第十四章 坐标变换、参数方程和极坐标方程（Coordinate transformation , Parametric equation and Polar coordinate equation ）曲线的参数方程和极坐标方程是解析几何中两类特定形式的曲线方程，而坐标变换则是简化曲线方程的一个工具。
在本章中，我们将介绍坐标系的平移和和旋转。
让学生能应用坐标变换化简曲线方程并研究其性质；能掌握参数方程和极坐标方程的相关概念与结论. *14.1 坐标轴的平移(Parallel displacement of Coordinate)点的坐标和曲线的方程是相对一定的坐标系来说的.例如,如图圆O '的圆心O ',在坐标系xOy 中的坐标是)1,2(,圆O '的方程是2223)1()2(=-+-y x ;如果取坐标系'''y O x )//,//(''''Oy y O Ox x O ,那么在这个坐标系中,它们就分别为)0,0(和2''322=+y x .定义 坐标轴的方向和长度单位都不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移(Parallel displacement of Coordinate),简称移轴(displacement axis).从上面的例子我们看到,通过坐标系的平移可以使曲线方程简化.有利于研究曲线的性质. 下面研究在平移情况,同一个点在两个不同的坐标系中坐标之间的关系.设O '在原坐标系xOy 中的坐标为),(y x ，即=O O ),(k h ，以O '为原点平移坐标轴，建立新坐标系'''y O x 。
平面内任意一点M 在原坐标系中的坐标为),(y x ，在新坐标系中的坐标为),(''y x ，即=OM ),(y x ，='M O ),(''y x ，由=+'O O ,M O '得 ),(y x =),(k h +),(''y x =),(''k y h x ++， 因此，点M 的原坐标、新坐标之间，有下面的关系：h x x +=', k y y +=1 (1)或者写成 h x x -=', k y y -='(2)公式(1),(2)叫做平移公式(formula of the parallel displacement). 例1 平移坐标轴,把原点平移到)3,2('-O .求:（1）点)3,2(-P 的新坐标;（2）点Q 的新坐标是)2,0(,求Q 的原坐标; （3）曲线036422=-+-+y x y x 在新坐标系下的方程;（4）曲线15422''=+y x 在原坐标系中的方程. 解 (1)把点P 的原坐标分别代入2'-=x x , 3'+=y y ,便得到它的新坐标为: 6,4''=-=y x ,即点P 的新坐标为)6,4(-.(2) 把点Q 的新坐标分别代入2'+=x x , 3'-=y y ,便得到点P 的原坐标为)1,2(-.(3)因为坐标系的改变,曲线上每一点的坐标都相应的改变,所以,曲线的方程也要改变.设曲线上任意一点的新坐标为),(''y x ,那么2'+=x x , 3'-=y y .代入原方程,就得到新方程: 1622''=+y x .(4)将移轴公式2'-=x x , 3'+=y y 代入新方程,得曲线在原坐标系中的方程:15)3(4)2(22=++-y x . 例2 平移坐标轴,化简下列方程:(1) 0422=-+x y x ; (2) 029*******2=--+-y x y x 解 (1)配方得 ,2)2(222=+-y x设 y y x x =-='',2,得曲线的新方程2''222=+y x .(2)把h x x +=', k y y +='代入方程,得029)(54)(16)(9)(4''2'2'=-+-+++-+k y h x k y h x即 029541694)5418()168(9422''''22=--+-++-++-k h k h y k x h y x (1) 令 0168=+h , 05418=+k , 解得 3,2-=-=k h . 代入(1),得新曲线方程19422''=-x y .\ 例3 求下列各曲线的顶点和焦点的坐标、准线方程及双曲线的渐近线方程. (1) 0164363291622=-++-y x y x ;(2) 242+-=x x y . 解 (1) 把原方程左边配方,得144)2(9)1(1622=--+y x ,令 2,1''-=-=y y x x ,则14491622''=-y x . 即116922''=-y x .方程的曲线是双曲线. 