnx ＋2e，则h ′(x)＝lnx ＋1(x>0)．当x h ′(x)<0，函数h(x)单调递减，当x h ′(x)>0，函数h(x)单调递增，故h(x)min ＝＝1e.设t(x)＝x e x ，则t ′(x)＝1－x ex ，当x ∈(0，1)时，t ′(x)>0，函数t(x)单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，t ′(x)<0，函数t(x)单调递减，故t(x)max ＝t(1)＝1e.又h(x)和t(x)不同时为1e，综上可得，x>0时，恒有h(x)>t(x)，即xf(x)>x ex .5．答案(1)略(2)略解析(1)f(x)＝xlnx －12e x 2－x ＋e 2.f ′(x)＝1＋lnx －x e －1＝lnx －x e.f ″(x)＝1x －1e，y ＝f ′(x)在(0，e)上单调递增，在(e ，e 2]上单调递减．f ′(e)＝0，∴f ′(x)≤0.∴y ＝f(x)在(0，e 2]上单调递减．(2)证明：f(x)＝xlnx －m 22－x ＋e 2.f ′(x)＝1＋lnx －mx －1＝lnx －mx.f ″(x)＝1x －m ，1m>e 2.y ＝f ′(x)在(0，e 2]上单调递增，当x →0时f ′(x)→－∞.f ′(e 2)＝2－me 2.∵m me 2∈(0，1)，me∴f ′(e 2)>0，f ′(1)＝－m<0，f ′(e)＝1－me>0.∴∃x 0∈(1，e)，使得f ′(x 0)＝0.即lnx 0＝mx 0.∴y ＝f(x)在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，e 2]上单调递增．∴f(x)min ＝f(x 0)＝x 0lnx 0－m 2x 02－x 0＋e 2.f(x)min ＝x 0·lnx 0－lnx 02·x 0－x 0＋e 2＝12x 0lnx 0－x 0＋e 2，x 0∈(1，e)．令g(x)＝12xlnx －x ＋e 2，x ∈(1，e)，g ′(x)＝12(1＋lnx)－1＝12(lnx －1)<0.g(x)在(1，e)上单调递减，∴g(x)>g(e)＝0.∴f(x)min >0，∴f(x)>0.即证．6．答案(1)证明见解析(2)2解析(1)证明：因为f(x)＝e x －sinx －cosx ＝e x －2sinf ′(x)＝e x －cosx ＋sinx ＝e x ＋2sinf ″(x)＝g(x)＝e x ＋sinx ＋cosx ＝e x ＋2sin考虑到f(0)＝0，f ′(0)＝0，所以当x －5π4，－时，2sin ，此时f(x)>0；当x ∈－π4，0，f ″(x)>0，所以f ′(x)单调递增，所以f ′(x)≤f ′(0)＝0，所以f(x)单调递减，f(x)≥f(0)＝0；当x f ″(x)>0，所以f ′(x)单调递增，f ′(x)>f ′(0)＝0，所以f(x)单调递增，f(x)≥f(0)＝0；当x ∈3π4，＋f(x)＝e x －2sin e 1－2>0.综上，当x>－5π4时，f(x)≥0.(2)设r(x)＝e x ＋sinx ＋cosx －2－ax ，则r(0)＝0，其导函数r ′(x)＝e x ＋cosx －sinx －a ，于是r ′(0)＝2－a ，又r ″(x)＝e x －sinx －cosx ＝f(x)，于是根据第(1)小题的结果，r ′(x)－5π4，＋情形一：若a<2，则r ′(0)>0.若r 0－5π4，r′(x)>0，于是r(x)在此区间上单调递增，因此在该区间上有r(x)<r(0)＝0，不符合题意．若r －5π4，r ′(x)存在唯一零点x 0，使得r(x)在(x 0，0)上单调递增，因此在该区间上有r(x)<r(0)＝0，不符合题意．情形二：若a>2，则r ′(0)<0.考虑到r ′(ln(|a|＋2))≥|a|＋2＋(－1)－1－a ≥0，于是函数r ′(x)在(0，ln(|a|＋2)]上有唯一零点x 1，使得r(x)在(0，x 1)上单调递减，因此在该区间上有r(x)<r(0)＝0，不符合题意．情形三：若a ＝2，则函数r(x)－5π4，(0，＋∞)上单调递增，而r(0)＝0，因此r(x)在－5π4，＋r(x)≥0.当x ≤－5π4时，有r(x)>0＋(－1)＋(－1)－2－2＝5π2－4>0，命题也成立．综上所述，a ＝2.。

