(天津专用)202x版高考数学大一轮复习 8.2 空间点、线、面的位置关系精练

8.2 空间点、线、面的位置关系基础篇固本夯基考点一点、线、面的位置关系1.(2022届湘豫名校联盟11月联考,7)已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,给出下列命题:①若α∥β,m⊥α,则m⊥β;②若m∥n,m⊥α,则n⊥α;③若α⊥β,m⊥α,则m∥β;④若m⊥n,m⊥α,则n∥α.其中真命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案 B2.(2022届山东青岛期中,7)已知a,b,c,d是四条直线,如果a⊥c,a⊥d,b⊥c,b⊥d.则结论“a∥b”与“c∥d”中成立的情况是( )A.一定同时成立B.至多一个成立C.至少一个成立D.可能同时不成立答案 C3.(2022届南宁摸底,8)如图是长方体的展开图,AD=2AB,四边形ABFE为正方形,P、Q分别为AD、HI的中点,给出下列判断:①AM∥CG,②AF∥DK,③BP∥JQ,④BP⊥QJ.其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案 C4.(20215·3原创题)中国文化源远流长,折纸文化传承已久,如图1所示,六个等边三角形沿虚线折起得到的几何体如图2所示,则异面直线的对数为( )A.6对B.9对C.12对D.15对答案 C5.(2021安徽江南十校一模,7)设a、b为两条直线,则a∥b的充要条件是( )A.a、b与同一个平面所成角相等B.a、b垂直于同一条直线C.a、b平行于同一个平面D.a、b垂直于同一个平面答案 D6.(2020四川九市二诊,5)已知m,n是两条不重合的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m∥α,n⊂α,则m∥nC.若m⊥n,m⊥α,则n∥αD.若m⊥α,n∥α,则m⊥n答案 D7.(2021河南洛阳二模,12)在正四棱柱(侧面为矩形,底面为正方形的棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则以下结论中不成立的是( )A.EF⊥BB1B.EF⊥BDC.EF与CD为异面直线D.EF与A1C1为异面直线答案 D8.(2021东北三省四市联考,16)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2BC=4,E是C1D1的中点,且异面直线AD1与CE所成的角是60°.则在此长方体的表面上从A1到C的路径中,最短路径的长度为.答案4√29.(2020新高考Ⅰ,16,5分)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心,√5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为.答案√2π2考点二异面直线所成的角1.(2022届新疆克拉玛依检测三,4)我们打印用的A4纸的长与宽的比约为√2,之所以是这个比值,是因为把纸张对折,得到的纸的长与宽之比仍约为√2,纸张的形状不变.已知圆柱的母线长小于底面圆的直径长(如图所示),它的轴截面ABCD为一张A4纸大小,若点E为上底面圆上弧AB的中点,则异面直线DE与AB所成的角约为( )A.π6B.π4C.π3D.2π3答案 C2.(2022届河南洛阳期中,9)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,D1、E1分别是A1B1、A1C1的中点,CA=CB=CC1,则AE1与BD1所成角的余弦值为( )A.√1515B.√3015C.√1510D.√3010答案 D3.(2018课标Ⅱ,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )A.√22B.√32C.√52D.√72答案 C4.(2021东北三省四市联考,8)长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=4,AA1=4√3.过BC的平面分别交线段AA1,DD1于M、N两点,四边形BCNM为正方形,则异面直线D1M与BD所成角的余弦值为( )A.√1414B.√2114C.√144D.4√3535答案 D5.(2021山西晋中二模,6)如图,圆锥的轴截面ABC为正三角形,其面积为4√3,D为AA⏜的中点,E为母线BC的中点,则异面直线AC,DE所成角的余弦值为( )A.√24B.√22C.√63D.√33答案 B综合篇知能转换考法一点、线、面位置关系的判定及应用1.(2021河南九师联盟1月联考,11)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为底面ABCD的中心,E 为线段A1D1上的动点(不包括两个端点),Q为线段AE的中点.现有以下结论:①PE与QC是异面直线;②过A、P、E三点的正方体的截面与正方体表面的交线围成的图形是等腰梯形;③平面APE⊥平面BDD1B1;④PE∥平面CDD1C1.其中正确结论的序号是( )A.①④B.②③C.②④D.①③答案 B2.(2019课标Ⅲ,8,5分)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则( )A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线答案 B3.(2020吉林4月联考,11)我国古代的数学著作《九章算术·商功》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,M、N分别是BB1和A1C1的中点,则平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形的面积为( )A.2√213B.4√213C.2√73D.4√73答案 A4.(2022届黑龙江大庆实验中学月考,11)给出下列命题:①若△ABC的三条边所在直线分别交平面α于P,Q,R三点,则P,Q,R三点共线;②若直线a,b是异面直线,直线b,c是异面直线,则直线a,c是异面直线;③若三条直线a,b,c两两平行且分别交直线l于A,B,C三点,则这四条直线共面;④对于三条直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a∥b.其中所有真命题的序号是( )A.①②B.①③C.③④D.②④答案 B5.(2022届成都期中,12)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P是空间中任意一点,有下列结论:;①若P为棱CC1中点,则异面直线AP与CD所成角的正切值为√52;②若P在线段A1B上运动,则AP+PD1的最小值为√6+√22③若P在以CD为直径的球面上运动,当三棱锥P-ABC体积最大时,三棱锥P-ABC外接球的表面积为2π;④若过点P的平面α与正方体每条棱所成角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为3√3.4其中正确结论的个数为( )A.4B.3C.2D.1答案 B6.(2022届山西长治第二中学月考,15)已知两条不同的直线m,n,两个不重合的平面α,β,给出下列5个命题:①m∥n,m⊥α⇒n⊥α;②α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n;③m∥n,m∥α⇒n∥α;④m⊥α,m∥β⇒α⊥β;⑤α∥β,m∥n,m⊥α⇒n⊥β.其中正确命题的序号是.答案①④⑤7.(2021内蒙古赤峰2月月考,16)如图,在棱长为2的正方体中,点M、N在棱AB、BC上,且AM=BN=1,P在棱AA1上,α为过M、N、P三点的平面,则下列说法正确的是.①存在无数个点P,使面α与正方体的截面为五边形;②当A1P=1时,面α与正方体的截面面积为3√3;③只有一个点P,使面α与正方体的截面为四边形;④当面α交棱CC1于点H时,PM、HN、BB1三条直线交于一点.答案①②④考法二异面直线所成角的求解方法1.(2022届黑龙江模拟,8)如图,某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形,点B是底面圆周上的一点,且∠BOC=60°,点M是SA的中点,则异面直线AB与CM所成角的余弦值是( )A.13B.√74C.34D.√32答案 C2.(2020湖北重点高中联考,8)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为等腰直角三角形,且斜边BC=2,D是BC的中点,若AA1=√2,则异面直线A1C与AD所成角的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案 C3.(2021全国乙,10,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为( )A.π2B.π3C.π4D.π6答案 D4.(2021全国重点中学领航高考冲刺卷(九),9)已知SA,SB,SC是圆锥SO的三条母线,如图为圆锥SO的正视图,点S,A,B,C在圆锥SO的正视图中分别对应点S',A',B',C',其中C'为A'B'的中点,若D为母线SB的中点,则异面直线SC与OD所成角的余弦值为( )A.√34B.√23C.34D.23答案 C5.(20215·3原创题)沿正三角形ABC的中线AD翻折,使点B与点C间的距离等于中线AD的长,若三棱锥A-BCD的体积为2,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为.答案14。

8.2空间点、线、面的位置关系挖命题【考情探究】分析解读 1.会用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面问题;会用反证法证明异面或共面问题.2.会证明两条直线异面;会应用三线平行公理和等角定理及推论解决有关问题,会求两条异面直线所成的角;了解两条异面直线间的距离.3.高考对本节内容的考查常以棱柱、棱锥为载体,求异面直线所成的角,分值约为5分,属于中档题.破考点【考点集训】考点空间点、线、面的位置关系1.α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m⊄α,n⊂α,且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系不可能是()A.垂直B.相交C.异面D.平行答案 D2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为()A.4B.5C.6D.7答案 C3.如图,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有()A.①③B.②③C.②④D.②③④答案 C4.已知四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等,点E是PB的中点,则异面直线AE与PD所成角的余弦值为()A. B. C. D.答案 C5.在正四棱锥P-ABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成角为60°,E为PC的中点,则异面直线PA与BE所成角的大小为.答案45°炼技法【方法集训】方法1点、线、面位置关系的判断方法1.(2014辽宁,4,5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α答案 B2.如图所示,空间四边形ABCD中,E,F,G分别在AB、BC、CD上,且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过E、F、G的平面交AD于H,连接EH.(1)求AH∶HD;(2)求证:EH、FG、BD三线共点.解析(1)∵==2,∴EF∥AC,又EF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,∴EF∥平面ACD,又∵EF⊂面EFGH,面EFGH∩面ACD=GH,∴EF∥GH.而EF∥AC,∴AC∥GH,∴==3.∴AH∶HD=3∶1.(2)证明:∵EF∥GH,且=,=,∴EF≠GH,∴四边形EFGH为梯形,∴直线EH,FG必相交.设EH∩FG=P,则P∈EH,而EH⊂面ABD,∴P∈面ABD,同理,P∈面BCD,而面ABD∩面BCD=BD,∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点.3.如图所示,已知l1,l2,l3,l4四条直线两两相交且不过同一点,交点分别为A,B,C,D,E,F.求证:四条直线l1,l2,l3,l4共面.证明证法一:∵A、C、E不共线,∴它们确定一个平面α,又A∈l1,C∈l1,∴l1⊂α,同理,l2⊂α,又B∈l1,D∈l2,∴B∈α,D∈α,∴l3⊂α,同理,l4⊂α,故l1,l2,l3,l4四条直线共面.证法二:∵点A、C、E不共线,∴它们确定一个平面α,又∵A∈l1,C∈l1,∴l1⊂α,同理,l2⊂α,又∵F、D、E不共线,∴它们确定一个平面β.又D∈l3,F∈l3,E∈l4,F∈l4,∴l3⊂β,l4⊂β.而不共线的三点B、C、D可确定一个平面,又B、C、D既在α内又在β内,故平面α与平面β重合.∴l1,l2,l3,l4四条直线共面.评析证法一与证法二是证明共面问题常用的方法,证法一是先确定一个平面α,后证明其他的直线也在这个平面内,从而使问题得证;证法二是寻找了两个平面α与β使得四条直线在α内或在β内,然后再证明α与β重合,从而使问题得证.证明本题也可用反证法.方法2异面直线所成角的求法4.已知P是△ABC所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,若MN=BC=4,PA=4,则异面直线PA与MN所成角的大小是()A.30°B.45°C.60°D.90°答案 A5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,F为B1C1的中点,则异面直线AF与C1E所成角的正切值为()A. B. C. D.答案 C过专题【五年高考】A组自主命题·天津卷题组1.(2008天津,5,5分)设a,b是两条直线,α,β是两个平面,则a⊥b的一个充分条件是()A.a⊥α,b∥β,α⊥βB.a⊥α,b⊥β,α∥βC.a⊂α,b⊥β,α∥βD.a⊂α,b∥β,α⊥β答案 C2.