5169,4,3=+===c b a .在新坐标系'''y O x 中,顶点坐标是)0,3(),0,3(-,焦点坐标是)0,5(),0,5(-,准线方程是59'±=x ,渐近线方程是''34x y ±=.在原坐标系xOy 中,顶点坐标是)2,2(),2,4(-,焦点坐标是)2,4(),2,6(-,准线方程是514-=x ,和54=x ,渐近线方程是01034=+-y x 和0234=-+y x . (2) 把原方程配方得2)2(2-=+x y .令 2,2''+=-=y y x x ,则''2y x =.方程的曲线是抛物线.21=p . 在新坐标系'''y O x 中,顶点坐标是)0,0(,焦点坐标是)41,0(,准线方程是41'-=y ；在原坐标系xOy 中,顶点坐标是)2,2(-,焦点坐标是)47,2(-,准线方程是49-=y .课堂活动 自己想1. 利用移轴公式化简曲线方程通常有配方法和待定系数法,它们各有什么优势与不足?2. 利用移轴公式将二次曲线0),(22=+++++=F Ey Dx Cy Bxy Ax y x f 化简后,其二次项系,一次项系数和常数项有何变化?最简表达式可化为怎样的形式? 习题练习 自己练1. 平移坐标轴,把原点移到'O ,求下列各曲线的新方程,并画出新坐标轴和图形.(1) 4=x , )3,2('O ; (2) 532=-y x , )2,1('O ;(3) 02422=-++y x y x , )1,2('-O ; (4) 0322=+-+y x x , )2,1('-O .2.平移坐标轴化简方程:(1) 036422=-+-+y x y x ; (2) 0564222=-+-+y x y x ; (3) 01636169422=+-+-y x y x ; (4) 024662=++-x y y . 3.求下列曲线的焦点坐标和对称轴方程(1) 0742222=--++y x y x ; (2) 0848422=-+--y x y x ;(3) 0482=+-y x x .4.已知双曲线两顶点的坐标是)1,2(和)5,2(-,虚轴长为8,求双曲线的方程.5.椭圆124)2(22=++y x 的中心在直线063=+-y x 上滑动,且保持对称轴平行移动,求中心滑到什么位置时,椭圆与直线06=-+y x 相交所得的弦长为324.6.已知双曲线m y x y x =---1889422的焦距为10,求m 的值.7.已知ABC ∆的两个顶点B A ,是椭圆15)1(13)2(2222=++-y x 的两个焦点,顶点C 在抛物线12+=x y 移动.求ABC ∆的重心轨迹方程.14.2 坐标轴的旋转变换(Rotation Mapping of the Coordinate System)我们已经学过坐标轴的平移,现在来讨论坐标轴旋转时,同一点的坐标间的关系.如果坐标轴的原点和长度单位都不变,只是坐标轴按同一方向绕原点旋转同一角度,这种坐标系的变换叫做坐标轴的旋转(rotation of the coordinate axes),简称转轴(rotation of axes). 下面来求转轴时的坐标变换公式. 设坐标轴旋转角为θ.如图,设21,e e 分别是x 轴,y 轴的单位正向量,'2'1,e e 分别是'x 轴、'y 的单位正向量,则有 θθθθs i n c o s )s i n ,(c o s 21'1e e e +== θθπθπθsin cos ))2sin(),2(cos(21'2e e e +-=++=. (1)在平面内任取一点M,它在坐标系xOy 和'''y O x 中的坐标分别为),(y x 和),(''y x ,即21e y e x OM +=， '2''1'e y e x OM += (2) 将(1)式代入(2)式得 2''1''21)c o s s i n ()s i n c o s (e y x e y x e y e x θθθθ-+-=+,从而可以得到⎪⎩⎪⎨⎧+=-=.cos sin ,sin cos ''''θθθθy x y y x x (3) 由(3)解出'',y x ,得⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=.cos sin ,sin cos ''θθθθy x y y x x (4)公式(3)是用新坐标表示原坐标的旋转变换公式,公式(4)是用原坐标表示新坐标的旋转变换公式,统称旋转(转轴)公式(rotation formula of axes).公式(4)也可在(3)中以θ-代替θ来得到.