2019届人教B版(理科数学) 3.6 正弦定理和余弦定理 单元测试

1．(2017·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cos C )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是( )
A ．a ＝2b
B ．b ＝2a
C ．A ＝2B
D ．B ＝2A 答案 A
解析 ∵等式右边＝sin A cos C ＋(sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin B ，
等式左边＝sin B ＋2sin B cos C ， ∴sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin B . 由cos C ＞0，得sin A ＝2sin B . 根据正弦定理，得a ＝2b .故选A.
2．(2018·南阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝1
2b ，且a >b ，则B ＝________.
答案 π6
解析 由正弦定理，得sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝1
2sin B ，即sin B sin(A ＋C )＝12sin B ，因为sin B ≠0，所以sin B ＝12，所以B ＝π6或5π
6，又因为a >b ，故B ＝π
6.
3．(2018·沈阳模拟)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )·sin C .若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是________．
答案 5<b 2＋c 2≤6
解析 由正弦定理，可得(a －b )·(a ＋b )＝(c －b )·c ，即b 2＋c 2－a 2
＝bc ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.∵b sin B ＝c sin C ＝3sin π
3
＝2，
∴b 2＋c 2＝4(sin 2B ＋sin 2C )＝4[sin 2B ＋sin 2(A ＋B ) ＝
4⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1－cos2B 2＋1－cos2(A ＋B )2＝3sin2B －cos2B ＋4＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2B －π6＋4. ∵△ABC 是锐角三角形，且A ＝π3，∴B ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，π2，即2B －π
6∈
⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，∴1
2<sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2B －π6≤1，∴5<b 2＋c 2≤6.
4．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 2
3sin A .
(1)求sin B sin C ；
(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解 (1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a
3sin A . 由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A
3sin A . 故sin B sin C ＝2
3.
(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－1
2， 即cos(B ＋C )＝－12，所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π
3. 由题意得12bc sin A ＝a 2
3sin A ，a ＝3，所以bc ＝8. 由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，
即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.
[重点保分两级优选练
A 级
一、选择题
1．(2017·长沙模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c ＝( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6 答案 C
解析 a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ⇒13＝c 2＋9－6c cos60°，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去)．故选C.
2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )
A ．a >b
B ．a <b
C ．a ＝b
D ．a 与b 的大小关系不能确定 答案 A
解析 据题意由余弦定理可得a 2＋b 2－2ab cos120°＝c 2＝(2a )2，化简整理得a 2＝b 2＋ab ，变形得a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＝ab >0，故有a －b >0，即a >b .故选A.
3．(2017·湖南长郡中 六模)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b sin2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则a
b 等于( )
A ．2
B ．3 C. 2 D. 3 答案 A
解析 由2b sin2A ＝a sin B ，得4b sin A cos A ＝a sin B ，由正弦定理得4sin B sin A cos A ＝sin A sin B ，∵sin A ≠0，且sin B ≠0，∴cos A ＝1
4，由余弦定理得a 2＝b 2＋4b 2－b 2，∴a 2＝4b 2，∴a
b ＝2.故选A.
4．(2017·衡水中 调研)在△ABC 中，三边之比a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，则sin A －2sin B
sin2C ＝( )
A ．1
B ．2
C ．－2 D.1
2
答案 B
解析 不妨设a ＝2，b ＝3，c ＝4，故cos C ＝4＋9－162×2×3＝－1
4，故
sin A －2sin B sin2C ＝a －2b 2c cos C ＝2－6
8×⎝
⎛⎭
⎪
⎫－14＝2，故选B.
5．在△ABC 中，A ，B ，C 是三角形的三个内角，a ，b ，c 是三个内角对应的三边，已知b 2＋c 2＝a 2＋bc .若sin B sin C ＝3
4，△ABC 的形状( )
A ．等边三角形
B ．不含60°的等腰三角形
C ．钝角三角形
D ．直角三角形
答案 A
解析 在△ABC 中，由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc ，由已知，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝1
2.
∵0<A <π，故A ＝π
3.
∵A ＋B ＋C ＝π，A ＝π3，∴C ＝2π
3－B .
由sin B sin C ＝3
4，得sin B sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3－B ＝34.
即sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3cos B －cos 2π3sin B ＝3
4. 32sin B cos B ＋12sin 2B ＝34， 34sin2B ＋14(1－cos2B )＝34，
32sin2B －1
2cos2B ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＝1. 又∵－π6<2B －π6<7π
6，
∴2B －π6＝π2，即B ＝π
3.
