2019-2020学年人教A版必修4限时规范训练：1.1.2弧度制

高中数学人教A 版必修4第一章三角函数1.1.2弧度制学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列说法中，错误的是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( )A ．143πB ．143π-C ．718πD ．718π-3．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A ．403π B ．203π C ．2003πD ．4003π4．把114π-表示成θ＋2kπ(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A ．34π-B ．4π-C ．4π D ．34π 5．一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ）A ．2π B ．3π C D6．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( )A ．B ．C ．D ．二、双空题 7．12rad ＝________度，________ rad ＝－300°.8．(1)1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为________米； (2)1 rad 的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米．三、填空题9．已知圆心角为60的扇形，其半径为3，则该扇形的面积为___． 10．钟表的时间经过了一小时，则时针转过了________rad .四、解答题 11．已知α＝2 000°.(1)把α写成2kπ＋β [k ∈Z ，β∈[0，2π)]的形式； (2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．12．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．13．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.求α(∠AOB )所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .参考答案1．D 【解析】 【详解】由弧度制的定义可知：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度， 则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度， D 的说法错误，很明显ABC 的说法正确. 本题选择D 选项. 2．B 【解析】显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为73-×2π＝143π-. 本题选择B 选项.点睛：一定要注意角的正负，特别是表的指针所成的角为负角. 3．A 【解析】24042401803ππ==， 所以弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π. 本题选择A 选项. 4．A 【解析】 令－114π＝θ＋2kπ(k ∈Z )，则θ＝－114π－2kπ(k ∈Z )． 取k ≤0的值，k ＝－1时，θ＝－34π，|θ|＝34π； k ＝－2时，θ＝54π，|θ|＝5344ππ>；k ＝0时，θ＝－114π，|θ|＝11344ππ>. 本题选择A 选项. 5．C【解析】试题分析：设圆内接正方形的边长为a，所以弧长等于a的圆弧所对的圆心角为2lrα===C.考点：弧长公式.6．C【解析】分析：分k为偶数和k为奇数讨论，即可得到答案.详解：由集合{},42k k k Zππαπαπ+≤≤+∈，当k为偶数时，集合{},42k k k Zππαπαπ+≤≤+∈与{|}42ππαα≤≤表示相同的角，位于第一象限；当k为奇数时，集合{},42k k k Zππαπαπ+≤≤+∈与{53|}42ππαα≤≤表示相同的角，位于第三象限；所以集合{},42k k k Zππαπαπ+≤≤+∈中表示的角的范围为选项C，故选C.点睛：本题考查了角的表示，其中分k为偶数和k为奇数两种讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.7．1553π-【解析】由题意有：180151212π==，53003001803ππ-=-⨯=-.8．180π1【解析】(1)因为|α|＝1°＝180π，l＝1，所以1180180lrπαπ===米.(2)因为l ＝1，|α|＝1，所以1lr α==米.9．32π 【分析】现将60转化为弧度制，然后利用扇形面积公式计算扇形面积. 【详解】60转化为弧度制是π3，故扇形的面积为2211π3π32232r α=⨯⨯=. 【点睛】本小题主要考查弧度制和角度制的相互转化，考查扇形的面积公式，属于基础题. 10．6π-【解析】由题意可知，一小时时针顺时针旋转：3603012=， 据此可得时针转过的弧度为：301806rad ππ-=-. 11．(1)10109αππ=+；(2)469π.【解析】 试题分析：(1)由题意首先将2 000°化为360°的整数倍，然后转化为弧度制可得10109αππ=+； (2)由题意可知θ＝2kπ＋109π，k ∈Z ，结合角的范围可知，取2k =，此时469πθ=.试题解析：(1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋π. (2)θ与α的终边相同，故θ＝2kπ＋π，k ∈Z ， 又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝4π＋π＝.12．(1)5|22,612k k k Z ππθπθπ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭；(2)|,62k k k Z ππθπθπ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭. 【解析】试题分析：(1)与330°角的终边相同的角的弧度制为6π-，且57512π=，据此可得终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为5|22,612k k k Z ππθπθπ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭； (2)由题意可知：730,21066ππ==，则终边在直线AB 上的角为α＝kπ＋6π，k ∈Z ，又终边在y 轴上的角为β＝kπ＋2π，k ∈Z ，故终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为|,62k k k Z ππθπθπ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭.试题解析：(1)如题图①，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－，而75°＝75×＝，所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.(2)如题图②，因为30°＝，210°＝，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB 上的角为α＝kπ＋，k ∈Z ， 又终边在y 轴上的角为β＝kπ＋，k ∈Z ， 从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为.点睛：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成集合：{}{}|2,|360,S k k Z k k Z ββαπββα==+∈==+⨯∈.即任何一个与角a 的终边相同的角都可以表示为角α与周角的整数倍的和.13．103π；503π⎛ ⎝⎭. 【解析】 试题分析：由题意可知△AOB 是等边三角形，所以α＝∠AOB ＝3π.则弧长l ＝103π，由扇形面积公式可得其面积为50=3S 扇形π，据此计算可得弓形的面积为5032π⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 试题解析：由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形， 所以α＝∠AOB ＝60°＝. 所以弧长l ＝a ·r ＝×10＝，所以S 扇形＝lr ＝××10＝， 又S △AOB ＝·AB ·5＝×10×5＝，所以S ＝S 扇形－S △AOB ＝50.点睛：在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．。

