矢量运算法则平行四边形定则和三角形定则

1 符号的使用规则中学物理中的“+-、”号通常有三种情况：（1）表示物理量之间的运算关系.（2）表示矢量的方向或标量的正、负.（3）表示物理量的变化情况.在应用时，要具体问题具体分析.1. 表示物理量之间的运算关系标量之间的“+-、”为代数运算.矢量之间的“+-、”为矢量运算，遵从平行四边形定则或三角形定则，但在一条直线上矢量之间的“+-、”可转化成代数运算.2. 表示矢量的方向或标量的正、负（1）表示矢量的方向：在规定正方向后，凡与正方向相同的矢量取正值，相反的矢量取负值；所求矢量为正值者，表示其方向与正方向相同，为负值者，表示其方向与正方向相反.（2）表示标量的正、负.例如功和能都是标量，都有正、负之分.①对功来说，W ＞0，表示力对物体做正功；W ＜0，表示力对物体做负功；W =0，表示力对物体不做功.②能量是一个相对量，可取正值、负值或零.例如：卫星绕地球旋转时，卫星和地球组成系统的总能量为（取无穷远处为零势点）：()22k p GMm GMm GMm E E E r r r=+=+-=-卫；其中G 为万有引力常量、M 为地球质量、m 为卫星质量、r 为卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径. 氢原子核式结构模型中，氢原子的总能量为（取无穷远处为零势点）：222''()22k p ke ke ke E E E r r r =+=+-=-氢.（也可以用能级公式计算）其中k 为静电引力常量、e 为电子所带电量、r 为电子绕核运动的轨道半径.显然，卫星和电子的动能都是正值，系统的势能和总能量都是负值.势能的情况较为复杂.势能为物体系所共有，与零势面的选取有关（势能的变化与零势面的选取无关），在规定了零势面后，可以判断某处势能的多少和正负.①对地球表面附近的物体来说，重力势能的计算式是P E mgh =（g 视为常量）.当物体位置高于零势面（通常取地面为零势面）时h 取正值，h 越大势能越大；反之，h 取负值，h 的绝对值越大，势能就越小.②对弹性势能来说，一般取原长时弹性势能为零，则212P E kx =（x 是形变量），弹性势能只有正值，没有负值.③对分子势能来说，一般取无穷远处分子势能为零，则11p s t E r r λμ--=-.当0r r =时，分子力为零，分子势能最小且为负值；当分子间距离增大（但小于分子直径的10倍）时，分子势能也增大，但仍为负值；当分子间距离减小时，分子势能仍增大且为负值，当分子间距离减小到一定程度时，分子势能由负值逐渐增大到零，此后再减小分子间距离，分子势能表现为正值且逐渐增大.④电势和电势能也有正、负之分，在规定了零势面后，可以判断电场中某点电势或电势能的正负和高低.通常取无穷远处为零势面，则点电荷的电势和电势能公式为：12,p p kq q kq E r rφ==.p φ和p E 的正、负分别由q 和1q 、2q 的正、负决定，正电荷周围的电势为正，负电荷周围的电势为负.正电荷在正电势的地方电势能为正，负电荷在负电势的地方电势能也为正；反之为负.3.表示物理量的变化矢量的变化既表示矢量变化的方向又表示矢量变化的大小，其运算遵从平行四边形或三。

高中物理学业水平考试要点解读第一章 运动的描述第二章 匀变速直线运动的描述要点解读一、质点1．定义：用来代替物体而具有质量的点。

2．实际物体看作质点的条件：当物体的大小和形状相对于所要研究的问题可以忽略不计时，物体可看作质点。

二、描述质点运动的物理量1．时间：时间在时间轴上对应为一线段，时刻在时间轴上对应于一点。

与时间对应的物理量为过程量，与时刻对应的物理量为状态量。

2．位移：用来描述物体位置变化的物理量，是矢量，用由初位置指向末位置的有向线段表示。

路程是标量，它是物体实际运动轨迹的长度。

只有当物体作单方向直线运动时，物体位移的大小才与路程相等。

3．速度：用来描述物体位置变化快慢的物理量，是矢量。

（1）平均速度：运动物体的位移与时间的比值，方向和位移的方向相同。

（2）瞬时速度：运动物体在某时刻或位置的速度。

瞬时速度的大小叫做速率。

（3）速度的测量（实验） ①原理：tx v ∆∆=。

当所取的时间间隔越短，物体的平均速度v 越接近某点的瞬时速度v 。

然而时间间隔取得过小，造成两点距离过小则测量误差增大，所以应根据实际情况选取两个测量点。

②仪器：电磁式打点计时器（使用4∽6V 低压交流电，纸带受到的阻力较大）或者电火花计时器（使用220V 交流电，纸带受到的阻力较小）。

若使用50Hz 的交流电，打点的时间间隔为0.02s 。

还可以利用光电门或闪光照相来测量。

4．加速度（1）意义：用来描述物体速度变化快慢的物理量，是矢量。

（2）定义：tv a ∆∆=，其方向与Δv 的方向相同或与物体受到的合力方向相同。

（3）当a 与v 0同向时，物体做加速直线运动；当a 与v 0反向时，物体做减速直线运动。

加速度与速度没有必然的联系。

三、匀变速直线运动的规律1．匀变速直线运动（1）定义：在任意相等的时间内速度的变化量相等的直线运动。

（2）特点：轨迹是直线，加速度a 恒定。

当a 与v 0方向相同时，物体做匀加速直线运动；反之，物体做匀减速直线运动。

002 矢量运算模型矢量运算是高中物理的重点和难点之一. 常见的矢量有位移、速度、加速度、力、动量、电场强度、磁感应强度等，由于其运算贯穿整个高中物理教学的始终，所以我们把矢量运算作为解决其它物理模型的工具，在讲解其他物理模型之前，有必要熟练掌握矢量的运算规律。

