角度的存在性(讲义及答案)

空间几何中的角度概念角度是几何学中一个重要的概念，它在空间几何中具有广泛的应用。

本文将介绍角度的定义、分类以及与其他几何概念的关系，旨在帮助读者更好地理解和运用角度概念。

一、角度的定义角度是由两条射线共同确定的几何形状，通常用大写字母表示。

我们常用度（°）作为角度的单位进行计量。

例如，当两条射线在同一平面内时，它们之间的夹角即为角度。

二、角度的分类根据角度的大小，我们可以将角度分为三种不同的类型：锐角、直角和钝角。

1. 锐角锐角指的是小于90°的角度。

在平面几何中，锐角通常用尖角符号（<）表示。

例如，当两条射线之间的夹角小于90°时，我们可以称之为锐角。

2. 直角直角是指恰好等于90°的角度。

在平面几何中，直角通常用符号“⊥”或一个小方块表示。

例如，当两条射线之间的夹角等于90°时，我们称之为直角。

3. 钝角钝角是指大于90°但小于180°的角度。

在平面几何中，钝角通常用符号“>”表示。

例如，当两条射线之间的夹角大于90°时，我们可称之为钝角。

三、角度与其他几何概念的关系角度的概念在几何学中与其他几何概念密切相关，下面将介绍一些与角度相关的重要几何概念。

1. 相关性质角度的相关性质是指角度之间的比较关系，主要有对顶角、邻补角和对补角三种。

（1）对顶角对顶角是指两个相邻角度之间的关系，它们的和等于180°。

例如，在三角形中，对顶角之和等于180°。

（2）邻补角邻补角是指两个相邻角度之间的关系，它们的和等于90°。

例如，在直角三角形中，两个锐角是邻补角。

（3）对补角对补角是指两个相互补充的角度之间的关系，它们的和等于180°。

例如，在平行线产生的锐角与对顶角之间的关系就是对补角。

2. 角度的运算在几何学中，角度可以进行加法和乘法运算。

加法运算指的是两个角度进行相加，乘法运算指的是两个角度进行相乘。

二次函数与几何的动点及最值、存在性问题目录题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题题型03已知点关于直线对称点问题题型04特殊角度存在性问题题型05将军饮马模型解决存在性问题题型06二次函数中面积存在性问题题型07二次函数中等腰三角形存在性问题题型08二次函数中直角三角形存在性问题题型09二次函数中全等三角形存在性问题题型10二次函数中相似三角形存在性问题题型11二次函数中平行四边形存在性问题题型12二次函数中矩形存在性问题题型13二次函数中菱形存在性问题题型14二次函数中正方形存在性问题二次函数常见存在性问题：(1)等线段问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再利用点到点或点到直线的距离公式列出方程或方程组，然后解出参数的值，即可以将线段表示出来.【说明】在平面直角坐标系中该点在某一函数图像上，设该点的横坐标为m，则可用含m字母的函数解析式来表示该点的纵坐标，简称“设横表纵”或“一母式”.(2)平行y轴动线段最大值与最小值问题：将动点坐标用函数解析式以“一母式”的结构表示出来，再用纵坐标的较大值减去较小值，再利用二次函数的性质求出动线段的最大值或最小值.(3)求已知点关于直线对称点问题：先求出直线解析式，再利用两直线垂直的性质(两直线垂直，斜率之积等于-1)求出已知点所在直线的斜率及解析式，最后用中点坐标公式即可求出对称点的坐标.(4)“抛物线上是否存在一点，使其到某一直线的距离为最值”的问题：常常利用直线方程与二次函数解析式联立方程组，求出切点坐标，运用点到直线的距离公式进行求解.(5)二次函数与一次函数、特殊图形、旋转及特殊角度综合：图形或一次函数与x 轴的角度特殊化，利用与角度有关知识点求解函数图像上的点，结合动点的活动范围，求已知点与动点是否构成新的特殊图形.2.二次函数与三角形综合(1)将军饮马问题:本考点主要分为两类：①在定直线上是否存在点到两定点的距离之和最小;②三角形周长最小或最大的问题，主要运用的就是二次函数具有对称性.(2)不规则三角形面积最大或最小值问题:利用割补法将不规则三角形分割成两个或以上的三角形或四边形，在利用“一母式”将动点坐标表示出来，作线段差，用线段差来表示三角形的底或高，用面积公式求出各部分面积，各部分面积之和就是所求三角形的面积.将三角形的面积用二次函数的结构表示出来，再利用二次函数的性质求出面积的最值及动点坐标.(3)与等腰三角形、直角三角形的综合问题:对于此类问题，我们可以利用两圆一线或两线一圆的基本模型来进行计算.问题分情况找点画图解法等腰三角形已知点A ，B 和直线l ，在l 上求点P ，使△PAB 为等腰三角形以AB为腰分别以点A ，B 为圆心，以AB 长为半径画圆，与已知直线的交点P 1，P 2，P 4，P 5即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB =AP ；②AB =BP ；③BP =AP 列方程解出坐标以AB 为底作线段AB 的垂直平分线，与已知直线的交点P 3即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB =AP ；②AB =BP ；③BP =AP 列方程解出坐标问题分情况找点画图解法直角三角形已知点A ，B 和直线l ，在l 上求点P ，使△PAB 为直角三角形以AB为直角边分别过点A ，B 作AB 的垂线，与已知直线的交点P 1，P 4即为所求分别表示出点A ，B ，P 的坐标，再表示出线段AB ，BP ，AP 的长度，由①AB 2=BP 2+AP 2；②BP 2=AB 2+AP 2；③AP 2=AB 2+BP 2列方程解出坐标以AB 为斜边以AB 的中点Q 为圆心，QA 为半径作圆，与已知直线的交点P 2，P 3即为所求注：其他常见解题思路有：①作垂直，构造“三垂直”模型，利用相似列比例关系得方程求解；②平移垂线法：若以AB 为直角边，且AB 的一条垂线的解析式易求(通常为过原点O 与AB 垂直的直线)，可将这条直线分别平移至过点A 或点B 得到相应解析式，再联立方程求解．(4)与全等三角形、相似三角形的综合问题:在没有指定对应点的情况下，理论上有六种情况需要讨论，但在实际情况中，通常不会超过四种，要注意边角关系，积极分类讨论来进行计算.情况一探究三角形相似的存在性问题的一般思路：解答三角形相似的存在性问题时，要具备分类讨论思想及数形结合思想，要先找出三角形相似的分类标准，一般涉及动态问题要以静制动，动中求静，具体如下：①假设结论成立，分情况讨论．探究三角形相似时，往往没有明确指出两个三角形的对应点(尤其是以文字形式出现求证两个三角形相似的题目)，或者涉及动点问题，因动点问题中点的位置的不确定，此时应考虑不同的对应关系，分情况讨论；②确定分类标准．在分类时，先要找出分类的标准，看两个相似三角形是否有对应相等的角，若有，找出对应相等的角后，再根据其他角进行分类讨论来确定相似三角形成立的条件；若没有，则分别按三种角对应来分类讨论；③建立关系式，并计算．由相似三角形列出相应的比例式，将比例式中的线段用所设点的坐标表示出来(其长度多借助勾股定理运算)，整理可得一元一次方程或者一元二次方程，解方程可得字母的值，再通过计算得出相应的点的坐标．情况二探究全等三角形的存在性问题的思路与探究相似三角形的存在性问题类似，但是除了要找角相等外，还至少要找一组对应边相等．3.二次函数与四边形的综合问题特殊四边形的探究问题解题步骤如下：①先假设结论成立；②设出点坐标，求边长；③建立关系式，并计算．若四边形的四个顶点位置已确定，则直接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨论：a.探究平行四边形：①以已知边为平行四边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形的对边相等进行计算；②以已知边为平行四边形的对角线，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算；③若平行四边形的各顶点位置不确定，需分情况讨论，常以已知的一边作为一边或对角线分情况讨论．b.探究菱形：①已知三个定点去求未知点坐标；②已知两个定点去求未知点坐标，一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等的性质列关系式．c.探究正方形：利用正方形对角线互相垂直平分且相等的性质进行计算，一般是分别计算出两条对角线的长度，令其相等，得到方程再求解．d.探究矩形：利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理列关系式求解.题型01平行y轴动线段最大值与最小值问题1(2023·广东东莞·一模)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC =3，顶点为D．(1)求此函数的关系式；(2)在AC 下方的抛物线上有一点N ，过点N 作直线l ∥y 轴，交AC 与点M ，当点N 坐标为多少时，线段MN 的长度最大？最大是多少？(3)在对称轴上有一点K ，在抛物线上有一点L ，若使A ，B ，K ，L 为顶点形成平行四边形，求出K ，L 点的坐标．(4)在y 轴上是否存在一点E ，使△ADE 为直角三角形，若存在，直接写出点E 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)y =x 2+2x -3(2)当N 的坐标为-32,-154 ，MN 有最大值94(3)K -1，4 ，L -1，-4 或K -1，12 ，L -5，12 或K -1，12 ，L 3，12(4)存在，点E 的坐标为0,32 或0,-72或0,-1 或0,-3【分析】(1)由OA =OC =3求得A -3,0 ,C 0，-3 ,再分别代入抛物线解析式y =x 2+bx +c ，得到以b ，c 为未知数的二元一次方程组，求出b ，c 的值即可；(2)求出直线AC 的解析式，再设出M 、N 的坐标，把MN 表示成二次函数，配方即可；(3)根据平行四边形的性质，以AB 为边，以AB 为对角线，分类讨论即可；(4)设出E 的坐标，分别表示出△ADE 的平分，再分每一条都可能为斜边，分类讨论即可．【详解】(1)∵抛物线y =x 2+bx +c 经过点A ，点C ，且OA =OC =3,∴A -3,0 ,C 0，-3 ,∴将其分别代入抛物线解析式，得c =-39-3b +c =0，解得b =2c =-3 ．