课后集训基础达标1.下列各对角终边相同的是（ ）A.（2k+1）π与(4k±1)π(k ∈Z )B.2πk 与kπ+2π(k ∈Z ) C.kπ+6π与2kπ±6π (k ∈Z ) D.kπ±3π与3πk (k ∈Z )解析：用特殊值法分别找出角的终边的位置.答案：A2.把792π化成α+2kπ(0≤α＜2π,k ∈Z )的形式为（ ） A.7π+13π B.78π+12π C.76π-+14π D.以上都不对解析：A 不符合2kπ,k ∈Z 条件，C 不符合0≤α＜2π条件，B 符合所有条件.答案：B3.下列命题中，假命题是( )A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.一度的角是周角为3601，一弧度的角是周角的π21 C.根据弧度的定义，180°一定等于π弧度D.不论是用角度还是弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关解析：根据角度与弧度定义无论角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，所以D 是假命题. 答案：D4.时钟经过一小时，时针转过了（ ）A.6πradB.-6πradC.12πradD.12π-rad 解析：时针转一圈经过12小时，即转-2π弧度，故经过一小时转-2π×121=-6π弧度.答案：B5.集合A={α|α=kπ+2π,k ∈Z },B={α|α=2kπ±2π,k ∈Z }的关系是（ ） A.A=B B.A ⊆B C.B ⊆A D.以上都不对解析：A={α|α=22ππ+k ,k ∈Z },B={α|α=24ππ±k ,k ∈Z }，于是A=B.答案：A6.圆的半径变为原来的21，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的________倍. 解析：设圆的半径为r ，所对的弧长为l ，圆心角为α，则变化后圆的半径为2r,弧长仍为l ，故该弧所对的圆心角为α1=α222=∙=r lr l .答案：27.已知集合A={α|2kπ≤α≤(2k+1)π,k ∈Z },B={α|-4≤α≤4},则A∩B 为（ ） A. B.{α|-4≤α≤π}C.{α|0≤α≤π}D.{α|-4≤α≤-π}∪{α|0≤α≤π}解析：当k=0时，A={α|0≤α≤π}，此时A∩B={α|0≤α≤π}.当k=-1时A={α|-2π≤α≤-π}，此时，A∩B={α|-4≤α≤-π}.于是A∩B={α|-4≤α≤-π}∪{α|0≤α≤π}. 答案：D8.一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积是（ ）A.22R （2-sin1cos1）B.22R sin1cos1C.21R 2 D.(1-sin1cos1)R 2 解析：扇形的弧长l=4R-2R=2R. ∴中心角的弧度数α=RR 2=2. 于是S 扇形=21lR=21·2R·R=R 2.又OC=cos1·R ，AC=sin1·R （如右图）， ∴S △AOB =12×2Rsin1×Rcos1=R 2sin1cos1,∴S 弓形=R 2-R 2sin1cos1=R 2(1-sin1cos1).故选D. 答案：D 9.如右图，已知点B 是⊙C 外一点，BD 是圆C 的切线，B 、C 的连线交⊙C 于点A.若△BCD 的面积被平分，∠BCD=θ,则tanθ=________.解析：∵BD 是⊙C 的切线，CD 是⊙C 的半径， ∴∠CDB=90°. ∵△BCD 的面积被平分. ∴S △BCD =2S 扇形ACD即21BD·CD=2·21θ·CD 2. ∴CD BD =2θ.∵tanθ=CDBD , ∴tanθ=2θ. 答案：2θ10.如右图，圆心在原点、半径为R 的圆交x 轴正半轴于点A ，P 、Q 是圆上的两个动点，它们同时从点A 出发沿圆周做匀速运动.OP 逆时针方向每秒转3π，OQ 顺时针方向每秒转6π.试求P 、Q 出发后第五次相遇的位置及各自走过的弧长.解：易知，动点P 、Q 由第k 次相遇到第k+1次相遇所走过的弧长之和恰好等于圆的一个周长2πR ，因此当他们第五次相遇时走过的弧长之和为10πR.设动点P 、Q 自A 点出发到第五次相遇走过的时间为t 秒，走过的弧长分别为l 1、l 2，则l 1=3πtR,l 2=|-6π|·tR=6πtR.因此l 1+l 2=3πtR+6πtR=10πR,所以t=R R )63(10π+=20(秒)，l 1=320πR,l 2=310πR.由此可知，OP 转过的角度为320π=6π+32π，所以动点P 、Q 第五次相遇处点M 的坐标为（Rcos 32π,Rsin 32π）,即（R R 23,21-），P 、Q 走过的弧长分别为320πR 和310πR. 备选习题11.若角α的终边和函数y=-|x|的图象重合，则角α的集合为_________.解析：如右图，当x≥0时，y=-x,图象为第四象限角平分线，终边与其重合的角α的集合为:{α|α=2kπ+π47,k ∈Z };当x≤0时，y=x ，图象为第三象限角平分线，终边与其重合的角α的集合为：{α|α=2kπ+π45,k ∈Z }.于是满足条件的角α的集合为{α|α=2kπ+π45,k ∈Z } ∪{α|α=2kπ+π47,k ∈Z }.答案：{α|α=2kπ+π45,k ∈Z }∪{α|α=2kπ+π47,k ∈Z } 12.12点15分时，时针与分针的夹角是__________弧度. 解析：15分=41小时,时针转过2π×121×41=24π, 分针转过2π×41=2π,∴夹角为2π-24π=π2411. 答案：π2411 13.将下列各角化成0到2π的角加上2kπ(k ∈Z )的形式，并求出在（-2π，4π）内和它终边相同的角.(1)π316-;(2)-675°. 解：(1)π316-=-6π+32π, 设在（-2π，4π）内与π316-终边相同的角为θ, 则θ=π316-+2kπ,k ∈Z ,则-2π＜π316-+2kπ＜4π.解得：35＜k ＜314, ∵k ∈Z ,∴k=2,3,4.当k=2时，θ=34π-;当k=3时，θ=32π;当k=4时，θ=38π.∴在（-2π，4π）内与316π-终边相同的角为：34π-，32π，38π.(2)-675°=-675×415180ππ-==-4π+4π. 设在（-2π，4π）内与-675°终边相同角为θ,则θ=415π-+2kπ,于是-2π＜415π-+2kπ＜4π,解得78＜k ＜318.∵k ∈Z ,∴k=1,2,3.当k=1时，θ=-47π;当k=2时，θ=4π,当k=3时，θ=49π.∴在（-2π，4π）内与-675°终边相同角为-47π，4π，49π.14.已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，试求扇形的中心角的弧度数.解：设此扇形的半径为r ，弧长为l,则)2()1(.4,26,221,62⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+rl r l lr l r 把①代入②，得r(6-2r)=4,∴r 2-3r+2=0.解得r=1或r=2. ∵α是扇形的中心角， ∴α＞0.当r=1时，l=6-2r=6-2×1=4,此时，α=14=r l =4 rad; 当r=2时，l=6-2r=6-2×2=2, 此时，α=22=r l =1 rad. ∴扇形中心角的弧度数是4或1.15.要修建一扇环形花圃如右图，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l ，问当中心角α为多少时，其面积最大，并求其最大面积（中心角的大小限在0—π间）.解法1：设内圆弧半径为r ，则外圆弧的半径为2r ，由于扇环形花圃周长为定值2l,则2r+α·r+α·2r=2l,解得α=rrl 322-. ∴S 扇环=21α·（2r ）2-21α·r 2=21α·3r 2=21·r r l 322-·3r 2=-r 2+lr=-(r-2l )2+42l .当r=2l 时，即α=32时，扇环的面积最大，且最大值为42l .解法2：设内圆弧的半径为r ，则外圆弧的半径为2r.由于扇环形花圃周长为定值2l ，则2r+α·r+2α·r=2l,解得：r=232+αl.∴S 扇环=21α·(2r)2-21α·r 2=21α·3r 2=21α·3·41296)23(42222++=+ααααl l =124962++ααl=24)23(622+-ααl .当αα23=即α=32时, S 扇环有最大值，且最大值为241l . 16.用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（如下图），不包括边界.解：（1）如图（1），以OB 为终边的角330°，可看成为-30°，化为弧度，即-6π，而75°=75×180π=125π,∴{θ|2kπ-6π＜θ＜2kπ+125π,k ∈Z }.（2）如图（2），以OB 为终边的角225°，可看成是-135°，化为弧度，即π43-，而135°=135×180π=43π,∴{θ|2kπ-43π＜θ＜2kπ+43π,k ∈Z }.（3）如图（3），∵30°=6π，210°=67π，∴{θ|2kπ+6π＜θ＜2kπ+2π,k ∈Z }∪{θ|2kπ+67π＜θ＜2kπ+23π,k ∈Z },即{θ|2kπ+6π＜θ＜2kπ+2π,k ∈Z }∪{θ|（2k+1）π+6π＜θ＜（2k+1）π+2π,k ∈Z }， ∴{θ|kπ+6π＜θ＜kπ+2π,k ∈Z }.。

