高考真题强化训练--数列大题1--渊博教育

数列大题一．证明等差（比）数列【例1】 已知数列{}n a 中,()111,3nn n a a a n N a *+==∈+. （1）求证：112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列, 并求{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n b 满足()312n n n n nb a =-,数列{}n b 的前n 项和为n T ,若不等式()112nn n nT λ--<+对一切n N *∈恒成立, 求λ的取值范围.练习1-1 设数列的前项和满足()312n n S a =-（1）求证数列是等比数列并求通项公式n a ；（2）设21n b n =-，,n n n c a b =⋅为{}n c 的前n 项和，求.练习1-2 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*1121,n n n a a S n N n++==∈． （1）证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）求数列{}n S 的前n 项和n T ．二．求通项【例2】各项为正数的数列的前n项和为，且满足：（Ⅰ）求；（Ⅱ）设函数(),,2n a n f n n f n ⎧⎪=⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩为奇数为偶数，(24)n n C f =+，n N *∈ ，求数列{}n C 的前n 项和n T ．练习2-1 设数列{}a的前n项和为n S，n a是n S和1的等差中项．n（1）求数列{}a的通项公式；n（2）求数列{}na的前n项和n T．n练习2-2 已知数列}{n a 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足2)1(4+=n n a S ． （1）求}{n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项和为n T ．练习2-3 已知数列{}n a 与{}n b 满足()()112n n n n a a b b n N *++-=-∈. （1）若11,35n a b n ==+数列{}n a 的通项公式；（2）若()16,2n n a b n N *==∈且22n n a n λλ>++对一切n N *∈恒成立,求实数λ的取值范围.。

高考数学数列多选题专项练习含解析一、数列多选题1．已知等比数列{}n a 首项11a >，公比为q ，前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，函数()()()()127f x x x a x a x a =+++，若()01f '=，则（ ）A ．{}lg n a 为单调递增的等差数列B ．01q <<C ．11n a S q ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭为单调递增的等比数列D ．使得1n T >成立的n 的最大值为6【答案】BCD 【分析】令()()()()127g x x a x a x a =+++，利用()()127001f g a a a '===可得3411a a q ==，01q <<，B 正确；由()()111lg lg lg 1lg n n a a q a n q -==+-可得A 错误；由()111111111n n n a a a qS q q q q q --=--=⋅---可得C 正确；由11a >，01q <<，41a =可推出671T T >=，81T <可得D 正确. 【详解】令()()()()127g x x a x a x a =+++，则()()f x xg x =， ()()()f x g x xg x ''∴=+，()()127001f g a a a '∴===，因为{}n a 是等比数列，所以712741a a a a ==，即3411a a q ==，11a >，01q ∴<<，B 正确；()()111lg lg lg 1lg n n a a q a n q -==+-，{}lg n a ∴是公差为lg q 的递减等差数列，A 错误；()111111111n n n a a a q S q q q q q --=--=⋅---，11n a S q ⎧⎫∴-⎨⎬-⎩⎭是首项为101a q q <-，公比为q 的递增等比数列，C 正确；11a >，01q <<，41a =，3n ∴≤时，1n a >，5n ≥时，01n a <<，4n ∴≤时，1n T >，7712741T a a a a ===，8n ∴≥时，78971n n T T a a a T =<=，又75671T T a a =>，7671T T a =>，所以使得1n T >成立的n 的最大值为6，D 正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：利用等比数列的性质、通项公式、求和公式、数列的单调性求解是解题关键.2．已知数列{},{}n n a b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为,{}n n S b 的前n 项和为,n T 且满足*112,2()n n n n n a a n b b n N +++=⋅=∈，则下列结论正确的是（ ）A ．101a << B．11b <<C ．22n n S T <D ．22n n S T ≥【答案】ABC 【分析】利用数列单调性及题干条件，可求出11,a b 范围；求出数列{},{}n n a b 的前2n 项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得答案. 【详解】因为数列{}n a 为递增数列， 所以123a a a <<，所以11222a a a <+=，即11a <， 又22324a a a <+=，即2122a a =-<， 所以10a >，即101a <<，故A 正确； 因为{}n b 为递增数列， 所以123b b b <<，所以21122b b b <=，即1b <又22234b b b <=，即2122b b =<， 所以11b >，即11b <<，故B 正确；{}n a 的前2n 项和为21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++= 22(121)2[13(21)]22n n n n +-++⋅⋅⋅+-==，因为12n n n b b +⋅=，则1122n n n b b +++⋅=，所以22n n b b +=，则{}n b 的2n 项和为13212422()()n n n b b b b b b T -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=1101101122(222)(222)()(21)n n nb b b b --++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+-1)1)n n>-=-，当n =1时，222,S T =>，所以22T S >，故D 错误； 当2n ≥时假设当n=k时，21)2k k ->21)k k ->， 则当n=k +11121)21)21)2k k k k k ++-=+-=->2221(1)k k k >++=+所以对于任意*n N ∈，都有21)2k k ->，即22n n T S >，故C 正确 故选：ABC 【点睛】本题考查数列的单调性的应用，数列前n 项和的求法，解题的关键在于，根据数列的单调性，得到项之间的大小关系，再结合题干条件，即可求出范围，比较前2n 项和大小时，需灵活应用等差等比求和公式及性质，结合基本不等式进行分析，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.3．设n S 是公差为()d d ≠0的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（ ） A ．若0d <，则数列{}n S 有最大项 B ．若数列{}n S 有最大项，则0d <C ．若对任意*n N ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列D ．若数列{}n S 是递增数列，则对任意*n N ∈，均有0n S > 【答案】ABC 【分析】由等差数列的求和公式可得()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，可看作关于n 的二次函数，由二次函数的性质逐个选项验证可得. 【详解】由等差数列的求和公式可得()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， 选项A ，若0d <，由二次函数的性质可得数列{}n S 有最大项，故正确； 选项B ，若数列{}n S 有最大项，则对应抛物线开口向下，则有0d <，故正确； 选项C ，若对任意*n ∈N ，均有0n S >，对应抛物线开口向上，0d >， 可得数列{}n S 是递增数列，故正确；选项D ，若数列{}n S 是递增数列，则对应抛物线开口向上， 但不一定有任意*n ∈N ，均有0n S >，故错误. 故选：ABC . 【点睛】本题考查等差数列的求和公式的应用，()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭可看成是二次函数，然后利用二次函数的性质解决问题，考查分析和转化能力，属于常考题.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若831a =，10210S =，则（ ）A ．19919S a =B ．数列{}22na 是公比为8的等比数列C ．若()1nnnb a =-⋅，则数列{}n b 的前2020项和为4040D ．若11n n n b a a +=，则数列{}n b 的前2020项和为202024249【答案】CD 【分析】由等差数列性质可判断A ；结合已知条件可求出等差数列的公差，从而可求出通项公式以及22n a ，结合等比数列的定义可判断B ；写出n b ，由定义写出2020T 的表达式，进行分组求和即可判断C ；11144143n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，裂项相消即可求和.【详解】由等差数列的性质可知，191019S a =，故A 错误；设{}n a 的公差为d ，则有811017311045210a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得13a =，4d =，故41n a n =-，28122na n -=， 则数列{}22n a是公比为82的等比数列，故B 错误；若()()()1141n nn n b a n =-⋅=-⋅-，则{}n b 的前2020项20203711158079410104040T =-+-+-⋅⋅⋅+=⨯=，故C 正确； 若()()1111414344143n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，则{}n b 的前2020项和2020111111120204377118079808324249T ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=⎪⎝⎭，故D 正确． 故选:CD ． 【点睛】 方法点睛:求数列的前n 项和常见思路有：1、对于等差和等比数列，直接结合求和公式求解；2、等差数列±等比数列时，常采取分组求和法；3、等差数列⨯等比数列时，常采取错位相减法；4、裂项相消法.5．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其公差分别为1d 和2d ，其前n 项和分别为n S 和n T ，则下列命题中正确的是（ ） A．若为等差数列，则112da =B ．若{}n n S T +为等差数列，则120d d +=C ．若{}n n a b 为等差数列，则120d d ==D ．若*n b N ∈，则{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d +【分析】对于A，利用=对于B ，利用()2211332S T S T S T +=+++化简可得答案； 对于C ，利用2211332a b a b a b =+化简可得答案； 对于D ，根据112n n b b a a d d +-=可得答案. 【详解】 对于A，因为为等差数列，所以=即== 化简得()21120d a -=，所以112d a =，故A 正确；对于B ，因为{}n n S T +为等差数列，所以()2211332S T S T S T +=+++， 所以()11121111122223333a d b d a b a d b d +++=+++++， 所以120d d +=，故B 正确；对于C ，因为{}n n a b 为等差数列，所以2211332a b a b a b =+， 所以11121111122()()(2)(2)a d b d a b a d b d ++=+++， 化简得120d d =，所以10d =或20d =，故C 不正确；对于D ，因为11(1)n a a n d =+-，且*n b N ∈，所以11(1)n b n a a b d =+-()112111a b n d d =++--⎡⎤⎣⎦，所以()()1111211n b a a b d n d d =+-+-，所以()()()11111211112111n n b b a a a b d nd d a b d n d d +-=+-+-----12d d =， 所以{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d ，故D 不正确. 故选：AB 【点睛】关键点点睛：利用等差数列的定义以及等差中项求解是解题关键.6．设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，1121,n n n S S S n++==，且212n n n n a b a a ++=，则下列结论正确的是（ ） A ．20202020a = B ．()12n n n S += C ．()112n b n n =-+D ．1334n T n ≤-<【分析】可由累乘法求得n S 的通项公式，再由()12n n n S +=得出n a n =，代入212n n n n a b a a ++=中可得()112n b n n =++.由裂项相消法求出n T ，利用数列的单调性证明1334n T n ≤-<.【详解】由题意得，12n n S n S n++=， ∴当2n ≥时，121121112n n n n n S S S n n S S S S S n n ---+=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅--()13112n n +⋅=，且当1n =时也成立， ∴ ()12n n n S +=，易得n a n =，∴ 20202020a =，故,A B 正确； ∴ ()()()211111112222n n b n n n n n n +⎛⎫==+=+- ⎪+++⎝⎭，∴11111111111111112324351122212n T n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++-+-=++-- ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭3111342124n n n n ⎛⎫=+-+<+ ⎪++⎝⎭， 又n T n -随着n 的增加而增加， ∴1113n T n T -≥-=，∴1334n T n ≤-<，C 错误，D 正确， 故选：ABD. 【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a ＝，且1n n S a λ-＝（λ为常数）．若数列{}n b 满足2920n n a b n n -+-＝，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值可以为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】AB 【分析】利用11a S =可求得2λ=；利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而得到12n na ，进而得到nb ；利用10nnb b 可得到关于n 的不等式，解不等式求得n 的取值范围，根据n *∈N 求得结果. 【详解】当1n =时，1111a S a λ==-，11λ∴-=，解得：2λ=21n n S a ∴=-当2n ≥且n *∈N 时，1121n n S a --=-1122n n nn n a S S a a ，即：12n n a a -=∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n na2920n n a b n n =-+-，219202n n n n b --+-∴=()()222111912092011280222n n n n nn n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=< 20n >，()()21128470n n n n ∴-+=--<，解得：47n <<又n *∈N ，5n ∴=或6 故选：AB 【点睛】关键点点睛：本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识，解决本题的关键点是能够得到n b 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于n 的不等式，从而求得结果，考查学生计算能力，属于中档题．8．（多选题）已知函数()22()()n n f n n n ⎧=⎨-⎩当为奇数时当为偶数时，且()()1n a f n f n =++，则na 等于（ ）A ．()21n -+B ．21n -C ．21nD ．12n -【答案】AC 【分析】对n 进行分类讨论，按照()()1n a f n f n =++写出通项即可. 【详解】当n 为奇数时，()()()()22112121n a f n f n n n n n =++=-+=--=-+； 当n 为偶数时，()()()221121n a f n f n n n n =++=-++=+，所以()()()2121n n n a n n ⎧-+⎪=⎨+⎪⎩当为奇数时当为偶数时.故选：AC . 【点睛】易错点睛：对n 进行分类讨论时，应注意当n 为奇数时，1n +为偶数；当n 为偶数时，1n +为奇数.9．斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，其通项公式n nn a ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，是用无理数表示有理数的一个范例，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，即21n n n a a a ++=+，记该数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．10711S a =B ．2021201920182a a a =+C ．202120202019S S S =+D ．201920201S a =-【答案】AB 【分析】选项A 分别求出710S a ，可判断，选项B 由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+可判断,选项C ，由202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可判断.选项D.由()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-可判断.【详解】因为10143S =，711143a =，所以10711S a =，则A 正确；由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+， 所以2021201920182a a a =+，所以B 正确； 因为202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，所以2021202020191S S S =++，所以C 错误； 因为()()()()()123324354652122n n n n n S a a a a a a a a a a a a a a a a +++=++++=-+-+-+-++-=-21n a +=-，所以201920211S a =-，所以D 错误.故选：AB. 【点睛】关键点睛：本题考查数列的递推关系的应用，解答本题的关键是由202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，以及由递推关系可得()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-，属于中档题.10．若数列{}n a 的前n 项和是n S ，且22n n S a =-，数列{}n b 满足2log n n b a =，则下列选项正确的为（ ） A ．数列{}n a 是等差数列B ．2nn a =C ．数列{}2na 的前n 项和为21223n +-D ．数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，则1n T <【答案】BD 【分析】根据22n nS a =-，利用数列通项与前n 项和的关系得1,1,2n n S n a S n =⎧=⎨≥⎩，求得通项n a ，然后再根据选项求解逐项验证. 【详解】当1n =时，12a =，当2n ≥时，由22n n S a =-，得1122n n S a --=-， 两式相减得：12n n a a -=， 又212a a =，所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列， 所以2nn a =，24nn a =，数列{}2na 的前n 项和为()141444143n n nS +--'==-， 则22log log 2nn n b a n ===，所以()1111111n n b b n n n n +==-⋅⋅++，所以 1111111 (11123411)n T n n n =-+-++-=-<++， 故选：BD 【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．。

高考数学《数列》大题训练50题1 ．数列{}的前n 项和为，且满足，.n a n S 11a =2(1)n n S n a =+（1）求{}的通项公式； （2）求和T n =.n a 1211123(1)na a n a ++++L 2 ．已知数列，a 1=1，点在直线上.}{n a *))(2,(1N n a a P n n ∈+0121=+-y x （1）求数列的通项公式；}{n a （2）函数，求函数最小值.)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 )(n f 3 ．已知函数(a ，b 为常数)的图象经过点P （1，）和Q （4，8）x ab x f =)(81(1) 求函数的解析式；)(x f (2) 记a n =log 2,n 是正整数，是数列{a n }的前n 项和，求的最小值。

)(n f n S n S 4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．n S 5 ．设数列的前项和为，且，其中是不等于和0的实常数.{}n a n n S 1n n S c ca =+-c 1-（1）求证: 为等比数列；{}n a （2）设数列的公比，数列满足，试写出 的{}n a ()q f c ={}n b ()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭通项公式，并求的结果.12231n n b b b b b b -+++L 6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量与向量共线，且1+n n A A n n C B 点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且…对任意的{}n a {}n b 212322a a a +++12n n a -+8n =∈n N*都成立，数列是等差数列．1{}n n b b +-（1）求数列与的通项公式；{}n a {}n b （2）问是否存在N *，使得？请说明理由．k ∈(0,1)k k b a -∈8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a nn n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值；（II ）若存在实数为等差数列，试求λ的值.}3{,nn a λλ+使得9 ．已知数列的前项和为，若，{}n a n n S ()1,211++=⋅=+n n S a n a n n（1）求数列的通项公式;{}n a （2）令，①当为何正整数值时，：②若对一切正整数，总有，求的n nn S T 2=n 1+>n n T T n m T n ≤m 取值范围。