题组层级快练5.3平面向量的数量积一、单项选择题1．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，则AB→·AC→等于()A．－32B．－23C.23D.322．(2021·河北省承德月考)已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，m)，则“m<12”是“〈a，b〉为钝角”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．(2021·成都外国语学校高三模拟)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝() A.10 B.11C．23 D.134．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是()A．－4B．4C．－2D．25．(2019·课标全国Ⅱ，理)已知AB→＝(2，3)，AC→＝(3，t)，|BC→|＝1，则AB→·BC→＝()A．－3B．－2C．2D．36．(2016·山东，理)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝13.若n⊥(t m＋n)，则实数t的值为()A．4B．－4 C.94D．－947．已知向量a＝(1，2)，a·b＝5，|a－b|＝25，则|b|等于()A.5B．25C．5D．258．(2021·东北四校模拟)若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，(a＋b)·b＝32，则向量a，b的夹角为() A．30°B．45°C．60°D．90°9．(2021·沧州七校联考)在以BC为斜边的直角△ABC中，AB＝2，2BE→＝EC→，则AB→·AE→＝()A．3 B.73C.83D．210．(2020·人大附中模拟)已知a，b是非零向量，且向量a，b的夹角为π3，若向量p＝a|a|＋b|b|，则|p|＝() A．2＋3 B.2＋3C．3 D.311．(2020·河南鹤壁高级中学段考)如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF→＝2FO→，则FD→·FE→等于()A．－34B．－89C．－14D．－49二、多项选择题12．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，则()A．若a∥b，则x＝－2B．若x＝1，则|b－a|＝5C．若x＝－1，则a与b的夹角为60°D．若a＋2b与a垂直，则x＝313．(2021·成都七中月考)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，则下列向量是单位向量的是()A．a＋b B．a＋12b C．a－b D.233a－33b三、填空题和解答题14．设e1，e2为单位向量，其中a＝2e1＋e2，b＝e2，且a在b上的投影为2，则a·b＝________，e1与e2的夹角为________．15．(2021·辽宁五校)已知|OA→|＝|OB→|＝1，|AB→|＝3，则|OA→＋2OB→|＝________．16．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为π3，若向量2t e1＋7e2与e1＋t e2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．17．(2020·江西上饶一模)在边长为1的正方形ABCD中，2AE→＝EB→，BC的中点为F，EF→＝2FG→，则EG→·BD→＝________．18．(2020·山东新高考Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP→·AB→的取值范围是() A．(－2，6)B．(－6，2)C．(－2，4)D．(－4，6)5.3平面向量的数量积参考答案1．答案D解析AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝12(|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|2)＝12×(9＋4－10)＝32.2．答案B解析若〈a ，b 〉为钝角，则有a ·b <0且a 与b 1＋2m<0，≠－2，得m<12且m ≠－2.故“m<12”是“〈a ，b 〉为钝角”的必要不充分条件．故选B.3．答案A解析由向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b 得a ·b ＝0，解得x ＝2，所以|a ＋b |＝|(3，－1)|＝10.4．答案A解析∵a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝18cos 〈a ，b 〉＝－12，∴cos 〈a ，b 〉＝－23.∴a 在b 方向上的投影是|a |cos〈a ，b 〉＝－4.5．答案C解析因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)，所以|BC →|＝1＋（t －3）2＝1，解得t ＝3，所以BC →＝(1，0)，所以AB →·BC→＝2×1＋3×0＝2，故选C.6．答案B解析由n ⊥(t m ＋n )可得n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋n 2＝0，所以t ＝－n 2m ·n ＝－n 2|m |·|n |cos 〈m ，n 〉＝－|n |2|m |×|n |×13＝－3×|n ||m |＝－3×43＝－4.故选B.7．答案C解析由a ＝(1，2)，可得a 2＝|a |2＝12＋22＝5.∵|a －b |＝25，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝20.∴5－2×5＋b 2＝20.∴b 2＝25.∴|b |＝5，故选C.8．答案C解析∵(a ＋b )·b ＝b 2＋a·b ＝1＋a·b ＝32，∴a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝12，cos 〈a ，b 〉＝12，〈a ，b 〉＝60°.故选C.9．答案C 10．答案D解析∵|p |2＝1＋1＋2cosπ3＝3，∴|p |＝ 3.11．答案B解析∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13，∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝|FO →|2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＋0－1＝－89.故选B.12．答案ABD解析由a ∥b 可得x ＝－2，故A 正确；若x ＝1，则b ＝(2，1)，|b －a |＝|(2，1)－(1，－1)|＝12＋22＝5，故B 正确；当x ＝－1时，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝2＋12×5＝31010≠12，故C 错误；a ＋2b ＝(5，－1＋2x)，由(a ＋2b )·a ＝5＋(－1)(－1＋2x)＝0，解得x ＝3，故D 正确．13．答案CD解析由题意知，两个单位向量a ，b 的夹角为60°，则|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝|a |2－2|a |·|b |cos60°＋|b |2＝1－2×1×1×12＋1＝1，所以向量a －b 是单位向量．C 正确．同理计算知D 正确；A 、B 不正确．14．答案2π315．答案3解析由|OA →|＝|OB →|＝1可得|AB →|＝错误!＝2－2OA →·OB →)＝3，所以OA →·OB →＝－12，所以|OA →＋2OB →|＝|OA →|2＋4OA →·OB →＋4|OB →|2)＝1－2＋4＝3.16．答案7－142，－解析由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，得（2t e 1＋7e 2）·（e 1＋t e 2）|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|<0，即(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，化简即得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t<－12.当夹角为π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，但此时夹角不是钝角．设2t e1＋7e2＝λ(e1＋t e2)，λ<0，＝λ，＝λt，<0，＝－14，＝－142.∴所求实数t的范围是(－7，－142)∪(－142，－12)．17．答案－14解析以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．∵正方形ABCD的边长为1，∴B(1，0)，D(0，1)，设G(a，b)，由EF→＝2FG→，－1，b＝43，＝34，∴∴EG→∵BD→＝(－1，1)，∴EG→·BD→＝－1＋34＝－14.18．答案A解析如图，AB→模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP→在AB→方向上投影的数量的取值范围是(－1，3)，结合向量数量积的定义式，可得AP→·AB→等于AB→的模与AP→在AB→方向上投影的数量的乘积，所以AP→·AB→的取值范围是(－2，6)．故选A.。