一. 矢量运算法则：平行四边形定则。

1. 标量运算遵循一般的代数法则，矢量运算一般用平行四边形定则，也可推广至三角形定则、多边形定则或正交分解法等。

①三角形定则：把两个矢量首尾相接，将第一个矢量的箭尾连到第二个矢量的箭头所得到的矢量，即为这两个矢量的合矢量，这种求出合矢量的方法叫做三角形定则。

②多边形定则：将所有矢量的箭尾与箭头依次相连接，然后将第一个矢量的箭尾连到最末一个矢量的箭头的矢量，就是所要求的合矢量，这种求出合矢量的方法叫做多边形定则，其大小和方向与相加次序无关。

③正交分解法：是在平行四边形定则的基础上发展起来的，其目的是用代数运算来解决矢量运算。

正交分解法在求解不在一条直线上的多个矢量的和时显示出了较大的优越性。

使用正交分解法进行矢量运算在建立平面直角坐标系时，一般选代表各个矢量的作用线或其延长线的交点为坐标原点，并尽可能使较多的矢量落在坐标轴上，这样可以减少需要分解的矢量的数目，简化运算过程。

2. 矢量的合成与矢量的分解互为逆运算。

矢量的分解虽然是矢量合成的逆运算，但无其他限制时，同一个矢量可分解为无数对大小、方向不同的分矢量，因此，把一个矢量分解为两个分矢量时，应根据具体情况分解。

如果已知两个不平行分矢量的方向或已知一个分矢量的大小和方向，分解是唯一的。

3. 在合成与分解时贯穿了等效替代的思想。

在以后的学习过程中，例如“运动的合成与分解”、“等效电路”、“交变电流有效值的定义”等，都要用到“等效替代”的方法。

只要效果相同，都可以进行“等效替代”。

二．矢量运算的三种模型1. 矢量运算包括矢量的合成与矢量的分解，二者互为逆运算。

在力学中巧用矢量三角形法则作者：刘卫东来源：《中学生数理化·教与学》2011年第03期一、矢量加、减运算的图示矢量的加、减运算，即矢量的合成与分解是处理物理问题必备的数学方法.矢量加减依据平行四边形法则，也可简化为三角形（或多边形）法则.其图解方法如图1.若已知矢量A、B,如图1（a），当求C＝A＋B，即作矢量的加法时，可将A、B两矢量依次首（有向线段箭头）尾（有向线段末端）相接后，由A的尾画到B的首的有向线段即为C，如图1（b）；当求C＝A－B，即作矢量的减法时，通常将表示A、B两矢量的有向线段末端重合，即从同一点出发分别画出两相减矢量，由B的有向线段箭头画到A矢量箭头的有向线段即为C，如图1（c）.运用这种方法也可以进行多个矢量连续相加或相减.我们可以归纳如下.图解方法求矢量和：相加各矢量依次首尾相接后，连接第一个“加数”尾与最后一个“加数”头的有向线段即为各矢量之和.图解方法求矢量差：末端共点分别作相减矢量，连接两箭头，方向指向“被减数”的有向线段即为该二矢量之差.二、运动的合成与分解当物体实际发生的运动较为复杂时，我们可将其等效为同时参与几个简单的运动，前者称作合运动，后者则称作物体实际的分运动.这种双向的等效操作过程叫运动的合成与分解，是研究复杂运动的重要方法.运动的合成与分解遵循如下原理：1．独立性原理构成一个合运动的几个分运动是彼此独立、互不相干的，物体的任意一个分运动，都按其自身规律运动进行，不会因有其他运动的存在而发生变化.2．等时性原理合运动是同一物体在同一时间内同时完成几个分运动的结果，对同一物体同时参与的几个运动进行合成才有意义.3．矢量性原理描述运动状态的位移、速度、加速度等物理量都是矢量，对运动进行合成与分解时应按矢量法则，即平行四边形定则作上述物理量运算.三、矢量三角形在共点力平衡中的运用物体在三个不彼此平行的力的作用下处于平衡状态，这三个力必在同一平面内共点，其合力为零.这三个力组成一个封闭的三角形，解答此类题目时用矢量三角形法则，分析一些动态变化时定性处理问题简捷、直观、明了.有时定量计算时也简捷、方便，避免大量用三角函数求极值的烦琐过程，能收到事半功倍的效果.1．共点力平衡时力变化的定性讨论例１如图２（a），DAB为半圆支架，两细绳OA、OB接于圆心O，其下悬重力为G的物体.若OA细绳固定不动，将细绳OB的B端沿半圆支架从水平位置逐渐缓慢移至竖直位置C 的过程中，细绳OA和细绳OB对节点O的拉力大小如何变化？解析：选节点O为研究对象，节点在拉力G、TA、TB三个力的作用下始终处于共点力的平衡状态，G的大小和方向都确定；TA的方向确定但大小不定；TB的大小和方向都不定，根据图2（b）中力的封闭矢量三角形可以看出，在OB向上靠近OC的过程中，TA一直减小，TB先减小后增大.2．共点力平衡时力变化的定量计算例２如图３，质量为m的物体放在水平地面上，用水平向右的拉力F拉物体，使物体沿水平向右匀速运动，已知物体和水平面间的动摩擦因数为，μ在保持拉力F大小不变的情况下改变其方向，但仍使物体沿原方向匀速运动，则拉力F′与原拉力F间的夹角θ为多大？解析：略.总之，凡遇到物体受三个共点力作用，处于平衡问题时，若一个力的大小与方向都确定，另一个力的方向也确定，求这个力的大小及第三个力的大小如何变化时，利用矢量三角形定性讨论比较方便.。