公式(3),(4)还可用矩阵形式写成:⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛θθs i n c o s y x ⎪⎪⎭⎫-θθc o s s i n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛''y x , ('3) ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛θθs i n c o s ''y x⎪⎪⎭⎫θθc o s s i n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x . ('4)例1. 把坐标轴旋转3π,求点)1,3(-P 在新坐标系中的坐标. 解: 把3πθ=代入公式(4),得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅+⋅--==⋅+⋅-=.23cos 13sin )3(,03sin 13cos 3''ππππy x点P 在新坐标系中的坐标是)2,0(.例2.将坐标轴旋转4π,求曲线22a xy =在新坐标系中的方程,并画图.解: 把4πθ=代入公式(3),得''''22224sin4cosy x y x x -=-=ππ, ''''22224cos4siny x y x y +=+=ππ代入方程,得新坐标系的方程 22'2'a y x =+.它是一条等轴双曲线,其图形如右图所示.从上例可以看出,把坐标轴旋转一个适当的角度,可以简化二元二次方程 )0(022≠=+++++B F Ey Dx Cy Bxy Ax (5)使新方程没有''y x 项.如何选择旋转角呢?下面我们利用旋转公式(3)来研究这个问题. 将公式(3):⎪⎩⎪⎨⎧+=-=.c o s s i n,s i n c o s ''''θθθθy x y y x x 代入方程(5),可得0'''''2'''''2''=+++++F y E x D y C y x B x A , (5')其中 θθθθ22'sin cos sin cos C B A A ++=,θθθθθθcos sin 2)sin (cos cos sin 222'C B A B +-+-=,θθθθ22'cos cos sin sin C B A C +-=,θθsin cos 'E D D +=， θθc o s s i n 'E D E +-=.为了使,0'=B 则得 θθ2sin )(2cos C A B -=,只要取θ满足下式就可以了: BCA -=θ2c o t (6) 取满足公式(6)的角θ,作旋转变换,就可以使方程(5')中没有''y x 项.由于旋转公式里只用到θsin 和θcos 的值,所以可以由下列三角恒等式来计算θsin ,θcos .例3 利用坐标轴的旋转化简方程:,103222=+-y xy x 并画出它的图形.解: 333122cot -=--=θ, 得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-==+=-=+-=.2122/11cos ,2322/11sin 213/113/32cos θθθ因此旋转公式是23''y x x -=, 23''y x y +=. 代入原方程, 化简得，标准方程是 14202'2'=+y x . 它是一个椭圆,画出图形如图所示. 课堂活动 自己想.1. 化简二元二次方程 022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 通常有哪些步骤?2. 通过坐标轴的旋转化简二元二次方程(5)为方程(5'),其二次项系数与常数项变化有何特征? 习题练习·自己练 1. 设旋转角4πθ-=,求新坐标系中的两点)0,2(),2,3(B A -在原坐标系中的坐标.2. 设旋转角6πθ=,求原坐标系中的两点)2,0(),1,2(D C -在新坐标系中的坐标.3. 按所给的角θ旋转坐标轴,变换下列各方程:(1) 0=+y x , )4(πθ=; (2) 02=-y x , )2(πθ-=; (3) 422=+y x , )6(πθ=; (4) 833222=+-y xy x , )3(πθ-=. 4. 利用坐标轴的旋转,化简下列方程,使其不含''y x 项.(1) 02222222=+-++y x y xy x ; (2) 02254222=-++y xy x ;(3) 16422=++y xy x ; (4) 144313102122=+-y xy x .5. 