重难点01 数列【高考考试趋势】高考中考查数列难度不大，知识点考查比较简单，也是高考中务必拿分题目，对于大部分人来说，数列这一知识点是不容失分的.本重点专题是通过对高考中常见高考题型对应知识点的研究而总结出来的一些题目，通过本专题的学习补充巩固，让你对高考中数列题目更加熟练，做高考数列题目更加得心应手. 【高考常见题型分类总结】通项公式的求法q pa a n n +=1-的形式，主要是利用)()(1-m a p m a n n +=+的形式进行转化对于11-++=n n p pa a n ，主要采用m p a p a n n n n =1-1--的形式进行转化运算对于11n-n n-n a =pa -a a 一般采用转化成=p a -a n-n 111的形式进行转化运算.对于求和问题裂项求和形如)12)(1-2(1+=n n a n 的形式一般采用裂项)121-1-21(21+=n n a n 的形式，注意前面的21此系数，是由系数只差确定与1212+n n-. 错位相减求和问题，本专题题目中有出现.分组求和问题，分为两种，一种是绝对值分组求和问题，另外一种是两种不同数列的分组求和问题.【常见题型限时检测】（建议用时：35分钟）1．（2020·万载县第二中学高三月考（理））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（ ）A ．2B ．43C ．4D ．4-【答案】C【分析】：()11111611111322a a S a+⨯===，612a ∴=，又5620a a +=，58a ∴=，654d a a ∴=-=.故选：C ．2．（2020·河南高三月考（理））在数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，若513n a >，则n 的最小值是（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】C【分析】因为121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-，即1121n n a a +-=-，所以数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列.则112n n a --=，即121n n a -=+.因为513n a >，所以121513n -+>，所以12512n ->，所以10n >. 故选：C3．（2020·河南高三月考（理））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（ ） A ．60 B ．120C ．160D ．240【答案】B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()11515815152a a S a +==，从而可得出结果.解：由题可知，2938a a a +=+，由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =，故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=.故选：B.4．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)()f x f x -=，(1)2f =.数列{}n a 满足22n n S a =-，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和，则()()561f a f a +-=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2-【答案】D【分析】由数列{}n a 满足12a =，22n n S a =-，可知数列{}n a 是首项12a =，公比2q的等比数列，即2nn a =，求出5131a -=，664a =，由(2)()f x f x -=及()f x 是奇函数，可得函数周期为4，由此能求出()()561f a f a -+． 【详解】由数列{}n a 满足12a =，22n n S a =-当2n ≥，1122n n n n n a S S a a --=-=-，即12n n a a -= 所以数列{}n a 是首项12a =，公比2q的等比数列，2n n a ∴=，由(2)()f x f x -=知函数对称轴为1x =，又()f x 是奇函数，所以函数周期为4.()()561(31)(64)(1)(0)(1)02f a f a f f f f f ∴-+=+=-+=-+=-.故选：D.5．（2020·浙江高三期中）在数列{}n a 中，12a =，对任意的,m n N *∈，m n m n a a a +=⋅，若1262n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n =（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】C【分析】因为对任意的,m n N *∈，都有m n m n a a a +=⋅，所以令1m =，则112+=⋅=n n n a a a a ，因为10a ≠，所以0n a ≠，即12n na a +=， 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2(12)6212n -=-，解得n =5，故选：C6．（2020·云南省玉溪第一中学高二期中（理））已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()(),(1)32f x f x f -=-=，数列{}n a 满足11a =，且21n nS a n n=-，(n S 为{}n a 的前n 项和，*)n N ∈，则56()()f a f a +=（ ） A ．1 B ．3C ．-3D ．0【答案】C【分析】依题意定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且满足3()()2f x f x -=，所以()333332222f x f x f x fx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=---=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()32f x f x f x ⎛⎫=---=--= ⎪⎝⎭，所以()f x 是周期为3的周期函数.由21n n S a n n=-得2n n S a n =-①， 当1n =时，11a =，当2n ≥时，()1121n n S a n --=--②，①-②得11221,21n n n n n a a a a a --=--=+（2n ≥），所以21324354213,217,2115,2131a a a a a a a a =+==+==+==+=，652163a a =+=.所以56()()f a f a +=()()()()()()()316331013211013f f f f f f f +=⨯++⨯=+=--=-故选：C7．（2020·河北衡水中学高三月考）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，*1(1),N 2nn n n S a n =--∈，则12100S S S +++=（ ）A ．10011132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦B ．9811132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C ．5011132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦D ．4911132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【答案】A【分析】由*1(1),2nn a n S a n =--∈N ， 当1n =时，1112S a =--，得114a =-； 当2n ≥时，111111(1)(1)22----=-=----+nn n n n n n n n a S S a a ，即11(1)(1)2n n n n n n a a a -=-+-+. 当n 为偶数时，11(2)2n n a n -=-≥，所以112n n a +=-（n 为正奇数）， 当n 为奇数时，11111112(2)2222n n n n n n a a -+-⎛⎫=-+=--+= ⎪⎝⎭，所以12n na =（n 为正偶数）， 所以122211,22a a -==，所以412342411112,,2222a a a a -+=⨯=-==， 所以34991004310010011112,,,2222a a a a -+=⨯=⋯-==，所以991001009911222a a -+=⨯=. 因为123100S S S S ++++()()()()12345699100a a a a a a a a =-++-++-+++-+-2100111222⎛⎫+++⎪⎝⎭359911112222=++++2100111222⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭501001111112422111142⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=--10011132⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：A 【点晴】方法点睛：本题考查已知数列n S 与n a 的关系式，求通项公式，分组求和，一般数列求和包含：1、公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2、错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3、裂项相消法求和，适用于能变形为(1)()n a f n f n =+-；4、分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5、倒序相加法求和，适用于倒序相加后，对应的两项的和是常数的数列.8．（2020·河南南阳中学）已知1()12F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，*121(0)(1)()n n a f f f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭N ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n = B ．2n a n =C ．1n a n =+D ．223n a n n =-+【答案】C【分析】由题已知()112F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，故()()F x F x -=-，代入得：()11222f x f x x R ⎛⎫⎛⎫-++=∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴函数()f x 关于点112⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称， 令12t x =-， 则112x t +=-， 得到()()12f t f t +-=，∵()()1101nn a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1110n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，倒序相加可得()221n a n =+， 即1n a n =+， 故选：C ． 【点睛】思路点睛：先利用函数的奇偶性得到函数的对称中心，再利用对称性以及倒序相加法求数列的通项公式.9．n S 为数列{}n a 的前n 项和，若20,243n n n n a a a S >+=+，则n a =________.【答案】21n【分析】当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以13a =，当2n ≥时，221112243434n n n n n n n a a a a S S a ---+--=+--=， 即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以12n n a a --=，所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列， 所以21n a n =+； 故答案为：21n .10．数列{}n a 满足()()1232312n a a a na n n n ++++=++，则n a = __________.【答案】31n【分析】∵()()1232312n a a a na n n n ++++=++①2n ∴≥时，()()()1231111n a a a n a n n n -++++-=-+② ①-②得31,31n nna n n a n ，1n =时，1123=6,a 满足上式，31na n .故答案为：31n .11．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22414S S S =+，则224a a a =+______． 【答案】13设{}n a 的公比为q ，由22414S S S =+，得423S S =，显然1q ≠，则()()421113111a q a q qq--=--，213q +=.所以22q =，所以222224241113a a a a a a q q ===+++. 故答案为：1312．（2020·万载县第二中学高三月考（理））已知数列{}n a 满足()2*21232n n n a a aa n +=∈N ，数列{}n b 满足cos 2n n n b a π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1232020b b b b ++++=________．【答案】2022245- 【分析】由题设22122n n n a aa +=，当2n ≥时，2(1)(1)21212n n n a aa -+--=． 2(2)n n a n ∴=≥，又12a =满足，2nn a ∴=，*n ∈N ．2cos 2n n n b π⎛⎫∴= ⎪⎝⎭当n 为奇数时，0n b =；当42n k =+时，2n n b =-；当44n k =+时，2nn b =24682020123202022222b b b b ∴++++=-+-+++()2101010112022221(4)44245512⎡⎤----+-⎣⎦===--．故答案为：2022245-【点睛】易错点睛：本题考查数列求通项与等比数列求和，求数列通项公式常用的方法：（1）由n a 与前n 项和n S 的关系求通项公式，利用1(2)n n n a S S n -=-≥；（2）由n a 与前n 项积n T 的关系求通项公式，利用1(2)n n n a n T T -≥=；用这个方法一定要检验1n =时是否符合，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于中档题.13．（2020·武威第六中学高三月考（理））设数列{}n a 的前项和为n S ，且1122n n S -=-，{}n b 为等差数列，且11a b =，()2211a b b a -=．（1）求数列{}n a 和{}n b 通项公式；（2）设n n nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（1）()*112n n a n N -=∈；21n b n =-；（2）()3232n n T n =+-⋅. 【分析】：（1）当1n =时，111a S ==．当2n ≥时，112111122222n n n n n n a S S ----⎛⎫⎛⎫=-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此式1n =对也成立． ∴ ()*112n n a n N -=∈， ∴ 111b a ==，12122a b b a -==． 又因为{}n b 为等差数列，2d ∴=，()11221n b n n ∴=+-⋅=-（2）由（1）可知()112121212n n n n c n ---==-⋅，所以()21113252212n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⋅.① ①2⨯得()()2312123252232212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅② ①-②得：()()2112222212n n n T n --=++++--⋅()()()11212122121242123(23)212n n n n n n n n -+-=+--⋅=+---⋅=---⋅-()3232n n T n ∴=+-⋅【点睛】本题考查数列通项公式的求解与错位相减法求通项公式，考查运算能力，是中档题.本题解题的关键是利用公式11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得()*112n n a n N -=∈. 14．（2020·大荔县大荔中学高三月考（理））已知数列{}n a 的前n 和为n S ，若0n a >，1n a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若3n n n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n =-；（2）113n nn T +=-. 【分析】（1）21n a S =，()241n n S a ∴=+.当1n =时，()21141S a =+，得11a =.当2n ≥时，()21141n n S a --=+，()()()2211411n n n n S S a a --∴-=+-+，2112422n n n n n a a a a a --∴=+--， 即()()()1112n n n n n n a a a a a a ---+-=+，0n a >，12n n a a -∴-=.∴数列{}n a 是等差数列，且首项为11a =，公差为2，12(1)21n a n n ∴=+-=-.（2）由（1）可知，1(21)3n nb n =-⋅， 231111135(21)3333n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋯+-⋅，——① 2311111113(23)(21)33333n n n T n n +=⨯+⨯+⋯+-⋅+-⋅，——② ①-②得2312111112(21)333333n n n T n +⎛⎫=+++⋯+--⋅ ⎪⎝⎭ 2111111332(21)13313n n n ++-=+⨯--⋅-， 化简得:113n nn T +=-. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.。

高中数列强化练习题及讲解在这个阳光明媚的午后，让我们来一场数学的奇幻之旅，探索数列的奥秘。

数列，就像是一串珍珠，每一颗都闪耀着智慧的光芒。

而我们今天要玩的，就是把它们串起来，变成一串美丽的项链。

首先，让我们来点“倒装”修辞，把问题倒过来看。

比如说，数列\( a_n = n^2 \)，如果我们倒过来看，就是 \( a_n = 2^n \)，这是不是有点像把苹果倒过来看，变成了橙子呢？哈哈，开个小玩笑，数学可不会这么调皮。

接下来，我们来点“排比”，让数列的项排成一队，像是在排队买票。

比如，数列 \( a_n = 2n - 1 \)，它的前几项就是 1, 3, 5, 7... 看，它们排得多整齐，一个接一个，像是在说：“我比前一个多2哦！”再来点“设问”，让我们自问自答。

比如，有人问：“数列 \( a_n = n \) 是等差数列吗？”我们回答：“是的，它的公差是1，所以每一项都比前一项多1，就像我们每天比昨天多活了一天。

”现在，让我们来点“夸张”，给数列加点料。

比如，数列 \( a_n = 100n \)，如果我们说：“这个数列的项，每一项都比前一项多100倍！”是不是感觉这个数列的增长速度像是坐火箭一样快？最后，我们来点“反问”，让我们的数列自己说话。

比如，数列\( a_n = 1/n \)，如果我们问：“这个数列的项，是不是越到后面越小？”它可能会回答：“当然，我可是越来越谦虚的。

”好了，数列的奇幻之旅就到这里。

希望这些幽默风趣的修辞手法，能让你在数学的世界里找到欢乐。

记住，数学不仅仅是冰冷的公式和数字，它也可以是充满乐趣和惊喜的冒险。

下次再见，别忘了带上你的数学魔杖，我们一起去探索更多的数学奥秘！。

高中数学数列经典题型专题训练试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________说明：１、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分100分。

考试时间120分钟。

２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。

考试结束后，只收第Ⅱ卷第Ⅰ卷（选择题）一．单选题（共15小题，每题2分，共30分）1．数列{a n}，已知对任意正整数n，a1+a2+a3+…+a n=2n-1，则a12+a22+a32+…+a n2等于（）A．（2n-1）2B．C．D．4n-12．若{a n}为等比数列a5•a11=3，a3+a13=4，则=（）A．3B．C．3或D．-3或-3．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7C．6D．4．等差数列{a n}中，a1=1，a3=4，则公差d等于（）A．1B．2C．D．5．数列的前n项和为S n，a n=，则S n≥0的最小正整数n的值为（）6．若数列{a n}的前n项和S n=2n2-2n，则数列{a n}是（）A．公差为4的等差数列B．公差为2的等差数列C．公比为4的等比数列D．公比为2的等比数列7．已知数列{a n}的前n项和S n=2n-1，则此数列奇数项的前n项和为（）A．B．C．D．8．在等比数列{a n} 中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q 等于（）A．2B．-2C．3D．-39．在数列{a n}中，a1=2，a2=2，a n+2-a n=1+（-1）n，n∈N*，则S60的值为（）A．990B．1000C．1100D．9910．若数列{a n}是公差为2的等差数列，则数列是（）A．公比为4的等比数列B．公比为2的等比数列C．公比为的等比数列D．公比为的等比数列11．在数列{a n}中，a1=0，a n=4a n-1+3，则此数列的第5项是（）A．252B．255C．215D．52212．数列{a n}、{b n}满足a n•b n=1，a n=n2+3n+2，则{b n}的前10项之和等于（）A．B．C．D．13．等比数列{a n}中，a1+a2=8，a3-a1=16，则a3等于（）14．已知在等比数列{a n}中，S n为其前n项和，且a4=2S3+3，a5=2S4+3，则此数列的公比q为（）A．2B．C．3D．15．数列{a n}的通项，则数列{a n}中的最大项是（）A．第9项B．第8项和第9项C．第10项D．第9项和第10项二．填空题（共10小题，每题2分，共20分）16．已知等差数列{a n}，有a1+a2+a3=8，a4+a5+a6=-4，则a13+a14+a15=______．17．在等差数列{a n}中，a3+a5+a7+a9+a11=20，则a1+a13=______．18．数列{a n}的通项公式为a n=2n+2n-1，则数列a n的前n项和为______．19．数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+1，则通项a n=______．20．数列{a n}是公差不为0的等差数列，且a2+a6=a8，则=______．21．已知数列{a n}，a n+1=2a n+1，且a1=1，则a10=______．22．设正项等比数列{an}的公比为q，且，则公比q=______．23．已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=______．24．数列{a n}为等差数列，已知a3+2a8+a9=20，则a7______．25．设数列{a n}为正项等比数列，且a n+2=a n+1+a n，则其公比q=______．第Ⅱ卷（非选择题）三．简答题（共5小题,50分）26．（10分）已知等差数列{a n}，前n项和为S n=n2+Bn，a7=14．（1）求B、a n；（2）设c n=n•，求T n=c1+c2+…+c n．27．（8分）已知等差数列{a n}满足：a5=11，a2+a6=18（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+3n，求数列{b n}的前n项和S n．28．（7分）已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1=2，且a2，a3，a4+1成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．29．（12分）已知数列{a n}满足．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求证：数列{a n-2}是等比数列；（3）求a n，并求{a n}前n项和S n．30．（12分）在数列{a n}中，a1=16，数列{b n}是公差为-1的等差数列，且b n=log2a n（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）在数列{b n}中，若存在正整数p，q使b p=q，b q=p（p＞q），求p，q得值；（Ⅲ）若记c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项的和S n．参考答案一．单选题（共__小题）1．数列{a n}，已知对任意正整数n，a1+a2+a3+…+a n=2n-1，则a12+a22+a32+…+a n2等于（）A．（2n-1）2B．C．D．4n-1答案：C解析：解：∵a1+a2+a3+…+a n=2n-1…①∴a1+a2+a3+…+a n-1=2n-1-1…②，①-②得a n=2n-1，∴a n2=22n-2，∴数列{a n2}是以1为首项，4为公比的等比数列，∴a12+a22+a32+…+a n2==，故选C．2．若{a n}为等比数列a5•a11=3，a3+a13=4，则=（）A．3B．C．3或D．-3或-答案：C解析：解：∵{a n}为等比数列a5•a11=3，∴a3•a13=3①∵a3+a13=4②由①②得a3=3，a13=1或a3=1，a13=3∴q10=或3，∴=或3，故选C．3．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7C．6D．答案：A解析：解：a1a2a3=5⇒a23=5；a7a8a9=10⇒a83=10，a52=a2a8，∴，∴，故选A．4．等差数列{a n}中，a1=1，a3=4，则公差d等于（）A．1B．2C．D．答案：D解析：解：∵数列{a n}是等差数列，a1=1，a3=4，∴a3=a1+2d，即4=1+2d，解得d=．故选：D．5．数列的前n项和为S n，a n=，则S n≥0的最小正整数n的值为（）A．12B．13C．14D．15答案：A解析：解：令a n=＜0，解得n≤6，当n＞7时，a n＞0，且a6+a7=a5+a8=a4+a9=a3+a10=a2+a11=a1+a12=0，所以S12=0，S13＞0，即使S n≥0的最小正整数n=12．故选A．6．若数列{a n}的前n项和S n=2n2-2n，则数列{a n}是（）A．公差为4的等差数列B．公差为2的等差数列C．公比为4的等比数列D．公比为2的等比数列答案：A解析：解：∵S n=2n2-2n，则S n-S n-1=a n=2n2-2n-[2（n-1）2-2（n-1）]=4n-4故数列{a n}是公差为4的等差数列故选A．7．已知数列{a n}的前n项和S n=2n-1，则此数列奇数项的前n项和为（）A．B．C．D．答案：C解析：解：当n=1时，a1=S1=21-1=1，当n≥2时，a n=Sn-Sn-1=2n-1-（2n-1-1）=2•2n-1-2n-1=2n-1，对n=1也适合∴a n=2n-1，∴数列{a n}是等比数列，此数列奇数项也构成等比数列，且首项为1，公比为4．∴此数列奇数项的前n项和为==故选C8．在等比数列{a n} 中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q 等于（）A．2B．-2C．3D．-3答案：C解析：解：由题意可得q≠1由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列则（s2+2）2=（S1+2）（S3+2）代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解可得q=3故选C．9．在数列{a n}中，a1=2，a2=2，a n+2-a n=1+（-1）n，n∈N*，则S60的值为（）A．990B．1000C．1100D．99答案：A解析：解：当n为奇数时，a n+2-a n=1+（-1）n=0，可得a1=a3=…=a59=2．当n为偶数时，a n+2-a n=1+（-1）n=2，∴数列{a2n}为等差数列，首项为2，公差为2，∴a2+a4+…+a60=30×2+=930．∴S60=（a1+a3+…+a59）+（a2+a4+…+a60）=30×2+930=990．故选：A．10．若数列{a n}是公差为2的等差数列，则数列是（）A．公比为4的等比数列B．公比为2的等比数列C．公比为的等比数列D．公比为的等比数列答案：A解析：解：∵数列{a n}是公差为2的等差数列∴a n=a1+2（n-1）∴∴数列是公比为4的等比数列故选A11．在数列{a n}中，a1=0，a n=4a n-1+3，则此数列的第5项是（）A．252B．255C．215D．522答案：B解析：解：由a n=4a n-1+3可得a n+1=4a n-1+4=4（a n-1+1），故可得=4，由题意可得a1+1=1即数列{a n+1}为首项为1，公比为4的等比数列，故可得a5+1=44=256，故a5=255故选B12．数列{a n}、{b n}满足a n•b n=1，a n=n2+3n+2，则{b n}的前10项之和等于（）A．B．C．D．答案：B解析：解：∵a n•b n=1∴b n==∴s10==（-）+=-=故选项为B．13．等比数列{a n}中，a1+a2=8，a3-a1=16，则a3等于（）A．20B．18C．10D．8答案：B解析：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2=8，a3-a1=16，∴，解得，∴=2×32=18．故选：B．14．已知在等比数列{a n}中，S n为其前n项和，且a4=2S3+3，a5=2S4+3，则此数列的公比q为（）A．2B．C．3D．答案：C解析：解：∵a4=2S3+3，a5=2S4+3，即2S4=a5-3，2S3=a4-3∴2S4-2S3=a5-3-（a4-3）=a5-a4=2a4，即3a4=a5∴3a4=a4q解得q=3，故选C15．数列{a n}的通项，则数列{a n}中的最大项是（）A．第9项B．第8项和第9项C．第10项D．第9项和第10项答案：D解析：解：由题意得=，∵n是正整数，∴=当且仅当时取等号，此时，∵当n=9时，=19；当n=9时，=19，则当n=9或10时，取到最小值是19，而取到最大值．故选D．二．填空题（共__小题）16．已知等差数列{a n}，有a1+a2+a3=8，a4+a5+a6=-4，则a13+a14+a15=______．答案：-40解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a2+a3=8，a4+a5+a6=-4，∵a4+a5+a6=（a1+3d）+（a2+3d）+（a3+3d）=a1+a2+a3+9d，∴-4=8+9d，解得d=-，∴a13+a14+a15=a1+a2+a3+36d=8-×36=-40，故答案为：-4017．在等差数列{a n}中，a3+a5+a7+a9+a11=20，则a1+a13=______．答案：8解析：解：由等差数列的性质可得a3+a5+a7+a9+a11=（a3+a11）+a7+（a5+a9）=2a7+a7+2a7=5a7=20∴a7=4∴a1+a13=2a7=8故答案为：818．（2015秋•岳阳校级月考）数列{a n}的通项公式为a n=2n+2n-1，则数列a n的前n项和为______．答案：2n+n2-1解析：解：数列a n的前n项和S n=（2+22+23+…+2n）+[1+3+5+…+（2n-1）]=+=2n-1+n2．故答案为：2n-1+n2．19．数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n+1，则通项a n=______．答案：2n-1解析：解：由题可得，a n+1+1=2（a n+1），则=2，又a1=1，则a1+1=2，所以数列{a n+1}是以2为首项、公比的等比数列，所以a n+1=2•2n-1=2n，则a n=2n-1．故答案为：2n-1．20．数列{a n}是公差不为0的等差数列，且a2+a6=a8，则=______．答案：3解析：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a2+a6=a8，得a1+d+a1+5d=a1+7d，即a1=d，所以==．故答案为3．21．已知数列{a n}，a n+1=2a n+1，且a1=1，则a10=______．答案：1023解析：解：由题意，两边同加1得：a n+1+1=2（a n+1），∵a1+1=2∴{a n+1}是以2为首项，以2为等比数列∴a n+1=2•2n-1=2n∴a n=2n-1∴a10=1024-1=1023．故答案为：1023．22．设正项等比数列{an}的公比为q，且，则公比q=______．答案：解析：解：由题意知得∴6q2-q-1=0∴q=或q=-（与正项等比数列矛盾，舍去）．故答案为：23．已知数列{a n}满足a1=3，a n+1=2a n+1，则数列{a n}的通项公式a n=______．答案：2n+1-1解析：解：由题意知a n+1=2a n+1，则a n+1+1=2a n+1+1=2（a n+1）∴=2，且a1+1=4，∴数列{a n+1}是以4为首项，以2为公比的等比数列．则有a n+1=4×2n-1=2n+1，∴a n=2n+1-1．24．数列{a n}为等差数列，已知a3+2a8+a9=20，则a7______．答案：=5解析：解：等差数列{a n}中，∵a3+2a8+a9=20，∴（a1+2d）+2（a1+7d）+（a1+8d）=4a1+24d=4（a1+6d）=4a7=20，∴a7=5．故答案为：5．25．设数列{a n}为正项等比数列，且a n+2=a n+1+a n，则其公比q=______．答案：解析：解：由题设条件知a1+a1q=a1q2，∵a1＞0，∴q2-q-1=0解得，∵数列{a n}为正项等比数列，∴．故答案：．三．简答题（共__小题）26．已知等差数列{a n}，前n项和为S n=n2+Bn，a7=14．（1）求B、a n；（2）设c n=n•，求T n=c1+c2+…+c n．答案：解：（1）∵a7=14．即a7=S7-S6=72+7B-62-6B=14．解得B=1，当n=1时，a1=S1=2；当n≥2时，a n=S n-S n-1=n2+n-（n-1）2-（n-1）=2n．n=1时也适合∴a n=2n（2）由（1）c n=n•=n•4n，T n=c1+c2+…+c n．=1•41+2•42+3•43+…n•4n①4T n=1•42+2•43+3•44+…（n-1）•4n+n•4n+1，②①-②得-3T n=41+42+43+…4n-n•4n+1=-n•4n+1=•4n+1∴T n=•4n+1解析：解：（1）∵a7=14．即a7=S7-S6=72+7B-62-6B=14．解得B=1，当n=1时，a1=S1=2；当n≥2时，a n=S n-S n-1=n2+n-（n-1）2-（n-1）=2n．n=1时也适合∴a n=2n（2）由（1）c n=n•=n•4n，T n=c1+c2+…+c n．=1•41+2•42+3•43+…n•4n①4T n=1•42+2•43+3•44+…（n-1）•4n+n•4n+1，②①-②得-3T n=41+42+43+…4n-n•4n+1=-n•4n+1=•4n+1∴T n=•4n+127．已知等差数列{a n}满足：a5=11，a2+a6=18（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=a n+3n，求数列{b n}的前n项和S n．答案：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a5=11，a2+a6=18，∴，解得a1=3，d=2．∴a1=2n+1．（Ⅱ）由（I）可得：b n=2n+1+3n．∴S n=[3+5+…+（2n+1）]+（3+32+…+3n）=+=n2+2n+-．解析：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a5=11，a2+a6=18，∴，解得a1=3，d=2．∴a1=2n+1．（Ⅱ）由（I）可得：b n=2n+1+3n．∴S n=[3+5+…+（2n+1）]+（3+32+…+3n）=+=n2+2n+-．28．已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1=2，且a2，a3，a4+1成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．答案：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由a1=2和a2，a3，a4+1成等比数列，得（2+2d）2-（2+d）（3+3d），解得d=2，或d=-1，当d=-1时，a3=0，与a2，a3，a4+1成等比数列矛盾，舍去．∴d=2，∴a n=a1+（n-1）d=2+2（n-1）=2n．即数列{a n}的通项公式a n=2n；（Ⅱ）由a n=2n，得b n==，∴S n=b1+b2+b3+…+b n==．解析：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，由a1=2和a2，a3，a4+1成等比数列，得（2+2d）2-（2+d）（3+3d），解得d=2，或d=-1，当d=-1时，a3=0，与a2，a3，a4+1成等比数列矛盾，舍去．∴d=2，∴a n=a1+（n-1）d=2+2（n-1）=2n．即数列{a n}的通项公式a n=2n；（Ⅱ）由a n=2n，得b n==，∴S n=b1+b2+b3+…+b n==．29．已知数列{a n}满足．（1）求a2，a3，a4的值；（2）求证：数列{a n-2}是等比数列；（3）求a n，并求{a n}前n项和S n．答案：解：（1）∵数列{a n}满足，∴．…（3分）（2）∵，又a1-2=-1，∴数列{a n-2}是以-1为首项，为公比的等比数列．…（7分）（注：文字叙述不全扣1分）（3）由（2）得，…（9分）∴．…（12分）解析：解：（1）∵数列{a n}满足，∴．…（3分）（2）∵，又a1-2=-1，∴数列{a n-2}是以-1为首项，为公比的等比数列．…（7分）（注：文字叙述不全扣1分）（3）由（2）得，…（9分）∴．…（12分）30．在数列{a n}中，a1=16，数列{b n}是公差为-1的等差数列，且b n=log2a n（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）在数列{b n}中，若存在正整数p，q使b p=q，b q=p（p＞q），求p，q得值；（Ⅲ）若记c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项的和S n．答案：解：（Ⅰ）数列{a n}中，a1=16，数列{b n}是公差为-1的等差数列，且b n=log2a n；∴b n+1=log2a n+1，∴b n+1-b n=log2a n+1-log2a n=log2=-1；∴=，∴{a n}是等比数列，通项公式为a n=16×=；∴{b n}的通项公式b n=log2a n=log2=5-n；（Ⅱ）数列{b n}中，∵b n=5-n，假设存在正整数p，q使b p=q，b q=p（p＞q），则，解得，或；（Ⅲ）∵a n=，b n=5-n，∴c n=a n•b n=（5-n）×；∴{c n}的前n项和S n=4×+3×+2×+…+[5-（n-1）]×+（5-n）×①，∴s n=4×+3×+2×+…+[5-（n-1）]×+（5-n）×②；①-②得：s n=4×----…--（5-n）×=64--（5-n）×=48+（n-3）×；∴s n=96+（n-3）×．解析：解：（Ⅰ）数列{a n}中，a1=16，数列{b n}是公差为-1的等差数列，且b n=log2a n；∴b n+1=log2a n+1，∴b n+1-b n=log2a n+1-log2a n=log2=-1；∴=，∴{a n}是等比数列，通项公式为a n=16×=；∴{b n}的通项公式b n=log2a n=log2=5-n；（Ⅱ）数列{b n}中，∵b n=5-n，假设存在正整数p，q使b p=q，b q=p（p＞q），则，解得，或；（Ⅲ）∵a n=，b n=5-n，∴c n=a n•b n=（5-n）×；∴{c n}的前n项和S n=4×+3×+2×+…+[5-（n-1）]×+（5-n）×①，∴s n=4×+3×+2×+…+[5-（n-1）]×+（5-n）×②；①-②得：s n=4×----…--（5-n）×=64--（5-n）×=48+（n-3）×；∴s n=96+（n-3）×．。

