那曲县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

那曲县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知抛物线C ：的焦点为F ，准线为，P 是上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若
y x 82
=l l ，则（ ）
FQ PF 2==QF A ．6
B ．3
C ．
D ．
3
83
4第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
2． 函数f （x ）=lnx ﹣+1的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 设分别是中，所对边的边长，则直线与
,,a b c ABC ∆,,A B C ∠∠∠sin 0A x ay c ++=A 的位置关系是（ ）
sin sin 0bx B y C -+=A A ．平行
B ． 重合
C ． 垂直
D ．相交但不垂直
4． “x 2﹣4x ＜0”的一个充分不必要条件为（ ）A ．0＜x ＜4B ．0＜x ＜2C ．x ＞0D ．x ＜45． 垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）A ．平行
B ．相交
C ．异面
D ．以上都有可能
6． 从一群学生中抽取一个一定容量的样本对他们的学习成绩进行分析，已知不超过70分的人数为8人，其累计频率为0.4，则这样的样本容量是（ ）A ．20人B ．40人C ．70人
D ．80人7． （2015秋新乡校级期中）已知x+x ﹣1=3，则x 2+x ﹣2等于（
）
A ．7
B ．9
C ．11
D ．13
8． 将n 2个正整数1、2、3、…、n 2（n ≥2）任意排成n 行n 列的数表．对于某一个数表，计算某行或某列中的任意两个数a 、b （a ＞b ）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当n=2时，数表的所有可能的“特征值”的最大值为（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．3
9． 已知a=5
，b=log 2，c=log 5，则（
）
A ．b ＞c ＞a
B ．a ＞b ＞c
C ．a ＞c ＞b
D ．b ＞a ＞c
10．已知双曲线C 的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，且双曲线C过点P（﹣2，0），则双曲线C的
渐近线方程是（）
A．y=±x B．y=±C．xy=±2x D．y=±x
11．已知命题p：“∀x∈R，e x＞0”，命题q：“∃x0∈R，x0﹣2＞x02”，则（）
A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题
C．命题p∧（￢q）是真命题D．命题p∨（￢q）是假命题
12．命题“∀x∈R，2x2+1＞0”的否定是（）
A．∀x∈R，2x2+1≤0B．
C．D．
二、填空题
13．一个算法的程序框图如图，若该程序输出的结果为，则判断框中的条件i＜m中的整数m的值是 ．
14．设数列{a n}的前n项和为S n，已知数列{S n}是首项和公比都是3的等比数列，则{a n}的通项公式a n= ．
15．若关于x，y的不等式组（k是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则k= ．
16．若实数x，y满足x2+y2﹣2x+4y=0，则x﹣2y的最大值为 ．
17．
如图，P是直线x＋y－5＝0上的动点，过P作圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0的两切线、切点分别为A、B，当
四边形PACB 的周长最小时，△ABC 的面积为________．18．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数，其中，若存在唯一的整数
()()21x
f x e
x ax a =--+1a <，使得，则的取值范围是 0x ()00f x <a 三、解答题
19．已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A （2，3），且点F （2，0）为其右焦点．（1）求椭圆C 的方程；
（2）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．　
20．如图，摩天轮的半径OA 为50m ，它的最低点A 距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m 的景观带MN ，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM=60m ．点P 从最低点A 处按逆时针方向转动到最高点B 处，记∠AOP=θ，θ∈（0，π）．
