高中数学竞赛解题方法篇
不等式
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高中数学竞赛中不等式的解法
摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。
不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个着名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.
1．排序不等式
定理1 设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有
1211...n n n a b a b a b -+++(倒序积和)
1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和）
1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）
其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或
12...n b b b ===时成立.
（说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）
证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。
不等式1212...n r r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n ===时，S 达到最大值
1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有
.n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+（1-1）
事实上，
不等式（1-1）告诉我们当n r n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++.
再证不等式左端,
由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端，
得
即1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++.
例1（美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3
()a b c a b c
a b c abc ++≥.
思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明.
证明：不妨设a b c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥
根据排序不等式有：
以上两式相加，两边再分别加上lg lg lg a a b b c c ++
有3(lg lg lg )()(lg lg lg )a a b b c c a b c c a b ++≥++++
即lg lg 3
a b c a b c
a b c abc ++≥
故3
()
a b c a b c
a b c abc ++≥.
例2设a,b,c R +
∈，求证：222222333
222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab
+++++≤
++≤++. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明.
证明：不妨设a b c ≥≥，则222a b c ≥≥且111
c b a
≥≥
根据排序不等式，有
两式相加除以2，得
再考虑333a b c ≥≥，并且
111
bc ca ab
≥≥
利用排序不等式，
两式相加并除以2，即得
综上所述，原不等式得证.
例3设12120...,0...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤，而1,2,...,n i i i 与1,2,...,n j j j 是1,2,...,n 的两个排列.
求证：11
11
r s n n
n n
i j r s
r s r s a b a b r s
r s
====≥++∑∑
∑∑
.（1-2）
思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式.
证明：令1s
n
j r s b d r s
==+∑
（r=1,2,...,n ）
显然12...n d d d ≥≥≥
因为12...n b b b ≤≤≤，且
111...(1)1
r n r n r ≤≤≤++-+ 由排序不等式1n
s
r s b d r s
=≤+∑
又因为12...n a a a ≤≤≤
所以11r n n r r i r r r a d a d ==≤∑∑且111
n n
n
s
r r r r s r b a a d r s ===≤+∑∑∑（注意到r a ≥0） 故11
1
11
r s s
r n n
n n
n
i j j ir i r r s r s r a b b a a d r s
r s
=======++∑∑
∑∑
∑
故原式得证.
2.均值不等式
定理2设12,,...,n a a a 是n 个正数，则()()()()H n G n A n Q n ≤≤≤称为均值不等式.
其中，