(2013天津,17,13分)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.(1)证明B1C1⊥CE;(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值;(3)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为,求线段AM的长.解析解法一:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).(1)证明:易得=(1,0,-1),=(-1,1,-1),于是·=0,所以B1C1⊥CE.(2)=(1,-2,-1).设平面B1CE的法向量m=(x,y,z),则··即----消去x,得y+2z=0,不妨令z=1,可得一个法向量为m=(-3,-2,1).由(1)知B1C1⊥CE,又CC1⊥B1C1,可得B1C1⊥平面CEC1,故=(1,0,-1)为平面CEC1的一个法向量.于是cos<m,>=··==-,从而sin<m,>=.所以二面角B1-CE-C1的正弦值为.(3)=(0,1,0),=(1,1,1).设=λ=(λ,λ,λ),0≤λ≤1,有=+=(λ,λ+1,λ).可取=(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量.设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角,则sin θ=|cos<,>|=··==.于是=,解得λ=,所以AM=.解法二:(1)证明:因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1,B1C1⊂平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1C1.经计算可得B1E=,B1C1=,EC1=,从而B1E2=B1+E,所以在△B1EC1中,B1C1⊥C1E,又CC1,C1E⊂平面CC1E,CC1∩C1E=C1,所以B1C1⊥平面CC1E,又CE⊂平面CC1E,故B1C1⊥CE.(2)过B1作B1G⊥CE于点G,连接C1G.由(1)知B 1C1⊥CE,故CE⊥平面B1C1G,得CE⊥C1G,所以∠B1GC1为二面角B1-CE-C1的平面角.在△CC1E中,由CE=C1E=,CC1=2,可得C1G=.在Rt△B1C1G中,B1G=,所以sin∠B1GC1=,即二面角B1-CE-C1的正弦值为.(3)连接D1E,过点M作MH⊥ED1于点H,可得MH⊥平面ADD1A1,连接AH,AM,则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角.设AM=x,从而在Rt△AHM中,有MH=x,AH=x.在Rt△C1D1E中,C1D1=1,ED1=,得EH=MH=x.在△AEH中,∠AEH=135°,AE=1,由AH2=AE2+EH2-2AE·EHcos 135°,得x2=1+x2+x,整理得5x2-2x-6=0,解得x=.所以线段AM的长为.评析本题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角,直线与平面所成的角,直线与平面垂直等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.3.(2012天津,17,13分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2,PD=CD=2.(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值;(2)证明平面PDC⊥平面ABCD;(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.解析(1)在四棱锥P-ABCD中,因为底面ABCD是矩形,所以AD=BC且AD∥BC,故∠PAD(或其补角)为异面直线PA与BC所成的角.又因为AD⊥PD,所以tan∠PAD==2.所以,异面直线PA与BC所成角的正切值为2.(2)证明:由于底面ABCD是矩形,故AD⊥CD,又由于AD⊥PD,CD∩PD=D,因此AD⊥平面PDC,而AD⊂平面ABCD,所以平面PDC⊥平面ABCD.(3)在平面PDC内,过点P作PE⊥CD交直线CD于点E,连接EB.由于平面PDC⊥平面ABCD,而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线,故PE⊥平面ABCD.由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角.在△PDC中,PD=CD=2,PC=2,故∠PCD=30°.在Rt△PEC中,PE=PCsin 30°=.由AD∥BC,AD⊥平面PDC,得BC⊥平面PDC,因此BC⊥PC.在Rt△PCB中,PB==.在Rt△PEB中,sin∠PBE==.所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.评析本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.B组统一命题、省(区、市)卷题组1.(2018课标Ⅱ文,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A. B. C. D.答案 C2.(2016浙江文,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n答案 C3.(2015浙江文,4,5分)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β.()A.若l⊥β,则α⊥βB.若α⊥β,则l⊥mC.若l∥β,则α∥βD.若α∥β,则l∥m答案 A4.(2015广东文,6,5分)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交答案 D5.(2014广东文,9,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定答案 D6.(2015四川文,18,12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论;(3)证明:直线DF⊥平面BEG.解析(1)点F,G,H的位置如图所示.(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下:因为ABCD-EFGH为正方体,所以BC∥FG,BC=FG,又FG∥EH,FG=EH,所以BC∥EH,BC=EH,故BCHE为平行四边形.所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH,BE⊄平面ACH,所以BE∥平面ACH.同理,BG∥平面ACH.又BE∩BG=B,所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明:连接FH.因为ABCD-EFGH为正方体,所以DH⊥平面EFGH,因为EG⊂平面EFGH,所以DH⊥EG.又EG⊥FH,DH∩FH=H,所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD,所以DF⊥EG.同理,DF⊥BG.又EG∩BG=G,所以DF⊥平面BEG.评析本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力.7.(2014课标Ⅱ文,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)设AP=1,AD=,三棱锥P-ABD的体积V=,求A到平面PBC的距离.解析(1)证明:设BD与AC的交点为O,连接EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EO∥PB.EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC.(2)V=·PA·S△ABD=PA·AB·AD=AB.由V=,可得AB=.作AH⊥PB交PB于H.由题设知BC⊥平面PAB,所以BC⊥AH,又BC∩BP=B,故AH⊥平面PBC.又AH=·=,所以A到平面PBC的距离为.评析本题考查直线和平面平行、垂直的判定方法以及空间距离的计算,考查了空间想象能力.C组教师专用题组(2014陕西文,17,12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(1)求四面体ABCD的体积;(2)证明:四边形EFGH是矩形.解析(1)由该四面体的三视图可知,BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1,∴AD⊥平面BDC,∴四面体ABCD 的体积V=××2×2×1=. (2)证明:∵BC∥平面EFGH,平面EFGH ∩平面BDC=FG,平面EFGH ∩平面ABC=EH, ∴BC∥FG,BC ∥EH,∴FG∥EH. 同理,EF ∥AD,HG ∥AD,∴EF∥HG, ∴四边形EFGH 是平行四边形.又∵AD⊥平面BDC,∴AD⊥BC,∴EF⊥FG, ∴四边形EFGH 是矩形.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2019届天津七校联考期中,4)已知m,n 是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是( ) A.若α⊥γ,α⊥β,则γ∥βB.若m ∥n,m ⊂α,n ⊂β,则α∥βC.若m ∥n,m ⊥α,n ⊥β,则α∥βD.若m ∥n,m ∥α,则n ∥α 答案 C2.(2018天津杨村一中热身训练,4)已知命题p:“直线l 垂直于平面α内的无数条直线”的充要条件是“l ⊥α”;命题q:若平面α⊥平面β,直线a ⊄β,则“a ⊥α”是“a 平行于β”的充分不必要条件,则正确命题是( ) A.p ∧q B.(¬p)∧q C.(¬p)∧(¬q) D.p ∨(¬q) 答案 B3.(2018天津南开中学第三次月考,5)若m 、n 是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,则下列命题中真命题是( ) A.若m ⊥β,m ∥α,则α⊥βB.若α∩γ=m,β∩γ=n,m ∥n,则α∥βC.若m ⊂β,α⊥β,则m ⊥αD.若α⊥γ,α⊥β,则β⊥γ 答案 A4.(2019届天津七校联考期中,8)在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 为线段A 1B 上的动点,则下列结论正确的有( ) ①三棱锥M-DCC 1的体积为定值; ②DC 1⊥D 1M;③∠AMD 1的最大值为90°; ④AM+MD 1的最小值为2.A.①②B.①②③C.③④D.①②④ 答案 A二、填空题(每小题5分,共5分)5.(2019届天津新华中学期中,10)已知m,n 是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是 . ①若α,β垂直于同一平面,则α与β平行 ②若m,n 平行于同一平面,则m 与n 平行③若α,β不平行···,则在α内不存在···与β平行的直线④若m,n 不平行···,则m 与n 不可能···垂直于同一平面答案 ④三、解答题(共75分)6.(2017天津南开中学第五次月考,17)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AC=BC=AA 1,D 是棱AA 1的中点,DC 1⊥BD. (1)证明:DC 1⊥BC;(2)求二面角A 1-BD-C 1的大小.解析 (1)证明:由题设知,三棱柱的侧面为矩形.由于D 为AA 1的中点,故DC=DC 1.又AC=AA 1,所以D +DC 2=C,所以DC 1⊥DC.而DC 1⊥BD,DC ∩BD=D,所以DC 1⊥平面BCD.又BC ⊂平面BCD,故DC 1⊥BC.(2)由(1)知BC ⊥DC 1,且BC ⊥CC 1,且DC 1∩CC 1=C 1,则BC ⊥平面ACC 1,所以CA,CB,CC 1两两相互垂直.以C 为坐标原点, 为x 轴的正方向, 为y 轴的正方向, 为z 轴的正方向,| |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.由题意知A 1(1,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),C 1(0,0,2), 则 =(0,0,-1), =(1,-1,1), =(-1,0,1). 设n =(x,y,z)是平面A 1B 1BD 的法向量,则 · ·即 - 令x=1,则y=1,因此可取n =(1,1,0).同理,设m =(a,b,c)是平面C 1BD 的法向量,则 · · 即 - - 令a=1,则c=1,b=2,故可取m =(1,2,1).从而cos<n,m >=· · =. 又易知二面角A 1-BD-C 1为锐二面角,故二面角A1-BD-C1的大小为30°.7.(2017天津南开一模,17)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PA=PB,PA⊥PB,F为CP上的点,且BF⊥平面PAC.(1)求证:平面PAB⊥平面ABCD;(2)求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值;(3)在棱PD上是否存在一点G,使GF∥平面PAB?若存在,求PG的长;若不存在,说明理由.解析(1)证明:∵BF⊥平面PAC,PA⊂平面PAC,∴BF⊥PA,又PA⊥PB,PB∩BF=B,∴PA⊥平面PBC,又BC⊂平面PBC,∴PA⊥BC,又∵底面ABCD是正方形,∴AB⊥BC,又PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,∵BC⊂平面ABCD,∴平面PAB⊥平面ABCD.(2)作PE⊥AB,垂足为E,连接EC,由(1)知平面PAB⊥平面ABCD,又平面PAB∩平面ABCD=AB,∴PE⊥平面ABCD,则∠PCE为直线PC 与平面ABCD所成角.∵PA=PB,PA⊥PB,AB=2,∴PE=1,PB=,∴在Rt△PBC中,由勾股定理得PC=,∴在Rt△PEC中,sin∠PCE==,∴直线PC与平面ABCD所成角的正弦值为.(3)作FG∥CD,交PD于G,∵FG∥CD,AB∥CD,∴FG∥AB.