设225323),(y xy x y x f +-=.(1)求旋转角θ,使),(y x f 化简后不含''y x 项; (2)作出24),(=y x f 在xOy 平面上的图象; (3)对)0,0(),(≠y x f ,求22),(),(yx y x f y x g +=的最大值和最小值. 14.3 曲线的参数方程(Parametric Equation of a Curve)前面我们所研究过的曲线方程0),(=y x F ,都是表示曲线上任意一点y x ,之间的直接关系的.但是在解决某些问题时,对于曲线上任意点),(y x M ,它们的坐标y x 与的直接关系往往不容易发现,而通过第三个变数间接地表示y x ,之间的关系却比较方便.下面我们看一个例子.设炮弹的发射角为α,发射初速度为0v ,求弹道曲线的方程(不计空气阻力).取炮口为原点,水平方向为x 轴,建立直角坐标系(如图),设炮弹发射后的位置在点),(y x M.可以看出,点M 运动的特征难以用y x ,之间的直接关系表达出来,但是点),(y x M 的位置明显地被炮弹飞行的时间t 所确定.事实上,由物理学知识可知,此时炮弹在Ox 方向上是以αcos 0v 为初速度作匀速直线运动,在方向上是以αsin 0v 为初速度作竖直上抛物运动.于是 ⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=.21s i n ,c o s 200gt t v y t v x αα(1)其中g 是重力加速度(取9.8米/秒2).当t 取定某个允许值时,由方程组(1)就可以唯一地确定此刻炮弹的确切位置.如上,这种通过引入一个辅助变量t ,间接地建立y x ,之间的关系的做法,不仅十分自然,而且具有实际意义.如,方程组(1)中的两个方程就分别反映了炮弹的水平距离、高度和时间的关系.由此可见;方程组(1)实际上表示出了炮弹运行的弹道曲线.一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C 上任意一点的坐标y x ,都是第三个变量t 的函数 ⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x )(D t ∈ (2)并且对于t 的每一个允许值,由方程组(2)所确定的点),(y x M 都在曲线C 上,那么方程组(2)就叫做曲线C 的参数方程(parametric equation), t 叫做参变数(parametric),简称参数.相对于参数方程来说,前面学过的直接给出曲线上点的坐标y x ,间关系的方程0),(=y x F 叫做曲线的普通方程.求曲线的参数方程时,关健是选择恰当的参数. 例1 写出经过定点)3,2(P ,且倾斜角为32π的直线l 的参数方程. 解 因为直线l 的倾斜角为32π,而)23,21()32sin ,32(cos -=ππ,所以)3,1(-=是l 的一个方向向量. 又因为直线l 经过点)3,2(P ,所以直线l 的点方向式方程为3312-=--y x . 设比值为t ,得直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=-=.33,2t y t x )(R t ∈.参数方程和普通方程是直角坐标系下曲线方程的不同表示形式,它们都是表示曲线上点的坐标之间关系的.一般情况下,我们可以通过消去参数方程中的参数,得出曲线的普通方程;也可以选择一个参数将普通方程变成参数方程的形式.例2 把弹道曲线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-⋅==.21sin ,cos 200gt t t v y t v x αα )4()3( 化为普通方程.解 由(3)消去参数t ,得普通方程x x v g y αααc o s s i n c o s 22220+-= (g v x α2sin 020≤≤). 这里的g v ,,0α都是确定值.可见炮弹运动的轨迹是抛物线的一部分.曲线的参数方程与普通方程互化时,要注意两种方程中的变量y x ,的取值范围,使化成的普通方程与参数方程等价.