（1）当θ= 时，求点P 距地面的高度PQ ；
（2）试确定θ 的值，使得∠MPN 取得最大值．
21．（本题满分15分）
设点是椭圆上任意一点，
过点作椭圆的切线，与椭圆交于，P 14:2
21=+y x C P )1(14:22222>=+t t
y t x C A 两点．
B
（1）求证：；
PB PA =（2）的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
OAB ∆【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．
22．在中，、、是 角、、所对的边，是该三角形的面积，且
（1）求的大小;（2）若
，
，求的值。

23．已知椭圆C的中心在坐标原点O，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为4．
（Ⅰ）椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）已知P、Q是椭圆C上的两点，若OP⊥OQ，求证：为定值．
（Ⅲ）当为（Ⅱ）所求定值时，试探究OP⊥OQ是否成立？并说明理由．
24．已知命题p：“存在实数a，使直线x+ay﹣2=0与圆x2+y2=1有公共点”，命题q：“存在实数a，使点（a，1）在椭圆内部”，若命题“p且¬q”是真命题，求实数a的取值范围．
那曲县实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】A
解析：抛物线C ：的焦点为F （0，2），准线为：y=﹣2，
y x 82
=l 设P （a ，﹣2），B （m ，），则=（﹣a ，4），=（m ，﹣2），
∵
，∴2m=﹣a ，4=
﹣4，∴m 2=32，由抛物线的定义可得|QF|=
+2=4+2=6．故选A ．
2． 【答案】A
【解析】解：∵f （x ）=lnx ﹣+1，
∴f ′（x ）=﹣
=
，
∴f （x ）在（0，4）上单调递增，在（4，+∞）上单调递减；且f （4）=ln4﹣2+1=ln4﹣1＞0；故选A ．
【点评】本题考查了导数的综合应用及函数的图象的应用．　
3． 【答案】C 【解析】
试题分析：由直线与，
sin 0A x ay c ++=A sin sin 0bx B y C -+=A 则，所以两直线是垂直的，故选C. 1sin (sin )2sin sin 2sin sin 0A b a B R A B R A B ⋅+⋅-=-=考点：两条直线的位置关系.4． 【答案】B
【解析】解：不等式x 2﹣4x ＜0整理，得x （x ﹣4）＜0∴不等式的解集为A={x|0＜x ＜4}，
因此，不等式x 2﹣4x ＜0成立的一个充分不必要条件，对应的x 范围应该是集合A 的真子集．
写出一个使不等式x 2﹣4x ＜0成立的充分不必要条件可以是：0＜x ＜2，故选：B ．　
5． 【答案】D
【解析】解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．故选D
【点评】本题主要考查在空间内两条直线的位置关系．
6．【答案】A
【解析】解：由已知中的频率分布直方图可得时间不超过70分的累计频率的频率为0.4，
则这样的样本容量是n==20．
故选A．
【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，熟练掌握频率的两个公式频率=矩形高×组距=是解答的关键．
7．【答案】A
【解析】解：∵x+x﹣1=3，
则x2+x﹣2=（x+x﹣1）2﹣2=32﹣2=7．
故选：A．
【点评】本题考查了乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．【答案】B
【解析】解：当n=2时，这4个数分别为1、2、3、4，排成了两行两列的数表，
当1、2同行或同列时，这个数表的“特征值”为；
当1、3同行或同列时，这个数表的特征值分别为或；
当1、4同行或同列时，这个数表的“特征值”为或，
故这些可能的“特征值”的最大值为．
故选：B．
【点评】题考查类比推理和归纳推理，属基础题．
9．【答案】C
【解析】解：∵a=5＞1，b=log2＜log5=c＜0，
∴a＞c＞b．
故选：C．
10．【答案】A
【解析】解：抛物线y2=8x的焦点（2，0），
双曲线C 的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，c=2，
双曲线C过点P（﹣2，0），可得a=2，所以b=2．
双曲线C的渐近线方程是y=±x．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线方程的应用，抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查．
11．【答案】C