1．下列命题中，正确的是( )A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角D ．1弧度是1度的弧与1度的角之和解析：利用弧度的概念可直接推得C 为正确选项．答案：C2．2 100°化成弧度是( )A.35π3B ．10π C.28π3D.25π3 解析：2 100°＝2 100×π180＝35π3. 答案：A3．若扇形的圆心角为60°，半径为6，则扇形的面积为________．解析：扇形的面积S ＝12|α|r 2＝12×π3×62＝6π.答案：6π4．若θ角的终边与8π5角的终边相同，在[0,2π)内与θ4角的终边相同的角是________．解析：由题设知θ＝2k π＋8π5，k ∈Z ，则θ4＝k π2＋2π5，k ∈Z. ∴当k ＝0时，θ4＝2π5； 当k ＝1时，θ4＝9π10； 当k ＝2时，θ4＝7π5； 当k ＝3时，θ4＝19π10. 答案：2π5，9π10，7π5，19π105．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α的终边在第几象限；(2)求 γ角，使γ与α角的终边相同，且γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. 解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝14π9，∴α＝14π9＋(－3)×2π，α角与14π9的终边相同， ∴α是第四象限角．(2)∵与α角终边相同的角为2k π＋α，k ∈Z ，α与14π9终边相同，∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z.又∵γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴－π2<2k π＋14π9<π2，当k ＝－1时，不等式成立，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.。

弧度制1.[答案] C2.[答案] C[解析] S ＝12l ·r ＝12·α·r 2＝4，∵α＝2，∴r ＝2，∴l ＝α·r ＝4.4.[解析] 16π3＝4＋123π＝43π＋4π.5．[答案] B6．[答案] 三7．[答案] 47 m[解析] 根据弧长公式，l ＝ar ＝π3×45≈47(m)．8．[答案] C[解析] α＝－23π＝－(23π×180π)°＝－120°，则α的终边在第三象限．9．[答案] C[解析] 由－π<－3<－π2知－3是第三象限角．10．[答案] C[解析] ∵－7π9－11π9＝－2π，∴选C.11．[答案] B[解析] ∵15°＝π12，∴l ＝π12×6＝π2(cm)，∴S ＝12lr ＝12×π2×6＝3π2(cm 2)．12．[答案] A13．[答案] A[解析] 设圆心角为θ，则θ＝π32＝π6.14．[答案] π6＋4π15．[答案] (－π，0)[解析] 由题意，得－π2<α<π2，－π2<－β<π2，∴－π<α－β<β.又α<β，∴α－β<0.∴－π<α－β<0.B 级1．[解析] (1) 如图所示，设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，圆心角为θ(0<θ<2π)，由l ＋2r ＝20，得l ＝20－2r ，由12lr ＝9，得12(20－2r )r ＝9，∴r 2－10r ＋9＝0，解得r 1＝1，r 2＝9.当r 1＝1 cm 时，l ＝18 cm ，θ＝l r ＝181＝18>2π(舍去)．当r 2＝9 cm 时，l ＝2 cm ，θ＝l r ＝29.∴扇形的圆心角的弧度数为29.(2)扇形的圆心角为75×π180＝5π12，扇形半径为15 cm ，扇形面积S ＝12|α|r 2＝12×5π12×152＝3758π(cm 2)．2．[解析] (1)310°＝π180 rad ×310＝31π18 rad.(2)5π12 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π×5π12°＝75°.(3)方法一(化为弧度)：α＝15°＝15×π180＝π12.θ＝105°＝105×π180＝7π12.显然π12<π10<1<7π12.故α<β< γ<θ＝φ.方法二(化为角度)：β＝π10＝π10×(180π)°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝7π12×(180°π)°＝105°.显然，15°<18°<57.30°<105°.故α<β<γ<θ＝φ.3．[解析] (1)将阴影部分看成是由OA 逆时针转到OB 所形成．故满足条件的角的集合为{α|34π＋2k π<α<43π＋2k π，k ∈Z }．(2)若将终边为OA 的一个角改写为－π6，此时阴影部分可以看成是OA 逆时针旋转到OB 所形成，故满足条件的角的集合为{α|－π6＋2k π<α≤5π12＋2k π，k ∈Z }．(3)将图中x 轴下方的阴影部分看成是由x 轴上方的阴影部分旋转π rad而得到，所以满足条件的角的集合为{α|k π≤α≤π2＋k π，k ∈Z }．(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π rad 后可得到第四象限的阴影部分．所以满足条件的角的集合为{α|2π3＋k π<α<5π6＋k π，k ∈Z }．4．集合A ＝{α|α＝n π2，n ∈Z }∪{α|α＝2n π±23π，n ∈Z }，B ＝{β|β＝23n π，n∈Z }∪{β|β＝n π＋π2，n ∈Z }，求A 与B 的关系．[解析] 解法1 ：如图所示．∴B A.解法2：{α|α＝nπ2，n∈Z}＝{α|α＝kπ，k∈Z}∪{α|α＝kπ＋π2，k∈Z}；{β|β＝2nπ3，n∈Z}＝{β|β＝2kπ，k∈Z}∪{β|β＝2kπ±23π，k∈Z}比较集合A、B的元素知，B中的元素都是A中的元素，但A中元素α＝(2k＋1)π(k∈Z)不是B的元素，所以A B.。