题组层级快练1.1集合一、单项选择题1．下列各组集合中表示同一集合的是( )A ．M ＝{(3，2)}，N ＝{(2，3)}B ．M ＝{2，3}，N ＝{3，2}C ．M ＝{(x ，y)|x ＋y ＝1}，N ＝{y|x ＋y ＝1}D ．M ＝{2，3}，N ＝{(2，3)}2．集合M ＝{x ∈N |x(x ＋2)≤0}的子集个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 3．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Z |32－x ∈Z，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．(2021·长沙市高三统一考试)若集合M ＝{x ∈R |－3<x<1}，N ＝{x ∈Z |－1≤x ≤2}，则M ∩N ＝( )A ．{0}B ．{－1，0}C ．{－1，0，1}D ．{－2，－1，0，1，2}5．(2021·山东新高考模拟)设集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝2}，B ＝{(x ，y)|y ＝x 2}，则A ∩B ＝( )A ．{(1，1)}B ．{(－2，4)}C ．{(1，1)，(－2，4)}D ．∅6．已知集合A ＝{x|log 2(x －2)>0}，B ＝{y|y ＝x 2－4x ＋5，x ∈A}，则A ∪B ＝( )A ．[3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(3，＋∞)7．已知集合A ＝{x ∈N |1<x<log 2k}，集合A 中至少有3个元素，则( )A ．k>8B ．k ≥8C ．k>16D ．k ≥168．(2020·重庆一中月考)已知实数集R ，集合A ＝{x|log 2x<1}，B ＝{x ∈Z |x 2＋4≤5x}，则(∁R A)∩B ＝( )A ．[2，4]B ．{2，3，4}C ．{1，2，3，4}D ．[1，4]9．(2021·郑州质检)已知集合A ＝{x|x>2}，B ＝{x|x<2m ，m ∈R }且A ⊆∁R B ，那么m 的值可以是( )A ．1B ．2C ．3D ．410．已知集合A ＝{y |y ＝x ＋1x，x ≠0}，集合B ＝{x|x 2－4≤0}，若A ∩B ＝P ，则集合P 的子集个数为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16二、多项选择题11．(2021·沧州七校联考)设集合A ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<7221x x ，下列集合中，是A 的子集的是( ) A ．{x|－1<x<1} B ．{x|1<x<3} C ．{x|1<x<2} D ．∅12．设集合M ＝{x|(x －3)(x ＋2)<0}，N ＝{x|x<3}，则( )A ．M ∩N ＝MB ．M ∪N ＝NC ．M ∩(∁R N)＝∅D ．M ∪N ＝R三、填空题与解答题13．集合A ＝{0，|x|}，B ＝{1，0，－1}，若A ⊆B ，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，∁B A ＝________．14．(1)设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|lgx<1}，若A ∩(∁U B)＝{m|m ＝2n ＋1，n ＝0，1，2，3，4}，则集合B ＝________．(2)已知集合A ＝{x|log 2x<1}，B ＝{x|0<x<c}，c>0.若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是________．15．已知集合A ＝{x|1<x<3}，集合B ＝{x|2m<x<1－m}．(1)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(2)若A ∩B ＝(1，2)，求实数m 的取值范围；(3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．16．已知集合A ＝{x|1<x<k}，集合B ＝{y|y ＝2x －5，x ∈A}，若A ∩B ＝{x|1<x<2}，则实数k 的值为( )A ．5B ．4.5C ．2D ．3.517．设f(n)＝2n ＋1(n ∈N )，P ＝{1，2，3，4，5}，Q ＝{3，4，5，6，7}，记P ^＝{n ∈N |f(n)∈P}，Q ^＝{n ∈N |f(n)∈Q}，则P ^∩(∁N Q ^)＝( )A ．{0，3}B ．{0}C ．