又∵FG⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴FG∥平面PAB,∵BF⊥平面PAC,PC⊂平面PAC,∴BF⊥PC.∴在Rt△PBC中,易得BF=.在Rt△PBF中,由勾股定理可得PF=.又∵PC=PD,∴PG=,即棱PD上存在一点G,使GF∥平面PAB,且PG=.解题分析本题考查线面、面面垂直的判定定理,考查线面角,考查线面平行,属于中档题.8.(2017天津南开二模,17)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,∠BAC=90°,AC=AB=AA1,E是BC的中点.(1)求证:AE⊥B1C;(2)求异面直线AE与A1C所成角的大小;(3)若G为C1C的中点,求二面角C-AG-E的正切值.解析(1)证明:∵BB1⊥平面ABC,AE⊂平面ABC,∴AE⊥BB1,由AB=AC,E为BC的中点得AE⊥BC,∵BC∩BB1=B,∴AE⊥平面BB1C1C,又B1C⊂平面BB1C1C,∴AE⊥B1C.(2)取B1C1的中点E1,连接A1E1,E1C,则AE∥A1E1,∴∠E1A1C或其补角是异面直线AE与A1C所成的角.设AC=AB=AA1=2,则由∠BAC=90°,可得A1E1=AE=,A1C=2,E1C1=EC=BC=,∴E1C==,在△E1A1C中,由余弦定理的推论得cos∠E1A1C=-=,∴异面直线AE与A1C所成角的大小为.(3)设P是AC的中点,过点P作PQ⊥AG于Q,连接EP,EQ,则EP∥AB,EP⊥AC,又∵平面ABC⊥平面ACC1A1,且平面ACC1A1∩平面ABC=AC,EP⊂平面ABC,∴EP⊥平面ACC1A1,而PQ⊥AG,∴由三垂线定理得EQ⊥AG.∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角,设EP=1,则AP=1,=,PQ=,得tan∠PQE==.所以二面角C-AG-E的正切值是.解题分析本题是与二面角有关的立体几何综合题,主要考查了异面直线的夹角,线线垂直的判定,二面角等知识点,难度适中,熟练掌握线面垂直,线线垂直与面面垂直之间的转化及异面直线夹角与二面角的定义,是解答本题的关键.9.(2018天津实验中学热身训练,17)如图,在侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=,AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点.(1)证明:EF∥A1D1;(2)证明:BA1⊥平面B1C1EF;(3)求BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值.解析(1)证明:因为C1B1∥A1D1,C1B1⊄平面ADD1A1,A1D1⊂平面ADD1A1,所以C1B1∥平面A1D1DA.又因为平面B1C1EF∩平面A1D1DA=EF,所以C1B1∥EF,所以A1D1∥EF.(2)证明:因为BB1⊥平面A1B1C1D1,B1C1⊂平面A1B1C1D1,所以BB1⊥B1C1.又因为B1C1⊥B1A1,BB1∩B1A1=B1,所以B1C1⊥平面ABB1A1,又BA1⊂平面ABB1A1,所以B1C1⊥BA1.在矩形ABB1A1中,F是AA1的中点,所以tan∠A1B1F=tan∠AA1B=,即∠A1B1F=∠AA1B,故BA1⊥B1F,又B1F∩B1C1=B1,所以BA1⊥平面B1C1EF.(3)设BA1与B1F的交点为H,连接C1H.由(2)知BA1⊥平面B1C1EF,所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角.在矩形AA1B1B中,AB=,AA1=2,易得BH=.在Rt△BHC1中,BC1=2,BH=,所以sin∠BC1H==.所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是.10.(2018天津河西二模,17)如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ACD=90°,AB=1,AD=2,四边形ABEF为正方形,平面ABEF⊥平面ABCD,P为DF的中点,AN⊥CF,垂足为N.(1)求证:AN⊥平面CDF;(2)求异面直线BF与PC所成角的正切值;(3)求三棱锥B-CEF的体积.解析(1)证明:∵四边形ABEF为正方形,∴AB⊥AF,∵四边形ABCD为平行四边形,∠ACD=90°,∴CD⊥AC,AB∥CD,∴CD⊥AF,∵AF∩AC=A,∴CD⊥平面ACF,∵AN⊂平面AFC,∴CD⊥AN,∵AN⊥CF,CF∩CD=C,∴AN⊥平面CDF.(2)连接BD交AC于点O,连接AP、PO.∵四边形ABCD为平行四边形,∠ACD=90°,AB=1,AD=2,∴AC=-=-=,∴AO=CO=,∵平面ABEF⊥平面ABCD,∴AF⊥平面ABCD,又AD⊂平面ABCD,∴AF⊥AD,∵四边形ABEF为正方形,AB=1,∴AF=AB=1,∵P为DF的中点,∴AP=FD.由(1)知CD⊥平面ACF,∴CD⊥CF,又P为DF的中点,∴CP=FD,∴AP=CP=FD===,∵P为DF的中点,O是BD的中点,∴BF∥PO,∴∠CPO或其补角是异面直线BF与PC所成的角,sin∠CPO===,∴cos∠CPO=,tan∠CPO=,∴异面直线BF与PC所成角的正切值为.(3)由(1)知CD∥AB,且∠ACD=90°,∴∠CAB=90°,即AB⊥AC,由(2)知AF⊥平面ABCD,∴AF⊥AC,又AF∩AB=A,∴AC⊥平面ABF,又由(2)知CA=,∴三棱锥B-CEF的体积V B-CEF=V C-BEF=S△BEF×CA=××1×1×=.11.(2017天津耀华中学一模,17)如图1,在边长为3的正三角形ABC中,E,F,P分别为AB,AC,BC上的点,且满足AE=FC=CP=1.将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使平面A1EF⊥平面EFB,连接A1B,A1P,Q为A1B上一点,连接PQ,CQ.(如图2)(1)若Q为A1B中点,求证:PQ∥平面A1EF;(2)求证:A1E⊥EP;(3)求CQ与平面A1BE所成角的正切值.解析(1)证明:取A1E的中点M,连接QM,MF,在△A1BE中,Q、M分别为A1B、A1E的中点,∴QM∥BE,且QM=BE.在题图1中,∵==,∴PF∥BE,且PF=BE,∴QM∥PF且QM=PF,∴四边形PQMF为平行四边形.∴PQ∥FM.又∵FM⊂平面A1EF,且PQ⊄平面A1EF,∴PQ∥平面A1EF.(2)证明:如图,取BE中点D,连接DF,∵AE=CF=1,DE=1,∴AF=AD=2.又∠A=60°,∴△ADF是正三角形.∵AE=ED=1,∴EF⊥AD,∴在题图2中有A1E⊥EF.∵平面A1EF⊥平面EFB,平面A1EF∩平面EFB=EF,∴A1E⊥平面EFB,又EP⊂平面EFB,∴A1E⊥EP.(3)作CN⊥BE于N,连接QN,则CN∥EF.∵EF⊥A1E,EF⊥BE,A1E∩BE=E,∴EF⊥平面A1BE.因此,CN⊥平面A1BE,即QN是CQ在平面A1BE内的射影.∴∠CQN为CQ与平面A1BE所成的角.由计算可得CN=,BQ=A1B=,cos∠A1BE=.∴QN2=BQ2+BN2-2BQ·BN·cos∠A1BE=.∴QN=.∴tan∠CQN===.即CQ与平面A1BE所成角的正切值为.解题分析本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定,考查空间想象能力和思维能力,考查线面角的求法,正确找出CQ 与平面A1BE所成的角是解答该题的关键.。

第2讲空间点、线、面之间的位置关系Ⅰ考点解读知识点一：平面的基本性质1.公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．2.公理2过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．（1）推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．（2）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．（3）推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．3.公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．知识点二：两条直线之间的位置关系1.两直线间的位置关系位置关系图形表示符号表示共面情况公共点平行a∥b共面直线0个相交a∩b＝O1个异面a与b异面异面直线0个2.异面直线所成的角（1）定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)．（2）范围：(0°，90°]3.平行公理平行于同一条直线的两条直线平行.4.等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等.知识点三：直线与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点线在面内a⊂α无数个线面相交a∩α＝A1个线面平行a∥α无公共点知识点四：两个平面之间的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点面面平行α∥β无公共点面面相交α∩β＝a一公共直线Ⅱ解题模板题型一：平面的基本性质理解例1：下列命题是真命题的是（）A.空间中不同三点确定一个平面B.空间中两两相交的三条直线确定一个平面C.一条直线和一个点能确定一个平面D.梯形一定是平面图形例2：已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b（）A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线例3：已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A.l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B.l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C.l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D.l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面例4：下列命题中，正确的结论有（）①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行A.1个B.2个C.3个D.4个例5：如图，平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，且点C∈β，点C∉l.又AB∩l＝R，设A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是（）A.直线ACB.直线BCC.直线CRD.直线AR题型二：异面直线基本问题例1：如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点.问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．例2：已知A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点.求证：直线EF与BD是异面直线.例3：在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________________ (填上所有正确答案的序号)．例4：如右图，在三棱锥P—ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有________对．规律总结：证明两直线为异面直线时，直接证明不易操作，故一般都采用反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.题型三：异面直线所成角问题例1：在正方体ABCDA1B1C1D1中．(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．例2：如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角．例3：如图所示，空间四边形ABCD中，两条对边AB＝3，CD＝3，E、F分别是另外两条对边AD、BC上的点，且AEED＝BFFC＝12，EF＝3，求AB和CD所成的角的大小．例4：如图所示，过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作（）A.1条B.2条C.3条D.4条规律总结：求异面直线所成的角通常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：⑴利用图中已有的平行线平移；⑵利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；⑶利用补全图形来平移.平移完成后，计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.题型四：点共线、点共面、线共点的证明问题例1：已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．例2：已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示.求证：P、Q、R三点共线．例3：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q.求证：B、Q、D1三点共线．例4：如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点.(1)求证：E、C、D1、F四点共面；(2)求证：CE、D1F、DA三线共点．例5：如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且CFCB＝CGCD＝23.求证：三条直线EF、GH、AC交于一点．规律总结：⑴要证明直线共面问题，先证明其中两条直线平行或相交，即这两条直线确定一个平面α；再证明其余直线上均有两点也在平面α内，即其余直线也在平面α内，也就是证明了这些直线共面.⑵要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用平面的基本性质3，即证点在两个平面的交线上．