故此抛物线的函数表达式为：y =x 2+2x -3；(2)设直线AC 的解析式为y =kx +t ，将A -3,0 ,C 0，-3 代入，得t =-3-3k +t =0 ，解得k =-1t =-3 ，∴直线AC 的解析式为y =-x -3，设N 的坐标为n ，n 2+2n -3 ，则M n ，-n -3 ，∴MN =-n -3-n 2+2n -3 =-n 2-3n =-n +32 +94，∵-1<0，∴当n =-32时，MN 有最大值，为94，把n =-32代入抛物线得，N 的坐标为-32,-154，当N 的坐标为-32,-154 ，MN 有最大值94；(3)①当以AB 为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分，∴KL 必过-1,0 ，∴L 必在抛物线上的顶点D 处，∵y =x 2+2x -3=x +1 2-4，∴K -1，4 ，L -1，-4②当以AB 为边时，AB =KL =4，∵K 在对称轴上x =-1，∴L 的横坐标为3或-5，代入抛物线得L -5,12 或L 3,12 ，此时K 都为-1，12 ，综上，K -1，4 ，L -1，-4 或K -1，12 ，L -5，12 或K -1，12 ，L 3，12 ；(4)存在，由y =x 2+2x -3=x +1 2-4，得抛物线顶点坐标为D -1,-4 ∵A -3，0 ，∴AD 2=-3+1 2+0+4 2=20，设E 0，m ，则AE 2=-3-0 2+0-m 2=9+m 2，DE 2=-1-0 2+-4-m 2=17+m 2+8m ，①AE 为斜边，由AE 2=AD 2+DE 2得：9+m 2=20+17+m 2+8m ，解得：m =-72，②DE 为斜边，由DE 2=AD 2+AE 2得：9+m 2+20=17+m 2+8m ，解得：m =32，③AD 为斜边，由AD 2=ED 2+AE 2得：20=17+m 2+8m +9+m 2，解得：m =-1或-3，∴点E 的坐标为0,32 或0,-72或0,-1 或0,-3 ．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，会运用待定系数法列方程组，两点间距离公式求MN 的长，由平行四边形的性质判定边相等，运用勾股定理列方程．2(2023·河南南阳·统考一模)如图，抛物线与x 轴相交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴的交于点C 0，-4 ，点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m ，过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，作直线AC 交PD 于点E ．已知抛物线的顶点P 坐标为-3，-254．(1)求抛物线的解析式；(2)求点A 、B 的坐标和直线AC 的解析式；(3)求当线段CP =CE 时m 的值；(4)连接BC ，过点P 作直线l ∥BC 交y 轴于点F ，试探究：在点P 运动过程中是否存在m ，使得CE =DF ，若存在直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =14x 2+32x -4(2)A -8，0 ，B 2，0 ，y =-12x -4(3)-4(4)存在，m =2-25或m =-4【分析】(1)运用待定系数法即可求得抛物线的解析式；(2)令y =0，解方程即可求得点A 、B 的坐标，再运用待定系数法即可求得直线AC 的解析式；(3)过点C 作CF ⊥PE 于点F ，根据等腰三角形的性质可得点F 是PE 的中点，设P m ,14m 2+32m -4 ，则E m ，-12m -4 ，可得F m ，18m 2+12m -4 ，再由点F 与点C 的纵坐标相同建立方程求解即可；(4)过C 作CH ⊥PD 于H ，设P m ,14m 2+32m -4 ，由PF ∥BC ，可得直线PF 解析式为y =2x +14m 2-12m -4，进而可得OF =14m 2-12m -4 ，再证得Rt △CHE ≅Rt △DOF HL ，得出∠HCE =∠FDO ，进而推出∠FDO =∠CAO ，即tan ∠FDO =tan ∠CAO ，据此建立方程求解即可．【详解】(1)解：∵抛物线的顶点坐标为-3，-254∴设抛物线的解析式为y =a x +3 2-254，把点C 0，-4 代入，得：-4=9a -254，解得：a =14，∴y =14x +3 2-254=14x 2+32x -4，∴该抛物线的解析式为y =14x 2+32x -4．(2)解：令y =0，得14x 2+32x -4=0，解得：x 1=-8，x 2=2，∴A -8，0 ，B 2，0 ，，设直线AC 的解析式为y =kx +b ，则-8k +b =0b =-4 ，解得：k =-12b =-4 ，∴直线AC 的解析式为y =-12x -4．(3)解：如图，过点C 作CF ⊥PE 于点F ，∵CP =CE ，∴EF =PF ，即点F 是PE 的中点，设P m ,14m 2+32m -4 ，则E m ，-12m -4 ，∴F m ，18m 2+12m -4 ，∵PE ∥y 轴，CF ⊥PE ，∴CF ∥x 轴，∴18m 2+12m -4=-4，解得：m =-4或m =0(不符合题意，舍去)，∴m =-4．(4)解：存在m ，使得CE =DF ，理由如下：如图：过C 作CH ⊥PD 于H ，设P m,14m2+32m-4，由B2，0，C0，-4，由待定系数法可得直线BC解析式为y=2x-4，根据PF∥BC，设直线PF解析式为y=2x+c，将P m,14m2+32m-4代入得：1 4m2+32m-4=2m+c，∴c=14m2-12m-4，∴直线PF解析式为y=2x+14m2-12m-4，令x=0得y=14m2-12m-4，∴F0,14m2-12m-4，∴OF=14m2-12m-4，∵∠CHD=∠PDO=∠COD=90°，∴四边形CODH是矩形，∴CH=OD，∵CE=DF，∴Rt△CHE≅Rt△DOF HL，∴∠HCE=∠FDO，∵∠HCE=∠CAO，∴∠FDO=∠CAO，∴tan∠FDO=tan∠CAO，∴OF OD =OCOA，即14m2-12m-4-m=48=12，∴1 4m2-12m-4=-12m或14m2-12m-4=12m，解得：m=-4或m=4或m=2-25或m=2+25，∵P在第三象限，∴m=2-25或m=-4．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数综合应用、等腰三角形性质、矩形判定及性质、相似三角形判定及性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．3(2023·山东聊城·统考三模)抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A3,0，与y轴交于点C0,3，点P 为抛物线上的动点．(2)若P 为直线AC 上方抛物线上的动点，作PH ∥x 轴交直线AC 于点H ，求PH 的最大值；(3)点N 为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N ，使直线AC 垂直平分线段PN ？若存在，请直接写出点N 的纵坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)b =2，c =3(2)PH 取得最大值为94(3)存在，2-2或2+2【分析】(1)将坐标代入解析式，构建方程求解；(2)设PH 交y 轴于点M ，P m ,-m 2+2m +3 ，则PM =m ；待定系数法确定直线AC 的解析式为y =-x +3，从而确定PH =m -m 2-2m =-m 2+3m =-m -32 2+94，解得PH 最大值为94；(3)如图，设PN 与AC 交于点G ，可设直线PN 的解析式为y =x +p ，设点N (1,n )，求得y =x +(n -1)；联立y =-x +3y =x +(n -1) ，解得x =-n 2+2y =n 2+1，所以点P 的横坐标为2×-n 2+2 -1=-n +3，纵坐标为2×n2+1 -n =2，由二次函数解析式构建方程-(-n +3)2+2(-n +3)+3=2，解得n =2±2；【详解】(1)∵抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴交于点A 3,0 ，与y 轴交于点C 0,3 ，∴-9+3b +c =0c =3，解得：b =2c =3 ，∴b =2，c =3；(2)设PH 交y 轴于点M ，P m ,-m 2+2m +3 ，∴PM =m ，∵PH ∥x 轴，∴点H 的纵坐标为-m 2+2m +3，设直线AC 的解析式为y =kx +n ，∴3k +n =0n =3 ，解得：k =-1n =3 ，∴直线AC 的解析式为y =-x +3．∴-m 2+2m +3=-x +3，∴x =m 2-2m ，∴H m 2-2m ,-m 2+2m +3 ，∴PH =m -m 2-2m =-m 2+3m =-m -322+94，∴当m =32时，PH 取得最大值为94(3)存在点N ，使直线AC 垂直平分线段PN ，点N 的纵坐标为2-2或2+2如图，设PN 与AC 交于点G ，∵AC 垂直平分PN ，直线AC 的解析式为y =-x +3∴可设直线PN 的解析式为y =x +p 设点N (1,n )，则n =1+p ∴p =n -1，∴y =x +(n -1)联立y =-x +3y =x +(n -1) ，解得x =-n 2+2y =n 2+1∴点P 的横坐标为2×-n 2+2 -1=-n +3，纵坐标为2×n 2+1 -n =2∴-(-n +3)2+2(-n +3)+3=2，解得n =2±2∴点N 的纵坐标为2-2或2+2．【点睛】本题考查利用二次函数解析式及点坐标求待定参数、待定系数法确定函数解析式、二次函数极值及其它二次函数综合问题，利用直线间的位置关系、点线间的位置关系，融合方程的知识求解坐标是解题的关键．题型02抛物线上的点到某一直线的距离问题1(2023·广东梅州·统考二模)探究求新：已知抛物线G 1:y =14x 2+3x -2，将抛物线G 1平移可得到抛物线G 2:y =14x 2．(1)求抛物线G 1平移得到抛物线G 2的平移路径；(2)设T 0,t ，直线l ：y =-t ，是否存在这样的t ，使得抛物线G 2上任意一点到T 的距离等于到直线l 的距离？若存在，求出t 的值；若不存在，试说明理由；(3)设H 0,1 ，Q 1,8 ，M 为抛物线G 2上一动点，试求QM +MH 的最小值．参考公式：若点M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 为平面上两点，则有MN =x 1-x 22+y 1-y 2 2．