单位冲激函数及其复合函数积分的探讨

复合函数的积分求导公式复合函数（也称为复合映射）是指由两个或多个函数组成的函数。

在积分中，我们有时需要对复合函数进行求导。

这篇文章将详细介绍关于复合函数的积分求导公式。

为了理解复合函数的积分求导公式，我们首先需要回顾一下基本的积分和导数的概念。

导数表示了一个函数在其中一点上的变化率，而积分则表示了一个函数在其中一区间上的累积变化。

复合函数的导数和积分与这些基本概念密切相关。

假设我们有两个函数f（x）和g（x），并且f（g（x））是由这两个函数的组合而成的复合函数。

我们希望求解f（g（x））的导数和积分。

首先，我们来看复合函数的导数的求解。

根据链式法则，当我们对一个复合函数求导时，我们需要将外部函数的导数乘以内部函数的导数。

具体而言，如果y=f（g（x）），那么dy/dx = (df/dg) * (dg/dx)其中，df/dg 表示函数 f 对于 g 的导数，而 dg/dx 表示函数 g 对于 x 的导数。

这个公式告诉我们如何通过求导来计算复合函数的导数。

接下来，我们来看复合函数的积分的求解。

积分是导数的反向运算，因此我们可以使用积分来计算复合函数的原函数。

假设y=f（g（x）），我们想要计算它的原函数F（x）。

要计算复合函数的原函数，我们可以使用替换法或者分部积分法。

替换法的基本思想是，我们将复合函数的一部分看作一个新的变量。

假设z=g（x），那么我们可以将复合函数简化为y=f（z）。

现在我们可以求解y对于z的原函数F1（z），然后将它转换回x的函数：F （x）= ∫ f（z） dz + C其中，C是一个常数。

通过替换法，我们可以通过求解两个简单的函数来计算复合函数的原函数。

另一种方法是使用分部积分法。

这种方法适用于求解复合函数的导数和原函数。

分部积分法的基本思想是，我们将积分转化为两个函数的乘积的积分。

具体来说，假设y=f（g（x）），那么我们可以使用公式：∫ f（g（x））dx = ∫ u dv= u * v - ∫ v du其中，u 是一个函数，dv 是另一个函数的微分，v 是 dv 对于 x 的积分，而 du 是 u 对于 x 的微分。

单位冲激函数单位冲激函数，也被称为狄拉克δ函数（Dirac delta function），是一种特殊的数学函数，其特性是在零点处取无穷大的值，而在其他点上则等于零。

单位冲激函数在信号处理、概率论、物理学等领域都有广泛的应用。

一、定义单位冲激函数可以定义为：δ(t) = 0, t ≠ 0δ(t) = ∞, t = 0其中，t是时间变量。

这个函数的图形是一个垂直线段，其长度等于1，起点在原点上。

这个函数在除了原点之外的所有点上的值都是零，而在原点上的值则无穷大。

二、性质1.积分的性质：对于任何函数f(t)，如果在其定义域内某点t=a上有一个单位冲激函数，那么该函数在a点的积分等于f(a)。

2.期望的性质：如果一个随机变量的概率分布函数在原点处有一个单位冲激函数，那么这个随机变量的期望值就等于0。

3.微分的性质：单位冲激函数的导数等于零。

三、应用1.信号处理：在信号处理中，单位冲激函数被用来表示一个瞬时的、幅值无穷大的信号，这个信号在时间上无限接近于零时刻。

这种信号通常被称为“脉冲信号”。

2.概率论：在概率论中，单位冲激函数被用来描述随机事件在某一时刻发生的概率。

例如，在泊松分布中，单位冲激函数被用来描述在每个固定时间间隔内事件发生的概率。

3.物理学：在物理学中，单位冲激函数被用来描述某个物理量在某个时刻突然发生变化的情况。

例如，在连续介质力学中，单位冲激函数被用来描述液体在某个时刻突然出现或突然消失的情况。

四、总结单位冲激函数是一种非常重要的数学函数，它具有非常独特的性质和应用。

它是一种描述瞬时事件或突然变化的工具，被广泛应用于信号处理、概率论、物理学等领域。

虽然它的定义和性质看起来非常奇特，但是它在很多实际应用中都有着非常重要的意义。

通过对单位冲激函数的深入研究和学习，我们可以更好地理解和掌握各种领域中的基础知识和技能，提高自身的学术水平和实践能力。

冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞··，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。