或者选择其中两点确定一直线，然后证明另一点也在此直线上．题型五：几何体的截面问题例1：正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是（）A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形例2：下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．第2讲空间点、线、面之间的位置关系题型一：平面的基本性质理解1.D 空间中不共线的三点确定一个平面，A错；空间中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面，B错；经过直线和直线外一点确定一个平面，C错；故D正确．2.C由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾.3.B 在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，D错．4.B ①错，符合条件的两角相等或互补；②符合等角定理；③错，可能不相等也不互补；④是公理4.故②④正确．5.C ∵C∈平面ABC，AB平面ABC，而R∈AB，∴R∈平面ABC.而C∈β，lβ，R∈l，∴R∈β，∴点C，点R为两平面ABC与β的公共点，∴β∩γ＝CR.题型二：异面直线基本问题1.(1)不是异面直线．理由如下：连接MN、A1C1、AC.∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又∵A1A綉C1C，∴A1ACC1为平行四边形，∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM、CN不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：∵ABCDA1B1C1D1是正方体，∴B、C、C1、D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，∴D1，B、C、C1∈α，与ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾．∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．2.假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．3.(2)(4)如题干图(1)中，直线GH∥MN；图(2)中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图(3)中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图(4)中，G、M、N共面，但H∉面GMN，∴GH与MN异面．4.3据定义可知共3对，AP与BC，CP与AB，BP与AC.题型三：异面直线所成角问题1.(1)如图所示，连接AB 1，B 1C ，由ABCDA 1B 1C 1D 1是正方体，易知A 1D ∥B 1C ，从而B 1C 与AC 所成 的角就是AC 与A 1D 所成的角． ∵AB 1＝AC ＝B 1C ， ∴∠B 1CA ＝60°.即A 1D 与AC 所成的角为60°.(2)如图所示，连接AC 、BD ，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中， AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1，∵E 、F 分别为AB 、AD 的中点， ∴EF ∥BD ，∴EF ⊥AC . ∴EF ⊥A 1C 1.即A 1C 1与EF 所成的角为90°.2.如图所示，取BD 的中点G ，连接EG ，FG . ∵E ，F 分别为BC ，AD 的中点，∴EG ∥CD ，GF ∥AB ，EG ＝12CD ，GF ＝12AB .∴∠GFE 就是EF 与AB 所成的角，∵AB ⊥CD ，∴EG ⊥GF ，即∠EGF ＝90°.∵AB ＝CD ，∴GF ＝EG ，∴△EFG 为等腰直角三角形，∴∠GFE ＝45°，即EF 与AB 所成的角为45°.3.如题图，在BD 上取点M 使BM ＝12MD ，连接EM ，MF .∵AE ED ＝BF FC ＝12，∴EM 綊23AB ，MF 綊13DC . ∴∠EMF (或其补角)为AB 和CD 所成的角.∵AB ＝3，CD ＝3，∴EM ＝2，MF ＝1.又∵EF ＝3， ∴∠EMF ＝60°.∴AB 和CD 所成的角为60°.4.如图，连结体对角线AC 1，显然AC 1与棱AB 、 AD 、AA 1所成的角都相等，所成角的正切值都 为2.联想正方体的其他体对角线，如连结BD 1， 则BD 1与棱BC 、BA 、BB 1所成的角都相等， ∵BB 1∥AA 1，BC ∥AD ，∴体对角线BD 1与棱AB 、AD 、AA 1所成的角都相等，同理，体对角线A 1C 、DB 1也与棱AB 、AD 、AA 1所成的角都相等，过A 点分别作BD 1、A 1C 、DB 1的平行线都满足题意，故这样的直线l 可以作4条． 题型四：点共线、点共面、线共点的证明问题1.∵l 1∩l 2＝A ，∴l 1和l 2确定一个平面α.∵l 2∩l 3＝B ，∴B ∈l 2.又∵l 2α，∴B ∈α.同理可证C ∈α. 又∵B ∈l 3，C ∈l 3，∴l 3α.∴直线l 1、l 2、l 3在同一平面内． 2.∵AB ∩α＝P ，∴P ∈AB ，P ∈平面α. 又AB 平面ABC ，∴P ∈平面ABC .∴由公理3可知：点P 在平面ABC 与平面α的交线上， 同理可证Q 、R 也在平面ABC 与平面α的交线上． ∴P 、Q 、R 三点共线．3.∵D 1∈平面ABC 1D 1，D 1∈平面A 1D 1CB ，B ∈平面ABC 1D 1，B ∈平面A 1D 1CB ， ∴平面ABC 1D 1∩平面A 1D 1CB ＝BD 1.∵A 1C ∩平面ABC 1D 1＝Q ，且A 1C 在平面A 1D 1CB 内， ∴Q ∈平面A 1D 1CB ，又Q ∈平面ABC 1D 1，∴Q 在两平面的交线BD 1上，∴B 、Q 、D 三点共线. 4.(1)如图，连接EF ，CD 1，A 1B .∵E 、F 分别是AB 、AA 1的中点，∴EF ∥BA 1.又A 1B ∥D 1C ，∴EF ∥CD 1，∴E 、C 、D 1、F 四点共面． (2)∵EF ∥CD 1，EF ＜CD 1，∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ， 则由P ∈CE ，CE ⊂平面ABCD ，得P ∈平面ABCD . 同理P ∈平面ADD 1A 1.又平面ABCD ∩平面ADD 1A 1＝DA ，∴P ∈直线DA ，∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．5.∵E 、H 分别为边AB 、AD 的中点，∴EH 綉12BD ，而CF CB ＝CG CD ＝23，∴FG BD ＝23，且FG ∥BD .∴四边形EFGH 为梯形，故两腰EF 、GH 必相交于一点P . ∵P ∈直线EF ，EF ⊂平面ABC ，∴P ∈平面ABC .同理，P∈平面ADC.∴P在平面ABC和平面ADC的交线AC上，故EF、GH、AC三直线交于一点．题型五：几何体的截面问题1.过正方体棱上的点P、Q、R的截面必和正方体每个面有交线.如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB交于M，连接MR交BB1于E，连接PE、RE为截面的部分外形．同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG.∴截面为六边形PQFGRE.2.①②③在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，故P、Q、R、S四点不共面.可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．。

8.2 空间点、线、面的位置关系挖命题【考情探究】分析解读 1.会用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面问题；会用反证法证明有关异面或共面问题.2.会判定和证明两条直线异面；会应用三线平行公理和等角定理及推论解决有关问题，会求两条异面直线所成的角；了解两条异面直线间的距离3高考对本节内容的考查常以棱柱、棱锥为依托，求异面直线所成的角,分值约为5分,属中档题.破考点【考点集训】考点一点、线、面的位置关系1. （2018四川泸州模拟，6）设a,b是空间中不同的直线,a , 3是不同的平面，则下列说法正确的是（）A. a // b,b ? a ,贝U a // aB. a? a ,b ? 3 , a // 3 ,则a // bC. a? a ,b ? a ,a // 3 ,b // 3 ,贝V a / 3D. a // 3 ,a ? a ,则a / 3答案D2. （2018 江西期中,4）如图，a A3 =I,A,B € a ,C € 3 ,且C?l,直线ABAI=M,过A,B,C 三点的平面记作丫，则丫与3的交线必通过（）A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M答案D3. （2017河北邯郸调研，5）如图，在三棱锥S-ABC中GG分别是△ SAB和厶SAC的重心,则直线GG与BC的位置关系是（）A.相交B.平行C.异面D.以上都有可能答案B考点二异面直线所成的角1. （2017河北唐山3月模拟，10）已知P是厶ABC所在平面外一点，M,N分别是AB,PC的中点，若MN=BC=4,PA=4_,则异面直线PA与MN所成角的大小是（）A.30 °B.45 °C.60°D.90°答案 A2. （2018广东东莞模拟,6）在正四棱锥P-ABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成角为60° ,E 为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为（）A.90 °B.60 °C.45°D.30°答案C炼技法【方法集训】方法1点、线、面位置关系的判定及应用1. （2018四川泸州模拟,4）在正方体ABCD-ABQ D中，棱所在直线与直线BA是异面直线的条数为（）A.4B.5C.6D.7答案C2. （2017河北邢台二模，5）设m,n是两条不同的直线，a , B是两个不同的平面•给出下列四个命题：①若m// n,m丄3 ,则n丄B ; ②若m// n,m // 3 ,则n // 3 ;③若m// a ,m // 3 ,贝U a // 3 ; ④若n丄a ,n丄3 ,贝U a丄3 .其中真命题的个数为（）答案 A3.（2018安徽皖南八校联考，15）已知正方体 ABCD-ABCD 的体积为1,点M 在线段BC 上（点M异于点B,C ）,点N 为线段CC 的中点，若平面AMN 截正方体ABCD-AB i C i D 所得的截面为四边形， 则线段BM 长的取值范围为 _________ .答案 -方法2异面直线所成角的求法1.（2018河北、山西、河南三省 4月联考,10）在三棱锥P-ABC 中，△ ABC^D ^ PBC 均为等边三 角形,且二面角P-BC-A 的大小为120° ,则异面直线PB 和AC 所成角的余弦值为（）答案 A2. （2018上海普陀一模,18）如图所示的圆锥的体积为一n ,底面直径AB=2,点C 是 的中点，点D 是母线PA 的中点. （1）求该圆锥的侧面积；（2）求异面直线PB 与CD 所成角的大小A.1B.2C.3D.4A.-B.- c.・D.-解析（1）•••圆锥的体积为一n ,底面直径AB=2,2一n XI X PO^ n ,解得PO=••• PA==2,•••该圆锥的侧面积S=n rl= n X 1 X 2=2 n .⑵连接OC.•••点C是的中点，0为底面圆心，• POL平面ABC,OCL AB,•••以0为原点，0C所在直线为x轴,0B所在直线为y轴,0P所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,-1,0),P(0,0, —),D ------ ,B(0,1,0),C(1,0,0), =(0,1,- 一)，= ---------- ,设异面直线PB与CD所成角为0 ,贝U cos 0 = ------ ^―—,0 ^.•••异面直线PB与CD所成角为-.过专题【五年高考】A组统一命题课标卷题组1. (2017 课标n ,10,5 分)已知直三棱柱ABC-ABC 中，/ ABC=120 ,AB=2,BC=CC i=1,则异面直线AB与BG所成角的余弦值为（）A. _B.—G.— D.—答案G2. （2016 课标I ,11,5 分）平面a过正方体ABCD-ABGD的顶点A, a//平面ABGD=m a门平面ABBA= n,则m,n所成角的正弦值为（）A. _B. _C._D.-答案 A3. （2014 课标II ,11,5 分）直三棱柱ABC-ABQ 中,/ BGA=90 ,M,N 分别是点,BC=CA=CG则BM与AN所成角的余弦值为（）A.—B.- G.— D.—答案G4. （2017课标川,16,5分）a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形AC所在直线与a,b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是 ________ .（填写所有正确结论的编号）答案②③B 组自主命题省（区、市）卷题组考点一点、线、面的位置关系1.（2015广东,8,5分）若空间中n 个不同的点两两距离都相等 ，则正整数n 的取值（）A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5答案 B2.（2015 福建,7,5 分）若l,m 是两条不同的直线，m 垂直于平面 a ,则“丄m ”是“// a”的 （ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B3.（2014广东,7,5分）若空间中四条两两不同的直线 I 1,1 2,1 3,| 4,满足|1丄|2,|2丄|3,|3丄|4,则下列结论一定正确的是 （ ）A.| 1 丄 | 4B 」1 // | 4C.| 1与|4既不垂直也不平行D.