例3将下列曲线的参数方程化为普通方程:(1) ⎩⎨⎧-=+=;21,32t y t x (R t ∈) (2)⎩⎨⎧==.2cos ,sin θθy x (3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=--=);1(21),1(31t t y t t x (t 为参数)； (4)⎩⎨⎧+=+=.tan sin ,cos 1θθθy x (θ为参数,20πθ<<) 解 (1)由参数方程第一式乘2与第二式乘3相加,得7)21(3)32(232=-++=+t t y x ,因此所求的普通方程为0732=-+y x .(2)将参数方程中的第一个式子代入第二个式子,得2221sin 21x y -=-=θ 由]1,1[sin -∈=θx ,得]1,0[2∈x ,从而 ]1,1[212-∈-=x y . 因此 所求的普通方程为122+-=x y )11(≤≤-x . (3)由题设,得219)1(222-+=-t t x , 214)1(222++=+t t y两式相减,得44)1(9)1(22-=+--y x , 所以这条曲线的普通方程为136)1(16)1(22=--+x y . (4) 因θθθtan tan )cos 1(x y =+=, 即 xy=θtan . 所以 θs i n =-xyy , 又 θc o s 1=-x , 消去参数得 1)1()(22=-+-x xy y , 即 2222)1)((x x y x =-+.由 20πθ<<,得1cos 0<<θ,从而21<<x ,同理0>y . 故所求普通方程为)0,21()1)((2222><<=-+y x x x y x . 例4 将曲线的普通方程4922=+y x 化为参数方程.(1) 设θcos 2=x ; （2）设2+=ty x .解(1)将θcos 2=x 代入4922=+y x ,得θ22sin 49=y ,取)20(sin 32πθθ<≤=y ,故4922=+y x 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==.sin 32,cos 2θθy x )20(πθ<≤. (2)将2+=ty x 代入4922=+y x ,得04)9(22=++ty y t ,解得0=y 或294t ty +-=. 对R t ∈将294tty +-=代入2+=ty x ,得 229218t t x +-=. 又 293622≠++-=tx . 故参数方程为 )(949218222R t t t y t t x ∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-= 和 ⎩⎨⎧=-=02y x 上例表明,同一条曲线的普通方程,因参数选择的不同,其参数方程也不同.习题练习·自己练1. 写出经过定点)2,1(P ,且倾斜角为3π的直线l 的参数方程. 2. 参数方程⎩⎨⎧==.sin 3,cos 3θθy x ]2,0[πθ∈ 与⎩⎨⎧==.sin 3,cos 3θθy x ],0[πθ∈是否表示同一曲线?为什么?3. 一木棒AB 的两端A,B 各在相互垂直的两杆上滑动,且AB=10㎝,求AB 的中点P 的轨迹的参数方程.4. 边长为2的正三角形ABC 的顶点A,B 分别在y 轴,x 轴的正半轴(包括坐标原点)上移动,求顶点C 的轨迹的参数方程(A,B,C 按逆时针方向排列).5. 化下列参数方程为普通方程,并画出图形.(1)⎩⎨⎧-=+=;34,3t y t x )(R t ∈ (2)⎪⎩⎪⎨⎧+=-=;2,22t y t t x )(R t ∈ (3) ⎩⎨⎧-=+=;3sin 3,2cos 5θθy x ))2,0[(πθ∈ (4) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=.21,12t t y tt x )0(≠t6. 根据所给的条件,化下列方程为参数方程(t 和φ是参数).(1)01216422=+-+x y x , φsin 2=y ; (2) 16422=+y x , 4+=tx y ;(3)23232=+yx , φ3cos 22=x ; (4) 422=-y x , tt x 1+=.14.4 直线与圆锥曲线的参数方程(Parametric Equations of Lines and Conic Sections)下面我们进一步来研究直线、圆锥曲线的参数方程及其应用. 1. 直线的参数方程如图,直线l 经过点),(000y x P ,l 的一个方向向量为),(v u =.设),(y x P 是l 上的任意一点,那么由t vy y u x x =-=-00, 得直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=.,00vt y y ut x x )(R t ∈如果l 的倾斜角为α,那么l 的一个方向向量为)0)(sin ,(cos πααα≤≤.