通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值图1-2均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在箭头旁边注上E 。

也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。

有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→)(lim )(kt Sa kt k πδ （1-2）对式（1-2）作如下说明：Sa(t)是抽样信号，表达式为ttt a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡； 并且是一个偶函数，当t=±π,±2π, ·，sint=0，从而Sa(t)=0，是其(a)τ逐渐减小的脉冲函数(b)冲激信号图1-1图 1-3零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。

冲激函数的积分范文冲激函数是数学中的一类特殊函数，它在计算机科学、信号处理等领域有着广泛的应用。

本文将对冲激函数的性质进行分析，并讨论其积分的应用。

首先，我们来介绍一下什么是冲激函数。

冲激函数通常用符号δ(t)表示，其中t为时间。

冲激函数在t=0时取无穷大，而在其他时刻t≠0时取零。

其数学定义为：0,t≠0δ(t)=∞,t=0我们可以将冲激函数看作是一个特殊的脉冲信号，它的幅度无限大，持续时间无限短。

冲激函数在物理学中常用来模拟瞬时输入或输出信号，例如在电路中用来模拟电压或电流的突变。

接下来，我们来研究冲激函数的积分。

由于冲激函数在t=0时为无穷大，在其他时刻t≠0时为零，因此其积分的结果也会受到这一特殊性质的影响。

首先，考虑冲激函数的积分定理。

根据积分定理，当f(t)是冲激函数δ(t)的导数时，其积分结果为：∫f(t)dt = δ(t) + C其中C为常数。

这意味着冲激函数的积分结果是一个阶跃函数，取决于积分的边界。

当积分的边界包含t=0时，积分结果为无穷大；当积分的边界不包含t=0时，积分结果为零。

其次，考虑冲激函数的卷积定理。

卷积定理指出，冲激函数与任意函数f(t)的卷积结果等于该函数在t=0处的取值，即：f(t)*δ(t)=f(0)这意味着冲激函数与任意函数的卷积结果中只有一个点不为零，即t=0处。