{1，2}D ．{1，2，6，7}18．(2018·课标全国Ⅱ，理)已知集合A ＝{(x ，y)|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．41.1集合 参考答案1．答案 B2．答案 B 解析 ∵M ＝{x ∈N |x(x ＋2)≤0}＝{x ∈N |－2≤x ≤0}＝{0}，∴M 的子集个数为21＝2.选B.3．答案 C4．答案 B 解析 由题意，得N ＝{x ∈Z |－1≤x ≤2}＝{－1，0，1，2}，M ＝{x ∈R |－3<x<1}，则M ∩N ＝{－1，0}．故选B.5．答案 C6．答案 C 解析 ∵log 2(x －2)>0，∴x －2>1，即x>3，∴A ＝(3，＋∞)，∴y ＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1>2，∴B ＝(2，＋∞)，∴A ∪B ＝(2，＋∞)．故选C.7．答案 C 解析 因为集合A 中至少有3个元素，所以log 2k>4，所以k>24＝16.故选C.8．答案 B 解析 由log 2x<1，解得0<x<2，故A ＝(0，2)，故∁R A ＝(－∞，0]∪[2，＋∞)，由x 2＋4≤5x ，即x 2－5x ＋4≤0，解得1≤x ≤4，又x ∈Z ，所以B ＝{1，2，3，4}．故(∁R A)∩B ＝{2，3，4}．故选B.9．答案 A 解析 由B ＝{x|x<2m ，m ∈R }，得∁R B ＝{x|x ≥2m ，m ∈R }．因为A ⊆∁R B ，所以2m ≤2，m ≤1.故选A.10．答案 B11．答案 ACD 解析 依题意得，A ＝{x|－1<x<log 27}，∵2＝log 24<log 27<log 28＝3，∴选ACD.12．答案 ABC 解析 由题意知，M ＝{x|－2<x<3}，N ＝{x|x<3}，所以M ∩N ＝{x|－2<x<3}＝M ，M ∪N ＝N ，因为∁R N ＝{x|x ≥3}，所以M ∩(∁R N)＝∅.故选ABC.13．答案 {0，1} {1，0，－1} {－1}解析 因为A ⊆B ，所以|x|∈B ，又|x|≥0，结合集合中元素的互异性，知|x|＝1，因此A ＝{0，1}，则A ∩B ＝{0，1}，A ∪B ＝{1，0，－1}，∁B A ＝{－1}．14．(1)答案 {2，4，6，8}解析 U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A ∩(∁U B)＝{1，3，5，7，9}，∴B ＝{2，4，6，8}．(2)答案 [2，＋∞)解析 A ＝{x|0<x<2}，由数轴分析可得c ≥2.15．答案 (1)(－∞，－2] (2)－1 (3)[0，＋∞)解析 (1)由A ⊆B ，得⎩⎪⎨⎪⎧1－m>2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(2)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧2m ≤1，1－m ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12，m ＝－1，∴m ＝－1. (3)由A ∩B ＝∅，得 ①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m<1－m ，即m<13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m<13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m<13，2m ≥3，得0≤m<13或∅，即0≤m<13. 综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．16．答案 D解析 B ＝(－3，2k －5)，由A ∩B ＝{x|1<x<2}，知k ＝2或2k －5＝2，因为k ＝2时，2k －5＝－1，A ∩B ＝∅，不合题意，所以k ＝3.5.故选D.17．答案 B解析 设P 中元素为t ，由方程2n ＋1＝t ，n ∈N ，解得P ^＝{0，1，2}，Q ^＝{1，2，3}，∴P ^∩(∁N Q ^)＝{0}．18．答案A解析 方法一：由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以x ∈{－1，0，1}，y ∈{－1，0，1}，所以A 中元素的个数为C 31C 31＝9.故选A.方法二：根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图象，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数．故选A.。