2023高考一轮知识点精讲和最新高考题模拟题同步训练第二章相互作用专题08 力的分解与合成第一部分知识点精讲一、力的合成与分解1．合力与分力(1)定义：如果一个力产生的效果跟几个共点力共同作用产生的效果相同，这一个力就叫作那几个力的合力，原来那几个力叫作分力。

(2)关系：合力和分力是等效替代的关系。

合力与分力的关系(1)两个分力一定时，夹角θ越大，合力越小。

(2)合力一定，两等大分力的夹角越大，两分力越大。

(3)合力可以大于分力，等于分力，也可以小于分力。

2．共点力作用在物体的同一点，或作用线的延长线交于一点的力。

如下图所示均是共点力。

3．力的合成(1)定义：求几个力的合力的过程。

(2)运算法则。

①平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向，如图甲所示。

②三角形定则：把两个矢量首尾相连，从而求出合矢量的方法，如图乙所示。

特别提醒：首尾相连的三个力构成封闭三角形，则合力为零。

几种特殊情况的共点力的合成4．力的分解(1)定义：求一个已知力的分力的过程。

(2)运算法则：平行四边形定则或三角形定则。

(3)分解力的两种方法：效果分解法(i)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向。

(ii)再根据两个分力方向画出平行四边形。

(iii)最后由三角形知识求出两个分力的大小和方向。

正交分解法：求几个力的合力时，可以先将各力进行正交分解，求出互相垂直方向的合力后合成，分解的目的是为了将矢量运算转化为代数运算，便于求合力。

(i)选取坐标轴及正方向：正交的两个方向可以任意选取，选取的一般原则是：①使尽量多的力落在坐标轴上；②平行和垂直于接触面；③平行和垂直于运动方向。

(ii)分别将各力沿正交的两个方向(x轴和y轴)分解，如图所示。

(iii)求各力在x 轴和y 轴上的分力的合力F x 和F y ，则有F x ＝F 1x＋F 2x ＋F 3x ＋…，F y ＝F 1y ＋F 2y ＋F 3y ＋…。

§1 矢量的基本知识和运算法则1．矢量和标量的不同点在于：矢量除了有大小之外，还有方向，矢量A 记做A ，其大小等于A矢量的图示：通常用一条带有箭头的线段来表示，（线段的长度表示大小，箭头表示方向）如图5－1所示。

两个矢量相等的条件是：大小相等，方向相同。

如图5－2所示。

两矢量的夹角定义为两矢量所构成的小于或等于1800的角。

在一般问题中（除非特别指明），矢量的始点位置不关重要的，在进行矢量运算时可将矢量平移。

2．矢量的加减法运算遵从平行四边形法则或三角形法则。

对三个以上的矢量相加，通常使用多边形法则。

10NF图5－1A/A/AA /AA /A A =/A A ≠/A A =-图5－ 2C A B A B C +=B - CA B ()A B A B C -=+-= CAB A BC += A B C A B C -= 图5－ 3 A B CD E A B C D E +++= AB C D E B D A C E +++=图5－43．矢量A 与数量K 相乘时，其结果仍是一个矢量。

所得矢量的大小等于原矢量大小乘以，所得矢量的方向：当K ＞0时，与原矢量方向相同；当K<0 时，与原矢量方向相反如动量()mV 、冲量()F t ⋅∆都是矢量，其方向分别与矢量V 和F 矢量相同。

动量的变化量()m V ∆也是矢量，其方向与V ∆相同。

矢量A 与数量K 相除，可以看成A 矢量乘以数量1K，如加速度1F a F m m ==⋅，方向与F 相同。

4．矢量A 与矢量B 相乘一种乘法叫做两矢量的数量积（又叫点积），用A B ⋅表示，乘得的积是标量，大小等于两矢量的大小与两矢量夹角余弦的积。

即：cos A B AB θ⋅=。

如：功是力F 与位移S 的数量积，是标量。

cos W F S FS θ=⋅=另一种乘法运算是两矢量的矢量积（又叫叉积），用A B ⨯表示，矢量积A B C ⨯=还是一个矢量，其大小等于两矢量的大小和两矢量夹角的正弦的乘积。