【答案】(1)将G 1向左平移-6个单位，向上平移11个单位(2)存在，1(3)9【分析】(1)设G 1向左平移a 个单位，向上平移b 个单位得到函数G 2，列方程组即可求解；(2)设P x 0,x 204为抛物线G 2上的一点，根据题意列方程即可；(3)点H 坐标与(2)中t =1时的T 点重合，过点M 作MA ⊥l ，垂足为A ，如图所示，则有MH =MA ，当且仅当Q ,M ,A 三点共线时QM +MA 取得最小值．【详解】(1).解：设G 1向左平移a 个单位，向上平移b 个单位得到函数G 2，由平移法则可知14(x +a )2+3(x +a )-2+b =14x 2，整理可得14x 2+3+12a x +14a 2+3a -2+b =14x 2，可得方程组3+12a =014a 2+3a -2+b =0，解得a =-6b =11 ；∴平移路径为将G 1向左平移-6个单位，向上平移11个单位；(2)解：存在这样的t ，且t =1时满足条件，设P x 0,x 204为抛物线G 2上的一点，则点P 到直线l 的距离为x 204+t ，点P 到点T 距离为(x 0-0)2+x 204-t2，联立可得：x 204+t =(x 0-0)2+x 204-t2，两边同时平方合并同类项后可得x 20-x 20t =0解得：t =1；(3)解：点H 坐标与(2)中t =1时的T 点重合，作直线l ：y =-1，过点M 作MA ⊥直线l ，垂足为A ，如图所示，则有MH =MA ，此时QM +MH =QM +MA ，当且仅当Q ,M ,A 三点共线时QM +MA 取得最小值即QM +MA =QA =8-(-1)=9∴QM +MH 的最小值为9；【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及到线段最小值、平移性质等，灵活运用所学知识是关键．2(2023·湖北宜昌·统考一模)如图，已知：点P 是直线l ：y =x -2上的一动点，其横坐标为m (m 是常数)，点M 是抛物线C ：y =x 2+2mx -2m +2的顶点．(1)求点M 的坐标；(用含m 的式子表示)(2)当点P 在直线l 运动时，抛物线C 始终经过一个定点N ，求点N 的坐标，并判断点N 是否是点M 的最高位置？(3)当点P 在直线l 运动时，点M 也随之运动，此时直线l 与抛物线C 有两个交点A ，B (A ，B 可以重合)，A ，B 两点到y 轴的距离之和为d ．①求m 的取值范围；②求d 的最小值．【答案】(1)M -m ,-m 2-2m +2(2)N (1,3)，点N 是点M 的最高位置(3)①m ≤-52或m ≥32；②d 取得最小值为2【分析】(1)将抛物线解析式写成顶点式即可求解；(2)根据解析式含有m 项的系数为0，得出当x =1时，y =3，即N (1,3)，根据二次函数的性质得出-m 2-2m +2=-m +1 2+3的最大值为3，即可得出点N 是点M 的最高位置；(3)①根据直线与抛物线有交点，联立方程，根据一元二次方程根的判别式大于等于0，求得m 的范围，即可求解；②设A ,B 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，其中x 1<x 2，由①可知x 1,x 2是方程x 2+2mx -x -2m +4=0的两根，根据x 1+x 2=-2m +1，分情况讨论，求得d 是m 的一次函数，进而根据一次函数的性质即可求解．【详解】(1)解：y =x 2+2mx -2m +2=x +m 2-m 2-2m +2，∴顶点M -m ,-m 2-2m +2 ，(2)解：∵y =x 2+2mx -2m +2=x 2+2+2m x -1 ，∴当x =1时，y =3，抛物线C 始终经过一个定点1,3 ，即N (1,3)；∵M -m ,-m 2-2m +2 ，-m 2-2m +2=-m +1 2+3，∴M 的纵坐标最大值为3，∴点N 是点M 的最高位置；(3)解：①联立y =x -2y =x 2+2mx -2m +2 ，得x 2+2mx -x -2m +4=0，∵直线l 与抛物线C 有两个交点A ，B (A ，B 可以重合)，∴Δ=b 2-4ac =2m -1 2-4-2m +4 ，=4m 2+4m -15≥0，∵4m 2+4m -15=0，解得m 1=-52,m 2=32，∴当4m 2+4m -15≥0时，m ≤-52或m ≥32，②设A ,B 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，其中x 1<x 2，由①可知x 1,x 2是方程x 2+2mx -x -2m +4=0的两根，∴x1+x 2=-2m +1，当m =-3时，如图所示，y A =0，当-3≤m ≤-52时，y 1≥0,y 2≥0，则d =x 1+x 2 =-2m +1 ，∵-2<0，∴当m =-52时，d 取得最小值为-2×-52 +1=5+1=6，当m ≥32时，d =-x 1+x 2 =--2m +1 =2m -1，∴当m =32时，d 取得最小值为2×32-1=2，综上所述，d 取得最小值为2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3(2023·云南楚雄·统考一模)抛物线y =x 2-2x -3交x 轴于A ，B 两点(A 在B 的左边)，C 是第一象限抛物线上一点，直线AC 交y 轴于点P ．(1)直接写出A ，B 两点的坐标；(2)如图①，当OP =OA 时，在抛物线上存在点D (异于点B )，使B ，D 两点到AC 的距离相等，求出所有满足条件的点D 的横坐标；(3)如图②，直线BP 交抛物线于另一点E ，连接CE 交y 轴于点F ，点C 的横坐标为m ，求FP OP 的值(用含m 的式子表示)．【答案】(1)A (-1,0)，B (3,0)(2)0或3-41或3+41(3)13m 【分析】(1)令y =0，解方程可得结论；(2)分两种情形：①若点D 在AC 的下方时，过点B 作AC 的平行线与抛物线交点即为D 1．②若点D 在AC 的上方时，点D 1关于点P 的对称点G (0,5)，过点G 作AC 的平行线交抛物线于点D 2，D 3，D 2，D 3符合条件．构建方程组分别求解即可；(3)设E 点的横坐标为n ，过点P 的直线的解析式为y =kx +b ，由y =kx +b y =x 2-2x -3 ，可得x 2-(2+k )x -3-b =0，设x 1，x 2是方程x 2-(2+k )x -3-b =0的两根，则x 1x 2=-3-b ，推出x A ⋅x C =x B ⋅x E =-3-b 可得n =-1-b 3，设直线CE 的解析式为y =px +q ，同法可得mn =-3-q 推出q =-mn -3，推出q =-(3+b )-1-b 3 -3=13b 2+2b ，推出OF =13b 2+b ，可得结论．【详解】(1)解：令y =0，得x 2-2x -3=0，解得：x =3或-1，∴A (-1,0)，B (3,0)；(2)∵OP =OA =1，∴P (0,1)，∴直线AC 的解析式为y =x +1．①若点D 在AC 的下方时，过点B 作AC 的平行线与抛物线交点即为D 1．∵B (3,0)，BD 1∥AC ，∴直线BD 1的解析式为y =x -3，由y =x -3y =x 2-2x -3，解得x =3y =0 或x =0y =-3 ，∴D 1(0,-3)，∴D 1的横坐标为0．②若点D 在AC 的上方时，点D 1关于点P 的对称点G (0,5)，过点G 作AC 的平行线l 交抛物线于点D 2，D 3，D 2，D 3符合条件．直线l 的解析式为y =x +5，由y =x +5y =x 2-2x -3 ，可得x 2-3x -8=0，解得：x =3-412或3+412，∴D 2，D 3的横坐标为3-412，3+412，综上所述，满足条件的点D 的横坐标为0，3-412，3+412．(3)设E 点的横坐标为n ，过点P 的直线的解析式为y =kx +b ，由y =kx +b y =x 2-2x -3，可得x 2-(2+k )x -3-b =0，设x 1，x 2是方程x 2-(2+k )x -3-b =0的两根，则x 1x 2=-3-b ，∴x A ⋅x C =x B ⋅x E =-3-b∵x A =-1，∴x C =3+b ，∴m =3+b ，∵x B =3，∴x E =-1-b 3，∴n =-1-b 3，设直线CE 的解析式为y =px +q ，同法可得mn =-3-q∴q =-mn -3，∴q =-(3+b )-1-b 3 -3=13b 2+2b ，∴OF =13b 2+2b ，∴FP OP=13b +1=13(m -3)+1=13m ．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．题型03已知点关于直线对称点问题1(2023·辽宁阜新·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =-x 2+bx -c 的图象与x 轴交于点A (-3,0)和点B (1,0)，与y 轴交于点C ．(1)求这个二次函数的表达式．(2)如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC :y =x +3交于点D ，若点M 是直线AC 上方抛物线上的一个动点，求△MCD 面积的最大值．(3)如图2，点P 是直线AC 上的一个动点，过点P 的直线l 与BC 平行，则在直线l 上是否存在点Q ，使点B 与点P 关于直线CQ 对称？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y =-x 2-2x +3；(2)S △MCD 最大=98；(3)Q 1-5，-5 或1+5，5 ．【分析】(1)根据抛物线的交点式直接得出结果；(2)作MQ ⊥AC 于Q ，作ME ⊥AB 于F ，交AC 于E ，先求出抛物线的对称轴，进而求得C ，D 坐标及CD 的长，从而得出过M 的直线y =x +m 与抛物线相切时，△MCD 的面积最大，根据x +m =-x 2-2x +3的△=0求得m 的值，进而求得M 的坐标，进一步求得CD 上的高MQ 的值，进一步得出结果；(3)分两种情形：当点P 在线段AC 上时，连接BP ，交CQ 于R ，设P (t ，t +3)，根据CP =CB 求得t 的值，可推出四边形BCPQ 是平行四边形，进而求得Q 点坐标；当点P 在AC 的延长线上时，同样方法得出结果．