题组层级快练 6.2等差数列一、单项选择题1．(2021·河北辛集中学月考)已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则公差d 等于()A ．1B.53C ．2D ．32．(2017·课标全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为()A ．1B ．2C ．4D ．83．(2021·南昌市一模)已知{a n }为等差数列，若a 2＝2a 3＋1，a 4＝2a 3＋7，则a 5＝()A ．1B ．2C ．3D ．64．(2020·西安四校联考)在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 7＝3，在该数列中的任何两项之间插入一个数，使之仍为等差数列，则这个新等差数列的公差为()A ．－25B ．－45C ．－15D ．－355．(2020·安徽合肥二模)a 1＝1，a 4＝4，则a 10＝()A ．－45B ．－54C.413D.1346．(2021·合肥市一检)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，a 5＋a 7－a 62＝0，则S 11的值为()A ．11B ．12C ．20D ．227．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝()A.310B.13C.18D.198．(2021·福建高三质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 7＋a 8＋a 13＝2π21，则tanS 14＝()A ．－33B.33C ．－3D.39．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，S 99－S 55＝－4，则S n 取最大值时的n 为()A ．4B ．5C ．6D ．4或510．(2021·沈阳二中模拟)《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”这首歌诀的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算．”在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为a n ，则a 3＝()A ．17B ．29C ．23D ．3511．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A ．13B ．12C ．11D ．10二、多项选择题12．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，下列选项正确的有()A ．a 10＝0B ．S 10最小C ．S 7＝S 12D ．S 20＝0三、填空题与解答题13．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，则a 10b 10＝________．14．(2020·沈阳市模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝a 5，a m ＝2019，则m ＝________．15．设数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，已知对任意n ∈N *，S n 是a n 2和a n 的等差中项．(1)证明：数列{a n }为等差数列；(2)若b n ＝－n ＋5，求{a n ·b n }的最大项的值并求出取最大值时n 的值．16．已知A n ＝{x|2n <x<2n ＋1且x ＝7m ＋1，m ，n ∈N }，则A 6中各元素的和为________．9个数构成一个首项为71，公差为7的等差数列．∴71＋78＋…＋127＝71×9＋9×82×7＝891.17．(2019·课标全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5.(1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．6.2等差数列参考答案1．答案C解析由已知得S 3＝3a 2＝12，即a 2＝4，∴d ＝a 3－a 2＝6－4＝2.2．答案C解析设等差数列{a n }的公差为d ，1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，1＋6×52d ＝48，1＝－2，＝4，故选C.3．答案B解析设数列{a n }的公差为d ，将题中两式相减可得2d ＝6，所以d ＝3，所以a 2＝2(a 2＋3)＋1，解得a 2＝－7，所以a 5＝a 2＋(5－2)d ＝－7＋9＝2.故选B.4．答案C解析∵{a n }的公差d ＝3－57－2＝－25，∴新等差数列的公差d×12＝－15.故选C.5．答案A解析由题意，得1a 1＝1，1a 4＝14，d ＝1a 4－1a 13＝－14，由此可得1a n＝1＋(n －1)＝－n 4＋54，因此1a 10＝－54，所以a 10＝－45.故选A.6．答案D解析方法一：设等差数列的公差为d(d ＞0)，则由(a 1＋4d)＋(a 1＋6d)－(a 1＋5d)2＝0，得(a 1＋5d)(a 1＋5d －2)＝0，所以a 1＋5d ＝0或a 1＋5d ＝2，又a 1＞0，所以a 1＋5d ＞0，则a 1＋5d ＝2，则S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d)＝11×2＝22.故选D.方法二：因为{a n }为正项等差数列，所以由等差数列的性质，并结合a 5＋a 7－a 62＝0，得2a 6－a 62＝0，a 6＝2，则S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11×2a 62＝11a 6＝22.故选D.7．答案A解析令S 3＝1，则S 6＝3，∴S 9＝1＋2＋3＝6.S 12＝S 9＋4＝10，∴S 6S 12＝310.故选A.8．答案D 9．答案B解析由{a n }为等差数列，设公差为d ，有S 99－S55＝a 5－a 3＝2d ＝－4，即d ＝－2，又a 1＝9，所以a n ＝－2n＋11，由a n ＝－2n ＋11<0，得n>112，所以S n 取最大值时n 为5.故选B.10．答案B解析依题意{a n }为等差数列，且d ＝－3，S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝207，∴a 5＝23，∴a 3＝a 5－2d ＝29.故选B.11．答案A解析因为a 1＋a 2＋a 3＝34，a n －2＋a n －1＋a n ＝146，所以a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180.又因为a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2，所以3(a 1＋a n )＝180，从而a 1＋a n ＝60.所以S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n·602＝390，即n ＝13.12．答案AC解析根据题意，数列{a n }是等差数列，若a 1＋5a 3＝S 8，即a 1＋5a 1＋10d ＝8a 1＋28d ，变形可得a 1＝－9d ，又由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －10)d ，则有a 10＝0，故A 一定正确；不能确定a 1和d 的符号，不能确定S 10最小，故B 不正确；又由S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝－9nd ＋n （n －1）d 2＝d2×(n 2－19n)，则有S 7＝S 12，故C 一定正确；则S 20＝20a 1＋20×192d ＝－180d ＋190d ＝10d ，∵d ≠0，∴S 20≠0，则D 不正确．13．答案5641解析在等差数列中，S 19＝19a 10，T 19＝19b 10，因此a 10b 10＝S 19T 19＝3×19－12×19＋3＝5641.14．答案1010解析设公差为d ，由题知S 3＝a 5，即3a 1＋3d ＝a 1＋4d ，得d ＝2a 1，又a 1＝1，故d ＝2.于是a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，再由2m －1＝2019，得m ＝1010.15．答案(1)证明见解析(2)当n＝2或n＝3时，{a n·b n}的最大值为6解析(1)证明：由已知可得2S n＝a n2＋a n，且a n>0，当n＝1时，2a1＝a12＋a1，解得a1＝1.当n≥2时，有2S n－1＝a n－12＋a n－1，所以2a n＝2S n－2S n－1＝a n2－a n－12＋a n－a n－1，所以a n2－a n－12＝a n＋a n－1，即(a n＋a n－1)(a n－a n－1)＝a n＋a n－1，因为a n＋a n－1>0，所以a n－a n－1＝1(n≥2)．故数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)可知a n＝n，设c n＝a n·b n，则c n＝n(－n＋5)＝－n2＋5n＋254，因为n∈N*，所以n＝2或3，c2＝c3＝6，因此当n＝2或n＝3时，{a n·b n}取最大项，且最大项的值为6. 16．答案891解析∵A6＝{x|26<x<27且x＝7m＋1，m∈N}，∴A6的元素有9个：71，78，85，92，99，106，113，120，127，9个数构成一个首项为71，公差为7的等差数列．∴71＋78＋…＋127＝71×9＋9×82×7＝891.17．答案(1)a n＝10－2n(2){n|1≤n≤10，n∈N}解析(1)设{a n}的公差为d.由S9＝－a5得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{a n}的通项公式为a n＝10－2n.(2)由(1)得a1＝－4d，故a n＝(n－5)d，S n＝n（n－9）d2.由a1>0知d<0，故S n≥a n等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10.所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．。