1.1.2弧度制一、教学目标：1、知识与技能（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.2、过程与方法创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备.二、教学重、难点重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用. 难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用.三、学法与教学用具在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化.教学用具:计算器、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.【探究新知】1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本67P P ~，自行解决上述问题.2.弧度制的定义[展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，yxAαOB或1弧度，或1(单位可以省略不写).3.探究:如图,半径为r 的圆的圆心与原点重合,角α的终边与x 轴的正半轴重合,交圆于点A ,终边与圆交于点B .请完成表格.-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.4.思考:如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是,那么a 的弧度数是多少?角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 5.根据探究中180rad π︒=填空:1___rad ︒=,1___rad =度显然,我们可以由此角度与弧度的换算了. 6.例题讲解例1.按照下列要求,把'6730︒化成弧度:(1) 精确值；(2) 精确到0.001的近似值.例2.将3.14rad 换算成角度(用度数表示,精确到0.001).注意:角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒=,另外注意计算器计算非特殊角的方法.7. 填写特殊角的度数与弧度数的对应表:角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.8.例题讲评例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:(1)l R α=; (2)212S R α=; (3)12S lR =. 其中R 是半径,是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇形的面积. 例4.利用计算器比较sin1.5和sin85︒的大小.注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别.9.练习 教材10P .9.学习小结(1)你知道角弧度制是怎样规定的吗?(2)弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗?五、评价设计1．作业：习题1.1 A 组第7,8,9题． 2．要熟练掌握弧度制与角度制间的换算,以及异同．能够使用计算器求某角的各三角函数值．。

姓名，年级：时间：第一章 1.1 1。

1.2【基础练习】1．将1 920°转化为弧度数为（）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!【答案】D【解析】1 920°＝5×360°＋120°＝5×2π＋错误!＝错误!。

故选D．2．已知扇形的周长为12 cm，面积为8 cm2，则扇形圆心角的弧度数为( ）A．1 B．4C．1或4 D．2或4【答案】C【解析】设扇形的弧长为l,半径为r，则2r＋l＝12，S扇形＝错误!lr＝8,解得r＝4，l＝4或者r＝2，l＝8.∴扇形的圆心角的弧度数是错误!＝1或错误!＝4。

故选C．3．半径为3 cm的圆中，错误!的圆心角所对的弧长为（)A．错误! cm B．错误! cmC．错误! cm D．错误! cm【答案】A【解析】由题意可得圆心角α＝错误!，半径r＝3，∴弧长l＝αr＝错误!×3＝错误!。

故选A．4．下列转化结果错误的是( )A．67°30′化成弧度是错误! rad B．－错误!π化成度是－600°C．－150°化成弧度是错误! rad D．错误!化成度是15°【答案】C【解析】1°＝错误!，对于A，67°30′＝67°30′×错误!＝错误!，A正确;对于B，－错误!π＝－错误!π×错误!°＝－600°，B正确；对于C,－150°＝－错误!×150°＝－错误!π≠错误!π，C错误；对于D，错误!＝错误!×错误!°＝15°，D正确．故选C．5．已知两角和为1弧度且两角差为1°,则这两个角的弧度数分别是________．【答案】错误!＋错误!，错误!－错误!【解析】设两个角的弧度分别为x，y，因为1°＝π180rad，所以有错误!解得错误!即所求两角的弧度数分别为错误!＋错误!，错误!－错误!.6．如图所示，图中公路弯道处的弧长l＝________。