| 1与I 4的位置关系不确定答案 D考点二异面直线所成的角（2015四川,14,5分）如图，四边形ABCD 和ADPQ 匀为正方形，它们所在的平面互相垂直，动 点M 在线段PQ 上,E,F 分别为AB,BC 的中点.设异面直线EM 与 AF 所成的角为0 ,则cos 0 的最大值为 __________________ .CBDi, a A 平面A B ,A 1 G 1 的中ABC 的直角边答案C 组教师专用题组1. (2013课标全国n ,4,5分)已知m,n 为异面直线,m ±平面a ,n 丄平面 3 •直线丨满足I 丄 m,l 丄 n,l ?a ,l ?3 ,则()A. a // 3 且 I 〃 aB. a 丄3且I 丄3C. a 与3相交,且交线垂直于ID. a 与3相交，且交线平行于I 答案 D直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.点 E 是 CD 边的中点，点 F,G 分别在线段 AB,BC 上,且 AF=2FB,CG=2GB.(1) 证明：PE 丄FG;(2) 求二面角P-AD-C 的正切值;(3) 求直线PA 与直线FG 所成角的余弦值解析 (1)证明：因为PD=PC 点E 为DC 的中点，所以PE 丄DC.又因为平面 PDCL 平面ABCD 交线为DC,所以PE 丄平面ABCD.又FG?平面ABCD 所以PE 丄FG.(2)由(1)可知,PE 丄AD.因为四边形ABCD 为长方形，所以AD ± DC.又因为PEADC=E,所以AD 丄平面PDC.2.(2015 广东,18,14 分)如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的/>而PD?平面PDC所以ADL PD.由二面角的平面角的定义，可知/ PDC为二面角P-AD-C的一个平面角.在Rt △ PDE中,PE= - =:所以tan / PDC—^―.从而二面角P-AD-C的正切值为—.⑶连接AC.因为一=—=-，所以FG// AC.易求得AC=3 一,PA= =5.所以直线PA与直线FG所成角等于直线PA与直线AC所成角，即/ PAC,在△ PAC 中,cos / PAC= ------- =一.所以直线PA与直线FG所成角的余弦值为二.【三年模拟】一、选择题（每小题5分，共45分）1. （2019届广东汕头第三次联考，4）下列命题中，错误命题的个数为（）（1）直线a与平面a不平行，则直线a与平面a内的所有直线都不平行；（2）直线a与平面a不垂直，则直线a与平面a内的所有直线都不垂直；（3）异面直线a、b不垂直，则过直线a的任何平面与直线b都不垂直；⑷若直线a和b共面,直线b和c共面,则直线a和c共面.A.1B.2C.3D.4答案C2. （2019届黑龙江哈尔滨师范大学附中期中，6）直三棱柱ABC-ABQ中,AB丄AC,AB=AC=AA则直线AB与AG所成角的大小为（）答案 B3.（2019届辽宁沈阳东北育才学校模拟 ，8）如图，在三棱柱ABC-AB i C 中，侧棱AA 丄底面ABQ, 底面三角形A i B i C 是正三角形,E 是BC 的中点，则下列叙述正确的是（） i 与B i E 是异面直线B. AC 丄平面ABBA iC. AE,B i C i 为异面直线且 AE! BCD. A i C // 平面 ABE答案 C4. （20 i 9届广东肇庆第一次统测，9）如图，正三棱柱ABC-A B i C 各条棱的长度均相等，D 为AA 的中点，M ，N 分别是线段BB 和线段CC 上的动点（含端点），且满足BM=CN ，当M ，N 运动时，下列 结论中不正确的是（ ）A. 在△ DMN 内总存在与平面 ABC 平行的线段B. 平面 DMNL 平面 BCCB iA.30B.60C.90°D.120° aC. 三棱锥A i -DMN的体积为定值D. △ DMN可能为直角三角形答案D5.（2017分别为PA,PD的中点，在此几何体中广东惠州三调,11）如图是一个几何体的平面展开图①直线BE与直线CF异面; ②直线BE与直线AF异面;③直线EF//平面PBC; ④平面BCEL平面PAD.其中正确的有（A.1个B.2个C.3个D.4个答案B6.（2018四川成都二诊，5）已知m,n是空间中两条不同的直线 a , 3为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（A.若m? a ,则m± 3B.若m? a ,n ? 3 ,贝U m±nC.若m? a ,m l 3 ,则mil aD.若aA 3 =m,n丄m,贝U n 丄a答案7.（2018山东泰安二模,9）已知m,n是两条不同的直线，a ,丫是三个不同的平面，下列命题正确的是（A.若m〃a ,n / m// nB.若a丄丫, 3丄丫,贝V a// 3C.若m〃a ,m /D.若ml a ,n 丄a ,贝V m〃n答案D8.（2018四川泸州模拟,7）在正方体ABCD-ABGD中,E为BC的中点,F为BQ的中点，则异面直线AF与GE所成角的正切值为（）A._B._C.—D._答案C9. （2018河南百校联盟联考,11）如图所示,在四棱锥A-BCDE中，三角形ACD与三角形ADE均为正三角形，三角形ACE为直角三角形，四边形BCDE为平行四边形,M,N分别为AB,DE的中点，则异面直线CE与MN所成角的余弦值为（）A.-B.-C.—D.—答案C、填空题（每小题5分,共10分）10. （2018 湖北黄冈八模,15）已知棱柱ABCD-ABQD 中，AA1丄平面ABCD,AA=AB=BC=2AD=2,AID BC,AB丄BC,则直线AD 与直线CD所成的角的正切值为.答案一11. （2018河北唐山统一考试,14）在三棱锥P-ABC中,PB=6,AC=3,G PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC,则截面的周长为 __________ 答案8。

8.2 空间点、线、面的位置关系挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.点、线、面的位置关系①理解空间直线、平面位置关系的定义,了解有关可以作为推理依据的公理和定理.②能运用公理、定理和已获得的结论证明空间图形的位置关系2016浙江,2,5分点、线、面的位置关系线面平行、垂直的性质★★☆2015福建,7,5分线、面的位置关系充分条件、必要条件2.异面直线所成的角会求异面直线所成的角2018课标Ⅱ,9,5分异面直线所成的角余弦定理、空间向量★★★2017课标Ⅱ,10,5分异面直线所成的角余弦定理、空间向量2016课标Ⅰ,11,5分异面直线所成的角面面平行的性质2014课标Ⅱ,11,5分异面直线所成的角余弦定理、空间向量分析解读 1.会用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面问题;会用反证法证明有关异面或共面问题.2.会判定和证明两条直线异面;会应用三线平行公理和等角定理及推论解决有关问题,会求两条异面直线所成的角;了解两条异面直线间的距离.3.高考对本节内容的考查常以棱柱、棱锥为依托,求异面直线所成的角,分值约为5分,属中档题.破考点【考点集训】考点一点、线、面的位置关系1.(2018四川泸州模拟,6)设a,b是空间中不同的直线,α,β是不同的平面,则下列说法正确的是( )A.a∥b,b⊂α,则a∥αB.a⊂α,b⊂β,α∥β,则a∥bC.a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β,则α∥βD.α∥β,a⊂α,则a∥β答案D2.(2018江西期中,4)如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过( )A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M答案D3.(2017河北邯郸调研,5)如图,在三棱锥S-ABC中,G1,G2分别是△SAB和△SAC的重心,则直线G1G2与BC的位置关系是( )A.相交B.平行C.异面D.以上都有可能答案B考点二异面直线所成的角1.(2017河北唐山3月模拟,10)已知P是△ABC所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,若MN=BC=4,PA=4,则异面直线PA与MN所成角的大小是( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案A2.(2018广东东莞模拟,6)在正四棱锥P-ABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成角为60°,E 为PC的中点,则异面直线PA与BE所成角为( )A.90°B.60°C.45°D.30°答案C炼技法【方法集训】方法1 点、线、面位置关系的判定及应用1.(2018四川泸州模拟,4)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为( )A.4B.5C.6D.7答案C2.(2017河北邢台二模,5)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.给出下列四个命题:①若m∥n,m⊥β,则n⊥β;②若m∥n,m∥β,则n∥β;③若m∥α,m∥β,则α∥β;④若n⊥α,n⊥β,则α⊥β.其中真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案A3.(2018安徽皖南八校联考,15)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1,点M在线段BC上(点M 异于点B,C),点N为线段CC1的中点,若平面AMN截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形,则线段BM长的取值范围为.答案方法2 异面直线所成角的求法1.(2018河北、山西、河南三省4月联考,10)在三棱锥P-ABC中,△ABC和△PBC均为等边三角形,且二面角P-BC-A的大小为120°,则异面直线PB和AC所成角的余弦值为( )A. B. C. D.答案A2.(2018上海普陀一模,18)如图所示的圆锥的体积为π,底面直径AB=2,点C是的中点,点D是母线PA的中点.(1)求该圆锥的侧面积;(2)求异面直线PB与CD所成角的大小.解析(1)∵圆锥的体积为π,底面直径AB=2,∴π×12×PO=π,解得PO=,∴PA==2,∴该圆锥的侧面积S=πrl=π×1×2=2π.(2)连接OC.∵点C是的中点,O为底面圆心,∴PO⊥平面ABC,OC⊥AB,∴以O为原点,OC所在直线为x轴,OB所在直线为y轴,OP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),P(0,0,),D,B(0,1,0),C(1,0,0),=(0,1,-),=,设异面直线PB与CD所成角为θ,则cosθ===,∴θ=.∴异面直线PB与CD所成角为.过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组1.(2017课标Ⅱ,10,5分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )A. B. C. D.答案C2.(2016课标Ⅰ,11,5分)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( )A. B. C. D.答案A3.(2014课标Ⅱ,11,5分)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为( )A. B. C. D.答案C4.(2017课标Ⅲ,16,5分)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)答案②③B组自主命题·省(区、市)卷题组考点一点、线、面的位置关系1.(2015广东,8,5分)若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值( )A.至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5答案B2.(2015福建,7,5分)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B3.(2014广东,7,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定答案D考点二异面直线所成的角(2015四川,14,5分)如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cosθ的最大值为.答案C组教师专用题组1.(2013课标全国Ⅱ,4,5分)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( )A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l答案D2.(2015广东,18,14分)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF=2FB,CG=2GB.(1)证明:PE⊥FG;(2)求二面角P-AD-C的正切值;(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.解析(1)证明:因为PD=PC,点E为DC的中点,所以PE⊥DC.又因为平面PDC⊥平面ABCD,交线为DC,所以PE⊥平面ABCD.又FG⊂平面ABCD,所以PE⊥FG.(2)由(1)可知,PE⊥AD.因为四边形ABCD为长方形,所以AD⊥DC.又因为PE∩DC=E,所以AD⊥平面PDC.而PD⊂平面PDC,所以AD⊥PD.由二面角的平面角的定义,可知∠PDC为二面角P-AD-C的一个平面角.在Rt△PDE中,PE==,所以tan∠PDC==.从而二面角P-AD-C的正切值为.(3)连接AC.因为==,所以FG∥AC.易求得AC=3,PA==5.所以直线PA与直线FG所成角等于直线PA与直线AC所成角,即∠PAC,在△PAC中,cos∠PAC==.所以直线PA与直线FG所成角的余弦值为.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共45分)1.(2019届广东汕头第三次联考,4)下列命题中,错误命题的个数为( )(1)直线a与平面α不平行,则直线a与平面α内的所有直线都不平行;(2)直线a与平面α不垂直,则直线a与平面α内的所有直线都不垂直;(3)异面直线a、b不垂直,则过直线a的任何平面与直线b都不垂直;(4)若直线a和b共面,直线b和c共面,则直线a和c共面.A.1B.2C.3D.4答案C2.