此时,直线l 的参数方程可写成⎩⎨⎧+=+=.sin ,cos 00ααt y y t x x )(R t ∈ 由于,sin ,cos 000ααt y y QP t x x Q P =-==-=所以P P t 0=,这是参数t 的几何意义. 例1写出过点)2,1(A ,倾斜角为135的直线1l 的参数方程.若1l 与2l :42-=x y 相交于点B . (1)求||AB ; (2)求点B 的坐标. 解 （1）1l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=.135sin 2,135cos 1t y t x )(R t ∈ 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=.222,221t y t x )(R t ∈ ① (2)欲求||AB ,由参数t 的几何意义,只要求出t ,则||||t AB =.把①代入2l 的方程,得 t 222+4)221(2--=t 解得 324-=t ,故 324||||==t AB 欲求点B 的坐标,由①,只要将324-=t 代入,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⋅+==⋅+=.32)324(222,37324221y x所以点B 的坐标为)32,37(.例2 圆822=+y x 内有一个点AB P ),2,1(0为过0P 且倾斜角为α的弦. (1) 当4πα=时,求||AB ;(2) 当弦AB 被0P 平分时,写出直线AB 的方程.解 由已知,直线AB 的参数方程为 ⎩⎨⎧+=+=.sin 2,cos 1ααt y t x )(R t ∈把上式代入822=+y x ,整理得03)sin 2(cos 22=-++t t αα 它显然有二实根,记为21,t t ,由韦达定理得)s i n 2(c o s 221αα+-=+t t 321-=⋅t t (1) 当4πα=时, 2122122124)(||||t t t t t t AB -+=-=30)3(4)]4sin 24(cos2[2=--+=ππ所以 30||=AB(2) 弦AB 被点0P 平分,当且仅当021=+t t 且0>∆,即 21t a n 0)s i n 2(c o s 2-=⇒=+ααα, 即AB 的斜率为21-,从而直线AB 的方程为 )1(212--=-x y , 即 052=-+y x2. 圆锥曲线的参数方程 (1) 圆的参数方程.设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+- )0(>r . 由于 1)()(22=-+-rb y r a x ,所以ϕϕsin ,cos =-=-rby r a x 满足圆的方程,故圆的参数方程为 ⎩⎨⎧+=+=.sin ,cos ϕϕr b y r a x πϕ20(<≤为参数)(2) 椭圆的参数方程设椭圆的标准方程为 12222=+by a x )0(>>b a令ϕcos a x =,代入上式解得ϕsin b y ±=.由于ϕsin b y =与ϕsin b y -=对πϕ20<≤均表示相同的取值集合,故椭圆的参数方程为 ⎩⎨⎧==.sin ,cos ϕϕb y a x )0,20(>><≤b a πϕ例3 设P 为椭圆12222=+by a x 上任意一点,AB 为椭圆过中心O 的一条弦.如果PA 与PB 与对称轴都不平行,求证:PA与PB 的斜率的乘积为定值.证明 由于AB 过中心O,所以A 与B 关于O 对称,故可设)sin ,cos (),sin ,cos (θθθθb a B b a A --，)sin ,cos (ϕϕb a P ,则,)cos (cos )sin (sin θϕθϕ--=a b k PA )c o s (c o s )s i n (s i n θϕθϕ++=a b k PB .从而 2222222222222)cos (cos )1cos 1()cos (cos )sin (sin ab a COS b a b k k PBPA -=-+--=--=⋅θϕθϕθϕθϕ 即斜率的乘积为定值.(3) 双曲线的参数方程.设双曲线的标准方程为12222=-by a x )0,(>>b o a .