1.1.2 弧度制1．角的单位制(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．(3)角的弧度数求法：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么l，α，r之间存在的关系是：____________；这里α的正负由角α的________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________．2．角度制与弧度制的换算3.设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则一、选择题 1．集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是( )A ．A ＝B B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．以上都不对2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1 3．扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2，则其中心角的弧度数是( )A ．1或4B ．1或2C ．2或4D ．1或54．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( )A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}5．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( ) A.π4 B ．－π4 C.34π D ．－34π 6．扇形圆心角为π3，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )A ．1∶3B ．2∶3C ．4∶3D ．4∶9二、填空题7．将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________．8．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为____．9．若2π<α<4π，且α与－7π6角的终边垂直，则α＝______. 10．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________________.三、解答题11．把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：(1)－1 500°；(2)236π；(3)－4.12．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？1.1.2 弧度制答案知识梳理1．(1)1360 (2)半径长 1 rad (3)|α|＝l r终边的旋转方向 正数 负数 02．2π 360° π 180° π180⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫180π° 3.απR 180 αR απR 2360 12αR 2 12lR 作业设计1．A2．C [r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1.] 3．A [设扇形半径为r ，圆心角为α，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2r ＋αr ＝612αr 2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝2α＝1.]4．C [集合A 限制了角α终边只能落在x 轴上方或x 轴上．]5．D [∵－114π＝－2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－34π，∴θ＝－34π.] 6．B [设扇形内切圆半径为r ，则r ＋rsin π6＝r ＋2r ＝a .∴a ＝3r ，∴S 内切＝πr 2.S 扇形＝12αr 2＝12×π3×a 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2. ∴S 内切∶S 扇形＝2∶3.]7．－10π＋74π 解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，∴－1 485°可以表示为－10π＋74π. 8．25解析 216°＝216×π180＝6π5，l ＝α·r ＝6π5r ＝30π，∴r ＝25. 9.73π或103π 解析 －76π＋72π＝146π＝73π，－76π＋92π＝206π＝103π. 10．－11π3，－5π3，π3，7π3解析 由题意，角α与π3终边相同，则π3＋2π＝73π， π3－2π＝－53π，π3－4π＝－113π. 11．解 (1)－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋5π3， ∴－1 500°与53π终边相同，是第四象限角． (2)236π＝2π＋116π，∴236π与116π终边相同，是第四象限角． (3)－4＝－2π＋(2π－4)，∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．12．解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r .∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100. ∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad. 13．4 2解析 设圆半径为r ，则内接正方形的边长为2r ，圆弧长为42r .∴圆弧所对圆心角|θ|＝42r r＝4 2.。

1.1.2 弧度制课时目标 1.理解角度制与弧度制的概念，掌握角的不同度量制度，能对弧度和角度进行正确的变换.2.掌握并会应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．1．角的单位制(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．(3)角的弧度数求法：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么l，α，r之间存在的关系是：____________；这里α的正负由角α的________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________．2．角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝________rad2πrad＝________180°＝______radπrad＝________1°＝______rad≈0.01745rad1rad＝______≈57°18′3.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α (0<α<2π）为其圆心角，则度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝________l＝______扇形的面积S＝________S＝______＝______一、选择题1．集合A＝α|α＝kπ＋π2，k∈Z与集合B＝α|α＝2kπ±π2，k∈Z的关系是()A．A＝BB．A?BC．B?AD．以上都不对2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是()A．2B．sin2C.2sin1D．2sin1。

1.1.2 弧度制5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做_______________的角，以弧度为单位来度量角的制度叫_______________. 答案：1弧度 弧度制2.把-38π化成度是( ) A.-960° B.-480° C.-120° D.-60° 思路解析：-38π=-38×180°=-480°. 答案：B3.在半径为2 cm 的圆中，有一条弧长为3πcm ，它所对的圆心角为( ) A.6π B.3π C.2πD.32π思路解析：设圆心角为θ，则θ=23π=6π.答案：A 4.已知α=-689π，则α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 思路解析：-689π=-16π+67π，故-689π与67π终边相同.答案：C10分钟训练（强化类训练，可用于课中） 1.下列各角中与127π终边相同的角为( ) A.435° B.465° C.225° D.-435° 思路解析：127π=7×15°=105°. 435°=360°+75°，465°=360°+105°，225°=360°-135°，-435°=-360°+（-75°）. 答案：B2.直径为4 cm 的圆中，36°圆心角所对的弧长是( ) A.54πcm B.52πcm C.3πcm D.2πcm思路解析：l=r ·α，α=36°=5π，r=2 cm ，代入计算可得 l=r ·α=2·5π=52πcm. 答案：B3.终边在第三象限的角的集合为_______________.思路解析：在0°—360°间，终边在第三象限的角θ满足180°＜θ＜270°.由终边相同角的意义，知第三象限角α的范围可表示为k ·360°+180°＜α＜k ·360°+270°，k ∈Z 或2k π+π＜α＜2k π+23π，k ∈Z . 答案：{α|k ·360°+180°＜α＜k ·360°+270°，k ∈Z ＝＝}}}或{α|（2k+1）π＜α＜2k π+23π，k ∈Z 4.一时钟分针长3 cm ，经过20 min ，分针外端点转过的弧长为_______________. 思路解析：分针转过的圆心角为α=6020·2π=32π，所以分针转过的弧长为l=α·r=32π·3=2π（cm ）. 答案：2π cm5.已知（4k+1）π<α<（4k+1）π+3π，k ∈Z ，试问4α是第几象限角？ 解：∵（4k+1）π＜α＜（4k+1）π+3π，k ∈Z ，则k π+4π＜4α＜k π+3π，k ∈Z .当k 为偶数，即k=2n ，n ∈Z 时，2n π+4π＜4α＜2n π+3π，故4α为第一象限角；当k 为奇数，即k=2n+1，n ∈Z 时，2n π+45π＜4α＜2n π+34π，故4α为第三象限角.综上，4α为第一象限或第三象限角.6.已知扇形周长是6 cm ，面积为2 cm 2，则扇形圆心角的弧度数是多少？解：设扇形半径为r ，弧长为l ，由⎪⎩⎪⎨⎧=∙∙=+,221,62r l r l 解得⎩⎨⎧==4,1l r 或⎩⎨⎧==.2,2l r又由α=rl，所以α=4或1. 7.如图1-1-1，弓形弦长AB=3 cm ，它所对应的圆周角为3π，则此弓形的面积是多少？图1-1-1解：作OH ⊥AB 于点H.由∠ACB=3π，则∠AOB=32π，AH=23，OH=23tan 6π=23×33=23.故S △AOB =21 AB ·OH=433.OA=2·OH=3，α=2π-32π=34π，故S 扇形ACB =21·α·OA 2=21×34π×3=2π.所以弓形面积S=S △AOB +S 扇形ACB =433+2π（cm 2）.8.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿. （1）当大轮转一周时小轮转动的角是多少度？是多少弧度?（2）如果大轮的转速为180 r/min ，小轮的半径为10.5 cm ，那么小轮周上一点每秒转过的弧长是多少？解：（1）当大轮转一周时，小轮转2048=2.4周，即小轮转2.4×360°=864°，合524πrad. （2）大轮转速为180 r/min ，则小轮转速为每分180×512=432 r ，每秒转角为432×602π=572π. 故小轮周上一点每秒转过的弧长为572π×10.5=151.2π cm.志鸿教育乐园同理可证 爸爸：“小明，考你一道题，树上有两只鸟，打死一只，还有几只？” 小明：“一只.” 爸爸：“笨蛋，那只鸟还不被吓跑了！再问你一道简单的问题，如果答不对，小心屁股！听着，屋里只有你一个人，现在爸爸进来了，一共有几个人？” 小明：“一个。