【详解】(1)解：由题意得，y =-(x +3)(x -1)=-x 2-2x +3；(2)解：如图1，作MQ ⊥AC 于Q ，作ME ⊥AB 于F ，交AC 于E ，∵OA =OC =3，∠AOC =90°，∴∠CAO =∠ACO =45°，∴∠MEQ =∠AEF =90°-∠CAO =45°，抛物线的对称轴是直线：x =-3+12=-1，∴y =x +3=-1+3=2，∴D (1,2)，∵C (0,3)，∴CD =2，故只需△MCD 的边CD 上的高最大时，△MCD 的面积最大，设过点M 与AC 平行的直线的解析式为：y =x +m ，当直线y =x +m 与抛物线相切时，△MCD 的面积最大，由x +m =-x 2-2x +3得，x 2+3x +(m -3)=0，由△=0得，32-4(m -3)=0得，m -3=94，∴x 2+3x +94=0，∴x 1=x 2=-32，∴y =--32 2-2×-32 +3=154，y =x +3=-32+3=32，∴ME =154-32=94，∴MQ =ME ⋅sin ∠MEQ =ME ⋅sin45°=94×22=928，∴S △MCD 最大=12×2×928=98；(3)解：如图2，当点P 在线段AC 上时，连接BP ，交CQ 于R ，∵点B 和点Q 关于CQ 对称，∴CP =CB ，设P (t ，t +3)，由CP 2=CB 2得，2t 2=10，∴t 1=-5，t 2=5(舍去)，∴P -5，3-5 ，∵PQ ∥BC ，∴CR =BR =1，∴CR =QR ，∴四边形BCPQ 是平行四边形，∵1+(-5)-0=1-5，0+(3-5)-3=-5，∴Q 1-5，-5 ；如图3，当点P 在AC 的延长线上时，由上可知：P 5，3+5 ，同理可得：Q 1+5，5 ，综上所述：Q 1-5，-5 或1+5，5 ．【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论．2(2023·四川甘孜·统考中考真题)已知抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴相交于A -1，0 ，B 两点，与y 轴相交于点C 0，-3 ．(1)求b ，c 的值；(2)P 为第一象限抛物线上一点，△PBC 的面积与△ABC 的面积相等，求直线AP 的解析式；(3)在(2)的条件下，设E 是直线BC 上一点，点P 关于AE 的对称点为点P ，试探究，是否存在满足条件的点E ，使得点P 恰好落在直线BC 上，如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)b =-2,c =-3.(2)y =x +1(3)存在，点P 的坐标为1+21,-2+21 或1-21,-2-21【分析】(1)由待定系数法即可求解；(2)S △PBC =S △ABC 得到AP ∥BC ，即可求解；(3)由题意的：∠AEP =∠AEP ,P E =PE ，即可求解．【详解】(1)由题意，得1-b +c =0,c =-3.∴b =-2,c =-3.(2)由(1)得抛物线的解析式为y =x 2-2x -3．令y =0，则x 2-2x -3=0，得x 1=-1，x 2=3．∴B 点的坐标为3，0 ．∵S △PBC =S △ABC ，∴AP ∥BC ．∵B 3，0，C 0，-3 ，∵AP∥BC，∴可设直线AP的解析式为y=x+m．∵A(-1，0)在直线AP上，∴0=-1+m．∴m=1．∴直线AP的解析式为y=x+1．(3)设P点坐标为m，n．∵点P在直线y=x+1和抛物线y=x2-2x-3上，∴n=m+1，n=m2-2m-3．∴m+1=m2-2m-3．解得m1=4，m2=-1(舍去)．∴点P的坐标为4，5．由翻折，得∠AEP=∠AEP ,P E=PE．∵AP∥BC，∴∠PAE=∠AEP '．∴∠PAE=∠PEA．∴PE=PA=4+12=52．2+5-0设点E的坐标为t，t-3，则PE2=t-42．2+t-3-52=52∴t=6±21．当t=6+21时，点E的坐标为6+21,3+21．设P (s,s-3),由P E=AP，P E=PE=52得：s-6-212，2=522+s-3-3-21解得：s=1+21，则点P 的坐标为1+21,-2+21．当t=6-21时，同理可得，点P 的坐标为1-21,-2-21．综上所述，点P 的坐标为1+21,-2+21．或1-21,-2-21【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，此题题型较好，综合性比较强，用的数学思想是分类讨论和数形结合的思想．3(2023·江苏连云港·连云港市新海实验中学校考二模)如图，“爱心”图案是由抛物线y=-x2+m的一部分及其关于直线y=-x的对称图形组成，点E、F是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点A、B、C、D是该图案与坐标轴的交点，且点D的坐标为6,0．(1)求m 的值及AC 的长；(2)求EF 的长；(3)若点P 是该图案上的一动点，点P 、点Q 关于直线y =-x 对称，连接PQ ，求PQ 的最大值及此时Q 点的坐标．【答案】(1)m =6，AC =6+6(2)52(3)2542，Q -234,-12【分析】(1)用待定系数法求得m 与抛物线的解析式，再求出抛物线与坐标轴的交点坐标，进而求得A 的坐标，根据对称性质求得B ，C 的坐标，即可求得结果；(2)将抛物线的解析式与直线EF 的解析式联立方程组进行求解，得到E ，F 的坐标，即可求得结果；(3)设P (m ,-m 2+6)，则Q (m 2-6,-m )，可得PQ =2×m -12 2-252 ，即求m -12 2-252的最值，根据二次函数的最值，即可得到m 的值，即可求得．【详解】(1)把D 6,0 代入y =-x 2+m 得0=-6+m解得m =6∴抛物线的解析式为：y =-x 2+6∴A 0,6根据对称性可得B -6,0 ，C 0,-6∴AC =AO +OC =6+6(2)联立y =-x y =-x 2+6解得x =3y =-3 或x =-2y =2 ∴E -2,2 ，F 3,-3∴EF =-2-3 2+2+3 2=52(3)设P (m ,-m 2+6)，则Q (m 2-6,-m )∴PQ =m -m 2-6 2+-m 2+6--m 2整理得PQ =2×m -12 2-254 ∵m -12 2≥0∴当m -12 2=0时，即m =12时，m -12 2-254 有最大值为254∴PQ 的最大值为2542∴12 2-6=-234故Q -234,-12【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，两点间的距离公式，求抛物线与一次函数的交点坐标，二次函数的最值等知识，解题的关键是掌握关于直线y =-x 对称的点坐标的关系．题型04特殊角度存在性问题1(2023·山西忻州·统考模拟预测)如图，抛物线y =18x 2+34x -2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．P 是直线AC 下方抛物线上一个动点，过点P 作直线l ∥BC ，交AC 于点D ，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，PE 交AC 于点F ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标，并求出直线AC 的函数表达式；(2)当线段PF 取最大值时，求△DPF 的面积；(3)试探究在拋物线的对称轴上是否存在点Q ，使得∠CAQ =45°？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A -8,0 ，B 2,0 ，C 0,-2 ．y =-14x -2(2)85(3)存在，-3,3 或-3,-253【分析】(1)对于直线y =18x 2+34x -2，当x =0时，y =-2，即点C 0,-2 ，令18x 2+34x -2=0，则x =2或-8，则点A ，B 的坐标分别为-8,0 ，2,0 即求出三个点的坐标，设直线AC 的表达式为y =kx +b ，利用待定系数法求解即可；(2)设点P 的横坐标为m ，则P m ,18m 2+34m -2 ，F m ,-14m -2 ，表示出PF =-18m 2-m ，求出PF max =2，再表示出点D 到直线PF 的距离d =85，利用S △DPF =12⋅PF ⋅d 进行求解即可；(3)由抛物线的表达式知，其对称轴为x =-3，当点Q 在x 轴上方时，设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，交AC 于H ，故点Q 作QT ⊥AC 于点T ，在△AQH 中,∠CAQ =45°，tan ∠QHA =4，用解直角三角形的方法求出QH =174，即可求出Q 点坐标，当点Q Q 在x 轴上方时，直线AQ 的表达式为y =35x +8 ，当∠CAQ =45°时，AQ ⊥AQ ，即可求解．【详解】(1)解：对于抛物线y =18x 2+34x -2，当x =0时，y =-2，即点C 0,-2 ，令18x 2+34x -2=0，则x =2或-8，则点A ，B 的坐标分别为-8,0 ，2,0 ，即点A ，B ，C 三点的坐标分别为-8,0 ，2,0 ，0,-2 ，设直线AC 的表达式为y =kx +b ，则-8k +b =0b =-2 ，解得k =-14b =-2 ，∴直线AC 的函数表达式为y =-14x -2；(2)设点P 的横坐标为m ，则P m ,18m 2+34m -2 ，F m ,-14m -2 ，PF =-14m -2 -18m 2+34m -2 =-18m 2-m ，当m =--12×-18 =-4时，PF 最大，PF max =-18×(-4)2--4 =2，此时，P -4,-3 ，由B 2,0 ，C 0,-2 ，可得直线BC 的函数表达式为y =x -2，设直线l 的函数表达式为y =x +p ，将P -4,-3 代入可得p =1，∴直线l 的函数表达式为y =x +1，由y =-14x -2y =x +1 ，解得x =-125y =-75，∴D -125,-75 ，点D 到直线PF 的距离d =-125--4 =85，∴S △DPF =12⋅PF ⋅d =12×2×85=85．(3)存在，理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为x =-3，当点Q 在x 轴上方时，如下图：设抛物线的对称轴交x 轴于点N ，交AC 于H ，故点Q 作QT ⊥AC 于点T ，则∠ACO =∠QHA ，则tan ∠ACO =tan ∠QHA =4，当x =3时，y =-14x -2=-54，则点H -3,-54 ，由点A ，H 的坐标得，AH =5174，在△AQH 中，∠CAQ =45°，tan ∠QHA =4，设TH =x ，则QT =4x ，则QH =17x ，则AH =AT +TH =5x =5174，则x =174，则QH =17x =174，则174-54=3，则点Q -3,3 ；当点Q Q 在x 轴上方时，直线AQ 的表达式为y =35x +8 ，当∠CAQ =45°时，AQ ⊥AQ ，则直线AQ 的表达式为y =-53x +8 ，当x =-3时，y =-5x +8 =-25，。