这一性质使得冲激函数在信号处理中有着重要的应用，可以用来测量信号的强度、幅度等参数。

最后，我们来讨论一下冲激函数的积分在实际应用中的意义。

冲激函数的积分可以被看作是一个信号的累积和。

在物理学中，这一概念可以用来求解在给定时间段内的总能量、总电量等。

在工程学中，冲激函数的积分可以用来计算系统的响应，例如电路中的电流响应、滤波器的频率响应等。

总结起来，冲激函数是数学中的一类特殊函数，它在计算机科学、信号处理等领域中有广泛应用。

冲激函数的积分具有一些特殊性质，例如积分定理和卷积定理。

冲激函数的积分在实际应用中有着重要的意义，可以用来计算信号的总能量、系统的响应等。

单位冲激函数单位冲激函数是信号与系统课程中的重要概念之一。

它在信号处理和系统分析中起到了至关重要的作用。

本文将从单位冲激函数的定义、性质和应用等方面进行详细介绍，帮助读者更好地理解和运用单位冲激函数。

单位冲激函数是一种理想化的信号，通常用符号δ(t)表示。

在数学上，单位冲激函数可以看作是在t=0时刻瞬间取得无限大值，其它时刻取值为0的函数。

单位冲激函数不是一个可测函数，但在信号处理中却有广泛的应用。

这是因为单位冲激函数具有许多重要的性质。

首先，单位冲激函数是一个偶函数。

也就是说，δ(t) =δ(-t)。

这个性质非常重要，它使得我们可以通过对单位冲激函数的一个半区进行分析，来得到整个函数的性质。

其次，单位冲激函数在任意时刻t≠0处的值都是0。

这个性质使得单位冲激函数在很多应用中能够起到集中能量的作用。

比如，如果我们用单位冲激函数来描述一个物体的冲击力作用，那么冲击力就只在短暂的瞬间时间内起作用，其他时间段力为0。

此外，单位冲激函数还具有面积为1的性质。

即∫δ(t)dt = 1。

这个性质使得单位冲激函数能够在频域中起到“单位”作用，即在频域上的响应等于输入信号在该频点上的幅度。

单位冲激函数在信号处理和系统分析中有着广泛的应用。

首先，单位冲激函数可以用来表示理论上的完美观测和测量。

在实际应用中，我们无法获得真正的冲激信号，但可以通过对实际信号进行采样来近似地获得冲激响应。

其次，单位冲激函数可以用来表示线性时不变系统（LTI系统）的冲激响应。

在信号和系统分析中，我们经常使用冲激响应来描述系统的性质。

当输入一个单位冲激函数时，系统的输出即为系统的冲激响应。

此外，单位冲激函数还可以用来求解微分方程和差分方程。

通过将微分方程转化为积分方程或差分方程，我们可以使用单位冲激函数来求解方程的解。

在频域分析中，单位冲激函数是非常重要的工具。

通过对输入信号和系统的冲激响应进行傅里叶变换，我们可以得到系统的频域响应。

而单位冲激函数则可以用来计算系统的频率特性、幅度频率响应和相位频率响应等。

复合函数求积分范文在微积分中，复合函数是指由多个简单函数组成的一个函数。

求复合函数的积分是解决微积分问题中的重要部分，可以应用于各种问题的求解中。

复合函数的积分可以通过多种方法来求解，其中包括代换法、分部积分法和三角代换法等。

下面将详细介绍这些方法，并通过实例来说明具体的步骤和技巧。

一、代换法代换法也称为换元法，是求解复合函数积分的一种常用方法。

它的基本思想是将被积函数中的自变量进行替换，从而将原来的积分转化为一个更容易求解的积分。

具体步骤如下：1.选择合适的替换变量。

替换变量的选择应该能够简化积分的计算，一般来说，选择与被积函数的形式相似的变量作为替换变量较为常见。

2.计算替换变量的导数。

将被积函数中的自变量替换为替换变量，并求得其导数。

3.将被积函数和替换变量的导数代入积分式中。

将被积函数中的自变量替换为替换变量，并将替换变量的导数代入积分式中。

4.求解新的积分式。

根据替换变量的导数和原来的积分式，求得新的积分式。

5.恢复自变量。

将替换变量恢复为原来的自变量。

例如，考虑求解积分∫(2x + 1)² dx。

我们可以选择 u = 2x + 1作为替换变量，然后计算出 du = 2dx，将其代入原积分式中，得到∫u²(1/2) du。

然后求解新的积分式∫u²(1/2) du = (1/2) * u³/3 + C。

最后将替换变量恢复为原来的自变量，得到最终结果(1/6)(2x + 1)³ + C。

二、分部积分法分部积分法是求解复合函数积分的另一种重要方法。

它是基于求导的乘积法则的逆过程，通过将积分式中的两个函数分别求导和积分，从而将原来的积分转化为一个更简单的积分。

具体步骤如下：1.选择合适的分部函数。

分部函数的选择应该能够使得积分式中至少有一个函数在求导后形式更简单。

2.对积分式中的函数进行求导和积分。

根据乘积法则，将原来的积分式中的两个函数分别求导和积分，并得到形式更简单的积分式。

冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。

通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击图1-2强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在箭头旁边注上E 。

也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。

有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→)(lim )(kt Sa kt k πδ （1-2）对式（1-2）作如下说明：Sa(t)是抽样信号，表达式为ttt a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡；并且是一个偶函数，当t=±π,±2π···，sint=0，从而Sa(t)=0，是其零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。

作者：非成败作品编号：92032155GZ5702241547853215475102 时间：2020.12.13冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。

通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A则表示一个冲击强度为E倍单位值得函数δ，描述为A=Eδ(t)，图形表示时，在箭头旁边注上E。

也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。

有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→)(lim)(ktSaktkπδ（1-2）对式（1-2）作如下说明：Sa(t)是抽样信号，表达式为tttasin)(S=（1-3）其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t,1/t随t的增大而减小，sint是周(a)τ逐渐减小的脉冲函数(b)冲激信号图1-1图 1-3期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡； 并且是一个偶函数，当t=±π,±2π, ···，sint=0，从而Sa(t)=0，是其零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。