[A.基础达标]1．下列说法中，错误的是( )A ．半圆所对的圆心角是π radB ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度解析：选D.根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A 、B 、C 均正确，D 错误．2．一条弦长等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是( )A ．1B.π6C.π3 D ．π解析：选C.因为弦长等于圆的半径，所以弦所对的圆心角为π3. 3．在半径为8 cm 的圆中，5π3的圆心角所对的弧长为( ) A.403π cm B.203π cm C.2003π cm D.4003π cm 解析：选A.根据弧长公式，得l ＝5π3×8＝40π3(cm)． 4．把角750°化成α＋2k π(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式，则α＝( )A.π6B.π3C.π12D.2π3解析：选A.因为750°＝750×π180＝25π6＝4π＋π6，所以α＝π6. 5．集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C.当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ； 当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，故选C. 6．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为________． 解析：A ＋B ＋C ＝π，又A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，所以A ＝3π3＋5＋7＝π5， B ＝5π3＋5＋7＝π3，C ＝7π15. 答案：π5，π3，7π157．把弧度化成角度数：(1)5π6＝________； (2)－3.16≈________(用度、分、秒表示)．解析：(1)5π6＝56×180°＝150°. (2)－3.16＝－3.16×(180π)°≈－3.16×57.30° ＝－181.068°≈－181°4′5″.答案：(1)150° (2)－181°4′5″8．已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则扇形的面积是________．解析：因为60°＝π3 rad ，则扇形的面积S ＝12×π3×32＝32π. 答案：32π 9．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角．(1)－1 725°；(2)－60°＋360°·k (k ∈Z )．解：(1)－1 725°＝75°－5×360°＝－5×2π＋5π12＝－10π＋5π12，是第一象限角． (2)－60°＋360°·k ＝－π180×60＋2π·k ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，是第四象限角． 10．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .解：由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形，∴α＝∠AOB ＝60°＝π3. ∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3，。

姓名，年级：时间：第2课时弧度制对应学生用书P3知识点一弧度制的概念1．下列说法中，错误的是( ）A．半圆所对的圆心角是π radB．周角的大小等于2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度答案D解析根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误．2．角－错误!的终边所在的象限是( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案D解析 －29π12＝－4π＋错误!,错误!的终边位于第四象限．3错误!答案 15 －错误!解析 错误!＝错误!＝15°;－330°＝－330×错误!＝－错误!．4．已知两角和为1弧度,且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是________． 答案 错误!＋错误!，错误!－错误!解析 设两个角的弧度数分别为x ，y ．因为1°＝π180rad ，所以错误! 解得错误!所以所求两角的弧度数分别为错误!＋错误!，错误!－错误!．5．(1）把－1480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α〈2π；（2）用弧度表示顶点在原点，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界,如图所示）．解 （1）∵－1480°＝－1480×错误! rad ＝－错误! rad ，∴－错误!＝－10π＋错误!＝－5×2π＋错误!,其中α＝错误!．(2）330°＝360°－30°＝2π－错误!，而60°＝错误!，它所表示的区域位于－错误!与错误!之间且跨越x 轴的正半轴,所以错误!．6（1）求这个圆心角所对的弧长；(2)求这个扇形的面积．解（1）如图所示，过O作OD⊥AB于D，则D为AB的中点．所以AD＝错误!AB＝1，∠AOD＝错误!∠AOB＝1 rad．所以扇形的半径:OA＝错误!．由弧长公式l＝｜α|r，得l＝2·错误!＝错误!．（2)由扇形面积公式S＝错误!lr，得S＝错误!·错误!·错误!＝错误!．一、选择题1．终边在y轴的非负半轴上的角的集合是( )A．｛α｜α＝kπ，k∈Z}B．α｜α＝kπ＋错误!，k∈ZC．{α|α＝2kπ，k∈Z｝D．α|α＝2kπ＋错误!，k∈Z答案D解析A表示的角的终边在x轴上；B表示的角的终边在y轴上；C表示的角的终边在x轴非负半轴上；D表示的角的终边在y轴非负半轴上，故选D．2．1920°的角化为弧度数为（）A．错误! B．错误! C．错误! D．错误!答案D解析因为1°＝错误! rad，所以1920°＝1920×错误! rad＝错误! rad．3．将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是( ）A．π3B．错误! C．－错误! D．－错误!答案D解析将分针拨快10分钟，即分针转过的角度为－60°，－60°＝－60×错误!＝－错误!，故选D．4．扇形圆心角为错误!，半径长为a，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为( ）A．1∶3 B．2∶3 C．4∶3 D．4∶9答案B解析如图，设内切圆的半径为r，则sin∠O′OC＝错误!＝错误!＝sin 错误!．∴错误!＝错误!，∴a ＝3r ．S 扇＝错误!l ·a ＝错误!a 2·错误!＝错误!r 2，S 圆＝πr 2，∴S 圆∶S 扇＝2∶3．5．集合错误!中的角所表示的范围(阴影部分）是（ )答案 C解析 当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋错误!，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时,2m π＋错误!≤α≤2m π＋错误!，m ∈Z ．故选C ．二、填空题6．已知角α的终边与角错误!的终边相同，则在［0，2π)内与角错误!的终边相同的角为________．答案 错误!,错误!，错误!解析 因为角α的终边与角错误!的终边相同，所以α＝2k π＋错误!(k ∈Z ），所以错误!＝错误!＋错误!（k ∈Z ）．又0≤错误!<2π，故0≤错误!＋错误!〈2π（k ∈Z )，所以当k 分别为0，1，2时,错误!分别为错误!，错误!，错误!，都满足条件，故填错误!，错误!，错误!．7．(1）1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为________米;（2)1 rad 的圆心角所对弧长为1米,则此圆半径为________米．答案 （1)错误! （2）1解析 （1)因为｜α|＝1°＝π180,l ＝1，所以r ＝错误!＝错误!＝错误!．(2)因为l ＝1，|α|＝1,所以r ＝错误!＝1．8．角的集合A ＝xx ＝k π＋错误!,k ∈Z 与集合B ＝xx ＝2k π±错误!，k ∈Z 之间的关系为________．答案 A ＝B解析 xx ＝2k π＋错误!，k ∈Z 与xx ＝2k π－错误!，k ∈Z 分别表示终边在y 轴的正、负半轴上的集合，∴集合B 表示终边落在y 轴上的角的集合，∴A ＝B ．三、解答题9．一条铁路在转弯处成圆弧形,圆弧的半径为2 km ，一列火车用30 km/h 的速度通过，求火车经过10 s 后转过的弧度数．解 10 s 内列车转过的圆形弧长为错误!×30＝错误!（km)．所以转过的角α＝错误!＝错误!(弧度）．10．已知α＝－800°．(1）把α改写成β＋2k π（k ∈Z ，0≤β<2π）的形式,并指出α的终边在第几象限；（2)求γ角，使γ与α的终边相同，且γ∈错误!．解 （1）∵－800°＝－3×360°＋280°，又280°＝错误!，∴α＝错误!＋（－3）×2π，∴α与错误!的终边相同，∴角α的终边在第四象限．(2）∵与α角终边相同的角可以表示为2k π＋α,k ∈Z ，又α与14π9的终边相同，∴γ∈错误!．又∵γ∈错误!，∴－错误!<2kπ＋错误!〈错误!，易知当且仅当k＝－1时，不等式成立，∴γ＝－2π＋错误!＝－错误!．。