专题13 二次函数中角度、面积及平行四边形存在性问题题型一、角度及平行四边形存在性问题1. （2019·湖北咸宁中考）如图，在平面直角坐标系中，直线221+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线c bx x y ++-=221经过A ,B 两点且与x 轴的负半轴交于点C . （1）求该抛物线的解析式；（2）若点D 为直线AB 上方抛物线上的一个动点，当∠ABD =2∠BAC 时，求点D 的坐标；（3）已知E ,F 分别是直线AB 和抛物线上的动点，当B ,O ,E ,F 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E 点的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）在122y x =-+中，y =0时，x =4；x =0时，y =2， 即A (4,0)，B (0,2),将A 、B 两点坐标代入抛物线解析式，得：8402b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：b =32，c =2， 即抛物线解析式为：213222y x x =-++. （2）如图，过点B 作BE ∥x 轴交抛物线于点E ，过D 作DF ⊥BE 于F ，∴∠BAC =∠ABE ，∵∠ABD =2∠BAC ， ∴∠ABD =2∠ABE ， 即∠DBE =∠BAC ，设点D 的坐标为（x ，213222x x -++），则BF =x ，DF =21322x x -+， ∵tan ∠DBE =DF BF , tan ∠BAC =OBOA,∴DF BF =OB OA，即2132224x x x -+=， 解得：x =0（舍）或x =2， 即点D 的坐标为：（2,3）. （3）B （0,2）,O （0,0）设E 点坐标为（m ，122m -+），F 点坐标为（n ，213222n n -++）， ①若四边形BOEF 是平行四边形，则2113222222m n m n n =⎧⎪⎨-+=-++⎪⎩，解得：22m n =⎧⎨=⎩， 即E 点坐标为（2，1）；②若四边形BOFE 是平行四边形时，则2131222222m n n n m =⎧⎪⎨-++=-+⎪⎩，解得：2222m m n n ⎧⎧=+=-⎪⎪⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩ 即E点坐标为（2+12-1+； ③若四边形BEOF 是平行四边形时，则2=0131222222m n n n m +⎧⎪⎨-++-+=⎪⎩，解得：2222m m n n ⎧⎧=-+=--⎪⎪⎨⎨=-=+⎪⎪⎩⎩， 即E 点坐标为：（2--3）或（2-+3；综上所述，E 点坐标为：（2，1），（2+1，（2-，1，（2--3），（2-+3.题型二、面积、平行四边形存在性问题2. （2019·山西中考）抛物线y =ax 2+bx +6经过点A (－2,0)，B (4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为m （1<m <4）. 连接AC ，BC ，DB ，DC . （1）求抛物线的函数表达式； （2）当△BCD 的面积是△AOC 面积的34时，求m 的值. （3）在（2）条件下，若M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形. 若存在，请直接写出M 点坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】见解析.【解析】解：（1）将A 、B 两点坐标代入y =ax 2+bx +6得： 426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的函数表达式为：233642y x x =-++.（2）过D 作DE ⊥x 轴于E ，交直线BC 与G ，过C 作CF ⊥DE 交ED 的延长线于F ， 如图所示，由题意知A (－2,0)，即OA =2，C (0，6)，即OC =6，∴△AOC 的面积为：1122OA OC ⋅=×2×6=6，∵△BCD 的面积是△AOC 面积的34， ∴△BCD 的面积为：92， 设直线BC 的解析式为：y =kx +n ，由题意知， 4k +n =0，n =6，解得：k =32-，n =6，即直线BC 的解析式为：y =32-x +6，∴点G 的坐标为（m ，32-m +6），∴DG =233366422m m m ⎛⎫-++--+ ⎪⎝⎭=2334m m -+， ∴S △BCD =12DG OB ⋅=2362m m -+， 即2362m m -+=92，解得：m =1（舍）或m =3，即m 的值为3. （3）存在.由（2）知，B (4,0)，D (3，154), 设M (x ，0)，N (n ，y )，其中y =233642n n -++①当四边形BDMN 是平行四边形时，有：43154x ny +=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，即21533=6442n n --++，解得：n=1或n=1，x即M0），0）； ②当四边形BDNM 是平行四边形时， 有：43154n xy +=+⎧⎪⎨=⎪⎩，即21533=6442n n -++，解得：n =－1或n =3，x =0或4（舍），即M 点坐标为（0，0）；③当四边形BNDM 是平行四边形时， 有：43154n xy +=+⎧⎪⎨=⎪⎩，即21533=6442n n -++，解得：n =－1或n =3，x =8或4（舍），即M 点坐标为（8，0）；综上所述，点M 的坐标为：0），0），（0，0），（8，0）.3. （2019·黑龙江哈尔滨中考）如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y =34x +4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线BC 与x 轴交于点C ，且点C 与点A 关于y 轴对称；(1)求直线BC 的解析式；(2)点P 为线段AB 上一点，点Q 为线段BC 上一点，BQ =AP ，连接PQ ，设点P 的横坐标为t ，△PBQ 的面积为S (S ≠0)，求S 与t 之间的函数关系式(不要求写出自变量t 的取值范围).【解析】解：（1）在y =34x +4中，x =0时，y =4；y =0时，x =－3， 即B (0，4)，A (－3,0)， ∵点A 与点C 关于y 轴对称， ∴点C 的坐标为（3,0）， 设直线BC 解析式为：y =kx +b ，430b k b =⎧⎨+=⎩，解得：443b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩，即直线BC 的解析式为：y =43-x +4.（2）如图，过点P 作PM ∥y 轴交x 轴于M ，过点Q 作QN ⊥AB 于N ，过C 作CH ⊥AB 于H ，由勾股定理得：AB=BC=5，CH=245，∵P点横坐标为t，∴点P的坐标为（t，43t+4），即AM=3+t，∵PM∥OB，∴AP AMAB AO=，即353AP t+=，∴AP=()533t+=553t+，∴PB=53t -,∵BQ=AP=553t +,∴BQ NQBC CH=，即5532455tNQ+=，∴NQ=24855t+，∴S=15248 2355t t ⎛⎫⎛⎫-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭=2433 32t⎛⎫-++⎪⎝⎭；4. （2019·四川达州中考）如图1，已知抛物线y=－x2+bx+c过点A(1,0)，B(－3,0). （1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）=4时，求点D的坐标；（3）如图2，抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m－n的最大值.【答案】见解析.【解析】解：（1）把点（1，0），（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得，01093b cb c=-++⎧⎨=--+⎩，解得b＝﹣2，c＝3，∴y＝﹣x2﹣2x+3＝－（x+1）2+4，∴此抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，顶点C的坐标为（﹣1，4）；（2）由（1）知：抛物线对称轴为x＝﹣1，设抛物线对称轴与x轴交于点H，H（﹣1，0），在Rt△CHO中，CH＝4，OH＝1，∴tan∠COH＝CHOH＝4，∵∠COH＝∠CAO+∠ACO，∴当∠ACO＝∠CDO时，tan（∠CAO+∠CDO）＝tan∠COH＝4，如下图所示，当点D在对称轴左侧时，∵∠ACO＝∠CDO，∠CAO＝∠CAO，∴△AOC∽△ACD，∴AC AOAD AC=，∵AC ＝AO ＝1， ∴AD ＝20，OD ＝19， ∴D （﹣19，0）；当点D 在对称轴右侧时，点D 关于直线x ＝1的对称点D '的坐标为（17，0）， ∴点D 的坐标为（﹣19，0）或（17，0）；（3）设P （a ，﹣a 2﹣2a +3），设直线PA 的解析式为：y =kx +b ， 将P （a ，﹣a 2﹣2a +3），A （1，0）代入y ＝kx +b ，2230ak b a a k b ⎧+=--+⎨+=⎩， 解得，k ＝﹣a ﹣3，b ＝a +3， ∴y ＝（﹣a ﹣3）x +a +3， 当x ＝0时，y ＝a +3， ∴N （0，a +3）， 如下图所示，∵m =S △BPM ＝S △BPA ﹣S 四边形BMNO ﹣S △AON ，n =S △EMN ＝S △EBO ﹣S 四边形BMNO ， ∴m －n ＝S △BPA ﹣S △EBO ﹣S △AON＝12×4×（﹣a 2﹣2a +3）﹣12×3×3﹣12×1×（a +3） ＝﹣2（a +98）2+8132，∴当a ＝﹣98时，m －n 有最大值8132.题型三、二次函数有关对称性及自定义函数最值研究5.（2019·湖南长沙中考）已知抛物线22(2)(2020)y x b x c =-+-+-(b ，c 为常数)． （1）若抛物线的顶点坐标为(1，1)，求b ，c 的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c 的取值范围. 【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意知，抛物线的解析式为：()2211y x =--+，=2241x x -+-，∴b －2=4，c －2020=－1， ∴b =6，c =2019.（2）设抛物线上关于原点对称不重合的两点坐标为：（x ，y ）、（－x ，－y ）， 代入解析式有：222(2)(2020)2(2)(2020)y x b x c y x b x c ⎧=-+-+-⎨-=---+-⎩， ∴()24220200x c -+-=， 即c =2x 2+2020， ∴c ≥2020.6. （2019·山东临沂中考）一次函数y =kx +4与二次函数y =ax 2+c 的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点 （1）求k ，a ，c 的值；（2）过点A （0，m ）（0＜m ＜4）且垂直于y 轴的直线与二次函数y =ax 2+c 的图像相交于B ，C 两点，点O 为坐标原点，记W =OA 2+BC 2，求W 关于m 的函数解析式，并求W 的最小值. 【答案】见解析. 【解析】解：（1）由题意得，k +4=-2， 解得k =-2，二次函数顶点为（0,4）， ∴c =4，把（1,2）代入二次函数表达式得：a +c =2， 解得a =-2（2）由（1）得二次函数解析式为y =-2x 2+4，令y =m ，得2x 2+m -4=0即x=±，设B ，C 两点的坐标分别为（x 1，m ）（x 2，m ），则12x x + ∴W =OA 2+BC 2=2224-m m 4=m -2m+8=m-172+⨯+（） ∴当m =1时，W 取得最小值7.。