∴C ＝π
3，也就是△ABC 为等边三角形．故选A.
6．(2014·江西高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2
＝(a －b )2
＋6，C ＝π
3，则△ABC 的面积是( )
A ．3 B.932 C.33
2 D ．
3 3 答案 C
解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π
3，∴由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，②
由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝33
2， 故
选C.
7．(2018·上海杨浦质量调研)设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( )
A ．(2，3)
B ．(1，3)
C ．(2，2)
D ．(0,2) 答案 A
解析 由a sin A ＝b sin B ＝b
sin2A ，得b ＝2cos A . π2<A ＋B ＝3A <π，从而π6<A <π3. 又2A <π2，所以A <π4，
所以π6<A <π4，22<cos A <3
2，所以2<b < 3.故选A.
8．(2014·全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是1
2，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )
A ．5 B. 5 C ．2 D ．1 答案 B
解析 S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝2
2，∴B ＝45°或135°.若B ＝45°，则由余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2
－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×⎝
⎛⎭⎪⎫－22＝5，∴AC ＝ 5.故选B.
9．(2018·辽宁五校第一次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若直线bx ＋y cos A ＋cos B ＝0与ax ＋y cos B ＋cos A ＝0平行，则△ABC 一定是( )
A ．锐角三角形
B ．等腰三角形
C ．直角三角形
D ．等腰或者直角三角形 答案 C
解析 由两直线平行可得b cos B －a cos A ＝0，由正弦定理可知sin B cos B －sin A cos A ＝0，即12sin2A ＝1
2sin2B ，又A 、B ∈(0，π)，且A ＋B ∈(0，π)，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π
2.若A ＝B ，则a ＝b ，cos A ＝cos B ，此时两直线重合，不符合题意，舍去，故A ＋B ＝π
2，则△ABC 是直角三角形，故选C.
10．(2017·武昌调研)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2b sin C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( )
A ．4
B ．3 3
C ．8
D ．6 3 答案 C
解析 a ＝2b sin C ⇒sin A ＝2sin B sin C ⇒sin(B ＋C )＝2sin B sin C ⇒tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，又根据三角形中的三角恒等式tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C (注：tan A ＝tan(π－B －C )＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C
1－tan B tan C
，
即tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C )⇒tan B tan C ＝tan A
tan A －2
，
∴tan A tan B tan C ＝tan A ·tan A tan A －2＝m 2
m －2(tan A ＝m )，令m －2＝t ⇒
(t ＋2)2t ＝t ＋4t ＋4≥8，当且仅当t ＝4
t ，即t ＝2，tan A ＝4时，取等号．故选C.
二、填空题
11．(2015·重庆高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－1
4，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.
答案 4
解析 由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝3
2a ＝3.
由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，得－14＝22＋32－c
2
2×2×3
，解得c ＝4.
12．(2018·河北唐山一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90°，则cos B ＝________.
答案 34
解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . ∴2sin B ＝sin A ＋sin C .
∵A －C ＝90°，∴2sin B ＝sin(90°＋C )＋sin C . ∴2sin B ＝cos C ＋sin C . ∴2sin B ＝2sin(C ＋45°)．①
∵A ＋B ＋C ＝180°且A －C ＝90°，∴C ＝45°－B 2，代入①式中，2sin B ＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫90°－B 2. ∴2sin B ＝2cos B
2. ∴4sin B 2cos B 2＝2cos B 2. ∴sin B 2＝24.
∴cos B ＝1－2sin 2B
2＝1－14＝3
4.
13．(2018·沈阳监测)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值为________．
答案 8
解析 由题意得4×1
2bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc .
又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入上式得2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ， 即sin A ＋cos A ＝1，2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫A ＋π4＝1，
又0<A <π，∴π4<A ＋π4<5π4，∴A ＋π4＝3π
4， ∴A ＝π2，S ＝12bc sin A ＝1
2bc ，又b ＋c ＝8≥2bc ， 当且仅当b ＝c 时取“＝”，∴bc ≤16， ∴S 的最大值为8.
14．(2017·浙江高考)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.
答案
15
2
104
解析 依题意作出图形，如图所示，
则sin ∠DBC ＝sin ∠ABC .
由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2，
则cos ∠ABC ＝14，sin ∠ABC ＝15
4. 所以S △BDC ＝1
2BC ·BD ·sin ∠DBC ＝12×2×2×154＝152.
