直线、平面垂直的判定与性质讲义（2）课前双击巩固1.直线与平面垂直(1)定义:如果直线l与平面α内的都垂直,就称直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l叫作平面α的,平面α叫作直线l的.(2)直线与平面垂直的判定与性质类别语言表述图形表示符号表示应用判定根据定义,证明一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线b是平面α内任意一条直线,b⊂α,a⊥b}⇒a⊥α证明直线和平面垂直一条直线与一个平面内的都垂直,则该直线与此平面垂直a,b⊂α,a⋂b=O,l⊥a,l⊥b}⇒l⊥α如果两条平行直线中的垂直于一个平面,那么也垂直于同一个平面a⊥α,a∥b}⇒b⊥α性质如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内的都垂直b⊂α,a⊥α}⇒a⊥b 证明两条直线垂直垂直于同一个的两条直线平行a⊥α,b⊥α}⇒a∥b 证明两条直线平行2.两个平面垂直(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是,就说这两个平面互相垂直.(2)两个平面垂直的判定和性质类别语言表述图形表示符号表示应用判 定 根据定义,证明两平面所成的二面角是∠AOB 是二面角α-l-β的平面角,且 ,则α⊥β证明 两平 面垂 直如果一个平面经过另一个平面的一条 ,那么这两个平面互相垂直l ⊂β,l ⊥α}⇒α⊥β 性 质如果两个平面垂直,那么它们所成 是直角α⊥β,∠AOB 是二面角α-l-β的平面角,则证明两条 直线 垂直 如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们 的直线垂直于α⊥β,l ⊂β,α⋂β=a,l ⊥a }⇒l ⊥α证明 直线 与平 面垂 直常用结论1.与线面垂直相关的两个常用结论:(1)两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直;(2)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则与另一个平面也垂直.2.三种垂直关系的转化:线线垂直线面垂直面面垂直题组一 常识题1.[教材改编] 已知直线a ,b 和平面α,且a ⊥α,b ∥α,则a 与b 的位置关系为 .2.[教材改编] 已知三棱锥P-ABC 的三条侧棱都相等,顶点P 在底面ABC 上的射影为O ,则O 是△ABC 的 心.3.[教材改编] 如图7-43-1所示,在三棱锥P-ABC 中,PA ⊥底面ABC ,∠BAC=90°,F 是AC 的中点,E 是PC 上的点,且EF ⊥BC ,则PEEC = .图7-43-14.[教材改编]如图7-43-2所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,平面ADC⊥平面.图7-43-2题组二常错题◆索引:忽略线面垂直的条件致误;忽视平面到空间的变化致误.5. “直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的条件.6.已知直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a与c的位置关系为.7.已知直线a和平面α,β,若α⊥β,a⊥β,则a与α的位置关系为.8.已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线n满足n⊥β,则n与l 的位置关系是.课堂考点探究探究点一垂直关系的基本问题1 (1)设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列四个说法中错误的是( )A.若a⊥b,a⊥α,b⊄α,则b∥αB.若a∥α,a⊥β,则α⊥βC.若a⊥β,α⊥β,则a∥αD.若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则( )A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC[总结反思]解决空间中线面、面面垂直的问题有以下三种方法:(1)依据相关定理得出结论;(2)结合符合题意的模型(如构造正方体、长方体)作出判断;(3)否定命题时只需举一个反例即可.式题(1)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列四个说法中错误的是( )A.若m∥α,m∥β,α∩β=n,则m∥nB.若α⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥nC.若α⊥β,α⊥γ,β∩γ=m,则m⊥αD.若α∥β,m∥α,则m∥β(2)若空间中四个不重合的平面α1,α2,α3,α4满足α1⊥α2,α2⊥α3,α3⊥α4,则下列结论一定正确的是( )A.α1⊥α4B.α1∥α4C.α1与α4既不垂直也不平行D.α1与α4的位置关系不确定探究点二线面垂直的判定与性质2在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,△PAD是等腰三角形,AB=2AD,E是AB 的一个三等分点(靠近点A),CE的延长线与DA的延长线交于点F,连接PF.证明:(1)CD⊥PF;(2)在线段PC,PD上可以分别找到两点A',A″,使得直线PC⊥平面AA'A″.图7-43-3[总结反思](1)解决直线与平面垂直问题的常用方法:①利用线面垂直的定义;②利用线面垂直的判定定理;③利用线面垂直的性质;④利用面面垂直的判定定理;⑤利用面面垂直的性质.(2)由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化,因此整个证明过程围绕着“线面垂直”这个核心展开,这是化解空间垂直关系问题难点的技巧所在.式题如图7-43-4所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB⊥AC,AC=AA1,E,F分别是棱BC,CC1的中点.证明:(1)AB⊥平面AA1C1C;(2)EF⊥A1C.图7-43-4探究点三面面垂直的判定与性质3在四棱锥P -ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥CD,△PAD是等边三角形,已知AD=2,BD=2√3,AB=2CD=4.(1)设M是PC上一点,求证:平面MBD⊥平面PAD.(2)求四棱锥P -ABCD的体积.