高三数学精选数列多选题专题强化试卷学能测试试题一、数列多选题1．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（ ） A ．12n k += B ．133n n a a +=- C ．()2332n a n n =+D ．()133234n n S n +=+- 【答案】ABD 【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可. 【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k = 第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k = 第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时 7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k = 第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2 此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得： 123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈用等比数列求和可得()33132n n a -=+则 ()121331333322n n n a+++--=+=+23322n +=+ 又 ()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+ 所以 133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误. 123n n S a a a a =++++23133332222n n +⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭()231331322nn --=+ 2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确. 故选：ABD. 【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，0n a ≠，且202021111212a a ++≤+（ ）A ．若数列{}n a 为等差数列，则20210S ≥B ．若数列{}n a 为等差数列，则10110a ≤C ．若数列{}n a 为等比数列，则20200T >D ．若数列{}n a 为等比数列，则20200a <【答案】AC 【分析】由不等关系式，构造11()212xf x =-+，易得()f x 在R 上单调递减且为奇函数，即有220200a a +≥，讨论{}n a 为等差数列、等比数列，结合等差、等比的性质判断项、前n 项和或积的符号即可. 【详解】 由202021111212a a ++≤+，得2020211110212212a a +-+-≤+， 令11()212x f x =-+，则()f x 在R 上单调递减，而1121()212212xx x f x --=-=-++， ∴12()()102121xx x f x f x -+=+-=++，即()f x 为奇函数，∴220200a a +≥，当{}n a 为等差数列，22020101120a a a +=≥，即10110a ≥，且2202020212021()02a a S +=≥，故A 正确，B 错误；当{}n a 为等比数列，201820202a a q=，显然22020,a a 同号，若20200a <，则220200a a +<与上述结论矛盾且0n a ≠，所以前2020项都为正项，则202012020...0T a a =⋅⋅>，故C 正确，D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：利用已知构造函数，并确定其单调性和奇偶性，进而得到220200a a +≥，基于该不等关系，讨论{}n a 为等差、等比数列时项、前n 项和、前n 项积的符号.3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为常数），则下列结论正确的有（ ） A ．{}n a 一定是等比数列B ．当1p =时，4158S =C ．当12p =时，m n m n a a a +⋅= D ．3856a a a a +=+【答案】BC 【分析】对于A 选项，若0p =，则数列{}n a 不是等比数列，当0p ≠时，通过题目条件可得112n n a a -=，即数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列，然后利用等比数列的通项公式、前n 项和公式便可得出B ，C ，D 是否正确. 【详解】由1a p =，122n n S S p --=得，()222a p p p +-=，故22pa =，则2112a a =，当3n ≥时，有1222n n S S p ---=，则120n n a a --=，即112n n a a -=， 故当0p ≠时，数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列；当0p =时不是等比数列，故A 错误；当1p =时，441111521812S ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-，故B 正确； 当12p =时，12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12m nm n m n a a a ++⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭，故C 正确；当0p ≠时，38271133+22128a a p p ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，而56451112+22128a a p p ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 故3856a a a a +>+，则D 错误； 故选：BC.4．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其公差分别为1d 和2d ，其前n 项和分别为n S 和n T ，则下列命题中正确的是（ ）A ．若为等差数列，则112da =B ．若{}n n S T +为等差数列，则120d d +=C ．若{}n n a b 为等差数列，则120d d ==D ．若*n b N ∈，则{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d +【答案】AB 【分析】对于A ，利用=对于B ，利用()2211332S T S T S T +=+++化简可得答案； 对于C ，利用2211332a b a b a b =+化简可得答案； 对于D ，根据112n n b b a a d d +-=可得答案. 【详解】对于A ，因为为等差数列，所以=即== 化简得()21120d a -=，所以112d a =，故A 正确；对于B ，因为{}n n S T +为等差数列，所以()2211332S T S T S T +=+++， 所以()11121111122223333a d b d a b a d b d +++=+++++， 所以120d d +=，故B 正确；对于C ，因为{}n n a b 为等差数列，所以2211332a b a b a b =+， 所以11121111122()()(2)(2)a d b d a b a d b d ++=+++， 化简得120d d =，所以10d =或20d =，故C 不正确；对于D ，因为11(1)n a a n d =+-，且*n b N ∈，所以11(1)n b n a a b d =+-()112111a b n d d =++--⎡⎤⎣⎦，所以()()1111211n b a a b d n d d =+-+-，所以()()()11111211112111n n b b a a a b d nd d a b d n d d +-=+-+-----12d d =，所以{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d ，故D 不正确. 故选：AB 【点睛】关键点点睛：利用等差数列的定义以及等差中项求解是解题关键.5．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列【答案】BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.6．（多选题）已知函数()22()()n n f n n n ⎧=⎨-⎩当为奇数时当为偶数时，且()()1n a f n f n =++，则na 等于（ ）A ．()21n -+B ．21n -C ．21nD ．12n -【答案】AC 【分析】对n 进行分类讨论，按照()()1n a f n f n =++写出通项即可. 【详解】当n 为奇数时，()()()()22112121n a f n f n n n n n =++=-+=--=-+； 当n 为偶数时，()()()221121n a f n f n n n n =++=-++=+，所以()()()2121n n n a n n ⎧-+⎪=⎨+⎪⎩当为奇数时当为偶数时. 故选：AC . 【点睛】易错点睛：对n 进行分类讨论时，应注意当n 为奇数时，1n +为偶数；当n 为偶数时，1n +为奇数.7．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中0m >).已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．3m =B ．18181103354kk i a =⨯+=∑C ．(31)3ij ja i =-⨯ D ．()1(31)314n S n n =+- 【答案】ABD 【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ，进而可得ii a ，根据错位相减法可求得181kki a=∑，再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由此可以判断各选项的真假． 【详解】∵a 11＝2，a 13＝a 61+1，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12=-（舍去），A 正确； ∴()()11113213313j j j ij i a a i m i ---⎡⎤=⋅=+-⨯⋅=-⋅⎣⎦，C 错误； ∴()1313i ii a i -=-⋅，0171811223318182353533S a a a a =+++⋯+=⨯+⨯+⋯+⨯① 12181832353533S =⨯+⨯+⋯+⨯②,①-②化简计算可得：1818103354S ⨯+=,B 正确；S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn )()()()11211131313131313nnnn a a a ---=+++---()()231131.22nn n +-=- ()1=(31)314n n n +-，D 正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.8．已知数列{}n a 中，112a =，且()11n n n a a a +=+，n *∈N ，则以下结论正确的是（ ）A ．11111n n n a a a +=-+ B ．{}n a 是单调递增数列 C ．211011111111a a a a +++>+++ D ．若1212120111n n a a aa a a ⎡⎤+++=⎢⎥+++⎣⎦，则122n =([]x 表示不超过x 的最大整数) 【答案】ABD 【分析】利用裂项法可判断A 选项的正误；利用数列单调性的定义可判断B 选项的正误；利用裂项求和法可判断C 选项的正误；求出1212111nn a a a a a a ++++++的表达式，可判断D 选项的正误. 【详解】在数列{}n a 中，112a =，且()11n n n a a a +=+，n *∈N ，则()21110a a a =+>，()32210a a a =+>，，依此类推，可知对任意的n *∈N ，0n a >.对于A 选项，()()()111111111n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++-===-+++，A 选项正确； 对于B 选项，210n n n a a a +-=>，即1n n a a +>，所以，数列{}n a 为单调递增数列，B 选项正确；对于C 选项，由A 选项可知，11111n n n a a a +=-+， 所以，1212231011111110111111111111111a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 选项错误； 对于D 选项，12122311111111111111111n nn n a a a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，()()()12121212111111111111n nn n a a a a a aa a a a a a +-+++=+++++++++-+-+121111111112111n n n n n n a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫=-+++=--=-+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 由112a =，且()11n n n a a a +=+得234a =，32116a =，又{}n a 是单调递增数列，则3n ≥时，1n a >，则101na <<， 从而1122120n n n a +⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦+，得122n =，D 选项正确.故选：ABD. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.二、平面向量多选题9．设向量(1,1)a =-，(0,2)b =，则（ ） A ．||||a b = B ．()a b a -∥C ．()a b a -⊥D ．a 与b 的夹角为4π 【答案】CD 【分析】根据平面向量的模､垂直､夹角的坐标运算公式和共线向量的坐标运算，即可对各项进行判断，即可求出结果. 【详解】 对于A ，(1,1)a =-，(0,2)b =，2,2a b ∴==，a b ∴≠，故A 错误； 对于B ，(1,1)a =-，(0,2)b =，()=1,1a b ∴---，又(0,2)b =，则()12100-⨯--⨯≠，()a b ∴-与b 不平行，故B 错误；对于C ，又()()()11110a b a -⋅=-⨯-+-⨯=，()a b a ∴-⊥，故C 正确；对于D ，又cos ,222a b a b a b⋅<>===⋅，又a 与b 的夹角范围是[]0,π，a ∴与b 的夹角为π4，故D 正确. 故选：CD. 【点睛】关键点点睛：本题考查了平面向量的坐标运算，熟记平面向量的模､垂直､夹角坐标运算公式及共线向量的坐标运算时解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题.10．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱,,PA PB PC 两两垂直，且3PA PB PC ===，G 是PAB △的重心，E ，F 分别为,BC PB 上的点，且::1:2BE EC PF FB ==，则下列说法正确的是（ ） A ．EG PG ⊥ B ．EG BC ⊥C ．//FG BCD ．FG EF ⊥【答案】ABD 【分析】取,,PA a PB b PC c ===，以{},,a b c 为基底表示EG ，FG ，EF ，结合向量数量积运算性质、向量共线定理即可选出正确答案. 【详解】如图，设,,PA a PB b PC c ===，则{},,a b c 是空间的一个正交基底，则0a b a c b c ⋅=⋅=⋅=，取AB 的中点H ，则22111()33233PG PH a b a b ==⨯+=+， 1121111,3333333EG PG PE a b b c a b c BC c b =-=+--=--=-，11113333FG PG PF a b b a =-=+-=，1121133333EF PF PE b c b c b ⎛⎫=-=-+=-- ⎪⎝⎭，∴0EG PG ⋅=，A 正确；0EG BC ⋅=，B 正确；()FG BC R λλ≠∈，C 不正确；0FG EF ⋅=，D 正确.故选:ABD.【点睛】本题考查了平面向量共线定理，考查了由数量积求两向量的位置关系，考查了平面向量基本定理的应用，属于中档题.。