对单位冲激函数复合函数积分的讨论对单位冲激函数复合函数积分的讨论是对数学函数在一定范围内的积分概念的讨论。

它是一项基本的研究，可以用来研究函数的行为特征以及如何从不同的空间或时间角度进行分析。

单位冲激函数复合函数的积分是指将一个函数积分分解为多个单位冲激函数，并将多个单位冲激函数组合在一起，最终得出复合函数的积分。

其主要使用在函数拟合中，其目的是得出更加复杂但仍具有良好表现的拟合函数。

首先，当将一个函数分解为多个函数时，可以将其分解为一组单位冲激函数，即使其形状并不能完全拟合这个函数。

然后，将这些单位冲激函数的组合表示出来，最后得出一个复合函数的积分。

因此，在线性或非线性拟合中，对单位冲激函数复合函数的积分可以产生不同的拟合函数，而且这些拟合函数的性能仍然良好。

另外，由于单位冲激函数复合函数的积分通常包含多个元素，因此时间方面的优化也是一个问题。

首先，在实践中，分解出单位冲激函数所需的时间取决于函数的复杂程度。

其次，在将单位冲激函数组合成复合函数的过程中，要计算多个单位冲激函数的积分，这些计算过程也需要耗费大量的时间。

最后，由于每个冲激函数的积分都需要精确的数学计算，因此也会耗费计算机资源。

总之，对单位冲激函数复合函数积分的讨论是一个复杂但具有重要意义的课题，既能提高拟合函数的性能，又能缩短积分过程所需要的时间和计算机资源。

复合函数积分运算法则复合函数积分运算法则可以分为两种情况，一是基本函数的复合函数积分，二是一般复合函数积分。

【情况一】基本函数的复合函数积分基本函数指的是常见的三角函数（sin, cos, tan等）、指数函数（e^x）和对数函数（ln x）等函数。

sin(mx)、cos(mx)的积分：若F(x)是f(x)的一个原函数，则∫f(mx)cos(mx)dx= sin(mx) · F(x) / m + C，∫f(mx)sin(mx)dx = -cos(mx) · F(x) / m + C。

e^mx 的积分：若F(x)是f(x)的一个原函数，则∫f(mx)e^(mx)dx = F(x) · e^(mx) / m + C。

ln(mx)的积分：若F(x)是f(x)的一个原函数，则∫f(mx)ln(mx)dx = F(x) · ( ln(mx) - 1 ) / m + C。

【情况二】一般复合函数积分一般复合函数积分指的是涉及到链式法则的复合函数积分，如f(g(x)) Multiply g'(x)。

一般复合函数积分的求法是采用反链式求导法。

设h(x) = f(g(x))，则h'(x) = f'(g(x)) · g'(x)。

因为∫f'(g(x)) · g'(x)dx 是可以积出来的，所以可以先将h'(x)中的f'(g(x)) · g'(x) 提取出来再将提取出来的f'(g(x)) · g'(x)转化为∫(f o g)'(x)dx。

对f o g(x)进行积分即可。

需要指出的是，复合函数积分运算法则较为繁琐，掌握好积分公式的同时，应该多加练习、深入理解，才能更好地掌握积分的技巧和方法。

单位冲激信号摘要：在信息分析和系统分析中，单位冲激函数 6 ( t )是一个使用频率极高的奇异函数。

对这类奇异函数不能按普通函数进行定义， 因为它本身不属于普通函数。

而这类函数有着奇特的性质 ，这些特殊的性质决定 了它有极为广泛 的用途。

探讨它的定义、特性以及其应用有利于我们分析问题和解决问题。

关键词：冲激函数，性质，极限，导数正文：一、单位冲激函数的定义1、单位冲激 函数的普通数学定义。

定义有多种方式，其中定义 1： 0, t<1/n 设有一函数 P n (t)= n/2, -1/n<t<1/n0, t>1/n当 n →∞时,函数 P n (t)的宽度趋近于零，而幅度趋近于无限大 ,但其强度仍然等于 1。

这个函数就定义为单位冲激函数，用6(t)表示，即6 (t)≝lim n→∞P n(t) 定义 2： 狄拉克 ( D i r a c ) 定义6(t)=0，t ≠0∫ 6 ( t )dt =1∞−∞此6(t)函数为单位冲激函数。