由于 1)()(22=-by ax, 因此ϕϕtan ,sec ==bya x 满足上述方程,从而双曲线的参数方程为 ⎩⎨⎧==.tan ,sec ϕϕb y a x )23,2,20(πϕπϕπϕ≠≠<≤ (4) 抛物线的参数方程.设抛物线的方程为 px y 22= )0(>p令)(22R t pt y ∈=,代入上述方程,解得pt y 2±=.因为R t ∈,所以取pt y 2=.得抛物线的参数方程为⎩⎨⎧==.2,22pt y pt x t R t ,(∈为参数)例4 已知双曲线 12222=-by a x )0,(>>b o a 的左,右顶点为21,A A 与y 轴平行的弦21P P 的上,下端点为21,P P ,求直线21P A 与12P A 交点M 的轨迹方程.解 设直线21P A 与12P A 交点坐标为),(y x M ,又),(),0,(21o a A a A-.因为21P P //y 轴,所以设)t a n ,s e c (),tan ,sec (21θθθθb a P b a P -,从而21P A 的方程为 )(sec tan a x a a b y ++-=θθ. ①12P A 的方程为 )(sec tan a x aa b y --=θθ②①式与②式相乘,得 )()1(sec tan 2222222a x ab y ---=θθ )(2222a x a b --=, 即M 的轨迹方程为12222=+by a x .例5 动直线)0(>=a a x 平行移动交抛物线)0(22>=p px y 于B A ,两点.另一动点P 在抛物线上移动,直线PA,PB 分别交x 轴于M,N 两点.求证:线段MN 的中点为定点.证明 设)2,2(),2,2(),2,2(12122pt pt P pt pt B pt pt A -,则直线PA 的方程是)2(222222121211pt x pt pt pt pt pt y ---=- (这里221t t ≠) 即 )2(1221211pt x t t pt y -+=-. 令 0=y ,得点M 的横坐标12ptt x M -=在上式中,以pt 2-代替pt 2,则得112)2(ptt t pt x N =--=. 设MN 的中点为)0,(o x ,则022)2(2110=+-=+=ptt ptt x x x N M 所以 MN 的中点为)0,0(是个定点..课外活动 自己学 摆线一个圆沿着一条定直线滚动时,圆周上的一个定点M 的轨迹叫做摆线,又叫旋轮线(cycloid). 下面我们求摆线的参数方程.设圆的半径为a ,取圆滚动所沿的直线为x 轴,圆上定点M 落在直线上的一个位置为原点,建立直角坐标系(如图).圆滚动φ角后圆心在点B,并与x 轴相切于点A.作BA MC Ox MD ⊥⊥,,垂足分别为D,C.用(y x ,)表示点M 的坐标,取φ作参数,那么,OA 的长等于弧MA 的长,得φφsin a a DA OA OD x -=-==, φcos a a CB AB AC DM y -=-===. 因此,所求摆线的参数方程是 ⎩⎨⎧-=-=).cos 1(),sin (φφφa y a x (R ∈φ为参数)摆线有一此重要的性质,例如,物体在重力作用下从点A 滑落到点B(无摩擦),物体滑落所需时间最短的路线,不是沿点A 到点B 的直线,而是沿从A 到B 的一段摆线,如左图,因此摆线又叫最速降线.又如普通单摆的周期与振幅的大小有关.如果在摆的摆动平面内做两个如右图那样的摆线形挡板,在挡板的限制下,单摆的周期就与振幅的大小无关了,这时摆的运动轨迹也是一段摆线.持线的名称就是由这个性质得到的. 习题练习 自己练1. 写出下列直线的参数方程:(1) 过点)4,2(P ,倾斜角为611π; (2) 过点)2,3(--P ,倾斜角为32π.2. (1)写出过点)5,1(M ,倾角为3π的直线l 的参数方程;（2）若直线l 与'l :032=--y x 相交于N ，求||MN 和点N 的坐标；（3）若l 与圆O ：1622=+y x 相交于A,B,试求||||MB MA +,||||MB MA ⋅和||AB .3.据气象预报,现在气象台A 处向东400千米B 处的海面上有一个台风中心形成,测得台风以40千米/小时的速度向西北方向移动,距中心不超过300千米的地方都受到台风的影响,从现在起,多少时间后气象台受到台风影响?气象台受台风影响的时间大约是多少?(结果精确到0.1小时) 4.写出下列圆的参数方程:(1)圆心为原点,半径2=r ; (2)圆心为)2,3(-,半径5=r .5.