数列综合大题归类目录【题型一】“函数型”裂项求和：基础型【题型二】“函数型”裂项求和：指数函数型【题型三】“函数型”裂项求和：等差裂和型【题型四】“函数型”裂项求和：指数型裂和【题型五】“函数型”裂项求和：同构仿写型【题型六】“函数型”裂项求和：三角函数裂项型【题型七】递推公式：分式型不动点【题型八】插入数型【题型九】数列跳项型【题型十】证明数列不等式【题型十一】新结构第19题型：差分密码型【题型一】“函数型”裂项求和：基础型基础原理：m pq =m q -p 1p -1q，如：12×4=14-212-14；基本题型：①1n n +1 =1n -1n +1；②12n -1 2n +1=1212n -1-12n +1 ；注意(避免掉坑)①分母分解因式：1n 2+3n=1n n +3 =131n -1n +3 ；②系数不相同就提系数：1n 2n +4=12⋅1n n +2 =12⋅121n -1n +2 ；③求和化简时，要写到“前三后二”，并且一定要强调每项加括号，这样容易观察剩余的时首尾项(或正负项)对应.(1)1n n +k=1k 1n -1n +k ；(2)1n +k +n=1k n +k -n ；(3)12n -1 2n +1=1212n -1-12n +1；(4)1n n +1 n +2 =121n n +1 -1n +1 n +2；分式型分子裂差法形如f n a n ⋅a n +1型，如果f n =λa n +1-a n ，则可以分子裂差：f n a n ⋅a n +1=λa n +1-a n a n ⋅a n +1=λ1a n -1a n +11(22·23·龙岩·二模)已知等差数列a n 的首项为1，公差d ≠0，前n 项和为S n ，且S nS 2n为常数．(1)求数列a n 的通项公式；(2)令b n =n a n a n +1-n +1a n +1a n +2，证明：b 1+b 2+b 3+⋯+b n <13．【答案】(1)a n =2n -1(2)证明见解析【分析】(1)由S nS 2n为常数，则n [1+1+(n -1)d ]22n [1+1+(2n -1)d ]2=2-d +nd4-2d +4nd为常数，即d =2，然后结合等差数列的通项公式求解即可；(2)由(1)可得b n =n a n a n +1-n +1a n +1a n +2=n (2n -1)(2n +1)-n +1(2n +1)(2n +3)，然后累加求和即可得证．【详解】(1)依题意，得：S 1S 2=S 2S 4，即a 1a 1+a 2=a 1+a 2a 1+a 2+a 3+a 4所以，12+d =2+d4+6d，化简得：d (d -2)=0因为d ≠0，所以d =2所以a n =1+2(n -1)=2n -1经检验：S n S 2n =n 24n 2=14成立(2)因为a n =2n -1所以b n =n (2n -1)(2n +1)-n +1(2n +1)(2n +3)=144n (2n -1)(2n +1)-4(n +1)(2n +1)(2n +3)=1412n -1+12n +1 -12n +1+12n +3=1412n -1-12n +3 ，所以b 1+b 2+b 3+⋯+b n =14[1-15 +13-17 +15-19 +⋯+12n -5-12n -1 +12n -3-12n +1 +12n -1-12n +3 ]=141+13-12n +1-12n +3 =1443-12n +1-12n +3 <13．2(22·23·秦皇岛·模拟预测)设等比数列a n 的前n 项和为S n ，数列b n 为等差数列，且公差d ≠0,a 1=b 1=2，a 3=b 3,S 3=b 5.(1)求数列a n 的通项公式以及前n 项和S n ；(2)数列2n +1n 2b n +4 2的前n 项和为T n ，求证：T n≤19.【答案】(1)a n =2n ,S n =2n +1-2(2)证明见解析【分析】(1)利用等差数列通项公式运算、等比数列通项公式和求和公式运算即可求解.(2)利用裂项相消法求出T n =19×1-1n +1 2，而1-1n +1 2<1，从而得出证明.【详解】(1)设a n 的公比为q ，由题意，可得a 1q 2=b 1+2d a 1+a 1q +a 1q 2=b 1+4d ，解得q =2d =3 ，所以a n =2n，所以S n =2×1-2n 1-2=2n +1-2；(2)由(1)得b n =2+3n -1 =3n -1，所以2n +1n 2b n +4 2=2n +1n 2(3n +3)2=2n +19n 2(n +1)2=191n 2-1(n +1)2，所以T n =b 1+b 2+⋯+b n =19×1-122 +122-132+⋯+1n 2-1(n +1)2=19×1-1n +1 2 ，因为1-1n +12<1，所以T n ≤19，得证.3(2024下·福建·高三校联考开学考试)已知正项数列a n 中，a 1=1，a n +1=a n +2a n +1．(1)求数列a n 的通项公式；(2)记数列b n =2a n +1a n a n +1的前n 项和S n ，求满足S n <99100的正整数n 的集合．【答案】(1)a n =n 2(2)n ∈N *|1≤n ≤8【分析】(1)由题意，可得到数列a n 是公差为1的等差数列，进而得到数列a n 的通项公式；(2)由(1)可得数列b n 的通项公式，利用裂项相消法即可求出S n ，进而解不等式.【详解】(1)由a n +1=a n +2a n +1，有a n +1=a n +1 2，即a n +12=a n +1 2，因为数列a n 是正项数列，所以a n +1=a n +1，即a n +1-a n =1，可得数列a n 是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n =a 1+n -1=n ，故数列a n 的通项公式为a n =n 2；(2)由(1)可得b n =2n +1n 2n +1 2=n +1 2-n 2n 2n +1 2=1n 2-1n +12．所以S n =1-122+122-132+⋅⋅⋅+1n 2-1n +1 2 =1-1n +12，故不等式S n <99100可化为1-1n +1 2<99100，解得0<n <9，所以满足S n <99100的正整数n 的集合为n ∈N *|1≤n ≤8 .【题型二】“函数型”裂项求和：指数函数型指数裂项法形如mq n +r +t hq n +b hq n +1+b 型，如果mq n +r +t =λhq n +b -hq n +1+b ，则可以分子裂差：mq n +r +t hq n +b hq n +1+b=λhq n +1+b -hq n +bhqn+b hq n +1+b=λ1hq n +b -1hq n +1+b1(2023·广西玉林·校联考模拟预测)记S n 为数列a n 的前n 项和，已知a 1=2，a n +1=S n +n ．(1)证明：当n ≥2时，数列a n +1 是等比数列，并求数列a n 的通项公式；(2)设b n =2n +1a n +1a n +2，数列b n 的前n 项和为T n ，证明：T n <13．【答案】(1)证明见解析，a n =2,n =12n-1,n ≥2(2)证明见解析【分析】(1)令n =1可求得a 2的值，当n ≥2时，由a n +1=S n +n ，可得a n =S n -1+n -1，两式作差，结合等比数列的定义可证得结论成立，据此可求得数列a n 的通项公式；(2)b n =12n +1-1-12n +2-1，利用裂项相消法可证得结论成立.【详解】(1)证明：因为a 1=2，a n +1=S n +n ，S n 为数列a n 的前n 项和，当n =1时，a 2=S 1+1=2+1=3，当n ≥2时，由a n +1=S n +n ①，可得a n =S n -1+n -1②，①-②可得a n +1-a n =a n +1，即a n +1=2a n +1，所以，a n +1+1=2a n +1 ，又因为a 2+1=3+1=4≠2a 1+1 ，则当n ≥2时，数列a n +1 是等比数列，其公比为2，即当n ≥2时，a n +1=a 2+1 ⋅2n -2=4×2n -2=2n ，则a n =2n -1，a 1=2不满足a n =2n -1，所以，a n =2,n =12n -1,n ≥2.(2)证明：b n =2n +1a n +1a n +2=2n +12n +1-1 2n +2-1=12n +1-1-12n +2-1，则T n =b 1+b 2+⋯+b n =122-1-123-1 +123-1-124-1 +124-1-125-1 +⋯+12n +1-1-12n +2-1=13-12n +2-1<13.综上，对任意的n ∈N ∗，T n <13.2(2023上·海南海口·高三校考阶段练习)在数列a n a n ≠0 和b n 中，a 1=1,b 1=2，且a n +1b n 是a n a n +1和a n b n +1的等差中项.(1)设c n =b na n，求证：数列c n -1 为等比数列；(2)若b n =3×2n2n +1,a n 的前n 项和为S n ，求证：S n <3.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)由等差中项整理得a n b n +1=2a n +1b n -a n a n +1，两边同时除以a n a n +1，得c n +1-1=2(c n -1)即可证明；(2)应用裂项相消法即可求解.【详解】(1)依题a n +1b n 是a n a n +1和a n b n +1的等差中项，则2a n +1b n =a n a n +1+a n b n +1，即a n b n +1=2a n +1b n -a n a n +1，两边同时除以a n a n+1a n≠0，得b n+1a n+1=2⋅b na n-1，即c n+1=2c n-1，则c n+1-1=2(c n-1)，由c1-1=b1a1-1=1≠0，所以数列c n-1是以1为首项，2为公比的等比数列.(2)由(1)得c n-1=2n-1，则c n=2n-1+1，则a n=b nc n=3×2n(2n-1+1)(2n+1)=612n-1+1-12n+1，则S n=612-13+13-15+⋯+12n-2+1-12n-1+1+12n-1+1-12n+1=612-1 2n+1=3-62n+1，因为n∈N∗，则62n+1>0，故S n<3.3(2023上·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习)已知数列a n的首项a1=4，且满足a n+1=3a n -2n∈N*．(1)求证：数列a n-1为等比数列；(2)记b n=3na n⋅a n+1，求数列b n的前n项和S n．【答案】(1)证明见解析(2)S n=18-12⋅3n+1+2【分析】(1)由题设递推式可得a n+1-1=3a n-1n∈N*，根据等比数列的定义，结合已知条件，即可证a n-1为等比数列；(2)由(1)有a n=3n+1，进而求b n，利用裂项相消法求S n.【详解】(1)由a n+1=3a n-2n∈N*得a n+1-1=3a n-1n∈N*，又a1-1=3，所以a n-1是首项为3，公比为3的等比数列.(2)由(1)知，a n-1=3×3n-1=3n，所以a n=3n+1所以b n=3n3n+1⋅3n+1+1=12×13n+1-13n+1+1，S n=b1+b2+b3+⋯+b n=12×131+1-132+1+132+1-133+1+⋯+13n+1-13n+1+1=12×131+1-13n+1+1=18-12⋅3n+1+2.【题型三】“函数型”裂项求和：等差裂和型正负型：等差裂和型形如-1n⋅f na n⋅a n+1型，如果f n =λa n+1-a n，则可以分子裂差：-1 n⋅f na n⋅a n+1=-1n⋅λa n+1-a na n⋅a n+1=-1n⋅λ1a n-1a n+11(2023·河北唐山·三模)设S n 为数列a n 的前n 项和，a n >0，a 2n +2a n +1=4S n .(1)求数列a n 的通项公式；(2)求数列-1n4na n a n +1的前n 项和T n.【答案】(1)a n =2n -1(2)T n =-1+(-1)n12n +1【分析】(1)利用S n 与a n 的关系计算求通项；(2)结合(1)的结论，利用裂项相消法计算即可.【详解】(1)已知a 2n +2a n +1=4S n ①，当n =1时，a 1=1.当n ≥2时，a 2n -1+2a n -1+1=4S n -1②①-②得：a 2n +2a n -a 2n -1-2a n -1=4a n ，即a n +a n -1 a n -a n -1-2 =0.又a n >0，所以a n +a n -1≠0，a n -a n -1=2.所以数列a n 是以1为首项，2为公差的等差数列.所以a n =2n -1.(2)设b n =(-1)n 4n a n a n +1=(-1)n 4n 2n -1 2n +1=(-1)n 12n -1+12n +1 .T n =-1+13 +13+15 -15+17 +⋯+(-1)n 12n -1+12n +1 =-1+(-1)n 12n +1.2(2023·江苏镇江·二模)已知数列a n 满足：a 1=14,a n +1=nn +2a n.(1)求数列a n 的通项公式；(2)若b n =(-1)n (2n +1)a n ，求数列b n 的前n 项和S n .【答案】(1)a n =12n n +1(2)S n =-12+-1 n ⋅12n +2【分析】(1)运用累乘法计算；(2)运用裂项相消法求和.【详解】(1)由题意：a 2a 1=13,a 3a 2=24,a 4a 3=35,a 5a 4=46,⋯,a n +1a n =nn +2 ，∴a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×a 5a 4×⋯×a n +1a n =13×24×35×46×⋯×n n +2=2n +1 n +2，a n +1a 1=2n +1 n +2 ,a n +1=a 1×2n +1 n +2 =12n +1 n +2 ，a n =12n n +1 ，将n =1代入上式也成立，∴a n =12n n +1；(2)b n =-1 n 2n +1 a n =-1 n 2n +12n n +1=-1 n 1n +1n +1 ⋅12，S n =b 1+b 2+b 3+b 4+b 5+⋯+b n =12-1-12+12+13-13-14+⋅⋅⋅+-1 n ⋅1n +-1 n ⋅1n +1=12-1+-1 n ⋅1n +1 =-12+-1 n⋅12n +2.3(2023·湖南永州·三模)记正项数列a n 的前n 项积为T n ，且1=1-4.(1)证明：数列T n 是等差数列；(2)记b n =-1 n ⋅8n +6T n ⋅T n +1，求数列b n 的前2n 项和S 2n .【答案】(1)证明见解析(2)-8n 40n +25【分析】(1)根据题意得到T n T n -1=a n ，由1a n =1-4T n，化简得到T n -T n -1=4，求得T 1=5，结合等差数列的定义，即可求解；(2)由(1)可得T n =4n +1，得到b n =-1 n ⋅14n +1+14n +5，结合裂项法，即可求解.【详解】(1)证明：由题意得T n =a 1a 2⋯a n ，当n ≥2时，可得T n -1=a 1a 2⋯a n -1，可得Tn T n -1=a n ,(n ≥2)，因为1a n =1-4T n ，所以T n -1T n =1-4T n,(n ≥2)，即T n -1=T n -4(n ≥2)，即T n -T n -1=4,(n ≥2)，当n =1时，可得T 1=a 1，所以1T 1=1-4T 1，解得T 1=5，所以数列T n 是以5为首项，4为公差的等差数列．(2)解：由(1)可得T n =5+(n -1)×4=4n +1，所以b n =-1 n ⋅8n +6T n ⋅T n +1=-1 n ⋅8n +6(4n +1)(4n +5)=-1 n ⋅14n +1+14n +5 ，所以S 2n =-15+19+19+113 -113+117+⋯-18n -3+18n +1 +18n +1+18n +5 =-15+18n +5=-8n 40n +25.【题型四】“函数型”裂项求和：指数型裂和正负型：指数裂和型形如-1 n⋅mq n +r +t hq n +b hq n +1+b型，如果mq n +r +t =λhq n +b +hq n +1+b ，则可以分子裂和：-1 n ⋅mq n +r +t hq n +b hq n +1+b =-1 n ⋅λhq n +1+b +hq n +b hq n +b hq n +1+b=-1 n ⋅λ1hq n +b +1hq n +1+b1(23·24上·湖北·期中)已知{a n }为等比数列，且a 2+a 3+a 4=14，a 2,a 3+1,a 4成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当{a n }为递增数列时，b n =(-1)n 6a n +22n +1 2n +1+1 ，数列{b n }的前n 项和为T n ，若存在n ∈N ∗,m ≥T n ，求m 的取值范围.【答案】(1)a n =2n -1或a n =25-n (2)m ≥-815【分析】(1)运用等差中项的性质和等比数列通项公式基本量运算，解方程即可得到{a n }通项.(2)由{a n }递增可得a n =2n -1，对b n 通项进行裂项展开，当n 为偶数、奇数时分别求出T n 表达式，然后再分别求出T n的范围，由存在n∈N∗,m≥T n，即可求出m的取值范围.【详解】(1)设等比数列{a n}公比为q，由a2+a3+a4=14a2+a4=2a3+1⇒a3=4q=2或a3=4q=12，∴a n=2n-1或a n=25-n.(2)当{a n}为递增数列时，a n=2n-1所以b n=(-1)n3⋅2n+22n+12n+1+1=(-1)n12n+1+12n+1+1当n为偶数时，T n=-12+1+122+1+122+1+123+1+⋯+12n+1+12n+1+1=-13+12n+1+1在n∈N*上单调递减，∴T n∈-13,-29，当n为奇数时，T n=-12+1+122+1+122+1+123+1+⋯-12n+1+12n+1+1=-13-12n+1+1在n∈N*上单调递增，∴T n∈-815,-13，∴m≥-815.2(23·24上·黔东南·阶段练习)已知数列a n满足：a1=1，a n=2a n-1+1n≥2.(1)证明：a n+1是等比数列，并求a n的通项公式；(2)令b n=(-1)n(3n+2)n(n+1)a n+1+1，求b n的前n项和S n.【答案】(1)证明见解析，a n=2n-1(2)S n=(-1)n(n+1)∙2n+1-12【分析】(1)通过构造可证a n+1为等比数列，根据等比数列通项公式可得a n+1，然后可得a n；(2)将数列b n通项公式变形为b n=(-1)n1n∙2n+1(n+1)∙2n+1，直接求和可得.【详解】(1)证明：由a n=2a n-1+1(n≥2)，所以a n+1=2a n-1+2=2(a n-1+1)，所以{a n+1}是以a1+1=2为首项，公比为2的等比数列，所以a n+1=2n，即a n=2n-1(2)由(1)知：a n+1+1=2n+1，所以b n=(-1)n(3n+2)n(n+1)∙2n+1.又b n=(-1)n1n∙2n+1(n+1)∙2n+1，所以S n=-12+12·22+12·22+13·23-13·23+14·24+⋯+-1 n1n·2n+1n+1·2n+1=(-1)n(n+1)∙2n+1-123(22·23高二下·黑龙江哈尔滨·期中)已知数列a n满足a1=14,a n+1=3a n-4.(1)求a n的通项公式；(2)设b n=(-1)n a n3n+13n+1+1，数列b n的前n项和为T n，若存在n∈N*，使m≥T n，求m的取值范围.【答案】(1)a n=4×3n+2(2)-720,+∞【分析】(1)依题意可得a n+1-2=3a n-2，再结合等比数列的定义即可证明；(2)由(1)可得b n=(-1)n13n+1+1 3n+1+1，再分n为偶数和奇数两类情况并结合裂项求和法讨论即可.【详解】(1)证明：因为a n+1=3a n-4，所以a n+1-2=3a n-2，即a n+1-2a n-2=3n∈N*，因为a1=14，所以a1-2=12，故数列a n-2是以12为首项，3为公比的等比数列，所以a n-2=12×3n-1=4×3n，则a n=4×3n+2.(2)解：由(1)知a n=4×3n+2，所以b n=(-1)n a n3n+13n+1+1=(-1)n4×3n+23n+13n+1+1=(-1)n13n+1+13n+1+1.当n为偶数时，T n=-13+1-1 32+1+132+1+133+1+L+-13n++113n+1+13n+1+13n++1=-13+1+13n+1+1=-14+13n+1+1，因为T n=-14+13n+1+1是单调递减的，所以-14<T n≤-314.当n为奇数时，T n=-13+1-1 32+1+132+1+133+1+⋯+13n++1+13n+1+-13n+113n+1+1=-13+1-13n+1+1=-14-13n+1+1，又T n=-14-13n+1+1是单调递增的，因为13n+1+1>0，所以-720≤T n<-14.要使存在n∈N*，使m≥T n，只需m≥T nmin，即m≥-720，故m的取值范围是-720,+∞.【题型五】“函数型”裂项求和：同构仿写型 仿写规律：t>1①b na n⋅a n+1⋅t n⇒1a n⋅t n-1-1a n+1⋅t n=λb na n⋅a n+1⋅t n(可通分反解λ)；②b n⋅t na n⋅a n+1⇒t n+1a n+1-t na n=λb n⋅t na n⋅a n+1(可通分反解λ)1(23·24上·甘南·期中)在数列a n中，a1=2且∀n∈N*,a n+1=3a n+2×3n.(1)求a n的通项公式；(2)设b n=a n+3na n a n+1，若b n的前n项和为S n，证明：S n<14.【答案】(1)a n=2n⋅3n-1,n∈N∗(2)证明见解析【分析】(1)根据题意，化简得到a n+13n+1-a n3n=23，得出数列a n3n为等差数列，结合等差数列的通项公式，进而求得数列a n的通项公式；(2)由a n=2n⋅3n-1，得到b n=121a n-1a n+1，结合裂项法求和，求得S n=14-14(n+1)⋅3n，进而证得S n<1 4.【详解】(1)解：由a n+1=3a n+2×3n，两边同除以3n+1，可得a n+13n+1=a n3n+23，即a n+13n+1-a n3n=23，因为a1=2，可得a13=23，所以数列a n3n是首项为23，公差为23的等差数列，可得a n3n=23+(n-1)×23=2n3，所以a n=2n3×3n=2n⋅3n-1，即数列a n的通项公式为a n=2n⋅3n-1,n∈N∗.(2)解：由a n=2n⋅3n-1，可得b n=a n+3na n a n+1=2n⋅3n-1+3n2n⋅3n-1⋅2(n+1)⋅3n=(2n+3)⋅3n-12n⋅3n-1⋅2(n+1)⋅3n=1212n⋅3n-1-12(n+1)⋅3n=121a n-1a n+1，所以数列b n的前n项和为S n=121a1-1a2+1a2-1a3+⋯+1an-1a n+1=121a1-1a n+1=1212-12(n+1)⋅3n=14-14(n+1)⋅3n，因为4(n+1)⋅3n>0，可得14-14(n+1)⋅3n<14，即S n<14.2(23·24上·合肥·阶段练习)在数1和3之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作T n，令a n=log3T n.(1)求数列a n的通项公式；(2)若b n=n+1⋅2n-1a n a n+1，求数列b n的前n项和S n.【答案】(1)a n=n+22(2)S n=2n+2n+3-43【分析】(1)利用等比数列的基本性质结合倒序相乘法可求得T n，结合对数的运算可得出数列a n的通项公式；(2)计算得出b n=-2n+1n+2+2n+2n+3，利用裂项相消法可求得S n.【详解】(1)解：在数1和3之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，设插入的这n个数分别为c1、c2、⋯、c n，由等比数列的性质可得c1c n=c2c n-1=⋯=c n c1=1×3=3，所以，T n=1⋅c1c2⋯c n⋅3 T n=3⋅c n c n-1⋯c1⋅1，所以，T2n =1⋅3⋅c1c n⋅c2c n-1⋅⋯⋅c n c1⋅1⋅3=3n+2，易知T n>0，所以，T n=3n+22，则an=log3T n=log33n+22=n+22.(2)解：b n =n +1 ⋅2n -1a n a n +1=n +1 ⋅2n -1n +2 n +34=n +1 ⋅2n +1n +2 n +3=2n +2 -n +3 ⋅2n +1n +2 n +3=-2n +1n +2+2n +2n +3，所以，S n =-223+234 +-234+245+⋯+-2n +1n +2+2n +2n +3 =2n +2n +3-43.3(23·24上·昆明·阶段练习)已知数列a n 满足a 1=2,a n +1=2n +1a n n ∈N * .(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =log 2a 2n -n 2，数列b n +22n +1b n ⋅b n +1 的前n 项和为S n ，求证：38≤S n<12.【答案】(1)a n =2n n +12(2)证明见解析【分析】(1)运用累乘法求出a n 的通项公式；(2)先运用裂项法求出S n 的解析式，再运用缩放法证明.【详解】(1)由已知a 1=2,a n +1a n=2n +1n ∈N * ，所以a n =a n a n -1⋅a n -1a n -2⋯⋯a 2a 1⋅a 1=2n ⋅2n -1⋯⋯22⋅2=2n n +12n ≥2 ，当n =1时，a 1=2满足条件，所以a n =2n n +12；(2)由于b n =log 2a 2n -n 2=n ，所以b n +22n +1b n ⋅b n +1=n +22n +1n n +1 =1n ⋅2n -1n +1 2n +1，所以S n =11×2-12×22+12×22-13×23 +13×23-14×24+⋯+1n ⋅2n 1n +1 2n +，所以S n =11×2-1n +1 2n +1，显然S n 在N *上为增函数，S 1=11×2-12×22=38,∴S n ≥S 1=38，又S n =11×2-1n +12n +1<11×2=12，所以38≤S n <12；综上，a n =2n n +12.【题型六】“函数型”裂项求和：三角函数裂项型常见的三角函数裂项：1.正切型裂项：若a n +1-a n =α,tan α=m (特殊角)，则tan α=tan a n +1-a n =tan a n +1-tan a n1+tan a n +1tan a n=m ，b n =tan a n +1tan a n =1mtan a n +1-tan a n -1；2.正余弦和与差公式应用裂项型：b n =sin1cos n cos (n -1)=sin [n -(n -1)]cos n cos (n -1)=sin n cos (n -1)-cos n sin (n -1)cos n cos (n -1)=tan n -tan (n -1)1(2023·山东威海·二模)已知2n +2个数排列构成以q n q n >1 为公比的等比数列，其中第1个数为1，第2n +2个数为8，设a n =log 2q n ．(1)证明：数列1a n是等差数列；(2)设b n =tanπa n tan πa n +1，求数列b n 的前100项和S 100．【答案】(1)数列1a n是以公差为23的等差数列.1a n +1-1a n =23(2)-99【分析】(1)根据等比数列的性质分析可得a n =32n +1，再结合等差数列的定义分析证明；(2)根据两角差的正切公式整理得b n =-33tan πa n +1-tan πa n-1，结合裂项相消法运算求解.【详解】(1)由题意可得：q 2n +1n=81=8，且q n >1，可得q n =232n +1，所以a n =log 2232n +1=32n +1，可得1a n =2n +13，则1a n +1-1a n =2n +1 +13-2n +13=23，所以数列1a n是以公差为23的等差数列.(2)由(1)可得πa n +1-πa n =2π3，则tan 2π3=tan πa n +1-πa n=tan πa n +1-tan πan 1+tan πa n +1tan πan=-3，整理得b n =tanπa n tan πa n +1=-33tan πa n +1-tan πa n-1，则S 100=b 1+b 2+⋅⋅⋅+b 100=-33tan πa 2-tan πa 1 -1+-33tan πa 3-tan πa 2-1 +⋅⋅⋅+-33tan πa 101-tan πa 100-1=-33tanπa 2-tan πa 1 +tan πa 3-tan πa 2 +⋅⋅⋅+tan πa 101-tan πa 100-100=-33tan πa 101-tan πa 1-100=-33tan 203π3-tanπ -100=-33tan 68π-π3 -100=33tan π3-100=-99，所以数列b n 的前100项和S 100=-99.2(22·23高三上·山东济宁·期中)已知n ∈N *，抛物线y =-x 2+n 与x 轴正半轴相交于点A ，在点A 处的切线在y 轴上的截距为a n (1)求数列a n 的通项公式；(2)若b n =4n cos n πa n -1 a n +1，求数列b n 的前项和S n ．【答案】(1)a n =2n ；(2)S n =-2n +22n +1,n =2k -1-2n 2n +1,n =2k,k ∈N ∗ .【分析】(1)利用导数的几何意义求出切线方程，再求出纵截距作答.(2)由(1)的结论求出b n，再分奇偶利用裂项相消法求解作答.【详解】(1)n∈N∗，抛物线与x轴正半轴的交点坐标为(n,0)，由y=-x2+n求导得：y =-2x，因此抛物线在点A处的切线的斜率为-2n，切线方程为y=-2n(x-n)，当x=0时，y=2n，所以a n=2n.(2)由(1)知，a n=2n，则b n=4n cos nπ(2n-1)(2n+1)=12n-1+12n+1cos nπ，当n为偶数时，S n=-1+1 3+13+15-15+17+17+19-⋯-12n-3+12n-1+1 2n-1+1 2n+1=-1+12n+1=-2n2n+1，当n为奇数时，S n=S n+1-b n+1=-1+12n+3-12n+1+12n+3=-1-12n+1=-2n+22n+1，S n=-2n+22n+1,n=2k-1-2n2n+1,n=2k,k∈N∗.3(22·23上·芜湖·期末)已知S n是数列a n的前n项和，2S n=n+1a n．且a1=1(1)求a n的通项公式；(2)设a0=0，已知数列b n满足b n=sin1cos a n cos a n-1，求b n的前n项的和T n【答案】(1)a n=n；(2)tan n.【分析】(1)利用给定的递推公式，结合a n=S n-S n-1,n≥2变形，构造数列求解作答.(2)由(1)的结论，利用差角的正弦公式变形，再利用错位相减法求解作答.【详解】(1)因为n∈N*，2S n=n+1a n，当n≥2时，2S n-1=na n-1，两式相减得：2a n=(n+1)a n-na n-1，即(n-1)a n=na n-1，变形得a nn=a n-1n-1，于是得数列a nn是常数列，因此a nn=a11=1，即a n=n，所以数列a n的通项公式是a n=n.(2)由(1)知，a n=n，b n=sin1cos n cos(n-1)=sin[n-(n-1)]cos n cos(n-1)=sin n cos(n-1)-cos n sin(n-1)cos n cos(n-1)=tan n-tan(n-1)，所以T n=(tan1-tan0)+(tan2-tan1)+(tan3-tan2)+⋅⋅⋅+[tan n-tan(n-1)]=tan n-tan0=tan n.【题型七】递推公式：分式型不动点已知分式一次型数列递推关系a n+1=Ca n+DAa n+B求通项的问题解法：法一，化归法.当D=0时，递推关系两边取倒数，再裂项构造即可；当D≠0时，为了保持取倒数后分母一致性，通常可以令a n+1+x=Ca n+DAa n+B+x=C+xAa n+D+BxAa n+B，可由1x=C+AxD+Bx解得x的值，即可得到构造方向b n+1=tb nAa n+B，通过这样的转化将问题又化归为D=0的情形再求解.法二，特征根法求解.先构造特征方程x=Cx+DAx+B，解方程得根x1,x2，若x1≠x2，则a n-x2a n-x1为等比数列；若x1=x2，则1a n-x1为等差数列.1(22-23高三·河南·阶段练习)已知数列a n满足a1=0,a n+1=-a n-22a n+3,n∈N∗．(1)证明：数列1a n+1是等差数列；(2)证明：a2 ⋅a3 ⋅a4 ⋅⋅⋅⋅⋅a n+1>12n+1．【答案】(1)证明见解析.(2)证明见解析.【分析】(1)根据条件a1=0,a n+1=-a n-22a n+3,n∈N∗可得1a n+1+1=2+1a n+1，利用等差数列的定义即可证明结论；(2)利用(1)的结论可得a n=-2n+22n-1，即得|a n |=2n-22n-1,(n≥2,n∈N∗)，利用作差法可得|a n|=2n-22n-1>2n-32n-2，由此可设S=a2 ⋅a3 ⋅a4 ⋅⋅⋅⋅⋅a n+1，即得S=23⋅45⋅67⋅⋅⋅⋅⋅2n2n+1，且S>12⋅34⋅56⋅⋅⋅⋅⋅2n-12n，两式相乘可证明结论.【详解】(1)证明：根据题意a1=0,a n+1=-a n-22a n+3,n∈N∗，可得a n+1+1=a n+12a n+3，则1a n+1+1=2a n+3a n+1=2+1a n+1，故1a n+1+1-1a n+1=2，1a1+1=10+1=1故数列1a n+1是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知，1a n+1=1+2(n-1)=2n-1，则a n=12n-1-1=-2n+22n-1，则|a n|=2n-22n-1,(n≥2,n∈N∗),由于2n-22n-1-2n-32n-2=(2n-2)2-(2n-3)(2n-1)(2n-1)(2n-2)=1(2n-1)(2n-2)>0，故|a n|=2n-22n-1>2n-32n-2,(n≥2,n∈N∗)设S=a2⋅a3 ⋅a4 ⋅⋅⋅⋅⋅a n+1,则S=23⋅45⋅67⋅⋅⋅⋅⋅2n2n+1，且S>12⋅34⋅56⋅⋅⋅⋅⋅2n-12n，则S2>23⋅45⋅67⋅⋅⋅⋅⋅2n2n+1⋅12⋅34⋅56⋅⋅⋅⋅⋅2n-12n=12n+1，故S>12n+1,∴a2 ⋅a3 ⋅a4 ⋅⋅⋅⋅⋅a n+1>12n+1.2(2024高三·全国·专题练习)在数列{a n}中，a1=4且a n+1=3a n+2a n+4，求数列{a n}的通项公式.【答案】a n=2n-1+5n-1 5n-1-2n-2【分析】法一，由a n+1+x=3a n+2a n+4+x=(x+3)a n+4x+2a n+4，令1x=x+34x+2，解得x1=-1,x2=2，即在等式两边同减去1，可构造出形式a n+1-1=2(a n-1)a n+4，从而两边再同取倒数可得1a n+1-1=12+52⋅1a n-1，由此配凑常数，可构造等比数列1a n-1+13进而求得等比数列通项，解an可得；法二，利用特征方程x=3x+2x+4有两个不等式根：x1=1,x2=-2，确定构造方向，先构造两个等式,再作比即可构造特殊数列，即可求得特殊数列的通项，再解出a n即可.【详解】法一，由a n+1=3a n+2a n+4两边减去1得，a n+1-1=3a n+2a n+4-1=2(a n-1)a n+4，两边取倒数得，1a n+1-1=a n+42(a n-1)=a n-1+52(a n-1)=12+52⋅1a n-1，两边同加13得，1a n+1-1+13=56+52⋅1a n-1=52⋅1a n-1+13，由a1=4，则1a1-1+13=23≠0，所以有1a n+1-1+131a n-1+13=52，故1a n-1+13是以23为首项，52为公比的等比数列.所以1a n-1+13=23⋅52n-1，故a n-1=3⋅2n-12⋅5n-1+2n-1，解得a n=2n-1+5n-15n-1-2n-2.法二：因为a n+1=3a n+2a n+4，两边同减去1得a n+1-1=3a n+2a n+4-1=2a n-2a n+4①，两边同加上2得a n+1+2=3a n+2a n+4+2=5a n+10a n+4②，由已知a1=4，则a1-1=3≠0,a1+2=6≠0，①②两式相除得，a n+1-1 a n+1+2=2a n-15(a n+2)，且a1-1a1+2=12≠0，所以，数列a n-1a n+2是以12为首项，25为公比的等比数列，∴a n-1a n+2=a1-1a1+2·25n-1=12⋅25 n-1，∴a n=2n-1+5n-15n-1-2n-2.3(2023高三·全国·专题练习)已知数列a n满足性质：对于n∈N,a n-1=a n+42a n+3,且a1=3,求{a n}的通项公式.【答案】a n =(-5)n -42+(-5)n【分析】根据特征方程的根，构造数列c n 的通项公式，再得到数列a n 的通项公式.【详解】依定理作特征方程x =x +42x +3,变形得2x 2+2x -4=0,其根为λ1=1,λ2=-2.故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第(2)部分，则有c n =a 1-λ1a 1-λ2⋅p -λ1r p -λ2rn -1=3-13+2⋅1-1⋅21+2⋅2n -1，n ∈N ∴c n =25-15n -1,n ∈N .∴a n =λ2c n -λ1c n -1=-2⋅25-15 n -1-125-15n -1-1,n ∈N .即a n =(-5)n -42+(-5)n,n ∈N .【题型八】插入数型插入数型1.插入数构成等差数列在a n 和a n +1之间插入n 个数，使这n +2个数构成等差数列，可通过构造新数列{b n }来求解d nn +2个数构成等差数列，公差记为d n ，所以：b n +2=b 1+(n +2-1)d n ⇔d n =b n +2-b 1(n +2-1)2.插入数构成等比数列在a n 和a n +1之间插入n 个数，使这n +2个数构成等比数列，可通过构造新数列{b n }来求解d nn +2个数构成等比数列，公差记为d n ，所以：b n +2=b 1∙q n (n +2-1)⇔q n (n +2-1)=b n +2b 1⇔ln b n +2b 1=ln q n (n +2-1)=(n +2-1)ln q n3.插入数混合型混合型插入数列，其突破口在于：在插入这些数中，数列a n 提供了多少项，其余都是插入进来的。