(2019届黑龙江哈尔滨师范大学附中期中,6)直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=AA1,则直线A1B与AC1所成角的大小为( )A.30°B.60°C.90°D.120°答案B3.(2019届辽宁沈阳东北育才学校模拟,8)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是( )1与B1E是异面直线B.AC⊥平面ABB1A1C.AE,B1C1为异面直线且AE⊥B1C1D.A1C1∥平面AB1E答案C4.(2019届广东肇庆第一次统测,9)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1各条棱的长度均相等,D为AA1的中点,M,N分别是线段BB1和线段CC1上的动点(含端点),且满足BM=C1N,当M,N运动时,下列结论中的是( )A.在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段B.平面DMN⊥平面BCC1B1C.三棱锥A1-DMN的体积为定值D.△DMN可能为直角三角形答案D5.(2017广东惠州三调,11)如图是一个几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F 分别为PA,PD的中点,在此几何体中,给出下面4个结论:①直线BE与直线CF异面; ②直线BE与直线AF异面;③直线EF∥平面PBC; ④平面BCE⊥平面PAD.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案B6.(2018四川成都二诊,5)已知m,n是空间中两条不同的直线,α,β为空间中两个互相垂直的平面,则下列命题正确的是( )A.若m⊂α,则m⊥βB.若m⊂α,n⊂β,则m⊥nC.若m⊄α,m⊥β,则m∥αD.若α∩β=m,n⊥m,则n⊥α答案C7.(2018山东泰安二模,9)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,下列命题正确的是( )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βC.若m∥α,m∥β,则α∥βD.若m⊥α,n⊥α,则m∥n答案D8.(2018四川泸州模拟,7)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,F为B1C1的中点,则异面直线AF与C1E所成角的正切值为( )A. B. C. D.答案C9.(2018河南百校联盟联考,11)如图所示,在四棱锥A-BCDE中,三角形ACD与三角形ADE均为正三角形,三角形ACE为直角三角形,四边形BCDE为平行四边形,M,N分别为AB,DE的中点,则异面直线CE与MN所成角的余弦值为( )A. B. C. D.答案C二、填空题(每小题5分,共10分)10.(2018湖北黄冈八模,15)已知棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,AA1=AB=BC=2AD=2,AD∥BC,AB⊥BC,则直线A1D与直线CD1所成的角的正切值为.答案11.(2018河北唐山统一考试,14)在三棱锥P-ABC中,PB=6,AC=3,G为△PAC的重心,过点G作三棱锥的一个截面,使截面平行于PB和AC,则截面的周长为.答案8。

8.2 空间点、线、面的位置关系挖命题【考情探究】分析解读 1.会用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面问题;会用反证法证明异面或共面问题.2.会证明两条直线异面;会应用三线平行公理和等角定理及推论解决有关问题,会求两条异面直线所成的角;了解两条异面直线间的距离.3.高考对本节内容的考查常以棱柱、棱锥为载体,求异面直线所成的角,分值约为5分,属于中档题.破考点【考点集训】考点空间点、线、面的位置关系1.α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m⊄α,n⊂α,且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系不可能是( )A.垂直B.相交C.异面D.平行答案D2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为( )A.4B.5C.6D.7答案C3.如图,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有( )A.①③B.②③C.②④D.②③④答案C4.已知四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等,点E是PB的中点,则异面直线AE与PD所成角的余弦值为( )A. B. C. D.答案C5.在正四棱锥P-ABCD中,PA=2,直线PA与平面ABCD所成角为60°,E为PC的中点,则异面直线PA与BE 所成角的大小为.答案45°炼技法【方法集训】方法1 点、线、面位置关系的判断方法1.(2014辽宁,4,5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( )A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m⊥α,n⊂α,则m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α答案B2.如图所示,空间四边形ABCD中,E,F,G分别在AB、BC、CD上,且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1,CG∶GD=3∶1,过E、F、G的平面交AD于H,连接EH.(1)求AH∶HD;(2)求证:EH、FG、BD三线共点.解析(1)∵==2,∴EF∥AC,又EF⊄平面ACD,AC⊂平面ACD,∴EF∥平面ACD,又∵EF⊂面EFGH,面EFGH∩面ACD=GH,∴EF∥GH.而EF∥AC,∴AC∥GH,∴==3.∴AH∶HD=3∶1.(2)证明:∵EF∥GH,且=,=,∴EF≠GH,∴四边形EFGH为梯形,∴直线EH,FG必相交.设EH∩FG=P,则P∈EH,而EH⊂面ABD,∴P∈面ABD,同理,P∈面BCD,而面ABD∩面BCD=BD,∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点.3.如图所示,已知l1,l2,l3,l4四条直线两两相交且不过同一点,交点分别为A,B,C,D,E,F.求证:四条直线l1,l2,l3,l4共面.证明证法一:∵A、C、E不共线,∴它们确定一个平面α,又A∈l1,C∈l1,∴l1⊂α,同理,l2⊂α,又B∈l1,D∈l2,∴B∈α,D∈α,∴l3⊂α,同理,l4⊂α,故l1,l2,l3,l4四条直线共面.证法二:∵点A、C、E不共线,∴它们确定一个平面α,又∵A∈l1,C∈l1,∴l1⊂α,同理,l2⊂α,又∵F、D、E不共线,∴它们确定一个平面β.又D∈l3,F∈l3,E∈l4,F∈l4,∴l3⊂β,l4⊂β.而不共线的三点B、C、D可确定一个平面,又B、C、D既在α内又在β内,故平面α与平面β重合.∴l1,l2,l3,l4四条直线共面.评析证法一与证法二是证明共面问题常用的方法,证法一是先确定一个平面α,后证明其他的直线也在这个平面内,从而使问题得证;证法二是寻找了两个平面α与β使得四条直线在α内或在β内,然后再证明α与β重合,从而使问题得证.证明本题也可用反证法.方法2 异面直线所成角的求法4.已知P是△ABC所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,若MN=BC=4,PA=4,则异面直线PA与MN 所成角的大小是( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案A5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,F为B1C1的中点,则异面直线AF与C1E所成角的正切值为( )A. B. C. D.答案C过专题【五年高考】A组自主命题·天津卷题组1.(2008天津,5,5分)设a,b是两条直线,α,β是两个平面,则a⊥b的一个充分条件是( )A.a⊥α,b∥β,α⊥βB.a⊥α,b⊥β,α∥βC.a⊂α,b⊥β,α∥βD.a⊂α,b∥β,α⊥β答案C2.(2013天津,17,13分)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.(1)证明B1C1⊥CE;(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值;(3)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为,求线段AM的长.解析解法一:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).(1)证明:易得=(1,0,-1),=(-1,1,-1),于是·=0,所以B1C1⊥CE.(2)=(1,-2,-1).设平面B1CE的法向量m=(x,y,z),则··即----消去x,得y+2z=0,不妨令z=1,可得一个法向量为m=(-3,-2,1).由(1)知B1C1⊥CE,又CC1⊥B1C1,可得B1C1⊥平面CEC1,故=(1,0,-1)为平面CEC1的一个法向量.于是cos<m,>=··==-,从而sin<m,>=.所以二面角B1-CE-C1的正弦值为.(3)=(0,1,0),=(1,1,1).设=λ=(λ,λ,λ),0≤λ≤1,有=+=(λ,λ+1,λ).可取=(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量.设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角,则sin θ=|cos<,>|=··==.于是=,解得λ=,所以AM=.解法二:(1)证明:因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1,B1C1⊂平面A1B1C1D1,所以CC1⊥B1C1.经计算可得B1E=,B1C1=,EC1=,从而B1E2=B1+E,所以在△B1EC1中,B1C1⊥C1E,又CC1,C1E⊂平面CC1E,CC1∩C1E=C1,所以B1C1⊥平面CC1E,又CE⊂平面CC1E,故B1C1⊥CE.(2)过B1作B1G⊥CE于点G,连接C1G.由(1)知B1C1⊥CE,故CE⊥平面B1C1G,得CE⊥C1G,所以∠B1GC1为二面角B1-CE-C1的平面角.在△CC1E中,由CE=C1E=,CC1=2,可得C1G=.在Rt△B1C1G中,B1G=,所以sin∠B1GC1=,即二面角B1-CE-C1的正弦值为.(3)连接D1E,过点M作MH⊥ED1于点H,可得MH⊥平面ADD1A1,连接AH,AM,则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角.设AM=x,从而在Rt△AHM中,有MH=x,AH=x.在Rt△C1D1E中,C1D1=1,ED1=,得EH=MH=x.在△AEH中,∠AEH=135°,AE=1,由AH2=AE2+EH2-2AE·EHcos 135°,得x2=1+x2+x,整理得5x2-2x-6=0,解得x=.所以线段AM的长为.评析本题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角,直线与平面所成的角,直线与平面垂直等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.3.(2012天津,17,13分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2,PD=CD=2.(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值;(2)证明平面PDC⊥平面ABCD;(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.解析(1)在四棱锥P-ABCD中,因为底面ABCD是矩形,所以AD=BC且AD∥BC,故∠PAD(或其补角)为异面直线PA与BC所成的角.又因为AD⊥PD,所以tan∠PAD==2.所以,异面直线PA与BC所成角的正切值为2.(2)证明:由于底面ABCD是矩形,故AD⊥CD,又由于AD⊥PD,CD∩PD=D,因此AD⊥平面PDC,而AD⊂平面ABCD,所以平面PDC⊥平面ABCD.(3)在平面PDC内,过点P作PE⊥CD交直线CD于点E,连接EB.由于平面PDC⊥平面ABCD,而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线,故PE⊥平面ABCD.由此得∠PBE 为直线PB与平面ABCD所成的角.在△PDC中,PD=CD=2,PC=2,故∠PCD=30°.在Rt△PEC中,PE=PCsin 30°=.由AD∥BC,AD⊥平面PDC,得BC⊥平面PDC,因此BC⊥PC.在Rt△PCB中,PB==.在Rt△PEB中,sin∠PBE==.所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.评析本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.B组统一命题、省(区、市)卷题组1.(2018课标Ⅱ文,9,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )A. B. C. D.答案C2.(2016浙江文,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则( )A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n答案C3.(2015浙江文,4,5分)设α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且l⊂α,m⊂β.()A.若l⊥β,则α⊥βB.若α⊥β,则l⊥mC.若l∥β,则α∥βD.若α∥β,则l∥m答案A4.