F 1F 2 力的合成和分解一、标量和矢量1．将物理量区分为矢量和标量体现了用分类方法研究物理问题的思想。

2．矢量和标量的根本区别在于它们遵从不同的运算法则：标量用代数法；矢量用平行四边形定则或三角形定则。

矢量的合成与分解都遵从平行四边形定则（可简化成三角形定则）。

平行四边形定则实质上是一种等效替换的方法。

一个矢量（合矢量）的作用效果和另外几个矢量（分矢量）共同作用的效果相同，就可以用这一个矢量代替那几个矢量，也可以用那几个矢量代替这一个矢量，而不改变原来的作用效果。

3．同一直线上矢量的合成可转为代数法，即规定某一方向为正方向。

与正方向相同的物理量用正号代入．相反的用负号代入，然后求代数和，最后结果的正、负体现了方向，但有些物理量虽也有正负之分，运算法则也一样．但不能认为是矢量，最后结果的正负也不表示方向如：功、重力势能、电势能、电势等。

二、力的合成与分解力的合成与分解体现了用等效的方法研究物理问题。

合成与分解是为了研究问题的方便而引人的一种方法．用合力来代替几个力时必须把合力与各分力脱钩，即考虑合力则不能考虑分力，同理在力的分解时只考虑分力而不能同时考虑合力。

1．力的合成（1）力的合成的本质就在于保证作用效果相同的前提下，用一个力的作用代替几个力的作用，这个力就是那几个力的“等效力”（合力）。

力的平行四边形定则是运用“等效”观点，通过实验总结出来的共点力的合成法则，它给出了寻求这种“等效代换”所遵循的规律。

（2）平行四边形定则可简化成三角形定则。

由三角形定则还可以得到一个有用的推论：如果n 个力首尾相接组成一个封闭多边形，则这n 个力的合力为零。

（3）共点的两个力合力的大小范围是|F 1－F 2| ≤ F 合≤ F 1＋F 2（课件演示）（4）共点的三个力合力的最大值为三个力的大小之和，最小值可能为零。

【例1】物体受到互相垂直的两个力F 1、F 2的作用，若两力大小分别为53N 、５ N ，求这两个力的合力．解析：根据平行四边形定则作出平行四边形，如图所示，由于F 1、F 2相互垂直，所以作出的平行四边形为矩形，对角线分成的两个三角形为直角三角形，由勾股定理得：2222215)35(+=+=F F F N=10 N合力的方向与F 1的夹角θ为： 3335512===F F tg θ θ＝30° 点评：今后我们遇到的求合力的问题，多数都用计算法，即根据平行四边形定则作出平行四边形后，通过解其中的三角形求合力．在这种情况下作的是示意图，不需要很严格，但要规范，明确哪些该画实线，哪些该画虚线，箭头应标在什么位置等．【例2】如图甲所示，物体受到大小相等的两个拉力的作用，每个拉力均为200 N ，两力之间的夹角为60°，求这两个拉力的合力．解析：根据平行四边形定则，作出示意图乙，它是一个菱形，我们可以利用其对角线垂直平分，通过解其中的直角三角形求合力．320030cos 21==οF F N=346 N合力与F 1、F 2的夹角均为30°．点评：（1）求矢量时要注意不仅要求出其大小，还要求出其方向，其方向通常用它与已知矢量的夹角表示．（2）要学好物理，除掌握物理概念和规律外，还要注意提高自己应用数学知识解决物理问题的能力．2．力的分解（1）力的分解遵循平行四边形法则，力的分解相当于已知对角线求邻边。

题型一对矢量运算的三角形定则的理解及对一条直线上的矢量运算简化为代数运动的理由的认识。

矢量运算遵循平行四边形定则，平行四边形的一半即为三角形定则，平行四边形定则中涉及5条边，而三角形定则只有三条边，所以应用三角形定则分析问题更简洁明了。

1．如图所示，F1、F2、F3恰好构成封闭的直角三角形，这三个力的合力最大的是()．2．(多选) 分别用带有箭头的线段表示某个质点的初动量p，末动量p′，动量的变化量Δp.其中线段长短表示大小，箭头指向表示矢量方向．下列选项中正确的是()．3．图示，动量p=7 N·s，末动量p′=5 N·s。