图7-43-5[总结反思](1)证明面面垂直的常用方法:①利用面面垂直的定义;②利用面面垂直的判定定理,转化为从现有直线中(或作辅助线)寻找平面的垂线,即证明线面垂直.(2)两个平面垂直问题,通常是通过“线线垂直→线面垂直→面面垂直”的过程来实现的.式题如图7-43-6,在三棱柱ABC - A1B1C1中,AC=AA1,AB=BC,∠AA1C1=60°,平面ABC1⊥平面AA1C1C.求证:BC1⊥平面AA1C1C.图7-43-6探究点四平行与垂直的综合问题考向1平行与垂直关系的证明4 如图7-43-7,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.图7-43-7[总结反思]处理空间图形中的平行与垂直问题,一般考虑判定定理和性质的应用,当满足相关定理的条件时,可直接使用相关定理得出结论.考向2探索性问题中的平行与垂直关系AD.5 如图7-43-8所示,在四棱锥P - ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=12(1)在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由;(2)证明:平面PAB⊥平面PBD.图7-43-8[总结反思]处理空间中平行或垂直的探索性问题,一般是先根据条件猜测点或直线的位置再给出证明.点一般为中点或三等分点,直线一般为中位线.考向3折叠问题中的平行与垂直关系6 如图7-43-9(1)所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D为AC的中点,AE⊥BD于点E(不同于点D),延长AE交BC于点F,将△ABD沿BD折起,得到三棱锥A1-BCD,如图(2)所示.(1)若M是FC的中点,求证:直线DM∥平面A1EF.(2)求证:BD⊥A1F.(3)若平面A1BD⊥平面BCD,试判断直线A1B与直线CD能否垂直?请说明理由.图7-43-9[总结反思]证明折叠问题中的平行与垂直,关键是分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变.一般地,折叠前位于“折痕”同侧的点、线间的位置和数量关系折叠后不变,而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间的位置关系折叠后会发生变化.对于不变的关系可在平面图形中处理,而对于变化的关系则要在立体图形中解决.强化演练1.【考向1】在三棱锥S - ABC中,∠SBA=∠SCA=90°,△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形,给出以下结论:①异面直线SB与AC所成的角为90°;②直线SB⊥平面ABC;③平面SBC⊥平面ABC;a.④点C到平面SAB的距离是12其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.4图7-43-102.【考向1】对于四面体ABCD,给出下列四个说法:①若AB=AC,BD=CD,则BC⊥AD;②若AB=CD,AC=BD,则BC⊥AD;③若AB⊥AC,BD⊥CD,则BC⊥AD;④若AB⊥CD,AC⊥BD,则BC⊥AD.其中正确的说法是( )A.①②B.②③C.②④D.①④3.【考向3】如图7-43-11,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,翻折△ABD和△ACD,使得平面ABD⊥平面ACD.给出下列四个结论:①BD⊥AC;②△BAC是等边三角形;③三棱锥D - ABC是正三棱锥;④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的结论是( )图7-43-11A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④4.【考向2】如图7-43-12,在四棱锥P - ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,AB=1,∠,E为PD的中点,PA=1.ABC=π3(1)求证:PB∥平面AEC.(2)在棱PC上是否存在点M,使得直线PC⊥平面BMD?若存在,求出点M的位置;若不存在,说明理由.图7-43-12课时作业1.[2019昆明市高考模拟]已知直线l⊥平面α,直线m⊂平面β,则“α∥β”是“l⊥m”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2. [2019河南八市重点高中联考]《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.在如图8 - 4 - 1所示的四棱锥P - ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,且PD=CD,点E,F 分别为PC,PD的中点,图8 - 4 - 1则图中的鳖臑有( )A.2个B.3个C.4个D.5个3.[2019辽宁五校联考]在正方体ABCD - A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则( )A.MN∥C1D1B.MN⊥BC1C.MN⊥平面ACD1D.MN⊥平面ACC14.[2020惠州市二调]如图8 - 4 - 2,AB为圆O的直径,点E,F 在圆O上,AB∥EF ,矩形ABCD所在平面和圆O所在平面互相垂直,已知AB=3,EF =1.(1)求证:平面DAF ⊥平面CBF .(2)设几何体F - ABCD,F - BCE的体积分别为V1,V2,求V1∶V2的值.图8 - 4 - 25.[2020安徽省示范高中名校联考]图8 - 4 - 3是由正方形ABCG,直角梯形ABED,三角形BCF 组成的一个平面图形,其中AB=2DE=2,BE=BF =CF =√3,将其沿AB,BC折起使得BE与BF 重合,连接DG,如图8 - 4 - 4.(1)证明:图8 - 4 - 4中的D,E,C,G四点共面,且平面ABD⊥平面DEC.(2)求图8 - 4 - 4中点A到平面BCE的距离.图8 - 4 - 3图8 - 4 - 46.[2019辽宁五校联考]在如图8 - 4 - 5所示的几何体中,DE∥AC,AC⊥平面BCD,AC=2DE=4,BC=2,DC=1,∠BCD=60°.(1)证明:BD⊥平面ACDE.(2)过点D作一平行于平面ABE的截面,画出该截面,说明理由,并求夹在该截面与平面ABE之间的几何体的体积.图8 - 4 - 5。