【解析】解：命题p：“∀x∈R，e x＞0”，是真命题，
命题q：“∃x0∈R，x0﹣2＞x02”，即﹣x0+2＜0，
即：+＜0，显然是假命题，
∴p∨q真，p∧q假，p∧（￢q）真，p∨（￢q）假，
故选：C．
【点评】本题考查了指数函数的性质，解不等式问题，考查复合命题的判断，是一道基础题．
12．【答案】C
【解析】解：∵命题∀x∈R，2x2+1＞0是全称命题，
∴根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：
“”，．
故选：C．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，要求掌握特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，比较基础．
二、填空题
13．【答案】　6　．
【解析】解：第一次循环：S=0+=，i=1+1=2；
第二次循环：S=+=，i=2+1=3；
第三次循环：S=+=，i=3+1=4；
第四次循环：S=+=，i=4+1=5；
第五次循环：S=+=，i=5+1=6；输出S，不满足判断框中的条件；
∴判断框中的条件为i＜6？
故答案为：6．
【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题
14．【答案】 ．
【解析】解：∵数列{S n}是首项和公比都是3的等比数列，∴S n =3n．
故a1=s1=3，n≥2时，a n=S n ﹣s n﹣1=3n﹣3n﹣1=2•3n﹣1，
故a n=．
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，数列的前n项的和Sn与第n项an的关系，属于中档题．
15．【答案】　﹣1或0　．
【解析】解：满足约束条件的可行域如下图阴影部分所示：
kx﹣y+1≥0表示地（0，1）点的直线kx﹣y+1=0下方的所有点（包括直线上的点）
由关于x，y的不等式组（k是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，
可得直线kx﹣y+1=0与y轴垂直，此时k=0或直线kx﹣y+1=0与y=x垂直，此时k=﹣1
综上k=﹣1或0
故答案为：﹣1或0
【点评】本题考查的知识点是二元一次不等式（组）与平面区域，其中根据已知分析出直线kx﹣y+1=0与y轴垂直或与y=x垂直，是解答的关键．
16．【答案】10
【解析】
【分析】先配方为圆的标准方程再画出图形，设z=x﹣2y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x﹣2y 过图形上的点A的坐标，即可求解．
【解答】解：方程x2+y2﹣2x+4y=0可化为（x﹣1）2+（y+2）2=5，
即圆心为（1，﹣2），半径为的圆，（如图）
设z=x﹣2y，将z看做斜率为的直线z=x﹣2y在y轴上的截距，
经平移直线知：当直线z=x﹣2y经过点A（2，﹣4）时，z最大，
最大值为：10．
故答案为：10．
17．【答案】
【解析】解析：圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0的标准方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝9.
圆心C（1，－2），半径为3，连接PC，
∴四边形PACB 的周长为2（PA ＋AC ）＝2＋2AC ＝2＋6.
PC 2－AC 2PC 2－9当PC 最小时，四边形PACB 的周长最小．此时PC ⊥l .
∴直线PC 的斜率为1，即x －y －3＝0，
由，解得点P 的坐标为（4，1），{x ＋y －5＝0x －y －3＝0
)
由于圆C 的圆心为（1，－2），半径为3，所以两切线PA ，PB 分别与x 轴平行和y 轴平行，即∠ACB ＝90°，
∴S △ABC ＝AC ·BC ＝×3×3＝.
1
21292
即△ABC 的面积为.
92
答案：9
218．【答案】
【解析】试题分析:设
,由题设可知存在唯一的整数，使得
在直线0x
的下方.因为
,故当
时,
,函数
单调递减;
当
时,
,函数单调递增;故,而当
时,
,故当
且
,解之得
,应填答案
.3,12e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
考点：函数的图象和性质及导数知识的综合运用．
【易错点晴】本题以函数存在唯一的整数零点，使得为背景,设置了一道求函数解析式中的参数0x ()00f x <的取值范围问题,目的是考查函数的图象和性质及导数在研究函数的单调性最值等有关知识的综合运用.同时也综合考查学生运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先运用等价转化得到数学思想将问题等价转化为存在唯一的整数，使得在直线
的下方.然后再借助导数的知识求出函数的最小值,依
0x 据题设建立不等式组求出解之得
.