试用平行四边形定则和代数运算两种方法计算它们的矢量和及它们的矢量差。

且比较这两种计算的结果，说明一条直线上的矢量运算简化为代数运动的理由。

自主总结：(1) 三角形定则求和：将表示两矢量的有向线段首尾相接，则从第一个矢量的起点指向第二个矢量的终点的有向线段即表示这两个矢量的和。

(2) 三角形定则求差：将表示两矢量的有向线段画在同一起点，由表示减量的有向线段的末端指向表示被减量的有向线段的末端的有向线段即表示这两个矢量的差。

(3) 一条直线上的矢量运算方法与平行四边形定则的关系：在取定正方向的前提下，将矢量用代数值表示进行代数运算，运算结果的正负表示矢量的方向。

而这种代数运算的结果和运用平行四边形定则得到的结果是相同的，所以一条直线上的矢量运算可以简化为代数运算。

题型二对合力与分力关系的理解1 两个共点力F1、F2大小不同，它们的合力大小为F，则()．A．F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍B．F1、F2同时增加10 N，F也增加10 NC．F1增加10 N，F2减少10 N，F一定不变D．若F1、F2中的一个增大，F一定增大2．(多选)三个共点力大小分别是F1、F2、F3，关于它们的合力F的大小，下列说法中正确的是()．A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3B．F至少比F1、F2、F3中的某一个大C．若F1=3N、F2=6N、F3＝8N，则合力最大为17N D．若F1=3N、F2=6N、F3＝8N，则合力最小为1N自主总结：合力与分力关系：一、大小：1．两个共点力的合成|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，即两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两力反向时，合力最小；当两力同向时，合力最大．2．三个共点力的合成(1)最大值：三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3.(2)最小值：任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力的最小值为零，如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个较小的力的大小之和．题型三求合力的方法1．一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图所示(小方格边长相等)，则下列说法正确的是()A．三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定B．三力的合力有惟一值3F3，方向与F3同向C．三力的合力有惟一值2F3，方向与F3同向D．由题给条件无法求出合力大小2．(2018·山东省临沂市一模)如图所示，一物块在斜向下的拉力F的作用下沿光滑的水平地面向右运动，那么物体受到的地面的支持力F N与拉力F的合力方向是()A．水平向右B．向上偏右C．向下偏左D．竖直向下3．在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、40 N、30 N和15 N，方向如图所示，求它们的合力．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)自主总结：求合力的方法有二：（1）作平行四边形或三角形的方法（2）正交分解的方法正交分解法的应用1.建立坐标轴的原则一般选共点力的作用点为原点,在静力学中,以少分解力和容易分解力为原则(即尽量多的力在坐标轴上);在动力学中,常以加速度方向和垂直于加速度方向为坐标轴建立坐标系.2.正交分解法的基本步骤(1)选取正交方向:正交的两个方向可以任意选取,不会影响研究的结果,但如果选择合理,则解题较为方便.选取正交方向的一般原则:①使尽量多的矢量落在坐标轴上;②平行和垂直于接触面;③平行和垂直于运动方向.(2)分别将各力沿正交的两个方向(x轴和y轴)分解,如图5-6所示.(3)求分解在x轴和y轴上的各分力的合力F x和F y,则有F x=F1x+F2x+F3x+…,F y=F1y+F2y+F3y+….题型四对已知力分解有唯一结果条件的理解1．(2018·山东省烟台市模拟)减速带是交叉路口常见的一种交通设施，车辆驶过减速带时要减速，以保障行人的安全．当汽车前轮刚爬上减速带时，减速带对车轮的弹力为F，下图中弹力F画法正确且分解合理的是()2．(多选)(2019·陕西省商洛市调研)已知力F，且它的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为33F，方向未知，则F 1的大小可能是()A.3F3 B.3F2 C.23F3 D.3F自主总结：1.力的分解力的分解是力的合成的逆过程,实际力的分解过程是按照力的实际效果进行的,必须根据题意分析力的作用效果,确定分力的方向,然后再根据平行四边形定则进行分解.2.力的分解中的多解问题已知条件示意图解的情况已知合力与两个分力的方向有唯一解已知合力与两个分力的大小在同一平面内有两解或无解(当F<|F1-F2|或F>F1+F2时无解) 已知合力与一个分力的大小和方向有唯一解已知合力与一个分力的大小及另一个分力的方向在0<θ<90°时有三种情况:(1)当F1=Fsin θ或F1>F 时,有一组解;(2)当F1<Fsin θ时,无解;(3)当Fsin θ<F1<F时,有两组解.若90°<θ<180°,仅F1>F时有一组解,其余情况无解已知力分解有唯一结果条件：题型五受力分析的步骤和要求一、受力分析的一般步骤：二、为了避免分析时添、漏力，要按一定的顺序进行，一般按重力、弹力、其它力、摩擦力的顺序进行。

三角形定则和平行四边形定则
平行四边形法则与三角形法则都是用于向量（物理称矢量）加法的运算法则，
其主要区别是：用平行四边形法则来求和的的两个向量需要把起点重合在一起，然后以它们两个为邻边作平行四边形；而三角形法则，需要把两个向量首尾相接。

数学里的向量加法，移植到物理中，作为矢量运算的法则（矢量与向量都是有方向的量）。

按照数学的语言说：
向量的几何表示：一个有向线段，从箭尾指向箭头表示向量的方向，有向线段的长度表示向量的大小。

设有2向量A和B，A和B的向量和C=A+B,C也是向量，三个向量直接符合：
将A和B的箭尾重合，作为平行四边形的2邻边，则C是从公共的箭尾出发，所做该平行四边形的对角线表示的向量。