空间几何中的角度和角度关系在空间几何中，角度是一个非常重要的概念。

角度指两条射线之间的夹角，通常用度数来表示。

通过研究角度和角度关系，我们可以深入理解空间中的图形和结构，进而解决各种几何问题。

一、角度的概念角度是描述两条射线之间夹角大小的量度。

一般来说，角度是以直线为基准的，从一条射线按逆时针方向转过去，所转过的度数就是角度的度数。

角度通常用“度”来表示，单位符号为“°”。

在空间几何中，角度的大小一般为0°到360°之间，0°表示射线重合，180°表示射线相互平行，360°表示射线重合。

不同大小的角度所代表的夹角也不同，小于90°的角称为锐角，等于90°的角称为直角，大于90°小于180°的角称为钝角，等于180°的角称为平角，大于180°小于360°的角称为全角。

二、角度的关系1. 同位角：同位角是指两条射线被第三条射线相交，形成角度对应的两对角。

同位角有三种关系，即内角、外角和对顶角。

内角是相交射线之间的角，外角是相邻射线之外的角，对顶角是位于相交射线两侧且不相邻的角。

2. 相关角：相关角是指两角可能相等、互补或补角的特殊角度。

相关角可以帮助我们简化计算，通过相关角的关系，我们可以推导出更多的几何性质和定理。

3. 平行线和角度：在空间几何中，平行线之间的夹角关系是非常重要的。

对于平行线和交叉线组成的角，我们可以根据平行线的性质来求解这些角度。

三、角度的应用1. 角度的测量：在几何学中，测量角度是解决问题的第一步。

通过工具如量角器可以准确测量角度的大小，进而进行相关计算和分析。

2. 角度的计算：在解决几何问题时，经常需要计算不同角度的大小。

通过角度的相关性质和计算方法，可以快速求解各种角度。

3. 角度的证明：在证明几何问题时，经常需要利用角度关系来推导出结论。

通过严谨的推理和分析，可以证明各种与角度有关的几何定理。

角度知识点总结角度是几何中常见的概念，它用来描述两条线段之间的旋转关系。

在几何学中，角度是一种基本的概念，而对角、平角、余角等也是常见的角度相关概念。

本文将围绕角度的基本概念、几何角和角度的测量、角度的运算、角度的性质以及角度的应用等方面展开角度知识点总结。

一、角度的基本概念1.1 角度的定义角度是用来描述两条射线之间的旋转关系的概念。

在数学中，角度的定义是一种用尺度来表示的物理量，通常用来描述物体的旋转情况。

一个完整的圆周是360度，因而可以用角度来描述圆周运动的情况。

1.2 角度的符号表示角度通常用一个小圆圆圈的方式来表示，如图1所示。

（插入图1：角度符号表示）在数学中，角度的表示方式有时也使用字母来表示，如角A、角B等。

1.3 角度的种类根据角度的大小和旋转方向，角度可分为直角、钝角、锐角、负角、正角等不同的类型。

1.4 角度的性质角度具有以下基本性质：（1）角度是向量的旋转性质；（2）角度的大小可以用尺度来表示；（3）一个完整的圆周对应360度。

二、几何角和角度的测量2.1 几何角的定义在几何学中，角是指由两条线段或两个射线所夹的部分。

它是由两条射线共同起点上的一个平面角，如图2所示。

（插入图2：几何角的示意图）2.2 角度的测量角度的测量通常使用度（°）、分（′）、秒（″）等单位。

在直角坐标系中，角度的度数通常从x轴正半轴的正方向逆时针旋转测量，角度的度数范围是0°-360°。

三、角度的运算3.1 角度的加减运算角度的加减运算是根据旋转的方向和大小来进行的。

例如，如果一个角度是90°，另一个角度是60°，那么它们的和是150°。

另外，当角度相加得到一个等于360°的结果时，说明这两个角度补角，它们互为补角，即它们的和是一个直角。

3.2 角度的乘除运算角度的乘除运算需要根据具体的问题来进行。

一般来说，角度的乘除运算是指一个角度与一个常数的乘除运算，或者两个角度之间的乘除运算。

角度的存在性（讲义）➢知识点睛1.存在性问题的处理思路①分析不变特征分析背景图形中的定点，定线，定角等不变特征．②分类、画图结合图形形成因素（判定，定义等）考虑分类，画出符合题意的图形．通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形．③求解、验证围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意．注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等．2.角度存在性问题和角度相关的存在性问题通常要放在直角三角形中处理，利用三角函数来衡量角的大小，将角的特征转化为边的比例特征来列方程求解．一般过定点构造直角三角形．当两个角相等时，常转化为两个直角三角形相似的问题来处理．➢精讲精练1.如图，抛物线272 2y x x=-++与直线122y x=+交于C，D两点．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．若存在点P，使∠PCF=45°，则点P的坐标为____________________________．2.已知二次函数：y=ax2+(2a+1)x+2（a＜0）．（1）求证：二次函数的图象与x轴有两个交点．（2）当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数时，求a的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与x轴的两个交点A，B（A在B的左侧），与y轴的交点C及其顶点D这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A，B，C，D的位置）．（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P使∠PCA=75°？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．3.如图，抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为D．将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P，且∠P AB=∠DAC，则平移后抛物线的解析式为____________________________________．4.如图，抛物线y=x2-4x-5与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，点A(a，-5)在抛物线上．若点E在y轴上，且∠BEO=∠ABC，则点E的坐标为_____________________．5.如图，抛物线y=(x-3)(x+1)与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D．连接BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．（1）若线段BD上有一点P，使∠DCP=∠BDE，求点P的坐标；（2）若抛物线上有一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M的坐标．6. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线213222y x x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线l 经过A ，C 两点，连接BC ．（1）求直线l 的解析式；（2）若直线x =m （m ＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E ，与直线l 交于点D ，连接OD ．当OD ⊥AC 时，求线段DE 的长；（3）取点G (0，-1)，连接AG ，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P ，使∠BAP =∠BCO -∠BAG ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x-5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式．（2）过点A的直线交直线BC于点M．连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．备用图备用图【参考答案】1. (12，72)或(236，1318)2. （1）证明略；（2）a 的值为-1；二次函数的解析式为y =-x 2-x +2；图象略；（3）点P 的坐标为11)或． 3. 27()43y x =--+或211()43y x =--+4. (0，32)或(0，32-)5. （1）点P 的坐标为(97，247-)；（2）点M 的坐标为(73，209-)或(5，12)．6. （1）直线l 的解析式为122y x =--；（2）线段DE 的长为3225；（3）存在，点P 的坐标为(139，9881)．7. （1）抛物线的解析式为y =-x 2+6x -5；（2）点M 的坐标为(136，176-)或(236，76-)．。