1 .2.数列｛a n｝是首项a i= 1，公差为d= 3的等差数列，如果a.= 2 005，则序号667 B. 668 C. 669在各项都为正数的等比数列｛a n｝中，首项a i= 3，前三项和为21,则33 B. 72 C. 843.如果a i, a2, …，a8为各项都大于零的等差数列，公差d丰0,A. a i a s > da5B. a i a8< a4a5C. a i+ a s v a4 + a54.已知方程(x2—2x+ m）（ x2—2x+ n）= 0的四个根组成一个首项为n等于（670a3 + a4 + a5=(189a i a8= a4a5的等差数列，则I m—n丨等于（C.-25 . 等比数列｛a n｝中，a2= 9, a5= 243，则｛a n｝的前4项和为（).81 B . 120 C. 168 1926. 若数列｛a n｝是等差数列，首项a i>0, a2 003 + a2 004> 0, a2 003 a2 004 v 0,则使前n项和S n > 0成立的最大自然数n4 005 B. 4 006 C. 4 007 4 0087.已知等差数列｛a n｝的公差为2，若a i, a3, a4成等比数列，则a2 =（—10设S n是等差数列｛a n｝的前n项和,a5若-a3-，则9S9 (S5 =(9 . 已知数列一1, a i, a2, —4成等差数列，—1 , b i, b2, b3, —4成等比数列，则a2 -b2的值是（）.C.10.在等差数列{a n}中，冇工0, a n —1 —a n + a n+ 1 =0( n》2)，若S2n-1 = 38，则n =(38 B. 20 C. 10、填空题111. ----------------------- 设f(x) = L ,利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法，可求得f( — 5) +f( — 4) +…+ f(0) +…+ f(5)2x +U 2 + f( 6)的值为 ________________________ .12. 已知等比数列｛a n ｝中，(1) _____________________________________________________ 若 a 3 • a 4 • a 5 = 8，贝U a ? • a 3 • a 4 • a 5 • a 6 =___________________________________________________________________________________________ .(2) 若 a 1 + a 2= 324, a 3 + a 4= 36,贝V a 5 + a 6= . (3) 右 £= 2,S 3= 6,贝V a 仃+a 18+a 19+a 20 = ______________________________________.14. 在等差数列｛a n ｝中，36+ aj + 2佝+ 3协+弧)=24,则此数列前13项之和为 ______________ .15. __________________________________________________________________ 在等差数列｛a n ｝中，a 5= 3, a 6= — 2,贝V a 4+ a 5+ …+ a io= __________________________________________________________________________________ .16.设平面内有n 条直线(n 》3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用 f(n)表示这n条直线交点的个数，则 f(4) = _______________ ;当n >4时，f(n) = _________________ .三、解答题17. (1)已知数列｛ a n ｝的前n 项和S n = 3n 2— 2n ,求证数列｛ a n ｝成等差数列.(2)已知-,-,-成等差数列，求证 山 , 口 , 口 也成等差数列.a b c a b c18. 设｛a n ｝是公比为q 的等比数列，且 a 1, a 3, a 2成等差数列.个三SAS间 之27一2和00 - 3为积 乘 的 数个(1) 求q的值；(2) 设｛ b n｝是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S n,当n》2时，比较S n与b n的大小，并说明理由.19. 数列｛a n｝的前n 项和记为S,已知a i= 1, a*+1= -_ S n( n= 1, 2,3…). n求证：数列｛S n｝是等比数列.n12S3,20. 已知数列｛ a n｝是首项为a且公比不等于1的等比数列，S n为其前n项和，a1, 2a?, 3a4成等差数列，求证:S6, S12- S6成等比数列.第二章数列参考答案、选择题1. C解析：由题设，代入通项公式a n= a i + (n- 1)d，即2 005= 1 + 3(n —1),二n = 699.2. C解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力.设等比数列｛ a n｝的公比为q(q >0)，由题意得a1+ a2+ a3= 21, 即a*1 + q + q2) = 21,又a1 = 3,「. 1 + q + q?= 7.解得q = 2或q = - 3(不合题意，舍去)，a3 + a4 + a5= a1q2( 1 + q + q2) = 3 x 22x 7= 84.3. B.解析：由a1 + a$= a4 + a5,「.排除C.又a1 • a8= a〔( a〔+ 7d) = a〔+ 7a〔d,2 2--玄4 •玄5 = ( a1 + 3d)(玄丄+ 4d) = a1 + 7a1d + 12d > a1 •比.4. C解析:解法1:设a1=丄,a2= 1+ d, a3= 1+ 2d, a4= - + 3d,而方程x2-2x+ m= 0 中两根之和为2, x2-2x+ n = 0 中4 4 4 4两根之和也为2,二a1 + a2 + a3+ a4= 1 + 6d = 4,d= — , a1 = 1, a4=—是一个方程的两个根，a1= 3, a3=—是另一个方程的两个根.2 4 4 4 4••• — , 15分别为m或n,16 16• I m- n | =-，故选C.2解法2:设方程的四个根为X1, X2, X3, X4,且X1 + X2= X3+ X4= 2,禺•X2= m, X3 •X4= n.由等差数列的性质：若+ s= p+ q,则a + a s= a p+ a q,若设X1为第一项，X2必为第四项，则X2=-，于是可得等差4 71516• I m- n5. B9. A解析：T a 2= 9, a 5= 243,竺=q 3= 243 = 27,a 2 9• • q 3, a i q 9, a 13,6. B 解析:解法1 ：由a 2 003 + a 2 004 > 0, a 2 003 • a 2 004V 0,知 a 2 003和 a 2 004 两项中有一正数一负数，又 a 1> 0，则公差为负数，否则各项总为正数，故 a 2 003 > a 2 004, 即即 a 2 003> 0, a 2 004V 0.S 4=3-351 — 3240= 120. 2•- S 4 006 =4 00q 4+ a 4 006)24 006( a 2 003+ a 2 004)24 007 --S 4 007 = 一 2(a 1 + a 4 007)=4 00722a 2 004 V 0,故4 006为S n > 0的最大自然数•选B . 解法 2 :由 a 1 > 0 , a 2 003+ a 2 004 > 0, a 2 003• a 2 004 V 0 ,a 2 004V 0,•- S 2 003 为S n 中的最大值.••• Sn 是关于n 的二次函数，如草图所示，• 2 003到对称轴的距离比 2 004到对称轴的距离小, • 4-007在对称轴的右侧.2解法1的分析得a 2 003 > 0,根据已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右侧零点B 的左侧，4 007,4 008都在其右侧，S n > 0的最大自然数是4 006 .7. B解析：T {a n }是等差数列，• a 3= a 1 + 4, a 4= 6,又由a 1, a 3, a 4成等比数列，•- (a 1 + 4) 2= a 1( a 1 + 6)，解得 a 1 = — 8, a 2= — 8 + 2= — 6. & A9(a 1 +aQ解析：T § =2== 9• 5 = 1,「.选 A . S 55(a 1 +a 5) 5 a 3 5 92(3)丿…a 5+a 6= ( a 1 + a 2) q = 4 . §8= a-i + a 2+ ‘ ‘+ a 8= S 4+S 4q解析：设d 和q 分别为公差和公比，则— 4 =— 1 + 3d 且—4= ( — 1)q 4, ••• d =— 1, q 2= 2, .a ? —a i = d = 1b ?-q 210. C解析:T {a n }为等差数列，• a 2 = a n -1 + a n +1, 2 In=2a n ,又a n * 0 , • a n = 2, {a n }为常数数列, 而a n =全土 , 2n —1 即 2n — 1 = 38 = 19,2 •• n = 10. 二、填空题 11. 32 . 解析：T f(x)=1 2xi2• f( 1 — x)=,22 2 2x2 2、2 2x ，• f(x) + f(1 — x) = 1 + 12 =2 2x 2 2x 1 T22 2x■2 2x 2设 S = f( — 5) + f( — 4) +…+ f(0) +…+ f(5) + f(6), 则 S = f(6) + f(5) +…+ f(0) +…+ f( — 4) + f( — 5),• 2S = [f( 6) + f( — 5)] + [f(5) + f( — 4)] +•••+ [f( — 5) + f(6)] = 6.2 , • S = f( — 5) + f( — 4) +…+ f(0) +…+ f(5) + f(6) = 3、2 . 12. (1) 32; (2) 4; (3) 32. 解析：(1)由 a 3 • a 5= a ：，得 a 4 = 2,.5…a 2 • a 3 • a 4 • a 5 • a 6= a 4 = 32.(2)丿a 1 a z =324— 21=q 1丄2(a 〔 a 2)q = 36S 4 a 1 + a 2+ a 3+ a 4^ 24= q 4=2，a i7+ a i8 + a i9 + a ?。