这个结论就叫做平行四边形定则。

在所做的上述图形中，将A或B平行移动到其对边，这样就构成一个三角形：A、B首尾（箭头、箭尾）相连，C为从箭尾指向箭头的向量。

这个结论叫三角形定则。

从上述操作可知，平行四边形定则与三角形定则是等价的。

高中物理矢量多边形图解法的应用高中物理引入了矢量学习，矢量是既有大小又有方向的物理量，比如力、位移、速度、加速度、动量、冲量、电场强度、磁感应强度等。

矢量的的运算遵循平行四边形定则、三角形定则和多边形定则。

在解答有关矢量运算时，如果用矢量图进行分析和计算，往往能化繁为简，化难为易迅速求得正确结果。

一、处理共点力平衡问题当物体处于静止或匀速直线运动时，物体处于平衡状态。

共点力的平衡条件是合力为零。

这几个共点力形成的矢量图是由这些力的图示首尾依次相连形成封闭的三角形或多边形。

例1、如图所示，将两个摆长均为l 的单摆悬于O 点，摆球质量均为m ，带电荷量均为q(q>0)．将另一个带电荷量也为q(q>0)的小球从O 点正下方较远处缓慢移向O 点，当三个带电小球分别处在等边三角形abc 的三个顶点上时，两摆线的夹角恰好为120°，则此时摆线上的拉力大小等于( ) A.mg 3 B. mg C. 2232lkq D.2233lkq分析与解答：以a 点带电小球为研究对象，小球静止处于平衡状态，受到四个力作用：重力G 、拉力F T 、c 对a 的库仑力F ca ，b 对a 的库仑力F ba ；由平衡条件合力为零，四个力首尾相连构成封闭四边形，如图所示。

在四边形ABCD 中，AB 边代表重力G ，BC 边代表拉力F T ，CD 边代表c 对a 的库仑力F ca ，DA 边代表b 对a 的库仑力F ba 。

由长度ac=ab 知，库仑力大小F ba=F ca ，由几何关系可知，三角形ABD 与三角形BCD 是全等三角形，可得拉力F T =G=mg, F T =F ba tan600=()22223360tan 3l kq l kq =⋅ ；正确答案选择B D 。

例2、如图所示，小船用绳牵引靠岸，设水的阻力不变，在小船匀速靠岸的过程中，有（ ） A ．绳子的拉力不断增大 B ．绳子的拉力不变 C ．船受的浮力减小 D ．船受的浮力不变图：例1G分析与解答：因小船作匀速运动，处于平衡状态，受重力，浮力，拉力，和阻力的作用，四个力首尾相连构成封闭四边形，如图所示，其中重力G 恒定,阻力保持不变，浮力的方向不变， 拉力FT 与竖直方向的夹角θ逐渐减小.则则图可知：拉力FT 不断增大，浮力逐渐减小。

矢量三角形在高中物理中的应用探究利用矢量三角形上理高中物理的矢量运算，能够很好地物理知识我数学中的几何三角形知识结合起来，能把数学的向量运算与物理中的矢量运算有机结合，并能够利用图形的变化，方便、直观的观察矢量的动态变化，是分析动态平衡问题和极值问题的重要方法与手段。

一、矢量三角形的构成原理平行四边形定则是所有矢量运算都遵守的运算法则，把平行四边形沿对角线分开，构成一个封闭的矢量三角形。

三角形的边长长短表示矢量的大小，方向表示矢量的方向，何三角形相似具有几何三角形的性质具体有力的合成与分解中的矢量三角形，三个共点力平衡构成的矢量三角形，运动合成与分解中速度的合成与分解构成的矢量三角形，具体情况将在以下应中进行阐述和分析。

二、矢量三角形在物理问题中的应用1、矢量三角形在力的合成与分解中的应用（1）合力F与分力F1，F2构成的矢量三角形；两个分力F1、F2首尾相连，合力F从第一个力F1的矢端指向第二个力F2的末端，构成封闭的矢量三角形，如图1所示（2）应用举例例1：如图所示的水平面上，橡皮绳一端固定，另一端连接两根弹簧，连接点P在F1，F2和F3三力作用下保持静止，下列判断中正确的是（）A.F1＞F2＞F3B.F3＞F1＞F2C.F2＞F3＞F1D.F3＞F2＞F1[解析]F1和F2的合力F与F3等大反向，把F1、F2F3平移构成封闭的矢量三角形，如图2所示由三角形的边长关系可知F3＞F1＞F2，B正确例2：如图所示，有一箱装的很满的土豆，以一定的初速度在摩擦系数为u的水平面上做匀减速运动，（不计其它外力及空气阻力）则其中一个质量为m的土豆A受其它土豆对它的总作用力大小应是（）A.mgB.umgC.mg[解析]对整箱土豆受力分析有umg=Ma,a=ug,对土豆A受力分析受到其它土豆对它的作用力F其它，重力mg，合外力水平向左为ma=umg,则ma,mg，F其它构成矢量三角形如图3所示由矢量三角形平行2、矢量三角形在三个共点力平衡中的应用（1）三个共点力平衡的矢量三角形如果物体受到三个共点力平衡，把三个共点力平移首尾相连构成封闭的矢量三角形，矢量三角形和几何三角形具有相同的性质，可以和几何三角形相似利用三角形的相似性质分析解决问题。