1．下列说法中，错误的说法是 ( )A ．半圆所对的圆心角是π radB ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度解析：选D.根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A 、B 、C 均正确，D 错误．2．下列转化结果错误的是( )A ．67°30′化成弧度是3π8B ．－10π3化成角度是－600° C ．－150°化成弧度是－7π6 D.π12化成角度是15° 解析：选C.对A,67°30′＝67.5×π180＝3π8，正确；对B ，－10π3＝－10π3×(180π)°＝－600°，正确；对C ，－150°＝－150×π180＝－5π6，错误；对D ，π12＝π12×(180π)°＝15°，正确． 3．在半径为8 cm 的圆中，5π3的圆心角所对的弧长为( ) A.403π cm B.203π cm C.2003π cm D.4003π cm 解析：选A.根据弧长公式，得l ＝5π3×8＝40π3cm. 4．将－1 485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是( )A ．－π4－8πB ．－7π4－8π C ．－π4－10π D ．－7π4－10π 解析：选A.－1 485°＝－1 485×π180＝－33π4＝－π4－8π. 5．集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C.当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ； 当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C. 6．把－900°化成弧度为________．解析：－900°＝－900×π180＝－5π. 答案：－5π7．若角α的终边与85π角的终边相同，则在[0,2π]上，终边与α4角的终边相同的角是________．解析：由题意，得α＝8π5＋2k π，∴α4＝2π5＋k π2(k ∈Z )． 令k ＝0,1,2,3，得α4为2π5，9π10，7π5，19π10. 答案：2π5，9π10，7π5，19π108．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________倍．解析：设原来圆的半径为r ，弧长为l ，弧所对的圆心角为α，则现在的圆的半径为3r ，弧长为l ，设弧所对的圆心角为β，于是l ＝|α|r ＝β·3r ，∴β＝13α. 答案：139．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角．(1)165°；(2)－1 725°；(3)－60°＋360°·k (k ∈Z )．解：(1)165°＝π180°×165°＝1112π，是第二象限角； (2)－1 725°＝75°－5×360°＝－5·2π＋5π12＝－10π＋5π12，是第一象限角． (3)－60°＋360°·k ＝－π180°×60°＋2π·k ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，是第四象限角． 10．已知一个扇形的周长为8π9＋4，圆心角为80°，求这个扇形的面积． 解：设扇形的半径为r ，面积为S ，则扇形的圆心角为80×π180＝4π9. ∴扇形的弧长为4π9r ，∴4π9r ＋2r ＝8π9＋4，∴r ＝2. ∴S ＝12·4π9r 2＝8π9. 即扇形的面积为8π9.。