已知圆C B A y x ,),0,1(,122=+是圆上两个动点,若ABC ∆的顶点逆时针排列且3π=∠BOC ,求ABC ∆重心轨迹方程.\6.在椭圆13422=+y x 上有动点P 和定点)3,0(B ,以PB 为边作正BPQ ∆,求BPQ ∆面积的最大值及此时P 点的坐标.7.在椭圆141622=+y x 上有两点P,Q,O 是原点,若OP,OQ 斜率之积为41-,求证:22||||OQ OP +为定值. 8.已知椭圆),(),,(),,(,4433221122y x C y x B y x A y x =+是椭圆上任意三个不同点,(1)求112y x u +=的最大值; (2)求ABC ∆面积的最大值.9.设MN 是过双曲线12222=-by a x 中心孤弦,P 是双曲线上任意一点,求证:直线PM,PN 的斜率之积为定值.10.已知点),(y x 在双曲线422=-y x 上,求xyx -21的取值范围. 11.过抛物线px y 22=的顶点作互相垂直的两条弦OA,OB.求证AB 过定点.12.过点)4,2(-A 作倾斜角为135的直线l ,交抛物线px y 22=(0>p )于21,P P ,如果|||,||,|2211AP P P AP 成等比数列,求抛物线的方程.14.5 极坐标系(Polar Coordinate System) 1. 极坐标系平面上一个点的位置可用直角坐标系中的有序实数对来确定,也可以用方向角和距离来确定.例如,炮兵射击时是以大炮为基点,利用目标的方位角及目标与大炮的距离来确定目标位置的.下面研究如何利用角和距离来建立一个新的坐标系——极坐标系.如图,在平面内取一定点O,叫做极点(pole),以O 为端点引一条射线Ox ,叫做极轴(polar axis),再选定一个单位长度和角度的正方向(一般规定逆时针方向为正方向).这时对于平面任意一点M,设MOx OM ∠==θρ|,|,则点M 的位置可以用有序数对),(θρ表示, ),(θρ叫做点M 的极坐标(polar coordinate),其中ρ叫做点M 的极坐标(radius vector),θ叫做点M 的极角(polar angle). 这样建立的坐标系叫做极坐标系(polar coordinate system).当点M为极点时,它的极坐标为(ρ, θ),θ可以为任意值.当ρ<0时,规定(ρ, θ)对应的点为(-ρ, θ+π).如图,在极坐标系中,A,B,C,D,E,F,G各点的极坐标分别是(4, 0),(2,π/4),(3,π/2),(1, 5π/6),(3.5, π),(6, 4π/3),(5, 5π/3).角也可以取大于2π的值或负值,例如点B,D,F的坐标也可以写作(2, 9π/4),(1, 17π/6),(6, 10π/3)或(2, -7π/4),(1, -7π/6),(6, -2π/3).当极径取作负值时,如点A,C,E的极坐标也可以写作(-4, π),(-3, 3π/2),(-3.5, 2π).在极坐标系中,任一实数对(ρ, θ)在平面上有唯一点M与它对应;反过来,对于平面内任意一点,也可以找到它的极坐标(ρ, θ).但和直角坐标系不同的是:平面内一个点的极坐标可以有无穷多种表示法.例如(2, π/4),(2, 9π/4),(-2, 5π/4),(2, -7π/4)都表示点B的极坐标.一般地,如果(ρ, θ)是一点的极坐标,那么(ρ, θ+2nπ), (-ρ, θ+(2n+1) π)(n∈Z)都可以作为它的极坐标.但如果限定ρ>0,0≤θ<2π(或-π<θ≤π),那么在极坐标系中,除了极点外平面上的所有点所成的集合和实数对(ρ, θ)的集合{(ρ, θ)|ρ>0,0≤θ<2π}(或{(ρ, θ)|ρ>0,-π<θ≤π})构成一一对应关系.以下不作特殊说明时,认为ρ≥0.2.曲线的极坐标方程在极坐标系中,曲线可以用含有ρ,θ这两个变数的方程F(ρ,θ)=0来表示，方程F(ρ,θ)=0叫做这条曲线的极坐标方程. 由于平面内一个点的极坐标不唯一,因此曲线上点的极坐标不一定都适合方程,但其中应至少有一个坐标能够满足这个方程.这是曲线和极坐标方程有如下关系:(1)以方程F(ρ,θ)=0的解(ρ, θ)为极坐标的点都在曲线上;(2)曲线上每一点的所有极坐标中,至少有一个极坐标(ρ, θ)是方程的解.求曲线的极坐标方程,其实就是建立曲线上所有点的极径ρ与极角θ应满足的关系式.例1 如图,求经过点M(a,0)(a>0),且与极轴垂直的直线 的极坐标方程。
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