电场及电场强度知识点：电场及电场强度一、电场1．电场：存在于电荷周围的一种特殊物质，电荷之间的相互作用是通过电场产生的． 2．电场像分子、原子等实物粒子一样具有能量，电场是物质存在的一种形式． 二、电场强度1．试探电荷与场源电荷(1)试探电荷：为了研究电场的性质而引入的电荷，其是电荷量和体积都很小的点电荷． (2)场源电荷：激发电场的带电体所带的电荷，也叫源电荷． 2．电场强度(1)定义：放入电场中某点的试探电荷所受的静电力跟它的电荷量的比值，叫作该点的电场强度．(2)定义式：E ＝Fq ，q 是试探电荷的电荷量．(3)单位：牛每库(N/C)．(4)方向：电场强度是矢量，电场中某点的电场强度的方向与正电荷在该点所受的静电力的方向相同，与负电荷在该点所受静电力的方向相反． 三、点电荷的电场 电场强度的叠加 1．真空中点电荷的电场(1)场强公式：E ＝k Qr 2，其中k 是静电力常量，Q 是场源电荷的电荷量，r 是点电荷到电场中该点的距离．(2)方向：如果以Q 为中心作一个球面，当Q 为正电荷时，E 的方向沿半径向外；当Q 为负电荷时，E 的方向沿半径向内． 2．电场强度的叠加场强是矢量，如果场源是多个点电荷时，电场中某点的电场强度为各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和． 四、电场线 匀强电场 1．电场线(1)概念：电场线是画在电场中的一条条有方向的曲线，曲线上每点的切线方向表示该点的电场强度方向．(2)特点①电场线从正电荷或无限远出发，终止于无限远或负电荷． ②电场线在电场中不相交．③在同一电场中，电场强度较大的地方电场线较密，电场强度较小的地方电场线较疏． 2．匀强电场(1)概念：如果电场中各点的电场强度的大小相等、方向相同，这个电场就叫作匀强电场． (2)特点：①电场方向处处相同，电场线是平行直线． ②场强大小处处相等，电场线疏密程度相等．(3)实例：相距很近、带有等量异种电荷的一对平行金属板之间的电场(边缘除外)，可以看作匀强电场．技巧点拨一、电场强度1．电场强度的大小和方向都是由电场本身所决定的，与试探电荷无关．2．电场强度是矢量，其方向与在该点的正电荷所受静电力的方向相同，与在该点的负电荷所受静电力的方向相反．3．公式E ＝Fq 可变形为F ＝qE ：正电荷所受静电力方向与电场强度方向相同，负电荷所受静电力方向与电场强度方向相反． 二、点电荷的电场 电场强度的叠加 1．点电荷场强公式：E ＝k Qr 2.2．E ＝F q 与E ＝k Qr 2的比较3.电场强度是矢量，合成时遵循矢量运算法则(平行四边形定则或三角形定则)；对于同一直线上电场强度的合成，可先规定正方向，进而把矢量运算转化成代数运算． 三、电场线1．电场线是为了形象地描述电场而假想的线，实际上是不存在的．2．电场线每点的切线方向与该点的电场强度方向相同．3．几种特殊的电场线分布，如图所示．例题精练1．（沙河口区校级月考）如图所示，在某一点电荷Q产生的电场中，有a、b两点。

高中物理竞赛—曲线运动知识要点分析一、运动的合成与分解1、标量和矢量物理量分为两大类：凡是只须数值就能决定的物理量叫做标量，例如：时间、路程、质量、温度、功和能量等；另一类，既有大小，也需要方位和指向才能确定的物理量叫做失量，例如：位移、速度、加速度、力、动量都是矢量。

标量和矢量在进行运算时遵守不同的法则，标量的运算遵守代数法则如加、减、乘、除等。

而矢量的运算不能用上述法则。

中学常用的矢量运算是所谓矢量的合成与分解，这种运算都遵守平行四边形定则（或三角形法则）。

当矢量在一条直线上合成和分解时，规定正方向后，可转化为代数运算。

2.运动的合成由已知的分运动求其合运动叫运动的合成．这既可能是一个实际问题，即确有一个物体同时参与几个分运动而存在合运动；又可能是一种思维方法，即可以把一个较为复杂的实际运动看成是几个基本的运动合成的，通过对简单分运动的处理，来得到对于复杂运动所需的结果．描述运动的物理量如位移、速度、加速度都是矢量，运动的合成应遵循矢量运算的法则：（1）如果分运动都在同一条直线上，需选取正方向，与正方向相同的量取正，相反的量取负，矢量运算简化为代数运算．（2）如果分运动互成角度，运动合成要遵循平行四边形定则．3．合运动的性质取决于分运动的情况:①两个匀速直线运动的合运动仍为匀速直线运动．②一个匀速运动和一个匀变速运动的合运动是匀变速运动，二者共线时，为匀变速直线运动，二者不共线时，为匀变速曲线运动。