因为cos ∠DBC ＝－cos ∠ABC ＝－14＝BD 2＋BC 2－CD
2
2BD ·BC
＝8－CD 2
8，所以CD ＝10.
由余弦定理，得cos ∠BDC ＝4＋10－42×2×10
＝10
4.
B 级
三、解答题
15．(2018·郑州质检)已知△ABC 的外接圆直径为43
3，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C ＝60°.
(1)求a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C 的值；
(2)若a ＋b ＝ab ，求△ABC 的面积． 解 (1)因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝43
3， 所以a ＝433sin A ，b ＝433sin B ，c ＝43
3sin C . 所以a ＋b ＋c
sin A ＋sin B ＋sin C ＝43
3(sin A ＋sin B ＋sin C )sin A ＋sin B ＋sin C ＝433.
(2)由c ＝433sin C ，得c ＝433×3
2＝2，
c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，又a ＋b ＝ab ，
所以(ab )2－3ab －4＝0，解得ab ＝4或ab ＝－1(舍去)，所以S △ABC
＝12ab sin C ＝12×4×3
2＝ 3.
16．(2017·湖北四校联考)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin 2A ＋sin A sin B －6sin 2B ＝0.
(1)求a
b 的值；
(2)若cos C ＝3
4，求sin B 的值．
解 (1)因为sin 2A ＋sin A sin B －6sin 2B ＝0，sin B ≠0，
所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin A sin B 2＋sin A sin B －6＝0，得sin A sin B ＝2或sin A sin B ＝－3(舍去)． 由正弦定理得a b ＝sin A sin B ＝2.
(2)由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3
4.① 将a
b ＝2，即a ＝2b 代入①，得5b 2－
c 2＝3b 2， 得c ＝2b .
由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 2
2ac ，得 cos B ＝(2b )2＋(2b )2－b 22×2b ×2b ＝528，
则sin B ＝1－cos 2B ＝14
8.
17．(2018·海淀区模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .满足2a cos C ＋c cos A ＝b .
(1)求角C 的大小；
(2)求sin A cos B ＋sin B 的最大值．
解 (1)由正弦定理及2a cos C ＋c cos A ＝b ， 得2sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin B . 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， ∴A ＋C ＝π－B ，即sin(A ＋C )＝sin B .
∴2sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＋sin A cos C ＝sin B ＋sin A cos C ＝sin B ，
∴sin A cos C ＝0，
又∵0<A <π，0<C <π，
∴sin A >0.
∴cos C ＝0，
∴C ＝π2.
(2)由(1)得C ＝π2，
∴A ＋B ＝π2，即A ＝π2－B .
∵sin A cos B ＋sin B ＝cos 2B ＋sin B ＝－sin 2B ＋sin B ＋1＝－⎝
⎛⎭⎪⎫sin B －122＋54. ∵0<B <π2，
∴当sin B ＝12，即B ＝π6时，
sin A cos B ＋sin B 取得最大值54.
18．已知等腰三角形ABC 满足AB ＝AC ，3BC ＝2AB ，点D 为BC 边上一点且AD ＝BD .
(1)求tan ∠ADB 的值；
(2)若CD ＝33，求S △ABC .
解 (1)如图，设AB ＝AC ＝a ，AD ＝BD ＝b ，由3BC ＝2AB 得，BC ＝233a .
在△ABC 中，由余弦定理得，
cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 2
2AB ·BC ＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 32－a 22a ·233a
＝33，
∴∠ABC 是锐角，
则sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝63. 在△ABD 中，由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos ∠ABD ，
得b 2＝a 2＋b 2
－233ab ，解得a ＝233b . 由正弦定理AD sin ∠ABD ＝AB sin ∠ADB ，得b 6
3
＝a sin ∠ADB ，解得sin ∠ADB ＝223，
又2b 2>a 2，∴∠ADB 为锐角，
∴cos ∠ADB ＝1－sin 2∠ADB ＝13，tan ∠ADB ＝2 2.
(2)由已知可得
3⎝
⎛⎭⎪⎫b ＋33＝2a ，① 由(1)可知a ＝233b ，②
联立①②得a ＝2，b ＝ 3.
过A作AH⊥BC于H，则H为BC的中点，易求得DH＝
3 3.
则tan∠ADB＝AH
3
3
＝2 2.
∴AH＝26 3，
∴S△ABC＝1
2×
43
3×
26
3＝
42
3.。