题组层级快练4.4三角函数的图像和性质一、单项选择题1．函数y ＝3sin2x ＋cos2x 的最小正周期为()A.π2B.2π3C ．πD ．2π2．函数y ＝tan(π4－x)的定义域是()A ．{xx ≠π4}B ．{xx ≠－π4}C ．{xx ≠k π＋π4，k ∈Z }D ．{xx ≠k π＋3π4，k ∈Z }3．下列函数中，既是奇函数，又是周期函数的是()A ．y ＝sin|x|B ．y ＝cos2xC ．y ＝D ．y ＝x 34．(2018·课标全国Ⅲ)函数f(x)＝tanx1＋tan 2x 的最小正周期为()A.π4B.π2C ．πD ．2π5．(2021·南昌大学附中)设f(x)＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，则f(x)是偶函数的充要条件是()A ．f(0)＝1B ．f(0)＝0C ．f ′(0)＝1D ．f ′(0)＝06．函数f(x)＝sin 在区间0，π2上的最小值为()A ．－1B ．－22C.22D ．07．已知f(x)＝sin 2x ＋sinxcosx ，则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为()A ．π，[0，π]B ．2π，[－π4，3π4]C ．π，[－π8，3π8]D ．2π，[－π4，π4]8．(2021·安徽皖江名校高三联考)已知函数f(x)＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)为偶函数，且在0，π4上是增函数，则φ的一个可能值为()A.π3B.2π3C.4π3D.5π39．(2020·辽宁大连一模)若方程2sin(2x ＋π6)＝m 在区间[0，π2]上有两个不相等实根，则m 的取值范围是()A ．(1，3)B ．[0，2]C ．[1，2)D ．[1，3]二、多项选择题10．(2017·课标全国Ⅲ，改编)设函数f(x)＝cos(x ＋π3)，则下列结论正确的是()A ．f(x)的一个周期为－2πB ．y ＝f(x)的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f(x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f(x)在(π2，π)上单调递减11．已知函数f(x)＝sinx ＋cosx ，g(x)＝22sinx ·cosx ，则下列结论中正确的是()A －π4，B ．两函数的图象均关于直线x ＝－π4成轴对称C －π4，D ．两函数的最大值相同三、填空题与解答题12．函数y ＝cos ________．13．(2020·保定市一模)设函数f(x)＝2sinxsin(x ＋π3＋φ)是奇函数，其中φ∈(0，π)，则φ＝________．14．已知函数f(x)＝sinx ＋acosx 的图象的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g(x)＝asinx ＋cosx 的初相是________．15．已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin 2x(x ∈R )，则f(x)的最小正周期为________；当x ∈0，π4时，f(x)的最小值为________．16．已知函数f(x)＝3cos 2ωx ＋sin ωxcos ωx －32(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)>22，求x 的取值集合．17．(2017·北京)已知函数f(x)＝3cos(2x －π3)－2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求证：当x ∈[－π4，π4]时，f(x)≥－12.18．(2021·衡水中学调研)已知函数y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，则ω的取值范围是()A ．[－32，0)B ．[－3，0)C ．(0，32]D ．(0，3]19．(2018·北京，理)设函数f(x)＝cos(ωx －π6)(ω>0)．若f(x)≤f(π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．4.4三角函数的图像和性质参考答案1．答案C 2．答案D解析y ＝tan(π4－x)＝－tan(x －π4)，由x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠k π＋3π4，k ∈Z .故选D.3．答案C 4．答案C解析f(x)＝tanx 1＋tan 2x ＝sinx cosx 1＋sin 2x cos 2x＝sinxcosx cos 2x ＋sin 2x＝sinxcosx ＝12sin2x ，所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C.5．答案D解析若f(x)＝sin(ωx ＋φ)是偶函数，则有φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴f(x)＝±cos ωx.而f ′(x)＝∓ωsin ωx ，∴f ′(0)＝0，故选D.6．答案B 7．