高三数学提高题专题复习数列多选题练习题附解析一、数列多选题1．已知数列{}n a 的首项1a m =且满足()()14751221nn a a n n a a +⎡⎤=-⋅-⋅+-⋅-⎣⎦，其中n *∈N ，则下列说法中正确的是（ ）A ．当1m =时，有3n n a a +=恒成立B ．当21m =时，有47n n a a ++=恒成立C ．当27m =时，有108111n n a a ++=恒成立D ．当()2km k N *=∈时，有2n kn k aa +++=恒成立【答案】AC 【分析】题设中的递推关系等价为1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，根据首项可找到{}n a 的局部周期性，从而可得正确的选项. 【详解】因为()()14751221n n a a n n a a +⎡⎤=-⋅-⋅+-⋅-⎣⎦，故1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数， 当1m =即11a =时，24a =，32a =，41a =，故{}n a 为周期数列且3n n a a +=，故A 正确.当21m =即121a =时，264a =，同理416a =，58a =，64a =，72a =，81a =，故58a a ≠，故B 错误.当2km =即12ka =时，根据等比数列的通项公式可有11222k kk a -⎛⎫= ⎪⎝⎭=，+1+21,4k k a a ==，+32k a =， +1+3k k a a ≠，故D 错误.对于C ，当27m =时，数列{}n a 的前108项依次为：27,82,42,124,62,31,94,47,142,71,214,107,322,161,484242,121,364,182,91,274，， 137,412,206,103,310,155,466,233,700,350,175,526,263,790,395,1186,593,1780， 890,445,1336,668,334,167,502,251,754,377,1132,566,283,850,425,1276,638,319，958,479,1438,719,2158,1079,3238,1619,4858,2429,7288,3644,1822,911,2734， 1367,4102,2051,6154,3077,9232,4616,2308,1154,577,1732,866,433,1300,650， 325,976,488,244,122,61,184,92,46,23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16，故1098a =，1104a =，1112a =，1121a =，1134a =，所以109112n n a a ++=对任意1n ≥总成立.（备注：因为本题为多选题，因此根据A 正确，BD 错误可判断出C 必定正确，可无需罗列出前108项） 故选：AC. 【点睛】方法点睛：对于复杂的递推关系，我们应该将其化简为相对简单的递推关系，对于数列局部周期性的研究，应该从特殊情况中总结出一般规律，另外，对于多选题，可以用排除法来确定可选项.2．如图，已知点E 是ABCD 的边AB 的中点，()*n F n ∈N为边BC 上的一列点，连接n AF 交BD 于n G ，点()*n G n ∈N 满足()1223n n n n n G D a G A a G E +=⋅-+⋅，其中数列{}n a 是首项为1的正项数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）A ．313a =B ．数列{}3n a +是等比数列C ．43n a n =-D ．122n n S n +=--【答案】AB 【分析】化简得到()()12323n n n n n n G D a a G A a G B +=--⋅-+⋅，根据共线得到1230n n a a +--=，即()1323n n a a ++=+，计算123n n a +=-，依次判断每个选项得到答案. 【详解】()()112232n n n n n n G D a G A a G A G B +=⋅-+⋅+， 故()()12323n n n n n n G D a a G A a G B +=--⋅-+⋅，,n n G D G B 共线，故1230n n a a +--=，即()1323n n a a ++=+，11a =，故1342n n a -+=⨯，故123n n a +=-.432313a =-=，A 正确；数列{}3n a +是等比数列，B 正确；123n n a +=-，C 错误；2124323412nn n S n n +-=-=---，故D 错误.故选：AB . 【点睛】本题考查了向量运算，数列的通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力.3．设数列{}n a 前n 项和n S ，且21n n S a =-，21log n n b a +=，则（ ） A ．数列{}n a 是等差数列 B ．12n n aC ．22222123213n na a a a -++++= D ．122334111111n n b b b b b b b b +++++< 【答案】BCD 【分析】利用n S 与n a 的关系求出数列{}n a 的通项公式，可判断AB 选项的正误；利用等比数列的求和公式可判断C 选项的正误；利用裂项求和法可判断D 选项的正误. 【详解】对任意的n *∈N ，21n n S a =-.当1n =时，11121a S a ==-，可得11a =； 当2n ≥时，由21n n S a =-可得1121n n S a --=-， 上述两式作差得122n n n a a a -=-，可得12n n a a -=，所以，数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，11122n n n a --∴=⨯=，A 选项错误，B选项正确；()221124n n na --==，所以，22221231441143nn n a a a a --==-++++，C 选项正确； 212log log 2n n n b a n +===，()1111111n n b b n n n n +==-++， 所以，12233411111111111111112233411n n b b b b b b b b n n n +++++=-+-+-++-=-<++， D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.4．设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，1121,n n n S S S n ++==，且212n n n n a b a a ++=，则下列结论正确的是（ ） A ．20202020a = B ．()12n n n S += C ．()112n b n n =-+D ．1334n T n ≤-< 【答案】ABD 【分析】可由累乘法求得n S 的通项公式，再由()12n n n S +=得出n a n =，代入212n n n n a b a a ++=中可得()112n b n n =++.由裂项相消法求出n T ，利用数列的单调性证明1334n T n ≤-<.【详解】由题意得，12n n S n S n++=， ∴当2n ≥时，121121112n n n n n S S S n n S S S S S n n ---+=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅--()13112n n +⋅=，且当1n =时也成立， ∴ ()12n n n S +=，易得n a n =，∴ 20202020a =，故,A B 正确； ∴ ()()()211111112222n n b n n n n n n +⎛⎫==+=+- ⎪+++⎝⎭，∴11111111111111112324351122212n T n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++-+-=++-- ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭3111342124n n n n ⎛⎫=+-+<+ ⎪++⎝⎭， 又n T n -随着n 的增加而增加， ∴1113n T n T -≥-=，∴1334n T n ≤-<，C 错误，D 正确， 故选：ABD. 【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．5．数列{}n a 满足11a =，且对任意的*n ∈N 都有11n n a a a n +=++，则下列说法中正确的是（ ） A ．(1)2n n n a +=B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项的和为20202021 C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项的和为40402021 D ．数列{}n a 的第50项为2550 【答案】AC 【分析】用累加法求得通项公式，然后由裂项相消法求1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的和即可得．【详解】因为11n n a a a n +=++，11a =， 所以11n n a a n +-=+， 所以2n ≥时，121321(1)()()()1232n n n n n a a a a a a a a n -+=+-+-++-=++++=， 11a =也适合此式，所以(1)2n n n a +=， 501275a =，A 正确，D 错误， 12112()(1)1n a n n n n ==-++， 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2020项和为202011111404021223202020212021S ⎛⎫=-+-++-=⎪⎝⎭，B 错，C 正确． 故选：AC ． 【点睛】本题考查用累加法数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a ＝，且1n n S a λ-＝（λ为常数）．若数列{}n b 满足2920n n a b n n -+-＝，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值可以为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】AB 【分析】利用11a S =可求得2λ=；利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而得到12n na ，进而得到nb ；利用10nnb b 可得到关于n 的不等式，解不等式求得n 的取值范围，根据n *∈N 求得结果. 【详解】当1n =时，1111a S a λ==-，11λ∴-=，解得：2λ=21n n S a ∴=-当2n ≥且n *∈N 时，1121n n S a --=-1122n n nn n a S S a a ，即：12n n a a -=∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n na2920n n a b n n =-+-，219202n n n n b --+-∴=()()222111912092011280222n n n n nn n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=< 20n >，()()21128470n n n n ∴-+=--<，解得：47n <<又n *∈N ，5n ∴=或6 故选：AB 【点睛】关键点点睛：本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识，解决本题的关键点是能够得到n b 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于n 的不等式，从而求得结果，考查学生计算能力，属于中档题．7．已知数列{}n a ，{}n b 满足：12n n n a a b +=+，()*1312lnn n n n b a b n N n++=++∈，110a b +>，则下列命题为真命题的是（ ）A ．数列{}n n a b -单调递增B ．数列{}n n a b +单调递增C ．数列{}n a 单调递增D ．数列{}n b 从某项以后单调递增【答案】BCD 【分析】计算221122ln 2a b a b a b -=--<-，知A 错误；依题意两式相加{}ln +-n n a b n 是等比数列，得到()1113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，知B 正确；结合已知条件，计算10n n a a +->，即得C 正确；先计算()11113ln(1)2ln n n n b b a b n n -+-=+⋅++-，再结合指数函数、对数函数增长特征知D 正确. 【详解】由题可知，12n n n a a b +=+①，1312lnn n n n b a b n++=++②，①-②得，1131lnn n n n n a b a b n+++-=--，当1n =时，2211ln 2a b a b -=--，∴2211-<-a b a b ，故A 错误．①+②得，()113ln(1)3ln n n n n a b a b n n +++=+++-，()11ln(1)3ln n n n n a b n a b n +++-+=+-，∴{}ln +-n n a b n 是以11a b +为首项，3为公比的等比数列，∴()111ln 3-+-=+⋅n n n a b n a b ，∴()1113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，③又110a b +>，∴B 正确．将③代入①得，()()11113ln n n n n n n a a a b a a b n -+=++=++⋅+，∴()11113ln 0n n n a a a b n -+-=+⋅+>，故C 正确．将③代入②得，()()11113311ln 3ln ln n n n n n n n n b b a b b a b n n n -+++=+++=++⋅++，∴()11113ln(1)2ln n n n b b a b n n -+-=+⋅++-．由110a b +>，结合指数函数与对数函数的增长速度知，从某个()*n n N∈起，()1113ln 0n a b n -+⋅->，又ln(1)ln 0n n +->，∴10n n b b +->，即{}n b 从某项起单调递增，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】判定数列单调性的方法：（1）定义法：对任意n *∈N ，1n n a a +>，则{}n a 是递增数列，1n n a a +<，则{}n a 是递减数列；（2）借助函数单调性：利用()n a f n =，研究函数单调性，得到数列单调性.8．在n n n A B C （1,2,3,n =）中，内角,,n n n A B C 的对边分别为,,n n n a b c ，n n n A B C 的面积为n S ，若5n a =，14b =，13c =，且222124n n n a c b ++=，222124n n n a b c ++=，则（ ） A ．n n n A B C 一定是直角三角形 B ．{}n S 为递增数列 C ．{}n S 有最大值 D ．{}n S 有最小值【答案】ABD 【分析】先结合已知条件得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，得A 正确，再利用面积公式得到递推关系1221875=644n n S S ++，通过作差法判定数列单调性和最值即可. 【详解】 由222124n n n a c b ++=，222124n n n a b c ++=得，222222112244n n n n n n a c a b bc+++++=+()2221122n n n a b c =++()2225122n n b c =++，故()222211125=252n n n n b c b c +++-+-， 又221125=0b c +-，22250n n b c ∴+-=，22225=n n n b c a ∴+=，故n n n A B C 一定是直角三角形，A 正确；n n n A B C 的面积为12n n n S b c =，而()4222222222221124224416n n n n n n n n n n n n a b c a b c a c a b bc+++++++=⨯=， 故()42222222222111241875161875==1616641n n n n n n n n n n n a b c a b b S S c c S +++++++==+，故22212218751875==6446434n n n n n S S SS S +-+--，又22125=244n n n n n b c b c S +=≤（当且仅当=n n b c 22121875=06344n n n S SS +∴--≥，又由14b =，13c =知n n b c ≠不是恒成立，即212n n S S +>，故1n n S S +>，故{}n S 为递增数列，{}n S 有最小值16=S ，无最大值，故BD 正确，C 错误. 故选：ABD.【点睛】本题解题关键是利用递推关系得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判断.二、平面向量多选题9．已知数列{a n }，11a =，25a =，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，且2AE EC =，当n ≥2时，恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-，则（ ） A ．数列{a n }为等差数列 B ．1233BE BA BC =+ C ．数列{a n }为等比数列 D ．14nn n a a +-=【答案】BD 【分析】 证明1233BE BA BC =+，所以选项B 正确；设BD tBE =（0t >），易得()114n n n n a a a a +--=-，显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误；数列{1n n a a --}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn n a a +-=，所以选项D 正确，易得321a =，选项C 不正确.【详解】因为2AE EC =，所以23AE AC =， 所以2()3AB BE AB BC +=+, 所以1233BE BA BC =+，所以选项B 正确；设BD tBE =（0t >），则当n ≥2时，由()()1123n n n n BD tBE a a BA a a BC -+==-+-，所以()()111123n n n n BE a a BA a a BC t t-+=-+-， 所以()11123n n a a t --=，()11233n n a a t +-=， 所以()11322n n n n a a a a +--=-， 易得()114n n n n a a a a +--=-，显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误；因为2a -1a =4，114n nn n a a a a +--=-， 所以数列{1n n a a --}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn n a a +-=，所以选项D 正确，易得321a =，显然选项C 不正确. 故选：BD 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判定，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF CE G =，则（ ）A ．12AF AD AB =+ B ．1()2EF AD AB =+ C ．2133AG AD AB =- D ．3BG GD =【答案】AB 【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+、1()2EF AD AB =+、2133AG AD AB =+、2BG GD =，即可判断选项的正误 【详解】 1122AF AD DF AD DC AD AB =+=+=+，即A 正确11()()22EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确 连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示由其性质有||||1||||2GF GE AG CG == ∴211121()333333AG AE AC AD AB BC AD AB =+=++=+，即C 错误 同理21212()()33333BG BF BA BC CF BA AD AB =+=++=- 211()333DG DF DA AB DA =+=+，即1()3GD AD AB =- ∴2BG GD =，即D 错误故选：AB【点睛】本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系。

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1。

（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且34-=n n a S (1,2,)n =， （1）证明:数列{}n a 是等比数列；（2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式．2.（本小题满分12分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1。

求数列{}n a 的通项公式。

2。

设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和。

3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=（1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S4。

已知等差数列{a n｝的前3项和为6，前8项和为﹣4．（Ⅰ）求数列｛a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*),求数列｛b n｝的前n项和S n．5.已知数列{a n｝满足，，n∈N×．（1)令b n=a n+1﹣a n，证明:｛b n}是等比数列；（2）求｛a n｝的通项公式．1。

(完整)高考数列大题专题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高考中的数列—最后一讲（内部资料勿外传）1．已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k；（3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式．2．设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n．3．已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n项和为S n，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n；（Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小．4．已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10（I）求数列{a n}的通项公式；（II）求数列{}的前n项和．5．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5．（I）求数列{b n}的通项公式；（II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列．6．在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作T n，再令a n=lgT n，n≥1．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=tana n?tana n+1，求数列{b n}的前n项和S n．7.设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6+15=0．（Ⅰ）若S 5=5，求S 6及a 1；（Ⅱ）求d 的取值范围．8．已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为﹣4．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =（4﹣a n ）q n ﹣1（q ≠0，n ∈N *），求数列{b n }的前n 项和S n ．9．已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=2，且对任意m 、n ∈N *都有a 2m ﹣1+a 2n ﹣1=2a m+n ﹣1+2（m ﹣n ）2（1）求a 3，a 5；（2）设b n =a 2n+1﹣a 2n ﹣1（n ∈N *），证明：{b n }是等差数列；（3）设c n =（a n+1﹣a n ）q n ﹣1（q ≠0，n ∈N *），求数列{c n }的前n 项和S n ．10．已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1=1，且a 1，a 3，a 9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项；（Ⅱ）求数列{2an }的前n 项和S n ．11．已知数列{a n }满足，，n ∈N ×．（1）令b n =a n+1﹣a n ，证明：{b n }是等比数列；（2）求{a n }的通项公式．12．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点（n ，S n ），均在函数y=b x +r （b ＞0）且b ≠1，b ，r 均为常数）的图象上．（1）求r 的值；（2）当b=2时，记b n =n ∈N *求数列{b n }的前n 项和T n ．13．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．14．已知数列{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a2a6=55，a2+a7=16（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{a n}和数列{b n}满足等式a n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．15．设数列{a n}的通项公式为a n=pn+q（n∈N*，P＞0）．数列{b n}定义如下：对于正整数m，b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值．（Ⅰ）若，求b3；（Ⅱ）若p=2，q=﹣1，求数列{b m}的前2m项和公式；16．已知数列{x n}的首项x1=3，通项x n=2n p+np（n∈N*，p，q为常数），且成等差数列．求：（Ⅰ）p，q的值；（Ⅱ）数列{x n}前n项和S n的公式．17．设数列{a n}的前n项和为S n=2a n﹣2n，（Ⅰ）求a1，a4（Ⅱ）证明：{a n+1﹣2a n}是等比数列；（Ⅲ）求{a n}的通项公式．18．在数列{a n}中，a1=1，．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）求数列{a n}的前n项和T n．19．已知数列{a n}的首项，，n=1，2，3，…．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．20.在数列{}n a 中，10a =，且对任意*k N ∈k N ∈，21221,,k k k a a a -+成等差数列，其公差为k d 。