(2015广东文,6,5分)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交答案D5.(2014广东文,9,5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定答案D6.(2015四川文,18,12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系,并证明你的结论;(3)证明:直线DF⊥平面BEG.解析(1)点F,G,H的位置如图所示.(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下:因为ABCD-EFGH为正方体,所以BC∥FG,BC=FG,又FG∥EH,FG=EH,所以BC∥EH,BC=EH,故BCHE为平行四边形.所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH,BE⊄平面ACH,所以BE∥平面ACH.同理,BG∥平面ACH.又BE∩BG=B,所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明:连接FH.因为ABCD-EFGH为正方体,所以DH⊥平面EFGH,因为EG⊂平面EFGH,所以DH⊥EG.又EG⊥FH,DH∩FH=H,所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD,所以DF⊥EG.同理,DF⊥BG.又EG∩BG=G,所以DF⊥平面BEG.评析本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力.7.(2014课标Ⅱ文,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)设AP=1,AD=,三棱锥P-ABD的体积V=,求A到平面PBC的距离.解析(1)证明:设BD与AC的交点为O,连接EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EO∥PB.EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC.(2)V=·PA·S△ABD=PA·AB·AD=AB.由V=,可得AB=.作AH⊥PB交PB于H.由题设知BC⊥平面PAB,所以BC⊥AH,又BC∩BP=B,故AH⊥平面PBC.又AH=·=,所以A到平面PBC的距离为.评析本题考查直线和平面平行、垂直的判定方法以及空间距离的计算,考查了空间想象能力.C组教师专用题组(2014陕西文,17,12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(1)求四面体ABCD的体积;(2)证明:四边形EFGH是矩形.解析(1)由该四面体的三视图可知,BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1,∴AD⊥平面BDC,∴四面体ABCD的体积V=××2×2×1=.(2)证明:∵BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH,∴BC∥FG,BC∥EH,∴FG∥EH.同理,EF∥AD,HG∥AD,∴EF∥HG,∴四边形EFGH是平行四边形.又∵AD⊥平面BDC,∴AD⊥BC,∴EF⊥FG,∴四边形EFGH是矩形.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2019届天津七校联考期中,4)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是( )A.若α⊥γ,α⊥β,则γ∥βB.若m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥βC.若m∥n,m⊥α,n⊥β,则α∥βD.若m∥n,m∥α,则n∥α答案C2.(2018天津杨村一中热身训练,4)已知命题p:“直线l垂直于平面α内的无数条直线”的充要条件是“l⊥α”;命题q:若平面α⊥平面β,直线a⊄β,则“a⊥α”是“a平行于β”的充分不必要条件,则正确命题是( )A.p∧qB.(¬p)∧qC.(¬p)∧(¬q)D.p∨(¬q)答案B3.(2018天津南开中学第三次月考,5)若m、n是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,则下列命题中真命题是( )A.若m⊥β,m∥α,则α⊥βB.若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥βC.若m⊂β,α⊥β,则m⊥αD.若α⊥γ,α⊥β,则β⊥γ答案A4.(2019届天津七校联考期中,8)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为线段A1B上的动点,则下列结论正确的有( )①三棱锥M-DCC1的体积为定值;②DC1⊥D1M;③∠AMD1的最大值为90°;④AM+MD1的最小值为2.A.①②B.①②③C.③④D.①②④答案A二、填空题(每小题5分,共5分)5.(2019届天津新华中学期中,10)已知m,n是两条不同直线,α,β是两个不同平面,则下列命题正确的是.①若α,β垂直于同一平面,则α与β平行②若m,n平行于同一平面,则m与n平行③若α,β不平行···,则在α内不存在···与β平行的直线④若m,n不平行···,则m与n不可能···垂直于同一平面答案④三、解答题(共75分)6.(2017天津南开中学第五次月考,17)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点,DC1⊥BD.(1)证明:DC1⊥BC;(2)求二面角A1-BD-C1的大小.解析(1)证明:由题设知,三棱柱的侧面为矩形.由于D为AA1的中点,故DC=DC1.又AC=AA1,所以D+DC2=C,所以DC1⊥DC.而DC1⊥BD,DC∩BD=D,所以DC1⊥平面BCD.又BC⊂平面BCD,故DC1⊥BC.(2)由(1)知BC⊥DC1,且BC⊥CC1,且DC1∩CC1=C1,则BC⊥平面ACC1,所以CA,CB,CC1两两相互垂直.以C为坐标原点,为x轴的正方向,为y轴的正方向,为z轴的正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.由题意知A1(1,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,0,2),则=(0,0,-1),=(1,-1,1),=(-1,0,1).设n=(x,y,z)是平面A1B1BD的法向量,则··即-令x=1,则y=1,因此可取n=(1,1,0).同理,设m=(a,b,c)是平面C1BD的法向量,则··即--令a=1,则c=1,b=2,故可取m=(1,2,1).从而cos<n,m>=··=.又易知二面角A1-BD-C1为锐二面角,故二面角A1-BD-C1的大小为30°.7.(2017天津南开一模,17)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PA=PB,PA⊥PB,F 为CP上的点,且BF⊥平面PAC.(1)求证:平面PAB⊥平面ABCD;(2)求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值;(3)在棱PD上是否存在一点G,使GF∥平面PAB?若存在,求PG的长;若不存在,说明理由.解析(1)证明:∵BF⊥平面PAC,PA⊂平面PAC,∴BF⊥PA,又PA⊥PB,PB∩BF=B,∴PA⊥平面PBC,又BC⊂平面PBC,∴PA⊥BC,又∵底面ABCD是正方形,∴AB⊥BC,又PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,∵BC⊂平面ABCD,∴平面PAB⊥平面ABCD.(2)作PE⊥AB,垂足为E,连接EC,由(1)知平面PAB⊥平面ABCD,又平面PAB∩平面ABCD=AB,∴PE⊥平面ABCD,则∠PCE为直线PC与平面ABCD所成角.∵PA=PB,PA⊥PB,AB=2,∴PE=1,PB=,∴在Rt△PBC中,由勾股定理得PC=,∴在Rt△PEC中,sin∠PCE==,∴直线PC与平面ABCD所成角的正弦值为.(3)作FG∥CD,交PD于G,∵FG∥CD,AB∥CD,∴FG∥AB.又∵FG⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴FG∥平面PAB,∵BF⊥平面PAC,PC⊂平面PAC,∴BF⊥PC.∴在Rt△PBC中,易得BF=.在Rt△PBF中,由勾股定理可得PF=.又∵PC=PD,∴PG=,即棱PD上存在一点G,使GF∥平面PAB,且PG=.解题分析本题考查线面、面面垂直的判定定理,考查线面角,考查线面平行,属于中档题.8.(2017天津南开二模,17)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,∠BAC=90°,AC=AB=AA1,E是BC 的中点.(1)求证:AE⊥B1C;(2)求异面直线AE与A1C所成角的大小;(3)若G为C1C的中点,求二面角C-AG-E的正切值.解析(1)证明:∵BB1⊥平面ABC,AE⊂平面ABC,∴AE⊥BB1,由AB=AC,E为BC的中点得AE⊥BC,∵BC∩BB1=B,∴AE⊥平面BB1C1C,又B1C⊂平面BB1C1C,∴AE⊥B1C.(2)取B1C1的中点E1,连接A1E1,E1C,则AE∥A1E1,∴∠E1A1C或其补角是异面直线AE与A1C所成的角.设AC=AB=AA1=2,则由∠BAC=90°,可得A1E1=AE=,A1C=2,E1C1=EC=BC=,∴E1C==,在△E1A1C中,由余弦定理的推论得cos∠E1A1C=-=,∴异面直线AE与A1C所成角的大小为.(3)设P是AC的中点,过点P作PQ⊥AG于Q,连接EP,EQ,则EP∥AB,EP⊥AC,又∵平面ABC⊥平面ACC1A1,且平面ACC1A1∩平面ABC=AC,EP⊂平面ABC,∴EP⊥平面ACC1A1,而PQ⊥AG,∴由三垂线定理得EQ⊥AG.∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角,设EP=1,则AP=1,=,PQ=,得tan∠PQE==.所以二面角C-AG-E的正切值是.解题分析本题是与二面角有关的立体几何综合题,主要考查了异面直线的夹角,线线垂直的判定,二面角等知识点,难度适中,熟练掌握线面垂直,线线垂直与面面垂直之间的转化及异面直线夹角与二面角的定义,是解答本题的关键.9.(2018天津实验中学热身训练,17)如图,在侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,AD⊥AB,AB=,AD=2,BC=4,AA1=2,E是DD1的中点,F是平面B1C1E与直线AA1的交点.(1)证明:EF∥A1D1;(2)证明:BA1⊥平面B1C1EF;(3)求BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值.解析(1)证明:因为C1B1∥A1D1,C1B1⊄平面ADD1A1,A1D1⊂平面ADD1A1,所以C1B1∥平面A1D1DA.又因为平面B1C1EF∩平面A1D1DA=EF,所以C1B1∥EF,所以A1D1∥EF.(2)证明:因为BB1⊥平面A1B1C1D1,B1C1⊂平面A1B1C1D1,所以BB1⊥B1C1.又因为B1C1⊥B1A1,BB1∩B1A1=B1,所以B1C1⊥平面ABB1A1,又BA1⊂平面ABB1A1,所以B1C1⊥BA1.在矩形ABB1A1中,F是AA1的中点,所以tan∠A1B1F=tan∠AA1B=,即∠A1B1F=∠AA1B,故BA1⊥B1F,又B1F∩B1C1=B1,所以BA1⊥平面B1C1EF.(3)设BA1与B1F的交点为H,连接C1H.由(2)知BA1⊥平面B1C1EF,所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角.在矩形AA1B1B中,AB=,AA1=2,易得BH=.在Rt△BHC1中,BC1=2,BH=,所以sin∠BC1H==.所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是.10.(2018天津河西二模,17)如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ACD=90°,AB=1,AD=2,四边形ABEF为正方形,平面ABEF⊥平面ABCD,P为DF的中点,AN⊥CF,垂足为N.(1)求证:AN⊥平面CDF;(2)求异面直线BF与PC所成角的正切值;(3)求三棱锥B-CEF的体积.解析(1)证明:∵四边形ABEF为正方形,∴AB⊥AF,∵四边形ABCD为平行四边形,∠ACD=90°,∴CD⊥AC,AB∥CD,∴CD⊥AF,∵AF∩AC=A,∴CD⊥平面ACF,∵AN⊂平面AFC,∴CD⊥AN,∵AN⊥CF,CF∩CD=C,∴AN⊥平面CDF.(2)连接BD交AC于点O,连接AP、PO.∵四边形ABCD为平行四边形,∠ACD=90°,AB=1,AD=2,∴AC=-=-=,∴AO=CO=,∵平面ABEF⊥平面ABCD,∴AF⊥平面ABCD,又AD⊂平面ABCD,∴AF⊥AD,∵四边形ABEF为正方形,AB=1,∴AF=AB=1,∵P为DF的中点,∴AP=FD.由(1)知CD⊥平面ACF,∴CD⊥CF,又P为DF的中点,∴CP=FD,∴AP=CP=FD===,∵P为DF的中点,O是BD的中点,∴BF∥PO,∴∠CPO或其补角是异面直线BF与PC所成的角,sin∠CPO===,∴cos∠CPO=,tan∠CPO=,∴异面直线BF与PC所成角的正切值为.(3)由(1)知CD∥AB,且∠ACD=90°,∴∠CAB=90°,即AB⊥AC,由(2)知AF⊥平面ABCD,∴AF⊥AC,又AF∩AB=A,∴AC⊥平面ABF,又由(2)知CA=,∴三棱锥B-CEF的体积V B-CEF=V C-BEF=S△BEF×CA=××1×1×=.11.(2017天津耀华中学一模,17)如图1,在边长为3的正三角形ABC中,E,F,P分别为AB,AC,BC上的点,且满足AE=FC=CP=1.将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使平面A1EF⊥平面EFB,连接A1B,A1P,Q为A1B 上一点,连接PQ,CQ.(如图2)(1)若Q为A1B中点,求证:PQ∥平面A1EF;(2)求证:A1E⊥EP;(3)求CQ与平面A1BE所成角的正切值.解析(1)证明:取A1E的中点M,连接QM,MF,在△A1BE中,Q、M分别为A1B、A1E的中点,∴QM∥BE,且QM=BE.在题图1中,∵==,∴PF∥BE,且PF=BE,∴QM∥PF且QM=PF,∴四边形PQMF为平行四边形.∴PQ∥FM.又∵FM⊂平面A1EF,且PQ⊄平面A1EF,∴PQ∥平面A1EF.(2)证明:如图,取BE中点D,连接DF,∵AE=CF=1,DE=1,∴AF=AD=2.又∠A=60°,∴△ADF是正三角形.∵AE=ED=1,∴EF⊥AD,∴在题图2中有A1E⊥EF.∵平面A1EF⊥平面EFB,平面A1EF∩平面EFB=EF, ∴A1E⊥平面EFB,又EP⊂平面EFB,∴A1E⊥EP.(3)作CN⊥BE于N,连接QN,则CN∥EF.∵EF⊥A1E,EF⊥BE,A1E∩BE=E,∴EF⊥平面A1BE.因此,CN⊥平面A1BE,即QN是CQ在平面A1BE内的射影.∴∠CQN为CQ与平面A1BE所成的角.由计算可得CN=,BQ=A1B=,cos∠A1BE=.∴QN2=BQ2+BN2-2BQ·BN·cos∠A1BE=.∴QN=.∴tan∠CQN===.即CQ与平面A1BE所成角的正切值为.解题分析本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定,考查空间想象能力和思维能力,考查线面角的求法,正确找出CQ与平面A1BE所成的角是解答该题的关键.。