1.1.2弧度制[目标] 1.知道弧度制．2.记住1弧度的角的概念及弧长公式、扇形的面积公式． 3.能进行弧度与角度的互化．[重点] 弧度与角度的互化．[难点] 1弧度角的概念的理解．知识点一角的单位制[填一填][答一答]1．扇形的圆心角的弧度数随弧长和半径的改变而变化吗？提示：随着半径的变化，弧长也在变化，但对于一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径的大小无关．2．在半径不同的圆中，1度的角的大小是否相等？1弧度的角的大小是否相等？提示：1度的角等于周角的，该角的大小与圆的半径的大小没有关系，所以在不同的圆中，1度的角都是相等的．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角，所以该角的大小与圆的半径的大小没有关系，所以在不同的圆中，1弧度的角都是相等的．知识点二任意角的弧度数与实数的对应关系[填一填](1)正角：正角的弧度数是一个正数．(2)负角：负角的弧度数是一个负数．(3)零角：零角的弧度数是0.(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.[答一答]3．判断下列说法是否正确：(1)在弧度制下，角的集合与正实数集之间建立了一一对应关系(×)(2)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应(√)(3)用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，量数也不同(×)4．角α＝6这种表达方式正确吗？提示：正确．角α＝6表示6弧度的角，这里将“弧度”省去了．知识点三角度与弧度的互化[填一填][答一答]5．在同一个式子中，角度制与弧度制能否混用？为什么？提示：不能．因为角度制和弧度制是表示角的两种不同的度量方法，两者有着本质的不同，因此在同一个表达式中不能出现两种度量方法的混用，如α＝2kπ＋30°，k∈Z是不正确的写法，应写成α＝2kπ＋，k∈Z或k·360°＋30°，k∈Z.知识点四弧度制下的弧长与扇形面积公式[填一填]扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为圆心角，则扇形弧长为l＝αR，周长为l＋2R，扇形面积S＝lR＝αR2.[答一答]6．角度制下的弧长公式和扇形面积公式是什么？与弧度制下的公式相比哪个更优化一些？提示：角度制下：弧长公式l＝，扇形面积公式S＝.运用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式明显比角度制下的公式简单，但要注意它的前提是α为弧度制.类型一弧度制的概念[例1]有关角的度量给出以下说法：①1°的角是周角的，1 rad的角是周角的；②1 rad的角等于1度的角；③180°的角一定等于π rad的角；④“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．其中正确的说法是________．[解析]由弧度制的定义、弧度与角度的关系知，①③④均正确；因为1 rad＝°≈57.30°≠1°，故②不正确．[答案]①③④解决概念辨析问题的关键是准确理解概念，如本题中要准确理解1弧度角的概念．知道角度制与弧度制的关系．[变式训练1]下列说法中，错误的是(D)A．半圆所对的圆心角是π radB．周角的大小等于2πC．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度解析：由弧度制的定义知D说法错误．故选D.类型二角度制与弧度制的互化命题视角1：角度制与弧度制的换算[例2]将下列角度与弧度进行互化：(1)36°；(2)－112°30′；(3)；(4)－.[解](1)36°＝36× rad＝rad；(2)－112°30′＝－112.5°＝－112.5× rad＝－rad；(3)＝°＝°＝105°；(4)－＝°＝°＝－396°.将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180°即可求解.把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以[变式训练2](1)－630°化为弧度为－π；(2)－π＝－157°30′；(3)α＝－3 rad，它是第三象限角．解析：(1)－630°＝－630×＝－π.(2)－π＝－π×°＝－157°30′.(3)根据角度制与弧度制的换算，1 rad＝°，则α＝－3 rad＝－°≈－171.9°.分析可得，α是第三象限角．命题视角2：用弧度制表示终边相同的角[例3](1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π；(2)在[0,4π]中找出与角终边相同的角．[解](1)因为－1 480°＝－1 480× rad＝－π rad，所以－π＝－10 π＋π，其中α＝π.(2)因为π＝×180°＝72°，所以终边与角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)，当k＝0时，θ＝72°＝；当k＝1时，θ＝432°＝.所以在[0,4π]中与角终边相同的角为，.用弧度表示的与角α终边相同的角的一般形式为β＝α＋2kπ(k∈Z)，这些角所组成的集合为{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}.[变式训练3]将下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出它们是第几象限角．(1)－1 725°；(2)870°.解：(1)因为－1 725°＝－5×360°＋75°，所以－1 725°＝－10π＋.所以－1 725°与的终边相同，故－1 725°是第一象限角．(2)870°＝π＝＋4π，角870°与终边相同，故870°是第二象限角．类型三弧长公式与扇形面积公式[例4](1)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是()A．2B．sin2 C.D．2sin1(2)①已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．②已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm，求扇形的面积．[分析](1)求弧长⇒圆心角和弦长⇒构造三角形⇒利用三角函数．(2)扇形圆心角的弧度数或扇形的面积⇒l＝αR或S＝lR.[解析](1)如图，过点O作OC⊥AB于C，延长OC，交于D，则∠AOC＝∠BOC＝1 rad，且AC＝AB＝1.在Rt△AOC中，OA＝＝.∴圆心角所对的弧长l＝α·OA＝，故选C.(2)解：①设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，依题意有①代入②得r2－5r＋4＝0，解得r1＝1，r2＝4.当r＝1时，l＝8(cm)，此时，θ＝8 rad>2π rad舍去．当r＝4时，l＝2(cm)，此时，θ＝＝rad.②设扇形弧长为l，因为72°＝72×＝(rad)，所以l＝αR＝×20＝8π(cm)．所以S＝lR＝×8π×20＝80π(cm2)．[答案](1)C(2)见解析涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.[变式训练4]已知一扇形的周长为8 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，扇形的面积最大？并求出最大面积．解：设扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝8，l＝8－2r，S＝lr＝r(8－2r)＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4(0<r<4)．当r＝2时，S max＝4 cm2，此时l＝4 cm，α＝2.所以当半径长为2 cm，圆心角为2 rad时，扇形的面积最大，最大值为4 cm2.1．2 100°化成弧度是(A)A.B．10π C. D.解析：2 100°＝2 100×＝.2．角－π的终边所在的象限是(D)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：－π＝－4π＋π，π的终边位于第四象限，故选D.3．与角－终边相同的角是(C)A. B. C. D.解析：与角－终边相同的角的集合为{α|α＝－＋2kπ，k∈Z}，当k＝1时，α＝－＋2π＝，故选C.4．在半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是2 rad.解析：根据弧度制的定义，知所求圆心角的大小为＝2 rad.5．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α的终边在第几象限；(2)求γ角，使γ与α角的终边相同，且γ∈.解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝，∴α＝＋(－3)×2π，α角与的终边相同，∴α是第四象限角．(2)∵与α角终边相同的角为2kπ＋α，k∈Z，α与终边相同，∴γ＝2kπ＋，k∈Z.又∵γ∈，∴－<2kπ＋<，当k＝－1时，不等式成立，∴γ＝－2π＋＝－.——本课须掌握的三大问题1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式．易知：度数× rad＝弧度数，弧度数×°＝度数．3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度．。