高三数学 提高题专题复习数列多选题练习题含答案一、数列多选题1．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数A ，使得对任意*n N ∈，都有n S A <，则称数列{}n a 为“T 数列”.则以下结论正确的是（ ）A ．若{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <，则数列{}n a 是“T 数列”B ．若{}n a 是等比数列，且公比q 满足||1q <，则数列{}n a 是“T 数列”C ．若12(1)2n n n a n n ++=+，则数列{}n a 是“T 数列”D ．若2241n n a n =-，则数列{}n a 是“T 数列 【答案】BC 【分析】写出等差数列的前n 项和结合“T 数列”的定义判断A ；写出等比数列的前n 项和结合“T 数列”的定义判断B ；利用裂项相消法求和判断C ；当n 无限增大时，n S 也无限增大判断D ． 【详解】在A 中，若{}n a 是等差数列，且10a >，公差0d <，则2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当n 无限增大时，n S 也无限增大，所以数列{}n a 不是“T 数列”，故A 错误. 在B 中，因为{}n a 是等比数列，且公比q 满足||1q <， 所以()11111112111111n nn n a q a a q a a q aS qq q q q q-==-+<------，所以数列{}n a 是“T 数列”，故B 正确. 在C 中，因为11211(1)22(1)2n n n n n a n n n n +++==-+⋅+⋅，所以122311111111111||122222322(1)22(1)22n n n n S n n n ++=-+-++-=-<⨯⨯⨯⨯⋅+⋅+⋅∣∣.所以数列{}n a 是“T 数列”，故C 正确.在D 中，因为22211141441n n a n n ⎛⎫==+ ⎪--⎝⎭，所以222111114342143141n S n n ⎛⎫=+++++⎪⨯-⨯--⎝⎭，当n 无限增大时，n S 也无限增大，所以数列{}n a 不是“T 数列”，故D 错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()122121n n n +--()()()()1121212121n n n n ++---=--1112121n n +=---；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.2．已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,……，其中第一项是02，接下来的两项是012,2,再接下来的三项是0122,2,2,依次类推…，第n 项记为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．6016a =B ．18128S =C ．2122k k k a -+=D ．2221kk k S k +=--【答案】AC 【分析】对于AC 两项，可将数列进行分组，计算出前k 组一共有()12k k +个数，第k 组第k 个数即12k -，可得到选项C由C 得到9552a =，60a 则为第11组第5个数，可得60a 对于BD 项，可先算得22k kS +，即前k 组数之和18S 即为前5组数之和加上第6组前3个数，由21222k k k S k ++=--结论计算即可.【详解】A.由题可将数列分组第一组：02 第二组：012,2, 第三组：0122,2,2, 则前k 组一共有12++…()12k k k ++=个数 第k 组第k 个数即12k -，故2122k k k a -+=，C 对又()10101552+=，故9552a = 又()11111662+=，60a 则为第11组第5个数第11组有数：0123456789102,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2 故460216a ==，A 对对于D. 每一组的和为0122++ (1)2122121k k k --+==-- 故前k 组之和为1222++…()122122221k k k k k k +-+-=-=---21222k k k S k ++=--故D 错. 对于B.由D 可知，615252S =--()551152+=，()661212+=01261815222252764S S =+++=--+=故B 错 故选：AC 【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为20【答案】BCD 【分析】由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，求得等差数列的通项n a 和n S ，由二次函数的最值求法和二次不等式的解法可得所求值，判断命题的真假． 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，可得2739a a a =，即2111(6)(2)(8)a d a d a d +=++，化为1100a d +=，② 由①②解得120a =，2d =-， 则202(1)222n a n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-， 由221441()24n S n =--+，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由0n S >，可得021n <<，即n 的最大值为20． 故选：BCD 【点睛】方法点睛：数列最值常用的方法有：（1）函数（单调性）法；（2）数形结合法；（3）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.4．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中0m >).已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．3m =B ．18181103354kk i a =⨯+=∑C ．(31)3ij ja i =-⨯ D ．()1(31)314n S n n =+- 【答案】ABD 【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ，进而可得ii a ，根据错位相减法可求得181kki a=∑，再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由此可以判断各选项的真假． 【详解】∵a 11＝2，a 13＝a 61+1，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12=-（舍去），A 正确； ∴()()11113213313j j j ij i a a i m i ---⎡⎤=⋅=+-⨯⋅=-⋅⎣⎦，C 错误； ∴()1313i ii a i -=-⋅，0171811223318182353533S a a a a =+++⋯+=⨯+⨯+⋯+⨯①12181832353533S =⨯+⨯+⋯+⨯②,①-②化简计算可得：1818103354S ⨯+=,B 正确；S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn )()()()11211131313131313nnnn a a a ---=+++---()()231131.22nn n +-=- ()1=(31)314n n n +-，D 正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.5．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <. 【答案】ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <，所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.6．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n a 为等比数列B ．数列{}n S n +为等比数列C ．数列{}n a 中10511a =D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---【答案】BCD 【分析】由已知可得11222n n n n S n S nS n S n++++==++，结合等比数列的定义可判断B ；可得2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断A ；由{}n a 的通项公式，可判断C ；由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D. 【详解】因为121n n S S n +=+-，所以11222n n n n S n S nS n S n++++==++．又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故B 正确；所以2n n S n +=，则2nn S n =-．当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11121a -≠-，故A 错误；由当2n ≥时，121n n a -=-可得91021511a =-=，故C 正确；因为1222n n S n +=-，所以2311222...2221222...22n n S S S n ++++=-⨯+-⨯++-()()()23122412122...2212 (22412)2n n n n n n n n n ++--⎡⎤=+++-+++=-+=---⎢⎥-⎣⎦ 所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】关键点点睛：在数列中，根据所给递推关系，得到等差等比数列是重难点，本题由121n n S S n +=+-可有目的性的构造为1122n n S S n n +++=+，进而得到11222n n n n S n S nS n S n++++==++，说明数列{}n S n +是等比数列，这是解决本题的关键所在，考查了推理运算能力，属于中档题,7．已知等比数列{}n a 满足11a =，其前n 项和()*1,0n n S pa r n N p +=+∈>．（ ）A ．数列{}n a 的公比为pB ．数列{}n a 为递增数列C ．1r p =--D ．当14p r-取最小值时，13-=n n a 【答案】BD 【分析】先结合已知条件，利用1n n n a S S -=-找到,p q 的关系，由11p q =-判断选项A 错误，由11pq p+=>判断B 正确，利用{}n a 通项公式和前n 项和公式代入已知式计算r p =-判断C 错误，将r p =-代入14p r-，利用基本不等式求最值及取等号条件，判断D 正确. 【详解】依题意，等比数列{}n a ，11a =，其前n 项和()*1,0n n S pa r n N p +=+∈>，设公比是q ，2n ≥时，11n n n n S pa rS pa r +-=+⎧⎨=+⎩，作差得，1n n n pa a pa +-=，即()11n n p a pa +=+，故11n n a p a p ++=，即1p q p +=，即11p q =-.选项A 中，若公比为p ，则11p q q ==-，即210q q --=，即p q ==时，数列{}n a 的公比为p ，否则数列{}n a 的公比不为p ，故错误；选项B 中，由0p >知，1111p q p p +==+>，故111111n n n n a a q q p ---=⋅==⎛⎫+ ⎪⎝⎭是递增数列，故正确；选项C 中，由1n n S pa r +=+，11n n q S q-=-，11p q =-，1nn a q +=知，1111111n n n n q p q q a qr S p q +--=-⋅=-=---=，故C 错误；选项D 中， 因为r p =-，故()1111444p p p r p p -=-=+≥=⋅-，当且仅当14p p =，即12p =时等号成立，14p r-取得最小值1，此时13p q p +==，113n n n a q --==，故正确.故选：BD. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解；2、当两个正数,a b的积为定值，要求这两个正数的和式的最值时，可以使用基本不等式a b +≥，当且仅当a b =取等号.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值【答案】AC 【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值.【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；二、平面向量多选题9．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．//PB CQ B ．2133BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅< D ．2S =【答案】BCD 【分析】本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确. 【详解】解：因为20PA PC +=，2QA QB =，所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；因为()121333BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+-=+，故选项B 正确； 因为112223132APQ ABCAB hS S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.10．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（ ） A ．a 为单位向量 B ．//b BCC ．a b ⊥D ．()6a b BC +⊥【答案】ABD 【分析】求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】 对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=，则113a AB ==，A 选项正确； 对于B 选项，3AC ab AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正确；对于C 选项，21123cos 0333a b AB BC π⋅=⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误； 对于D 选项，()()()2260a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，()6a b BC +⊥，D 选项正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.。

新《数列》专题一、选择题1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2611203a a a a --+=，则21S 的值为（ ）A ．63B ．21C ．63-D ．21【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质，原式可变为()220616113()a a a a a +-+-=，即可求得21112163S a ==-.【详解】∵261116203a a a a a ---+=， ∴()220616113()a a a a a +-+-=， ∴113a =-，∴21112163S a ==-， 故选：C ． 【点睛】此题考查等差数列性质和求和公式，需要熟练掌握等差数列基本性质，根据性质求和.2．数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：21n n n a a a ++=+.记该数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．201920202S a =+B ．201920212S a =+C ．201920201S a =-D ．201920211S a =-【答案】D 【解析】 【分析】根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系，即得结果. 【详解】 因为1233243546521()()()()()n n n n S a a a a a a a a a a a a a a ++=++++=-+-+-+-+-L L 2221n n a a a ++=-=-，所以201920211S a =-，选D. 【点睛】本题考查裂项相消法，考查基本分析判断能力，属中档题.3．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6a ，43a ，5a -成等差数列，则42S S ( ) A ．3 B ．9 C ．10 D ．13【答案】C 【解析】 【分析】设{}n a 的公比为0q >，由645,3,a a a -成等差数列，可得260,0q q q --=>，解得q ，再利用求和公式即可得结果. 【详解】设各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为0q >，Q 满足645,3,a a a -成等差数列，()2465446,6,0a a a a a q q q ∴=-∴=->， 260,0q q q ∴--=>，解得3q =，则()()4124221313131103131a S S a --==+=--，故选C. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.4．已知数列{}n a 的通项公式是221sin 2n n a n π+⎛⎫=⎪⎝⎭，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．0 B ．55C ．66D ．78【答案】D 【解析】 【分析】先分n 为奇数和偶数两种情况计算出21sin 2n π+⎛⎫⎪⎝⎭的值，可进一步得到数列{}n a 的通项公式，然后代入12312a a a a +++⋅⋅⋅+转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果. 【详解】解：由题意得，当n 为奇数时，213sin sin sin sin 12222n n ππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当n 为偶数时，21sin sin sin 1222n n ππππ+⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以当n 为奇数时，2n a n =-；当n 为偶数时，2n a n =，所以12312a a a a +++⋅⋅⋅+22222212341112=-+-+-⋅⋅⋅-+ 222222(21)(43)(1211)=-+-+⋅⋅⋅+-(21)(21)(43)(43)(1211)(1211)=+-++-+⋅⋅⋅++- 12341112=++++⋅⋅⋅++ 121+122⨯=（）78= 故选：D 【点睛】此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题.5．若{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且11223S π=，则6tan()a 的值为（ ）A B ．C ．3 D ．3-【答案】B 【解析】 【分析】由11162a a a +=,即可求出6a 进而求出答案． 【详解】∵()11111611221123a a S a π+=== ，∴623a π=，()62tan tan 3a π⎛⎫== ⎪⎝⎭故选B. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的性质以及等差数列前n 项和性质即可，属于基础题型.6．数列{}n a 满足12a =，对于任意的*n N ∈，111n na a +=-，则2018a =（ ）A ．-1B ．12C ．2D ．3【答案】A 【解析】 【分析】先通过递推公式111n na a +=-，找出此周期数列的周期，再计算2018a 的值. 【详解】111n na a +=-Q ，2111111111n n n na a a a ++∴===----， 32111111n nn n a a a a ++∴===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故有3n n a a +=，则20183672221111a a a a ⨯+====-- 故选：A 【点睛】本题考查根据数列递推公式求数列各项的值，属于中档题.7．已知等差数列{}n a 中，若311,a a 是方程2210x x --=的两根，单调递减数列{}()*n b n N ∈通项公式为27n b n a n λ=+.则实数λ的取值范围是（ ）A ．(),3-∞-B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()3,-+∞【答案】B 【解析】 【分析】先求出71a =，再根据{}n b 是递减数列，得到121n λ<-+对*n N ∈恒成立，即得解. 【详解】∵311,a a 是方程220x x --=的两根，∴3112a a +=. ∵{}n a 是等差数列，∴311722a a a +==，∴71a =，∴2n b n n λ=+，又∵{}n b 是递减数列，∴10n n b b +-<对*n N ∈恒成立， 则()()()22110n n nn λλ+++-+<，∴()2110n λ++<，∴121n λ<-+对*n N ∈恒成立， ∴13λ<-.故选：B. 【点睛】本题主要考查等差中项的应用，考查数列的单调性和数列不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．已知椭圆221x y m n+=满足条件：,,m n m n +成等差数列，则椭圆离心率为( )A B C ．12D 【答案】B 【解析】 【分析】根据满足条件,,m n m n +成等差数列可得椭圆为2212x ym m+=,求出,a c ．再求椭圆的离心率即可. 【详解】()22n m m n n m =++⇒=,∴椭圆为2212x y m m+=,22c m m m =-=,得c =又a =2c e a ∴==.则椭圆离心率为2，故选B. 【点睛】一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．9．已知数列{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ，则“3152a a a >+”是“210n S -<”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式与求和公式,即可判断命题间的关系. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列,前n 项和为n S 若3152a a a >+,由等比数列的通项公式可得111242a a q a q >+,化简后可得()21210q a -<.因为()2210q -≥所以不等式的解集为10a < 若210n S -<当公比1q ≠±时, 210n S -<则10a <,可得3152a a a >+ 当公比1q =±时, 由210n S -<则10a <,可得3152a a a =+ 综上可知, “3152a a a >+”是“210n S -<”的充分不必要条件 故选:B 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式的应用,在应用等比数列求和公式时,需记得讨论公比是否为1的情况,属于中档题.10．已知数列{}n a 中，732,1a a ==，又数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，则11a 等于（ ） A ．0 B ．12C ．23D ．1-【答案】B 【解析】 【分析】先根据条件得等差数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭公差以及通项公式，代入解得11a . 【详解】设等差数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭公差为d ，则731111144,112324d d d a a =-∴=-=++， 从而31115(3)11242424n n n a a =+-⋅=+++ 11111115211242432a a =+=∴=+，选B. 【点睛】本题考查等差数列通项公式，考查基本求解能力，属基本题.11．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若639S S =，562S =，则1a =（ ）A B ．2C D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得等比数列{}n a 的公比1q ≠±，进而由等比数列的通项公式可得()()631111911a q a q qq--=⨯--，解可得2q =，又由()5151131621a q Saq-===-，解可得1a 的值，即可得答案．【详解】根据题意，等比数列{}n a 中，若639S S =，则1q ≠±， 若639S S =，则()()631111911a q a q qq--=⨯--，解可得38q=，则2q =，又由562S =，则有()5151131621a q S aq-===-，解可得12a =；故选B ． 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式的应用，关键是掌握等比数列的前n 项和的性质．12．已知首项为1的正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，4a -、3a 、5a 成等差数列，则2020S 与2020a 的关系是（ ）A ．2020202021S a =+B ．2020202021S a =-C ．2020202041S a =+D ．2020202043S a =-【答案】B 【解析】 【分析】求出等比数列{}n a 的公比q ，然后求出2020S 和2020a ，由此可得出结论. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，4a -Q 、3a 、5a 成等差数列，3542a a a ∴=-，所以，220q q --=，0q >Q ，解得2q =，20192019202012a a q∴==，()20201202020201211a q S q-==--，因此，2020202021S a =-. 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列求和公式以及通项公式的应用，涉及等差中项的应用，考查计算能力，属于中等题.13．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若105:1:2S S =，则155:S S 为（ ） A ．3∶4 B ．4∶3 C ．1∶2 D ．2∶1【答案】A 【解析】 【分析】根据在等比数列中，每5项的和仍然成等比数列，设5S x =，则由条件可得1012S x =，1534S x =，从而得到155:S S 的值． 【详解】解：在等比数列中，每5项的和仍然成等比数列，设5S x =，则由条件可得1012S x =， 1051122S S x x x ∴-=-=-，151014S S x ∴-=，15113244S x x x ∴=+=， 故155334:4xS S x ==， 故选：A ． 【点睛】本题考查等比数列的性质，解题的关键是熟练掌握等比数列的性质k S ，2k k S S -，32k k S S -，成公比为k q 的等比数列，属于中档题.14．在数列{}n a 中，()111,1nn n a a a n +==++-，则2018a 的值为（ ）A ．2017⨯1008B ．2017⨯1009C ．2018⨯1008D ．2018⨯1009【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件()nn 1n a a n 1+-=+-,利用累加法并结合等差数列的前n 项和公式即可得到答案. 【详解】()nn 1n a a n 1+-=+-,()()20182017201720162016201520152014a a 20171,a a 20161,a a 20151,a a 20141,-=+--=+-=+--=+⋅⋅⋅32a a 21-=+,()21a a 11,-=+-将以上式子相加得20181a a 20172016-=++⋅⋅⋅+2， 即2018a 20172016=++⋅⋅⋅+2+1=2017(12017)201710092+=⨯，故选：B. 【点睛】本题考查数列递推关系式的应用和累加法求和，考查等差数列前n 项和公式的应用.15．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-， 现有下面四个结论①数列{}n S n +为等比数列； ②数列{}n a 的通项公式为121n n a -=-；③数列{}1n a +为等比数列；④数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---. 其中结论正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】 【分析】根据递推关系可得1+12()n n S n S n ++=+，可得①正确，利用等比数列求出2nn S n =-，根据前n 项和求n a ，可判断②③，计算2n S ，并分组求和可判断④. 【详解】因为121n n S S n +=+-，所以11222n n n n S n S nS n S n++++==++， 又112S +=.所以数列{}n S n +为首项是2，公比是2的等比数列，所以2nn S n +=， 则2nn S n =-.当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-， 但11121a -≠-，所以①正确，②③错误，因为1222n n S n +=-，所以{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---， 所以④正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，等比数列的证明，由n S 求数列的通项公式，属于中档题.16．函数()f x 对任意正整数,a b 满足条件()()()f a b f a f b +=⋅，且()12f =，(2)(4)(6)(2018)(1)(3)(5)(2017)f f f f f f f f ++++L 的值是（ ）A ．1008B ．1009C ．2016D ．2018【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合()()()f a b f a f b +=⋅求解()()()()()()()()24620181352017f f f f f f f f ++++L 的值即可.【详解】在等式()()()f a b f a f b +=⋅中，令1b =可得：()()()()112f a f a f f a +==， 则()()12f a f a +=，据此可知： ()()()()()()()()24620181352017f f f f f f f f ++++L 2222210092018=++++=⨯=L .本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查抽象函数的性质，函数的求值方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．已知{}n a 是各项都为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若47S =，821S =，则16S =（ ）A ．48B ．90C ．105D ．106【答案】C 【解析】 【分析】根据4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列即可求出16S . 【详解】由等比数列的性质得4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列，所以1216127,14,21,S S S --成等比数列，所以121216162128,49,4956,105S S S S -=∴=∴-=∴=.故选：C【点睛】本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12n n n a S n++=（*n ∈N ），则n S =（ ）A ．121n -+B ．2n n ⋅C ．31n -D ．123n n -⋅ 【答案】B【解析】【分析】 由题得122,1n n a n a n ++=⨯+再利用累乘法求出1(1)2n n a n -=+⋅，即得n S . 【详解】 由题得111(1)(1),,,2121n n n n n n n na n a na n a S S a n n n n ++---=∴=∴=-++++（2n ≥） 所以122,1n n a n a n ++=⨯+（2n ≥） 由题得22166,32a a a =∴==，所以122,1n n a n a n ++=⨯+（1n ≥）. 所以324123134512,2,2,2,234n n a a a a n a a a a n-+=⨯=⨯=⨯=⨯L ， 所以11112,(1)22n n n n a n a n a --+=⋅∴=+⋅. 所以(2)222n n n n S n n n =⨯+⋅=⋅+. 故选：B【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列前n 项和与n a 的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a n +=++，则122016111a a a +++=L （ ）A ．20152016B ．40322017C ．40342017D ．20162017【答案】B【解析】【分析】 首先根据题设条件，由11n n a a n +=++，可得到递推关系为11n n a a n +-=+；接下来利用累加法可求得()12n n n a +=，从而()1211211na n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，由此就可求得122016111a a a +++L 的值. 【详解】因为111n n n a a a n a n +=++=++，所以11n n a a n +-=+，用累加法求数列{}n a 的通项得：()()1211n n n a a a a a a -=+-+⋯+-()1122n n n +=++⋯+=， 所以()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 于是1232016111111111212222320162017a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ +++⋯+=-+-+⋯+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 121201*********⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题是一道考查数列的题目，掌握数列的递推关系以及求解前n 项和的方法是解答本题的关键，属于常考题.20．《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）A ．43钱B ．73钱C ．83钱D ．103钱 【答案】C【解析】【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a ＝﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10求得a＝2，则答案可求．【详解】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即a＝﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10，∴a＝2，则a﹣2d＝a48 333aa+==．故选：C．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查实际应用，正确设出等差数列是计算关键，是基础的计算题．。