答案C解析由f(x)＝12(1－cos2x)＋12sin2x ＝2sin （2x －π4）＋12，得该函数的最小正周期是π.当2k π－π2≤2x－π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z 时，函数f(x)是增函数，即函数f(x)的单调递增区间是[k π－π8，k π＋3π8]，其中k ∈Z .由k ＝0得函数f(x)的一个单调递增区间是[－π8，3π8]，结合各选项知，选C.8．答案C解析根据题意，f(x)＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝＋φ若f(x)为偶函数，则有φ＋π6＝k π＋π2，即φ＝k π＋π3，k ∈Z ，所以可以排除B 、D ，对于A ，当φ＝π3时，f(x)＝2cos2x ，在0，π4上是减函数，不符合题意，对于C ，当φ＝4π3时，f(x)＝2cos2x ，在0，π4上是增函数，符合题意．故选C.9．答案C解析因为x ∈[0，π2]，所以2x ＋π6∈[π6，7π6]．当2x ＋π6∈[π6，π2]时，函数f(x)＝2sin(2x ＋π6)单调递增，此时，m ∈[1，2]；当2x ＋π6∈(π2，7π6]时，函数f(x)＝2sin(2x ＋π6)单调递减，此时，m ∈[－1，2)，因此要有两个不相等实根，即m 与函数f(x)＝2sin 在π6，7π6上有两个交点，结合图象可知，m 的取值范围是[1，2)．故选C.10．答案ABC解析由三角函数的周期公式可得T ＝2π1＝2π，所以周期是－2π也正确，所以A 正确；由于三角函数在对称轴上取得最值，所以把对称轴x ＝8π3代入函数，得f(x)＝cos(8π3＋π3)＝cos3π＝－1，所以B 正确；f(x ＋π)＝cos(x ＋π＋π3)＝－cos(x ＋π3)＝0，解得其中一个解是x ＝π6，所以C 正确；函数f(x)在区间(π2，π)有增有减，D 不正确．11．答案CD解析f(x)＝sinx ＋cosx ＝2sing(x)＝2sin2x ，因为＝2sin －π4＋＝2sin0＝0，所以f(x)－π4，因为＝2sin 2＝2sin ＝－2≠0，所以g(x)－π4，A 错误．由于f(x)－π4，g(x)关于x ＝－π4成轴对称，故B 错误．若－π4<x<π4，则0<x ＋π4<π2，此时函数f(x)为增函数，若－π4<x<π4，则－π2<2x<π2，此时函数g(x)为增函数，－π4，C 正确．两函数的最大值相同，都为2，故D 正确．12．答案k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )13．答案π6解析因为f(x)＝2sinxsin ＋π3＋y ＝sinx 也是奇函数，所以函数y ＝sin ＋π3＋函数，所以π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，则φ＝k π＋π6(k ∈Z )，又φ∈(0，π)，所以φ＝π6.14．答案2π3解析f ′(x)＝cosx －asinx ，∵x ＝5π3为函数f(x)＝sinx ＋acosx 的一条对称轴，∴f ′(5π3)＝cos 5π3－asin 5π3＝0，解得a ＝－33.∴g(x)＝－33sinx ＋cosx ＝233(－12sinx ＋32cosx)＝233sin(x ＋2π3)．15．答案π216．答案(1)π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z|－π24＋k π<x<5π24＋k π，k ∈解析(1)f(x)＝3cos 2ωx ＋sin ωxcos ωx －32＝32(1＋cos2ωx)＋12sin2ωx －32＝32cos2ωx ＋12sin2ωx ＝因为最小正周期为2π2ω＝π，所以ω＝1，所以f(x)＝由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f(x)的单调递减区间为[π12＋k π，7π12＋k π]，k ∈Z .(2)f(x)>22，即>22，由正弦函数的性质得π4＋2k π<2x ＋π3<3π4＋2k π，k ∈Z ，解得－π24＋kπ<x<5π24＋k π，k ∈Z ，则x －π24＋k π<x<5π24＋k π，k ∈17．答案(1)π(2)证明见解析解析(1)f(x)＝32cos2x ＋32sin2x －sin2x ＝12sin2x ＋32cos2x ＝sin(2x ＋π3)．所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6.所以sin(2x ＋π3)≥sin(－π6)＝－12.所以当x ∈[－π4，π4]时，f(x)≥－12.18．答案C解析方法一：由于y ＝sinx 在[－π2，π2]上是增函数，为保证y ＝sin ωx 在[－π3，π3]上是增函数，所以ω>0且π3·ω≤π2，则0<ω≤32.故选C.方法二(特值法)：取ω＝－1，则y ＝sin(－x)＝－sinx ，不合题意，故A 、B 不对．取ω＝2，则y ＝sin2x ，不合题意，故D 不对，所以选C.19．答案23解析由于对任意的实数都有f(x)≤f(π4)成立，故当x ＝π4时，函数f(x)有最大值，故f(π4)＝1，即πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z )，又ω>0，∴ωmin ＝23.。