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）依题意，可设椭圆C的方程为（a＞0，b＞0），且可知左焦点为
F（﹣2，0），从而有，解得c=2，a=4，
又a2=b2+c2，所以b2=12，故椭圆C的方程为．
（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=x+t，
由得3x2+3tx+t2﹣12=0，
因为直线l与椭圆有公共点，所以有△=（3t）2﹣4×3（t2﹣12）≥0，解得﹣4≤t≤4，
另一方面，由直线OA与l的距离4=，从而t=±2，
由于±2∉[﹣4，4]，所以符合题意的直线l不存在．
【点评】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．
20．【答案】
【解析】解：（1）由题意得PQ=50﹣50cosθ，
从而当时，PQ=50﹣50cos=75．
即点P距地面的高度为75米．
（2）由题意得，AQ=50sinθ，从而MQ=60﹣50sinθ，NQ=300﹣50sinθ．
又PQ=50﹣50cosθ，所以tan，tan．
从而tan∠MPN=tan（∠NPQ﹣∠MPQ）=
=．
令g （θ）=．θ∈（0，π）
则
，θ∈（0，π）．由g ′（θ）=0，得sin θ+cos θ﹣1=0，解得．
当时，g ′（θ）＞0，g （θ）为增函数；当x
时，g ′（θ）＜0，g （θ）为减函
数．所以当θ=时，g （θ）有极大值，也是最大值．
因为
．所以
．
从而当g （θ）=tan ∠MNP 取得最大值时，∠MPN 取得最大值．即当
时，∠MPN 取得最大值．
【点评】本题考查了与三角函数有关的最值问题，主要还是利用导数研究函数的单调性，进一步求其极值、最值．　
21．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
∴点为线段中点，；…………7分
P AB PB PA =（2）若直线斜率不存在，则，与椭圆方程联立可得，，
AB 2:±=x AB 2C )1,2(2
--±t A ，故，…………9分
)1,2(2-±t B 122-=∆t S OAB
若直线斜率存在，由（1）可得
AB ，，，…………11分1482
21+-=+k km x x 144422221+-=k t m x x 1
41141222212
+-+=-+=k t k x x k AB 点到直线的距离，…………13分O AB 2
2211
41k
k k m d +
+
=
+
=∴，综上，的面积为定值
． (15)
分
122
1
2
-=⋅=∆t d AB S OAB OAB ∆122-t 22．【答案】 【解析】
解：（1）由
得
，即
（2）
23．【答案】
【解析】（I ）解：由题意可设椭圆的坐标方程为
（a ＞b ＞0）．
∵离心率为，且椭圆C 上一点到两个焦点的距离之和为4．∴
，2a=4，解得a=2，c=1．
∴b 2=a 2﹣c 2=3．∴椭圆C 的标准方程为
．
（II ）证明：当OP 与OQ 的斜率都存在时，设直线OP 的方程为y=kx （k ≠0），则直线OQ 的方程为y=﹣x （k ≠0），P （x ，y ）．联立
，化为
，
∴|OP|2=x2+y2=，同理可得|OQ|2=，
∴=+=为定值．
当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，上式也成立．
因此=为定值．
（III）当=定值时，试探究OP⊥OQ是否成立？并说明理由．
OP⊥OQ不一定成立．下面给出证明．
证明：当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，则===，满足条件
．
当直线OP或OQ的斜率都存在时，
设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=k′x（k≠k′，k′≠0），P（x，y）．
联立，化为，
∴|OP|2=x2+y2=，
同理可得|OQ|2=，
∴=+=．
化为（kk′）2=1，
∴kk′=±1．
∴OP⊥OQ或kk′=1．
因此OP⊥OQ不一定成立．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得交点坐标、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
24．【答案】
【解析】解：∵直线x+ay﹣2=0与圆x2+y2=1有公共点
∴≤1⇒a2≥1，即a≥1或a≤﹣1，
命题p为真命题时，a≥1或a≤﹣1；
∵点（a，1）在椭圆内部，
∴，
命题q为真命题时，﹣2＜a＜2，
由复合命题真值表知：若命题“p且¬q”是真命题，则命题p，￢q都是真命题即p真q假，则⇒a≥2或a≤﹣2．
故所求a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．。