学生做题前请先回答以下问题问题1：角度存在性的处理思路①和角度相关的存在性问题通常要放在______________中处理，通过_________将角的特征转化为边的比例特征来列方程求解．一般过_________构造直角三角形．②当两个角相等时，常转化为两个________________的问题来处理．角度的存在性（二）一、单选题(共4道，每道25分)1.如图，已知二次函数的图象经过A(-3，0)，B(1，0)，C(0，6)三点，直线与y轴交于点D，点P为二次函数图象上一动点，若∠PAD=45°，则满足题意的点P的坐标为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图模型2.已知二次函数的图象经过两点，点D的坐标为，点P为二次函数图象上一动点，若∠ADP=45°，则满足题意的点P的坐标为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图模型3.如图，抛物线经过A(-3，0)，B(0，3)，C(1，0)三点．将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点D顺时针旋转60°，与直线交于点N．若在直线DN上存在一点M，使得∠MON=75°，则点M的坐标为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数与几何综合4.如图，抛物线交轴于A，B两点，交轴于点C，点D是轴上一动点，D(1，0)，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线⊥轴于H．若在直线上存在点P，使∠EDP=45°，则点P的坐标为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数与几何综合第11页共11页。

九年级下册《角度》知识点总结本文总结了九年级下册《角度》的知识点，并提供了简明扼要的解释。

1. 角度的定义- 角度是由两条射线共同确定的两个不同的侧边所围成的图形。

- 角度通常用度数来表示，以°作为单位。

2. 角度的分类直角- 直角是由两条互相垂直的线段或射线所围成的角。

- 直角的度数为90°。

锐角- 锐角是小于90°的角。

钝角- 钝角是大于90°但小于180°的角。

平角- 平角是由两条相互平行的线段或射线所围成的角。

- 平角的度数为180°。

3. 角度的测量测量角度时，我们可以使用直尺和量角器。

直尺通常用来测量较小的角度，而量角器适用于测量较大的角度。

4. 角度的运算角的加法- 两个角的和等于它们的两个侧边的和。

- 例如，如果角A的度数为60°，角B的度数为30°，则角A 和角B的度数之和为90°。

角的减法- 两个角的差等于它们的两个侧边的差。

- 例如，如果角C的度数为100°，角D的度数为60°，则角C 和角D的度数之差为40°。

角的乘法- 两个角的乘积等于它们的度数相乘。

- 例如，如果角E的度数为30°，角F的度数为2，则角E和角F的乘积为60°。

角的除法- 一个角除以另一个角的商等于它们的度数相除。

- 例如，如果角G的度数为60°，角H的度数为3，则角G除以角H的商为20°。

5. 角度的相等与互补相等角- 两个角的度数相等时，它们互为相等角。

- 例如，如果角I的度数为40°，角J的度数也为40°，则角I 和角J是相等角。

互补角- 两个角的和等于90°时，它们互为互补角。

- 例如，如果角K的度数为30°，角L的度数为60°，则角K 和角L是互补角。

以上是九年级下册《角度》的知识点总结。

空间几何中的角度和角度关系在空间几何中，角度是一种十分重要的概念，它可以帮助我们描述和研究各种几何形状之间的关系。

本文将介绍空间几何中的角度及其相关的角度关系。

一、角度的定义和性质角度是由两条射线（或者线段）所围成的图形，常用字母“∠”来表示。

我们常见的角度有直角、锐角和钝角。

1. 直角是最简单的角度关系，指的是两条相互垂直的射线所围成的角，其大小为90度。

直角在空间几何中有重要的应用，例如矩形的四个内角都是直角。

2. 锐角是两条射线夹角小于90度的角，其大小处于0度到90度之间。

锐角常常出现在各种三角形中，它决定了三角形的形状和性质。

3. 钝角是两条射线夹角大于90度但小于180度的角，其大小处于90度到180度之间。

钝角在空间几何中也有重要的角度关系，例如平行四边形的一个内角是钝角。

角度的性质有：1. 角度可以通过直角转化。

例如，两个相互垂直的直角是互补角（两个角的和为180度）。

互补角在三角形的补角关系中也有重要的作用。

2. 角的大小是相对的。

我们通常用角的大小来比较和描述角的大小关系，而不是单纯地依靠图形的形状。

例如，一个角度小于另一个角度表示前者比后者更为锐利。

3. 角度可以分解。

一个角度可以分解成若干个小角的和，这种分解可以帮助我们研究复杂问题。

例如，一个平行四边形的内角可以分解成两个互补角的和。

二、角度关系除了上述基本的角度类型和性质外，空间几何中还存在着一些重要的角度关系。

1. 对顶角：对顶角是指两条交叉直线所形成的相对的角。

对顶角的特点是大小相等，即它们的度数相同。

对顶角在各种几何形状中都有广泛的应用。

2. 夹角：夹角是指两条相交直线之间的角度。

夹角的大小可以决定直线的相对位置，例如两个平行直线的夹角为零。

3. 垂直角：垂直角是指两条相交直线互相垂直形成的角度，其度数为90度。

垂直角在研究垂直和垂直性的相关问题时起到重要作用。

4. 互补角和补角：互补角是指两个角度之和为90度，而补角是指两个角度之和为180度。

六年级下册角度的意义和基本性质常考题型与答案1. 角度的意义角度是几何学中的重要概念，具有以下意义：- 它可以帮助我们描述和测量物体之间的位置关系和方向。

- 通过角度，我们可以判断物体的形状和结构。

- 角度也是解决几何问题的重要工具，它能够推导出其他几何性质。

2. 角度的基本性质在几何学中，角度具有以下基本性质：- 角度由两条射线构成，分别称为角的两边，这两个射线的公共起点称为角的顶点。

- 角的度量用角度的单位度来表示，常用符号为°。

- 一个完整的角是360°，一个直角是90°，一个平角是180°。

- 两个互补的角之和是90°，两个补角的和是180°。

3. 常考题型与答案六年级下册数学考试中常出现与角度相关的题型，以下是一些常见题型及其答案：3.1 计算角度问题：角A的度数是45°，角B的度数是60°，求角A和角B 的度数之和。

答案：角A和角B的度数之和等于45° + 60° = 105°。

3.2 判断角度关系问题：判断以下四组角度是否相等：30°和300°，90°和270°，45°和135°，60°和120°。

答案：四组角度中，30°和300°是相等的，因为它们相差一个完整的圈，90°和270°、45°和135°、60°和120°都是互补角或补角关系，不相等。

3.3 判断角度大小问题：比较以下两个角的大小：120°和165°。

答案：角的大小取决于其度数的大小，因此120°小于165°。

3.4 求解未知角度问题：在一个直角三角形中，已知一个角的度数是30°，求另外两个角的度数。

答案：在直角三角形中，两个锐角的度数之和是90°，因此另外两个角的度数分别是90° - 30° = 60°。

如何解决几何中的角度问题解决几何中的角度问题需要正确的方法和理解。

本文将介绍一些实用的角度问题解决策略，帮助读者更好地理解和应用几何学中的角度概念。

角度在几何学中是一个基本概念，它描述了两条射线之间的关系。

解决几何中的角度问题需要深入理解角度的定义和属性。

以下是一些解决角度问题的方法：1. 角度的定义和性质：了解角度是如何定义的以及常见的角度性质是解决角度问题的基础。

例如，一个直角是指两条相互垂直的线段所形成的角度，它的度数为90度。

掌握这些基本概念有助于更好地理解和应用角度问题。

2. 角度的度数计算：学习如何计算角度的度数对于解决几何中的角度问题至关重要。

例如，当两条平行线被一条横切线相交时，所形成的相对角可以通过相应角、交错角等特定关系进行计算。

了解这些计算方法有助于解决复杂的角度问题。

3. 角度的分类：熟悉各种类型的角度有助于解决几何中的角度问题。

例如，锐角（小于90度）、直角（等于90度）和钝角（大于90度）是三种基本类型的角度。

根据角度的类型，可以采用不同的方法和策略来解决相关问题。

4. 角度的相等和补角：角度的相等和补角性质是解决几何中角度问题常用的方法之一。

当两个角度相等时，它们的度数是相同的；而补角指的是两个角度的度数之和为90度。

通过利用这些性质，可以在解决几何中的角度问题时快速推导出结果。

5. 角度的三角函数：三角函数是解决几何中角度问题的重要工具。

例如，正弦、余弦和正切等函数可用于计算角度和边长之间的关系。

通过运用三角函数，可以解决包括角度比较、角度求解等问题。

6. 应用实例和练习题：通过实际的应用实例和练习题，读者可以更好地理解和应用角度解决策略。

通过实际问题的解答，读者可以锻炼自己的解决问题的能力，并且将所学的角度概念和方法应用到实际中。

总结起来，解决几何中的角度问题需要正确的方法和理解。

通过熟悉角度的定义和性质、掌握角度的计算方法、分类和相等补角性质、利用三角函数以及应用实例和练习题，我们可以更好地解决几何中的角度问题。

高中角度问题知识点总结一、角的概念1. 角的定义角是由两条相交线段的端点组成的图形，称为角的顶点，两条相交线段分别称为角的边。

一般用大写字母A、B、C等表示角的顶点，用小写字母a、b、c等表示角的边。

2. 角的分类按角的大小可分为：锐角、直角、钝角、平角。

按角的位置可分为：正角、负角、复角。

3. 角的度量角的度量是用角的大小来表示。

角的度量有三种单位：度、弧度、百分度。

二、角的相关概念1. 角的补角和余角两个角的和为90°时，这两个角互为补角，称为补角；两个角的和为180°时，这两个角互为余角，称为余角。

2. 角平分线过角的顶点的直线称为角的平分线，将一个角平分成的两个角相等。

3. 角的邻补角两个相邻的补角，互为邻补角。

三、三角函数的定义和性质1. 三角函数的定义三角函数是以角为自变量，函数值为与角的三边比值关系的一种函数。

常用的三角函数有正弦函数sinθ、余弦函数cosθ、正切函数tanθ、余切函数cotθ、正割函数secθ和余割函数cscθ。

2. 三角函数的性质（1）正弦函数和余弦函数的性质① 定义域和值域：sinθ和cosθ的定义域都是实数集，取值范围是[-1, 1]；② 奇偶性：sin(-θ)=-sinθ，cos(-θ)=cosθ；③ 周期性：sin(θ+2π)=sinθ，cos(θ+2π)=cosθ。