2023年高考数学复习——大题狂练：数列（15题）一．解答题（共15小题）1．（2022秋•新罗区校级月考）已知等差数列{a n}的公差d＝2，其前n项和为，n∈N*．（1）求通项公式a n；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．2．（2022秋•南海区月考）已知数列{a n}的首项a1＝，（1）求证数列为等比数列；（2）记T n＝，若T n＜20，求m的最大值．3．（2022•南京模拟）已知等比数列{a n}的首项a1＝81，公比，数列b n＝log3a n （1）证明：数列{b n}为等差数列；（2）设数列{b n}前n项和为S n，求使S n＞0的所有正整数n的值．4．（2022秋•河南月考）记各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和是S n，已知．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．5．（2022•青铜峡市校级开学）已知数列{a n}的前n项和．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和．6．（2022秋•连城县校级月考）公差不为0的等差数列{a n}中，a7+a9＝2，且a8，a9，a12成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若S n为等差数列{a n}的前n项和，求使S n＜0成立的n的最大值．7．（2022秋•兴庆区校级月考）等差数列{a n}中，a3+a4＝4，a5+a7＝6．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝[a n]，求数列{b n}的前5项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2．8．（2022秋•河南月考）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1＝1，2S n+1＝S n+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n＝a n+，求数列{b n}的前n项和T n．9．（2022秋•包头月考）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝6，S6＝S7．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最大值．10．（2022•青羊区校级开学）已知公差d不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝6，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列，c n＝a n+b n，求数列{c n}的前n项和T n．11．（2022•南关区校级开学）已知二次函数f（x）＝x2﹣5x+10，当x∈（n，n+1]（n∈N*）时，把f（x）在此区间内的整数值的个数表示为a n．（1）求a1和a2，并求n≥3时a n的表达式；（2）令b n＝，数列{b n}的前n项和为S n（n≥3），求证：S n＜．12．（2022秋•太和县校级月考）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等差数列{b n}的公差为1，且．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．13．（2022秋•五华区校级月考）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足a n•b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．14．（2022•安徽开学）已知数列{a n}，{b n}满足b n＝，且数列{b n}的前n项和为．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知c n＝，记数列{c n}的前n项和为S n，求证：S n＜．15．（2021秋•昆山市月考）已知数列{a n}满足a2＝2，a n+1＝．（1）记b n＝a2n﹣1，写出b1，b2，并求出数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．2023年高考数学复习——大题狂练：数列（15题）参考答案与试题解析一．解答题（共15小题）1．（2022秋•新罗区校级月考）已知等差数列{a n}的公差d＝2，其前n项和为，n∈N*．（1）求通项公式a n；（2）若，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【专题】分类讨论；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】（1）根据题意表示出a1，a2，结合d＝2，可得p的值，进而求得首项，由此可得通项公式；（2）由（1）求出b n＝（﹣1）n•2n，然后分n为偶数及n为奇数讨论即可．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}的公差d＝2，其前n项和为，∴a1＝S1＝p+1，a1+a2＝S2＝4p+2，∴a1＝p+1，a2＝3p+1，∴d＝a2﹣a1＝2p＝2，解得p＝1，∴a1＝2，∴a n＝2n；（2），当n为偶数时，T n＝2[（﹣1+2）+（﹣3+4）+……+（1﹣n+n）]＝n；当n为奇数时，T n＝T n﹣1+b n＝n﹣1﹣2n＝﹣n﹣1；∴，其中k∈N•．【点评】本题考查等差数列的通项公式及其前n项和，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．2．（2022秋•南海区月考）已知数列{a n}的首项a1＝，（1）求证数列为等比数列；（2）记T n＝，若T n＜20，求m的最大值．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】（1）由条件求得a n+1，﹣2，运用等比数列的定义即可得证；（2）由等比数列的通项公式可得﹣2，，再由数列的分组求和与等比数列的求和公式，可得T n，分别计算T10，T11，T12，可得所求最大值．【解答】解：（1）证明：由首项a1＝，可得a n+1＝，＝，则＝＝．所以数列为等比数列．（2）＝，，T n＝，当n＝10，T10＝20﹣＜20，当n＝11，T11＝22﹣＞20，所以n＝10．【点评】本题考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．3．（2022•南京模拟）已知等比数列{a n}的首项a1＝81，公比，数列b n＝log3a n （1）证明：数列{b n}为等差数列；（2）设数列{b n}前n项和为S n，求使S n＞0的所有正整数n的值．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】（1）首先得到等比数列{a n}的通项公式，再根据对数的运算性质得到b n，再根据等差数列的定义证明即可；（2）根据等差数列前n项和公式得到S n，再解不等式即可．【解答】（1）证明：∵等比数列{a n}的首项a1＝81，公比，∴a n＝81•＝36﹣2n，∴，∴b n+1﹣b n＝6﹣2（n+1）﹣（6﹣2n）＝﹣2，b1＝4，∴{b n}是首项为4，公差为﹣2的等差数列；（2）解：由（1）可得b n＝6﹣2n，∴，令S n＞0，即n（5﹣n）＞0，解得0＜n＜5，又n∈N*，∴n＝1、2、3、4．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．（2022秋•河南月考）记各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和是S n，已知．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q．因为，当n＝1时，，解得a2＝3；当n＝2时，，则．因为{a n}是等比数列，所以，即，整理得，解得（舍去）或．所以，所以．（2）由（1）得，所以①，则，②①一②，得＝，所以．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．5．（2022•青铜峡市校级开学）已知数列{a n}的前n项和．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】（1）直接由数列的通项与前n项和的关系求解；（2）利用等差数列求和公式计算可得．【解答】解：（1）因为，所以当n＝1时，，当n≥2时，，显然n＝1时也满足a n＝4n﹣32，所以a n＝4n﹣32．（2）因为，所以数列为公差为2的等差数列，其前n项和．【点评】本题考查数列的通项与前n项和的关系，以及等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．6．（2022秋•连城县校级月考）公差不为0的等差数列{a n}中，a7+a9＝2，且a8，a9，a12成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若S n为等差数列{a n}的前n项和，求使S n＜0成立的n的最大值．【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】（1）首先根据等差中项的性质求得a8的值，设等差数列{a n}的公差d，由可求d，代入通项公式计算即可；（2）求出S n，由S n＜0可得n的取值范围，由此可得n的最大值．【解答】解：（1）依题意，，a7+a9＝2a8＝2，所以a8＝1，设等差数列{a n}的公差d，（d≠0），则（1+d）2＝1×（1+4d），解得d＝2，所以a n＝a8+（n﹣8）d＝2n﹣15；（2）由（1）可得a1＝﹣13，，由n（n﹣14）＜0得0＜n＜14，又n∈N*，所以n的最大值为13．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的综合计算，属于基础题．7．（2022秋•兴庆区校级月考）等差数列{a n}中，a3+a4＝4，a5+a7＝6．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝[a n]，求数列{b n}的前5项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．【分析】（1）直接利用等差数列的性质建立方程组，进一步求出首项和公差，进一步求出数列的通项公式．（2）利用数列的通项公式和取整问题的应用求出数列的和．【解答】解：（1）设首项为a1，公差为d的等差数列{a n}中，a3+a4＝4，a5+a7＝6．故，解得，整理得．（2）由（1）知：，当n＝1，2，3时，，故b n＝1，当n＝4，5时，，故b n＝2，所以数列{b n}的前5项和为3+2×2＝7．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的取整问题，数列的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．8．（2022秋•河南月考）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1＝1，2S n+1＝S n+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n＝a n+，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】（1）由2S n+1＝S n+2，构造得2（S n+1﹣2）＝S n﹣2，从而知数列{S n﹣2}是首项为﹣1，公比为的等比数列，求得S n后，再利用a n＝S n﹣S n﹣1（n≥2），即可得解，注意检验n＝1的情形；（2）采用分组求和法，结合等比数列的前n项公式，得解．【解答】解：（1）由2S n+1＝S n+2，知2（S n+1﹣2）＝S n﹣2，即＝，又S1﹣2＝a1﹣2＝1﹣2＝﹣1，所以数列{S n﹣2}是首项为﹣1，公比为的等比数列，所以S n﹣2＝﹣1•＝﹣，所以S n＝2﹣，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2﹣﹣2+＝，而a1＝1，满足上式，所以a n＝．（2）b n＝a n+＝2n﹣1+，所以T n＝20+21+…+2n﹣1+++…+＝+＝2n﹣+1．【点评】本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握利用a n＝S n﹣S n﹣1（n≥2）和构造法求通项公式，等比数列的前n项和公式，分组求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9．（2022秋•包头月考）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝6，S6＝S7．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并求S n的最大值．【考点】等差数列的前n项和．【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】（1）根据已知条件，结合等差数列的性质，求出公差，即可求解．（2）根据已知条件，结合等差数列的前n项和公式，即可求解．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵S6＝S7，∴a7＝0，∴6d＝a7﹣a1＝0﹣6＝﹣6，解得d＝﹣1，故a n＝a1+（n﹣1）×（﹣1）＝﹣n+7．（2）由（1）可知，a1＝6，d＝﹣1，S n＝＝＝+，当n＝6或7时，S n取得最大值21．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式，考查转化能力，属于中档题．10．（2022•青羊区校级开学）已知公差d不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝6，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列，c n＝a n+b n，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（1）直接利用等差数列的性质求出数列的首项和公差，进一步求出数列的通项公式，（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法的应用求出数列的和．【解答】解：（1）设数列的首项为a1，公差d不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足a3＝6，，所以，整理得，解得：，故a n＝2+2（n﹣1）＝2n．（2）由（1）得：，故＝．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，分组法的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．11．（2022•南关区校级开学）已知二次函数f（x）＝x2﹣5x+10，当x∈（n，n+1]（n∈N*）时，把f（x）在此区间内的整数值的个数表示为a n．（1）求a1和a2，并求n≥3时a n的表达式；（2）令b n＝，数列{b n}的前n项和为S n（n≥3），求证：S n＜．【考点】数列的求和．【专题】分类讨论；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．【分析】（1）分n＝1，n＝2和n⩾3三种情况，结合二次函数的图象与性质，分类讨论求a n；（2）由（1）知，a1＝2，a2＝1，a n＝2n﹣4（n⩾3），先直接写出b1和b2的值，再结合裂项求和法，即可得证．【解答】（1）解：对于二次函数f（x）＝x2﹣5x+10，开口向上，对称轴为x＝，当x∈（1，2]时，f（x）单调递减，∵f（1）＝6，f（2）＝4，∴a1＝2，当x∈（2，3]时，f（x）在（2，）上递减，在（，3]上递增，∵，∴a2＝1，当n⩾3时，函数f（x）在（n，n+1]（n∈N*）上单调递增，∴f（x）＞f（n）＝n2﹣5n+10，f（x）≤f（n+1）＝n2﹣3n+6，∴a n＝f（n+1）﹣f（n）＝2n﹣4，n⩾3，综上所述，a1＝2，a2＝1，a n＝2n﹣4（n⩾3）．（2）证明：由（1）知，a1＝2，a2＝1，a n＝2n﹣4（n⩾3），∴，而b1＝＝，b2＝＝，∴数列{b n}的前n项和S n＝++（1﹣+++……+﹣）＝1+（1﹣），∵n≥3，∴＞0，∴1﹣＜1，∴S n＝1+（1﹣）＜1+＝，得证．【点评】本题主要考查数列的求和，熟练掌握二次函数的图象与性质，裂项求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12．（2022秋•太和县校级月考）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等差数列{b n}的公差为1，且．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】（1）利用当n≥2时，，可求得a n＝2n+2b1﹣3，进而求得数列{a n}的公差为2，再由，解得b1＝1，从而求得数列{a n}和数列{b n}的通项公式；（2）利用裂项相消法求和即得所求．【解答】解：（1）由b n＝b1+（n﹣1）＝n+b1﹣1可得，当n⩾2时，＝n+b1﹣1+n﹣1+b1﹣1＝2n+2b1﹣3，则a n+1＝2（n+1）+2b1﹣3＝2n+2b1﹣1，所以a n+1﹣a n＝2，即数列{a n}的公差为2，又，所以，解得b1＝1，故数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1，数列{b n}的通顶公式为b n＝n；（2）由（1）可知，，所以，．【点评】本题考查了数列的递推关系以及裂项相消求和计算，属于中档题．13．（2022秋•五华区校级月考）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n﹣1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足a n•b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】方程思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】（1）利用n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1；n＝1时，a1＝2a1﹣1，解得a1，利用等比数列的通项公式即可得出a n．（2）由数列{b n}满足a n•b n＝log2a n，可得b n＝．利用错位相减法即可得出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵S n＝2a n﹣1，∴n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣1﹣（2a n﹣1﹣1），化为：a n＝2a n﹣1，n＝1时，a1＝2a1﹣1，解得a1＝1，∴数列{a n}是等比数列，首项为1，公比为2，∴a n＝2n﹣1．（2）∵数列{b n}满足a n•b n＝log2a n，∴2n﹣1b n＝，解得b n＝．∴数列{b n}的前n项和T n＝0++++…+，∴T n＝0++++…++，相减可得：T n＝++…+﹣＝﹣，整理为：T n＝2﹣．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（2022•安徽开学）已知数列{a n}，{b n}满足b n＝，且数列{b n}的前n项和为．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知c n＝，记数列{c n}的前n项和为S n，求证：S n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．【分析】（1）易知b n＝﹣＝（n≥2），再检验n＝1的情形，从而得b n，然后代入b n＝中，化简运算，即可；（2）结合（1）中所得结论，可知c n＝•（﹣），然后裂项求和，即可得证．【解答】（1）解：∵数列{b n}的前n项和为，∴b n＝﹣＝（n≥2），当n＝1时，b1＝满足上式，∴b n＝，由b n＝，知a n＝（+5）＝（3n+5）．（2）证明：由（1）知，a n+1＝（3n+8），a n+2＝（3n+11），∴c n＝＝＝•（﹣），∴S n＝•[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]＝•（﹣）＝＜＝．【点评】本题考查数列的求和，熟练掌握利用a n＝S n﹣S n﹣1（n≥2）求通项公式，裂项求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．15．（2021秋•昆山市月考）已知数列{a n}满足a2＝2，a n+1＝．（1）记b n＝a2n﹣1，写出b1，b2，并求出数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．【分析】（1）由递推公式得出b1，b2，再由a2n＝a2n﹣1+1＝a2n﹣1﹣1，a2n+1＝a2n+3两式相加结合等差数列的定义得出数列{b n}的通项公式；（2）讨论n为奇数和偶数两种情况，结合等差数列的求和公式得出前n项和S n．【解答】解：（1）∵a2＝a1﹣1＝2，∴a1＝3，故b1＝a1＝3，b2＝a3＝a2+3＝5，由题意可知，a2n＝a2n﹣1+1＝a2n﹣1﹣1①，a2n+1＝a2n+3②，由①+②可得，a2n+1﹣a2n﹣1＝2，即{a2n﹣1}是首项为3，公差为2的等差数列，则a2n﹣1＝3+2（n﹣1）＝2n+1，故b n＝2n+1；（2）∵a2n＝a2n﹣1﹣1，a2n﹣1＝a2n﹣2+3，两式相加得a2n﹣a2n﹣2＝2，故{a2n}是首项为2，公差为2的等差数列，则a2n＝2+2（n﹣1）＝2n，当n为奇数时，S n＝a1+a2+a3+⋯+a n﹣1+a n＝（a1+a3+⋯+an）+（a2+a4+⋯+an﹣1）＝＝，当n为偶数时，S n＝a1+a2+a3+⋯+a n﹣1+a n＝（a1+a3+⋯+an﹣1）+（a2+a4+⋯+an）＝．【点评】本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的求和公式，属于中档题．考点卡片1．等差数列的通项公式【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为a n＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为a m，则第n项为a n＝a m+（n﹣m）d．【例题解析】eg1：已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2+1，求数列{a n}的通项公式，并判断{a n}是不是等差数列解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，∴a n＝，把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，∴{a n}不是等差数列考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中a n的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．eg2：已知等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为解：∵等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，解得a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，∴数列a n是以1为首项，4为公差的等差数列，∴a n＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．【考点点评】求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．2．等差数列的前n项和【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d 表示．其求和公式为S n＝na1+n（n﹣1）d或者S n＝【例题解析】eg1：设等差数列的前n项和为S n，若公差d＝1，S5＝15，则S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+d＝5a1+10＝15，即a1＝1，则S10＝10a1+d＝10+45＝55．故答案为：55点评：此题考查了等差数列的前n项和公式，解题的关键是根据题意求出首项a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差数列{a n}的前n项和S n＝4n2﹣25n．求数列{|a n|}的前n项的和T n．解：∵等差数列{a n}的前n项和S n＝4n2﹣25n．∴a n＝S n﹣S n﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，该等差数列为﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3项为负，其和为S3＝﹣39．∴n≤3时，T n＝﹣S n＝25n﹣4n2，n≥4，T n＝S n﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴．点评：本题考查等差数列的前n项的绝对值的和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．其实方法都是一样的，要么求出首项和公差，要么求出首项和第n项的值．【考点点评】等差数列比较常见，单独考察等差数列的题也比较简单，一般单独考察是以小题出现，大题一般要考察的话会结合等比数列的相关知识考察，特别是错位相减法的运用．3．等比数列的通项公式【知识点的认识】1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．2．等比数列的通项公式设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则它的通项a n＝a1•q n﹣13．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2＝a•b（ab≠0）4．等比数列的常用性质（1）通项公式的推广：a n＝a m•q n﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{a n}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则a k•a l＝a m•a n（3）若{a n}，{b n}（项数相同）是等比数列，则{λa n}（λ≠0），{a}，{a n•b n}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{a n}是递增数列；或⇔{a n}是递减数列；q＝1⇔{a n}是常数列；q＜0⇔{a n}是摆动数列．4．等比数列的前n项和【知识点的知识】1．等比数列的前n项和公式等比数列{a n}的公比为q（q≠0），其前n项和为S n，当q＝1时，S n＝na1；当q≠1时，S n＝＝．2．等比数列前n项和的性质公比不为﹣1的等比数列{a n}的前n项和为S n，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为q n．5．数列的求和【知识点的知识】就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差数列前n项和公式：S n＝na1+n（n﹣1）d或S n＝②等比数列前n项和公式：③几个常用数列的求和公式：（2）错位相减法：适用于求数列{a n×b n}的前n项和，其中{a n}{b n}分别是等差数列和等比数列．（3）裂项相消法：适用于求数列{}的前n项和，其中{a n}为各项不为0的等差数列，即＝（）．（4）倒序相加法：推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+a n）．（5）分组求和法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．【典型例题分析】典例1：已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）令b n＝（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：＝＝．解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1；S n＝＝n2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n＝2n+1，∴b n＝＝＝＝，∴T n＝＝＝，即数列{b n}的前n项和T n＝．点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．【解题方法点拨】数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．6．数列递推式【知识点的知识】1、递推公式定义：如果已知数列{a n}的第1项（或前几项），且任一项a n与它的前一项a n（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．﹣12、数列前n项和S n与通项a n的关系式：a n＝．在数列{a n}中，前n项和S n与通项公式a n的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．注意：（1）用a n＝S n﹣S n﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由a n的表达式，则a n不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．（2）一般地当已知条件中含有a n与S n的混合关系时，常需运用关系式a n＝S n﹣S n﹣1，先将已知条件转化为只含a n或S n的关系式，然后再求解．3、数列的通项的求法：（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．（2）已知S n（即a1+a2+…+a n＝f（n））求a n，用作差法：a n＝．一般地当已知条件中含有a n与S n的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解．（3）已知a1•a2…a n＝f（n）求a n，用作商法：a n，＝．（4）若a n+1﹣a n＝f（n）求a n，用累加法：a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知＝f（n）求a n，用累乘法：a n＝（n≥2）．（6）已知递推关系求a n，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，①形如a n＝ka n﹣1+b、a n＝ka n﹣1+b n（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求a n．②形如a n＝的递推数列都可以用倒数法求通项．（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．7．等差数列与等比数列的综合【知识点的知识】1、等差数列的性质（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则a m＝a n+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则a s+a t＝a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有a s+a t＝2a p；（5）若数列{a n}，{b n}均是等差数列，则数列{ma n+kb n}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）a n，a n﹣1，a n﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2a n+1＝a n+a n+2，2a n＝a n﹣m+a n+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）a m，a m+k，a m+2k，a m+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．2、等比数列的性质．（1）通项公式的推广：a n＝a m•q n﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{a n}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则a k•a l＝a m•a n（3）若{a n}，{b n}（项数相同）是等比数列，则{λa n}（λ≠0），{a}，{a n•b n}，仍是等比数列．（4）单调性：或⇔{a n}是递增数列；或⇔{a n}是递减数列；q＝1⇔{a n}是常数列；q＜0⇔{a n}是摆动数列．8．数学归纳法【知识点的认识】1．数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n＝n0时命题成立；（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．9．归纳推理【知识点的认识】1．归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理．推理形式：设S＝{A1，A2，A3，…，A n，…}，2．特点：（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围；（2）归纳推理得到的结论具有猜测性质，结论是否真实，需要通过逻辑证明和实践检验，不能作为数学证明的工具；（3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．3．作用：（1）获取新知，发现真理；（2）说明和论证问题．【解题技巧点拨】归纳推理一般步骤：（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理；（2）提出带有规律性的结论，即猜想；（3）检验猜想．【命题方向】归纳推理主要以填空、选择题的形式出现，比较基础，考查对归纳推理的理解，会运用归纳推理得出一般性结论．（1）考查对归纳推理理解掌握归纳推理的定义与特点，注意区分与类比推理、演绎推理的不同．例1：下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤分析：本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对5个命题逐一判断即可得到答案．解答：归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．故①③⑤是正确的故选D点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．例2：下列推理是归纳推理的是（）A．A，B为定点，动点P满足||P A|﹣|PB||＝2a＜|AB|（a＞0），则动点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线B．由a1＝2，a n＝3n﹣1求出S1，S2，S3，猜想出数列{a n}的前n项和S n的表达式C．由圆x2+y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇分析：根据归纳推理的定义，对各个选项进行判断．解答：A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出S n的表达式，属于归纳推理，符合要求．C选项由圆x2+y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆的面积S＝πab，用的是类比推理，不符合要求．D选项用的是演绎推理，不符合要求．故选B．点评：本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系，属于基。