我们可以分析，上面(1)式和(2)式对单位冲激函数的定义是不符合普通函数的定义的。

对于普通函数来说，当自变量t 取某值时，除间断点外，函数有确定的值， 而6(t)在唯一不等于零的点t=0处函数值为无限大。

因为单位冲激函数已经不属于普通函数的范畴，不能用普通函数进行定义，要用广义函数进行严格的定义。

2、单位冲激函数的广义定义选择一类性能良好的函数，称为检验函数(它相当于定义域)，一个广义函数 g(t)是对检验函数空间中每个函数赋于一个数值 N 的映射，该数与广 义函数 g (t)和检验函数(t)有关，记作N[g(t)，(t)]，通常广义函数g(t)可写为：∫g ( t ) Ψ ( t ) d t ∞−∞=N[ g (t) ，Ψ(t)] ( 3 )式中检验函数(t)是连续的，具有任意阶导数，且(t)用其各阶导数在无限远处急剧下降( 即ltl →∞时，比1/(ltl^m )下降得更快)的普通函数(如e(^ l tl ^2 )等)，这类函数的全体构成的检验函数空间称为急降函数空间，用Φ表示。

冲激函数的积分
从单位冲激函数的定义来看，单位冲激函数是一个宽度无穷小，高度无穷大，面积为1的一个类似门函数的东西。

积分其实就是求面积，冲激函数在负无穷到正无穷区间内的面积是1，那么积分值就是1。

对冲激函数求导可得到冲激偶函数，单位冲激偶是这样的一种函数：当t从负值趋于0时，它是一个强度为无限大的正的冲激函数，当t从正值趋于0时，它是一个强度为无限大的负的冲激函数。

应用
冲激函数可用于信号处理，通过冲激函数来表示复杂的信号，可以简化对复杂信号的一些特性的研究。

冲激函数及其延时冲激函数的线性组合来表示或逼近，再利用系统的迭加原理，可以通过简单的信号如单位冲激函数的频谱，以及频域特性来讨论比较复杂信号的频谱。

从而减少计算复杂信号频谱的难度。

单位冲激函数的妙用（图）上一回说到，单位冲激函数是连续函数与离散函数之间相互转换的桥梁，因此在工程技术尤其是IT领域的信号分析中有十分重要的妙用。

比如有许多不满足绝对可积条件的信号，应用单位冲激函数就可以求出其傅立叶变换，“化验”出信号包含的频率成分。

我们已经知道单位冲激信号的频谱密度函数是常数1，则根据傅里叶变换的对称性，有常数（直流信号）f（t）＝1的傅里叶变换（频谱密度函数）为（1）可见单位冲激函数δ（t）与常数1构成一个傅里叶变换对：（2）推而广之，再根据傅里叶变换的频移性质，可知指数函数的频谱为频域的冲激函数（3）再根据欧拉公式，可导出正弦函数的傅里叶变换（频谱）为离散频谱：（4）（5）一般地，对于周期函数（傅立叶级数展开式的指数形式）（6）利用冲激函数的特性也可求出其傅里叶变换为（7）综上所述，周期函数的傅里叶变换（频谱密度函数），是位于周期函数各次谐波频率nω1处的频域冲激函数串，频率间隔是周期函数的基频ω1，冲激强度等于相应的傅立叶系数C n 的2π倍。

可见用频域的冲激函数串来表示时域周期信号的离散频谱是非常方便的。

通过引入冲激函数的概念，把傅里叶变换的适用范围拓展到周期函数，则周期函数的离散频谱都可以用冲激函数串方便地表示。

例：有脉幅为E、脉宽为τ、周期为T的周期矩形脉冲信号f T（t），如下图所示：图1 周期矩形脉冲的时域波形求其离散频谱。

我们知道通过傅立叶级数的方法，求出其傅立叶系数为（8）其中ω1＝2π/T为基频。

由式（7）可得周期矩形脉冲的频谱密度函数为（9）其离散频谱图如下图所示：图2 周期矩形脉冲信号的频谱的冲激函数表示单位冲激函数还有更大的妙用，且听下回分解。

（作者：周法哲2009-7-16于广东）。