（2）正切函数的性质① 定义域和值域：tanθ的定义域是全体无穷数集，取值范围是(-∞, +∞)；② 奇偶性：tan(-θ)=-tanθ；③ 周期性：tan(θ+π)=tanθ。

四、三角函数的图像和性质1. 正弦函数的图像和性质① 图像：y=sinθ的图像是一条在[-π/2, 3π/2]区间上振荡的曲线；② 增减性：y=sinθ在每个周期内，先增后减，周期是2π；③ 奇偶性：y=sin(-θ)=-sinθ，所以sinθ是奇函数。

2. 余弦函数的图像和性质① 图像：y=cosθ的图像是一条在[0, 2π]区间上振荡的曲线；② 增减性：y=cosθ在每个周期内，先减后增，周期是2π；③ 奇偶性：y=cos(-θ)=cosθ，所以cosθ是偶函数。

几何中的角度几何学作为数学的一个分支，研究平面和空间中的形状、大小、位置以及它们之间的关系。

在几何学中，角度是一个基本概念，它用来描述物体之间的旋转情况或者物体内部的弯曲程度。

本文将介绍几何中的角度概念、基本性质以及常见的角度类型。

一、角度概念在几何学中，角度是由两条射线（也称作边）共同围成的，围成角的点称为顶点。

射线的起始点称为角的始点，射线的终点称为角的终点。

角度通常用希腊字母表示，比如α、β、θ等。

二、角度的度量角度用来衡量旋转或者弯曲的程度，常用的度量单位有度（°）、弧度（rad）和梯度（grad）。

在度量角度时，我们以直线边为参照，将闭合轴线划分为360等分，每一等分称为一度。

一度又可以划分为60等分，每一等分称为一分；一分又可以划分为60等分，每一等分称为一秒。

弧度是另一种角度的度量单位，它表示圆周上的一段弧所对应的中心角。

圆周的长度为2π，所以一个完整的圆对应的弧度为2π弧度。

梯度是一种在某些应用领域较少使用的角度度量单位，圆周被划分为400等分，称为一梯度。

三、角度的性质1. 角度的大小角度的大小通常用度数来表示，一个圆周对应360度。

根据角度的大小，可以分为锐角（小于90°）、直角（等于90°）、钝角（大于90°）和平角（等于180°）。

2. 角度的和与差两个角的和等于它们的角度数相加，两个角的差等于它们的角度数相减。

3. 角度的互补与补角互补角指两个角的角度数的和等于90°，补角指两个角的角度数的和等于180°。

4. 角度的对应角考虑一个直线上的两个角A和B，如果两个角的角度数互补或补角，那么称它们为对应角。

对应角具有相等的特性，即A的度数等于B的度数的互补或补角。

四、常见的角度类型1. 锐角锐角是小于90°的角，它表示一种较为收窄或者弯曲的情况。

在实际应用中，锐角常常用来描述夹角、房屋屋顶的坡度等。

数学角的存在性原理及应用引言角是数学中重要的概念之一，广泛应用于几何、物理、工程等领域。

本文将介绍数学角的存在性原理及其应用，通过列举具体例子，深入理解角的概念与特性。

数学角的定义角是由两条射线共同端点组成的图形，可以理解为两条线段之间的夹角。

在角的定义中，有三要素：顶点、始边和终边。

始边是角的起点，终边是角的终点。

角的度量单位通常用度或弧度表示。

角的存在性原理数学角的存在性原理是指任意两条射线都可以构成一个角。

换句话说，任意两个点可以确定一条射线，并且任意两条射线都可以确定一个角。

这个原理是基础几何中的重要概念，在数学证明和计算中起着重要的作用。

角的分类根据角的大小，角可以分为三类：锐角、直角和钝角。

锐角是小于90度的角，直角是90度的角，钝角是大于90度但小于180度的角。

角的测量角的测量可以用度数或弧度来表示，度数是最常用的单位，用圆周的1/360来度量角。

而弧度则基于圆周的长度来度量角，弧度常用于三角函数的计算。

我们可以根据需要选择适合的角度单位进行测量和计算。

角的应用举例1.几何学中，角的概念可以用来解决三角形、四边形等图形的性质和计算问题。

例如，在计算三角形的面积时，我们可以利用角的正弦定理和余弦定理来求解。

2.物理学中，角的概念可以用来描述物体的运动和力学问题。

例如，在平面运动中，我们可以利用角的概念来描述物体的转动和转速。

3.工程学中，角的概念可以应用于建筑设计和结构分析中。

例如，在设计桥梁时，我们需要考虑桥墩与桥梁之间的夹角，以确保结构的稳定性和安全性。

角的性质数学角具有以下性质： 1. 互余角：两个角的和为90度，则它们互为互余角。

2. 余角：两个角的和为180度，则它们互为余角。

3. 对顶角：由两条相交的直线形成的两个互补角，被称为对顶角，它们的度数相等。

4. 同位角：指两条平行线被一条截线相交所形成的角，它们的度数相等，被称为同位角。

角的计算角的计算可以通过不同的公式和方法来实现。

角度证明专题
概述
本文档旨在介绍角度证明的概念和相关应用。

角度证明是一种数学证明方法，利用三角形的性质和几何关系来推导结论。

通过展示具体例子和解析步骤，可以帮助读者理解角度证明的原理和应用方法。

正文
1. 角度证明的基本原理
角度证明是基于几何性质的一种证明方法。

在角度证明中，常用的几何性质包括垂直角、平行线对应角、同位角等。

通过运用这些性质，可以构建等式或比例关系，从而推导出待证明的结论。

2. 角度证明的应用
角度证明在几何学和三角学中有广泛的应用。

在几何学中，角度证明常用于证明平行线、等腰三角形、全等三角形等相关定理。

在三角学中，角度证明常用于证明三角函数的性质和等式，如正弦定理、余弦定理等。

3. 角度证明的步骤
进行角度证明通常需要以下步骤：
- 观察并理解待证明的问题，识别需要运用的几何性质。

- 根据几何性质建立等式或比例关系。

- 利用角度运算、三角函数等进行推导和变换。

- 对结论进行总结和证明。

4. 角度证明的例子
以下是一些常见的角度证明例子：
- 证明平行线性质：借助平行线对应角的等式关系，可以证明两条直线平行。

- 证明等腰三角形：通过证明等腰三角形底角等于顶角，可以得出三角形两边长度相等的结论。

- 证明正弦定理：通过使用正弦函数和角度证明，可以推导出三角形边长和角度之间的关系。

结论
角度证明是一种应用广泛的数学证明方法，利用几何性质和三角函数来推导结论。

通过理解角度证明的原理和应用方法，可以提高解决几何和三角学问题的能力。

角度值参考答案角度值参考答案角度是一个用来描述物体或者事件相对位置、方向和关系的重要概念。

在日常生活中，我们经常使用角度来指代两个物体之间的夹角或者物体相对于参考点的方向。

角度值的计算和表示对于很多领域都具有重要的意义，比如地理学、物理学、工程学等等。

本文将从不同的角度探讨角度值的参考答案。

在几何学中，角度是两条射线之间的夹角。

角度通常用度数来表示，一个完整的圆被分成360度。

根据这个参考答案，我们可以推导出一些常见的角度值。

例如，直角是90度，钝角是大于90度小于180度，锐角是小于90度等等。

这些角度值的参考答案在几何学中被广泛应用，用于解决各种与角度相关的问题。

除了度数，角度值还可以用其他形式来表示。

例如，在三角函数中，我们常常使用弧度来度量角度。

弧度是一个无量纲的单位，它定义为圆的半径上所对应的弧长与圆的半径之比。

根据这个参考答案，我们可以将角度转换为弧度，并进行各种角度计算。

弧度的参考答案在数学和物理学中被广泛应用，特别是在解决与圆周运动和周期性现象相关的问题时。

在地理学中，角度值的参考答案与方向有关。

地理学家使用方位角来描述一个地点相对于参考方向的角度。

通常，方位角是以北方为基准，顺时针方向为正。

根据这个参考答案，我们可以确定一个地点相对于北方的角度，并进行导航和定位。

方位角的参考答案在地理学和导航领域具有重要的应用价值。

除了上述的参考答案，角度值还可以在其他领域中有不同的含义和用途。

例如，在摄影学中，摄影师可以使用角度来控制镜头的视角和景深。

在航空航天领域，角度值可以用来描述飞机或者火箭的姿态和航向。

在计算机图形学中，角度值可以用来控制三维模型的旋转和变换。

这些领域中的角度值参考答案都是根据具体的需求和应用而确定的。

综上所述，角度值参考答案是根据具体领域和需求而确定的。

不同的领域对于角度的定义和计算方法有所差异，但都遵循一定的规则和原则。

了解角度值的参考答案对于理解和应用角度概念具有重要的意义。