③两个匀变速直线运动的合运动为匀变速运动，当合运动的初速度与合运动的加速度共线时为匀变速直线运动，当合运动的初速度与合运动的加速度不共线时为匀变速曲线运动。

3、运动的分解1．已知合运动求分运动叫运动的分解．2．运动分解也遵循矢量运算的平行四边形定则．3．将速度正交分解为 v x ＝vcos α和v y =vsin α是常用的处理方法．4．速度分解的一个基本原则就是按实际效果来进行分解，常用的思想方法有两种：一种思想方法是先虚拟合运动的一个位移，看看这个位移产生了什么效果，从中找到运动分解的办法；另一种思想方法是先确定合运动的速度方向（物体的实际运动方向就是合速度的方向），然后分析由这个合速度所产生的实际效果，以确定两个分速度的方向．4、合运动与分运动的特征：（1）等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动所需时间相等．（2)独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，各个分运动独立进行，互不影响．(3)等效性:合运动和分运动是等效替代关系，不能并存；(4)矢量性:加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。

模型界定矢量及矢量运算是高中物理的重点和难点之一，常见的矢量有位移、速度、加速度、力、动量、电场强度、磁感应强度等．狭义的讲，矢量的运算是指矢量物理量之间的运算，广义的说，矢量运算还包括运动形式的分解与合成．适量运算要遵循特殊的法则。

本模型归纳总结高中物理中所涉及到的矢量矢量的加(减)法与乘法的运算.模型破解1. 矢量加法(i)平行四边形定则矢量的加法运算也即矢量的合成,其实质是等效替代,一般可用平行四边形法则。

如果用表示两个矢量A1和A2的有向线段为邻边作平行四边形，那么合矢量A的大小和方向就可以用这两个邻边之间的对角线表示，这叫做矢量运算的平行四边形定则.(ii)三角形法则与多边形定则如图所示，两矢量合成时由平行四边形法则可推广至三角形法则：将两矢量Ａ１Ａ２首尾相接，则合矢量Ａ就是由矢量Ａ１的箭尾指向矢量Ａ２箭首的有向线段所表示的矢量．多个矢量相加时，则三角形定则推广可得到多边形法则，如图所示．最终合矢量的大小和方向与相加次序无关。

（iii)正交分解法将矢量沿两个相互垂直的方向分解，称为正交分解．矢量A 1、A 2、A 3…相加时，可先将各矢量沿相互垂直的x 轴和y 轴分解，A 1分解为A 1x 和A 1y ，A 2分解为A 2x 和A 2y ，A 3分解为A 3x 和A 3y ，…则x 轴方向上的矢量和A x =A 1x +A 2x +A 3x +…；y 轴方向上的适量和A y =A 1y +A 2y +A 3y +…,则合矢量大小22y x A A A +=，合矢量方向与x 轴夹角θ满足xy A A =θtan ．(iv)矢量减法矢量减法是矢量加法的逆运算，也称为矢量的分解．一个矢量减去另一个矢量，等于加上那个矢量的负矢量，A １-A 2=A 1+(-A 2)，如图所示。

矢量的分解虽然是矢量合成的逆运算，但无其他限制，同一个矢量可分解为无数对大小、方向不同的分矢量。

因此，把一个矢量分解为两个分矢量时，应根据具体情况分解。

力的合成一、力的合成 求几个力的合力的过程叫做力的合成。

1．合成法则：平行四边形定则或三角形定则．2．同一直线上的力合成：选定一个正方向，与正方向相同的力为正，与正方向相反的力为负．即可将矢量运算转化为代数运算求合力．3．互成角度的两力F 1、F 2的合成①作图法：选定合适的标度，以F 1、F 2为两邻边作平行四边形，两邻边之间的对角线即为所求．根据标度，用刻度尺量出合力的大小，用量角器量出合力与任意分力的夹角φ．②计算法：若以F 1、F 2为邻边作平行四边形后，F 1、F 2夹角为θ，如图所示，利用余弦定理得合力大小F 1F θφA D C2212122cos F F F F F θ=++合力F 方向与分力F 2的夹角φ121sin tan cos F CD OD F F θϕθ==+ a ．若θ=0°，则F = F 1+F 2 ； b ．若θ=90°，则2212F F F =+c ．若θ=180°，则F = |F 1-F 2|；d ．若θ=120°，且F 1=F 2，则F = F 1=F 2．4．两种特殊情况下合力的计算方法(1)夹角为θ的两个等大的力的合成，如图 (a)所示，作出的平行四边形为菱形，利用其对角线互相垂直的特点可求得合力F ′＝2F cos θ2。

(2)夹角为120°的两个等大的力的合成，如图(b)所示，实际是图(a)的特殊情况，求得合力F ′＝2F cos 120°2＝F 。

5．合力范围的确定(1)两个共点力的合力范围：|F 1－F 2|≤F ≤F 1＋F 2.(2)三个共点力的合成范围①最大值：三个力同向时，其合力最大，为F max ＝F 1＋F 2＋F 3.②最小值：以这三个力的大小为边，如果能组成封闭的三角形，则其合力的最小值为零，即F min ＝0；如果不能，则合力的最小值为F min ＝F 1－|F 2＋F 3|(F 1为三个力中最大的力)．6.多个共点力的合成方法依据平行四边形定则先求出任意两个力的合力，再求该合力与第三个力的合力，依次类推，求完为止．也可以先正交分解后合成的方法．7．合力与分力相关性(1)等效性：合力的作用效果与分力的共同作用效果相同，它们在效果上可以相互替代，是一种等效替代关系。