第八章第2讲[A级基础达标]1．l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则() A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】A2．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定()A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行【答案】C3．(2019年某某一中模拟)已知P是△ABC所在平面外的一点，M，N分别是AB，PC 的中点，若MN＝BC＝4，P A＝43，则异面直线P A与MN所成角的大小是() A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A4．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c【答案】C5．如图所示是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个是()A B C D【答案】D6．如果两条直线a 和b 没有公共点，那么a 与b 的位置关系是________． 【答案】平行或异面7．(2019年某某模拟)如图，四边形ABCD 和四边形ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP 与BD 所成的角为________．π3【解析】如图，将原图补成正方体ABCD －QGHP ，连接GP ，则GP ∥BD ，所以∠APG 为异面直线AP 与BD 所成的角，在△AGP 中，AG ＝GP ＝AP ，所以∠APG ＝π3.8．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 是平面AA 1D 1D 的中心，点Q 是上底面A 1B 1C 1D 1上一点，且PQ ∥平面AA 1B 1B ，则线段PQ 的长的最小值为________．【答案】1 【解析】由PQ ∥平面AA 1B 1B 知Q 在过点P 且平行于平面AA 1B 1B 的平面上，易知点Q 在A 1D 1，B 1C 1中点的连线MN 上，故PQ 的最小值为PM ＝12AA 1＝1．9．如图所示，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，P A ＝2.求：(1)三棱锥P －ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值． 解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，V P －ABC ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE 是异面直线BC 与AD 所成的角(或其补角)．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2， cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.10．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1．(1)求直线AC 与A 1D 所成角的大小；(2)若E ，F 分别为AB ，AD 的中点，求直线A 1C 1与EF 所成角的大小．解：(1)如图，连接B 1C ，AB 1，则B 1C 与AC 所成的角就是AC 与A 1D 所成的角．因为AB 1＝AC ＝B 1C ，所以∠B 1CA ＝60°.所以直线A 1D 与AC 所成的角为60°.(2)连接BD ，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1，因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，所以EF ⊥AC ．所以EF ⊥A 1C 1． 所以直线A 1C 1与EF 所成的角为90°.[B 级 能力提升]11．以下四个命题中，①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A ，B ，C ，D 共面，点A ，B ，C ，E 共面，则点A ，B ，C ，D ，E 共面； ③若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． 正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【答案】B 【解析】①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②从条件看出两平面有三个公共点A ，B ，C ，但是若A ，B ，C 共线，则结论不正确；③不正确；④因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形，④不正确．12．(多选)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝12，则下列结论中正确的是( )A ．AC ⊥AFB ．AC ⊥平面BEFC ．AB 与平面BEF 所成角是45°D ．△AEF 面积与△BEF 的面积相等【答案】BC 【解析】连接BD ，则AC ⊥平面BB 1D 1D ，BD ∥B 1D 1．对于A 项，AC 与AF 不垂直，假设AC ⊥AF ，又AC ⊥EF ，且AF ∩EF ＝F ，则AC ⊥平面AEF ，又AC ⊥平面BB 1D 1D ，所以平面AEF ∥平面BB 1D 1D ，这显然不成立，即假设不成立，故A 错误；对于B 项，由AC ⊥平面BB 1D 1D ，判断AC ⊥平面BEF ，故B 正确；对于C 项，由AC ⊥平面BB 1D 1D ，则垂足O为AC与BD的交点，所以∠ABD是直线AB与平面BEF所成的角，且∠ABD＝45°，故C 正确；对于D项，点A、B到直线B1D1的距离不相等，所以△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故D错误．故选BC．13．已知异面直线a与b所成的角为＝70°，P为空间一点，则过P点与a和b所成的角都是45°的直线有________条．【答案】2【解析】平移a，b过点P，过P点作直线a，b夹角的平分线c，这时c 与a，b所成的角均为35°，过点P作直线d垂直a和b，这时d与a，b所成的角均为90°，直线从c向两边转到d时与a，b所成的角单调递增，必经过45°，因为可向两边旋转，所以有2条．14．如图所示，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△P AB和△P AD 都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为________．【答案】90°【解析】如图，延长DA至E，使AE＝DA，连接PE，BE.因为∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，所以DE＝BC，DE∥BC．所以四边形CBED为平行四边形，故CD∥BE，则∠PBE为异面直线CD与PB所成的角．在△P AE中，AE＝P A，∠P AE＝120°，由余弦定理，得PE＝P A2＋AE2－2P A·AE cos∠P AE＝3AE.在△ABE中，AE＝AB，∠BAE＝90°，所以BE＝2AE.因为△P AB是等边三角形，所以PB＝AB＝AE，所以PB2＋BE2＝AE2＋2AE2＝3AE2＝PE2，所以∠PBE＝90°.15．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2.(1)当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?(2)若BM ∥平面AEF ，判断BM 与EF 的位置关系，说明理由；并求BM 与EF 所成角的余弦值．解：(1)如图所示，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM ⊥AC 于点M .因为侧棱A 1A ⊥底面ABC ，所以C 1C ⊥底面ABC ，所以C 1C ⊥AC ．又因为EC ＝2FB ＝2，所以OM ∥EC ∥FB ，且OM ＝12EC ＝FB ．所以四边形OMBF 为矩形，BM ∥OF .因为OF ⊂平面AEF ，BM ⊄平面AEF ，故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点． (2)由(1)知，BM 与EF 异面，∠OFE 就是异面直线BM 与EF 所成的角或其补角． 易求得AF ＝EF ＝5，OF ＝3，EO ＝2，又O 为AE 的中点，所以OF ⊥AE . 所以cos ∠OFE ＝OF EF ＝35＝155.所以BM 与EF 所成的角的余弦值为155. 16．如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．(1)求四棱锥O －ABCD 的体积；(2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值． 解：(1)由已知可求得正方形ABCD 的面积S ＝4， 所以四棱锥O －ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83.(2)如图，连接AC ，设线段AC 的中点为E ，连接ME ，DE ，又M 为OA 中点，所以ME ∥OC ，则∠EMD (或其补角)为异面直线OC 与MD 所成的角．由已知可得DE ＝2，EM ＝3，MD ＝5，所以DE 2＋EM 2＝MD 2，所以△DEM 为直角三角形，且∠DEM ＝90°. 所以tan ∠EMD ＝DE EM ＝23＝63.所以异面直线OC 与MD 所成角的正切值为63. [C 级 创新突破]17．(2020年某某模拟)我国古代数学名著《九章算术》中记载，斜解立方为“堑堵”，即底面是直角三角形的直三棱柱(直三棱柱为侧棱垂直于底面的三棱柱)．如图，棱柱ABC －A 1B 1C 1为一个“堑堵”，底面ABC 的三边中的最长边与最短边分别为AB ，AC ，且AB ＝5，AC ＝3，点P 在棱BB 1上，且PC ⊥PC 1，则当△APC 1的面积取最小值时，异面直线AA 1与PC 1所成角的余弦值为________．【答案】23【解析】设BB 1＝x ，BP ＝y ，则B 1P ＝x －y .由题意可得BC ＝4，所以PC 2＝BC 2＋BP 2＝16＋y 2，PC 21＝B 1C 21＋B 1P 2＝16＋(x －y )2. 由PC 2＋PC 21＝CC 21，得16＋y 2＋16＋(x －y )2＝x 2，整理得x ＝y 2＋16y.过点P 作PQ ⊥CC 1交于点Q ，再过点Q 作QM ⊥AC 1交于点M ，则PM ⊥AC 1，即PM 为△APC 1的边AC 1上的高．因为sin ∠AC 1C ＝MQ C 1Q ＝AC AC 1，所以MQ ＝AC ·C 1Q AC 1＝3(x －y )9＋x 2，所以PM 2＝PQ 2＋MQ 2＝16＋9(x －y )29＋x 2，S 2△APC1＝⎝⎛⎭⎫12·PM ·AC 12＝14·PM 2·AC 21＝14·⎣⎢⎡⎦⎥⎤16＋9(x －y )29＋x 2·(9＋x 2)＝14·[16(9＋x 2)＋9(x －y )2]．把x ＝y 2＋16y 代入上式，化简得S 2△APC 1＝14·⎝⎛⎭⎫16y 2＋25×162y 2＋656≥14⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2·(4y )·5×16y ＋656，当且仅当4y ＝5×16y ，即x ＝185，y ＝25时，等号成立，此时△APC 1的面积取得最小值．因为AA 1∥BB 1 ，所以∠B 1PC 1 即为异面直线AA 1与PC 1所成角．此时sin ∠B 1PC 1＝B 1C 1PC 1＝416＋(x －y )2＝53，所以cos ∠B 1PC 1＝23，即异面直线AA 1与PC 1所成角的余弦值为23. 18．(2020年某某期末)已知正四棱锥P －ABCD 的表面积为2，记正四棱锥的高为h .(1)试用h 表示底面边长，并求正四棱锥体积V 的最大值； (2)当V 取最大值时，求异面直线AB 和PD 所成角的正切值．解：(1)设正四棱锥的底面边长为a ，侧面三角形的高为H ，则a 2＋2aH ＝2，所以H ＝1a －a 2. 又H 2＝h 2＋⎝⎛⎭⎫a 22，所以a ＝11＋h 2.所以正四棱锥体积V ＝13a 2h ＝h 3(1＋h 2)＝13⎝⎛⎭⎫h ＋1h ≤13·2h ·1h＝16，当且仅当h ＝1h ，即h ＝1时取等号．所以V 的最大值为16.(2)取CD 的中点Q ，正方形ABCD 的中心O ，连接PQ ，PO ，OQ .因为AB ∥CD ，所以∠PDQ 即为异面直线AB 与PD 所成角．由(1)知，当V 取最大值时，a ＝22，PQ ＝324. 又DQ ＝12a ＝ 2 4， 所以tan ∠PDQ ＝PQDQ ＝3，即异面直线AB 和PD 所成角的正切值为3.。