课时规范练10 对数与对数函数基础巩固组1。

（2020山东烟台模拟,1)已知集合A=x |14≤2x ≤4，B=y |y =lgx ,x >110，则A ∩B=（ ）A.[-2,2］ B 。

(1，+∞）C.(-1,2］D.(—∞，-1］∪(2,+∞)2。

设函数f （x ）={log 2(1-x ),x <0,4x ,x ≥0,则f (—3)+f （log 23)=（ ）A 。

9 B.11 C.13 D.153.(2020辽宁大连一中考前模拟，理7）已知a ，b 是非零实数,则“a 〉b ”是“ln ｜a ｜>ln |b ｜”的( ) A 。

充分不必要条件 B 。

必要不充分条件 C.充要条件 D 。

既不充分也不必要条件 4。

已知2x =5y =t ,1x+1y =2,则t=( ) A 。

110B 。

1100C.√10D 。

1005。

（2020山东济宁二模,6）设a=14log 213,b=120.3,则有（ )A.a+b>abB.a+b 〈abC.a+b=ab D 。

a-b=ab6。

(2020河南高三质检,7）企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P （单位：mg/L ）与时间t (单位:h ）间的关系为P=P 0e —kt (其中P 0,k 是正的常数）.如果在前10 h 消除了20%的污染物，则20 h 后废气中污染物的含量是未处理前的( ) A 。

40％ B.50%C 。

64％ D.81％7。

若函数y=f （x )是函数y=a x (a>0，且a ≠1）的反函数，且f (2）=1，则f （x )=（ ) A.log 2xB 。

12xC 。

lo g 12x D.2x-28。

(2020山东德州二模，6）已知a 〉b 〉0,若log a b+log b a=52，a b =b a ,则a b=( )A.√2 B 。

2 C 。